该文研究了如下问题解的渐近性

(1.1) $ \begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t}= \text{div}\left(\frac{Du}{|Du|}\right)-\lambda (u-f), \quad&\mbox{in}\; Q = (0, +\infty)\times\Omega , \end{eqnarray} $

(1.2) $ \begin{eqnarray} \frac{Du}{|Du|}\cdot \vec{n}=0, \qquad \qquad& \text{on}\; (0, T)\times\partial\Omega, \end{eqnarray} $

(1.3) $ \begin{eqnarray} u(x, 0)=f(x), \qquad\quad&\mbox{in } \; \Omega , \end{eqnarray} $

其中$ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^2 $空间中具有充分光滑边界的有界区域, 向量$ \vec{n} $表示边界$ \partial \Omega $的单位外法向量, 参数$ \lambda\ge 0 $. 问题(1.1)–(1.3)起源于图像去噪的变分模型, 最初由Rudin, Osher和Fatemi^[1]利用欧拉-拉格朗日方程和梯度下降法提出. 形式上, 该问题可以从如下的变分极小化问题给出

(1.4) $ \begin{equation} \min\limits_{u} \left\{\int_\Omega |Du| + \frac{\lambda}{2} \int_\Omega |u-f|^2 {\rm d}x\right\}, \end{equation} $

其中函数$ u $和$ f $分别表示恢复图像和噪声图像. 参数$ \lambda $是正则项$ \int_\Omega |Du| $, 即函数$ u $的全变差, 以及置信项$ \int_\Omega |u-f|^2 {\rm d}x $之间的平衡参数.

对应于参数$ \lambda $的不同取值, 问题(1.1)–(1.3)或泛函(1.4)解的渐近性或最小值点具有不同的形态^[2]. 因此, 参数$ \lambda $的选取对实际应用问题中取得的去噪效果有着决定性影响. 直观来看, 当$ \lambda $充分小时, 恢复出来的图像$ u $具有更好的光滑性, 更接近常数; 当$ \lambda $非常大时，恢复的图像$ u $将包含有关噪声图像$ f $的更多信息. 通过数值实验，许多作者对这些现象进行了广泛地研究, 并讨论了如何恰当调整参数$ \lambda $的问题. 然而, 通过严格的数学定量和定性分析去研究这个问题是不太容易的. 该文试图通过严格的数学分析方法(见下面的定理2.1)来解释问题(1.1)–(1.3)解的渐近性. 最后, 该文也给出了一些解析解的实例来支持该文的主要定理.

对于变分极小问题(1.4), Caselles, Chambolle和Novaga^[3]研究了极小值点$ u $的间断集的性质, 证明了若函数$ f\in BV(\Omega)\cap L^\infty(\Omega) $, 则泛函的极小值点函数$ u $的跳跃间断点集合必定包含在函数$ f $间断点构成的集合内. Almansa等^[4]发现参数$ \lambda $的选取对去噪效果影响很大, 建议采用适定性方法以获得更好的去噪效果. Strong和Chan^[5]研究了变分问题(1.4)中不同$ \lambda $对边界保持和尺度依赖的影响. 他们的结果显示当参数$ \lambda $充分大时, 图像的边界可以被保留下来, 甚至在某些条件下, 边界可以被完全保留下来.

对于问题(1.1)–(1.3), 当$ \lambda = 0 $时Andreu等^[6]研究了若函数$ f\in L^\infty(\Omega) $, 对于Dirichlet边界条件, 问题的解将在有限时间内熄灭; 若函数$ f\in L^2(\Omega) $, 在Neumann边界条件下, 问题的解趋近于稳态, 也即问题的解在有限时间内成为一个恒定的常数. 此结果激发我们去研究当参数$ \lambda $充分小时解的渐近行为. 此外, Andreu等^[7]也研究了非线性边界条件下熵解的渐近行为, 得到了相似的结论. 此外, 据作者所知, 目前也很少人研究在$ \lambda>0 $的情形下问题(1.1)–(1.3)的解析解.

