该文在有界开集$ \Omega\in {{\Bbb R}} ^{N}(N\geq 2) $中, 考虑下列非线性退化椭圆方程边值问题系数间的相互作用关系对解的正则性的影响

$ {\rm (P)}{\quad} \left\{ \begin{array}{ll} -\mbox{div}(\alpha(u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+b(x)g(u)+\beta(u)|\nabla u|^p = f(x), {\quad} & x\in\Omega, \\ u = 0, & x\in\partial\Omega, \end{array}\right. $

其中$ f(x), b(x)\in L^1(\Omega) $, $ 1<p\leq N $, 且$ g $为$ {{\Bbb R}} $上的连续函数. $ \alpha, \beta $为$ {{\Bbb R}} $上的非负连续函数, 满足$ \alpha(0) = 0 $, 且当$ s\neq0 $时有$ \alpha(s)>0 $. 因此, 问题(P) 在子集$ \{x\in\Omega:u(x) = 0\} $上退化.

上述问题在物理和其它科学领域有着重要和广泛的应用, 参见文献[1-10]. 考虑特殊情况$ \alpha(s) = s^m $以及$ \beta(s)\equiv0 $, 此方程为多孔介质方程的稳态情形; 例如Li^[6]得到了稳态模型的结果, Yin等^[7]和Wu等^[8]研究了带吸收项的多孔介质方程, Liu等^[9]和Li等^[10]研究了非局部多孔介质方程, Wang等^[11]考虑了多孔介质方程的混合边值问题.

若$ \alpha $为正值函数, $ p = 2 $且$ b\equiv0 $, 在经典的假设条件$ f\in L^q( \Omega)(q>\frac{N}{2}) $下, 文献[12]证明了有界弱解的存在性. 注意到相应抛物问题的结果可参见文献[13]. 当$ f $满足相同的假设条件, 并假定$ \alpha(0) = 0 $和$ \int_0^{+\infty}\alpha^{\frac{1}{p-1}}(s){\rm d}s = \int_0^{+\infty}\frac{1}{\alpha(s)}{\rm d}s = +\infty $, 文献[2]证明了类似的结果.

若$ \alpha\equiv \mbox{常数}>0 $且$ p = 2 $, 众所周知如果$ b\equiv0 $和$ f\in L^1( \Omega) $, 一般是不能得到问题(P) 的有界弱解$ u\in W_0^{1, 2}( \Omega) $的存在性. 而且当$ b\equiv0 $时, 即使$ f\in L^q( \Omega) $ ($ q>\frac{N}{2} $), 为了得到有界弱解的存在性, 还需要$ f $满足适当小的条件, 参见文献[14]. 出乎意料的是, 如果$ g(u) = u $且$ b, f\in L^1 $条件满足(2.7) 式, 文献[15] 证明了非退化问题(P)至少存在一个弱解$ u\in W_0^{1, 2}( \Omega)\cap L^\infty( \Omega) $, 这意味着系数$ b(x) $与$ f $之间的相互关系对解的正则性有一定的影响. 最近, Arcoya和Boccardo^[16]研究了系数$ b, f\in L^1 $之间更为一般地相互关系, 即$ |f(x)|\leq Qb(x)+R(x) $, 其中$ R(x)\in L^m( \Omega) $. 相应的抛物方程边值问题的结果参见文献[17]. 关于具一般低阶项和$ L^1 $数据的拟线性椭圆问题无界解的存在性结果, 参见文献[18]. 含有低阶项或不含低阶项的类似问题的研究结果, 参见文献[19-21].

受文献[12, 15]的启发, 该文主要研究退化问题(P) 的系数$ b(x), f(x)\in L^{1}(\Omega) $的$ L^{1} $相互关系对解的正则性的影响机制. 即使仅满足条件$ f\in L^{1}( \Omega) $时, 证明问题(P) 的有界弱解的存在性, 一定程度上推广了文献[2, 12, 15, 19]的结果(见注2.2).

该文后面的内容作如下安排: 在第2节中给出假设条件与主要结果; 最后在第3节中, 给出主要结果的证明.

