恒化器是一种用于微生物连续培养的实验室设备, 在微生物发酵、废水处理和许多其他方面都发挥着非常重要的作用, 参见文献[1-4]. 近年来，恒化器的建模及其动力学行为研究引起了全世界生物学工作者、实验技术人员和数学工作者的广泛关注, 参见文献[5-10].

具有一般反应函数的经典恒化器模型形如

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d}S(t)}{{\rm d}t} = D\left ( S^{0}-S(t) \right )-\frac{1}{\delta }P(S(t))x(t), \\ { } \frac{{\rm d}x(t)}{{\rm d}t} = -Dx(t)+P(S(t))x(t), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中, $ S(t) $、$ x(t) $分别为$ t $时刻的养料和微生物浓度; $ S^{0} $是养料的初始输入浓度; $ D $代表稀释率; $ \frac{1}{\delta }P(S(t)) $表示养料被微生物种群吸收的速率, $ \delta \in \left ( 0, 1 \right ] $是生长产量常数, $ P(S(t)) $代表养料向微生物的转化函数，即一般生长反应函数. 考虑生物现实, 通常假设反应函数$ P: {{\Bbb R}} _{+}\rightarrow {{\Bbb R}} _{+} $满足

${ {\rm{H1}}}: P 连续可微, 且 P(0) = 0, P(S)>0 对于 S>0.$

模型(1.1)存在唯一的正实数$ \lambda $使得: 当$ 0<S<\lambda $时, $ P(S)<D $; 当$ S>\lambda $时, $ P(S)>D $, 这里$ \lambda $称为得失相当常数(break-even). 若$ \lambda \geq S^{0} $, 则$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty }x(t) = 0 $; 若$ \lambda <S^{0} $, 则$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty }S(t) = \lambda $, $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty }x(t) = \delta (S^{0}-\lambda ) $. 更多结果参见文献[11-12].

常见的功能反应函数有如下几种:

(1) IvIev功能反应函数: $ P(S) = 1-e^{-\mu S} $, 其中$ \mu >0 $为正常数.

(2) Sigmoidal功能反应函数: $ P(S) = \frac{mS^2}{(a+S)(b+S)} $, 其中$ m, a>0 $, $ b $均为常数.

(3) Lotka-Volterra函数: $ P(S) = mS $, 其中$ m>0 $为正常数.

(4) Michaelis-Menten-Monod函数: $ P(S) = \frac{mS}{a+S} $, 其中$ m $为微生物的最大增长率, $ a $为半饱和常数(也称为Michaelis-Menten常数).

(5) Monod-Haldane函数: $ P(S) = \frac{mS}{a+S+bS^2} $, 其中$ m, a $含义与(4)相同, $ bS^2 $是抑制项.

类型(3), (4), (5)也被称作第Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ类Holling功能反应函数. 许多专家学者利用这些功能反应函数研究恒化器模型的动力学行为^[13-17].

在恒化器中, 微生物可以生长在壁上或特定的表面上. 事实上, 在恒化器或其他类似模型中, 经常能观察到微生物的贴壁生长, 例如生物反应器的生长和哺乳动物大肠的微生物生长^[18]. 目前具有贴壁生长现象的恒化器模型的相关研究相对较少, 考虑更符合实际现象以及从生物学的角度获得更有用的结果, 本文将研究具有贴壁现象的模型. 在经典模型的基础上考虑贴壁生长现象, 得到如下模型

(1.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{{\rm d}S(t)}{{\rm d}t} = D\left ( S^{0}-S(t) \right )-\frac{1}{\delta }P(S(t))x_1(t)-\frac{1}{\delta }P(S(t))x_2(t)+bvx_1(t), \\ { } \frac{{\rm d}x_1(t)}{{\rm d}t} = -(v+D)x_1(t)+P(S(t))x_1(t)-r_1x_1(t)+r_2x_2(t), \\ { } \frac{{\rm d}x_2(t)}{{\rm d}t} = -vx_2(t)+P(S(t))x_2(t)+r_1x_1(t)-r_2x_2(t), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ S(t) $, $ x_1(t) $和$ x_2(t) $分别代表养料和两种不同微生物的浓度; $ b\in \left ( 0, 1 \right ) $是回收的死亡生物质; $ v>0 $表示微生物的死亡率; $ r_1>0 $和$ r_1>0 $分别描述了微生物粘附在壁上和从壁上脱落的速率.

