本文中, 我们考虑如下具有记忆项的波动方程组振动传递问题

(1.1) $ \begin{equation} u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s+au_{t} = 0, \;(x, t)\in\Omega_{1}\times(0, +\infty), \end{equation} $

(1.2) $ \begin{equation} v_{tt}-\Delta v = 0, \;(x, t)\in\Omega_{2}\times(0, +\infty), \end{equation} $

给出边界条件和传递条件

(1.3) $ \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial\nu}-\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(s)}{\partial\nu}{\rm d}s+u_{t} = 0, \;(x, t)\in\Gamma_{2}\times(0, +\infty), \end{equation} $

(1.4) $ \begin{equation} v(x, t) = 0, \;(x, t)\in\Gamma_{0}\times(0, +\infty), \end{equation} $

(1.5) $ \begin{equation} u = v, \;\frac{\partial u}{\partial\nu}-\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(s)}{\partial\nu}{\rm d}s = \frac{\partial v}{\partial\nu}, \;(x, t)\in\Gamma_{1}\times(0, +\infty) \end{equation} $

及初始条件

(1.6) $ \begin{equation} u(x, 0) = u_{0}(x), \;u_{t}(x, 0) = u_{1}(x), \;x\in\Omega_{1}, \end{equation} $

(1.7) $ \begin{equation} v(x, 0) = v_{0}(x), \;v_{t}(x, 0) = v_{1}(x), \;x\in\Omega_{2}, \end{equation} $

其中$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{N} $ ($ N\geq 2 $) 为有界区域且具有光滑边界$ \partial\Omega = \Gamma_{0}\cup\Gamma_{2} $, $ \overline{\Gamma_{0}}\cap\overline{\Gamma_{2}} = \emptyset $. $ \Gamma_{0} $为以$ x_{0} $为心的小球$ B(x_{0})\subset\Omega $的边界, $ \Omega_{2}\subset \Omega $为$ B(x_{0}) $外部具有光滑边界$ \Gamma_{0}\cup\Gamma_{1} $的子区域, $ \Omega_{1} = \Omega\setminus( \overline{\Omega_{2}}\cup B(x_{0})) $为具有光滑边界$ \Gamma_{2}\cup\Gamma_{1} $的子区域(如图 1). $ \nu $为$ \Omega_{1} $上的单位外法向量且存在$ \delta>0 $使得$ m\cdot\nu\geq\delta>0 $在$ \Gamma_{2} $上成立, 其中$ m: = m(x) = x-x_{0} $. 同时, $ a $为非负常数且记忆核函数$ g(t) $满足适当的条件.

振动传递问题在工程技术, 材料科学等许多领域中具有广泛应用. 从数学的角度讲, 波的振动传递问题与双曲方程中椭圆型算子具有不连续系数的问题相联系, 给问题解的适定性、正则性及定性性质的研究带来许多困难.

迄今为止, 具有或不具有记忆阻尼的粘弹性方程振动传递问题的研究已有许多成果. 关于无记忆项的振动传递问题中解的存在性、正则性、可控性及衰减估计的研究, 参见文献[1-3]. 比如, Maezocchi等^[1]证明了一维空间中弹性材料与热弹性材料之间的振动传递问题, 并证明了能量的指数衰减. 后来, Marzocchi和Naso^[2]将该结论推广到了$ N $维空间中. Bastos和Raposo^[3]研究了具有摩擦阻尼的线性传递问题, 并得到了解的适定性及整体能量的指数稳定性.

对于具有衰落记忆效应的波动方程振动传递问题, Rivera和Oquendo^[4]研究了一维空间中粘弹性波的传递问题

$ \rho_{1}u_{tt}(x, t)-au_{xx}(x, t) = 0, \;(x, t)\in(0, L_{1})\times(0, +\infty), $

$ \rho_{2}v_{tt}(x, t)-bv_{xx}(x, t)+\int_{0}^{t}g(t-s)v_{xx}(x, s){\rm d}s = 0, \;(x, t)\in(L_{1}, L_{2})\times(0, +\infty), $

当记忆核函数$ g $指数衰减时, 他们得到了解的指数衰减估计. Andrade等^[5]考虑了非线性波动方程组的振动传递问题

$ \rho_{1}u_{tt}(x, t)-\gamma_{1}\Delta u(x, t)+f(u) = 0, \;(x, t)\in \Omega_{1}\times(0, +\infty), $

$ \rho_{2}v_{tt}(x, t)-\gamma_{2}\Delta v(x, t)+f(v) = 0, \;(x, t)\in \Omega_{2}\times(0, +\infty), $

给出部分边界上的记忆耗散条件

$ \begin{eqnarray*} u(x, t)+\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(x, s)}{\partial\nu}{\rm d}s = 0, \;(x, t)\in \Gamma_{1}\times(0, +\infty). \end{eqnarray*} $

他们证明了整体解的存在性及当记忆核函数为代数或指数衰减时解的衰减速率也同样分别为代数或指数型. 之后, Alves等^[6]考虑了具有内部记忆项的一维Timoshenko梁的振动传递问题并得到了类似于文献[5]的结论. 此外, 对于具有衰落记忆和时滞效应的振动传递问题的研究方面, 我们参考了文献[7-8]. 但是, 前述文献仅在记忆核非增的限制条件下得到解的衰减结论.

