一个理想的静电驱动的微机电系统(MEMS)是一个微型的器件, 这个微型的器件本质上是机械能与静电能相互转变的过程. 通常来说这个微型的器件由上下两部分构成, 下面部分是由刚性导电接地板构成, 上面部分是由一个薄的, 可形变的的弹性薄膜构成, 而且它沿着它的边界固定. 弹性薄膜是一个微小而具有有限厚度的绝缘体. 这个绝缘体(薄膜)的上表面覆盖一层厚度可以忽略不计的导电金属片. 当对这个具有导电金属片的弹性薄膜施加电压时, 它会往下面的接地板发生形变, 即薄膜的位移发生改变, 从而使静电能转换为机械能, 这时静电的吸引力与薄膜的弹性力会发生竞争关系. 微机电的这个特性被广泛运用于汽车安全气囊上的加速度计、喷墨打印头、光开关、化学传感器等商业产品, 参见文献[2]. 然而, 对弹性薄膜施加的电压有一个临界值. 当施加的电压超过这个临界值时, 静电能与弹性能会失去平衡, 即静电吸引力会远大于薄膜弹性力, 从而使器件的两个部分发生接触. 这种现象通常被称为启动不稳定性或者称为淬灭现象, 这种现象最早由Taylor^[3], Nathanson^[4]等通过实验发现. 这种现象对某些应用, 例如光开关、微泵, 来讲是一个好的特性, 但对其它的一些应用会造成器件的破坏, 例如会使器件坍塌或者短路. 因而对临界电压的估计是这种器材在现实应用中的一个重要课题.

为了避免发生淬灭现象以及刻画弹性板位移$ u(x, t) $的动力学行为, 许多数学模型已经建立, 参见文献[2, 5-6]. 为了论文的完整性, 我们简单描述一下经典模型的推到过程. 实际上跟据牛顿第二定律以及为局部分析, 我们可得

$ \gamma\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = \mbox{静电力+弹性力+阻尼力}, $

其中$ \gamma $为常数表示薄膜的质量. 为了简化模型, 我们假定介电系数与电压都为常数, 那么

$ \mbox{静电力} = \frac{1}{2}\epsilon_{0}\Big((\frac{l}{L})^{2}|\nabla_{x}\psi(x, z, t)|^{2}+|\partial_{z}\psi(x, z, t)|^{2}\Big), \ \ x\in \Omega, \ z>0, $

这里$ \lambda $是与电压的平方成正比的常数, $ \psi $表示静电势, $ \varepsilon $为形变前容器长高比. 如果$ \varepsilon $充分小, 那么$ \psi $由以下等式给出

$ \psi = \frac{(1-z)}{1-u}, $

详情见文献[7]. 此外, 我们注意到阻尼力是与速度成比例的, 即

$ \mbox{阻尼力} = -a\frac{\partial u}{\partial t}, $

其中$ a $表示阻尼强度. 而弹性力可表示为

$ \mbox{弹性力} = \tau\Delta u-\beta\Delta^{2} u, $

其中$ \tau $表示与张力相关的常数, 而$ \beta $表示与抗弯曲力相关的常数. 综上所述, 我们可得到

(1.1) $ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} { } \gamma u_{tt}+a u_{t}+\beta \Delta^{2}u-\tau \Delta u = \frac{\lambda}{(1-u)^2}, \\ u(x, 0) = u^{0}(x), \ \ u_{t}(x, 0) = u^{1}(x), \\ \mbox{适当边界条件}, \\ \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ x\in\Omega\subset{{\Bbb R}}^{n}, t>0 $. 注意到当$ u = 1 $时方程的右边会出现奇性, 从物理的角度来看这种情况对应着所谓的淬灭现象的出现.

对于初值$ u^{0}(x), u^{1}(x) $, 我们一般假设它属于某个索伯列夫空间; 对于边界条件, 大家一般考虑以下两类边界条件:

Dirichlet边界条件

$ u = \frac{\partial u}{\partial n} = 0, \ \ \ x\in \partial\Omega; $

Navier边界条件

$ u = \Delta u = 0, \ \ \ x\in \partial\Omega. $

Dirichlet边界条件在物理上又称为固支(clamped) 边界条件, 它表示器件沿着边界固定, 边界部分不产生任何垂直方向的位移以及不产生任何倾斜. Navier边界条件又称为pinned边界条件, 在物理上它表示器件沿着边界在垂直方向不产生位移, 但是器件沿着边界可以自由旋转.

对于静态的情形, 方程(1.1) 已经得到广泛的研究, 参见文献[8-11]. 对于非静态的情形, 当$ \beta>0 $时, 由于缺乏极大值原理到目前为止其研究结果非常少. 在文献[12]中, 当$ 1\leq n\leq 3, \gamma>0 $, 作者建立了方程(1.1) 在Navier边界条件下弱解的局部跟整体适定性, 随后, 在文献[1]中, 作者通过半群方法强解的适定性, 但是他们的工作只限于区域空间维数小于等于2的情形. 然而对于高维的情形, 其适定性任然是一个开问题.

当$ \gamma\ll 1 $, 即粘性力占优的情形, 那么方程(1.1) 可以简化为下列四节抛物型初边值问题(为简单起见我们假设$ a = 1 $):

(1.2) $ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} { } u_{t}+\beta \Delta^{2}u-\tau \Delta u = \frac{\lambda}{(1-u)^{2}}, & x\in\Omega\subset{{\Bbb R}}^{n}, t>0, \\ u(x, 0) = u^{0}(x), & x\in\Omega\subset{{\Bbb R}}^{n}, \\ \mbox{适当边界条件}, & x\in \partial\Omega, \, t>0. \end{array} \right. \end{equation} $

当弯曲张力消失的时, 即$ \beta = 0 $, 那么方程(1.2) 退化为二阶抛物型方程. 对于相应二阶抛物型方程, 近年来有很多相关的研究结果, 参见文献[13-14]及其参考文献. 由于缺乏极大值原理(它在相应静态方程的研究中起着重要作用), 据我们所知对于方程(1.2) 的研究结果少之又少, 到目前为止能查阅到的参考文献为[1, 15-16]. 详细说来, 在文献[1], 作者利用半群理论建立了方程(1.2) 在空间维数小于等于2情形弱解的适定性, 在文献[15-16], 作者通过数值分析技巧以及渐近分析在区间或者单位圆盘上建立了相应的理论. 在本文, 我们将首先研究抛物型方程(1.2) 解的局部与整体适定性, 我们的方法借助于Faedo-Galerkin技巧, 这种方法的优点是能方程的适定抬高到空间维数$ n\leq 7 $, 所以从某种意义上说我们的结果完善了文献[1] 的结果. 为了方便陈述本文的主要结果, 我们引入下列记号:

$ \chi_T \triangleq {C^0}\left( {\left[ {0, T} \right];{W^{4, 2}}\left( \Omega \right)} \right) \cap {W^{1, 2}}\left( {0, T;W_0^{2, 2}\left( \Omega \right)} \right) \cap {W^{1, \infty }}\left( {0, T;{L^2}\left( \Omega \right)} \right), $

定理1.1   设$ 1\leq n\le7, \beta > 0, \tau \ge 0 $, $ \lambda> 0, \rho \in \left( {0, 1} \right) $, $ {u^0} \in {W^{4, 2}}\left( \Omega \right) \cap W_0^{2, 2}\left( \Omega \right) $, 使得

$ {\left\| {{u^0}} \right\|_{{W^{4, 2}}\left( \Omega \right) \cap W_0^{2, 2}\left( \Omega \right)}} \le \rho, $

其中$ \Omega $为任意有界光滑区域. 若$ \lambda, T $满足下列条件之一:

$ \rm ( $1$ \rm ) $$ \lambda \in {\mathbb{R}^ + } $且$ T > 0 $足够小;

$ \rm ( $2$ \rm ) $$ T = \infty $且$ \lambda \in {\mathbb{R}^ + } $足够小.

