本文主要研究如下初边值问题的数值解

$ \left\{ \begin{array}{l} u_t = u\times\Delta u, \; \mbox{in}\; [0, T]\times\Omega, \Omega\subset{{\Bbb R}} ^n, \\ u|_{t = 0} = \varphi(z), \\ u|_{\partial\Omega} = g(t), \end{array} \right. $

在几何上此方程被称为Schrödinger映射, 它便是近年来数学物理领域中研究的热点问题之一. 其中"$ \times $"表示两个三维向量的叉积, $ u = (u_1, u_2, u_3) $为磁化强度, 当空间维数$ n = 2 $时, 自相似解的能量保持不变, 故称其为临界状态.

在近30年, 国内外众多专家学者对Landau-Lifshitz方程, 特别是特殊情形下的Schrödinger映射已经有了大量较好的研究成果, 对Landau-Lifshitz方程的研究主要分为无外加磁场带阻尼项和具外加磁场的Landau-Lifshitz方程两类, 接下来我们来回顾一下一些已知的结论. 对于无外加磁场带阻尼项的Landau-Lifshitz方程的研究主要有: 1991年, 周毓麟、郭柏灵等人在文献[28]中通过利用一些特殊估计和差分法给出了含Gilbert阻尼项的Landau-Lifshitz方程的2阶导数项的先验估计, 并证明了整体光滑解的存在性及唯一性. 对于无外加磁场、有耗散项($ \lambda\Delta u $)的Landau-Lifshitz方程, 2004年, 郭柏灵和韩永前^[7]证明了2维柯西问题解的存在唯一性问题以及当给一个很小的初值且空间变量维数为3时的上述方程解的存在唯一性. 2011年, Bejenaru^[2]等人考虑了维数$ d\geq 2 $情形下的小初始数据临界Sobolev空间下的全局Schrödinger映射问题. 2013年, Merle, Raphaël^[19]等人研究了全空间中临界Schrödinger映射的光滑数据等变化解的Blow up问题. 由于在此研究之前, 在抛物型情形下, 在文献[1, 10, 23]中对抛物型问题$ k = 1 $情形下的Blow up解的存在性已经得到证明, 在文献[10]中, 在临近$ Q_k $情形下, 对$ k\geq 3 $的Blow up解已经被排除, 同时调和映射被证明为渐近稳定, 在无穷大初始数据$ k = 2 $情形下的无限时间Blow up解被证明存在. 然而复指数$ k = 1 $的奇点形成的深刻描述仍然是一个公开问题, 在文献[19]之前对$ k = 1 $的情形还束手无策, 故此研究代表了Schrödinger映射在近年来的重大突破. 另外, 2014年Perelman^[21]研究了等变量的临界Schrödinger映射的爆破动力学问题. 2015年, Dodson^[4]考虑了目标为球体$ S^2 $或双曲平面$ H^2 $的能量临界Schrödinger映射, 并建立了一个唯一的解如果连续的话, 只要一定的时空$ L^4 $范数保持有界. 更多结果参见文献[8, 9, 11, 14, 15].

对于具有外加磁场的Landau-Lifshitz方程的研究参见文献[24-26]. 2011年, 杨干山和刘宪高^[24]得到了一种求解具有外磁场和各向异性场Landau-Lifshitz方程的一种方法, 并给出了Landau-Lifshitz方程的一族新型对称解, 称之为球面锥对称解, 揭示了这些解如何随时间变化而演化, 具体地给出了一系列显式动态球面锥对称解. 他们发现一个有趣现象: 等变解是静态解. 2012年, Yang^[25]给出了Schrödinger映射的显式blow up解, 从而揭示了Landau-Lifshitz方程与Schrödinger映射方程的不等价性, 同时又发现一类新的等变解也是静态的. 2013年, 杨干山和郭柏林^[26]等人考虑了具有二阶逼近效应场多维Landau-Lifshitz方程解的极限行为.

