考虑具有经典Lotka-Volterra功能反应的Holling-Tanner捕食者-食饵模型

(1.1) $ \begin{equation} \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = d_1{\cal D}[u](x, t)+u(x, t)(1-u(x, t))-\beta u(x, t)v(x, t), \ x\in {{\Bbb R}} , \ t> 0, \end{equation} $

(1.2) $ \begin{equation} \frac{\partial v(x, t)}{\partial t} = d_2{\cal D}[v](x, t)+rv(x, t)\left(1-\frac{v(x, t)}{u(x, t)}\right), \ x\in {{\Bbb R}} , \ t> 0, \end{equation} $

其中$ {\cal D}[\varphi](x, t): = {\cal K}*\varphi(x, t)-\varphi(x, t) $及$ {\cal K}*\varphi(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(y)\varphi(x-y, t){\rm d}y $表示对空间变量$ x $的卷积. 这里$ u(x, t) $和$ v(x, t) $分别表示在位置$ x $和时间$ t $的种群密度; 常数$ d_i>0(i = 1, 2) $分别是对应$ u $和$ v $的空间扩散系数; $ \beta u (0<\beta<1) $表示捕食者对捕食的功能反应, $ r>0 $表示捕食者的生长速率. 对于核函数$ {\cal K} $, 我们做出如下假设:

(K)   $ {\cal K}\in C^1({{\Bbb R}} ), \ {\cal K}(y) = {\cal K}(-y)\geq 0, \ \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(y){\rm d}y = 1 $且$ {\cal K} $具有紧支集.

捕食者-食饵动力学行为仍然是应用数学家和生态学家感兴趣的问题^{[9, 12-14]}. 文献[3, 7-8]研究了Holling-Tanner捕食者-食饵模型的数学性质及其描述真实生态系统的有效性. 近二十年来的研究主要集中在该模型及其修正模型行波解的存在性和稳定性上^{[2, 5, 10-11, 16]}. 系统(1.1)–(1.2)的行波解为形如$ (U, V)(x+ct) $的特殊解, 其中$ U $和$ V $称为波廓, 是定义在$ {{\Bbb R}} $上的非负光滑函数, 常数$ c $是波速. 将$ (U, V)(x+ct) $代入系统(1.1)–(1.2), 可见波廓$ (U(\xi), V(\xi))(\xi = x+ct) $满足如下积分-微分方程

(1.3) $ \begin{equation} cU'(\xi) = d_1 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(U(\xi-x)-U(\xi)\right){\rm d}x+U(\xi)(1-U(\xi))-\beta U(\xi)V(\xi), \end{equation} $

(1.4) $ \begin{equation} cV'(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(V(\xi-x)-V(\xi)\right){\rm d}x+rV(\xi)\left(1-\frac{V(\xi)}{U(\xi)}\right), \ \xi \in {{\Bbb R}} . \end{equation} $

为了研究Holling-Tanner捕食者-食饵模型的行波解, 我们回顾捕食者-食饵模型的一些结果. 利用上下解方法与Schauder不动点定理, Cheng和Yuan^[2]证明了在技术假设

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U(\xi)<1\ \ \mbox{和}\ \ \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V(\xi)>0 \end{eqnarray*} $

下, 系统(1.1)–(1.2)连接$ (1, 0) $和$ (\frac{1}{1+\beta}, \frac{1}{1+\beta}) $的行波解的存在性. 利用类似方法, Zhao等人^[16]研究了带无穷时空时滞的系统(1.3)–(1.4)的行波解的存在性. 事实上, 当$ \Pi(u) = \beta u $时, 模型(1.1)–(1.2)是下述反应扩散系统的非局部扩散情形

(1.5) $ \begin{equation} \frac{\partial u(x, t)}{\partial t} = d_1\frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2}+u(x, t)(1-u(x, t))-\Pi(u(x, t))v(x, t), \ x\in {{\Bbb R}} , t> 0, \end{equation} $

(1.6) $ \begin{equation} \frac{\partial v(x, t)}{\partial t} = d_2\frac{\partial^2 v(x, t)}{\partial x^2}+rv(x, t)\left(1-\frac{v(x, t)}{u(x, t)}\right), \ x\in {{\Bbb R}} , t> 0 . \end{equation} $

Ducrot^[3]证明了当$ \Pi(u) = u\pi(u) $, 其中$ \pi:[0, +\infty)\rightarrow [0, +\infty) $是$ C^1 $函数并满足对任意的$ u\in(0, 1] $, $ \pi(u)>0 $时, 这个系统有一个广义的跃迁波, 它具有某种确定的全局平均传播速度. 关于功能反应$ \pi(u) $的其他典型例子已经有了很多的工作, 例如: Murray^[7]和Renshaw^[8]的Holling-type II型功能反应, Chen等^[1]的Lotka-Volterra型功能反应.

这项研究主要讨论系统(1.1)–(1.2)的行波解的存在性与不存在性. 我们指出: 在文献[2]中系统(1.1)–(1.2)的临界行波解的存在性以及条件$ { }\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U(\xi)<1 $和$ { }\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty} $$ V(\xi) > 0 $是否为行波解存在的技术假设都是未知的. 基于上述讨论, 本文将给出系统(1.1)–(1.2)行波解存在性的一个完整刻画，特别是临界行波解的存在性. 因此, 我们的结果解决了文献[2]中的遗留问题. 现在, 我们将主要结果陈述如下:

定理1.1  (存在性定理)  假设$ (K) $成立. 则存在一个正常数$ c^* $使得如果$ c\geq c^* $, 系统(1.3)–(1.4)有一个非负有界经典解$ (U(\xi), V(\xi)) $满足渐近边界条件

(1.7) $ \begin{equation} \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}(U(\xi), V(\xi)) = (1, 0)\ \ \mbox{及}\ \ \lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}(U(\xi), V(\xi)) = (1/(1+\beta), 1/(1+\beta)). \end{equation} $

进一步,

$ \rm (i) $对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ 1-\beta< U(\xi)<1\ \ \mbox{及}\ \ 0<V(\xi)< 1 $.

$ \rm (ii) $当$ \xi\rightarrow -\infty $时, $ V(\xi) = {\cal O}(e^{\lambda_1\xi}) $若$ c>c^* $, $ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}\frac{V'(\xi)}{V(\xi)} = \lambda^* $若$ c = c^* $, 其中$ \lambda_1 $是方程

(1.8) $ \begin{equation} d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)e^{-\lambda x}{\rm d}x-d_2-c\lambda+r = 0 \end{equation} $

的实根中最小者, $ \lambda^* $是$ c = c^* $时方程(1.8)的唯一解.

定理1.2  (不存在性定理)  假设$ (K) $成立. 则对任意的$ c\in(-\infty, 0)\cup(0, c^*) $, 系统(1.3)–(1.4)不存在满足渐近边界条件(1.7)的非负有界经典解$ (U(\xi), V(\xi)) $.