本文安排如下: 在第2节中, 我们首先回顾了一些关于$ BV $空间的数学预备知识, 然后给出了问题的弱解的定义和主要结果; 第3节专门讨论主要结果的证明; 在第4节中, 我们给出了一些显式解来验证我们的主要结果.

首先, 我们来回顾一下关于$ BV $空间, 即有界变差函数空间的部分结果(参见文献[8-9]).

定义2.1  记

$ |Du|(\Omega) = \sup\left\{\int_\Omega u \, {\rm div} \varphi {\rm d}x \, :\, \varphi\in C_0^\infty(\Omega\, ;\, {{\Bbb R}} ^2), |\varphi| \le 1 \right\}. $

我们称函数$ u\in L^1(\Omega) $是$ \Omega $上的有界变差函数, 记为$ u\in BV(\Omega) $, 如果$ |Du|(\Omega)<\infty $.

$ BV(\Omega) $空间是Banach空间, 其范数定义为$ \|u\|_{BV(\Omega)} = \|u\|_{L^1(\Omega)} + |Du|(\Omega). $众所周知, 若函数$ u\in BV(\Omega) $, 则其在分布意义下的广义梯度$ Du $是一个向量符号Radon测度, 并且$ |Du| $是关于测度$ Du $的全变差测度.

接下来, 我们罗列一些后面即将用到的$ BV(\Omega) $空间的一些性质, 例如下半连续性和嵌入定理等^[8].

引理2.1  假设下列假设条件之一成立

(1) $ \{u_k\}_{k\in {\Bbb N}}\subset BV(\Omega) $, 且在$ L^1(\Omega) $空间中$ u_k\to u $;

(2) 令$ p>1 $, 且$ \{u_k\}_{k\in {\Bbb N}}\subset BV(\Omega) $, 且在$ L^p(\Omega) $空间中弱的意义下$ u_k\rightharpoonup u $;

则有

$ |Du|\leq \liminf\limits_{k\to \infty}|Du_k|. $

进一步, 如果$ \liminf\limits_{k\to \infty}|Du_k|<\infty $, 则有$ u\in BV(\Omega) $.

引理2.2  令$ \Omega \subset \mathbb R^N $是一个带有利普希茨边界的有界开集. 则当$ N>1 $时, 对任意的$ 1\leq q\leq \frac{N}{N-1} $, 有

$ BV(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega). $

若$ 1\leq q < \frac{N}{N-1} $, 则是紧嵌入. 当$ N=1 $时, 对任意的$ q\geq 1 $上述嵌入都成立, 对有限的$ q $是紧嵌入.

令

$ X(\Omega) = \{z:\, z\in L^\infty(\Omega; {{\Bbb R}} ^2)\, , {\rm div}(z)\in L^2(\Omega)\}. $

如果$ z\in X(\Omega) $, $ w \in BV(\Omega)\cap L^2(\Omega) $, 则定义泛函$ (z, Dw): C^\infty_0(\Omega) \to {{\Bbb R}} $为如下形式

(2.1) $ \begin{equation} \langle (z, Dw), \varphi\rangle = -\int_\Omega w \varphi {\rm div} (z) {\rm d}x - \int_\Omega wz\cdot\nabla \varphi {\rm d}x, \quad \forall \varphi \in C_0^\infty(\Omega). \end{equation} $

显然$ (z, Dw) $是$ \Omega $上的Radon测度. 我们列出关于这个泛函的几个命题.

