本文研究分数阶Choquard方程

多解的存在性, 其中$\Omega\subset {{\Bbb R}} ^N$是具有光滑边界的有界开集, $N>2s$, $s\in(0, 1)$, $0<\mu<N$, $\lambda$是正实参数, $q\in[2, 2^\ast_s)$, $2^\ast_{s}=\frac{2N}{N-2s}$是分数阶临界Sobolev指数. 分数阶Laplace算子$(-{\Delta})^s$定义为

关于Choquard方程的研究, 最早开始于1954年物理学家Pekar^[30]为了研究极化子在静止时的量子理论而提出的, 同时Choquard在研究等离子体物理中也提出了同样的问题. 此后, 关于非线性Choquard方程解的存在性和解的性质研究得到了广泛关注, 相关的文献见[11, 15–19, 21, 24–27]. 特别地, 对于分数阶算子的Choquard方程, 当$q=2$时, 文献[28] 研究了问题(1.1) 解的存在性, 更多分数阶方程的结果见文献[23, 33, 34].

我们将研究解的存在性与区域拓扑的关系. 在文献[12]中, Coron研究了方程

解的存在性与区域$\Omega$拓扑的关系, 其中$\Omega$是有界光滑区域, $N\geq3$, $2<p<2^{\ast}=\frac{2N}{N-2}$, $\lambda\in {{\Bbb R}} ^{+}$. 当$\lambda=0$, $p=2^{\ast}$, $N\geq3$时, 如果$\Omega$是不可压缩的, 则问题(1.2)具有一个正解, 更一般的结果见文献[4].

对于临界和逼近临界的问题(1.2), 利用Lusternik-Schnirelman定理^[22], 在文献[5, 6, 31, 35]中, 作者证明了问题(1.2) 至少有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个正解, 而在外区域$\Omega$上, 文献[9–10]得到了类似的结果.

对于Choquard方程

其中$\Omega\subset{{\Bbb R}} ^N$是光滑有界域, Goel^[17]证明了存在$0<\Lambda^{\ast}$, 当$p={2^\ast_{\mu}}=\frac{2N-\mu}{N-2}$, $\lambda\in(0, \Lambda^{\ast})$, $q\in[2, 2^{\ast})$, $N>3$或$4<q<6$, $N=3$时, 问题(1.3)至少有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个正解. Ghimenti和Pagliardini^[16]也对$p=2^\ast_{\mu}-\varepsilon$, $\lambda\geq0$, $q=2$, $\Omega\subset{{\Bbb R}} ^N$是光滑有界域时进行研究, 他们证明了存在$\bar{\varepsilon}>0$, 当$\varepsilon\in(0, \bar{\varepsilon}]$时, 方程(1.3) 有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个正解.

Figueiredo等^[13]研究了关于临界分数阶类问题(1.2)

其中$\Omega\subset{{\Bbb R}} ^N$是光滑有界域, $N>2s$, $s\in(0, 1)$, $\mu$是正的实参数, $q\in[2, 2^{\ast}_{s})$, 当$\mu\in(0, \tilde{\mu})$时, 问题(1.4)在条件$q=2$, $N\geq4s$或$q\in(2, 2^{\ast}_{s})$, $N>\frac{2s(q+2)}{q}$下有至少${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个非平凡解.

更多关于多解问题的研究, 可见文献[1, 2, 7, 36]等.

本文首先证明问题(1.1)基态解的存在性, 即能量极小解的存在性.

定理1.1  假设$s\in(0, 1)$, $N>2s$. 当$q\in(2, 2^{\ast}_{s})$时, 进一步假设$\lambda>0$, $N>\frac{2s(q+2)}{q}$, 而当$q=2$时, 假设$\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$, $N\geq 4s$, 则问题(1.1)至少有一个非负基态解.

定理1.1的证明, 主要在于验证$(PS)_{c}$条件. 利用基态解的存在, 我们得到以下主要结果.

定理1.2  设$s\in(0, 1)$, $N>2s$, $q\in[2, 2^\ast_s)$, $\Omega\subset {{\Bbb R}} ^N$是具有光滑边界的有界域. 当$q\in(2, 2^{\ast}_{s})$, $\lambda>0$, $N>\frac{2s(q+2)}{q}$或$q=2$, $\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$, $N\geq 4s$时, 则存在$\bar{\lambda}>0$, 对$\lambda\in(0, \bar{\lambda})$, 问题(1.1)至少有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个非平凡解.

定理1.2的证明主要在Nehari流形上应用Lusternik-Schnirelman定理, 通过文献[3, 14, 29]中的集中紧引理和重心函数$\beta(u_{n})\in\Omega^{+}_{r}$, 建立Nehari流形上的水平集与$\Omega$之间的联系, 最后得到泛函有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个临界点. 我们遇到的困难主要有以下几点: 首先是临界情形下的紧性缺失问题, 其次便是对能量泛函的估计, 最后是建立区域拓扑与解个数的关系.

