非光滑动力系统分析作为非线性动力系统的重要研究之一, 在干摩擦粘滑振动系统、可控开关电路系统、机械工程振动系统中的碰撞等方面有着广泛的应用. 非光滑动力系统不仅能在光滑动力系统中产生各种传统的分岔, 而且具有光滑动力系统所没有的一些特殊分岔, 如角碰撞分岔、滑动分岔等. 由于非光滑系统向量场的非光滑性, 传统的研究光滑系统周期解的稳定性和分岔的方法已不再适用. 因此, 需要从理论上探索非光滑系统周期解的稳定性和分岔的一些新的分析方法. 非光滑系统的复杂性使得越来越多的学者致力于此, 这也是近年来非光滑系统成为研究热点的原因之一.

分段线性微分系统的研究是从Andronov等人^[1]开始的, 并受到学术界的关注. 分段连续和不连续线性微分系统在自然科学和工业中应用广泛, 比如控制理论、电路研究和非机械问题等(参见文献[2-4]). 2014年, Carvalho等人^[5]研究了平面上两个区域的分段线性系统极限环的存在性. 2015年, Euzebioa等人^[6]研究了被一条直线分成两部分的平面分段线性微分系统的极限环的最大个数. 2017年, Llibre等人^[7]证明了不含平衡点的连续分段线性系统没有极限环, 而不含平衡点的不连续分段线性系统最多有一个极限环. 2019年, Wang等人^[8]研究了鞍-焦点型平面分段线性微分系统的诱导极限环问题. 2019年, Li^[9]提出了由一条垂直直线$x = k$分隔成两个区域的平面不连续分段线性微分系统, 并研究了该系统在只有一个平衡点的情况下的极限环个数问题.

平均法理论是作为研究非线性微分动力系统的一种经典方法, 目前得到了很好的改进和应用. 1928年, Fatou^[10]首次正式提出了平均理论. Bogoliubov和Krylov^[11]在1930年将平均理论付诸实践, 做出了理论贡献. 1960年, Hale^[12]提出了一种范德波尔平均法来求微分方程线性系统的周期和近周期解. Halanay^[13]在1966年改进了平均理论, 求解了一类二阶微分不等式和具有超前和滞后参数的系统解. 1985年, Sethna等人^[14]对与平均法有关的一些重要结果进行了统一处理和推广. 1996年, Lehman等人^[15]将电力电子系统的平均理论扩展到新的基于积分方程描述的包含反馈控制变换器的平均理论, 为回答平均近似的基本问题提供了理论基础. 2002年, Llibre^[16]利用平均理论对二次多项式微分系统的平面极限环和全局形状进行了研究. 2014年, Llibre^[17]利用高阶平均理论研究了高阶系统的周期解. 2018年, Llibre^[18]用连续和不连续微分系统平均理论的新成果, 研究了两种不同形式的Michelson微分方程的周期解.

若要更好地理解一个系统的性质, 则研究它的周期解和极限环是有必要的. 对二维连续和不连续分段线性微分系统的周期解的研究已经有很多了, 但对于被一个平面分成两部分的三维系统的周期解及其定性研究却很少. 本文研究的系统采用了Llibre在文献[18]中的变换的Michelson微分系统, 并将系统的一个扰动项变成三个扰动项, 进而研究该微分系统的周期解问题.

本文利用非光滑动力系统的平均法研究连续和不连续分段线性微分系统的周期解.

首先引入Michelson微分系统

其中$(x_1, x_2, x_3)\in{R^{3}}, c>0.$点表示对自变量$t$的导数. 系统(2.1)是Michelson^[19]在1986年研究Kuramoto-Sivashinsky方程的行波解时提出的, 并证明了若$c>0$充分小, 则系统(2.1)有唯一一个有界解, 且这个解是连接两个奇点$(\sqrt{2c}, 0, 0), (-\sqrt{2c}, 0, 0)$的横截异宿轨道. 2006年, Wilczak^[20]利用计算机辅助证明系统(2.1)存在Shilnikov型同宿轨道. 2010年, Llibre^[21]对Michelson微分系统的可积性进行研究, 并证明了系统(2.1)不是达布可积的. 2015年, Llibre^[22]给出了系统(2.1)从zero-Hopf分叉出两个周期解的充分条件.

