1996年, Kolyada^[1]介绍了非自治离散动力系统的概念. 之后, Elaydi等学者将它们与一些非自治微分方程联系起来(参见文献[2-3]).

令$ f_{1, \infty} = (f_{n})^{\infty}_{n = 1} $是紧度量空间$ (I, d) $上的一个连续自映射序列. 对于任意正整数$ i, n\in{\Bbb N} $, 记$ f^{n}_{i} = f_{i+(n-1)}\circ\cdots\circ f_{i} $, $ f^{0}_{1} = {\rm id}_{I} $ (恒等映射). 称系统$ (I, f_{1, \infty}) $为非自治离散动力系统. $ \forall x\in I $, 点$ x $在映射序列$ f_{1, \infty} $下的轨道为$ \{f^{n}_{1}(x): n \in {\Bbb N}\} = orb(x, f_{1, \infty}) $. 换句话说, 这个轨道也就是非自治微分方程

$ \left\{\begin{array}{ll} x_{n+1} = f_{n}(x_{n}) , \\ x_{0} = x \end{array} \right. $

的解. 当$ f_{n} = f $ ($ \forall n\in {\Bbb N} $) 时, 系统简化为$ (I, f ) $, 就成为与自治微分方程相关的自治离散动力系统.

21世纪初以来, 关于非自治离散系统的混沌性问题一直倍受学者们关注. Canovas^[4]研究了映射序列$ f_{1, \infty} $的极限行为, 考虑当$ f_{1, \infty} $一致收敛于$ f $时, 是否有极限映射$ f $的混沌性意味着原映射序列$ f_{1, \infty} $的混沌性. Kumar^[5]在无限维空间中讨论了具有有限延迟的非自治二阶非线性微分方程的近似可控性. 2020年, 邵华^[6-7]建立了非自治离散系统中强Li-Yorke混沌和分布混沌的判断准据, 并讨论了非自治集值系统与有限子移位系统之间的拓扑等度半共轭性和等度共轭性. 同年, 黎日松^[8]则进一步将非自治系统的一般传递性和敏感性扩展到了更强形式的传递性和敏感性. 此外, 我们也曾经得到过关于$ f_{1, \infty} $的分布混沌性, 敏感性和$ {\cal F} $ -混沌性的一些结果^[9-11]. 其它有关非自治离散系统混沌性的研究, 参见文献[12-24].

对$ \forall m\in {\Bbb N} $, 定义

$ g_1 = f_{m}\circ\cdots \circ f_1, \; g_2 = f_{2m}\circ\cdots \circ f_{m+1}, \cdots , \; g_{p} = f_{pm}\circ\cdots \circ f_{(p-1)m+1}, \cdots . $

称$ (I, g_{1, \infty}) $是$ m $次迭代的或者称其为系统$ (I, f_{1, \infty}) $的一个复合系统. 记$ g_{1, \infty} = f_{1, \infty}^{[m]} $.

这篇文章将讨论非自治复合系统的集态敏感性、集态无限敏感性、集态可达性和集态Li-Yorke敏感性等.

令$ (I, d) $是一个紧度量空间, $ f_n:I\mapsto I (n\geq1) $是连续自映射序列.

定义2.1  (1) $ f_{1, \infty} $是敏感依赖的, 如果存在$ \eta>0 $, 使得对任意$ a\in I $和$ \varepsilon>0 $, 存在$ b\in B(a, \varepsilon) $和$ n\in {\Bbb N} $, 满足$ d(f^n_1(a), f^n_1(b))>\eta $;

$ \rm(2) $$ f_{1, \infty} $称为无限敏感的, 如果存在$ \eta>0 $, 使得对任意$ a\in I $和$ \varepsilon>0 $, 存在$ b\in B(a, \varepsilon) $和$ n\in {\Bbb N} $, 满足$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f^n_1(a), f^n_1(b))\geq \eta $;

$ \rm(3) $$ f_{1, \infty} $称为传递的, 如果对任意非空开子集$ U_{1}, U_{2}\subset I $, 存在$ n\in {\Bbb N} $, 满足$ f_1^{n}(U_{1})\cap U_{2}\neq\emptyset $;

$ \rm(4) $$ f_{1, \infty} $称为可达的, 如果对任意的$ \varepsilon>0 $和任意两个非空开子集$ U_1, U_2\subset I $, 存在$ a\in U_1 $, $ b\in U_2 $和$ n\in {\Bbb N} $使得$ d(f^n_1(a), f^n_1(b))<\varepsilon $;

$ \rm(5) $$ f_{1, \infty} $称为正合的, 如果对任意非空开子集$ U\subset I $, 存在$ n\in {\Bbb N} $使得$ f_1^n(U) = I $.

定义2.2  称映射序列$ f_n(n\geq1) $是一致连续的, 如果对任意$ \varepsilon>0 $, 存在$ \delta>0 $和$ N\in{\Bbb N} $使得对$ \forall a, b\in I $, 当$ d(a, b)<\delta $时, 对$ \forall n>N $, 有$ d(f_n(a), f_n(b))<\varepsilon $.

