本文中, 我们将考虑空间非均匀线性Boltzmann方程解的长时间行为, 该方程具有如下形式

(1.1) $ \begin{equation} \partial_{t}f + v \cdot \nabla_{x} f = Q(f, \mu), \end{equation} $

(1.2) $ \begin{equation} f(0, x, v) = f_{in}(x, v)\geq0, \end{equation} $

这里空间变量$ x\in{\mathbb T}^{3} $ ($ |{\mathbb T}^{3}| = 1 $) 和速度变量$ v\in{\mathbb R}^{3} $. 在方程(1.1) 中, 未知函数$ f = f(t, x, v)\geq0 $表示粒子在$ t\geq0 $时刻, 在位置$ x\in {\mathbb T}^{3} $处, 以速度$ v\in {\mathbb R}^{3} $运动的概率密度分布函数.

我们记$ \mu $为标准的全局平衡态分布

$ \mu(v) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{|v|^{2}}{2}}. $

方程(1.1) 中$ Q(., .) $称为Boltzmann碰撞算子, 定义为以下双线性形式

$ Q(f, g)(v): = \int_{{\mathbb R}^{3}}\int_{{\mathbb S}^{2}}B(|v-v_{*}|, \cos\theta)\, \big[f(v')\, g(v'_{*})-f(v)\, g(v_{*})\big]\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}\sigma, $

其中$ v $, $ v_{*} $和$ v' $, $ v'_{*} $分别表示粒子碰撞前的速度以及碰撞后的速度, 粒子在弹性碰撞过程中保持动量和能量守恒, 即

$ v+v_{*} = v'+v'_{*}\quad \mbox{和}\quad |v|^{2}+|v_{*}|^{2} = |v'|^{2}+|v'_{*}|^{2}, $

他们之间满足下面关系式

$ v' = \frac{v+v_{*}}{2}+\frac{|v-v_{*}|}{2}\sigma, \qquad v'_{*} = \frac{v+v_{*}}{2}-\frac{|v-v_{*}|}{2}\sigma, $

这里$ \sigma\in{\mathbb S}^{2} $是单位球面上的单位向量. 进一步, $ \theta\in[0, \pi] $表示的是向量$ v'-v'_{*} $和向量$ v-v_{*} $之间的偏转角, 满足$ \cos\theta = \frac{\sigma\cdot (v-v_{*})}{|v-v_{*}|} $. $ B(|v-v_{*}|, \cos\theta) $称为Boltzmann碰撞核, 其一般由实际的物理过程来决定. 在物理背景中, 通常假设$ B\geq0 $仅依赖于相对速度$ v-v_{*} $和偏转角度$ \theta $. 通过作对称变换, 总可以假设$ \theta\in\big[0, \frac{\pi}{2}\big] $.

下面, 我们将假设碰撞核$ B $满足以下性质:

$ \bullet $ (A1) 碰撞核$ B $具有乘积形式

$ B(|v-v_{*}|, \cos\theta) = \Phi(|v-v_{*}|)\, b(\cos\theta); $

$ \bullet $ (A2) 角函数$ b $是局部光滑的且在点$ \theta = 0 $处不可积, 其满足

$ \forall \, \theta\in\big(0, \frac{\pi}{2}\big], \quad\frac{K}{\theta^{1+2s}}\leq b(\cos\theta)\sin\theta \leq \frac{1}{K\theta^{1+2s}}, \quad \mbox{这里} \, 0<s<1, \, K>0; $

$ \bullet $ (A3) 函数$ \Phi $满足

$ \Phi(|v-v_{*}|) = C_{\Phi}\, |v-v_{*}|^{\gamma} , \quad \quad\gamma\in(0, 1), $

这里常数$ C_{\Phi}>0 $. 进一步, 不失一般性地假设$ C_{\Phi} = 1 $.

由逆幂位势知, $ \gamma : = \frac{p-5}{p-1} $和$ s : = \frac{1}{p-1} $. 若$ p>5 $, 则$ 0<\gamma<1 $, 这种情形称为硬势; 若$ p = 5 $, 则$ \gamma = 0 $, 这种情形称为Maxwell分子模型; 若$ 2<p<5 $, 则$ -3<\gamma<0 $, 这种情形称为软势.

由文献[1-3] 可知, 方程(1.1) 是基本的动理学模型之一, 其描述的物理现象是一组粒子在一定温度下与热液的相互碰撞作用. 由于这些粒子之间没有相互碰撞, 从而方程是线性的. 线性Boltzmann方程的不同形式可用来模拟中子散射、辐射传递和彗星流等现象, 并作为背景相互作用项出现在一些非线性模型中, 具体应用可参见相关文献[4-6].

易证方程(1.1) 保持质量守恒

$ \forall \, t\geq 0, \qquad \int_{{\mathbb T}^{3}\times{\mathbb R}^{3}}f(t, x, v)\, {\rm d}x\, {\rm d}v = \int_{{\mathbb T}^{3}\times{\mathbb R}^{3}}f_{in}(x, v)\, {\rm d}x\, {\rm d}v, $

但与经典Boltzmann方程相比, 对于动量和能量并不守恒.

