平面闭曲线的Bonnesen型不等式

平面闭曲线的Bonnesen型不等式

宾芮^,¹, 王星星^,², 曾春娜^,¹

¹ 重庆师范大学数学科学学院重庆 401331

² 上海立信会计金融学院统计与数学学院上海 201620

The Bonnesen-type Inequalities for Plane Closed Curves

Bin Rui^,¹, Wang Xingxing^,², Zeng Chunna^,¹

¹ School of Mathematical Sciences, Chongqing Normal University, Chongqing 401331

² School of Mathematics and Statistics, Shanghai Lixin University of Accounting and Finance, Shanghai 201620

通讯作者: 曾春娜, E-mail: zengchn@163.com

收稿日期: 2022-01-29

基金资助:

国家自然科学基金重大专项.  12141101
重庆英才青年拔尖计划.  CQYC2021059145
重庆市自然科学基金.  cstc2020jcyj-msxmX0609
重庆市自然科学基金.  cstc2019jcyj-msxmX0390
重庆市留学人员创新创业支持计划.  cx2019155
重庆市教育委员会科学技术研究项目.  KJQN201900530
重庆市教育委员会科学技术研究项目.  KJZD-K202200509
重庆市研究生科研创新项目.  CYS22556
重庆师范大学研究生科研创新项目.  YKC21036

Received: 2022-01-29

Fund supported:

the Major Project of NSFC.  12141101
the Young Top-Talent Program of Chongqing.  CQYC2021059145
the NSF of Chongqing.  cstc2020jcyj-msxmX0609
the NSF of Chongqing.  cstc2019jcyj-msxmX0390
the Venture Innovation Support Program for Chongqing Overseas Returnees.  cx2019155
the Technology Research Foundation of Chongqing Educational Committee.  KJQN201900530
the Technology Research Foundation of Chongqing Educational Committee.  KJZD-K202200509
the Graduate Scientific Research Innovation Project of Chongqing.  CYS22556
the Graduate Scientific Research Innovation Project of Chongqing Normal University.  YKC21036

作者简介 About authors

宾芮,E-mail:3164873638@qq.com , E-mail：3164873638@qq.com

王星星,E-mail:m13098792429@163.com , E-mail：m13098792429@163.com

Abstract

The isoperimetric inequality is one of the most classical geometric inequalities in differential geometry. The stability of isoperimetric genus can be characterized by Bonnesentype inequality and Bottema-type inequality. In this paper, via the method of differential geometry, Wirtinger inequality, Sachs inequality and divergence theorem and so on, we investigate the Bonnesen-type inequalities and Bottema-type inequalities for plane closed curves, and obtain a series of new Bonnesen-type inequalities and Bottema-type inequalities for curvature integration.

Keywords： Wirtinger inequality ; Sachs inequality ; Bonnesen-type inequality ; Bottema-type inequality

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本文引用格式

宾芮, 王星星, 曾春娜. 平面闭曲线的Bonnesen型不等式. 数学物理学报[J], 2022, 42(6): 1601-1610 doi:

Bin Rui, Wang Xingxing, Zeng Chunna. The Bonnesen-type Inequalities for Plane Closed Curves. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(6): 1601-1610 doi:

1 引言

几何元素(如直线、线性子空间、紧子流形、凸体等)的集合是积分几何研究的基本对象. 在这些几何元素的集合中引入几何测度是很自然的. 我们也对几何元素的几何不变量之间的关系很感兴趣, 如周长、面积、曲率等之间的关系. 通常这些几何不变量之间的关系是一些等式或不等式, 分别称之为几何等式或几何不等式. 自上世纪50年代, 几何不等式就已成为几何中非常重要的分支, 与其他数学分支关系密切, 应用极其广泛.

或许最著名的几何不等式之一是等周不等式. 经典的等周不等式可描述为^{[1, 11]}: 平面闭曲线 $C$ 所围区域的面积 $A$ , 周长 $L$ 满足

${{L}^{2}}-4\pi A\ge 0,$

等号成立当且仅当 $C$ 为圆周.