我们指出: 定理1.1推广了文献[2]中的主要结果. 特别地表明假设$ { }\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U(\xi)<1 $与$ { }\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V(\xi)>0 $是不需要的. 为了得到系统(1.1)–(1.2)行波解的存在性, 我们采用了一些分析技术. 关键技术点是获得当$ V(\xi) $足够小时, 它的单调性. 通过逼近方法, 我们的结果证实了系统(1.1)–(1.2)的临界波的存在性, 从而解决了文献[2]中的遗留问题. 这里的难点是如何证明在无穷远处$ U(\xi) $及$ V(\xi) $的渐近性. 最后, 在定理1.2中, 我们建立了当$ c\in(-\infty, 0)\cup(0, c^*) $时行波解的不存在性. 对于情形$ c\in(-\infty, 0) $, 我们使用了精细的分析方法. 对于情形$ c\in(0, c^*) $, 我们使用了渐近传播速度理论并充分结合(1.2)的结构. 与文献[2]中的证明相比, 该方法更简单, 更容易得到. 因此, 该结果是有意义的.

本文的结构如下: 在第2节中, 我们首先证明了一些有用的引理, 它们将用于证明主要结果. 之后, 利用分析技巧证明当$ c>c^* $时行波解的存在性. 进而, 利用逼近方法, 得到临界行波解的存在性. 第3节用于证明定理1.2.

引理2.1   假设(K)成立. 设$ (U(\xi), V(\xi)) $是系统(1.3)–(1.4)的经典解. 则对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, 成立

(2.1) $ \begin{equation} 1-\beta< U(\xi)<1\ \ \mbox{与}\ \ 0<V(\xi)< 1. \end{equation} $

证   根据文献[2, 定理3.2], 对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, 成立$ 1-\beta\leq U(\xi)\leq 1 $与$ 0\leq V(\xi)\leq 1 $. 为了证明不等式(2.1), 我们利用反证法. 假设存在常数$ \xi_0\in{{\Bbb R}} $使得$ V(\xi_0) = 0 $. 由于$ V(\xi)\geq 0, \ \xi \in {{\Bbb R}} $, 则$ \xi_0 $是$ V(\xi) $的极小值点, 这蕴含着$ V'({\xi}_0) = 0 $. 由式(1.4), 知$ \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)V(\xi_0-x){\rm d}x = 0 $, 这与当$ \xi $充分小时, $ V(\xi)>0 $矛盾. 因此, $ V(\xi)>0 $. 现在, 我们断言对任意$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ U(\xi)<1 $. 倘若存在实数$ \overline{\xi} $使得$ U(\overline{\xi}) = 1 $. 则, $ U^\prime(\overline{\xi}) = 0 $. 同时, 在$ \xi = \overline{\xi} $处$ U(\xi) $满足

$ \begin{eqnarray*} 0& = &cU^\prime(\overline{\xi}) = d_1 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(U(\overline{\xi}-x) -U(\overline{\xi})\right){\rm d}x+U(\overline{\xi})(1-U(\overline{\xi}))-\beta U(\overline{\xi})V(\overline{\xi})\\ & \leq&-\beta V(\overline{\xi})<0. \end{eqnarray*} $

这与$ U(\cdot)<1 $矛盾. 利用类似方法及$ U(\xi)<1 $, 易证$ V(\xi)<1 $, $ \forall\xi\in{{\Bbb R}} $. 进一步可证对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ U(\xi)>1-\beta $.

引理2.2  设$ M>0 $与$ N>0 $是实数. 则存在常数$ C^† = C^†(M, N)>0 $, 使得对任意的满足$ P(\cdot)\geq M $, $ Q(\cdot)\geq -N $, $ \xi\in{{\Bbb R}} $的连续函数$ P(\cdot) $与$ Q(\cdot) $及对任意的满足

(2.2) $ \begin{equation} W'(\xi)\geq P(\xi) \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x+Q(\xi)W(\xi), \ \ \xi\in{{\Bbb R}} \end{equation} $

的正函数$ W(\cdot)\in C^1({{\Bbb R}} ) $, 成立

(2.3) $ \begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x\leq C^†(M, N)W(\xi), \ \ \xi\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

证  由式(2.2)知, 对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $,

(2.4) $ \begin{equation} W'(\xi)+NW(\xi)\geq P(\xi) \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x+Q(\xi)W(\xi)+NW(\xi)\geq 0. \end{equation} $

从而$ W(\xi)e^{N\xi} $在$ {{\Bbb R}} $上单调递增. 因此对任意的$ x\in[0, +\infty) $, $ W(\xi-x)\leq W(\xi)e^{Nx} $. 根据式(2.4), 可以推断出

(2.5) $ \begin{equation} \left(e^{N\xi}W(\xi)\right)'\geq P(\xi)e^{N\xi} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x\geq Me^{N\xi} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x, \ \ \xi\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

选取$ \tilde{\varrho}>0 $满足$ 2\tilde{\varrho}<R $, 其中$ R $是$ supp{\cal K} $的半径. 将不等式(2.5)从$ \xi-\tilde{\varrho} $到$ \xi $积分, 利用$ W(\xi)e^{N\xi} $是单调递增函数的事实, 可以得到

(2.6) $ \begin{eqnarray} e^{N\xi}W(\xi)&\geq & M\int_{\xi-\tilde{\varrho}}^{\xi}e^{N\zeta} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)W(\zeta-x){\rm d}x{\rm d}\zeta \\ & \geq & M \int_{-\infty}^{\infty}e^{Nx}{\cal K}(x) \int_{\xi-\tilde{\varrho}}^{\xi}e^{N(\zeta-x)}W(\zeta-x){\rm d}\zeta {\rm d}x \\ & \geq& M\tilde{\varrho} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)e^{N(\xi-\tilde{\varrho})}W(\xi-\tilde{\varrho}-x){\rm d}x, \quad \xi \in {{\Bbb R}} , \end{eqnarray} $

这蕴含着

(2.7) $ \begin{equation} \int^0_{-\infty} {\cal K}(x)W(\xi-\tilde{\varrho}-x){\rm d}x\leq \frac{e^{N\tilde{\varrho}}}{M\tilde{\varrho}}W(\xi), \ \ \xi \in {{\Bbb R}} . \end{equation} $

进一步, 从式(2.6)推断出, 对任意的$ \xi \in {{\Bbb R}} $,

$ \begin{eqnarray*} e^{N\xi}W(\xi)&\geq & M\tilde{\varrho}\int_{-\infty}^{-2\tilde{\varrho}}e^{Nx}{\cal K}(x)e^{N(\xi-\tilde{\varrho}-x)} W(\xi-\tilde{\varrho}-x){\rm d}x \\ & \geq & M\tilde{\varrho}\int_{-\infty}^{-2\tilde{\varrho}} e^{Nx}{\cal K}(x)e^{N(\xi+\tilde{\varrho})}W(\xi+\tilde{\varrho}){\rm d}x, \end{eqnarray*} $