到目前为止, 已经发展出了系统理论来研究动理学方程的解收敛至平衡态的问题. 国内外众多学者在这一领域做出了重要贡献, 并且发展出了系统的理论工具, 例如谱分析、补偿函数方法、亚椭圆方法、亚强制方法、非线性能量方法以及空间拉大理论等. 2006年, Mouhot和Neumann等人^[7]利用定量的亚强制方法证明Boltzmann方程的解会以指数衰减速率收敛至平衡态, 这种方法的主要优点是可以得到衰减速率的定量估计. 2017年, Gualdani、Mischler和Mouhot等人^[8]通过建立的一套抽象的空间拉大理论可以证明在一般加权的Sobolev空间(带有多项式权或伸缩指数权) 中得到硬球模型情形下Boltzmann方程解的指数衰减估计. 该方法的核心是对于偏微分方程中一类线性算子的离散谱以及谱隙具有很好的估计, 然后将这这类算子进行算子分解为耗散部分加上有界性扰动. 这套方法也可以看作是获得定量谱映射定理的一种理论, 它适用于解决偏微分方程在一般的Banach空间中的适定性理论和渐近行为. 以文献[7]中在Hilbert空间中的亚强制结果为基础, Gualdani等人首次构造性证明了周期区域上硬球模型下的空间非均匀Boltzmann方程的解收敛至平衡态的指数衰减速率. 该方法最近也被应用于Fokker-Planck方程^[9]和具有温和奇性的硬势情形Boltzmann方程^{[10, 11]}, Landau方程^{[12, 13]}以及椭圆BGK方程^[14]等动理学模型(相关应用也可参见文献[3, 5, 15, 16]).

目前, 我们发现对于线性Boltzmann方程可以在Hilbert空间$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $中得到谱隙估计, 而对于方程所适定的物理空间, 例如带有多项式权的$ L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $空间却未见到类似的结果. 一般地, 我们考虑方程所适定的物理空间应该比空间$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $要大一些. 受上述文献中工作地启发, 我们将在本文中首次来计算线性Boltzmann方程(1.1)–(1.2) 在不带角截断硬势情形下在大空间$ L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $中解的渐近行为. 需要指出的是虽然方程形式上看起来比较简单, 但是其可以反映比较深刻的性质. 我们的证明过程主要借助于Gualdani、Mischler和Mouhot等人^[8]所建立的空间拉大理论.

在叙述主要结果之前, 我们给出本文经常用到的记号定义. 我们令$ m = m(v) $是正值速度权函数, 用$ L_{v}^{q}L_{x}^{p}(m) $, $ p, q\in[1, +\infty] $表示加权的Lebesgue空间, 其范数定义为

$ \begin{eqnarray*} \|f\|_{L_{v}^{q}L_{x}^{p}(m)}&: = &\Big\|\|f\|_{L_{x}^{p}}\Big\|_{L_{v}^{q}(m)}: = \Big\|\|f\|_{L_{x}^{p}}\, m\Big\|_{L_{v}^{q}}\\ & = &\left(\int_{{\mathbb R}_{v}^{3}}\Big(\int_{{\mathbb T}_{x}^{3}}|f(x, v)|^{p}\, {\rm d}x\Big)^{\frac{q}{p}}\, m(v)^{q}\, {\rm d}v\right)^{\frac{1}{q}}. \end{eqnarray*} $

对于两个给定的Banach空间$ (E, \|.\|_{E}) $和$ ({\cal E}, \|.\|_{{\cal E}}) $, 我们定义$ {\mathcal B}(E, {\cal E}) $表示的是从空间$ E $映到空间$ {\cal E} $上的有界线性算子全体. 若$ E = {\cal E} $, 通常记为$ {\mathcal B}(E) = {\mathcal B}(E, E) $. 定义$ {\mathcal C}(E, {\cal E}) $表示的是从空间$ E $映到空间$ {\cal E} $上的无界闭稠定线性算子全体. 若$ E = {\cal E} $, 通常记为$ {\mathcal C}(E) = {\mathcal C}(E, E) $.

对于空间$ X $, 算子$ {\cal L}\in{\mathcal C}(X) $, 我们定义算子$ {\cal L} $所生成的$ C_0 $半群为$ S_{{\cal L}}(t) = e^{{\cal L}t} $, $ t\geq0 $, 其定义域记为$ {\mathcal D}({\cal L}) $, 零空间记为$ {\mathcal N}({\cal L}) $, 以及值域记为$ {\mathcal R}({\cal L}) $.