最近, 我们特别关注到具有不一定递减核的单个粘弹性波动方程中能量衰减估计的研究进展. 比如, Medjden和Tatar^[9]首次考虑了记忆核不一定递减的线性粘弹性方程Dirichlet初边值问题

$ \begin{eqnarray*} u_{tt}-\Delta u+\int_{0}^{t}g(t-s)\Delta u(s){\rm d}s+au_{t} = 0, \;(x, t)\in\Omega\times(0, +\infty), \end{eqnarray*} $

其中$ a\geq0 $. 他们在记忆核函数$ g $导数无需为负(即满足$ g'(t)+\xi g(t)\geq0 $且$ {\rm e}^{\alpha t}[g'(t)+\xi g(t)]\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{+}) $)的条件下, 通过引入适当的能量泛函, 得到了问题解的指数衰减性结论. 之后, Kafini和Tatar在文献[10]中得到了无摩擦阻尼项($ a = 0 $) 的Cauchy问题中导出了能量的代数衰减估计. Djebabla和Tatar^[11]考虑了一维Timoshenko方程组

$ \rho_{1}u_{tt}-k(u_{x}+v)_{x} = 0, \;(x, t)\in(0, L)\times(0, +\infty), $

$ \rho_{2}v_{tt}-bv_{xx}+k(u_{x}+v)+\gamma\theta_{x} = 0, \;(x, t)\in(0, L)\times(0, +\infty), $

$ \rho_{3}\theta_{tt}-l\theta_{xx}+\beta\int_{0}^{+\infty}g(t-s)\theta_{xx}(s){\rm d}s+\gamma v_{ttx} = 0, \;(x, t)\in(0, L)\times(0, +\infty). $

通过引入适当的Lyapunov泛函, 他们得到了问题解的指数稳定性结论. 特别地, Mesloub及Boulaaras^[12-13]考虑了文献[9]中单个方程及其对应的方程组并在记忆核函数$ g $的条件中$ \xi $替换为$ \xi(t) $后证明了问题能量的一般衰减速率.

综上所述, 记忆核不一定递减的粘弹性方程振动传递问题的研究至今还未十分完善. 主要难点在于当记忆核可能振荡时, 通常无法得到经典能量的非增性质, 甚至是修正能量. 由此启发, 本文中我们考虑记忆核不一定递减的线性粘弹性方程振动传递问题(1.1)–(1.7), 通过构造新的Lyapunov泛函, 导出问题能量一般衰减估计值.

本文的剩余部分结构如下: 第2节, 介绍预备知识及主要结论. 第3节, 我们给出主要结论的详细证明过程. 第4节中举例说明, 我们得到的能量一般衰减估计中包括指数、代数及对数等一致衰减估计值.

本节中, 我们引进一些在主要结论的证明中用到的符号、定义、假设及命题, 并陈述我们的主要结论.

在整文中, $ c $及$ C $在不同表达式中可能表示不同的正常数且定义

$ H_{\Gamma}^{1}(\Omega_{2}): = \{v\in H^{1}(\Omega_{2}):v = 0\;{\rm on}\;\Gamma_{0}\}, $

$ V: = \bigg\{(u, v)\in H^{1}(\Omega_{1})\times H_{\Gamma}^{1}(\Omega_{2}):u = v, \;\frac{\partial u}{\partial\nu}-\int_{0}^{t}g(t-s)\frac{\partial u(s)}{\partial\nu}{\rm d}s = \frac{\partial v}{\partial\nu}\bigg\}, $

$ (u, v)_{\Omega_{i}}: = \int_{\Omega_{i}}u(x)v(x){\rm d}x, \;i = 1, 2, \;(u, v)_{\Gamma_{j}}: = \int_{\Gamma_{j}}u(x)v(x){\rm d}x, \;j = 1, 2. $

对于Banach空间$ X $, 用$ \|\cdot\|_{X} $表示$ X $中的范数, 常见的Lebesgue范数$ \|\cdot\|_{L^{2}(\Omega_{i})} $及$ \|\cdot\|_{L^{2}(\Gamma_{j})} $分别简单记为$ \|\cdot\|_{\Omega_{i}} $及$ \|\cdot\|_{\Gamma_{j}} $.

现在, 我们对记忆核函数$ g $给出一些合理的假设.

(H1)    $ g:[0, +\infty)\rightarrow (0, +\infty) $为$ C^{1} $类函数满足

$ \int_{0}^{+\infty}g(s){\rm d}s<1. $

(H2)    存在可微正函数$ \xi(t) $及常数$ \alpha $使得

$ g'(t)+\xi(t)g(t)\geq0, $

且

$ {\rm e}^{\alpha t}\left[g'(t)+\xi(t)g(t)\right]\in L^{1}({{\Bbb R}} ^{+}). $

另外, $ \xi(t) $满足: 存在常数$ k, \beta>0 $使得

$ \xi(t)\geq\beta>0, \;\left|\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}\right|\leq k, \;\xi'(t)\leq0, \;\forall t\geq0, $

且

$ \int_{0}^{+\infty}\xi(s){\rm d}s = +\infty. $

注2.1   由条件(H2)可知, $ g'(t) $的符号无法确定, 则$ g(t) $可能是振荡的. 例如, 我们取

$ \begin{eqnarray*} g(t) = (\rho b+b\sin t){\rm e}^{-t}, \;b>0, \;1<\rho<\sqrt{2}, \end{eqnarray*} $

则$ g(t) $非负可积且振荡. 同时, 取$ \xi(t) = \frac{\rho}{\rho-1}\left(1+\frac{1}{t}\right) $可满足条件(H2).

详细的证明过程可参考文献[5, 12]. 下面我们直接陈述问题(1.1)–(1.7)的解的整体可解性及正则性结论.

命题2.1  设$ g $为连续函数且给定的初始值$ (u_{0}, v_{0})\in (H^{1}(\Omega_{1})\times H^{1}(\Omega_{2})) $, $ (u_{1}, v_{1})\in (L^{2}(\Omega_{1})\times L^{2}(\Omega_{2})) $满足相容性条件

$ \frac{\partial u_{0}}{\partial\nu}+u_{1} = 0, \; {\rm on}\;\Gamma_{2}, \;v_{0} = 0, {\rm on}\;\Gamma_{0}, $

$ u_{0} = v_{0}, \;\frac{\partial u_{0}}{\partial\nu} = \frac{\partial v_{0}}{\partial\nu}, \;{\rm on}\;\Gamma_{1}, $

则问题(1.1)–(1.7)存在唯一的整体弱解$ (u, v) $且满足如下正则性

$ \begin{eqnarray*} (u, v)\in C\left((0, +\infty);V\right)\cap C^{1}\left((0, +\infty);L^{2}(\Omega_{1})\times L^{2}(\Omega_{2})\right). \end{eqnarray*} $