本节将给出问题的主要假设条件. 本文主要研究下列非线性退化椭圆型方程

$ {\rm (P)}{\quad} \left\{ \begin{array}{ll} -\mbox{div}(a(x, u, \nabla u))+b(x)g(u)+B(x, u, \nabla u) = f(x), {\quad} & x\in\Omega, \\ u = 0, & x\in\partial\Omega, \end{array}\right. $

其中$ \Omega $为$ {{\Bbb R}} ^N $ ($ N\geq2 $) 中的有界开集, $ 1<p\leq N $. 假设$ a: \Omega\times {{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} ^{N}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{N} $为Carathéodory函数, 使得对任意的$ \xi, \zeta(\xi\neq\zeta)\in {{\Bbb R}} ^{N} $, $ s\in {{\Bbb R}} $以及几乎处处的$ x\in \Omega $, 有

(2.1) $ \begin{equation} a(x, s, \xi)\cdot\xi\geq\alpha(s)|\xi|^{p}, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} |a(x, s, \xi)|\leq \Lambda\alpha(s)[|\xi|^{p-1}+j(x)], \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} [a(x, s, \xi)-a(x, s, \zeta)]\cdot[\xi-\zeta]>0, \ \ \forall s\neq0, \end{equation} $

其中$ \Lambda $为正常数, $ j\in L^{p'}( \Omega) $, 函数$ \alpha $为定义在$ {{\Bbb R}} $上的非负连续函数满足$ \alpha(0) = 0 $, 且当$ s\neq0 $有$ \alpha(s)>0 $. 假定$ B: \Omega\times {{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} ^{N}\rightarrow {{\Bbb R}} ^{N} $为Carathéodory函数, 使得对几乎处处的$ x\in\Omega $以及任意的$ (s, \xi)\in {{\Bbb R}} \times {{\Bbb R}} ^{N} $, 有

(2.4) $ \begin{equation} |B(x, s, \xi)|\leq\beta(s)|\xi|^{p}, \end{equation} $

其中$ \beta $为连续非负函数满足

(2.5) $ \begin{equation} \frac{\beta}{\alpha}\in L^1_{loc}({{\Bbb R}} ). \end{equation} $

零阶项的系数$ b(x) $与$ f(x) $满足

(2.6) $ \begin{equation} f(x), b(x)\in L^1( \Omega), \end{equation} $

且存在常数$ M>0 $使得对几乎处处的$ x\in \Omega $, 有

(2.7) $ \begin{equation} |f(x)|\leq M b(x). \end{equation} $

连续函数$ g(s) $满足

(2.8) $ \begin{equation} \lim\limits_{s\to-\infty}\ g(s) = -\infty \quad\quad \mbox{和}\quad\quad \lim\limits_{s\to+\infty}\ g(s) = +\infty. \end{equation} $

定义

$ A(s) = \int_0^s\alpha^{\frac{1}{p-1}}(\sigma){\rm d}\sigma, $

下面给出问题(P) 的弱解的定义.

定义 2.1  可测函数$ u $称为问题(P) 的弱解, 若$ A(u)\in W^{1, p}_0(\Omega) $, $ a(x, u, \nabla u)\in L^{p'}(\Omega) $, $ B(x, u, \nabla u)\in L^{1}(\Omega) $且$ b(x)g(u)\in L^{1}(\Omega) $使得

(2.9) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega}a(x, u, \nabla u)\cdot\nabla v{\rm d}x+\int_{\Omega}b(x)g(u)v{\rm d}x +\int_{\Omega}B(x, u, \nabla u)v{\rm d}x = \int_{\Omega}f v{\rm d}x, \end{eqnarray} $

对任意$ v \in W_{0}^{1, p}(\Omega)\cap L^\infty( \Omega) $都成立.

下面给出本文的主要结果.

定理 2.1  假设(2.1)–(2.8) 式成立, 则问题(P) 至少存在一个弱解$ u\in L^\infty( \Omega) $.

注 2.1  当$ u $充分大时, 满足条件(2.1)–(2.3) 的主算子也可能为非强制的, 如$ a(x, u, \nabla u) = \frac{|u|^m}{1+|u|^r}|\nabla u|^{p-2}\nabla u $. 因此, 对于具有退化非强制的椭圆问题(P), 定理2.1的结果仍然成立.

