本文考虑三维Navier-Stokes方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} &u_{t} -\Delta u+ u\cdot \nabla u +\nabla \Pi = 0, \\ & \mathrm{div}\, u = 0, \\ &u|_{t = 0} = u_0, \end{array} \right. \end{equation} $

其中未知向量$ u = u(x, t) $表示流体的速度场, 标量场$ \Pi $表示压力. 初始速度$ u_{0} $是给定的且散度为零.

自Serrin^[1]的奠基工作起, 三维Navier-Stokes方程关于速度$ u $, 或涡度$ \omega = \mbox{curl} \; u $, 或速度的梯度$ \nabla u $在尺度不变Lebesgue空间$ L^{p}(0, T; L^{q}({\mathbb R}^{3})) $中的正则性准则取得了重要进展^[2-22], 这里, 空间$ L^{p}(0, T; L^{q}({\mathbb R}^{3})) $ ($ 2/p+3/q = 1 $) 带有范数$ \|\cdot\|_{L^{p}(0, T; L^{q}( {\mathbb R}^{3}))} $. 该空间关于速度$ u $在Navier-Stokes方程(1.1) 的尺度变化下保持不变: 如果$ (u, \Pi) $是方程(1.1) 的解, 则对于任意$ \lambda>0 $$ (u_\lambda, \Pi_\lambda) $也是方程(1.1) 的解, 其中

$ u_\lambda(x, t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2t), \;\Pi_\lambda(x, t) = \lambda^2\Pi(\lambda x, \lambda^2t). $

类似地, 对于$ \nabla u $或curl $ u $, 范数$ \|\cdot\|_{L^{p}(0, T;L^{q}( {\mathbb R}^{3}))} $ ($ 2/p+3/q = 2 $) 也是尺度不变的.

Lorentz空间$ L^{r, s}({\mathbb R}^{3}) $$ (s\geq r) $和$ L^{r }({\mathbb R}^{3}) $尺度相同，且包含Lebesgue空间$ L^{r }({\mathbb R}^{3}) $. 三维Navier-Stokes方程在Lorentz空中的正则性准则有很多进展^{[5, 6, 9, 11, 13-15, 17, 23-25]}. 特别地, 存在一个正常数$ \varepsilon $使得弱解$ u $在$ (0, T] $上光滑如果它满足下列三个条件之一:

$ \bullet $ Bosia, Pata和Robinson ^[6], Chen和Price ^[9], Takahashi ^[14], Sohr^[24], Kozono和Kim^[13], Wang, Wang和Yu^[17]

(1.2) $ \begin{equation} \|u\|_{L^{p, \infty} (0, T;L^{q, \infty}( {\mathbb R}^{3}))}\leq\varepsilon, \quad 2/p+3/q = 1, \;q>3. \end{equation} $

$ \bullet $ Berselli和Manfrin^[5], He和Wang^{[23, 25]}, Ji, Wang和Wei^[11], Wang, Wang和Yu^[17]

(1.3) $ \begin{equation} \|\nabla u\|_{L^{p, \infty} (0, T;L^{q, \infty}( {\mathbb R}^{3}))}\leq\varepsilon, \quad 2/p+3/q = 2, \;q>3/2. \end{equation} $

$ \bullet $ Ji, Wang和Wei^[11], Wang, Wang和Yu^[17]

(1.4) $ \begin{equation} \|\omega\|_{L^{p, \infty} (0, T;L^{q, \infty}( {\mathbb R}^{3}))}\leq\varepsilon, \quad 2/p+3/q = 2 , \;q>3/2. \end{equation} $

在陈述本文主要结果之前, 我们回忆Navier-Stokes方程与$ u $, $ \nabla u $, $ w = $curl $ u $的两个分量有关的正则性准则. 弱解$ u $在$ (0, T] $上光滑, 如果$ u $满足下列条件之一:

$ \bullet $ Bae和Choe^[2], Bae和Wolf^[3], Wang, Zhang和Zhang^[16]

