种群动力学是生物数学中的一个重要分支, 它主要通过研究种群之间及种群与环境之间的关系, 揭示种群个体数量和结构的变化规律.近年来, 捕食者和食饵之间的动力学关系一直是生态学家和数学家所关注的种群动力学行为之一. 捕食-食饵模型的动力学行为受到许多因素的影响, 一种比较常见和重要的因素就是功能反应函数, 在大多数情况下, 功能反应函数是捕食者依赖型的, 它表示捕食者的增长率是由食饵和其自身关系共同决定的, 因此许多学者对具有不同功能反应函数的捕食-食饵模型进行了研究, 并取得了丰硕的成果^[1-4].

20世纪40年代Leslie提出著名的Leslie-Gower捕食-食饵模型^[5], 在此模型中, 捕食者的环境容纳量与其所喜爱的食饵数量成比例, 且捕食者和食饵的增长率都有上限. 此后Leslie和Gower^[6]在研究过程中发现, 当捕食者最喜爱的食饵不充足时, 捕食者会吃其他食饵但其生长速度也会受到限制, 于是提出了修正的Leslie-Gower捕食-食饵模型. 文献[7]考虑了一类具有Leslie-Gower项的简化的HollingⅣ型捕食-食饵模型, 通过定性和分支分析, 表明当参数满足一定条件时, 该模型最多有两个非双曲平衡点，且在这两个平衡点的两个小邻域内出现Bogdanov-Taken分支和亚临界Hopf分支.

本文主要研究一类具有修正的Leslie-Gower项的捕食-食饵模型

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} { } u_t-\Delta u=u(a-u-\frac{v}{1+u+mu^2}), & x\in\Omega, t>0, \\ { } v_t-\Delta v=v(b-\frac{mv}{u+m}), & x\in\Omega, t>0, \\ u(x, 0)=u_0(x)\geq 0, \; v(0, x)=v_0(x)\geq 0, & x\in\Omega, t>0, \\ u=v=0, & x\in\partial\Omega, t>0. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中, $ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^n $内具有光滑边界$ \partial\Omega $的有界开区域, $ u(x, t), v(x, t) $分别代表食饵和捕食者的种群密度, $ a, b, m $均为正常数, $ u_0(x) $和$ v_0(x) $均为非负连续函数, 且二者不能同时为零, 更多的生物背景可以参考文献[7, 8]. 以下主要考虑问题(1.1)对应的平衡态模型

(1.2) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} { } -\Delta u=u(a-u-\frac{v}{1+u+mu^2}), & x\in\Omega, \\ { } -\Delta v=v(b-\frac{mv}{u+m}), & x\in\Omega, \\ u=v=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

本文受文献[12, 13]的启发, 利用不动点指数理论和扰动理论研究问题(1.2)正解的存在性, 当参数$ m $充分大时, 讨论了正解的唯一性、稳定性和多解性. 并以$ a $为分支参数, 利用局部分歧理论研究问题(1.2)正解的分支结构和稳定性.

首先给出一些简单的定义和引理. 设$ q(x)\in C(\overline{\Omega}), \lambda_i(q), i=1, 2, \cdots $是下面问题的特征值

(2.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta\phi+q(x)\phi=\lambda\phi, & x\in\Omega, \\ \phi=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

由文献[9]可知, $ \lambda_i(q) $是关于$ q(x) $的单调递增函数, 即$ \lambda_1(q)<\lambda_2(q)\leq\lambda_3(q)\cdots $. 如果$ q_1(x)\leq q_2(x) $且$ q_1(x)\not\equiv q_2(x) $, 则有$ \lambda_i(q_1)<\lambda_i(q_2) $, 其中$ \lambda_1(q) $是问题(2.1)的主特征值, 且$ \lambda_1(q) $是简单的, 实的, 为了方便计算, 记$ \lambda_1=\lambda_1(0) $. 易得, 当$ a>\lambda_1 $时, 问题(1.2)存在半平凡解$ (\theta_a, 0) $, 当$ b>\lambda_1 $时, 问题(1.2)存在半平凡解$ (0, \theta_b) $.

定义$ X=\{u\in C(\overline{\Omega}):u\mid_{\partial\Omega}=0\} $. 接下来, 考虑下面半线性椭圆型问题

(2.2) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta\phi+q(x)\phi=\phi(b-\phi), & x\in\Omega, \\ \phi=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

当$ b\leq\lambda_1(q) $时, $ \phi=0 $是问题(2.2)的唯一非负解, 当$ b>\lambda_1(q) $时, 问题(2.2)有唯一正解. 当$ q(x)=0, b>\lambda_1 $时, 记$ \theta_b $是问题(2.2)的唯一正解, 我们知道$ \theta_b $关于$ b $严格递增, 连续可微, 且对任意$ x\in\Omega $, $ 0<\theta_b<b $.

通过简单的比较判断, 根据上下解方法和强极值原理可得问题(1.2)正解的先验估计.