注 2.2  对比文献[2]的结果, 定理2.1不需要假定$ a $满足$ p-1 $次的齐次条件. 而且, 为得到有界弱解的存在性, 低阶项$ B $不需要满足符号条件. 与文献[2, 12, 19] 的结果不同, 只需假设$ f\in L^1( \Omega) $. 最后, 由定理2.1的证明过程可知, 本文的结果同时也包含了文献[15]的结果.

在证明主要结论之前, 对一些重要记号做出说明. 由于$ \alpha(0) = 0 $导致问题在解$ u = 0 $处退化, 为克服此困难, 下面定义两个在原点附近的截断函数

(3.1) $ \begin{array}{l} \tilde{T}_\theta(s) = \mbox{max}\{s, \theta\}, \;\;\;\;\hat{T}_\theta(s) = \mbox{min}\{s, -\theta\}, \mbox{对任意给定}\ \theta>0. \end{array} $

同时, 定义截断函数$ T_\theta(s) = \mbox{max}\{-\theta, \mbox{min}\{\theta, s\}\} $以及$ G_\theta(s) = s-T_\theta(s) $.

另外, 本节还需要用到下列逼近函数

(3.2) $ \begin{equation} \tilde{\phi}_\theta(s) = \int_0^s \frac{\beta(\tilde{T}_\theta(T_n(\sigma)))}{\alpha(\tilde{T}_\theta(T_n(\sigma)))}{\rm d}\sigma, \ \ \ \ \hat{\phi}_\theta(s) = \int_0^s \frac{\beta(\hat{T}_\theta(T_n(\sigma)))}{\alpha(\hat{T}_\theta(T_n(\sigma)))}{\rm d}\sigma, \end{equation} $

(3.3) $ \begin{equation} f_{n}(x) = \frac{f(x)}{1+\frac{1}{n}|f(x)|}, \ \quad\quad b_{n}(x) = \frac{b(x)}{1+\frac{M}{n}|b(x)|}, \ \ B_{n}(x, s, \xi) = \frac{B(x, s, \xi)}{1+\frac{1}{n}|B(x, s, \xi)|}. \end{equation} $

为证明定理2.1, 考虑下列逼近问题

(3.4) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}a(x, T_n(u_n), \nabla u_n)\cdot\nabla v{\rm d}x +\frac{1}{n}\int_{ \Omega}|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla v{\rm d}x+\int_{\Omega}b_n(x)g(T_n(u_n))v{\rm d}x{} \\ &&+\int_{ \Omega}B_n(x, T_n(u_n), \nabla u_n)v{\rm d}x = \int_{ \Omega}f_n(x) v{\rm d}x, \ \ \ \ \forall v\in W_0^{1, p}( \Omega)\cap L^\infty( \Omega). \end{eqnarray} $

由经典结论可知^[23], 问题(3.4) 至少存在一个弱解$ u_{n}\in W_0^{1, p}( \Omega)\cap L^\infty( \Omega) $.

定理2.1的证明  证明过程分为六个步骤.

步骤 1  证明$ \{u_{n}\} $在$ L^{\infty}(\Omega) $一致有界.

根据(2.8) 式可知存在正整数$ l>0 $使得对$ |s|\geq l $有

(3.5) $ \begin{equation} g(s)s\geq 0\ \ \mbox{和}\ \ |g(s)|\geq M. \end{equation} $

在(3.4) 式中取检验函数$ v = \tilde{v}_{\theta} = e^{\tilde{\phi}_\theta(u_n)}(e^{G_l(u_{n}^+)}-1) $. 利用(2.1), (2.4)式, 并在等式左边去掉一些非负项, 可得

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\{x\in \Omega: u_n(x)\geq l\}}\tilde{v}_{\theta}\frac{\beta(\tilde{T}_\theta(T_n(u_n)))}{\alpha(\tilde{T}_\theta(T_n(u_n)))}\alpha(T_n(u_n))|\nabla u_n|^p{\rm d}x {} \\ &&+\frac{1}{n}\int_{\Omega}\tilde{v}_{\theta}|\nabla G_l(u^+_{n})|^p{\rm d}x+\int_{\Omega}b_{n}(x)g(T_n(u_n))\tilde{v}_{\theta} {\rm d}x{} \\ &\leq&\int_{\{x\in \Omega: u_n(x)\geq l\}}\beta(T_n(u_n))|\nabla u_n|^p\tilde{v}_{\theta} {\rm d}x+\int_{\Omega}|f_{n}(x)|\tilde{v}_{\theta} {\rm d}x. \end{eqnarray} $