(1.5) $ \begin{equation} u_{1}, u_{2}\in L^{p} (0, T;L^{q}( {\mathbb R}^{3})), \quad 2/p+3/q = 1, \; \; q>3. \end{equation} $

$ \bullet $ Wang和Zhang^[15]

(1.6) $ \begin{equation} \|(u_{1}, u_{2})\|_{L^{p, \infty} (0, T;L^{q, \infty}( {\mathbb R}^{3}))}\leq\varepsilon. \end{equation} $

$ \bullet $ Chae和Choe^[7], Dong和Chen^[10], Jia和Zhou^[12], Wang, Wu和Zhou^[18]

(1.7) $ \begin{equation} \nabla_{h} u_{1}, \nabla_{h} u_{2}\in L^{p} (0, T;L^{q}( {\mathbb R}^{3})), \quad 2/p+3/q = 2, \; \; q>3/2, \end{equation} $

其中$ \nabla_h = (\partial_1, \partial_2, 0) $.

$ \bullet $ Chae和Choe^[7], Chen和Zhang^[8]

(1.8) $ \begin{equation} \omega_{1}, \omega_{2} \in L^{p} (0, T;L^{q}( {\mathbb R}^{3})), \quad 2/p+3/q = 2 , \; \; q>3/2. \end{equation} $

受已有结果(1.6) 启发, 我们证明Navier-Stokes方程(1.1) 的解是正则的，若其水平分量的不变Lorentz范数充分小.

定理 1.1  设$ u $是Navier-Stokes方程(1.1) 的弱解，初始速度$ u_{0}(x)\in H^{1}({\mathbb R}^{3}) $. 则存在正常数$ \varepsilon_{1} $使得$ u $在$ (0, T] $上光滑，如果下列三个条件之一满足:

(1)   $ u_{1}, u_{2} \in L^{p, \infty}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})) $且

(1.9) $ \begin{equation} \|(u_{1}, u_{2})\|_{L^{p, \infty}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3}))} \leq\varepsilon_{1}, \; \; \; \; \; \; \; 2/p+3/q = 1 , \; q>3; \end{equation} $

(2)   $ \nabla_{h}u_{1}, \nabla_{h}u_{2} \in L^{p, \infty}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})) $

(1.10) $ \begin{equation} \|(\nabla_{h}u_{1}, \nabla_{h}u_{2})\|_{L^{p, \infty}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3}))} \leq\varepsilon_{1}, \; \; \; \; \; \; \; 2/p+3/q = 2 , \; q>3/2; \end{equation} $

(3)   $ \omega_{1}, \omega_{2} \in L^{p, \infty}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})) $ and

(1.11) $ \begin{equation} \|(\omega_{1}, \omega_{2})\|_{L^{p, \infty}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3}))} \leq\varepsilon_{1}, \; \; \; \; \; \; \; 2/p+3/q = 2, \; 3/2<q<\infty. \end{equation} $

注 1.1   定理1.1推广了文献中已有结果(1.2)–(1.8). 与已有结果(1.2)和(1.6) 相比, 我们的正则性准则(1.9) 和速度的垂直分量无关.

注 1.2   定理1.1的证明基于Bosia, Pata和Robinson^[6]的广义Gronwall引理和插值不等式.

由Lorentz空间$ L^{p, r}(0, T) $$ (p, r<\infty) $的范数的绝对连续性, 由定理1.1, 我们有以下推论:

推论1.1   \label{coro1.2} 设$ u $是Navier-Stokes方程(1.1) 的弱解, 初始速度$ u_{0}(x)\in H^{1}({\mathbb R}^{3}) $. 如果下列条件之一满足, 则对于$ p\leq r<\infty $, 有

(1)    $ u_{1}, u_{2} \in L^{p, r}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})) $,    $ 2/p+3/q = 1 , \;q>3 $,

(2)    $ \nabla_{h}u_{1}, \nabla_{h}u_{2} \in L^{p, r}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})) $,    $ 2/p+3/q = 2, \; q>3/2 $,

(3)    $ \omega_{1}, \omega_{2} \in L^{p, r}(0, T; L ^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})) $,    $ 2/p+3/q = 2 , \;q>3/2 $,

则$ u $在$ (0, T] $上光滑.

