源于Nash^[1]的博士论文中关于平衡提出的"群体行动(Mass-action)"解释, 博弈论学者建立了群体博弈. 2011年, Sandholm^[2]在其专著中系统地阐述了群体博弈模型及其演化动力学理论. 具体地, 群体博弈模型满足以下假定

(1) 博弈中具有有限个群体;

(2) 每一群体中拥有数量充分大而有限的匿名参与人, 所有博弈参与人都具有相同的有限个纯策略可供选择, 所有群体的纯策略分布进而形成一个社会状态;

(3) 每一博弈参与人的收益函数同时依赖于自己所选策略和社会状态.

群体博弈的Nash均衡状态描述了每一群体中没有一个博弈参与人愿意单方面改变其自身所选的最优策略的一种社会状态. 可见, 群体博弈为研究大量匿名代理人的策略相互制约的一般博弈模型, 因此在具有大量匿名参与人的交通、网络、公共物品分配等博弈中具有广泛应用.

Nash均衡的存在性和稳定性是群体博弈理论的研究焦点. Lahkar等^{[3, 4]}分别在有限个和无限个纯策略情形下研究了群体势博弈及其Nash均衡的演化稳定性. Chow^[5]则在有限个纯策略情形下讨论了群体博弈的Logit动力学及其演化稳定性. 本文合作者在有限理性下获得了群体博弈Nash均衡的稳定性^[6]. 基于多目标博弈的实际应用需要, 本文合作者进一步将群体博弈模型的收益函数从单目标推广到多目标(向量值)情形并分别研究了加权Nash均衡^[7]和(弱)Pareto-Nash均衡^[8]的存在性和本质稳定性. 而基于群体间的合作, 杨哲及张海群研究了群体博弈合作均衡的本质稳定性^[9]及具有无限多纯策略的群体博弈的NTU核、TU核和强均衡的存在性^[10]. 贾文生及陈华鑫^[11]研究了群体博弈的逼近定理及通有收敛性.

我们注意到关于群体博弈的以上研究成果均在确定性环境下取得, 但是在实际博弈问题中, 由于信息的不完全、博弈参与人的非完全理性或博弈环境的不确定性等, Zhukovskii^[12]对非合作博弈引入不确定参数, 在已知不确定参数变化范围的情形下, 结合Nash平衡及Pareto有效解的思想, 提出了不确定非合作博弈的Nash-Slater均衡(简称NS均衡)并证明了其存在性. 基于此, Larbani^[13]等定义了不确定非合作博弈的ZS均衡并运用不动点定理证明了其存在性. 在国内, 张会娟等^{[14, 15]}研究了不确定性下非合作博弈强Nash均衡和简单Berge均衡的存在性. 高静等^[16]证明了不确定条件下非合作博弈均衡点集的通有稳定性, 关于不确定非合作博弈的相关研究参见文献[17–19]. 而杨哲等^[20]研究了不确定性下多目标博弈弱Pareto-NS均衡的存在性. 对群体博弈, 赵薇及杨辉等2020年引入不确定参数, 研究了在不确定参数下群体博弈NS平衡的稳定性^[21]和结构稳定性^[22].

经典群体博弈的Nash均衡基于群体中博弈代理人的完全理性, 但由于群体博弈模型的假定, 在实际应用中, 其博弈代理人仅仅是有限理性的. 因此, 基于有限理性下的群体博弈研究具有重要的现实意义. 对于有限理性的相关研究, Anderlini和Canning^[23]在2001年建立了带抽象理性函数的有限理性模型并证明了其结构稳定性和鲁棒性; 但由于其中条件太强, 2006年我国学者俞建教授^{[24, 25]}改进了该模型并将其应用到多目标博弈、最优化和变分不等式等问题中, 见文献[26–32]. 在有限理性下群体博弈Nash均衡的稳定性, 本文合作者^[6]已有初步成果. 不过, 以上有关有限理性的研究均在确定环境下获得, 而在不确定性下, 王能发^[33]研究了有限理性下不确定性博弈均衡的稳定性. 对于带不确定参数的群体博弈, 赵薇及杨辉^[22]则研究了有限理性下其NS均衡的稳定性.

总的来说, 不确定参数下, 上述博弈的NS平衡思想即: 当不确定参数给定时, 博弈局势达到经典的Nash均衡状态; 同时当博弈局势状态给定Nash均衡时, 在不确定参数的作用下, 其中每一参与人的收益都不是严格差的, 因而其中博弈参与人没有单方面改变策略的动机进而达到NS平衡. 特别注意的是, 面对经济管理等实际博弈问题, 其博弈参与人在改变策略的过程中, 通常都会伴随着成本的产生, 但上述所有文献均未考虑这一事实. 基于此, 文献[34]对$ n $人非合作博弈研究了策略转变产生成本时的弱Nash平衡的存在性问题, 即当局中人改变策略所获得的额外收益小于或等于其所付出的成本时, 局中人没有动力改变当前策略从而达到弱Nash平衡. 受文献[21, 22, 34]的启发, 本文将策略调整产生成本这一情形引入到不确定性群体博弈中, 构建了新的不确定性群体博弈模型, 并定义一个新的NS平衡—弱NS平衡, 并进一步证明了其存在性和在有限理性下的通有稳定性.

本文共5部分: 第2部分介绍预备知识; 第$ 3 \mbox{、} $4部分是全文的主要成果, 第3部分建立引入成本后的不确定性群体博弈及其弱NS平衡概念, 并证明弱NS平衡的存在性; 第4部分研究了在有限理性下不确定性群体博弈弱NS平衡的通有稳定性; 第5部分对本文主要研究作简要总结.

首先介绍带抽象理性函数的有限理性模型^[31], 即模型$ M=(\Lambda, X, T, \varphi) $, 其中$ \Lambda $为问题空间, $ X $为行为空间, 可行集值映射$ T:\Lambda\times X\rightarrow 2^X $诱导出集值映射$ f:\Lambda\rightarrow 2^X $, 且$ \forall \lambda\in\Lambda, $$ f(\lambda)=\{x\in X: x\in T(\lambda, x)\} $, 理性函数$ \varphi: $ Graph$ (f)=\{(\lambda, x)\in \Lambda\times X:x\in f(\lambda)\}\rightarrow R_+ $, 其描述问题$ \lambda\in \Lambda $中的有限理性. 特别地, $ \forall\lambda\in\Lambda, \forall\epsilon\geqslant 0, E(\lambda, \epsilon)=\{x\in X, \varphi(\lambda, x)\leqslant \epsilon\} $定义为问题$ \lambda $的$ \epsilon $-平衡集, 而$ E(\lambda)=E(\lambda, 0)=\{x\in X:\varphi(\lambda, x)\leqslant 0\} $为问题$ \lambda $的平衡集或最优解集, 这对应于问题$ \lambda\in \Lambda $中的完全理性. 对有限理性模型改进如下.

