众所周知, 不同的休假规则和控制策略可以对系统的队长和顾客的等待时间产生重大影响. 如果服务员假期中到达的顾客数过多, 会形成拥挤现象, 这可能会降低服务质量和顾客的满意度. 此外, 在没有休假控制策略的排队系统中, 系统如果长时间频繁转换其状态, 则将会产生大量的转换成本. 因此, 为了有效地控制假期中的队长并克服系统频繁转换所带来的费用问题, 研究带有联合控制策略的排队系统是很有实际意义的. 到目前为止, 具有休假策略和多阀值控制策略的排队系统已得到了广泛的研究. 有关休假排队的研究可见参考文献[1-6]. 在早期的研究中, 大部分的工作都集中于讨论具有单重休假和多重休假的排队系统. 后来, 田乃硕在文献[4] 中首次引入了更一般的多级适应性休假策略. 田乃硕^[4]研究了具有多级适应性休假的连续时间$ M/G/1 $排队系统, 得到了一些重要的排队性能指标. Zhang和Tian^[5]考虑了具有多级适应性休假的离散时间$ Geo/G/1 $排队系统. 骆川义等^[7]分析了带有多级适应性休假和批量到达的$ M^X/G/1 $排队模型, 获得了该系统的稳态队长分布. 更多带有多级适应性休假的离散时间系统可见文献魏瑛源等^[8]、Wang等^[9], Gao和Wang^[10], Yue和Zhang^[11]. 此外, 带有多阀值控制策略的排队系统也得到了深入的研究. Feyaerts等^[12]分析了具有$ NT $ -控制策略的离散时间排队系统. 唐应辉等^[13-14]将$ N $ -策略和休假时间$ V $结合产生了带有Min($ N, V $) -策略控制的$ M/G/1 $排队系统, 并讨论了系统的瞬态和稳态排队指标. Wu等^[15]考虑了带有多重休假、$ N $ -策略的$ M/G/1 $可修排队系统. Jiang等^[16]针对传感器节点功耗优化设计讨论了带有Min($ N, T $) -策略的$ M/G/1 $排队系统. Lan和Tang^[17]研究了带有Min($ N, V $) -策略控制的$ Geo/G/1 $排队系统, 分析了稳态队长分布在系统容量优化设计中的重要作用, 并通过数值实例确定了一维最优控制策略$ N^* $. 考虑到在实际生活中, 由于服务员的连续休假次数具有不确定性, 蒋书丽和唐应辉^[18]进一步将多级适应性休假引入到带有Min($ N, V $) -策略控制的$ M/G/1 $排队系统中.

在$ M/G/1 $排队中, $ N $ -策略和$ D $ -策略都是在空竭服务规则下运行的, 即仅当系统变空时, 服务台才关闭. $ N $ -策略是指一旦系统变空时, 服务台立即关闭, 当系统中的顾客数累积到$ N(N\geq1) $个时, 启动服务台为顾客进行服务. 而$ D $ -策略是指一旦系统变空时, 服务台立即关闭, 当系统中等待顾客所需服务时间的总和超过$ D(D\geq0) $时, 启动服务台为顾客进行服务. Balachandran^[19]首次提出了$ D $ -策略. Balachandran和Tijms^[20]分析了带有$ D $ -策略的$ M/G/1 $排队系统. 后来, 许多学者对带有$ D $ -策略的排队系统进行了深入研究, 如文献[21-25]. Lee等^[26-27]研究了带有Min($ N, D $) -策略的$ M/G/1 $排队系统. 这里的Min($ N, D $) -策略是指一旦系统变空时, 服务台立即关闭, 当系统中的顾客数累积到$ N(N\geq1) $个或者系统中等待顾客所需服务时间的总和超过$ D(D\geq0) $时(无论哪种情况先发生), 服务员立即开始为顾客进行服务. 王敏和唐应辉^[28]讨论了具有Min($ N, D $) -策略和单重休假的$ M/G/1 $排队系统. 每当系统变空时, 服务员马上开始一次随机时间长度为$ V $的休假. 在服务员休假期间, 若系统中的顾客数达到了$ N $个, 或者到达系统等待服务的顾客所需服务时间总量不小于$ D $, 无论哪一个先发生, 处于休假期的服务员立即结束休假回到系统中为顾客服务; 若在休假期间, 系统中有顾客到达但顾客数没有达到$ N $个, 且到达系统等待服务的顾客所需服务时间总量也小于$ D $, 则服务员在休假结束后才回到系统, 并立即为在现场的顾客提供服务; 若在休假期间, 系统中没有顾客到达, 则服务员待休假结束后留在系统中等待顾客的到达.