不变量 $\Delta (K)={{L}^{2}}-4\pi A$ 称为 $C$ 的等周亏格, 等周亏格可以刻画周长为 $L$ , 面积为 $A$ 的区域与半径为 $\frac{L}{2\pi }$ 的圆的接近程度.

1920年前后, Bonnesen给出了一系列具有下列性质的不等式

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge B, \end{equation}$

(1.1)

其中 $B$ 是与曲线 $C$ 有关的几何量且满足

(1) $B\ge 0;$ (2) $B=0$ 当且仅当 $C$ 为圆.

我们称(1.1) 型的不等式为Bonnesen型不等式. Bonnesen型不等式为经典等周不等式的加强形式. 最早的Bonnesen型不等式如下

(Bonnesen不等式) 欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单闭曲线 $C$ 所围成区域的面积 $A$ , 周长 $L$ 满足

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge {{\pi }^{2}}{{({{r}_{e}}-{{r}_{i}})}^{2}}, \end{equation}$

(1.2)

其中, ${{r}_{e}}$ 和 ${{r}_{i}}$ 分别为 $C$ 的最小外接圆半径与最大内接圆半径. 等号成立的充分必要条件是 $C$ 为圆周.

在过去一个多世纪数学家们陆续发现很多Bonnesen型不等式(参见文献[1, 7, 10, 12, 15–20, 22]). 周家足教授运用积分几何中包含测度理论给出了一系列平面Bonnesen型不等式的统一证明, 并且还得到了一系列新的几何不等式^[21]; 还有基于Fourier分析、Wirtinger不等式、积分几何中的基本运动公式等诸多证明方法. Bonnesen型不等式的结果已经相当丰富. 遗憾的是, 这些加强的等周不等式涉及曲线的曲率结果较少.

1983年Gage首次提出了著名的Gage等周不等式, 并给出了近乎完美的证明^[5]. 设平面闭凸曲线 $C$ 的曲率为 $\kappa$ , 记周长为 $L$ , 所围面积为 $A$ , 则

$\begin{equation} \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s\ge \frac{\pi L}{A}, \end{equation}$

(1.3)

当且仅当 $C$ 为圆周时等号成立.

1999年Green-Osher给出了一系列关于曲率的几何不等式^[14], 如

$\begin{equation} \int_{C}{{{\kappa }^{3}}}{\rm d}s\ge \frac{\pi {{L}^{2}}-2{{\pi }^{2}}A}{{{A}^{2}}}, \end{equation}$

(1.4)

$\begin{equation} \int_{C}{{{\kappa }^{4}}}{\rm d}s\ge \frac{\pi {{L}^{3}}-3{{\pi }^{2}}AL}{{{A}^{3}}}, \end{equation}$

(1.5)

当且仅当 $C$ 为圆周时等号成立.

2007年周家足教授^[4]得到了Ros不等式的推广形式, 设平面闭凸曲线 $C$ 的曲率为 $\kappa$ , 所围区域的面积为 $A$ , 则

$\begin{equation} \int_{C}{\frac{1}{\kappa }}{\rm d}s\ge 2A, \end{equation}$

(1.6)

当且仅当 $C$ 为圆周时等号成立.

这类涉及曲率的不等式不仅在代数几何、物理、信息工程以及其他的数学分支有着极为重要的应用, 而且在研究平面曲线的一系列演化问题时起着关键的作用, 特别是促进了平面曲率缩短流的研究. 因此, 研究平面曲线的曲率积分不等式有着至关重要的意义, 其研究热度有增无减.

关于这一问题, 仅知道很少的一部分结果, 特别是其类似的逆Bonnesen型不等式的结果甚少, 目前数学家正在探索更多更强的结果. 其中, 最早的逆Bonnesen型不等式结果由Bottema于1933年提出^[13].

