微分变分不等式(Differential Variational Inequalities, 简写DVI)是微分包含系统的特殊情形之一, 它是由微分方程和变分不等式组成的. 这概念是由著名的法国数学家Aubin与意大利数学家Cellina于1984年在其专著中首次提出^[1]. 此后, Avgerinous和Papageorgious在Aubin等人工作的基础上运用拓扑方法, 研究具有时间依赖的周期边界DVI问题^[2]. Friesz等人考虑由城市道路网的动态交通分配中的微分变分不等式问题^[13]. 在2006年, Friesz等人探索一种具有清晰可区分状态和控制的动态寡头垄断竞争的微分变分不等式模型^[14]. 在2008年, Pang和Stewart对微分变分不等式进行了详细介绍^[33]. 自从那以后, 微分变分不等式得到广泛的研究和学习, 参见文献[9, 10, 19–21, 24, 28–34, 43]及其参考文献. 许多文献考虑了微分变分不等式在有限维空间解的存在性和唯一性, 见文献[9, 19, 20, 31, 33]. 在无限维空间中, Liu-Zeng-Motreanu ^[28]首次在不等式约束集$ K $是紧凸的前提下研究了偏微分变分不等式(简写为PDVI)解的存在性. 在文献[25, 26]中, 作者考虑不等式约束集$ K $不是紧的情况下新的偏微分变分不等式解的存在性.

在过去的几十年中, 微分系统的拓扑性质得到了学者们的广泛关注. 特别地, Bang-Bang准则和松弛性质作为发展微分系统的两个重要性质在近年来得到学者们广泛研究. 例如, "Bang-Bang" 准则^{[3-6, 8, 21, 34, 36, 38]}关注的是如果一个运动状态通过控制变量$ u(t) $使得它在紧凸集中达到(例如[0, 1]), 则同样的通过控制变量使得它仅在紧凸集的Extreme点达到(例子中的0和1两点). 松弛性质^{[22, 44, 45]}的目标是证明微分包含右端是非凸情形时所对应的解集在微分包含右端是凸值$ \overline{\mbox{co}}F(t) $的解集中稠密.

同时, Bang-Bang准则主要是为了证明如果控制系统中集值映射$ F(t) $被$ \mbox{ext}F(t) $所替代, 那么控制系统的可达集保持同样的性质^{[8, 36, 38]}. 证明这个性质的主要工具是拓扑方法和非光滑分析理论. 但是, 迄今为止, 微分变分不等式的Bang-Bang准则一直处于未被研究的状态.

本文的主要目的是考虑微分变分不等式的Bang-Bang准则. 设$ X $和$ Y $是自反可分的Banach空间. $ K $是$ Y $中的闭凸子集. 考虑如下微分变分不等式控制系统

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} x'(t)=Ax(t)+B(t, x(t))u(t), \; t\in J=[0, b], \\ u(t)\in SOL(K, g(t, x(t))+G(\cdot), \varphi), \quad\mbox{a.e. }t\in J, \\ x(0)=x_{0}\in X, \end{array}\right. \end{equation} $

其中算子$ A $是强连续半群$ \{T(t), t\geq0\} $在空间$ X $中的无穷小生成元, 非线性泛函$ B:J\times X\rightarrow L(Y, X) $是连续的从$ Y $映射到$ X $, 且SOL$ (K, g(t, x(t))+G(\cdot), \varphi) $ (同下) 记为如下广义变分不等式(简写为(VI)) 在$ Y $中的解集: 寻找$ u:J\rightarrow K $使得

(1.2) $ \begin{equation} \langle g(t, x(t))+G(u(t)), v-u(t)\rangle+\varphi(v, u(t)) \geq0 \quad\forall v\in K, \quad\mbox{a.e. }t\in J. \end{equation} $

同时考虑如下问题

(1.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} x'(t)=Ax(t)+B(t, x(t))u(t), \; t\in J=[0, b], \\ u(t)\in \mbox{ext}SOL(K, g(t, x(t))+G(\cdot), \varphi), \quad\mbox{a.e. }t\in J, \\ x(0)=x_{0}\in X. \end{array}\right. \end{equation} $

本文的新颖之处在于考虑广义微分变分不等式解集的非空性和微分变分不等式系统的Bang-Bang准则. 对于广义变分不等式解集的非空性, 我们通过运用KKM技术和单调性理论得到解集是非空有界闭凸的. 对于微分变分不等式系统的Bang-Bang控制准则, 首先通过运用不动点理论讨论原始微分系统温和解的存在性, 其次利用Krein-Milman定理得到微分变分不等式端点解集是非空的, 最后运用非线性泛函理论证明Bang-Bang准则. 其主要工具是Schauder不动点定理、连续选择定理, 端点集的可分连续选择定理等集值分析理论知识, 见文献[39–42].

本文余下部分安排如下: 第2章中给出一些文章用到的基础知识. 第3章给出广义变分不等式解集的性质. 第4章, 给出一些对于证明主要结果有用的辅助性结果和微分变分不等式系统解的存在性. 第5章研究微分变分不等式系统端点解的存在性. 第6章探讨微分变分不等式系统Bang-Bang准则. 最后给出一个抽象的抛物- 椭圆系统来验证主要结果.

在这一章中, 我们主要介绍文章用到的一些记号、定义和引理等预备知识.

设$ J=[0, b] $是Lebesgue测度$ \mu $关于$ \sigma $ -代数$ \Sigma $的子集. $ C(J, X) $记为Banach空间中所有$ X $ - 值从$ J $映射到$ X $连续函数集并且其赋予的范数为$ \|x\|_{C(J, X)}=\sup\limits_{t\in J}\|x(t)\| $. 设$ L^{\gamma}(J, X) $记为Banach空间中从$ J $映射到$ X $中Bochner可积函数集其赋予的范数为$ \|m\|_{L^{\gamma}(J, X)}:= (\int_J\|m(t)\|^{\gamma}{\rm d}t)^{\frac{1}{\gamma}}<\infty, \; 1\leq \gamma<\infty $. 对于Banach空间$ X $, 符号$ \omega-X $ (或$ s-X $) 通常用来记作空间$ X $的弱(或, 强) (范数) 拓扑. 对于$ X $的子集也用同样符号标记.

首先, 介绍集值分析的基本定义. 对于其详细介绍, 见文献[1, 11, 17].

整篇文章, 我们用到如下记号: $ {\cal P}(X) $表示集值$ X $的所有非空值子集.

$ \begin{eqnarray*} &&{\cal P}_{b, (f)(c)}(X)=\{Y\in {\cal P}(X):Y \mbox{ 是有界(闭)(凸)的}\}, \\ &&{\cal P}_{(w)k(c)}(X)=\{Y\in {\cal P}(X):Y \mbox{ 是(弱) 紧(凸)的}\}. \end{eqnarray*} $

考虑"Hausdorff度量" $ h:{\cal P}(X)\times\mathcal {P}(X)\rightarrow {{\Bbb R}} ^{+}\cup\{\infty\} $, 定义为

(2.1) $ \begin{equation} h(A, B)=\max\left\{\sup\limits_{a\in A} d(a, B), \; \sup\limits_{b\in B} d(A, b)\right\}, \end{equation} $

其中$ d(x, C) $表示点$ x $到集合$ C $的距离, 则通常把(2.1)式定义的$ h(A, B) $称之为$ A, B $之间的Hausdorff距离.

定义2.1  设$ V $是一个Hausdorff拓扑空间, $ X $是一个距离空间, 集值映射$ F:V\to {\cal P}(X) $. 则称

(i) $ F $在点$ z_0 $处是$ h $ -上半连续的, 若$ z\mapsto h^*(z, z_0) $在点$ z_0 $处连续; 若$ F $在每一点$ z_0\in V $处都是$ h $ - 上半连续的, 则称$ F $是$ h $ - 上半连续的;

(ii) $ F $在点$ z_0 $处是$ h $ -下半连续的, 若$ z\mapsto h^*(z_0, z) $在点$ z_0 $处连续; 若$ F $在每一点$ z_0\in V $处都是$ h $ - 下半连续的, 则称$ F $是$ h $ - 下半连续的;

(iii) $ F $在点$ z_0 $处是$ h $ -连续的, 若$ F $在点$ z_0 $处既是$ h $ -上半连续的又是$ h $ -下半连续的; 若$ F $在每一点$ z_0\in V $处都是$ h $ - 连续的, 则称$ F $是$ h $ - 连续的.