从(2.7), (3.3) 和(3.5) 式可以得到对$ n>l $有

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}b_{n}(x)g(T_n(u_n))\tilde{v}_{\theta} {\rm d}x-\int_{\Omega}|f_{n}(x)|\tilde{v}_{\theta} {\rm d}x{} \\ &\geq &\int_{\{x\in \Omega: u_n(x)\geq l\}}M b_{n}(x)\tilde{v}_{\theta} {\rm d}x-\int_{\{u_n\geq l\}}\frac{Mb(x)}{1+\frac{M}{n}b(x)}\tilde{v}_{\theta} {\rm d}x = 0. \end{eqnarray} $

注意到对几乎处处的$ x\in \{x\in \Omega: u_n(x)\geq l\} $, 有

$ \tilde{T}_\theta(T_n(u_n)) = T_n(u_n), $

再利用(3.6) 与(3.7) 式, 可知当$ n>l $时下式成立

(3.8) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{n}\int_{\Omega}\tilde{v}_{\theta}|\nabla G_l(u^+_{n})|^p{\rm d}x\leq 0. \end{eqnarray} $

类似地, 在(3.4) 式中取$ v = \hat{v}_{\theta} = -e^{-\hat{\phi}_\theta(u_n)}(e^{-G_l(u_{n}^-)}-1) $为检验函数, 可推导出$ n>l $时下列估计成立

$ \begin{eqnarray} {} \frac{1}{n}\int_{\Omega}|\hat{v}_{\theta}||\nabla G_l(u^-_{n})|^p{\rm d}x\leq 0. \end{eqnarray} $

再结合(3.8) 式, 可得对任意的正整数$ n $有

(3.9) $ \begin{eqnarray} \|u_n\|_{L^\infty( \Omega)}\leq l_0, \end{eqnarray} $

其中$ l_0 = \mbox{max}\{\|u_1\|_{L^\infty( \Omega)}, \|u_2\|_{L^\infty( \Omega)}, \cdots \|u_l\|_{L^\infty( \Omega)}, l\} $.

步骤 2  建立关于$ \nabla A(u_n) $, $ \nabla u_n $和$ B(x, u_n, \nabla u_n) $的估计.

$ \int_{\Omega}|\nabla A(u_{n})|^p{\rm d}x $的估计. 定义

$ \phi_ \varepsilon(s) = \int_0^s \frac{\beta(\sigma)}{\alpha(\sigma)+\varepsilon}{\rm d}\sigma, \ \ \ \phi(s) = \int_0^s \frac{\beta(\sigma)}{\alpha(\sigma)}{\rm d}\sigma, $

并在(3.4) 式中取$ v = e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}A(u_n) $为检验函数, 从(2.1), (2.4), (2.7) 和(3.9) 式可推出对$ n>l_0 $有

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}\frac{e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}\beta(u_n)}{\alpha(u_n)+ \varepsilon}\alpha(u_n)|\nabla u_{n}|^p|A(u_n)|{\rm d}x+\int_{\Omega}e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}A'(u_n)\alpha(u_n)|\nabla u_{n}|^p{\rm d}x{} \\ &&+\frac{1}{n}\int_{\Omega}e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}A'(u_n)|\nabla u_{n}|^p{\rm d}x{} \\ &\leq&\int_{\Omega}e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}\beta(u_n)|\nabla u_{n}|^p|A(u_n)|{\rm d}x +\int_{\Omega}e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}|A(u_n)|\left[b(x)\sup\limits_{s\in [-l_0, \ l_0]} |g(s)|+|f(x)|\right]{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

上式中令$ \varepsilon\rightarrow0 $, 可得

(3.10) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}|\nabla A(u_{n})|^p{\rm d}x{} \\ &\leq& \mbox{max}\left\{A(l_0)e^{\phi(l_0)}, -A(-l_0)e^{-\phi(-l_0)}\right\}\left[\sup\limits_{s\in [-l_0, \ l_0]} |g(s)|\|b\|_{L^1( \Omega)}+\|f\|_{L^1( \Omega)}\right]. \end{eqnarray} $