注 1.3   推论1.1改进了文献中已有结果(1.5)–(1.8).

首先我们引进一些记号. 对于$ p\in [1, \, \infty] $, $ L^{p}(0, T;X) $表示有如下性质的可测函数$ f $的集合: $ f(x, t) $定义在$ (0, T) $上取值于$ X $且$ \|f(\cdot, t)\|_{X} $属于$ L^{p}(0, T) $. $ H^{k}({\mathbb R}^{3}) $表示经典Sobolev空间且带有范数

$ \|f\|_{H^{k}({\mathbb R}^{3})} = \sum\limits_{|\alpha| = 0}^{k}\|D^{\alpha}f\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. $

我们记$ u_{h} = (u_{1}, u_{2}, 0) $, $ \nabla_h = (\partial_1, \partial_2, 0) $以及$ \nabla_3 = (0, 0, \partial_3) $分别表示速度的水平分量和垂直分量. 记$ \omega_{h} = (\omega_{1}, \omega_{2}, 0) $和$ \omega_{v} = (0, 0, \omega_{3}) $分别表示涡度的水平分量和垂直分量. 对于向量$ a, b\in{\mathbb R}^3 $, $ a\cdot b $和$ |a| $分别表示$ {\mathbb R}^3 $中的数量积和范数. 我们也将采用求和记法. 本文中, $ C $表示可能逐行变化的绝对常数.

接下来, 我们回忆Lorentz空间的一些基本事实. 对于$ p, q\in[1, \infty] $, 我们定义

$ \|f\|_{L^{p, q}(\Omega)} = \left\{ \begin{array}{ll} { } \Big(p\int_{0}^{\infty}\alpha^{q}|\{x\in \Omega:|f(x)|>\alpha\}|^{ \frac{q}{p}} \frac{{\rm d}\alpha}{\alpha} \Big)^{ \frac{1}{q}} , \; \; &q<\infty, \\ \sup\limits_{\alpha>0}\alpha|\{x\in \Omega:|f(x)|>\alpha\}|^{ \frac{1}{p}} , \; \; &q = \infty. \end{array}\right. $

进一步

$ L^{p, q}(\Omega) = \big\{f: f\; \mbox{是}\; \Omega \; \mbox{上的可测函数, 且} \; \|f\|_{L^{p, q}(\Omega)}<\infty\big\}. $

类似地, 对于$ p\leq q \leq\infty $，可以定义关于时间的Lorentz空间$ L^{p, q}(0, T;X) $. $ f\in L^{p, q}(0, T;X) $意味着$ \|f\|_{L^{p, q}(0, T;X)}<\infty $, 其中

$ \|f\|_{L^{p, q}(0, T;X)} = \left\{ \begin{array}{ll} { } \Big( p \int_{0}^{\infty}\alpha^q|\{t\in(0, T) :\|f(t)\|_{X}>\alpha\}|^{ \frac{q}{p}} \frac{{\rm d}\alpha}{\alpha} \Big)^{ \frac{1}{q}} , \; \; &q<\infty, \\ \sup\limits_{\alpha>0}\alpha|\{t\in(0, T) :\|f(t)\|_{X}>\alpha\}|^{ \frac{1}{p}} , \; \; &q = \infty. \end{array}\right. $

我们列出Lorentz空间的一些性质.