设$ F:J\rightarrow {\cal P}(X) $为集值映射. 如果$ F^{-1}(E)=\{t\in J:F(t)\cap E\neq\emptyset\}\in \Sigma $对于每个闭子集$ E\subseteq X $, 集值映射$ F:J\rightarrow {\cal P}_f(X) $是可测的. 若$ F:T\times X\rightarrow {\cal P}_f(X) $, 则集值映射$ F $可测定义为$ F^{-1}(E)\in\Sigma\otimes{\cal B}_{X} $, 其中$ \Sigma\otimes{\cal B}_{X} $表示由积集族$ A\times B $生成的$ \sigma $ -代数, $ A\in\Sigma $, $ B\in{\cal B}_{X} $, 及$ {\cal B}_{X} $是$ X $中Borel集生成的$ \sigma $ -代数^[16].

引理2.1^{[47,引理 3.2]}  设$ G:J\rightarrow {\cal P}(X) $是可测集值映射且$ u:J\rightarrow X $是可测函数, 则对任意的可测函数$ r:J\rightarrow (0, +\infty) $, 存在$ G $中的可测选择函数$ g $使得a.e. $ t\in J $,

$ \|g(t)-u(t)\|_X\leq d(u(t), G(t))+r(t)\quad\mbox{ a.e. } t\in J. $

设$ X, Z $是两个Hausdorff拓扑空间, $ F: X\rightarrow {\cal P}(Z) $. $ F $在$ x_0\in X $点称之为下半连续的(简记为l.s.c.), 如果对于每个开子集$ D\subseteq Z $, $ F(x_0)\cap D\neq\emptyset $, 存在$ x_0 $的邻域$ O(x_0) $使得$ F(x)\cap D\neq\emptyset $, 对所有的$ x\in O(x_0) $. $ F $在$ x_0\in X $点称之为上半连续的(简记为u.s.c.), 如果对于每个开子集$ D\subseteq Z $, $ F(x_0)\subseteq D $, 存在$ x_0 $的邻域$ O(x_0) $使得$ F(x)\subseteq D $, 对于所有的$ x\in O(x_0) $. 对于l.s.c和u.s.c的性质, 参见文献[17].

引理2.2^{[18, 命题 1.3.1]}  假设$ E $和$ V $是两个Banach空间, 如果$ F:J\times E\rightarrow {\cal P}_{k}( V) $满足卡氏条件(Carathéodory condition) 或者$ F $是半连续的(上半连续或下半连续), 那么集值函数$ F $是叠合可测的.

对于$ 1\leq p\leq +\infty $, 定义集合

$ S^{p}_{F}=\{f\in L^{p}(J, X);\; f(t)\in F(t, x(t))\; \mbox{a.e. }\; t\in J\}. $

除了在$ L^q(J, X) $ (这里$ X $是可分自反的Banach空间), $ 1<q<\infty $空间中考虑正规范数, 同时考虑如下的弱范数

(2.2) $ \begin{equation} \|u(\cdot)\|_{\omega}=\sup\limits_{0\leq t_1\leq t_2\leq b}\Big\|\int_{t_1}^{t_2}u(s){\rm d}s\Big\|_X, \, \, \mbox{对于 }\ u\in L^q(J, X). \end{equation} $

空间$ L^q(T, X) $在弱范数定义下生成的空间记为$ L_{\omega}^q(T, X) $. 则有如下结果.

引理2.3^[39]  若序列$ \{z_n\}_{n\geq1}\subseteq L^q(J, X) $, 是有界并且在空间$ L_{\omega}^q(J, X) $中收敛到$ z $, 则它在$ L^q(T, X) $中弱收敛到$ z $.

定义2.2  控制系统(1.1) (1.2)的解是由系统的轨迹$ x\in C(J, X) $和控制$ u\in L^1(J, Y) $几乎处处满足方程(1.1) 和包含(1.2) 的控制对$ (x(\cdot), u(\cdot)) $组成的.

由文献[35], 可以将定义2.2改写成如下形式.

定义2.3  函数对$ (x(\cdot), u(\cdot)) $称为系统(1.1) (1.2) (或(1.3) (1.2)) 的温和解, 若$ x\in C(J, X), x(0)=x_{0} $, 存在$ u\in L^{1}(J, Y) $使得$ u(t)\in SOL(K, g(t, x(t))+G(\cdot), \varphi) $ (或$ u(t)\in \mbox{ext}SOL(K, g(t, x(t))+G(\cdot), \varphi) $), 对a.e. $ t\in J $, 和

(2.3) $ \begin{eqnarray} x(t)=T(t)x_{0} +\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(x))u(s){\rm d}s, \; t\in J. \end{eqnarray} $

引理2.4^{[12, 推论 1]}  设$ K $为Hausdorff拓扑向量空间$ V $中的一个非空子集, $ G :K \rightarrow P(V) $为集值映射且具有性质

(i) $ G $是KKM映射, 即: 对$ \forall \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}\subset K $, 其凸包co$ \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}\subseteq\bigcup\limits^n_{i=1}G(v_i) $;

(ii) 对于每一个$ v\in K $, $ G(v) $是$ V $中的闭集;

(iii) 对于某一个$ v_0\in K $, $ G(v_0) $在$ V $是紧的.

那么$ \bigcap\limits_{v\in K}G(v)\neq \emptyset $.

引理2.5^{([37], Krein-Milman 定理)}  设$ K $是局部凸拓扑向量空间$ X $中的紧凸集. 则$ K $是其端点集的闭凸包.

引理2.6^{([7], Bohnenblust-Karlin)}  设$ \Omega $是Banach空间$ E $中的非空有界闭凸子集, $ \digamma:\Omega\rightarrow {\cal P}(E) $是u.s.c. 且具有闭凸值, 使得$ \digamma(\Omega)\subseteq \Omega $和$ \digamma(\Omega) $是紧的. 则$ \digamma $存在不动点.

设$ Y $是自反的Banach空间, $ K\subset Y $是非空闭凸集. 考虑下面不等式问题(VI): 寻找$ u\in K $使得

(2.4) $ \begin{equation} \langle w+G(u), v-u\rangle+\varphi(v, u) \geq0 \quad\forall v\in K. \end{equation} $

为了达到这目的, 对$ \varphi:K\times K\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $进行如下假设

($ \varphi_1 $) $ D(\varphi):=\{u\in K:\varphi(u, v)\neq-\infty, \forall v\in K\} $是非空的;

($ \varphi_2 $) 对所有的$ x\in K $有$ \varphi(x, x)=0 $;

($ \varphi_3 $) 对所有的$ v\in K, \varphi(\cdot, v) $是弱u.s.c.;

($ \varphi_4 $) 对所有的$ x\in K, \varphi(x, \cdot) $是凸的.

类似于文献[30, 引理3.2], 我们有如下引理.

引理2.7  如果下列假设成立

(i) $ G: Y\rightarrow Y^* $在$ K $中是单调和$ h $ -半连续的;

(ii) $ \varphi:Y\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $满足假设$ (\varphi_1)-(\varphi_4) $.

则$ u\in {\rm SOL}(K, w+G(\cdot), \varphi) $当且仅当

(2.5) $ \begin{equation} \langle w+G(v), v-u\rangle+\varphi(v, u) \geq0, \quad\forall v\in K. \end{equation} $

另外, 如果$ K $在$ Y $中是无界的, 则存在$ u_0\in K $和$ d>0 $使得

$ \begin{eqnarray*} \langle w+G(v), v-u\rangle-\varphi(v, u_0)\geq0, \end{eqnarray*} $

对所有的$ v\in K $及$ \|v\|_Y>d $, 则(2.4)式的解在$ Y $中是非空闭凸的.

接下来, 给出不等式(2.4)解集的有界性结果.

定理2.1  设引理2.7的条件都成立, 并存在$ v^*\in K\bigcap D(\varphi) $使得

(2.6) $ \begin{equation} \limsup\limits_{u\in K, \; \|u\|_{Y}\rightarrow \infty}\frac{\langle G(u), u-v^*\rangle+\varphi(v^*, u)}{\|u\|_{Y}}\rightarrow +\infty, \end{equation} $

则解集SOL$ (K, w+G(\cdot), \varphi) $是依赖$ w $有界的, 即: 对所有的$ w\in \overline{B}(\rho, Y^*) :=\{w\in Y^*:\|w\|_{Y^*}\leq \rho\} $, 存在常数$ L_r >0 $使得$ \|u\|_{Y}\leq L_r $对所有的$ u\in $ SOL$ (K, w+G(\cdot), \varphi) $.