如果$ \forall \delta> 0, \exists\bar{\epsilon}>0 $, 当$ \epsilon<\bar{\epsilon} $和$ \rho (\lambda', \lambda)<\bar{\epsilon} $时, 有$ h(E(\lambda', \bar{\epsilon}), E(\lambda'))<\delta $, 则称有限理性模型$ M $在$ \lambda\in \Lambda $对$ \epsilon $-平衡是鲁棒的, 其中$ h $为Hausdorff距离.

如果平衡映射$ E:\Lambda\rightarrow2^X $在$ \lambda\in \Lambda $连续, 称有限理性模型$ M $在$ \lambda\in \Lambda $是结构稳定的.

关于有限理性模型$ M $的主要结果见下面引理$ 2.1 $.

引理2.1^[24]   设$ \Lambda $为完备度量空间, $ X $为紧度量空间, $ f:\Lambda\rightarrow 2^X $为上半连续映射, 而且$ \varphi: $ Graph$ (f)\rightarrow R_+ $下半连续, 则

(1) 平衡映射$ E:\Lambda\rightarrow 2^X $上半连续且紧值.

(2) 存在稠密剩余集$ Q\subset\Lambda $, 使有限理性模型$ M $在每一$ \lambda\in Q $是结构稳定的.

(3) 有限理性模型$ M $在$ \lambda\in\Lambda $是结构稳定的, 从而对任意$ \lambda\in Q, M $在$ \lambda $对$ \epsilon $-平衡是鲁棒的.

(4) $ \forall \lambda\in Q, \forall \lambda_m\rightarrow \lambda, \epsilon_m\rightarrow 0 $$ (m\rightarrow +\infty) $, 有$ h(E(\lambda_m, \epsilon_m), E(\lambda))\rightarrow 0 $.

(5) 如果$ \lambda \in \Lambda, E(\lambda) $是单点集, 则模型$ M $在$ \lambda $处是结构稳定的, 从而对$ \epsilon $-平衡是鲁棒的.

引理2.2^[31] (Kakutani不动点定理)   设$ X $是$ R^n $中的非空凸紧集, 若$ B: X\rightarrow 2^X $在$ X $上上半连续, 且$ \forall x\in X, B(x) $是$ X $中的非空凸紧集, 则存在$ \bar{x}\in X $, 使得$ \bar{x}\in B(\bar{x}) $.

引理2.3^[26]   设$ X $和$ Y $是两个度量空间, $ \{A_m\}_{m=1}^{+\infty} $是一紧集序列, $ \{y_m\}_{m=1}^{+\infty} $是$ Y $中一序列, $ \{\varphi_m(x, y)\}_{m=1}^{+\infty} $是$ X\times Y $上一连续函数列, 如果$ A_m\rightarrow A $且$ A $紧, $ y_m\rightarrow y\in Y $及$ \sup\limits_ {(x, y)\in (X, Y)}|\varphi_m(x, y)-\varphi(x, y)|\rightarrow 0 $, 这里$ \varphi(x, y) $是$ X\times Y $上连续函数, 则

$ \max\limits_{x\in A_m}\varphi_m(x, y_m)\rightarrow \max\limits_{x\in A}\varphi(x, y). $

引理2.4^[26]   设$ X $, $ Y $和$ Z $是三个度量空间, 其中$ Z $是紧的, $ \{A_m\} $为$ X $中的一列非空紧集, $ h(A_m, A) \rightarrow 0 $, 其中$ h $是$ X $中的Hausdorff距离, $ A $是$ X $中的一个非空紧集, $ \forall m=1, 2, 3, \cdots, \varphi_m:X\times Y\times Z\rightarrow R $连续, $ \sup\limits_{(x, y, z)\in X\times Y\times Z}\mid \varphi_m(x, y, z)-\varphi(x, y, z)\mid\rightarrow 0 $, 其中$ \varphi $是$ X\times Y\times Z $上的一个连续函数, $ \{y_m\} $是$ Y $中的一个序列, $ y_m\rightarrow y $, 则

$ \max\limits_{w\in A_m}\min\limits_{z\in Z}\varphi_m(w, y_m, z)\rightarrow \max\limits_{w\in A}\min\limits_{z\in Z}\varphi(w, y, z). $

引理2.5^[35]   设$ X $和$ Y $是两个Hausdorff拓扑空间, 若$ B:X\rightarrow 2^Y $是闭的, 并且$ Y $是紧的, 则$ B $在$ X $上上半连续.

引入成本后建立如下不确定性群体博弈模型

$ (1) $用有限集合$ \Gamma=\{1, 2, \cdots, P\} $表示$ P $个代理人群体组成的一个社会.

$ (2) $$ \forall p\in \Gamma, $群体$ p $的博弈代理人总量为1.

$ (3) $$ \forall p\in \Gamma $, 用非空集合$ S^p=\{1, 2, \cdots, n^p\} $表示群体$ p $的纯策略集, $ \Gamma\ $中所有群体的纯策略总数为$ n=\sum\limits_{p\in \Gamma} n^p $.

$ (4) $$ \forall p\in \Gamma $, $ x_i^p $表示群体$ p $中选用$ i $的代理人的份额.

$ (5) $$ x^p=(x_1^p, x_2^p, \cdots, x_{n^p}^p)\in R_{+}^{n^p} $表示群体$ p $的纯策略分布状态, 称为群体状态. 则群体状态集为: $ X^p=\{x^p=(x_1^p, x_2^p, \cdots, x_{n^p}^p)\in R_{+}^{n^p}:\sum\limits_{i\in S^p} x_i^p=1 \} $.

$ (6) $$ X\times Y $表示$ \Gamma $的社会状态集, 其中$ X=\prod\limits_{p\in \Gamma} X^p=\{x=(x^1;x^2;\cdots;x^p)\in R^n: x^p\in X^p, p\in \Gamma\} $, $ Y\subset R^l $表示不确定参数集, 其中$ l\geqslant 1 $.

$ (7) $$ \forall p, F_i^p:X \times Y\rightarrow R $表示在状态$ x\in X $和不确定参数$ y\in Y $下, 群体$ p $中代理人选择策略$ i\in S^p $的支付函数, 记为$ F_i^p(x, y) $, 则整个群体$ p $的支付函数表示为

$ F^p=(F_1^p, F_2^p, \cdots, F_{n^p}^p):X\times Y\rightarrow R^{n^p}. $

$ (8) $整个社会$ \Gamma $的支付函数为: $ F=(F^1;F^2;\cdots;F^P):X\times Y\rightarrow R^n $.

