均匀设计是部分因子设计的主要方法之一, 要求试验点均匀地分布在试验区域里, 从而有可能用较少的试验次数获得期望的结果. 均匀设计也是计算机仿真试验设计的重要方法之一, 同时还是一种稳健试验设计. 均匀设计产生于二十世纪七十年代末, 如今已被广泛地应用于工业生产、系统工程、制药及其他自然科学中. 随着均匀设计的应用不断被推广和深入, 相应有关均匀设计的理论也不断被建立和完善.

在构造均匀设计时, 如何度量其均匀性是一个十分关键的问题. 在Fang和Wang^[1]提出均匀设计之初, 均匀性是采用数论(伪蒙特卡罗)方法中常用的$ L_{p} $-偏差, 随后Hickernell^[2-3]指出$ L_{p} $-偏差的一些缺陷, 并相应地提出了一系列改进的$ L_{p} $-偏差, 如中心化$ L_{2} $-偏差(CD)、可卷$ L_{2} $-偏差(WD)、对称化$ L_{2} $-偏差(SD). Hickernell和Liu^[4], Zhou等^[5], Chatterjee和Qin^[6]先后提出了离散偏差(DD)、Lee偏差和广义离散偏差(GDD) 来度量部分因子设计的均匀性. 各种偏差都有自己的特点, 不管使用哪种偏差, 关键的问题是寻找一个精确的偏差下界, 因为它可以作为衡量设计均匀性的标准.

一个下界如果可以达到, 则称之为严格下界; 否则, 称之为保守下界. 寻找一个严格的偏差下界是十分有意义的. 近二十年来, 关于寻求各种偏差下界的讨论不断见诸文献. Fang和Mukerjee^[7]首先给出了$ 2 $水平正规部分因子设计中心化$ L_{2} $-偏差的下界. Fang等^[8]给出了$ 2 $水平和$ 3 $水平部分因子设计关于其正交性、混杂性和均匀性之间的解析关系, 并得到了$ 2 $水平部分因子设计的中心化$ L_{2} $-偏差、对称化$ L_{2} $-偏差和可卷$ L_{2} $-偏差的严格下界, 以及$ 3 $水平部分因子设计的可卷$ L_{2} $-偏差的下界, 这些下界对正规设计和非正规设计同样适用. Fang等^[9]对$ 2 $水平对称因子设计得到了中心化$ L_{2} $-偏差和可卷$ L_{2} $-偏差的新的下界, 并给出了$ 3 $水平可卷$ L_{2} $-偏差的新的下界. Chatterjee等^[10]首先给出了某类混水平因子设计的可卷$ L_{2} $-偏差的下界, 并发现混水平因子设计的均匀性(以可卷$ L_{2} $-偏差度量的)、正交性和混杂性之间的关系. Chatterjee等^[11]又给出了非对称因子设计的中心化$ L_{2} $-偏差的下界. Wang等^[12]得到了$ 2 $水平对称化$ L_{2} $-偏差的新的下界以及$ p\times 2^s $混水平因子设计在对称化$ L_{2} $-偏差下的下界. Qin和Li^[13]得到了对称部分因子设计在$ q $水平离散偏差下的下界. Qin和Fang^[14]给出了$ q_{1}^{s_{1}}\times q_{2}^{s_{2}} $设计在离散偏差(DD)下的下界. Qin和Fang^[14]又得到了广义离散偏差(GDD) 与正交性、广义最小混杂、最小矩混杂这些最优性准则之间的联系, 并得到了GDD的严格下界. Fang等^[15]给出了对称因子设计在$ 3 $水平和$ 4 $水平下中心化$ L_2 $-偏差的下界. Chatterjee^[16]基于中心化$ L_{2} $-偏差和可卷$ L_{2} $-偏差从均匀性的角度通过两种变换考察了高效$ 4 $水平均匀设计的构造和初始$ 2 $水平设计的一些下界, 可用这些下界来评估被构造的$ 4 $水平设计的效率. 覃红等^[17]通过修正格雷映射编码变换来构造用于计算机试验的$ 4 $水平的均匀设计, 其效率通过离散偏差(DD)进行刻画, 同时也给出了离散偏差的下界, 这个下界可用作最优设计的一个基准. Hu等^[18]以格雷映射(Gray map)码为基础, 提出Lee偏差下最优$ 4 $水平设计的一般构造方法, 指出当初始$ 2 $水平设计有较小混杂时, 被构造的$ 4 $水平设计通常有较小的混杂和较低的偏差. Qin等^[19]首先获得了$ 2 $、$ 3 $混水平因子设计的可卷$ L_{2} $-偏差值下界. Zhou和Ning^[20]进一步得到了一般非对称型设计的可卷$ L_{2} $-偏差值的一些下界. Zhang等^[21]给出了$ 2 $、$ 3 $混水平因子设计的可卷$ L_{2} $-偏差值的一个新的下界. 雷轶菊和欧祖军^[22]讨论了$ 3 $水平U-型设计的对称化$ L_{2} $-偏差的下界.