本文的结构如下: 在第2节中介绍了一些基本定义, 性质和引理, 然后给出了几个重要引理的证明.第3节主要是证明当能量压到某个值以下, 限制在Nehari流形上的泛函满足$(PS)_{c}$条件, 并且求出了这个值为$(\frac{1}{2}-\frac{1}{22^{\ast}_{\mu, s}})(S^{H}_{s})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}}{2^{\ast}_{\mu, s}-1}}$. 做好了这些准备工作, 在第4节中利用集中紧引理, 通过重心函数$\beta(u_{n})\in\Omega^{+}_{r}$, 将区域$\Omega$与Nehari流形上的水平集联系到一起, 再利用Lusternik-Schnirelman畴数定理得出限制在Nehari流形上的泛函有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个临界点.

首先, 我们定义函数空间

其对偶空间记为${X}_{\, 0}^{'s}(\Omega)$, 空间上的范数为

为了用变分法研究问题(1.1), 我们需要以下Hardy-Littlewood-Sobolev不等式.

命题2.1^[20]  设$t, r>1$且$0<\mu<N$, $\frac{1}{t}+\frac{\mu}{N}+\frac{1}{r}=2$, $f\in L^{t}({{{\Bbb R}} }^N)$, $h\in L^{r}({{{\Bbb R}} }^N)$. 则存在与$f, h$无关的常数$C(t, r, \mu, N)$, 使得

若$t=r=\frac{2N}{2N-\mu}$, 则

(2.1)式中等式成立当且仅当$f\equiv Ch$且

其中$A\in {\Bbb C}$, $0\neq \gamma \in {{\Bbb R}}$, $a\in {{\Bbb R}} ^N$.

我们知道${X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$嵌入到$L^{2^{\ast}_s}({{\Bbb R}} ^N)$的最佳常数定义为

同样地, 我们定义

和

根据文献[28, 引理2.2]可知$S_{s}^{H}(\Omega)=S_{s}^{H}$且$S_{s}^{H}(\Omega)$不可达除非$\Omega={{\Bbb R}} ^N$.

引理2.1^[15]  由(2.2)式定义的常数$S_{s}^{H}$是可达的当且仅当

其中$x \in {{\Bbb R}} ^N$, $x_{0}\in {{\Bbb R}} ^N$, $C>0$, $t>0$, 并且有$S_{s}^{H}=\frac{S_{s}}{C(N, \mu)^{\frac{1}{2^{\ast}_{\mu, s}}}}$.

引理2.2^[28]  令

则${\|{\cdot}\|}_{0}$是定义于$Y_{0}:=\{u:{\Omega}{\rightarrow }{{\Bbb R}} :u\ \mbox{是可测的}, \ {\|}{\cdot}{\|}_{0}< + \infty\}$上的范数.

与方程(1.1)对应的能量泛函为

设${\cal N}_{\lambda, \Omega}$是与$I_{\lambda, \Omega}$有关的Nehari流形, 则

其中$\langle{I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u), u}\rangle={\| u \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}-\lambda|u|^{q}_{L^{q}(\Omega)}-{\| u \|}_{0}^{22^{\ast}_{\mu, s}}.$

根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式(2.1), 可以得到

由此可以证明$I_{\lambda, \Omega}\in C^{1}({X}_{\, 0}^{\, s})$. 我们知道$I_{\lambda, \Omega}$的临界点就是问题(1.1) 的弱解. 最后, 在文献[32]中证明了在齐次Dirichlet边界条件下

是$(-\Delta)^{s}$的第一特征值.

引理2.3  若$\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$, 则能量泛函$I_{\lambda, \Omega}$满足以下性质

(i) 存在$\beta, \rho>0$, 使得当$\| u \| _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}=\rho$时, $I_{\lambda, \Omega}\geq \beta$.

(ii) 存在$e\in{X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$, 当$\| e \| _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}>{\rho}$时, 有$I_{\lambda, \Omega}(e)<0$.

证  (i)  由Hölder不等式, Sobolev嵌入以及Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 可得

因此, 根据$\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$, $2<22^{\ast}_{\mu, s}$, 可以选择$\beta, \rho>0$, 使当$\| u \| _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}=\rho$时, $I_{\lambda, \Omega}\geq \beta$.

(ii)   设$u \in {X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$, 则当$t\rightarrow {\infty}$时, 有

趋于$-\infty$. 所以, 可以选取$t_{0}>0$, 使得$e:=t_{0}u$, 当$\| e \| _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}>{\rho}$时, 有$I_{\lambda, \Omega}(e)<0$. 证毕.

引理2.4  若$u_{0}$是$I_{\lambda, \Omega}$在${\cal N}_{\lambda, \Omega}$上的临界点, 则$u_{0}$也是$I_{\lambda, \Omega}$在${X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$上的临界点.

证  令$J_{\lambda, \Omega}(u)=\langle{I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u), u}\rangle$, 对任意的$u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 有$J_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u)\neq0$, 因此根据文献[35]可知${\cal N}_{\lambda, \Omega}$是一个$C^{1}$流形. 若$u_{0}$是$I_{\lambda, \Omega}$在${\cal N}_{\lambda, \Omega}$上的临界点, 则有$\langle{I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0}), u_{0}}\rangle=0$. 由文献[35], 存在$\theta\in{{\Bbb R}}$, 使得$I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0})=\theta J_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0})$, 其中

又因为

所以由$I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0})=\theta J_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0})$, 可得

因此可以推断出$\theta=0$, 即有$I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0})=0$. 证毕.