证  用反正法证明. 假设存在序列$ \{u_n\}\subset $ SOL$ (K, w+G(\cdot), \varphi) $使得$ \|u_n\|_{Y} \rightarrow \infty $, $ n\rightarrow \infty $. 可以假设$ w_n\in \overline{B}(\rho_0, Y^*) $和$ \|u_n\|_{Y}>n $, 对每个$ n\in\mathbb{N} $. 由(2.6)式, 存在函数$ d:{{\Bbb R}} ^+\rightarrow {{\Bbb R}} ^+ $和常数$ l>0 $使得对每个$ \|u\|_{Y}>l $, 有

$ \langle G(u), u-v^*\rangle+\varphi(v*, u)\geq d(\|u\|_{Y})\|u\|_{Y}. $

若$ n $充分大使得$ d(n)>\frac{\|w\|_{Y^*}\|v^*\|_{Y}}{n}+\|w\|_{Y^*} $, 得到

$ \begin{eqnarray*} 0&\leq&\langle w+G(u_n), v^*-u_n\rangle+\varphi(v*, u)\\ &\leq&\left[\|w\|_{Y^*}-d(\|u_n\|_{Y})\right]\|u\|_{Y}+ \|w\|_{Y^*}\|v^*\|_{Y}\\ &\leq&\left[\rho_0-d(\|u_n\|_{Y})\right]\|u\|_{Y}\rho_0\|v^*\|_{Y}\\&<&0, \end{eqnarray*} $

这与假设矛盾. 则解集SOL$ (K, w+G(\cdot), \varphi) $是有界的, 即: 对所有的$ u\in $ SOL$ (K, w+G(\cdot), \varphi) $存在常数$ L_r>0 $使得$ \|u\|_{Y}\leq L_r $.证毕.

令$ g:J\times X\rightarrow Y^* $, 定义集值映射$ U:J\times X\rightarrow {\cal P}(K) $为

(2.7) $ \begin{equation} U(t, x):=\{u\in K :u\in {\rm SOL}(K, g(t, x)+G(\cdot), \varphi)\}. \end{equation} $

由定理2.1, 对于每个$ (t, x)\in J\times X, U(t, x) $是非空有界闭凸的, 即: 对所有的$ (t, x)\in J\times X $有$ U(t, x)\in {\cal P}_{fc}(Y) $. 同时, 我们得到如下结果.

引理2.8  若定理2.1的条件都成立, 并且$ g:J\times X \rightarrow Y^* $是有界连续函数, 则有

(U$ _1 $) $ U $从$ J\times E $到$ K $是u.s.c.;

(U$ _2 $) $ U $是叠合可测的;

(U$ _3 $) 对$ C(J, X) $中任意有界集$ \Omega $, 存在$ \gamma\in L^2(J, {{\Bbb R}} ^+), c>0 $使得

(2.8) $ \begin{equation} \|U(t, x)\|:=\sup\{\|u\|_{Y}:u\in U(t, x)\}\leq \gamma(t)+c\|x\|_{X}\quad\mbox{a.e. }t\in J. \end{equation} $

该引理的证明类似于文献[28, 定理3.4]的证明, 因此在此处省略.

注2.1  由定理2.1和引理2.8, 知$ U(t, x) $是非空有界闭凸的. 则由引理2.5, 有

$ \mbox{ext SOL}(K, g(t, x(t)) +G(\cdot), \varphi) $

是非空的.

这一章节主要证明微分变分不等式解的存在性.

为了达到这目的, 假设如下条件成立.

(A) 算子$ A $是强连续半群$ T(t) $, $ t\geq0 $在空间$ X $中的无穷小生成子, 并存在常数$ M\geq1 $使得$ \sup\limits_{t\in[0, \infty)}\|T(t)\|\leq M $. 对任意的$ t>0 $, $ T(t) $是紧的;

(B) 泛函$ B:J\times X\rightarrow L(Y, X) $使得

(B$ _1) $$ t\rightarrow B(t, x)u $是可测的, 对任意的$ (x, u)\in X\times Y $;

(B$ _2) $$ x\rightarrow B^*(t, x)h $是连续的, 对所有的$ h\in X $, 其中$ B^*(t, x) $是算子$ B(t, x) $的共轭算子;

(B$ _3) $对所有的$ x\in X $, 存在常数$ l\geq0 $使得$ \|B(t, x)\|_{L(Y, X)}\leq l $;

(B$ _4) $对所有的$ x, y\in C(J, X) $和$ u\in U(t, x) $, 存在函数$ m(u)\in L^1(J, {{\Bbb R}} ^+) $使得

$ \|B(t, x)u-B(t, y)u\|_{X}\leq m(u)\|x-y\|_{X}\quad\mbox{a.e. } t\in J. $

(g) $ g:J\times X\rightarrow Y^* $是连续和有界的, 即：存在常数$ M_g>0 $使得

$ \|g(t, x)\|_{Y^*}\leq M_g. $

(U$ _4) $集值映射$ U:J\times X\rightarrow {\cal P}_{bf}(Y) $使得$ h(U(t, x), U(t, y))\leq k_1(t)\|x-y\|_{X} $ a.e. $ J $及$ k_1\in L^{1}(J, {\mathbb R}^+) $.

记控制系统(1.1), (1.2) 的所有解集为$ {\cal R}_{SOL}(x_0)\subset C(J, X)\times L^2(J, Y) $. 同样, 记控制系统(1.3), (1.2) 的所有解集为$ {\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(x_0) $.

首先, 给出系统(1.1), (1.2)的一个先验估计如下.

引理3.1  设条件(A), (B$ _1) $–(B$ _4) $, (g) 和(U$ _1) $–(U$ _2) $成立. 则对于系统(1.1), (1.2)中任意的$ x\in C(J, X) $, 存在$ L>0 $使得$ \|x\|_{C(J, X)}\leq L. $

证  若$ x $是系统(1.1), (1.2)的解, 则存在$ u(t)\in U(t, x(t)) $ a.e. $ t\in J $, 使得

$ x(t)=T(t)x_{0} +\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s, \; t\in J. $

由已知条件和Hölder不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} \|x(t)\|_{X}&\leq&M\|x_0\|_{X}+M \int_0^tl(\gamma(s)+b\|x(s)\|_{X}){\rm d}s\nonumber\\ &\leq&M\|x_0\|_{X}+Ml\|\gamma\|_{L^{2}(J, {{\Bbb R}} ^+)} +Mcl \int_0^t\|x(s)\|_{X}{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

令$ W(t)=\|x(t)\|_{X} $, 则

$ \begin{eqnarray*} W(t)\leq M\|x_0\|_{X}+Ml\|\gamma\|_{L^{2}(J, {{\Bbb R}} ^+)} +Mcl\int_{0}^{t}W(s){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

利用Gronwall不等式, 算得

$ \begin{eqnarray*} W(t)\leq \left(M\|x_0\|_{X}+Ml\|\gamma\|_{L^{2}(J, {{\Bbb R}} ^+)}\right) e^{Mcl}:=L. \end{eqnarray*} $

所以存在常数$ L>0 $, 使得$ \|x\|_{C(J, X)}=\sup\limits_{t\in J}W(t)\leq L $. 证明完毕.

定理3.1  设条件$ (\varphi_1)-(\varphi_4), $ (A), (B$ _1) $–(B$ _4), $ (g) 和(U$ _1) $–(U$ _4) $成立, 则问题(1.1)(1.2) 至少存在一个解$ (x, u) $.

证  对任意的$ \varepsilon>0 $, 考虑集值映射$ \digamma:C(J, X)\rightarrow {\cal P}(C(J, X)) $如下

$ \begin{eqnarray*} \digamma(x)=\left\{h(t)= T(t)x_{0}+\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s, \; u\in U(t, x)\right\}, \end{eqnarray*} $

其中$ x\in C(J, X). $显然可以找到系统(1.1), (1.2)中的一个温和解使得$ \digamma $具有不动点. 下面证明$ \digamma $满足引理2.6的所有条件, 为此分如下几步进行证明.

步骤1  $ \digamma $是凸的, 对每个$ x\in C(J, X) $.

实际上, 对任意的$ \rho_{1}, \; \rho_{2}\in\digamma(x) $, 则存在$ u_{1}, u_{2}\in U(t, x) $使得

$ \begin{eqnarray*} \rho_{i}(t)= T(t)x_{0} +\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))u_i(s){\rm d}s, \end{eqnarray*} $

其中$ i=1, 2, \; t\in J $. 令$ \lambda\in[0, 1] $, 则对每个$ t\in J $, 有

$ \begin{eqnarray} [\lambda \rho_{1}+(1-\lambda)\rho_{2}](t)&=& T(t)x_{0}+\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))[\lambda u_{1}+(1-\lambda)u_{2}](s){\rm d}s. \end{eqnarray} $

由引理2.7, 知道$ U(t, x(t)) $是凸的, 所以对$ \lambda\in[0, 1], \; \lambda u_{1}+(1-\lambda)u_{2}\in U(t, x(t)) $, 则$ \lambda \rho_{1}(t)+(1-\lambda)\rho_{2}(t)\in \digamma(x), $由此可知$ \digamma $是凸的对每个$ x\in C(J, X) $.