本文针对$ 4 $水平U-型设计和2、3混水平以及2、4混水平U-型设计, 考虑其对称化$ L_2 $-偏差下的均匀性, 并获得了其下界, 它们可作为寻找均匀设计的基准.

第2节介绍U-型设计的概念和对称化$ L_2 $-偏差. 第3节讨论4水平U-型设计的对称化$ L_2 $-偏差值的下界. 第4节分别讨论了2、3混水平和2、4混水平设计的对称化$ L_2 $-偏差的下界. 最后我们用两个例子来验证理论结果的正确性.

现有研究主要集中在从中心化$ L_2 $-偏差、可卷$ L_2 $-偏差以及混合偏差测度下考虑均匀设计的构造问题. 由于中心化$ L_2 $-偏差对位于中心点附近的区域关注比较少, 因此该偏差对中心点附近的设计点是否散布均匀关注较少. 在中心化$ L_2 $-偏差的意义下, 随着因子个数的增大, 集中在中心点的程度加剧. 因此, 作为均匀性度量, 中心化$ L_2 $-偏差具有严重的维数祸根问题. 在这种意义下, 中心化$ L_2 $-偏差并不是一个理想的均匀性度量, 尤其对于高维情形. WD有许多好的性质, 但WD不能区分设计阵的平移变换, 即对任何设计阵沿着任何一个坐标轴进行平移变换, 其WD值都不会发生改变. 但可卷$ L_2 $-偏差的维数灾难问题并不严重. 针对WD和CD存在的这两个缺点, Zhou等^[23]提出一个新的偏差, 称为混合偏差(MD), MD是对WD和CD简单修正后, 加权相加得到的. 均匀性测度这种直接的加权办法综合了两种偏差的优点, 同时在一定程度上削弱了WD和CD的缺点, 但由原始定义带来的本质缺陷并未彻底消失. 从各种偏差定义的本源上可以看出, SD相较于WD和CD有更好的几何性质, SD给实验目标区域内任何点的权重都是相同的, 这在直观上更符合均匀性的要求. 因此相对于WD和CD, SD有更强的直观统计意义.

一个$ U $-型设计$ U(n; q^{m}) $是具有$ n $个处理、$ m $个$ q $水平因子的设计, 它对应于一个$ n\times m $的矩阵$ d=({ d}_{1}, \cdots , { d}_{m}) $, 每个列(因子) $ { d}_{i} $取值于$ q $个元素的集合$ \{1, \cdots , q\} $且每个元素出现的次数相同, $ i=1, \cdots , m $. 用$ {\cal U}(n; q^{m}) $表示所有$ U(n; q^{m}) $设计的集合.