研究非线性方程的数值解方法有很多, 最常用的方法有有限差分法、有限元方法、有限体积法、多重网格法和谱方法等, 其中有限差分法得到了国内外广大学者的广泛应用, 其基本思想是用离散的、含有有限个未知量去近似替代连续变量, 用有限差分方程的解近似代替原方程的解^[17], 但是关于Landau-Lifshitz方程数值解法的研究结果相对较少. 2000年, E和Wang^[5]考虑了在有界区域$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^n $上, 齐次Neumann边值条件下, 讨论了空间维数在三维以下各种情形下Landau-Lifshitz方程的投影格式及差分方法, 同时通过对比格式的收敛性与稳定性, 判断了数值格式的优劣, 但是这些结论是在假定Landau-Lifshitz方程存在光滑解的前提下进行的. 2016年, Yang^[27]等人针对空间分数阶Landau-Lifshitz方程, 提出了一种简单而无条件的稳定时间分割Gauss-Seidel投影方法, 数值结果表明了该方法的有效性和稳定性. 2017年, Kim和Lipnikov^[12]建立和分析了Landau-Lifshitz的显式和隐式模拟有限差分格式. 这些差分格式在一般的多面体网格上工作, 为各种形状的磁器件的建模提供了巨大的灵活性. 2020年, Li^[16]等人提出了两种具有无条件稳定性的改进Gauss-Seidel投影方法. 第一种方法同时更新回磁项和阻尼项, 并遵循投影步骤. 第二种方法引入了两组近似解, 其中他们对一组近似解同时更新回磁项和阻尼项, 并以交替的方式将投影步骤应用于另一组近似解. 另有一些文献[3, 13, 22]采用各种差分格式和有限元方法对Landau-Lifshitz方程进行了各种数值分析. 本文的目的是用差分格式研究临界Schrödinger映射非齐次初边值问题的数值解, 并证明其存在性、收敛性及稳定性, 同时利用数值实验验证差分格式的有效性及稳定性.

本文的剩余内容如下: 在第二节中我们建立了所需的差分格式; 第三节, 我们给出了差分格式离散解的存在性; 在第四节中我们证明了相应差分格式的收敛性及稳定性; 同时在第五节中我们进一步利用数值实验验证了差分格式具有较好的收敛精度及稳定性.

在本节中, 我们主要在时空空间$ Q_T = \Omega\times[0, T] $(其中$ \Omega = [0, 1]\times[0, 1]\subset{{\Bbb R}} ^2 $)上研究如下具有非齐次初边值条件的临界Schrödinger映射的有限差分格式

(2.1) $ \begin{equation} u_t(x, y, t) = u(x, y, t)\times\Delta u(x, y, t), \; (x, y)\in\Omega, t\in [0, T], \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} u|_{t = 0} = \varphi(x, y), \; (x, y)\in\Omega, \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} u_{0j} = u_{i0} = g_0(t), u_{Jj} = u_{iJ} = g_1(t), \end{equation} $

(2.4) $ \begin{equation} g_0(t), g_1(t)\in C^{2k+1}([0, T], S^2), \varphi(x, y)\in H^{2k+1}(\Omega, S^2), \end{equation} $

其中$ u = (u_1(x, y, t), u_2(x, y, t), u_3(x, y, t)):\Omega\times[0, T]\rightarrow S^2 $, $ S^2: = \{u\in{{\Bbb R}} ^3||u| = 1\}\subset {{\Bbb R}} ^3 $, $ \Delta $表示Laplace算子, $ \times $表示两个三维向量的叉积.我们以直线$ x = x_i, y = y_j $$ (i, j = 0, 1, \cdots, J), $$ t = t_n $$ (n = 0, 1, \cdots, N) $分长方体$ Q_T $为许多小网格, 其中$ (x_i, y_j) = (ih, jh), $$ t_n = n\tau, Jh = 1, N\tau = T $.

对于方程(2.1)–(2.3), 我们建立相应的差分格式

(2.5) $ \begin{eqnarray} \frac{u_{ij}^{n + 1} - u_{ij}^n}{\tau } = \frac{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}{2} \times \frac{(u_{i + 1, j}^n - 2u_{ij}^n + u_{i - 1, j}^n) + (u_{i, j + 1}^n - 2u_{ij}^n + u_{i, j - 1}^n)}{h^2}, \end{eqnarray} $

$ i, j = 1, 2, \cdots , J - 1;n = 0, 1, \cdots , N - 1, $

(2.6) $ \begin{equation} u_{ij}^0 = \varphi ({x_i}, {y_j}), (i, j = 1, 2, \cdots , J - 1), \end{equation} $

(2.7) $ \begin{equation} u_{0j}^n = u_{i0}^n = {g_0}(n\tau ), u_{Jj}^n = u_{iJ}^n = {g_1}(n\tau ), (n = 1, 2, \cdots , N). \end{equation} $

用(2.5)式点乘$ \frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2}, $可得

$ \frac{u_{ij}^{n + 1} - u_{ij}^n}{\tau } \cdot \frac{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}{2} = \frac{|u_{ij}^{n + 1}|^2 - |u_{ij}^n|^2}{2\tau } = 0. $

这就意味着$ |u_{ij}^n| = 1 $, 说明差分格式(2.5)–(2.7)保持了微分方程(2.1)–(2.3)的重要性质-磁化强度范数守恒.

