数学物理学报, 2021, 41(6): 1684-1704 doi:

论文

具有时变时滞和速度相关材料密度的非线性粘弹性方程的整体存在性和一般衰减性

张再云,1, 刘振海2, 邓又军3

1 湖南理工学院数学学院 湖南岳阳 414006

2 广西民族大学理学院 南宁 530006

3 中南大学数学与统计学院 长沙 410083

Global Existence and General Decay for a Nonlinear Viscoelastic Equation with Time-Varying Delay and Velocity-Dependent Material Density

Zhang Zaiyun,1, Liu Zhenhai2, Deng Youjun3

1 School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Hunan Yueyang 414006

2 College of Science, Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006

3 School of Mathematics and Statistics, Central South University, Changsha 410083

通讯作者: 张再云, zhangzaiyun1226@126.com

收稿日期: 2020-08-6  

基金资助: 国家自然科学基金.  12071413
国家自然科学基金.  11971487
the European Union's Horizon 2020 Research and Innovation Programme under the Marie Sklodowska-Curie.  823731CONMECH
长沙理工大学数学模型与分析重点实验室项目.  2018MMAEZD05
湖南省教育厅科学研究项目.  18A325
广西自科基金.  2018GXNSFDA138002
湖南自科基金.  2021JJ30297
湖南自科基金.  2020JJ2038
湖南理工学院科研创新团队项目.  2019-TD-15
海南省计算与应用重点实验室开放基金.  JSKX201905

Received: 2020-08-6  

Fund supported: the NSFC.  12071413
the NSFC.  11971487
the European Union's Horizon 2020 Research and Innovation Programme under the Marie Sklodowska-Curie.  823731CONMECH
the Hunan Provincial Key Laboratory of Mathematical Modeling and Analysis in Engineering of Changsha University of Science and Technology Grant.  2018MMAEZD05
the Scientific Research Fund of Hunan Provincial Education Department.  18A325
the NSF of Guangxi.  2018GXNSFDA138002
the NSF of Hunan Province.  2021JJ30297
the NSF of Hunan Province.  2020JJ2038
the Research and Innovation Team of Hunan Institute of Science and Technology.  2019-TD-15
the Open Project of Hainan Key Laboratory of Computing Science and Application.  JSKX201905

Abstract

In this paper, we investigate a nonlinear viscoelastic equation with a time-varying delay effect and velocity-dependent material density. Under suitable assumptions on the relaxation function and time-varying delay effect, we prove the global existence of weak solutions and general decay of the energy by using Faedo-Galerkin method and the perturbed energy method respectively. This result improves earlier ones in the literature, such as Refs.[1, 48-50].

Keywords: Global existence ; Nonlinear viscoelastic equation ; General decay ; Time-varying delay ; Velocity-dependent material density ; Perturbed energy method

PDF (482KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

张再云, 刘振海, 邓又军. 具有时变时滞和速度相关材料密度的非线性粘弹性方程的整体存在性和一般衰减性. 数学物理学报[J], 2021, 41(6): 1684-1704 doi:

Zhang Zaiyun, Liu Zhenhai, Deng Youjun. Global Existence and General Decay for a Nonlinear Viscoelastic Equation with Time-Varying Delay and Velocity-Dependent Material Density. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(6): 1684-1704 doi:

1 引言

本文研究了一类具有时变时滞效应和速度相关材料密度的非线性粘弹性方程

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } |u_t|^{\rho}u_{tt}-\Delta u +\int_{0}^{t}g(t-s) \Delta u(s) {\rm d}s+\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau(t)) = 0, x\in\Omega, t>0, \\ u(x, t) = 0, x\in\partial\Omega, t>0, \\ u(x, 0) = u_0(x), u_{t}(x, 0) = u_1(x) , x\in\Omega, \\ u_{t}(x, t-\tau(t)) = f_0(x, t), x\in\Omega, -\tau(0)\leq t\leq 0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中, $ \Omega $$ {{\Bbb R}} ^n(n\geq 1) $的有界域, 具有平滑边界$ \partial\Omega $$ C^2, $$ \mu_1, \mu_2 $为正实常数, $ \tau(t)>0 $表示时变效应, 初值$ u_0, u_1, f_0 $为属于适当空间的函数. $ \rho>0 $是实数, $ g(t) $是实数表示记忆项核心的正函数, 将在下文第2节中进一步说明.

该模型以粘弹性形式出现[1-3]. 如果速度无关的材料密度(即$ \rho = 0 $)以及存在$ \mu_2 = 0 $, 且无内存效应(即$ g = 0 $)的情况下, (1.1)式变为波动方程. 关于波动方程的全局存在性和一致稳定问题, 已有诸多文献研究[4-6]. 值得一提的是, 张等[4]研究了耗散项和边界阻尼非线性波动方程

而且, 利用Glerkin方法和乘子技巧证明了强解和弱解的存在性和一致衰减性. 后来, 张等[5]改进了文献[4]中的结果. 更确切地说, 他们研究了具有边界阻尼的耗散广义Klein-Gordon方程的全局存在性和一致稳定性

而且, 利用非线性半群方法、摄动能量法和乘子技巧证明了强弱的存在性和一致衰减性. 最近, Cavalcanti等[7]考虑了以下模型

其中, $ {\cal M} $是一个光滑的嵌入紧曲面. 如果在$ {{\Bbb R}} ^3 $中无边界, $ \Delta{{\cal M}} $是流形$ {\cal M} $上的Laplace-Beltrami算子, 他们得到了精确的和最佳的能量衰减率. 后来, Cavalcanti等人[8]将结果推广到$ n $维带边界的紧黎曼流形$ ({\cal M}, g) $, 利用下面两种方法: (i)任意缩小耗散效应(关于边界测度和内部测度阻尼是有效的); (ii)通过控制子集的存在在没有任何耗散机制的流形上, 即径向对称子集的精确部分. 类似的无边界紧黎曼流形的结果成立.

$ \rho = 0 $的情况下, 且无延迟效应(即$ \mu_2 = 0 $), 有大量的文献研究非线性粘弹性方程的存在性和衰减性. 在文献[9]中, Cavalcanti等人考虑了局部阻尼粘弹性波动方程的解

假定$ a(x)\geq a_0>0 $, 在$ \omega\subset\Omega $上, $ \omega $满足一定的几何约束和

他们证明了能量的指数衰减. Berrimi和Messaoudi[10]改进了Cavalcanti[9]的结果, 引入了一个微分泛函, 使得$ a(x) $$ g $的条件都变弱. 在文献[11]中, Cavalcanti等人研究了

$ \omega $的几何限制下, 且假设

他们建立了松弛的指数稳定性结果, 关于函数$ g $指数衰减、$ h $线性和多项式, $ g $衰减多项式和$ h $非线性的稳定性. 值得一提的是, 张等[12]研究了如下初边值问题

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } u_{tt} +Au +\int_{0}^{t}g(t-s)Au = 0 , \quad&(x, t)\in {\Omega\times(0, \infty)}, \\ u = 0 , \quad&(x, t)\in {\Gamma\times(0, \infty)}, \\ u(0) = u_{0}, u_{t}(0) = u_{1} , \end{array}\right. \end{equation} $

此外, 他们证明了(1.2)的解会一致衰减, 衰减率取决于内核$ g $衰变的速率. 更精确地说, 只要$ g $衰减指数至零, 解一致衰减为零. 当$ g $呈多项式衰减, 相应的解也会多项式衰减到零, 且衰减率相同. 其他相关研究, 见文献[13-22].

另一方面, 有较多文献研究了如下记忆非线性粘弹性方程

最近, Messaoudi和Tatar[25]研究了以下问题

Cavalcanti等[24]研究了一个与强阻尼相关的问题

通过引入一个新的泛函, 利用势阱方法, 建立了初值在适当稳定集上的全局存在性和一致衰减性. 假设$ 0<\rho\leq\frac{2}{n-2}, $$ n\geq 3 $$ \rho>0, $$ n = 1, 2 $$ g(t) $指数衰减, 且$ \gamma>0 $时他们建立了$ \gamma\geq 0 $的全局存在性结果及指数衰减. 后来, 当源项的存在与否, Messaoudi和Tatar[25]将上述结果推广到$ \gamma = 0 $的情形, 而且得到指数衰减和多项式衰减的结果. 受文献[26-28] 启发, 韩和王[29]研究了非线性粘弹性方程能量解的一般衰减

近年来, 具有时滞效应的偏微分方程的控制已成为一个活跃的研究领域, 见文献[30-31]. 延迟的存在可能是不稳定的根源. 例如, 在文献[32-36]中得到了证明, 除非使用了附加条件或控制项, 否则任意小的延迟可能会破坏系统的一致渐近稳定性. 在文献[34] 中, Nicaise和Pignotti研究了$ \rho = 0, $$ g\equiv 0, $$ \mu_1>0, $$ \mu_2>0 $$ \tau(t) = \tau $在混合齐次Dirichlet-Neumann边界条件下, 在边界的Neumann部分的几何条件下是常数延迟. 更准确地说, 他们研究了具有线性摩擦阻尼项和内部常数延迟系统