则

(i) 方程(1.2) 在Dirichlet边界条件下存在唯一弱解$ u\in\chi_T $. 对于Navier边界条件, 也有类似的结论, 但此时我们是在以下框架下

$ \chi _T\triangleq {C^0}\left( {\left[ {0, T} \right];{W^{4, 2}}\left( \Omega \right)} \right) \cap {W^{1, 2}}\left( {0, T;W_0^{2, 2}\left( \Omega \right) \cap {W^{2, 2}}\left( \Omega \right)} \right) \cap {W^{1, \infty }}\left( {0, T;{L^2}\left( \Omega \right)} \right). $

构造其相应的弱解.

(ii) 如果$ \lambda $充分大, 对于Dirichlet边界条件且区域为球形区域(或者是Navier边界条件下任意一般光滑区域) 那么我们构造的解一定在有限时间爆破.

注1.1  值得指出的是上述定理的结果与物理观察到的结果是吻合的, 即淬灭现象发生电压较高的情形. 从数学的角度看, 整体解的存在只有在$ \lambda $充分小的情形才会发生.

注1.2   对于第二个结果, 当边值条件为$ \rm Dirichlet $边界条件时, 区域为球形区域这个限制条件是技术性的, 因为只有在球形区域下极大值原理才成立.

为方便起见, 我们给出以下定义:

定义1.1   我们称函数$ u $是从$ [0, T] $到Banach空间$ Y $上弱连续函数如果它满足

$ \forall\ v\in Y', \mbox{函数}\ \, \, t\to \langle u(t), v\rangle\ \mbox{是连续的. } $

我们把所有满是上述条件的函数记为$ C_{w}([0, T]; Y) $.

本文, 我们总是约定$ \Omega\subset{{\Bbb R}}^{n} $是一个有界光滑区域, 记$ \|\cdot\|_{p} $为$ L^{p}(\Omega) $范数, $ 1\leq p\leq\infty $, 记$ \|\cdot\|_{W^{s, p}} $为$ W^{s, p}(\Omega) $范数. 定义

$ (u, v)_{2}: = \int_{\Omega}uv\, {\rm d}x, \ \ \ \ \mbox{对所有的}\ u, v \in L^{2}(\Omega). $

我们在$ W_{0}^{2, 2}(\Omega) $空间上定义其双线性形式为

(2.1) $ \begin{equation} (u, v)\mapsto (u, v)_{W_{0}^{2, 2}}\triangleq\beta(\Delta u, \Delta v)_{2}+\tau(\nabla u, \nabla v)_{2}, \ \ \ \mbox{对所有的}\ u, v\in W_{0}^{2, 2}(\Omega). \end{equation} $

此双线性形式导出了空间$ W^{2, 2}(\Omega) $空间上的等价范数. 在数量积(2.1) 的意义下, 空间$ W^{2, 2}(\Omega)\cap W_{0}^{1, 2}(\Omega) $是一个Hilbert空间, 其证明见参考文献[17]. 不失一般性, 我们记$ {\cal V}' $为赋范空间$ {\cal V} $的对偶空间, 以及定义相应的线性算子$ {\cal L} = \beta\Delta^{2}-\tau \Delta $. 下面引理给出了该算子谱的一些基本性质.

引理2.1  (1)$ {\cal L} $为对称椭圆算子, 它的每个特征值都是实数, 且每个特征值是有限多重的.

(2) 所有特征值构成一个可数集$ {\lambda _k} $, 其中

$ 0 < {\lambda _1} \le {\lambda _2} \le {\lambda _3} \le \cdots. $

当$ k \to \infty $时$ {\lambda _k} \to \infty $, 即特征值依次递增趋于$ \infty $.

(3) 存在一组函数列$ \{w_k\} _{k = 1}^\infty $, 它是$ L^2 $函数空间的的一组正交基地, 且$ w_k\in W_0^{2, 2}(\Omega ) $ (或$ W^{2, 2}(\Omega ) \cap W_0^{1, 2}(\Omega )) $并满足

$ \left\{\begin{array}{ll} L{w_k} = {\lambda _k}{w_k}, & \mbox{在$ \Omega$上, } \\ { } {w_k} = \frac{{{\rm d}{w_k}}}{{{\rm d}n}} = 0\, \, (\mbox{或者}\ \, {w_k} = \Delta {w_k} = 0), &\mbox{在$ \partial\Omega$上.} \end{array}\right. $

证  由Lax-Milgram定理, 椭圆算子的$ {L^2} $理论, 以及紧嵌入定理, 我们知道$ S\buildrel \Delta \over = {L^{ - 1}} $是$ L^2 \left( \Omega \right) $到自身的一个有界线性紧算子, 设$ Sf = u, Sg = v, $通过分部积分我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega}g({\cal S}f)\, {\rm d}x = \int_{\Omega}{\cal L}({\cal S}g)({\cal S}f)\, {\rm d}x = \int_{\Omega}{\cal L}({\cal S}f)({\cal S}g)\, {\rm d}x = \int_{\Omega}f({\cal S}g)\, {\rm d}x, \ \ \ \forall f, g\in L^{2}(\Omega), \end{eqnarray*} $

所以$ {\cal S} $是自伴的. 从而根据Hilbert-Schmidt's定理, 存在一个标准的正交基使得$ \{\omega_{k}\}_{k = 1}^{\infty} $且$ {\cal S}\omega_{k} = \eta_{k}\omega_{k}, \eta_{k}\to0\ \ \ \mbox{当}\ \ k\to\infty $. 另一方面注意到

$ ({\cal S}f, f)_{2} = (u, f)_{2} = \beta(\Delta u, \Delta u)_{2}+\tau(\nabla u, \nabla u)_{2}\geq0 \ \ (f\in L^{2}(\Omega)) $

以及方程

$ \begin{eqnarray*} \left \{ \begin{array}{ll} {\cal L}u = 0, \ \ \ & x\in \Omega, \\ { } u = \frac{\partial u}{\partial n} = 0\ \ (u = \Delta u = 0), \ \ \ & x\in \partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

只有零解, 所以$ \eta_{k}>0 $. 从而我们进一步得到

$ \begin{eqnarray*} \left \{ \begin{array}{ll} { } {\cal L}\omega_{k} = \frac{1}{\eta_{k}}\omega_{k}, \ \ \ & x\in\Omega, \\ { } \omega_{k} = \frac{\partial \omega_{k}}{\partial n} = 0\ \ (\omega_{k} = \Delta \omega_{k} = 0), \ \ \ & x\in \partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

引理2.1得证.

