几何元素(如直线、线性子空间、紧子流形、凸体等)的集合是积分几何研究的基本对象. 在这些几何元素的集合中引入几何测度是很自然的. 我们也对几何元素的几何不变量之间的关系很感兴趣, 如周长、面积、曲率等之间的关系. 通常这些几何不变量之间的关系是一些等式或不等式, 分别称之为几何等式或几何不等式. 自上世纪50年代, 几何不等式就已成为几何中非常重要的分支, 与其他数学分支关系密切, 应用极其广泛.

或许最著名的几何不等式之一是等周不等式. 经典的等周不等式可描述为^{[1, 11]}: 平面闭曲线$ C $所围区域的面积$ A $, 周长$ L $满足

$ {{L}^{2}}-4\pi A\ge 0, $

等号成立当且仅当$ C $为圆周.

不变量$ \Delta (K)={{L}^{2}}-4\pi A $称为$ C $的等周亏格, 等周亏格可以刻画周长为$ L $, 面积为$ A $的区域与半径为$ \frac{L}{2\pi } $的圆的接近程度.

1920年前后, Bonnesen给出了一系列具有下列性质的不等式

(1.1) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge B, \end{equation} $

其中$ B $是与曲线$ C $有关的几何量且满足

(1) $ B\ge 0; $ (2) $ B=0 $当且仅当$ C $为圆.

我们称(1.1) 型的不等式为Bonnesen型不等式. Bonnesen型不等式为经典等周不等式的加强形式. 最早的Bonnesen型不等式如下

(Bonnesen不等式) 欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单闭曲线$ C $所围成区域的面积$ A $, 周长$ L $满足

(1.2) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge {{\pi }^{2}}{{({{r}_{e}}-{{r}_{i}})}^{2}}, \end{equation} $

其中, $ {{r}_{e}} $和$ {{r}_{i}} $分别为$ C $的最小外接圆半径与最大内接圆半径. 等号成立的充分必要条件是$ C $为圆周.

在过去一个多世纪数学家们陆续发现很多Bonnesen型不等式(参见文献[1, 7, 10, 12, 15–20, 22]). 周家足教授运用积分几何中包含测度理论给出了一系列平面Bonnesen型不等式的统一证明, 并且还得到了一系列新的几何不等式^[21]; 还有基于Fourier分析、Wirtinger不等式、积分几何中的基本运动公式等诸多证明方法. Bonnesen型不等式的结果已经相当丰富. 遗憾的是, 这些加强的等周不等式涉及曲线的曲率结果较少.

1983年Gage首次提出了著名的Gage等周不等式, 并给出了近乎完美的证明^[5]. 设平面闭凸曲线$ C $的曲率为$ \kappa $, 记周长为$ L $, 所围面积为$ A $, 则

(1.3) $ \begin{equation} \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s\ge \frac{\pi L}{A}, \end{equation} $

当且仅当$ C $为圆周时等号成立.

1999年Green-Osher给出了一系列关于曲率的几何不等式^[14], 如

(1.4) $ \begin{equation} \int_{C}{{{\kappa }^{3}}}{\rm d}s\ge \frac{\pi {{L}^{2}}-2{{\pi }^{2}}A}{{{A}^{2}}}, \end{equation} $

(1.5) $ \begin{equation} \int_{C}{{{\kappa }^{4}}}{\rm d}s\ge \frac{\pi {{L}^{3}}-3{{\pi }^{2}}AL}{{{A}^{3}}}, \end{equation} $

当且仅当$ C $为圆周时等号成立.

2007年周家足教授^[4]得到了Ros不等式的推广形式, 设平面闭凸曲线$ C $的曲率为$ \kappa $, 所围区域的面积为$ A $, 则

(1.6) $ \begin{equation} \int_{C}{\frac{1}{\kappa }}{\rm d}s\ge 2A, \end{equation} $

当且仅当$ C $为圆周时等号成立.

这类涉及曲率的不等式不仅在代数几何、物理、信息工程以及其他的数学分支有着极为重要的应用, 而且在研究平面曲线的一系列演化问题时起着关键的作用, 特别是促进了平面曲率缩短流的研究. 因此, 研究平面曲线的曲率积分不等式有着至关重要的意义, 其研究热度有增无减.

关于这一问题, 仅知道很少的一部分结果, 特别是其类似的逆Bonnesen型不等式的结果甚少, 目前数学家正在探索更多更强的结果. 其中, 最早的逆Bonnesen型不等式结果由Bottema于1933年提出^[13].