命题2.1^[12-13]  令$ x\in X(\Omega) $. 分布$ ({\rm z}, D w) $是带有有限变差的Radon测度. 测度和$ ({\rm z}, D w) $及它的全变差$ |({\rm z}, Dw)| $关于测度$ |D w| $绝对连续, 并且对任意的Borel集合$ B $, 以及每个开集$ U $, 使得$ B \subset U \subset \Omega $, 都有

$ \left|\int_{B}({\bf z}, D w)\right| \leq \int_{B}|({\bf z}, D w)| \leq\|{\bf z}\|_{L^{\infty}(U)} \int_{B}|D w|. $

进一步, 成立下列的广义格林公式

$ \int_{\Omega} w {\rm div}({\bf z}) {\rm d}x+\int_{\Omega}({\bf z}, D w)=\int_{\partial \Omega}[{\bf z}, \vec n] w {\rm d}\mathcal{H}^{N-1}, $

其中$ [{\rm z}, \vec n] $表示边界$ \partial \Omega $上$ z $点外法方向上弱的意义下的迹.

接下来我们定义对于初始值属于$ BV(\Omega) $空间时, 问题(1.1)–(1.3)在弱的意义下解的定义.

定义2.2  令$ f(x)\in BV(\Omega) $. 可测函数$ u: Q_T\to{{\Bbb R}} $被称为问题(1.1)–(1.3)在区域$ Q_T $上的弱解, 如果$ u\in C([0, T]; L^2(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T;L^2(\Omega))\cap L^\infty(0, T; BV(\Omega)) $; 存在$ z\in L^\infty(Q_T) $, $ \|z\|_\infty \le 1 $, 使得在$ \mathcal{D}'(Q_T) $空间中, $ u_t = {\rm div}(z)-\lambda(u-f) $, 且对几乎所有的$ t > 0 $, 在边界$ \partial \Omega $上满足$ [z(t), \vec{n}] = 0 $; 并且对于所有的$ w\in BV(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) $和几乎处处的$ t\in (0, T) $, 有

(2.2) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega (u(t)-w) u_t(t) {\rm d}x = \int_\Omega (z(t), Dw) - |Du(t)|(\Omega) - \lambda\int_\Omega(u(t)-f)(u(t)-w) {\rm d}x. \end{eqnarray} $

问题(1.1)–(1.3)弱解的存在唯一性证明思路, 可以参见文献[9-12]. 为了简化, 该文忽略了详细的证明过程. 值得一提的是, 如参考文献[9], 我们可以证明

(2.3) $ \begin{equation} \int_\Omega (z(t), Du(t)) = |Du(t)|(\Omega)\quad\mbox{ a.e.}\; t\in(0, T) . \end{equation} $

最后, 我们列出本文的主要结果.

定理2.1  假设初值$ f \in BV(\Omega) $在$ \Omega $不恒为常数, 且$ u(t, x) $是问题(1.1)–(1.3)的唯一弱解. 则存在一个仅依赖于$ f $的有限正实数$ \lambda^* $使得当$ \lambda < \lambda^* $时, 弱解$ u(t, x) $在$ L^2 $范数下在有限时间内收敛到初值的平均值, 当$ \lambda > \lambda^* $时, 弱解$ u(t, x) $不能在有限时间内收敛到任意的常数.

定理2.1的证明主要由如下四个引理构成.

引理3.1  如果$ u(t, x) $是问题(1.1)–(1.3)的唯一弱解, 则

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega (u(t)-f) {\rm d}x = 0, \quad \forall t>0. \end{eqnarray*} $

证  在等式(2.2)中令$ w = u(t)-1 $, 得

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega (u(t)-u(t)+1)u_t(t) {\rm d}x& =& \int_\Omega (z(t), D(u)(t)) - |Du(t)|(\Omega)\\ & &- \lambda\int_\Omega(u(t)-f)(u(t)-u(t)+1) {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

再由式(2.3), 得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega (u-f)(t){\rm d}x + \lambda\int_\Omega(u(t)-f) {\rm d}x= 0. $

令$ y(t) = \int_\Omega(u(t)-f){\rm d}x $易知$ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} = - \lambda y $. 最后有$ y(t)\equiv 0 $.

