本文考察半空间${\mathbb R}_{+}^{n} = \{x = (x', x_{n}):x'\in{\mathbb R}^{n-1}, x_{n}>0\}$($n\geq3$)上的Navier-Stokes方程

这里, $u(t, x) = (u_{1}(t, x), \cdots, u_{n})$是一个管量场, $\pi$是一个数值函数, 分别表示流体在$t$时刻$x$处的速度及内压. $u_{0}(x)$是一个给定的管量场, 表示流体的初速度.

这里, 我们主要关注Navier-Stokes流的存在性以及它的加权时空估计. 假设$1<q<\infty$, $\Omega\subseteq{\mathbb R}^{n}$是一个具有光滑边界的区域, 包括${\mathbb R}^{n}$本身, 半空间${\mathbb R}_{+}^{n}$, 有界区域以及外区域等. 我们用$L^{q}(\Omega)$表示数值或向量值Lebesgue空间, 用$W^{k, q}(\Omega)$表示$k$阶数值或向量值Sobolev空间. $C_{0}^{\infty}(\Omega)$表示具有紧支集的光滑数值或向量值函数的全体, 而$W_{0}^{k, q}(\Omega)$则表示它在$W^{k, q}(\Omega)$中的闭包. 引入记号$C_{0, \sigma}^{\infty}(\Omega) = \{u\in C_{0}^{\infty}(\Omega):\nabla\cdot u = 0\}$, 并用$L_{\sigma}^{q}(\Omega)$表示它在$L^{q}(\Omega)$中的闭包.

对于无权重的情形, 已有的结论是^[6]: 若$u_{0}\in L_{\sigma}^{2}(\Omega)$, 则对于任意的$0<T<\infty$, 初、边值问题(1.1) 在空间

中存在一个Leray-Hoph意义下的弱解$u$, 满足能量不等式

进一步的, 若存在$q>n$, $b>2$, 满足$n/q+2/b\leq1$, 使得$u\in L^{b}(0, T;L^{q}(\Omega))$, 或者$u\in C([0, T);L^{n}(\Omega))$, 则$u\in C^{\infty}((0, T)\times\overline{\Omega})$, 并且存在$\pi\in C^{\infty}((0, T)\times\overline{\Omega})$, 它们在$(0, \infty)\times\Omega$上处处满足方程(1.1). 在这种情形下, $u$称为Navier-Stokes方程的正则解.

假设$u_{0}\in L_{\sigma}^{n}(\Omega)$, 并且$\|u_{0}\|_{L^{n}(\Omega)}$充分小, 则方程(1.1)存在一个定义在$[0, \infty)$上的强解$u$ (参见文献[12-14]), 满足

显然, 若还有$u_{0}\in L_{\sigma}^{2}(\Omega)$, 则$u$也是一个正则解.

Navier-Stokes方程(1.1)在$L^{q}$空间中的可解性可以归结为Stokes半群$e^{-tA}$的$L^{p}$-$L^{q}$估计^{[6, 12, 13]}:

这里$1<p\leq q<\infty$, ${\cal P}:L^{q}(\Omega)\rightarrow L_{\sigma}^{q}(\Omega)$是Helmholtz投影, $A = -{\cal P}\Delta$是相应的Stokes算子.

Stokes半群$e^{-tA}$在加权$L^{q}$空间中有类似的估计. 这里, 我们只限于在半空间中讨论. 给定一个非负可测函数$w\in L_{{\rm loc}}^{1}({\mathbb R}^{n})$, 称$w$是一个Muckenhoupt类的权函数, 记为$w\in{\cal A}_{q}({\mathbb R}^{n})$, 若$w$满足下面的不等式

这里的上确界是在所有具有如下性质的方体上取到的：它们的各个面都与坐标面平行. $|Q|$表示方体$Q$的$n$维体积.