引理2.5  若$\lambda>0$, 则${\cal N}_{\lambda, \Omega}\neq\emptyset$且$I_{\lambda, \Omega}$在${\cal N}_{\lambda, \Omega}$上有下界.

证  令$u\in {X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}\setminus\{0\}$, 考虑函数

则$f(0)=0$, 当$t\rightarrow \infty$时, $f(t)\rightarrow {-\infty}$.

接下来我们证明存在唯一的$t_{0}>0$, 使得$f^{\prime}(t_{0})=0$. 因为

令

由于$k(t)$关于$t>0$是连续的, 且当$t\rightarrow \infty$时, $k(t)\rightarrow {+}\infty$, $k^{\prime}(t)>0$, 因此, 存在唯一的$t_{0}>0$, 使得$k(t_{0})={\| u \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}}$, 即$f^{\prime}(t_{0})=0$. 所以$t_{0}f^{\prime}(t_{0})=0$, $t_{0}u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 即${\cal N}_{\lambda, \Omega}\neq\emptyset$. 若$u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$,

因此${\| u \| } _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}$具有一致的正下界. 则由

可得, $\inf\limits_{u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}}I_{\lambda, \Omega}(u)>0$. 也就是说$I_{\lambda, \Omega}$在${\cal N}_{\lambda, \Omega}$上有下界. 证毕.

在本节中, 我们将给出$(PS)_{c}$条件的证明以及$I_{\lambda, \Omega}$在Nehari流形上的极小达到函数的存在性. 我们定义

引理3.1  设$N>2s$, $s\in(0, 1)$, $\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$, $q\in[2, 2^\ast_s)$, 若$c<(\frac{1}{2}-\frac{1}{22^{\ast}_{\mu, s}})(S^{H}_{s})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}}{2^{\ast}_{\mu, s}-1}}$, 则$I_{\lambda, \Omega}$满足$(PS)_{c}$条件.

证  设$\{u_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}$是${X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$上的$(PS)_{c}$列, 则当$q\in(2, 2^{\ast}_{s})$时,

因此${\| u_{n} \| }_{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}$有界.

当$q=2$时,

因此${\| u_{n} \| }_{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}$有界.

由于${X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$是自反的, 所以存在子列仍记为$\{u_{n}\}$, 以及$u_{0}\in{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$, 使得当$n\rightarrow {\infty}$时,

并且对任意的$\varphi\in{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$, 有

即$I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0})=0$.

接下来令$v_{n}:=u_{n}-u_{0}$. 由Brezis-Lieb引理^[8], 可得

再根据文献[28], 有

所以当$n\rightarrow {\infty}$时,

又因为$I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n})\rightarrow 0$, $I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{0})=0$, 我们得到当$n\rightarrow {\infty}$时, ${\| v_{n} \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}={\| v_{n} \|}_{0}^{22^{\ast}_{\mu, s}}+o(1).$假设${\| v_{n} \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}\rightarrow b$, 则有${\| v_{n} \|}_{0}^{22^{\ast}_{\mu, s}}\rightarrow b$.

我们断言$b=0$. 若$b\neq0$, 则由$S_{s}^{H}$的定义, 可得${\| v_{n} \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}\geq S_{s}^{H}{\| v_{n} \|}_{0}^{2}.$因此可得$b\geq S_{s}^{H}b^{\frac{1}{2^{\ast}_{\mu, s}}}$, 即$b\geq(S_{s}^{H})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}}{2^{\ast}_{\mu, s}-1}}$又因为当$n\rightarrow {\infty}$时,

根据

可得矛盾. 因此$b=0$, 即$(PS)_{c}$条件成立. 证毕.

引理3.2  设$N>2s$, $s\in(0, 1)$, $\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$, $q\in[2, 2^\ast_s)$. 若$c<(\frac{1}{2}-\frac{1}{22^{\ast}_{\mu, s}})(S^{H}_{s})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}}{2^{\ast}_{\mu, s}-1}}$, 则$I_{\lambda, \Omega}$在${\cal N}_{\lambda, \Omega}$上满足$(PS)_{c}$条件.

证  设$u_{n}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 使得$I_{\lambda, \Omega}(u_{n})\rightarrow c$. 由文献[35, 性质5.12] 可知存在一个序列$\{\theta_{n}\}\subset{{\Bbb R}}$, 当$n\rightarrow {\infty}$时, ${\| I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n})-\theta_{n}J_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n}) \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{'s}(\Omega)}\rightarrow 0,$其中$J_{\lambda, \Omega}(u_{n})={\| u_{n} \| }^{2}_{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}-\lambda|u_{n}|^{q}_{L^{q}(\Omega)}-{\| u_{n} \|}_{0}^{22^{\ast}_{\mu, s}}.$因此有$I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n})=\theta_{n}J_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n})+o(1).$又因为

当$u_{n}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$时,

因此存在$C^{\prime}>0$, ${\| u_{n} \| }_{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}\geq C^{\prime}$. 所以设$\langle{J_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n}), u_{n}}\rangle\rightarrow l<0$. 又由$\langle{I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n}), u_{n}}\rangle=0$, 可得当$n\rightarrow {\infty}$时, $\theta_{n}\rightarrow 0$. 因此, $I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{n})\rightarrow 0$, 即

由引理3.1可知$(PS)_{c}$条件成立. 证毕.