为了方便, 下面将采用如下记号^[17]:

$ \Delta _\alpha ^ + {u_{ij}} = {u}(({x_i}, {y_j}) + h{e_\alpha }) - {u}({x_i}, {y_j}), $

$ \Delta _\alpha ^ - {u_{ij}} = {u}({x_i}, {y_j}) - {u}(({x_i}, {y_j}) - h{e_\alpha }), $

其中$ \alpha = 1, 2, \; {e_1} = (1, 0), {e_2} = (0, 1). $

$ ||{u_{ij}}|{|_{{L^2}}} = ||{u_{ij}}|{|_{{h}}} = {\bigg\{h\sum\limits_{i, j = 0}^J {|{u_{ij}}{|^2}} \bigg\} ^{\frac{1}{2}}}, \; \; ||{u_{ij}}|{|_{{L^\infty }}} = \mathop {\sup }\limits_{i, j = \{ 0, 1, 2, \cdots , J\} } |{u_{ij}}|, $

$ ||\delta {u_{ij}}|{|_{{L^2}}} = \sum\limits_\alpha {||\Delta _\alpha ^ + {u_{ij}}|{|_{{L^2}}}}, $

$ {\Delta _h}u_{ij}^n = {\Delta _ + }{\Delta _ - }u_{ij}^n = \sum\limits_{\alpha = 1}^2 {\Delta _\alpha ^ + \Delta _\alpha ^ - u_{ij}^n} . $

由上述记号, (2.5)式可记为

(2.8) $ \begin{equation} \frac{{u_{ij}^{n + 1} - u_{ij}^n}}{\tau } = \frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }u_{ij}^n}}{{{h^2}}}, \end{equation} $

则由(2.8)式, 可得

(2.9) $ \begin{equation} u_{ij}^{n + 1} = u_{ij}^n + \frac{\tau }{{2{h^2}}}(u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n) \times {\Delta _ + }{\Delta _ - }{u_{ij}}. \end{equation} $

本文的主要结果是证明了当网格比$ 0 < \lambda = \frac{\tau }{{2{h^2}}} \leq\frac{1}{{24}} $时, 差分格式(2.5)–(2.7)的离散解收敛到微分方程(2.1)–(2.3)的光滑解, 而且具有$ o{(\tau + {h^2})^{\frac{1}{2}}} $阶的收敛精度.

本节我们即将证明差分方程(2.5)–(2.7)离散解$ u_{ij}^{n+1} $的存在性, 差分方程(2.5)–(2.7)可看作为$ J+1 $个未知向量$ u_{ij}^{n + 1}(i, j = 0, 1, \cdots , J) $的非线性方程组, 其中$ u_{ij}^{n}(i, j = 0, 1, \cdots , J) $为已知向量. 故差分方程(2.5)–(2.7)可以对$ n = 1, 2, \cdots, N $逐层求解.

引理3.1  差分方程(2.5)–(2.7)至少有一组离散解

$ u_{ij}^{n + 1}(i, j = 1, 2, \cdots , J-1), $

其中$ u_{ij}^{n}(i, j = 0, 1, \cdots , J) $为已知向量.

证   由(2.9)式, 我们定义一个离散函数$ \Phi_{ij} $满足如下关系:

(3.1) $ \begin{equation} {\Phi _{ij}} = u_{ij}^n + \mu \frac{\tau }{{2{h^2}}}({\Phi _{ij}} + u_{ij}^n) \times {\Delta _ + }{\Delta _ - }{u_{ij}}, (i, j = 1, 2, \cdots , J - 1), \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} u_{0j}^n = u_{i0}^n = g_0(n\tau), u_{Jj}^n = u_{iJ}^n = g_1(n\tau), (n = 1, 2, \cdots , N), \end{equation} $

其中$ \mu\in[0, 1] $是一个参数, 现定义$ H^1 $到其自身的连续自映射$ \Phi _{ij} = T_\mu(u_{ij}) $. 为了证明差分格式(2.5)–(2.7)离散解的存在性, 由Leray-Schauder不动点定理, 只需证明映射$ T_\mu $的所有不动点$ \Phi _{ij} $对任意$ \mu\in[0, 1] $都是一致有界的.

现用$ \Phi _{ij} $与(3.1)式两端做离散$ L^2 $内积, 然后对$ i, j = 1, 2, \cdots , J - 1 $进行求和, 便可得

(3.3) $ \begin{equation} \sum\limits_{i, j = 1}^{J - 1} {({\Phi _{ij}}, {\Phi _{ij}})} = \sum\limits_{i, j = 1}^{J - 1} {(u_{ij}^n, {\Phi _{ij}})} + \mu \frac{\tau }{{2{h^2}}}\sum\limits_{i, j = 1}^{J - 1} {(u_{ij}^n \times {\Delta _ + }{\Delta _ - }{u_{ij}}, {\Phi _{ij}})}, \end{equation} $