下面我们给出空间$ L^{2}(0, T;W^{m+4, 2}(\Omega)) $与空间$ W^{1, 2}(0, T;W^{m, 2}(\Omega)) $之间的内插引理, 它在我们主要结果的证明中起到了重要的作用.

注2.1  由椭圆算子的正则性理论(定理2.3.5), 知$ {w_k} \in {C^\infty }\left( \Omega \right) $, 若$ \partial \Omega $是光滑的, $ {w_k} \in {C^\infty }\left( {\bar \Omega } \right), k = 1, 2, \cdots $.

引理2.2  设$ \Omega $是一个有界开区域, 并且$ \partial\Omega $光滑. 取$ m $一非负正整数. 如果

$ u\in L^{2}(0, T;W^{m+4, 2}(\Omega)), \ \ \mbox{且}\ \ u'\in L^{2}(0, T;W^{m, 2}(\Omega)), $

那么

$ u\in C([0, T];W^{m+2, 2}(\Omega)), $

且满足以及估计

(2.2) $ \begin{eqnarray} \max\limits_{0\leq t\leq T}\|u\|_{W^{m+2, 2}(\Omega)}\leq C(\|u\|_{L^{2}(0, T;W^{m+4, 2}(\Omega))}+\|u'\|_{L^{2}(0, T;W^{m, 2}(\Omega))}). \end{eqnarray} $

证  该引理的证明是标准的, 为了论文的完整性我们简要概述一下其证明. 首先我们假定$ m = 0 $, 在这种情形下我们有

$ u\in L^{2}(0, T; W^{4, 2}(\Omega)), \quad u'\in L^{2}(0, T; L^{2}(\Omega)). $

为了得到我们想要的结果, 我们取一开集$ \tilde{\Omega} $使得$ \tilde{\Omega}\supset\supset \Omega $, 然后定义一个延拓算子$ E $如下: $ Eu(x) = u(x) $ a.e. $ x\in\Omega $以及$ Eu $在$ \tilde{\Omega} $上具有紧支集. 为简单起见, 我们记$ Eu $为$ \bar{u} $. 根据Sobolev空间上的延拓定理, 有

(2.3) $ \begin{eqnarray} \|\bar{u}\|_{L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\tilde{\Omega}))}\leq C \|u\|_{L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\Omega))};\ \ \|\bar{u}'\|_{L^{2}(0, T;L^{2}(\tilde{\Omega}))}\leq C \|u'\|_{L^{2}(0, T;L^{2}(\Omega))}. \end{eqnarray} $

我们首先证明

$ \bar{u}\in C([0, T];W^{2, 2}(\tilde{\Omega})), $

由此我们可进一步得

$ u\in C([0, T];W^{2, 2}(\Omega)). $

确实, 从文献[18, 定理2]可知存在一个函数列$ \bar{u}^{\epsilon}(t)\in C^{\infty}(0, T; W^{4, 2}(\tilde{\Omega})) $满足当$ \epsilon\to0 $,

$ \bar{u}^{\epsilon}(t)\to \bar{u}, \ \ \ \mbox{在} \ L^{2}(0, T; W^{4, 2}(\tilde{\Omega}))\cap W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\tilde{\Omega}))\ \mbox{中}. $

对于固定的$ \epsilon, \delta>0 $, 我们可知

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\|\Delta(\bar{u}^{\epsilon}(t)-\bar{u}^{\delta}(t))\|^{2}_{2}& = 2(\Delta(\bar{u}^{\epsilon}(t)-\bar{u}^{\delta}(t))', \Delta(\bar{u}^{\epsilon}(t)-\bar{u}^{\delta}(t)))\\& = 2((\bar{u}^{\epsilon}(t)-\bar{u}^{\delta}(t))', \Delta^{2}(\bar{u}^{\epsilon}(t)-\bar{u}^{\delta}(t))). \end{eqnarray*} $

所以对任意的$ 0\leq s, t\leq T $, 有

(2.4) $ \begin{eqnarray} \|\bar{u}^{\epsilon}(t)-\bar{u}^{\delta}(t)\|_{W^{2, 2}(\tilde{\Omega})}^{2}& = &\|\bar{u}^{\epsilon}(s)-\bar{u}^{\delta}(s)\|_{W^{2, 2}(\tilde{\Omega})}^{2} {}\\ && +2\int_{s}^{t}((\bar{u}^{\epsilon}(\tau)-\bar{u}^{\delta}(\tau))', \Delta^{2}(\bar{u}^{\epsilon}(\tau)-\bar{u}^{\delta}(\tau)))\, {\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

一方面对任意$ s\in (0, T) $, 有

$ \bar{u}^{\epsilon}(s)\to \bar{u}(s), \ \ \ \mbox{在} \ W^{2, 2}(\tilde{\Omega})\ \mbox{中}. $

然后结合(2.4) 式, 我们可以进一步得到

$ \begin{eqnarray*} &&\lim\limits_{\epsilon, \delta\to0}\sup\limits_{0\leq t\leq T}\|\bar{u}^{\epsilon}(t)-\bar{u}^{\delta}(t)\|_{W^{2, 2}(\tilde{\Omega})}^{2}\\ &\leq& \lim\limits_{\epsilon, \delta\to0}\int_{0}^{T}\Big(\|(\bar{u}^{\epsilon})'(\tau)-(\bar{u}^{\delta})'(\tau)\|_{2}^{2}+ \|\bar{u}^{\epsilon}(\tau)-\bar{u}^{\delta}(\tau)\|_{W^{4, 2}(\tilde{\Omega})}^{2}\Big)\, {\rm d}\tau\\& = &0, \end{eqnarray*} $

即

$ \bar{u}^{\epsilon}\to v, \ \ \ \ \mbox{在} \ C([0, t]; W^{2, 2}(\tilde{\Omega})) \mbox{ 中}. $

另一方面

$ \bar{u}^{\epsilon}\to \bar{u}(t), \ \ \ \ \mbox{对}\ \mbox{a.e.}\ t, $

所以$ \bar{u}(t) = v(t) $ a.e. $ t $. 从而得到我们想要的结果.

现在我们将证明(2.2)式. 不失一般性我们假定$ \bar{u} $是光滑的, 如果不光滑, 我们上面的逼近技巧. 简单计算可得

$ \begin{eqnarray*} \frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\int_{\tilde{\Omega}}|\Delta\bar{u}|^{2}\, {\rm d}x = 2\int_{\tilde{\Omega}}\Delta\bar{u}\Delta\bar{u}'\, {\rm d}x = 2\int_{\tilde{\Omega}}\Delta^{2}\bar{u}\bar{u}'\, {\rm d}x \leq(\|\bar{u}\|_{W^{4, 2}(\tilde{\Omega})}^{2}+\|\bar{u}'\|_{2}^{2}). \end{eqnarray*} $

所以对所有的$ 0\leq s, t\leq T $, 有

(2.5) $ \begin{eqnarray} \int_{\tilde{\Omega}}|\Delta\bar{u}(t)|^{2}\, {\rm d}x\leq \int_{\tilde{\Omega}}|\Delta\bar{u}(s)|^{2}\, {\rm d}x+ C(\|\bar{u}\|^{2}_{L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\tilde{\Omega}))}+\int^{T}_{0}\|\bar{u}'(t)\|_{2}^{2}\, {\rm d}t). \end{eqnarray} $

对(2.5) 式子关于变量$ s $积分, 在利用(2.3) 式可得

(2.6) $ \begin{eqnarray} \max\limits_{0\leq t\leq T}\|u\|_{W^{2, 2}(\Omega)}\leq C(\|u\|_{L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\Omega))}+\|u'\|_{L^{2}(0, T;L^{2}(\Omega))}). \end{eqnarray} $

现在考虑任意非负整数$ m>1 $的情形, 设$ \alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) $是一向量满足$ |\alpha| = \alpha_1+\cdots+\alpha_n\leq m $, 并设$ v: = D^{\alpha}u $. 那么

$ v\in L^{2}(0, T; W^{4, 2}(\Omega)), \ \ v'\in L^{2}(0, T; L^{2}(\Omega)). $

在估计(2.6) 式中, 用$ v $取代$ u $, 然后对所有指标$ \alpha_i $求和可得估计式(2.2).