对任意一个设计$ d=(d_{il})_{n\times m}\in{\cal U}(n; q^m) $, 可定义映射

$ f: x_{il}=\frac{2d_{il}-1}{2q}, i=1, \cdots , n; l=1, \cdots , m, $

则映射$ f $将设计$ d $的$ n $个行映射成$ C^m=[0, 1)^{m} $中的$ n $个点, 即任意处理组合$ d_i=(d_{i1}, \cdots , d_{im}) $通过$ f $都能映射成$ x_i=(x_{i1}, \cdots , x_{im})\in[0, 1)^m $. 对给定设计$ d\in{\cal U}(n; q^m) $, 其对称化$ L_{2} $-偏差的计算公式可表示为

$ [SD_2(d)]^2=\Big(\frac{4}{3}\Big)^m-\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{l=1}^{m}(1+2x_{il}-2x^2_{il}) +\frac{2^{m}}{n^2}\sum\limits_{i, j=1}^{n}\prod\limits_{l=1}^{m}(1-|x_{il}-x_{jl}|). $

对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; q^m) $, 当$ q=4 $时有$ x_{il}\in\{\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}\} $, 因此

$ 1-\left|x_{i l}-x_{j l}\right|= \begin{cases}1, & \text { 若 } x_{i l}=x_{j l} ; \\ \frac{3}{4}, & \text { 若 }\left(x_{i l}, x_{j l}\right) \in\left\{\left(\frac{1}{8}, \frac{3}{8}\right),\left(\frac{3}{8}, \frac{5}{8}\right),\left(\frac{5}{8}, \frac{7}{8}\right),\left(\frac{3}{8}, \frac{1}{8}\right),\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right),\left(\frac{7}{8}, \frac{5}{8}\right)\right\} ; \\ \frac{1}{2}, & \text { 若 }\left(x_{i l}, x_{j l}\right) \in\left\{\left(\frac{1}{8}, \frac{5}{8}\right),\left(\frac{3}{8}, \frac{7}{8}\right),\left(\frac{5}{8}, \frac{1}{8}\right),\left(\frac{7}{8}, \frac{3}{8}\right)\right\} ; \\ \frac{1}{4}, & \text { 若 }\left(x_{i l}, x_{j l}\right) \in\left\{\left(\frac{1}{8}, \frac{7}{8}\right),\left(\frac{7}{8}, \frac{1}{8}\right)\right\},\end{cases} $

$ 1+2 x_{i l}-2 x_{i l}^2=\left\{\begin{array}{l}\frac{39}{32}, \text { 若 } x_{i l} \in\left\{\frac{1}{8}, \frac{7}{8}\right\}, \\\frac{47}{32}, \text { 若 } x_{i l} \in\left\{\frac{3}{8}, \frac{5}{8}\right\} .\end{array}\right.$

记$ \sharp A $表示集合$ A $中元素的个数, 对$ i, j=1, \cdots , n $, 定义

$ \left\{\begin{array}{ll} { } r^{1}_{ij}=\sharp\{(i, j): x_{il}=x_{jl}\in\{\frac{3}{8}, \frac{5}{8}\}, l=1, \cdots , m\}, \\ { } \alpha^{1}_{ij}=\sharp\{(i, j): (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{3}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{5}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{1}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{3}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{5}{8})\}, l=1, \cdots , m\}, \\ { } \beta^{1}_{ij}=\sharp\{(i, j): g(x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{5}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{1}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{3}{8})\}, l=1, \cdots , m\}, \\ { } \gamma^{1}_{ij}=\sharp\{(i, j): (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{1}{8})\}, l=1, \cdots , m\}. \end{array}\right. $

对于$ r^{1}_{ij}, \alpha^{1}_{ij}, \beta^{1}_{ij}, \gamma^{1}_{ij} $有如下结论.

引理3.1   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 4^m) $有

(1)  $ \sum\limits_{i=1}^{n}r^{1}_{ii}=\frac{mn}{2} $;

(2)  $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j(\neq i)=1}^{n}\alpha^{1}_{ij}=\frac{3mn^2}{8}, \ \alpha^{1}_{ii}=0; $

(3)  $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j(\neq i)=1}^{n}\beta^{1}_{ij}=\frac{mn^2}{4}, \ \beta^{1}_{ii}=0; $

(4)  $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j(\neq i)=1}^{n}\gamma^{1}_{ij}=\frac{mn^2}{8}, \ \gamma^{1}_{ii}=0. $

利用$ r^{1}_{ij}, \alpha^{1}_{ij}, \beta^{1}_{ij}, \gamma^{1}_{ij} $, 可将$ [SD_2(d)]^2 $表示为如下定理3.1的形式.