不失一般性, 我们假设$0\in\Omega$, 固定$\delta>0$使得$B_{4\delta}(0)\subset\Omega$. 再定义$\eta\in C^{\infty}_{c}({{\Bbb R}} ^{N})$使得在${{\Bbb R}} ^{N}$上, $0\leq\eta\leq1$, 在$B_{\delta}(0)$上, $\eta\equiv1$, 在${{\Bbb R}} ^{N}\setminus B_{2\delta}(0)$上, $\eta\equiv0$且$|\nabla\eta|<C$.

定义函数族

和

其中$u^{\ast}(x)=\alpha(\beta^{2}+|\frac{x}{S_{s}^{\frac{1}{2s}}}|^{2})^{-\frac{(N-2s)}{2}}$, $\alpha\in{{\Bbb R}} \setminus\{0\}$, $\beta>0$是固定常数.

命题3.1  设$s\in(0, 1)$且$N>2s$. 则当$\varepsilon\rightarrow 0$时, 以下估计成立：

(i) ${\| u_{\varepsilon} \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}\leq (C(N, \mu))^{\frac{N(N-2s)}{2s(2N-\mu)}}(S_{s}^{H})^{\frac{N}{2s}}+O(\varepsilon^{N-2s})$.

(ii) ${\| u_{\varepsilon} \|}_{0}^{2}\leq(C(N, \mu))^{\frac{N(N-2s)}{2s(2N-\mu)}}(S_{s}^{H})^{\frac{N-2s}{2}}+O(\varepsilon^{N-2s})$且

${\| u_{\varepsilon} \|}_{0}^{2}\geq((C(N, \mu))^{\frac{N}{2s}}(S_{s}^{H})^{\frac{2N-\mu}{2s}}-O(\varepsilon^{\frac{N(2N-\mu-\sigma)}{2N-\sigma}}))^{\frac{N-2s}{2N-\mu}}$, 其中$0<\sigma<2N-\mu$.

(iii)

其中$C_{s}$是正常数.

(iv) $|u_{\varepsilon}|^{q}_{L^{q}_{(\Omega)}}\geq O(\varepsilon^{N-(\frac{N-2s}{2})q})$.

证  (i), (ii), (iii)的证明见文献[28]. (iv)的证明见文献[13]. 证毕.

定理1.1的证明  我们考虑变分问题$m_{\lambda}=\inf\limits_{u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}}I_{\lambda, \Omega}(u)$. 可以验证$m_{\lambda}$的达到函数即为问题(1.1)的基态解. 为了证明$m_{\lambda}$可达, 我们需要证明泛函$I_{\lambda, \Omega}(u)$满足$(PS)_{c}$条件. 根据引理3.1, 只要证明$\inf\limits_{u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}} I_{\lambda, \Omega}(u)<(\frac{1}{2}-\frac{1}{22^{\ast}_{\mu, s}})(S^{H}_{s})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}}{2^{\ast}_{\mu, s}-1}}$. 为此, 只要证明存在$u_{0}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 使得

对于任意的$\varepsilon>0$, 且存在$t_{\varepsilon}=t_{\varepsilon, \lambda}>0$使得$t_{\varepsilon}u_{\varepsilon}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 即

根据$\lambda>0$以及命题3.1有

所以

其中$\varepsilon$足够小, $C_{1}$, $C_{2}$为正常数.

又因为

根据Sobolev嵌入以及命题3.1, 存在正常数$C_{q}$, $C_{1}$使得

当$\varepsilon\rightarrow 0$时, 可知存在$T>0$使得$t_{\varepsilon}\geq T$.

若$q\in(2, 2^{\ast}_{s})$, 由命题3.1可得

其中$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{3}$是正常数.

令

易知$g(t)$在$[0, (\frac{(C(N, \mu))^{\frac{N(N-2s)}{2s(2N-\mu)}}(S_{s}^{H})^{\frac{N}{2s}}+C_{1}{\varepsilon}^{N-2s}}{C(N, \mu)^{\frac{N}{2s}}(S_{s}^{H})^{\frac{2N-\mu}{2s}}-C_{2}{\varepsilon}^{\frac{N(2N-\mu-\sigma)}{2N-\sigma}}})^{\frac{1}{22^{\ast}_{\mu, s}-2}}]$上是单增的. 因此, 存在正常数$C_{4}$使得

其中$\lambda>0$, $\varepsilon$足够小, $N>\frac{2s(q+2)}{q}$.

若$q=2$, 分为两种情况$N>4s$与$N=4s$. 当$N>4s$时,

其中$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{5}$是正常数. 因此我们有

其中$\lambda>0$, $\varepsilon$足够小.

