具有不一定递减核的线性粘弹性波动方程振动传递问题的一般衰减估计

具有不一定递减核的线性粘弹性波动方程振动传递问题的一般衰减估计

刘志卿^,¹, 方钟波^,²

¹ 青岛科技大学数理学院山东青岛 266061

² 中国海洋大学数学科学学院山东青岛 266100

General Decay for the Transmission Problem of Viscoelastic Waves with not Necessarily Decreasing Kernel

Liu Zhiqing^,¹, Fang Zhongbo^,²

¹ School of Mathematics and Physics, Qingdao University of Science and Technology, Shandong Qingdao 266061

² School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Shandong Qingdao 266100

通讯作者: 方钟波, E-mail: fangzb7777@hotmail.com

收稿日期: 2020-01-8

基金资助:

山东省自然科学基金. ZR2019MA072
中央高校基本科研基金. 201964008

Received: 2020-01-8

Fund supported:

the NSF of Shandong Province. ZR2019MA072
the Fundamental Research Funds for the Central Universities. 201964008

作者简介 About authors

刘志卿,E-mail:Lzhiqing1005@163.com , E-mail：Lzhiqing1005@163.com

Abstract

In this paper, we are concerned with the asymptotic behavior for a transmission problem of viscoelastic waves with not necessarily decreasing kernel. We construct a new Lyapunov functional to derive the general decay estimate. Meanwhile, we present an example to illustrate that the decay rate we obtained includes exponential, algebraic and logarithmic decay etc.

Keywords： Transmission problem ; Not necessarily decreasing kernel ; General decay

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本文引用格式

刘志卿, 方钟波. 具有不一定递减核的线性粘弹性波动方程振动传递问题的一般衰减估计. 数学物理学报[J], 2021, 41(5): 1428-1444 doi:

Liu Zhiqing, Fang Zhongbo. General Decay for the Transmission Problem of Viscoelastic Waves with not Necessarily Decreasing Kernel. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(5): 1428-1444 doi:

1 引言

本文中, 我们考虑如下具有记忆项的波动方程组振动传递问题

$\begin{equation} u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s+au_{t} = 0, \;(x, t)\in\Omega_{1}\times(0, +\infty), \end{equation}$

(1.1)

$\begin{equation} v_{tt}-\Delta v = 0, \;(x, t)\in\Omega_{2}\times(0, +\infty), \end{equation}$

(1.2)

给出边界条件和传递条件

$\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial\nu}-\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(s)}{\partial\nu}{\rm d}s+u_{t} = 0, \;(x, t)\in\Gamma_{2}\times(0, +\infty), \end{equation}$

(1.3)

$\begin{equation} v(x, t) = 0, \;(x, t)\in\Gamma_{0}\times(0, +\infty), \end{equation}$

(1.4)

$\begin{equation} u = v, \;\frac{\partial u}{\partial\nu}-\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(s)}{\partial\nu}{\rm d}s = \frac{\partial v}{\partial\nu}, \;(x, t)\in\Gamma_{1}\times(0, +\infty) \end{equation}$

(1.5)

及初始条件

$\begin{equation} u(x, 0) = u_{0}(x), \;u_{t}(x, 0) = u_{1}(x), \;x\in\Omega_{1}, \end{equation}$

(1.6)

$\begin{equation} v(x, 0) = v_{0}(x), \;v_{t}(x, 0) = v_{1}(x), \;x\in\Omega_{2}, \end{equation}$

(1.7)

其中 $\Omega\subset{{\Bbb R}} ^{N}$ ( $N\geq 2$ ) 为有界区域且具有光滑边界 $\partial\Omega = \Gamma_{0}\cup\Gamma_{2}$ , $\overline{\Gamma_{0}}\cap\overline{\Gamma_{2}} = \emptyset$ . $\Gamma_{0}$ 为以 $x_{0}$ 为心的小球 $B(x_{0})\subset\Omega$ 的边界, $\Omega_{2}\subset \Omega$ 为 $B(x_{0})$ 外部具有光滑边界 $\Gamma_{0}\cup\Gamma_{1}$ 的子区域, $\Omega_{1} = \Omega\setminus( \overline{\Omega_{2}}\cup B(x_{0}))$ 为具有光滑边界 $\Gamma_{2}\cup\Gamma_{1}$ 的子区域(如图 1). $\nu$ 为 $\Omega_{1}$ 上的单位外法向量且存在 $\delta>0$ 使得 $m\cdot\nu\geq\delta>0$ 在 $\Gamma_{2}$ 上成立, 其中 $m: = m(x) = x-x_{0}$ . 同时, $a$ 为非负常数且记忆核函数 $g(t)$ 满足适当的条件.

图 1

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图 1 $\Omega$ 的举例

振动传递问题在工程技术, 材料科学等许多领域中具有广泛应用. 从数学的角度讲, 波的振动传递问题与双曲方程中椭圆型算子具有不连续系数的问题相联系, 给问题解的适定性、正则性及定性性质的研究带来许多困难.

迄今为止, 具有或不具有记忆阻尼的粘弹性方程振动传递问题的研究已有许多成果. 关于无记忆项的振动传递问题中解的存在性、正则性、可控性及衰减估计的研究, 参见文献[1-3]. 比如, Maezocchi等^[1]证明了一维空间中弹性材料与热弹性材料之间的振动传递问题, 并证明了能量的指数衰减. 后来, Marzocchi和Naso^[2]将该结论推广到了 $N$ 维空间中. Bastos和Raposo^[3]研究了具有摩擦阻尼的线性传递问题, 并得到了解的适定性及整体能量的指数稳定性.

对于具有衰落记忆效应的波动方程振动传递问题, Rivera和Oquendo^[4]研究了一维空间中粘弹性波的传递问题

$\rho_{1}u_{tt}(x, t)-au_{xx}(x, t) = 0, \;(x, t)\in(0, L_{1})\times(0, +\infty),$

$\rho_{2}v_{tt}(x, t)-bv_{xx}(x, t)+\int_{0}^{t}g(t-s)v_{xx}(x, s){\rm d}s = 0, \;(x, t)\in(L_{1}, L_{2})\times(0, +\infty),$

当记忆核函数 $g$ 指数衰减时, 他们得到了解的指数衰减估计. Andrade等^[5]考虑了非线性波动方程组的振动传递问题

$\rho_{1}u_{tt}(x, t)-\gamma_{1}\Delta u(x, t)+f(u) = 0, \;(x, t)\in \Omega_{1}\times(0, +\infty),$

$\rho_{2}v_{tt}(x, t)-\gamma_{2}\Delta v(x, t)+f(v) = 0, \;(x, t)\in \Omega_{2}\times(0, +\infty),$

给出部分边界上的记忆耗散条件

$\begin{eqnarray*} u(x, t)+\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(x, s)}{\partial\nu}{\rm d}s = 0, \;(x, t)\in \Gamma_{1}\times(0, +\infty). \end{eqnarray*}$

他们证明了整体解的存在性及当记忆核函数为代数或指数衰减时解的衰减速率也同样分别为代数或指数型. 之后, Alves等^[6]考虑了具有内部记忆项的一维Timoshenko梁的振动传递问题并得到了类似于文献[5]的结论. 此外, 对于具有衰落记忆和时滞效应的振动传递问题的研究方面, 我们参考了文献[7-8]. 但是, 前述文献仅在记忆核非增的限制条件下得到解的衰减结论.