这意味着

(2.8) $ \begin{equation} W(\xi+\tilde{\varrho})\leq\frac{1}{M\tilde{\varrho}e^{N\tilde{\varrho}}\int_{-\infty}^{-2\tilde{\varrho}} e^{Nx}{\cal K}(x){\rm d}x}W(\xi), \quad \xi \in {{\Bbb R}} . \end{equation} $

又根据式(2.7)与(2.8), 有

$ \begin{eqnarray*} & & \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x\\ & \leq & \int^0_{-\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x+\int_0^{+\infty} {\cal K}(x)W(\xi-x){\rm d}x \\ &\leq & \frac{1}{M\tilde{\varrho}e^{N\tilde{\varrho}}\int_{-\infty}^{-2\tilde{\varrho}} e^{Nx}{\cal K}(x){\rm d}x}\int^0_{-\infty} {\cal K}(x)W(\xi-\tilde{\varrho}-x){\rm d}x+W(\xi)\int_0^{+\infty} {\cal K}(x)e^{Nx}{\rm d}x\\ & \leq &\left(\frac{1}{M^2\tilde{\varrho}^2\int_{-\infty}^{-2\tilde{\varrho}} e^{Nx}{\cal K}(x){\rm d}x}+\int_0^{+\infty} {\cal K}(x)e^{Nx}{\rm d}x\right)W(\xi), \quad \xi \in {{\Bbb R}} . \end{eqnarray*} $

如果选取$ C^†(M, N) = \frac{1}{M^2\tilde{\varrho}^2\int_{-\infty}^{-2\tilde{\varrho}} e^{Nx}{\cal K}(x){\rm d}x}+\int_0^{+\infty} {\cal K}(x)e^{Nx}{\rm d}x $, 则引理2.2得证.

引理2.3  设$ \overline{c}>\underline{c}\geq c^* $是两个给定的正常数. 存在$ \sigma>0 $, 使得对任意的满足$ c\in[\underline{c}, \overline{c}] $的系统(1.3)–(1.4) 的解$ (c, U, V) $, 若$ V(\xi)\leq\sigma $, $ \xi\in{{\Bbb R}} $, 则$ V^\prime(\xi)>0 $.

证  不失一般性, 假设存在$ [\underline{c}, \overline{c}] $中的实数列$ \{c_n\}_{n = 1}^{+\infty} $满足$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}c_n = c_{\infty} $, 系统(1.3)–(1.4)的解序列$ (c_n, U_n, V_n) $以及满足$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}V_n(\xi_n) = 0 $和$ V'_n(\xi_n)\leq 0 $, $ n\in{\Bbb N} $的点列$ \{\xi_n\}_{n = 1}^{+\infty} $. 定义$ \tilde{U}_n(\xi) = U_n(\xi+\xi_n) $和$ \tilde{V}_n(\xi) = V_n(\xi+\xi_n) $, 则对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ (\tilde{U}_n(\cdot), \tilde{V}_n(\cdot)) $满足

(2.9) $ \begin{equation} c_n\tilde{U}_n'(\xi) = d_1 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(\tilde{U}_n(\xi-x)-\tilde{U}_n(\xi)\right){\rm d}x+\tilde{U}_n(\xi)(1-\tilde{U}_n(\xi))-\beta \tilde{U}_n(\xi)\tilde{V}_n(\xi), \end{equation} $

(2.10) $ \begin{equation} c_n\tilde{V}_n'(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(\tilde{V}_n(\xi-x)-\tilde{V}_n(\xi)\right){\rm d}x +r\tilde{V}_n(\xi)\left(1-\frac{\tilde{V}_n(\xi)}{\tilde{U}_n(\xi)}\right). \end{equation} $

将引理2.2运用到当$ c = c_n $时$ (U_n, V_n) $满足的方程(1.4)上, 得到在$ {{\Bbb R}} $上, 存在不依赖于$ n\in{\Bbb N} $的常数$ L>0 $, 使得$ |V'_n(\xi)|\leq LV_n(\xi) $. 因此, $ \tilde{V}_n(\xi)\leq e^{L|\xi|}V_n(\xi_n) $, 这蕴含着当$ n\rightarrow +\infty $, 在$ C_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑下, $ \tilde{V}_n(\cdot)\rightarrow 0 $. 进一步得到, 当$ n\rightarrow +\infty $, 在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, $ \tilde{V}_n(\cdot)\rightarrow 0 $.

另一方面, 对方程(2.9)求导, 再由$ 1-\beta<\tilde{U}_n(\xi)<1 $与$ 0<\tilde{V}_n(\xi)< 1 $, 推出$ \tilde{U}'_n(\cdot) $与$ \tilde{U}''_n(\cdot) $在$ {{\Bbb R}} $中是一致有界的. 因此, 抽取子函数列, 存在函数$ \tilde{U}_{\infty}(\cdot)\in C^1({{\Bbb R}} ) $, 使得当$ n\rightarrow +\infty $时, 在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, $ \tilde{U}_{n}(\cdot)\rightarrow \tilde{U}_{\infty}(\cdot) $, 并且$ \tilde{U}_{\infty}(\cdot) $满足

(2.11) $ \begin{equation} c_{\infty}\tilde{U}_{\infty}'(\xi) = d_1\left( \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\tilde{U}_{\infty}(\xi-x){\rm d}x-\tilde{U}_{\infty}(\xi)\right) +\tilde{U}_{\infty}(\xi)\left(1-\tilde{U}_{\infty}(\xi)\right), \ \xi \in {{\Bbb R}} . \end{equation} $

现在, 定义$ \hat{V}_n(\xi) = V_n(\xi+\xi_n)/V_n(\xi_n) $. 因为对任意的$ n\in{\Bbb N} $与$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ \hat{V}_n(\xi) = \exp{\int_{\xi_n}^{\xi+\xi_n}(V'_n(s)/V_n(s)){\rm d}s} $与$ |V'_n(\xi)/V_n(\xi)|\leq L $成立, 由此推出, 对任意的紧集$ {\cal B}\subseteq{{\Bbb R}} $, $ \sup_{n\in{\Bbb N}}||\hat{V}_n(\cdot)||_{L^{\infty}({\cal B})}<+\infty $. 从而, 函数列$ \hat{V}'_n(\xi) = \frac{V'_n(\xi+\xi_n)}{V_n(\xi_n)} = \frac{V'_n(\xi+\xi_n)}{V_n(\xi+\xi_n)}\cdot\hat{V}_n(\xi) $在$ L^{\infty}({\cal B}) $中是有界的. 注意到$ (\tilde{U}_n(\cdot), \hat{V}_n(\cdot)) $满足