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}(x, t)-\Delta u(x, t) +\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau) = 0, &x\in\Omega, t>0, \\ u(x, t) = 0, & x\in\Gamma_0, t>0, \\ { } \frac{\partial u}{\partial \nu}(x, t) = 0, & x\in\Gamma_1, t>0 \end{array}\right. \end{equation} $

或者边界常数延迟

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}(x, t)-\Delta u(x, t) = 0, &x\in\Omega, t>0, \\ u(x, t) = 0, & x\in\Gamma_0, t>0, \\ { } \frac{\partial u}{\partial \nu}(x, t)+\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau) = 0, &x\in\Gamma_1, t>0. \end{array}\right. \end{equation} $

若延迟($ \mu_2>0 $)的情况下, Nicaise和Pignotti[32]研究了系统(1.3)和(1.4), 并在$ \mu_2<\mu_1 $的假设下证明了能量是指数稳定的. 否则, 他们构造了一系列延迟序列, 相应的解是不稳定的. 采用的主要方法是一个可观测性不等式和一个Carleman估计. 关于以更一般的抽象形式处理这些问题, 见文献[37], 关于边界时变延迟情况下的类似结果, 见文献[38]. 关于Xu等[38]的结果, 通过利用光谱分析方法证明了与文献[34]中关于一维空间的相同结果. 最近, Kirane和Said Houri[1]研究了当$ \rho = 0, $$ \mu_1>0, $$ \mu_2>0 $$ \tau(t)\equiv\tau $, 具有线性阻尼和延迟项的初始和Dirichlet边界波动方程(1.1)的常数延迟情形, 如下:

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } u_{tt}-\Delta u +\int_{0}^{t}g(t-s) \Delta u(s) {\rm d}s+\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau) = 0, &x\in\Omega, t>0, \\ u(x, t) = 0, & x\in\partial\Omega, t>0, \\ u(x, 0) = u_0(x), u_{t}(x, 0) = u_1(x) , &x\in\Omega, \\ u_{t}(x, t-\tau) = f_0(x, t-\tau), &x\in\Omega, t\in (0, \tau). \end{array}\right. \end{equation} $

在反馈中时滞项的权重与无时滞项的权重之间的假设下, 利用Faedo-Galerkin方法和能量估计, 证明了(1.5)的全局存在性. 同时, 通过建立合适的Lyapunov泛函, 证明了(1.5)的指数衰减. 最近, 当$ \rho = 0, $$ \tau = \tau(t) $(时变时滞)时, Zhang等[50]研究了一个具有内时变时滞和非线性耗散边界反馈的非线性粘弹性方程

在适当假设松弛函数和时变时滞效应以及非线性耗散边界反馈的条件下, 分别用Faedo-Galerkin方法和摄动能量方法证明了弱解的整体存在性和能量的渐近性. 这一结果改进了文献[1]中的结果. 此外, 我们对Kirane和Said Houari[1]提出公开问题给出了肯定的回答.

最近, 文献[39-45]研究了具有时变时滞的偏微分方程的稳定性. 在文献[41]中, Nicaise和Pignotti研究了具有内时变时滞反馈的波动方程的内阻尼稳定问题, 并通过引入适当的Lyapunov泛函, 在$ \mu_2 |<\sqrt{1-d}\mu_1 $的条件下建立了指数稳定性结果. 在文献[42]中, Nicaise等证明了在$ 0\leq\mu_2<\sqrt{1-d}\mu_1 $的条件下, 具有时变边界时滞的热和波动方程的指数稳定性, 其中$ d $是一个常数, 使得$ \tau'(t)\leq d<1 $.

本文研究具有时变时滞效应和速度相关材料密度的非线性粘弹性方程, 并利用Faedo-Galerkin方法证明了弱解的整体存在性. 同时, 基于松弛函数和时变时滞效应的假设, 利用新的能量泛函和摄动能量方法, 建立了一般的能量衰减, 包括指数衰减和多项式衰减.

本文结构如下: 在第二节中, 给出了一些假设并陈述了主要结果. 在第三节中, 给出了主要证明结果. 即: 利用Faedo-Galerkin方法证明整体存在性, 并用摄动能量方法建立一般的衰减结果(包括指数衰减和多项式衰减). 最后, 在第四节中, 对所讨论的问题作了进一步的评论.

2 一些假设和主要结果

在本节中, 将提出一些假设并陈述主要结果. 使用标准Hilbert空间$ L^2(\Omega) $和Sobolev空间$ H_0^1(\Omega) $以及它们通常的标量积和范数. 在本文中, $ C_i $始终表示正常数.

对于松弛函数$ g $, 假设

(G1)   $ g(t):(0, \infty)\rightarrow (0, \infty) $是一个非递增可微函数, 使得

(G2)   存在一个非递增可微函数$ \zeta(t) $, 使得

假设$ \rho $满足$ 0<\rho\leq \frac{2}{n-2} $, 若$ n\geq 3 $; $ \rho>0 $, 若$ n = 1, 2 $. 对于时变时滞, 假设存在正常数$ \tau_0, \overline{\tau} $, 使得

$ \begin{equation} 0<\tau_0\leq \tau(t)\leq \overline{\tau}, \forall t>0. \end{equation} $

而且, 假设延迟满足

$ \begin{equation} \tau'(t)\leq d<1, \forall t>0, \end{equation} $

使得

$ \begin{equation} \tau(t)\in W^{2, \infty}([0, T]), \forall T>0, \end{equation} $

$ \mu_1, \mu_2 $满足条件

$ \begin{equation} |\mu_2|<\sqrt{1-d}\mu_1. \end{equation} $

注2.1  给出了一个满足(G2)的函数的例子如下:

关于$ \sigma $$ \vartheta>0 $的恰当选择, 见文献[3].

注2.2  条件$ p<\frac{3}{2} $满足, 使得

本文的主要结果如下:

定理2.1   若条件(2.1)–(2.4)满足, $ g $满足(G2). 然后, 给定$ (u_0, u_1)\in H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega), $$ f_0\in L^2(\Omega\times(0, 1)) $$ T>0, $存在一个唯一的弱解$ u(x, t) $, 使得

此外, 若条件(2.1)–(2.4)满足, 且$ g $满足条件(G1)和(G2), 则存在两个正常数$ K, $$ k $, 对问题(1.1)的任何解的能量满足

$ \begin{equation} {\cal E}(t)\leq K e^{-kt}, p = 1, t\geq t_0, \end{equation} $

$ \begin{equation} {\cal E}(t)\leq K (1+t)^{-\frac{1}{p-1}}, p>1, t\geq t_0. \end{equation} $

3 主要结果的证明

在本节中, 证明分为两个步骤. 步骤1, 利用Faedo-Galerkin逼近方法[1, 3-4]证明弱解的整体存在性;步骤2, 引入新的能量泛函, 利用与摄动能量法[3-5, 12, 40, 52-53]证明能量的一般衰减性.

步骤1  弱解的整体存在性

$ \{\omega\}_{j}^{\infty} $为空间$ H_0^1(\Omega) $的正交基, 其中$ \omega_{j} $是如下问题的本征函数

$ W_n = Span\{\omega_{1}, \omega_{2}, \cdot\cdot\cdot, \omega_{n}\} $表示由基$ \{\omega\}_{j}^{\infty} $的前$ n $个向量生成的子空间. 然后, 构造近似解$ (u, z) $如下

$ \begin{equation} u_n(x, t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}g_{jn}(t)\omega_{j}, \, \ z_n(x, t, \rho) = \sum\limits_{j = 1}^{m}h_{jn}(t)\phi_{j}(x, \rho), \end{equation} $

选择空间$ W_n $中的两个序列$ u_{0n} $$ u_{1n} $, $ V_n $中的一个序列$ z_{0n} $, 使$ u_{0n}\rightarrow u_{0} $强收敛于空间$ H_0^1(\Omega) $, $ u_{1n}\rightarrow u_{1} $强收敛于空间$ L^2(\Omega) $$ z_{0n}\rightarrow f_{0} $强收敛于空间$ L^2(\Omega\times (0, 1)) $. 定义序列$ \phi_{j}(x, \rho) $记为$ \phi_{j}(x, 0) = \phi_{j}(x) $. 基于文献[1], 可在空间$ L^2(\Omega\times (0, 1)) $中将$ \phi_{j}(x, 0) $扩展到$ \phi_{j}(x, \rho) $, 记$ V_n = Span\{\phi_{1}, \phi_{2}, \cdot\cdot\cdot, \phi_{n}\} $.