为了简便, 下文中我们记

$ \beta l(t): = g'(t)+\xi(t)g(t), \;\;l_{\alpha}: = {\rm e}^{\alpha t}l(t), $

$ \overline{g}: = \int_{0}^{+\infty}g(s){\rm d}s, \;\overline{l}: = \int_{0}^{+\infty}l(s){\rm d}s, \;\overline{l_{\alpha}}: = \int_{0}^{+\infty}l_{\alpha}(s){\rm d}s, $

且定义问题(1.1)–(1.7)的经典能量为

(2.1) $ \begin{eqnarray} E(t): = \frac{1}{2}\left(\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}+\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\right). \end{eqnarray} $

直接求导可得

(2.2) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t} = -a\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} +\int_{\Omega_{1}}\nabla u_{t}\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray} $

显然, $ \frac{{\rm d}E(t)}{{\rm d}t} $的符号无法直接确定. 为此, 我们定义修正的能量为

(2.3) $ \begin{equation} {\cal E}(t): = \frac{1}{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}\left(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}(g\diamond\nabla u)(t), \end{equation} $

其中

$ (g\diamond \nabla u)(t): = \int_{0}^{t}g(t-s)\|\nabla u(t)-\nabla u(s)\|_{\Omega_{1}}^{2}{\rm d}s. $

对(2.1)式直接求导并应用方程(1.1)–(1.5)及恒等式

$ \begin{eqnarray*} & &\frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\left[(g\diamond \nabla u)(t)-\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s\right]\\ & = &-\int_{\Omega_{1}}\nabla u_{t}\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x+\frac{1}{2}(g'\diamond \nabla u)(t)-\frac{g(t)}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray*} $

可导出

(2.4) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal E}(t)}{{\rm d}t} = -a\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} +\frac{1}{2}(g'\diamond \nabla u)(t)-\frac{g(t)}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}. \end{eqnarray} $

注意到, 在以往的大多数文献中都要求$ g'(t)\leq0 $且使能量$ {\cal E}(t) $是非增的, 而我们的文章中允许$ g(t) $是振荡的, 因此无法得到能量$ {\cal E}(t) $的非增性. 然而, 我们仍然可以引入关于修正能量$ {\cal E}(t) $的新的Lyapunov泛函, 得到经典能量$ E(t) $的一般衰减估计值.

我们的主要结果陈述如下.

定理2.1   令$ (u, v) $为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解. 假设条件(H1)和(H2)成立且$ E(0)>0 $.

(i) 当$ a>0 $时, 若$ \overline{l}_{\alpha} $充分小, 则存在常数$ C, r_{1}>0 $使得$ E(t) $的衰减速率为

$ \begin{eqnarray*} E(t)\leq C\exp\left\{-r_{1}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s\right\}, \;\forall t\geq0. \end{eqnarray*} $

(ii) 当$ a = 0 $时, 若$ g(0) $, $ \overline{g} $及$ \overline{l}_{\alpha} $充分小, 则存在常数$ C, r_{2}>0 $使得$ E(t) $的衰减速率为

$ \begin{eqnarray*} E(t)\leq C\exp\left\{-r_{2}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s\right\}, \;\forall t\geq0. \end{eqnarray*} $

本节中, 我们讨论问题(1.1)–(1.7)能量的一般衰减估计值.

为了证明主要结论, 我们先引入几个引理.

令

$ \begin{eqnarray*} \Phi(t): = \int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x+\int_{\Omega_{2}}\left[(m\cdot\nabla v)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) v\right]v_{t}{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

其中$ w(t): = u(t)-\int_{0}^{t}g(t-s)u(s){\rm d}s $且$ 0<\theta<1 $为待定常数.

引理3.1   令$ (u, v) $为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解且设条件(H1)和(H2)成立, 则

(i) 当$ a>0 $时, 有如下微分不等式成立

(3.1) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&\frac{1}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\bigg\{4R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l}+g^{2}(0)\right] \\ &&+a^{2}\left[8R^{2}+\lambda_{1}^{2}(N-2\theta)\right]\bigg\}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left[R+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\frac{4\lambda^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8}+\frac{20}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right](g\diamond \nabla u)(t)\\ & &+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16}(l\diamond \nabla u)(t)-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}, \end{eqnarray} $

(ii) 当$ a = 0 $时, 有如下微分不等式成立

(3.2) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\left\{\theta-\frac{3R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l}+g^{2}(0)\right]}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right\} \|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}(l\diamond \nabla u)(t)\\ &&+\left[R+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\frac{3\lambda^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}+\frac{15}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right](g\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}, \end{eqnarray} $

其中$ R: = \max\left\{|x-x_{0}|:x\in\overline{\Omega}\right\} $.

证  由(1.1)式及Green公式, 我们得到

(3.3) $ \begin{eqnarray} & &\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u_{t})u_{t}{\rm d}x-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}\nabla(m\cdot\nabla w)\cdot\nabla w{\rm d}x+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&+\int_{\partial\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]\frac{\partial w}{\partial\nu}{\rm d}\Gamma-a\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

注意到

(3.4) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u_{t})u_{t}{\rm d}x = -\frac{N}{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{1}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma, \end{eqnarray} $

且

(3.5) $ \begin{eqnarray} & &-\int_{\Omega_{1}}\nabla(m\cdot\nabla w)\cdot\nabla w{\rm d}x\\ & = &-\int_{\Omega_{1}}\sum\limits_{i, j = 1}^{N}\left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(m_{j}\frac{\partial w}{\partial x_{j}}\right)\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\right]{\rm d}x\\ & = &-\int_{\Omega_{1}}\sum\limits_{i, j = 1}^{N}\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\frac{\partial w}{\partial x_{j}}\frac{\partial m_{j}}{\partial x_{i}}{\rm d}x-\frac{1}{2}\int_{\Omega_{1}}\sum\limits_{i, j = 1}^{N}\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\frac{\partial w}{\partial x_{i}}\right)^{2}m_{j}{\rm d}x\\ & = &\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}-\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{1}}(m\cdot\nu)|\nabla w|^{2}{\rm d}\Gamma. \end{eqnarray} $