除了贴壁生长现象, 系统不可避免地受到环境随机波动的影响. Sun等^[19]分析了受环境噪声影响的随机两种群Monod竞争恒化器模型的渐近行为和稳态分布. 文献[20]研究了最大增长率受环境中白噪声扰动的一种单物种随机恒化器模型, 结果表明, 噪声对微生物的持久性具有消极作用, 较大的噪声会使微生物灭绝. 文献[21]表明, 对于污染环境中具有非线性扰动的新型脉冲随机恒化器模型, 随机噪声和脉冲式毒素输入都对微生物的存活和灭绝有很大影响. 本文将通过白噪声输入来扰动系统(1.2), 使其更能体现实际的微生物系统. 有很多方法可以在模型中引入随机噪声扰动, 在本文中, 基于文献[22]中的方法, 假定环境噪声与变量成正比, 得到具有一般功能反应函数和贴壁生长现象的随机恒化器模型:

(1.3) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } {\rm d}S(t) = \left [D\left ( S^{0}-S(t) \right )-\frac{1}{\delta }P(S(t))x_1(t)-\frac{1}{\delta }P(S(t))x_2(t)+bvx_1(t) \right ]{\rm d}t+\alpha S(t){\rm d}B_1(t), \\ {\rm d}x_1(t) = \left [-(v+D)x_1(t)+P(S(t))x_1(t)-r_1x_1(t)+r_2x_2(t) \right ]+\beta x_1(t){\rm d}B_2(t), \\ {\rm d}x_2(t) = \left [-vx_2(t)+P(S(t))x_2(t)+r_1x_1(t)-r_2x_2(t) \right ]+\beta x_2(t){\rm d}B_2(t), \end{array}\right. \end{eqnarray} $

其中$ B_1(t) $, $ B_2(t) $是完全概率空间$ \big ( \Omega , {\cal F}, \left \{ {\cal F} \right \}_{t\geq 0}, {\Bbb P} \big ) $上定义的独立的标准一维布朗运动, 其中$ \left \{ {\cal F} \right \}_{t\geq 0} $满足常规条件(i.e. 右连续, 且$ {\cal F}_0 $包含所有$ {\Bbb P} $-零测集); $ \alpha $, $ \beta $是白噪声强度; 其他参数含义与系统(1.3)相同.

Caraballo等^[19]分析了具有贴壁生长现象和Michaelis-Menten-Monod功能反应函数的随机恒化器模型, 得到了模型解的存在唯一性, 以及随机吸引子的存在性. 本文将研究具有一般功能反应函数和贴壁生长现象的随机恒化器模型的全局动力学.

本文的结构如下: 第2节, 对系统(1.3)降维, 并证明了其存在唯一的全局正解; 第3节, 给出了系统的全局动力学行为(平稳分布的存在唯一性和灭绝性); 第4节, 具体的例子和数值模拟验证了本文的理论结果. 第5节, 进行总结与讨论; 最后, 为了文章的完整性, 在附录中给出完整的证明过程.

由于复杂的三维随机模型(1.3)难以分析, 下面讨论系统的性质并对其进行降维.

定义变量

$ z = \frac{x_1}{x_1+x_2}\in \left [ 0, 1 \right ]. $

根据系统(1.3), 由伊藤公式得

(2.1) $ \begin{eqnarray} {\rm d}z = \left [ Dz^{2}-\left ( D+r_1+r_2 \right )z+r_2 \right ]{\rm d}t. \end{eqnarray} $

定义$ f:\left [ 0, \infty \right )\times \left [ 0, 1 \right ]\rightarrow {{\Bbb R}} $如下

$ f(t, z) = Dz^{2}-\left ( D+r_1+r_2 \right )z+r_2. $

容易验证$ f $连续且关于$ z $满足局部Lipschitz条件, 又因为$ z $是有界的, 系统(2.1)的局部解可以延伸为全局解.

此外, 显示求解(2.1)式可得

$ \begin{eqnarray*} z(t) = z^{*}+\frac{1}{\left [ \frac{1}{z(0)-z^{*}}+\frac{D}{D+r_1+r_2-2Dz^{*}} \right ]e^{\left ( D+r_1+r_2-2Dz^{*} \right )t}-\frac{D}{D+r_1+r_2-2Dz^{*}}}, \end{eqnarray*} $

其中$ z^{*} = \frac{D+r_1+r_2-\sqrt{\left ( D+r_1+r_2 \right )^2-4Dr_2}}{2D}\in \left ( 0, 1 \right ) $, $ D+r_1+r_2-2Dz^{*}>0 $. 通过简单的分析可知

(2.2) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow \infty }z(t) = z^{*}, \end{eqnarray} $

也就是说$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{x_1}{x_1+x_2} = z^{*} $.