定义2.3  称映射序列$ f_n(n\geq1) $是集态一致连续的, 如果对任意$ \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s; b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $, 有下列两个条件成立:

(1) 对$ \forall 1\leq i, j \leq s $, $ \exists \delta>0 $满足$ d(a_i, b_j)<\delta $;

(2) $ \exists N\in {\Bbb N} $, 对$ \forall n>N $, $ \exists 1\leq i_0, j_0\leq s $使得

$ \begin{array}{l} d(f_n(a_{i_0}), f_n(b_j))<\varepsilon(1\leq j\leq s) \quad \mbox{或者}\quad d(f_n(a_i), f_n(b_{j_0}))<\varepsilon(1\leq i\leq s). \end{array} $

定义2.4  称系统$ (I, f_{1, \infty}) $ (或者映射序列$ f_{1, \infty} $) 是集态敏感的, 其集态敏感常数为$ \delta $. 如果存在$ \delta>0 $, 对$ \forall \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $, 存在$ s $个不同的点$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $使得下列两个条件成立:

(1) 对一切$ 1\leq i, j\leq s $, 满足$ d(a_i, b_j)<\varepsilon $;

(2) 存在$ 1\leq i_0, j_0\leq s $和$ n\in{\Bbb N} $使得

$ \begin{array}{l} d(f_1^n(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\delta(1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad d(f_1^n(a_{i_0}), f_1^n(b_{j}))>\delta(1\leq j\leq s). \end{array} $

定义2.5  称系统$ (I, f_{1, \infty}) $ (或者映射序列$ f_{1, \infty} $) 是集态无限敏感的, 其集态无限敏感常数为$ \delta $. 如果存在$ \delta>0 $, 对任意$ \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $, 存在$ s $个不同的点$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $使得下列两个条件成立:

$ \rm(1) $对一切$ 1\leq i, j\leq s $, 满足$ d(a_i, b_j)<\varepsilon $;

$ \rm(2) $存在$ 1\leq i_0, j_0\leq s $使得

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\delta(1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a_{i_0)}, f_1^n(b_{j}))>\delta(1\leq j\leq s). $

命题2.1  如果系统$ (I, f_{1, \infty}) $ (或者映射序列$ f_{1, \infty} $) 是集态无限敏感的, 则该系统一定是集态敏感的.

证  因为$ (I, f_{1, \infty}) $是集态无限敏感的, 则存在$ \lambda>0 $, 对任意$ \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $, 存在$ s $个不同的点$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $使得下列两个条件成立:

(1) 对一切$ 1\leq i, j\leq s $, 满足$ d(a_i, b_j)<\varepsilon $;

(2) 存在$ 1\leq i_0, j_0\leq s $使得

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\lambda(1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a_{i_0)}, f_1^n(b_{j}))>\lambda(1\leq j\leq s). $

由条件(2)可知, 存在一个$ \{n_k\}_{k\in{\Bbb N}} $和$ \eta>\lambda $使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow \infty}d(f^{n_{k}}_1(a_i), f^{n_{k}}_1(b_{j_0})) = \eta(1\leq i\leq s) $

或者

$ \limsup\limits_{k\rightarrow \infty}d(f^{n_{k}}_1(a_{i_0}), f^{n_{k}}_1(b_{j})) = \eta(1\leq j\leq s). $

从而, 存在一个$ k_i\in{\Bbb N} $使得

$ d(f^{n_{k_i}}_1(a_i), f^{n_{k_i}}_1(b_{j_0}))>\lambda(1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad d(f^{n_{k_i}}_1(a_{i_0}), f^{n_{k_i}}_1(b_{j}))>\lambda(1\leq j\leq s). $

因此, 系统$ (I, f_{1, \infty}) $是集态敏感的.

定义2.6  称系统$ (I, f_{1, \infty}) $ (或者映射序列$ f_{1, \infty} $) 是集态可达的, 如果对任意$ \varepsilon>0 $和任意非空开子集$ A_1, A_2, \cdots, A_{s}; B_1, B_2, \cdots, B_{s}\subset I $, 存在$ a_i\in A_i(i\in \{1, 2, \cdots, s\}) $和$ b_j\in B_j(j\in \{1, 2, \cdots, s\}) $使得下列条件之一成立:

$ \rm(1) $$ \exists i_0\in \{1, 2, \cdots, s\} $, 对$ \forall j\in \{1, 2, \cdots, s\} $, $ \exists n\in {\Bbb N} $满足$ d(f_1^n(a_{i_0}), f_1^n(b_{j}))<\varepsilon $;

$ \rm(2) $$ \exists j_0\in \{1, 2, \cdots, s\} $, 对$ \forall i\in \{1, 2, \cdots, s\} $, $ \exists n\in {\Bbb N} $满足$ d(f_1^n(a_{i}), f_1^n(b_{j_0}))<\varepsilon. $