我们记算子$ {\cal L} $的谱集为$ \Sigma({\cal L}) $. 即对任意的$ z\in {\mathbb C}\setminus\Sigma({\cal L}) $, 算子$ {\cal L}-z $是可逆的并且逆算子

$ R_{{\cal L}}(z): = ({\cal L}-z)^{-1} $

有定义, 属于$ {\mathcal B}(X) $以及值域等于$ {\mathcal D}({\cal L}) $. 若$ \xi\in\Sigma({\cal L}) $是特征值, 即$ {\mathcal N}({\cal L}-\xi)\neq\{0\} $. 进一步, 称特征值$ \xi\in\Sigma({\cal L}) $称为孤立的, 即存在常数$ r>0 $, 有

$ \Sigma({\cal L}) \cap \{z\in{\mathbb C}|\, |z-\xi|<r\} = \{\xi\}. $

当$ \xi $是孤立特征值时, 我们可以定义谱投影算子$ \Pi_{{\cal L}, \xi}\in{\mathcal B}(E) $:

$ \Pi_{{\cal L}, \xi}: = -\frac{1}{2\pi {\rm i}}\int_{|z-\xi| = r'} R_{{\cal L}}(z)\, {\rm d}z, \quad {\rm i} = \sqrt{-1}, $

这里$ 0<r'<r $. 由定义可知$ \Pi_{{\cal L}, \xi}^{2} = \Pi_{{\cal L}, \xi} $, 所以$ \Pi_{{\cal L}, \xi} $是一个投影算子. $ \Pi_{{\cal L}, \xi} $生成的半群记为$ S_{{\cal L, \xi}}(t) $, 并且有关系式$ S_{{\cal L, \xi}}(t) = S_{L}(t)\Pi_{{\cal L}, \xi} = \Pi_{{\cal L}, \xi}S_{{\cal L}}(t) $成立. 进一步, 若值域$ {\mathcal R}(\Pi_{{\cal L}, \xi}) $是有限维的, 则称$ \xi $是一个离散特征值, 记为$ \xi\in\Sigma_{d}(L) $. 算子$ {\cal L} $的本质谱为: $ \Sigma({\cal L})\setminus\Sigma_{d}(L) $. 最后, 当$ \Sigma({\cal L})\setminus \{0\}\subseteq {\mathbb R}^{-} $时, 我们称算子$ {\cal L} $有一个谱隙, 通常记谱隙为$ 0 $与$ \Sigma({\cal L})\setminus \{0\} $之间的距离.

下面, 我们给出耗散算子的定义. 考虑空间$ (X, \|\cdot\|_{X}) $, 算子$ \Lambda\in{\mathcal C}(X) $, $ a\in {\mathbb R} $. $ \Lambda-a $称为在空间$ X $中耗散, 若

$ \forall\, f\in {\mathcal D}(\Lambda), \quad \exists \, \varphi\in F(f), \quad \mbox{使得}\quad \mbox{Re} \, {\langle\varphi, (\Lambda-a)f\rangle}\leq0, $

这里$ {\langle\cdot, \cdot\rangle} $为对偶集$ X^* $与$ X $上的数量积, $ F(f)\subseteq X^* $是$ f $的规范切泛函全体

$ F(f) = F_{\|\cdot\|}(f): = \{ \varphi\in X^*|\, {\langle\varphi, f\rangle} = \|f\|_{X}^{2} = \|\varphi\|_{X^*}^{2} \}. $

由Hahn-Banach定理可知, $ F(f) $非空. 特别的, 当$ X $是Hilbert空间时, $ F(f) = \{f\} $. 这种情况, 也可以称算子$ \Lambda-a $在空间$ X $中强制.

在本章中, 我们定义记号$ {\langle \cdot \rangle} = (1+|\cdot|^2)^{\frac{1}{2}} $. 在计算过程中出现的不同常数都统一记为$ C $. 记号$ a\approx b $表示存在常数$ C_1 $, $ C_2>0 $, 使得$ C_1\, a\leq b\leq C_2\, a $.

现在我们叙述关于方程(1.1)–(1.2) 的解指数收敛至平衡态$ \mu $的主要结果.

定理1.1   若$ \rm Boltzmann $碰撞核$ B $满足假设条件(A1)–(A3). 假设初值$ f_{in} $满足以下两个条件之一:

1. 对温和奇性情形, 即$ s\in(0, \frac{1}{2}) $ : $ f_{in}\in L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $, $ k\geq2 $,

2. 对强奇性情形, 即$ s\in[\frac{1}{2}, 1) $ : $ f_{in}\in L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $, $ k\geq4 $,

则存在常数$ \lambda>0 $及$ C>0 $, 使得方程(1.1)–(1.2) 的解满足以下指数衰减性质

$ \forall \, t\geq 0, \quad \|f-\rho_0\, \mu\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k})}\leq C e^{-\lambda t}\, \|f_{in}-\rho_0\, \mu\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k})}, $

其中$ \rho_0 = \int_{{\mathbb T}^{3}\times{\mathbb R}^{3}}f_{in}(x, v)\, {\rm d}x\, {\rm d}v $, $ \lambda $由引理2.1给出.

注1.1

(1) 算子$ {\cal L} $在空间$ L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $中可以生成一个$ C_0 $半群，从而对于$ \rm Cauchy $问题(1.1)–(1.2) 的解在半群意义下是适定的, 即对任意的$ f_{in}\in L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $, 存在唯一的适度解$ f(t, x, v) = S_{{\cal L}}(t)f_{in}(x, v) $. 进一步, 对于指数衰减速率$ \lambda $可以和算子$ {\cal L} $在$ \rm Hilbert $空间$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $中的谱隙相等, 从而该指数衰减速率是最优的.