引理2.1  假设$ (u, v) $是问题(1.2)的一个正解, 则$ (u, v) $满足

$ u<\theta_a<a, \quad \theta_b<v<\frac{(m+a)\theta_b}{m}<\frac{(m+a)b}{m}. $

接下来, 我们将计算正锥中的不动点指数. 首先, 介绍一些符号

$ E=X\times X $, 其中$ X=\{u\in C(\overline{\Omega}):u\mid_{\partial\Omega}=0\} $.

$ W=K\times K $, 其中$ K=\{u\in X:u\geq 0\} $.

$ D=\{(u, v)\in W:u<a+1, v<2b\} $.

$ D_0=\{(u, v)\in E:\frac{\theta_{\frac{b+\lambda_1}{2}}}{2}<u<a+1, \frac{\theta_b}{2}<v<2b\} $.

由于问题(1.2)的任一正解都属于$ D $, 所以存在正常数$ M $, 当$ (u, v)\in \overline{D} $时, 函数

$ u(a-u-\frac{v}{1+u+mu^2})+Mu, \quad v(b-\frac{mv}{m+u})+Mv $

均为非负的.

对任意的$ t\in[0, 1] $, 定义

(2.3) $ \begin{equation} F_t(u, v)=(M-\Delta)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} { } u(a+M-u-\frac{tv}{1+u+mu^2}) \\ { } v(b+M-\frac{mv}{m+tu}) \end{array} \right), \end{equation} $

其中, $ M $是充分大的正常数. 显然, $ F_t(u, v):[0, 1]\times D\rightarrow W $是正的紧算子, 并且$ F=F_1 $.

引理2.2  假设$ b>\lambda_1 $, 则有

(1) $ \deg_W(F, D)=1 $;

(2) 若$ a\neq\lambda_1 $, $ {\rm index}_W(I-F, (0, 0))=0 $;

(3) 若$ a>\lambda_1(\theta_b) $, 则$ {\rm index}_W(I-F, (0, \theta_b))=0 $;

(4) 若$ a<\lambda_1(\theta_b) $, 则$ {\rm index}_W(I-F, (0, \theta_b)=1 $.

引理2.3  设$ a>\lambda_1, $

(1) 若$ b>\lambda_1 $, 则$ {\rm index}_W(I-F, (\theta_a, 0))=0 $;

(2) 若$ b<\lambda_1 $, 则$ {\rm index}_W(I-F, (\theta_a, 0))=1 $.

由于算子$ F $在$ (0, 0), D, (\theta_a, 0), (0, \theta_b) $的不动点指数证明过程与文献[10, 引理5.1.1]的证明过程类似, 故在此省略.

定理2.1  假设$ a>\lambda_1, b>\lambda_1 $, 则问题(1.2)至少有一个正解.

证  假设问题(1.2)没有正解, 根据引理2.2和引理2.3, 由度的可加性得

$ 1=\deg_W(F, D)+{\rm index}_W(I-F, (0, 0))+{\rm index}_W(I-F, (\theta_a, 0))+{\rm index}_W(I-F, (0, \theta_b))=0 $

矛盾, 因此问题(1.2)至少有一个正解. 证毕.

在这一部分主要考虑参数$ m $对问题(1.2)正解性质的影响, 讨论当参数$ m $充分大时, 正解的唯一性和稳定性.

引理3.1  任给$ \varepsilon_1>0 $, 存在$ M=M(\varepsilon_1) $, 若$ a\geq\lambda_1+\varepsilon_1 $且$ m\geq M $, 则问题(1.2)存在正解$ (\widetilde{u}, \widetilde{v}) $, 且$ (\widetilde{u}, \widetilde{v}) $满足

$ \theta_{{a-\frac{\varepsilon_1}{2}}}\leq\widetilde{u}\leq\theta_a, \quad\theta_b\leq\widetilde{v}\leq\theta_{{b+\frac{\varepsilon_1}{2}}}. $

证  记

$ (\overline{u}, \overline{v})=(\theta_a, \theta_{{b+\frac{\varepsilon_1}{2}}}), \quad(\underline{u}, \underline{v})=(\theta_{a-\frac{\varepsilon_1}{2}}, \theta_b). $

要证明该引理, 只需证明$ (\overline{u}, \overline{v}) $和$ (\underline{u}, \underline{v}) $分别是问题(1.2)的上解和下解, 即证

(3.1) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} { }\Delta\overline{u}+\overline{u}(a-\overline{u}-\frac{\underline{v}}{1+\overline{u}+m\overline{u}^2})\leq0, & { }\Delta\underline{u}+\underline{u}(a-\underline{u}-\frac{\overline{v}}{1+\underline{u}+m\underline{u}^2})\geq0, \\ { }\Delta\overline{v}+\overline{v}(b-\frac{m\overline{v}}{m+\overline{u}})\leq0, & { }\Delta\underline{v}+\underline{v}(b-\frac{m\underline{v}}{m+\underline{u}})\geq0. \end{array} \end{equation} $

取$ M(\varepsilon_1)=\max\{\frac{a(2b+a)}{\varepsilon_1}, sup\frac{2\theta_{b+\frac{\varepsilon_1}{2}}+\theta_{a-\frac{\varepsilon_1}{2}}}{\varepsilon_1\theta _{a-\frac{\varepsilon_1}{2}}^2}\} $, 显然, 当$ M\geq M(\varepsilon_1) $时, 上面不等式成立. 引理3.1证毕.