便于进一步分析, 引入新变量[34, 38, 40]

$ \begin{equation} z(x, \theta, t) = u_t(x, t-\tau(t)\theta), x\in \Omega, \theta\in (0, 1), t>0, \end{equation} $

则可得

$ \begin{equation} \tau(t)z_t(x, \theta, t)+(1-\tau'(t)\theta)z_\theta(x, \theta, t) = 0, x\in \Omega, \theta\in (0, 1), t>0. \end{equation} $

因此, 问题(1.1)可以写如下形式

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } |u_t|^{\rho}u_{tt}-\Delta u +\int_{0}^{t}g(t-s) \Delta u(s) {\rm d}s+\mu_1u_t(x, t)+\mu_2z(x, 1, t) = 0, x\in\Omega, t>0, \\ \tau(t)z(x, \theta, t)+(1-\tau'(t)\theta)z_\theta(x, \theta, t) = 0, x\in \Omega, \theta\in (0, 1), t>0, \\ u(x, t) = 0, x\in\partial\Omega, t>0, \\ u(x, 0) = u_0(x), u_{t}(x, 0) = u_1(x) , x\in\Omega, \\ z(x, \theta, 0) = f_0(x, -\tau(0)), x\in\Omega, \theta\in (0, 1), -\tau(0)\leq t\leq 0. \end{array}\right. \end{equation} $

从而, $ (u_n(t), z_n(t)) $是以下Cauchy问题的解

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \int_{\Omega}|u_{tn}|^{\rho}u_{ttn}\omega_j{\rm d}x+\int_{\Omega}\nabla u_{n}\nabla \omega_{j}{\rm d}x-\int_{\Omega}\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u_{n}(s)\nabla \omega_{j}{\rm d}s{\rm d}x\\ [3mm] { } +\int_{\Omega}[\mu_1u_{tn}(x, t)+\mu_2z_n(x, 1, t)]\omega_j{\rm d}x = 0, \\ z_n(x, 0, t) = u_{tn}(x, t), \\ (u_n(0), u_{tn}(0)) = (u_{0n}, u_{1n}), \end{array}\right. \end{equation} $

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \int_{\Omega}[\tau(t)z_{nt}(x, \theta, t)+(1-\tau'(t)\theta)z_{n\theta}(x, \theta, t)]\phi_{j}{\rm d}x = 0, \\ z_{n, 0} = z_{0n}. \end{array}\right. \end{equation} $

通过标准的常微分方程方法, 可知Cauchy问题(3.5)–(3.6)在某个区间$ [0, t_n), 0<t_n<T $上存在唯一局部解, 然后, 这个解可以通过下面的先验估计扩展到整个区间$ [0, T] $.

为了得到先验估计, 需要一些符号和下面的引理3.1和引理3.2. 先介绍一些符号

引理3.1  [1, 3, 12]对于$ \phi\in C^{1}({{\Bbb R}}) $$ \psi\in H^1(0, T) $, 有

注3.1  事实上, 这个引理的证明是通过微分$ g \diamondsuit \phi $得到, 见文献[1, 3, 12].

引理3.2  假定$ v\in L^{\infty}(0, T;H^1(\Omega)) $, $ g $是一个连续函数, 使得

则有

  注意到, 对于$ q>1, $$ 0\leq \alpha \leq 1 $, 则有

利用Hölder不等式, 得到

$ q = \frac{p-1+\alpha}{p-1} $, 则有

上式中, 令$ \alpha = 1 $, 引理3.2得证.

先验估计. 取(3.5)式中的$ \omega_j = u_{tn} $, 在区间$ (0, t) $积分, 利用分部积分和引理3.1, 得到

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\bigg[\Big(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\|\nabla u_{n}\|_2^2+\frac{2}{\rho+2}\|u_{tn}\|_{\rho+2}^{\rho+2}+(g\circ \nabla u_{n})(t)\bigg]{}\\ &&+\mu_1\int_{0}^{t}\|u_{tn}\|_2^2{\rm d}s+\mu_2\int_{0}^{t}\int_{\Omega}z_n(x, 1, s)u_{tn}(x, s){\rm d}x{\rm d}s+ \frac{1}{2}\int_{0}^{t}g(s)\|\nabla u_{n}(s)\|_2^2{\rm d}s{}\\ &&-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}(g'\circ \nabla u_{n})(s){\rm d}s = \frac{1}{2}\Big(\|\nabla u_{0}\|_2^2+\frac{2}{\rho+2}\|u_{1}\|_{\rho+2}^{\rho+2}\Big). \end{eqnarray} $

取(3.6)式中的$ \phi_j = z_{n}\frac{\xi}{\tau(t)} $, 在区间$ (0, t) $积分, 得到

$ \begin{equation} \frac{\xi}{2}\int_{\Omega}\int_0^1z_n^2(x, \theta, t){\rm d}\theta {\rm d}x+\xi\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\int_0^1\frac{1-\tau'(t)\theta}{\tau(t)}z_{n\theta}z_n(x, \theta, s){\rm d}\theta {\rm d}x{\rm d}s = \frac{\xi}{2}\|z_{0n}\|_{L^2(\Omega\times (0, 1))}^2. \end{equation} $

利用分部积分得到

$ \begin{eqnarray} &&\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\int_0^1\frac{1-\tau'(t)\theta}{\tau(t)}z_{n\theta}z_n(x, \theta, s){\rm d}\theta {\rm d}x{\rm d}s{}\\ & = &\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\int_0^1 \bigg(\frac{\partial}{\partial\theta}z_n^2(x, \theta, s)\frac{1-\tau'(t)\theta}{\tau(t)}\bigg){\rm d}\theta {\rm d}x{\rm d}s {}\\ & = &-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\int_{0}^{1}\frac{1-\tau'(t)\theta}{\tau(t)}z_n^2(x, \theta, s){\rm d}\theta {\rm d}s {\rm d}x{}\\ &&+ \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega} \bigg[\frac{(1-\tau'(t)\theta)z_n^2(x, 1, s)-z_n^2(x, 0, s)}{\tau(t)}\bigg]{\rm d}x{\rm d}s. \end{eqnarray} $

由(3.8) 和(3.9)式得到

$ \begin{eqnarray} &&\frac{\xi}{2}\int_{\Omega}\int_0^1z_n^2(x, \theta, t){\rm d}\theta {\rm d}x+\frac{\xi}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\int_0^1\frac{\tau'(t)\theta-1}{\tau(t)}z_n^2(x, \theta, s) {\rm d}\theta {\rm d}x{\rm d}s{}\\ &&+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega} \bigg[\frac{(1-\tau'(t)\theta)z_n^2(x, 1, s)-z_n^2(x, 0, s)}{\tau(t)}\bigg]{\rm d}x{\rm d}s = \frac{\xi}{2}\|z_{0n}\|_{L^2(\Omega\times (0, 1))}^2. \end{eqnarray} $

另外, 由(3.7) 和(3.10)式得到

$ \begin{eqnarray} &&{E}_{n}(t)+\mu_1\int_{0}^{t}\|u_{tn}\|_2^2{\rm d}s+\mu_2\int_{0}^{t}\int_{\Omega}z_n(x, 1, s)u_{tn}(x, s){\rm d}x{\rm d}s{}\\ &&+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}g(s)\|\nabla u_{n}(s)\|_2^2{\rm d}s-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}(g'\circ \nabla u_{n})(s){\rm d}s{}\\ &&+\frac{\xi}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\frac{\tau'(t)\theta-1}{\tau(t)}z_n^2(x, \theta, s){\rm d}x{\rm d}s +\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega} \bigg[\frac{(1-\tau'(t)\theta)z_n^2(x, 1, s)-z_n^2(x, 0, s)}{\tau(t)}\bigg]{\rm d}x{\rm d}s{}\\ & = &\frac{1}{2}\|\nabla u_0\|_2^2+\frac{1}{\rho+2}\|u_{tn}\|_{\rho+2}^{\rho+2}+ \frac{\xi}{2}\|z_{0}\|_{L^2(\Omega\times(0, 1))}^2 = E_n(0), \end{eqnarray} $

这里

$ \begin{equation} {E}_{n}(t) = \frac{1}{2}\bigg[\Big(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\|\nabla u_{n}\|_2^2+\frac{2}{\rho+2}\|u_{tn}\|_{\rho+2}^{\rho+2}+(g\circ \nabla u_{n})(t)\bigg]+\frac{\xi}{2}\|z_{n}\|_{L^2(\Omega\times (0, 1))}^2. \end{equation} $

利用Young不等式和(2.1)–(2.2)式, 得到

$ \begin{eqnarray} &&(\mu_1-\frac{\mu_2\xi}{2})\int_{0}^{t}\|u_{tn}\|_2^2{\rm d}s+\int_{0}^{t}\int_{\Omega} \bigg[\xi\frac{1-\tau'(t)}{2\tau(t)}-\frac{\mu_2}{2\xi}\bigg]z_n^2(x, 1, s) +\frac{1}{2}\int_{0}^{t}g(s)\|\nabla u_{n}(s)\|_2^2{\rm d}s{}\\ && -\frac{1}{2}\int_{0}^{t}(g'\circ \nabla u_{n})(s){\rm d}s+\frac{\xi}{2}\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\frac{\tau'(t)\theta-1}{\tau(t)}z_n^2(x, \theta, s){\rm d}x{\rm d}s = {E}_{n}(0). \end{eqnarray} $