$ \frac{1}{n}\int_{\Omega}|\nabla u_{n}|^p{\rm d}x $的估计. 在(3.4) 式中取$ v = e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}u_n $为检验函数, 类似于(3.10) 式的证明, 可推出对$ n>l_0 $有

(3.11) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{n}\int_{\Omega}|\nabla u_{n}|^p{\rm d}x \leq l_0\mbox{max}\left\{e^{\phi(l_0)}, e^{-\phi(-l_0)}\right\}\left[\sup\limits_{s\in [-l_0, \ l_0]} |g(s)|\|b\|_{L^1( \Omega)}+\|f\|_{L^1( \Omega)}\right]. \end{eqnarray} $

$ \int_{\Omega}|B(x, u_n, \nabla u_n)|{\rm d}x $的估计. 在(3.4) 式中取$ v = e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}(1-e^{-|\phi_ \varepsilon(u_n)|})\mbox{sign}\ u_n $为检验函数, 利用(2.1), (2.4), (2.7) 和(3.9) 式, 并舍去(3.4) 式左端的一些非负项可得对$ n>l_0 $有

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}\frac{\beta(u_n)}{\alpha(u_n)+ \varepsilon}\alpha(u_n)|\nabla u_{n}|^p|\bar{v}_ \varepsilon|{\rm d}x+\int_{\Omega} \frac{\beta(u_n)}{\alpha(u_n)+ \varepsilon}\alpha(u_n)|\nabla u_{n}|^p{\rm d}x\\ &\leq&\int_{\Omega}\beta(u_n)|\nabla u_{n}|^p|\bar{v}_ \varepsilon|{\rm d}x+C_0, {} \end{eqnarray} $

其中

$ C_0 = \left[\mbox{max}\{e^{\phi(l_0)}, e^{-\phi(-l_0)}\}-1\right]\left[\sup\limits_{s\in [-l_0, \ l_0]} |g(s)|\|b\|_{L^1( \Omega)}+\|f\|_{L^1( \Omega)}\right]. $

然后令$ \varepsilon\rightarrow0 $, 由(2.4) 和(3.9) 式可推出

(3.12) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega}|B(x, u_n, \nabla u_n)|{\rm d}x&\leq \int_{\Omega}\beta(u_n)|\nabla u_n|^p{\rm d}x\leq C_0. \end{eqnarray} $

步骤 3  根据(3.9) 和(3.10) 式可知, 存在$ \{u_n\} $的子列(仍然记为$ \{u_n\} $) 以及函数$ w\in W_0^{1, p}( \Omega)\cap L^\infty( \Omega) $, 使得$ A(u_n) $几乎处处收敛于$ w $, 并且在$ W_0^{1, p}( \Omega) $中弱收敛于$ w $. 注意到$ A $为严格单调递增函数, 从而可知存在可测函数$ u = A^{-1}(w)\in L^\infty( \Omega) $使得

(3.13) $ \begin{eqnarray} A(u_n)\rightharpoonup A(u)\;\mbox{在 }\;W_0^{1, p}( \Omega)\mbox{ 中弱收敛, 且在 } L^\infty( \Omega)\;\mbox{ 中弱}\ast\mbox{收敛}, \end{eqnarray} $

同时有

(3.14) $ \begin{eqnarray} u_n\rightarrow u\;\mbox{a.e. 在 } \Omega \mbox{中} \mbox{且 }\tilde{T}_\theta(u_n)\rightharpoonup\tilde{T}_\theta(u)\quad \mbox{在 }\;W_0^{1, p}( \Omega)\mbox{ 中弱收敛}. \end{eqnarray} $

在$ (3.4) $式中取$ e^{\phi_ \varepsilon(u_n)}\left(\tilde{T}_\theta(u_n)-\tilde{T}_\theta(u)\right)^+ $为检验函数. 利用(2.1) 和(2.4) 式, 并舍去一些非负项, 然后令$ \varepsilon\rightarrow0 $, 可推得对$ n>l_0 $有

(3.15) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot\nabla \left(\tilde{T}_\theta(u_n)-\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x {} \\ &&+\frac{1}{n}\int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla \left(\tilde{T}_\theta(u_n)-\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x{} \\ &\leq & \int_{\Omega}b_{n}(x)g(u_{n})e^{\phi(u_n)}\left(\tilde{T}_\theta(u_n)-\tilde{T}_\theta(u)\right)^+ {\rm d}x+\int_{ \Omega}f_n(x) e^{\phi(u_n)}\left(\tilde{T}_\theta(u_n)-\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x.{\qquad} \end{eqnarray} $

接下来分析(3.15) 式的每一项.