即有

(3.4) $ \begin{equation} \frac{1}{h}||{\Phi _{ij}}||_{L^2}^2 = \sum\limits_{i, j = 1}^{J - 1} {(u_{ij}^n, {\Phi _{ij}})} + \mu \frac{\tau }{{2{h^2}}}\sum\limits_{i, j = 1}^{J - 1} {(u_{ij}^n \times {\Delta _ + }{\Delta _ - }{u_{ij}}, {\Phi _{ij}})} , \end{equation} $

因为$ u \times v = |u| \cdot |v|\sin \theta \le |u| \cdot |v|, $$ |u| \cdot |v| \le \frac{{|u{|^2} + |v{|^2}}}{2}, $由Cauchy及Young不等式, 我们得到如下不等式

$ \begin{eqnarray*} ||{\Phi _{ij}}||_{L^2}^2 &\le &\frac{1}{2}(||u_{ij}^n||_{L^2}^2 + ||{\Phi _{ij}}||_{L^2}^2)\\& &+ \mu \frac{\tau }{{4{h^2}}}\big(||{\Phi _{ij}}||_{L^2}^2 + ||u_{ij}^n||_{L^2}^2 \\ &&+ c(||u_{i + 1, j}^n||_{L^2}^2+||u_{i - 1, j}^n||_{L^2}^2 + ||u_{i, j + 1}^n||_{L^2}^2 + ||u_{ij}^n||_{L^2}^2 + ||u_{i, j - 1}^n||_{L^2}^2)\big), \end{eqnarray*} $

整理得到

(3.5) $ \begin{eqnarray} ||{\Phi _{ij}}||_{L^2}^2 \le&\frac{{(\frac{1}{2} + \frac{{\mu \tau }}{{4{h^2}}})||u_{ij}^n||_{L^2}^2 + \frac{{c\mu \tau }}{{4{h^2}}}(||u_{i + 1, j}^n||_{L^2}^2 + ||u_{i - 1, j}^n||_{L^2}^2 + ||u_{i, j + 1}^n||_{L^2}^2 + ||u_{ij}^n||_{L^2}^2 + ||u_{i, j - 1}^n||_h^2)}}{{\frac{1}{2} - \mu \frac{\tau }{{4{h^2}}}}}. \end{eqnarray} $

因为$ |u_{ij}^n| = 1 $，从而明显看出$ \Phi _{ij}(i, j = 1, 2, \cdots , J-1) $是一致有界的, 故差分方程(2.5)–(2.7)的离散解存在.

引理3.2^[18]  假设满足条件(2.4), 那么微分方程(2.1)–(2.3)存在唯一光滑解,

$ u(x, y, t):\Omega \times [0, T] \to {S^2}, u(x, y, t) \in {L^\infty }([0, T], {H^{2k + 1}(\Omega)}), k \ge 1. $

为了需要, 接下来我们将给出差分方程(2.5)–(2.7)的解与微分方程(2.1)–(2.3)的光滑解的估计.

定理3.1  令网格比$ \lambda = \frac{\tau }{{2{h^2}}}, $假设$ 0<\lambda\leq\frac{1}{24} $, 那么差分方程(2.5)–(2.7)的解与微分方程(2.1)–(2.3) 的光滑解有如下估计:

(3.6) $ \begin{eqnarray} |u_{ij}^n - u(ih, jh, n\tau )| \le ({2^{n + 1}} - 1)o({\tau ^2} + \tau {h^2}), (i, j = 1, 2, \cdots , J;n = 0, 1, \cdots , N). \end{eqnarray} $

证   令光滑解$ u(ih, jh, n\tau ) = \tilde u_{ij}^n, e_{ij}^n = u_{ij}^n - \tilde u_{ij}^n, $由(2.1)式知$ \tilde u_{ij}^n $满足

(3.7) $ \begin{eqnarray} \frac{{\tilde u_{ij}^{n + 1} - \tilde u_{ij}^n}}{\tau } = \frac{{\tilde u_{ij}^{n + 1} + \tilde u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }{{\tilde u}_{ij}}}}{{{h^2}}} + o(\tau ) + o({h^2}), \end{eqnarray} $

则$ e_{ij}^n $满足

$ \frac{{e_{ij}^{n + 1} - e_{ij}^n}}{\tau } = \frac{{e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\tilde u_{ij}^n}}{{{h^2}}} + \frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}} + o(\tau ) + o({h^2}), $

即得

(3.8) $ \begin{eqnarray} e_{ij}^{n + 1} = e_{ij}^n + \lambda [(e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n) \times {\Delta _ + }{\Delta _ - }\tilde u_{ij}^n + (u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n) \times {\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n] + o({\tau ^2}) + o(\tau {h^2}), \end{eqnarray} $