引理3.2  令$ u(t, x) $是问题(1.1)–(1.3)的唯一弱解. 则当$ \lambda $充分小时, 存在有限时间$ T_\lambda>0 $, 使得几乎对所有的$ t\ge T_\lambda $, $ x\in \Omega $, $ u(t, x) = \bar{f} = \frac 1{|\Omega|}\int_\Omega f {\rm d}x. $

证  在式(2.2)中取$ w = \bar f $作为检验函数, 由引理3.1, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial t}(u-\bar f) {\rm d}x + |D(u-\bar f)|(\Omega)\\ &= &-\lambda \int_\Omega(u-f)(u-\bar{f}){\rm d}x\\ &= &-\lambda \int_\Omega(u-\bar f)^2{\rm d}x -\lambda\bar f\int_\Omega(u-\bar f) {\rm d}x+ \lambda \int_\Omega f(u-\bar f) {\rm d}x\\ &\le &- \lambda \int_\Omega(u-\bar f)^2{\rm d}x + \lambda \|f\|_{L^2}\left(\int_\Omega(u-\bar f)^2{\rm d}x\right)^{1/2}. \end{eqnarray*} $

由引理, 存在一个常数$ K $使得

$ \|u-\bar f\|_{L^2(\Omega)} \le K |D(u-\bar f)|(\Omega). $

令$ y(t) = \frac 12 \int_\Omega (u-\bar f)^2 {\rm d}x $, 我们有

$ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} +\bigg (\frac{\sqrt 2}K-\lambda \sqrt 2\|f\|_{L^2}\bigg) y^{1/2} \le 0. $

进而

$ \sqrt{y} \le \sqrt{y(0)} - \frac 12\bigg (\frac{\sqrt 2}K-\lambda \sqrt 2\|f\|_{L^2}\bigg)t. $

因此, 如果$ \lambda< \frac {1}{K\|f\|_{L^2}} $, 即, $ \frac{\sqrt 2}K-\lambda\sqrt 2\|f\|_{L^2} >0 $, 则存在$ T_\lambda>0 $使得对所有的$ t\ge T_\lambda $成立$ y(t) = 0 $.

引理3.3  令$ f \in BV(\Omega) $在$ \Omega $内不恒为常数, $ u(t, x) $是问题(1.1)–(1.3)的唯一弱解. 则当$ \lambda>0 $充分大时, 弱解$ u(t, x) $不能在有限时间内收敛到任意常数.

证  反证法. 反设对某个$ T^*<\infty $, 对任意的$ t>T^* $, $ u(t, x) \equiv C $. 对任意的$ t>T^* $, 在式(2.2)中令$ w=f $, 我们有$ u_t(t, x) = 0 $, 并且$ \lambda \int_\Omega (C-f)^2 {\rm d}x = \int_\Omega(z(t), Df) \le |Df|(\Omega) < \infty. $显然当$ \lambda> \frac{|Df|(\Omega)}{\inf\limits_{C}\int_\Omega (C-f)^2 {\rm d}x} $时, 上式产生矛盾.

最后, 我们证明临界值$ T_\lambda $的存在性.

引理3.4  假设$ \lambda_1 >\lambda_2 $, $ u_1(t, x) $和$ u_2(t, x) $分别是问题(1.1)–(1.3)对应于两个不同的$ \lambda_1 $和$ \lambda_2 $的弱解. 如果存在某个$ T^*<\infty $, 以及任意的$ t>T^* $, $ u_1(t, x) \equiv C $, 则对任意的$ \bar{T}\ge T^* $, 且$ t>\bar{T} $都有$ u_2(t, x)\equiv u_1(t, x) \equiv C $.