$ (9) $$ \forall p, V_i^p:X \times Y\rightarrow R $表示在状态$ x\in X $和不确定参数$ y\in Y $下, 群体$ p $中代理人选择策略$ i\in S^p $的成本函数, 记为$ V_i^p(x, y) $, 则整个群体$ p $的成本函数表示为：

$ V^p=(V_1^p, V_2^p, \cdots, V_{n^p}^p):X\times Y\rightarrow R^{n^p}. $

$ (10) $整个社会$ \Gamma $的成本函数为：$ V=(V^1;V^2;\cdots;V^P):X\times Y\rightarrow R^n $.

上述博弈记为$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $, 而没有考虑成本的不确定性群体博弈则记为$ \{\Gamma, X, Y, F\} $.

定义3.1   对于带成本的不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $, 若社会状态$ (\bar{x}, \bar{y})\in X\times Y $满足

(1) $ \bar{x}_i^p>0 \Rightarrow V_j^p(\bar{x}, \bar{y})-V_i^p(\bar{x}, \bar{y})\geqslant F_j^p(\bar{x}, \bar{y})- F_i^p(\bar{x}, \bar{y}), \; \; \forall p\in \Gamma, \; \; \forall i, j\in S^p $.

(2) $ F^p(\bar{x}, \bar{y})-F^p(\bar{x}, y)+V^p(\bar{x}, y)-V^p(\bar{x}, \bar{y}) \notin {\rm int} R_+^{n^p}, \; \; \forall p\in \Gamma, \; \; \forall y\in Y. $

则称$ (\bar{x}, \bar{y})\in X\times Y $为不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $的弱$ \mathrm{NS} $平衡.

注3.1   (ⅰ) 弱$ \mathrm{NS} $平衡的思想: 当给定不确定参数, 博弈代理人因转变策略而所新增的收益小于或等于所增加成本; 同时在不确定参数的作用下, 每一群体都不会获得严格差的纯收益时, 每一群体中代理人没有改变策略的动机从而达到弱$ \mathrm{NS} $平衡.

(ⅱ) 上述博弈$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $可记为$ \{\Gamma, X, Y, H\} $, 其中$ H=F-V $即群体博弈的纯收益函数, 而所有弱$ \mathrm{NS} $平衡构成的集合记为$ NS(H) $, 从而定义$ 3.1 $中条件$ (1) $的等价形式为

$ \begin{eqnarray*} \bar{x}_i^p > 0 &\Rightarrow & F_i^p(\bar{x}, \bar{y})-V_i^p(\bar{x}, \bar{y})= \max\limits_{j\in S^p} ( F_j^p(\bar{x}, \bar{y})-V_j^p(\bar{x}, \bar{y})), \; \; \forall i, j\in S^p, \; \; \forall p\in \Gamma, \nonumber\\ &\Rightarrow & H_i^p(\bar{x}, \bar{y})= \max\limits_{j\in S^p} H_j^p(\bar{x}, \bar{y}), \; \; \forall i, j\in S^p, \; \; \forall p\in \Gamma. \end{eqnarray*} $

这说明在给定参数$ \bar{y} $的环境下, $ \bar{x} $是群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $的弱$ \mathrm{Nash} $平衡状态.

(ⅲ) 定义$ 3.1 $中的条件$ (2) $的等价形式为

$ H^p(\bar{x}, \bar{y})-H^p(\bar{x}, y)\notin{\rm int}R_+^{n^p}, \;\;{ } \forall p\in \Gamma, \;\;{ } \forall y\in Y. $

给定$ \bar{x} $时, $ \bar{y} $是多目标极小化问题$ \min\limits_{y\in Y}H^p(\bar{x}, y)=\min\limits_{y\in Y}[F^p(\bar{x}, y)-V^p(\bar{x}, y)] $的弱Pareto有效解, 这表明所有群体的个体对不确定参数均持有悲观和保守主义的态度.

(ⅳ) 对群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $, 当成本函数$ V(x, y)=0, \forall (x, y)\in X\times Y $时, 弱$ \mathrm{NS} $平衡退化为文献[21, 22]中$ \{\Gamma, X, Y, F\} $的$ \mathrm{NS} $平衡.

定理3.1   以下$ (1) $和$ (2) $等价.

(1) $ \bar{x}_i^p > 0 \Rightarrow H_i^p(\bar{x}, \bar{y})\geqslant H_j^p(\bar{x}, \bar{y}), \; \; \forall i, j\in S^p, \; \; \forall p\in \Gamma. $

(2) $ \left<u-\bar{x}, H(\bar{x}, \bar{y})\right>\leqslant0, \; \; \forall u\in X. $

引入策略成本后对不确定群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F\} $NS平衡的影响可见下例.

例3.1   考虑不确定单群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F\} $, 其中$ \Gamma $只含一个群体, 其有策略集$ S=\{1, 2\} $, 相应的状态集$ X=\{x=(x_1, x_2)\in R_{+}^{2}: x_1+x_2=1 \} $, $ Y=[0, 1] $为不确定参数空间, $ \forall x=(x_1, x_2)\in X, \forall y\in Y $, 若策略1和策略2的收益函数分别为

$ F_{1}(x, y)=4x_{1}+3x_{2}-2y, \; F_{2}(x, y)=2x_{1}+5x_{2}-2y. $

下面讨论其$ \mathrm{NS} $平衡

$ (1) $当社会状态$ (\bar{x}, \bar{y})=(1, 0, \bar{y}) $时, $ F_1( \bar{x}, \bar{y})=4-2\bar{y}, \; F_2( \bar{x}, \bar{y})=2-2\bar{y} $, 如果$ (1, 0, \bar{y}) $是$ \mathrm{NS} $平衡, 则$ 4-2\bar{y}>2-2\bar{y} $成立. 又由文献[21, 定义2.1的条件(2)]可知

$ \begin{eqnarray*} F( \bar{x}, \bar{y})-F( \bar{x}, y) &=&[F_1( \bar{x}, \bar{y}), F_2( \bar{x}, \bar{y})]-[F_1( \bar{x}, y)-F_2( \bar{x}, y)] \nonumber\\ &=&[F_1( \bar{x}, \bar{y})-F_1( \bar{x}, y), F_2( \bar{x}, \bar{y})-F_2( \bar{x}, y)]{\nonumber}\\ &=&[4-2\bar{y}-(4-2y), 2-2\bar{y}-(2-2y)]{\nonumber}\\ &=&2[y-\bar{y}, y-\bar{y}]\notin {\rm int} R_{+}^2, \;\;{ } \forall y\in [0, 1]. \end{eqnarray*} $

从而状态$ (\bar{x}, \bar{y})=(1, 0, 1) $是$ \{\Gamma, X, Y, F\} $的$ \mathrm{NS} $平衡.