$ \bullet $空间中的Hölder不等式^[26]

(1.12) $ \begin{equation} \|fg\|_{L^{r, s}({\mathbb R}^{n})}\leq \|f\|_{L^{r_{1}, s_{1}}({\mathbb R}^{n})}\|g\|_{L^{r_{2}, s_{2}}({\mathbb R}^{n})}, \; \; \frac{1}{r} = \frac{1}{r_{1}}+ \frac{1}{r_{2}}, \; \; \frac{1}{s} = \frac{1}{s_{1}}+ \frac{1}{s_{2}}. \end{equation} $

$ \bullet $ Lorentz空间中的Sobolev不等式^[26-27]

(1.13) $ \begin{equation} \|f\|_{L^{ \frac{np}{n-p}, p}({\mathbb R}^{n})}\leq \|\nabla f\|_{L^{p}({\mathbb R}^{n})}, \quad 1\leq p<n. \end{equation} $

$ \bullet $ Riesz变换在Lorentz空间中的有界性^[28]

(1.14) $ \begin{equation} \|R_{j}f\|_{L^{p, q}({\mathbb R}^{n})}\leq C\| f\|_{L^{p, q}({\mathbb R}^{n})}, \; 1<p<\infty. \end{equation} $

在证明主要定理的过程中, 我们需要Bosia, Pata和Robinson^[6]的Gronwall引理.

引理 1.1^[6]   Let $ \phi $是$ [0, T] $上的非负可测函数. 如果存在常数$ \kappa_{0}>0 $对于所有的$ 0<\kappa<\kappa_{0} $以及几乎处处的$ t\in[0, T] $, $ \phi $满足不等式

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\phi\leq \mu\lambda^{1-\kappa}\phi^{1+2\kappa}, $

其中$ 0 <\lambda \in L^{1, \infty}(0, T) $, $ \mu> 0 $, 且

$ \mu\|\lambda\|_{L^{1, \infty}(0, T)}< \frac12, $

则$ \phi $在$ [0, T] $上有界.

我们还需要下列初等代数事实.

引理 1.2^[11]   设$ (p, q) $满足$ \frac{2}{p}+ \frac{3}{q} = a $且$ a, p, q \geq1 $. 给定$ b, c_0\geq1 $, $ \kappa_0\in[0, 1] $, 其中, $ 2b+3\geq ab $,

$ \begin{eqnarray*} \kappa_0 = \frac{pab(q-b)}{(ab-3)(qc_0-pb)} = \frac{ab(3p-pab+2b)}{(ab-3)(3c_0-pab+2b)}, \end{eqnarray*} $

则对任意$ \kappa\in[0, \kappa_0] $存在$ p_{\kappa} $和$ q_{\kappa} $, 使得

$ \begin{eqnarray*} \min\{p, \frac{2b}{ab-3}\}\leq p_{\kappa}\leq\max\{p, \frac{2b}{ab-3}\}, \quad \min\{q, b\}\leq q_{\kappa}\leq\max\{q, b\}, \end{eqnarray*} $

且

(1.15) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{2}{p_{\kappa}}+ \frac{3}{q_{\kappa}} = a, \\ { } \frac{p_{\kappa}}{q_{\kappa}} = \frac{p\big(1-\kappa\big)}{q}+ \frac{c_0\kappa}{b}. \end{array}\right. \end{equation} $

证   由于$ \frac{2}{p}+ \frac{3}{q} = a $, 我们有

$ \frac{p}{q} = \frac{1}{3}\big(pa-2\big), $

带入$ (1.15)_2 $式, 可得

(1.16) $ \begin{equation} \frac{p_{\kappa}}{q_{\kappa}} = \frac{1}{3}\big(pa-2\big)\big(1-\kappa\big)+ \frac{c_0\kappa}{b}. \end{equation} $

结合$ (1.15)_1 $式, 则

$ p_{\kappa} = p+\kappa\left( \frac{3c_0}{ab}-p + \frac2a \right). $

由(1.16) 式可得

$ q_{\kappa} = \frac{ 3pa+3\kappa( \frac{3c_0}{b}-pa+2) }{a[pa-2+\kappa( \frac{3c_0}{b}-pa+2) ]}. $

引理1.2得证.

我们对定理1.1的三部分分别加以证明.