引理3.2  存在一个充分大的数$ M $, 当$ m\geq M $时, 对所有$ a\geq b, t\in[0, 1] $, 问题(2.3)的任一正解$ (u, v) $满足$ u\geq\theta_{\frac{b+\lambda_1}{2}} $.

证  反证法. 假设命题不成立, 即对于$ m_i\rightarrow \infty $, 存在$ a_i\geq b, t_i\in[0, 1] $, 当$ (a, m, t)=(a_i, m_i, t_i) $时, 问题(1.2)存在一个正解序列$ \{(u_i, v_i)\}_{i=1}^\infty $, 使得$ u_i<\theta_{\frac{b+\lambda_1}{2}}. $我们将分为以下四种情况讨论.

(1) $ t_i\rightarrow t_0\in[0, 1) $. 根据引理2.1, 记$ v_i\leq \frac{(a_it_i+m_i)\theta_b}{m_i} $, 结合$ \theta_b<b $, 可得下面不等式

(3.2) $ \begin{eqnarray} -\Delta u_i&\geq& u_i(a_i-u_i-\frac{t_i(a_it_i+m_i)\theta_b}{(1+u_i+m_iu_i^2)m_i}) {}\\ &\geq &u_i(a_i(1-\frac{bt_i^2}{m_i})-t_i\theta_b-u_i){}\\ &\geq &u_i(\widetilde{t}b-t_0\theta_b-u_i), \end{eqnarray} $

其中, $ i $是充分大的, $ \widetilde{t}\in{(t_0, 1)} $. 对于问题(2.2), 当$ a=\widetilde{t}b, q(x)=t_0\theta_b $时, $ \widetilde{\phi} $是该方程的唯一正解, 因此有$ u_i\geq\widetilde{\phi} $. 根据不等式(3.2), 可得对所有充分大的$ i $, 有

(3.3) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} { } -\Delta u_i\geq u_i(\frac{b+\lambda_1}{2}-u_i), & x\in\Omega, \\ u_i=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

由上面方程的第一个不等式可知: $ u_i\geq\theta_{\frac{b+\lambda_1}{2}} $, 与假设矛盾, 命题得证.

(2) $ t_i\rightarrow1 $且$ a_i\rightarrow \infty $. 由式(3.2)中的第二个不等式, 对于任意固定的$ a^*\gg1 $, 存在$ i_0 $适当大使得对所有$ i\geq i_0 $, 有

(3.4) $ \begin{equation} -\Delta u_i\geq u_i(a_i(1-\frac{bt_i^2}{m_i})-t_i\theta_b-u_i)\geq u_i(a^*-\theta_b-u_i), \end{equation} $

当$ a=a^*, q(x)=\theta_b $时, 记$ \phi^* $是问题$ (2) $的唯一正解, 则有$ u_i\geq\phi^* $, 同上面的判断类似, 我们可以得到$ u_i\geq\theta_{\frac{b+\lambda_1}{2}} $. 与假设矛盾, 命题得证.

综上, 当$ t_i\rightarrow t_0\in[0, 1] $时, 假设不成立, 原命题得证.

(3) $ t_i\rightarrow 1 $且$ a_i\rightarrow a\in(b, \infty) $. 令$ \widetilde{u}_i=\frac{u_i}{\|u_i\|_\infty}, h_i=\frac{1}{1+u_i+m_iu_i^2} $. 在$ L^2(\Omega) $中$ h_i\rightarrow h $, 并且$ h\in L^\infty(\Omega) $, $ 0\leq h\leq1 $. 由引理2.1可得$ \theta_b\leq v_i\leq\frac{(m_i+a_it_i)\theta_b}{m_i} $. 根据正则性理论和嵌入定理, 由$ v_i $对应的方程可知, 在$ C(\overline{\Omega}) $上, $ v_i\rightarrow \theta_b $. 则有: 存在正常数$ \alpha $和子序列$ \{u_i\}_{i=1}^\infty $, 使得$ \|u_i\|_\infty\geq\alpha $. 反之, $ u_i\rightarrow0 $在$ \overline{\Omega} $上一致成立. 因此, 根据$ \widetilde{u}_i $的相对应的方程可得: 在$ C(\overline{\Omega}) $上, $ \widetilde{u}_i\rightarrow \widetilde{u}>0, \|\widetilde{u}\|_\infty=1 $, 且$ \widetilde{u} $是问题

(3.5) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta\widetilde{u}=\widetilde{u}(a-\theta_bh), & x\in\Omega, \\ \widetilde{u}=0, & x\in\partial\Omega \end{array} \right. \end{eqnarray} $

的非负非平凡解. 因为$ h\in L^\infty(\Omega) $, 所以对于任何$ 1<p<\infty $, 有$ \widetilde{u}\in W_0^{2, p}(\Omega) $. 利用Harnack不等式推知, 在$ \Omega $内$ \widetilde{u}>0 $. 再由(3.5)式得: $ a=\lambda_1(\theta_bh)\leq\lambda_1(\theta_b)=b $. 与$ a>b $的条件矛盾.