定义2.7  称系统$ (I, f_{1, \infty}) $ (或者映射序列$ f_{1, \infty} $) 是集态Li-Yorke敏感的, 其集态Li-Yorke敏感常数为$ \delta $. 如果存在$ \delta>0 $, 对任意$ \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $, 存在$ s $个不同的点$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $使得下列两个条件成立:

$ \rm(1) $对一切$ 1\leq i, j\leq s $, 满足$ d(a_i, b_j)<\varepsilon $;

$ \rm(2) $存在$ 1\leq i_0, j_0\leq s $使得

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\delta \quad \mbox{且}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0})) = 0(1\leq i \leq s) $

或者

$ \begin{array}{l} \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_{i_0}), f_1^n(b_{j}))>\delta \quad \mbox{且}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_{i_0}), f_1^n(b_{j})) = 0(1\leq j\leq s). \end{array} $

在本节, 区间$ I $的度量为$ d(a, b) = \mid a-b\mid (\forall a, b\in I) $. 同时, 我们总是假设$ f_n(n\in {\Bbb N}) $为满射.

定理3.1  映射序列$ f_{1, \infty} $是$ {\cal P} $ -混沌的当且仅当对任意$ n\in {\Bbb N}, $$ n\geq 2 $, $ f_{n, \infty} $是$ {\cal P} $ -混沌的. 其中, $ {\cal P} $ -混沌表示下面五个性质之一: 传递性、敏感性、无限敏感性、可达性和正合性.

证  (ⅰ) (传递性)   仅需要证明$ n = 2 $的情形.

充分性. 因为$ f_{2, \infty} $是传递的, 则对任意非空开集$ U_{1}, U_{2}\subset I $, 存在$ n\in {\Bbb N} $使得$ f_2^{n}(U_{1})\cap U_{2}\neq\emptyset $. 也就是说存在一个$ a\in U_1 $和$ n\in {\Bbb N} $使得$ f_2^n(a)\in U_2 $. 因为$ f_1 $是满射. 取$ U_1 $中每个元素在$ f_1 $之下的逆象构成集合$ U_1^{*} $. 那么, 存在一个$ a^{*}\in U_1^* $使得$ f_1(a^{*}) = a $. 从而可以得到$ f_1^n(a^{*}) = f_2^n(a)\in U_2 $. 由集合$ U_1 $的任意性, $ f_{1, \infty} $是传递的.

必要性. 因为$ f_{1, \infty} $是传递的, 则对任意非空开子集$ U_{1}, U_{2}\subset I $, 存在$ n\in {\Bbb N} $使得$ f_1^{n}(U_{1})\cap U_{2}\neq\emptyset $. 也就是说存在一个$ a\in U_1 $和$ n\in {\Bbb N} $满足$ f_1^n(a)\in U_2 $. 因为$ f_1 $是满射. 取$ U_1 $中每个元素在$ f_1 $之下的象构成集合$ U_1^{*} $. 那么, 存在一个$ a^{*}\in U_1^* $使得$ f_1(a) = a^{*} $. 则可得$ f_2^{n-1}(a^{*}) = f_1^n(a)\in U_2 $. 即对$ U_1^{*}, U_2\in I $, $ \exists n-1\in {\Bbb N} $使得$ f_2^{n-1}(U_{1}^{*})\cap U_{2}\neq\emptyset $. 由集合$ U_1 $的任意性知$ U_1^{*} $为任意非空开子集, 从而$ f_{2, \infty} $是传递的.

(ⅱ) (敏感性)   与下面无限敏感性的证明相似.

(ⅲ) (无限敏感性)   因为$ f_{2, \infty} $是无限敏感的, 则存在$ \eta>0 $使得对任意$ a\in I $和$ \varepsilon>0 $, 存在$ b\in B(a, \varepsilon) $和$ n\in {\Bbb N} $满足

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_2^n(a), f_2^n(b))\geq \eta. $

因为$ f_1 $是一个满射, 所以存在点$ a^{*}\in I $使得$ f_1(a^{*}) = a $. 又因为$ f_1 $是连续的, 则对$ \forall \varepsilon_1>0 $, 存在$ B(a^{*}, \varepsilon_1) $使得$ f_1(B(a^{*}, \varepsilon_1))\subset B(f_1(a^{*}), \varepsilon) = B(a, \varepsilon) $. 从而, 存在$ b^{*}\in B(a^{*}, \varepsilon_1) $使得$ f_1(b^{*}) = b $. 因此

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a^{*}), f_1^n(b^{*})) = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_2^n(a), f_2^n(b))\geq \eta. $

由点$ a $和$ \varepsilon_1 $的任意性, $ f_{1, \infty} $是无限敏感的.