接下来, 定义$ x = x_1+x_2 $, 则

(2.3) $ \begin{eqnarray} {\rm d}x = \left [ -vx-Dzx+P(S)x \right ]{\rm d}t+\beta x{\rm d}B_2(t). \end{eqnarray} $

考虑(2.3)式的极限系统, 由(2.2)式知

$ \begin{eqnarray*} {\rm d}x(t) = \left [-(v+Dz^{*})x(t)+P(S(t))x(t) \right ]+\beta x(t){\rm d}B_2(t). \end{eqnarray*} $

由于本文将研究系统(1.3)的长时间行为, 不妨研究其极限系统:

(2.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } {\rm d}S(t) = \left [D\left ( S^{0}-S \right )-\frac{1}{\delta }P(S(t))x(t)+bvz^{*}x(t) \right ]{\rm d}t+\alpha S(t){\rm d}B_1(t), \\ {\rm d}x(t) = \left [-(v+Dz^{*})x(t)+P(S(t))x(t) \right ]+\beta x(t){\rm d}B_2(t). \end{array}\right. \end{eqnarray} $

考虑生物现实, 假设系统(2.4)中的参数满足以下条件

${ {\rm{H2}}}: b\in (0, 1), \delta \in (0, 1], z^{*}\in (0, 1).$

且$ P(S) $满足条件H1. 出于技术原因, 假设以下条件成立

${ {\rm{A1}}}: P\in C^{2}\left ( [0, \infty ), [0, \infty ) \right ) 且 P(S)\leq cS, 对任意 S\in \left ( 0, \infty \right ).$

为了研究随机系统的动力学行为, 首先需要考虑其解是否为全局正解. 接下来, 给出系统(2.4)全局正解的存在唯一性.

定理2.1  假设$ \rm A1 $成立. 对于任意的初值$ (S(0), x(0))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $, 当$ t\geq 0 $时, 系统(2.4)存在唯一的正解, 并以概率1存在于$ {{\Bbb R}} _{+}^{2} $, 也就是说, 对于$ t\geq 0 $, $ (S(t), x(t))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $几乎必然成立.

定理2.1的数学证明见附录A.

接下来给出一个引理, 它将用于主要结果的证明. 考虑$ X(t) $是$ E_l $ ($ l $维欧几里德空间)中的一自治Markov过程, 可表示为随机微分方程

$ {\rm d}x(t) = b(X){\rm d}t+\sum\limits_{k = 1}^{l}g_{k}(X){\rm d}B_{k}(t), $

其扩散矩阵为$ A(x) = \left ( a_{ij}(x) \right ), \; a_{ij}(x) = \sum\limits_{k = 1}^{l}g_{k}^{i}(x)g_{k}^{j}(x) $.

引理2.1  存在具有正则边界$ \Gamma $的有界区域$ U\subset E_{l} $具有如下性质:

$ \rm (1) $在$ U $和它的一些邻域, 扩散阵$ A(x) $的最小特征值是非零的.

$ \rm (2) $当$ x\in E_{l}\setminus U $时, 从$ x $出发的轨道到达集合$ U $的平均时间$ \tau $是有限的, 且对每个紧子集$ Q\subset E_{l} $有$ { } \sup\limits_{x\in Q}E_{x}\tau < \infty $.

则Markov过程$ X(t) $存在不变分布$ \mu (\cdot ) $. 令$ f(x) $为关于测度$ \mu $可积的函数. 则对所有的$ x\in E_{l} $成立

$ P_{x}\bigg \{ \lim\limits_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(X(t)){\rm d}t = \int _{E_{l}}f(x)\mu ({\rm d}x) \bigg \} = 1. $

在考虑恒化器模型时, 通常感兴趣的是微生物什么时候会长期存在, 什么时候会灭绝. 这一节将讨论系统(2.4)中微生物的持久和灭绝.

遍历性是最重要的性质之一, 它意味着随机恒化模型具有平稳分布, 表明微生物会长时间生存. 在给出遍历性定理之前, 记

${{\rm{A2}}}: S^{3}P^{''}(S)\geq \Phi . $

定理3.1  假设$ \rm A1 $和$ \rm A2 $成立. 若存在常数$ c_2 $满足

$ c_{2}> \max \bigg \{ 0, -\frac{\Phi }{2D\left ( S^{0} \right )^{2}} \bigg\}, $

使得

$ \lambda : = P(S^{0})-\left ( Dz^{*}+v+\frac{c_{2}\alpha ^{2}}{2}+\frac{\beta ^{2}}{2} \right )>0, $

那么系统(2.4)存在平稳分布且是遍历的.

定理的严格数学证明见附录B.

接下来, 给出灭绝性定理. 记

${{\rm{A3}}}: P^{'}>0 且 P^{''}<0. $

定理3.2  假设$ \rm A1 $和$ \rm A3 $成立.给定任意初始值$ (S(0), x(0))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $, 记$ (S(t), x(t)) $为系统(2.4)的解. 若$ \overline{\lambda } = P(S^{0})-\big ( Dz^{*}+v+\frac{\beta ^{2}}{2} \big )<0 $且$ D>\frac{\alpha ^{2}\vee \beta ^{2}}{2} $, 则微生物$ x(t) $以概率1灭绝, i.e.

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty }x(t) = 0\; \; a.s.. $

定理的严格数学证明见附录C.

注3.1  由于模型(2.4)是系统(1.3)的极限系统, 定理3.1和定理3.2可以反映具有一般功能反应函数和贴壁生长现象的随机恒化器模型(1.3)的长时间动力学行为.