$ (2) $当社会状态$ (\tilde{x}, \tilde{y})=(0, 1, \tilde{y}) $时, $ F_1( \tilde{x}, \tilde{y})=3-2\tilde{y}, F_2(\tilde{x}, \tilde{y})=5-2\tilde{y} $, 如果$ (0, 1, \tilde{y}) $是$ \mathrm{NS} $平衡, 则$ 3-2\tilde{y}<5-2\tilde{y} $成立.又由文献[21, 定义2.1的条件(2)], 同理可得状态$ (\tilde{x}, \tilde{y})=(0, 1, 1) $也是$ \{\Gamma, X, Y, F\} $的$ \mathrm{NS} $平衡.

$ (3) $当社会状态$ (\hat{x}, \hat{y})=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \hat{y}) $时, $ F_1(\hat{x}, \hat{y})=\frac{7}{2}-2\hat{y}, F_2(\hat{x}, \hat{y})=\frac{7}{2}-2\hat{y} $, 如果$ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \hat{y}) $是$ \mathrm{NS} $平衡, 则$ \frac{7}{2}-2\hat{y}=\frac{7}{2}-2\hat{y} $成立. 又由文献[21, 定义$ 2.1 $的条件$ (2) $], 同理可得状态$ (\hat{x}, \hat{y})=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1) $也是$ \{\Gamma, X, Y, F\} $的$ \mathrm{NS} $平衡.

由于策略调整会产生相应成本, 从而对$ \{\Gamma, X, Y, F\} $引入成本函数$ V:X\times Y\rightarrow R^n $, 其中策略$ 1 $和策略$ 2 $的成本分别为: $ V_1(x, y)=3x_1+x_2-y, V_2(x, y)=4x_2-y $, 从而纯收益函数$ H(x, y)=F(x, y)-V(x, y), \; \forall x\in X, y\in Y $.

$ (1) $当社会状态$ (\bar{x}, \bar{y})=(1, 0, \bar{y}) $时, $ H_1( \bar{x}, \bar{y})=1-\bar{y}, H_2( \bar{x}, \bar{y})=2-\bar{y} $, 如果$ (1, 0, \bar{y}) $是弱$ \mathrm{NS} $平衡, 则$ 1-\bar{y}>2-\bar{y} $, 这显然不成立.

$ (2) $当社会状态$ (\tilde{x}, \tilde{y})=(0, 1, \tilde{y}) $时, $ H_1( \tilde{x}, \tilde{y})=2-\tilde{y}, H_2(\tilde{x}, \tilde{y})=1-\tilde{y} $, 如果$ (0, 1, \tilde{y}) $是弱$ \mathrm{NS} $平衡, 则$ 2-\tilde{y}<1-\tilde{y} $, 这显然不成立.

$ (3) $当社会状态$ (\hat{x}, \hat{y})=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \hat{y}) $时, $ H_1(\hat{x}, \hat{y})=\frac{3}{2}-\hat{y}, H_2(\hat{x}, \hat{y})=\frac{3}{2}-\hat{y} $, 如果$ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \hat{y}) $是弱$ \mathrm{NS} $平衡, 则$ \frac{3}{2}-\hat{y}=\frac{3}{2}-\hat{y} $成立.

且由定义$ 3.1 $中的条件$ (2) $知

$ \begin{eqnarray*} H(\hat{x}, \hat{y})-H(\hat{x}, y) &=&[H_1(\hat{x}, \hat{y}), H_2(\hat{x}, \hat{y})]-[H_1( \hat{x}, y)-H_2( \hat{x}, y)] \nonumber\\ &=&[H_1(\hat{x}, \hat{y})-H_1( \hat{x}, y), H_2(\hat{x}, \hat{y})-H_2( \hat{x}, y)]\\ &=&[\frac{3}{2}-\hat{y}-(\frac{3}{2}-y), \frac{3}{2}-\hat{y}-(\frac{3}{2}-y)]\\ &=&[y-\hat{y}, y-\hat{y}]\notin {\rm int} R_{+}^2, { }\;\; \forall y\in [0, 1]. \end{eqnarray*} $

从而状态$ (\hat{x}, \hat{y})=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1) $是$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的弱$ \mathrm{NS} $平衡.

此例表明, 引入策略成本对不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F\} $的$ \mathrm{NS} $平衡状态确实产生了一定的影响.

定理3.2   在带成本的不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $中, 若$ Y $是$ R^l $中的非空紧凸集, 且$ F, V $满足以下两个条件

(1) 对每一$ p\in \Gamma $及每一$ i\in S^p $, $ F_i^p $及$ V_i^p:X \times Y\rightarrow R $连续.

(2) $ \forall x\in X, y\mapsto F_i^p(x, y) $是凸的, $ y\mapsto V_i^p(x, y) $是凹的.

则不确定参数下群体博弈弱$ \mathrm{NS} $平衡必存在.

证   对每一$ p\in \Gamma $, 记$ H^p(x, y)=F^p(x, y)-V^p(x, y), \; \forall (x, y)\in X\times Y $,

由(2)可得$ H_i^p(x, y) $关于$ y $是凸的.

构造集值映射$ G^p: X\times Y\rightarrow 2^{X^p} $为

$ G^p(x, y)=\bigg\{z^p\in X^p\Big| \sum\limits_{i\in S^p}z_i^pH_i^p(x, y)=\max\limits_{u^p\in X^p}\sum\limits_{i\in S^p}u_i^pH_i^p(x, y)\bigg\}, $

由$ G(x, y)=\prod\limits_{p\in \Gamma}G^p(x, y) $, 可得$ G:X\times Y\rightarrow 2^X $.

同时, 构造另一集值映射$ Q^p: X\rightarrow 2^Y $为

$ Q^p(x)=\{y\in Y|H^p(x, y)-H^p(x, w)\notin {\rm int} R_+^{n^p}, \; \forall w\in Y\}, $

由$ Q(x)=\prod\limits_{p\in \Gamma}Q^p(x) $, 可得$ Q:X\rightarrow 2^Y. $

(ⅰ) $ \forall (x, y)\in X\times Y, \forall p\in \Gamma $, 因为$ X^p $和$ Y $是非空紧的, 且$ \forall {u^p\in X^p}, \sum\limits_{i\in S^p}u_i^pH_i^p(x, y) $是连续的, 所以$ G^p(x, y)\neq \emptyset; $又$ H_i^p $是连续的且$ Y $是紧的, 那么$ Q^p(x)\neq \emptyset $.