在这一章的结尾, 我们给出如下引理(证明参见文献[3]):

引理2.3   设$ X $和$ Y $为Banach空间, 且$ X\subset Y $为一连续的嵌入. 如果一个函数$ \phi $属于$ L^{\infty}(0, T;X) $并且在空间$ Y $上弱连续, 那么$ \phi $在空间$ X $上也弱连续.

更多的相关结果参见文献[19-24].

这一节我们给出四阶抛物问题(1.2) 解的存在唯一性. 为此, 我们首先考虑下面线性问题解的适定性

(3.1) $ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} u_{t}+\beta \Delta^{2}u-\tau \Delta u = f(x, t), \ \ &(x, t)\in \Omega\times (0, T), \\ u(x, 0) = u^{0}(x), \ \ &x\in \Omega, \\ { } u = \frac{\partial u}{\partial n} = 0\ (\mbox{or}\ u = \Delta u = 0), \ \ &(x, t)\in \Omega\times (0, T). \end{array}\right. \end{equation} $

定理3.1   设$ 0<\beta, 0<T\leq\infty $以及$ f\in L^{2}(\Omega\times (0, T)) $. 那么对任意的$ u^{0}\in W_{0}^{2, 2}(\Omega) $, 问题(3.1) 在$ \rm Dirichlet $边界条件下存在一个唯一的弱解$ u $满足

$ u\in C([0, T];W_{0}^{2, 2}(\Omega))\cap L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)). $

同样, 对于相应的$ \rm Navier $边界条件$ ( $此时要求$ u^{0}\in W^{2, 2}(\Omega)\cap W_{0}^{1, 2}(\Omega) $$ ) $问题(3.1) 存在一个唯一的弱解$ u $满足

$ u\in C([0, T];W^{2, 2}(\Omega)\cap W_{0}^{1, 2}(\Omega))\cap L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)). $

而且在两类边界条件下所得到的弱解都满足如下估计

(3.2) $ \begin{equation} \max\limits_{0\leq t\leq T}\| u(t)\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2}+\int_{0}^{T}\|u(t)\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}\, {\rm d}t+\int_{0}^{T}\|u_{t}\|_{2}^{2}\, {\rm d}t\leq C(\|\Delta u^{0}\|_{2}^{2} +\int_{0}^{T}\|f\|_{2}^{2}\, {\rm d}t), \end{equation} $

其中常数$ C $仅仅依赖于$ \Omega, \beta, \tau $.

在证明该定理前, 我们给出若解的概念.

定义3.1   我们称函数$ u $是初边值问题(3.1) 的弱解, 如果

$ u\in L^{2}(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega))\ \ (\mbox{或者}\ L^{2}(0, T; W_{0}^{1, 2}(\Omega)\cap W^{2, 2}(\Omega))) $

及

$ u'\in L^{2}(0, T; W^{-2, 2}(\Omega))\ \ (\mbox{或者}\ L^{2}(0, T;(W_{0}^{1, 2}(\Omega)\cap W^{2, 2}(\Omega))')), $

且满足:

$ \rm (i) $对每一个$ v\in W_{0}^{2, 2}(\Omega)\ (\mbox{或}\ W_{0}^{1, 2}\cap W^{2, 2}(\Omega)) $及a.e. $ t\in[0, t] $

$ \langle u', v\rangle+\beta(\Delta u, \Delta v)_{2}+\tau (D u, D v)_{2} = (f, v)_{2} $

以及

$ \rm (ii) $$ u(x, 0) = u^{0}(x) $. 其中$ \langle, \rangle $表示空间$ W_{0}^{2, 2}(\Omega) $与空间$ W_{0}^{-2, 2}(\Omega) $之间的对偶积$ ( $或者空间$ W_{0}^{1, 2}(\Omega)\cap W^{2, 2}(\Omega) $与空间$ ( $$ W_{0}^{1, 2}(\Omega)\cap W^{2, 2}(\Omega))' $之间的对偶积$ ) $.

注3.1   引理2.2蕴含$ u\in C([0, T];L^{2}(\Omega)) $, 因此上面的等式$ \rm (ii) $是有意义的.

定理3.1的证明   下面我们将给出Dirichlet边值问题解的存在唯一性证明, 由于Navier边值问的证明与Dirichlet边值问题类似, 我们就把它忽略了. 设$ u^{0}(x)\in W_{0}^{2, 2}(\Omega) $, 并考虑如下线性问题

(3.3) $ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} u_{t}+\beta \Delta^{2}u-\tau \Delta u = f, & x\in\Omega, t>0, \\ u(x, 0) = u^{0}(x), & x\in\Omega, \\ { } u = \frac{\partial u}{\partial\nu} = 0, & x\in \partial\Omega, t>0.\\ \end{array} \right. \end{equation} $

我们将利用所谓的"Faedo-Galerkin"构造方程(3.3) 的弱解. 确切地, 设$ \{\omega_{k}\}_{k = 1}^{\infty}\subset W_{0}^{2, 2}(\Omega) $是算子$ \beta \Delta^{2}-\tau \Delta $在Dirichlet边值条件下的特征函数列, 它是完备的且$ \|\omega_{k}\|_{2} = 1 $, 由引理2.1有

$ \{\omega_{k}\}_{k = 1}^{\infty}\ \mbox{构成空间}\, L^{2}(\Omega)\, \, \mbox{一组正交基. } $

记$ \{\lambda_{k}\}_{k = 1}^{\infty} $为对应的特征值. 对任意的$ k\geq1 $, 我们定义初值的逼近序列

$ u^{0k}(x) = :\sum\limits_{i = 1}^{k}(u^{0}, \omega_{i})_{2}\omega_{i}. $

所以当$ k\to+\infty $时$ u^{0k} $在空间$ W_{0}^{2, 2}(\Omega) $中强收敛于$ u^{0} $. 对任意的$ k\geq 1 $我们定义方程(3.3) 的近似解序列$ u_{k}(x, t):[0, T]\to W_{0}^{2, 2}(\Omega) $如下:

$ u_{k}(t) = \sum\limits_{i = 1}^{k}g_{i}^{k}(t)\omega_{i}, $

且它满足

(3.4) $ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} (u_{k}'(t), \omega_{j})_{2}+\beta (\Delta u_{k}, \Delta\omega_{j} )_{2}+\tau (\nabla u_{k}, \nabla \omega_{j})_{2} = (f(t), \omega_{j})_{2}, \\ j = 1, \cdots, k, \ \mbox{ a.e.}\ t\in (0, T), \\ u_{k}(x, 0) = u^{0k}(x), x\in\Omega. \end{array} \right. \end{equation} $

所以对任意$ 1\leq i\leq k $, 通过简单计算函数$ g_{i}^{k}(t) $满足如下方程

(3.5) $ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} { } (g_{i}^{k}(t))'+\sum\limits_{i = 1}^{k}\lambda_{i}g_{i}^{k}(t) = (f(t), \omega_{i})_{2}, \\ [3mm] { } g_{i}^{k}(0) = (u^{0k}, \omega_{i})_{2}. \end{array} \right. \end{equation} $

根据线性常微分方程的标准理论, 方程(3.5) 存在一个唯一的解$ g_{i}^{k} $满足$ g_{i}^{k}\in W^{1, 2}(0, T) $, 因此方程(3.4) 存在一个唯一的解$ u_{k}\in W^{1, 2}(0, T;W_{0}^{2, 2}(\Omega)) $.