(2) 对于温和奇性情形, 我们考虑空间$ L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $, $ k\geq2 $; 对于强奇性情形, 我们可以考虑空间$ L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $, $ k\geq4 $. 我们可以看到当处理强奇性情形时, 选取的空间变小了. 对于权指标$ k $的限制并不是技术原因, 而是由方程本身来决定的. 通过作拟微分变换, 我们可以发现$ \rm Boltzmann $碰撞算子和分数阶的$ \rm Laplace $算子类似. 实际上, 对于非角截断的$ \rm Boltzmann $碰撞算子的性质和具有阶$ s+\frac{1}{2} $的分数阶$ \rm Laplace $算子类似, 而对于指标$ k $的限制恰好能够支持导数.

(3) $ \rm Cañizo $等人^[17]借助概率论中$ \rm Harris $定理可以得到在非角截断硬势情形下方程(1.1)–(1.2) 的亚强制性估计, 从而证明解在空间$ L_{x, v}^{1}({\langle v \rangle}^{2}) $中具有指数衰减性质.

(4) $ \rm Alonso $等人^[18]研究了在非角截断硬势情形下经典的$ \rm Boltzmann $方程解的适定性. 值得注意地, 他们利用文献[8] 中的空间拉大理论证明线性化$ \rm Boltzmann $算子$ {\mathcal L}(h): = Q(h, \mu)+Q(\mu, h)-v \cdot \nabla_{x}h $在$ \rm Hilbert $空间$ L_{x, v}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $$ (k >\frac{9}{2}+\frac{\gamma}{2}+2s) $中具有谱隙估计. 因此, 算子$ {\mathcal L} $所生成的半群$ S_{{\mathcal L}}(t) $在空间$ L_{x, v}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $中满足指数衰减. 不同于之前工作, 我们在本文中首次在大空间$ L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $中证明该结论.

我们将方程(1.1) 在平衡态$ \mu(v) $附近作一般扰动$ f = \mu(v)+h $, 则方程可以写作

(2.1) $ \begin{equation} \partial_{t}h = {\cal L}(h): = \overline{{\cal L}}(h)-v \cdot \nabla_{x} h, \end{equation} $

这里初值$ h_{in}(x, v) = f_{in}(x, v)-\mu(v) $.

我们知道对于原来的分布函数$ f $是非负的, 但是作完扰动之后扰动函数$ h $就可正可负.

受文献[8, 10, 19]的启发, 我们首先将线性算子$ \overline{{\cal L}} $分成奇性部分和截断部分

$ \begin{eqnarray*} \overline{{\cal L}}(h) & = &\int_{{\mathbb R}^{3}}\int_{{\mathbb S}^{2}}b_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma \, \big[h(v')\, \mu(v'_{*})-h(v)\, \mu(v_{*})\big]\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}\sigma\\ &&+\int_{{\mathbb R}^{3}}\int_{{\mathbb S}^{2}}b^c_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma \, \big[h(v')\, \mu(v'_{*})-h(v)\, \mu(v_{*})\big]\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}\sigma\\ & = :&\overline{{\cal L}}_\epsilon (h)+\overline{{\cal L}}^c_\epsilon (h), \end{eqnarray*} $

这里

$ b_\epsilon(\cos\theta): = \mathrm{I}_{\{0\leq\theta\leq\epsilon\}}\, b(\cos\theta) \quad \mbox{和} \quad b^c_\epsilon(\cos\theta): = \mathrm{I}_{\{\epsilon\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\}}\, b(\cos\theta), $

其中参数$ \epsilon\in(0, \frac{\pi}{2}) $会在下面计算过程中具体给定.

接下来, 我们对于截断部分$ \overline{{\cal L}}^c_\epsilon (h) $作分解. 对于任意的$ \delta\in(0, 1) $, 我们定义截断函数$ \Theta_\delta = \Theta_\delta(v, v_{*}, \sigma)\in C^\infty $, $ |\Theta_\delta|\leq1 $, 并且在集合

$ \big\{|v|\leq\delta^{-1} \quad \mbox{且} \quad 2\delta\leq|v-v_{*}|\leq\delta^{-1} \quad \mbox{且} \quad |\cos\theta|\leq1-2\delta\big\} $

上等于1, 其支集包含在以下集合中

$ \big\{|v|\leq 2\delta^{-1} \quad \mbox{且} \quad \delta\leq|v-v_{*}|\leq2\delta^{-1} \quad \mbox{且} \quad |\cos\theta|\leq 1-\delta\big\}. $

我们定义算子

$ {\cal A}^c_{\epsilon, \delta} (h): = \int_{{\mathbb R}^{3}}\int_{{\mathbb S}^{2}}\Theta_\delta \, b^c_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma \, h(v')\, \mu(v'_{*})\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}\sigma $

和剩余的部分

$ {\cal B}^c_{\epsilon, \delta} (h): = \int_{{\mathbb R}^{3}}\int_{{\mathbb S}^{2}}(1-\Theta_\delta )\, b^c_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma\, h(v')\, \mu(v'_{*})\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}\sigma, $

并且引入算子

$ \begin{eqnarray*} \nu_\epsilon(v): = \int_{{\mathbb R}^{3}}\int_{{\mathbb S}^{2}}b^c_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma \, \mu(v_{*})\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}\sigma = K_\epsilon\big(\mu\ast|\cdot|^\gamma\big)(v), \end{eqnarray*} $

