在这篇文章中我们研究Landau-Lifschitz (LL)方程^[10]光滑解的正则性理论^[9]. 为了研究方便起见, 我们忽略能量泛函中的各向异性能与磁场能, 仅考虑带有交换能的无Gilbert阻尼的情形. 最简单的情况下, 能量泛函仅由交换能量组成, 该情形下的LL方程表示为

(1.1) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} S = S {\times} \Delta S , \end{equation} $

其中$ S = (S_1, \, S_2, \, S_3) \in {\Bbb S}^2 \hookrightarrow {\Bbb R}^3 $, $ \times $表示向量的叉积.

方程(1.1)保留了LL方程中的最简单和最重要的组成部分. 此时, LL方程(1.1)为一几何色散方程, 在微分几何学中也称其为薛定谔映射方程. 从一个复投影的视角来审视该方程, 方程(1.1)为如下复方程

(1.2) $ \begin{equation} {\rm i}Z_t -\Delta Z = \frac{2\mathop Z\limits^\_ }{1+\left| Z \right|^2}(\nabla Z)^2. \end{equation} $

通过球极投影, 可以建立球面$ {\Bbb S}^2 $上的$ S $与复平面上的$ Z $的一一对应关系, 也就建立了方程(1.1)和方程(1.2)的等价关系. 具体而言, 设定$ {{\Bbb S}}^2\backslash {\rm N} $ (其中$ {\rm N} $是北极), 可选用球极投影

$ Z\in {\Bbb C} \mapsto \left( {\frac{2{\rm Re} Z}{1+\left| Z \right|^2}, \frac{2{\rm Im} Z}{1+\left| Z \right|^2}, \frac{1-\left| Z \right|^2}{1+\left| Z \right|^2}} \right)\in {{\Bbb S}}^2. $

方程(1.1)为一拟线性方程组, 对其直接研究解的光滑性^[6-7]和正则性有一定的难度. 所以许多的研究工作往往研究它的等价方程(例如(1.2)) 来间接刻画原方程解的性质. 关于该技术的文章在近二十年来出现的较为密集, 大家可以参考一些该方面具有代表性的文章, 如文献[1, 3, 5, 8, 14-15]. 由于薛定谔方程解的适定性有着较为丰富的结果(特别是不带导数项的情形^[12-13]), 故可以尝试将其迁移到导数非线性型的研究上来. 然而, 方程(1.1) 的等价薛定谔方程往往是具有非线性项, 导数项和非局部积分项的, 这给适定性的研究带来了一定的困难. 在一维空间和二位柱对称坐标系下, Chang N H, Shatah J和Uhlenbeck K等人研究了方程(1.1) 的古典解的$ H^2 $正则性问题, 他们使用了带非局部积分项的薛定谔方程给出了原方程解的适定性. 值得指出的是, 有许多工作是基于导数薛定谔方程来进行证明的, 通过定制的能量空间, 可以证明解在小初值假设在高维空间有低正则性^{[1, 8]}. 对于大初值的LL方程, 借助于导数薛定谔方程和摄动方法, Merle F, Raphaël P和Radnianski I证明了等变类解在同论数为$ 1 $的情况下解可以在有限时间爆破, 并给出了爆破速度的精确估计. 除了使用各类能量估计对LL方程解的适定性给出了刻画之外, 各类的精确解对解的性态的分析也有很好的帮助, 通过精确解的构造可以证明LL方程以及薛定谔映射方程存在特定的爆破解^{[4, 17-18]}或者光滑解^{[16, 18]}.

尽管有许多的文章研究解的适定性, 但$ C^{\infty} $解的研究成果还是非常欠缺的. 甚至一维全局能量有限的$ C^{\infty} $解存在性理论也尚未见到. 本文我们考查方程(1.1) 的平面波解. 假设对于任意维度$ N $, $ K_i $($ i = 1, 2, 3, \cdots , N $) 满足约束条件$ \sum\limits_{i = 0}^{N} K_i^2 = 1 $, $ \overrightarrow{K} = (K_1, K_2, K_3, \cdots , K_N) $且$ \overline{r} = \overrightarrow{K} \cdot \overrightarrow{x} $. 我们称以$ t $和$ \overline{r} $为自变量的解为方程(1.1)平面波解. 我们将建立平面波型的等价薛定谔方程, 并给出其$ H^M $空间中全局光滑解存在性的证明.