必要性. 因为$ f_{1, \infty} $是无限敏感的, 则存在$ \eta>0 $使得对任意点$ a\in I $和$ \varepsilon>0 $, 存在$ b\in B(a, \varepsilon) $和$ n\in {\Bbb N} $满足

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a), f_1^n(b))\geq \eta. $

因为$ f_1 $是一个满射, 所以存在点$ a^{*}\in I $使得$ f_1(a) = a^{*} $. 又因为$ f_1 $是连续的, 可得$ f_1(B(a, \varepsilon))\subset B(f_1(a), \varepsilon_1) = B(a^{*}, \varepsilon_1) $. 因此, 存在$ b^{*}\in B(a^{*}, \varepsilon) $使得$ f_1(b) = b^{*} $. 从而

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_2^n(a^{*}), f_2^n(b^{*})) = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a), f_1^n(b))\geq \eta. $

由$ a $和$ \varepsilon $的任意性, $ f_{2, \infty} $是无限敏感的.

(ⅳ) (可达性)   充分性. 因为$ f_{2, \infty} $是可达的, 则对$ \forall \varepsilon>0 $和任意非空开子集$ U_1, U_2\subset I $, 存在两点$ a\in U_1 $, $ b\in U_2 $和$ n\in {\Bbb N} $使得$ d(f_2^n(a), f_2^n(b)))<\varepsilon $. 因为$ f_1 $是一个满射, 取$ U_1 $和$ U_2 $中每个元素在$ f_1 $之下的逆象分别构成集合$ U_1^{*} $和$ U_2^{*} $. 则存在$ a^{*}\in U_1^{*} $, $ b^{*}\in U_2^{*} $使得$ f_1(a^{*}) = a $和$ f_1(b^{*}) = b $. 因此, 可得

$ d(f_1^n(a^{*}), f_1^n(b^{*})) = d(f_2^{n-1}(a), f_2^{n-1}(b))<\varepsilon. $

由$ U_1 $和$ U_2 $的任意性, $ f_{1, \infty} $是可达的.

必要性. 因为$ f_{1, \infty} $是可达的, 则对任意$ \varepsilon>0 $和任意非空开子集$ U_1, U_2\subset I $, 存在两点$ a\in U_1 $, $ b\in U_2 $和$ n\in {\Bbb N} $使得$ d(f_1^n(a), f_1^n(b)))<\varepsilon $. 因为$ f_1 $是一个满射. 取$ U_1 $和$ U_2 $中每个元素在$ f_1 $之下的象分别构成集合$ U_1^{*} $和$ U_2^{*} $. 那么存在$ a^{*}\in U_1^{*} $, $ b^{*}\in U_2^{*} $使得$ f_1(a) = a^{*} $和$ f_1(b) = b^{*} $. 因此, 可得

$ d(f_2^{n-1}(a^{*}), f_2^{n-1}(b^{*})) = d(f_1^n(a), f_1^n(b))<\varepsilon. $

由$ U_1 $和$ U_2 $的任意性, $ f_{2, \infty} $是可达的.

(ⅴ) (正合性)   充分性. 因为$ f_{2, \infty} $是正合的, 则对任意非空开子集$ U\subset I $, 存在$ n\in{\Bbb N} $使得$ f_2^n(U) = X $. 也就是说$ f^n_2(U)\subseteq I $和$ I\subseteq f^n_2(U) $都成立. 所以, 对任意$ a\in U $, 可以得到$ f^n_2(a)\in I $. 因为$ f_1 $是一个满射, 取$ U $中每个元素在$ f_1 $之下的逆象构成集合$ U^{*} $. 那么, 存在一个$ a^{*}\in U^{*} $, $ f_1(a^{*}) = a $满足$ f_1^n(a^{*}) = f_2^n(a)\in I $. 再根据点$ a $的任意性, 可知$ f_1^n(U^{*})\subseteq I $. 又因为$ I\subseteq f_2^n(U) = f_1^n(U^{*}) $, 则$ I\subseteq f_1^n(U^{*}) $. 由$ U $的任意性, 可得$ f_1^n(U^{*}) = I $. 因此, $ f_{1, \infty} $是正合的.

必要性. 因为$ f_{1, \infty} $是正合的, 则对任意的非空开子集$ U\subset I $, 存在$ n\in{\Bbb N} $使得$ f_1^n(U) = X $. 从而有$ f^n_1(U)\subseteq I $和$ I\subseteq f^n_1(U) $. 所以, 对任意$ a\in U $, 可以得到$ f^n_1(a)\in I $. 而$ f_1 $是满射, 取$ U $中每个元素在$ f_1 $之下的象构成集合$ U^{*} $, 可知存在$ a^{*}\in U^{*} $使得$ f_1(a) = a^{*} $. 从而可得$ f_2^n(a^{*}) = f_1^n(a)\in I $. 再由$ a $的任意性可得$ f_2^n(U^{*})\subseteq I $. 又因为$ I\subseteq f_1^n(U) = f_2^n(U^{*}) $, 则$ I\subseteq f_2^n(U^{*}) $. 由$ U $的任意性可得$ f_2^n(U^{*}) = I $. 因此, $ f_{2, \infty} $是正合的.