证  对任意的$ t>T^* $, 在(2.2)令$ \lambda=\lambda_1 $, 选择$ w=u_2 $作为检验函数. 由于$ u_1(t, x) \equiv C $, 我们有

$ 0 = \int_\Omega (z_1(t), Du_2) - \lambda_1\int_\Omega(u_1 - f)(u_1-u_2) {\rm d}x. $

则得到

(3.1) $ \begin{equation} 0 = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \int_\Omega (z_1(t), D u_2) - \lambda_2\int_\Omega(u_1 - f)(u_1-u_2) {\rm d}x. \end{equation} $

类似于上面的证明过程, 对于$ \lambda=\lambda_2 $, 在式(2.2)中令$ w=T_k(u_1) $. 令$ k\to\infty $, 我们有

(3.2) $ \begin{equation} \int_\Omega (u_2-u_1)u_{2t} {\rm d}x = -|Du_2|(\Omega) - \lambda_2\int_\Omega(u_2 - f)(u_2-u_1) {\rm d}x. \end{equation} $

将式(3.2)与(3.1)相加, 得

$ \begin{eqnarray*} \frac 12 \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_\Omega {(u_1-u_2)^2} {\rm d}x = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \int_\Omega(z_1, Du_2) - |Du_2|(\Omega)- \lambda_2\int_\Omega(u_1-u_2)^2 {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因为$ \int_\Omega(z_1, Du_2) \le |Du_2|(\Omega) $, $ Du_1 = 0 $, 我们有

$ \frac 12 \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_\Omega {(u_1-u_2)^2} {\rm d}x + (1-\frac{\lambda_2}{\lambda_1})|D(u_2-u_1)| \le 0. $

最后, 类似于引理3.2的证明过程, 我们完成了本引理的证明.

本节, 我们给出在一个特殊初值情况下, 问题(1.1)–(1.3)的一个显式解. 这个例子从侧面说明该文的主要结果. 据我们所知, 该文是第一次给出此问题的解析解.

假设$ N\ge 1 $, $ r<R $. 令$ B_R(0)=\{x|\, |x|<R\} $是$ {{\Bbb R}} ^N $空间中的开球, 区域$ B_{R/r}(0) = \{x|\, r<|x|<R\} $是环状区域. 则球$ B_R(0) $的体积为$ |B_R(0)| = \omega_N R^N $, $ B_R(0) $的表面积为$ |\partial B_R(0)| =N \omega_N R^{N-1} $, 其中$ \omega_N $表示单位球的体积. 再令$ \chi_{\Omega}(x) $是区域$ \Omega $的示性函数, 即当$ x\in \Omega $时, $ \chi_{\Omega}(x)=1 $, 否则, $ \chi_{\Omega}(x)=0 $.

问题  假设$ \Omega = B_R(0) $, 问题(1.1)–(1.3)的初值$ f $是区域$ B_r(0) $的示性函数, 即$ f(x) = h\chi_{B_r(0)} $, 其中$ h>0 $是一个正常数.

解析解  设$ T^* = \frac {hr}N \left(1-(\frac rR)^N \right) $. 对于$ t>0 $, 定义$ s(\lambda, T^*) = -\frac{\ln(1-\lambda T^*)}\lambda $, 且$ s(0, T^*) = T^* $. 与文献[7]类似, 我们直接检验下列镜像对称函数$ u(t) = a(t)\chi_{B_r(0)} + b(t)\chi_{B_{R/r}(0)}, $是问题(1.1)–(1.3)的特解. 显然$ u_t(t) = a'(t)\chi_{B_r(0)} + b'(t)\chi_{B_{R/r}(0)} $且

$ |Du|(\Omega) = |a(t)-b(t)||\partial B_r(0)|. $

在式(2.2)中取$ w(x)=0 $, 得

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega u(t)& u_t(t) {\rm d}x = - |Du(t)|(\Omega) - \lambda\int_\Omega(u(t)-f)u(t) {\rm d}x. \end{eqnarray*} $