带有权函数$w\in{\cal A}_{q}({\mathbb R}^{n})$的Lebesgue空间和Sobolev空间可以定义为

用$L_{w, \sigma}^{q}$表示$C_{0, \sigma}^{\infty}({\mathbb R}_{+}^{n})$在$L_{w}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n})$中的闭包. Fröhlich^[3]证明了在加权$L^{q}$空间中Helmholtz分解

仍然成立. 这里, $G_{w, \sigma}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n})$仍是$L_{w}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n})$的闭子空间, 可以表示为

与无权重的情形类似, Helmholtz投影${\cal P}:L_{w}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n})\rightarrow L_{w, \sigma}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n})$仍是有界的^[2-4]. 加权空间$L_{w}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n})$上的Stokes算子, 仍记作$A$, 它的定义域为

并且$e^{-tA}$仍是一个一致有界的解析的$C_{0}$ -半群^[5].

何成-王丽珍^[11]证明了Stokes半群$e^{-tA}$关于单权的$L^{p}$-$L^{q}$估计

这里, $w^{\alpha} = |x|^{\alpha}$或$|x'|^{\alpha}$, $-(n-1)/q<\alpha<(n-1)/p'$, 或者$w^{\alpha} = |x_{n}|^{\alpha}$, $-1/q<\alpha<1/p'$, 其中, $p'$是$p$的共轭指数, 即$1/p+1/p' = 1$. 以这些估计为基础, 在初始条件$u_{0}\in L^{n}({\mathbb R}_{+}^{n})$, $w^{\alpha}u_{0}\in L^{p}({\mathbb R}_{+}^{n})$ ($1<p<n$) 下, 他们构造了Navier-Stokes方程(1.1)的强解, 并给出了强解的加权估计

这里, $p\leq q<\infty$.

Kobayashi-Kubo^[15]建立了Stokes半群$e^{-tA}$的混合权估计式

这里, $w^{s'} = (1+|x'|^{2})^{s'_{1}/2}(1+x_{n}^{2})^{s'_{n}/2}$, $w^{s} = (1+|x'|^{2})^{s_{1}/2}(1+x_{n}^{2})^{s_{n}/2}$, $-(n-1)/q<s'_{1}\leq s_{1}<(n-1)/p'$, $-1/q<s'_{n}\leq s_{n}<1/p'$, 并且$s' = s'_{1}+s'_{n}$, $s = s_{1}+s_{n}$. 利用这些估计, 他们在初始条件$u_{0}\in L^{n}({\mathbb R}_{+}^{n})$, $w^{s}u_{0}\in L^{n}({\mathbb R}_{+}^{n})$下, 证明了Navier-Stokes方程(1.1)积分解的存在性, 并且估计了积分解关于时间的衰减速率, 即

这里, $n\leq q<\infty$, $-(n-1)/q<s'_{1}\leq s_{1}$, 并且$-1/q<s'_{n}\leq s_{n}$.

关于Stokes半群高阶偏导数的加权有界性, 韩丕功给出了几个不同的混合估计式, 分别是^{[8, 9]}

以及^[15]

其中, $k\in{\mathbb N}^{*}$, $1\leq p\leq q\leq\infty$, $0\leq\beta\leq\alpha\leq1$, $w^{\gamma}$ ($\gamma = \alpha, \beta$)的取法与文献[11]相同.

本文首先研究半空间上Stokes半群的加权估计. 与文献[10, 11, 15]中不同, 这里我们选取$w^{\alpha} = |x'|^{\alpha_{1}}x_{n}^{\alpha_{n}}$作为权函数. 利用半空间上Stokes半群的Ukai表达式, 以及分数幂积分算子的加权不等式, 我们首先建立Stokes半群的混合加权$L^{r}$-$L^{q}$估计式, 即

这里, $-(n-1)/q<\beta_{1}$, $-(n-1)/p<\gamma_{1}$, $\alpha_{1}<(n-1)/r'$, $-1/q<\beta_{n}$, $-1/p<\gamma_{n}$, $\alpha_{n}<1/r'$, 并且$\alpha = \alpha_{1}+\alpha_{n}$, $\beta = \beta_{1}+\beta_{n}$, $\gamma = \gamma_{1}+\gamma_{n}$. 将这些估计应用于积分算子