将(3.4)–(3.5)式代入(3.3)式, 则我们导出

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x\\ & = &-\theta\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ &&+\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{1}}2\left\{\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]\frac{\partial w}{\partial\nu}+(m\cdot\nu)\left(|u_{t}|^{2}-|\nabla w|^{2}\right)\right\}{\rm d}\Gamma\\ &&-a\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

类似的, 由(1.2)式及Green公式, 我们有

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_{\Omega_{2}}\left[(m\cdot\nabla v)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)v\right]v_{t}{\rm d}x\\ & = &-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega_{2}}(m\cdot\widetilde{\nu})\left(|v_{t}|^{2}-|\nabla v|^{2}\right){\rm d}\Gamma\\ &&+\int_{\partial\Omega_{2}}\left[(m\cdot\nabla v)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) v\right]\frac{\partial v}{\partial\widetilde{\nu}}{\rm d}\Gamma, \end{eqnarray} $

其中$ \widetilde{\nu} $表示$ \Omega_{2} $上的单位外法向量. 将(3.6)式与(3.7)式相加并应用传递条件及边界条件(1.3)–(1.5), 我们导出

(3.8) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}& = &-\theta\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ &&-\int_{\Gamma_{2}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}\Gamma+\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)\left(|u_{t}|^{2}-|\nabla w|^{2}\right){\rm d}\Gamma\\ & &-a\int_{\Omega_{1}}\left[(m\cdot\nabla w)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right) u\right]u_{t}{\rm d}x-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\\ &&-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\widetilde{\nu})|\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma+\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\nabla v)\frac{\partial v}{\partial\widetilde{\nu}}{\rm d}\Gamma. \end{eqnarray} $

对于(3.8)式中的最后两项, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\widetilde{\nu})|\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma+\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\nabla v)\frac{\partial v}{\partial\widetilde{\nu}}{\rm d}\Gamma\\ & = &-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\widetilde{\nu})|\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma+\int_{\Gamma_{0}}(m\cdot\nabla v)(\nabla v\cdot\widetilde{\nu}){\rm d}\Gamma\\ & = &\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}|m||\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma-\int_{\Gamma_{0}}\frac{1}{|m|}|m\cdot\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma\\ & = &-\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{0}}|m||\nabla v|^{2}{\rm d}\Gamma\leq0, \end{eqnarray*} $

其中应用了$ \Gamma_{0} $为球$ B(x_{0}) $的边界, 这意味着在$ \Gamma_{0} $上$ \widetilde{\nu} = -\frac{x-x_{0}}{|x-x_{0}|} = -\frac{m}{|m|} $且$ -m $与$ \nabla v $方向一致. 类似地, 由(1.3)式可得

$ \begin{eqnarray*} -\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nabla w)u_{t}{\rm d}\Gamma+\frac{1}{2}\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)\left(|u_{t}|^{2}-|\nabla w|^{2}\right){\rm d}\Gamma = \int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma. \end{eqnarray*} $

则(3.8)式可重写为

(3.9) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\theta\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{N}{2}-1\right)\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ & &+\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Gamma_{2}}uu_{t}{\rm d}\Gamma-a\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla w)u_{t}{\rm d}x\\ &&-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)a\int_{\Omega_{1}}uu_{t}{\rm d}x-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray} $

此外, 利用Young不等式可以得到

(3.10) $ \begin{eqnarray} -a\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla w)u_{t}{\rm d}x\leq a\eta_{1}\|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{aR^{2}}{4\eta_{1}}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray} $

且

(3.11) $ \begin{eqnarray} \|\nabla w\|_{\Omega_{1}}^{2}& = &\int_{\Omega_{1}}\left[\nabla u(t)-\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s\right]^{2}{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}\left[\nabla u(t)+\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(t)-\nabla u(s)-\nabla u(t)]{\rm d}s\right]^{2}{\rm d}x\\ &\leq&\left(1-\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s+\eta_{2}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)\overline{g}(g\diamond\nabla u)(t), \end{eqnarray} $

其中$ \eta_{1}, \eta_{2}>0 $为待定常数. 将(3.10)和(3.11)式代入(3.9)式, 可导出

(3.12) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}\Phi(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\left[1-\theta+\left(\frac{N}{2}-1\right)\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s-2a\eta_{1}-\left(\frac{N}{2}-1\right)\eta_{2}\right]\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left(-\theta+\frac{aR^{2}}{4\eta_{1}}\right)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}- \left(\frac{N}{2}-\theta\right)a\int_{\Omega_{1}}uu_{t}{\rm d}x\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)+2a\eta_{1}\right]\overline{g}(g\diamond\nabla u)(t)\\ & &+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x-g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\\ & &+\int_{\Gamma_{2}}(m\cdot\nu)|u_{t}|^{2}{\rm d}\Gamma-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Gamma_{2}}uu_{t}{\rm d}\Gamma-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray} $

对于(3.12)式右端第四项, 我们有

(3.13) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}g(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)]{\rm d}s{\rm d}x+\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s \|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &\leq&\left(\int_{0}^{t}g(s){\rm d}s+\eta_{3}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{4\eta_{3}}\overline{g}(g\diamond\nabla u)(t). \end{eqnarray} $

为处理(3.12)式右端第五项, 我们应用$ \beta l(t) = g'(t)+\xi(t)g(t) $导出

(3.14) $ \begin{eqnarray} &&-\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}g'(t-s)\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}u_{t}\int_{0}^{t}\left[\xi(t-s)g(t-s)-\beta l(t-s)\right]\left(m\cdot\nabla u(s)\right){\rm d}s{\rm d}x\\ &\leq&(\eta_{4}\xi(0)+\eta_{5}\beta)R^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left(\frac{\xi(0)}{2\eta_{4}}\overline{g}+ \frac{\beta}{2\eta_{5}}\overline{l}\right)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\eta_{4}\xi(0)R^{2}(g\diamond\nabla u)(t)+\eta_{5}\beta R^{2}(l\diamond\nabla u)(t). \end{eqnarray} $