定理3.1   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 4^{m}) $有

(3.1) $ \begin{eqnarray} [SD_2(d)]^2=C_1-\frac{2}{n}\left(\frac{39}{32}\right)^m\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{47}{39}\right)^{r^{1}_{ii}} +\frac{2^{m}}{n^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j\neq i}^{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{\alpha^{1}_{ij}}\left(\frac{1}{2}\right)^ {\beta^{1}_{ij}}\left(\frac{1}{4}\right)^{\gamma^{1}_{ij}}, \end{eqnarray} $

其中$ C_1=\left(\frac{4}{3}\right)^m+\frac{2^m}{n} $.

根据定理3.1中$ [SD_2(d)]^2 $表达式, 可获得$ [SD_2(d)]^2 $如下的下界.

定理3.2   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 4^{m}) $有$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 4^{m}) $, 其中

$ \begin{eqnarray*} LB(n, 4^{m})=C_1-\frac{2}{n}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m}\Big[\Big(\frac{47}{39}\Big)^{\frac{mn}{2}}+(n-1)\Big] +\frac{(n-1)2^m}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{mn}{2(n-1)}}\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3mn}{8(n-1)}}. \end{eqnarray*} $

为证明定理3.2, 需要如下引理.

引理3.2   设$ x_{ki}\geq 0 $, 满足$ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{ki}=c_{k}, i=1, \cdots , n, k=1, \cdots , r $, 对任意正数$ \mu_{1}, \cdots , \mu_{r} $有$ \sum\limits_{i=1}^{n}\mu_{1}^{x_{1i}}\cdots\mu_{r}^{x_{ri}}\geq n\mu_{1}^{\frac{c_{1}}{n}}\cdots\mu_{r}^{\frac{c_{r}}{n}}. $

下面给出定理3.2的证明.

证   令$ g(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn})=-\frac{2}{n}\left(\frac{39}{32}\right)^{m}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{47}{39}\right)^{r^{1}_{ii}} $, 由$ r^{1}_{ii} $定义可知其为取值$ \{0, \cdots , m\} $中的元素且满足$ \sum\limits_{i=1}^{n}r^{1}_{ii}=\frac{mn}{2} $. 令

$ L(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn}, \lambda)=-\frac{2}{n}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{47}{39}\right)^{r^{1}_{ii}} +\lambda\bigg(\sum\limits_{i=1}^{n}r^{1}_{ii}-\frac{mn}{2}\bigg), $

对$ L $分别求关于$ r^{1}_{ii}, i=1, \cdots , n $和$ \lambda $的偏导并令其为0, 可得

$ \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{\partial L(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn}, \lambda)}{\partial r^{1}_{11}} =-\frac{2}{n}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m}\left(\frac{47}{39}\right)^{r^{1}_{11}}\ln\frac{47}{39}+\lambda=0;\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;{ }{ } \vdots\\ { } \frac{\partial L(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn}, \lambda)}{\partial r^{1}_{nn}}=-\frac{2}{n}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m}\left(\frac{47}{39}\right)^{r^{1}_{nn}}\ln\frac{47}{39}+\lambda=0;\\ \frac{\partial L(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn}, \lambda)}{\partial \lambda}=\sum\limits_{i=1}^{n}r^{1}_{ii}-\frac{mn}{2}=0. \end{array}\right. $

解上述方程组得$ r^{1}_{11}=\cdots=r^{1}_{nn}=\frac{m}{2} $, $ \lambda=\frac{2}{n}\left(\frac{39}{32}\right)^{m}\left(\frac{47}{39}\right)^{\frac{m}{2}}\ln\frac{47}{39} $. 所以$ g(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn}) $的最大值点在$ (\frac{m}{2}, \cdots , \frac{m}{2}) $处取得, 因为$ g(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn}) $只有一个极值点, 且$ g(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn}) $为凸函数, 所以其最小值在边界点$ (\frac{mn}{2}, 0, \cdots , 0) $处取得. 因此