2016年, Llibre^[18]对系统(2.1)做变量替换: $(x, y, z, c)\rightarrow (2{\mu}x_1, 2{\mu}x_2, 2{\mu}x_3, 2{\mu}p)$, 其中${\mu}>0$充分小, 且$p>0$. 然后做变换$x_1^2\rightarrow |x_1|$, 则得到新的分段线性系统(2.2), 并研究了该系统的周期解问题

本文中, 在系统(2.2)的基础上, 将原系统的一个扰动项变为三个, 得到系统(2.3), 本文主要目的是用平均理论研究系统(2.3) 的周期解问题.

其中${\mu}>0$充分小, 且$p>0$.

首先考虑系统(2.3)$_{\mu = 0}$

计算得到通解为

其中$C_1, C_2, C_3$为任意非零常数.

下面主要研究连续扰动分段线性微分系统(2.3) 的周期解问题.

关于系统(2.3)的周期解的结论如下.

定理 2.1    对所有$p>0$和充分小的参数$\mu = \mu(p)>0$, 连续分段微分系统(2.3)有如下形式的周期解

此外, 这个周期解是线性稳定的.

关于周期解的稳定性, Verhulst在文献[23]中提到: 若一个周期解是渐近稳定的, 且与此解相关的庞加莱映射不动点上的所有特征值都有负实部, 那么这个周期解是局部渐近稳定的; 若其中一个特征值的实部为正, 则周期解是不稳定的; 若所有特征值的实部为零, 那么我们说周期解是线性稳定的; 而当我们考虑了非线性项时, 线性稳定性则不提供任何关于周期解的稳定性信息.

定理2.1在第4节中得到了证明. 它的证明使用了光滑微分系统的经典平均理论到连续微分系统的推广(参见文献[24]).

进一步, 考虑不连续分段线性微分系统

关于不连续分段线性微分系统(2.4)的周期解的主要结果如下.

定理 2.2    对所有$p>0$和充分小的$\mu = \mu(p)>0$, 不连续分段微分系统(2.4)有如下形式的周期解

其中

而$a\in(-1, 0)$, $a$由函数$g(a) = 0$决定,

定理2.2在第5节中得到了证明.

由Llibre在2018年的结果^{[17, 定理3]}, 我们得到与下一个系统相适应的定理.

定理 3.1^[18]    考虑系统

这里$D\subset{{{\Bbb R}} ^n}$是一个开子集, $\mu$是一个小参数, 函数$F_i:{{\Bbb R}} \times{D}\rightarrow {{{\Bbb R}} ^n}, i = 0, 1$; $I:{{\Bbb R}} \times{D}\times(-\mu_0, \mu_0)\rightarrow {{{\Bbb R}} ^n}$, 对$\forall{t}\in{{\Bbb R}}$, $F_0(t, .)\in{C^1}$, $F_1(t, .)\in{C^0}$, $D_xF_0$, $I\in{C^0}$的第二个变量是满足局部Lipschitz条件的, 且对变量$t\in{{\Bbb R}} ,$这些函数都是周期为$T$的周期函数. 令$x(t, z, \mu)$表示系统(3.1)的解, 且$x(0, z, \mu) = z.$假设D中存在一个带闭包$\overline{V}\subset{D}$的开有界子集V, $z\in\overline{V}$, $x(t, z, 0)$是$T$周期的. 定义$N_z(t)$是如下变分方程

的基本解矩阵, ${N}_z(0)$是单位矩阵.

若$\alpha\in{V}$是映射$F:\overline{V}\rightarrow {{{\Bbb R}} ^n}$的零点, 有

且$\rm{det}(D_zF(\alpha))\neq{0}, \mu>0$充分小, 系统(3.1)有周期解$x(t, \alpha_\mu, \mu)$ (当$\mu\rightarrow {0}$时, 有$\alpha_\mu\rightarrow {\alpha}$). 此外, 周期解$x(t, \alpha_\mu, \mu)$的线性稳定性由矩阵$D_zF(\alpha)$的特征值得到.