当$ a(t)\ge b(t) $时, 我们有

$ \begin{eqnarray*} & &a(t)a'(t)|B_r(0)| + b(t)b'(t)|B_{R/r}(0)| \nonumber \\ &= &(b(t)-a(t))|\partial B_r(0)|+\lambda(h a(t)|B_r(0)|-a^2(t)|B_r(0)|-b^2(t)|B_{R/r}(0)|). \end{eqnarray*} $

余下仅需要证明函数$ a(t) $和$ b(t) $满足如下的常微分方程组

(4.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } a'(t) = -\frac{N}{r} + \lambda(h-a(t)), \\ { } b'(t) = \frac{Nr^{N-1}}{R^N-r^N} - \lambda b(t), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ a(0)=h $, $ b(0)=0 $.

当$ \lambda = 0 $时, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} { } a(t) = h - \frac Nr t, \quad b(t) = \frac{Nr^{N-1}}{R^N - r^N}t, \quad&\mbox{当}\; 0\le t< s(0, T^*) , \\ { } a(t) = b(t) = h(\frac rR)^N, &\mbox{当} \; t\ge s(0, T^*) . \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

当$ \lambda>0 $时, 则如果$ \lambda T^* <1 $, 有

(4.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } a(t) = h + \frac N{r\lambda}(e^{-\lambda t}-1), b(t) = \frac{Nr^{N-1}}{\lambda(R^N-r^N)}(1-e^{-\lambda t}), &\mbox{当}\; 0\le t< s(\lambda, T^*) , \\ { } a(t) = b(t) = h(\frac rR)^N, &\mbox{当}\; t\ge s(\lambda, T^*) , \end{array}\right. \end{eqnarray} $

并且, 如果$ \lambda T^* \ge1 $, 则有

$ a(t) = h + \frac N{r\lambda}(e^{-\lambda t}-1), \quad b(t) = \frac{Nr^{N-1}}{\lambda(R^N-r^N)}(1-e^{-\lambda t}). $

接下来, 我们验证向量场$ z(t)\in X $, 且满足$ \|z(t)\|_{L^\infty} \le 1 $, $ u_t = {\rm div} (z(t))-\lambda(u-f) $和式(2.3). 由于$ \lambda=0 $的情况已经在文献[7]中被讨论过了, 我们仅需考虑$ \lambda>0 $的情形.

首先, 由方程组(4.1), 当$ \lambda>0 $, $ \lambda T^* <1 $以及$ 0\le t< s(\lambda, T^*) $时, 显然有$ {\rm div}(z(t, x)) = -N/r $; 当$ \lambda>0 $时, $ \lambda T^* <1 $和$ t\ge s(\lambda, T^*) $, $ {\rm div}(z(t, x)) = r^Nh \lambda [(\frac 1{R^N}-\frac 1{r^N})] $. 因此, 对于$ x\in B_r(0) $, 我们有

$ z(t, x) = \left\{\begin{array}{ll} { } - \frac xr , \quad&\mbox{当}\; 0\le t<s(\lambda, T^*) , \\ { } r^Nh \frac \lambda N [(\frac 1{R^N}-\frac 1{r^N})]x, & \mbox{当}\; t\ge s(\lambda, T^*) . \end{array}\right. $

其次, 我们构造函数$ z(t, x) $在区域$ B_{R/r}(0) $上的值. 依据文献[7]的想法, 我们假设$ z(t, x) = \rho(t, |x|) \frac{x}{|x|} $. 因此, 当$ \lambda>0 $, $ \lambda T^* <1 $和$ 0\le t< s(\lambda, T^*) $, 函数$ \rho(t, |x|) $是如下方程的解

(4.3) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial \rho(t, s)}{\partial s} + \frac{(N-1)\rho(t, s)}{s} = -\frac{Nr^{N-1}}{R^N-r^N}, \\ \rho(t, R) = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

当$ \lambda>0 $, $ \lambda T^* <1 $和$ t\ge s(\lambda, T^*) $时, 函数$ \rho(t, |x|) $是如下方程的解