(2.12) $ \begin{equation} c_n\hat{V}'_n(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(\hat{V}_n(\xi-x)-\hat{V}_n(\xi)\right){\rm d}x +r\hat{V}_n(\xi)\left(1-\frac{V_n(\xi_n)\hat{V}_n(\xi)}{\tilde{U}_n(\xi)}\right). \end{equation} $

对式(2.12)求导, 又可得对任意的紧集$ {\cal B}\subseteq{{\Bbb R}} $, $ { }\sup_{n\in{\Bbb N}}||\tilde{V}''_n(\cdot)||_{L^{\infty}({\cal B})}<+\infty $. 因此, 根据Arzela-Ascoli定理, 抽取子函数列, 存在函数$ \hat{V}_{\infty}(\xi) $, 在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, $ \hat{V}_n(\cdot)\rightarrow \hat{V}_{\infty}(\cdot) $, 并满足

(2.13) $ \begin{equation} c_{\infty}\hat{V}'_{\infty}(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(\hat{V}_{\infty}(\xi-x) -\hat{V}_{\infty}(\xi)\right){\rm d}x+r\hat{V}_{\infty}(\xi). \end{equation} $

现在, 断言: 对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ \hat{V}_{\infty}(\xi)>0 $. 倘若不然, 存在某个$ \xi^0\in{{\Bbb R}} $使得$ \hat{V}_{\infty}(\xi^0) = 0 $. 则, $ \hat{V}'_{\infty}(\xi^0) = 0 $. 根据式(2.13), 有$ \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\hat{V}_{\infty}(\xi^0-x){\rm d}x = 0 $, 这意味着在$ {{\Bbb R}} $中, $ \hat{V}_{\infty}(\cdot)\equiv 0 $. 注意到$ \hat{V}_{\infty}(0) = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\hat{V}_n(0) = 1 $, 这是一个矛盾. 于是, 断言成立.

令$ Z(\xi) = \hat{V}'_{\infty}(\xi)/\hat{V}_{\infty}(\xi) $, 根据式(2.13), 得

(2.14) $ \begin{equation} c_{\infty}Z(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)e^{-\int_{\xi-x}^\xi Z(s){\rm d}s}{\rm d}x-d_2+r. \end{equation} $

又由文献[15, 命题3.7]知$ \lim\limits_{\xi\rightarrow \pm\infty}Z(\xi) $存在并满足方程$ c_{\infty}\lambda = d_2\int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)e^{-\lambda x}{\rm d}x-d_2+r $. 由文献[2, 引理2.1]知, 当$ c_{\infty}\geq\underline{c}\geq c^* $时, 这个方程的根是正的. 因此, $ \lim\limits_{\xi\rightarrow \pm\infty}Z(\xi)>0 $. 由于$ Z(0) = \hat{V}'_{\infty}(0)/\hat{V}_{\infty}(0) = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty} V'_n(\xi_n) / V_n(\xi_n) \leq 0 $, 故连续函数$ Z(\cdot) $在$ {{\Bbb R}} $中有最小值$ Z(\xi^*) = Z_{\min} $. 对方程(2.14)求导, 得

$ \begin{eqnarray*} c_{\infty}Z'(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)e^{-\int_{\xi-x}^{\xi}Z(s){\rm d}s}\left(Z(\xi-x)-Z(\xi)\right){\rm d}x. \end{eqnarray*} $

于是$ Z(\xi)\equiv Z(\xi^*) $. 因此, $ \lim\limits_{\xi\rightarrow \pm\infty}Z(\xi) = Z(\xi^*)\leq Z(0)\leq 0 $, 这是一个矛盾. 引理2.3得证.

这一部分, 我们主要研究当$ c>c^* $时, 系统(1.3)–(1.4)经典解的存在性.

当$ c>c^* $时定理1.1的证明   由文献[2, 定理3.2]知: 为证当$ c>c^* $时的定理1.1, 我们只需证明$ { }\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U(\xi)<1 $及$ { }\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V(\xi)>0 $. 根据引理2.1与引理2.3, 可知$ { }\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V(\xi)>0 $. 现在断言$ { }\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U(\xi)<1 $. 倘若不然, 则存在满足$ \xi_n\rightarrow +\infty $的序列$ \{\xi_n\}_{n = 1}^{+\infty} $, 使得当$ n\rightarrow +\infty $时, $ U(\xi_n)\rightarrow 1 $. 考虑函数列$ U_n(\xi) = U(\xi+\xi_n) $与$ V_n(\xi) = V(\xi+\xi_n) $. 因为$ ||U_n(\cdot)||_{C^2({{\Bbb R}} )} $与$ ||V_n(\cdot)||_{C^2({{\Bbb R}} )} $是一致有界的, 抽取子函数列, 不妨假设当$ n\rightarrow +\infty $时, 在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, $ U_n(\cdot)\rightarrow U_{\infty}(\cdot) $与$ V_n(\cdot)\rightarrow V_{\infty}(\cdot) $成立. 从而, 对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ U_{\infty}(\cdot) $满足$ cU'_{\infty}(\xi) = d_1{\cal D}[U_{\infty}](\xi)+U_{\infty}(\xi)(1-U_{\infty}(\xi))-\beta U_{\infty}(\xi)V_{\infty}(\xi) $与$ 1-\beta\leq U_{\infty}(\xi)\leq 1 $. 此外, 由于$ \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V(\xi)>0 $, 则$ 0<V_{\infty}(\xi)\leq 1 $. 另一方面, $ U_{\infty}(0) = \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}U(\xi_n) = 1 $, 于是$ U^\prime_{\infty}(0) = 0 $. 因此, $ 0 = {d_1}{\cal D}[U_{\infty}](0)-\beta U_{\infty}(0)V_{\infty}(0)\leq -\beta V_{\infty}(0) $. 这与$ V_{\infty}(0)>0 $矛盾, 故断言成立.

这一部分, 我们利用逼近方法证明当$ c = c^* $时, 系统(1.1)–(1.2)的行波解的存在性. 选取严格单调递减数列$ \left\{c_n\right\}_{n = 1}^{+\infty}\subseteq\left(c^*, c^*+1\right) $, 使得$ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}c_n = c^* $. 对任意的$ n $, 设$ \left(c_n, U_n, V_n\right) $是系统(1.3)–(1.4)满足渐近边界条件(1.7)的非负有界经典解.

在证明当$ c = c^* $时的定理1.1之前, 我们给出以下引理, 这是基本的, 但为了方便读者, 我们在这给出证明.