令$D\subset{{{\Bbb R}} ^n}$是一个开子集, $h:{{\Bbb R}} \times{D}\rightarrow {{{\Bbb R}} }$是$C^1$函数. $F^1, F^2:{{\Bbb R}} \times{D}\rightarrow {{{\Bbb R}} ^n}$是连续函数, $\Sigma = h^{-1}(0).$定义Filippov系统为

这里$\Sigma^+ = \{(t, x)\in{{\Bbb R}} \times{D}:h(t, x)>0\}, \Sigma^- = \{(t, x)\in{{\Bbb R}} \times{D}:h(t, x)<0\}.$

流形$\Sigma$被划分为两个不相交区域的闭包, 即交叉区域$(\Sigma^u)$和滑动区域$(\Sigma^v)$

考虑与系统(3.4)相关的微分系统

这里特征函数$\gamma_+, \gamma_-$定义为

系统(3.4)和(3.5)在$\Sigma$中不重合, 但通过Filippov法则, 系统(3.4)和(3.5)通过点$(t, x)\in\Sigma$的解不依赖于$F(t, x)$的值. 设${\cal P}$为系统(3.5)周期解构成的空间. 若${\rm dim}{\cal P} = {\rm dim}{D} = d$, 则由文献[17, 定理4]可以得到下面的定理.

定理 3.2^[18]    考虑微分系统

这里

$F_i^1\in{C^1}, i = 0, 1, I^1, I^2$是连续函数, 且第二个变量满足Lipschitz条件, 且对变量$t\in{{\Bbb R}}$, 这些函数都是周期为T的周期函数. 对$z\in{D}, \mu>0$充分小, 令$x(t, z, \mu)$表示系统(3.6)的解, 且$x(0, z, \mu) = z.$

定义平均函数

这里$x(t, z, 0)$表示$\mu = 0$时系统(3.6)的周期解, 且$x(0, z, 0) = z$, 定义$N(t, z)$为变分方程$\dot{x}(t) = D_xF_0(t, x(t, z, 0))$的基本解矩阵, ${N}_z(0)$是单位矩阵.

我们有以下假设.

(1) 存在一个开有界子集$C\in{D}$, 对充分小的$\mu,$每一个从$C$出发的轨道都只在其交点处达到不连续点集.

(2) 对$\alpha\in{C}$, 有$F(\alpha) = 0$, 则存在$\alpha$的邻域$U\in{C}$, 对所有$z\in\overline{U}\backslash{\{\alpha\}}$, $F(z)\neq0$, $\rm{det}(D_zF(\alpha))\neq0.$

于是对充分小的$\mu>0$, 系统(3.6)有周期为$T$的周期解$x(t, \alpha_\mu, \mu)$, 当$\mu\rightarrow {0}$时, 有$\alpha_\mu\rightarrow \alpha$. 此外, 周期解$x(t, \alpha_\mu, \mu)$的线性稳定性由矩阵$D_zF(\alpha)$的特征值得到.

对系统(2.3)进行柱坐标变换$x_1 = x_1$, $x_2 = \rho\sin{\xi}$, $x_3 = \rho\cos{\xi}$, 则系统(2.3)变为

令$\xi$为新的自变量, 微分系统(4.1)变为

则系统(4.2)的未扰动系统为

对每个点$(x_1^0, \rho^{0})$, 系统(4.3)的初值解为$(x_1(\xi, x_1^0, \rho^{0})$, $\rho(\xi, x_1^0, \rho^{0}))$, 即当初值为$(x_1(0, x_1^0, \rho^{0}), \rho(0, x_1^0, \rho^{0})) = (x_1^0, \rho^{0})$时, 有解

对所有$(x_1^0, \rho^{0})\neq(0, 0)$, 解的周期都为$2\pi.$当$\rho^{0} = 0$时, 会有一条全是平衡点的直线.