并借助于Hölder不等式与Hardy不等式, 我们将导出$\Phi$的时空估计式

这里, $1/a<\eta<1$, $1/a<\sigma<1$, 且$\zeta = \eta+\sigma-1$. 受文献[7]的启发, 我们还将选取$w^{\theta} = |x'|^{\theta_{1}}x_{n}^{\theta_{n}}$作为关于空间变量的权函数, 其中$\theta = \theta_{1}+\theta_{n} = 1-n/s$, $n\leq s<\infty$, 导出$e^{-tA}$的时空加权估计

利用这些估计, 本文将在初始条件$w^{\theta}u_{0}\in L^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$ (其中, $\|w^{\theta}u_{0}\|_{L^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})}$充分小)下, 证明非稳恒Navier-Stokes方程(1.1)积分解的存在域唯一性. 当空间维数$n = 3$, 且$n\leq s\leq4$时, 我们将证明, 若初始速度$u_{0}$还属于$L_{\sigma}^{2}({\mathbb R}_{+}^{n})$, 则该积分解恰好是Navier-Stokes方程(1.1)的正则解. 应当注意, 当$s>n$时, 加权函数空间$L_{w^{s-n}}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$与$L^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$并不一致. 其次, 在本文的条件下, $L_{w^{s-n}}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$与$L_{\eta}^{b}(0, T;L_{w^{\beta q}}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n}))$都是临界型的函数空间, 即分别关于伸缩变换$(u_{0})_{\lambda}(x) = \lambda u_{0}(\lambda x)$与$u_{\lambda}(x, t) = \lambda u_{0}(\lambda x, \lambda^{2}t)$保持不变. 故本文的研究再次证实了当初始值的尺寸足够小时, Navier-Stokes方程(1.1)在临界型空间中的解是整体存在的. 因此, 本文所得结果可以看作所列文献的有益补充.

本文的结构安排如下: 第1节是引言. 在第2节, 我们首先给出带有时间权重的抽象值函数空间的定义以及卷积算子的Hardy不等式, 然后叙述本文的主要结论. 第3节研究Stokes半群$e^{-tA}$关于空间混合权函数的$L^{r}$-$L^{q}$估计. 第4节建立积分算子$\Phi$与Stokes半群的加权时空估计式, 并以此为基础, 在带有时空权重的函数空间$L^{b}(0, T;L^{q}({\mathbb R}_{+}^{n}))$中证明Navier-Stokes方程(1.1)积分解的整体存在性与正则性.

作为准备知识, 我们首先给出带时间权重的抽象值函数空间. 假设$X$是一个抽象的Banach空间, 其上的范数记为$\|\cdot\|_{X}$, $0<T\leq\infty$. $[0, T)$上$X$ -值强可测函数的全体记为$L^{0}(0, T;X)$. 给定$1<b<\infty$ and $0<\eta\leq1$, 定义

并赋以范数

对于$b = \infty$, $L_{\eta}^{b}(0, T;X)$则定义为$L^{0}(0, T;X)$中满足$\mathop{\rm ess\sup}\limits_{0\leq t< T}t^{1-\eta}\|u(t)\|_{X}<\infty$的那些函数构成的空间. 易证, 若$\eta>1/b$, 则$L_{\eta}^{b}(0, T;X)\hookrightarrow L^{1}(0, T_{1};X)$对所有的$0<T_{1}<T$成立(参见文献[17]或[16, §1.2]). 下面是与$L_{\eta}^{b}(0, T;X)$相关的Hardy不等式(参见文献[17]或[1, §7.5]).

引理2.1  假设$1<a<\infty$, $1/a<\zeta\leq1$且$0<\delta<1-1/a$. 若$f\in L_{\zeta}^{a}(0, T;X)$, 则当$a\leq b\leq\infty$, $\eta = (1+1/b)-(\delta-\zeta+1/a)$时, 卷积函数

属于空间$L_{\eta}^{b}(0, T;X)$, 且有

这里, $1/k = 1-1/a+1/b$.