其中$ \lambda = \frac{\tau }{{2{h^2}}} $，由$ |u_{ij}^n| = |\tilde u_{ij}^n| = 1, $由(2.9)式我们有

(3.9) $ \begin{eqnarray} |e_{ij}^{n + 1}| &\le&|e_{ij}^n| + 4\lambda (|e_{ij}^{n + 1}| + |e_{ij}^n|)\\&&+ 2\lambda (|e_{i + 1, j}^n| + 4|e_{ij}^n| + |e_{i - 1, j}^n| + |e_{i, j + 1}^n| + |e_{i, j - 1}^n|) + o({\tau ^2} + \tau {h^2}), \end{eqnarray} $

其中令$ {e^n} = \mathop {\sup }\limits_{i, j \in (0, 1, 2, \cdots , J)} |e_{ij}^n| $, 对(3.9)式两端关于$ i, j $取上确界得

$ (1 - 4\lambda )|{e^{n + 1}}| \le (1 + 20\lambda )|{e^n}| + o({\tau ^2} + \tau {h^2}), $

由假设$ 0<\lambda\leq\frac{1}{24} $, 得

$ \begin{eqnarray*} |{e^{n + 1}}| &\le& \frac{{11}}{5}|{e^n}| + o({\tau ^2} + \tau {h^2})\nonumber\\&\le& {(\frac{{11}}{5})^2}|{e^{n - 1}}| + (1 + \frac{{11}}{5})o({\tau ^2} + \tau {h^2})\nonumber\\&&\cdots\cdots\nonumber\\&\le& {(\frac{{11}}{5})^{n + 1}}|{e^0}| + \frac{5}{6}({(\frac{{11}}{5})^{n + 1}} - 1)o({\tau ^2} + \tau {h^2}). \end{eqnarray*} $

因为$ {e^0} = 0, |u_{ij}^{n + } - \tilde u_{ij}^{n + 1}| \le |{e^{n + 1}}|, $所以有

(3.10) $ \begin{eqnarray} |u_{ij}^{n + 1} - \tilde u_{ij}^{n + 1}| \le ({2^{n + 1}} - 1)o({\tau ^2} + \tau {h^2}), \end{eqnarray} $

定理3.1得证.

本节将在第3节所得估计的基础上, 在$ H^1 $中证明差分格式(2.5)–(2.7)的收敛性和稳定性. 为了需要, 首先我们给出如下引理.

引理4.1^[6](Gronwall不等式)   如果离散函数$ {\omega _h} = \left\{ {{\omega _k}|k = 0, 1, \cdots , N, N\Delta t = T} \right\} $满足不等式

$ {\omega _n} - {\omega _{n - 1}} \le A{\omega _n}\Delta t + B{\omega _{n - 1}}\Delta t + {C_n}\Delta t, $

其中$ A, B $和$ C_n(n = 1, 2, \cdots, N) $为非负常数, 则有

$ ||{\omega _h}|{|_\infty } \le ({\omega _0} + \sum\limits_{k = 1}^n {{C_k}\Delta t} ){e^{2(A + B)T}}, $

其中$ \triangle t $足够小, 使得$ (A + B)\Delta t \le \frac{{N - 1}}{{2N}}(N \ge 1) $.

接下来我们将给出差分格式(2.5)–(2.7)的收敛性证明及误差估计.

定理4.1  在上述引理的条件下, 差分格式(2.5)–(2.7)是逐点收敛的格式且有误差估计

$ \mathop {\max }\limits_{0 \le n \le N} (||e_{ij}^n|{|_{{L^2}}} + ||\delta e_{ij}^n|{|_{{L^2}}}) \le c{(o(\tau + {h^2}))^{\frac{1}{2}}}, $

$ \mathop {\max }\limits_{0 \le n \le N} (||e_{ij}^n|{|_{^\infty }}) \le c{(o(\tau + {h^2}))^{\frac{1}{2}}}. $

其中$ u(ih, jh, n\tau ) = \tilde u_{ij}^n, e_{ij}^n = u_{ij}^n - \tilde u_{ij}^n, $常数$ c $不依赖于$ h, \tau $.