这里利用假设条件(A2) 和球面坐标变换可知

$ K_\epsilon: = \int_{{\mathbb S}^{2}}b^c_\epsilon(\cos\theta)\, {\rm d}\sigma = \int^{2\pi}_{0}\int^{\frac{\pi}{2}}_{\epsilon}b(\cos\theta)\, \sin\theta\, {\rm d}\phi \, {\rm d}\theta \approx\epsilon^{-2s}-(\frac{\pi}{2})^{-2s} \mathop{\longrightarrow}\limits^{\epsilon\rightarrow0^+}+\infty, $

以及

$ \big(\mu\ast|\cdot|^\gamma\big)(v)\approx{\langle v \rangle}^\gamma, \quad \forall\, v\in {\mathbb R}^{3}. $

综合上述算子分解, 我们可以将线性Boltzmann算子$ {\cal L} $分解为

$ {\cal L} = {\cal A}+{\cal B}, $

其中$ {\cal A} : = {\cal A}^c_{\epsilon, \delta} $, $ {\cal B} : = {\cal L}_\epsilon+{\cal B}^c_{\epsilon, \delta}-\nu_\epsilon-v \cdot \nabla_{x} $.

我们想借助空间拉大理论来证明定理1.1, 主要困难在于寻找上述恰当的算子分解$ {\cal L} = {\cal A}+{\cal B} $. 进一步, 我们需要证明算子$ {\cal A} $的有界性, 算子$ {\cal B} $的耗散性以及乘积算子$ {\cal A}S_{{\cal B}}(t) $的有界性. 我们将分成下面五步来证明：

第一步: 线性算子$ {\cal L} $在空间$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $中的强制性估计.

我们从文献[2, 20] (也可参考文献[21, 22]) 中可知线性算子$ {\cal L} $在Hilbert空间$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $中存在一个谱隙估计, 该结论叙述如下:

引理2.1   对于任意的$ h\in L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $, 有

$ \forall\, t \geq 0, \quad \|S_{{\cal L}}(t)h-\Pi h\|_{L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})} \leq e^{-\lambda t}\, \|h-\Pi h\|_{L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})}, $

这里$ \Pi $是投影到零空间$ {\mathcal N}({\cal L}) = {\rm Span} \{\mu\} $上的投影算子. 具体地

$ \Pi h: = \bigg(\int_{{\mathbb T}^{3}\times{\mathbb R}^{3}}h\, {\rm d}x\, {\rm d}v\bigg)\mu. $

$ \lambda $是算子$ {\cal L} $在$ \rm Hilbert $空间$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $中的谱隙.

第二步: 算子$ {\cal B} $具有耗散性.

引理2.2   若选取参数$ \epsilon>0 $和$ \delta>0 $充分小, 可以得到算子$ {\cal B}+\lambda $在空间$ L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k}) $中耗散, 这里$ p\in[1, +\infty] $, $ k\geq2 $当$ s\in\big(0, \frac{1}{2}\big) $时或者$ k\geq4 $当$ s\in\big[\frac{1}{2}, 1\big) $时, $ \lambda $由引理2.1给出. 即

$ \forall \, t\geq0, \quad \|S_{{\cal B}}(t)\|_{{\mathcal B}(L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k}))}\leq e^{-\lambda t}. $

证   令$ h $是下面线性方程的解

(2.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t}h = {\cal B}(h) = \overline{{\cal L}}_\epsilon(h)+{\cal B}^c_{\epsilon, \delta}(h)-\nu_\epsilon(v)\, h-v \cdot \nabla_{x}h, \\ h(0, x, v) = h_{0}(x, v). \end{array}\right. \end{equation} $

对于任意的$ p\in[1, +\infty) $, 我们直接计算可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})} & = &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\int_{{\mathbb R}^{3}}\left(\int_{{\mathbb T}^{3}}|h|^{p}\, {\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v\right)\\ & = & \int_{{\mathbb R}^{3}}\|h\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\left(\int_{{\mathbb T}^{3}}|h|^{p-1}\, \mbox{sign}(h)\, \partial_{t}h\, {\rm d}x \right)\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v\\ & = &\int_{{\mathbb R}^{3}}\|h\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\left(\int_{{\mathbb T}^{3}}|h|^{p-1}\, \mbox{sign}(h)\, \overline{{\cal L}}_\epsilon(h)\, {\rm d}x\right)\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v\\ &&+\int_{{\mathbb R}^{3}}\|h\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\left(\int_{{\mathbb T}^{d}}|h|^{p-1}\, \mbox{sign}(h)\, {\cal B}^c_{\epsilon, \delta}(h)\, {\rm d}x\right)\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v\\ &&-\int_{{\mathbb R}^{3}}\nu_\epsilon(v)\, \|h\|_{L_{x}^{p}}\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v\\ & = :&I_1+I_2+I_3, \label{230} \end{eqnarray*} $

这里, 由分部积分公式知$ v\cdot\nabla_{x} $项为零.