本文研究了具有一般反应函数的恒化器模型的全局动力学行为, 这意味着当一般功能反应函数$ P(S) $满足一定条件时, 本文的结果可以用于不同的模型. 通过简单的计算, 可以看到反应函数(1)–(5)均满足假设$ \rm A1 $和$ \rm A2 $. 也就是说, 遍历性定理3.1适用于第1节中提到的所有常见的反应函数. 而灭绝性的条件$ \rm A3 $是相对较强, 灭绝性定理3.2适用于更少的反应函数.

本章将对最常见的具有Michaelis-Menten-Monod功能反应函数的恒化器模型进行数值模拟, 以此举例验证本文的理论研究结果并展示白噪声对模型动力学行为的影响. Michaelis-Menten-Monod功能反应函数形如

$ P(S) = \frac{mS}{a+S}, $

其满足假设$ \rm A1 $–$ \rm A3 $.

例4.1  具有Michaelis-Menten-Monod功能反应函数和贴壁生长现象的恒化器模型形如

(4.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } {\rm d}S(t) = \left [D\left ( S^{0}-S(t) \right )-\frac{1}{\delta }\frac{mS}{a+S}x_1(t)-\frac{1}{\delta }\frac{mS}{a+S}x_2(t)+bvx_1(t) \right ]{\rm d}t+\alpha S(t){\rm d}B_1(t), \\ { } {\rm d}x_1(t) = \left [-(v+D)x_1(t)+\frac{mS}{a+S}x_1(t)-r_1x_1(t)+r_2x_2(t) \right ]+\beta x_1(t){\rm d}B_2(t), \\ { } {\rm d}x_2(t) = \left [-vx_2(t)+\frac{mS}{a+S}x_2(t)+r_1x_1(t)-r_2x_2(t) \right ]+\beta x_2(t){\rm d}B_2(t). \end{array}\right. \end{eqnarray} $

基于文献[23]的参数值, 进行数值模拟来研究白噪声对模型动力学行为的影响. 采用Milsteins高阶方法^[25], 模型(4.1)可以写成如下离散化方程

$ \left\{\begin{array}{rl} S^{k+1} = &{ } S^{k}+\left [D\left ( S^{0}-S^{k} \right )-\frac{1}{\delta }\frac{mS^{k}}{a+S^{k}}x_1^{k}-\frac{1}{\delta }\frac{mS^{k}}{a+S^{k}}x_2^{k}+bvx_1^{k} \right ]\Delta t\\ &{ } +\alpha S^{k}\sqrt{\Delta t}\xi ^{k}+\frac{\alpha ^{2}}{2}S^{k}(\Delta t(\xi ^{k})^2-\Delta t), \\ x_1^{k+1} = &{ } x_1^{k}+\left [-(v+D)x_1^{k}+\frac{mS^{k}}{a+S^{k}}x_1^{k}-r_1x_1^{k}+r_2x_2^{k} \right ]\Delta t\\ &{ } +\beta x_1^{k}\sqrt{\Delta t}\eta ^{k}+\frac{\beta ^{2}}{2}x_1^{k}(\Delta t(\eta ^{k})^2-\Delta t), \\ x_2^{k+1} = &{ } x_2^{k}+\left [-vx_2^{k}+\frac{mS^{k}}{a+S^{k}}x_2^{k}+r_1x_1^{k}-r_2x_2^{k} \right ]\Delta t+\beta x_2^{k}\sqrt{\Delta t}\eta ^{k}+\frac{\beta ^{2}}{2}x_2^{k}(\Delta t(\eta ^{k})^2-\Delta t), \end{array}\right. $

其中$ \xi ^{k} $, $ \eta ^{k} $, $ k = 1, 2, \cdots , n $, 是分布为$ N(0, 1) $的独立的高斯随机变量的第$ k $个实现, 时间增量$ \Delta t>0 $. 这里, 选取$ \Delta t = 0.002 $.

情形1  选取系统(1.3)中的参数值如下

$ D = 2, S^{0} = 1, \delta = 0.5, m = 5, a = 0.6, b = 0.5, v = 0.3, r_1 = 0.2, r_2 = 0.8, \alpha = 0.2, \beta = 0.3. $

计算可得

$ \lambda = P(S^{0})-\left ( Dz^{*}+v+\frac{c_{2}\alpha ^{2}}{2}+\frac{\beta ^{2}}{2} \right ) = 1.0251>0, $

其中$ c_2 = 1.5 $. 换句话说, 定理3.1的条件成立, 即系统(1.3)的解$ (S(t), x_1(t), x_2(t)) $在均值意义下持久a.s. 且是遍历的.

通过数值模拟得到解的平稳分布(见图 1右半部分). 同时对随机模型和相应的确定性模型进行数值比较(见图 1左半部分), 模拟结果显示, 对于确定性模型(1.2), 其平衡态和稳定性不受白噪声的影响, 具有唯一的渐近稳定的平衡点.