证   由(2.8)及(3.7)式可知，$ e_{ij}^n $满足如下关系式

(4.1) $ \begin{eqnarray} \frac{{e_{ij}^{n + 1} - e_{ij}^n}}{\tau } = \frac{{e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\tilde u_{ij}^n}}{{{h^2}}} + \frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}} + o(\tau ) + o({h^2}) \end{eqnarray} $

及边值条件

(4.2) $ \begin{eqnarray} e_{0j}^n = e_{i0}^n = e_{Jj}^n = e_{iJ}^n = 0, (n = 0, 1, \cdots , N) \end{eqnarray} $

和初值条件

(4.3) $ \begin{eqnarray} e_{ij}^0 = 0, (i, j = 0, 1, \cdots , J). \end{eqnarray} $

用$ (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)\tau h $与(4.1)式作内积, 并对$ i, j $从0加到$ J $求和得

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(e_{ij}^{n + 1} - e_{ij}^n) \cdot (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)} h & = & \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\tilde u_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)} \tau h\nonumber\\&& + \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)} \tau h\nonumber\\&& +\sum\limits_{i, j = 0}^J {o(\tau + {h^2}) \cdot (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)} \tau h, \end{eqnarray*} $

即得

(4.4) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(e_{ij}^{n + 1} - e_{ij}^n) \cdot (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)} h & = & \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)} \tau h\\&& + \sum\limits_{i, j = 0}^J {o(\tau + {h^2}) \cdot (e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n)} \tau h, \end{eqnarray} $

由Cauchy及Young不等式, 则得

(4.5) $ \begin{equation} ||e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 - ||e_{ij}^n||_{{L^2}}^2\le \tau {c_1}(||e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||e_{ij}^n||_{{L^2}}^2 + ||\delta e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\delta e_{ij}^n||_{{L^2}}^2) + o({\tau ^2} + {h^3}), \end{equation} $

另外再用$ (\frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}})\tau h $与(4.1)式作内积, 并对$ i, j $从0加到$ J $求和可得

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(e_{ij}^{n + 1} - e_{ij}^n) \cdot \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}} h & = & \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\tilde u_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}} \tau h\nonumber\\&& + \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}} \tau h\nonumber\\&& + \sum\limits_{i, j = 0}^J {o(\tau + {h^2}) \cdot \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}} \tau h, \end{eqnarray*} $

即得

(4.6) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(e_{ij}^{n + 1} - e_{ij}^n) \cdot \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}} h & = & \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{e_{ij}^{n + 1} + e_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\tilde u_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}} \tau h\\&& +\sum\limits_{i, j = 0}^J {o(\tau + {h^2}) \cdot \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }e_{ij}^n}}{{{h^2}}}} \tau h, \end{eqnarray} $

由Cauchy及Young不等式, 则得

(4.7) $ \begin{eqnarray} &&||\delta e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 - ||\delta e_{ij}^n||_{{L^2}}^2{}\\&\le &\tau {c_2}(||e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||e_{ij}^n||_{{L^2}}^2 + ||\delta e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\delta e_{ij}^n||_{{L^2}}^2) + o(\tau + {\tau ^2} + {h^2}), \end{eqnarray} $

由(4.5)和(4.7)式可得

(4.8) $ \begin{eqnarray} &&||e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\delta e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 - ||e_{ij}^n||_{{L^2}}^2 - ||\delta e_{ij}^n||_{{L^2}}^2\\ &\le& \tau c(||e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||e_{ij}^n||_{{L^2}}^2 + ||\delta e_{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\delta e_{ij}^n||_{{L^2}}^2) + o(\tau + {h^2}), \end{eqnarray} $

由引理4.1及定理3.1, 定理4.1得证.

本节的剩余内容将在收敛性的基础上, 在$ H^1 $中证明差分格式(2.5)–(2.7)的稳定性. 设$ \widehat{u}_{ij}^n $也是差分格式(2.5)–(2.7)的解, 由解$ u_{ij}^n $在(2.6)及(2.7)式中的初边值假设条件

$ u_{ij}^0 = \varphi ({x_i}, {y_j}), (i, j = 1, 2, \cdots , J - 1), $

$ u_{0j}^n = u_{i0}^n = {g_0}(n\tau ), u_{Jj}^n = u_{iJ}^n = {g_1}(n\tau ), (n = 1, 2, \cdots , N), $

同理假设$ \widehat{u} _{ij}^n $对应的初边值条件

$ \widehat{u} _{ij}^0 = \widehat{\varphi}({x_i}, {y_j}), (i, j = 1, 2, \cdots , J - 1), $

$ \widehat{u} _{0j}^n = \widehat{u} _{i0}^n = \widehat{g} _0(n\tau ), \widehat{u} _{Jj}^n = \widehat{u} _{iJ}^n = \widehat{g}_1(n\tau ), (n = 1, 2, \cdots , N), $

则令

$ \varepsilon _{ij}^0 = \varphi ({x_i}, {y_j}) - \widehat{\varphi} ({x_i}, {y_j}), \varepsilon _0^n = {g_0}(n\tau ) -\widehat{g} _0(n\tau ), \varepsilon _1^n = {g_1}(n\tau ) - \widehat{g} _1(n\tau ). $