当$N=4s$时,

其中$C_{1}$, $C_{2}$, $C_{5}$是正常数. 所以

其中$\lambda>0$, $\varepsilon$足够小. 因此存在$u_{0}=t_{\varepsilon}u_{\varepsilon}$, $\varepsilon$足够小, 有$u_{0}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 使得

因此,

由引理3.1, 引理2.3以及山路引理, 存在$u_{\lambda, \Omega}\in{X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$, 使得

且$I_{\lambda, \Omega}^{\prime}(u_{\lambda, \Omega})=0$, 即$u_{\lambda, \Omega}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$. 因此, $m_{\lambda}\leq c_{\lambda}$. 再根据引理2.5, 对任意的$v\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 存在唯一的$t_{0}>0$, 使得$\max\limits_{t\geq 0}I_{\lambda, \Omega}(tv)=I_{\lambda, \Omega}(t_{0}v)$, 又因为$u_{\lambda, \Omega}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 即可得$c_{\lambda}\leq\max\limits_{t\geq 0}I_{\lambda, \Omega}(tu)=I_{\lambda, \Omega}(u_{\lambda, \Omega})$, 因此有$m_{\lambda}\geq c_{\lambda}$. 即得$m_{\lambda}=c_{\lambda}$. 所以存在$u_{\lambda, \Omega}\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}$, 使得$I_{\lambda, \Omega}(u_{\lambda, \Omega})=c_{\lambda}=m_{\lambda}= \inf\limits_{u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}} I_{\lambda, \Omega}(u)$, 又因为$I_{\lambda, \Omega}(u_{\lambda, \Omega})=I_{\lambda, \Omega}(|u_{\lambda, \Omega}|)$, 可以假设$u_{\lambda, \Omega}\geq 0$. 证毕.

在本节中, 我们利用重心函数将水平集与区域$\Omega$联系起来, 再根据畴数定理推导出方程(1.1)有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个正解.

当$\lambda=0$时,

引理4.1  $m_{0}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{22^{\ast}_{\mu, s}})(S^{H}_{s})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}}{2^{\ast}_{\mu, s}-1}}$.

证  若$A, B>0$, 则

因此

证毕.

引理4.2  若$\lambda_{n}\rightarrow 0$, 则$c_{\lambda_{n}}\rightarrow c_{0}$.

证  已知对所有的$n\in {\Bbb N}$, 有$c_{\lambda_{n}}\leq c_{0}.$设$\{u_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}\subset{X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$, 使得$I_{\lambda_{n}, \Omega}(u_{n})=c_{\lambda_{n}}$, 且$I_{\lambda_{n}, \Omega}^{\prime}(u_{n})=0$以及$\{t_{n}\}\subset{{\Bbb R}}$, $t_{n}u_{n}\in{\cal N}_{0, \Omega}$, 则有

因此

我们断言$\{t_{n}\}$是有界序列. 否则若$t_{n}\rightarrow \infty$, 由$c_{\lambda_{n}}\leq c_{0}$, 可得$\{u_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}\subset{X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$是有界序列, 又因为$t_{n}u_{n}\in{\cal N}_{0, \Omega}$, 有

所以当$n\rightarrow \infty$时,

根据$\langle{I_{\lambda_{n}, \Omega}^{\prime}(u_{n}), u_{n}}\rangle=0$, 即

其中$\bar{C}>0$是适当的常数. 当$\lambda_{n}\rightarrow 0$, 可知${\| u_{n} \|}_{0}^{22^{\ast}_{\mu, s}}\nrightarrow 0$, 所以$\{t_{n}\}$是有界的. 因此由$c_{0}\leq c_{\lambda_{n}}+\frac{\lambda_{n}t_{n}^{q}}{q}|u_{n}|^{q}_{L^{q}({\Omega})}$可得

即${ } c_{0}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}c_{\lambda_{n}}$. 证毕.

引理4.3  令$\{v_{n}\}$是一个序列, 在${{D}}^{\, s, 2}{({{\Bbb R}} ^N)}$中弱收敛到$v$, 使得在测度的意义下

其中$\omega$, $\tau$和$\nu$是${{\Bbb R}} ^N$中的有界非负测度, 并且定义

则有以下式子成立

并且, 当$v=0$, $\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}{\rm d}\omega=(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}{\rm d}\nu)^{\frac{1}{2^{\ast}_{\mu, s}}}S^{H}_{s}$时, $v$集中于一点.

证  先证(4.1)式. 令$\eta\in C^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$, 使得在${{\Bbb R}} ^{N}$上, $0\leq\eta\leq1$, 在$B_{1}$上, $\eta=0$且在${{\Bbb R}} ^{N}\setminus B_{2}$上, $\eta=1$. 对所有的$R>0$, 令$\eta_{R}(x)=\eta(\frac{x}{R})$, 则有

又因为

可得

并且

因此当$R\rightarrow \infty$, 由Lebesgue定理可知

再证(4.2)式. 根据

以及

可得

又有

所以当$R\rightarrow \infty$, 由Lebesgue定理可知

接下来证不等式(4.3). 由Sobolev不等式可得

由文献[3, 引理1.4.5]有

则

所以, 由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 可得

即$(S^{H}_{s})^{2}{\nu_{\infty}}^{\frac{2}{2^{\ast}_{\mu, s}}}\leq\omega_{\infty}(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}{\rm d}\omega+\omega_{\infty})$. 接下来证明

令$\xi_{n}=v_{n}-v$, 则有

令$\psi\in C^{\infty}_{c}({{\Bbb R}} ^{N})$, 使得在${{\Bbb R}} ^{N}$上, $0\leq\psi\leq1$; 在$B_{1}$上, $\psi=1$且在${{\Bbb R}} ^{N}\setminus B_{2}$上, $\psi=0$. 由$S^{H}_{s}$的定义可知