(ⅱ) $ \forall (x, y)\in X\times Y, \forall p\in \Gamma, G^p(x, y) $和$ Q^p(x) $是凸的.

下证$ \forall p\in \Gamma, G^p(x, y) $是凸的: $ \forall z_1^p, z_2^p \in G^p(x, y), \lambda\in (0, 1) $, 有

$ \sum\limits_{i\in S^p}(z_{1i}^p-u_i^p)H_i^p(x, y)\geqslant 0, \; \; \sum\limits_{i\in S^p}(z_{2i}^p-u_i^p)H_i^p(x, y)\geqslant 0, $

则

$ \begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{i\in S^p}(\lambda z_{1i}^p+(1-\lambda)z_{2i}^p-u_i^p)H_i^p(x, y)\nonumber\\ &=&\sum\limits_{i\in S^p}(\lambda z_{1i}^p+(1-\lambda)z_{2i}^p-\lambda u_i^p-(1-\lambda) u_i^p)H_i^p(x, y) \nonumber\\ &=&\sum\limits_{i\in S^p}(\lambda (z_{1i}^p-u_i^p)+(1-\lambda)(z_{2i}^p- u_i^p))H_i^p(x, y)\nonumber\\ &=&\lambda\sum\limits_{i\in S^p}( z_{1i}^p-u_i^p)H_i^p(x, y)+(1-\lambda)\sum\limits_{i\in S^p}(z_{2i}^p- u_i^p)H_i^p(x, y)\nonumber\\ &\geqslant& 0.\nonumber\ \end{eqnarray*} $

因此$ \lambda z_1^p+(1-\lambda)z_2^p\in G^p(x, y) $, 从而$ \forall (x, y)\in X\times Y, G^p(x, y) $是凸集.

下证$ Q^p(x) $是凸的. $ \forall y_1, y_2\in Q^p(x), \lambda\in (0, 1) $, 有

$ H^p(x, y_1)-H^p(x, w)\notin {\rm int}R_+^{n^p}, \; \; H^p(x, y_2)-H^p(x, w)\notin {\rm int}R_+^{n^p}, \; \; \forall w\in Y. $

由条件(2), 可得

$ \begin{eqnarray*} H^p(x, \lambda y_1+(1-\lambda ) y_2) &\leqslant& \lambda H^p(x, y_1)+(1-\lambda)H^p(x, y_2) \nonumber\\ & \notin &\lambda [H^p(x, w)+{\rm int}R_+^{n^p}]+(1-\lambda)[H^p(x, w)+{\rm int}R_+^{n^p}], \; \; \forall w\in Y\nonumber\\ & \notin &H^p(x, w)+{\rm int}R_+^{n^p}, \; \; \forall w\in Y.\nonumber \end{eqnarray*} $

即$ H^p(x, \lambda y_1+(1-\lambda ) y_2)-H^p(x, w)\notin {\rm int}R_+^{n^p}, \; \forall w\in Y $, 因此$ \forall x\in X, Q^p(x) $是凸集.

(ⅲ) 映射$ G^p $和$ Q^p $是上半连续且紧值的.

下证$ G^p $是上半连续的. 由引理2.5, 只需证$ G^p $的图是闭的. 设$ \{(x^m, y^m)\}_{m=1}^\infty\subset X\times Y $是任意序列, 并且$ (x^m, y^m)\rightarrow (x, y), \forall (z^p)^m\in G^p(x^m, y^m) $, 并且$ (z^p)^m\rightarrow z^p $, 需证$ z^p\in G^p(x, y) $.

因为$ (z^p)^m\in G^p(x^m, y^m) $, 则

$ \sum\limits_{i\in S^p}(z_i^p)^mH_i^p(x^m, y^m)=\max\limits_{u^p\in X^p}\sum\limits_{i\in S^p}u_i^pH_i^p(x^m, y^m). $

此外, 因为$ H_i^p $是连续的, 则

$ \sum\limits_{i\in S^p}(z_i^p)^mH_i^p(x^m, y^m)\rightarrow \sum\limits_{i\in S^p}z_i^{p}H_i^p(x, y). $

并且由引理2.3, 有

$ \max\limits_{u^p\in X^p}\sum\limits_{i\in S^p}u_i^pH_i^p(x^m, y^m)\rightarrow \max\limits_{u^p\in X^p}\sum\limits_{i\in S^p}u_i^pH_i^p(x, y). $

因而

$ \sum\limits_{i\in S^p}z_i^{p}H_i^p(x, y)=\max\limits_{u^p\in X^p}\sum\limits_{i\in S^p}u_i^{p}H_i^p(x, y), $

则$ z^p\in G^p(x, y) $.

所以$ G^p(x, y) $的图是闭的, 因此映射$ G^p $是上半连续且紧值的.

下证$ Q^p $是上半连续的. 由引理2.5, 只需证$ Q^p $的图是闭的: $ \forall \{x^m\}\subset X $且$ x^m\rightarrow \tilde{x} $, $ \forall \{y^m\} \subset Q^p(x^m) $且$ y^m\rightarrow \tilde{y} $, 需证$ \tilde{y}\in Q^p(\tilde{x}) $.

假设$ \tilde{y}\notin Q^p(\tilde{x}) $, 则$ \exists w^*\in Y $, 使得

$ H^p(\tilde{x}, \tilde{y})-H^p(\tilde{x}, w^*)\in {\rm int} R_+^{n^p}. $

又由$ H(x, y) $在$ X\times Y $上连续及$ x^m\rightarrow \tilde{x}, y^m\rightarrow \tilde{y} $, 对上述$ w^*\in Y $, 当$ m $充分大时, 有

$ H^p(x^m, y^m)-H^p(x^m, w^*)\in {\rm int }R_+^{n^p}. $

这与$ y^m\in Q^p(x^m) $矛盾, 所以$ \tilde{y}\in Q^p(\tilde{x}) $, $ Q^p(x) $的图是闭的, 因此映射$ Q^p $是上半连续且紧值的.

综上, $ G^p(x, y), Q^p(x) $是非空紧凸集且$ G^p, Q^p $上半连续.