由(3.9), (3.11) 和(3.14) 式, 并利用Hölder不等式可得

(3.16) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla \left(\tilde{T}_\theta(u_n)-\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x = 0. \end{eqnarray} $

利用(2.7), (3.5), (3.9), (3.14) 式以及Lebesgue控制收敛定理, 可得

(3.17) $ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}\Big[b_{n}(x)g(u_{n})e^{\phi(u_n)}\big(\tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\big)^+ +f_n(x) e^{\phi(u_n)}\big(\tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\big)^+\Big]{\rm d}x = 0. \end{equation} $

将(3.15) 式的第一项分解为

(3.18) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot\nabla \left(\tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x{} \\ & = &\int_{\Omega^\theta_{n1}}e^{\phi(u_n)}a(x, u_n, \nabla u_n) \cdot\nabla \left( u_n -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x{} \\ & &+\int_{\Omega^\theta_{n2}} e^{\phi(u_n)}a(x, u_n, \nabla u_n) \cdot\nabla \left( \theta -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x{} \\ & = &\bar{J}_{11}(n, \theta)+\bar{J}_{12}(n, \theta), \end{eqnarray} $

其中$ \Omega^\theta_{n1} = \{x\in \Omega:u_n(x)\geq \theta\} $, $ \Omega^\theta_{n2} = \{x\in \Omega:u_n(x)<\theta\}. $

接下来, 分别估计$ \bar{J}_{11}(n, \theta) $和$ \bar{J}_{12}(n, \theta) $. 由于在$ \Omega^\theta_{n1} $中有$ \tilde{T}_\theta(u_n) = u_n $, 且对几乎处处的$ x\in \Omega $有$ a(x, s, 0) = 0 $, 可得到

(3.19) $ \begin{eqnarray} &&\bar{J}_{11}(n, \theta) = \int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u_n)) \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x{} \\ & = &\int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}\left[a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u_n))- a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u))\right] \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x{} \\ &&+\int_{\Omega}e^{\phi(u_n)} a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u)) \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x. \end{eqnarray} $

结合(3.9) 与(3.12)–(3.14) 和(2.2) 式, 可得

$ \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}e^{\phi(u_n)} a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u)) \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x = 0.{} \end{eqnarray} $

上式与(3.19)式意味着

$ \begin{eqnarray} &&\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \bar{J}_{11}(n, \theta){} \\ &\geq&\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}\left[a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u_n))- a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u))\right] \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

对于$ \bar{J}_{12}(n, \varepsilon) $, 应用(2.2), (3.9), (3.10) 和(3.14) 式可推出

$ \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \bar{J}_{12}(n, \theta) = 0.{} \end{eqnarray} $

再结合$ \bar{J}_{11} $的收敛结果, 可得到

$ \begin{eqnarray} &&\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x{} \\ &\geq&\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}e^{\phi(u_n)}\left[a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u_n))- a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u))\right] \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

将这个结果与(2.5), (3.9) 和(3.16)–(3.17) 式代入(3.15) 式, 可得

(3.20) $ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}\left[a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u_n))- a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u))\right] \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^+{\rm d}x\leq 0. \end{equation} $

接下来, 在(3.4) 式中取$ -e^{\phi_ \varepsilon(u_n)}\left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^- $为检验函数, 类似于(3.20) 式的证明可得

(3.21) $ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}-\left[a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u_n))- a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u))\right] \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right)^-{\rm d}x\leq 0. \end{equation} $