在实际生活中, 服务员休假时间的长短不仅取决于在假期中所要从事的辅助工作量, 也会受到顾客到达过程的制约, 因此服务员的连续休假次数是不确定的. 鉴于此, 该文考虑具有多级适应性休假策略和Min($ N, D $) -策略的$ M/G/1 $排队系统. 这种联合休假控制策略体现了在为主队列顾客服务和从事辅助工作之间权衡得失决定整个休假期长度的思想, 为系统的优化设计和运行控制提供了极大的灵活性. 再有, 在实际运用中, 根据系统中等待顾客的累计服务时间来设计和运行$ D $ -策略是很困难的. 这是因为顾客在服务完成之前, 其服务时间长度是未知的. 故该文对经典的$ D $ -策略作了改进, 考虑的是顾客所需要的总工作量, 而非所需要的服务时间. 在我们的排队模型中, 服务员的状态可以处于工作状态、空闲状态(在岗)与休假状态(不在岗)三种状态. 首先, 本文利用文献[1] 中随机分解定理来得到稳态队长的随机分解结果, 从而获得稳态队长分布概率母函数表达式和平均稳态队长表达式. 其次, 给出了在特殊情况下相应稳态队长的表达式. 最后, 本文通过建立费用结构模型, 运用更新过程理论, 推导出了系统在长期单位时间内的期望费用的显示表达式, 然后通过数值实例讨论了使得系统在长期单位时间内的期望费用最小的联合二维控制策略($ N^*, D^* $). 更进一步, 当休假次数为正整数$ J $时, 得到了具有三维决策变量($ N, D, J $)的期望费用函数, 并且通过数值计算讨论了使得系统长期单位时间内的期望费用函数值最小的三维最优控制策略($ N^*, D^*, J^* $).

考虑一个具有多级适应性休假和Min($ N, D $) -策略的$ M/G/1 $排队系统, 详细的模型假设如下.

(1) 顾客相继到达的间隔时间序列$ \tau_n (n = 1, 2, \cdots $) 相互独立且服从同一分布$ F(t) = 1 - {{\text e}^{ - \lambda t}}, t \ge 0, \lambda > 0 $.

(2) 第$ n $个顾客的工作量$ W_n (n = 1, 2, \cdots ) $指顾客需要完成的服务项目中所包含的事件数量, 其服从任意分布$ W(x), x\geq0 $.

(3) 系统中只有一个服务台且服务规则是先到先服务. 第$ n $个顾客的服务时间(也即完成该顾客的工作量$ W_n $所需要的时间) $ \chi_n (n = 1, 2, \cdots , ) $有任意分布$ G\left( t \right) $, 且设平均服务时间为$ {1}/{\mu } $以及$ E\left[ {\chi _n^2 } \right]<+\infty $.

(4) 服务员采取多级适应性休假机制和系统采取Min($ N, D $) -控制策略, 即每当系统变空时, 服务员马上开始一次随机时间长度$ V $的休假, $ V $服从任意分布$ V(t) $. 根据当前需完成的辅助工作量, 要求服务员最多连续进行$ H $次休假, 且$ H $是正整数值的随机变量, 服从一般的离散分布

$ P\left\{ H = l \right\} = {{h}_{l}} (l\ge 1), $

其概率母函数为$ H\left( z \right) = \sum\limits_{l = 1}^{\infty}{{{h}_{l}}{{z}^{l}}}, \left| z \right|<1 $. 若对某一个自然数$ k (1 \leq k \leq H ) $, 在第$ k $次休假内, 如果系统中的顾客数达到了$ N $个, 或者到达系统等待服务的顾客的总工作量不小于$ D $, 无论哪一个先发生, 处于休假期的服务员立即结束休假回到系统中为顾客服务; 若在第$ k $次休假内, 系统中有顾客到达但到达数没有达到$ N $个, 且到达系统等待服务的顾客的总工作量也小于$ D $, 则服务员在第$ k $次休假结束后才回到系统并立即为在现场的顾客服务; 若在第$ k $次休假内, 系统中没有顾客到达, 则服务员继续进行第$ k+1 $次休假, 如此下去, 直到第$ H $次休假. 如果在第$ H $次休假内系统中仍无顾客到达, 则结束休假后服务员进入闲期(空闲但在岗), 直到闲期中有顾客到达就立即开始为顾客服务. 简单地说, 开始一段新的服务员忙期可分为以下三种情况.

(a) 在服务员休假期间开始一段新的服务员忙期(假期中有顾客到达, 且系统中的顾客数达到了$ N $个, 或者到达系统等待服务的顾客的总工作量不小于$ D $);

(b) 在服务员的某一次假期结束后, 开始一段新的服务员忙期(假期中有顾客到达, 但顾客数没有达到$ N $个, 且到达系统等待服务的顾客的总工作量也小于$ D $);

(c) 在服务员闲期开始一段新的服务员忙期(服务员连续$ H $次休假中都没有顾客到达).

(5) 随机变量$ \tau $、工作量$ W $、服务时间$ \chi $、休假次数$ H $和休假时间$ V $是相互独立的, 而且假设在$ t = 0 $时刻, 如果系统是空的, 则不采取该休假机制和控制策略, 服务员留在系统中等待顾客到达后立即对其进行服务(这样的假设更符合实际情况, 但稳态结果与此假设无关).

注2.1  (1) 服务员对每个顾客的工作量是指顾客需要完成的服务项目中所包含的事件数量. 工作量的计量单位可以是计数单位、重量单位等等. 例如, 某顾客需要某工厂加工100件产品, 则这个工厂的工作量就是这100件产品. 又如, 如果一辆卡车到达一个仓库装载2000千克的材料, 则这个装载人员的工作量就是这2000千克的材料.