选择$ \tau(t)>0 $$ \theta $, 并注意到(2.1)和(2.2)式, 有$ \frac{\tau'(t)\theta-1}{\tau(t)}<0. $此外, 选择$ \tau(t)>0 $$ \xi $, 得到

$ \begin{equation} \sqrt{\frac{\mu_2\tau(t)}{1-\tau'(t)}}<\xi<\frac{2\mu_1}{\mu_2}. \end{equation} $

实际上, 通过(2.1)和(2.2)式, 得到$ \sqrt{\frac{\mu_2\tau(t)_0}{1-d}}<\xi<\frac{2\mu_1}{\mu_2} $. 由(3.13)–(3.14)式, 假设(G1), (G1) 和引理3.2, 可找到一个正的$ C $, 独立于$ n $, 使得

$ \begin{equation} {E}_{n}(t)\leq C. \end{equation} $

因此, 利用$ 1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\geq l $, (3.15)和(3.12)式, 可推断

$ \begin{equation} {u_n}\, \ is\, \ uniformly\, \ bounded\, \ in\, \ L^{\infty}(0, T;H_0^1(\Omega)), \end{equation} $

$ \begin{equation} {u_{tn}}\, \ is\, \ uniformly\, \ bounded\, \ in\, \ L^{\infty}(0, T;L^2(\Omega)), \end{equation} $

$ \begin{equation} {z_{n}}\, \ is\, \ uniformly\, \ bounded\, \ in\, \ L^{\infty}(0, T;L^2(\Omega\times(0, 1))). \end{equation} $

由(3.16)–(3.18)式, 可推断存在两个子序列$ {u_n} $, $ {z_n} $(仍记为$ {u_n} $, $ {z_n} $)和两个函数$ u $$ z $, 使得

$ \begin{equation} {u_n}\rightharpoonup u\, \ weakly\, \ star\, \ in\, \ L^{\infty}(0, T;H_0^1(\Omega)), \end{equation} $

$ \begin{equation} {u_{tn}}\rightharpoonup u_t\, \ weakly\, \ star\, \ in\, \ L^{\infty}(0, T;L^2(\Omega)), \end{equation} $

$ \begin{equation} {z_{n}}\rightharpoonup z\, \ weakly\, \ star\, \ in\, \ L^{\infty}(0, T;L^2(\Omega\times(0, 1))). \end{equation} $

从(3.19)–(3.21)式, 可知有$ {u_n} $在空间$ L^{2}(0, T;H_0^1(\Omega)) $中有界, $ {u_{tn}} $在空间$ L^{2}(0, T;L^2(\Omega)) $中有界. 因此, $ {u_n} $在空间$ L^{2}(0, T;L^2(\Omega)) $中有界, 详见文献[1].

由于Sobolev嵌入$ H^{1}(0, T;H^{1}(\Omega))\hookrightarrow L^{2}(0, T;L^2(\Omega)) $是紧的, 利用Aubin-Lions定理[46], 可提取$ {u_n} $的子列(仍然用$ {u_n} $), 使得

这意味着$ u_{tn}\rightarrow u_t $$ \Omega\times (0, T) $几乎处处收敛. 因此

$ \begin{equation} |u_{tn}|^\rho u_{tn}\rightarrow |u_{t}|^\rho u_{t}\, \ almost\, \ everywhere\, \ in\, \ \Omega\times (0, T). \end{equation} $

另外, 由Sobolev嵌入定理和(3.15)式, 得到

$ \begin{eqnarray} \| |u_{tn}|^\rho u_{tn}\|_{L^{2}(0, T;L^2(\Omega))}& = &\int_{0}^{T}\int_\Omega|u_{tn}|^{2(\rho+1)}{\rm d}x{\rm d}t{}\\ &\leq& C_S^{2(\rho+1)}\int_{0}^{T}\|\nabla u_{tn}\|_2^{2(\rho+1)}{\rm d}t{}\\ &\leq &C_S^{2(\rho+1)}C^{\rho+1}T, \end{eqnarray} $

这里$ C_S $是Sobolev嵌入常数. 因此, 由(3.22)–(3.23)式和Lions引理[47], 得到

$ \begin{equation} |u_{tn}|^\rho u_{tn}\rightharpoonup |u_{t}|^\rho u_{t}\, \ weakly\, \ in\, \ L^{2}(0, T;L^2(\Omega)). \end{equation} $

$ {\cal D}(0, T) $为区间$ (0, T) $中具有紧支集的$ C^\infty $函数的空间, 将(3.5)式中的第一个方程乘以$ \Theta(t)\in{\cal D}(0, T) $, 区间$ (0, T) $积分得到

$ \begin{eqnarray} &&-\frac{1}{\rho+1}\int_{0}^{T}(|u_{tn}|^\rho u_{tn}, \omega_j)\Theta_t(t){\rm d}t+\int_{0}^{T}(\nabla u_{tn}, \nabla\omega_j )\Theta(t){\rm d}t {}\\ &&-\int_{0}^{T}\int_{0}^{t}g(t-s)(\nabla u_{tn}, \nabla\omega_j )\Theta_t(t){\rm d}s{\rm d}t+\int_{0}^{T} (\mu_1u_{tn}+\mu_2z_{n}, \omega_j )\Theta(t){\rm d}t = 0. \end{eqnarray} $

注意到, $ {\omega_j} $是空间$ H_0^1(\Omega) $的一组基, 由(3.19)–(3.21)和(3.24)式, 对(3.25)式取极限得到

同理可得

由(3.19)–(3.21)式和Lions引理[47], 得到

这意味着$ u_t\in L^2(0, T;H_0^1(\Omega)) $. 故有$ u(0) = u_0, u_t(0) = u_1 $. 即证明了弱解的整体存在性.

步骤2  能量的一般衰减性

首先, 引入了新的能量泛函$ E(t) $和扰动能量$ E_{\varepsilon}(t) $, 然后利用扰动能量法建立了能量的一般衰减. 更精确地说, 所使用的方法基于构造合适的Lyapunov泛函$ E(t) $$ E_{\varepsilon}(t) $满足

对于某些正常数$ C_1, C_2, r $, 见文献[3-5, 17].

引入新的能量泛函

$ \begin{eqnarray} E(t) = E(u, z, t)& = &\frac{1}{2}\bigg[\frac{2}{\rho+2}\|u_{t}\|_{\rho+2}^{\rho+2}+ \Big(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\|\nabla u\|_2^2+(g\circ \nabla u)(t)\bigg]{}\\ &&+\frac{\xi}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x, \end{eqnarray} $

这里$ \xi, \lambda $为恰当的正常数. 固定$ \xi $, 使得

$ \begin{equation} 2\mu_1-\frac{|\mu_2|}{\sqrt{1-d}}-\xi>0\, \ \, \ \xi-\frac{|\mu_2|}{\sqrt{1-d}}>0, \end{equation} $

$ \begin{equation} \lambda<\frac{1}{\overline{\tau}}|Ln\xi-Ln\frac{|\mu_2|}{\sqrt{1-d}}|. \end{equation} $

注3.2   事实上, 常数$ \xi $的存在保证条件(2.4)成立.

引理3.3   若条件(2.1)–(2.4)成立, $ g $满足(G1), 则有问题(1.1)的解, 对于正常数$ C_1 $, 能量泛函(3.26) 为非增函数且满足

$ \begin{eqnarray} E'(t)&\leq& \frac{1}{2}(g\circ \nabla u)(t)-\frac{1}{2}g(t)\int_{\Omega}|\nabla u|{\rm d}x-C_1\int_{\Omega}[u_{t}^2(x, t)+u_{t}^2(x, t-\tau(t))]{\rm d}x{}\\ && -\frac{\lambda\xi}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x\leq 0. \end{eqnarray} $

  微分(3.26)式, 并注意(1.1)式中的第一个等式和

得到

$ \begin{eqnarray} E'(t)& = &\int_{\Omega}|u_{t}|_{\rho+1}u_{tt}-\frac{1}{2}g(t)\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\Big(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla u_t{\rm d}x{}\\ &&+\int_{0}^{t}g(t-s){\rm d}s\int_{\Omega}[\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s{\rm d}x{}\\ &&+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}g'(t-s)\int_{\Omega}|\nabla u(t)-\nabla u(s)|^2{\rm d}s{\rm d}x +\frac{\xi}{2}\int_{\Omega}u_{t}^2(x, t){\rm d}x{}\\ &&-\frac{\xi}{2} \int_{\Omega}e^{-\lambda\tau(t)}u_{t}^2(x, t-\tau(t))(1-\tau'(t)){\rm d}x -\frac{\lambda\xi}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x{}\\ & = &\int_{\Omega}u_{t}[\Delta u -\int_{0}^{t}g(t-s) \Delta u(s) {\rm d}s-\mu_1u_t(x, t)-\mu_2u_t(x, t-\tau(t))]{\rm d}x{}\\ &&-\frac{1}{2}g(t)\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla u_t{\rm d}x-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\int_{\Omega}\nabla u\cdot \nabla u_t{\rm d}x{}\\ && +\int_{0}^{t}g(t-s){\rm d}s\int_{\Omega}[\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s{\rm d}x+\frac{1}{2}(g'\circ \nabla u)(t)+\frac{\xi}{2}\int_{\Omega}u_{t}^2(x, t){\rm d}x {}\\ && -\frac{\xi}{2}\int_{\Omega}e^{-\lambda\tau(t)}u_{t}^2(x, t-\tau(t))(1-\tau'(t)){\rm d}x -\frac{\lambda\xi}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x{}\\ & = &-\mu_1\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x-\mu_2\int_{\Omega}u_t(x, t)u_{t}(x, t-\tau(t)){\rm d}x -\frac{1}{2}g(t)\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x{}\\ &&+\frac{1}{2}(g'\circ \nabla u)(t)+\frac{\xi}{2}\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x-\frac{\xi}{2} \int_{\Omega}e^{-\lambda\tau(t)}u_{t}^2(x, t-\tau(t))(1-\tau'(t)){\rm d}x{}\\ &&-\frac{\lambda\xi}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray} $