从(3.20) 和(3.21) 式, 可推出

(3.22) $\begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\Omega}\left[a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u_n))- a(x, \tilde{T}_\theta(u_n), \nabla\tilde{T}_\theta(u))\right] \cdot\nabla \left( \tilde{T}_\theta(u_n) -\tilde{T}_\theta(u)\right){\rm d}x\leq 0.{\nonumber} \end{equation} $

然后利用(3.1), (3.14) 式和文献[24]中的引理5, 可得到

(3.23) $ \begin{equation} \nabla\tilde{T}_\theta(u_n)\rightarrow \nabla\tilde{T}_\theta(u)\quad \mbox{a.e. 在 } \Omega\ \mbox{中, }\ \mbox{且在 }(L^{p}(\Omega))^N\ \mbox{中强收敛}. \end{equation} $

类似地, 分别取$ e^{\phi_ \varepsilon(u_n)}[\hat{T}_\theta(u_n) -\hat{T}_\theta(u)]^+ $和$ e^{\phi_ \varepsilon(u_n)}[\hat{T}_\theta(u_n) -\hat{T}_\theta(u)]^- $为检验函数, 可推得

(3.24) $ \begin{equation} \nabla\hat{T}_\theta(u_n)\rightarrow \nabla\hat{T}_\theta(u)\quad \mbox{a.e. 在 } \Omega\ \mbox{中, }\ \mbox{且在 }(L^{p}(\Omega))^N\ \mbox{中强收敛}. \end{equation} $

由(3.23) 和(3.24) 式, 可推断当$ n\rightarrow \infty $时, 有下列结论成立:

(3.25) $ \begin{equation} \chi_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|\geq \theta\}}\nabla u_n\rightarrow \chi_{\{x\in \Omega:|u(x)|\geq \theta\}}\nabla u\quad \mbox{a.e. 在 } \Omega\ \mbox{中, }\ \mbox{且在 }(L^{p}(\Omega))^N\ \mbox{中强收敛}. \end{equation} $

步骤 4  下面证明收敛性结果:

(3.26) $ \begin{eqnarray} a(x, u_n, \nabla u_n)\rightharpoonup a(x, u, \nabla u)\ \ \mbox{在} (L^{p'}( \Omega))^N\ \mbox{中弱收敛}. \end{eqnarray} $

事实上, 对任意$ w\in (L^p( \Omega))^N $有

(3.27) $ \begin{eqnarray} \int_\Omega a(x, u_n, \nabla u_n) \cdot w{\rm d}x& = & \int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|\geq\theta\}} a(x, u_n, \nabla u_n) \cdot w{\rm d}x{} \\ &&+ \int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}} a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot w{\rm d}x. \end{eqnarray} $

由Vitali收敛定理, (3.14) 和(3.25)式, 可推出当$ n\rightarrow \infty $时有

$ \begin{eqnarray} a(x, u_n, \nabla u_n)\chi_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|\geq\theta\}}\rightarrow a(x, u, \nabla u)\chi_{\{x\in \Omega:|u(x)|\geq\theta\}}\ \mbox{在 }(L^{p}(\Omega))^N\ \mbox{中强收敛}.{} \end{eqnarray} $

结合上式与(2.2) 和(3.13) 式, 可得

(3) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\theta\rightarrow 0}\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|\geq\theta\}} a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot w{\rm d}x = \int_\Omega a(x, u, \nabla u)\cdot w{\rm d}x. \end{eqnarray} $

在(3.4) 式中取$ v = v_{ \varepsilon} = e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}A(T_\theta(u_n)) $为检验函数, 类似于(3.10) 式的证明可得到

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}}|\nabla A(u_{n})|^p{\rm d}x{} \\ &\leq & \mbox{max}\{A(\theta)e^{\phi(\theta)}, -A(-\theta)e^{-\phi(-\theta)}\}\left[\|b\|_{L^1( \Omega)} \sup\limits_{s\in [-\theta, \theta]} |g(s)|+\|f\|_{L^1( \Omega)}\right], {} \end{eqnarray} $

这蕴含着

(3.29) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\theta \rightarrow 0} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}}|\nabla A(u_{n})|^p{\rm d}x\leq0. \end{eqnarray} $