步骤  存在一个非空有界闭凸子集$ B_{r}\subseteq C(J, X) $使得$ \digamma(B_{r})\subseteq B_{r} $.

取

$ r\geq\frac{M\|x_0\|_{X}+Ml\|\gamma\|_{L^{2}(J, {{\Bbb R}} ^+)}}{1-Mcl}, $

并记$ B_{r}=\{x\in C(J, X):\|x(t)\|_{X}\leq r\}. $显然, $ B_{r} $是空间$ C(J, X) $中的有界闭凸子集. 实际上, 对任意的$ x\in B_{r}, \; \xi\in\digamma(x) $, 存在$ u\in U(t, x(t)) $使得

$ \begin{eqnarray} \xi(t)= T(t)x_{0} +\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s, \; \; t\in J. \end{eqnarray} $

由条件$ (A), (B_1)-(B_3), (g), (U_1)-(U_3) $和Hölder不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} \|\xi(t)\|&\leq& \|T(t)x_{0}\|+\int_{0}^{t}\|T(t-s)B(s, x(s))u(s)\|{\rm d}s\nonumber\\ &\leq& M\|x_{0}\|+ M\int_{0}^{t}\|B(s, x(s))u(s)\|{\rm d}s\nonumber\\ &\leq&M\|x_0\|_{X}+Ml\|\gamma\|_{L^{2}(J, {{\Bbb R}} ^+)} +Mcl\int_{0}^{t}\|x(s)\|_{X}{\rm d}s\\ &\leq& M\|x_0\|_{X}+Ml\|\gamma\|_{L^{2}(J, {{\Bbb R}} ^+)} +Mclr\nonumber\\ &\leq &r. \nonumber \end{eqnarray*} $

因此, 有$ \digamma(B_{r})\subseteq B_{r} $.

步骤3  $ \digamma $在$ B_{r} $中是等度连续的.

对所有的$ x\in B_{r}, \; \xi\in\digamma(x) $, 存在$ u\in U(t, x(t)) $使得

$ \begin{eqnarray*} \xi(t)&=& T(t)x_{0}+\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s, \quad t\in J. \end{eqnarray*} $

从而, 对所有的$ x\in B_{r} $和$ 0\leq \tau_{1}<\tau_{2}\leq b $, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\|\xi(\tau_{2})-\xi(\tau_{1})\|\nonumber\\ &\leq&\|T(\tau_{2})x_{0}-T(\tau_{1})x_{0}\|+\left\|\int_{0}^{\tau_{2}}T(\tau_{1}-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s -\int_{0}^{\tau_{1}}T(\tau_{1}-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s\right\|\nonumber\\ &\leq&\|T(\tau_{2})x_{0}-T(\tau_{1})x_{0}\|+\left\|\int_{0}^{\tau_{1}}\left[T(\tau_{2}-s)-T(\tau_{1}-s)\right]B(s, x(s))u(s){\rm d}s\right\|\nonumber\\ &&+\left\|\int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}}T(\tau_{2}-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s\right\|\nonumber\\ &\leq& I_{1}+I_{2}+I_{3}. \end{eqnarray*} $

容易得到

$ I_1=\|T(\tau_{2})x_{0}-T(\tau_{1})x_{0}\|\rightarrow0, \, \, \mbox{ 当}\, \, \tau_2\rightarrow \tau_1. $

由已知条件和Hölder不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} I_{3}&\leq&M\int_{\tau_1}^{\tau_2}\|B(s, x(s))u(s)\|{\rm d}s\\ &\leq&Ml(\|\gamma\|_{L^{2}}+cr) (\tau_{2}-\tau_{1})^{\frac{1}{2}}\rightarrow0, \, \, \mbox{ 当}\, \, \tau_2\rightarrow \tau_1. \end{eqnarray*} $

对于$ \tau_1=0, 0<\tau_2\leq b $时, 易得$ I_2=0 $. 对于$ t_1>0 $和充分小的$ \epsilon>0 $, 有

$ \begin{eqnarray*} I_2&\leq&\left\|\int_{0}^{\tau_{1}-\epsilon}(\tau_{1}-s)^{\alpha-1}[T(\tau_{2}-s)-T(\tau_{1}-s)]B(s, x(s))u(s){\rm d}s\right\| \\ &&+\left\|\int_{\tau_{1}-\epsilon}^{\tau_{1}}(\tau_{1}-s)^{\alpha-1}[T(\tau_{2}-s)-T(\tau_{1}-s)]B(s, x(s))u(s){\rm d}s\right\| \\ &\leq&\sup\limits_{s\in[0, \tau_{1}-\epsilon]}\|T(\tau_{2}-s)-T(\tau_{1}-s)\| (l\|\gamma\|_{L^{2}}+clr)(\tau_{1}-\epsilon)^{\frac{1}{2}}+2Ml\left(\|\gamma\|_{L^{2}}+cr\right) \epsilon^{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray*} $

由半群$ T(t)(t>0) $的紧性和在一致算子拓扑下关于$ t $的连续性, 容易得到当$ \tau_{2}\rightarrow \tau_{1}, \; \epsilon\rightarrow0 $时, $ I_2 $依赖于$ x\in B_{r} $趋向于0. 因此, $ \{(\digamma x)(t):x\in B_{r}\} $在$ C(J, X) $中是等度连续的.

步骤4  $ \digamma $是紧值的.

对于固定的$ t\in J $, 将证明$ \Pi(t)=\{(\digamma x)(t):x\in B_{r}\} $在$ X $中是相对紧的.

显然, $ \Pi(0)=\{x_{0}\} $是紧的, 所以只需要考虑$ t>0 $的情形. 对于固定的$ 0<t\leq b $和任意$ x\in B_{r}, \; \xi\in\digamma(x) $, 存在$ u\in U(t, x(t)) $使得

$ \begin{eqnarray} \xi(t)= T(t)x_{0}+\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s, \; \; \; t\in J. \end{eqnarray} $

对每个$ \epsilon\in(0, t), \; t\in(0, b], \; x\in B_{r} $和任意$ \delta>0 $, 定义

$ \begin{eqnarray*} \xi^{\epsilon}(t)&=&T(t)x_{0}+ \int_{0}^{t-\epsilon}T(t-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s. \\ &=&T(t)x_{0}+ T(\epsilon)\int_{0}^{t-\epsilon}T(t-s-\epsilon)B(s, x(s))u(s){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

由$ \int_{0}^{t-\epsilon}T(t-s-\epsilon)B(s, x(s))u(s){\rm d}s $的有界性和半群$ T(t)\ (t>0) $的紧性, 得到集合

$ \begin{eqnarray*} \Pi_{\epsilon}(t)=\{\xi^\epsilon(t):\xi\in\digamma(B_r)\}, \end{eqnarray*} $

在$ X $中是相对紧的, 对每个$ \epsilon\in(0, t) $和$ \delta>0 $. 另外, 有

$ \begin{eqnarray*} \|\xi(t)-\xi^{\epsilon}(x)(t)\| &\leq&M\int_{t-\epsilon}^{t}\|B(s, x(s))u(s)\|{\rm d}s \leq Ml\left(\|\gamma\|_{L^2(J, {{\Bbb R}} )}+cr\right)\sqrt{\epsilon}, \end{eqnarray*} $

则当$ \epsilon\rightarrow 0 $和$ \delta\rightarrow 0 $时, 最后一个不等式趋向于0. 因此, 对于$ \Pi(t)\; (t>0) $中任意闭集是相对紧集. 所以集合$ \Pi(t)\; (t>0) $在$ X $中是相对紧的.

步骤5  $ \digamma $有闭图像.

令$ x_{n}\rightarrow x_{*} $在$ C(J, X) $, $ \xi_{n}\in \digamma(x_{n}) $及$ \xi_{n}\rightarrow \xi_{*} $在$ C(J, X) $. 将证明$ \xi_{*}\in \digamma(x_{*}). $这里, $ \xi_{n}\in \digamma(x_{n}) $表示存在$ u_{n}\in U(t, x_{n}) $使得

(3.1) $ \begin{eqnarray} \xi_{n}(t)= T(t)x_{0}+\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x_n(s))u_n(s){\rm d}s. \end{eqnarray} $

由定理2.1, 知道$ \{u_{n}\}_{n\geq1}\subseteq L^{2}(J, Y) $是有界的. 因此可以设存在子序列使得

(3.2) $ \begin{equation} u_{n}\rightharpoonup u_{*}, \; \; \mbox{ 对于某些 }\; u_{*}\in L^{2}(J, Y), \end{equation} $

由(3.1) 和(3.2)式有

(3.3) $ \begin{eqnarray} \xi_{*}(t)= T(t)x_{0}+\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x_*(s))u_*(s){\rm d}s. \end{eqnarray} $

注意到在$ C(J, X) $中$ x_{n}\rightarrow x_{*} $和$ u_{n}\in U(t, x_{n}) $. 由引理2.8和(3.2)式, 有$ u_{*}\in U(t, x_{*}) $. 所以, 证明了$ \varphi_{*}\in \digamma(x_{*}), $由此$ \digamma $有闭图像.