(2) 在实际应用中, 改进以后的$ D $ -策略比传统的$ D $ -策略更容易实施运行, 这是因为服务员能够根据顾客的所需服务项目来确定其工作量.

(3) 当$ D\rightarrow \infty $, 该文所研究的排队系统变成了具有多级适应性休假和Min($ N, V $) -策略的$ M/G/1 $排队系统, 是文献[18] 的推广.

为方便后面的讨论, 我们先引入一些记号和定义.

定义3.1  服务员忙期: 从服务员开始为顾客服务的时刻起, 直到系统再次变空为止的这一段时间. 令$ b $表示由一个顾客开始的服务员忙期长度, 类似于文献[30], 我们有

$ \begin{eqnarray*} E[b]{\text{ = }}\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\rho }{{\lambda (1 - \rho )}}, \;\;&\rho < 1, \\ \infty, \;\;\;\;\;\;\;\;\;&\rho \ge 1, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

这里的$ \rho {\text{ = }}\frac{\lambda }{\mu } $表示系统的交通强度.

定义3.2  服务员非忙期: 从系统刚变空的时刻起, 直到服务员休假结束回到系统而且开始为顾客服务的时刻为止的这段时间.

定义3.3  系统周期: 从系统刚变空的时刻起, 直到其后第一个顾客到达的时刻为止的这一段时间. 显然地, 系统闲期是顾客的剩余到达间隔时间. 令$ {{\hat{\tau }}_{j}} $表示第$ j $个系统闲期长度, 则由于到达过程为参数$ \lambda $的泊松流, 易知其分布函数为$ P\left\{ {{{\hat{\tau }}}_{j}}\le t \right\} = F\left( t \right) = 1-{{\text e}^{-\lambda t}}, t\ge 0, j\ge 1 $.

定义3.4  系统忙期: 从服务员忙期结束后第一个顾客到达空闲系统的时刻起, 直到系统再次变空为止的这段时间.

定理3.1  令$ {{P}_{\text{Min} (N, D)} }\left( z \right) $表示带有多级适应性休假和Min($ N, D $) -策略的$ M/G/1 $排队系统的稳态队长分布的概率母函数. 则当$ \rho <1 $和$ \left| z \right|<1 $时, 有

(3.1) $ \begin{eqnarray} {{P}_{\text{Min} (N, D)} }\left( z \right) & = &\frac{\left( 1-\rho \right)\left( 1-z \right) g\left( \lambda \left( 1-z \right) \right)}{g\left( \lambda \left( 1-z \right) \right)-z} \\ && \cdot \frac{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{z}^{m}}\int_{0}^{\infty }{{{W}^{\left( m \right)}} \left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( t \right)}{\text d}V\left( t \right)}}{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right]{{\Delta }_{N}}}. \end{eqnarray} $

而且平均稳态队长$ {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} $为

(3.2) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{\chi }^{2}} \right]}{2\left( 1-\rho \right)} +\frac{\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m\int_{0}^{\infty }{{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( t \right)}{\text d}V\left( t \right)}}{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right] {{\Delta }_{N}}}. \end{eqnarray} $

其中

$ g(\lambda (1 - z)) = \int_0^\infty {{{\text e}^{ - \lambda (1 - z)t}}{\text d}G(t)} , v(\lambda ) = \int_0^\infty {{{\text e}^{ - \lambda t}}{\text d}V(t)} , H(v(\lambda )) = \sum\limits_{l = 1}^\infty {h{}_l{{[v(\lambda )]}^l}} , $

$ {W^{(m)}}(D) = \int_0^D {{W^{(m - 1)}}(D - x){\text d}W(x)} , m \ge 1, {W^{(0)}}(D) = 1, $

$ {F^{(m)}}(t) = \int_0^t {{F^{(m - 1)}}(t - x){\text d}F(x)} , m \ge 1, {F^{(0)}}(t) = 1, $

$ {{\Delta }_{N}} = \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{\int_{0}^{\infty }{{{W}^{(m)}}(D){{F}^{(m+1)}}(t){\text d}V(t)}}. $

证 当$ \rho <1 $时, 根据模型描述的第(4) 条可知, 开始一段新的服务员忙期可分为以下三种情况.

(a) 在服务员休假期间开始一段新的服务员忙期(假期中有顾客到达, 且系统中的顾客数达到了$ N $个, 或者到达系统等待服务的顾客的总工作量不小于$ D $);

(b) 在服务员的某一次假期结束后, 开始一段新的服务员忙期(假期中有顾客到达, 但顾客数没有达到$ N $个, 且到达系统等待服务的顾客的总工作量也小于$ D $);

(c) 在服务员闲期开始一段新的服务员忙期(服务员连续$ H $次休假中都没有顾客到达).

