本文研究如下趋化-趋触模型

(1.1) $ \begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t} = \nabla\cdot (D(u) \nabla u)- \nabla\cdot (H(u)\nabla v)-\nabla\cdot(S(u)\nabla w)+u(a-\mu u^{k-1}-\lambda w), \\ v_{t} = \triangle v-v+g(u), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\in \Omega, \;t>0, \\ w_{t} = -v w, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\in \Omega, \;t>0, \\ { } D(u)\frac{\partial u}{\partial\nu}-H(u)\frac{\partial v}{\partial\nu}-S(u)\frac{\partial w}{\partial\nu} = \frac{\partial v}{\partial\nu} = 0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\in \partial\Omega, t>0, \\ u(x, 0) = u_{0}(x), \;v(x, 0) = v_{0}(x), \;w(x, 0) = w_{0}(x), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x\in \Omega \end{array}\right. \end{align} $

古典解的整体存在性和有界性.其中$ \Omega\subset {{\Bbb R}} ^{3} $是带光滑边界的有界域, 函数$ u, v, w $分别代表癌细胞密度、基质降解酶浓度和细胞外基质浓度. $ D(u), H(u), S(u), g(u) $分别代表肿瘤细胞通过细胞外基质的密度依赖性运动、趋化敏感项、趋触敏感项和非线性信号产生项. 在本文中假设$ D, H, S\in C^{2}([0, \infty)) $满足如下条件

(1.2) $ \begin{align} \begin{array}{ll} D(s)\geq C_{D} (s+1)^{m-1}, \;\; \forall\; s\geq 0, \end{array} \end{align} $

(1.3) $ \begin{align} \begin{array}{ll} 0\leq H(s)\leq \chi s(s+1)^{-\alpha}, \; \forall\; s\geq 0 \;\mbox{并且}\; H(0) = 0, \end{array} \end{align} $

(1.4) $ \begin{align} \begin{array}{ll} 0\leq S(s)\leq \xi s(s+1)^{-\beta}, \; \forall\; s\geq 0 \;\mbox{并且}\; S(0) = 0, \end{array} \end{align} $

其中$ C_{D}, \chi, \xi>0 $且$ m, \alpha, \beta\in{{\Bbb R}} $. 函数$ g\in C^{1}([0, \infty)) $满足

(1.5) $ \begin{align} \begin{array}{ll} 0\leq g(s)\leq C_{g}s^{\gamma}, \; \forall\; s\geq 0 , \end{array} \end{align} $

其中$ C_{g}, \gamma>0 $. 另外, 假设初值满足

(1.6) $ \begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} u_{0}\in W^{1, \infty}(\Omega), \;u_{0}\geq0, \;\;\;x\in \Omega, \\ v_{0}\in W^{1, \infty}(\Omega), \;\;v_{0}\geq0, \;\;\;x\in \Omega, \\ { } w_{0}\in C^{2, \theta}(\overline{\Omega})\;\mbox{其中}\;\theta\in (0, 1), w_{0}\geq 0\; \mbox{在$\Omega$上}, \; \frac{\partial w_{0}}{\partial \nu} = 0 \;\mbox{在$\partial\Omega $上}. \end{array}\right. \end{align} $

当$ w\equiv 0 $时, 问题(1.1) 化简为如下经典的Keller–Segel模型

(1.7) $ \begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t} = \nabla\cdot (D(u) \nabla u)- \nabla\cdot (H(u)\nabla v)+f(u), &x\in \Omega, t>0, \\ v_{t} = \triangle v-v+g(u), &x\in \Omega, \;t>0, \\ { } \frac{\partial u}{\partial \nu} = \frac{\partial v}{\partial \nu} = 0, &x\in \partial\Omega, t>0, \\ u(x, 0) = u_{0}(x), \;\;v(x, 0) = v_{0}(x), &x\in \Omega. \end{array}\right. \end{align} $

在过去的四十年里, 模型(1.7) 已经被许多作者广泛研究. 关于该模型探讨的主要问题是解的整体存在性及爆破性质(见文献[1-19]). 若问题(1.7) 中的信号产生项为线性表示(即$ g(u) = u $)时, 有如下结果: 当$ f(u) = 0 $并且对任意的$ u>1 $以及$ \alpha >\frac{2}{N} $, 条件$ \frac{H(u)}{D(u)}\geq cu^{\alpha} $成立, 则问题(1.7) 在球形区域上具有限时间或无限时间爆破的光滑解; 若对任意的$ u>1 $以及$ \alpha <\frac{2}{N} $, 条件$ \frac{H(u)}{D(u)}\leq cu^{\alpha} $成立, Tao和Winkler ^[2]证得问题(1.7) 在凸区域上存在整体有界解. 不久, 该结论又被Ishida等^[3]延拓到非凸性区域. 之后, Cieślak和Stinner^[4]找到一个临界值$ m_{*} $, 使得当问题(1.7) 的初始质量小于临界值$ m_{*} $时, 解是有界的, 而当初始质量超过$ m_{*} $时, 解是无界的. 当$ f(u) = a u-\mu u^{k} $并且$ D(u), H(u) $满足(1.2), (1.3)式时, 若$ 0<2-\alpha-m<\max\{k-m, \frac{2}{N}\} $或者$ 2-\alpha = k $并且$ \mu $充分大, Zheng ^[5]证得问题(1.7) 存在整体有界的古典解. 若问题(1.7) 中的信号产生项为非线性表示(即$ g(u) = u^{\gamma} $), 则有如下结果: 当$ 1+\gamma-\alpha<k $或者$ 1+\gamma-\alpha = k $并且$ \mu $充分大时, Tao等^[6]证明了问题(1.7) 存在整体有界的古典解. 之后, Ding等^[7]得到当$ 1-\alpha-m+\gamma<\frac{2}{N} $时, 古典解整体存在并且有界. 再而他们还得到, 当logistic阻尼足够强时, 该古典解会最终收敛到常数稳态解. 另外, Zeng ^[20]和Ren等^[21]研究了带非线性扩散项和信号生成项的吸引–排斥趋化系统古典解的整体有界性和渐近行为, 以及Winkler ^[22]在三维空间上讨论了带非线性扩散项和一般灵敏度的趋化–斯托克斯系统解的一致有界性和大时间行为.