证  只考察$a\leq b<\infty$的情形. $b = \infty$的情形可以类似地证明. 对于$1\leq a<\infty$, 引入函数空间

显然, $f\in L_{\zeta}^{a}(0, T;X)$当且仅当$t^{1-\zeta+1/a}\|f\|_{X}\chi_{(0, T]}\in L_{*}^{a}(0, \infty)$. 这里$\chi_{(0, T]}$表示区间$(0, T]$的特征函数. 在函数空间$L_{*}^{a}(0, \infty)$上, 两个函数$f_{1}$与$f_{2}$的卷积可以表示为

相应的Young不等式为

这里, $1\leq b, k<\infty$, 且$1+1/b = 1/k+1/a$. 在Young不等式中取$f_{1} = (t-1)^{-\delta}t^{\delta-\zeta+1/a}\chi_{[1, \infty)}$与$f_{2} = t^{1-\zeta+1/a}\|f\|_{X}\chi_{(0, T]}$就可以得到引理的结论.

在半空间上考察Stokes流

将Helmholtz投影算子${\cal P}$作用到Stokes方程(2.1)的两边, 可以得到一个抽象的线性发展方程

显然, 方程(2.1)与(2.2)的解是相同的, 都可以表示为$e^{-tA}u_{0}$的形式, 其中$e^{-tA}$是$-A$生成的Stokes半群.

本文的第一个结果是$e^{-tA}$的混合加权估计式.

定理2.1  假设$1<r\leq p, q<\infty$, $\alpha = \alpha_{1}+\alpha_{n}$, $\beta = \beta_{1}+\beta_{n}$以及$\gamma = \gamma_{1}+\gamma_{n}$, 满足

及

则对所有的$f\in L_{w^{\alpha r}, \sigma}^{r}({\mathbb R}_{+}^{n})$, 我们有

这里, $x = (x', x_{n})\in{\mathbb R}_{+}^{n}$, $|x|$与$|x'|$分别表示向量$x$与$x'$的模, $w^{\delta} = |x'|^{\delta_{1}}x_{n}^{\delta_{n}}$ ($\delta = \alpha, \beta, \gamma$).

本文中, $C>0$表示各个不等式所涉及的常数, 它可能随式子的变化而变化, 但是不依赖于某个具体的函数.

取$n\leq s<\infty$, $\theta = 1-n/s$, 并取$2<b, d<\infty$, $n<p, q<\infty$, $1/a = 1/b+1/d$, $1/r = 1/p+1/q$及$0\leq\beta, \gamma<1$, $\alpha = \beta+\gamma$, 满足

记

及$\zeta = \eta+\omega-1$. 易见在上面的条件下, 有$1/d<\omega<1$, $1/b<\eta<1$以及$1/a<\zeta<1$. 用$b', d'$分别表示$b, d$的共轭指数, 即$1/b'+1/b = 1$, $1/d'+1/d = 1$.

对于上面所选取的指数, 我们可以导出Stokes半群$e^{-tA}$以及积分算子$\Phi$的时空估计式.

定理2.2  假设$u_{0}\in L_{w^{s\theta}, \sigma}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$, 则对于$p, q\geq s$, 有

引入交空间

并赋以范数

定理2.3  在空间${\mathbb X}_{T}$上, 由(1.2)式定义的积分算子$\Phi$是有界的, 且满足下面的不等式

用投影算子${\cal P}$作用于Navier-Stokes方程(1.1)的两边, 得到另外一个抽象发展方程

显然, 方程(1.1)的正则解一定满足方程(2.11), 从而满足下面的积分方程

反过来, 积分方程(2.12)的解未必满足方程(2.11), 从而未必是Navier-Stokes方程(1.1)的正则解. 我们把这样的解称为它们的积分解.

定理2.4  对每一个$u_{0}\in L_{w^{s\theta}, \sigma}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$, 当它的范数充分小时, 对每一个$0<T\leq\infty$, 方程(1.1)在空间${\mathbb X}_{T}$中一定存在唯一的积分解.

进一步的, 若空间维数$n = 3$, 且$n\leq s\leq4$, 则当初始速度$u_{0}$属于交空间$L_{w^{s\theta}, \sigma}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})\cap L_{\sigma}^{2}({\mathbb R}_{+}^{n})$时, 方程(1.1)的积分解恰好是它的正则解, 且满足能量等式

此时, 一定存在一个数值函数$\pi\in C^{\infty}((0, T)\times\overline{{\mathbb R}_{+}^{n}})$, 使得$w^{\alpha}\nabla\pi\in L_{\varsigma}^{a}(0, T;L^{2}({\mathbb R}_{+}^{n}))$, 并且$u$与$\nabla\pi$在区域$(0, T)\times{\mathbb R}_{+}^{n}$中处处满足Navier-Stokes方程(1.1).