同时, 根据工作量的含义可知, 服务员对等待顾客的累积工作量完全取决于顾客需要完成的服务项目中所包含的事件数量, 而不是取决于顾客的累积服务时间, 故服务员忙期的开始时刻是一个再生时刻点. 又由于随机变量$ \tau $、工作量$ W $、服务时间$ \chi $、休假次数$ H $和休假时间$ V $是相互独立的, 因此所有的子忙期是独立同分布的. 于是文献[1] 中随机分解定理在本文所讨论的系统中仍然成立. 本文研究的排队系统的稳态队长可分解成独立的两部分之和: 一部分是经典排队系统的稳态队长, 另一部分是由服务员多级适应性休假机制和Min($ N, D $) -策略控制引起的附加队长$ {{L}_{d}} $. 于是, 该排队系统的稳态队长分布的概率母函数$ {{P}_{\text{Min} (N, D)} }\left( z \right) $等于经典排队系统的稳态队长分布的概率母函数与附加队长分布的概率母函数之积, 即

(3.3) $ \begin{eqnarray} {{P}_{\text{Min} (N, D)} }\left( z \right) = {{P}_{L}}\left( z \right)\cdot {{P}_{{{L}_{d}}}}\left( z \right). \end{eqnarray} $

在文献[30] 中, 经典$ M/G/1 $排队系统的稳态队长分布的概率母函数为

(3.4) $ \begin{eqnarray} {{P}_{L}}\left( z \right) = \frac{\left( 1-\rho \right)\left( 1-z \right)g\left( \lambda \left( 1-z \right) \right)}{g\left( \lambda \left( 1-z \right) \right)-z}, \left| z \right|<1. \end{eqnarray} $

在文献[3] 中, 附加队长分布的概率母函数为

(3.5) $ \begin{eqnarray} {{P}_{{{L}_{d}}}}\left( z \right) = \frac{1-{{Q}_{b}}(z)}{(1-z)E[{{Q}_{b}}]}, \left| z \right|<1, \end{eqnarray} $

其中, $ {{Q}_{b}} $表示在服务员忙期开始时系统中的顾客数, $ {{Q}_{b}}(z) $为其概率母函数, $ E[{{Q}_{b}}] $是$ {{Q}_{b}} $的数学期望.

基于多级适应性休假机制和Min($ N, D $) -策略, $ {{Q}_{b}} $的概率分布为

$ \begin{eqnarray*} P\left\{ {{Q}_{b}} = 1 \right\}& = &H\left( v\left( \lambda \right) \right)+\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} W\left( D \right)\int_{0}^{\infty }{\lambda x{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}\\ &&+\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} \left[ 1-W\left( D \right) \right]\sum\limits_{n = 1}^{\infty }{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{n}}}{n!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right), }}\\ P\left\{ {{Q}_{b}} = m \right\}& = &\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} \left[ {{W}^{\left( m-1 \right)}}\left( D \right)-{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right) \right]\sum\limits_{n = m}^{\infty }{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{n}}}{n!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}}\\ &&+\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} {{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{m}}}{m!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}, m = 2, \cdots , N-1, \\ P\left\{ {{Q}_{b}} = N \right\}& = &\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} {{W}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\sum\limits_{n = N}^{\infty }{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{n}}}{n!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}}. \end{eqnarray*} $

因此, 服务员忙期开始时系统内的平均顾客数$ E[{{Q}_{b}}] $为

(3.6) $ \begin{eqnarray} E[{{Q}_{b}}]& = &\sum\limits_{m = 1}^{N}{mP\left\{ {{Q}_{b}} = m \right\}}\\ & = &P\left\{ {{Q}_{b}} = 1 \right\}+\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{mP\left\{ {{Q}_{b}} = m \right\}}+NP\left\{ {{Q}_{b}} = N \right\}\\ & = &H\left( v\left( \lambda \right) \right)+\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{m}}}{m}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}\ }\ \\ && +\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m\left[ {{W}^{\left( m-1 \right)}}\left( D \right)-{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right) \right]\sum\limits_{n = m}^{\infty }{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{n}}}{n!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}} }\\ && +\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} N{{W}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\sum\limits_{n = N}^{\infty }{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{n}}}{n!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}}\\ & = &1+\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)}{{\Delta }_{N}}. \end{eqnarray} $

当$ \left| z \right|<1 $, 概率母函数$ {{Q}_{b}}(z) $为

(3.7) $ \begin{eqnarray} \mathop {{Q}_{b}}\left( z \right)& = &\sum\limits_{m = 1}^{N}{{{z}^{m}}P\left\{ {{Q}_{b}} = m \right\}}\\ & = &zH\left( v\left( \lambda \right) \right)\ +\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{z}^{m}{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{m}}}{m}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}\ }\\ &&+\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{z}^{m}\left[ {{W}^{\left( m-1 \right)}}\left( D \right)-{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right) \right]\sum\limits_{n = m}^{\infty }{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{n}}}{n!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}} }\\ && +\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} {z^N}{{W}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\sum\limits_{n = N}^{\infty }{\int_{0}^{\infty }{\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{n}}}{n!}{{\text e}^{-\lambda x}}{\text d}V\left( x \right)}}\\ & = &z+\left( z-1 \right)\frac{1-H\left( v\left( \lambda \right) \right)}{1-v\left( \lambda \right)} \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{z}^{m}}{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{\infty }{{{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( t \right)}{\text d}V\left( t \right)}, \end{eqnarray} $