当$ \chi = 0 $时, 问题(1.1) 被称为趋触模型, 关于该模型解的整体存在性和大时间行为结果可以参考文献[23-24]. 与趋触模型相比, 趋化–趋触模型的结果相对较少. 而在现实情况中, 基质降解酶的扩散速率远远大于癌细胞的扩散速率. Chaplain和Lolas ^[25]提出, 肿瘤细胞的运动依赖于随机扩散、趋触运动和基质降解酶的扩散梯度, 并引入了下面的趋化-趋触模型

(1.8) $ \begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t} = \triangle u- \chi\nabla\cdot (u\nabla v)-\xi\nabla\cdot(u\nabla w)+u(a-\mu u^{k-1}-\lambda w), &x\in \Omega, t>0, \\ v_{t} = \triangle v-v+u, &x\in \Omega, \;t>0, \\ w_{t} = -v w, &x\in \Omega, \;t>0. \end{array}\right. \end{align} $

当$ k = 2, a = \lambda = \mu $时, Tao, Wang^[26]和Tao^[27]研究了$ N = 1, 2 $时古典解的整体稳定性, 以及Tao^[28]研究了二维空间上解的一致有界性. 而对于$ N = 3 $的情形, 若$ \frac{\mu}{\chi} $充分大时, 可知解是整体存在并且一致有界的^{[26, 29]}, 而当$ \frac{\mu}{\chi} $比较小时, 还没有相关结果. 最近, Zheng和Ke^[30]证明了当$ k>2 $或者$ k = 2 $, 并且$ \mu $充分大时, 问题(1.8) 存在整体有界的古典解. 另外, 当$ \mu $充分大时, 问题(1.8) 的解将指数衰减到常数稳态解$ ((\frac{a}{\mu})^{\frac{1}{k-1}}, (\frac{a}{\mu})^{\frac{1}{k-1}}, 0) $.

最近几年, 许多学者开始研究带非线性扩散项的趋化-趋触模型, 如下

(1.9) $ \begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t} = \nabla\cdot(D(u)\nabla u)- \chi\nabla\cdot (u\nabla v)-\xi\nabla\cdot(u\nabla w)+\mu u(1-u-w), &x\in \Omega, t>0, \\ v_{t} = \triangle v-v+u, &x\in \Omega, \;t>0, \\ w_{t} = -v w, &x\in \Omega, \;t>0, \end{array}\right. \end{align} $

其中$ D(u) $满足对任意的$ u>0 $, $ D(u)\geq C_{D}(u+1)^{m-1} $成立. Tao和Winkler^[31]得到当$ N\leq 8 $并且$ m>\frac{2N^{2}+4N-4}{N(N+4)} $或者$ N\geq 9 $并且$ m>\frac{2N^{2}+3N+2-\sqrt{8N (N+1)}}{N(N+2)} $时, 问题(1.9) 存在整体解. 后来, Li, Wang等^[32-33]研究了$ m>2-\frac{2}{N} $时解的整体有界性. 之后, Wang等^{[34, 35]}以及Liu等^[36]优化了文献[32-33] 中的结果. 另外, Jin^[37]在对$ \frac{\chi}{\mu} $加上小的假设性条件后, 得到对任意的$ m>0 $, 问题(1.9) 均存在整体有界解.

接下来讨论问题(1.1)的特殊情形$ (g(u) = u, k = 2, a = \lambda = \mu) $的相关结果: Liu等^[38]证得当$ N = 2 $且$ \max \{1-\alpha, 1-\beta\}< m+\frac{2}{N}-1 $或者$ N\geq 3 $并且$ \max\{1-\alpha, 1-\beta\}< m+\frac{2}{N}-1 $, 其中$ m>2-\frac{2}{N} $或$ m\leq 1 $时, 解是整体存在并且一致有界的; 之后, Xu等^[39]在三维空间上研究表明, 当$ m>0, \alpha>0, \beta\geq0 $时, 弱解是整体有界的; 随后, 他们还讨论了解的大时间行为. 对于带非线性信号产生项(即$ g(u) = u^{\gamma} $) 的问题(1.1), Dai和Liu^[40]得到当$ \max\{1-\alpha+\gamma, 1-\beta+\gamma\}-m<\frac{2}{N} $, 或者$ \max\{1-\alpha+\gamma, 1-\beta+\gamma\}<k $, 或者$ \max\{1-\alpha+\gamma, 1-\beta+\gamma\} = k $并且$ \mu>0 $比较大时, 问题(1.1) 存在整体有界的古典解. 此外, 他们在文献中还讨论了解的渐近行为.

本文的目标是探究非线性扩散项和信号产生项对解的整体有界性的影响, 主要结果如下.

定理 1.1   记$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{3} $是具光滑边界的有界域并且初值$ (u_{0}, v_{0}, w_{0}) $满足条件(1.6). 假设$ D, H, S $和$ g $满足条件(1.2)–(1.5), 则

$ \rm(i) $当$ 0<\gamma\leq\frac{2}{3} $时, 若$ \alpha>\gamma-k+1 $并且$ \beta>1-k $, 问题(1.1) 存在整体有界的古典解$ (u, v, w) $.

(ii) 当$ \frac{2}{3}<\gamma\leq1 $时, 若$ \alpha>\gamma-k+\frac{1}{e}+1 $并且$ \beta>\max\{\frac{(3\gamma-2)(3\gamma+2k-2)}{6}-k+1, \frac{(3\gamma-2)(\gamma+\frac{1}{e})}{3}-k+1\} $, 或者$ \alpha>\gamma-k+1 $并且$ \beta>\max\{\frac{(3\gamma-2)(3\gamma+2k-2)}{6}-k+1, \frac{(3\gamma-2)(\alpha+k-1)}{3}-k+1\} $, 问题(1.1) 存在整体有界的古典解$ (u, v, w) $.