对于本文中将要使用的空间, 我们给出说明：$ C_{\mathrm{b}, \mathrm{u}}({I}, X) $表示具有一致连续的Banach空间, 且该空间中的函数为带有一致收敛拓扑度量的有界函数($ {I}\rightarrow X $). Banach空间$ C^{m}({I}, X) $中的函数$ u: {I} \rightarrow X $的$ j $($ 0 \leq j \leq m $)阶导数($ C^{\infty} $代表任意阶可导性)属于$ C_{\mathrm{b}, \mathrm{u}}({I}, X) $, $ C^{m}({I}, X) $中的范数为

$ \|u\|_{W^{m, \infty}} = \sum\limits_{j = 1}^{m}\left\|\frac{{\rm d}^{j} u}{{\rm d} t^{j}}\right\|_{L^{\infty}}. $

$ L^{p}(I, X) $ ($ L^{p}_{loc}(I, X) $表示空间在$ I $上具有紧支撑)是一Banach空间, 其中的测度函数$ u: I \rightarrow X $满足$ \|u\|_{L^{p}}<\infty $, 且范数为

$ \|u\|_{L^{p}} = \left\{\begin{array}{ll} { } \left(\int_{I}\|u(t)\|_{X}^{p} {\rm d} t\right)^{1 / p} , & p<\infty, \\ { } {\rm ess\sup}_{I}\|u(t)\|_{X} , & p = \infty. \end{array}\right. $

本文主要定理如下:

定理 1.1   设$ S_{\infty} \in {{\Bbb S}}^2 $是一常向量, $ W^{M, p}_{\overline{r}} = \{S-S_{\infty}\in W^{M, p} |S = S(\overline{r})\in {{\Bbb S}}^2 \} $, 当$ p = 2 $时，我们记$ H^M_{\overline{r}} = W^{M, 2}_{\overline{r}} $. 若$ S_0 $满足$ S_0\in H^2_{\overline{r}} $和$ \| \partial_{\overline{r}} S_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} }\ll 1 $, 则方程(1.1)有一个以$ S_0 $为初值关于时间的整体解

$ S \in { C ( [0, +\infty), H^{2}_{\overline{r}} ) } \bigcap { L^4_{{\rm loc }} ( (0, +\infty), W^{2, \infty}_{\overline{r}} ) }. $

另外, 假如有$ S_0-S_{\infty} \in {\cal S}' $, $ {\overline{r}}^{M}(S_0-S_{\infty})\in L^{2} $且成立$ S_0\in H^M_{\overline{r}} $ ($ M $为任意非负整数), 则有

$ S\in C^{\infty}([0, +\infty), H^M_{\overline{r}}). $

注 1.1  若$ N = 1 $, 文献[3]得到了方程(1.1)存在一小初值的全局$ C^1 $古典解, 解的范数空间是$ H^2 $. 事实上, 沿着同样的技术路径, 一维空间中解的光滑程度是可以进一步提高的. 本文中, 我们使用有别于文献[3]的方法来提高光滑性. 定理1.1表明解的光滑性可以提升到无穷阶$ C^{\infty} $函数类. 另外, 希尔伯特空间的阶数可以改进到任意非负整数阶$ M $.

本文内容组织如下: 第2节中, 运用Hasimoto变换得到了LL方程的平面波型等价方程. 在第3节, 给出了线性薛定谔方程的卷积引理和LL方程小初始值古典解的整体存在性. 在第4节, 我们提升了解的可微次数, 并提高了空间的正则指标, 从而完成了文章主要定理的证明.