(Bottema不等式) 设欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单闭凸曲线 $C$ 所围区域的面积与周长为 $A$ , $L$ , 且具有连续的曲率半径 $\rho$ , $\rho$ 的最小值记为 ${{\rho }_{m}}$ , 最大值记为 ${{\rho }_{M}}$ , 则

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\le {{\pi }^{2}}{{\left( {{\rho }_{M}}-{{\rho }_{m}} \right)}^{2}}, \end{equation}$

(1.7)

等号成立当且仅当 ${{\rho }_{M}}={{\rho }_{m}},$ 即 $C$ 为圆周. 与(1.7)式曲率半径表示的Bottema型不等式类似, 我们自然考虑平面闭曲线的涉及曲率积分的Bottema型不等式. 由于曲率积分自身复杂性的限制, 使研究具有一定难度. 2021年Kwok-Kun Kwong和Hojoo Lee^[8]运用Fourier分析和高阶Wirtinger型不等式等, 给出了涉及曲率积分的Bottema型不等式的部分结果. 本文在Kwok-Kun Kwong和Hojoo Lee^[8]的工作基础上, 继续研究平面简单闭 ${{C}^{2}}$ 曲线的Bonnesen型不等式和Bottema型不等式. 本文的结构安排如下: 第二部分为预备知识, 将介绍著名的Sachs不等式和逆Sachs不等式; 第三部分基于经典的Wirtinger不等式、散度定理以及Sachs不等式, 我们将获得一系列新的Bonnesen型不等式; 第四部分利用逆Sachs不等式及曲率函数的性质, 得到新的Bottema型不等式, 并提供其简化证明.

2 主要引理

设欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单闭曲线 $C$ 所围区域的面积和周长分别为 $A$ , $L$ , $s\in [0, L]$ 为 $C$ 的弧长参数. $C$ 的位置向量可表示为

$\begin{equation} X(s)=(x(s), y(s)), \end{equation}$

(2.1)

且 $C$ 的单位切向量与单位外法向量可表示为

$\begin{equation} T(s)=\frac{\rm d}{{\rm d}s}X(s), \end{equation}$

(2.2)

$\begin{equation} N=-JT, \end{equation}$

(2.3)

其中 $J$ 表示一个逆时针旋转 $\frac{\pi }{2}$ 的变换^[8]. 设 $t=\frac{2\pi}{L}s$ 为闭曲线 $C$ 的一个新参数^[8], 则

$\begin{equation} {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{2}}. \end{equation}$

(2.4)

设 $G$ 为闭曲线 $C$ 的重心, 通过平移变换, 可将 $G$ 设为原点, 则重心 $G$ 可表示为^[8]

$\begin{equation} G=\frac{1}{L}\int_{C}{X}{\rm d}s={{O}_{{{{{\Bbb R}} }^{2}}}}. \end{equation}$

(2.5)

引理2.1^[8] 设欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单闭 ${{C}^{2}}$ 类曲线 $C$ 所围区域的面积与周长为 $A$ , $L$ , $G$ 为 $C$ 的重心, 且 $G$ 为原点, 则

$\begin{equation} 0\le \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}-{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s\le \frac{{{L}^{4}}}{64{{\pi }^{2}}}\left( \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L} \right), \end{equation}$

(2.6)

其中 $\kappa$ 为 $C$ 的曲率半径. 等号成立当且仅当 $C$ 为圆周.

不等式(2.6) 中的第一个不等式为著名的Sachs不等式, 也是Wirtinger不等式的一个直接结果. 第二个不等式为逆Sachs不等式. 在经典等周问题中, 这两个不等式有着极其广泛的应用^{[2, 3, 9, 11, 14]}.

引理2.2^[2] 设欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单光滑闭曲线 $C$ 所围区域的面积与周长分别为 $A$ , $L$ , 且

${{R}^{2}}=\frac{1}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s ,$

则

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge 2{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}+4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A, \end{equation}$

(2.7)

其中 $H$ 为 $C$ 的平均曲率向量, 等号成立当且仅当 $C$ 为圆周.