首先, 我们给出古典解的局部存在性结果.

引理 2.1^{[31, 38]}   记$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{N} (N\geq1) $是具光滑边界的有界域. 假设定理1.1的条件成立, 则存在常数$ T_{\max}\in (0, \infty] $以及局部古典解$ (u, v, w) $满足

(2.1) $ \begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} u\in C^{0}(\overline{\Omega}\times [0, T_{\max}))\cap C^{2, 1}(\overline{\Omega}\times [0, T_{\max})), \\ v\in C^{0}(\overline{\Omega}\times [0, T_{\max}))\cap C^{2, 1}(\overline{\Omega}\times [0, T_{\max})), \\ w\in C^{2, 1}(\overline{\Omega}\times [0, T_{\max})), \end{array}\right. \end{align} $

其中$ u, v\geq0 $在$ \Omega\times (0, T_{\max}) $上, 并且$ 0\leq w\leq \|w\|_{L^{\infty}(\Omega)} $. 另外, 若$ T_{\max}<\infty $, 则

$ \lim\limits_{t\rightarrow T_{\max}}\sup (\|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}+\|v(\cdot, t)\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}+\|w(\cdot, t)\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}) = \infty. $

接下来我们继续给出一个引理, 可参考文献[41-42].

引理 2.2   假设$ z_{0}\in W^{2, p}(\Omega) $并且$ f\in L^{p}(0, T; L^{p}(\Omega)) $, 则下面的问题

(2.2) $ \begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} z_{t} = \triangle z-z+f, \;\;\;\\ { }\frac{\partial z}{\partial \nu} = 0, \\ v(x, 0) = v_{0}(x), \end{array}\right. \end{align} $

存在唯一解$ z\in L^{p}_{loc}((0, +\infty); W^{2, p}(\Omega)) $满足$ z_{t}\in L^{p}_{loc}((0, +\infty); L^{p}(\Omega)) $, 并且对于$ t_{0}\in (0, T) $, 都有

(2.3) $ \begin{align} \int_{t_{0}}^{T}\int_{\Omega}{\rm e}^{pt}|\triangle z|^{p}{\rm d}x{\rm d}t\leq C_{p}\int_{t_{0}}^{T}\int_{\Omega}{\rm e}^{pt}|f|^{p}{\rm d}x{\rm d}t+C_{p}\|z(\cdot, t_{0})\|^{p}_{W^{2, p}(\Omega)}, \end{align} $

其中$ C_{p} $是不依赖于$ t_{0} $的常数.

下面的引理介绍了问题(1.1) 解的一些基本性质, 其主要想法来自于文献[32].

引理 2.3   假设$ (u, v, w) $是问题(1.1) 的解, 并且$ D, H, S $和$ g $满足条件(1.2)–(1.5), 其中$ 0<\gamma\leq 1 $, 则下面结论成立

$ \rm(i) $存在常数$ C>0 $使得

(2.4) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|u(\cdot, t)\|_{L^{1}(\Omega)}\leq C\mu^{-\frac{1}{k-1}} , \;\forall\;t\in (0, T_{\max}). \end{array} \end{align} $

$ \rm(ii) $对任意$ s\in [1, \frac{N}{(N \gamma-2)_{+}}) $, 都存在常数$ C_{s}>0 $使得

(2.5) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|v(\cdot, t)\|_{L^{s}(\Omega)}\leq C_{s} , \;\forall\;t\in (0, T_{\max}), \end{array} \end{align} $

其中$ (N \gamma-2)_{+}: = \max\{N \gamma-2, 0\} $.

$ \rm(iii) $假设$ p>\max\{\frac{N\gamma}{2}, \gamma\} $并且$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{p}(\Omega)}\leq C $, 则存在常数$ C_{p}>0 $使得

(2.6) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{p} , \;\forall\;t\in (0, T_{\max}). \end{array} \end{align} $

$ \rm(iv) $假设$ q>Nr $并且$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{q}(\Omega)}\leq C $, 则存在常数$ C_{q}>0 $使得

(2.7) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{q} , \;\forall\;t\in (0, T_{\max}). \end{array} \end{align} $

证   对问题(1.1) 的第一个方程在$ \Omega $上进行积分, 可得

(2.8) $ \begin{align} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x\leq a\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x-\mu\int_{\Omega} u^{k}(x, t){\rm d}x. \end{align} $

Young不等式表明

(2.9) $ \begin{align} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x+\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x \leq (|a|+1)^{\frac{k}{k-1}}|\Omega|\mu^{-\frac{1}{k-1}}, \end{align} $

这蕴含着(2.4) 式成立. 利用Neumann热半群的连续性质, 再结合$ (1.1)_{2} $式和(1.5) 式可得

(2.10) $ \begin{align} v = {\rm e}^{t(\triangle-1)}v_{0}+\int^{t}_{0}{\rm e}^{t(\triangle-1)}g(u){\rm d}s\leq {\rm e}^{t(\triangle-1)}v_{0}+C_{g}\int^{t}_{0}{\rm e}^{t(\triangle-1)}u^{\gamma}{\rm d}s. \end{align} $

令$ s\in [1, \frac{N}{(N \gamma-2)_{+}}) $, 由(2.10) 式以及[42, 引理1.3(i)] 可知对任意的$ t\in (0, T_{\max}) $,