最近, 我们特别关注到具有不一定递减核的单个粘弹性波动方程中能量衰减估计的研究进展. 比如, Medjden和Tatar^[9]首次考虑了记忆核不一定递减的线性粘弹性方程Dirichlet初边值问题

$\begin{eqnarray*} u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s+au_{t} = 0, \;(x, t)\in\Omega\times(0, +\infty), \end{eqnarray*}$

其中 $a\geq0$ . 他们在记忆核函数 $g$ 导数无需为负(即满足 $g'(t)+\xi g(t)\geq0$ 且 ${\rm e}^{\alpha t}[g'(t)+\xi g(t)]\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{+})$ )的条件下, 通过引入适当的能量泛函, 得到了问题解的指数衰减性结论. 之后, Kafini和Tatar在文献[10]中得到了无摩擦阻尼项( $a = 0$ ) 的Cauchy问题中导出了能量的代数衰减估计. Djebabla和Tatar^[11]考虑了一维Timoshenko方程组

$\rho_{1}u_{tt}-k(u_{x}+v)_{x} = 0, \;(x, t)\in(0, L)\times(0, +\infty),$

$\rho_{2}v_{tt}-bv_{xx}+k(u_{x}+v)+\gamma\theta_{x} = 0, \;(x, t)\in(0, L)\times(0, +\infty),$

$\rho_{3}\theta_{tt}-l\theta_{xx}+\beta\int_{0}^{+\infty}g(t-s)\theta_{xx}(s){\rm d}s+\gamma v_{ttx} = 0, \;(x, t)\in(0, L)\times(0, +\infty).$

通过引入适当的Lyapunov泛函, 他们得到了问题解的指数稳定性结论. 特别地, Mesloub及Boulaaras^[12-13]考虑了文献[9]中单个方程及其对应的方程组并在记忆核函数 $g$ 的条件中 $\xi$ 替换为 $\xi(t)$ 后证明了问题能量的一般衰减速率.

综上所述, 记忆核不一定递减的粘弹性方程振动传递问题的研究至今还未十分完善. 主要难点在于当记忆核可能振荡时, 通常无法得到经典能量的非增性质, 甚至是修正能量. 由此启发, 本文中我们考虑记忆核不一定递减的线性粘弹性方程振动传递问题(1.1)–(1.7), 通过构造新的Lyapunov泛函, 导出问题能量一般衰减估计值.

本文的剩余部分结构如下: 第2节, 介绍预备知识及主要结论. 第3节, 我们给出主要结论的详细证明过程. 第4节中举例说明, 我们得到的能量一般衰减估计中包括指数、代数及对数等一致衰减估计值.

2 预备知识及主要结论

本节中, 我们引进一些在主要结论的证明中用到的符号、定义、假设及命题, 并陈述我们的主要结论.

在整文中, $c$ 及 $C$ 在不同表达式中可能表示不同的正常数且定义

$H_{\Gamma}^{1}(\Omega_{2}): = \{v\in H^{1}(\Omega_{2}):v = 0\;{\rm on}\;\Gamma_{0}\},$

$V: = \bigg\{(u, v)\in H^{1}(\Omega_{1})\times H_{\Gamma}^{1}(\Omega_{2}):u = v, \;\frac{\partial u}{\partial\nu}-\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(s)}{\partial\nu}{\rm d}s = \frac{\partial v}{\partial\nu}\bigg\},$

$(u, v)_{\Omega_{i}}: = \int_{\Omega_{i}}u(x)v(x){\rm d}x, \;i = 1, 2, \;(u, v)_{\Gamma_{j}}: = \int_{\Gamma_{j}}u(x)v(x){\rm d}x, \;j = 1, 2.$

对于Banach空间 $X$ , 用 $\|\cdot\|_{X}$ 表示 $X$ 中的范数, 常见的Lebesgue范数 $\|\cdot\|_{L^{2}(\Omega_{i})}$ 及 $\|\cdot\|_{L^{2}(\Gamma_{j})}$ 分别简单记为 $\|\cdot\|_{\Omega_{i}}$ 及 $\|\cdot\|_{\Gamma_{j}}$ .

现在, 我们对记忆核函数 $g$ 给出一些合理的假设.

(H1) $g:[0, +\infty)\rightarrow (0, +\infty)$ 为 $C^{1}$ 类函数满足

$\int_{0}^{+\infty}g(s){\rm d}s<1.$

(H2) 存在可微正函数 $\xi(t)$ 及常数 $\alpha$ 使得

$g'(t)+\xi(t)g(t)\geq0,$

且

${\rm e}^{\alpha t}\left[g'(t)+\xi(t)g(t)\right]\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{+}).$

另外, $\xi(t)$ 满足: 存在常数 $k, \beta>0$ 使得

$\xi(t)\geq\beta>0, \;\left|\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}\right|\leq k, \;\xi'(t)\leq0, \;\forall t\geq0,$

且

$\int_{0}^{+\infty}\xi(s){\rm d}s = +\infty.$

注2.1 由条件(H2)可知, $g'(t)$ 的符号无法确定, 则 $g(t)$ 可能是振荡的. 例如, 我们取

$\begin{eqnarray*} g(t) = (\rho b+b\sin t){\rm e}^{-t}, \;b>0, \;1<\rho<\sqrt{2}, \end{eqnarray*}$

则 $g(t)$ 非负可积且振荡. 同时, 取 $\xi(t) = \frac{\rho}{\rho-1}\left(1+\frac{1}{t}\right)$ 可满足条件(H2).

详细的证明过程可参考文献[5, 12]. 下面我们直接陈述问题(1.1)–(1.7)的解的整体可解性及正则性结论.