(Bottema不等式) 设欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单闭凸曲线$ C $所围区域的面积与周长为$ A $, $ L $, 且具有连续的曲率半径$ \rho $, $ \rho $的最小值记为$ {{\rho }_{m}} $, 最大值记为$ {{\rho }_{M}} $, 则

(1.7) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\le {{\pi }^{2}}{{\left( {{\rho }_{M}}-{{\rho }_{m}} \right)}^{2}}, \end{equation} $

等号成立当且仅当$ {{\rho }_{M}}={{\rho }_{m}}, $即$ C $为圆周. 与(1.7)式曲率半径表示的Bottema型不等式类似, 我们自然考虑平面闭曲线的涉及曲率积分的Bottema型不等式. 由于曲率积分自身复杂性的限制, 使研究具有一定难度. 2021年Kwok-Kun Kwong和Hojoo Lee^[8]运用Fourier分析和高阶Wirtinger型不等式等, 给出了涉及曲率积分的Bottema型不等式的部分结果. 本文在Kwok-Kun Kwong和Hojoo Lee^[8]的工作基础上, 继续研究平面简单闭$ {{C}^{2}} $曲线的Bonnesen型不等式和Bottema型不等式. 本文的结构安排如下: 第二部分为预备知识, 将介绍著名的Sachs不等式和逆Sachs不等式; 第三部分基于经典的Wirtinger不等式、散度定理以及Sachs不等式, 我们将获得一系列新的Bonnesen型不等式; 第四部分利用逆Sachs不等式及曲率函数的性质, 得到新的Bottema型不等式, 并提供其简化证明.

设欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单闭曲线$ C $所围区域的面积和周长分别为$ A $, $ L $, $ s\in [0, L] $为$ C $的弧长参数. $ C $的位置向量可表示为

(2.1) $ \begin{equation} X(s)=(x(s), y(s)), \end{equation} $

且$ C $的单位切向量与单位外法向量可表示为

(2.2) $ \begin{equation} T(s)=\frac{\rm d}{{\rm d}s}X(s), \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} N=-JT, \end{equation} $

其中$ J $表示一个逆时针旋转$ \frac{\pi }{2} $的变换^[8]. 设$ t=\frac{2\pi}{L}s $为闭曲线$ C $的一个新参数^[8], 则

(2.4) $ \begin{equation} {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{2}}. \end{equation} $

设$ G $为闭曲线$ C $的重心, 通过平移变换, 可将$ G $设为原点, 则重心$ G $可表示为^[8]

(2.5) $ \begin{equation} G=\frac{1}{L}\int_{C}{X}{\rm d}s={{O}_{{{{{\Bbb R}} }^{2}}}}. \end{equation} $

引理2.1^[8]   设欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单闭$ {{C}^{2}} $类曲线$ C $所围区域的面积与周长为$ A $, $ L $, $ G $为$ C $的重心, 且$ G $为原点, 则

(2.6) $ \begin{equation} 0\le \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}-{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s\le \frac{{{L}^{4}}}{64{{\pi }^{2}}}\left( \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L} \right), \end{equation} $

其中$ \kappa $为$ C $的曲率半径. 等号成立当且仅当$ C $为圆周.

不等式(2.6) 中的第一个不等式为著名的Sachs不等式, 也是Wirtinger不等式的一个直接结果. 第二个不等式为逆Sachs不等式. 在经典等周问题中, 这两个不等式有着极其广泛的应用^{[2, 3, 9, 11, 14]}.

引理2.2^[2]   设欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单光滑闭曲线$ C $所围区域的面积与周长分别为$ A $, $ L $, 且

$ {{R}^{2}}=\frac{1}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s , $

则

(2.7) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge 2{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}+4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A, \end{equation} $

其中$ H $为$ C $的平均曲率向量, 等号成立当且仅当$ C $为圆周.

下列定理3.1已被Chakerian^[2]证明了极小曲面上的情形.

定理3.1^[8]   设欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单闭曲线$ C $所围区域的面积与周长为$ A $, $ L $, $ X(s)=(x(s), y(s)), $则

(3.1) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \frac{2{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-(\frac{L}{2\pi })N \right|}}^{2}}{\rm d}s, \end{equation} $

其中$ s $为$ C $的弧长参数, $ N $为$ C $的单位外法向量, 等号成立当且仅当$ C $为圆周.