(2.11) $ \begin{align}{l} \|v(\cdot, t)\|_{L^{s}(\Omega)}\leq&{ } \|{\rm e}^{t(\triangle-1)}v_{0}\|_{L^{s}(\Omega)}+C_{g}\int^{t}_{0}\|{\rm e}^{(t-\tau)(\triangle-1)}(u^{\gamma}-\overline{u^{\gamma}}+\overline{u^{\gamma}})(\cdot, \tau)\|_{L^{s}(\Omega)}{\rm d}\tau\\ \leq &{ } C_{1}\|v_{0}\|_{L^{\infty}(\Omega)} +C_{1} \int^{t}_{0}{\rm e}^{-(t-\tau)}\| \overline{u^{\gamma} } (\cdot, \tau)\|_{L^{s}(\Omega)}{\rm d}\tau \\ &{ } +C_{1} \int^{t}_{0}(1+(t-\tau)^{-\frac{N}{2}(\gamma-\frac{1}{s})})\|u^{\gamma}(\cdot, \tau)-\overline{u^{\gamma}}(\cdot, \tau)\|_{L^{\frac{1}{\gamma}}(\Omega)} {\rm e}^{-\lambda_{1}(t-\tau)}{\rm d}\tau, \end{align} $

其中$ C_{1}>0 $是一个常数, $ \overline{u^{\gamma} } (\tau) = \frac{1}{|\Omega|}\int_{\Omega}u^{\gamma}(x, \tau){\rm d}x $. 由$ 0<\gamma\leq1 $得

(2.12) $ \begin{align} (u^{\gamma}-\overline{u^{\gamma}})^{\frac{1}{\gamma}}\leq(u^{\gamma}+\overline{u^{\gamma}})^{\frac{1}{\gamma}}\leq C_{2}(u+1), \end{align} $

其中$ C_{2}>0 $. 因此, 通过(2.12) 式和(2.4) 式可知

(2.13) $ \begin{align} \|u^{\gamma}(\cdot, \tau)-\overline{u^{\gamma}}(\cdot, \tau)\|_{L^{\frac{1}{\gamma}}(\Omega)}\leq C_{3}, \end{align} $

其中$ C_{3} $是一个正常数. 将(2.13) 式代入(2.11) 式, 可得

(2.14) $ \begin{align} \|v(\cdot, t)\|_{L^{s}(\Omega)}\leq C_{4}, \;\forall\;t\in (0, T_{\max}), \end{align} $

这表明(2.5) 式成立. 利用类似的方法也可以得到(2.6) 式和(2.7) 式. 证毕.

引理 2.4^[28]   假设$ (u, v, w) $是问题(1.1) 的解, 则对任意的$ (x, t)\in \Omega\times (0, T_{\max}) $, 成立

(2.15) $ \begin{align} -\triangle w(x, t) \leq \|w_{0}\|_{L^{\infty}(\Omega)}v(x, t)+M, \end{align} $

其中

(2.16) $ \begin{align} M: = \|w_{0}\|_{L^{\infty}(\Omega)}+4\|\nabla\sqrt{w_{0}}\|^{2}_{L^{\infty}(\Omega)}+\frac{\|w_{0}\|_{L^{\infty}(\Omega)}}{e}. \end{align} $

为证明问题(1.1) 存在整体有界的古典解, 首先给出下面的引理. 为方便起见, 记$ T: = T_{\max} $.

引理 3.1  假设$ D, H, S $以及$ g $满足条件(1.2)–(1.5), 其中$ \beta>1-k $, 则有如下结果

$ \rm(i) $令$ \alpha>\gamma-k+\frac{1}{e}+1 $且$ p>\max\{1, \beta, \frac{3\gamma}{2}+1-k, \gamma-k+\frac{1}{e}+1\} $. 若存在常数$ C_{p}>0 $满足

(3.1) $ \begin{equation} \|v(\cdot, t)\|_{L^{\frac{p+k-1}{\beta+k-1}}(\Omega)}\leq C_{p}, \;\forall\; t\in (0, T), \end{equation} $

则

(3.2) $ \begin{equation} \|u(\cdot, t)\|_{L^{p}(\Omega)}\leq C, \;\forall\; t\in (0, T), \end{equation} $

其中$ C>0 $与常数$ C_{p}, \mu $有关.

$ \rm(ii) $令$ \alpha>\gamma-k+1 $且$ p>\max\{1, \alpha, \beta\} $. 若存在常数$ C_{p}>0 $满足

(3.3) $ \begin{equation} \|v(\cdot, t)\|_{L^{\frac{p+k-1}{\beta+k-1}}(\Omega)}\leq C_{p}, \;\forall\; t\in (0, T), \end{equation} $

则

(3.4) $ \begin{equation} \|u(\cdot, t)\|_{L^{p}(\Omega)}\leq C, \;\forall\; t\in (0, T), \end{equation} $

其中$ C >0 $与时间$ T $无关.

证   在问题(1.1) 的第一个方程两边同乘$ (1+u)^{p-1} $, 并且在$ \Omega $上积分, 则有

(3.5) $ \begin{array}{l} \frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(u+1)^{p}{\rm d}x\\\leq -(p-1)C_{D}\int_{\Omega}(u+1)^{m+p-3}|\nabla u|^{2}{\rm d}x+(p-1)\int_{\Omega}(u+1)^{p-2}H(u)\nabla u\cdot \nabla v{\rm d}x\\+(p-1)\int_{\Omega}(u+1)^{p-2}S(u)\nabla u\cdot \nabla w{\rm d}x+\int_{\Omega}(u+1)^{p-1}u(a-\mu u^{k-1}-\lambda w){\rm d}x. \end{array} $

因为$ (u+1)^{k}\leq 2^{k-1}(u^{k}+1) $, 所以

(3.6) $ \begin{array}{l}\int_{\Omega}(u+1)^{p-1}u(a-\mu u^{k-1}-\lambda w){\rm d}x\\\leq |a|\int_{\Omega}(u+1)^{p}{\rm d}x-\frac{\mu}{2^{k-1}}\int_{\Omega}(u+1)^{k+p-1}{\rm d}x+\mu\int_{\Omega}(u+1)^{p-1}{\rm d}x\\\leq-\frac{5\mu}{6\cdot 2^{k-1}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x +C_{0}, \end{array} $