命题2.1 设 $g$ 为连续函数且给定的初始值 $(u_{0}, v_{0})\in (H^{1}(\Omega_{1})\times H^{1}(\Omega_{2}))$ , $(u_{1}, v_{1})\in (L^{2}(\Omega_{1})\times L^{2}(\Omega_{2}))$ 满足相容性条件

$\frac{\partial u_{0}}{\partial\nu}+u_{1} = 0, \; {\rm on}\;\Gamma_{2}, \;v_{0} = 0, {\rm on}\;\Gamma_{0},$

$u_{0} = v_{0}, \;\frac{\partial u_{0}}{\partial\nu} = \frac{\partial v_{0}}{\partial\nu}, \;{\rm on}\;\Gamma_{1},$

则问题(1.1)–(1.7)存在唯一的整体弱解 $(u, v)$ 且满足如下正则性

$\begin{eqnarray*} (u, v)\in C\left((0, +\infty);V\right)\cap C^{1}\left((0, +\infty);L^{2}(\Omega_{1})\times L^{2}(\Omega_{2})\right). \end{eqnarray*}$

为了简便, 下文中我们记

$\beta l(t): = g'(t)+\xi(t)g(t), \;\;l_{\alpha}: = {\rm e}^{\alpha t}l(t),$

$\overline{g}: = \int_{0}^{+\infty}g(s){\rm d}s, \;\overline{l}: = \int_{0}^{+\infty}l(s){\rm d}s, \;\overline{l_{\alpha}}: = \int_{0}^{+\infty}l_{\alpha}(s){\rm d}s,$

且定义问题(1.1)–(1.7)的经典能量为

$\begin{eqnarray} E(t): = \frac{1}{2}\left(\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}+\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\right). \end{eqnarray}$

(2.1)

直接求导可得

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t} = -a\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} +\int_{\Omega_{1}}\nabla u_{t}\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.2)

显然, $\frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}$ 的符号无法直接确定. 为此, 我们定义修正的能量为

$\begin{equation} {\cal E}(t): = \frac{1}{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}(g\diamond\nabla u)(t), \end{equation}$

(2.3)

其中

$(g\diamond \nabla u)(t): = \int_{0}^{t}g(t-s)\|\nabla u(t)-\nabla u(s)\|_{\Omega_{1}}^{2}{\rm d}s.$

对(2.1)式直接求导并应用方程(1.1)–(1.5)及恒等式

$\begin{eqnarray*} & &\frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[(g\diamond \nabla u)(t)-\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\right]\\ & = &-\int_{\Omega_{1}}\nabla u_{t}\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x+\frac{1}{2}(g'\diamond \nabla u)(t)-\frac{g(t)}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray*}$

可导出

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal E}(t)}{{\rm d}t} = -a\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} +\frac{1}{2}(g'\diamond \nabla u)(t)-\frac{g(t)}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}. \end{eqnarray}$

(2.4)

注意到, 在以往的大多数文献中都要求 $g'(t)\leq0$ 且使能量 ${\cal E}(t)$ 是非增的, 而我们的文章中允许 $g(t)$ 是振荡的, 因此无法得到能量 ${\cal E}(t)$ 的非增性. 然而, 我们仍然可以引入关于修正能量 ${\cal E}(t)$ 的新的Lyapunov泛函, 得到经典能量 $E(t)$ 的一般衰减估计值.

我们的主要结果陈述如下.

定理2.1 令 $(u, v)$ 为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解. 假设条件(H1)和(H2)成立且 $E(0)>0$ .

(i) 当 $a>0$ 时, 若 $\overline{l}_{\alpha}$ 充分小, 则存在常数 $C, r_{1}>0$ 使得 $E(t)$ 的衰减速率为

$\begin{eqnarray*} E(t)\leq C\exp\left\{-r_{1}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s\right\}, \;\forall t\geq0. \end{eqnarray*}$

(ii) 当 $a = 0$ 时, 若 $g(0)$ , $\overline{g}$ 及 $\overline{l}_{\alpha}$ 充分小, 则存在常数 $C, r_{2}>0$ 使得 $E(t)$ 的衰减速率为

$\begin{eqnarray*} E(t)\leq C\exp\left\{-r_{2}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s\right\}, \;\forall t\geq0. \end{eqnarray*}$

3 一般衰减估计

本节中, 我们讨论问题(1.1)–(1.7)能量的一般衰减估计值.

为了证明主要结论, 我们先引入几个引理.

令

$\begin{eqnarray*} \Phi(t): = \int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x+\int_{\Omega_{2}}\left[(m\cdot\nabla v)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) v\right]v_{t}{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

其中 $w(t): = u(t)-\int_{0}^{t}g(t-s)u(s){\rm d}s$ 且 $0<\theta<1$ 为待定常数.

引理3.1 令 $(u, v)$ 为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解且设条件(H1)和(H2)成立, 则

(i) 当 $a>0$ 时, 有如下微分不等式成立

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&\frac{1}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\bigg\{4R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l}+g^{2}(0)\right] \\ &&+a^{2}\left[8R^{2}+\lambda_{1}^{2}(N-2\theta)\right]\bigg\}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left[R+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\frac{4\lambda^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8}+\frac{20}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right](g\diamond \nabla u)(t)\\ & &+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16}(l\diamond \nabla u)(t)-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.1)

(ii) 当 $a = 0$ 时, 有如下微分不等式成立

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\left\{\theta-\frac{3R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l}+g^{2}(0)\right]}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right\} \|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}(l\diamond \nabla u)(t)\\ &&+\left[R+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\frac{3\lambda^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}+\frac{15}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right](g\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.2)

其中 $R: = \max\left\{|x-x_{0}|:x\in\overline{\Omega}\right\}$ .

证由(1.1)式及Green公式, 我们得到

$\begin{eqnarray} & &\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u_{t})u_{t}{\rm d}x-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}\nabla(m\cdot\nabla w)\cdot\nabla w{\rm d}x+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&+\int_{\partial\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]\frac{\partial w}{\partial\nu}{\rm d}\Gamma-a\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

(3.3)

注意到

$\begin{eqnarray} \int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u_{t})u_{t}{\rm d}x = -\frac{N}{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{1}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma, \end{eqnarray}$

(3.4)

且

$\begin{eqnarray} & &-\int_{\Omega_{1}}\nabla(m\cdot\nabla w)\cdot\nabla w{\rm d}x\\ & = &-\int_{\Omega_{1}}\sum\limits_{i, j = 1}^{N}\left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(m_{j}\frac{\partial w}{\partial x_{j}}\right)\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\right]{\rm d}x\\ & = &-\int_{\Omega_{1}}\sum\limits_{i, j = 1}^{N}\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\frac{\partial w}{\partial x_{j}}\frac{\partial m_{j}}{\partial x_{i}}{\rm d}x-\frac{1}{2}\int_{\Omega_{1}}\sum\limits_{i, j = 1}^{N}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\right)^{2}m_{j}{\rm d}x\\ & = &\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}-\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{1}}(m\cdot\nu)|\nabla w|^{2}{\rm d}\Gamma. \end{eqnarray}$