由于函数$F_0(\xi, (x_1, \rho)) = (\rho\sin{\xi}, 0)$是$C^\infty$, 则显然$F_0(\xi, (x_1, \rho))$也是$C^1$, 函数

是$C^0$, 且满足Lipschitz条件, 则系统(4.1)满足定理3.1的假设条件. 由定理3.1, 我们要计算平均函数

这里

是由系统(4.3)得到的变分微分系统在解$(x_1^0+\rho^{0}(1-\cos{\xi}), \rho^{0})$上求的基解矩阵. 于是有

$N(0)$是单位矩阵. 因此

其中

为了计算这两积分, 我们需要研究函数$G(\xi) = x_1^0+\rho^{0}(1-\cos{\xi})$的零点. 令$G(\xi) = 0$, 则有$\xi = \pm\arccos\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}$, 我们考虑以下三种情况.

情况1    当$x_1^0<-2\rho^{0}$即$\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}<{-1}$时, 则对所有的$\xi$有$x_1^0+\rho^{0}-\rho^{0}\cos{\xi}<0$;

当$\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}} = {-1}$时, 除了$\xi = \pi$时有$G(\xi) = 0$, 对所有的$\xi$有$x_1^0+\rho^{0}-\rho^{0}\cos{\xi}<0.$

情况2    当$x_1^0>0$, 即$\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}>1$时, 对所有的$\xi$有$x_1^0+\rho^{0}-\rho^{0}\cos{\xi}>0$;

当$\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}} = 1$时, 除了$\xi = 0, 2\pi$时有$G(\xi) = 0$, 对所有的$\xi$有$x_1^0+\rho^{0}-\rho^{0}\cos{\xi}>0.$

情况3    当$-2\rho^{0}<x_1^0<0$, 即$|\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}|<1$时

(i) $x_1^0+\rho^{0}-\rho^{0}\cos{\xi}<0, \xi\in(-\arccos\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}, \arccos\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}});$

(ii) $x_1^0+\rho^{0}-\rho^{0}\cos{\xi}>0, \xi\in(\arccos\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}, 2\pi-\arccos\frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}).$

针对情况1, 平均函数为

计算得平均函数有唯一零点$(x_1^0, \rho^{0}) = (-2p^2, 0).$因此在情况1下平均理论不提供周期解.

针对情况2, 平均函数为

计算得平均函数有唯一零点$(x_1^0, \rho^{0}) = (2p^2, 0).$与情况1相同, 情况2下平均理论不提供周期解.

针对情况3, 平均函数为

其中

进一步计算得到

为了计算$f_1(x_1^0, \rho^{0}) = f_2(x_1^0, \rho^{0}) = 0$的零点, 需做变换$a = \frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}$, $-1<a<1$, 则有$f_2(x_1^0, \rho^{0}) = \pi{\rho^{0}}+2\rho^{0}a\sqrt{1-a^2}-2\rho^{0}\arccos{a} = 0.$由于$\rho^{0}>0$, 解得$a = 0$, 则有$x_1^0 = -\rho^{0}.$代入$f_1(x_1^0, \rho^{0}) = 0$, 解得$x_1^0 = -\pi{p^2}$, $\rho^{0} = \pi{p^2}.$

计算$(f_1, f_2)$在$(x_1^0, \rho^{0}) = (-\pi{p^2}, \pi{p^2})$的雅可比矩阵, 有

由定理3.1, 有对任意$p>0$和充分小的参数$\mu = \mu(p)>0$, 系统(4.2)有周期解$\varphi(\xi, \mu) = (x_1(\xi, \mu), \rho(\xi, \mu)) = (-\pi{p^2}+O(\mu), \pi{p^2}+O(\mu)).$此外, $(f_1, f_2)$在$(x_1^0, \rho^{0}) = (-\pi{p^2}, \pi{p^2})$的雅可比矩阵的特征值为$\pm{4\sqrt{2}}{\rm i}.$所以周期解是线性稳定的.

现在, 我们必须确定系统(2.3)的周期解. 回到系统(4.1), 将自变量换回$t$, 得到周期解

最后, 回到系统(2.3), 我们得到周期解

定理2.1证毕.