3 平面闭曲线的Bonnesen型不等式

下列定理3.1已被Chakerian^[2]证明了极小曲面上的情形.

定理3.1^[8] 设欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单闭曲线 $C$ 所围区域的面积与周长为 $A$ , $L$ , $X(s)=(x(s), y(s)),$ 则

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \frac{2{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-(\frac{L}{2\pi })N \right|}}^{2}}{\rm d}s, \end{equation}$

(3.1)

其中 $s$ 为 $C$ 的弧长参数, $N$ 为 $C$ 的单位外法向量, 等号成立当且仅当 $C$ 为圆周.

证由(2.4) 式可知

$\begin{equation} \frac{{{L}^{2}}}{2\pi }={{\int_{0}^{2\pi }{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}}^{2}}{\rm d}t=\int_{0}^{2\pi }{\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right)}{\rm d}t. \end{equation}$

(3.2)

因为单位速度 $X(s)$ 在闭曲线 $C$ 中为正方向, 则由散度定理可知

$\begin{equation} 2A={\int\!\!\!\int}_{\Omega }{{\rm div} X{\rm d}A=\int_{C}{\langle X, N \rangle{\rm d}s=\int_{C}{\langle X, -JT \rangle }}}{\rm d}s =\int_{0}^{2\pi }{(x\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}}-y\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}){\rm d}t. \end{equation}$

(3.3)

现计算等周亏格 ${{L}^{2}}-4\pi A$ , 即

$\begin{eqnarray} \frac{{{L}^{2}}-4\pi A}{\pi } &=&2\left[ \int_{0}^{2\pi }{\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right)}{\rm d}t-\int_{0}^{2\pi }{\left( x\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}-y\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}{\rm d}t \right] {}\\ &=&\int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t. {\qquad} \end{eqnarray}$

(3.4)

由此可知

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A=\pi \int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+\left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t. \end{equation}$

(3.5)

因为

$\begin{eqnarray} &&\int_{0}^{2\pi }{\left[ \left( {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+\left( {{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t {}\\ &=&\int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right) \right]}{\rm d}t=\int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t. \end{eqnarray}$

(3.6)

下面我们采用类似文献[8, p12] 中的方法, 证明当且仅当 $C$ 为圆周时,

$\int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t= 0.$

当 $C$ 为圆周时, 因为 $t=\frac{2\pi }{L}s$ , 可得

$\int_{0}^{2\pi }{X(t){\rm d}t=0},$

且 $X(t)$ 是周期为 $2\pi$ 的连续函数. 则由Wirtinger不等式知

$\int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t= 0.$

假设

$\int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t= 0$

成立. 因为当Wirtinger不等式等号成立时^[8], 有

$f(t)={{a}_{1}}\cos t+{{a}_{-1}}\sin t,$

结合(3.6) 式可知, 周期为 $2\pi$ 的函数 $z(t)=x'(t)+iy'(t)$ 满足

$z(t)={{a}_{1}}{{e}^{it}}+{{a}_{-1}}{{e}^{-it}},$

其中 ${a}_{1}$ , ${a}_{-1}$ 为常数. 由(2.4) 式可知, ${{\left| z(t) \right|}^{2}}=\mu$ 是一个常数. 于是

$\mu =z(t)\overline{z(t)}=\sum\limits_{n=-2}^{2}{\Big( \sum\limits_{p+q=n}{{{a}_{p}} \overline{{{a}_{-q}}}} \Big)}{{e}^{{\rm int}}}.$

由Fourier级数的唯一性可知: $\forall n\in \left\{ -2, -1, 1, 2 \right\}$ , 有

$\sum\limits_{p+q=n, \left| p \right|=\left| q \right|=1}{{{a}_{p}}}\overline{{{a}_{q}}}=0.$

特别地, ${{a}_{1}}\overline{{{a}_{1}}}+{{a}_{-1}}\overline{{{a}_{-1}}}=0$ , ${{a}_{1}}\overline{{{a}_{-1}}}=0$ . 所以, ${a}_{1}$ , ${a}_{-1}$ 均为非零常数. 再利用欧氏空间中的刚体运动, 设 $x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}t}}$ , 其中常数 $R>0$ , 又因为 $C$ 可参数表示为 $2\pi$ 周期的函数 $X(t)=x(t)+{\rm i}y(t)$ , 所以 $C$ 为圆周. 综上, 当且仅当 $C$ 为圆周时等号成立^[8].