(3.5)

将(3.4)–(3.5)式代入(3.3)式, 则我们导出

$\begin{eqnarray} &&\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x\\ & = &-\theta\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ &&+\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{1}}2\left\{\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]\frac{\partial w}{\partial\nu}+(m\cdot\nu)\left(|u_{t}|^{2}-|\nabla w|^{2}\right)\right\}{\rm d}\Gamma\\ &&-a\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

(3.6)

类似的, 由(1.2)式及Green公式, 我们有

$\begin{eqnarray} &&\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\Omega_{2}}\left[(m\cdot\nabla v)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)v\right]v_{t}{\rm d}x\\ & = &-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{2}}(m\cdot\widetilde{\nu})\left(|v_{t}|^{2}-|\nabla v|^{2}\right){\rm d}\Gamma\\ &&+\int_{\partial\Omega_{2}}\left[(m\cdot\nabla v)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) v\right]\frac{\partial v}{\partial\widetilde{\nu}}{\rm d}\Gamma, \end{eqnarray}$

(3.7)

其中 $\widetilde{\nu}$ 表示 $\Omega_{2}$ 上的单位外法向量. 将(3.6)式与(3.7)式相加并应用传递条件及边界条件(1.3)–(1.5), 我们导出

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}& = &-\theta\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ &&-\int_{\Gamma_{2}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}\Gamma+\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)\left(|u_{t}|^{2}-|\nabla w|^{2}\right){\rm d}\Gamma\\ & &-a\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\\ &&-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\widetilde{\nu})|\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma+\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\nabla v)\frac{\partial v}{\partial\widetilde{\nu}}{\rm d}\Gamma. \end{eqnarray}$

(3.8)

对于(3.8)式中的最后两项, 我们有

$\begin{eqnarray*} &&-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\widetilde{\nu})|\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma+\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\nabla v)\frac{\partial v}{\partial\widetilde{\nu}}{\rm d}\Gamma\\ & = &-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\widetilde{\nu})|\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma+\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\nabla v)(\nabla v\cdot\widetilde{\nu}){\rm d}\Gamma\\ & = &\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}|m||\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma-\int_{\Gamma_{0}}\frac{1}{|m|}|m\cdot\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma\\ & = &-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}|m||\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma\leq0, \end{eqnarray*}$

其中应用了 $\Gamma_{0}$ 为球 $B(x_{0})$ 的边界, 这意味着在 $\Gamma_{0}$ 上 $\widetilde{\nu} = -\frac{x-x_{0}}{|x-x_{0}|} = -\frac{m}{|m|}$ 且 $-m$ 与 $\nabla v$ 方向一致. 类似地, 由(1.3)式可得

$\begin{eqnarray*} -\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nabla w)u_{t}{\rm d}\Gamma+\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)\left(|u_{t}|^{2}-|\nabla w|^{2}\right){\rm d}\Gamma = \int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma. \end{eqnarray*}$

则(3.8)式可重写为

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\theta\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ & &+\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Gamma_{2}}uu_{t}{\rm d}\Gamma-a\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla w)u_{t}{\rm d}x\\ &&-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)a\int_{\Omega_{1}}uu_{t}{\rm d}x-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray}$

(3.9)

此外, 利用Young不等式可以得到

$\begin{eqnarray} -a\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla w)u_{t}{\rm d}x\leq a\eta_{1}\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{aR^{2}}{4\eta_{1}}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.10)

且

$\begin{eqnarray} \|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}& = &\int_{\Omega_{1}}\left[\nabla u(t)-\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s\right]^{2}{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}\left[\nabla u(t)+\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(t)-\nabla u(s)-\nabla u(t)]{\rm d}s\right]^{2}{\rm d}x\\ &\leq&\left(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s+\eta_{2}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)\overline{g}(g\diamond\nabla u)(t), \end{eqnarray}$

(3.11)

其中 $\eta_{1}, \eta_{2}>0$ 为待定常数. 将(3.10)和(3.11)式代入(3.9)式, 可导出

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\left[1-\theta+\left(\frac{N}{2}-1\right)\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s-2a\eta_{1}-\left(\frac{N}{2}-1\right)\eta_{2}\right]\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(-\theta+\frac{aR^{2}}{4\eta_{1}}\right)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}- \left(\frac{N}{2}-\theta\right)a\int_{\Omega_{1}}uu_{t}{\rm d}x\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)+2a\eta_{1}\right]\overline{g}(g\diamond\nabla u)(t)\\ & &+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ & &+\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Gamma_{2}}uu_{t}{\rm d}\Gamma-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray}$

(3.12)

对于(3.12)式右端第四项, 我们有

$\begin{eqnarray} &&\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)]{\rm d}s{\rm d}x+\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s \|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &\leq&\left(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s+\eta_{3}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{4\eta_{3}}\overline{g}(g\diamond\nabla u)(t). \end{eqnarray}$

(3.13)

为处理(3.12)式右端第五项, 我们应用 $\beta l(t) = g'(t)+\xi(t)g(t)$ 导出

$\begin{eqnarray} &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}\left[\xi(t-s)g(t-s)-\beta l(t-s)\right]\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x\\ &\leq&(\eta_{4}\xi(0)+\eta_{5}\beta)R^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{\xi(0)}{2\eta_{4}}\overline{g}+ \frac{\beta}{2\eta_{5}}\overline{l}\right)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\eta_{4}\xi(0)R^{2}(g\diamond\nabla u)(t)+\eta_{5}\beta R^{2}(l\diamond\nabla u)(t). \end{eqnarray}$

(3.14)

再对(3.12)式右端剩余项利用Young不等式可得

$\begin{eqnarray} -g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\leq\eta_{6}R^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{g^{2}(0)}{4\eta_{6}}\| u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.15)

$\begin{eqnarray} -\left(\frac{N}{2}-\theta\right)a\int_{\Omega_{1}}uu_{t}{\rm d}\Gamma&\leq&\eta_{7}a\|u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{a}{4\eta_{7}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &\leq&\eta_{7}a\lambda_{1}^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{a}{4\eta_{7}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.16)

且

$\begin{eqnarray} -\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Gamma_{2}}uu_{t}{\rm d}\Gamma&\leq&\eta_{8}\|u\|_{\Gamma_{2}}^{2}+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &\leq&\eta_{8}\lambda^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}, \end{eqnarray}$

(3.17)

其中 $\eta_{i}$ , $i = 3, 4, \cdots , 8$ 为待定常数且 $\lambda$ 及 $\lambda_{1}$ 分别为迹不等式的最优常数及 $-\Delta$ 在齐次Dirichlet边界条件下的第一特征值, 即 $\|u\|_{\Gamma_{2}}\leq\lambda\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}$ 及 $\|u\|_{\Omega_{1}}\leq\lambda_{1}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}$ .