再对(3.12)式右端剩余项利用Young不等式可得

(3.15) $ \begin{eqnarray} -g(0)\int_{\Omega_{1}}(m\cdot\nabla u)u_{t}{\rm d}x\leq\eta_{6}R^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{g^{2}(0)}{4\eta_{6}}\| u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray} $

(3.16) $ \begin{eqnarray} -\left(\frac{N}{2}-\theta\right)a\int_{\Omega_{1}}uu_{t}{\rm d}\Gamma&\leq&\eta_{7}a\|u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{a}{4\eta_{7}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &\leq&\eta_{7}a\lambda_{1}^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{a}{4\eta_{7}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}, \end{eqnarray} $

且

(3.17) $ \begin{eqnarray} -\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\int_{\Gamma_{2}}uu_{t}{\rm d}\Gamma&\leq&\eta_{8}\|u\|_{\Gamma_{2}}^{2}+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &\leq&\eta_{8}\lambda^{2}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}, \end{eqnarray} $

其中$ \eta_{i} $, $ i = 3, 4, \cdots , 8 $为待定常数且$ \lambda $及$ \lambda_{1} $分别为迹不等式的最优常数及$ -\Delta $在齐次Dirichlet边界条件下的第一特征值, 即$ \|u\|_{\Gamma_{2}}\leq\lambda\|\nabla u\|_{\Omega_{1}} $及$ \|u\|_{\Omega_{1}}\leq\lambda_{1}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}} $.

将(3.13)–(3.17)式代入(3.12)式, 我们导出

(3.18) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\Phi(t)&\leq&\left\{a\left[\frac{R^{2}}{4\eta_{1}}+\frac{(N-2\theta)^{2}}{16\eta_{7}}\right]-\left[\theta-\frac{\xi(0)\overline{g}}{2\eta_{4}}-\frac{\beta\overline{l}}{2\eta_{5}}-\frac{g^{2}(0)}{4\eta_{6}}\right] \right\}\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\bigg\{(1-\theta)(1-\overline{g})-2a\eta_{1}-\left(\frac{N}{2}-1\right)\eta_{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\eta_{3}\\ &&-R^{2}(\eta_{4}\xi(0)+\eta_{5}\beta+\eta_{6})-a\lambda_{1}^{2}\eta_{7}-\lambda^{2}\eta_{8}\bigg\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\eta_{5}\beta R^{2}(l\diamond\nabla u)(t)+\left[R+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)+2a\eta_{1}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\frac{1}{4\eta_{3}}\right.\\ &&+\eta_{4}\xi(0)R^{2}\bigg](g\diamond\nabla u)(t)-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray} $

(i) 情形1    当$ a>0 $时, 分别选取$ \eta_{i}(i = 1, \cdots , 8) $为

$ \begin{eqnarray*} &&\eta_{1} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{32a}, \;\;\eta_{2} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8(N-2)}, \;\; \eta_{3} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8(N-2\theta)}, \\ &&\eta_{4} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16\xi(0)R^{2}}, \;\;\eta_{5} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16\beta R^{2}}, \;\; \eta_{6} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16R^{2}}, \\ &&\eta_{7} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16a\lambda_{1}^{2}}, \;\;\eta_{8} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{16\lambda^{2}}, \end{eqnarray*} $

即可得(3.1)式.

(ii) 情形2    当$ a = 0 $时, (3.18)式变为

(3.19) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\Phi(t)&\leq&-\left\{(1-\theta)(1-\overline{g})-\left(\frac{N}{2}-1\right)\eta_{2}-\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\eta_{3}-\lambda^{2}\eta_{8}\right.\\ &&\qquad-R^{2}(\eta_{4}\xi(0)+\eta_{5}\beta+\eta_{6})\bigg\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\eta_{5}\beta R^{2}(l\diamond\nabla u)(t)\\ &&-\left[\theta-\frac{\xi(0)\overline{g}}{2\eta_{4}}-\frac{\beta\overline{l}}{2\eta_{5}}-\frac{g^{2}(0)}{4\eta_{6}}\right] \|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\left[R+\frac{1}{4\eta_{8}}\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\right]\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2}\\ &&+\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)\left(1+\frac{1}{\eta_{2}}\right)+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)\frac{1}{4\eta_{3}} +\eta_{4}\xi(0)R^{2}\right](g\diamond\nabla u)(t)\\ &&-\theta\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-(1-\theta)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray} $

分别选取$ \eta_{i}(i = 2, \cdots , 8) $为

$ \begin{eqnarray*} &&\eta_{2} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{6(N-2)}, \;\;\eta_{3} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{6(N-2\theta)}, \;\; \eta_{4} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12\xi(0)R^{2}}, \\ &&\eta_{5} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12\beta R^{2}}, \;\;\eta_{6} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12R^{2}}, \;\;\eta_{8} = \frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12\lambda^{2}}, \end{eqnarray*} $

即可得(3.2)式. 引理3.1证毕.

接下来, 我们定义

$ \begin{eqnarray*} \Psi(t): = \left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\left(\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+2\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

其中

$ L_{\alpha}(t): = {\rm e}^{-\alpha t}\int_{t}^{+\infty}l_{\alpha}(s){\rm d}s = {\rm e}^{-\alpha t}\int_{t}^{+\infty}{\rm e}^{\alpha s}l(s){\rm d}s. $

则有如下估计:

引理3.2   令$ (u, v) $为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解且设条件(H1)和(H2)成立, 则

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}[\xi(t)\Psi(t)]&\leq&-\frac{\alpha}{2}\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\frac{3}{4}\xi(t)\left(l\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&+\left[2L_{\alpha}(0)+\frac{(3k+2\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}+6\overline{l}+\frac{2(k+\alpha)^{2}\overline{l}_{\alpha}}{\alpha^{2}}\right] \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}. \end{eqnarray*} $