证   由(2.4) 式可知

(3.2) $ \begin{equation} \frac{{{L}^{2}}}{2\pi }={{\int_{0}^{2\pi }{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}}^{2}}{\rm d}t=\int_{0}^{2\pi }{\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right)}{\rm d}t. \end{equation} $

因为单位速度$ X(s) $在闭曲线$ C $中为正方向, 则由散度定理可知

(3.3) $ \begin{equation} 2A={\int\!\!\!\int}_{\Omega }{{\rm div} X{\rm d}A=\int_{C}{\langle X, N \rangle{\rm d}s=\int_{C}{\langle X, -JT \rangle }}}{\rm d}s =\int_{0}^{2\pi }{(x\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}}-y\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}){\rm d}t. \end{equation} $

现计算等周亏格$ {{L}^{2}}-4\pi A $, 即

(3.4) $ \begin{eqnarray} \frac{{{L}^{2}}-4\pi A}{\pi } &=&2\left[ \int_{0}^{2\pi }{\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right)}{\rm d}t-\int_{0}^{2\pi }{\left( x\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}-y\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}{\rm d}t \right] {}\\ &=&\int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t. {\qquad} \end{eqnarray} $

由此可知

(3.5) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A=\pi \int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t. \end{equation} $

因为

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&\int_{0}^{2\pi }{\left[ \left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t {}\\ &=&\int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t=\int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t. \end{eqnarray} $

下面我们采用类似文献[8, p12] 中的方法, 证明当且仅当$ C $为圆周时,

$ \int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t= 0. $

当$ C $为圆周时, 因为$ t=\frac{2\pi }{L}s $, 可得

$ \int_{0}^{2\pi }{X(t){\rm d}t=0}, $

且$ X(t) $是周期为$ 2\pi $的连续函数. 则由Wirtinger不等式知

$ \int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t= 0. $

假设

$ \int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t= 0 $

成立. 因为当Wirtinger不等式等号成立时^[8], 有

$ f(t)={{a}_{1}}\cos t+{{a}_{-1}}\sin t, $

结合(3.6) 式可知, 周期为$ 2\pi $的函数$ z(t)=x'(t)+iy'(t) $满足

$ z(t)={{a}_{1}}{{e}^{it}}+{{a}_{-1}}{{e}^{-it}}, $

其中$ {a}_{1} $, $ {a}_{-1} $为常数. 由(2.4) 式可知, $ {{\left| z(t) \right|}^{2}}=\mu $是一个常数. 于是

$ \mu =z(t)\overline{z(t)}=\sum\limits_{n=-2}^{2}{\Big( \sum\limits_{p+q=n}{{{a}_{p}} \overline{{{a}_{-q}}}} \Big)}{{e}^{{\rm int}}}. $

由Fourier级数的唯一性可知: $ \forall n\in \left\{ -2, -1, 1, 2 \right\} $, 有

$ \sum\limits_{p+q=n, \left| p \right|=\left| q \right|=1}{{{a}_{p}}}\overline{{{a}_{q}}}=0. $

特别地, $ {{a}_{1}}\overline{{{a}_{1}}}+{{a}_{-1}}\overline{{{a}_{-1}}}=0 $, $ {{a}_{1}}\overline{{{a}_{-1}}}=0 $. 所以, $ {a}_{1} $, $ {a}_{-1} $均为非零常数. 再利用欧氏空间中的刚体运动, 设$ x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}t}} $, 其中常数$ R>0 $, 又因为$ C $可参数表示为$ 2\pi $周期的函数$ X(t)=x(t)+{\rm i}y(t) $, 所以$ C $为圆周. 综上, 当且仅当$ C $为圆周时等号成立^[8].

经典的Wirtinger不等式描述为^[8]: 设$ f(x) $是以$ 2\pi $为周期的连续函数, 且$ \int_{0}^{2\pi }{f(t){\rm d}t}=0 $, 则

(3.7) $ \begin{equation} \int_{0}^{2\pi }{\left( {{f}^{'}}{{(t)}^{2}}-f{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t\ge 0, \end{equation} $

则

$ \int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t\geq0. $

因此, 由(3.5) 式可得

(3.8) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \pi \int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right]}{\rm d}t. \end{equation} $

且等号成立的充要条件是$ C $为圆周. 最后对(3.8) 式的积分变量进行变换得

(3.9) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right]}{\rm d}t &=&\frac{2\pi }{L}{{\int_{0}^{L}{\left( x-\frac{L}{2\pi }\frac{{\rm d}y}{{\rm d}s} \right)}}^{2}} +{{\left( y+\frac{L}{2\pi }\frac{{\rm d}x}{{\rm d}s} \right)}^{2}}{\rm d}s {}\\ &=&\frac{2\pi }{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

证毕.

注3.1   不同于Chakerian^[2]的证明, 定理3.1避开了平均曲率和极小曲面的自身的复杂性, 我们直接利用经典的Wirtinger不等式以及散度定理, 给出了新的简化证明, 并提供了等号成立的新证明.

定理3.2  设欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单闭$ {{C}^{2}} $类曲线$ C $所围区域的面积与周长为$ A $, $ L $, 且$ X(s)=(x(s), y(s)) $, 则

(3.10) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-4\pi A, \end{equation} $

其中$ s $为闭曲线$ C $的弧长参数, 等号成立的充分必要条件是$ C $为圆周.