利用Young不等式得到

$ \begin{equation} -\mu_2\int_{\Omega}u_t(x, t)u_{t}(x, t-\tau(t)){\rm d}x\leq \frac{|\mu_2|}{2\sqrt{1-d}}\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x +\frac{|\mu_2|\sqrt{1-d}}{2}\int_{\Omega}u_t^2(x, t-\tau(t)){\rm d}x. \end{equation} $

利用分部积分和(2.1), (2.2), (3.30)和(3.31)式得到$ (0<\tau_0\leq \tau(t)\leq \overline{\tau}, \, \ \tau'(t)\leq d<1) $

$ \begin{eqnarray} E'(t)&\leq& -\mu_1\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x-\mu_2\int_{\Omega}u_t(x, t)u_{t}(x, t-\tau(t)){\rm d}x-\frac{1}{2}g(t)\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x {}\\ && +\frac{1}{2}(g'\circ \nabla u)(t) +\frac{\xi}{2}\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x -\frac{\xi}{2}(1-d)e^{-\lambda\overline{\tau}}\int_{\Omega}u_{t}^2(x, t-\tau(t)){\rm d}x {} \\ &&-\frac{\lambda\xi}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x{}\\ & \leq &\frac{1}{2}(g'\circ \nabla u)(t)-\frac{1}{2}g(t)\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x- \Big(\mu_1-\frac{|\mu_2|}{2\sqrt{1-d}}-\frac{\xi}{2}\Big)\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x{}\\ &&- \Big(\frac{\xi}{2}(1-d)e^{-\lambda\overline{\tau}}-\frac{|\mu_2|\sqrt{1-d}}{2} \Big)\int_{\Omega}u_t^2(x, t-\tau(t)){\rm d}x{}\\ && -\frac{\lambda\xi}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray} $

结合(3.27), (3.28), (3.32)式和假定(G1)(G2), (3.29)式成立. 引理3.3证毕.

引入能量泛函:

$ \begin{equation} \Phi(t) = \frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho+1}u{\rm d}x, \end{equation} $

$ \begin{equation} \Psi(t) = -\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho+1}\int_{0}^{t}g(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s{\rm d}x. \end{equation} $

$ \begin{equation} L(t) = NE(t)+\varepsilon \Phi(t)+\Psi(t), \end{equation} $

这里$ N $$ \varepsilon $为恰当的正常数.

注3.3  事实上, 易知, 对于$ \varepsilon $非常小, $ N $非常大, 存在两个正常数$ \alpha_0, $$ \alpha_1, $使得

关于$ \Phi(t) $$ \Psi(t) $的估计, 有如下引理:

引理3.4  若假设(G1) 满足, 则能量泛函$ \Phi(t) $满足如下估计

$ \begin{equation} \Phi'(t)\leq -\frac{l}{2}\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+C_2\int_{\Omega}[u_t^2(x, t)+u_{t}^2(x, t-\tau(t))]{\rm d}x +C_3(g\circ \nabla u). \end{equation} $

  微分(3.33)式和分部积分得到

$ \begin{eqnarray} \Phi'(t)& = &\int_{\Omega}|u_t|^{\rho}u_{tt}u{\rm d}x+\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x{}\\ & = &\int_{\Omega}u[\Delta u -\int_{0}^{t}g(t-s) \Delta u(s) {\rm d}s-\mu_1u_t(x, t){}\\ &&-\mu_2u_t(x, t-\tau(t))]{\rm d}x+\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x{}\\ & = &-\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{\Omega}\nabla u\cdot \int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s) {\rm d}s{\rm d}x{}\\ && -\mu_1\int_{\Omega}uu_t(x, t){\rm d}x-\mu_2\int_{\Omega}uu_t(x, t-\tau(t)){\rm d}x+ \frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x{}\\ & = &-l\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{\Omega}\nabla u\cdot \int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)] {\rm d}s{\rm d}x{}\\ && -\mu_1\int_{\Omega}uu_t(x, t){\rm d}x-\mu_2\int_{\Omega}uu_t(x, t-\tau(t)){\rm d}x+\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

利用Young不等式和假定(G1) 得到

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}\nabla u\cdot \int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)] {\rm d}s{\rm d}x{}\\ &\leq &\delta\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4\delta}\int_{\Omega} \Big[\int_{0}^{t}g(t-s)|\nabla u(s)-\nabla u(t)|{\rm d}s\Big]^2{\rm d}x{}\\ &\leq& \delta\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1-l}{4}(g\circ \nabla u)(t), \, \ \forall\delta>0. \end{eqnarray} $

利用Young不等式和Poincare不等式得到

$ \begin{equation} -\mu_1\int_{\Omega}uu_t(x, t){\rm d}x\leq \delta\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+C(\delta)\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x, \end{equation} $

$ \begin{equation} -\mu_2\int_{\Omega}uu_t(x, t-\tau(t)){\rm d}x\leq \delta\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+C(\delta)\int_{\Omega}u_t^2(x, t-\tau(t)){\rm d}x. \end{equation} $

由(3.37)–(3.40)式和选取$ \delta $充分小, 得到(3.36)式. 引理3.4证毕.

引理3.5  若假设(G1) 成立, 则能量泛函$ \Psi(t) $满足如下估计

$ \begin{eqnarray} \Psi'(t)&\leq& -\Big(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s-2\delta\Big)\int_{\Omega}u_t^2{\rm d}x+\delta\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{C_4}{\delta}(g\circ \nabla u)(t){}\\ && -\frac{C_5}{\delta}(g'\circ \nabla u)(t)+\delta\int_{\Omega}u_t^2(x, t-\tau(t)){\rm d}x. \end{eqnarray} $

  微分(3.34)式, 分部积分并注意到(1.1)式的第一个方程, 得到

$ \begin{eqnarray} \Psi'(t)& = &-\int_{\Omega}|u_t|^{\rho}u_{tt}\int_{0}^{t}g(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s{\rm d}x{}\\ &&- \frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho}u_t\int_{0}^{t}g'(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s{\rm d}x- \Big(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\frac{1}{\rho+1}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x{}\\ & = &\int_{\Omega}\Big[-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s+\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau(t))\Big]{}\\ &&\times \int_{0}^{t}g(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s{\rm d}x{}\\ && -\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho}u_t\int_{0}^{t}g'(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s{\rm d}x -\Big(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\frac{1}{\rho+1}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x{}\\ & = &\int_{\Omega}\nabla u\cdot \int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s{\rm d}x{}\\ &&+\int_{\Omega} {\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s\int_{0}^{t}g(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s}{\rm d}x{}\\ && +\int_{\Omega} \Big[\int_{0}^{t}g(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s\Big] [\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau(t))]{\rm d}x{}\\ && -\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho}u_t\int_{0}^{t}g'(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s{\rm d}x -\Big(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\frac{1}{\rho+1}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x.{}\\ \end{eqnarray} $

注意到

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}{\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s\int_{0}^{t}g(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s}{\rm d}x{}\\ & = &-\int_{\Omega}\Big[\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s\Big]{\rm d}x{}\\ & = &-\int_{\Omega}\Big[\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)+\nabla u(s)]{\rm d}s\int_{0}^{t}g(t-s) [\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s\Big]{\rm d}x{}\\ & = &-\int_{\Omega}\Big[\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)]{\rm d}s\Big]^2{\rm d}x{}\\ &&-\Big(\int_{0}^{t}g(t){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\nabla u \cdot \int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray} $

由(3.42)和(3.43)式得到

$ \begin{eqnarray} \Psi'(t)& = &\Big(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\nabla u \cdot \int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s{\rm d}x{}\\ && -\int_{\Omega}\Big[\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)]{\rm d}s\Big]^2{\rm d}x{}\\ && +\int_{\Omega}\Big[\int_{0}^{t}g(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s][\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau(t))]{\rm d}x{}\\ &&-\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho}u_t\int_{0}^{t}g'(t-s)[u(t)-u(s)\Big]{\rm d}s{\rm d}x -\Big(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\frac{1}{\rho+1}|u_t|^{\rho+2}{\rm d}x.{}\\ \end{eqnarray} $

利用Young'不等式和Poincaré不等式得到

$ \begin{equation} \Big(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\Big)\int_{\Omega}\nabla u \cdot \int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(t)-\nabla u(s)]{\rm d}s{\rm d}x\leq \delta \int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{C}{\delta} (g\circ \nabla u)(t), \end{equation} $

$ \begin{equation} -\frac{1}{\rho+1}\int_{\Omega}|u_t|^{\rho}u_t\int_{0}^{t}g'(t-s)[u(t)-u(s)]{\rm d}s{\rm d}x \leq \delta \int_{\Omega}u_t^2{\rm d}x-\frac{C}{\delta} (g'\circ \nabla u)(t). \end{equation} $

由(3.44)–(3.46)式, 得到引理3.5的证明.