证  直接求导可得

(3.20) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}[\xi(t)\Psi(t)]& = &[\xi'(t)-\alpha\xi(t)]\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\xi(t)\left(l\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&-\left[\xi(t)L_{\alpha}(t)+\xi'(t)\left(\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\right)-2\xi(t)L_{\alpha}(0)\right]\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-2[\alpha\xi(t)-\xi'(t)]\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &&-2\xi(t)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}l(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x. \end{eqnarray} $

对于(3.20)式右端第四项, 应用Young不等式可以导出

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ & = &\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)[\nabla u(s)-\nabla u(t)+\nabla u(t)]{\rm d}s{\rm d}x\\ &\leq&\left(\varepsilon_{1}+\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s}{4\varepsilon_{1}}\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t), \end{eqnarray*} $

其中$ \varepsilon_{1}>0 $为待定常数. 同时, 注意到

$ \begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}L_{\alpha}(s){\rm d}s\leq\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{+\infty}{\rm e}^{\alpha s}l(s){\rm d}s = \frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}. \end{eqnarray*} $

则可得

(3.21) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x \leq\left(\varepsilon_{1}+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{4\alpha\varepsilon_{1}}\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray} $

类似的, 我们可以导出

(3.22) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}l(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x \leq\left(\varepsilon_{2}+\overline{l}\right)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\overline{l}}{4\varepsilon_{1}}\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray} $

其中$ \varepsilon_{2}>0 $为待定常数. 将(3.21)式和(3.22)式代入(3.20)式, 可以导出

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}[\xi(t)\Psi(t)] &\leq&-\left[\alpha-\frac{(k+\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{2\varepsilon_{1}\alpha}\right]\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)-\left(1-\frac{\overline{l}}{2\varepsilon_{2}}\right)\xi(t)\left(l\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&+\left[2L_{\alpha}(0)+\frac{(3k+2\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}+2(k+\alpha)\varepsilon_{1}+2(\varepsilon_{2}+\overline{l})\right] \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}. \end{eqnarray*} $

选取

$ \varepsilon_{1} = \frac{(k+\alpha)\overline{l}_{\alpha}}{\alpha^{2}}, {\qquad}\varepsilon_{2} = 2\overline{l}, $

即可得结论. 引理3.2证毕.

利用修正能量$ {\cal E}(t) $, 我们定义新的Lyapunov泛函

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}(t): = {\cal E}(t)+\mu_{1}\Phi(t)+\mu_{2}\xi(t)\Psi(t), \end{eqnarray*} $

其中$ \mu_{1}, \mu_{2}>0 $为待定常数. 则有如下在主要结论证明中起到关键作用的命题:

命题3.1  令$ (u, v) $为问题(1.1)–(1.7)的整体弱解且设(H1)和(H2)成立, 则存在常数$ \kappa_{1}, \kappa_{2}>0 $使得

(3.23) $ \begin{eqnarray} \kappa_{1}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t)\right]\leq{\cal L}(t) \leq\kappa_{2}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t) +\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)\right]. \end{eqnarray} $

证  我们证明不等式(3.23)的左边. 对于$ \Phi(t) $, 应用Cauchy-Schwarz不等式可以导出

(3.24) $ \begin{eqnarray} \Phi(t)&\leq&\frac{1}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]\left(\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\right)\\ &&+\frac{1}{2}\left(\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}\right)+2R^{2}\left(g\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray} $

而对于$ \xi(t)\Psi(t) $, 由(3.21)式及条件(H2)可得

(3.25) $ \begin{eqnarray} & &\xi(t)\int_{\Omega_{1}}\nabla u(t)\cdot\int_{0}^{t}L_{\alpha}(t-s)\nabla u(s){\rm d}s{\rm d}x\\ &\leq&\left(\varepsilon+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\xi(0)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{4\varepsilon\alpha}\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray} $

因此

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}(t)&\geq&\left\{\frac{1-\overline{g}}{2}-\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right] -\mu_{2}\xi(0)\left(2\varepsilon+\frac{3\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\right\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left\{\frac{1}{2}-\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]\right\}\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}+\frac{1}{2}(1-\mu_{1})\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\frac{1}{2}(1-\mu_{1})\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}+\left(\frac{1}{2}-2R^{2}\mu_{1}\right)\left(g\diamond\nabla u\right)(t)\\ &&+\mu_{2}\left(1-\frac{\overline{l}_{\alpha}}{2\varepsilon\alpha}\right)\xi(t)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t). \end{eqnarray*} $

选取

$ \varepsilon = \frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}, \;\mu_{1}<\min\left\{1, \;\frac{1-\overline{g}} {8\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]}\right\}, \;\mu_{2}< \frac{(1-\overline{g})\alpha}{40\xi(0)\overline{l}_{\alpha}}, $

则

$ {\cal L}(t)\geq\kappa_{1}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t)\right], $

其中

$ \kappa_{1} = \min\left\{\frac{1-\mu_{1}}{2}, \;\frac{1-\overline{g}}{2}-\frac{\mu_{1}}{2} \left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]-\frac{5\mu_{2}\overline{l}_{\alpha}\xi(0)}{\alpha}\right\}. $

另一方面, 结合(3.24)式和(3.25)式可得

$ \begin{eqnarray*} {\cal L}(t)&\leq&\frac{1}{2}(1+\mu_{1})\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}+\frac{1}{2}(1+\mu_{1})\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}\\ &&+\left\{\frac{1-\overline{g}}{2}+\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right] +2\mu_{2}\xi(0)\left(\varepsilon+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right)\right\}\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&+\left\{\frac{1}{2}+\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right]\right\}\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}\\ &&+\left(\frac{1}{2}+2R^{2}\mu_{1}\right)\left(g\diamond\nabla u\right)(t)+\mu_{2}\left(1+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{2\varepsilon\alpha}\right)\xi(0)\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t), \end{eqnarray*} $

这表明

$ {\cal L}(t)\leq\kappa_{2}\left[E(t)+\left(g\diamond\nabla u\right)(t) +\left(L_{\alpha}\diamond\nabla u\right)(t)\right], $

其中

$ \begin{eqnarray*} \kappa_{2} = \max\left\{\frac{1-\overline{g}}{2}+\frac{\mu_{1}}{2}\left[R^{2}+\left(\frac{N}{2}-\theta\right)^{2}\lambda_{1}^{2}\right] +2\mu_{2}\xi(0)\left(\varepsilon+\frac{\overline{l}_{\alpha}}{\alpha}\right), \frac{1+\mu_{1}}{2}, \frac{1}{2}+2R^{2}\mu_{1}\right\}. \end{eqnarray*} $

命题3.1证毕.