证   由(3.3) 式可知

(3.11) $ \begin{equation} 2A=\int_{C}{\langle X, N \rangle }{\rm d}s. \end{equation} $

考虑到Minkowski公式

(3.12) $ \begin{equation} L=\int_{C}{\kappa \langle X, N \rangle }{\rm d}s. \end{equation} $

可推导出

(3.13) $ \begin{equation} {{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s={{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{2AL}{\pi }+\frac{{{L}^{3}}}{{{(2\pi )}^{2}}}. \end{equation} $

由(3.13) 式进行恒等变形得

(3.14) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-8\pi A=\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s. \end{equation} $

由(2.6) 式的第一个不等式可得

(3.15) $ \begin{equation} {{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s\le \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}. \end{equation} $

又由文献[14]中的证明可知, (3.15) 式等号成立的充分必要条件是$ C $为圆周. 结合(3.14)、(3.15) 式可知

(3.16) $ \begin{eqnarray} {{L}^{2}}-8\pi A & \ge &\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}\frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}} {}\\ &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-{{L}^{2}}. \end{eqnarray} $

由此可得

(3.17) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-{{L}^{2}}+4\pi A. \end{equation} $

由(3.13) 式可得

(3.18) $ \begin{eqnarray} \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}\frac{2AL}{\pi }+\frac{4\pi {}^{2}}{L}\frac{{{L}^{3}}}{{{(2\pi )}^{2}}} {}\\ &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-8\pi A+{{L}^{2}}. \end{eqnarray} $

将(3.17) 与(3.18) 式结合可知

$ {{L}^{2}}-4\pi A \ge \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-8\pi A+{{L}^{2}}-{{L}^{2}}+4\pi A =\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-4\pi A. $

且等号成立当且仅当$ C $为圆周. 证毕.

定理4.1   设欧氏平面$ {{{{\Bbb R}} }^{2}} $中简单闭$ {{C}^{2}} $类曲线$ C $所围区域的面积与周长为$ A $, $ L $, $ X(s)=(x(s), y(s)) $, $ \kappa $为$ C $的曲率函数, 则

(4.1) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\le \frac{4-{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}}-4\pi A-8\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A+\frac{3}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s. \end{equation} $

其中$ H $为$ C $的平均曲率向量, 等号成立当且仅当$ C $为圆周.

证   考虑到

(4.2) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-8\pi A=\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|^{2}}}}{\rm d}s. \end{equation} $

再结合(2.6) 式的第二个不等式

(4.3) $ \begin{equation} {{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s\ge \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}-\frac{{{L}^{4}}}{64{{\pi }^{2}}}\left( \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L} \right). \end{equation} $

则由文献[8, 定理4] 中的证明可知: 利用欧氏空间中的刚体运动, 可设$ x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}t}} $或$ x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}\left( 2t \right)}} $, 其中常数$ R>0 $, $ C $可参数表示为$ 2\pi $周期的函数$ X(t)=x(t)+{\rm i}y(t) $, 即当且仅当$ C $为圆周时等号成立. 将(4.2) 与(4.3) 式相结合得

(4.4) $ \begin{eqnarray} {{L}^{2}}-8\pi A &\le& \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}\left[ \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}-\frac{{{L}^{4}}}{64{{\pi }^{2}}}\left( \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L} \right) \right] {}\\ &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-{{L}^{2}}+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{{{\pi }^{2}}{{L}^{2}}}{4}. \end{eqnarray} $

由引理2.2的(2.7) 式可知

(4.5) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge 2{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}+4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A. \end{equation} $

则由(4.5) 式恒等变形得

(4.6) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A-4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A\ge 2{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}. \end{equation} $

则知

(4.7) $ \begin{equation} \frac{1}{2{{\pi }^{2}}}\left( {{L}^{2}}-4\pi A-4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A \right)\ge {{R}^{2}}. \end{equation} $

(4.8) $ \begin{equation} {{R}^{2}}=\frac{1}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s. \end{equation} $

结合(4.4), (4.7), (4.8) 式可得

(4.9) $ \begin{eqnarray} {{L}^{2}}-8\pi A &\le& 4{{\pi }^{2}}\left[\frac{1}{2{{\pi }^{2}}}\left({{L}^{2}}-4\pi A-4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A\right)\right]-{{L}^{2}}+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}} {}\\ &=&\frac{4-{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}}-8\pi A-8\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

因此, 对(4.9) 式进行恒等变形可得

(4.10) $ \begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\le \frac{4-{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}}-4\pi A-8\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s. \end{equation} $

证毕.