利用Hölder不等式和(2.2) 式, 可得

$ \begin{eqnarray} &&\bigg|\int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}} a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot w{\rm d}x\bigg |{} \\ &\leq& C_0\left[\bigg(\int_{ \Omega}|\nabla A(u_{n})|^p{\rm d}x\bigg)^\frac{p-1}{p}+ \sup\limits_{s\in [-\theta, \theta]} \alpha(s) \|j\|_{L^{p'}( \Omega)}\right]\bigg(\int_{ \Omega}|w|^p{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{p}}.{} \end{eqnarray} $

由上式与(3.29) 式可知

(3.30) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\theta \rightarrow 0} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left|\int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}} a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot w{\rm d}x \right|\leq0. \end{eqnarray} $

因此, 将(3.28) 和(3.30) 式代入(3.27) 式得到

(3.31) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega a(x, u_n, \nabla u_n)\cdot w{\rm d}x = \int_\Omega a(x, u, \nabla u)\cdot w{\rm d}x. \end{eqnarray} $

再结合(3.13) 和(2.2) 式, 可知(3.26) 式成立.

步骤 5  接下来证明下列收敛结果成立:

(3.32) $ \begin{eqnarray} B(x, u_n, \nabla u_n)\rightarrow B(x, u, \nabla u)\ \ \mbox{在} L^{1}( \Omega)\ \mbox{中弱收敛}. \end{eqnarray} $

事实上, 对任意$ \vartheta\in L^\infty( \Omega) $与$ \theta>0 $有,

(3.33) $ \begin{eqnarray} &&\int_\Omega B(x, u_n, \nabla u_n) \vartheta{\rm d}x{} \\ & = & \int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|\geq\theta\}} B(x, u_n, \nabla u_n) \vartheta{\rm d}x+ \int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}} B(x, u_n, \nabla u_n) \vartheta{\rm d}x. \end{eqnarray} $

利用(3.12)–(3.14), (3.25) 式与Vitali收敛定理, 仿照(3.28) 式的证明过程可推得

(3.34) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\theta\rightarrow 0}\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|\geq\theta\}} B(x, u_n, \nabla u_n) \vartheta{\rm d}x = \int_\Omega B(x, u, \nabla u) \vartheta{\rm d}x. \end{eqnarray} $

然后在(3.4) 式中取$ v = e^{|\phi_ \varepsilon(u_n)|}(1-e^{-|\phi_ \varepsilon(T_\theta(u_n))|})\mbox{sign}\ u_n $为检验函数, 仿照(3.12) 式的证明可得到

$ \begin{eqnarray} &&\left|\int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}}B(x, u_n, \nabla u_n)\vartheta{\rm d}x\right|\leq \|\vartheta\|_{L^\infty( \Omega)}\int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}}\beta(u_n)|\nabla u_n|^p{\rm d}x{} \\ &\leq& \|\vartheta\|_{L^\infty( \Omega)}e^{\mbox{max}\{\phi(l_0), -\phi(-l_0)\}} [1-e^{-\mbox{max}\{\phi(\theta), -\phi(-\theta)\}}]\int_{\Omega}[b(x)\sup\limits_{s\in [-l_0, l_0]} |g(s)|+|f(x)|]{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

这意味着

(3.35) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{\theta \rightarrow 0} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left|\int_{\{x\in \Omega:|u_n(x)|<\theta\}}B(x, u_n, \nabla u_n)\vartheta{\rm d}x\right|\leq0. \end{eqnarray} $

从而, 由(3.33)–(3.35) 式进一步可得到

$ \begin{eqnarray} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega B(x, u_n, \nabla u_n) \vartheta{\rm d}x = \int_\Omega B(x, u, \nabla u) \vartheta{\rm d}x.{} \end{eqnarray} $

联合上式与(3.12) 式, 可推得(3.32) 式成立.

步骤 6结束证明  利用(3.11) 式和Hölder不等式, 可知

(3.36) $ \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left|\frac{1}{n}\int_{ \Omega}|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot \nabla v{\rm d}x\right|\leq 0, \ \ \forall v\in W_0^{1, p}( \Omega). \end{eqnarray} $

然后在(3.4) 式中令$ n\rightarrow \infty $, 联合(3.3), (3.9) (3.13), (3.14), (3.26), (3.32) 和(3.36) 式, 可推得$ u $为问题(P) 的弱解. 因此, 定理2.1证毕.