情形2  选取系统(1.3)中的参数值如下

$ D = 2, S^{0} = 1, \delta = 0.5, m = 1, a = 0.6, b = 0.5, v = 0.8, r_1 = 0.2, r_2 = 0.8, \alpha = 0.2, \beta = 0.4. $

计算可得

$ D>\frac{\alpha ^{2}\vee \beta ^{2}}{2}, $

$ \overline{\lambda } = P(S^{0})-\left ( Dz^{*}+v+\frac{\beta ^{2}}{2} \right ) = -1.9799<0. $

也就是说, 定理3.2的条件成立, 即微生物$ x(t) $以概率1灭绝.

通过模拟, 可以发现微生物$ x_1(t) $, $ x_2(t) $以概率1依指数形式灭绝(见图 2).

本文研究了具有一般反应函数和贴壁生长现象的随机恒化器模型的长时间行为. 通过构造合适的随机Lyapunov函数, 本文建立了模型(2.4)存在遍历平稳分布的充分条件, 这意味着微生物是持久的; 此外, 还给出了微生物灭绝的充分条件. 最后通过一个具体的算例和数值模拟验证了本文的理论结果.

本文采用新的思路和方法来分析随机恒化器模型的动态行为. 对于贴壁生长的恒化器模型的研究相对较少, 也就是说本文的结果在很大程度上改进了以前的研究成果. 另一方面, 本文成功地将特定的随机恒化器模型的结论推广到具有一般功能反应函数的随机恒化器模型.

由于系统(2.4)的系数是局部Lipschitz连续的, 则对任意初值$ (S(0), x(0))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $, 系统在$ [0, \tau _{e}) $上存在唯一的局部解$ (S(t), x(t)) $, 其中$ \tau _{e} $是爆破时间^[26]. 因此, 要证明该正解是全局存在的, 只需证明$ \tau _{e} = \infty $$ a.s.. $令$ n_{0}>0 $足够大使得$ S(0), x(0) $均位于区间$ [\frac{1}{n_{0}}, n_{0}] $中. 设整数$ n\geq n_{0} $, 定义停时

$ \begin{eqnarray*} \tau _{n} = \inf\Bigg\{ t\in [0, \tau _{e}): \min \left \{ S(t), x(t) \right \}\leq \frac{1}{n}\; \; \mbox{或}\; \; \max \left \{ S(t), x(t) \right \}\geq n\Bigg\}, \end{eqnarray*} $

其中, 约定$ \inf \varnothing = \infty $ (照例, $ \varnothing $代表空集). 显然, $ \tau _{n} $关于$ n $单调递增. 令$ \tau _{\infty } = \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\tau _{n} $, 从而$ \tau _{\infty }\leq \tau _{e} $ a.s. 若能证明$ \tau _{\infty } = \infty $ a.s., 则显然有$ \tau _{e} = \infty $ a.s., 即$ \left ( S(t), x(t)\right ) $$ \in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $ ($ t\geq0 $) a.s. 换言之, 完成定理的证明只需证$ \tau _{\infty } = \infty $ a.s. 如若不然, 存在$ T>0 $和$ \epsilon \in (0, 1) $使得

$ P\left \{ \tau _{\infty }\leq T \right \}>\epsilon. $

于是存在$ n_{1}\geq n_{0} $使得对所有$ n\geq n_{1} $, 有

(A.1) $ \begin{eqnarray} P\left \{ \tau _{n}\leq T \right \}\geq\epsilon . \end{eqnarray} $

定义$ C^2 $ -函数$ V:{{\Bbb R}} _+^2\rightarrow {{\Bbb R}} _+ $如下

$ \begin{eqnarray*} V(S, x) = (S-a-a\log \frac{S}{a})+\frac{1}{\delta }(x-1-\log x), \end{eqnarray*} $

其中$ a = \frac{Dz^{*}}{c} $. 此函数的非负定性由以下公式保证

$ u-1-\log u\geq 0 \;对任意 \;u>0. $

由伊藤公式可得

$ \begin{eqnarray*} {\rm d}V& = LV(S, x){\rm d}t+\alpha (S-a){\rm d}B_1(t)+\frac{\beta }{\delta }(x-1){\rm d}B_2(t), \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} LV& = &DS^{0}-DS+bvz^{*}x-\frac{Dz^{*}+v}{\delta}x-\frac{aDS^{0}}{S}+aD+\frac{aP(S)x}{\delta S}-\frac{abvz^{*}x}{S}\\ &&+\frac{1}{2}a\alpha ^{2}+\frac{Dz^{*}+v}{\delta }-\frac{P(S)}{\delta }+\frac{1}{2\delta }\beta ^{2}. \end{eqnarray*} $

由于条件$ P(S)\leq cS $, $ b\in (0, 1) $, $ z^{*}\in (0, 1) $, 则

$ \begin{eqnarray*} LV&\leq& \frac{acx}{\delta }-\frac{Dz^{*}}{\delta }x+DS^{0}+aD+\frac{1}{2}a\alpha ^{2}+\frac{Dz^{*}+v}{\delta }+\frac{1}{2\delta }\beta ^{2}\\ &\leq & DS^{0}+aD+\frac{1}{2}a\alpha ^{2}+\frac{Dz^{*}+v}{\delta }+\frac{1}{2\delta }\beta ^{2}: = M, \end{eqnarray*} $

其中$ M $是一个与$ S $和$ x $无关的常数.