$ g(r^{1}_{11}, \cdots , r^{1}_{nn})\geq -\frac{2}{n}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m}\Big[\left(\frac{47}{39}\right)^{\frac{mn}{2}}+(n-1)\Big], $

等号成立当且仅当$ r^{1}_{11}=\frac{mn}{2}, r^{1}_{22}=\cdots=r^{1}_{nn}=0 $. 再由引理3.2易知

$ \frac{2^{m}}{n^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j\neq i}^{n}\left(\frac{3}{4}\right)^{\alpha^{1}_{ij}}\left(\frac{1}{2}\right)^ {\beta^{1}_{ij}}\left(\frac{1}{4}\right)^{\gamma^{1}_{ij}}\geq \frac{(n-1)2^m}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{mn}{4(n-1)}}\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3mn}{8(n-1)}} \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{mn}{8(n-1)}}. $

所以$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 4^{m}) $. 证毕.

下面考虑$ 2\mbox{、} $ 3混水平和$ 2\mbox{、} $ 4混水平两种非对称U-型设计情况下对称化$ L_2 $-偏差的下界.

设$ d\in{\cal U}(n; q_{1}^{m_{1}}\times q_{2}^{m_{2}}), m_{1}+m_{2}=m $, 则其对称化$ L_2 $-偏差可表示为

$ \begin{eqnarray*} [SD_2(d)]^2&=&\Big(\frac{4}{3}\Big)^m-\frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{l=1}^{m_{1}}(1+2x_{il}-2x^2_{il}) \prod\limits_{l=m_{1}+1}^{m}(1+2x_{il}-2x^2_{il})\\ &&+ \frac{2^{m}}{n^2}\sum\limits_{i, j=1}^{n}\prod\limits_{l=1}^{m_{1}}(1-|x_{il}-x_{jl}|) \prod\limits_{l=m_{1}+1}^{m}(1-|x_{il}-x_{jl}|). \end{eqnarray*} $

若$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 3^{m_{2}}), m_{1}+m_{2}=m $, 即$ q_{1}=2, q_{2}=3 $, 当$ l=1, \cdots , m_1 $时, $ x_{il}\in\{\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\} $, 因此$ 1+2x_{il}-2x^2_{il}=\frac{11}{8} $及

$ 1-|x_{il}-x_{jl}|= \left\{\begin{array}{ll} 1, & \mbox{若} x_{il}=x_{jl} ; \\ { } \frac{1}{2}, & \mbox{否则.} \end{array}\right. $

当$ l=m_1+1, \cdots , m $时有$ x_{il}\in\{\frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{5}{6}\} $, 因此

$ \begin{eqnarray*} 1+2x_{il}-2x^2_{il}&=& \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{3}{2}, &\mbox{若} x_{il}=\frac{1}{2} ;\\ { } \frac{23}{18}, &\mbox{否则}. \end{array}\right..\\ 1-|x_{il}-x_{jl}|&=& \left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{若} x_{il}=x_{jl} ; \\ { } \frac{2}{3}, &\mbox{若} { } (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{5}{6}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{6}), (\frac{5}{6}, \frac{1}{2})\} ;\\ { } \frac{1}{3}, &\mbox{若} { } (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{6}, \frac{5}{6}), (\frac{5}{6}, \frac{1}{6})\} . \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

令

$ \left\{\begin{array}{ll} { } r^{2}_{ij}=\sharp\{(i, j): x_{il}=x_{jl}=\frac{1}{2}, l=m_1+1, \cdots , m\}, \\ { } \alpha^{2}_{ij}=\sharp\{(i, j): (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{6}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{5}{6}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{6}), (\frac{5}{6}, \frac{1}{2})\}, l=m_1+1, \cdots , m\}, \\ { } \beta^{2}_{ij}=\sharp\{(i, j): (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{6}, \frac{5}{6}), (\frac{5}{6}, \frac{1}{6})\}, l=m_1+1, \cdots , m\}, \\ { } \gamma^{2}_{ij}=\sharp\{(i, j): x_{il}\neq x_{jl}, l=1, \cdots , m_1\}. \end{array}\right. $

对于上述$ r^{2}_{ij}, \alpha^{2}_{ij}, \beta^{2}_{ij}, \gamma^{2}_{ij} $有如下结论.