引理2.4  假设$ f $和$ g $在$ {{\Bbb R}} $上可微并满足

(2.15) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x) = +\infty, \end{equation} $

又假设存在常数$ M>0 $, 使得

(2.16) $ \begin{equation} g(x)>0, \ \ \mbox{与}\ \ g'(x)>0, \ \ x\in U_M(+\infty), \end{equation} $

则有

(2.17) $ \begin{equation} \liminf\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\leq \liminf\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\leq \limsup\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} \leq \limsup\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{equation} $

证  设$ M'\in(M, +\infty) $, 令

$ \begin{eqnarray*} \alpha = \inf\limits_{x\in U_{M'}(+\infty)}\frac{f'(x)}{g'(x)}, \ \beta = \sup\limits_{x\in U_{M'}(+\infty)}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \end{eqnarray*} $

根据式(2.16), 得

(2.18) $ \begin{equation} \alpha g'(\tau)\leq f'(\tau)\leq \beta g'(\tau), \ \ \tau\in U_{M'}(+\infty). \end{equation} $

然后, 将式(2.18)从$ u $到$ x(x>u) $积分, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} \alpha g(x)-\alpha g(u)\leq f(x)-f(u)\leq \beta g(x)-\beta g(u), \ \ x, u\in U_{M'}(+\infty). \end{eqnarray*} $

两边同时除以$ g(x) $并令$ x\rightarrow +\infty $, 由式(2.15), 得

$ \begin{eqnarray*} \alpha\leq \liminf\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\leq \limsup\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} \leq \beta. \end{eqnarray*} $

进一步, 令$ M'\rightarrow +\infty $, 有

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim\limits_{M'\rightarrow +\infty}\alpha\leq \liminf\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\leq \limsup\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\leq\lim\limits_{M'\rightarrow +\infty}\beta = \limsup\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}, \end{eqnarray*} $

于是得到我们的结论.

当$ c = c^* $时定理1.1的证明   对于引理2.3中的$ \sigma>0 $, 我们可以选取$ \sigma>0 $足够小, 使得$ 0<\sigma<\frac{1}{1+\beta} $. 因为$ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V_n(\xi) = 0 $与$ \lim\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_n(\xi) = \frac{1}{1+\beta} $, 所以存在$ \xi_n\in{{\Bbb R}} $, 使得对每个$ n $, $ V_n(\xi_n) = \sigma $. 令$ \breve{U}_n(\xi) = U_n(\xi+\xi_n), \ \breve{V}_n(\xi) = V_n(\xi+\xi_n) $. 则$ ||\breve{U}_n(\cdot)||_{C^2({{\Bbb R}} )} $与$ ||\breve{V}_n(\cdot)||_{C^2({{\Bbb R}} )} $在$ {{\Bbb R}} $中是一致有界的. 因此, 利用Arzela-Ascoli定理, 存在$ (U_*(\cdot), V_*(\cdot))\in C^1({{\Bbb R}} )\times C^1({{\Bbb R}} ) $, 使得当$ n\rightarrow +\infty $时, 在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, 有$ \breve{U}_n(\cdot)\rightarrow U_*(\cdot) $及$ \breve{V}_n(\cdot)\rightarrow V_*(\cdot) $. 同时, $ (U_*(\cdot), V_*(\cdot)) $满足

(2.19) $ \begin{equation} c^*U'_*(\xi) = d_1 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(U_*(\xi-x)-U_*(\xi)\right){\rm d}x+U_*(\xi)(1-U_*(\xi))-\beta U_*(\xi)V_*(\xi), \end{equation} $

(2.20) $ \begin{equation} c^*V'_*(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left(V_*(\xi-x)-V_*(\xi)\right){\rm d}x+rV_*(\xi)\left(1-\frac{V_*(\xi)}{U_*(\xi)}\right). \end{equation} $

进一步, 在$ {{\Bbb R}} $中, $ 1-\beta\leq U_*(\cdot)\leq 1, \ 0\leq V_*(\cdot)\leq 1 $, 并且$ V_*(0) = \sigma $.

下面, 我们将该定理的证明分为三个步骤.

步骤一  在$ {{\Bbb R}} $上, $ 1-\beta<U_*(\cdot)<1 $且$ 0<V_*(\cdot)<1 $.

假设存在$ \xi^* $, 使得$ V_*(\xi^*) = 0 $. 则, $ V'_*(\xi^*) = 0 $. 根据式(2.20)得

$ \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)\left(V_*(\xi^*-x)-V_*(\xi^*)\right){\rm d}x = 0. $

因此, $ V_*(\xi)\equiv V_*(\xi^*) = 0 $. 这与$ V_*(0) = \sigma>0 $矛盾. 从而, 在$ {{\Bbb R}} $上, $ V_*(\cdot)>0 $. 如引理2.1类似可证, 在$ {{\Bbb R}} $上, $ 1-\beta<U_*(\cdot)<1 $且$ V_*(\cdot)<1 $.

步骤二  当$ \xi\rightarrow -\infty $时, $ U_*(\cdot) $与$ V_*(\cdot) $的渐近行为.

由于$ V_*(0) = \sigma $, 引理2.3蕴含着, 在$ (-\infty, 0] $上, $ V'_*(\cdot)>0 $. 因此, 极限$ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V_*(\xi) $存在, 且$ v^*: = \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V_*(\xi) $. 由此得$ v^*\in[0, \sigma) $. 若$ v^*>0 $, 对任意的满足当$ n\rightarrow +\infty $时$ \xi_n\rightarrow -\infty $的数列$ \{\xi_n\} $, 令$ (U_*)_n(\xi) = U_*(\xi+\xi_n) $和$ (V_*)_n(\xi) = V_*(\xi+\xi_n) $. 抽取子函数列, 我们有$ (V_*)_n(\cdot)\rightarrow v^* $, 并且存在某个函数$ (U_*)_{\infty}(\cdot)\in C^1({{\Bbb R}} ) $, 使得在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下有$ (U_*)_n(\cdot)\rightarrow (U_*)_{\infty}(\cdot) $. 此外, $ (U_*)_{\infty}(\cdot) $满足$ 0 = rv^*(1-v^*/(U_*)_{\infty}(\xi)) $, 这说明$ (U_*)_{\infty}(\xi) = v^* $. 类似可得$ (U_*)_{\infty}(\xi)(1-(U_*)_{\infty}(\xi))-\beta(U_*)_{\infty}(\xi)v^* = 0 $, 即$ v^* = \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V_*(\xi) = 1/(1+\beta)<\sigma $, 这是一个矛盾. 因此, $ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V_*(\xi) = 0 $.