(4.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial \rho(t, s)}{\partial s} + \frac{(N-1)\rho(t, s)}{s} = \lambda h (\frac rR)^N, \\ \rho(t, R) = 0. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

对于$ \lambda T^* \le 1 $的情形, 从方程(4.3)和(4.4), 我们得到

$ \begin{eqnarray*} z = \left\{\begin{array}{ll} { } - \frac xr\chi_{B_r(0)} - \left(1-\frac{R^N}{|x|^N}\right)\frac{r^{N-1}}{R^N-r^N}x \chi_{B_{R/r}(0)}, \quad&\mbox{当 }\;0\le t<s(\lambda, T^*) , \\ { } r^Nh \frac \lambda N [(\frac 1{R^N}-\frac 1{r^N})\chi_{B_r(0)} + (\frac 1{R^N}-\frac 1{|x|^N})\chi_{B_{R/r}(0)}]x, & \mbox{当}\; t\ge s(\lambda, T^*) . \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

类似地, 在$ \lambda T^* > 1 $的情形, 我们有

$ z(t, x) = - \frac xr\chi_{B_r(0)} + \left(1-\frac{R^N}{|x|^N}\right)\frac{r^{N-1}}{R^N-r^N}x \chi_{B_{R/r}(0)}. $

容易验证: 此时对任意的$ (t, x)\in {{\Bbb R}} ^+\times \Omega $, 都有$ z(t, x)\cdot \frac xR=0 $, $ \|z(t)\|_{L^\infty(\Omega)}\le 1 $和$ {\rm div}(z) = u_t + \lambda(u-f) $.

为了验证等式(2.3), 我们仅需考虑如下情形: $ \lambda T^* <1 $和$ 0\le t< s(\lambda, T^*) $. 而其他情形也都是类似的. 利用式(4.1), 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega (z(t), Du) &= &- \int_\Omega u(t) {\rm div}(z(t)){\rm d}x \\ &=& -\int_{B_r(0)} a(t)[a'(t)+\lambda(a(t)-h)] {\rm d}x - \int_{B_{R/r}(0)} b(t)[b'(t)+\lambda b(t)]{\rm d}x\\ &= &- a(t)[a'(t)+\lambda(a(t)-h)] |B_r(0)| - b(t)[b'(t)+\lambda b(t)] |B_{R/r}(0)| \\ &= &a(t) \frac Nr r^N \omega_N -b(t)\frac{Nr^{N-1}}{R^N-r^N}(R^N-r^N) \omega_N \\ &= &(a(t)-b(t)) N r^{N-1}\omega_N\\ &= &|Du|(\Omega). \end{eqnarray*} $

我们得到了关于特殊初值的显式解. 最后我们对解的形态做一个总结.

$ \bullet $当$ \lambda T^* < 1 $时, 若$ t > -\frac{\ln(1-\lambda T^*)}\lambda $, 则$ a(t)=b(t) = h(\frac rR)^N $. 此时解在有限时间内成为常数.

$ \bullet $当$ \lambda T^* = 1 $时, 对任意的$ t>0 $, $ a(t)>b(t) $, 且

$ \begin{eqnarray*} a(+\infty) = \lim\limits_{t\to\infty}a(t) = b(+\infty) = \lim\limits_{t\to\infty} b(t) = h(\frac rR)^N. \end{eqnarray*} $

方程的解当$ t\to\infty $时收敛到常数.

$ \bullet $当$ \lambda T^* > 1 $时, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &a(+\infty) = \lim\limits_{t\to\infty}a(t) > h(\frac rR)^N > b(+\infty) = \lim\limits_{t\to\infty} b(t). \end{eqnarray*} $

方程的解当$ t\to\infty $时不能收敛到常数.

从上述特殊解的形式来看, 方程的显式解验证了本文的主要结果.