从而, $ \forall (x, y)\in X\times Y, G(x, y)=\prod\limits_{p\in \Gamma}G^p(x, y), Q(x)=\prod\limits_{p\in \Gamma}Q^p(x) $是非空紧凸集且$ G, Q $上半连续.

定义$ B:X\times Y\rightarrow 2^{X\times Y}, B(x, y)=G(x, y)\times Q(x) $. 由上述证明, 可知$ B(x, y) $是非空紧凸集且$ B $是上半连续的.

由Kakutani不动点定理(引理2.2), 存在$ (\bar{x}, \bar{y})\in X\times Y $, 使得$ (\bar{x}, \bar{y})\in B(\bar{x}, \bar{y}) $.

因此, $ \forall p\in \Gamma $, 有$ \bar{x}\in G^p(\bar{x}, \bar{y}) $, 则

$ \sum\limits_{i\in S^p}\bar{x}_i^pH_i^p(\bar{x}, \bar{y})=\max\limits_{u^p\in X^p}\sum\limits_{i\in S^p}u_i^pH_i^p(\bar{x}, \bar{y}). $

即$ \bar{x}_i^p>0\Rightarrow H_i^p(\bar{x}, \bar{y})\geqslant H_j^p(\bar{x}, \bar{y}), \forall i, j\in S^p, \forall p\in \Gamma. $

同时, $ \forall p\in \Gamma, $有$ \bar{y}\in Q(\bar{x}), $这意味着$ H^p(\bar{x}, \bar{y})-H^p(\bar{x}, w)\notin {\rm int}R_+^{n^p} $, $ \forall p\in \Gamma, \forall w\in Y $, 所以满足定义3.1的两个条件, 故$ (\bar{x}, \bar{y}) $是博弈$ \{\Gamma, X, Y, F, V\} $的弱NS平衡. 证毕.

记$ \Omega=\{H=(H^1, H^2, \cdots, H^P): \forall p\in \Gamma, H^p= F^p-V^p:X \times Y\rightarrow R^{n^p} $连续; $ \forall x\in X, y\mapsto H^p(x, y)=F^p(x, y)-V^p(x, y)\mbox{ 是凸的}\} $.$ \forall H=(H^1, H^2, \cdots, H^P), G=(G^1, G^2, \cdots, G^P)\in \Omega $, 定义

$\rho(H, G)=\max\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{i\in S^p}\max\limits_{(x, y)\in X\times Y}|H_i^p(x, y)-G_i^p(x, y)|, $

显然, $ (\Omega, \rho) $是完备度量空间.

现建立加入成本后的不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的有限理性模型$ M=(\Omega, X, Y, T, \psi):\forall H\in \Omega, \forall (x, y)\in X\times Y. $可行集值映射$ T:\Omega \times X\times Y\rightarrow 2^{X\times Y} $进一步生成集值映射$ f:\Omega\rightarrow 2^{X\times Y}, $定义$ T(\Omega, x, y)=X\times Y, \forall H\in \Omega $且$ f(H)=\{(x, y)\in X\times Y:(x, y)\in T(\Omega, x, y)\}=X\times Y $, 显然$ f $是上半连续的, 且$ f(H) $是非空紧的.

定义理性函数$ \psi: $ Graph$ (f)\rightarrow R_+ $为

$ \psi(H, x, y)=\max\limits_{u\in X}\left<u-x, H (x, y)\right>+ \max\limits_{p\in\Gamma} \max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right> . $

$ \forall\epsilon\geqslant 0, \forall H\in \Omega $, 不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的$ \epsilon $-弱$ \mathrm{NS} $平衡集定义为

$ NS(H, \epsilon)=\{(x, y)\in X\times Y:\psi(H, x, y)\leqslant\epsilon\}, $

其描述了博弈$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的有限理性.

特别地, 当$ \epsilon=0 $时, 上式即为$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的弱NS平衡集$ NS(H, 0)=NS(H) $, 这刻画了该群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的完全理性. 由定理3.2知, $ NS(H)\subseteq X\times Y $非空, 且称$ NS:\Omega\rightarrow 2^{X\times Y} $为平衡集值映射.

定理4.1   (1) $ \forall H\in \Omega, \forall (x, y)\in X\times Y, \psi(H, x, y)\geqslant0; $

(2) $ \psi( H, x, y)=0 $当且仅当$ (x, y)\in NS(H). $

证   (1) $ \forall H\in \Omega , \forall (x, y)\in X\times Y $, 取$ u=x\in X, r=y\in Y $, 有

$ \begin{eqnarray*} \psi(H, x, y) &=&\max\limits_{u\in X}\left<u-x, H(x, y)\right>+ \max\limits_{p\in\Gamma} \max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right> \nonumber\\ &\geqslant& \left<x-x, H(x, y)\right>+\max\limits_{p\in\Gamma} \min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, y)\right>\nonumber\\ &=&0.\nonumber \end{eqnarray*} $

(2) 若$ \psi(H, x, y)=0 $, 则

(4.1) $ \begin{equation} \max\limits_{u\in X}\left<u-x, H(x, y)\right>=0, \end{equation} $

(4.2) $ \begin{equation} \max\limits_{p\in\Gamma} \max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right>=0 . \end{equation} $

由$ (4.1) $式, $ \forall u\in X $, 有$ \left<u-x, H(x, y)\right>\leqslant 0 $, 从而由定理3.1可知$ (x, y) $满足定义3.1中的条件(1).

另一方面, 反证法, 若$ \exists p_0\in \Gamma, r_0\in Y $, 使得

$ H^{p_0}(x, y)-H^{p_0}(x, r_0)\in {\rm int}R_{+}^{n^{p_0}}. $

则$ \forall w^{p_0}\in W^{p_0}=\{w^{p_0}\in R_{+}^{n^{p_0}}:\|w^{p_0}\|=1\}, y\in Y $, 有

$ \left< w^{p_0}, H^{p_0}(x, y)-H^{p_0}(x, r_0) \right> > 0 . $

又$ W^{p_0} $是紧集, 则

$ \min\limits_{\parallel w^{p_0}\parallel=1, w^{p_0}\in R_{+}^{n^{p_0}} }\left< w^{p_0}, H^{p_0}(x, y)-H^{p_0}(x, r_0) \right> > 0. $

从而

$ \begin{eqnarray*} &&\max\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\parallel w^p\parallel=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left< w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r) \right>\nonumber\\ &\geqslant &\max\limits_{p\in \Gamma}\min\limits_{\parallel w^p\parallel=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left< w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r_0) \right>\nonumber\\ &\geqslant &\min\limits_{\parallel w^{p_0}\parallel=1, w^{p_0}\in R_{+}^{n^{p_0}}}\left< w^{p_0}, H^{p_0}(x, y)-H^{p_0}(x, r_0) \right>\nonumber\\ &>&0. \nonumber\ \end{eqnarray*} $

这与$ (4.2) $式矛盾, 因此$ \forall p\in \Gamma, r\in Y $, 有$ H^p(x, y)-H^p(x, r)\notin {\rm int}R_{+}^{n^p} $, 从而$ (x, y) $满足定义3.1的条件(2).