因此由步骤1–5和Arzelà-Ascoli定理, 知道$ \digamma $是全连续, u.s.c. 并具有闭凸值的集值映射, 且满足引理2.6的所有条件. 因此$ \digamma $具有不动点且是系统(1.2) (1.3) 的解. 证明完毕.

设$ {\rm pr_L}:X\rightarrow X $是$ L $ -半径压缩的, 即

$ \begin{eqnarray*} {\rm pr_L}(x)=\left\{\begin{array}{ll} x, & \|x\|_{X}\leq L, \\ { } \frac{Lx}{\|x\|_{X}}, & \|x\|_{X}>L. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

这映射是Lipschitz连续的. 定义$ U_1(t, x)=U(t, {\rm pr_L}x) $. 容易验证$ U_1 $满足$ (U_2) $和$ (U_2) $. 另外, 由$ {\rm pr_L} $的性质, 对a.e. $ t\in J $, 所有的$ x\in X $和$ u\in U_1(t, x) $使得

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_{Y}\leq a(t)+c\|x\|_{X}, \, \, \mbox{和}\, \, \|u\|_{Y}\leq a(t)+cL. \end{eqnarray*} $

因此, 引理3.1对于$ U(t, x) $被$ U_1(t, x) $代替也是成立的. 因此, 不失一般性可以设对a.e. $ t\in J $和所有的$ x\in X $,

(4.1) $ \begin{equation} \sup\{\|v\|_{Y}:v\in U(t, x)\}\leq\xi(t)=\gamma(t)+cL, \mbox{ 及 }\ \xi\in L^{2}(J, {{\Bbb R}} ^+). \end{equation} $

令$ \lambda(\cdot)\in L^2(J, \mathbb{R^+}) $和

$ \begin{eqnarray*} Q_{\lambda}=\{u\in L^2(J, Y):\|u(t)\|_{L^2(J, Y)}\leq \lambda(t), \quad\mbox{a.e. }t\in J\}. \end{eqnarray*} $

考虑如下问题

(4.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} x'(t)=Ax(t)+B(t, x(t))u(t), \, \, t\in J=[0, b], \\ x(0)=x_0. \end{array}\right. \end{equation} $

易知对每个$ u\in L^{2}(J, Y) $, 方程(4.2)(1.2) 具有唯一解$ S(u)\in C(J, X) $, 其表达式为

$ \begin{eqnarray*} S(u)(t)=T(t)x_{0}+\int_{0}^{t}T(t-s)B(s, x(s))u(s){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

下面给出解集$ S $的一个引理, 它在证明主要结果中起关键作用.

引理4.1  设条件$ (\varphi_1)-(\varphi_4), $ (A), (B$ _1) $–(B$ _4), $ (g) 和(U$ _1) $–(U$ _4) $成立, 则解映射$ S:Q_{\lambda}\rightarrow C(J, X) $从$ \omega-Q_{\lambda} $映射到$ C(J, X) $是连续的.

这个引理的证明类似于定理3.1的证明, 在这里省略不写.

由条件$ (B) $, 考虑算子$ {\cal B}:C(J, X)\rightarrow {\cal L}(L^p(J, Y), C(J, X)) $如下

(4.3) $ \begin{equation} ({\cal B}(x)u)(t)=B(t, x(t))u(t), \end{equation} $

其中空间$ {\cal L}(L^2(J, Y), C(J, X)) $表示从$ L^2(J, Y) $映射到$ C(J, X) $是连续的.

现在, 给出算子$ {\cal B} $的一个引理如下.

引理4.2  设条件$ (\varphi_1)-(\varphi_4) $, (A), (B$ _1) $–(B$ _4), $ (g) 和(U$ _1) $–(U$ _4) $成立, 则算子$ (x, u)\rightarrow {\cal B}(x)u $从$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $映射到$ \omega-C(J, X) $是序列连续的.

证  设$ x_n\rightarrow x $在$ C(J, X) $中, 和$ u_n\rightarrow u $在$ \omega-L^2(J, Y) $. 由条件(B$ _2) $和(B$ _3) $, 对所有固定的$ h\in C(J, X) $, 有

$ B^*(t, x_n(t))h(t)\rightarrow B^*(t, x(t))h(t), \quad\mbox{在 Y^* 中对于a.e. }\ t\in J, $

$ \|B^*(t, x_n(t))h(t)\|_{Y^*}\leq l\|h(t)\|_{X}. $

由Lebesgue控制收敛定理, 得到

$ B^*(t, x_n(t))h(t)\rightarrow B^*(t, x(t))h(t), \quad\mbox{在 }\ L^2(J, Y^*). $

由于对每个$ h\in C(J, X) $有

$ \int_J\langle h(t), B(t, x_n(t))u_n(t)\rangle{\rm d}t= \int_J\langle B^*(t, x_n(t))h(t), u_n(t)\rangle{\rm d}t. $

由上述讨论, 可得在$ \omega-C(J, X) $中, 当$ n\to\infty $时有$ {\cal B}(x_n)u_n(t)\rightarrow {\cal B}(x)u(t) $. 证明完毕.

下面给出系统(1.3)(1.2)存在性结果.

定理4.1  设条件$ (\varphi_1)-(\varphi_4), $ (A), (B$ _1) $–(B$ _4), $ (g) 和(U$ _1) $–(U$ _4) $成立, 则存在控制对$ (x, u)\in C(J, X)\times L^2(J, Y) $使得$ (x, u)\in{\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(x_0) \subset{\cal R}_{SOL}(x_0). $另外, 集合$ {\cal R}_{SOL}(x_0) $在空间$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中是紧的.

证  考虑集合

(4.4) $ \begin{equation} Q_{\lambda}=\{u\in L^2(J, Y):\|u(t)\|_{L^2(J, Y)}\leq \lambda(t), \quad\mbox{a.e. }t\in J\}, \end{equation} $

其中$ \lambda=l(\gamma(t)+cL) $, 定义映射$ S:Q_{\lambda} \subseteq C(J, X) $为$ x=S(u) $, 这里$ x $是方程(4.2) 关于$ u\in Q_{\lambda} $的唯一解.

令$ {\cal R}(x_0)=\{S(u):u\in Q_{\lambda}\}. $由于$ Q_{\lambda} $是空间$ \omega-L^2(J, X) $中的凸紧子集, 由引理4.1可得$ {\cal R}(x_0) $是$ C(J, X) $空间的紧子集. 对每个$ x\in C(J, X) $, 由(U$ _2) $, 可知集值映射$ U(t, x(t)) $是可测的, 对于a.e. $ t\in J $. 由文献[41, 性质8.2], 可以证明存在连续函数$ g:C(J, X)\rightarrow L^{2}(J, Y) $使得

(4.5) $ \begin{equation} g(x)(t)\in \mbox{ext}U(t, x(t)), \quad\mbox{a.e.}\quad t\in J. \end{equation} $

定义映射$ {\cal F}:Q_{\lambda}\rightarrow L^{2}(J, X) $为$ {\cal F}(u)={\cal B}(S(u))g(S(u)), $这里$ {\cal B} $是算子(4.3). 由引理4.1和引理4.2, 得到$ {\cal F}:\omega-Q_{\lambda} \rightarrow L^{2}(J, X) $是连续的. 则$ {\cal F}: \omega-Q_{\lambda} \rightarrow \omega-L^{2}(J, X) $也是连续的. 由已知条件, 可证$ {\cal F}(u)\in Q_{\lambda} $, 对每个$ f\in Q_{\lambda} $. 这表明$ {\cal F} $从$ \omega-Q_{\lambda} $映射到$ \omega-Q_{\lambda} $是连续的. 由于$ Q_{\lambda} $是空间$ \omega-L^{2}(J, X) $中的凸紧度量空间. 所以, 由Schauder不动点定理得到$ {\cal F} $在$ \omega-Q_{\lambda} $中存在不动点, 即: 存在$ u_*\in Q_{\lambda} $使得

$ u_*={\cal F}(u_*)={\cal B}(S(u_*))g(S(u_*)). $

令$ x_*=S(u_*) $, 则由(4.5)式, 有

(4.6) $ \begin{equation} u_*(t)=g(x_*)(t)\in \mbox{ext} U(t, x_*(t)), \, \, \mbox{a.e.}\, \, t\in J. \end{equation} $

利用上式得$ (x_*, u_*)\in{\cal R}_{ \mbox{ext}SOL}(x_0) \subset{\cal R}_{SOL}(x_0) $. 这就证明了系统(1.1) (1.2) (或者系统(1.2) (1.3))存在一个解.