因此

(A.2) $ \begin{eqnarray} &&E[V(S(\tau _n\wedge T), x(\tau _n\wedge T))]{}\\ & \leq &V(S(0), x(0))+E\left [ \int_{0}^{\tau _n\wedge T}M{\rm d}t \right ] \leq V(S(0), x(0))+Mt. \end{eqnarray} $

对于$ n\geq n_1 $, 令$ \Omega _{n} = \tau _{n}\leq T $, 则由(A.1)式知$ P(\Omega _{n})\geq \epsilon $. 注意到对每个$ \omega \in \Omega_{n} $, $ S(\tau_{n}, \omega) $和$ x(\tau_{n}, \omega) $中至少有一个等于$ n $或$ \frac{1}{n} $, 则

$ V(S(\tau_{n}), x(\tau_{n}))\geq n-1-\log n \bigwedge \frac{1}{n}-1+\log n. $

于是由(A.1)和(A.2)式可得

$ \begin{eqnarray*} V(S(0), x(0))+Mt\geq E\left [ I_{\Omega(\omega)V(S(\tau_{n}), x(\tau_{n}))} \right ]\geq \epsilon \left [ n-1-\log n \bigwedge \frac{1}{n}-1+\log n \right ], \end{eqnarray*} $

其中$ I_{\Omega(\omega)} $是$ \Omega _{n} $的示性函数. 令$ n\rightarrow \infty $得矛盾$ \infty >V(S(0), x(0))+Mt = \infty $. 故必有$ \tau_{\infty} = \infty\; a.s. $.定理2.1证毕.

由定理2.1, 可知对任意初始值$ (S(0), x(0))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $, 系统存在唯一的全局正解$ (S(t), x(t))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $. 要证定理3.1, 只需验证引理2.1中的条件(1)和(2)成立. 系统(2.4)的扩散阵为

$ A(S, x) = \left[\begin{array}{cc} \alpha ^{2}S^{2} & 0\\ 0 & \beta ^{2}x^{2} \end{array}\right]. $

显然$ A(S, x) $是正定的, 也就是说引理2.1的条件(1)成立.

接下来验证条件(2). 根据文献[27]的分析, 只需证明存在非负的$ C^{2} $ -函数$ V $和邻域$ U $使得$ LV $对任意的$ (S(t), x(t))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2}\setminus U $是负的. 构造$ C^{2} $-函数$ Q: {{\Bbb R}} _{+}^{2}\rightarrow {{\Bbb R}} $如下

$ \begin{eqnarray*} Q(S, x)& = &M\left [ -\log x+c_1\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )+c_2\left ( S-S^{0}-S^{0}\log \frac{S}{S^{0}} \right ) \right ]\\ &&-\log S+\frac{1}{\theta +1}\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta +1}\\ & = &MV_1+V_2+V_3, \end{eqnarray*} $

其中$ \theta $足够小使得$ 0<\theta <\min \left \{ \frac{2D}{\alpha ^2}, \frac{2Dz^{*}}{\beta ^2} \right \}, $

$ \begin{eqnarray*} c_1 = -P^{'}(S^{0}), \; \; \; \; c_{2}> \max \left \{ 0, -\frac{\Phi }{2D\left ( S^{0} \right )^{2}} \right \}, \end{eqnarray*} $

且$ M>0 $满足

(B.1) $ \begin{eqnarray} -M\lambda +H\leq -2, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} H& = &\sup\limits_{(S, x)\in {{\Bbb R}} _{+}^{2}} \Big\{ D+\frac{\alpha ^{2}}{2}+\frac{c}{\delta }x+DS^{0}\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta }\\ &&-\frac{1}{2}\left ( D-\frac{\theta }{2}\alpha ^{2} \right )S^{\theta +1}-\frac{1}{2}\left ( Dz^{*}-\frac{\theta }{2}\beta ^{2} \right )\left ( \frac{x}{\delta } \right )^{\theta +1} \Big \}<\infty . \end{eqnarray*} $

容易验证

$ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty , (S, x)\in {{\Bbb R}} _{+}^{2}\setminus U_n}Q(S, x) = +\infty , $

其中$ U_n = (\frac{1}{n}, n)\times (\frac{1}{n}, n) $. 此外, $ Q(S, x) $是连续函数, 从而$ Q(S, x) $在$ {{\Bbb R}} _+^2 $内部存在最小值点$ (S^{\min}, x^{\min}) $. 则定义非负$ C^2 $-函数$ V:{{\Bbb R}} _+^2\rightarrow {{\Bbb R}} _+ $如下