下面将对近似解$ u_{k} $做不依赖于$ k $的先验估计, 然后取极限得到我们所要的真实解.

步骤1  先验估计.

为此, 我们对方程(3.4) 的第一个方程乘以$ g_{j}^{k}(t) $, 然后对$ j $从1到$ k $求和. 可得

(3.6) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm{d}}{\rm{d}s}\|u_{k}(s)\|_{2}^{2}+\beta \|\Delta u_{k}\|_{2}^{2}+\tau \|\nabla u_{k}\|_{2}^{2} = (f(s), u_{k})_{2}. \end{equation} $

对上式在区间$ (0, t) $关于时间积分, 然后利用Cauchy's不等式, 我们可得

$ \|u_{k}(t)\|_{2}^{2}-\|u^{0k}\|_{2}^{2}+2\|u_{k}(t)\|_{L^{2}(0, T;W^{2, 2}(\Omega))}^{2} \leq\int_{0}^{T}\Big(4\|f(s)\|_{2}^{2}+\|u_{k}(s)\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2}\Big)\, {\rm d}s. $

由上式, 我们进一步可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \|u_{k}\|_{L^{\infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2}+\|u_{k}\|_{L^{2}(0, T;W^{2, 2}(\Omega))}^{2}&\leq& \|u_{0}^{k}\|_{2}^{2} +4\|f\|^{2}_{L^{2}(0, T;L^{2}(\Omega))}{}\\& \leq &4\left(\|u^{0}\|_{2}^{2}+\|f\|^{2}_{L^{2}(0, T;L^{2}(\Omega))}\right). \end{eqnarray} $

下面我们对方程(3.4)的第一个方程的二边乘以$ (g_{j}^{k}(t))' $并关于$ j $求和得

$ (u_{k}'(t), u_{k}'(t))_{2}+\beta (\Delta u_{k}, \Delta u_{k}'(t) )_{2}+\tau (\nabla u_{k}, \nabla u_{k}'(t))_{2} = (f(t), u_{k}'(t))_{2}. $

对上式在$ (0, T) $关于时间积分并利用带$ \epsilon $的Cauchy's不等式, 可得

(3.8) $ \begin{eqnarray} &&\int_{0}^{T}\int_{\Omega}|u_{k}'(t)|^{2}\, {\rm d}x{\rm d}t+\frac{\beta}{2}\|\Delta u_{k}(\cdot, T)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{\tau}{2}\|\nabla u_{k}(\cdot, T)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}{}\\ &\leq &\frac{\beta}{2}\|\Delta u_{k}(\cdot, 0)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{\tau}{2}\|\nabla u_{k}(\cdot, 0)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\int_{0}^{T}\int_{\Omega}|f|^{2}\, {\rm d}x{\rm d}t{}\\ &\leq &C(\beta, \tau) \|u^{0}\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2}+\int_{0}^{T}\int_{\Omega}|f|^{2}\, {\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray} $

步骤2  取极限过程.

从估计(3.7)–(3.8), 我们可以抽出一个子序列, 任然记为$ \{u_{k}\} $满足

$ u_{k}\rightharpoonup u\ \ \ \mbox{在}\ \ L^{2}(0, T;W^{2, 2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega))\ \mbox{中}. $

我们期望极限函数$ u $是方程(3.3) 的弱解. 为此, 我们引入一个函数$ h\in L^{2}(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega)) $并取它的一个近似序列

$ h_{j}(x, t) = \sum\limits_{m = 1}^{j}\alpha_{j, m}(t)\omega_{m}(x), $

满足当$ j\to\infty $有$ \|h_{j}-h\|_{L^{2}(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega))}\to0 $. 其中$ \{\alpha_{j, m}(t)\}_{j = 1}^{m} $是给定的光滑函数列. 我们对方程组(3.4) 的第一个方程乘以$ \alpha_{j, m} $, 然后关于$ m $从1到$ j $求和, 再让$ k\to\infty $, 我们有

$ \int_{0}^{T}(u'(t), h_{j})_{2}\, {\rm d}t+\int_{0}^{T}\beta(\Delta u, \Delta h_{j} )_{2}\, {\rm d}t+\int_{0}^{T}\tau(\nabla u, \nabla h_{j} )_{2}\, {\rm d}t = \int_{0}^{T}(f(t), h_{j})_{2}\, {\rm d}t. $

让$ j\to\infty $, 我们进一步可得

(3.9) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}(u'(t), h)_{2}\, {\rm d}t+\int_{0}^{T}\beta(\Delta u, \Delta h)_{2}\, {\rm d}t+\int_{0}^{T}\tau(\nabla u, \nabla h)_{2}\, {\rm d}t = \int_{0}^{T}(f(t), h)_{2}\, {\rm d}t, \end{equation} $

这意味着对所有的$ h\in W_{0}^{2, 2}(\Omega) $以及a.e. $ 0\leq t\leq T $, 有

$ (u'(t), h)_{2}+\beta(\Delta u, \Delta h)_{2}+\tau(\nabla u, \nabla h)_{2} = (f(t), h)_{2}. $

现在我们证明$ u(0) = u^{0} $. 事实上, 从积分等式(3.9), 对任意的$ v\in C^{1}([0, T]; W_{0}^{2, 2}(\Omega)) $满足$ v(T) = 0 $, 有

(3.10) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}\{-(v', u)_{2}+\beta(\Delta u, \Delta v)_{2}+\tau(\nabla u, \nabla v)_{2}\}\, {\rm d}t = \int_{0}^{T} (f, v)_{2}\, {\rm d}t+(u(0), v(0))_{2}. \end{equation} $

类似地, 从方程组(3.4) 我们也可以得到

$ \int_{0}^{T}\{-(v', u_{k})_{2}+\beta(\Delta u_{k}, \Delta v)_{2}+\tau(\nabla u_{k}, \nabla v)_{2}\}\, {\rm d}t = \int_{0}^{T} (f, v)_{2}\, {\rm d}t+(u_{k}(0), v(0))_{2}. $

让$ k \to \infty $, 可得

(3.11) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}\{-(v', u)_{2}+\beta(\Delta u, \Delta v)_{2}+\tau(\nabla u, \nabla v)_{2}\}\, {\rm d}t = \int_{0}^{T} (f, v)_{2}\, {\rm d}t+(u_{0}, v(0))_{2}. \end{equation} $