经典的Wirtinger不等式描述为^[8]: 设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数, 且 $\int_{0}^{2\pi }{f(t){\rm d}t}=0$ , 则

$\begin{equation} \int_{0}^{2\pi }{\left( {{f}^{'}}{{(t)}^{2}}-f{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t\ge 0, \end{equation}$

(3.7)

则

$\int_{0}^{2\pi }{\left( X'{{(t)}^{2}}-X{{(t)}^{2}} \right)}{\rm d}t\geq0.$

因此, 由(3.5) 式可得

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \pi \int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right]}{\rm d}t. \end{equation}$

(3.8)

且等号成立的充要条件是 $C$ 为圆周. 最后对(3.8) 式的积分变量进行变换得

$\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi }{\left[ {{\left( x-\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} \right)}^{2}} \right]}{\rm d}t &=&\frac{2\pi }{L}{{\int_{0}^{L}{\left( x-\frac{L}{2\pi }\frac{{\rm d}y}{{\rm d}s} \right)}}^{2}} +{{\left( y+\frac{L}{2\pi }\frac{{\rm d}x}{{\rm d}s} \right)}^{2}}{\rm d}s {}\\ &=&\frac{2\pi }{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s. \end{eqnarray}$

(3.9)

证毕.

注3.1 不同于Chakerian^[2]的证明, 定理3.1避开了平均曲率和极小曲面的自身的复杂性, 我们直接利用经典的Wirtinger不等式以及散度定理, 给出了新的简化证明, 并提供了等号成立的新证明.

定理3.2 设欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单闭 ${{C}^{2}}$ 类曲线 $C$ 所围区域的面积与周长为 $A$ , $L$ , 且 $X(s)=(x(s), y(s))$ , 则

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-4\pi A, \end{equation}$

(3.10)

其中 $s$ 为闭曲线 $C$ 的弧长参数, 等号成立的充分必要条件是 $C$ 为圆周.

证由(3.3) 式可知

$\begin{equation} 2A=\int_{C}{\langle X, N \rangle }{\rm d}s. \end{equation}$

(3.11)

考虑到Minkowski公式

$\begin{equation} L=\int_{C}{\kappa \langle X, N \rangle }{\rm d}s. \end{equation}$

(3.12)

可推导出

$\begin{equation} {{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s={{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{2AL}{\pi }+\frac{{{L}^{3}}}{{{(2\pi )}^{2}}}. \end{equation}$

(3.13)

由(3.13) 式进行恒等变形得

$\begin{equation} {{L}^{2}}-8\pi A=\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s. \end{equation}$

(3.14)

由(2.6) 式的第一个不等式可得

$\begin{equation} {{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s\le \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}. \end{equation}$

(3.15)

又由文献[14]中的证明可知, (3.15) 式等号成立的充分必要条件是 $C$ 为圆周. 结合(3.14)、(3.15) 式可知

$\begin{eqnarray} {{L}^{2}}-8\pi A & \ge &\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}\frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}} {}\\ &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-{{L}^{2}}. \end{eqnarray}$

(3.16)

由此可得

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-{{L}^{2}}+4\pi A. \end{equation}$

(3.17)

由(3.13) 式可得

$\begin{eqnarray} \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}\frac{2AL}{\pi }+\frac{4\pi {}^{2}}{L}\frac{{{L}^{3}}}{{{(2\pi )}^{2}}} {}\\ &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-8\pi A+{{L}^{2}}. \end{eqnarray}$

(3.18)

将(3.17) 与(3.18) 式结合可知

${{L}^{2}}-4\pi A \ge \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-8\pi A+{{L}^{2}}-{{L}^{2}}+4\pi A =\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s-4\pi A.$

且等号成立当且仅当 $C$ 为圆周. 证毕.