将(3.13)–(3.17)式代入(3.12)式, 我们导出

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\Phi(t)&\leq&\left\{a\left[\frac{R^{2}}{4\eta_{1}}+\frac{(N-2\theta)^{2}}{16\eta_{7}}\right]-\left[\theta-\frac{\xi(0)\overline{g}}{2\eta_{4}}-\frac{\beta\overline{l}}{2\eta_{5}}-\frac{g^{2}(0)}{4\eta_{6}}\right] \right\}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\bigg\{(1-\theta)(1-\overline{g})-2a\eta_{1}-\left(\frac{N}{2}-1\right)\eta_{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\eta_{3}\\ &&-R^{2}(\eta_{4}\xi(0)+\eta_{5}\beta+\eta_{6})-a\lambda_{1}^{2}\eta_{7}-\lambda^{2}\eta_{8}\bigg\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\eta_{5}\beta R^{2}(l\diamond\nabla u)(t)+\left[R+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)+2a\eta_{1}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\frac{1}{4\eta_{3}}\right.\\ &&+\eta_{4}\xi(0)R^{2}\bigg](g\diamond\nabla u)(t)-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray}$

(3.18)

(i) 情形1 当 $a>0$ 时, 分别选取 $\eta_{i}(i = 1, \cdots , 8)$ 为

$\begin{eqnarray*} &&\eta_{1} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{32a}, \;\;\eta_{2} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8(N-2)}, \;\; \eta_{3} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8(N-2\theta)}, \\ &&\eta_{4} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16\xi(0)R^{2}}, \;\;\eta_{5} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16\beta R^{2}}, \;\; \eta_{6} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16R^{2}}, \\ &&\eta_{7} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16a\lambda_{1}^{2}}, \;\;\eta_{8} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16\lambda^{2}}, \end{eqnarray*}$

即可得(3.1)式.

(ii) 情形2 当 $a = 0$ 时, (3.18)式变为

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\Phi(t)&\leq&-\left\{(1-\theta)(1-\overline{g})-\left(\frac{N}{2}-1\right)\eta_{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\eta_{3}-\lambda^{2}\eta_{8}\right.\\ &&\qquad-R^{2}(\eta_{4}\xi(0)+\eta_{5}\beta+\eta_{6})\bigg\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\eta_{5}\beta R^{2}(l\diamond\nabla u)(t)\\ &&-\left[\theta-\frac{\xi(0)\overline{g}}{2\eta_{4}}-\frac{\beta\overline{l}}{2\eta_{5}}-\frac{g^{2}(0)}{4\eta_{6}}\right] \|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left[R+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\frac{1}{4\eta_{3}} +\eta_{4}\xi(0)R^{2}\right](g\diamond\nabla u)(t)\\ &&-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray}$

(3.19)

分别选取 $\eta_{i}(i = 2, \cdots , 8)$ 为

$\begin{eqnarray*} &&\eta_{2} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{6(N-2)}, \;\;\eta_{3} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{6(N-2\theta)}, \;\; \eta_{4} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12\xi(0)R^{2}}, \\ &&\eta_{5} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12\beta R^{2}}, \;\;\eta_{6} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12R^{2}}, \;\;\eta_{8} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12\lambda^{2}}, \end{eqnarray*}$

即可得(3.2)式. 引理3.1证毕.

接下来, 我们定义

$\begin{eqnarray*} \Psi(t): = \left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\left(\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+2\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x, \end{eqnarray*}$

其中

$L_{\alpha}(t): = {\rm e}^{-\alpha t}\int_{t}^{+\infty}l_{\alpha}(s){\rm d}s = {\rm e}^{-\alpha t}\int_{t}^{+\infty}{\rm e}^{\alpha s}l(s){\rm d}s.$

则有如下估计:

引理3.2 令 $(u, v)$ 为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解且设条件(H1)和(H2)成立, 则

$\begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}[\xi(t)\Psi(t)]&\leq&-\frac{\alpha}{2}\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\frac{3}{4}\xi(t)\left(l\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&+\left[2L_{\alpha}(0)+\frac{(3k+2\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}+6\overline{l}+\frac{2(k+\alpha)^{2}\overline{l}_{\alpha}}{\alpha^{2}}\right] \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}. \end{eqnarray*}$

证直接求导可得

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}[\xi(t)\Psi(t)]& = &[\xi'(t)-\alpha\xi(t)]\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\xi(t)\left(l\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&-\left[\xi(t)L_{\alpha}(t)+\xi'(t)\left(\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\right)-2\xi(t)L_{\alpha}(0)\right]\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-2[\alpha\xi(t)-\xi'(t)]\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-2\xi(t)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}l(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray}$

(3.20)

对于(3.20)式右端第四项, 应用Young不等式可以导出

$\begin{eqnarray*} &&\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)+\nabla u(t)]{\rm d}s{\rm d}x\\ &\leq&\left(\varepsilon_{1}+\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s}{4\varepsilon_{1}}\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t), \end{eqnarray*}$

其中 $\varepsilon_{1}>0$ 为待定常数. 同时, 注意到

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\leq\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{+\infty}{\rm e}^{\alpha s}l(s){\rm d}s = \frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}. \end{eqnarray*}$

则可得

$\begin{eqnarray} \int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x \leq\left(\varepsilon_{1}+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{4\alpha\varepsilon_{1}}\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray}$

(3.21)

类似的, 我们可以导出

$\begin{eqnarray} \int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}l(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x \leq\left(\varepsilon_{2}+\overline{l}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\overline{l}}{4\varepsilon_{1}}\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray}$

(3.22)

其中 $\varepsilon_{2}>0$ 为待定常数. 将(3.21)式和(3.22)式代入(3.20)式, 可以导出

$\begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}[\xi(t)\Psi(t)] &\leq&-\left[\alpha-\frac{(k+\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{2\varepsilon_{1}\alpha}\right]\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\left(1-\frac{\overline{l}}{2\varepsilon_{2}}\right)\xi(t)\left(l\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&+\left[2L_{\alpha}(0)+\frac{(3k+2\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}+2(k+\alpha)\varepsilon_{1}+2(\varepsilon_{2}+\overline{l})\right] \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}. \end{eqnarray*}$

选取

$\varepsilon_{1} = \frac{(k+\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{\alpha^{2}}, {\qquad}\varepsilon_{2} = 2\overline{l},$

即可得结论. 引理3.2证毕.