对于$ I_1 $, 利用Hölder不等式, 有

$ \begin{eqnarray*} I_1& = &\int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}\times {\mathbb S}^{2}}\|h\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\, b_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma\, \mu(v'_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\\ &&\times\left(\int_{{\mathbb T}^{3}}|h(v)|^{p-1}\, \mbox{sign}(h)\, h(v')\, {\rm d}x\right)\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v\, {\rm d}\sigma\\ &&-\int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}\times {\mathbb S}^{2}}\|h\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\, b_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma\, \mu(v_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\\ &&\times\left(\int_{{\mathbb T}^{3}}|h(v)|^{p-1}\, \mbox{sign}(h)\, h(v)\, {\rm d}x\right)\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v\, {\rm d}\sigma\\ &\leq&\int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}\times {\mathbb S}^{2}}\|h(v)\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}b_\epsilon(\cos\theta)|v-v_{*}|^\gamma \mu(v'_{*}){\langle v \rangle}^{k}\Big(\|h(v)\|_{L_{x}^{p}}^{p-1}\|h(v')\|_{L_{x}^{p}}\Big){\rm d}v_{*}{\rm d}v{\rm d}\sigma\\ &&-\int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}\times {\mathbb S}^{2}}\|h\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\, b_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma \, \mu(v_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\, \|h\|_{L_{x}^{p}}^{p}\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v\, {\rm d}\sigma\\ & = &\int_{{\mathbb R}^{3}}\left(\int_{{\mathbb R}^{3}\times {\mathbb S}^{2}}b_\epsilon(\cos\theta)|v-v_{*}|^\gamma \big[ \|h(v')\|_{L_{x}^{p}}\mu(v'_{*})-\|h(v)\|_{L_{x}^{p}}\mu(v_{*})\big]{\rm d}v_{*}{\rm d}\sigma\right){\langle v \rangle}^{k}{\rm d}v \\ & = &\int_{{\mathbb R}^{3}}\overline{{\cal L}}_\epsilon(\|h\|_{L_{x}^{p}})\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v. \end{eqnarray*} $

利用文献[23] 中(3.1) 式估计

$ \begin{eqnarray*} \int_{{\mathbb R}^{3}}{\cal L}_\epsilon(|h|)\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v \leq C_k k_{\epsilon}\int_{{\mathbb R}^{3}}|h(v)|\, {\langle v \rangle}^{k+\gamma}\, {\rm d}v. \end{eqnarray*} $

我们可以推出

(2.3) $ \begin{equation} I_1 \leq C_k\, k_{\epsilon}\, \|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k+\gamma})}, \end{equation} $

这里常数$ C_k>0 $, $ k_{\epsilon}\rightarrow0 $, 当$ \epsilon\rightarrow0^+ $时.

现在我们来估计$ I_2 $, 利用Hölder不等式, 得到

$ \begin{eqnarray*} I_2& = &\int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}\times {\mathbb S}^{2}}\|h\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\, (1-\Theta_\delta ) \, b^c_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma \, \mu(v'_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\\ &&\times\left(\int_{{\mathbb T}^{3}}|h|^{p-1}\, \mbox{sign}(h)\, h(v')\, {\rm d}x\right)\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v\, {\rm d}\sigma\\ &\leq&\int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}\times {\mathbb S}^{2}}\|h(v)\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\, (1-\Theta_\delta ) \, b^c_\epsilon(\cos\theta)\, |v-v_{*}|^\gamma \, \mu(v'_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\\ &&\times\left(\|h(v)\|_{L_{x}^{p}}^{p-1}\, \|h(v')\|_{L_{x}^{p}}\right)\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v\, {\rm d}\sigma\\ & = &\int_{{\mathbb R}^{3}}{\cal B}^c_{\epsilon, \delta}\, (\|h\|_{L_{x}^{p}})\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v. \end{eqnarray*} $

利用文献[23] 中(3.7) 式估计

$ \begin{eqnarray*} \int_{{\mathbb R}^{3}}{\cal B}^c_{\epsilon, \delta}\, (|h|)\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v \nonumber &\leq& \Big(C_k+C_k O(\delta)+C_k K_\epsilon O(\delta)\Big)\int_{{\mathbb R}^{3}}|h(v)|\, {\langle v \rangle}^{k+\gamma}\, {\rm d}v\\ &&+K_{\epsilon}\int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}}\chi_{\delta^{-1}}|v-v_{*}|^\gamma \, |h(v)|\, \mu(v_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v. \end{eqnarray*} $

我们可以推出

(2.4) $ \begin{eqnarray} I_2&\leq& \Big(C_k+C_k\, O(\delta)+C_k\, K_\epsilon\, O(\delta)\Big)\, \|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k+\gamma})}\\ &&+K_{\epsilon}\, \int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}}\chi_{\delta^{-1}}\, |v-v_{*}|^\gamma \, \|h\|_{L_{x}^{p}}\, \mu(v_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v. \end{eqnarray} $