在这一节, 我们将讨论非自治离散系统中复合映射$ f^{[m]}_{1, \infty} $的集态敏感性、集态无限敏感性、集态Li-Yorke敏感性和集态可达性.

引理4.1^[10]  如果映射序列$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $一致收敛于$ f $, 则对$ \forall m\in {\Bbb N}, m\geq2 $, 映射序列$ (f_n^m)_{n = 1}^{\infty} $一致收敛于$ f^m $.

引理4.2  如果$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是一致连续的, 则它一定是集态一致连续的.

证  因为$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是一致连续的, 则对$ \forall \varepsilon>0 $, 存在一个$ \delta(\varepsilon) $使得对任意的$ a_1, b_1\in I $, $ d(a_1, b_1)<\delta(\varepsilon) $, $ \exists N_1\in {\Bbb N} $, 对$ \forall n>N_1 $, 有$ d(f_n(a_1), f_n(b_1))<\varepsilon $. 我们取$ \delta^{*}<\delta(\varepsilon) $使得$ d(a_1, b_1)<\delta^{*}<\delta(\varepsilon) $. 取$ b_2\in I $, $ d(a_1, b_2)<\delta^{*} $, $ \exists N_2\in {\Bbb N} $, 对$ \forall n>N_2 $, $ d(f_n(a_1), f_n(b_2))<\varepsilon $; $ \cdots $; 取$ b_s\in I $, $ d(a_1, b_s)<\delta^{*} $, $ \exists N_s\in {\Bbb N} $, 对$ \forall n>N_s $, $ d(f_n(a_1), f_n(b_s))<\varepsilon $. 从而有$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $. 取$ a_2, a_3, \cdots, a_s\in I $和$ a_i\in B(a_1, \delta(\varepsilon)-\delta^{*}) $, 则对$ \forall 1\leq i, j\leq s $有$ d(a_i, b_j)<\delta(\varepsilon) $. 令$ N^{*} = max\{N_1, N_2, \cdots, N_S\} $, 对$ \forall n>N^{*} $, 存在一个$ i_0 = 1 $使得$ d(f_n(a_{i_0}), f_n(b_j))<\varepsilon, (1\leq j\leq s). $类似的, 存在一个$ 1\leq j_0\leq s $使得$ d(f_n(a_{i}), f_n(b_{j_0}))<\varepsilon, (1\leq i\leq s). $因此, $ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是集态一致连续的.

引理4.3  如果$ (f_n^m)_{n = 1}^{\infty}, m\in {\Bbb N} $是一致连续的, 则它一定是集态一致连续的.

证  证明类似于引理4.2.

引理4.4  如果$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $一致收敛于$ f $, 则对$ \forall\varepsilon>0 $和$ \forall m\in{\Bbb N} $, 存在$ \delta>0 $和$ N\in {\Bbb N} $使得对任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $和$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $, 下列两个结论成立:

$ \rm(1) $对$ \forall1\leq i, j \leq s $, 有$ d(a_i, b_j)<\delta $;

$ \rm(2) $对$ \forall n>N $, $ \exists 1\leq i_0, j_0\leq s $, 有

$ \begin{array}{l} d(f_n^m(a_{i_0}), f_n^m(b_j))<\varepsilon \quad \mbox{或者}\quad d(f_n^m(a_i), f_n^m(b_{j_0}))<\varepsilon. \end{array} $

证  根据引理4.1和不等式

$ \begin{array}{l} d(f_n^m(a_{i_0}), f_n^m(b_j))\leq d(f_n^m(a_{i_0}), f^m(a_{i_0}))+d(f^m(a_{i_0}), f^m(b_j))+d(f^m(b_j), f_n^m(b_j)). \end{array} $

可知$ d(f_n^m(a_{i_0}), f_n^m(b_j))<\varepsilon $成立. $ d(f_n^m(a_i), f_n^m(b_{j_0}))<\varepsilon $同理可证.

定理4.1   如果映射序列$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是一致收敛的, 则$ f_{1, \infty} $集态敏感当且仅当对$ \forall m\in {\Bbb N} $, $ f_{1, \infty}^{[m]} $集态敏感.

证  必要性. 因为$ f_{1, \infty} $是集态敏感的, 设其集态敏感常数为$ \delta $, 则对$ \forall \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $, 存在$ s $个不同的点$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $使得

(1) 对一切$ 1\leq i, j\leq s $, 满足$ d(a_i, b_j)<\varepsilon $;

(2) 存在$ 1\leq i_0, j_0\leq s $和$ n\in {\Bbb N} $使得

$ \begin{array}{l} d(f_1^{n}(a_i), f_1^{n}(b_{j_0}))>\delta(1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad d(f_1^{n}(a_{i_0}), f_1^{n}(b_{j}))>\delta(1\leq j\leq s). \end{array} $

又因为$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是一致收敛的, 根据引理4.4, 对$ \forall m\in{\Bbb N} $, 存在$ \xi>0 $和$ N\in {\Bbb N} $使得对上述$ s $个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $和$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $, 满足:

(a) 对$ \forall 1\leq i, j\leq s $, $ d(a_i, b_j)<\xi $;

(b) 对$ \forall n>N $, $ \exists 1\leq i'_0, j'_0\leq s $使得

$ \begin{array}{l} d(f_n^m(a_{i'_0}), f_n^m(b_j))<\delta(1\leq j\leq s)\quad \mbox{或者}\quad d(f_n^m(a_{i}), f_n^m(b_{j'_0}))<\delta(1\leq i\leq s). \end{array} $

所以, $ \exists N_0>2m $, 对任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $和$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $, 满足:

(a$ ' $) 对$ \forall 1\leq i, j\leq s $, 有$ d(a_i, b_j)<\xi $;

(b$ ' $) 对$ \forall n> N_0 $, $ \exists1\leq i'_0, j'_0\leq s $使得

$ \begin{array}{l} d(f_n^i(a_i), f_n^i(b_{j'_0}))<\delta, (1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad d(f_n^i(a_{i'_0}), f_n^i(b_{j}))<\delta, (1\leq j\leq s). \end{array} $

因为$ f_1^p(p:1\leq p\leq 2N_0) $是一致连续的, 根据引理4.3, $ f_1^p $是集态一致连续的, 也就是说存在$ \varepsilon^{*}>0 $, 对上述$ s $个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $和$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $满足:

(a$ '' $) 对一切$ 1\leq i, j\leq s $, $ d(a_i, b_j)<\varepsilon^{*} $;

(b$ '' $) 对$ \forall n>N_0 $, $ \exists 1\leq i_0^{*}, j_0^{*}\leq s $使得

$ \begin{array}{l} d(f_1^p(a_{i_0^{*}}), f_1^p(b_{j}))<\delta, (1\leq p\leq2N_0, 1\leq j \leq s) \end{array} $

或者

$ \begin{array}{l} d(f_1^p(a_{i}), f_1^p(b_{j_0^{*}}))<\delta, (1\leq p\leq2N_0, 1\leq i \leq s). \end{array} $

所以, 对$ \forall\varepsilon<\varepsilon^{*} $, 存在有$ n>2N_0\geq 4m $. 因此, 存在$ p_0\in \{0, 1, \cdots, m-1\} $和$ l\in {\Bbb N} $使得$ n-p_0 = ml $.

注意到

$ \begin{array}{l} \delta<d(f_1^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0})) = d(f^{p_0}_{n-p_0+1}(f_1^{n-p_{0}}(a_i)), f^{p_0}_{n-p_0+1}(f_1^{n-p_0}(b_{j_0}))) \end{array} $

或者

$ \delta<d(f_1^{n}(a_{i_0}), f_1^{n}(b_{j})) = d(f^{p_0}_{n-p_0+1}(f_1^{n-p_0}(a_{i_0})), f^{p_0}_{n-p_0+1}(f_1^{n-p_0}(b_j))), $

因为$ n-p_0+1\geq N_0 $, 则对$ \forall \varepsilon<\varepsilon^{*} $, 可得

$ \begin{array}{l} d(f_1^{n-p_0}(a_i), f_1^{n-p_0}(b_{j_0}))\geq\xi(1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad d(f_1^{n-p_0}(a_{i_0}), f_1^{n-p_0}(b_{j}))\geq\xi(1\leq j\leq s). \end{array} $

又由于$ m|(n-p_0) $, 因此, 对$ \forall m\in {\Bbb N} $, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态敏感的.

充分性. 如果对$ \forall m\in {\Bbb N} $, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态敏感的. 令$ m = 1 $, 即, $ f_{1, \infty} $是集态敏感的.

定理4.2  如果映射序列$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是一致收敛的, 则$ f_{1, \infty} $是集态无限敏感的当且仅当对$ \forall m\in {\Bbb N} $, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态无限敏感的.

证  必要性. 因为$ f_{1, \infty} $集态无限敏感, 所以存在一个常数$ \lambda>0 $, 对$ \forall \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $, 存在$ s $个不同的点$ b_1, b_2, \cdots, b_s \in I $使得下列两个条件成立:

(1) 对$ \forall 1\leq i, j\leq s $, 有$ d(a_i, b_j)<\varepsilon $;

(2) 存在$ i_0 $和$ j_0 $满足$ 1\leq i_0, j_0\leq s $使得

$ \begin{array}{l} \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\lambda(1\leq i\leq s)\quad \mbox{或者}\quad \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a_{i_0)}, f_1^n(b_{j}))>\lambda(1\leq j\leq s). \end{array} $

不失一般性, 我们考虑条件(2)中的$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^n(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\lambda(1\leq i\leq s) $. 因为$ \forall p:0\leq p\leq m-1 $, $ \forall k\in{\Bbb N} $, $ f_k^p $是集态一致连续的, 对上述常数$ \lambda >0 $, $ \exists \beta>0 $, 对任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $和$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $, 有

(a) 对$ \forall 1\leq i, j\leq s $, $ d(a_i, b_j)<\beta $;