对系统(2.4)进行柱坐标变换$x_1 = x_1$, $x_2 = \rho\sin{\xi}$, $x_3 = \rho\cos{\xi}$, 则系统(2.4)变为

令$\xi$为新的自变量, 微分系统(5.1)变为

则系统(5.1)的未扰动系统为

对每个点$(x_1^0, \rho^{0})$, 系统(5.3)的初值解为$(x_1(\xi, x_1^0, \rho^{0}), \rho(\xi, x_1^0, \rho^{0}))$, 即当初值为$(x_1(0, x_1^0, \rho^{0}), \rho(0, x_1^0, \rho^{0})) = (x_1^0, \rho^{0})$时, 有解

对所有$(x_1^0, \rho^{0})\neq(0, 0)$, 解的周期都为$2\pi.$当$\rho^{0} = 0$时, 会有一条全是平衡点的直线.

由于函数$F_0(\xi, (x_1, \rho)) = (\rho\sin{\xi}, 0)$是$C^\infty$, 则显然$F_0(\xi, (x_1, \rho))$也是$C^1$, 函数

是$C^0$, 并且都满足Lipschitz条件. 则系统(5.1)满足定理3.2的假设条件. 由定理3.2, 我们要计算平均函数

这里

是由系统(5.3)得到的变分微分系统在解$(x_1^0+\rho^{0}(1-\cos{\xi}), \rho^{0})$上求的基解矩阵. 于是有

因此

其中

针对定理2.1中出现的三种情况, 分别计算不连续系统的平均函数.

情况1中的平均函数为

且有唯一零点$(x_1^0, \rho^{0}) = (-2p^2-1, 0).$因此在此情况下平均法理论得不到周期解.

情况2中的平均函数为

且有唯一零点$(x_1^0, \rho^{0}) = (2p^2-1, 0).$与情况1相同, 在这种情况下平均理论不提供周期解.

情况3的平均函数为

其中

进一步计算得到

为了计算$f_1(x_1^0, \rho^{0}) = f_2(x_1^0, \rho^{0}) = 0$的零点, 需做变换$a = \frac{x_1^0+\rho^{0}}{\rho^{0}}$, $-1<a<1.$当$a = 0$时, 有$f_2(x_1^0, \rho^{0}) = 4$, 所以$a$不为0. 令

解得

由于$\rho^{0}>0$, 于是有$-1<a<0$. 将(5.5)式代入$f_1(x_1^0, \rho^{0}) = 0$, 有$g(a) = 0$, 这里

经计算, 我们得到

将函数$g(a)$关于$a$求导, 我们得到$g(a)$的导函数

借助数学软件, 画出$g(a)$的导函数图像, 如图 1所示. 由图 1可以看出, 当$a\in{(-1, 0)}$时, $g'(a)<0$, 即$g(a)$在区间$(-1, 0)$上是单调递减的. 于是得到函数$g(a)$在$a\in{(-1, 0)}$上有唯一解, 即$f_1(x_1^0, \rho^{0}) = f_2(x_1^0, \rho^{0}) = 0$有唯一解.

通过数学软件计算, 当$-1<a<0$时, $(f_1, f_2)$在$(x_1^0, \rho^{0})$的雅可比行列式恒大于20, 即不为0, 则由定理3.2, 系统(5.2)有一个周期解

现在, 我们必须确定系统(2.4)的周期解, 它对应于已找到的周期解. 回到系统(5.1), 将自变量换回$t$, 得到周期解

最后, 回到系统(2.4), 我们得到周期解

$x_1^0, \rho^{0}$由(5.5)式给出.

定理2.2证毕.

非光滑动力系统作为非线性动力系统的一部分, 存在于许多应用科学和工程领域中.由于众多工程模型都不能很好的用光滑系统表示, 非光滑系统的研究显得更为重要. 当今越来越多的学者将研究重心放在了分段线性微分系统的分析, 包括周期解问题、极限环个数问题及分岔与混沌问题.本文则主要研究了连续和不连续分段线性系统的周期解问题, 并通过平均法理论计算平均函数, 从而证明周期解的存在性并计算出周期解的近似表达式.