联立(2.3) 式、(2.4) 式以及$ I_3 $的表达式可得

$ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})}&\leq &\Big[C_k \, k_{\epsilon}+C_k \, K_\epsilon \, O(\delta)+C_k \, O(\delta)+C_k\Big]\, \|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k+\gamma})}\\ &&-K_{\epsilon}\, \int_{{\mathbb R}^{3}\times{\mathbb R}^{3}}(1-\chi_{\delta^{-1}})\, |v-v_{*}|^\gamma \, \|h\|_{L_{x}^{p}}\, \mu(v_{*})\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v_{*}\, {\rm d}v\\ &\leq&\Big[\big(C_k \, O(\delta)-C\big)K_\epsilon+C_k\, k_{\epsilon}+C_k\, O(\delta)+C_k\Big]\, \int_{{\mathbb R}^{3}}\|h\|_{L_{x}^{p}}\, {\langle v \rangle}^{k+\gamma}\, {\rm d}v. \end{eqnarray} $

利用$ K_\epsilon\rightarrow +\infty $, 当$ \epsilon\rightarrow0^+ $时, $ k_{\epsilon}\rightarrow0 $, 当$ \epsilon\rightarrow0^+ $时以及$ O(\delta)\rightarrow0 $, 当$ \delta\rightarrow0^+ $时, 我们可以选定$ \delta $充分小使得$ \big(C_k \, O(\delta)-C\big)<0 $, 然后再选取$ \epsilon $充分小使得下式成立

$ \big(C_k \, O(\delta)-C\big)K_\epsilon+C_k\, k_{\epsilon}+C_k\, O(\delta)+C_k\leq -\lambda. $

因此

(2.5) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})}\leq -\lambda\, \|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k+\gamma})}. \end{equation} $

从而说明算子$ {\cal B}+\lambda $在空间$ L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k}) $中耗散.

对于情形$ p = +\infty $, 只需对(2.5) 式取极限$ p\rightarrow +\infty $即可.

我们记

$ h: = S_{{\cal B}}(t)\, h_0, \quad \quad h_0\in L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k}) $

来表示初值问题(2.2) 的解.

我们直接计算可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|S_{{\cal B}}(t)\, h_0\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})}\\ & = &\int_{{\mathbb R}^{3}}\|S_{{\cal B}}(t)\, h_0\|_{L_{x}^{p}}^{1-p}\left(\int_{{\mathbb T}^{3}}|h|^{p-1}\, \mbox{sign}\big(S_{{\cal B}}(t)\, h_0\big)\, {\cal B}\big(S_{{\cal B}}(t)\, h_0\big)\, {\rm d}x \right)\, {\langle v \rangle}^{k}\, {\rm d}v\\ &\leq& -\lambda\, \|S_{{\cal B}}(t)\, h_0\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})}. \end{eqnarray*} $

利用Gronwall不等式, 有

$ \|S_{{\cal B}}(t)h_0\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})}\leq e^{-\lambda t}\, \|h_0\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})}. $

引理2.2得证.

第三步: 算子$ {\cal A} $的有界性.

引理2.3   算子$ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\right) $, $ {\cal A}\in {\mathcal B} \left(L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k})\right) $. 此外, 算子$ {\cal A}\in {\mathcal B}\Big(L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}), $$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\Big) $.

证   我们由文献[23]中引理2.3可知, 算子$ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\right) $, $ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{v}^{1}({\langle v \rangle}^{k})\right) $以及$ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{v}^{1}({\langle v \rangle}^{k}), L_{v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\right) $. 由于算子$ {\cal A} $仅作用在速度变量$ v $上, 位置变量$ x $和时间变量$ t $是以参数形式出现的. 我们可以得到

$ \|{\cal A}(h)\|_{L_{x}^{1}}\leq{\cal A}(\|h\|_{L_{x}^{1}}) \quad \mbox{和} \quad \|{\cal A}(h)\|_{L_{x}^{\infty}}\leq{\cal A}(\|h\|_{L_{x}^{\infty}}), $

利用插值不等式, 有

$ \|{\cal A}(h)\|_{L_{x}^{p}}\leq{\cal A}(\|h\|_{L_{x}^{p}}), \quad \forall\, p\in[1, +\infty]. $

接下来, 我们考虑$ h\in L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k}) $, $ p\in[1, +\infty] $, 则有

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal A}(h)\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})} & = &\Big\|\|{\cal A}(h)\|_{L_{x}^{p}}\Big\|_{L_{v}^{1}({\langle v \rangle}^{k})}\leq \Big\|{\cal A}(\|h\|_{L_{x}^{p}})\Big\|_{L_{v}^{1}({\langle v \rangle}^{k})}\\ &\leq& C\, \Big\|\|h\|_{L_{x}^{p}}\Big\|_{L_{v}^{1}({\langle v \rangle}^{k})} = C\, \|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})}, \end{eqnarray*} $

从而说明$ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k})\right) $. 类似地, 我们也可以证明$ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\right) $.

值得注意地是, 由于$ L_{x}^{2}\subseteq L_{x}^{p} $, $ p\in[1, 2] $, 所以$ L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\subseteq L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k}) $. 另一方面, 我们希望得到$ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{v}^{1}L_{x}^{p}({\langle v \rangle}^{k}), L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\right) $, 因此这里需要限制$ p = 2 $.

第四步: 乘积算子$ {\cal A}S_{{\cal B}}(t) $的有界性.