下面, 我们给出定理2.1的详细证明过程.

定理2.1的证明   (i) 情形1    $ a>0 $. 不失一般性, 假设$ a = 1 $. 结合引理3.1(i), 引理3.2及(2.4)式可得

(3.26) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\left\{\frac{1}{\xi(0)}-\frac{\mu_{1}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\left[4R^{2}\left(2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right)\right.\right.\\ &&\left.+8R^{2}+\lambda_{1}^{2}(N-2\theta)\right]\bigg\}\xi(t)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{2\xi(0)}-\frac{\overline{l}_{\alpha}\mu_{2}}{\alpha^{2}}(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})\right\} \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{1-\mu_{1}\left[R+\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\right\}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} -\frac{\alpha\mu_{2}}{2}\xi(t)(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\left\{\frac{1}{2}-\frac{\mu_{1}}{\beta}\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{8}+\frac{20}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]\right\}\\ & &\times\xi(t)(g\diamond \nabla u)(t)-\left\{\frac{3\mu_{2}}{4}-\frac{1}{2}-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{16\beta}\right\}\xi(t)(l\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\frac{\theta\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray} $

选取

(3.27) $ \begin{eqnarray} \mu_{2}& = &1, \\ \mu_{2}&<&\min\left\{\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{2\xi(0)\left[4R^{2}\left(2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right)+8R^{2}+\lambda_{1}^{2}(N-2\theta)\right]}, \right. \frac{1}{2\left[R+\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]}, \\ &&{\qquad}{\quad}\frac{2\beta} {(1-\theta)(1-\overline{g})}, \left. \frac{\beta}{4\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta) (1-\overline{g})}{8}+\frac{20}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]}\right\}. \end{eqnarray} $

因此, 若

$ \overline{l}_{\alpha}<\min\left\{1, \quad\frac{(1-\theta)(1-\overline{g}){\alpha^{2}}}{4\xi(0)(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})}\mu_{1}\right\}, $

则由(3.26)式可以导出

$ \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-C_{1}\xi(t)\left[E(t)+(g\diamond \nabla u)(t)+(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\right\}, $

其中

(3.28) $ \begin{equation} C_{1} = \min\left\{\frac{1}{2\xi(0)}, \;\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\frac{1}{2}, \;\frac{2\theta\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\frac{\alpha}{2}\right\}. \end{equation} $

应用命题3.1右端不等式可知, 存在$ r_{1}: = \frac{C_{1}}{\kappa_{1}} $使得

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-r_{1}\xi(t){\cal L}(t), \;t\geq0. \end{eqnarray*} $

对上式积分可得

(3.29) $ \begin{equation} {\cal L}(t)\leq{\cal L}(0)\exp\left\{-r_{1}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0. \end{equation} $

由假设$ E(0)>0 $可知$ {\cal L}(0)>0 $, 则由命题3.1左端不等式可导出

$ E(t)\leq\frac{{\cal L}(0)}{\kappa_{1}}\exp\left\{-r_{1}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0. $

(ii) 情形2   $ a = 0 $. 结合引理3.1(ii), 引理3.2及(2.4)式可得

(3.30) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}&\leq&-\frac{\mu_{1}}{\xi(0)}\left\{\theta-\frac{3R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right]}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right\}\xi(t)\|u_{t}\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{2\xi(0)}-\frac{\overline{l}_{\alpha}\mu_{2}}{\alpha^{2}}(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})\right\} \xi(t)\|\nabla u\|_{\Omega_{1}}^{2}\\ &&-\left\{1-\mu_{1}\left[R+\frac{3}{4}\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]\right\}\|u_{t}\|_{\Gamma_{2}}^{2} -\frac{\alpha\mu_{2}}{2}\xi(t)(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\left\{\frac{1}{2}-\frac{\mu_{1}}{\beta}\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}+\frac{15}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]\right\}\\ &&\times\xi(t)(g\diamond \nabla u)(t)-\left\{\frac{3\mu_{2}}{4}-\frac{1}{2}-\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\mu_{1}}{12\beta}\right\}\xi(t)(l\diamond \nabla u)(t)\\ &&-\frac{\theta\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|v_{t}\|_{\Omega_{2}}^{2}-\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{\xi(0)}\xi(t)\|\nabla v\|_{\Omega_{2}}^{2}. \end{eqnarray} $

令$ g(0) $, $ \overline{g} $及$ \overline{l}_{\alpha} $充分小使得

(3.31) $ \begin{equation} \frac{3R^{2}\left[2\xi^{2}(0)\overline{g}+2\beta^{2}\overline{l} +g^{2}(0)\right]}{(1-\theta)(1-\overline{g})}<\frac{\theta}{2}, \end{equation} $

(3.32) $ \begin{equation} \overline{l}_{\alpha}<\min\left\{1, \;\;\frac{(1-\theta)(1-\overline{g}){\alpha^{2}}}{4\xi(0)(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2})}\mu_{1}\right\}, \end{equation} $

且选取

(3.33) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \mu_{2} = 1, \\ { } \mu_{2}<\min\left\{\frac{1}{2\left[R+\frac{3}{4}\frac{\lambda^{2}(N-2\theta)^{2}}{(1-\theta)(1-\overline{g})}\right]}, \quad\frac{2\beta}{(1-\theta)(1-\overline{g})}, \frac{\beta}{4\left[\left(\frac{N}{2}-1\right)+\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})}{12}+\frac{15}{(1-\theta)(1-\overline{g})} \right]}\right\}. \end{array} \end{equation} $