(b) $ \exists 1\leq i_0, j_0\leq s $, 满足$ d(f_{k}^{p}(a_i), d(f_{k}^{p}(b_{j_0}))<\frac{\lambda}{2}, (0\leq i\leq s). $

令$ \alpha = min(\frac{\lambda}{2}, \frac{\beta}{2}) $, 可以证明

$ \begin{array}{l} \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(a_{i}), f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(b_{j_0}))>\alpha (1\leq i\leq s). \end{array} $

事实上, 假设

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(a_{i}), f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(b_{j_0}))\leq\alpha(1\leq i\leq s). $

那么, 存在$ N_0\in{\Bbb N} $, 当$ n>N_0 $时, 有

$ d(f^p_{mn}\circ f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_1^m(a_i), f^p_{mn}\circ f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_1^m(b_{j_0}))\leq\frac{\lambda}{2}(1\leq i\leq s). $

也就是说

$ d(f_1^{nm+p}(a_i), f_1^{nm+p}(b_{j_0}))\leq\frac{\lambda}{2}(1\leq i\leq s). $

即

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^{nm+p}(a_i), f_1^{nm+p}(b_{j_0}))\leq\frac{\lambda}{2}(1\leq i\leq s). $

此结果与$ f_{1, \infty} $是集态Li-Yorke敏感的条件$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\delta (1\leq i\leq s) $产生矛盾. 因此, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态无限敏感的.

充分性. 令$ m = 1 $, 即得结论.

定理4.3  如果映射序列$ (f_n)_{n-1}^{\infty} $是一致收敛的, 则$ f_{1, \infty} $是集态Li-Yorke敏感的当且仅当对$ \forall m\in {\Bbb N} $, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态Li-Yorke敏感的.

证  必要性. 因为$ f_{1, \infty} $是集态Li-Yorke敏感的, 设其敏感常数为$ \delta>0 $, 则对$ \forall \varepsilon>0 $和任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $, 存在$ s $个不同的点$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $使得:

(1) 对$ \forall 1\leq i, j\leq s $, 有$ d(a_i, b_j)<\varepsilon $;

(2) 存在$ 1\leq i_0, j_0\leq s $使得

$ \begin{array}{l} \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\delta \quad \mbox{且}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0})) = 0(1\leq i \leq s) \end{array} $

或者

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_{i_0}), f_1^n(b_{j}))>\delta \quad \mbox{且}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_{i_0}), f_1^n(b_{j})) = 0(1\leq j\leq s). $

不妨设

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\delta \quad \mbox{且}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0})) = 0(1\leq i \leq s), $

则有

(ⅰ) 由$ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0})) = 0(1\leq i \leq s) $知, 存在一个递增序列$ \{n_s\}_{s\in {\Bbb N}} $使得$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^{n_s}(a_i), f_1^{n_s}(b_{j_0}) ) = 0(1\leq i \leq s) $. 对任意的$ p\in {\Bbb N}\; (0\leq p\leq m-1) $, 注意到有$ N_i = \{mj+i: j\in {\Bbb N}^{+}\} \cap \{n_s: s\in {\Bbb N}\} $, 那么$ \cup_{i = 0}^{s-1}N_i = \{n_s:s\in{\Bbb N}\} $. 所以, 存在一个$ i^{*}\in\{0, 1, \cdots, s-1\} $使得$ N_{i^{*}} $是一个无限集. 令$ N_{i^{*}} = \{n_s^{i^{*}}\}_{s = 0}^{\infty} $, 显然$ N_{i^{*}} $是$ \{n_s\}_{s\in{\Bbb N}} $的一个子序列. 因此, $ \lim\limits_{s\rightarrow \infty}d(f_1^{n_s^ {i^{*}}}(a_i), f_1^{n_s^{i^{*}}}(b_{j_0})) = 0 $. 由引理4.3, 对$ \forall k\in{\Bbb N} $, $ f_k^{m-i^{*}} $是集态一致连续的, 所以有

$ \begin{array}{l} && \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m} \circ f_1^{m}(a_i), f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(b_{j_0})) \\ & = &\lim\limits_{s\rightarrow \infty}d(f_{n_s^{i^{*}}+1}^{m-i^{*}}\circ f_1^{n_s^{i^{*}}}(a_i), f_{n_s^{i^{*}}+1}^{m-i^{*}}\circ f_1^{n_s^{i^{*}}}(b_{j_0}))\\& = &0 \quad (1\leq i \leq s). \end{array} $

(ⅱ) 因为$ \forall p:0\leq p\leq m-1 $, $ \forall k\in{\Bbb N} $, $ f_k^p $是集态一致连续的, 对上述常数$ \delta >0 $, 存在$ \beta>0 $, 对任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $和$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $, 有

(a) 对$ \forall 1\leq i, j\leq s $, $ d(a_i, b_j)<\beta $;