现在证明能量的一般衰减. 由于函数$ g $是正的, 得到

由(3.29), (3.35), (3.36)和(3.41)式得到

$ \begin{eqnarray} L'(t)& = &NE(t)+\varepsilon \Phi'(t)+\Psi'(t){}\\ &\leq &\frac{N}{2}(g'\circ \nabla u)(t)-\frac{N}{2}g(t)\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x-NC_1\int_{\Omega}[u_t^2(x, t)+u_t^2(x, t-\tau(t))]{\rm d}x{}\\ &&-\frac{\lambda\xi N}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x +\varepsilon C_2\int_{\Omega}[u_t^2(x, t)+u_t^2(x, t-\tau(t))]{\rm d}x{}\\ && -\frac{\varepsilon l}{2}\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x +\varepsilon C_3(g\circ \nabla u)(t)- \Big(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s-2\delta\Big)\int_{\Omega}u_t^2{\rm d}x+\delta\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x{}\\ &&+\frac{C_4}{\delta}(g\circ \nabla u)(t)-\frac{C_5}{\delta}(g'\circ \nabla u)(t)+\delta\int_{\Omega}u_t^2(x, t-\tau(t)){\rm d}x{}\\ & = &-[(NC_1+g_0)-2\delta-\varepsilon C_2]\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x+(\varepsilon C_3+\frac{C_4}{\delta})(g\circ \nabla u)(t){}\\ && +(\frac{N}{2}-\frac{C_5}{\delta})(g'\circ \nabla u)(t)-(\frac{\varepsilon l}{2}-\delta)\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x{}\\ && -(NC_1-\delta-\varepsilon C_2)\int_{\Omega}u_t^2(x, t-\tau(t))-\frac{\lambda\xi N}{2}\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray} $

若选取(3.47)式中的正常数, 使得

故有

$ \begin{eqnarray} L'(t)&\leq& -a_1\int_{\Omega}u_t^2(x, t){\rm d}x-a_2\int_{\Omega}|\nabla u|^2{\rm d}x+a_4(g'\circ \nabla u)(t){}\\ &&+a_5(g\circ \nabla u)(t)-a_6\int_{t-\tau(t)}^{t}\int_{\Omega} e^{-\lambda(t-s)}u_{t}^2(x, s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray} $

接下来分两种情形讨论能量的一般衰减.

情形1  $ p = 1 $

选取$ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 $并注意到(3.26)式中$ E(t) $, 可知, 存在常数$ \beta_1>0 $, 使得

$ \begin{equation} L'(t)\leq -\beta_1E(t), \; \; \forall t\geq 0. \end{equation} $

因此, 由注3.3和(3.49)式得到

$ \begin{equation} L'(t)\leq -\frac{\beta_1}{\alpha_1}E(t), \; \; \forall t\geq 0. \end{equation} $

在区间$ (0, t) $积分(3.50)式得到

$ \begin{equation} L(t)\leq L(0)e^{-\frac{\beta_1}{\alpha_1}t}, \; \; \forall t\geq 0. \end{equation} $

由于注3.3 (即$ \alpha_0 E(t)\leq L(t)\leq \alpha_1 E(t) $)和(3.51)式, 得到

$ K = \frac{L(0)}{\alpha_0} $$ k = \frac{\beta_1}{\alpha_1} $, 得到能量的一般衰减. 即(2.5)式成立.

情形2   $ 1<p<\frac{3}{2} $

由假设(G2)得到

由引理3.2的证明过程可知

$ \begin{equation} (g\circ \nabla u)(t)\leq C \bigg[\int_{0}^{\infty}g^{1-\alpha}(s){\rm d}sE(0)\bigg]^{\frac{p-1}{p-1+\alpha}}[(g^p\circ \nabla u)(t)]^{\frac{\alpha}{p-1+\alpha}}. \end{equation} $

因此, 对于$ \sigma>1 $, 利用(3.26)和(3.52)式得到

$ \begin{eqnarray} E^{\sigma}(t)&\leq &C[E^{\sigma-1}(0)(\|u_t\|_{\rho+2}^{\rho+2}+\|\nabla u\|_2^2+\|u_t\|_2^2)+(g\circ \nabla u)^{\sigma}(t)]{}\\ &\leq& CE^{\sigma-1}(0)[\|u_t\|_{\rho+2}^{\rho+2}+\|\nabla u\|_2^2+\|u_t\|_2^2]{}\\ && +C\bigg[\Big(\int_0^{\infty}g^{1-\alpha}(s){\rm d}s\Big)E(0)\bigg]^{\frac{p-1+\alpha}{p-1}}[(g^p\circ \nabla u)(t)]^{\frac{\sigma\alpha}{p-1+\alpha}}. \end{eqnarray} $

选取$ \alpha = \frac{1}{2} $$ \sigma = 2p-1 $ (即: $ \frac{\sigma\alpha}{p-1+\alpha} = 1 $), (3.53) 式变为

$ \begin{equation} E^{\sigma}(t)\leq C [\|u_t\|_{\rho+2}^{\rho+2}+\|\nabla u\|_2^2+\|u_t\|_2^2+(g^p\circ \nabla u)(t)]. \end{equation} $

结合(3.48), (3.49)式和注记3.3得到

$ \begin{equation} L'(t)\leq -\frac{\beta_1}{C}\alpha_1^\sigma L^{\sigma}(t), \forall t\geq 0. \end{equation} $

在区间$ (0, t) $上积分(3.55)式得到

$ \begin{equation} L'(t)\leq C_6(1+t)^{-\frac{1}{\sigma-1}}, \forall t\geq 0. \end{equation} $

基于(3.56)式得到

因此, 利用引理3.2得到

这意味着

$ \begin{equation} (g^p\circ \nabla u)(t)\geq C(g\circ \nabla u)^p(t). \end{equation} $

故从(3.48)和(3.57)式知道

$ \begin{equation} L'(t)\leq -C_7[\|u_t\|_{\rho+2}^{\rho+2}+\|\nabla u\|_2^2+\|u_t\|_2^2+(g\circ \nabla u)^{p}(t)], \; \; \forall t\geq 0. \end{equation} $

与(3.54)式类似可得

$ \begin{equation} E^{p}(t)\leq C_8 [\|u_t\|_{\rho+2}^{\rho+2}+\|\nabla u\|_2^2+\|u_t\|_2^2+(g\circ \nabla u)^{p}(t)], \; \; \forall t\geq 0. \end{equation} $

因此, 由注3.3, (3.58)和(3.59)式得到

$ \begin{equation} L'(t)\leq -C_9 L^p(t), \forall t\geq 0. \end{equation} $

在区间$ (0, t) $上积分(3.60)式得到

$ \begin{equation} L'(t)\leq K(1+t)^{-\frac{1}{p-1}}, \; \; \forall t\geq 0. \end{equation} $

由(3.61)式和注3.3, 得到能量的多项式衰减. 即

故定理2.1成立.

注3.4  文献[1]仅仅至研究了能量的指数衰减, 而本文研究了能量的指数衰减和多项式衰减, 推广了文献[1] 中的结果. 更准确地说, Kirane和Said Houari[1]考虑了问题(1.1) 的指数衰减, 具有常数延迟(即$ \tau(t) = \tau $)和速度无关的材料密度(即$ \rho = 0 $).

注3.5  利用$ E $在区间$ [0, t_0] $中有界, 对于$ t\geq 0 $, 得到(2.5)和(2.6)式成立, 见文献[3].