则由(3.30)式可以导出

(3.34) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-C_{2}\xi(t)\left[E(t)+(g\diamond \nabla u)(t)+(L_{\alpha}\diamond \nabla u)(t)\right], \end{eqnarray} $

其中

$ C_{2} = \min\left\{\frac{(1-\theta)\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\;\frac{2\theta\mu_{1}}{2\xi(0)}, \;\;\frac{\alpha}{2}, \;\;\frac{1}{2}\right\}. $

另外, 应用命题3.1右端不等式可导出, 存在$ r_{2}: = \frac{C_{2}}{\kappa_{2}} $使得

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}{\cal L}(t)}{{\rm d}t}\leq-r_{2}\xi(t){\cal L}(t), \;t\geq0. \end{eqnarray*} $

对上式积分可得

(3.35) $ \begin{eqnarray} {\cal L}(t)\leq{\cal L}(0)\exp\left\{-r_{2}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0. \end{eqnarray} $

由假设$ E(0)>0 $可知$ {\cal L}(0)>0 $, 则由命题3.1左端不等式可导出

$ \begin{eqnarray*} E(t)\leq\frac{{\cal L}(0)}{\kappa_{1}}\exp\left\{-r_{2}\int_{0}^{t}\xi(s){\rm d}s \right\}, \;t\geq0. \end{eqnarray*} $

定理2.1证毕.

本节中我们举例说明定理2.1的结论中包含指数、代数及对数衰减等一致衰减估计值.

例4.1   令

$ \begin{eqnarray*} g(t) = b(\rho+\sin t)\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}, \;t\geq0, \end{eqnarray*} $

其中$ m_{1}>0 $, $ m_{2}, p, q\geq0 $且$ 1<\rho<\sqrt{2} $. 则我们有

$ \begin{eqnarray*} g'(t)& = &b\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\\ &&\times\left\{\cos t-(\rho+\sin t)\left[m_{1}+\frac{m_{2}}{(t+3)^{1-n}}+\frac{p}{t+3}+\frac{q}{(t+3)\ln(t+3)}\right]\right\}. \end{eqnarray*} $

由此可知, $ g'(t) $变号, 即$ g(t) $为振荡核. 我们选取

$ \begin{eqnarray*} \xi(t) = 1+m_{1}+\frac{m_{2}}{(t+3)^{1-n}}+\frac{p}{t+3}+\frac{q}{(t+3)\ln(t+3)}. \end{eqnarray*} $

简单计算知

$ \begin{eqnarray*} \xi'(t)\leq0, \;\xi(t)\geq1, \;\;\left|\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}\right|\leq\frac{m_{2}(1-n)+p+q}{m_{1}+1}. \end{eqnarray*} $

再取$ \beta = 1 $且$ k = \frac{m_{2}(1-n)+p+q}{m_{1}+1}+1 $, 则易验证$ \xi(t) $满足条件(H2). 另外

$ \begin{eqnarray*} \overline{g}& = &b\int_{0}^{+\infty}\left\{(\rho+\sin t)\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\right\}{\rm d}s\\ &\leq& (\sqrt{2}+1)b\int_{0}^{+\infty}\left\{\exp\left\{-m_{1}t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\right\}{\rm d}s\\ &\leq &\frac{3b}{m_{1}+m_{2}}\left[3^{-p}(\ln3)^{-q}\exp\left\{-m_{2}3^{n}\right\}\right], \end{eqnarray*} $

且

$ \begin{eqnarray*} \overline{l}_{\alpha}& = &b\int_{0}^{+\infty}\left\{(\rho+\sin t+\cos t)\exp\left\{-(m_{1}-\alpha )t-m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-p}[\ln(t+3)]^{-q}\right\}{\rm d}s\\ &\leq &\frac{4b}{m_{1}+m_{2}-\alpha}\left[3^{-p}(\ln3)^{-q}\exp\left\{-m_{2}3^{n}\right\}\right]. \end{eqnarray*} $

(i) 当$ a>0 $时, 我们可以选取适当的$ b, \alpha>0 $使得

$ \begin{eqnarray*} b<\frac{(m_{1}+m_{2}-\alpha)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{4}\min\left\{1, \;\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\alpha^{2}\mu_{1}} {8\xi(0)\left(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2}\right)}\right\}, \end{eqnarray*} $

其中$ \mu_{1} $在(3.27)式中给出, 则满足定理2.1(i)的条件且存在常数$ r_{1}>0 $使得

$ \begin{eqnarray*} E(t)\leq C\exp\left\{-r_{1}m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-pr_{1}}\left[\ln(t+3)\right]^{-qr_{1}}, \;t\geq0. \end{eqnarray*} $

(ii) 当$ a = 0 $时, 我们可以选取适当的$ b, \alpha>0 $使得

$ \begin{eqnarray*} b&<&\min\left\{\frac{(m_{1}+m_{2}-\alpha)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{4}\cdot\frac{(1-\theta)(1-\overline{g})\alpha^{2}\mu_{1}} {8\xi(0)\left(12\alpha^{2}+7k\alpha+2k^{2}\right)}\cdot \right.\\ &&\frac{3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}\theta(1-\theta)}{6R^{2}\left[6\left(1+m_{1}+\frac{m_{2}}{3^{1-n}}+\frac{p}{3}+\frac{q}{3\ln 3}\right)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}+\frac{8}{m_{1}+m_{2}-\alpha}+\frac{\theta(1-\theta)}{2(m_{1}+m_{2})+2}\right]}, \\ &&\left.\frac{3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{2}, \;\;\frac{(m_{1}+m_{2}-\alpha)3^{p}(\ln 3)^{q}\exp\{m_{2}3^{n}\}}{4}\right\}, \end{eqnarray*} $

其中$ \mu_{1} $在(3.33)中给出, 则满足定理2.1(ii)的条件且存在常数$ r_{2}>0 $使得

$ E(t)\leq C\exp\left\{-r_{2}m_{2}(t+3)^{n}\right\}(t+3)^{-pr_{2}}\left[\ln(t+3)\right]^{-qr_{2}}, \;t\geq0. $