综上, $ (x, y)\in NS(H). $

反过来, 若$ (x, y)\in NS(H) $, 由定理3.1和定义3.1, 分别有

(4.3) $ \begin{equation} \left<u-x, H(x, y)\right>\leqslant0, \;\;{ } \forall u\in X. \end{equation} $

(4.4) $ \begin{equation} H^p(x, y)-H^p(x, r)\notin {\rm int}R_+^{n^p}, \;\;{ } \forall r\in Y. \end{equation} $

由$ (4.3) $式有

$ \max\limits_{u\in X}\left<u-x, H(x, y)\right>=0. $

$ \forall p\in \Gamma, r\in Y $, 设$ L(r)=\{i\in S^p:H^p_i(x, y)-H^p_i(x, r)\leqslant 0\} $, 由$ (4.4) $式可知, $ L(r)\neq \emptyset $. 设$ i'\in L(r), \hat{w}^p\in \{w^p\in R_+^{n^p}:\|w^p\|=1\} $, 当$ i=i' $时, $ \hat{w}_{i'}^p=1 $, 当$ i\neq i' $时, $ \hat{w}_{i'}^p=0 $, 则

$ \left<\hat{w}^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right>=H_{i'}^p(x, y)-H_{i'}^p(x, r)\leqslant 0. $

从而

$ \min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right>\leqslant 0. $

因此

$ \max\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right>\leqslant 0. $

又因为

$ \begin{eqnarray*} &&\max\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right>\nonumber\\ &\geqslant& \max\limits_{p\in \Gamma}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, y)\right>\nonumber\\ &=&0.\nonumber\ \end{eqnarray*} $

因此$ \max\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right>= 0. $

综上, $ \psi(H, x, y)=0 $.定理4.1得证.

定理4.2   $ \psi:\Omega\times X\times Y\rightarrow R_+ $连续.

证   设$ \forall (H^m, x^m, y^m)\in \Omega\times X\times Y $, 并且$ (H^m, x^m, y^m)\rightarrow (H, x, y)(m\rightarrow +\infty) . $

需证:   当$ m\rightarrow +\infty $时, $ \psi (H^m, x^m, y^m)\rightarrow \psi(H, x, y). $

$ \forall u\in X, r\in Y, \forall p\in \Gamma, w^p\in W^p=\{w^p\in R_+^{n^p}:\|w^p\|=1\} $, 设

(4.5) $ \begin{gathered}\varphi(u, x, y)=\langle u-x, H(x, y)\rangle, \\\phi^p\left(w^p, r, x, y\right)=\left\langle w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right\rangle .\end{gathered}$

则

$\begin{gathered} \varphi^{m}(u, x, y)=\left<u-x, H^{m}(x, y)\right>, \\ (\phi^m)^p(w^p, r, x, y)=\left<w^p, (H^m)^p(x, y)-(H^m)^p(x, r)\right>. \end{gathered}$

(1) 首先证明

$ \max\limits_{u\in X}\varphi^{m}(u, x^m, y^m)\rightarrow \max\limits_{u\in X}\varphi(u, x, y). $

因为$ X $是紧的, 则存在$ K>0, \forall x\in X $, 使得$ \|x\|\leqslant K. $

当$ H^{m}\rightarrow H $ (按度量$ \rho $)时, $ \forall \epsilon_1>0, \exists N_1\in N_+ $, 使得当$ \forall m\geqslant N_1 $时, 有

$ \| H^{m}(x, y)-H(x, y)\|<\frac{\epsilon_1}{2K}, \; \; \forall (x, y)\in X\times Y. $

$ \begin{eqnarray*} |\varphi^{m}(u, x, y)-\varphi(u, x, y)| &=&|\left<u-x, H^{m}(x, y)-H(x, y)\right> |\nonumber\\ &\leqslant & \|u-x\| \|H^{m}(x, y)-H(x, y)\|\nonumber\\ &\leqslant & (\|u\|+\|x\|)\|H^{m}(x, y)-H(x, y)\|\nonumber\\ &<& 2K\cdot \frac{\epsilon_1}{2K}\nonumber\\ &<& \epsilon_1, \nonumber\ \end{eqnarray*} $

则$ \varphi^{m}(u, x, y)\rightarrow \varphi(u, x, y) $$ (m\rightarrow +\infty) $, 由引理2.3, 有

$ \max\limits_{u\in X}\varphi^{m}(u, x^m, y^m)\rightarrow \max\limits_{u\in X}\varphi(u, x, y). $

(2) 其次证明

$ \max\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}(\phi^m)^p(w^p, r, x^m, y^m)\rightarrow \max\limits_{p\in \Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\phi^p(w^p, r, x, y). $

由$ H^m\rightarrow H $ (按度量$ \rho $), 故$ \forall p\in \Gamma $, $ \forall \epsilon_2>0, \exists N_2\in N_+, $使得当$ m\geqslant N_2 $时, 有$ \|(H^m)^p(x, y)-H^p(x, y)\|<\frac{\epsilon_2}{2} $且$ \forall r\in Y, \|(H^m)^p(x, r)-H^p(x, r)\|<\frac{\epsilon_2}{2}. $

$ \begin{eqnarray*} &&|(\phi^m)^p(w^p, r, x, y)- \phi^p(w^p, r, x, y)|\nonumber\\ &=&|\left<w^p, (H^m)^p(x, y)-(H^m)^p(x, r)\right>-\left<w^p, H^p(x, y)-H^p(x, r)\right>|\nonumber\\ &\leqslant& |\left<w^p, (H^m)^p(x, y)-H^p(x, y)\right>|+|\left<w^p, (H^m)^p(x, r)-H^p(x, r)\right>|\nonumber\\ &\leqslant &\|w^p\|\|(H^m)^p(x, y)-H^p(x, y)\|+\|w^p\|\|(H^m)^p(x, r)-H^p(x, r)\|\nonumber\\ &<& \frac{\epsilon_2}{2}+\frac{\epsilon_2}{2}\nonumber\\ &<&\epsilon_2.\nonumber\ \end{eqnarray*} $