考虑LL方程的平面波解, 此时, 方程(1.1) 简化为

(2.1) $ \begin{equation} S_{t} - S {\times} S_{\overline{r}\, \overline{r}} = 0. \end{equation} $

类似于文献[18], 我们稍加改动, 使用下面的Hasimoto变换

(2.2) $ \begin{equation} Q = \frac{\kappa}{2} \exp \left[{\rm i} \int^{{\overline{r}}}_{0} \tau (t, \tilde{{{r}}}) {\rm d} \tilde{{{r}}} \right], \end{equation} $

其中曲率$ \kappa $和挠率$ \tau $定义为

(2.3) $ \begin{equation} \kappa = \left( S_{\overline{r}} \cdot S_{\overline{r}} \right)^\frac{1}{2} \quad \rm{和} \quad \tau = \frac{S \cdot (S_{\overline{r}} {\times} S_{{\overline{r}}\, {\overline{r}}})}{\kappa ^2}. \end{equation} $

如果我们将向量$ S $ (这里假设$ |S| = 1 $) 投影到单位切向量$ e_1 $上, 且投影为平行投影. 此时有$ S = e_1 $, 结合方程(2.1) 知道$ e_1 $的约束方程可表示为

(2.4) $ \begin{equation} e_{1t} - e_1 {\times} e_{1\overline{r}\, \overline{r}} = 0, \end{equation} $

另外, 我们假设$ e_1 $, $ e_2 $和$ e_3 $满足如下正交关系

(2.5) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{lll} e_1 = e_2 {\times} e_3, \\ e_2 = e_3 {\times} e_1, \\ e_3 = e_1 {\times} e_2. \\ \end{array} \right. \end{equation} $

记$ E = (e_1, \;e_2, \;e_3)^{T} $, 则Frenet公式可表示为

(2.6) $ \begin{equation} \frac{\partial E}{\partial \overline{r}} = A E, \end{equation} $

其中

$ A = \left( \begin{array}{ccc} 0& \kappa &0\\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0&{\quad} -\tau{\quad} &0\end{array} \right). $

另外, 结合方程(2.4)和方程(2.5)得到

(2.7) $ \begin{equation} \frac{\partial E}{\partial t} = B E, \end{equation} $

其中

$ B = \left( \begin{array}{ccc} 0& -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 &{\quad} \omega_1{\quad} &0\end{array} \right). $

由相容性条件(2.6)$ = $(2.7), 我们得到

(2.8) $ \begin{equation} \kappa_{{t}} = - 2\, \kappa_{{\overline{r}}}\tau - \kappa\, \tau_{{\overline{r}}} \end{equation} $

和

(2.9) $ \begin{equation} \tau_{{t}} = - \left( {\tau}^{2}-{\frac {\kappa_{{{{\overline{r}}\, {\overline{r}}}}}}{\kappa}} \right)_{\overline{r}} + {\kappa} \, \kappa_{{t}} . \end{equation} $

注意到方程(2.2)时间方向导数为

(2.10) $ \begin{equation} Q_t = \frac{1}{2} \left( \kappa_{{t}}{{\rm e}^{{\rm i}\int^{\overline{r}}_{0} \tau {\rm d} \tilde{r}}}+{\rm i} \kappa {{\rm e}^{ {\rm i}\int^{\overline{r}}_{0} \tau {\rm d} \tilde{r}}}\, \int^{\overline{r}}_{0}\tau_{{t}}{\rm d} \tilde{r} \right) . \end{equation} $

利用方程(2.2), (2.8) 和(2.9), (2.10) 式可转化为如下的非线性薛定谔方程

(2.11) $ \begin{equation} {\rm i}Q_{{t}}+ Q_{{{\it \overline{r}\, \overline{r}}}} + 2\, \left| Q \right|^{2}Q = 0. \end{equation} $