由Minkowski不等式可得

下面证明

简单起见, 假设supp$\psi=\bar{B_{1}}$, 令$w(x)=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}\frac{|\psi(x)-\psi(y)|^{2}}{|x-y|^{N+2s}}{\rm d}y$. 因为

所以$w\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$. 并且, 当$|x|>2$, $|y|\leq1$时, 可得$|x-y|\geq|x|-|y|\geq|x|-1\geq\frac{|x|}{2}$, 因此

固定$R>2$, 由Hölder不等式可得

根据$\xi_{n}(x)\rightarrow 0$在$L^{2}(B_{R})$中, 可以得到, 对$\forall R>2$, 有

因此当$n\rightarrow \infty$时,

从而,

另一方面, 已知

再由文献[14, (2.8)式], 有

根据(4.5)式以及$S^{H}_{s}$的定义可得

故当$n\rightarrow \infty$时, 有

取光滑函数$\chi_{R}(x)$满足当$|x|<R-1$时$\chi_{R}\equiv1$, $|x|\geq R$时$\chi_{R}(x)\equiv0$, 且在${{\Bbb R}} ^{N}$上, $0\leq\chi_{R}(x)\leq1$. 显然$\forall R>1$, 有$\chi_{R}(x)\in C_{c}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$. 因而

令$R\rightarrow \infty$, 可得

最后证当$v=0$, $\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}{\rm d}\omega=(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}{\rm d}\nu)^{\frac{1}{2^{\ast}_{\mu, s}}}S^{H}_{s}$时, $v$集中于一点. 当$v=0$时, $\kappa=\nu$, $\bar{\omega}=\omega$, 由Hölder不等式可知

则有

将其代入$(\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|\psi|^{22^{\ast}_{\mu, s}}{\rm d}\nu)^{\frac{1}{2^{\ast}_{\mu, s}}}\leq({S^{H}_{s}})^{-1}\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}|\psi|^{2}{\rm d}\omega$, 可得

所以对任意开集$\Omega$, 有$\nu(\Omega)^{\frac{1}{2^{\ast}_{\mu, s}}}\nu({{\Bbb R}} ^{N})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}-1}{2^{\ast}_{\mu, s}}}\leq\nu(\Omega)$. 若$\nu(\Omega)\neq0$, 则有$\nu({{\Bbb R}} ^{N})\leq\nu(\Omega)$. 若$\nu$集中于两个以上的点, 取$\Omega$中只包含一个点, 则$\nu(\Omega)<\nu({{\Bbb R}} ^{N})\leq\nu(\Omega)$, 矛盾. 因此$\nu$集中于一点. 证毕.

引理4.4  设$\{u_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}\subset{X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$是非负序列且

则存在一个序列$z_{n}\in{{{\Bbb R}} ^{N}}$, $\alpha_{n}\in{{\Bbb R}} ^{+}$, 使得

有收敛子列, 仍记为$v_{n}$. 并且在${{D}}^{\, s, 2}{({{\Bbb R}} ^N)}$中$v_{n}\rightarrow v{\not\equiv}0$, $z_{n}\rightarrow z\in\bar{\Omega}$, 且当$n\rightarrow \infty$时, $\alpha_{n}\rightarrow 0$. 特别地, $v$是$S_{s}^{H}$的极小化子.

证  定义Lévy集中函数

易知对任意的$n$, $\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0^{+}}Q_{n}(\lambda)=0$, $\lim\limits_{\lambda\rightarrow \infty}Q_{n}(\lambda)=1$, 存在$\alpha_{n}>0$, 使得$Q_{n}(\alpha_{n})=\frac{1}{2}$. 并且, 存在$z_{n}\in{{{\Bbb R}} ^{N}}$使得

接下来定义$v_{n}(x)=\alpha_{n}^{\frac{N-2s}{2}}u_{n}(\alpha_{n}x+z_{n})$, 则

当$n\rightarrow \infty$时, $|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}v_{n}|^{2}_{2}\rightarrow S^{H}_{s}$, 且

又因为

因此

因为$\{v_{n}\}$在${{D}}^{\, s, 2}{({{\Bbb R}} ^N)}$上有界, 所以存在子列仍记为$\{v_{n}\}$使得

并且根据文献[35, 定理1.39]可知, 有界测度是弱紧的, 因此存在$\omega$, $\tau$和$\nu$, 在测度的意义下使得

现在, 利用Brezis-Lieb引理, 我们有

当$n\rightarrow \infty$时,

通过引理4.3中的(4.1)式有

又

由(4.2)式有

根据不等式(4.3)以及$S^{H}_{s}=\int_{{{\Bbb R}} ^N}{\rm d}\omega+\omega_{\infty}$可知$(S^{H}_{s}){\nu_{\infty}}^{\frac{2}{2^{\ast}_{\mu, s}}}\leq\omega_{\infty}.$因此

即

所以

$\nu_{\infty}$等于$1$或$0$. 利用(4.6)式有$\nu_{\infty}\leq\frac{1}{2}$. 因此$\nu_{\infty}=0$. 若$\int_{{{\Bbb R}} ^N}{\rm d}\kappa=1$, 则