接下来证明$ {\cal R}_{SOL}(x_0) $在空间$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中是紧的. 记

(4.7) $ \begin{equation} Q_{\mu}^U=\{\eta\in L^2(J, Y):\|\eta(t)\|_{Y}\leq\mu(t) \quad\mbox{a.e. }t\in J\}, \end{equation} $

其中$ \mu(t)=\gamma(t)+cL $. 由引理3.1和(4.7)式, 得到$ {\cal R}_{SOL}(x_0)\subset {\cal R}(x_0)\times Q_{\mu}^U $. 所以, $ {\cal R}_{SOL}(x_0) $在$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中是相对紧的. 设$ (x_n, u_n) $在$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中收敛到$ (x, u) $. 则$ x_n $在空间$ C(J, X) $中收敛到$ x $. 令$ f_n(t)=B(t, x_n(t))u_n(t) $和$ f_0(t)=B(t, x_0(t))u_0(t) $, 由引理4.2得$ f_n\rightarrow f_0 $, 在$ \omega-L^2(J, X) $中. 由于$ x_n $是系统(4.2)(1.2)关于$ f=f_n $, 利用引理4.1, 可知$ x=x(f_0) $是系统(4.2)(1.2) 关于$ f=f_0 $的解.

由于在$ \omega-L^{2}(J, Y) $中$ u_n\rightarrow \widetilde{u} $, 由Mazur引理^[46]有

(4.8) $ \begin{equation} \widetilde{u}(t)\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\overline{\mbox{co}}\big(\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}u_k(t)\big) \, \, \mbox{a.e.}\, \, t\in J. \end{equation} $

又由条件$ H(U) $映射$ z\rightarrow U(t, z) $是$ h $ -连续的, 对于a.e. $ t\in J $. 因此, 由文献[17, 性质1.2.86], 集值映射$ z\rightarrow U(t, z) $具有$ Q $性, 对于a.e. $ t\in J $, 有

(4.9) $ \begin{equation} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\overline{\mbox{co}} \Big(\bigcup\limits_{k=n}^{\infty} U(t, x_k(t))\Big) \subseteq U(t, x(t))\, \, \mbox{a.e.}\, \, t\in J. \end{equation} $

结合(4.8) 和(4.9)式, 得到$ \widetilde{u}(t)\in U(t, x(t)) $ a.e $ t\in J $. 因此$ {\cal R}_{SOL}(x_0)\subseteq C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $是紧的. 由引理2.3, $ {\cal R}_{SOL}(x_0) $在$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $是闭的. 证明完毕.

在这一章节中, 我们主要考虑解集$ {\cal R}_{SOL}(x_0) $可以由解集$ {\cal R}_{{\rm ext}SOL}(x_0) $中的元素去逼近(i.e., 微分变分不等式系统的Bang-Bang准则).

定理5.1  设条件$ (\varphi_1)-(\varphi_4), $ (A), (B$ _1) $–(B$ _4), $ (g) 和(U$ _1) $–(U$ _4) $成立, 则对所有的$ (x, u)\in{\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(x_0) $, 存在序列$ (x_n, u_n)\in{\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(x_0) $, $ n\geq1 $, 收敛到$ (x, u) $在$ C(J, Y)\times \omega-L^2(J, X) $中. 另外, 有

$ {\cal R}_{SOL}(x_0) =\overline{{\cal R}_{{\rm ext}SOL}(x_0)}, $

在空间$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中, 这里闭包是在$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中取的.

证  设$ (x_*, u_*)\in{\cal R}_{SOL}(x_0) $, 则存在$ f_*\in Q_{\lambda} $使得$ x_*=S(f_*) $和$ f_*(t)=B(t, x_*(t))u_*(t) $, 其中$ u_*\in S^{2}_{U}(x) $和

$ S^{2}_{U}(x)=\{\eta\in L^2(J, Y):\eta(t)\in U(t, x(t))\quad\mbox{a.e. } t\in J\}. $

对固定的$ n\geq1 $, 由引理2.1, 得到对每个$ x\in{\cal R}(x_0)\subseteq C(J, X) $, 存在$ u\in S^{2}_{U}(x) $使得对a.e. $ t\in J $,

(5.1) $ \begin{equation} \|u_*(t)-u(t)\|_{Y}\leq\frac{1}{2n}+d(u_*(t), U(t, x(t))) \leq\frac{1}{2n}+k_1(t)\|x_*(t)-x(t)\|_{X}. \end{equation} $

考虑不等式(5.1), 由文献[15, 性质2.3和定理3.1], 存在连续函数$ h_n:{\cal R}(x_0)\subseteq C(J, X)\rightarrow L^1(J, X) $使得对于a.e. $ t\in J $, 有

(5.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} h_n(x)(t)\in U(t, x(t)), \\ { } \|u_*(t)-h_n(x)(t)\|_{Y}\leq\frac{1}{n}+k_1(t)\|x_*(t)-x(t)\|_{X}, \end{array}\right. \end{equation} $

对每个$ x\in{\cal R}(x_0) $成立.

由于$ h_n(x)\in Q_{\mu}^U $, 对每个$ x\in{\cal R}(x_0) $, 则$ \|h_n(x)(t)\|_{Y}\leq\mu(t) $, a.e. $ t\in J $. 从而集合$ \{h_n(x):x\in{\cal R}(x_0)\}\subseteq L^{2}(J, Y) $是一致有界的. 由文献[41, 性质2.4], 得到$ h_n:{\cal R}(x_0)\subseteq C(J, X)\rightarrow L^{2}(J, Y) $是连续的. 又由文献[42, 性质6.10], 存在连续函数$ g_n:{\cal R}(x_0)\subseteq C(J, X)\rightarrow L^{2}(J, Y) $对于每个$ x\in{\cal R}(x_0) $有

(5.3) $ \begin{equation} g_n(x)(t)\in {\rm ext}U(t, x(t)), \end{equation} $

(5.4) $ \begin{equation} \|h_n(x)-g_n(x)\|_{\omega}<\frac{1}{n}. \end{equation} $

考虑算子$ {\cal F}_n(f)={\cal B}(S(f))g_n(S(f)) $. 由定理4.1, 知道$ {\cal F}_n(f) $从$ \omega-Q_{\lambda} $映射到$ \omega-Q_{\lambda} $是连续的. 设$ f_n $是映射$ {\cal F}_n $中固定的点. 结合(5.3)式, 有

(5.5) $ \begin{equation} (x_n, u_n)\in{\cal R}_{{\rm ext}SOL}(x_0), \quad n\geq1, \end{equation} $

其中

(5.6) $ \begin{equation} u_n(t)=g_n(x_n)(t), \qquad x_n=S(f_n), \qquad f_n(t)=B(t, x_n(t))u_n(t). \end{equation} $

由上述讨论, 对于$ x_*=S(f_*) $和$ x_n=S(f_n) $, 有

(5.7) $ \begin{equation} x_*(t)=T(t)x_0+\int_0^tT(t-s)f_*(s){\rm d}s \end{equation} $

及

(5.8) $ \begin{equation} x_n(t)=T(t)x_0+\int_0^tT(t-s)f_n(s){\rm d}s. \end{equation} $

(5.7)和(5.8)两式相减, 得到

(5.9) $ \begin{eqnarray} \|x_*(t)-x_n(t)\|_{X} &=&\Big\|\int_0^tT(t-s)\big(f_*(s)-f_n(s)\big){\rm d}s\Big\|_{X}\\ &\leq&\Big\|\int_0^tT(t-s)\left(B(s, x_*(s))u_*(s)-B(s, x_n(s))u_n(s)\right){\rm d}s\Big\|_{X}\\ &\leq&\Big\|\int_0^tT(t-s)\left(B(s, x_*(s))u_*(s)-B(s, x_n(s))u_*(s)\right){\rm d}s\Big\|_{X}\\ &&+\Big\|\int_0^tT(t-s)\left(B(s, x_n(s))u_*(s)-B(s, x_n(s))h_n(x_n)(s)\right){\rm d}s\Big\|_{X}\\ &&+\Big\|\int_0^tT(t-s)\left(B(s, x_n(s))h_n(x_n)(s)-B(s, x_n(s))g_n(x_n)(s)\right){\rm d}s \Big\|_{X}\\ &\leq&\Big\|\int_0^tT(t-s)\left(B(s, x_n(s))h_n(x_n)(s)-B(s, x_n(s)) g_n(x_n)(s)\right){\rm d}s\Big\|_{X}\\ &&+M\int_0^t(t-s)^{\alpha-1}m(u_*)(s)\|x_*(s)-x_n(s)\|_{X}{\rm d}s\\ &&+Ml\int_0^t\left(\frac{1}{n}+k_1(s)\|x_*(s)-x_n(s)\|_{X}\right){\rm d}s\\ &\leq&\Big\|\int_0^tT(t-s)\left(B(s, x_n(s))h_n(x_n)(s)-B(s, x_n(s))g_n(x_n)(s)\right){\rm d}s \Big\|_{X}\\ &&+\frac{Mlb}{n}+M\left(\|m(u_*)\|_{L^1}+l\|k_1\|_{L^1}\right) \int_0^t\|x_*(s)-x_n(s)\|_{X}{\rm d}s \end{eqnarray} $