引理2.4   存在常数$ C>0 $, 使得

$ \|{\cal A}S_{{\cal B}}(t)h\|_{L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})}\leq C e^{-\lambda t}\, \|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k})}, $

这里$ \lambda $来自引理2.1.

证   利用$ {\cal A}\in {\mathcal B}\left(L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}), L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})\right) $以及引理2.2, 我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal A}S_{{\cal B}}(t)(h)\|_{L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}})}\leq C\, \|S_{{\cal B}}(t)(h)\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k})}\leq C e^{-\lambda t}\, \|h\|_{L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k})}. \end{eqnarray*} $

引理2.4得证.

第五步: 利用空间拉大理论证明定理1.1.

为了方便起见, 我们将空间拉大理论引述如下(具体证明过程参见文献[8, 20]):

定理2.1  考虑两个$ \rm Banach $空间$ E $, $ {\cal E} $, 满足$ E\subseteq{\cal E} $稠密并且具有连续嵌入关系, 若$ L\in{\mathcal C}(E) $, $ {\cal L}\in{\mathcal C}({\cal E}) $, $ {\cal L}_{|E} = L $. 我们假设成立以下条件: 存在常数$ a>0 $, 有

1. 算子$ L $在空间$ E $中生成$ C_0 $半群$ e^{tL} $, $ L+a $在值域$ {\mathcal R}(\mbox{Id}-\Pi_{L, \xi}) $上耗散并且其谱满足$ \Sigma(L)\cap\{z\in{\mathbb C}| \, {\mathcal R}e\, z> -a\} = \{\xi\}\subseteq\Sigma_{d}(L) $.

2. 存在算子$ {\cal A} $, $ {\cal B} $使得$ {\cal L} = {\cal A}+{\cal B} $ ($ {\cal A}_{|E} = A $, $ {\cal B}_{|E} = B $) 并且存在$ C>0 $有

(ⅰ) $ {\cal B}+a $在空间$ {\cal E} $中耗散;

(ⅱ) $ {\cal A}\in{\mathcal B}({\cal E}) $并且$ A\in{\mathcal B}(E) $;

(ⅲ) 算子$ {\cal A}S_{{\cal B}}(t) $满足

$ \forall\, t\geq0, \quad \|{\cal A}S_{{\cal B}}(t)\|_{{\mathcal B}({\cal E}, E)}\leq C\, e^{-at}. $

那么算子$ {\cal L} $也在空间$ {\cal E} $中耗散并且有如下半群衰减估计

$ \forall \, t\geq0, \quad \|S_{{\cal L}}(t)-S_{L}\Pi_{{\cal L}, \xi}\|_{{\mathcal B}({\cal E})}\leq C\, e^{-at}. $

最后, 我们利用定理2.1来证明定理1.1.

证   首先, 我们令$ E: = L_{x, v}^{2}(\mu^{-\frac{1}{2}}) $, $ {\cal E}: = L_{v}^{1}L_{x}^{2}({\langle v \rangle}^{k}) $, 这里指标$ k $满足: $ k\geq2 $ (当$ s\in\big(0, \frac{1}{2}\big) $时) 或者$ k\geq4 $ (当$ s\in\big[\frac{1}{2}, 1\big) $时). 则$ E\subseteq{\cal E} $稠密并且连续嵌入, $ L\in{\mathcal C}(E) $, $ {\cal L}\in{\mathcal C}({\cal E}) $有$ {\cal L}_{|E} = L $. 定理1.1的结论可直接利用定理2.1就能得到. 具体地, 定理2.1中条件$ 1 $来自引理2.1, 条件$ 2(\mbox{i}) $就是引理2.2, 条件$ 2(\mbox{ii}) $就是引理2.3, 条件$ 2(\mbox{iii}) $就是引理2.4. 利用算子分解$ {\cal L} = {\cal A}+{\cal B} $, $ {\cal A}\in{\mathcal B}({\cal E}) $, 我们可以得到$ {\cal L} $在空间$ {\cal E} $中生成一个$ C_0 $半群. 由于方程(2.1) 保持质量守恒, 从而得到对任意的$ t\geq0 $, 有$ \Pi \, h = \Pi \, h_{in} = \Pi \, f_{in}-\mu $. 因此, 我们得到如下的指数衰减估计

$ \begin{eqnarray*} \forall \, h_{in}\in {\cal E}, \quad \forall \, t\geq 0, \quad\|S_{{\cal L}}(t)\, h_{in}-S_{L}(t)\Pi \, h_{in}\|_{{\cal E}}\leq C e^{-\lambda t}\, \|h_{in}-\Pi h_{in}\|_{{\cal E}}. \end{eqnarray*} $

又因为$ h = f-\mu(v) $, 代入上式可以得到

$ \begin{eqnarray*} \forall \, f_{in}\in {\cal E}, \quad \forall \, t\geq 0, \quad\|S_{{\cal L}}(t)\, f_{in}-\Pi f_{in}\|_{{\cal E}}\leq C e^{-\lambda t}\, \|f_{in}-\Pi f_{in}\|_{{\cal E}}. \end{eqnarray*} $

故定理1.1得证.