对Navier-Stokes方程(1.1) 乘以$ \partial_{k}\partial_{k}u $, 在$ {\mathbb R}^{3} $上积分, 然后分部积分, 利用散度为零条件$ \mathrm{div}\, u = 0 $和事实

$ \int_{{\mathbb R}^3}|\Delta u|^2{\rm d}x = \int_{{\mathbb R}^3}|\nabla ^2 u|^2{\rm d}x, $

我们可以得到

(2.1) $ \begin{equation} \frac12 \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\mathbb R}^{3}}|\nabla u|^{2}{\rm d}x+\int_{{\mathbb R}^{3}}|\nabla^{2}u|^2{\rm d}x = \int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u\cdot\nabla u \cdot\partial_{k}u {\rm d}x. \end{equation} $

为了估计(2.1) 式右端, 我们把它分解成两部分, 并分部积分, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u\cdot\nabla u \cdot \partial_{k}u {\rm d}x\\ & = &\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{h}\cdot\nabla_{h} u \cdot \partial_{k}u {\rm d}x+\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u \cdot \partial_{k}u {\rm d}x\\ & = &-\int_{{\mathbb R}^{3}}u_{h}\cdot\nabla_{h} \partial_{k}u \cdot \partial_{k}u {\rm d}x-\int_{{\mathbb R}^{3}}u_{h}\cdot\nabla_{h} u \cdot \partial_{k}\partial_{k}u {\rm d}x+\int_{{\mathbb R}^{3}}\cdot\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u \cdot\partial_{k}u {\rm d}x\\ & = &: I +II +III. \end{eqnarray*} $

假设$ (p_k, q_k) $满足$ 2/p_k+3/q_k = 1 $, $ q_k>3 $, 其精确值之后选定. 由Lorentz空间中的Hölder不等式(1.12) 和Sobolev嵌入不等式(1.13) 可得

(2.2) $ \begin{equation} \| \nabla u\|_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-2}, 2} ({\mathbb R}^{3})}\leq \| \nabla u \|^{ \frac{3}{q_k}}_{L^{6, 2}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{1- \frac{3}{q_k}}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}\leq C\| \nabla^{2} u \|^{ \frac{3}{q_k}}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{1- \frac{3}{q_k}}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}, \end{equation} $

进一步利用Hölder's不等式(1.12) 和Young不等式可得

(2.3) $ \begin{eqnarray} I&\leq &\|u_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla^{2} u \|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-2}, 2} ({\mathbb R}^{3})}{}\\ &\leq &C\|u_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla^{2} u \|^{1+ \frac{3}{q_k}}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{1- \frac{3}{q_k}}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}{}\\ &\leq& C\|u_{h}\|^{ \frac{2q_k}{q_k-3}}_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{2}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}+ \frac{1}{32}\| \nabla^{2} u \|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. \end{eqnarray} $

类似地, 我们有

$ II\leq C\|u_{h}\|^{ \frac{2q_k}{q_k-3}}_{L^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{2}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}+ \frac{1}{32}\| \nabla^{2} u \|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. $

分部积分, 集合散度为零条件$ \mathrm{div}\, u = 0 $, 我们得到

(2.4) $ \begin{eqnarray} III& = &\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u_{h} \cdot \partial_{k}u_{h} {\rm d}x+ \int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u_{3}\partial_{k}u_{3} {\rm d}x {}\\ & = &-\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{3}\partial_{k}u_{3} u_{h} \cdot\partial_{k}u_{h} {\rm d}x -\int_{{\mathbb R}^{3}}\cdot\partial_{k}u_{3} u_{h}\cdot \partial_{k}\partial_{3}u_{h} {\rm d}x {}\\ && -\int_{{\mathbb R}^{3}}\cdot\partial_{k}u_{3} (\partial_{1}u_{1}+\partial_{2} u_{2}) \partial_{k}u_{3} {\rm d}x {}\\ & = &III_{1}+III_{2} +III_{3}. \end{eqnarray} $

和估计$ I $类似, 我们有

$ III_{1}+III_{2}\leq C\|u_{h}\|^{ \frac{2q_k}{q_k-3}}_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{2}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}+ \frac{1}{32}\| \nabla^{2} u \|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. $