从而存在正常数$ \alpha $和子序列$ \{u_i\}_{i=1}^\infty $, 使得$ \|u_i\|_\infty\geq\alpha $. 根据正则性理论和嵌入定理, 下面假设在$ C^1(\overline{\Omega}) $上, $ u_i\rightarrow u $, 其中$ u $是下面问题的正解

(3.6) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} { } -\Delta u=u(a-u-\theta_bh), & x\in\Omega, \\ u=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

由Harnack不等式可得: 在$ \Omega $内$ u>0 $. 同情况$ (1) $的证明类似, 可推出当$ i $适当大时, 有$ u_i\geq\theta_{\frac{b+\lambda_1}{2}} $, 与假设矛盾. 命题得证.

(4) $ t_i\rightarrow1 $且$ a_i\rightarrow b $. 假设$ \|u_i\|_\infty\rightarrow \alpha>0, u_i\rightarrow u $. 令$ b=a $, 问题(3.6)变为

(3.7) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=u(b-u-\theta_bh), & x\in\Omega, \\ u=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

则有$ h=0, u_i\rightarrow \theta_b $. 同上可以导出矛盾, 从而有$ \|u_i\|_\infty\rightarrow 0 $.

在$ C(\overline{\Omega}) $中$ \widetilde{u}_i\rightarrow \widetilde{u}>0 $, 并且$ \widetilde{u} $是问题

(3.8) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta \widetilde{u}=\widetilde{u}(b-\theta_bh), & x\in\Omega, \\ \widetilde{u}=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

用$ \widetilde{u} $乘以$ \theta_b $的方程, 再用$ \theta_b $乘以问题(3.8)中的方程, 并在$ \Omega $上积分, 再把所有结果联立得

$ \int_\Omega{\widetilde{u}\theta_b^2(1-h)}=0, $

由上式知$ h=1 $, 故$ \widetilde{u}=\frac{\theta_b}{{\parallel\theta_b\parallel}_\infty} $.

接下来用$ \frac{\theta_b}{{\parallel u_i\parallel}_\infty^2} $乘以$ u_i $的方程, 用$ \frac{\widetilde{u}_i}{\|u_i\|_\infty} $乘以$ \theta_b $的方程, 并对所得方程在$ \Omega $上积分, 再把所有结果联立得

(3.9) $ \begin{equation} \frac{a_i-b}{\parallel u_i\parallel_\infty}\int_\Omega\theta_b\widetilde{u}_i\leq\int_\Omega \frac{\theta_b\widetilde{u}_ih_i(t_iv_i-\theta_b)}{\parallel u_i\parallel_\infty}-m_i\int_\Omega \theta_b^2\widetilde{u}_i^2h_i+\int_\Omega\theta_b\widetilde{u}_i^2. \end{equation} $

下面我们对不等式(3.9)右边的第一项进行简单的处理, 令$ \phi_i=\frac{t_iv_i-\theta_b}{\parallel u_i\parallel}_\infty $, 通过计算可知, $ \phi_i $满足

$ -\Delta\phi_i\leq\phi_i(b-\frac{2m_i\theta_b}{t_i(m_i+t_iu_i)})+\frac{t_i\theta_b^2\widetilde{u}_i}{m_i+t_iu_i}, $

即对所有充分大的$ i $, 有

$ \phi_i\leq(-\Delta+2\theta_b-b)^{-1}. $

由上面不等式我们易得对所有充分大的$ i $, $ a_i<b $均成立, 与条件矛盾, 因此假设不成立, 原命题得证. 引理3.2证毕.

利用文献[10]中引理5.2.4及引理5.2.6类似的证明过程可得如下引理3.3和引理3.4, 在此省略其证明过程.

引理3.3   设$ a>\lambda_1(\theta_b), b>\lambda_1 $, 对任意$ \varepsilon_2>0 $充分小, 存在$ N_1, M=M(\varepsilon_2) $充分大, 使得当$ a\geq N_1, m\geq M $时, 方程的任一正解$ (u, v) $满足$ u\geq\theta_{(a-\varepsilon_2)} $.

引理3.4  对任意给定的两个序列$ \{a_i\} $和$ \{m_i\} $, 如果$ a_i\rightarrow \infty, m_i\rightarrow \infty $, 则问题(1.2)对应于$ (a, m)=(a_i, m_i) $的正解$ (u_i, v_i) $满足

(1) $ \frac{m_iv_i}{m_i+u_i} $在$ \overline{\Omega} $上一致有界;

(2) $ \frac{m_iv_i}{m_i+u_i} $在$ \Omega $上的任一紧子集一致收敛到$ \theta_b $.

引理3.5  任给一个充分大的正常数$ N_2 $, 存在$ M=M(N_2) $, 如果$ a\geq N_2, m\geq M $, 则问题(1.2)的任一正解是非退化且线性稳定的.