现在我们对趋于$ -\infty $的序列$ \{\xi^*_n\}_{n = 1}^{+\infty} $, 定义函数$ (\tilde{U}_*)_n(\xi) = U_*(\xi+\xi^*_n) $与$ (\tilde{V}_*)_n(\xi) = V_*(\xi+\xi^*_n) $. 抽取子函数列, 在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, $ (\tilde{U}_*)_n(\cdot) $与$ (\tilde{V}_*)_n(\cdot) $分别收敛于函数$ (\tilde{V}_*)_{\infty}(\cdot)\equiv 0 $与$ (\tilde{U}_*)_{\infty}(\cdot) $, 并使得对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, 有

(2.21) $ \begin{equation} c^*(\tilde{U}_*)^{\prime}_{\infty}(\xi) = d_1 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)\left((\tilde{U}_*)_{\infty}(\xi-x) -(\tilde{U}_*)_{\infty}(\xi)\right){\rm d}x+(\tilde{U}_*)_{\infty}(\xi)(1-(\tilde{U}_*)_{\infty}(\xi)). \end{equation} $

令$ { } U_{\inf} = \inf_{\xi\in{{\Bbb R}} }(\tilde{U}_*)_{\infty}(\xi) $, 选取序列$ \{\zeta_n\}_{n = 1}^{+\infty} $, 使得当$ n\rightarrow +\infty $时, $ (\tilde{U}_*)_{\infty}(\zeta_n)\rightarrow U_{\inf} $. 再令$ (\hat{U}_*)_n(\xi) = (\tilde{U}_*)_{\infty}(\xi+\zeta_n) $, 不失一般性, 假设在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, 当$ n\rightarrow +\infty $时, $ (\hat{U}_*)_n(\cdot)\rightarrow (\hat{U}_*)_{\infty}(\cdot) $, 其中$ (\hat{U}_*)_{\infty}(\cdot)\in C^1({{\Bbb R}} ) $满足$ c^*(\hat{U}_*)_{\infty}'(\xi) = {\cal D}[(\hat{U}_*)_{\infty}](\xi)+(\hat{U}_*)_{\infty}(\xi)(1-(\hat{U}_*)_{\infty}(\xi)) $. 注意到对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ 0<1-\beta\leq U_{\inf}\leq(\hat{U}_*)_{\infty}(\cdot)\leq 1 $. 根据$ (\hat{U}_*)_{\infty}(0) = U_{\inf} $, 得$ U_{\inf}(1-U_{\inf}) = -{\cal D}[(\hat{U}_*)_{\infty}](0)\leq 0 $, 这蕴含着$ U_{\inf}\geq 1 $. 于是, 可以推断出对任意的$ \xi\in{{\Bbb R}} $, $ (\tilde{U}_*)_{\infty}(\cdot)\equiv 1 $. 因为这个极限不依赖于序列$ \{\xi^*_n\}_{n = 1}^{+\infty} $, 所以$ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}U_*(\xi) = 1 $. 最后, 根据式(2.20), 得到

$ \begin{eqnarray*} c^*\frac{V'_*(\xi)}{V_*(\xi)} = d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)e^{-\int_{\xi-x}^{\xi}\frac{V'_*(s)}{V_*(s)}{\rm d}s}{\rm d}x-d_2+r\left(1-\frac{V_*(\xi)}{U_*(\xi)}\right). \end{eqnarray*} $

因为$ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}U_*(\xi) = 1 $和$ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V_*(\xi) = 0 $, 由文献[15, 命题3.7]得$ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V'_*(\xi)/V_*(\xi) $$ = \nu_* $, 其中$ \nu_* $满足$ c^*\nu_* = d_2\int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(x)e^{-\nu_* x}{\rm d}x-d_2+r $. 根据文献[2, 引理2.1], $ \nu_* = \lambda^* $, 这蕴含着$ \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}\frac{V'_*(\xi)}{V_*(\xi)} = \lambda^* $.

步骤三  当$ \xi\rightarrow +\infty $时, $ U_*(\cdot) $与$ V_*(\cdot) $的渐近行为.

根据引理2.3以及在$ {{\Bbb R}} $上, $ V_*(\cdot)>0 $, 可得$ \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)>0 $. 类似当$ c>c^* $时定理1.1的证明, 可得$ \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)<1 $. 因此, 根据步骤一, 存在$ \delta_0\in(0, \delta) $, 使得

$ \begin{eqnarray*} 0<1-\beta\leq\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)\leq\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)<1\ \ \mbox{与}\ \ 0<\delta_0\leq\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)<1. \end{eqnarray*} $

我们在区间$ [0, 1] $上定义如下四个函数:

$ \underline{U}(\tau) = \frac{\tau}{1+\beta}, \ \ \ \ \ \ \overline{U}(\tau) = \frac{1}{\beta+1}+\frac{(1-\tau)(\beta+\eta-\eta^2)}{(1-\eta)(1+\beta)}, $

$ \underline{V}(\tau) = \frac{\tau-\eta}{(1+\beta)(1-\eta)}, \ \ \overline{V}(\tau) = \frac{1}{\beta+1}+\frac{(1-\eta)(1-\tau)}{(1+\beta)\beta}, $

其中$ \eta<1-\beta $是一个充分小的正常数使得

(2.22) $ \begin{equation} \eta^2-\frac{2+\beta}{1+\beta}\eta+1-\beta>0. \end{equation} $

选取正常数

$ \begin{eqnarray*} \tau^*\in\left(\eta, \min\left\{\frac{\eta(\beta+1-\eta)}{\beta+\eta-\eta^2}, \eta+\delta_0(1+\beta)(1-\eta), \frac{1-\eta-\beta^2}{1-\eta}\right\}\right), \end{eqnarray*} $

使得

(2.23) $ \begin{equation} 0<\underline{U}(\tau^*)<1-\beta<1<\overline{U}(\tau^*), \ \ 0<\underline{V}(\tau^*)<\delta_0<1<\overline{V}(\tau^*). \end{equation} $

令

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{\tau} = \sup\left\{\tau\in(\eta, 1)\left| \begin{array}{l} \underline{U}(\tau)<\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)\leq\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)<\overline{U}(\tau) \\ \underline{V}(\tau)<\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)<\overline{V}(\tau) \end{array} \right.\right\}. \end{eqnarray*} $

显然, 由式(2.23), $ \widetilde{\tau}\geq\tau^* $. 注意到

$ \begin{eqnarray*} \underline{U}(1) = \overline{U}(1) = \underline{V}(1) = \overline{V}(1) = \frac{1}{1+\beta}, \end{eqnarray*} $

并且在$ [0, 1] $上, $ \underline{U}(\cdot) $与$ \underline{V}(\cdot) $是单调递增的, 同时$ \overline{U}(\cdot) $与$ \overline{V}(\cdot) $是单调递减的. 因此, 证明式(1.7)只需证明$ \widetilde{\tau} = 1 $. 利用反证法, 我们可以假设$ \widetilde{\tau}\in[\tau^*, 1) $使得

$ \begin{eqnarray*} \underline{U}(\widetilde{\tau})\leq\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)\leq\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)\leq\overline{U}(\widetilde{\tau}) \ \mbox{且}\ \underline{V}(\widetilde{\tau})\leq\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq\overline{V}(\widetilde{\tau}). \end{eqnarray*} $

进一步, 有如下四种情形:

$ \rm (i) $$ \underline{U}(\widetilde{\tau}) = \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi) $;

$ \rm (ii) $$ \overline{U}(\widetilde{\tau}) = \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi) $;

$ \rm (iii) $$ \underline{V}(\widetilde{\tau}) = \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi) $;

$ \rm (iv) $$ \overline{V}(\widetilde{\tau}) = \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi) $.