其中$ C_{0} = (3\cdot2^{k+1})^{\frac{p}{k-1}}a^{\frac{p+k-1}{k-1}}|\Omega|\mu^{-\frac{p}{k-1}}+ (3\cdot2^{k+1})^{\frac{p-1}{k}}|\Omega|\mu $. 结合(3.5) 式和(3.6) 式可知

(3.7) $ \begin{array} {l}\frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(u+1)^{p}{\rm d}x\\\leq(p-1)\int_{\Omega}(u+1)^{p-2}H(u)\nabla u\cdot \nabla v{\rm d}x+(p-1)\int_{\Omega}(u+1)^{p-2}S(u)\nabla u\cdot \nabla w{\rm d}x\\-\frac{5\mu}{6\cdot 2^{k-1}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x +C_{0}. \end{array} $

定义

$ \varphi(z): = \int^{z}_{0}(1+\sigma)^{p-2}H(\sigma){\rm d}\sigma, \;\;\;z\geq0. $

(1.3) 式表明

$ 0\leq \varphi(z)\leq \chi\int^{z}_{0}(1+\sigma)^{p-\alpha-1}{\rm d}\sigma, $

这意味着对任意的$ z\geq0 $, 都有

(3.8) $ \begin{eqnarray} \varphi(z)\leq \left\{ \begin{array}{ll} { } \frac{2\chi}{|p-\alpha|}, &\mbox{若}\;\;p<\alpha, \\ \chi\ln (1+z), &\mbox{若}\;\;p = \alpha, \\ { } \frac{\chi}{p-\alpha}(1+z)^{p-\alpha}, &\mbox{若}\;\; p>\alpha. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

通过分部积分可知

(3.9) $ \begin{eqnarray} (p-1)\int_{\Omega}(1+u)^{p-2}H(u)\nabla u\cdot\nabla v{\rm d}x & = &(p-1)\int_{\Omega}\nabla \varphi(u)\cdot \nabla v {\rm d}x\\\leq(p-1)\int_{\Omega}\varphi(u)|\triangle v| {\rm d}x. \end{eqnarray} $

情形(i)   结合(3.8) 式和(3.9) 式, 当$ \gamma-k+\frac{1}{e}+1<p<\alpha $时, 有

(3.10) $ \begin{eqnarray} (p-1)\int_{\Omega}(1+u)^{p-2}H(u)\nabla u\cdot\nabla v{\rm d}x \leq\frac{2\chi(p-1)}{|p-\alpha|}\int_{\Omega}|\triangle v|\\\leq \frac{2\chi(p-1)}{|p-\alpha|}\int_{\Omega}|\triangle v|^{\frac{3}{2}}+ C_{1}, \end{eqnarray} $

其中$ C_{1} = \frac{2\chi(p-1)|\Omega|}{|p-\alpha|} $. 当$ p>\alpha $时, 有

(3.11) $ \begin{array}{l} (p-1)\int_{\Omega}(1+u)^{p-2}H(u)\nabla u\cdot\nabla v{\rm d}x \leq\frac{\chi(p-1)}{p-\alpha}\int_{\Omega}(1+u)^{p-\alpha}|\triangle v|{\rm d}x\\\leq\frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}+ C_{2}\int_{\Omega}|\triangle v|^{\frac{p+k-1}{k+\alpha-1}}, \end{array} $

其中$ C_{2} = (3\cdot 2^{k})^{\frac{p-\alpha}{\alpha+k-1}}(\frac{\chi (p-1)}{p-\alpha})^{\frac{p+k-1}{\alpha+k-1}}\mu^{-\frac{p-\alpha}{\alpha+k-1}} $. 当$ p = \alpha $时, 有

(3.12) $ \begin{array} {l}(p-1)\int_{\Omega}(1+u)^{p-2}H(u)\nabla u\cdot\nabla v{\rm d}x\\\leq(p-1)\chi\int_{\Omega}\ln(1+u)|\triangle v|{\rm d}x\\\leq(p-1)\chi\int_{\Omega}(1+u)^{\frac{1}{e}}|\triangle v|{\rm d}x\\\leq \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}+\widetilde{C}_{2}\int_{\Omega}|\triangle v|^{\frac{e(p+k-1)}{e(p+k-1)-1}}, {\qquad} \end{array} $

其中$ \widetilde{C}_{2} = (3\cdot 2^{k})^{\frac{1}{e(p+k-1)-1}}(\chi (p-1))^{\frac{e(p+k-1)}{e(p+k-1)-1}}\mu^{-\frac{1}{e(p+k-1)-1}} $.

对任意的$ z\geq0 $, 定义函数$ \psi(z) = \int^{z}_{0}(1+\sigma)^{p-2}S(\sigma){\rm d}\sigma $. 结合(1.4) 式和$ p>\beta $可知

$ 0\leq\psi(z)\leq \frac{\xi}{p-\beta}(1+z)^{p-\beta}, \;\forall\;z\geq0. $

注意到引理2.4以及$ \beta>1-k $, 则有

(3.13) $ \begin{array}{l} (p-1)\int_{\Omega}(1+u)^{p-2}S(u)\nabla u\cdot\nabla w{\rm d}x\\=-(p-1)\int_{\Omega}\psi(u)\cdot\triangle w{\rm d}x\\\leq (p-1)\|w_{0}\|_{L^{\infty}(\Omega)}\int_{\Omega}\psi(u)v{\rm d}x+(p-1)M\int_{\Omega}\psi(u){\rm d}x\\\leq \frac{\xi(p-1)}{p-\beta}\|w_{0}\|_{L^{\infty}(\Omega)}\int_{\Omega}(1+u)^{p-\beta}v {\rm d}x+ \frac{\xi M(p-1)}{p-\beta}\int_{\Omega}(1+u)^{p-\beta}{\rm d}x\\\leq \frac{\mu}{3\cdot 2^{k-1}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x +C_{3} \int_{\Omega}v^{\frac{p+k-1}{\beta+k-1}}{\rm d}x +C_{4}, \end{array} $