证  反证法. 假设存在$ a_i\rightarrow \infty, m_i\rightarrow \infty $, 使得问题(1.2)存在一个正解是退化的或者不稳定的, 即$ \eta_i $的实部$ {\rm Re}\eta_i\leq0 $, $ (\mu_i, \tau_i) $是光滑的且$ \|\mu_i\|_2^2+\|\tau_i\|_2^2=1 $, 以及

(3.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \Delta \mu_i+(a_i-2u_i-\frac{v_i}{(1+u_i+mu_i^2)^2})\mu_i-\frac{u_i\tau_i}{1+u_i+m_iu_i^2}+\eta_i\mu_i=0, & x\in\Omega, \\ { } \Delta \tau_i+(b_i-\frac{2m_iv_i}{m_i+u_i})\tau_i+\frac{m_iv_i^2\mu_i}{(m_i+u_i)^2}+\eta_i\tau_i=0, & x\in\Omega, \\ \mu_i=\tau_i=0, & x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

其中, 当$ (a, m)=(a_i, m_i) $时, $ (u_i, v_i) $是问题(1.2)的一个正解. 同引理3.3的证明, 有

$ \begin{eqnarray*} \eta_i&=&\int_\Omega(|\nabla \mu_i|^2+|\nabla \tau_i|^2){\rm d}x-\int_\Omega(a_i-2u_i-\frac{v_i}{(1+u_i+mu_i^2)^2})|\mu_i|^2{\rm d}x\\ &&+\int_\Omega\frac{u_i\overline{\mu}_i\tau_i}{1+u_i+mu_i^2}{\rm d}x-\int_\Omega(b_i-\frac{2m_iv_i}{m_i+u_i})|\tau_i|^2{\rm d}x-\int_\Omega\frac{m_iv_i^2\mu_i\overline{\tau}_i}{(m_i+u_i)^2}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

由引理3.4可知$ \frac{m_iv_i^2}{(m_i+u_i)^2} $在$ \Omega $上一致有界, 且$ \frac{m_iv_i^2}{(m_i+u_i)^2}\rightarrow0 $, 再结合上式可以推断出$ \eta_i $是有界的. 故可假设$ \eta_i\rightarrow \eta, {\rm Re}\eta\leq0 $, 在$ H_0^1(\Omega) $中$ \tau_i\rightarrow \tau $, 由于$ \|\mu_i\|_2^2+\|\tau_i\|_2^2=1 $, 所以$ \|\tau\|_2=1 $. 再根据引理3.4和问题(3.10)我们可以推断出$ \tau $是下面问题

(3.11) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta\tau+(2\theta_b-b)\tau=\eta\tau, & x\in\Omega, \\ \tau=0, & x\in\partial\Omega \end{array} \right. \end{equation} $

的非负解, 再由正则性理论和强极值原理又知, $ \tau $是问题(3.11)正解. 因此, $ \eta $是实数且$ \eta\geq\lambda_1(2\theta_b-b)\geq\lambda_1(\theta_b-b)=0 $, 与$ {\rm Re}\eta_i\leq0 $矛盾, 证毕.

基于上述的所有引理, 我们得到下面的结论.

定理3.1   假设$ a, b>\lambda_1 $, 则

(1) 对任意小的$ \varepsilon_1>0 $, 存在一个正常数$ M=M(\varepsilon_1) $, 使得对所有的$ m\geq M $, 若$ a\in(\lambda_1, \lambda_1(\theta_b)) $, 则问题(1.2)至少有两个正解.

(2) 存在正常数$ M $, 使得对所有$ m\geq M $, 若$ a\in[\lambda_1(\theta_b), \infty) $, 则问题(1.2)有唯一正解, 且该正解是渐进稳定的.

证  $ (1) $反证法. 假设$ m\geq M(\varepsilon_1), a\in(\lambda_1, \lambda_1(\theta_b)) $, 问题(1.2)有唯一正解$ (\widetilde{u}, \widetilde{v}) $, 对于充分大的正常数$ m $, 定义问题(1.2)时下面问题的正则扰动

(3.12) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=u(a-u), & x\in \Omega, \\ -\Delta v=v(b-v), & x\in \Omega, \\ u=v=0, & x\in \partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

因为问题(3.12)有唯一且线性稳定的正解$ (\theta_a, \theta_b) $, 由正则扰动理论可知, 对充分大的正常数$ M(\varepsilon_1) $, 问题(1.2)的正解$ (\widetilde{u}, \widetilde{v}) $是线性稳定的. 由文献[14]中的不动点指数理论可知: $ {\rm index}_W(I-F, (\widetilde{u}, \widetilde{v}))=1 $. 通过简单计算, 得

$ \begin{eqnarray*} 1=\deg_W(F, D)&=&{\rm index}_W(I-F, (\widetilde{u}, \widetilde{v}))+{\rm index}_W(I-F, (0, 0))\\ &&+{\rm index}_W(I-F, (\theta_a, 0))+{\rm index}_W(I-F, (0, \theta_b))=2, \end{eqnarray*} $

这是一个矛盾, $ (1) $得证.