注3.6  在文献[34]中, Nicaise和Pignotti研究了方程(1.3)和(1.4), 并利用可观测不等式和Carleman估计证明了边界或内部反馈中具有时滞项的波动方程的稳定性和不稳定性结果. 众所周知, 在力学上, 固体和流体材料不仅表现出弹性, 而且具有遗传特性. 遗传性质用粘弹性描述, 其中材料的机械响应被视为受前一或历史行为的影响材料本身. 换句话说, 粘弹性材料表现出记忆效应. 这个导致应力应变的本构关系, 涉及卷积应变具有松弛函数. 在这些结果的激励下, 刘[48]研究了以下具有线性阻尼和内反馈时变时滞项的粘弹性波动方程

引入适当的能量和Lyapunov泛函, 在适当的假设下, 建立了一般能量衰减的指数和多项式结果, 衰变的类型只是特例, 主要贡献是对前人的扩展从文献[1, 34]到时变时滞的结果, 其系数不一定为正延迟. 由于失去了平移不变性, 这种扩展并不简单. 为此, 引入了新的能量和Lyapunov泛函[40], 考虑了延迟对时间的依赖性, 见文献[48]. 随后, Dai和Yang[49]研究了具有时滞项的内反馈粘弹性波方程的初边值问题

并证明了任意实数$ \mu_1 $$ \mu_2 $, 在对内核$ g $的适当假设下, 上述问题具有唯一的整体解. 这改进了先前文献[1, 34]的结果. 方法是删除对$ \mu_1 $$ \mu_2 $的限制, 此外, 建立了有关问题能量在$ \mu_1 = 0 $的情况下的指数衰减结果, 这解决了Kirane和Houari在文献[1, 34]中提出的一个公开问题.

注3.7   若$ \tau(t) = 0 $, Cavalcanti等[51]一类具有记忆项的非线性偏微分方程的长期行为

特别地, 他们研究了带有阻尼效应的模型

$ \begin{equation} u_{tt}+Au_{tt}+\gamma A^{\theta}u_t+Au-\int_{0}^{t}g(t-s) Au(s){\rm d}s = 0, \end{equation} $

而且, 基于谱分析、Faedo-Galerkin方法和摄动能量方法, 他们建立了模型(3.62)解的长期行为

$ \bullet $$ g = 0 $, $ \theta = 1 $$ \gamma > 0 $, 则相关弱解的能量指数衰减为零;

$ \bullet $$ g = 0 $, $ \theta = 0 $$ \gamma > 0 $, 则相应的系统是强稳定的, 但不一致稳定;

$ \bullet $$ \gamma = 0 $$ g(s) $满足$ g\in C^1({{\Bbb R}}^{+}) $, $ g'+cg \leq 0 $$ \|g\|_{L^1} < 1 $, 则相关弱解的能量指数衰减为零.

注3.8  关于内阻尼和时滞, 值得一提的是, Yang[54]考虑了内反馈中含有时滞项的Euler-Bernoulli粘弹性方程的初边值问题. 与以往文献不同的是, 在能量估计过程中, 用记忆项代替阻尼项来控制延迟项. 同时, 在证明适定性的过程中, 无需对带有阻尼项和延迟项的系数施加限制性条件. 另一方面, 由于乘子技巧不适合处理记忆项, 构造了一个合适的Lyapunov函数来克服困难.

4 进一步的评论

在这一节中, 将讨论具有时变延迟效应和速度相关材料密度的非线性粘弹性方程的一些有趣问题.

问题1  一个有趣的问题是证明非线性系统的适定性和稳定性, 考虑时变时滞效应的边界反馈粘弹性方程. 如果具有时变时滞效应的控制在方程中而不是在边界上?更确切地说, 在即将开展的工作中, 将研究具有速度依赖性材料密度的非线性粘弹性方程解的衰减性质

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } |u_t|^{\rho}u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s) \Delta u(s){\rm d}s = 0, &(x, t)\in \Omega \times [0, \infty), \\ u(x, t) = 0, \, \ &(x, t)\in \Gamma_0 \times (0, \infty), \\ { } \frac{\partial u}{\partial \nu}+\mu_1u_t(x, t)+\mu_2u_t(x, t-\tau(t)) = 0, &(x, t)\in \Gamma_1\times[0, \infty), \\ u(x, 0) = u_{0}(x), u_t(x, 0) = u_{1}(x), \, \, &x\in \Omega, \\ u_t(x, t-\tau(t)) = f(x, t), \, \ &(x, t)\in \Gamma_1\times(-\tau(0), 0), \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \Omega $$ {{\Bbb R}} ^n, n\geq 1 $的有界域, 具有光滑边界$ \Gamma $, 并设$ \Gamma_0, \Gamma_1 $$ \Gamma $的分割, 使得

$ \nu = (\nu_1, \nu_2\cdot\cdot\cdot\nu_n) $表示单位外向法向量.

问题2  另一个有趣的问题是, 对Kirane和Said Houari[1]提出的公开问题给出肯定的答案. 也就是说, (1.5)式的第一个方程中的线性阻尼项$ \mu_1u_t $在证明中起着决定性的作用. 因此, 当$ \mu_1 = 0 $时, 他们所证明的稳定性是否保持不变. 为了克服上述困难, 主要思想是利用耗散非线性边界反馈来比较时变时滞的影响. 也就是说, 在今后的工作中, 将研究以下问题

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } |u_t|^{\rho}u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s) \Delta u(s){\rm d}s+\mu_2u_t(x, t-\tau(t)) = 0, &(x, t)\in \Omega \times [0, \infty), \\ u(x, t) = 0, \, \ &(x, t)\in \Gamma_0 \times (0, \infty), \\ { } \frac{\partial u}{\partial \nu}+g(u_t(x, t)) = 0, &(x, t)\in \Gamma_1\times[0, \infty), \\ u(x, 0) = u_{0}(x), u_t(x, 0) = u_{1}(x), \, \, &x\in \Omega, \\ u_t(x, t-\tau(t)) = f(x, t), \, \ &(x, t)\in \Gamma_1\times(-\tau(0), 0), \end{array}\right. \end{equation} $

这里$ \mu_2 $为常数, $ g(u_t) $是耗散非线性边界反馈.

参考文献

Kirane M , Said-Houari B .

Existence and aymptotic stability of a viscoelastic wave equation with a delay

Z Angew Math Phys, 2011, 62, 1065- 1082

DOI:10.1007/s00033-011-0145-0      [本文引用: 18]

Cavalcanti M M , Domingos Cavalcanti V , Ferreira J .

Existence and uniform decay for nonlinear viscoelastic equation with strong damping

Math Methods Appl Sci, 2001, 24, 1043- 1053

DOI:10.1002/mma.250     

Zhang Z Y , Liu Z H , Gan X Y .

Global existence and general decay for a nonlinear viscoelastic equation with nonlinear localized damping and velocity-dependent material density

Appl Anal, 2013, 92, 2021- 2048

DOI:10.1080/00036811.2012.716509      [本文引用: 8]

Zhang Z Y , Miao X J .

Global existence and uniform decay for wave equation with dissipative term and boundary damping

Computers & Mathematics with Applications, 2010, 59, 1003- 1018

URL     [本文引用: 4]

Zhang Z Y , Liu Z H , Miao X J , Chen Y Z .

Global existence and uniform stabilization of a generalized dissipative Klein-Gordon equation type with boundary damping

J Math Phys, 2011, 52, 023502

DOI:10.1063/1.3544046      [本文引用: 3]

Zhang Z Y , Liu Z H , Miao X J .

Estimate on the dimension of global attractor for nonlinear dissipative Kirchhoff equation

Acta Appl Math, 2010, 110, 271- 282

DOI:10.1007/s10440-008-9405-1      [本文引用: 1]

Cavalcanti M M , Domingos Cavalcanti V , Fukuoka R , Soriano J A .

Uniform stabilization of the wave equation on compact manifolds and locally distributed damping-a sharp result

J Math Anal Appl, 2009, 351, 661- 674

DOI:10.1016/j.jmaa.2008.11.008      [本文引用: 1]

Cavalcanti M M , Domingos Cavalcanti V , Fukuoka R , Soriano J A .

Asymptotic stability of the wave equation on compact surfaces and locally distributed damping: a sharp result

Arch Ration Mech Anal, 2010, 197, 925- 964

DOI:10.1007/s00205-009-0284-z      [本文引用: 1]

Cavalcanti M M , Domingos Cavalcanti V , Soriano J A .

Exponential decay for the solution of semilinear viscoelastic wave equations with localized damping

Elec J Diff Equa, 2002, 44, 1- 14

URL     [本文引用: 2]

Berrimi S , Messaoudi S A .

Exponential decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping

Elec J Diff Equa, 2004, 88, 1- 10

[本文引用: 1]

Cavalcanti M M , Oquendo H P .

Frictional verus viscoelastic damping in a semilinear wave equation

SIAM J Control Optim, 2003, 42, 1310- 1324

DOI:10.1137/S0363012902408010      [本文引用: 1]

Zhang Z Y , Liu Z H , Miao X J , Chen Y Z .

A note on decay properties for the solutions of a class of partial differential equation with memory

J Appl Math Comput, 2011, 37, 85- 102

DOI:10.1007/s12190-010-0422-7      [本文引用: 4]

Liu W J .

General decay rate estimate for a viscoelastic equation with weakly nonlinear time-dependent dissipation and source terms

J Math Phys, 2009, 50, 113506

DOI:10.1063/1.3254323      [本文引用: 1]

Liu W J .