其中

(3.14) $ \begin{equation} \begin{array}{l} { } C_{3} = (3\cdot 2^{k})^{\frac{p-\beta}{\beta+k-1}}(\frac{\xi (p-1)}{p-\beta}\|w_{0}\|_{L^{\infty}(\Omega)})^{\frac{p+k-1}{\beta+k-1}}\mu^{-\frac{p-\beta}{\beta+k-1}}, \\ { } C_{4} = (3\cdot 2^{k})^{\frac{p-\beta}{\beta+k-1}}(\frac{\xi k(p-1)}{p-\beta})^{\frac{p+k-1}{\beta+k-1}}|\Omega|\mu^{-\frac{p-\beta}{\beta+k-1}}. \end{array} \end{equation} $

当$ \gamma-k+\frac{1}{e}+1<p<\alpha $时, 由(3.1), (3.7), (3.10)式以及(3.13) 式可推出

(3.15) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(1+u)^{p}\leq -\frac{\mu}{2^{k}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x+\frac{2\chi(p-1)}{|p-\alpha|}\int_{\Omega}|\triangle v|^{\frac{3}{2}}{\rm d}x+C_{5}, \end{eqnarray} $

其中$ C_{5} = C_{3}C_{0}^{\frac{p+k-1}{\beta+k-1}}+C_{4}+C_{0}+C_{1} $. 又因为

(3.16) $ \begin{eqnarray} \frac{3}{2p}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x\leq \frac{\mu}{3\cdot 2^{k-1}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x+C_{6}, \end{eqnarray} $

其中$ C_{6} = (\frac{1}{p})^{\frac{p+k-1}{k-1}}(3\cdot 2^{k-1})^{\frac{p}{k-1}}|\Omega|\mu^{-\frac{p}{k-1}} $. 所以结合(3.15) 式和(3.16) 式, 有

(3.17) $ \begin{array} {l}\frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x+\frac{3}{2p}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x\\\leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x +\frac{2\chi(p-1)}{|p-\alpha|}\int_{\Omega}|\triangle v|^{\frac{3}{2}}{\rm d}x+C_{7}, \end{array} $

其中$ C_{7} = C_{5}+C_{6} $. 常数变化公式表明

(3.18) $ \begin{array}{l} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x \leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x {\rm d}s\\+\frac{2\chi(p-1)}{|p-\alpha|}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}|\triangle v|^{\frac{3}{2}}{\rm d}x{\rm d}s \\+\frac{{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-t_{0})}}{p}\int_{\Omega}(1+u(\cdot, t_{0}))^{p}{\rm d}x+C_{7}\int^{t}_{t_{0}}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}{\rm d}s\\\leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x {\rm d}s \\+\frac{2\chi(p-1)}{|p-\alpha|}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}|\triangle v|^{\frac{3}{2}}{\rm d}x {\rm d}s +\frac{M_{0}}{p}+C_{7}, \end{array} $

其中$ M_{0} = \int_{\Omega}(1+u(\cdot, t_{0}))^{p}{\rm d}x $. 因为$ p>\frac{3\gamma}{2}+1-k $, 通过引理2.2, Young不等式和(1.5) 式可得

(3.19) $ \begin{array} {l}\frac{2\chi(p-1)}{|p-\alpha|}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}|\triangle v|^{\frac{3}{2}}{\rm d}x{\rm d}s\\\leq\frac{2\chi(p-1)C}{|p-\alpha|}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}u^{\frac{3\gamma}{2}}{\rm d}x {\rm d}s+\frac{2\chi(p-1)C}{|p-\alpha|}\|v(\cdot, t_{0})\|_{W^{2, \frac{3}{2}}(\Omega)}^{\frac{3}{2}}\\\leq \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\frac{3}{2}(t-s)}(u+1)^{p+k-1}{\rm d}x{\rm d}s+C_{8}, \end{array} $

其中$ C_{8} $是一个正常数. 结合(3.18) 式可得

(3.20) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u(\cdot, t))^{p}{\rm d}x\leq C_{9}, \;\forall\; t\in (0, T), \end{eqnarray} $

其中$ C_{9} = \frac{M_{0}}{p}+C_{7}+C_{8} $.

当$ p>\alpha $时, 注意到(3.1), (3.7), (3.11)和(3.13) 式, 则有

(3.21) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x\leq -\frac{\mu}{3\cdot2^{k-1}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x+C_{2}\int_{\Omega}|\triangle v|^{\frac{p+k-1}{\alpha+k-1}}{\rm d}x+C_{5}, \end{eqnarray} $

其中$ C_{5} = C_{3}C_{0}^{\frac{p+k-1}{\beta+k-1}}+C_{4}+C_{0} $. 定义

$ m: = \frac{p+k-1}{\alpha+k-1}, $

我们由(3.21) 式得到

(3.22) $ \begin{array} {l}\frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x+\frac{m}{p}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x\\\leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x +C_{2}\int_{\Omega}|\triangle v|^{m}{\rm d}x+C_{10}, \end{array} $

其中$ C_{10} = C_{5}+(3\cdot 2^{k})^{\frac{p}{k-1}}(\frac{m}{p})^{\frac{p+k-1}{k-1}}|\Omega|\mu^{-\frac{p}{k-1}} $. 回顾引理2.2, 再综合(3.22) 式可得

(3.23) $ \begin{array}{l} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x \leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x {\rm d}s \\+C_{2}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}|\triangle v|^{m}{\rm d}x{\rm d}s +\frac{{\rm e}^{-m(t-t_{0})}}{p}\int_{\Omega}(1+u(\cdot, t_{0}))^{p}{\rm d}x\\+C_{10}\int^{t}_{t_{0}}{\rm e}^{-m(t-s)}{\rm d}s\\\leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x {\rm d}s \\+C_{2}C_{m}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}(1+u)^{m\gamma}{\rm d}x{\rm d}s \\+C_{2}C_{m}\|v(\cdot, t_{0})\|_{W^{2, m}(\Omega)}^{m}+ \frac{M_{0}}{p}+C_{10}. \end{array} $