引理4.1   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 3^{m_{2}}) $有

(1) $ \sum\limits_{i=1}^{n}r^{2}_{ii}=\frac{m_{2}n}{3} $;

(2) $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{{j=1 \atop j\neq i}}^{n}\alpha^{2}_{ij}=\frac{4m_2n^2}{9}, \alpha^{2}_{ii}=0, i=1, \cdots , n; $

(3) $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{{j=1 \atop j\neq i}}^{n}\beta^{2}_{ij}=\frac{2m_2n^2}{9}, \beta^{2}_{ii}=0, i=1, \cdots , n; $

(4) $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{{j=1 \atop j\neq i}}^{n}\gamma^{2}_{ij}=\frac{m_1n^2}{2}, \gamma^{2}_{ii}=0, i=1, \cdots , n. $

对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 3^{m_{2}}) $, 利用$ r^{2}_{ij}, \alpha^{2}_{ij}, \beta^{2}_{ij}, \gamma^{2}_{ij} $, 可获得$ [SD_2(d)]^2 $的如下定理4.1所示的表达式.

定理4.1   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 3^{m_{2}}) $有

(4.1) $ \begin{equation} [SD_2(d)]^2=C_1-\frac{2}{n}\Big(\frac{11}{8}\Big)^{m_{1}}\Big(\frac{23}{18}\Big)^{m_{2}}\sum\limits_{i=1}^{n} \left(\frac{27}{23}\right)^{r^{2}_{ii}} +\frac{2^{m}}{n^{2}}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j\neq i}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{\alpha^{2}_{ij}}\left(\frac{1}{3}\right)^ {\beta^{2}_{ij}}\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma^{2}_{ij}}, \end{equation} $

其中$ C_1 $如定理3.1所示.

由定理4.1中$ [SD_2(d)]^2 $的表达式可得$ [SD_2(d)]^2 $如下的下界.

定理4.2   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 3^{m_{2}}) $有$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 2^{m_{1}}\times 3^{m_{2}}) $, 其中

$ \begin{eqnarray*} LB(n, 2^{m_{1}}\times 3^{m_{2}})&=&C_1-\frac{2}{n}\Big(\frac{11}{8}\Big)^{m_{1}}\Big(\frac{23}{18}\Big)^{m_{2}} \Big[\Big(\frac{27}{23}\Big)^{\frac{m_{2}n}{3}}+(n-1)\Big]\\ &&+\frac{(n-1)2^m}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{m_{1}n}{2(n-1)}}\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4m_{2}n}{9(n-1)}} \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2m_{2}n}{9(n-1)}}, \end{eqnarray*} $

其中$ C_1 $如定理3.1所示.

当$ m_{2}=0 $或$ m_{1}=0 $时, 设计$ d $变成对称U-型设计, 其对称化$ L_2 $-偏差有如下推论.

推论4.1   (1) 对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^m) $有$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 2^m), $其中

$ LB(n, 2^{m})=C_1-2\Big(\frac{11}{8}\Big)^{m}+\frac{(n-1)2^m}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{mn}{2(n-1)}}, $

其中$ C_1 $如定理3.1所示.

(2) 对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 3^{m}) $有$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 3^{m}), $其中

$ \begin{eqnarray*} LB(n, 3^{m})=C_1-\frac{2}{n}\Big(\frac{23}{18}\Big)^{m} \Big[\Big(\frac{27}{23}\Big)^{\frac{mn}{3}}+(n-1)\Big] +\frac{(n-1)2^m}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4mn}{9(n-1)}} \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{2mn}{9(n-1)}}, \end{eqnarray*} $

其中$ C_1 $如定理3.1所示.