利用修正能量 ${\cal E}(t)$ , 我们定义新的Lyapunov泛函

$\begin{eqnarray*} {\cal L}(t): = {\cal E}(t)+\mu_{1}\Phi(t)+\mu_{2}\xi(t)\Psi(t), \end{eqnarray*}$

其中 $\mu_{1}, \mu_{2}>0$ 为待定常数. 则有如下在主要结论证明中起到关键作用的命题:

命题3.1 令 $(u, v)$ 为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解且设(H1)和(H2)成立, 则存在常数 $\kappa_{1}, \kappa_{2}>0$ 使得

$\begin{eqnarray} \kappa_{1}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t)\right]\leq{\cal L}(t) \leq\kappa_{2}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t) +\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)\right]. \end{eqnarray}$

(3.23)

证我们证明不等式(3.23)的左边. 对于 $\Phi(t)$ , 应用Cauchy-Schwarz不等式可以导出

$\begin{eqnarray} \Phi(t)&\leq&\frac{1}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]\left(\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\right)\\ &&+\frac{1}{2}\left(\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}\right)+2R^{2}\left(g\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray}$

(3.24)

而对于 $\xi(t)\Psi(t)$ , 由(3.21)式及条件(H2)可得

$\begin{eqnarray} & &\xi(t)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &\leq&\left(\varepsilon+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\xi(0)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{4\varepsilon\alpha}\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray}$

(3.25)

因此

$\begin{eqnarray*} {\cal L}(t)&\geq&\left\{\frac{1-\overline{g}}{2}-\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right] -\mu_{2}\xi(0)\left(2\varepsilon+\frac{3\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\right\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left\{\frac{1}{2}-\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]\right\}\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}(1-\mu_{1})\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\frac{1}{2}(1-\mu_{1})\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}+\left(\frac{1}{2}-2R^{2}\mu_{1}\right)\left(g\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&+\mu_{2}\left(1-\frac{\overline{l}_{\alpha}}{2\varepsilon\alpha}\right)\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray*}$

选取

$\varepsilon = \frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}, \;\mu_{1}<\min\left\{1, \;\frac{1-\overline{g}} {8\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]}\right\}, \;\mu_{2}< \frac{(1-\overline{g})\alpha}{40\xi(0)\overline{l}_{\alpha}},$

则

${\cal L}(t)\geq\kappa_{1}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t)\right],$

其中

$\kappa_{1} = \min\left\{\frac{1-\mu_{1}}{2}, \;\frac{1-\overline{g}}{2}-\frac{\mu_{1}}{2} \left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]-\frac{5\mu_{2}\overline{l}_{\alpha}\xi(0)}{\alpha}\right\}.$

另一方面, 结合(3.24)式和(3.25)式可得

$\begin{eqnarray*} {\cal L}(t)&\leq&\frac{1}{2}(1+\mu_{1})\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}(1+\mu_{1})\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}\\ &&+\left\{\frac{1-\overline{g}}{2}+\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right] +2\mu_{2}\xi(0)\left(\varepsilon+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\right\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left\{\frac{1}{2}+\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]\right\}\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\\ &&+\left(\frac{1}{2}+2R^{2}\mu_{1}\right)\left(g\diamond\nabla u\right)(t)+\mu_{2}\left(1+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{2\varepsilon\alpha}\right)\xi(0)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t), \end{eqnarray*}$

这表明

${\cal L}(t)\leq\kappa_{2}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t) +\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)\right],$

其中

$\begin{eqnarray*} \kappa_{2} = \max\left\{\frac{1-\overline{g}}{2}+\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right] +2\mu_{2}\xi(0)\left(\varepsilon+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right), \frac{1+\mu_{1}}{2}, \frac{1}{2}+2R^{2}\mu_{1}\right\}. \end{eqnarray*}$

命题3.1证毕.

下面, 我们给出定理2.1的详细证明过程.

定理2.1的证明 (i) 情形1 $a>0$ . 不失一般性, 假设 $a = 1$ . 结合引理3.1(i), 引理3.2及(2.4)式可得

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\left\{\frac{1}{\xi(0)}-\frac{\mu_{1}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\left[4R^{2}\left(2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right)\right.\right.\\ &&\left.+8R^{2}+\lambda_{1}^{2}(N-2\theta)\right]\bigg\}\xi(t)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{2\xi(0)}-\frac{\overline{l}_{\alpha}\mu_{2}}{\alpha^{2}}(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})\right\} \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{1-\mu_{1}\left[R+\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\right\}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} -\frac{\alpha\mu_{2}}{2}\xi(t)(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\left\{\frac{1}{2}-\frac{\mu_{1}}{\beta}\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8}+\frac{20}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]\right\}\\ & &\times\xi(t)(g\diamond \nabla u)(t)-\left\{\frac{3\mu_{2}}{4}-\frac{1}{2}-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{16\beta}\right\}\xi(t)(l\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\frac{\theta\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray}$

(3.26)

选取

$\begin{eqnarray} \mu_{2}& = &1, \\ \mu_{2}&<&\min\left\{\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{2\xi(0)\left[4R^{2}\left(2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right)+8R^{2}+\lambda_{1}^{2}(N-2\theta)\right]}, \right. \frac{1}{2\left[R+\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]}, \\ &&{\qquad}{\quad}\frac{2\beta} {(1-\theta)(1-\overline{g})}, \left. \frac{\beta}{4\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta) (1-\overline{g})}{8}+\frac{20}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]}\right\}. \end{eqnarray}$

(3.27)

因此, 若

$\overline{l}_{\alpha}<\min\left\{1, \quad\frac{(1-\theta)(1-\overline{g}){\alpha^{2}}}{4\xi(0)(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})}\mu_{1}\right\},$

则由(3.26)式可以导出

$\frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-C_{1}\xi(t)\left[E(t)+(g\diamond \nabla u)(t)+(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\right\},$

其中

$\begin{equation} C_{1} = \min\left\{\frac{1}{2\xi(0)}, \;\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\frac{1}{2}, \;\frac{2\theta\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\frac{\alpha}{2}\right\}. \end{equation}$

(3.28)

应用命题3.1右端不等式可知, 存在 $r_{1}: = \frac{C_{1}}{\kappa_{1}}$ 使得

$\begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-r_{1}\xi(t){\cal L}(t), \;t\geq0. \end{eqnarray*}$

对上式积分可得

$\begin{equation} {\cal L}(t)\leq{\cal L}(0)\exp\left\{-r_{1}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0. \end{equation}$

(3.29)