注意到$ III_{3} $和(2.4) 式中第一行的项$ \int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u_{h} \cdot \partial_{k}u_{h} {\rm d}x $类似, 于是

$ III_{3}\leq C\|u_{h}\|^{ \frac{2q_k}{q_k-3}}_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{2}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}+ \frac{1}{32}\| \nabla^{2} u \|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. $

综合Ⅰ, Ⅱ和Ⅲ的估计, 利用(2.1) 式的左端吸收掉$ \| \nabla^{2} u \|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})} $, 我们得到

(2.5) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\mathbb R}^{3}}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\leq C \|u_{h}\|^{ \frac{2q_k}{q_k-3}}_{L^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2}\leq C \|u_{h}\|^{p_k}_{L^{q_k, \infty} ({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2}. \end{equation} $

现在, 在引理1.2中选取$ a = 1, b = 6, c_{0} = 4 $来固定$ (p_k, q_k) $. 由Lorentz空间中的Hölder's不等式(1.12) 和Sobolev嵌入不等式(1.13), 可以得到

(2.6) $ \begin{eqnarray} \|u_{h}\|^{p_{\kappa}}_{L^{q_{\kappa}, \infty}({\mathbb R}^{3})}&\leq& \|u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})} \|u_{h}\|^{4\kappa}_{L^{6, \infty}}{}\\ &\leq& C \|u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})} \|u_{h}\|^{4\kappa}_{L^{6, 2 }({\mathbb R}^{3})}{}\\ &\leq &C \|u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})} \|\nabla u_{h}\|^{4\kappa}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}{}\\ &\leq &C \|u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})} \|\nabla u \|^{4\kappa}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}, \end{eqnarray} $

其中我们用了如下事实: Lorentz空间$ L^{r, s} $随着$ s $增长而变大. 结合(2.5)和(2.6)式, 我们得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla u\|^{2}_{L^2({\mathbb R}^{3})} \leq C \| u_{h}\|^{p_{\kappa}}_{L^{q_{\kappa}, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2}\leq C \| u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})} \| \nabla u \|^{2(1+2\kappa)}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}. $

应用引理1.1和(1.3) 式可以完成此部分的证明.

我们把(2.1) 式右端分解成

(2.7) $ \begin{eqnarray} \int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u\cdot\nabla u \cdot\partial_{k}u {\rm d}x & = &\sum\limits_{k = 1}^{2}\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{h}\cdot\nabla_{h} u \cdot\partial_{k}u {\rm d}x +\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{3}u_{h}\cdot\nabla_{h} u \cdot\partial_{3}u {\rm d}x{}\\ &&+\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u_{h} \cdot\partial_{k}u_{h} {\rm d}x +\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u_{3} \partial_{k}u_{3} {\rm d}x{}\\ & = &:I_1+I_2+I_3+I_4. \end{eqnarray} $

设$ (p_k, q_k) $满足$ 2/p_k+3/q_k = 2 $, $ q_k>3/2 $, 其精确值之后选定. 和(2.2) 式类似推理, 可得

(2.8) $ \begin{equation} \| \nabla u\|_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-1}, 2} ({\mathbb R}^{3})}\leq \| \nabla u \|^{ \frac3{2q_k}}_{L^{6, 2}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{1- \frac{3}{2q_k}}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}\leq C\| \nabla^{2} u \|^{ \frac3{2q_k}}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u\|^{1- \frac{3}{2q_k}}_{L^{ 2} ({\mathbb R}^{3})}. \end{equation} $

由Hölder不等式(1.12) 和(2.8), 可得

(2.9) $ \begin{eqnarray} I_{1}& \leq &\|\nabla_{h} u_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u \|^{2}_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-1}, 2}({\mathbb R}^{3})} {}\\ &\leq& C\|\nabla_{h} u_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u \|^{2- \frac{3}{q_k}}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla^{2} u\|^{ \frac{3}{q_k}}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}{}\\ &\leq & C \|\nabla_{h} u_{h}\|^{ \frac{2q_k}{2q_k-3}}_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2} + \frac18\| \nabla^{2}u\|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. \end{eqnarray} $