$ V(S, x) = Q(S, x)-Q(S^{\min}, x^{\min}). $

由伊藤公式得

$ \begin{eqnarray*} LV_1& = &-P(S)+\left ( Dz^{*}+v \right )+\frac{\beta ^{2}}{2}+c_1D(S^{0}-S)+c_1bvz^{*}x-\frac{c_1Dz^{*}}{\delta }x-\frac{c_1v}{\delta }x\\ &&-\frac{c_2D(S-S^0)^{2}}{S}+\frac{c_2S^{0}P(S)}{\delta S}x+c_2bvz^{*}x-\frac{c_2P(S)}{\delta }x-\frac{c_2S^{0}bvz^{*}}{S}x+\frac{c_2\alpha ^{2}}{2}\\ &\leq& -P(S^{0})+Dz^{*}+v+\frac{\beta ^{2}}{2}+\frac{c_2\alpha ^{2}}{2}+c_1bvz^{*}x+\frac{c_2cS^{0}}{\delta }x+c_2bvz^{*}x\\ &&+P(S^{0})-P(S)+c_1D(S^{0}-S)-\frac{c_2D(S-S^0)^{2}}{S}\\ :& = &-\lambda +ax+F(S), \end{eqnarray*} $

其中$ a = c_1bvz^{*}+\frac{c_2cS^{0}}{\delta }+c_2bvz^{*} $,

$ F(S) = P(S^{0})-P(S)+c_1D(S^{0}-S)-\frac{c_2D(S-S^0)^{2}}{S}. $

则

$ F^{'}(S) = -P^{'}(S)-c_1-c_2D\left ( 1-\frac{\left ( S^0 \right )^{2}}{S^{2}} \right ), \; \; \; \; F^{''}(S) = -P^{''}(S)-2c_2D\frac{\left ( S^0 \right )^{2}}{S^3}. $

由$ c_1 $, $ c_2 $和假设A2, 可得

$ F^{'}(S^{0}) = 0, \; \; \; \; F^{''}\leq -\frac{1}{S^{3}}\left ( \Phi +2c_2D(S^{0})^{2} \right )<0, $

即

$ F(S)\leq F(S^0) = 0. $

因此

(B.2) $ \begin{eqnarray} LV_1\leq -\lambda +ax. \end{eqnarray} $

通过计算还可以得到

(B.3) $ \begin{eqnarray} LV_2 = -\frac{DS^0}{S}+D+\frac{P(S)}{\delta S}x-\frac{bvz^{*}x}{S}+\frac{\alpha ^{2}}{2} \leq -\frac{DS^0}{S}+D+\frac{c}{\delta }x+\frac{\alpha ^{2}}{2}. \end{eqnarray} $

类似的

(B.4) $ \begin{eqnarray} LV_3& = &\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta }\left [ DS^0-DS+bvz^{*}x-\frac{Dz^{*}}{\delta }x-\frac{v}{\delta }x \right ]+\frac{\theta }{2}\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta -1}\left ( \alpha ^{2}S^{2}+\frac{\beta ^{2}}{\delta ^{2}}x^2 \right )\\ &\leq &DS^0\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta }-DS\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta }-\frac{Dz^{*}}{\delta }x\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta }\\ &&+\frac{\theta \alpha ^{2}}{2}S^2\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta -1}+\frac{\theta \beta ^{2}}{2\delta ^{2}}x^2\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta -1}\\ &\leq& DS^{0}\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta }-\left ( D-\frac{\theta }{2}\alpha ^{2} \right )S^{\theta +1}-\left ( Dz^{*}-\frac{\theta }{2}\beta ^{2} \right )\left ( \frac{x}{\delta } \right )^{\theta +1}. \end{eqnarray} $

联合(B.2)–(B.4)式得

$ \begin{eqnarray*} LV&\leq &-M\lambda +Max-\frac{DS^0}{S}+D+\frac{c}{\delta }x+\frac{\alpha ^{2}}{2}+DS^{0}\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )^{\theta }-\left ( D-\frac{\theta }{2}\alpha ^{2} \right )S^{\theta +1}\\ &&-\left ( Dz^{*}-\frac{\theta }{2}\beta ^{2} \right )\left ( \frac{x}{\delta } \right )^{\theta +1}\\ &\leq& -M\lambda +Max-\frac{DS^0}{S}-\frac{1}{2}\left ( D-\frac{\theta }{2}\alpha ^{2} \right )S^{\theta +1}-\frac{1}{2}\left ( Dz^{*}-\frac{\theta }{2}\beta ^{2} \right )\left ( \frac{x}{\delta } \right )^{\theta +1}+H. \end{eqnarray*} $