(b) $ \exists 1\leq i_0, j_0\leq s $, 满足$ d(f_{k}^{p}(a_i), d(f_{k}^{p}(b_{j_0}))<\frac{\delta}{2}, (0\leq i\leq s) $. 令$ \alpha = \min(\frac{\delta}{2}, \frac{\beta}{2}) $, 可以证明

$ \begin{array}{l} \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(a_{i}), f_{m(n-1)+1}^{m} \circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(b_{j_0}))>\alpha \ (1\leq i \leq s). \end{array} $

事实上, 假设

$ \begin{array}{l} \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(a_{i}), f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(b_{j_0}))\leq\alpha \ (1\leq i \leq s), \end{array} $

那么, 存在$ N\in{\Bbb N} $, 当$ n>N $时, 有

$ \begin{array}{l} d(f^p_{mn}\circ f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_1^m(a_i), f^p_{mn}\circ f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_1^m(b_{j_0}))\leq\frac{\delta}{2}\quad(1\leq i \leq s). \end{array} $

即

$ d(f_1^{nm+p}(a_i), f_1^{nm+p}(b_{j_0}))\leq\frac{\delta}{2} v. $

也就是说

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_1^{nm+p}(a_i), f_1^{nm+p}(b_{j_0}))\leq\frac{\delta}{2}\ (1\leq i\leq s). $

这与$ f_{1, \infty} $是集态Li-Yorke敏感中条件$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_i), f_1^n(b_{j_0}))>\delta\ (1\leq i\leq s) $产生矛盾.

同理, 可以证明若

$ \begin{array}{l} \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_{i_0}), f_1^n(b_{j}))>\delta \quad \mbox{且}\quad \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}d(f_{1}^{n}(a_{i_0}), f_1^n(b_{j})) = 0\ (1\leq j\leq s), \end{array} $

也有类似结论. 综上可得, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态Li-Yorke敏感的, 其敏感常数为$ \alpha $.

充分性. 令$ m = 1 $, 即得结论.

定理4.4   如果映射序列$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是一致收敛的, 则$ f_{1, \infty} $是集态可达的当且仅当对$ \forall m\in {\Bbb N} $, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态可达的.

证  根据$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $的一致收敛性和引理4.3可知, 对$ \forall\varepsilon>0 $, $ \forall m\in{\Bbb N} $, 存在$ \delta>0 $和$ N\in {\Bbb N} $使得对任意有限个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $满足$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $, $ d(a_i, b_j)<\delta $$ (\forall1\leq i, j \leq s) $, 且$ \forall n>N $, $ \exists 1\leq i_0, j_0\leq s $有

$ \begin{array}{l} d(f_n^m(a_{i_0}), f_n^m(b_j))<\varepsilon \quad(1\leq j\leq s)\quad \mbox{或者} \quad d(f_n^m(a_i), f_n^m(b_{j_0}))<\varepsilon\quad(1\leq i\leq s). \end{array} $

给定$ \varepsilon_i, \varepsilon_j>0\ (i, j\in\{1, 2, \cdots, s\}) $使得$ A_i = B(a_i, \varepsilon_i) $$ (i\in\{1, 2, \cdots, s\}) $; $ B_j = B(b_j, \varepsilon_j) $$ (j\in\{1, 2, \cdots, s\}) $. 因为$ f_{1, \infty} $是集态可达的, 则对上述任意$ s $个不同的点$ a_1, a_2, \cdots, a_s\in I $和$ b_1, b_2, \cdots, b_s\in I $有下列结论之一成立:

(1) 存在$ i_0\in \{1, 2, \cdots, s\} $和$ n\in{\Bbb N} $, 对$ \forall j\in \{1, 2, \cdots, s\} $, 有$ d(f_1^n(a_{i_0}), f_1^n(b_{j}))<\delta(\varepsilon) $;

(2) 存在$ j_0\in \{1, 2, \cdots, s\} $和$ n\in{\Bbb N} $, 对$ \forall i\in \{1, 2, \cdots, s\} $, 有$ d(f_1^n(a_{i}), f_1^n(b_{j_0}))<\delta(\varepsilon) $.

不失一般性, 我假设上述条件(1)成立, 结合$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $的一致收敛性可得

$ \begin{array}{l} &&d(f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(a_{i}), f_{m(n-1)+1}^{m}\circ\cdots \circ f_{m+1}^{m}\circ f_1^{m}(b_{j_0})) \\ & = &d(f^{(n-1)m}_{n+1}( f_1^n(a_i)), f^{(n-1)nm}_{n+1}( f_1^n(b_{j_0}))) <\varepsilon. \end{array} $

因此, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是集态可达的.

充分性. 令$ m = 1 $, 即得结论.

定理4.1–定理4.4可以综合描述为: 如果映射序列$ (f_n)_{n = 1}^{\infty} $是一致收敛的, 则$ f_{1, \infty} $是$ {\cal CP} $ -混沌的当且仅当对$ \forall m\in {\Bbb N} $, $ f_{1, \infty}^{[m]} $是$ {\cal CP} $ -混沌的.