其中, $ {{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right) $表示系统中$ m\left( m\ge 1 \right) $个等待顾客的工作量总和小于$ D $的概率. $ {{F}^{\left( m \right)}}\left( t \right) $表示$ F\left( t \right) $的$ m $重卷积, 即

$ {{F}^{\left(m\right) }}\left( t \right) = \int_{0}^{t}{{{F}^{\left( m-1 \right)}} \left( t-x \right)}{\text d}F\left( x \right). $

将式(3.4), (3.5), (3.6) 和(3.7) 代入到式(3.3) 即可得式(3.1). 再由

$ {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)} } = \frac{{\text d}}{{\text d}z}\left[ {{P}_{\text{Min} (N, D)} } \left( z \right) \right]\Big|{_{z = 1}} $

可得式(3.2).

本节分析几个重要的性能指标, 如平均服务员忙期、平均服务员非忙期以及忙循环.

(1) 平均服务员忙期

令$ {{B}_{\text{Min} (N, D)} } $表示以$ Q_b $个顾客开始的服务员忙期的长度. 由于服务员忙期的长度与顾客的服务顺序无关, 因此$ {{B}_{\text{Min} (N, D)} } $可视为$ Q_b $个经典无休假控制策略的$ M/G/1 $的服务员忙期之和, 即$ {{B}_{\text{Min} (N, D)} } = b_1 +b_2+\cdots +b_{Q_b } $, 其中$ b_1 , b_2 , \cdots , b_{Q_b } $相互独立且与$ b $同分布. 由于$ E[b] $和$ E[{{Q}_{b}}] $是已知的, 所以平均服务员忙期$ {{\overline{B}}_{\text{Min} (N, D)}} $为

(4.1) $ \begin{eqnarray} {{\overline{B}}_{\text{Min} (N, D)} } = E\left[ b \right]\cdot E[{{Q}_{b}}] = \frac{\rho \left\{ 1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right]{{\Delta }_{N}} \right\}}{\lambda \left( 1-\rho \right)\left[ 1-v\left( \lambda \right) \right]}. \end{eqnarray} $

(2) 平均服务员非忙期

令$ {{I}_{\text{Min} (N, D)} } $表示服务员非忙期的长度. 由于服务员忙期开始时在系统内的顾客数为在上一个服务员非忙期内到达的顾客数, 而顾客到达过程是参数$ \lambda $的泊松过程, 因此服务员非忙期的平均长度$ {{\overline{I}}_{\text{Min} (N, D)}} $为

(4.2) $ \begin{eqnarray} {{\overline{I}}_{\text{Min} (N, D)}} = \frac{E[{{Q}_{b}}]}{\lambda } = \frac{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right]{{\Delta }_{N}}}{\lambda \left[ 1-v\left( \lambda \right) \right]}. \end{eqnarray} $

(3) 平均服务员忙循环

令$ {{C}_{\text{Min} (N, D)} } $表示服务员忙循环长度. 显然, 一个忙循环是由服务员忙期和相邻的服务员非忙期构成的. 故当$ \rho <1 $时, 平均忙循环$ {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}} $为

(4.3) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}} = {{\overline{I}}_{\text{Min} (N, D)}}+{{\overline{B}}_{\text{Min} (N, D)}} = \frac{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right]{{\Delta }_{N}}}{\lambda \left( 1-\rho \right)\left[ 1-v\left( \lambda \right) \right]}. \end{eqnarray} $

下面我们通过本文所获得的结果, 直接导出一些特殊排队模型的平均队长和平均忙循环.

推论5.1  当连续休假次数$ H $服从参数为$ \alpha $的几何分布时, 对于$ \rho <1 $, 系统稳态平均队长为

(5.1) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{\chi }^{2}} \right]}{2\left( 1-\rho \right)}+\frac{\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m\int_{0}^{\infty }{{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( t \right)}{\text d}V\left( t \right)}}{1-\left( 1-\alpha \right)v\left( \lambda \right)+{{\Delta }_{N}}}, \end{eqnarray} $

平均忙循环为

(5.2) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}} = \frac{1-\left( 1-\alpha \right)v\left( \lambda \right)+{{\Delta }_{N}}}{\lambda \left( 1-\rho \right)\left[ 1-\left( 1-\alpha \right)v\left( \lambda \right) \right]}, \end{eqnarray} $

其中$ \Delta _N $由定理3.1给定.

推论5.2  当$ P\left\{ H = J \right\} = 1, $即服务员最多连续休假$ J $次($ J $为固定的正整数), 对于$ \rho <1 $, 系统稳态平均队长为

(5.3) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{\chi }^{2}} \right]}{2\left( 1-\rho \right)}+\frac{\left[ 1-{{v}^{J}}\left( \lambda \right) \right]\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m\int_{0}^{\infty }{{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( t \right)}{\text d}V\left( t \right)}}{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-{{v}^{J}}\left( \lambda \right) \right]{{\Delta }_{N}}}, \end{eqnarray} $

平均忙循环为

(5.4) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}} = \frac{1-v\left( \lambda \right)+[1-{{v}^{J}}\left( \lambda \right)]{{\Delta }_{N}}}{\lambda \left( 1-v\left( \lambda \right) \right)\left( 1-\rho \right)}, \end{eqnarray} $

其中$ \Delta _N $由定理3.1给定.