注 2.1   在柱坐标下, 文献[3]给出了方程(1.1) 在一维空间中的等价复方程

$ {\rm i} { \rm{Q}}_t = - { \rm{Q}}_{xx} - \frac{\kappa }{2} { \rm{Q}} \left| { \rm{Q}} \right|^{2} - \frac{1}{2} { \rm{Q}} \int_{x}^{+\infty} \kappa_x \left| { \rm{Q}} \right|^{2} \, {\rm d}r, $

在此基础上得到了方程(1.1) 在一维空间中古典解的$ H^2 $空间中的存在性定理. 在本文中我们使用了不同的变换技巧得到的等价复方程更为简化, 更容易得到解的高阶正则性. 在第3–4节中我们将在方程(2.11) 的基础上给出光滑解在任意阶Hilbert空间中存在性定理.

让我们先介绍一些符号. 定义$ P_{1} $为$ {\Bbb R}^{N+1} $上的算子

$ P_{1}u(t, \overline{r} ) = (2{\rm i}t) e^{{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}} {\partial_{\overline{r}}}(e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}u)\ , $

其中光滑函数$ \mathrm{u}:{\Bbb R}^{N+1}\rightarrow {\Bbb C} $.

另外, 记

(3.1) $ \begin{equation} P_{M}u(t, \overline{r}) = (2{\rm i}t)^{M}e^{{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}{\partial^M_{\overline{r}}}(e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}u), \end{equation} $

其中$ M $为正整数

简单的计算表明

(3.2) $ \begin{equation} [P_{M}, \ {\rm i}\partial_{t}+{\partial^2_{\overline{r}}}] = 0, \end{equation} $

其中$ [\cdot, \, \cdot] $是交换括号.

(3.2)式表明, 如果$ u $是线性薛定谔方程

(3.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} {\rm i}u_{t}+u_{{{ \overline{r}\, \overline{r}}}} = 0, \\ u(0) = \varphi \end{array}\right. \end{equation} $

的光滑解, 那么$ P_{M}u $也是.

令$ {\cal U}(t) $表示如下的半群

(3.4) $ \begin{equation} ({\cal U}(t) \varphi )(\overline{r}) = \int_{-\infty}^{+\infty} {\Bbb K} (\overline{r}-x', t)\varphi(x'){\rm d}x', \end{equation} $

其中

$ {\Bbb K}(\overline{r}, t) = \frac{ e^{-\frac{|\overline{r}|^2}{4{\rm i} t}} }{ \sqrt{2\pi {\rm i} \, t} }. $

如果我们考虑$ \varphi\in {\cal S}_{\overline{r}} $, 并且如果我们设置$ u(t) = {\cal U}(t)\varphi $, 那么

(3.5) $ \begin{equation} u^{M}(t, \overline{r}) = (2{\rm i}t)^{M}e^{{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}} {4\mathrm{t}}}\partial_{\overline{r}}^{M}(e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}u(t, \ \overline{r})) \end{equation} $

是薛定谔方程的解. 因此有

(3.6) $ \begin{equation} u^M(t) = {\cal U}(t)u^M(0) = {\cal U}(t)x^{M}\varphi, \end{equation} $

所以

(3.7) $ \begin{equation} \Vert P_{M}u(t, \overline{r})\Vert_{L^2_{\overline{r}}} = \Vert u^M \Vert_{L^2_{\overline{r}}} = \Vert \overline{r}^{M}\varphi\Vert_{L^2_{\overline{r}}}. \end{equation} $

由(3.1)和(3.7)式, 得到

(3.8) $ \begin{equation} (2|t|)^{M}\Vert \partial_{\overline{r}}^{M}(e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}u(t)) \Vert_{L^2_{\overline{r}}} = \Vert \overline{r}^{M}\varphi\Vert_{L^2_{\overline{r}}}. \end{equation} $

由以上分析得到以下引理:

引理 3.1   令$ M $为非负整数, 令$ \varphi\in {\cal S}' $满足$ x^{M}\varphi\in L^{2}_{\overline{r}} $. 如果$ u(t) = {\cal U}(t)\varphi\in C({\Bbb R}, S') $, 则

$ {\partial^M_{\overline{r}}} (e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}u(t)) \in C({\Bbb R}\backslash \{0\}, \ L^{2}_{\overline{r}}), $

且(3.8)式对任意$ t\neq 0 $成立.