注2.1  由于$\theta = 1-n/s\in(-n/s, n(1-1/s))$, 故对于初始速度$u_{0}$而言, $w^{s\theta}$是一个合适的权函数. 并且当$s = n$时, $\theta = 0$且$L_{w^{s\theta}, \sigma}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n}) = L_{\sigma}^{n}({\mathbb R}_{+}^{n})$, 这样由定理2.4就可以导出一个大家都熟知的结论^[14]. 而当$s>n$时, 加权函数空间$L_{w^{s-n}}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$与$L^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$并不一致, 并且此时得到的积分解是整体存在的, 这是本文与相关文献不同的地方. 其次容易验证, 在条件$\theta = 1-n/s$与(2.8)下, $L_{w^{s-n}}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$与$L_{\eta}^{b}(0, T;L_{w^{\beta q}}^{q}({\mathbb R}_{+}^{n}))$都是临界型的函数空间, 即分别关于伸缩变换$(u_{0})_{\lambda}(x) = \lambda u_{0}(\lambda x)$与$u_{\lambda}(x, t) = \lambda u_{0 }(\lambda x, \lambda^{2}t)$保持不变. 故定理2.4再次证实了当初始值的尺寸足够小时, Navier-Stokes方程(1.1)在临界型空间中的解是整体存在的. 由此可见, 定理2.4中的结论可以看作所列文献中相关结论的补充与推广.

假设$u_{0}\in L_{w^{\alpha r}, \sigma}^{r}({\mathbb R}_{+}^{n})$. 根据Ukai1987年的文章^[20], 半空间上的Stokes流$u(t) = e^{-tA}u_{0}$具有下面的表达式

这里, 半空间上的热半群$E(t)$可以表示为

其中$x^{*}-y^{*} = (x'-y', x_{n}+y_{n})$,

是Gauss积分核. 算子$V_{i}$, $i = 1, 2$以及$U$可以定义为

其中$ef$是函数$f$从${\mathbb R}_{+}^{n}$到${\mathbb R}^{n}$上的零延拓, $rg$则是定义在${\mathbb R}^{n}$上的函数$g$在${\mathbb R}_{+}^{n}$上的限制. $R'$与$S$都是向量形式的算子, 即$R' = (R_{1}, R_{2}, \cdots, R_{n-1})$, $S' = (S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{n-1})$, 其中

分别是$n-1$维与$n$维的Riesz算子.

在文献[11]中, 作者证实了当

时有$|x'|^{\alpha_{1} q}\in{\cal A}_{q}({\mathbb R}^{n-1})\cap{\cal A}_{q}({\mathbb R}^{n})$, $|x_{n}|^{\alpha_{n} q}\in{\cal A}_{q}({\mathbb R})\cap{\cal A}_{q}({\mathbb R}^{n})$, 以及$|x'|^{\alpha_{1} q}|x_{n}|^{\alpha_{n} q}\in{\cal A}_{q}({\mathbb R}^{n})$.

在下面的讨论中, 将取$|x'|^{\alpha_{1}r}$, $|x'|^{\beta_{1}q}$, $|x_{n}|^{\alpha_{n}r}$以及$|x_{n}|^{\beta_{n}q}$作为权函数, 其中$\beta_{i}$与$\alpha_{i}$, $i = 1, n$满足条件(2.3). 下面的引理揭示了分数幂积分算子关于双权的$L^{r}$-$L^{q}$有界性^{[18, 21]}.

引理3.1  若指数$0<\delta<1$与$0<\kappa<n-1$满足

则下面两个分别定义在$(0, \infty)$与${\mathbb R}^{n-1}$上的分数幂积分算子

满足

下面我们推导半空间上热半群的混合加权估计式. 首先, 由Gauss核的相关不等式, 有

这里

且$0<\delta<1$, $0<\kappa<n-1$, $\nu = \delta+\kappa$. 其次, 将引理3.1中的两个不等式先后用上, 并结合Minkowski不等式, 可以得到

关于$E(t)f$的梯度, 则有

与不等式(3.3)的推导过程类似, 可以推得

这里$\alpha_{1}$与$\alpha_{n}$满足条件(2.3), $\gamma_{1}$与$\gamma_{n}$满足条件(2.4).