这里我们用到了这个事实$ u_{k}(x, 0)\to u^{0}(x) $在$ L^{2}(\Omega) $. 注意到$ v(0) $是任意的, 对比(3.10) 与(3.11)式, 我们得$ u(x, 0) = u^{0}(x) $. 结合以上讨论, 我们知

$ u\in L^{2}(0, T;W^{2, 2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)) $

是方程(3.3) 的弱解并满足(3.2)式. 下面我们通过反证法来证明其唯一性: 如果$ v, w $是方程(3.3)的二个弱解并且他们具有同样的初值, 那么由(3.2) 式我们得到其差满足估计

$ \begin{eqnarray*} \max\limits_{0\leq t\leq T}\|\Delta (v-w)\|_{2}^{2}+\int_{0}^{T}\|\Delta^{2}(v-w)\|_{2}^{2}\, {\rm d}t+\int_{0}^{T}\|(v-w)_{t}\|_{2}^{2}\, {\rm d}t\leq 0, \end{eqnarray*} $

所以显然有$ v\equiv w $.

步骤3   证明结束.

因为

$ \begin{eqnarray*} \left \{ \begin{array}{ll} \beta \Delta^{2}u = f-u_{t}+\tau \Delta u\in L^2(\Omega\times(0, T)), & x\in\Omega, t>0, \\ { } u = \frac{\partial u}{\partial\nu} = 0, & x\in \partial\Omega, t>0, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

那么通过椭圆算子的正则性定理可得$ u\in L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\Omega)) $. 然后利用$ L^{2}(0, t;W^{4, 2}(\Omega)) $与$ W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)) $之间的内插定理, 可得$ u\in C(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega)). $

定理3.2 (提升正则性)   如果$ u^{0}(x)\in W^{4, 2}(\Omega)\cap W^{2, 2}_{0}(\Omega) $ (或者$ W^{4, 2}(\Omega)\cap W^{1, 2}_{0}(\Omega)), $$ f'\in L^{2}(0, T; L^{2}(\Omega)), $那么

$ u\in L^{\infty}(0, T; W^{4, 2}(\Omega)), u'\in L^{\infty}(0, T; L^{2}(\Omega))\cap L^{2}(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega)), $

并具有如下估计

(3.12) $ \begin{eqnarray} &&{\rm ess}\sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|u'(t)\|_{2}^{2}+\|u\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2})+\int_{0}^{T}\|u'(t)\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2}\, {\rm d}t\\ &\leq &C(\|f\|_{W^{1, 2}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2}+\|u^{0}\|_{W^{4, 2}(\Omega)}), \end{eqnarray} $

其中常数$ C $仅依赖于$ \Omega, \beta, \tau $.

证  固定$ k\geq 1 $, 对方程(3.4) 关于时间$ t $微分, 可得

(3.13) $ \begin{equation} (\tilde{u}_{k}', \omega_{j})_{2}+\beta(\Delta\tilde{u}_{k}, \Delta \omega_{j})_{2}+ \tau(\nabla\tilde{u}_{k}, \nabla\omega_{j})_{2} = (f', \omega_{j})_{2}, \ \ j = 1, \cdots, k, \end{equation} $

其中$ \tilde{u}_{k} = :u_{k}' $. 对(3.13) 式乘以$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}g_{k}^{j}(t) $并对$ j = 1, \cdots, k $求和, 得

$ (\tilde{u}_{k}', \tilde{u}_{k})_{2}+\beta(\Delta\tilde{u}_{k}, \Delta\tilde{u}_{k})_{2}+\tau(\nabla\tilde{u}_{k}, \nabla\tilde{u}_{k})_{2} = (f', \tilde{u}_{k})_{2}. $

对上式在区间$ (0, T) $关于时间积分, 并利用带$ \epsilon $的Cauchy's不等式, 我们得

(3.14) $ \begin{eqnarray} &&\sup\limits_{0\leq t\leq T}\|u_{k}'(t)\|_{2}^{2}+2\beta\int_{0}^{T}\|\Delta u_{k}'(t)\|_{2}^{2}\, {\rm d}t +2\tau\int_{0}^{T}\|\nabla u_{k}'(t)\|_{2}^{2}\, {\rm d}t{}\\ &\leq & 4(\|u_{k}'(0)\|_{2}^{2}+\|u_{k}'\|^{2}_{L^{2}(0, T;L^{2}(\Omega))}+\|f'\|^{2}_{L^{2}(0, T;L^{2}(\Omega))}){}\\ &\leq &C(\tau, \beta, \Omega)(\|f\|^{2}_{W^{1, 2}(0, T;L^{2}(\Omega))}+\|u_{k}(0)\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}). \end{eqnarray} $

注意到$ \{\omega_{k}\} $是算子$ \beta\Delta^{2}-\tau\Delta $在Dirihelet边值条件下的特征函数, 是空间$ W_{0}^{2, 2}(\Omega) $的一组正交基. 特别地, 在$ \partial\Omega $上$ (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta) u_{k} = 0 $. 因此

$ \|u_{k}(0)\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}\leq C\|(\beta\Delta^{2}-\tau\Delta) u_{k}(0)\|_{L^{2}}^{2} = C(u_{k}(0), (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)^{2}u_{k}(0))_{2}. $

另一方面因为$ (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)^{2}u_{k}(0)\in \mbox{span}\{\omega_{j}\}_{j = 1}^{k} $且$ (u_{k}(0), \omega_{j})_{2} = (u^{0}, \omega_{j})_{2} $对所有的$ j = 1, $$ \cdot\cdot\cdot, k $, 所以

$ \begin{eqnarray*} \|u_{k}(0)\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}&\leq &C(u^{0}, (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)^{2}u_{k}(0))_{2}\\ & = &C((\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)u^{0}, (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)u_{k}(0))_{2}\\& \leq& \frac{1}{2}\|u_{k}(0)\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}+C\|u^{0}\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}. \end{eqnarray*} $

从而结合(3.14)式, 我们有

(3.15) $ \begin{eqnarray} \sup\limits_{0\leq t\leq T}\|u_{k}'(t)\|_{2}^{2}+\int_{0}^{T}\|u_{k}'(t)\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2}\, {\rm d}t\leq C(\|f\|_{W^{1, 2}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2}+\|u^{0}\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}). \end{eqnarray} $

注意到下面等式是成立的

$ ((\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)u_{k}, \omega_{j})_{2} = (f-u_{k}', \omega_{j})_{2}, \ \ j = 1, \cdots, k. $

对此等式乘以$ \lambda_{j}g_{k}^{j}(t) $, 然后关于$ j = 1, \cdots, k $求和, 我们得到对任意$ 0\leq t\leq T $有

$ ((\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)u_{k}, (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)u_{k})_{2} = (f-u_{k}', (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)u_{k})_{2}, $

由Hölder不等式, 我们可得

$ \begin{eqnarray*} \|\Delta^{2}u_{k}\|_{2}^{2}&\leq&(f-u_{k}'(t), (\beta\Delta^{2}-\tau\Delta)u_{k})_{2}+C\|u_{k}\|_{W^{2, 2}(\Omega)}\\& \leq &C\|f\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\|\Delta^{2}u_{k}\|_{2}^{2}+C\|u_{k}'(t)\|_{2}^{2}+C\|u_{k}\|_{W^{2, 2}(\Omega)}. \end{eqnarray*} $

取子列然后关于$ k $取极限, 在结合(3.2) 和(3.15)式, 我们最终得到

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_{0\leq t\leq T}(\|u'(t)\|_{2}^{2}+\|u\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2})+\int_{0}^{T}\|u'(t)\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2}\, {\rm d}t\leq C(\|f\|_{W^{1, 2}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2}+\|u^{0}\|^{2}_{W^{4, 2}(\Omega)}). \end{eqnarray*} $

定理3.2证毕.