另外, 如果$ u $是线性薛定谔方程(3.3)的光滑解, 那么$ P_Mu $也是, 且$ u^{M} = P_{M}u $.

我们首先将(2.11)式改写为

(3.9) $ \begin{equation} {\rm i}Q_{{t}}+ Q_{{{\it \overline{r}\, \overline{r}}}} = {\Bbb F}, \end{equation} $

其中

$ {\Bbb F} = -2\, \left| Q \right|^{2}Q . $

(3.4) 式可得到线性传播子的色散不等式^[2]

(3.10) $ \begin{equation} \left\| {\cal U}(t) \varphi \right\|_{L_{\overline{r}}^{\infty} } \leq |t|^{-1/2} \| \varphi \|_{ L_{\overline{r}}^{1} }. \end{equation} $

(3.4) 式也可得到如下的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式^[2]

(3.11) $ \begin{equation} \left\| {\cal U}(t) \varphi \right\|_{L_{\overline{r}}^{4} } \leq C \| \varphi \|_{ L_{\overline{r}}^{2} }. \end{equation} $

若给出解的卷积表达式, (3.10) 和(3.11) 式可用于推导$ Q $(或$ S $)的$ L^{2} $(或$ H^1 $)估计. 事实上, (3.9)式的Duhamel公式可用下面积分来表示

(3.12) $ \begin{equation} Q = {\cal U}(t) Q_0 - \int^{t}_{0} {\cal U}(t-t'){\Bbb F}(t') \, {\rm d}t', \end{equation} $

其中$ Q_0 $表示解的初始值.

由(3.11)式, 我们得到

(3.13) $ \begin{equation} \| {\cal U}(t) Q_0 \|_{ L^4 ( [0, t], L^{\infty}_{\overline{r}} ) }\leq C \| Q_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} }. \end{equation} $

从(3.10)式, 可得

(3.14) $ \begin{eqnarray} \bigg \| \int^{t}_{0} {\cal U}(t-t'){\Bbb F}(t') \, {\rm d}t'\bigg \|_{ L^{\infty}_{\overline{r}} } & \leq & C \int^{t}_{0} |t-t'|^{-1/2} \| Q |Q|^2 \|_{ L^{1}_{\overline{r}} } \, {\rm d}t'{}\\ &\leq &C \int^{t}_{0} |t-t'|^{-1/2} \| Q \|_{L^{\infty}_{\overline{r}}}\|Q \|^2_{L^{2}_{\overline{r}}} \, {\rm d}t' . \end{eqnarray} $

事实上, 容易验证方程(2.1) 的解满足^[3]

$ \| \partial_{\overline{r}} S \|_{ L_{\overline{r}}^{2} } = \| \partial_{\overline{r}} S_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} }, $

从而可得$ L^4 $估计

(3.15) $ \begin{equation} \bigg\| \int^{t}_{0} U(t-t'){\Bbb F}(t') \, {\rm d}t'\bigg \|_{ L^4 ( [t_0, t], L^{\infty}_{\overline{r}} ) } \leq C E(Q_0) t ^{1/2} \| Q \| _{ L^4 ( [0, t], L^{\infty}_{\overline{r}} ) }. \end{equation} $

由(3.12)–(3.13) 式, 当$ E(Q_0) $ (或$ T $)足够小时, 我们有

(3.16) $ \begin{equation} \| Q \|_{ L^4 ( [0, T], L^{\infty}_{\overline{r}} ) } \leq C \| Q_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} }. \end{equation} $

因此, 若初始条件$ S_0 $下方程(2.1)的光滑解为$ S $, 由(3.16)式可知

(3.17) $ \begin{equation} \| \partial_{\overline{r}} S \|_{ L^4 ( [0, T], L^{\infty}_{\overline{r}} ) } \leq C_T \| S_0 \|_{ H_{\overline{r}}^{1} }, \end{equation} $

其中$ t\in[0, T] $, $ C_T $为依赖于$ T $的常数.