如果情形(i)发生, 则系统(2.19)–(2.20)可以改写为

(2.24) $ \begin{equation} U^\prime_*(\xi) + L U_*(\xi) = \frac{d_1}{c^*} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)U_*(\xi-x){\rm d}x + H (U_*(\xi), V_*(\xi)), \end{equation} $

(2.25) $ \begin{equation} V^\prime_*(\xi) + L V_*(\xi) = \frac{d_2}{c^*} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)V_*(\xi - x) {{\rm{d}}} x + G(U_*(\xi), V_*(\xi) ), \end{equation} $

其中$ H (u, v) = \left(L-\frac{d_1}{c^*} \right) u+ \frac{1}{c^*} u(1-u- \beta v), G = \left( L - \frac{d_2}{c^*} \right)u + \frac{r v}{c^*} \left( 1- \frac{v}{u} \right) $并且常数$ L> 0 $充分大足以保证对于$ u \in [1-\beta, 1] $与$ v\in [0, 1] $, $ H (u, v) $关于$ u $是单调递增的关于$ v $是单调递减的, 同时$ G(u, v) $关于$ u $与$ v $是单调递增的. 在步骤二中已知$ \lim\limits_{\xi \to -\infty} ( U_*(\xi), V_*(\xi) ) = (1, 0) $, 于是

(2.26) $ \begin{equation} U_*(\xi ) = \int_{-\infty}^{\xi} {{\rm{e}}}^{-L(\xi - s )} \left[ \frac{d_1}{c^*}{\cal K}*U_*(s) + H(U_*(s), V_*(s)) \right] {{\rm{d}}} s, \end{equation} $

(2.27) $ \begin{equation} V_*(\xi ) = \int_{-\infty}^{\xi} {{\rm{e}}}^{-L(\xi - s )} \left[ \frac{d_2}{c^*}{\cal K}*V_*(s) + G(U_*(s), V_*(s)) \right] {{\rm{d}}} s, \end{equation} $

令$ \xi\rightarrow +\infty $, 在式(2.26)两边同时取下极限, 利用引理2.4, 得

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi) & = & \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{\xi} {{\rm{e}}}^{-L(\xi - s )} \left[ \frac{d_1}{c^*}{\cal K}*U_*(s) + H(U_*(s), V_*(s)) \right] {{\rm{d}}} s\\ &{\geq} & \frac{1}{L} \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\left[ \frac{d_1}{c^*} {\cal K}*U_*(\xi) + H(U_*(\xi), V_*(\xi) ) \right] \\ & \geq & \frac{1}{L} \left[ \frac{d_1}{c^*}\liminf\limits_{\xi \to +\infty}U_*(\xi) + H( \liminf\limits_{\xi \to +\infty}U_*(\xi), \limsup\limits_{\xi \to +\infty}V_*(\xi) ) \right]. \end{eqnarray*} $

根据函数$ H $的定义, 上述不等式说明

$ \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)+\beta \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\geq 1. $

因此, 由$ \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq\overline{V}(\widetilde{\tau}) $推断出

$ 1\leq\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)+\beta \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi) = \underline{U}(\widetilde{\tau})+\beta \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq\frac{\widetilde{\tau}+\beta+(1-\eta)(1-\widetilde{\tau})}{1+\beta}<1. $

这个矛盾说明情形(i)不会发生.

接下来假设情形(ii)发生. 令$ \xi\rightarrow +\infty $, 在式(2.26)两边同时取上极限, 利用引理2.4推出

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty} U_*(\xi) & = & \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{\xi} {{\rm{e}}}^{-L(\xi - s )} \left[ \frac{d_1}{c^*}{\cal K}*U_*(s) + H(U_*(s), V_*(s)) \right] {{\rm{d}}} s\\ & {\leq} & \frac{1}{L} \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\left[ \frac{d_1}{c^*} {\cal K}*U_*(\xi) + H(U_*(\xi), V_*(\xi) ) \right] \\ &\leq & \frac{1}{L} \left[ \frac{d_1}{c^*}\limsup\limits_{\xi \to +\infty}U_*(\xi) + H( \limsup\limits_{\xi \to +\infty}U_*(\xi), \liminf\limits_{\xi \to +\infty}V_*(\xi) ) \right]. \end{eqnarray*} $

根据$ H $的定义和上述不等式, 有

$ \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)+\beta \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq 1. $

另一方面, 利用函数$ \underline{V}(\xi) $的单调性, 有

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)+\beta \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi) \geq\frac{1}{1+\beta}+\frac{(1-\widetilde{\tau})(\beta+\eta-\eta^2)}{(1-\eta)(1+\beta)}+\frac{\beta(\widetilde{\tau}-\eta)}{(1+\beta)(1-\eta)}>1. \end{eqnarray*} $

我们得到一个矛盾. 因此, 情形(ii)不会发生.

现在假设情形(iii)发生. 当$ \xi\rightarrow +\infty $时, 对式(2.27)两边同时取下极限, 根据引理2.4得

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi) & = & \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{\xi} {{\rm{e}}}^{-L(\xi - s )} \left[ \frac{d_1}{c^*}{\cal K}*V_*(s) + G(U_*(s), V_*(s)) \right] {{\rm{d}}} s\\ & {\geq} & \frac{1}{L} \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\left[ \frac{d_1}{c^*} {\cal K}*V_*(\xi) + G(U_*(\xi), V_*(\xi) ) \right] \\ & \geq & \frac{1}{L} \left[ \frac{d_1}{c^*}\liminf\limits_{\xi \to +\infty}V_*(\xi) + G( \liminf\limits_{\xi \to +\infty}U_*(\xi), \liminf\limits_{\xi \to +\infty}V_*(\xi) ) \right], \end{eqnarray*} $

从而

(2.28) $ \begin{equation} \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)-\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq 0. \end{equation} $

利用事实$ \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)\geq \underline{U}(\widetilde{\tau}) $, 我们推断出

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)-\liminf\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\geq\frac{\widetilde{\tau}}{1+\beta}-\frac{\widetilde{\tau}-\eta}{(1+\beta)(1-\eta)} = \frac{\eta(1-\widetilde{\tau})}{(1+\beta)(1-\eta)}>0, \end{eqnarray*} $

这与式(2.28)矛盾. 因此, 情形(iii)不会发生.