定理1.1的证明  我们仅仅考虑Dirichlet边值条件, Navier边值问题的证明类似, 我们把省略掉. 由于我么考虑空间维数限制在7维以下, 那么根据Sobolev嵌入定理, 我们可以得出

(3.16) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C(\Omega) \|u\|_{W^{4, 2}(\Omega)}. \end{eqnarray} $

为了在适当的框架下构造解, 现在我们引入空间

$ {\cal X}_{T}: = C^{0}([0, T];W^{4, 2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega))\cap W^{1, \infty}(0, T;L^{2}(\Omega)), $

其范数为

$ \|v\|_{{\cal X}_{T}}^{2}: = \int_{0}^{T}(\|v_{t}\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2}+\|v\|_{W^{2, 2}(\Omega)}^{2})\, {\rm d}t+\max\limits_{0\leq t\leq T}(\|v\|_{W^{4, 2}(\Omega)}^{2}+\|v_{t}\|_{2}^{2}). $

以及定义该空间上的球

$ \bar{M}(R, T): = \{v\in {\cal X}_{T}: \|v\|_{{\cal X}_{T}}\leq R\}, $

其中$ R $满足$ C(\Omega)R<1 $. 这里$ C(\Omega) $是不等式(3.16) 中定义的常数. 设$ 0<r<R $, 我们定义该空间上的另一个球

$ M(r, T): = \{v\in{\cal X}_{T}: \|v\|_{{\cal X}_{T}}<r\}. $

从(3.16)式, 知

(3.17) $ \begin{equation} u(t)\in \bar{M}(R, T)\Rightarrow \|u\|_{L^{\infty}(\Omega\times(0, T))}\leq C(\Omega)R<1. \end{equation} $

现在我们固定$ r\in (0, R) $, 那么对任意的

$ u_{i}(t) \in\bar{M}(r, T), $

其中$ i = 1, 2 $, 根据定理3.1, 初边值线性问题

(3.18) $ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} { } v_{t}+ \beta \Delta^{2}v-\tau \Delta v = \frac{\lambda}{(1-u_{i})^{2}}, & x\in\Omega, t>0, \\ v(x, 0) = u^{0}(x), v_{t}(x, 0) = u^{1}(x), & x\in\Omega, \\ { } v = \frac{\partial v}{\partial\nu} = 0, & x\in \partial\Omega, t>0 \end{array} \right. \end{equation} $

有唯一的解

$ v_{i}(t) = :{\cal F}(u_{i})\in C([0, T];W_{0}^{2, 2}(\Omega))\cap L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)). $

现在我们证明

$ v_{i}\in C([0, T];W^{4, 2}(\Omega)), $

由此我们可以进一步得到$ v_{i}\in{\cal X}_{T} $. 事实上, 因为$ \|u_{i}\|_{L^{\infty}(\Omega)}<1 $以及$ u_{i}\in W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)) $, 我们有

$ \frac{\lambda}{(1-u_{i})^{2}}\in W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)). $

那么由定理3.2, 有

$ v_{i}\in W^{1, \infty}(0, T; L^{2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega)). $

从上式, 我们很容易得导出

$ \beta\Delta^{2}v_{i} = \frac{\lambda}{(1-u_{i})^{2}}+\tau\Delta v_{i}-\frac{{\rm d}v_{i}(t)}{{\rm d}t}\in W^{2, 2}(\Omega), \ \mbox{a.e.}\ t. $

借助于椭圆算子的正则性理论, 我们进一步得到

$ v_{i}\in L^{2}(0, T; W^{6, 2}(\Omega)). $

结合$ v_{i}\in W^{1, 2}(0, T; W_{0}^{2, 2}(\Omega)) $及引理2.2, 我们有

$ v_{i}\in C([0, T]; W^{4, 2}(\Omega)). $

再一次利用定理3.2, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|v_{1}-v_{2}\|_{{\cal X}_{T}}&\leq&\lambda C \|\frac{1}{(1-u_{1})^{2}}-\frac{1}{(1-u_{2})^{2}}\|_{W^{1, 2}(0, T;L^{2}(\Omega))}\\ & = &\lambda C\Big(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}|\frac{1}{(1-u_{1})^{2}}-\frac{1}{(1-u_{2})^{2}}|^{2 }\, {\rm d}x{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}}\\ & &+2\lambda C\Big(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}|\frac{u_{1}'}{(1-u_{1})^{3}}-\frac{u_{2}'}{(1-u_{2})^{3}}|^{2}\, {\rm d}x{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}}\\ :& = &{\rm I}+{\rm II}. \end{eqnarray*} $

对于$ {\rm I} $, 我们有

(3.19) $ \begin{eqnarray} {\rm I}& = & 2\lambda C \Big(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}\frac{(u_{1}-u_{2})^{2}}{(1-(\theta u_{1} +(1-\theta)u_{2}))^{6}}\, {\rm d}x{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}} {}\\&\leq &2\lambda C k(r)\Big(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}(u_{1}-u_{2})^{2}\, {\rm d}x{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}}{}\\ & \leq &2\lambda C k(r)\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}, \end{eqnarray} $

或者

(3.20) $ \begin{eqnarray} {\rm I}\leq 2\lambda C k(r)T^{\frac{1}{2}}\|u_{1}-u_{2}\|_{C([0, T];W^{4, 2}(\Omega))}\leq 2\lambda C k(r)T^{\frac{1}{2}}\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}. \end{eqnarray} $

对于$ {\rm II} $, 我们有

(3.21) $ \begin{eqnarray} {\rm II}&\leq& 2\lambda C \Big(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}\frac{(u'_{1}-u'_{2})^{2}}{(1-u_{1})^{6}}\, {\rm d}x{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}} {}\\& &+2\lambda C\Big(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}|u'_{2}|^{2}\Big|\frac{1}{(1-u_{1})^{3}}-\frac{1}{(1-u_{2})^{3}}\Big|^{2}\, {\rm d}x{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}} {}\\& \leq& k(r)2\lambda C\Big[\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}+\|u_{1}-u_{2}\|_{L^{\infty}((0, t)\times\Omega)}\Big(\int_{0}^{T}\int_{\Omega}|u_{2}'|^{2}\, {\rm d}x{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}}\Big] {}\\& \leq&2\lambda C(r+k(r))\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}. \end{eqnarray} $

或者

(3.22) $ \begin{eqnarray} {\rm II}&\leq& 2\lambda CT^{\frac{1}{2}}k(r)\Big(\|u_{1}-u_{2}\|_{W^{1, \infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}+\|u_{1}-u_{2}\|_{L^{\infty}((0, t)\times\Omega)}\|u_{2}\|_{W^{1, \infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}\Big) {}\\& \leq&2\lambda C(r+k(r))T^{\frac{1}{2}}\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}. \end{eqnarray} $