4 平面闭曲线的Bottema型不等式

定理4.1 设欧氏平面 ${{{{\Bbb R}} }^{2}}$ 中简单闭 ${{C}^{2}}$ 类曲线 $C$ 所围区域的面积与周长为 $A$ , $L$ , $X(s)=(x(s), y(s))$ , $\kappa$ 为 $C$ 的曲率函数, 则

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\le \frac{4-{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}}-4\pi A-8\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A+\frac{3}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s. \end{equation}$

(4.1)

其中 $H$ 为 $C$ 的平均曲率向量, 等号成立当且仅当 $C$ 为圆周.

证考虑到

(4.2)

再结合(2.6) 式的第二个不等式

$\begin{equation} {{\int_{C}{\left| X \right|}}^{2}}{\rm d}s\ge \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}-\frac{{{L}^{4}}}{64{{\pi }^{2}}}\left( \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L} \right). \end{equation}$

(4.3)

则由文献[8, 定理4] 中的证明可知: 利用欧氏空间中的刚体运动, 可设 $x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}t}}$ 或 $x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}\left( 2t \right)}}$ , 其中常数 $R>0$ , $C$ 可参数表示为 $2\pi$ 周期的函数 $X(t)=x(t)+{\rm i}y(t)$ , 即当且仅当 $C$ 为圆周时等号成立. 将(4.2) 与(4.3) 式相结合得

$\begin{eqnarray} {{L}^{2}}-8\pi A &\le& \frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}\left[ \frac{{{L}^{3}}}{4{{\pi }^{2}}}-\frac{{{L}^{4}}}{64{{\pi }^{2}}}\left( \int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{4{{\pi }^{2}}}{L} \right) \right] {}\\ &=&\frac{4{{\pi }^{2}}}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s-{{L}^{2}}+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{{{\pi }^{2}}{{L}^{2}}}{4}. \end{eqnarray}$

(4.4)

由引理2.2的(2.7) 式可知

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\ge 2{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}+4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A. \end{equation}$

(4.5)

则由(4.5) 式恒等变形得

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A-4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A\ge 2{{\pi }^{2}}{{R}^{2}}. \end{equation}$

(4.6)

则知

$\begin{equation} \frac{1}{2{{\pi }^{2}}}\left( {{L}^{2}}-4\pi A-4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A \right)\ge {{R}^{2}}. \end{equation}$

(4.7)

$\begin{equation} {{R}^{2}}=\frac{1}{L}{{\int_{C}{\left| X-\left( \frac{L}{2\pi } \right)N \right|}}^{2}}{\rm d}s. \end{equation}$

(4.8)

结合(4.4), (4.7), (4.8) 式可得

$\begin{eqnarray} {{L}^{2}}-8\pi A &\le& 4{{\pi }^{2}}\left[\frac{1}{2{{\pi }^{2}}}\left({{L}^{2}}-4\pi A-4\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A\right)\right]-{{L}^{2}}+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s-\frac{{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}} {}\\ &=&\frac{4-{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}}-8\pi A-8\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s. \end{eqnarray}$

(4.9)

因此, 对(4.9) 式进行恒等变形可得

$\begin{equation} {{L}^{2}}-4\pi A\le \frac{4-{{\pi }^{2}}}{4}{{L}^{2}}-4\pi A-8\pi {\int\!\!\!\int}_{C}{X\cdot }H{\rm d}A+\frac{{{L}^{3}}}{16}\int_{C}{{{\kappa }^{2}}}{\rm d}s. \end{equation}$

(4.10)

证毕.

参考文献

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文献年度倒序

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1988

... 或许最著名的几何不等式之一是等周不等式. 经典的等周不等式可描述为^{[1, 11]}: 平面闭曲线

$C$

所围区域的面积

$A$

, 周长

$L$

满足 ...