因为$ \alpha> \gamma-k+\frac{1}{e}+1 $, 所以$ m\gamma<p+k-1 $. 利用Young不等式计算可得

(3.24) $ \begin{equation} C_{2}C_{m}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}(1+u)^{m\gamma}{\rm d}x{\rm d}s \leq \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x{\rm d}s+C_{11}, \end{equation} $

其中$ C_{11} = \frac{1}{m}(3\cdot 2^{k})^{\frac{m\gamma}{p+k-1-m\gamma}}(C_{2}C_{m})^{\frac{p+k-1}{p+k-1-m\gamma}}|\Omega|\mu^{-\frac{m\gamma}{p+k-1-m\gamma}} $. 将(3.24) 式代入(3.23) 式, 可知

(3.25) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u(\cdot, t))^{p}{\rm d}x\leq C_{12}, \;\forall\;t\in (0, T), \end{eqnarray} $

其中$ C_{12} = C_{2}C_{m}\|v(\cdot, t_{0})\|_{W^{2, m}(\Omega)}^{m}+\frac{M_{0}}{p}+C_{10}+C_{11} $.

当$ p = \alpha $时, 综合(3.1) 式, (3.7) 式, (3.12) 式和(3.13) 式可得

(3.26) $ \begin{equation} \frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x\leq -\frac{\mu}{3\cdot2^{k-1}}\int_{\Omega}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x+\widetilde{C}_{2}\int_{\Omega}|\triangle v|^{\frac{e(p+k-1)}{e(p+k-1)-1}}{\rm d}x+C_{5}. \end{equation} $

定义

$ \widetilde{m}: = \frac{e(p+k-1)}{e(p+k-1)-1}, $

类似(3.23) 式, 通过计算容易证明

(3.27) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x \leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\widetilde{m}(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x {\rm d}s \\+\widetilde{C}_{2}C_{\widetilde{m}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\widetilde{m}(t-s)}(1+u) ^{\widetilde{m}\gamma}{\rm d}x{\rm d}s \\+\widetilde{C}_{2}C_{\widetilde{m}}\|v(\cdot, t_{0})\|_{W^{2, \widetilde{m}}(\Omega)}^{\widetilde{m}} +\frac{M_{0}}{p}+\widetilde{C}_{10}, \end{eqnarray} $

其中$ \widetilde{C}_{10} = C_{5}+(3\cdot 2^{k})^{\frac{p}{k-1}}(\frac{\widetilde{m}}{p})^{\frac{p+k-1}{k-1}}|\Omega|\mu^{-\frac{p}{k-1}} $. 由于$ \alpha = p> \gamma-k+\frac{1}{e}+1 $, 则有$ \widetilde{m}\gamma<p+k-1 $. Young不等式表明

(3.28) $ \begin{array}{l} \widetilde{C}_{2}C_{\widetilde{m}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\widetilde{m}(t-s)}(1+u)^{\widetilde{m} \gamma}{\rm d}x{\rm d}s \\\leq\frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-\widetilde{m}(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x{\rm d}s+\widetilde{C}_{11}, \end{array} $

其中$ \widetilde{C}_{11} = \frac{1}{\widetilde{m}}(3\cdot 2^{k})^{\frac{\widetilde{m}\gamma}{p+k-1-\widetilde{m}\gamma}} (\widetilde{C}_{2}C_{\widetilde{m}})^{\frac{p+k-1}{p+k-1-\widetilde{m}\gamma}}|\Omega|\mu^{ -\frac{\widetilde{m}\gamma}{p+k-1-\widetilde{m}\gamma}} $. 将(3.28) 式代入(3.27) 式, 可得

(3.29) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u(\cdot, t))^{p}{\rm d}x\leq \widetilde{C}_{12}, \;\forall\;t\in (0, T), \end{eqnarray} $

其中$ \widetilde{C}_{12} = \widetilde{C}_{2}C_{\widetilde{m}}\|v(\cdot, t_{0})\|_{W^{2, \widetilde{m}}(\Omega)}^{\widetilde{m}}+\frac{M_{0}}{p}+\widetilde{C}_{10}+\widetilde{C}_{11} $.

情形(ii)   当$ p>\alpha $并且$ \alpha> \gamma-k+1 $时, 定义

(3.30) $ \begin{eqnarray} m: = \frac{p+k-1}{\alpha+k-1}, \end{eqnarray} $

类似(3.23) 式, 容易证明

(3.31) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u)^{p}{\rm d}x \leq - \frac{\mu}{3\cdot 2^{k}}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}(1+u)^{p+k-1}{\rm d}x {\rm d}s\\ +C_{2}C_{m}\int^{t}_{t_{0}}\int_{\Omega}{\rm e}^{-m(t-s)}(1+u)^{m\gamma}{\rm d}x{\rm d}s \\+C_{2}C_{m}\|v(\cdot, t_{0})\|_{W^{2, m}(\Omega)}^{m} +\frac{M_{0}}{p}+C_{10}. \end{eqnarray} $

由$ \alpha> \gamma-k+1 $, 可得$ m\gamma<p+k-1 $, 再利用(3.31) 式可知

(3.32) $ \begin{align} \frac{1}{p}\int_{\Omega}(1+u(\cdot, t))^{p}{\rm d}x\leq C_{13}, \;\forall\;t\in (0, T), \end{align} $

其中$ C_{13}>0 $是一个常数. 证毕.

引理 3.2   假设$ D, H, S $和$ g $满足条件(1.2)–(1.5). 则下面结论成立

$ \rm(I) $若$ 0<\gamma\leq\frac{2}{3} $, $ \alpha>\gamma-k+1 $并且$ \beta>1-k $, 则存在常数$ C>0 $, 使得对任意$ t\in (0, T) $, 都有$ \|v(\cdot, t)\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}\leq C $.