这里及下文, $ k(r) $是区间$ [0, R_{0}] $上正的单调不减的函数, 常数$ C $仅仅依赖于$ \Omega $. 从(3.19) 和(3.21)式, 我们有

(3.23) $ \begin{eqnarray} \|v_{1}-v_{2}\|_{{\cal X}_{T}}\leq 2\lambda C(r+k(r))\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}, \end{eqnarray} $

以及从(3.20) 与(3.22) 式, 有

(3.24) $ \begin{eqnarray} \|v_{1}-v_{2}\|_{{\cal X}_{T}}\leq 2\lambda T^{\frac{1}{2}} C(r+k(r))\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}. \end{eqnarray} $

现在我们考虑下面线性方程

$ w_{t}+\beta \Delta^{2}w-\tau \Delta w = 0, \ \ \ x\in \Omega, t>0, $

其边值条件与(3.3)式完全一样. 由定理3.1, 该方程存在一个唯一的解

$ w(t)\in C([0, T];W_{0}^{2, 2}(\Omega))\cap L^{2}(0, T;W^{4, 2}(\Omega))\cap W^{1, 2}(0, T; L^{2}(\Omega)) $

并且满足

(3.25) $ \begin{eqnarray} \|w\|_{{\cal X}_{T}}\leq C\|u^{0}\|_{W^{4, 2}(\Omega)}: = C\rho. \end{eqnarray} $

最后为了构造我们的解, 我们引入一个以$ w $为球心的球

$ {\cal B}_{\frac{r}{2}} = \{u\in {\cal X}_{T}: \|u-w\|_{{\cal X}_{T}}\leq \frac{r}{2}\}. $

取$ \rho $充分小使得

$ C\rho+\frac{r}{2}<r, $

那么如果$ u(t)\in {\cal B}_{\frac{r}{2}} $, 则

$ \|u(t)\|_{{\cal X}_{T}}\leq \|w(t)\|_{{\cal X}_{T}}+\frac{r}{2}<r, \ \ \forall\ 0\leq t\leq T, $

从而$ {\cal B}_{\frac{r}{2}}\subset M(r, T) $.

情形1  小参数$ \lambda $情形下的整体存在性. 利用估计(3.23), 有

(3.26) $ \begin{eqnarray} \|v_{i}-w\|_{{\cal X}_{T}}\leq 2C\lambda (k(r)+r)r, \end{eqnarray} $

其中$ i = 1, 2 $. 取$ \lambda $足够小使得

$ \lambda\leq \lambda(r) = : \frac{1}{4C(k(r)+r)}, $

从而借助(3.23) 与(3.26) 式可得

$ \|v_{1}-v_{2}\|_{{\cal X}_{T}}\leq \frac{1}{2}\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}; \|v_{i}-w\|_{{\cal X}_{T}}\leq\frac{r}{2}. $

因此映射

(3.27) $ \begin{eqnarray} \begin{array}{ll} {\cal F}:& {\cal B}_{\frac{r}{2}}\to {\cal B}_{\frac{r}{2}}\\ & u_{i}\to v_{i}\ \ (i = 1, 2) \end{array} \end{eqnarray} $

是压缩的, 从而当$ 0<\lambda\leq\lambda(r) $, 对任意的$ T>0 $, 它有一个唯一的不动点满足$ u = {\cal F}(u), $$ u\in {\cal B}_{\frac{r}{2}} $, 这个不动点就是方程(1.2) 在Dirichlet边值条件下的整体解

情形2  关于时间的局部存在性. 类似地, 利用估计(3.2), 我们有

(3.28) $ \begin{eqnarray} \|v_{i}-w\|_{{\cal X}_{T}}\leq C\lambda T^{\frac{1}{2}}(k(r)+r)\|u_{i}\|_{{\cal X}_{T}} \leq \lambda T^{\frac{1}{2}} C(k(r)+r)r, \end{eqnarray} $

其中$ i = 1, 2 $. 取$ T $充分小使得

$ 0<T^{\frac{1}{2}}\leq \bar{T}(\lambda, \rho, r): = \frac{1}{2C\lambda(k(r)+r)}, $

那么借助于(3.24) 和(3.28) 式可得

$ \begin{eqnarray*} \|v_{1}-v_{2}\|_{{\cal X}_{T}}\leq \frac{1}{2}\|u_{1}-u_{2}\|_{{\cal X}_{T}}; \|v_{i}-w\|_{{\cal X}_{T}}\leq\frac{r}{2}. \end{eqnarray*} $

那么利用Banach不动点定理, 当$ T\leq \bar{T}(\lambda, r) $时, 方程(1.2) 在区间$ [0, T] $有唯一的解.

最后我们借助特征函数方法给出定理1.1 (iii) 的证明. 此方法最早在文献[1, 25-26] 中被用到. 事实上, 从文献[17], 存在一个对$ (\lambda_{1}, \phi_{1}) $满足$ 0<\lambda_{1}, 0<\phi_{1}\in C^{4}(\bar{ {\mathbb B}})\cap W_{0}^{2, 2}( {\mathbb B}), \|\phi_{1}\|_{1} = 1 $以及

$ \left \{ \begin{array}{ll} \beta \Delta^{2}\phi_{1}-\tau \Delta \phi_{1} = \lambda_{1}\phi_{1}, & x\in {\mathbb B}, \\ { } \phi_{1} = \frac{\partial \phi_{1}}{\partial\nu} = 0, & x\in \partial {\mathbb B}. \end{array} \right. $

记$ u(x, t) $是方程(1.2) 在区间$ [0, T_{m}) $的解, 对任意$ t\in [0, T_{m}) $, 我们定义

$ M(t): = \int_{ {\mathbb B}}\phi_{1}(x)u(x, t)\, {\rm d}x\leq \int_{ {\mathbb B}}\phi_{1}\, {\rm d}x = 1. $

对方程(1.2) 乘以$ \phi_{1} $, 在球$ {\mathbb B} $积分, 并结合特征函数$ \phi_{1} $的基本性质以及Jensen's不等式可得

(3.29) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm{d}M}{\rm{d}t}& = &-\int_{ {\mathbb B}}(\beta\Delta^{2}\phi_{1}-\tau\Delta\phi_{1})u\, {\rm d}x+\lambda\int_{ {\mathbb B}}\frac{\phi_{1}}{(1-u)^{2}}\, {\rm d}x{}\\& \geq&-\lambda_{1}\int_{ {\mathbb B}}\phi_{1}u\, {\rm d}x+\frac{\lambda}{(1-\int_{ {\mathbb B}}\phi_{1}u\, {\rm d}x)^{2}}{}\\& = &-\lambda_{1}M+\frac{\lambda}{(1-M)^{2}}: = g(M) \end{eqnarray} $

如果我们选择$ \lambda>\frac{4\lambda_{1}}{27} $, 那么通过简单计算, 可得$ g(M)>c_{0}>0 $. 在利用(3.29)式, 有

$ 1-M(0)\geq M(t)-M(0)\geq c_{0}t, $

所以$ T_{m}\leq \frac{1-M(0)}{c_{0}}<\infty $. 定理1.1得证.