... 在过去一个多世纪数学家们陆续发现很多Bonnesen型不等式(参见文献[1, 7, 10, 12, 15–20, 22]). 周家足教授运用积分几何中包含测度理论给出了一系列平面Bonnesen型不等式的统一证明, 并且还得到了一系列新的几何不等式^[21]; 还有基于Fourier分析、Wirtinger不等式、积分几何中的基本运动公式等诸多证明方法. Bonnesen型不等式的结果已经相当丰富. 遗憾的是, 这些加强的等周不等式涉及曲线的曲率结果较少. ...

The isoperimetric theorem for curves on minimal surfaces

1978

... 不等式(2.6) 中的第一个不等式为著名的Sachs不等式, 也是Wirtinger不等式的一个直接结果. 第二个不等式为逆Sachs不等式. 在经典等周问题中, 这两个不等式有着极其广泛的应用^{[2, 3, 9, 11, 14]}. ...

... 引理2.2^[2] 设欧氏平面

${{{{\Bbb R}} }^{2}}$

中简单光滑闭曲线

$C$

所围区域的面积与周长分别为

$A$

$L$

, 且 ...

... 下列定理3.1已被Chakerian^[2]证明了极小曲面上的情形. ...

... 注3.1 不同于Chakerian^[2]的证明, 定理3.1避开了平均曲率和极小曲面的自身的复杂性, 我们直接利用经典的Wirtinger不等式以及散度定理, 给出了新的简化证明, 并提供了等号成立的新证明. ...

2010

Focal sets in two-dimensional space forms

2007

... 2007年周家足教授^[4]得到了Ros不等式的推广形式, 设平面闭凸曲线

$C$

的曲率为

$\kappa$

, 所围区域的面积为

$A$

, 则 ...

An isoperimetric inequality with applications to curve shortening

1983

... 1983年Gage首次提出了著名的Gage等周不等式, 并给出了近乎完美的证明^[5]. 设平面闭凸曲线

$C$

的曲率为

$\kappa$

, 记周长为

$L$

, 所围面积为

$A$

, 则 ...

Steiner polynomials, wulff flows, and some new isoperimetric inequalities for conver plane curves

1999

Sur quelques applications géométriques des séries de Fourier(French)

1902

Higher order Wirtinger-type inequalities and sharp bounds for the isoperimetric deficit

2021

... 等号成立当且仅当

${{\rho }_{M}}={{\rho }_{m}},$

即

$C$

为圆周. 与(1.7)式曲率半径表示的Bottema型不等式类似, 我们自然考虑平面闭曲线的涉及曲率积分的Bottema型不等式. 由于曲率积分自身复杂性的限制, 使研究具有一定难度. 2021年Kwok-Kun Kwong和Hojoo Lee^[8]运用Fourier分析和高阶Wirtinger型不等式等, 给出了涉及曲率积分的Bottema型不等式的部分结果. 本文在Kwok-Kun Kwong和Hojoo Lee^[8]的工作基础上, 继续研究平面简单闭

${{C}^{2}}$

曲线的Bonnesen型不等式和Bottema型不等式. 本文的结构安排如下: 第二部分为预备知识, 将介绍著名的Sachs不等式和逆Sachs不等式; 第三部分基于经典的Wirtinger不等式、散度定理以及Sachs不等式, 我们将获得一系列新的Bonnesen型不等式; 第四部分利用逆Sachs不等式及曲率函数的性质, 得到新的Bottema型不等式, 并提供其简化证明. ...

... [8]的工作基础上, 继续研究平面简单闭

${{C}^{2}}$

... 其中

$J$

表示一个逆时针旋转

$\frac{\pi }{2}$

的变换^[8]. 设

$t=\frac{2\pi}{L}s$

为闭曲线

$C$

的一个新参数^[8], 则 ...

... [8], 则 ...

... 设

$G$

为闭曲线

$C$

的重心, 通过平移变换, 可将

$G$

设为原点, 则重心

$G$

可表示为^[8] ...