由于集合$ {\cal R}(x_0)\times Q_{\mu}^U $在$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中是紧的, 由引理4.2, 得到函数$ {\cal B}(x)u $在$ {\cal R}(x_0)\times Q_{\mu}^U $中是一致连续的. 由引理2.3和(5.4)式, 得到存在序列$ h_n(x_n)-g_n(x_n) $从空间$ \omega-L^2(J, Y) $收敛到空间$ L^2(J, Y) $中的零元. 由于$ x_n\in {\cal R}(x_0) $和$ h_n(x_n)-g_n(x_n)\in Q_{\mu}^U $, 得到序列$ {\cal B}(x_n)\left(h_n(x_n)-g_n(x_n)\right) $在$ \omega-L^2(J, X) $中收敛. 由引理4.1, 对任意的$ t\in J $, 有

$ \Big\|\int_0^tT(t-s) \left(B(s, x_n(s))h_n(x_n)(s)-B(s, x_n(s))g_n(x_n)(s)\right){\rm d}s\Big\|_{X}\rightarrow0\quad\mbox{当 }\ n\rightarrow \infty. $

由上式, 不等式(5.8)可写成

(5.10) $ \begin{eqnarray} \|x_*(t)-x_n(t)\|_{X} \leq\frac{Mlb}{n}+M\left(\|m(u_*) \|_{L^1}+l\|k_1\|_{L^1}\right) \int_0^t\|x_*(s)-x_n(s)\|_{X}{\rm d}s, \end{eqnarray} $

由于$ \|x_*(t)\|_{X}\leq K, \|x_n(t)\|_{X}\leq K $对于任意的$ n\geq1 $, $ t\in J $和$ x_n\rightarrow x $在$ C(J, X) $中, 在(5.10)式中令$ n\rightarrow \infty $, 得到

$ \|x_*(t)-x(t)\|_{X}\leq M \left(\|m(u_*)\|_{L^1}+l\|k_1\|_{L^1}\right)\int_0^t\|x_*(s)-x(s)\|_{X}{\rm d}s. $

由Gronwall不等式, 得到$ x_*=x $. 由(5.2), (5.4) 和(5.6)式, 可知当$ n\rightarrow \infty $时, $ u_n $在$ L_w^2(J, Y) $中收敛到$ u_* $. 由引理2.3, 得到在$ \omega-L^2(J, Y) $中$ u_n\rightarrow u_* $.

由定理4.1, 得到$ {\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(x_0)\subset{\cal R}_{SOL}(x_0) $和$ {\cal R}_{SOL}(x_0) $在$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中是紧的. 由上述讨论, 有

(5.11) $ \begin{equation} {\cal R}_{SOL}(x_0) =\overline{{\cal R}_{{\rm ext}SOL}(x_0)}, \end{equation} $

这里的闭包是在空间$ C(J, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中取的. 证明完毕.

这一章节将给出一个抽象的抛物-椭圆系统来验证本章的主要结果.

设$ T=(0, \tau], 0<\tau<\infty $和$ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^N(N\geq2) $中的有界开区域并且边界$ \Gamma=\partial\Omega $是光滑的, 这里边界$ \Gamma $分成两个独立部分$ \Gamma_1 $和$ \Gamma_2 $且meas$ (\Gamma_1)>0 $. 这里用$ {\bf n} $表示在边界$ \Gamma $上的单位外法向量. 令$ X=L^2(\Omega), Y=\{y\in W^{1, 2}(\Omega)|y=0 $在$ \Gamma_1\} $. 容易验证函数空间$ Y $是一个Hilbert空间并且其赋予范数为

$ \|y\|_Y:=\left(\int_\Omega|\nabla y(s)|^2{\rm d}s\right)^{\frac{1}{2}}\qquad\forall y\in Y. $

现在, 考虑如下抽象的抛物-椭圆系统

(6.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{llll} { } \frac{\partial w}{\partial t}-\Delta w=b(t, z, w(t, z))u(t, z), \quad&\mbox{in }\ T\times\Omega, \\ w=0, \quad&\mbox{on }\ T\times\partial\Omega, \\ w(0, z)=w_0(z), \qquad &z\in \Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ u:T\times \Omega\rightarrow {{\Bbb R}} $使得

(6.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{llll} \mbox{div}(\alpha(z)\nabla u)+\beta(z)u(t, z)=g(t, z, x(t, z)), \quad&\mbox{in }\ T\times\Omega, \\ u(t, z)=0, \quad&\mbox{on }\ T\times\Gamma_1, \\ { } \frac{\partial u(t, z)}{\partial n_{\alpha}}+\eta(z)=0, \quad&\mbox{on }\ T\times\Gamma_2, \\ u(t, z)\geq\Phi(z), \qquad \quad&\mbox{in }\ T\times\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

这里, $ \Phi\in Y $和$ \frac{\partial u(t, z)}{\partial {\bf n}_\alpha}:=(\alpha(z)\nabla u(t, z), {\bf n})_{{{\Bbb R}} ^N} $.

为了得到bang-bang控制准则, 这里需要如下假设条件.

$ H(b) $$ b:T\times \Omega\times{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}} $是非线性泛函使得

(i) $ (t, z)\rightarrow b(t, z, w) $是可测的在$ T\times\Omega $上对所有的$ w\in {{\Bbb R}} $;

(ii) $ w\rightarrow b^*(t, z, w)h $是连续的对所有的$ h\in L^2(\Omega) $, 其中$ b^*(t, z, w) $是$ b(t, z, w) $自共轭算子;

(iii) 对任意的$ w\in L^2(\Omega), $存在正常数$ l_b $使得$ |b(t, z, w)|\leq l_b $对a.e. $ (t, z)\in T\times \Omega $;

(iv) 对任意的$ w_1, w_2\in C(T, X) $和$ u\in SOL(Q, \widetilde{g}(t, w(t))+\widetilde{G} (\cdot), \widetilde{\varphi}) $, 存在函数$ \widetilde{m}(u)\in L^1(T, {{\Bbb R}} ^+) $使得$ \|b(t, z, w_1)u-b(t, z, w_2)u\|_{X}\leq \widetilde{m}(u)\|w_1-w_2\|_{X}\ \mbox{a.e. }\ t\in J, z\in \Omega. $

$ H(g) $$ g:T\times \Omega\times{{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}} $是连续和有界的, 即：存在正常数$ l_g $使得$ |g(t, z, w)|\leq l_g $.

$ H(0) $泛函$ \eta, \beta $和$ \alpha $满足如下性质

$ \begin{eqnarray*} &&\eta\in L^2(\Gamma_2), \\ &&\alpha\in L^\infty(\Omega)\quad\mbox{使得 }\ \alpha(z)\geq l_\alpha>0\quad\mbox{a.e. } z\in\Omega, \\ &&\beta\in L^\infty(\Omega)\quad\mbox{使得 }\ \beta(z)\geq 0\quad\mbox{a.e. } z\in\Omega. \end{eqnarray*} $

定义$ A:D(A)\subset X\rightarrow X $为$ Aw=\Delta x $, 对每个$ x\in D(A) $. 显然$ A $是紧半群$ T(t) $, $ t>0 $在$ X $中的无穷小生成元^[35]并且其表达式如下

$ \begin{eqnarray*} T(t)x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-n^{2}t}\langle x, e_n\rangle e_n, \; x\in X. \end{eqnarray*} $

令$ w(t)(z)=w(t, z), u(t)(z)=u(t, z), (t, z)\in T\times \Omega $. 考虑如下算子

(6.3) $ \begin{eqnarray} &&(\widetilde{B}(t, w)u)(z)=b(t, z, w)u(t, z), \quad w\in L^2(\Omega), u\in W^{1, 2}(\Omega), \end{eqnarray} $

(6.4) $ \begin{eqnarray} &&\widetilde{g}(t, w)(z)=g(t, z, w), \quad w\in L^2(\Omega). \end{eqnarray} $

同时, 考虑泛函$ \widetilde{G}:Y\rightarrow Y^* $和$ \widetilde{\varphi}:Y\times Y\rightarrow {{\Bbb R}} $如下