由假设 $E(0)>0$ 可知 ${\cal L}(0)>0$ , 则由命题3.1左端不等式可导出

$E(t)\leq\frac{{\cal L}(0)}{\kappa_{1}}\exp\left\{-r_{1}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0.$

(ii) 情形2 $a = 0$ . 结合引理3.1(ii), 引理3.2及(2.4)式可得

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\frac{\mu_{1}}{\xi(0)}\left\{\theta-\frac{3R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right]}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right\}\xi(t)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{2\xi(0)}-\frac{\overline{l}_{\alpha}\mu_{2}}{\alpha^{2}}(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})\right\} \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{1-\mu_{1}\left[R+\frac{3}{4}\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\right\}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} -\frac{\alpha\mu_{2}}{2}\xi(t)(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\left\{\frac{1}{2}-\frac{\mu_{1}}{\beta}\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}+\frac{15}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]\right\}\\ &&\times\xi(t)(g\diamond \nabla u)(t)-\left\{\frac{3\mu_{2}}{4}-\frac{1}{2}-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{12\beta}\right\}\xi(t)(l\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\frac{\theta\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray}$

(3.30)

令 $g(0)$ , $\overline{g}$ 及 $\overline{l}_{\alpha}$ 充分小使得

$\begin{equation} \frac{3R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right]}{(1-\theta)(1-\overline{g})}<\frac{\theta}{2}, \end{equation}$

(3.31)

$\begin{equation} \overline{l}_{\alpha}<\min\left\{1, \;\;\frac{(1-\theta)(1-\overline{g}){\alpha^{2}}}{4\xi(0)(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})}\mu_{1}\right\}, \end{equation}$

(3.32)

且选取

$\begin{equation} \begin{array}{ll} \mu_{2} = 1, \\ { } \mu_{2}<\min\left\{\frac{1}{2\left[R+\frac{3}{4}\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]}, \quad\frac{2\beta}{(1-\theta)(1-\overline{g})}, \frac{\beta}{4\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}+\frac{15}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]}\right\}. \end{array} \end{equation}$

(3.33)

则由(3.30)式可以导出

$\begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-C_{2}\xi(t)\left[E(t)+(g\diamond \nabla u)(t)+(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\right], \end{eqnarray}$

(3.34)

其中

$C_{2} = \min\left\{\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\;\frac{2\theta\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\;\frac{\alpha}{2}, \;\;\frac{1}{2}\right\}.$

另外, 应用命题3.1右端不等式可导出, 存在 $r_{2}: = \frac{C_{2}}{\kappa_{2}}$ 使得

$\begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-r_{2}\xi(t){\cal L}(t), \;t\geq0. \end{eqnarray*}$

对上式积分可得

$\begin{eqnarray} {\cal L}(t)\leq{\cal L}(0)\exp\left\{-r_{2}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0. \end{eqnarray}$

(3.35)

由假设 $E(0)>0$ 可知 ${\cal L}(0)>0$ , 则由命题3.1左端不等式可导出

$\begin{eqnarray*} E(t)\leq\frac{{\cal L}(0)}{\kappa_{1}}\exp\left\{-r_{2}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0. \end{eqnarray*}$

定理2.1证毕.

4 应用举例

本节中我们举例说明定理2.1的结论中包含指数、代数及对数衰减等一致衰减估计值.

例4.1 令

$\begin{eqnarray*} g(t) = b(\rho+\sin t)\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}, \;t\geq0, \end{eqnarray*}$

其中 $m_{1}>0$ , $m_{2}, p, q\geq0$ 且 $1<\rho<\sqrt{2}$ . 则我们有

$\begin{eqnarray*} g'(t)& = &b\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\\ &&\times\left\{\cos t-(\rho+\sin t)\left[m_{1}+\frac{m_{2}}{(t+3)^{1-n}}+\frac{p}{t+3}+\frac{q}{(t+3)\ln(t+3)}\right]\right\}. \end{eqnarray*}$

由此可知, $g'(t)$ 变号, 即 $g(t)$ 为振荡核. 我们选取

$\begin{eqnarray*} \xi(t) = 1+m_{1}+\frac{m_{2}}{(t+3)^{1-n}}+\frac{p}{t+3}+\frac{q}{(t+3)\ln(t+3)}. \end{eqnarray*}$

简单计算知

$\begin{eqnarray*} \xi'(t)\leq0, \;\xi(t)\geq1, \;\;\left|\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}\right|\leq\frac{m_{2}(1-n)+p+q}{m_{1}+1}. \end{eqnarray*}$

再取 $\beta = 1$ 且 $k = \frac{m_{2}(1-n)+p+q}{m_{1}+1}+1$ , 则易验证 $\xi(t)$ 满足条件(H2). 另外

$\begin{eqnarray*} \overline{g}& = &b\int_{0}^{+\infty}\left\{(\rho+\sin t)\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\right\}{\rm d}s\\ &\leq& (\sqrt{2}+1)b\int_{0}^{+\infty}\left\{\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\right\}{\rm d}s\\ &\leq &\frac{3b}{m_{1}+m_{2}}\left[3^{-p}(\ln3)^{-q}\exp\left\{-m_{2}3^{n}\right\}\right], \end{eqnarray*}$

且

$\begin{eqnarray*} \overline{l}_{\alpha}& = &b\int_{0}^{+\infty}\left\{(\rho+\sin t+\cos t)\exp\left\{-(m_{1}-\alpha )t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\right\}{\rm d}s\\ &\leq &\frac{4b}{m_{1}+m_{2}-\alpha}\left[3^{-p}(\ln3)^{-q}\exp\left\{-m_{2}3^{n}\right\}\right]. \end{eqnarray*}$

(i) 当 $a>0$ 时, 我们可以选取适当的 $b, \alpha>0$ 使得

$\begin{eqnarray*} b<\frac{(m_{1}+m_{2}-\alpha)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{4}\min\left\{1, \;\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\alpha^{2}\mu_{1}} {8\xi(0)\left(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2}\right)}\right\}, \end{eqnarray*}$

其中 $\mu_{1}$ 在(3.27)式中给出, 则满足定理2.1(i)的条件且存在常数 $r_{1}>0$ 使得

$\begin{eqnarray*} E(t)\leq C\exp\left\{-r_{1}m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-pr_{1}}\left[\ln(t+3)\right]^{-qr_{1}}, \;t\geq0. \end{eqnarray*}$