(3.17)式有助于推导出高阶导数估计, 从而很好地解决古典解的存在性问题. 为了得到高阶估计, 我们首先对方程(3.9)进行微分(记$ V = \partial_{\overline{r}} Q $), 从而得到

(3.18) $ \begin{equation} {\rm i}V_{{t}}- \left( {\rm i}\beta-\alpha \right) \left( V_{{{\it \overline{r}\, \overline{r}}}} \right) = {\widetilde {\mathbb{F}}}, \end{equation} $

其中

$ |{\widetilde {\mathbb{F}}}| \leq C |V| |Q|^2. $

类似的, 可由方程(3.18)的Duhamel公式给出如下的解

(3.19) $ \begin{equation} V = {\cal U}(t) V_0 + \int^{t}_{0} {\cal U}(t) {\widetilde {\mathbb{F}}}(t') \, {\rm d}t', \end{equation} $

其中$ V_0 = \partial_{\overline{r}}Q_0\in L^{2}_{\overline{r}} $表示$ V $的初始值.

记$ {\cal W} = { L^{\infty} ( [0, T], L^{2}_{\overline{r}} ) } \bigcap { L^4 ( [0, T], L^{\infty}_{\overline{r}} ) } $, 结合$ V_0\in L^{2}_{\overline{r}} $, 我们可从(3.11)式得到估计

(3.20) $ \begin{equation} \| {\cal U}(t) V_0 \|_{ {\cal W} }\leq C \| V_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} } \end{equation} $

和

(3.21) $ \begin{eqnarray} \bigg\| \int^{t}_{0} {\cal U}(t) {\widetilde {\mathbb{F}}}(t') \, {\rm d}t'\bigg \|_{ {\cal W} } & \leq & C \int^{t}_{0} \| {\widetilde {\mathbb{F}}}(t') \|_{L^{2}_{\overline{r}}}{}\\ &\leq & {C} \left[ e^{T}T + e^{T} \int^{T}_{0} \left( \| V(t') \|_{L^{2}_{\overline{r}}} + \| V(t') \|_{L^{\infty}_{\overline{r}}} \right)\, {\rm d}t' \right], \end{eqnarray} $

其中$ {C} $是依赖于$ \| V_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} } $的有界函数.

注意到$ V = \partial_{\overline{r}} Q $, 故由(3.19)–(3.21)式可得

$ \| \partial_{\overline{r}} Q \|_{ {\cal W} }\leq C e^{T}T, $

其中$ {C} $依赖于$ \| V_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} } $, 且结合引理3.1知$ Q \in { C ( [0, T], L^{2}_{\overline{r}} ) } \bigcap { L^4 ( [0, T], L^{\infty}_{\overline{r}} ) } $.

由以上分析得到以下全局解的存在性引理：

引理 3.2   假设解的初始值$ S_0\in H^2_{\overline{r}} $, 在无穷远点有$ S_{\infty} \in {{\Bbb S}}^2 $, 且满足$ S_{\infty} \in H^2_{\overline{r}} $, 则方程(1.1) 存在关于时间的小初值($ \| S_0 \|_{ H_{\overline{r}}^{2} }\ll 1 $) 整体解, 并满足

$ S \in { C ( (0, +\infty) , H^{2}_{\overline{r}} ) } \bigcap { L^4_{{\rm loc }} ( (0, +\infty), W^{2, \infty}_{\overline{r}} ) }. $

考查如下的薛定谔方程

(4.1) $ \begin{equation} {\rm i}u_{{t}}+ u_{{{\it \overline{r}\, \overline{r}}}} + 2\, \left| u \right|^{2}u = 0, \end{equation} $