定理2.1的证明  由文献[11, 20]可知, 对于任意的$w\in {\cal A}_{p}({\mathbb R}^{n})\cap {\cal A}_{p}({\mathbb R}^{n-1})$ ($1<p<\infty$), 算子$R_{j}$, $S_{j}$, $V_{i}$与$U$在空间$L_{w}^{p}({\mathbb R}^{n-1})$与$L_{w}^{p}({\mathbb R}^{n})$上是有界的. 并且在条件(2.3)与(2.4)下, 函数$|x'|^{\alpha_{1}r}x_{n}^{\alpha_{n}r}$是一个${\cal A}_{r}$权, $|x'|^{\beta_{1}q}x_{n}^{\beta_{n}q}$是一个${\cal A}_{q}$权, 而$|x'|^{\gamma_{1}p}x_{n}^{\gamma_{n}p}$则是个${\cal A}_{p}$权. 于是利用不等式(3.1)–(3.4), 就可以推出估计式(2.5)与(2.6).

为方便起见, 本节将用$w^{\delta}(x)$表示$|x'|^{\delta_{1}}x_{n}^{\delta_{n}}$, 其中$\delta_{1}, \delta_{n}\geq0$, 且$\delta = \delta_{1}+\delta_{n}$.

定理2.2的证明  首先, 由不等式(2.5)与条件(2.8)得

这里, $r_{2} = s$, $1<r_{1}<r_{2}<r_{3}\leq q$以及$b_{2} = b$, $1\leq b_{1}<b_{2}<b_{3}\leq \infty$, 且满足

从式(4.1), 我们知道

并且存在常数$\widetilde{C}_{i}>0$, $i = 1, 2$, 使得

这里, $L_{{\rm w}}^{b}(0, T;L^{q}({\mathbb R}_{+}^{n}))$表示弱$L^{b}$空间. 现在利用弱$L^{s}$空间的内插(参见文献[7]或[19, Appendix]), 存在与$T$无关的常数$C>0$, 使得

类似的, 由不等式(2.6)与条件(2.8)可以推得

再利用上面的推导过程, 得

定理2.2得证.

在下面的讨论中, 不等式(4.2)与(4.3)中的常数$C$将用$C_{0}$代替.

定理2.3的证明  利用估计式(2.5)与(2.8), 我们得到

将Hardy不等式应用与上式右端, 得

这里

再将Hölder应用于(4.4)式的右端, 得

类似的, 从估计式(2.6)可以推得

然后依次将Hardy不等式与Hölder不等式应用于式(4.5)的右端, 就可以得到

这里

注意到空间$L_{\ast}^{\infty}(0, \infty)$与$L^{\infty}(0, \infty)$是相同的, 故由(2.5)式与Hardy不等式可得

其中, $1/s_{1} = 1/s+1/p$,

这样就证明了定理2.3.

注4.1   利用相同的推导过程, 可以得到

这里, $\widetilde{C}_{0} = \max\{CC_{1}, CC_{2}\}$.

定理2.4的证明   给定$u_{0}\in L_{w^{s\theta}, \sigma}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$与$0<T\leq\infty$, 在空间${\mathbb X}_{T}$上定义算子$\Gamma$如下

由于$e^{-tA}$是$L_{w^{s\theta}, \sigma}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})$上的一致有界的$C_{0}$ -半群(参考文献[5]), Stokes流$e^{-tA}u_{0}$落在空间$BC([0, T);L_{w^{s\theta}, \sigma}^{s}({\mathbb R}_{+}^{n}))$中. 由定理2.2与2.3容易推出, $\Gamma:{\mathbb X}_{T}\rightarrow {\mathbb X}_{T}$有界, 且有