(ii) 当 $a = 0$ 时, 我们可以选取适当的 $b, \alpha>0$ 使得

$\begin{eqnarray*} b&<&\min\left\{\frac{(m_{1}+m_{2}-\alpha)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{4}\cdot\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\alpha^{2}\mu_{1}} {8\xi(0)\left(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2}\right)}\cdot \right.\\ &&\frac{3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}\theta(1-\theta)}{6R^{2}\left[6\left(1+m_{1}+\frac{m_{2}}{3^{1-n}}+\frac{p}{3}+\frac{q}{3\ln 3}\right)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}+\frac{8}{m_{1}+m_{2}-\alpha}+\frac{\theta(1-\theta)}{2(m_{1}+m_{2})+2}\right]}, \\ &&\left.\frac{3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{2}, \;\;\frac{(m_{1}+m_{2}-\alpha)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{4}\right\}, \end{eqnarray*}$

其中 $\mu_{1}$ 在(3.33)中给出, 则满足定理2.1(ii)的条件且存在常数 $r_{2}>0$ 使得

$E(t)\leq C\exp\left\{-r_{2}m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-pr_{2}}\left[\ln(t+3)\right]^{-qr_{2}}, \;t\geq0.$

参考文献

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文献年度倒序

文中引用次数倒序

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Transmission problem in thermoelasticity with symmetry

IMA J Appl Math, 2003, 68 (1): 23- 46

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Asymptotic behaviour and exponential stability for a transmission problem in thermoelasticity

2002

... 迄今为止, 具有或不具有记忆阻尼的粘弹性方程振动传递问题的研究已有许多成果. 关于无记忆项的振动传递问题中解的存在性、正则性、可控性及衰减估计的研究, 参见文献[1-3]. 比如, Maezocchi等^[1]证明了一维空间中弹性材料与热弹性材料之间的振动传递问题, 并证明了能量的指数衰减. 后来, Marzocchi和Naso^[2]将该结论推广到了

$N$

维空间中. Bastos和Raposo^[3]研究了具有摩擦阻尼的线性传递问题, 并得到了解的适定性及整体能量的指数稳定性. ...

... [1]证明了一维空间中弹性材料与热弹性材料之间的振动传递问题, 并证明了能量的指数衰减. 后来, Marzocchi和Naso^[2]将该结论推广到了

$N$

维空间中. Bastos和Raposo^[3]研究了具有摩擦阻尼的线性传递问题, 并得到了解的适定性及整体能量的指数稳定性. ...

Transmission problem in thermoelasticity with symmetry

2003

$N$

维空间中. Bastos和Raposo^[3]研究了具有摩擦阻尼的线性传递问题, 并得到了解的适定性及整体能量的指数稳定性. ...

Transmission problem for waves with frictional damping

2007

$N$

维空间中. Bastos和Raposo^[3]研究了具有摩擦阻尼的线性传递问题, 并得到了解的适定性及整体能量的指数稳定性. ...

... [3]研究了具有摩擦阻尼的线性传递问题, 并得到了解的适定性及整体能量的指数稳定性. ...

The transmission problem of viscoelastic waves

2000

... 对于具有衰落记忆效应的波动方程振动传递问题, Rivera和Oquendo^[4]研究了一维空间中粘弹性波的传递问题 ...

Nonlinear transmission problem with a dissipative boundary condition of memory type

2006

... 当记忆核函数

$g$

指数衰减时, 他们得到了解的指数衰减估计. Andrade等^[5]考虑了非线性波动方程组的振动传递问题 ...

... 他们证明了整体解的存在性及当记忆核函数为代数或指数衰减时解的衰减速率也同样分别为代数或指数型. 之后, Alves等^[6]考虑了具有内部记忆项的一维Timoshenko梁的振动传递问题并得到了类似于文献[5]的结论. 此外, 对于具有衰落记忆和时滞效应的振动传递问题的研究方面, 我们参考了文献[7-8]. 但是, 前述文献仅在记忆核非增的限制条件下得到解的衰减结论. ...

... 详细的证明过程可参考文献[5, 12]. 下面我们直接陈述问题(1.1)–(1.7)的解的整体可解性及正则性结论. ...

Uniform stabilization for the transmission problem of the Timoshenko system with memory

2010

Well-posedness and decay of solutions for a transmission problem with history and delay

2016

Well-posedness and decay of solution for a transmission problem in the presence of infinite history and varying delay

2018

Asymptotic behavior for a viscoelastic problem with not necessarily decreasing kernel

2005

... 最近, 我们特别关注到具有不一定递减核的单个粘弹性波动方程中能量衰减估计的研究进展. 比如, Medjden和Tatar^[9]首次考虑了记忆核不一定递减的线性粘弹性方程Dirichlet初边值问题 ...

... 通过引入适当的Lyapunov泛函, 他们得到了问题解的指数稳定性结论. 特别地, Mesloub及Boulaaras^[12-13]考虑了文献[9]中单个方程及其对应的方程组并在记忆核函数

$g$

的条件中

$\xi$

替换为

$\xi(t)$

后证明了问题能量的一般衰减速率. ...

A decay result to a viscoelastic problem in with an oscillating kernel

2010

... 其中

$a\geq0$

. 他们在记忆核函数

$g$

导数无需为负(即满足

$g'(t)+\xi g(t)\geq0$

且

${\rm e}^{\alpha t}[g'(t)+\xi g(t)]\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{+})$

)的条件下, 通过引入适当的能量泛函, 得到了问题解的指数衰减性结论. 之后, Kafini和Tatar在文献[10]中得到了无摩擦阻尼项(

$a = 0$

) 的Cauchy问题中导出了能量的代数衰减估计. Djebabla和Tatar^[11]考虑了一维Timoshenko方程组 ...

Exponential stabilization of the Timoshenko system by a thermal effect with an oscillating kernel

2011

... 其中

$a\geq0$

. 他们在记忆核函数

$g$

导数无需为负(即满足

$g'(t)+\xi g(t)\geq0$

且

${\rm e}^{\alpha t}[g'(t)+\xi g(t)]\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{+})$

)的条件下, 通过引入适当的能量泛函, 得到了问题解的指数衰减性结论. 之后, Kafini和Tatar在文献[10]中得到了无摩擦阻尼项(

$a = 0$

) 的Cauchy问题中导出了能量的代数衰减估计. Djebabla和Tatar^[11]考虑了一维Timoshenko方程组 ...

General decay for a viscoelastic problem with not necessarily decreasing kernel

2018

$g$

的条件中

$\xi$

替换为

$\xi(t)$

后证明了问题能量的一般衰减速率. ...

... 详细的证明过程可参考文献[5, 12]. 下面我们直接陈述问题(1.1)–(1.7)的解的整体可解性及正则性结论. ...

General decay for a class of viscoelastic problem with not necessarily decreasing kernel

2019

$g$

的条件中

$\xi$

替换为

$\xi(t)$

后证明了问题能量的一般衰减速率. ...

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