$ (2) $ 由定理3.1可知, 问题(1.2)至少有一个正解. 首先考虑$ a\in[\lambda_1(\theta_b), N_2] $的情形, 通过引理3.2可知$ a\in[\lambda_1(\theta_b), N_2] $且$ m $充分大时, 问题(1.2)的任一正解是非退化且线性稳定的. 则存在充分大的$ C $, 使得对所有的$ t\in[0, 1] $, 算子$ F_t $映射$ \overline{D}_0 $到$ W $. 显然, 当$ (u, v) $是$ F_t $在$ D_0 $内的一个不动点时, $ (u, v) $是问题(2.3)在$ D_0 $内的解. 因此, 由度的同伦不变性容易得出

$ \deg_W(F, D_0)=\deg_W(F_0, D_0)=\deg_W(I-F_0, (\theta_a, \theta_b))=1. $

另一方面, 由引理3.1可得: 对充分大的正常数$ m, A $的任何不动点都包含在$ D_0 $中, 且不动点是非退化线性稳定的. 然后, 由一紧性可知: 不动点的个数是有限的, 我们将其定义为$ \{(u_i, v_i)\}_1^{\ell} $. 因此, 通过文献[14]中的不动点指数理论, 易得以下结论: 对每个$ i $, 有

$ {\rm index}_W(I-F, (u_i, v_i))=1 $

和

$ 1=\deg_W(F, D_0)= \sum\limits_{i=1}^\ell {\rm index}_W(I-F, (u_i, v_i))=\ell. $

因此, 当$ a\in[\lambda_1(\theta_b), N_2], m $是一个充分大的正常数时, 问题(1.2)有唯一正解.

其次考虑$ a\in[N_2, \infty) $的情形. 由引理3.5可知: 问题(1.2)的任一正解是非退化且线性稳定的, 也就是说, 问题(1.2)的正解是有限的, 即定义的$ \{(u_i, v_i)\}_1^\ell $, 并且对每个$ i $有$ {\rm index}_W(F, (u_i, v_i))=1 $. 因此, 根据度的可加性, 由引理2.2可得

$ \begin{eqnarray*} 1=\deg_W(F, D)&=&\sum\limits_{i=1}^\ell {\rm index}_W(I-F, (u_i, v_i))+{\rm index}_W(I-F, (\theta_a, 0))\\ &&+{\rm index}_W(I-F, (0, \theta_b))+{\rm index}_W(I-F, (0, 0))=\ell. \end{eqnarray*} $

同情形一, 可得问题(1.2)有唯一正解. 证毕.

在第$ 3 $小节中, 我们讨论了当$ m $充分大时, 正解的唯一性和稳定性. 在这部分我们以$ a $为分支参数, 利用分歧理论研究正解的分支, 以及当参数$ m $适当大时正解的多解性和分支正解的稳定性.

定理4.1  假设$ c>\lambda_1 $, 并记$ \widetilde{a}=\lambda_1(\theta_b) $. 那么点$ (0, \theta_b, \widetilde{a}) $是问题(1.2)的正解的分支点, 并且当$ 0<s\ll 1 $时, 分支出来的正解$ (u(s), v(s), a(s)) $具有如下形式

$ \left\{ \begin{array}{l} u(s)=s\Phi+O(s^2), \\ v(s)=\theta_b+s\Psi+O(s^2), \\ a(s)=\widetilde{a}+a_1s+O(s^2), \end{array} \right. $

其中

$ \Psi=(-\Delta-b+2\theta_b)^{-1}(\frac{\theta_b^2}{m}\Phi), $

$ \Phi $是与$ \widetilde{a} $对应的特征函数且$ \int_\Omega\Phi^2{\rm d}x=1 $. 将$ (u(s), v(s), a(s)) $代入问题(1.2)的第一个方程, 可得

$ a_1=\frac{\int_\Omega(\Phi^2+\Phi\Psi-\theta_b\Phi^2){\rm d}x}{\int_\Omega\Phi {\rm d}x}. $

证  定义映射$ {\cal F}: E\times{{\Bbb R}} \rightarrow E $, 有

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}(u, v, a)= \left( \begin{array}{ccc} { } \Delta u+u(a-u-\frac{v}{1+u+mu^2})\\ { } \Delta v+v(b-\frac{mv}{u+m}) \end{array} \right), \end{eqnarray*} $

对于任意的$ (\xi, \eta)\in E $, 通过计算有

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}_{(u, v)}(u, v, a) \left( \begin{array}{ccc} \xi\\ \eta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} { } \Delta\xi+(a-2u-\frac{v-mu^2v}{(1+u+mu^2)^2})\xi-\frac{u}{1+u+mu^2}\eta\\ { } \Delta\eta+\frac{mv^2}{(u+m)^2}\xi+(b-\frac{2mv}{u+m}\eta) \end{array} \right), \end{eqnarray*} $