最后假设情形(iv)发生. 根据式(2.27)得

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi) & = & \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty} \int_{-\infty}^{\xi} {{\rm{e}}}^{-L(\xi - s )} \left[ \frac{d_1}{c^*}{\cal K}*V_*(s) + G(U_*(s), V_*(s)) \right] {{\rm{d}}} s\\ & {\leq} & \frac{1}{L} \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}\left[ \frac{d_1}{c^*} {\cal K}*V_*(\xi) + G(U_*(\xi), V_*(\xi) ) \right] \\ &\leq & \frac{1}{L} \left[ \frac{d_1}{c^*}\limsup\limits_{\xi \to +\infty}V_*(\xi) + G( \limsup\limits_{\xi \to +\infty}U_*(\xi), \limsup\limits_{\xi \to +\infty}V_*(\xi) ) \right], \end{eqnarray*} $

这意味着

$ \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)-\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\geq 0. $

由$ \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)\leq\overline{U}(\widetilde{\tau}) $与式(2.22), 我们得到

$ \limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}U_*(\xi)-\limsup\limits_{\xi\rightarrow +\infty}V_*(\xi)\leq\overline{U}(\widetilde{\tau})-\overline{V}(\widetilde{\tau}) = -\frac{(1-\widetilde{\tau})[(1+\beta)\eta^2-(\beta+2)\eta+1-\beta^2]}{(1-\eta)(1+\beta)\beta}<0. $

这个矛盾说明情形(iv)不会发生.

综上, 定理1.1得证.

这一部分将建立系统(1.1)–(1.2)的行波解的不存在性, 我们将其分为两种情形: 其一是$ 0<c<c^* $, 其二是$ c<0 $.

情形一  $ 0<c<c^* $

利用反证法, 假设存在常数$ c_0\in(0, c^*) $使得系统(1.3)–(1.4)有一个满足渐近边界条件(1.7)的正解$ (U(\xi), V(\xi)) $. 则存在正常数$ \hat{H} $, 使得$ v(x, t) = V(x+c_0 t) $满足

$ \frac{\partial v(x, t)}{\partial t}\geq d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(y)v(x-y, t){\rm d}y-d_2v(x, t)+rv(x, t)(1-\hat{H}v(x, t)), \ \ v(x, 0) = V(x)>0. $

由文献[4, 定理2.3]知$ v(x, t) $是方程

$ \frac{\partial w(x, t)}{\partial t} = d_2 \int_{-\infty}^{\infty}{\cal K}(y)w(x-y, t){\rm d}y-d_2w(x, t) +rw(x, t)(1-\hat{H}w(x, t)), $

$ w(x, 0) = V(x)>0 $的一个上解. 因此, 对任意的$ x\in{{\Bbb R}} $与$ t>0 $, $ v(x, t)\geq w(x, t) $. 令$ x(t) = -\frac{c_0+c^*}{2}t $. 显然, $ |x(t)| = \frac{c_0+c^*}{2}|t|<c^* t $. 于是, 根据渐近传播速度理论(参见文献[6, 定理2.17])得

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{t\rightarrow +\infty}\inf\limits_{|x| = \frac{c_0+c^*}{2}t}v(x, t)\geq\liminf\limits_{t\rightarrow +\infty} \inf\limits_{|x| = \frac{c_0+c^*}{2}t}w(x, t) = \frac{1}{\hat{H}}>0. \end{eqnarray*} $

另一方面, 当$ t\rightarrow +\infty $时, $ \xi = x(t)+c_0 t = \frac{c_0-c^*}{2}t\rightarrow -\infty $. 因此

$ \limsup\limits_{t\rightarrow +\infty}v(x(t), t) = \lim\limits_{\xi\rightarrow -\infty}V(\xi) = 0, $

这产生了矛盾. 定理1.2的情形$ 0<c<c^* $得证.

情形二  $ c<0 $

定义$ \phi(\xi) = U(-\xi), \ \psi(\xi) = V(-\xi) $. 则, $ (\phi(+\infty), \psi(+\infty)) = (1, 0) $, 并且存在某个正常数$ Q $, 使得$ \psi(\cdot) $满足

$ \begin{eqnarray*} \psi'(\xi)\geq\frac{d_2}{|c|} \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)\psi(\xi-x){\rm d}x-\frac{d_2+r(Q-1)}{|c|}\psi(\xi). \end{eqnarray*} $

再次利用引理2.2, 推出$ \psi'(\xi)/\psi(\xi) $在$ {{\Bbb R}} $上有界. 因为在$ {{\Bbb R}} $上$ \psi(\cdot)>0 $, 并且$ \psi(+\infty) = 0 $, 我们可以选取一个满足当$ n\rightarrow +\infty $时$ \gamma_n\rightarrow +\infty $的数列$ \{\gamma_n\}_{n = 1}^{+\infty} $使得$ \psi'(\gamma_n)\leq 0 $. 令$ \phi_n(\xi) = \phi(\xi+\gamma_n), \ \psi_n(\xi) = \psi(\xi+\gamma_n)/\psi(\gamma_n) $. 利用Arzela-Ascoli定理, 存在某个正函数$ \psi_{\infty}\in C^1({{\Bbb R}} ) $, 在$ C^1_{loc}({{\Bbb R}} ) $拓扑意义下, $ \psi_n(\xi)\rightarrow \psi_{\infty}(\xi) $. 不难得到$ \psi_{\infty}(0) = 1 $以及$ \psi'_{\infty}(0)\leq 0 $. 定义$ \hat{Z}(\xi) = \psi'_{\infty}(\xi)/\psi_{\infty}(\xi) $. 则$ \hat{Z}(\xi) $满足

(3.1) $ \begin{equation} |c|\hat{Z}(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)e^{-\int_{\xi-x}^{\xi}\hat{Z}(s){\rm d}s}{\rm d}x-d_2+r. \end{equation} $

根据文献[15, 命题3.7]知$ \hat{Z}(\pm\infty) $存在并满足

$ \begin{eqnarray*} |c|\hat{Z}(\pm\infty) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)e^{-\hat{Z}(\pm\infty)x}{\rm d}x-d_2+r. \end{eqnarray*} $

我们只需考虑情形$ c<-c^* $, 此时, $ \hat{Z}(\pm\infty)>0 $. 对方程(3.1)求导, 得

(3.2) $ \begin{equation} |c|\hat{Z}'(\xi) = d_2 \int_{-\infty}^{\infty} {\cal K}(x)e^{-\int_{\xi-x}^{\xi}\hat{Z}(s){\rm d}s}\left(\hat{Z}(\xi-x)-\hat{Z}(\xi)\right){\rm d}x. \end{equation} $

如果$ \hat{Z}(\xi) $在$ {{\Bbb R}} $上有最小值$ \hat{Z}(\hat{\xi}_0) $, 则$ \hat{Z}(\xi)\equiv\hat{Z}(\hat{\xi}_0) $. 因此,

$ { } \inf\limits_{\xi\in{{\Bbb R}} } \hat{Z}(\xi)\geq\min\{\hat{Z}(+\infty), \hat{Z}(-\infty)\} > 0. $

特别有, $ \psi'_{\infty}(0)>0 $. 这与$ \psi'_{\infty}(0)\leq 0 $矛盾. 从而定理1.2得证.