$ {\varepsilon _0} = \mathop {\sup }\limits_{0 \le n \le N} \{ \varepsilon _0^n\} , {\varepsilon _1} = \mathop {\sup }\limits_{0 \le n \le N} \{ \varepsilon _1^n\} , ||\delta {\varepsilon _{ij}}|{|_{{L^2}}} = \sum\limits_{\alpha = 0}^1 {||\Delta _\alpha ^ + {\varepsilon _{ij}}|{|_{{L^2}}}} . $

定理4.2  在上述引理及定理的假设条件下, 若$ u_{ij}^n $和$ \widehat{u} _{ij}^n $是差分格式(2.5)–(2.7)的解, 令$ \varepsilon _{ij}^n = u_{ij}^n - \widehat{u}_{ij}^n(i, j = 0, 1, \cdots , J;n = 0, 1, \cdots , N) $，则$ \varepsilon_{ij}^n $有如下估计

$ \mathop {\max }\limits_{0 \le n \le N} (||\varepsilon _{ij}^n|{|_{{L^2}}} + ||\delta \varepsilon _{ij}^n|{|_{{L^2}}}) \le c(||\varepsilon _{ij}^0|{|_{{L^2}}} + ||\delta \varepsilon _{ij}^0|{|_{{L^2}}} + 2(|{\varepsilon _0}| + |{\varepsilon _1}|)), $

其中常数$ c $不依赖于$ h, \tau $.

证   由假设, $ \widehat{u} _{ij}^n $满足如下关系式

(4.9) $ \begin{eqnarray} \frac{\widehat{u} _{ij}^{n + 1} - \widehat{u} _{ij}^n}{\tau } = \frac{\widehat{u} _{ij}^{n + 1} + \widehat{u} _{ij}^n}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\widehat{u} _{ij}^n}}{{{h^2}}} \end{eqnarray} $

及边值条件

(4.10) $ \begin{equation} \widehat{u} _{0j}^n = \widehat{u} _{i0}^n = \widehat{g} _0(n\tau ), \widehat{u} _{Jj}^n = \widehat{u} _{iJ}^n = \widehat{g}_1(n\tau ), (n = 1, 2, \cdots , N) \end{equation} $

和初值条件

(4.11) $ \begin{equation} \widehat{u} _{ij}^0 = \widehat{\varphi } ({x_i}, {y_j}), (i, j = 1, 2, \cdots , J - 1), \end{equation} $

这里$ \widehat{g} _0(n\tau ), \widehat{g} _1(n\tau ), \widehat{\varphi} ({x_i}, {y_j}) $是分别对单位常向量$ {g_0}(n\tau ), {g_1}(n\tau ), \varphi ({x_i}, {y_j}) $的不同近似值, 则$ \varepsilon _{ij}^n = u_{ij}^n - \widehat{u} _{ij}^n(i, j = 0, 1, \cdots , J;n = 0, 1, \cdots , N) $满足如下方程

(4.12) $ \begin{equation} \frac{{\varepsilon _{ij}^{n + 1} - \varepsilon _{ij}^n}}{\tau } = \frac{{\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }u_{ij}^n}}{{{h^2}}} + \frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}} \end{equation} $

及边值条件

(4.13) $ \begin{equation} {\varepsilon _0} = {g_0}(n\tau ) - \widehat{g} _0(n\tau ), {\varepsilon _1} = {g_1}(n\tau ) - \widehat{g} _1(n\tau ) \end{equation} $

和初值条件

(4.14) $ \begin{equation} \varepsilon _{ij}^0 = \varphi ({x_i}, {y_j}) - \widehat{\varphi} ({x_i}, {y_j}). \end{equation} $

用$ (\varepsilon_{ij}^{n+1}+\varepsilon_{ij}^{n})\tau h $与(4.12)式作内积, 并对$ i, j $从0加到$ J $求和可得

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\varepsilon _{ij}^{n + 1} - \varepsilon _{ij}^n) \cdot (\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n)} h & = &\sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }u_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n)} \tau h\nonumber\\&& + \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n)} \tau h, \end{eqnarray*} $

即得

(4.15) $ \begin{equation} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\varepsilon _{ij}^{n + 1} - \varepsilon _{ij}^n) \cdot (\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n)} h = \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n)} \tau h, \end{equation} $

由Cauchy及Young不等式, (4.15)式可整理得

(4.16) $ \begin{eqnarray} ||\varepsilon _{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 - ||\varepsilon _{ij}^n||_{{L^2}}^2 &\le& \tau {c_1}(||\varepsilon _{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\varepsilon _{ij}^n||_{{L^2}}^2 + ||\delta \varepsilon _{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\delta \varepsilon _{ij}^n||_{{L^2}}^2\\&& + |\varepsilon _0^{n + 1}| + |\varepsilon _0^n| + |\varepsilon _1^{n + 1}| + |\varepsilon _1^n|), \end{eqnarray} $