其中, $\widetilde{C} = \max\{C_{0}, 2\widetilde{C}_{0}\}$. 假设$\|w^{\theta}u_{0}\|_{L^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})}<1/4\widetilde{C}^{2}$. 令

并记

由估计(4.8)可知, 若$u\in\Omega$, 则

由估计(4.7), 我们还可以得到

因此, $\Gamma:\Omega\rightarrow \Omega$是一个压缩映射. 这样由Banach压缩映射原理, $\Gamma$在空间${\mathbb X}_{T}$存在唯一的不动点, 该不动点恰好就是方程(1.1)的积分解. 积分解的存在性得证. 注意到在条件$\|w^{\theta}u_{0}\|_{L^{s}({\mathbb R}_{+}^{n})}<1/4\widetilde{C}^{2}$下, 每一个积分解$u$都一定满足$\|u\|_{{\mathbb X}_{T}}\leq \lambda_{0}$, 这样由式(4.9)就能推出积分解的唯一性.

在证明的第二部分, 我们将要求$n = 3$及$n\leq s\leq4$. 令$1/s_{2} = 1/2+1/p$, 则与估计式(4.6)的推导过程类似, 可以得到

令$1/s_{3} = 1/q+1/2$与$1/b_{1} = 1/b+1/2$, 则从式(2.6)可以推得

再次应用Hardy不等式, 我们有

其中

令$\widetilde{C}_{0}\geq CC_{4}$, 则有$\widetilde{C}\geq 2CC_{4}$. 考虑到$\|u\|_{{\mathbb X}_{T}}\leq \lambda_{0}$, 我们断言

这样, 由估计式(4.10)与(4.11)可以看出, 范数$\|\Phi(u)\|_{L^{\infty}(0, T;L^{2}({\mathbb R}_{+}^{n}))}$与$\| \nabla\Phi(u)\|_{L^{2}(0, T;L^{2}({\mathbb R}_{+}^{n}))}$都是有限的. 因此, 上面得到的积分解$u$落在空间${\mathbb V}_{T}$中.

令$\beta = \gamma = 0$, 并取合适的$p, q, b$与$d$, 满足(2.7)式及$r = 2$. 例如, 取$p = q = 4$, $d = 2$以及$b = 9$. 在这样的设定下, 我们有

这样由Stoke半群的强连续性, 我们断言$u = e^{-tA}u_{0}+\Phi u$属于空间$C([0, T);L_{\sigma}^{2}({\mathbb R}_{+}^{n}))$, 从而是下面积分方程

的唯一解. 上式两端都用$\varphi\in C_{0, \sigma}^{\infty}({\mathbb R}_{+}^{n})$作对偶积, 则有

对所有的$t\in[0, T)$成立. 这里

这个事实告诉我们, $u$恰好是Navier-Stokes方程(1.1)的弱解.

进一步的, 由$\beta$与$\gamma$的选择可知

再从条件(2.7)可得

Navier-Stokes方程的经典理论告诉我们(参考文献[6]): 在上式成立的前提下, $u\in C((\varepsilon, T)\times \overline{{\mathbb R}_{+}^{n}})$恰好是方程(1.1)的正则解, 并且在区间$\varepsilon<\varepsilon< T$上满足能量等式

令$\varepsilon\rightarrow0$, 并利用$u$在$t = 0$处关于$L_{\sigma}^{2}({\mathbb R}_{+}^{n}))$范数的连续性, 就可以认定$u\in C((0, T)\times \overline{{\mathbb R}_{+}^{n}})$是方程(1.1)在区间$(0, T)$上的正则解, 并在整个区间$[0, T)$上满足能量等式(2.13). 进一步的, 利用向量场的Helmholtz分解, 可以找到数值函数$\pi\in C((0, T)\times \overline{{\mathbb R}_{+}^{n}})$, 使得$u$与$\nabla \pi$一起在区域$(0, T)\times {\mathbb R}_{+}^{n}$上满足Navier-Stokes方程. 最后, 由投影算子$I-{\cal P}$的连续性, 又可以判断出$\nabla \pi\in L_{\zeta}^{a}(0, T;L^{2}({\mathbb R}_{+}^{n}))$, 并且

这样我们就完成了定理2.3的证明.