通过简单的计算可以发现

$ \begin{eqnarray*} &&LV\leq -\frac{1}{2}\left ( D-\frac{\theta }{2}\alpha ^{2} \right )S^{\theta +1}+Max-\frac{1}{2}\left ( Dz^{*}-\frac{\theta }{2}\beta ^{2} \right )\left ( \frac{x}{\delta } \right )^{\theta +1}+H<-\infty , \; \; \mbox{当} S\rightarrow +\infty , \\ &&LV\leq -\frac{1}{2}\left ( Dz^{*}-\frac{\theta }{2}\beta ^{2} \right )\left ( \frac{x}{\delta } \right )^{\theta +1} +Max+H<-\infty , \; \; \mbox{当} x\rightarrow +\infty , \\ &&LV\leq -\frac{DS^0}{S}+Max-\frac{1}{2}\left ( Dz^{*}-\frac{\theta }{2}\beta ^{2} \right )\left ( \frac{x}{\delta } \right )^{\theta +1}+H<-\infty , \; \; \mbox{当} S\rightarrow 0^{+}. \end{eqnarray*} $

并且, 当$ x\rightarrow 0^{+} $, 根据(B.1)式, 有

$ LV\leq -M\lambda +H\leq -2. $

也就是说

$ LV\leq -1, \; \; \; \; (S, x)\in {{\Bbb R}} _{+}^{2}\setminus U, $

其中$ U = \left [ \varepsilon , \frac{1}{\varepsilon } \right ]\times \left [ \varepsilon , \frac{1}{\varepsilon } \right ] $, $ \varepsilon $是足够小的常数. 定理3.1证毕.

在证明前, 为了方便, 记$ \left \langle f \right \rangle_{t} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t}f(u){\rm d}u $, 并给出以下一个有用的引理.

引理C.1^[28]  对任意的初始值$ (S(0), x(0))\in {{\Bbb R}} _{+}^{2} $, 令$ (S(t), x(t)) $为系统(2.4) 的解, 若$ D>\frac{\alpha ^{2}\vee \beta ^{2}}{2} $, 则

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{\int_{0}^{t}S(u){\rm d}B_{1}(u)}{t} = 0, \; \; \; \; \lim\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{\int_{0}^{t}x(u){\rm d}B_{2}(u)}{t} = 0\; \; \; \; a.s.. $

注意到

$ \begin{eqnarray*} {\rm d}\left ( S+\frac{1}{\delta }x \right )& = &\left [ DS^{0}-DS+bvz^{*}x-\frac{v}{\delta }x-\frac{Dz^{*}}{\delta }x \right ]{\rm d}t+\alpha S{\rm d}B_{1}(t)+\frac{\beta }{\delta }x{\rm d}B_{2}(t)\\ &\leq &\left [ DS^{0}-DS \right ]{\rm d}t+\alpha S{\rm d}B_{1}(t)+\frac{\beta }{\delta }x{\rm d}B_{2}(t). \end{eqnarray*} $

易知

$ \begin{eqnarray*} \left \langle S \right \rangle_{t}\leq S^{0}+\frac{\alpha \int_{0}^{t}S(u){\rm d}B_{1}(u)}{Dt}+ \frac{\beta \int_{0}^{t}S(u){\rm d}B_{1}(u)}{D\delta t}-\frac{S(t)}{Dt}-\frac{x(t)}{D\delta t} +\frac{S(0)}{Dt}+\frac{x(0)}{D\delta t}. \end{eqnarray*} $

根据引理C.1计算可得

(C.1) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow \infty }\left \langle S \right \rangle_{t}\leq S^{0}\; \; \; \; a.s.. \end{eqnarray} $

由伊藤公式得

(C.2) $ \begin{eqnarray} {\rm d}\log x = \left [ P(S)-\left ( Dz^{*}+v+\frac{\beta ^{2}}{2} \right ) \right ]{\rm d}t+\beta {\rm d}B_{2}(t). \end{eqnarray} $

对(C.2)式两端从$ 0 $到$ t $积分, 除以$ t $, 再取上确界得

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{\log x}{t} = \limsup\limits_{t\rightarrow \infty } \left \langle P(S) \right \rangle_{t}-\left ( Dz^{*}+v+\frac{\beta ^{2}}{2} \right )+ \limsup\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{\beta B_{2}(t)}{t}. \end{eqnarray*} $

根据假设A3和(C.1)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty }\left \langle P(S) \right \rangle_{t}\leq P\left ( \limsup\limits_{t\rightarrow \infty }\left \langle S \right \rangle_{t} \right )\leq P(S^{0})\; \; \; \; a.s.. \end{eqnarray*} $

结合$ \bar{\lambda }<0 $, 得

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{t\rightarrow \infty }\frac{\log x}{t}\leq P(S^0)-\left ( Dz^{*}+v+\frac{\beta ^{2}}{2} \right ) = \bar{\lambda }<0\; \; \; \; a.s., \end{eqnarray*} $

也就是说

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty }x(t) = 0\; \; \; \; a.s.. $

定理3.2证毕.