由此可知$v=0\ {\rm a.e.} \ {{\Bbb R}} ^N$, 所以$S^{H}_{s}=\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}{\rm d}\bar{\omega}+\omega_{\infty}\geq\int_{{{\Bbb R}} ^{N}}{\rm d}\bar{\omega},$由此可得

因此

根据$v=0\quad {\rm a.e.} \ {{\Bbb R}} ^N$, 可知$v$集中于一点$z_{0}$. 又因为

这是不可能的, 因此

又因为$S^{H}_{s}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}v_{n}|^{2}_{2}=|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}v|^{2}_{2},$即$v$是$S^{H}_{s}$的极小化子. 从引理2.1中可知$S^{H}_{s}$是可达的当且仅当

其中$x \in {{\Bbb R}} ^N$, $x_{0}\in {{\Bbb R}} ^N$, $C>0$, $t>0$.即$v=u=C(\frac{t}{t^{2}+|x-x_{0}|^{2}})^{\frac{N-2s}{2}}$. 特别的, $v\not\equiv0$.

接下来证明$\alpha_{n}\rightarrow 0$且$z_{n}\rightarrow z_{0}\in\bar{\Omega}$. 首先证明$\{\alpha_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}$有界. 若$\alpha_{n}\rightarrow \infty$, 因为$\{u_{n}\}$在${X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$上是有界的, 则$\{u_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}\subset L^{2}(\Omega)$也是有界的. 所以定义$\Omega_{n}=\frac{\Omega-z_{n}}{\alpha_{n}},$可得

其中$C$是正常数. 另外由Fatou引理, 有

可得$v\equiv0$, 矛盾. 因此$\{\alpha_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}$是有界的, 故可以设当$n\rightarrow \infty$时, $\alpha_{n}\rightarrow \alpha_{0}$, $\alpha_{0}\in{{\Bbb R}}$.

再证$\{z_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}$有界. 因为$\Omega$是有界域, 当$z_{n}\rightarrow \infty$, 对$\forall x\in\Omega$, $n$足够大, 可得$\alpha_{n}x+z_{n}\notin\bar{\Omega}$. 根据$u_{n}\in{X}_{\, 0}^{\, s}{(\Omega)}$, 对$\forall x\in\Omega$, 有$u_{n}(\alpha_{n}x+z_{n})=0$, 这与假设${\| u_{n} \|}_{0}^{22^{\ast}_{\mu, s}}=1$矛盾, 所以$\{z_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}$是有界的, 因此可以假设当$n\rightarrow \infty$时, $z_{n}\rightarrow z_{0}$.

下面证明$\alpha_{n}\rightarrow0$. 因为$\Omega_{n}\rightarrow \frac{\Omega-z_{0}}{\alpha_{0}}=\Omega_{0}\neq{{\Bbb R}} ^N$. 根据假设可得

通过当$n\rightarrow \infty$, 在${{D}}^{\, s, 2}{({{\Bbb R}} ^N)}$中$v_{n}\rightarrow v$, 可得

这是不可能的. 所以, 当$n\rightarrow \infty$时, $\alpha_{n}\rightarrow0$.

最后, 若$z_{0}\notin\bar{\Omega}$. 当$n\rightarrow \infty$时, 对所有的$x\in\Omega$, 有$\alpha_{n}x+z_{n}\rightarrow z_{0}$, 根据$z_{0}\notin\bar{\Omega}$, 可得当$n$很大时, $\alpha_{n}x+z_{n}\notin\bar{\Omega}$, 因此$u_{n}(\alpha_{n}x+z_{n})=0$, 这与${\| u_{n} \|}_{0}^{22^{\ast}_{\mu, s}}=1$矛盾, 即$z_{0}\in\bar{\Omega}$. 证毕.

因为$\Omega$是有界域, 选择$r>0$足够小, 使得

与$\Omega$是同伦的. 设$B_{r}=B_{r}(0)\subset\Omega$. 令

其中

特别地, 在第3节中, 引理4.1和引理4.2中均取$\Omega=B_{r}$, 相关结论也成立. 另外, 由定理1.1, 可知存在$u_{\lambda, B_{r}}\in{\cal N}_{\lambda, B_{r}}$, 在$B_{r}$中$u_{\lambda, B_{r}}\geq0$, 且

由极值原理, $u_{\lambda, B_{r}}>0$, 根据文献[24]可得$u_{\lambda, B_{r}}$是球对称的. 下面令$I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}=\{u\in{\cal N}_{\lambda, \Omega}:I_{\lambda, \Omega}(u)\leq m(\lambda)\}$, 对给定的$u_{\lambda, B_{r}}$定义$\phi_{\lambda}:\Omega^{-}_{r}\rightarrow I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}$,

另外, 定义重心映射$\beta:{\cal N}_{\lambda, \Omega}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{N}$如下

因为$u_{\lambda, B_{r}}$是球对称的, 对任意$y\in\Omega^{-}_{r}$, 有$\beta(\phi_{\lambda}(y))=y$.