推论5.3  当休假时间是定长$ T $时, 该文所研究的排队系统变为具有多级适应性休假和Min($ N, D, T $) -策略的$ M/G/1 $排队系统. 对于$ \rho <1 $, 其平均稳态队长为

(5.5) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{\chi }^{2}} \right]}{2\left( 1-\rho \right)} +\frac{\left[ 1-H\left( {{\text e}^{-\lambda T}} \right) \right]\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( T \right)}}{1-{{\text e}^{-\lambda T}}+\left[ 1-H\left( {{\text e}^{-\lambda T}} \right) \right]\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{W}^{(m)}}(D){{F}^{(m+1)}}(T)}}, \end{eqnarray} $

平均忙循环为

(5.6) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}}\frac{1-{{\text e}^{-\lambda T}}+\left[ 1-H\left( {{\text e}^{-\lambda T}} \right) \right]\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{W}^{(m)}}(D){{F}^{(m+1)}}(T)}}{\lambda \left( 1-{{\text e}^{-\lambda T}} \right)\left( 1-\rho \right)}. \end{eqnarray} $

推论5.4  当休假时间是定长$ T $且服务员最多连续休假$ J $次($ J $为固定的正整数)时, 对于$ \rho <1 $, 系统平均稳态队长为

(5.7) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{\chi }^{2}} \right]}{2\left( 1-\rho \right)}+\frac{\left[ 1-{{\text e}^{-J\lambda T}} \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( T \right)}}{1-{{\text e}^{-\lambda T}}+\left[ 1-{{\text e}^{-J\lambda T}} \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( T \right)}}, \end{eqnarray} $

平均忙循环为

(5.8) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}}\frac{1-{{\text e}^{-\lambda T}}+\left( 1-{{\text e}^{-J\lambda T}} \right)\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{W}^{(m)}}(D){{F}^{(m+1)}}(T)}}{\lambda \left( 1-{{\text e}^{-\lambda T}} \right)\left( 1-\rho \right)}. \end{eqnarray} $

推论5.5  当$ D\rightarrow \infty $时, 本文研究的排队系统等价于具有多级适应性休假和Min($ N, V $) -策略控制的$ M/G/1 $排队系统. 对于$ \rho <1 $, 系统平均稳态队长为

(5.9) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, V)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{\chi }^{2}} \right]}{2\left ( 1-\rho \right)}+\frac{\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1} {m\int_{0}^{\infty }{{{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( t \right)}{\text d}V\left( t \right)}}{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(m+1)}}(t){\text d}V(t)}}}, \end{eqnarray} $

平均忙循环为

(5.10) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, V)}} = \frac{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{\int_{0}^{\infty }{{{F}^{(m+1)}}(t){\text d}V(t)}}}{\lambda \left( 1-\rho \right)\left[ 1-v\left( \lambda \right) \right]}, \end{eqnarray} $

这与文献[18] 的相应结果完全一致.

推论5.6  当$ P\left\{ H = 1 \right\} = 1 $时, 本文研究的排队系统等价于带有单重休假和Min($ N, D $) -策略控制下的$ M/G/1 $排队系统. 对于$ \rho <1 $, 系统平均稳态队长为

(5.11) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{\chi }^{2}} \right]}{2\left( 1-\rho \right)}+\frac{\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m\int_{0}^{\infty }{{{W}^{\left( m \right)}}\left( D \right){{F}^{\left( m+1 \right)}}\left( t \right)}{\text d}V\left( t \right)}}{1+{{\Delta }_{N}}}, \end{eqnarray} $

平均忙循环为

(5.12) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}} = \frac{1+{{\Delta }_{N}}}{\lambda \left( 1-\rho \right)}, \end{eqnarray} $

其中$ \Delta _N $由定理3.1给定. 这与文献[28] 的相应结果完全一致.

推论5.7  当$ P\left\{ H\to \infty \right\} = 1 $时, 本文研究的排队系统等价于带有多重休假和Min($ N, D $) -策略控制下的$ M/G/1 $排队系统. 对于$ \rho <1 $, 系统平均稳态队长为

(5.13) $ \begin{eqnarray} {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} = \rho +\frac{{{\lambda }^{2}}E[{{\chi }^{2}}]}{2(1-\rho )}+\frac{\sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m\int_{0}^{\infty }{{{W}^{(m)}}(D){{F}^{(m+1)}}(t){\text d}V(t)}}}{1-v(\lambda )+{{\Delta }_{N}}}, \end{eqnarray} $

平均忙循环为

(5.14) $ \begin{eqnarray} {{\overline{C}}_{\text{Min} (N, D)}} = \frac{1-v(\lambda )+{{\Delta }_{N}}}{\lambda \left( 1-\rho \right)\left[ 1-v\left( \lambda \right) \right]}, \end{eqnarray} $

其中$ \Delta _N $由定理3.1给定.