于是

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a}) \left( \begin{array}{ccc} \xi\\ \eta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \Delta\xi+(\widetilde{a}-\theta_b)\xi\\ { } \Delta\eta+\frac{\theta_b^2}{m}\xi+(b-2\theta_b)\eta \end{array} \right). \end{eqnarray*} $

$ (1) $ 首先证明

$ \dim({\cal N}{\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a}))=1, \quad {\cal N}{\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a})={\rm span}\{(\Phi, \Psi)\}. $

如果存在$ (0, 0)\neq(\xi, \eta)\in E $, 使得$ {\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a})(\xi, \eta)=(0, 0) $, 那么

$ \left\{ \begin{array}{ll} \Delta\xi+(\widetilde{a}-\theta_b)\xi=0, \quad &x\in\Omega, \\ { } \Delta\eta+\frac{\theta_b^2}{m}\xi+(b-2\theta_b)\eta=0, & x\in\Omega, \\ \xi=\eta=0, \quad &x\in\partial\Omega. \end{array} \right. $

由于算子$ \Delta+b-2\theta_b $可逆, 因此$ \xi\neq 0 $, 又因为$ \widetilde{a}=\lambda_1(\theta_b) $, 所以$ \xi\in {\rm span}\{\Phi\} $, 进而推出$ \eta\in {\rm span}\{\Psi\} $.

$ (2) $ 接下来证明

$ {\rm Codim}({\cal R}{\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a}))=1. $

若$ (\widetilde{\xi}, \widetilde{\eta})\in{\cal R}{\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a}) $, 则存在$ (\xi, \eta)\in E $使得

(4.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta\xi+(\widetilde{a}-\theta_b)\xi=\widetilde{\xi}, & x\in\Omega, \\ { } \Delta\eta+\frac{\theta_b^2}{m}\xi+(b-2\theta_b)\eta=\widetilde{\eta}, & x\in\Omega, \\ \xi=\eta=0, & x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

因为$ \Phi $是与$ \widetilde{a}=\lambda_1(\theta_b) $对应的特征函数, 所以$ \int_\Omega\Phi\widetilde{\xi}{\rm d}x=0 $, 故$ (\widetilde{\xi}, \widetilde{\eta}) $与$ (\Phi, 0) $正交.

反之, 如果$ (\widetilde{\xi}, \widetilde{\eta}) $与$ (\Phi, 0) $正交, 那么问题(4.1)的第一个方程有解$ \xi $. 又因为算子$ \Delta+b-2\theta_b $可逆, 所以问题(4.1)的第二个方程有解$ \eta $. 从而$ (\widetilde{\xi}, \widetilde{\eta})\in{\cal R}{\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a}) $.

$ (3) $ 因为$ {\cal R}{\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a}) $与$ (\Phi, 0) $正交, 并且$ {\cal F}_{(u, v), a}(0, \theta_b, \widetilde{a})(\Phi, \Psi)=(\Phi, 0) $, 所以

$ {\cal F}_{(u, v), a}(0, \theta_b, \widetilde{a})(\Phi, \Psi)=(\Phi, 0)\in {\cal R}{\cal F}_{(u, v)}(0, \theta_b, \widetilde{a}). $

利用分支定理知: $ (0, \theta_b, \widetilde{a}) $是问题(1.2)正解的分支点. 证毕.

定理4.2  假设$ b>\lambda_1 $并且$ \int_\Omega\Phi^3(1-\theta_b){\rm d}x\neq0 $, 那么当$ m $充分小时, 在点$ (0, \theta_b, \widetilde{a}) $附近的正解的分支$ (u(s), v(s)) $是非退化的, 并且当$ \int_\Omega\Phi^3(1-\theta_b){\rm d}x>0 $时, $ (u(s), v(s)) $是线性稳定的, 当$ \int_\Omega\Phi^3(1-\theta_b){\rm d}x<0 $时, $ (u(s), v(s)) $不是线性稳定的. 若定理3中确定的$ a_1<0 $, 那么当$ m $充分大并且$ a\in(\lambda_1, \widetilde{a}) $时, 问题(1.2)至少有两个正解.

证  $ (1) $ 先证明前半部分结论. 记$ a(s)=a, (u(s), v(s))=(u, v) $. 在$ (u, v) $处的线性化问题可以写成

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}(s, d) \left( \begin{array}{ccc} \xi\\ \eta \end{array} \right) =\mu(s, d) \left( \begin{array}{ccc} \xi\\ \eta \end{array} \right), \end{eqnarray*} $

其中

$ {\cal L}(s, d) \left( \begin{array}{ccc} M_{11} \quad M_{12}\\ M_{21} \quad M_{22} \end{array} \right), $

$ M_{11}=-\Delta-(a-2u-\frac{v-mu^2v}{(1+u+mu^2)^2}), \quad M_{12}=\frac{u}{1+u+mu^2}, $

$ M_{21}=-\frac{mv^2}{(u+m)^2}, \quad M_{22}=-\Delta-(b-\frac{2mv}{u+m}). $

则当$ s\rightarrow 0, d\rightarrow 0 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}(s, d)\rightarrow {\cal L}_0= \left( \begin{array}{ccc} -\Delta+(\theta_b-\widetilde{a}) & 0\\ 0 & -\Delta-(b-2\theta_b) \end{array} \right). \end{eqnarray*} $