Uniform decay of solutions for a quasilinear system of viscoelastic equations

Nonlinear Anal TMA, 2009, 71, 2257- 2267

DOI:10.1016/j.na.2009.01.060     

Liu W J .

General decay and blow-up of solution for a quasilinear viscoelastic problem with nonlinear source

Nonlinear Anal TMA, 2010, 73, 1890- 1904

DOI:10.1016/j.na.2010.05.023     

Liu W J .

General decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping

Ann Acad Sci Fenn Math, 2009, 34, 291- 302

Liu W J .

General decay of solutions of a nonlinear system of viscoelastic equations

Acta Appl Math, 2010, 110, 53- 165

URL     [本文引用: 1]

Liu W J .

Exponential or polynomial decay of solutions to a viscoelastic equation with nonlinear localized damping

J Appl Math Comput, 2010, 32, 59- 68

DOI:10.1007/s12190-009-0232-y     

Han X S , Wang M X .

Global existence and uniform decay for a nonlinear viscoelastic equation with damping

Nonlinear Anal TMA, 2009, 70, 3090- 3098

DOI:10.1016/j.na.2008.04.011     

Han X S , Wang M X .

General decay of energy for a viscoelastic equation with nonlinear damping

Journal of the Franklin Institute, 2010, 347, 806- 817

DOI:10.1016/j.jfranklin.2010.02.010     

Han X S , Wang M X .

Global existence and asymptotic behavior for a couple hyperbolic system with localized damping

Nonlinear Anal TMA, 2010, 72, 965- 986

DOI:10.1016/j.na.2009.07.032     

Han X S , Wang M X .

Energy decay rate for a couple hyperbolic system with nonlinear damping

Nonlinear Anal TMA, 2009, 70, 3264- 3272

DOI:10.1016/j.na.2008.04.029      [本文引用: 1]

Messaoudi S A , Tatar N E .

Global existence and uniform stability of solutions for a quasilinear viscoelastic problem

Math Methods Appl Sci, 2007, 30, 665- 680

DOI:10.1002/mma.804     

Cavalcanti M M , Domingos Cavalcanti V , Fukuoka R , et al.

Existence and uniform decay rates for viscoelastic problems with nonlinear boundary damping

Differential and Integral Equations, 2001, 14, 85- 116

[本文引用: 1]

Messaoudi S A , Tatar N E .

Exponential or polynomial decay for a quasilinear viscoelastic equation

Nonlinear Anal, 2008, 68, 785- 793

DOI:10.1016/j.na.2006.11.036      [本文引用: 2]

Tatar N E .

Exponential decay for a viscoelastic problem with a singular kenerl

Z Angew Math Phys, 2009, 60, 640- 650

DOI:10.1007/s00033-008-8030-1      [本文引用: 1]

Berrimi S , Messaoudi S A .

Existence and decay of solutions of a viscoelastic equation with a nonlinear source

Nonlinear Anal, 2006, 64, 2314- 2331

DOI:10.1016/j.na.2005.08.015     

Messaoudi S A .

General decay of the solution energy in a viscoelastic equation with a nonlinear source

Nonlinear Anal, 2008, 69, 2589- 2598

DOI:10.1016/j.na.2007.08.035      [本文引用: 1]

Han X S , Wang M X .

General decay of energy for a viscoelastic equation with nonlinear damping

Math Methods Appl Sci, 2009, 32, 346- 358

DOI:10.1002/mma.1041      [本文引用: 1]

Liu W J .

Asmptotic behavior of solutions of the time-delayed Burger's equation

Discrete Contin Dyn Syst Ser B, 2002, 2, 47- 56

[本文引用: 1]

Shang Y F , Xu G Q , Chen Y L .

Stability analysis of Euler-Bernoulli beam with input delay in the boundary control

Asian J Control, 2012, 14, 186- 196

DOI:10.1002/asjc.279      [本文引用: 1]

Datko R .

Not all feedback stabilized hyperbolic systems are robust with respect to small time delays in their feedbacks

SIAM J Control Optim, 1988, 26, 697- 713

DOI:10.1137/0326040      [本文引用: 2]

Datko R , Lagnese J , Polis M P .

An example on the effect of time delays in boundary feedback stabilization of wave equation

SIAM J Control Optim, 1986, 24, 152- 156

DOI:10.1137/0324007     

Nicaise S , Pignotti C .

Stability and instability results of the wave equation with a delay term in the boundary or internal feedbacks

SIAM J Control Optim, 2006, 45, 1561- 1585

DOI:10.1137/060648891      [本文引用: 7]

Nicaise S , Pignotti C .

Stabilization of the wave equation with boundary or internal distributed delay

Differential and Integral Equations, 2008, 21, 935- 958

URL    

Xu G Q , Yung S P , Li L K .

Stabilization of the wave system with input delay in the boundary control

ESIAM: Control Optim Calc Var, 2006, 12, 770- 785

DOI:10.1051/cocv:2006021      [本文引用: 1]

Ait Benhassi E M , Ammari K , Boulite S , Maniar L .

Feedback stabilization of a class of evolution equation with delay

J Evol Equa, 2009, 9, 103- 121

DOI:10.1007/s00028-009-0004-z      [本文引用: 1]

Nicaise S , Pignotti C , Valein J .

Exponential stability of the wave equation with boundary time-varying delay

Discrete Contin Dyn Syst Ser S, 2011, 4, 693- 722

URL     [本文引用: 3]

Caraballo T , Real J , Shaiklet L .

Method of Lyapunov functionals construction in stability of delay evolution equations

J Math Anal Appl, 2007, 334, 1130- 1145

DOI:10.1016/j.jmaa.2007.01.038      [本文引用: 1]

Zhang Z Y , Liu Z H , Miao X J , Chen Y Z .

Stability analysis of heat flow with boundary time-varying delay effect

Nonlinear Anal, 2010, 73, 1878- 1889

DOI:10.1016/j.na.2010.05.022      [本文引用: 3]

Nicaise S , Pignotti C .

Interior feedback stabilization of wave equations with time dependent delay

Elec J Diff Equa, 2011, 41, 1- 20

[本文引用: 1]

Nicaise S , Pignotti C , Fridman E .

Stability of the heat and the wave equations with boundary time-varying delays

Disc Conti Dyna Syst, 2009, 2, 559- 581

URL     [本文引用: 1]

Nicaise S , Valein J .

Stabilization of the wave equation on 1-d networks with a delay term in thenodal feedbacks

Networks & Heterogeneous Media, 2007, 2, 425- 479

URL    

Fridman E , Nicaise S , Valein J .

Stabilization of seconder order evolution equations with inbounded feedback with time-dependent delay

SIAM J Control Optim, 2010, 48, 5028- 5052

DOI:10.1137/090762105     

Nicaise S , Valein J .

Stabilization of seconder order evolution equations with inbounded feedback with delay

ESIAM: Control Optim Calc Var, 2010, 16, 420- 456

DOI:10.1051/cocv/2009007      [本文引用: 1]

Lions J L . Quelques Méthodes de Résolution des Problémes aux Limites non Linéaires. Paris: Dunod, 1969

[本文引用: 1]

Zheng S M . Nonlinear Evolution Equations. Boca Raton: CRC Press, 2004

[本文引用: 2]

Liu W J .

General decay of the solution for a viscoelastic wave equation with a time-varying delay term in the internal feedback

J Math Phys, 2013, 54, 043504

DOI:10.1063/1.4799929      [本文引用: 4]

Dai Q Y , Yang Z F .

Global existence and exponential decay of the solution for a viscoelastic wave equation with a delay

Z Angew Math Phys, 2014, 65, 885- 903

DOI:10.1007/s00033-013-0365-6      [本文引用: 1]

Zhang Z Y, Huang J H, Liu Z H, Sun M B. Boundary stabilization of a nonlinear viscoelastic equation with interior time-varying delay and nonlinear dissipative boundary feedback. Abstract and Applied Analysis, 2014, Article ID: 102594

[本文引用: 3]

Cavalcanti M M , Domingos Cavalcanti V , Lasiecka I , Webler C M .

Intrinsic decay rates for the energy of a nonlinear viscoelastic equation modeling the vibrations of thin rods with variable density

Adv Nonlinear Anal, 2017, 6, 121- 145

DOI:10.1515/anona-2016-0027      [本文引用: 1]

Messaoudi S A , Said-Houari B .

Energy decay in a transmission problem in thermoelasticity of type Ⅲ

IMA J Appl Math, 2009, 74, 344- 360

DOI:10.1093/imamat/hxp020      [本文引用: 1]

Messaoudi S A , Bonfoh A , Mukiawa S E , Enyi C D .

The global attractor for a suspension bridge with memory and partially hinged boundary conditions

Z Angew Math Mech, 2017, 97, 159- 172

DOI:10.1002/zamm.201600034      [本文引用: 1]

Yang Z F .

Existence and energy decay of solutions for the Euler-Bernoulli viscoelastic equation with a delay

Z Angew Math Phys, 2015, 66, 727- 745

DOI:10.1007/s00033-014-0429-2      [本文引用: 1]

/