同理再用$ (\frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}})\tau h $与(4.12)式作内积, 并对$ i, j $从0加到$ J $求和得

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\varepsilon _{ij}^{n + 1} - \varepsilon _{ij}^n) \cdot (\frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}})} h & = & \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{\varepsilon _{ij}^{n + 1} + \varepsilon _{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }u_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (\frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}})} \tau h\nonumber\\&& + \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (\frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}})} \tau h, \end{eqnarray*} $

即得

(4.17) $ \begin{equation} \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\varepsilon _{ij}^{n + 1} - \varepsilon _{ij}^n) \cdot (\frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}})} h = \sum\limits_{i, j = 0}^J {(\frac{{u_{ij}^{n + 1} + u_{ij}^n}}{2} \times \frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }u_{ij}^n}}{{{h^2}}}) \cdot (\frac{{{\Delta _ + }{\Delta _ - }\varepsilon _{ij}^n}}{{{h^2}}})} \tau h, \end{equation} $

由Cauchy及Young不等式, (4.17)式可整理得

(4.18) $ \begin{eqnarray} ||\delta \varepsilon _{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 - ||\delta \varepsilon _{ij}^n||_{{L^2}}^2&\le& \tau {c_2}(||\varepsilon _{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\varepsilon _{ij}^n||_{{L^2}}^2 + ||\delta \varepsilon _{ij}^{n + 1}||_{{L^2}}^2 + ||\delta \varepsilon _{ij}^n||_{{L^2}}^2\\&& + |\varepsilon _0^{n + 1}| + |\varepsilon _0^n| + |\varepsilon _1^{n + 1}| + |\varepsilon _1^n|), \end{eqnarray} $

由(4.16)及(4.18)可得

$ \begin{eqnarray*} \mathop {\max }\limits_{0 \le n \le N} (||\varepsilon _{ij}^n|{|_{{L^2}}} + ||\delta \varepsilon _{ij}^n|{|_{{L^2}}}) &\le& {c_3}\tau (||\varepsilon _{ij}^0|{|_{{L^2}}} + ||\delta \varepsilon _{ij}^0|{|_{{L^2}}}\nonumber\\&& + \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {(|\varepsilon _0^{n + 1}{|_{{L^2}}} + |\varepsilon _0^n{|_{{L^2}}} + |\varepsilon _1^{n + 1}{|_{{L^2}}} + |\varepsilon _1^n{|_{{L^2}}})} )\nonumber\\&\le& c(||\varepsilon _{ij}^0|{|_{{L^2}}} + ||\delta \varepsilon _{ij}^0|{|_{{L^2}}} + 2(|{\varepsilon _0}| + |{\varepsilon _1}|)). \end{eqnarray*} $

由此差分格式(2.5)–(2.7)的稳定性定理得证.

取满足方程(2.1)–(2.3)的临界Schrödinger映射的精确解

$ u(x, y, t) = ({u_1}, {u_2}, {u_3}) = \bigg (\frac{{\cos (\frac{{c({x^2} + {y^2})}}{{4\sqrt {1 + {c^2}{t^2}} }})}}{{\sqrt {1 + {c^2}{t^2}} }}, \frac{{\sin (\frac{{c({x^2} + {y^2})}}{{4\sqrt {1 + {c^2}{t^2}} }})}}{{\sqrt {1 + {c^2}{t^2}} }}, \frac{{ct}}{{\sqrt {1 + {c^2}{t^2}} }}\bigg), c \in {{\Bbb R}} . $

取$ c = 1, \tau = \frac{1}{{30000}}, \lambda = \frac{\tau }{{2{h^2}}}, $以下是逼近误差的数值实验计算结果.

通过上述数值实验表明, 当网格比$ \lambda = \frac{1}{24} $或$ \lambda = \frac{1}{96} $时, 有限差分格式均具有较好的收敛精度与稳定性, 且误差值都非常小.

为了方便, 先做如下符号说明, 令精确解为$ u(ih, jh, n\tau ) = \tilde u_{ij}^n, e_{ij}^n = \tilde u_{ij}^n - u_{ij}^n, $时间层上每一层误差为

$ {e^n} = \mathop {\max }\limits_{0 \le i, j \le J} e_{ij}^n = \mathop {\max }\limits_{0 \le i, j \le J} (|\tilde u_{ij}^n| - |u_{ij}^n|), $

其中$ u = ({u_1}, {u_2}, {u_3}), |u| = \sqrt {u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} . $以下给出当$ c = 1, \tau = \frac{1}{{30000}}, \lambda = \frac{\tau }{{2{h^2}}} = \frac{1}{{24}} $时的计算误差值表.