因为$ \widetilde{a}=\lambda_1(\theta_b) $, 估算子$ -\Delta+\theta_b-\widetilde{a} $的最小特征值是$ 0 $. 又因为$ b=\lambda_1(\theta_b)<\lambda_1(2\theta_b) $, 所以算子$ -\Delta-(b-2\theta_b) $的最小特征值大于零. 又因为$ 0 $是算子$ {\cal L}_0 $的最小特征值, 且$ {\cal L}_0 $的其他特征值都是正的并远离$ 0 $. 由摄动定理知, 当$ s, d $适当小时, $ {\cal L}(s, d) $的其他特征值都有正实部且远离$ 0 $, 记$ {\cal L}(s, d)={\cal L}, \mu(s, d)=\mu $.

下面讨论当$ s, d>0 $适当小时$ Re\mu $的符号. 选取与$ \mu $对应的特征函数$ (\xi, \eta) $, 使得$ (\xi, \eta)\rightarrow (\Phi, 0) $. 用$ u $乘以$ {\cal L}(\xi, \eta)=\mu(\xi, \eta) $的第一个方程并在$ \Omega $上积分得

(4.2) $ \begin{equation} -\int_\Omega u\Delta\xi {\rm d}x-\int_\Omega u\xi(a-2u-\frac{v-mu^2v}{1+u+mu^2}){\rm d}x+\int_\Omega\frac{u^2}{1+u+mu^2}\eta {\rm d}x=\mu\int_\Omega u\xi {\rm d}x. \end{equation} $

问题(1.2)的第一个方程两边乘以$ \xi $, 再积分得

(4.3) $ \begin{equation} -\int_\Omega u\Delta\xi {\rm d}x=-\int_\Omega\xi\Delta u{\rm d}x=\int_\Omega\xi u(a-u-\frac{v}{1+u+mu^2}){\rm d}x. \end{equation} $

由(4.2)式和(4.3)式得

(4.4) $ \begin{equation} \mu\int_\Omega u\xi {\rm d}x=\int_\Omega\xi u^2(1-\frac{v+2muv}{(1+u+mu^2)^2}){\rm d}x+\int_\Omega\frac{u^2}{1+u+mu^2}\eta {\rm d}x. \end{equation} $

注意到$ (u, v)=(s\Phi+O(s^2), \theta_b+s\Psi+O(s^2)) $, 并且$ \xi\rightarrow \Phi, \eta\rightarrow 0 $, (4.4)式两边除以$ s^2 $, 再取极限得

(4.5) $ \begin{equation} \lim\limits_{d, s\rightarrow0^+}\frac{\mu}{s}=\frac{\int_\Omega\Phi^3(1-\theta_b){\rm d}x}{\int_\Omega\Phi^2{\rm d}x}\neq0. \end{equation} $

从而当$ s, d $适当小时, $ {\rm Re}\mu\neq0 $. 又因为$ {\cal L} $的其他特征值都有正实部且远离$ 0 $, 所以正解分支$ (u(s), v(s)) $是非退化的.

已知当$ 0<s, d\ll1 $时, 除$ \mu(s, d) $的实部与积分$ \int_\Omega\Phi^3(1-\theta_b){\rm d}x $同号, 所以定理的前半部分结论成立.

$ (2) $ 再证后半部分结论. 假设问题(1.2)只有一个正解$ (\hat{u}, \hat{v}) $. 因为$ a_1<0 $, 所以当$ m $充分大并且$ a $落在$ \widetilde{a} $的左邻域内时, $ (\hat{u}, \hat{v}) $是从$ (0, \theta_b, \widetilde{a}) $分支出来的正解, 即$ (\hat{u}, \hat{v})=(u(s), v(s)) $. 由前面的结论可知$ (u(s), v(s)) $是非退化的, 因而$ I-F'(u(s), v(s)):\overline{W}_{(u(s), v(s))}\rightarrow \overline{W}_{(u(s), v(s))} $是可逆的. 又因为$ \overline{W}_{u(s), v(s)}=X^2=S_{(u(s), v(s))} $, 因此$ F'(u(s), v(s)) $没有$ \alpha $性质, 再由文献[10]中定理$ 4.9.2 $知: $ {\rm index}_W(F, (u(s), v(s)))=\pm1 $. 注意到$ \lambda_1<a<\widetilde{a}=\lambda_1(\theta_b) $, 利用引理2.2和不动点指数的可加性得

$ \begin{eqnarray*} 1&=&\deg_W(F, D) \\ &=&{\rm index}_W(F, (0, 0))+{\rm index}_W(I-F, (\theta_a, 0))\\ &&+{\rm index}_W(I-F, (0, \theta_b))+{\rm index}_W(I-F, (\hat{u}, \hat{v}))\\ &=&0+0+1\pm1. \end{eqnarray*} $

矛盾, 定理得证.