为了证实前面所得的排队指标的实用性, 本节从经济利益的角度出发, 讨论系统的最优控制问题. 我们先建立了一个单位时间期望成本费用函数, 其中$ N $和$ D $是决策变量. 然后通过数值计算例子分析了系统的最佳运行策略$ (N^*, D^*) $, 以期使得系统的运行成本达到最小. 先定义如下的费用项目:

$ \bullet $$ h \equiv $每个顾客在系统中逗留(包括等待和服务)一个单位时间所付出的成本.

$ \bullet $$ R \equiv $每个忙循环的固定成本(服务员忙期和服务员闲期之间的转换费用).

使用上面定义的费用项目和前面所得到的相应的性能指标, 并结合更新报酬的知识, 可得到费用目标函数为

(6.1) $ \begin{eqnarray} {{F}_{\text{Min} (N, D)}}& = &h{{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}}+\frac{R}{{{{\overline{C}}}_{\text{Min} (N, D)}}}\\ & = &h\left\{ \rho +\frac{\lambda ^{2}E\left[ \chi ^{2} \right]} {2( 1-\rho )} \right\} +h\cdot \frac{\left[ 1-H\left( v( \lambda ) \right) \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}m\int_{0}^{\infty } W^{( m )}( D)F^{( m+1 )} ( t) {\text d}V( t )} {1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right] \Delta _N} \\ && +\frac{R\lambda \left( 1-\rho \right)\left[ 1-v\left( \lambda \right) \right]}{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-H\left( v\left( \lambda \right) \right) \right]{{\Delta }_{N}}}, \end{eqnarray} $

其中$ \Delta _N $和$ {{\overline{L}}_{\text{Min} (N, D)}} $由定理3.1给定, $ {{{{\overline{C}}}_{\text{Min} (N, D)}}} $由式(4.2)给定. 从目标函数$ {{F}_{\text{Min} (N, D)} } $的表达式可以看出, 它是一个关于$ N $和$ D $的非线性且非常复杂的二元函数, 要求出$ N^* $和$ D^* $的解析表达式是很困难的. 为此, 我们可以借助Matlab数学软件编程, 找到目标函数的数值最优解.

例6.1  假设连续休假次数$ H $服从参数为$ \alpha $的几何分布, 服务员对每个顾客的工作量的分布为$ W(x) = 1 - {{\text e}^{ - \sigma x}} $. 此外, 顾客的到达间隔时间$ {\it\tau} $, 服务员的休假时间$ V $以及服务时间$ \chi $分别服从参数为$ \lambda, \theta $和$ \mu $的指数分布. 由式(5.1)和式(5.2)可得

(6.2) $ \begin{eqnarray} {{F}_{\text{Min} (N, D)}}& = &h\left\{ \frac{\lambda }{\mu -\lambda }+\frac{ \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m\lambda {{\left( \frac{\lambda }{\lambda +\theta } \right)}^{m}} \left[ 1-{{\text e}^{-\sigma D}}\sum\limits_{j = 0}^{m-1}{\frac{{{(\sigma D)}^{j}}}{j!}} \right]}} {\lambda +\alpha \theta +\lambda \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{\left( \frac{\lambda } {\lambda +\theta } \right)}^{m}} \left[ 1-{{\text e}^{-\sigma D}}\sum\limits_{j = 0}^{m-1} {\frac{{{(\sigma D)}^{j}}}{j!}} \right]}} \right\}\\ && +\frac{\left( \lambda +\alpha \theta \right) R\lambda (1-\frac{\lambda }{\mu })} {\lambda +\alpha \theta +\lambda \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{\left( \frac{\lambda } {\lambda +\theta } \right)}^{m}} \left[ 1-{{\text e}^{-\sigma D}}\sum\limits_{j = 0}^{m-1} {\frac{{{(\sigma D)}^{j}}}{j!}} \right]}}. \end{eqnarray} $

取$ \lambda = 0.5, \theta = 0.1, \mu = 1 $, $ \alpha = 0.2 $, $ \sigma = 0.4 $, $ R = 100 $以及$ h = 5. $将这些参数代入式(6.2), 并运用MATLAB编程, 可得在$ N $和$ D $取不同值的情况下的单位时间期望成本(见表 1和图 1).

从表 1可以看出, 随着$ N $取值的不断增大, $ {{F}_{\text{Min} (N, D)}} $呈现出先减小后增大的变化趋势. 图 1展现了$ {{F}_{\text{Min} (N, D)}} $随着$ N $和$ D $取不同值的变化情况, 可以看到, 随着$ D $取值的不断增加, $ {{F}_{\text{Min} (N, D)}} $呈现出递减的趋势, 直到达到最小值而保持不变. 进一步, 我们可以从图 2看到, 当$ N^\ast = 3 $和$ D^\ast = 33.4018 $时, 单位时间期望成本达到最小值$ {{F}_{\text{Min} (N^\ast, D^\ast)}} = 19.4526 $, 也就是说, 当系统中的顾客数达到了3个, 或者到达系统等待服务的顾客的总工作量不小于33.4018, 无论哪一个先发生, 处于休假期的服务员立即结束休假回到系统中为顾客服务.