由散度为零条件$ \mathrm{div}\, u = 0 $, 我们将$ I_{2}, I_{3}, I_{4} $分别改写:

(2.10) $\begin{eqnarray} I_2& = & \int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{3}u_{h}\cdot\nabla_{h} u_{h} \cdot\partial_{3}u_{h} {\rm d}x+\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{3}u_{h}\cdot\nabla_{h} u_{3} \partial_{3}u_{3} {\rm d}x\\ & = & \int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{3}u_{h}\cdot\nabla_{h} u_{h} \cdot \partial_{3}u_{h} {\rm d}x- \int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{3}u_{h}\cdot\nabla_{h} u_{3} (\partial_{1}u_{1}+\partial_{2}u_{2}) {\rm d}x, \\ I_3& = &\sum^{2}_{k = 1}\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u_{h} \cdot\partial_{k}u_{h} {\rm d}x +\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{3}u_{3}\partial_{3} u_{h} \cdot\partial_{3}u_{h} {\rm d}x\\ & = &\sum^{2}_{k = 1}\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}\partial_{3} u_{h} \cdot\partial_{k}u_{h} {\rm d}x -\int_{{\mathbb R}^{3}}(\partial_{1}u_{1}+\partial_{2}u_{2})\partial_{3} u_{h} \cdot\partial_{3}u_{h} {\rm d}x, \\ I_4& = &-\int_{{\mathbb R}^{3}}\partial_{k}u_{3}(\partial_{1}u_{1}+\partial_{2}u_{2}) \partial_{k}u_{3} {\rm d}x. \end{eqnarray}$

重复(2.9) 式中的证明, 我们可以类似估计$ I_2 $, $ I_3 $和$ I_4 $.

将这些估计带入(2.1)式, 可得

(2.11) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\mathbb R}^{3}}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\leq C \|\nabla_{h} u_{h}\|^{ \frac{2q_k}{2q_k-3}}_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2} = C \|\nabla_{h} u_{h}\|^{p_k}_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2}. \end{equation} $

在引理1.2中选取$ a = b = 2, c_{0} = 4 $来固定$ (p_k, q_k) $. 由插值关系, 我们有

(2.12) $ \begin{equation} \|\nabla_{h} u_{h}\|^{p_{\kappa}}_{L^{q_{\kappa}, \infty}({\mathbb R}^{3})}\leq \|\nabla_{h} u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla_{h} u_{h} \|^{4\kappa}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}\leq \|\nabla_{h} u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \nabla u \|^{4\kappa}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}. \end{equation} $

于是由(2.11) 和(2.12) 式得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla u\|^{2}_{L^2({\mathbb R}^{3})} \leq C \|\nabla_{h} u_{h}\|^{p_{\kappa}}_{L^{q_{\kappa}, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2}\leq C \|\nabla_{h} u_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})} \| \nabla u \|^{2(1+2\kappa)}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}. $

应用引理1.1和(1.3)式可以完成此部分的证明.

Navier-Stokes方程(1.1) 的涡度方程为

$ \omega_{t}-\Delta\omega+u\cdot\nabla\omega = \omega\cdot\nabla u. $

于是

(2.13) $ \begin{equation} \frac12 \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\mathbb R}^{3}}|\omega|^{2}{\rm d}x+\int_{{\mathbb R}^{3}}|\nabla \omega|^2{\rm d}x = \int_{{\mathbb R}^{3}}\omega \cdot\nabla u \cdot \omega {\rm d}x. \end{equation} $