$ \rm(II) $若$ \frac{2}{3}<\gamma\leq1 $, $ \alpha>\gamma-k+\frac{1}{e}+1 $并且$ \beta>\max\{\frac{(3\gamma-2)(3\gamma+2k-2)}{6}-k+1, \frac{(3\gamma-2)(\gamma+\frac{1}{e})}{3}-k+1\} $, 或者$ \alpha>\gamma-k+1 $并且$ \beta>\max\{\frac{(3\gamma-2)(3\gamma+2k-2)}{6}-k+1, \frac{(3\gamma-2)(\alpha+k-1)}{3}-k+1\} $, 则存在常数$ C>0 $, 使得对任意$ t\in (0, T) $, 都有$ \|v(\cdot, t)\|_{W^{1, \infty}(\Omega)}\leq C $.

证   对于$ 0<\gamma\leq\frac{2}{3} $的情形, 由引理2.3(i), (ii) 可得对任意的$ s\geq 1 $, 有

(3.33) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|v(\cdot, t)\|_{L^{s}(\Omega)}\leq C_{14}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{array} \end{align} $

取$ p_{1}>\max\{\frac{3\gamma}{2}, 1, \alpha, \beta\} $, 这意味着$ \frac{p_{1}+k-1}{\beta+k-1}>1 $, 因此由(3.33) 式可得

(3.34) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|v(\cdot, t)\|_{L^{\frac{p_{1}+k-1}{\beta+k-1}}(\Omega)}\leq C_{15}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{array} \end{align} $

再结合引理3.1(ii), 可知

(3.35) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|u(\cdot, t)\|_{L^{p_{1}}(\Omega)}\leq C_{16}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{array} \end{align} $

由于$ p_{1}>\frac{3\gamma}{2} $, 因此可以通过引理2.4(iii) 得到

(3.36) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{17}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{array} \end{align} $

再次利用引理3.1(ii) 并且令$ p_{2}>\max\{3\gamma, 1, \alpha, \beta\} $, 可得

(3.37) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|u(\cdot, t)\|_{L^{p_{2}}(\Omega)}\leq C_{18}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{array} \end{align} $

引理2.3(iv) 表明

(3.38) $ \begin{align} \begin{array}{ll} \|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{19}, \;\forall\;t\in (0, T), \end{array} \end{align} $

这蕴含了情形(Ⅰ) 成立.

对于$ \frac{2}{3}<\gamma\leq1 $的情形, 由于$ \beta>\frac{(3\gamma-2)(3\gamma+2k-2)}{6}-k+1 $并且$ \beta>\frac{(3\gamma-2)(\gamma+\frac{1}{e})}{3}-k+1 $, 可知

(3.39) $ \begin{align} \begin{array}{ll} { } \frac{3\gamma}{2}<\frac{3}{3r-2}(\beta+k-1)+1-k, \\ { } \gamma-k+\frac{1}{e}+1<\frac{3}{3\gamma-2}(\beta+k-1)+1-k, \\ { } \beta<\frac{3}{3r-2}(\beta+k-1)+1-k. \end{array} \end{align} $

取$ \max\{\frac{3\gamma}{2}, \gamma-k+\frac{1}{e}+1, \beta\}< p_{3}< \frac{3}{3r-2}(\beta+k-1)+1-k $, 则有

(3.40) $ \begin{align} \frac{p_{3}+k-1}{\beta+k-1}\in (1, \frac{3}{3\gamma-2}). \end{align} $

通过引理2.3(ii), 可以得到

(3.41) $ \begin{align} \|v(\cdot, t)\|_{L^{\frac{p_{3}+k-1}{\beta+k-1}}(\Omega)}\leq C_{20}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{align} $

结合引理3.1(i) 以及$ k>1 $, 可知

(3.42) $ \begin{align} \|u(\cdot, t)\|_{L^{p_{3}}(\Omega)}\leq C_{21}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{align} $

由于$ p_{3}>\frac{3\gamma}{2} $, 利用引理2.4(iii), 可以得到

(3.43) $ \begin{align} \|v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{22}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{align} $

再次使用引理3.1(i) 并且令$ p_{4}>\max\{3\gamma, \gamma-k+\frac{1}{e}+1, \beta\} $, 不难证明

(3.44) $ \begin{align} \|u(\cdot, t)\|_{L^{p_{4}}(\Omega)}\leq C_{23}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{align} $

结合引理2.3(iv), 可知

(3.45) $ \begin{align} \|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{24}, \;\forall\;t\in (0, T). \end{align} $

类似地, 若$ \beta>\max\{\frac{(3\gamma-2)(3\gamma+2k-2)}{6}-k+1, \frac{(3\gamma-2)(\alpha+k-1)}{3}-k+1\} $, 选取$ p_{5} $满足条件

(3.46) $ \begin{align} \max\{\frac{3\gamma}{2}, \alpha, \beta\}< p_{5}< \frac{3}{3r-2}(\beta+k-1)+1-k, \end{align} $

则有$ \frac{p_{5}+k-1}{\beta+k-1}\in (1, \frac{3}{3\gamma-2}) $. 引理2.3(iii) 和引理3.1(ii) 表明$ \|u\|_{L^{p_{5}}(\Omega)}\leq C_{25} $和$ \|v\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{26} $. 再次利用引理3.1(ii) 并且令$ p_{6}>\max\{3\gamma, \alpha, \beta\} $, 可知$ \|u(\cdot, t)\|_{L^{p_{6}}(\Omega)}\leq C_{27} $. 再而, 通过引理2.3(iv)可得$ \|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{28} $, 这蕴含了情形(Ⅱ) 成立. 证毕.

定理1.1的证明   利用引理3.2, 再结合著名的Moser-Alikakos迭代技术^{[32-33, 39]}可知$ \|u\|_{L^{\infty}(\Omega)} $的一致有界性. 再结合引理2.1, 便可完成定理1.1的证明.