如果服务员最多连续休假为$ J $次, 即$ P\left\{ H = J \right\} = 1, $那么由式(5.3)和式(5.4)可得单位时间期望成本的表达式为

(6.3) $ \begin{eqnarray} {{F}_{\text{Min} (N, D, J)}}& = & h\left\{ \rho +\frac{\lambda ^2E\left[ \chi ^2 \right]} {2\left( 1-\rho \right)} \right\} +h\cdot \frac{\left[ 1-v^J( \lambda ) \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1} m\int_0^{\infty } W^{( m)} ( D ) F^{( m+1)} ( t){\text d} V( t )} {1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-v^J \left( \lambda \right) \right] \Delta _N}\\ && +\frac{R\lambda \left( 1-\rho \right) \left[ 1-v\left( \lambda \right) \right]}{1-v\left( \lambda \right)+\left[ 1-{{v}^{J}}\left( \lambda \right) \right]{{\Delta }_{N}}}, \end{eqnarray} $

其中$ \Delta _N $由定理3.1给定.

由式(6.3)可以看出, $ {{F}_{\text{Min} (N, D, J)} } $是关于$ N $, $ D $和$ J $的三元非线性函数, 要直接求出最优解也是非常困难的. 下面仍然通过具体的数值计算实例来阐述其最优阀值($ N^* $, $ D^* $, $ J^* $) 的求解.

例6.2  假设顾客的到达间隔时间$ {\it\tau} $, 服务员的休假时间$ V $, 服务员对每个顾客的工作量$ W $以及服务时间$ \chi $分别服从参数为$ \lambda = 0.5 $, $ \theta = 0.1 $, $ \sigma = 0.4 $和$ \mu = 1 $的指数分布, 再取$ R = 100, h = 5 $. 则可得

(6.4) $ \begin{eqnarray} {{F}_{\text{Min} (N, D, J)}}& = &\frac{5\lambda }{\mu -\lambda } +5\cdot \frac{\left[ \sum\limits_{i = 0}^{J-1}{{{\left( \frac{\theta }{\lambda +\theta } \right)}^{i}}} \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{m{{\left( \frac{\lambda }{\lambda +\theta } \right)}^{m+1}}\left[ 1-{{\text e}^{-\sigma D}}\sum\limits_{j = 0}^{m-1}{\frac{{{(\sigma D)}^{j}}}{j!}} \right]}}{1+\left[ \sum\limits_{i = 0}^{J-1}{{{\left( \frac{\theta }{\lambda +\theta } \right)}^{i}}} \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{\left( \frac{\lambda }{\lambda +\theta } \right)}^{m+1}}\left[ 1-{{\text e}^{-\sigma D}} \sum\limits_{j = 0}^{m-1}{\frac{{{(\sigma D)}^{j}}}{j!}} \right]}} \\ &&+\frac{100\lambda \left( 1-\rho \right)}{1+\left[ \sum\limits_{i = 0}^{J-1}{{{\left( \frac{\theta }{\lambda +\theta } \right)}^{i}}} \right] \sum\limits_{m = 1}^{N-1}{{{\left( \frac{\lambda }{\lambda +\theta } \right)}^{m+1}}\left[ 1-{{\text e}^{-\sigma D}} \sum\limits_{j = 0}^{m-1}{\frac{{{(\sigma D)}^{j}}}{j!}} \right]}}. \end{eqnarray} $

由于$ N $和$ J $是离散型变量, $ D $是连续型变量, 因此下面我们先固定$ N $的值, 计算并找出在固定$ N $值下使得$ {{F}_{\text{Min} (N, D, J)}} $达到最小值的变量$ D $和$ J $的取值, 从而通过比较在不同的$ N $值下$ {{F}_{\text{Min} (N, D, J)}} $的最小值, 再最终确定出三维最优控制策略($ N^*, D^*, J^* $) 和最低平均费用. 借助MATLAB编程, 可得在$ N $, $ D $和$ J $取不同值的情况下的单位时间期望成本.

当$ N = 1 $时, 对于任意的$ D $和$ J $, $ {{F}_{\text{Min} (1, D, J)}}\equiv 30. $

从表 2至表 5可以看出, 随着$ N $取值的不断增大, $ {{F}_{\text{Min} (N, D, J)}} $呈现出先减小后增大的变化趋势. 图 3描绘了当$ J = 7 $时, $ {{F}_{\text{Min} (N, D, J)}} $随$ N $和$ D $取不同值的变化情况. 经过对$ N = 1, N = 2, N = 3, N = 4 $和$ N = 5 $时各最小值的比较可得: 使得$ {{F}_{\text{Min} (N, D, J)}} $达到最小值的控制策略为$ N^\ast = 3, D^\ast = 34.5301, J^\ast = 7 $, 此时最小值为19.2857. 也即是, 当服务员的连续休假次数至多取7时, 若系统中的顾客数达到了3个, 或者到达系统等待服务的顾客的总工作量不小于34.5301, 无论哪一个先发生, 处于休假期的服务员立即结束休假回到系统中为顾客服务.