若$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_1}\times 4^{m_2}), m_{1}+m_{2}=m $, 即$ q_{1}=2, q_{2}=4 $, 当$ l=1, \cdots , m_1 $时有$ x_{il}\in\{\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\} $, 因此$ 1+2x_{il}-2x^2_{il}=\frac{11}{8} $及

$ 1-|x_{il}-x_{jl}|= \left\{\begin{array}{ll} 1, & \mbox{若} x_{il}=x_{jl} ; \\ { }\frac{1}{2}, & \mbox{否则.} \end{array}\right. $

当$ l=m_1+1, \cdots , m $时有$ x_{il}\in\{\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}\} $, 因此

$ 1+2x_{il}-2x^2_{il}= \left\{\begin{array}{ll} { }\frac{39}{32}, &\mbox{若} { } x_{il}\in\{\frac{1}{8}, \frac{7}{8}\} ;\\ { }\frac{47}{32}, &\mbox{若} { } x_{il}\in\{\frac{3}{8}, \frac{5}{8}\} , \end{array}\right. $

及

$ 1-|x_{il}-x_{jl}|= \left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{若} x_{il}=x_{jl} ; \\ { } \frac{3}{4}, &\mbox{若} { } (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{3}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{5}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{1}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{3}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{5}{8})\} ;\\ { } \frac{1}{2}, &\mbox{若} { } (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{5}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{1}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{3}{8})\} ;\\ { } \frac{1}{4}, &\mbox{若} { } (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{1}{8})\}. \end{array}\right. $

令

$ \left\{\begin{array}{ll} { }\xi_{ij}=\sharp\{(i, j): x_{il}\neq x_{jl}, 1, \cdots , m_1\}, \\ { } r^{3}_{ij}=\sharp\{(i, j): x_{il}=x_{jl}\in\{\frac{3}{8}, \frac{5}{8}\}, l=m_1+1, \cdots , m\}, \\ { } \alpha^{3}_{ij}=\sharp\{(i, j): (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{3}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{5}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{1}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{3}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{5}{8})\}, l=m_1+1, \cdots , m\}, \\ { } \beta^{3}_{ij}=\sharp\{(i, j): (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{5}{8}), (\frac{3}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{5}{8}, \frac{1}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{3}{8})\}, l=m_1+1, \cdots , m\}, \\ { } \gamma^{3}_{ij}=\sharp\{(i, j): (x_{il}, x_{jl})\in\{(\frac{1}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{7}{8}, \frac{1}{8})\}, l=m_1+1, \cdots , m\}. \end{array}\right. $

对于上述定义$ r^{3}_{ij}, \alpha^{3}_{ij}, \beta^{3}_{ij}, \gamma^{3}_{ij}, \xi_{ij} $有如下结论.

引理4.2   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_1}4^{m_2}) $有

(1) $ \sum\limits_{i=1}^{n}r^{3}_{ii}=\frac{m_2n}{2} $;

(2) $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{{j=1 \atop j\neq i}}^{n}\alpha^{3}_{ij}=\frac{3m_2n^2}{8}, \ \alpha^{1}_{ii}=0, i=1, \cdots , n; $

(3) $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{{j=1 \atop j\neq i}}^{n}\beta^{3}_{ij}=\frac{m_2n^2}{4}, \ \beta^{1}_{ii}=0, i=1, \cdots , n; $

(4) $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{{j=1 \atop j\neq i}}^{n}\gamma^{3}_{ij}=\frac{m_2n^2}{8}, \ \gamma^{1}_{ii}=0, i=1, \cdots , n; $

(5) $ \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{{j=1 \atop j\neq i}}^{n}\xi_{ij}=\frac{m_{1}n^2}{2}, \xi_{ii}=0, i=1, \cdots , n. $

对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 4^{m_{2}}) $, 利用$ r^{3}_{ij}, \alpha^{3}_{ij}, \beta^{3}_{ij}, \gamma^{3}_{ij}, \xi_{ij} $, 可获得$ [SD_2(d)]^2 $如下定理4.3所示的表达式.

定理4.3   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 4^{m_{2}}) $有

(4.2) $ \begin{equation} [SD_2(d)]^2=C_1-\frac{2}{n}\Big(\frac{11}{8}\Big)^{m_1}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m_2}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{47}{39}\right)^{r^{3}_{ii}} +\frac{2^m}{n^2}\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j\neq i}^n\left(\frac{1}{2}\right)^ {\xi_{ij}+\beta^{3}_{ij}+2\gamma^{3}_{ij}}\left(\frac{3}{4}\right)^{\alpha^{3}_{ij}}, \end{equation} $

其中$ C_1 $如定理3.1所示.