... 引理2.1^[8] 设欧氏平面

${{{{\Bbb R}} }^{2}}$

中简单闭

${{C}^{2}}$

类曲线

$C$

所围区域的面积与周长为

$A$

$L$

$G$

为

$C$

的重心, 且

$G$

为原点, 则 ...

... 定理3.1^[8] 设欧氏平面

${{{{\Bbb R}} }^{2}}$

中简单闭曲线

$C$

所围区域的面积与周长为

$A$

$L$

$X(s)=(x(s), y(s)),$

则 ...

... 下面我们采用类似文献[8, p12] 中的方法, 证明当且仅当

$C$

为圆周时, ...

... 成立. 因为当Wirtinger不等式等号成立时^[8], 有 ...

... 特别地,

${{a}_{1}}\overline{{{a}_{1}}}+{{a}_{-1}}\overline{{{a}_{-1}}}=0$

${{a}_{1}}\overline{{{a}_{-1}}}=0$

. 所以,

${a}_{1}$

${a}_{-1}$

均为非零常数. 再利用欧氏空间中的刚体运动, 设

$x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}t}}$

, 其中常数

$R>0$

, 又因为

$C$

可参数表示为

$2\pi$

周期的函数

$X(t)=x(t)+{\rm i}y(t)$

, 所以

$C$

为圆周. 综上, 当且仅当

$C$

为圆周时等号成立^[8]. ...

... 经典的Wirtinger不等式描述为^[8]: 设

$f(x)$

是以

$2\pi$

为周期的连续函数, 且

$\int_{0}^{2\pi }{f(t){\rm d}t}=0$

, 则 ...

... 则由文献[8, 定理4] 中的证明可知: 利用欧氏空间中的刚体运动, 可设

$x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}t}}$

或

$x'(t)+{\rm i}y'(t)={{{\rm Re}}^{{\rm i}\left( 2t \right)}}$

, 其中常数

$R>0$

$C$

可参数表示为

$2\pi$

周期的函数

$X(t)=x(t)+{\rm i}y(t)$

, 即当且仅当

$C$

为圆周时等号成立. 将(4.2) 与(4.3) 式相结合得 ...

On the isoperimetric inequality for minimal surfaces

1984

关于Wulff流情形下的等周不等式的注记

2015

关于Wulff流情形下的等周不等式的注记

2015

The isoperimetric inequality

1978

... 或许最著名的几何不等式之一是等周不等式. 经典的等周不等式可描述为^{[1, 11]}: 平面闭曲线

$C$

所围区域的面积

$A$

, 周长

$L$

满足 ...

Bonnesen-style isoperimetric inequality

1979

1988

... 关于这一问题, 仅知道很少的一部分结果, 特别是其类似的逆Bonnesen型不等式的结果甚少, 目前数学家正在探索更多更强的结果. 其中, 最早的逆Bonnesen型不等式结果由Bottema于1933年提出^[13]. ...

1988

Ungleichungen für Umfang, Fl?cheninhalt und Tr?gheitsmoment konvexer Kurven

1960

... 1999年Green-Osher给出了一系列关于曲率的几何不等式^[14], 如 ...

... 又由文献[14]中的证明可知, (3.15) 式等号成立的充分必要条件是

$C$

为圆周. 结合(3.14)、(3.15) 式可知 ...

1976

常曲率平面上的逆Bonnesen型不等式

2020

常曲率平面上的逆Bonnesen型不等式

2020

The Bonnesen isoperimetric inequality in a surface of constant curvature

2012

两平面凸域的对称混合等周不等式

2012

两平面凸域的对称混合等周不等式

2012

Bonnesen-style inequalities and pseudo-perimeters for polygons

1997

A Refinement of the discrete Wirtinger inequality

1996

从积分几何的观点看几何不等式

2010

从积分几何的观点看几何不等式

2010

内平行体的均质积分

2016

内平行体的均质积分

2016

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