因此$ \forall p\in \Gamma, (\phi^m)^p(w^p, r, x, y)\rightarrow \phi^{p}(w^p, r, x, y) $, 并且由$ (4.5) $式中$ \phi $的构造, 易知$ (\phi^m)^p $与$ \phi^p $在$ W^p\times Y\times X\times Y $上连续, 又因$ Y $及$ W^p=\{w^p\in R_+^{n^p}:\|w^p\|=1\} $都是紧集, $ (x^m, y^m)\rightarrow (x, y)\in X\times Y $. 由引理2.4, 有

$ \max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}(\phi^m)^p(w^p, r, x^m, y^m)\rightarrow \max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\phi^p(w^p, r, x, y). $

从而

$ \max\limits_{p\in\Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}(\phi^m)^p(w^p, r, x^m, y^m)\rightarrow \max\limits_{p\in\Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\phi^p(w^p, r, x, y). $

综上

$ \begin{eqnarray*} \psi(H^m, x^m, y^m)&=&\max\limits_{u\in X}\varphi^{m}(u, x^m, y^m)+ \max\limits_{p\in\Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}(\phi^m)^p(w^p, r, x^m, y^m)\nonumber\\ &\rightarrow & \max\limits_{u\in X}\varphi(u, x, y)+ \max\limits_{p\in\Gamma}\max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w^p\|=1, w^p\in R_{+}^{n^p}}\phi^p(w^p, r, x, y)\nonumber\\ &=&\psi(H, x, y).\nonumber\ \end{eqnarray*} $

故 $ \psi:\Omega\times X\times Y\rightarrow R_+ $连续. 证毕.

注4.1   由定理$ 4.2 $知不确定性群体博弈弱$ \mathrm{NS} $平衡集是闭的, 从而是紧的.

定理4.3   当不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的纯收益函数$ H $发生扰动时, 关于其弱$ \mathrm{NS} $平衡的稳定性, 引理$ 2.1 $成立.

证   因$ (\Omega, \rho) $完备以及$ X\times Y $是紧的, 且$ f:\Omega\rightarrow 2^{X\times Y} $是上半连续的, 而且由定理$ 4.2 $知$ \psi:\Omega\times X\times Y\rightarrow R_+ $是连续的, 故引理2.1的全部条件都成立, 从而其结论(1)–(5)也成立.

注4.2  定理$ 4.3 $表明在$ \mathrm{Baire} $分类的意义下, 引入成本后的不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, $$ Y, H\} $的有限理性模型$ M $对大多数$ H\in \Omega $都是结构稳定的, 对$ \epsilon $-弱$ \mathrm{NS} $均衡集也是鲁棒的. 从而, 在$ \mathrm{Baire} $分类意义下, 有限理性下大多数不确定性群体博弈的弱$ \mathrm{NS} $平衡是稳定的.

例4.1  考虑例$ 3.1 $中带成本的不确定群体博弈. 由例$ 3.1 $知$ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1) $是$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的弱$ \mathrm{NS} $平衡, 其中策略$ 1 $和策略$ 2 $的纯收益函数分别为: $ H_1(x, y)=x_1+2x_2-y; H_2(x, y)=2x_1+x_2-y $. 当纯收益函数$ H=(H_1, H_2) $发生扰动为$ H^{m}=(H_{1}^{m}, H_{2}^{m}) $,

$ H_{1}^{m}(x, y)=x_1+2x_2-y+\frac{1}{m}, \; \; H_{2}^{m}(x, y)=2x_1+x_2-y-\frac{1}{m}, $

其中$ m\in N_+, m>2 $. 此时$ (\frac{1}{2}+\frac{1}{m}, \frac{1}{2}-\frac{1}{m}, 1) $是$ \{\Gamma, X, Y, H^{m}\} $的弱$ \mathrm{NS} $平衡.

建立对应的有限理性模型为: $ M=(\Omega, X, Y, T, \psi), \forall H\in \Omega, \forall (x, y)\in X\times Y, $其中$ T(\Omega, x, y)=X\times Y, \forall H\in \Omega $且$ f(H)=\{(x, y)\in X\times Y:(x, y)\in T(\Omega, x, y)\}=X\times Y $, 理性函数$ \psi: $ Graph$ (f)\rightarrow R_+ $为

$ \psi(H, x, y)=\max\limits_{u\in X}\left<u-x, H (x, y)\right>+ \max\limits_{r\in Y}\min\limits_{\|w\|=1, w\in R_{+}^{n}}\left<w, H(x, y)-H(x, r)\right>\nonumber, $

从而

(4.6) $ \begin{equation} \psi(H, x, y)=\left\{ \begin{array}{ll} -x_1^2-x_2^2-4x_1x_2+2x_1+x_2+1-y , & x_1\geqslant x_2; \\ -x_1^2-x_2^2-4x_1x_2+2x_2+x_1+1-y , &x_1< x_2. \end{array} \right. \end{equation} $

对$ \epsilon=\frac{2}{m}(m> 2), $易知$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的$ \epsilon $-弱$ \mathrm{NS} $平衡集

$ \{(\frac{1}{2}+\frac{1}{m}, \frac{1}{2}-\frac{1}{m}, 1)\}\subset NS(H, \epsilon)=\{(x, y)\in X\times Y:\psi(H, x, y)\leqslant \epsilon\}; $

弱$ \mathrm{NS} $平衡集

$ NS(H)=\{(x, y)\in X\times Y:\psi(H, x, y)=0\}=\{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1)\}. $

显然均满足引理2.1的所有条件, 所以引理2.1结论成立. 即当纯收益函数$ H=(H_1, H_2) $发生扰动时, 其有限理性模型$ M $在$ H $是结构稳定的从而对$ \epsilon $-弱$ \mathrm{NS} $平衡也是鲁棒的. 进而, 有限理性下该不确定性群体博弈$ \{\Gamma, X, Y, H\} $的弱$ \mathrm{NS} $平衡是稳定的.

本文基于策略转换时产生成本这一事实, 将策略所对应的成本函数引入到不确定性群体博弈中, 从而建立了新的博弈模型; 并通过文中例3.1说明了引入策略成本会使NS平衡集改变, 进一步定义了新的弱NS平衡. 当收益及成本函数都是连续的, 同时收益函数是凸的而成本函数是凹的, 运用Kakutani不动点定理证明了弱NS平衡的存在性; 最后证明了当纯收益函数发生扰动时, 其有限理性模型是结构稳定的从而也是鲁棒的. 因此, 在Baire分类意义下, 有限理性下大多数不确定性群体博弈的弱NS平衡是稳定的, 并通过算例4.1进行了证实.