基于定理4.3所示$ [SD_2(d)]^2 $的表达式, 可获得$ [SD_2(d)]^2 $如下定理4.4所示的下界.

定理4.4   对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m_{1}}\times 4^{m_{2}}) $有

$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 2^{m_{1}}\times 4^{m_{2}}), $

其中

$ \begin{eqnarray*} LB(n, 2^{m_1}\times 4^{m_{2}})&=&C_1-\frac{2}{n}\Big(\frac{11}{8}\Big)^{m_{1}}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m_{2}}\Big[\Big(\frac{47}{39}\Big)^{\frac{m_{2}n}{2}}+(n-1)\Big]\\ &&+\frac{(n-1)2^m}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{m_{1}n}{2(n-1)}+\frac{m_{2}n}{4(n-1)}}\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3m_{2}n}{8(n-1)}}\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{m_{2}n}{8(n-1)}}, \end{eqnarray*} $

$ C_1 $如定理3.1所示.

当$ m_{2}=0 $或$ m_{1}=0 $时, 设计$ d $变成对称U-型设计, 其对称化$ L_2 $-偏差有如下推论.

推论4.2   (1) 对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 2^{m}) $有

$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 2^{m}), $

其中

$ LB(n, 2^{m})=C_1-2\Big(\frac{11}{8}\Big)^{m}+\frac{n-1}{n}2^{m}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{mn}{2(n-1)}}, $

其中$ C_1 $如定理3.1所示.

(2) 对任意的设计$ d\in{\cal U}(n; 4^{m}) $有

$ [SD_2(d)]^2\geq LB(n, 4^{m}), $

其中

$ \begin{eqnarray*} LB(n, 4^{m})&=&C_1-\frac{2}{n}\Big(\frac{39}{32}\Big)^{m}\Big[\Big(\frac{47}{39}\Big)^{\frac{mn}{2}}+(n-1)\Big] \\ &&+\frac{(n-1)2^m}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{mn}{4(n-1)}}\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3mn}{8(n-1)}} \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{mn}{8(n-1)}}, \ \end{eqnarray*} $

其中$ C_1 $如定理3.1所示.

记本文中获得的对称化$ L_2 $-偏差的下界为$ LB $, 对任意的设计$ d $, 定义其设计效率为eff$ (d)=LB/SD $. 下面给出两个例子来验证本文的理论结果.

例1   考虑如下2、3混水平设计$ d_1\in {\cal U}(6; 2^{10}3^5) $, 由定理4.1及设计效率的定义可知, eff$ (d_1)=0.9886 $.

$ d_1=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&\; 0\; &0&\; 0\; &1&\; 1\; &1&\; 1\; &1&\; 1\; &1&\; 0\; &1&\; 2\; &2\\ 0&1&1&1&0&0&0&1&1&1&2&1&2&2&0\\ 1&0&1&1&0&1&1&0&0&1&0&1&1&1&1\\ 1&1&0&1&1&0&1&0&1&0&1&2&2&0&1\\ 1&1&1&0&1&1&0&1&0&0&2&2&0&1&2 \end{array}\right]. $

例2   考虑如下的2、4混水平设计$ d_2\in {\cal U}(8; 2^{7}4^1) $, 由定理4.4及设计效率的定义可知, eff$ (d_2)=0.9428 $.

$ d_2=\left[\begin{array}{cccccccccccccccc} 0&\; 0\; &0&\; 0\; &0&\; 0\; &0&\; 2\\ 1&0&1&0&1&0&1&\; 1\\ 0&1&1&0&0&1&1&\; 0\\ 1&1&0&0&1&1&0&\; 3\\ 0&0&0&1&1&1&1&\; 3\\ 1&0&1&1&0&1&0&\; 0\\ 0&1&1&1&1&0&0&\; 2\\ 1&1&0&1&0&0&1&\; 1 \end{array}\right]. $