由Biot-Savart定律可得

$ \begin{eqnarray*} \nabla u(x) g& = & \frac{1}{4\pi}PV\int_{{\mathbb R}^{3}}\nabla \Big( \frac{x-y}{|x-y|^{3}} \Big)\times \omega(y) g{\rm d}y+ \frac{1}{3} \omega\times g\\ & = & \frac{1}{4\pi}PV\int_{{\mathbb R}^{3}}\nabla \Big( \frac{x-y}{|x-y|^{3}} \Big)\times \omega_{h}(y) g{\rm d}y+ \frac{1}{3} \omega_{h}\times g\\ &&+ \frac{1}{4\pi}PV\int_{{\mathbb R}^{3}}\nabla \Big( \frac{x-y}{|x-y|^{3}} \Big)\times \omega_{v}(y) g{\rm d}y+ \frac{1}{3} \omega_{v}\times g\\ & = &\nabla I_{h} g+\nabla I_{v} g. \end{eqnarray*} $

假设$ (p_k, q_k) $满足$ 2/p_k+3/q_k = 2 $, $ 3/2<q_k<\infty $, 其精确值之后选定. 由Riesz变换在Lorentz空间中的有界性(1.14) 式可得

(2.14) $ \begin{equation} \|\nabla I_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\leq C\| \omega_{h} \|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}, \quad 1<q_k<\infty. \end{equation} $

应用Hölder不等式, Calderón-Zygmund估计, (2.8) 式和Young不等式, 可得

(2.15) $ \begin{eqnarray} \int_{{\mathbb R}^{3}} (\omega\cdot\nabla u)\cdot\omega_{h} {\rm d}x &\leq &\|\omega_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla u \|_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-1}, 2}({\mathbb R}^{3})}\|\omega \|_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-1}, 2}({\mathbb R}^{3})} {}\\ &\leq &C\|\omega_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\omega \|^{2}_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-1}, 2}({\mathbb R}^{3})} {}\\ &\leq &C\|\omega_{h}\|_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \omega\|^{2- \frac{3}{q_k}}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}\|\nabla w\|^{ \frac{3}{q_k}}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}{}\\ &\leq& C \|\omega_{h}\|^{ \frac{2q_k}{2q_k-3}}_{L^{q_k, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\omega\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2} + \frac18\| \nabla \omega\|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. \end{eqnarray} $

对上述证明稍加修改, 结合(2.14) 式和事实$ \omega\cdot\nabla I_{v} \cdot \omega_{v} = 0 $, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} \int_{{\mathbb R}^{3}} \omega\cdot(\nabla I_{h} +\nabla I_{v} )\omega_{v} {\rm d}x & = & \int_{{\mathbb R}^{3}} \omega\cdot\nabla I_{h} \omega_{v} {\rm d}x\\ &\leq & C\|\omega \|^{2}_{L^{ \frac{2q_k}{q_k-1}, 2}({\mathbb R}^{3})}\|\omega_{h}\|_{L^{q_k, \infty}(Q(R))}\\ &\leq & C \|\omega_{h}\|^{ \frac{2q_k}{2q_k-3}}_{L^{q, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\omega\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2} + \frac18\| \nabla \omega\|^{2}_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}. \end{eqnarray*} $

现在, 在引理1.2中选取$ a = b = 2, c_{0} = 4 $来固定$ (p_k, q_k) $. 与(2.12) 式的证明类似, 可得

(2.16) $ \begin{equation} \|\omega_{h}\|^{p_{\kappa}}_{L^{q_{\kappa}, \infty}({\mathbb R}^{3})}\leq \|\omega_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \omega_{h} \|^{4\kappa}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}\leq \|\omega_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})}\| \omega\|^{4\kappa}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}. \end{equation} $

综合上述估计, 可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|^{2}_{L^2({\mathbb R}^{3})} \leq C \|\omega_{h}\|^{p_{\kappa}}_{L^{q_{\kappa}, \infty}({\mathbb R}^{3})}\|\omega\|_{L^{2}({\mathbb R}^{3})}^{2}\leq C \|\omega_{h}\|^{p(1-\kappa)}_{L^{q , \infty}({\mathbb R}^{3})} \|\omega\|^{2(1+2\kappa)}_{L^{2 }({\mathbb R}^{3})}. $

利用引理1.1和(1.3) 式可以完成此部分的证明.