引理4.5  令$s\in(0, 1)$, $n>2s$, $q\in[2, 2^{\ast}_{s})$, 存在$\lambda^{\ast}>0$, 使得对$\lambda\in(0, \lambda^{\ast})$, 若$u\in I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}$, 则$\beta(u)\in\Omega^{+}_{r}$.

证  用反证法, 假设存在$\{\lambda_{n}\}\in{{\Bbb R}} ^{+}$, $u_{n}\in I_{\lambda_{n}, \Omega}^{m(\lambda_{n})}$使得$\lambda_{n}\rightarrow0$, $\beta(u_{n})\notin\Omega^{+}_{r}$. 已知

和

因为$\{u_{n}\}_{n\in {\Bbb N}}$在${X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$上有界, 由Sobolev紧嵌入我们有

和

又当$\lambda_{n}\rightarrow0$时, 有

令$w_{n}:=\frac{u_{n}}{{\| u_{n} \|}_{0}}$, 则${\| w_{n} \|}_{0}=1$, 且

即$S^{H}_{s}\leq{\| w_{n} \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}\leq S^{H}_{s}+o(1)$, 因此${\| w_{n} \| }^{2} _{{X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)}\rightarrow S^{H}_{s}$.

由引理4.4, 存在$\alpha_{n}\in{{\Bbb R}} ^{+}$, 序列$z_{n}\in{{{\Bbb R}} ^{N}}$使得$v_{n}(x)=\alpha_{n}^{\frac{N-2s}{2}}w_{n}(\alpha_{n}x+z_{n})$强收敛到$v\in{{D}}^{\, s, 2}{({{\Bbb R}} ^N)}$. 注意到

令$\varphi\in C_{0}^{\infty}({{\Bbb R}} ^{N})$, 使得$\varphi(x)=x$, 对所有的$x\in\bar{\Omega}$, 可得

这与$\beta(u_{n})\notin\Omega^{+}_{r}$矛盾, 所以$\beta(u_{n})\in\Omega^{+}_{r}$. 证毕.

引理4.6  假设$s\in(0, 1)$, $N>2s$, $q\in[2, 2^{\ast}_{s})$. 对$\lambda\in(0, \lambda^{\ast})$有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)\leq {\rm cat}_{I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}}(I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}).$

证  设$I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}=A_{1}\cup A_{2}\cdots\cup A_{n}$, 其中$A_{j}$, $j=1, 2, \cdots, n$, 是$I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}$中的可压缩集, 即存在$h_{j}\in C([0, 1]\times A_{j}, I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)})$, 使得对$\forall u, v\in A_{j}$, 有

由(4.7)式定义的$\phi_{\lambda}$, 令

则$B_{j}$是闭集且$B_{j}\subset\Omega_{r}^{-}$, 对$\forall x\in\Omega_{r}^{-}$, $\phi_{\lambda}(x)\in I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}\subset\bigcup\limits_{j=1}^n{A_{j}}$, 所以存在$j_{0}$, 使得$\phi_{\lambda}(x)\in A_{j_{0}}$, 即$x\in\phi_{\lambda}^{-1}(A_{j_{0}})=B_{j_{0}}$. 因此$\Omega_{r}^{-}=\bigcup\limits_{j=1}^n{B_{j}}.$再证$B_{j}$在$\Omega_{r}^{+}$上可压缩. 令$g_{j}(t, x)\in C([0, 1]\times B_{j}, \Omega_{r}^{+})$,

有$g_{j}(0, x)=\beta(h_{j}(0, \phi_{\lambda}(x)))=\beta(\phi_{\lambda}(x))$, $\forall x, y\in B_j$,

所以$B_{j}$在$\Omega_{r}^{+}$上可压缩, 即可得${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)={\rm cat}_{\Omega_{r}^{+}}(\Omega_{r}^{-})\leq {\rm cat}_{I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)}}(I_{\lambda, \Omega}^{m(\lambda)})$. 证毕.

定理1.2的证明  由引理3.2, 当$c<(\frac{1}{2}-\frac{1}{22^{\ast}_{\mu, s}})(S^{H}_{s})^{\frac{2^{\ast}_{\mu, s}}{2^{\ast}_{\mu, s}-1}}$, $\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$时, $I_{\lambda, \Omega}$在${\cal N}_{\lambda, \Omega}$上满足$(PS)_{c}$条件. 当$q\in(2, 2^{\ast}_{s})$, $\lambda>0$, $N>\frac{2s(q+2)}{q}$或$q=2$, $\lambda\in(0, \lambda_{1, s})$, $N\geq 4$, 则由定理1.1,

再根据Lusternik-Schnirelman定理^[35]以及引理4.6, 对任意的$\lambda\in(0, \bar{\lambda})$, 其中当$q=2$时, $\bar{\lambda}=\min\{\lambda_{1, s}, \lambda^{\ast}\}$, 当$q\in(2, 2^{\ast}_{s})$时, $\bar{\lambda}=\lambda^{\ast}$, 在${\cal N}_{\lambda, \Omega}$上$I_{\lambda, \Omega}$至少有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$个非平凡的临界点, 利用引理2.4, 可知在${X}_{\, 0}^{\, s}(\Omega)$上$I_{\lambda, \Omega}$至少有${\rm cat}_{\Omega}(\Omega)$非平凡的个临界点. 证毕.