(6.5) $ \begin{eqnarray} \langle \widetilde{G}(u), v\rangle&=&\int_\Omega\alpha(z)(\nabla u(z), \nabla v(z))_{{{\Bbb R}} ^N}{\rm d}z+\int_\Omega\beta(z)u(z)v(z){\rm d}z , \end{eqnarray} $

(6.6) $ \begin{eqnarray} \widetilde{\varphi}(u, v)&=&\int_{\Gamma_2}\eta(z)u(z){\rm d}z-\int_{\Gamma_2}\eta(z)v(z){\rm d}z , \end{eqnarray} $

对a.e. $ t\in T $, 所有的$ u, v\in Y, w\in X $, 和约束集$ Q $

$ \begin{eqnarray*} Q:=\{v\in Y:v(z)\geq\Phi(z)\quad\mbox{ a.e. }\ z\in \Omega\}. \end{eqnarray*} $

由上述条件, 容易验证系统(6.1) 和(6.2) 可以写成如下抽象形式: 寻找泛函$ w:T\rightarrow X $和$ u:T\rightarrow Y $使得

(6.7) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} w'(t)=Aw(t)+\widetilde{B}(t, w(t))u(t), \; t\in T, \\ u(t)\in SOL(Q, \widetilde{g}(t, w(t))+\widetilde{G}(\cdot), \widetilde{\varphi}), \quad\mbox{a.e. }\ t\in T, \\ w(0)=w_{0}\in X, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ SOL(Q, \widetilde{g}(t, w(t))+G(\cdot), \varphi) $表示如下变分不等式在$ Y $中的解集: 寻找$ u:T\rightarrow Q $使得

(6.8) $ \begin{equation} \langle \widetilde{g}(t, w(t))+G(u(t)), v-u(t)\rangle+\varphi(v, u(t)) \geq0, \quad\forall v\in Q, \quad\mbox{a.e. }t\in T. \end{equation} $

引理6.1  泛函$ \widetilde{\varphi}(u, v) $定义为(6.6) 式的形式且满足条件$ (\varphi_1)-(\varphi_4) $.

证  结合(6.6) 式和条件$ H(0) $, 对于函数$ \eta $, 容易验证$ (\varphi_1), (\varphi_2) $和$ (\varphi_4) $成立. 因此, 只需证明$ (\varphi_3) $成立.

反证法. 设存在序列$ \{u_n\}_{n\geq1}\subset Y $使得$ u_n\rightarrow u_* $当$ n\rightarrow \infty $. 可以假设$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\varphi(u_n, v)>\varphi(u_*, v) $. 则由(6.6)式和条件$ H(0) $, 有

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{\varphi}(u_n, v)-\widetilde{\varphi}(u_*, v)&=&\int_{\Gamma_2}\eta(z)u_n(z){\rm d}z-\int_{\Gamma_2}\eta(z)u_*(z){\rm d}z\\ &\leq&\int_{\Gamma_2}\eta(z)(u_n(z)-u_*(z)){\rm d}z \end{eqnarray*} $

由假设条件, 得$ \widetilde{\varphi}(u_n, v)-\widetilde{\varphi}(u_*, v)\leq0\ \mbox{当 }\ n\rightarrow \infty. $这与已知条件矛盾. 所以, 对所有的$ v\in Y $, $ \widetilde{\varphi}(\cdot, v) $是弱上半连续的, i.e., 对于(6.6)式的形式条件$ (\varphi_3) $. 证毕.

引理6.2  泛函$ \widetilde{G}:Y\rightarrow Y^* $, 定义为(6.5)式的形式, 是单调和$ h $ -半连续的在$ Q $上.

证  首先, 证明$ G:Y\rightarrow Y^* $是单调的. 对所有的$ u, v\in Y $, 由Poincaré 不等式, 有

$ \langle \widetilde{G}(u)-\widetilde{G}(v), u-v\rangle=\int_\Omega\alpha(z)|\nabla u(z)-\nabla v(z)|^2{\rm d}z+\int_\Omega\beta(z)|u(z)- v(z)|^2{\rm d}z \geq0. $

因此, 对所有的$ u, v\in Y $, $ \widetilde{G}:Y\rightarrow Y^* $是单调的.

接下来, 证明$ \widetilde{G}:Y\rightarrow Y^* $是$ h $ -半连续的. 由(6.5)式中$ \widetilde{G} $的定义, 可知$ \widetilde{G}:Y\rightarrow Y^* $是连续的. 所有容易得到$ \widetilde{G}:Y\rightarrow Y^* $是$ h $ -半连续的. 证毕.

引理6.3  对于(6.5)式定义的泛函$ \widetilde{G}:Y\rightarrow Y^* $, (2.6) 式成立.

这个引理的证明类似于[27, 定理5.1], 因此在这省略证明.

综合引理6.1–引理6.3, 有如下定理.

定理6.1  若引理6.1–6.2所有条件成立, 则存在$ v^*\in Q\bigcap D(\widetilde{\varphi}) $使得

(6.9) $ \begin{equation} \limsup\limits_{u\in Q, \; \|u\|_{Y}\rightarrow \infty}\frac{\langle \widetilde{G}(u), u-v^*\rangle+\widetilde{\varphi}(v^*, u)}{\|u\|_{Y}}\rightarrow +\infty. \end{equation} $

则解集$ SOL(Q, y+\widetilde{G}(\cdot), \varphi) $是依赖于$ y $有界的, i.e., 对所有的$ y\in \overline{B}(\rho, Y^*) :=\{y\in Y^*:\|y\|_{Y^*}\leq \rho\} $, 存在常数$ L_r >0 $使得$ \|u\|_{Y}\leq L_r $对所有的$ u\in SOL(Q, y+\widetilde{G}(\cdot), \widetilde{\varphi}) $成立.

定义集值映射$ \widetilde{U}:T\times X\rightarrow {\cal P}(Q) $,

(6.10) $ \begin{equation} \widetilde{U}(t, w):=\{u\in Q :u\in SOL(Q, \widetilde{g}(t, w)+\widetilde{G}(\cdot), \widetilde{\varphi})\}. \end{equation} $

由定理6.1, 对每个$ (t, w)\in T\times X, \widetilde{U}(t, w) $是非空有界闭凸的, i.e., $ \widetilde{U}(t, w)\in {\cal P}_{bfc}(Y) $, 对所有的$ (t, w)\in T\times X $. 因此, 由引理2.5得$ \mbox{ext}SOL(Q, \widetilde{g}(t, w(t))+\widetilde{G}(\cdot), \widetilde{\varphi}) $具有非空值. 另外, 利用Fubini定理和Poincaré不等式, 可得$ \widetilde{U}:T\times X\rightarrow {\cal P}(Q) $具有引理2.8的性质.

同时, 考虑如下系统

(6.11) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} w'(t)=Aw(t)+\widetilde{B}(t, w(t))u(t), \; t\in T, \\ u(t)\in \mbox{ext}SOL(Q, \widetilde{g}(t, w(t))+\widetilde{G}(\cdot), \widetilde{\varphi}), \quad\mbox{a.e. }t\in T, \\ w(0)=w_{0}\in X, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ SOL(Q, \widetilde{g}(t, w(t))+G(\cdot), \varphi) $是(6.8)式的解集.

为了得到Bang-Bang控制准则, 另外需要如下条件

$ (\widetilde{U}_4) $集值映射$ \widetilde{U}:T\times X\rightarrow {\cal P}_{b, f}(Y) $使得$ h(\widetilde{U}(t, x), \widetilde{U}(t, y))\leq \widetilde{k}_1(t)\|x-y\|_{X} $ a.e. $ t\in J $及$ \widetilde{k}_1\in L^{1}(T, \mathbb{R^+}) $, 对于$ x, y\in X $.

易证$ H(b) $ (resp. $ H(g) $) 对于条件$ H(B) $ (resp. $ (g) $) 是成立的. 记系统(6.7) (resp. (6.11)的解集为$ {\cal R}_{SOL}(w_0)\subset C(T, X)\times L^2(T, Y) $ (resp. $ {\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(w_0) $). 则有如下bang-bang控制准则结果.

定理6.2  设条件$ H(A), H(b), H(g), (U_1)-(U_3), H(0) $和$ (\widetilde{U}_4) $成立, 则对任意的$ (w, u)\in{\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(w_0) $, 存在一序列$ (w_n, u_n)\in{\cal R}_{\mbox{ext}SOL}(w_0) $, $ n\geq1 $, 在$ C(T, X)\times \omega-L^2(T, Y) $中收敛到$ (w, u) $. 另外, 有

$ {\cal R}_{SOL}(w_0) =\overline{{\cal R}_{{\rm ext}SOL}(w_0)}, $

在空间$ C(T, X)\times \omega-L^2(J, Y) $中, 这里的闭包是在空间$ C(T, X)\times \omega-L^2(T, Y) $中取的.