由(3.5)和(4.1)式得到

(4.2) $ \begin{equation} {\rm i}u_{t}^{M}+u_{\overline{r}\, \overline{r}}^{M}+2(2{\rm i}t)^{M}e^{{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}\partial_{\overline{r}}^{M} (|e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}u|^{2}e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}u) = 0. \end{equation} $

注意到$ |\Phi|^{2}\Phi = \Phi \overline{\Phi}\Phi $, 故有

$ \partial_{\overline{r}}^{M}|\Phi|^{2}\Phi = \sum\limits_{n+j+k = M}\partial_{\overline{r}}^{n}\Phi \partial_{\overline{r}}^{j}\overline{\Phi}\partial_{\overline{r}}^{k}\Phi. $

因此, 假设

(4.3) $ \begin{equation} v(t, \, \overline{r}) = e^{-{\rm i}\frac{|\overline{r}|^2}{4t}}u(t, \, \overline{r}). \end{equation} $

由(4.2)和(4.3)式可得到

$ {\rm i}u_{t}^{M}+u_{\overline{r}\, \overline{r}}^{M}+2(2{\rm i}t)^{M}e^{{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4t}}\sum\limits_{n+j+k = M} \partial_{\overline{r}}^{n}v\partial_{\overline{r}}^{j}\overline{v}\partial_{\overline{r}}^{k}v = 0. $

因为$ u^{M}(0) = \overline{r}^{M}\varphi $, 故由Duhamel公式给出

(4.4) $ \begin{equation} u^{M}(t) = {\cal U}(t)(\overline{r}^{M}\varphi)+2{\rm i}\int_{0}^{t}{\cal U}(t-s)((2{\rm i}s)^{M}e^{{\rm i}\frac{|\overline{r}|^{2}}{4\mathrm{s}}} \sum\limits_{n+j+k = M}\partial_{\overline{r}}^{n}v(s)\partial_{\overline{r}}^{j}\overline{v(s)}\partial_{\overline{r}}^{k}v(s)){\rm d}s, \end{equation} $

对(3.4)式做$ L^2 $估计, 再结合Hölder不等式得到

(4.5) $ \begin{eqnarray} \Vert u^{M}(t)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}} &\leq & \Vert \overline{r}^{M}\varphi\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}+2\int_{0}^{t}(2s)^{M}\Vert\sum\limits_{n+j+k = M}\partial_{\overline{r}}^{n}v(s) \partial_{\overline{r}}^{j}\overline{v(s)}\partial_{\overline{r}}^{k}v(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}{\rm d}s {}\\ &\leq & \Vert \overline{r}^{M}\varphi\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}+2\int_{0}^{t}(2s)^{M}\sum\limits_{n+j+k = M}\Vert\partial_{\overline{r}}^{n}v(s)\Vert_{ L^{ \frac{2M}{n} }_{\overline{r}} }\Vert\partial_{\overline{r}}^{j}v(s)\Vert_{ L^{ \frac{2M}{j} }_{\overline{r}} } \Vert\partial_{\overline{r}}^{k}v(s)\Vert_{ L^{ \frac{2M}{k} }_{\overline{r}} } {\rm d}s. {}\\ \end{eqnarray} $

由Gagliardo-Nirenberg不等式和中值定理得到

(4.6) $ \begin{eqnarray} & &\sum\limits_{n+j+k = M}\Vert\partial_{\overline{r}}^{n}v(s)\Vert_{ L^{ \frac{2M}{n} }_{\overline{r}} }\Vert\partial_{\overline{r}}^{j}v(s)\Vert_{ L^{ \frac{2M}{j} }_{\overline{r}} } \Vert\partial_{\overline{r}}^{k}v(s)\Vert_{ L^{ \frac{2M}{k} }_{\overline{r}} }{}\\ & \leq & C \sum\limits_{n+j+k = M} \Vert\partial_{\overline{r}}^{M}v(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{\frac{n}{M}} \Vert v(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{\frac{M-n}{M}} \Vert\partial_{\overline{r}}^{M}v(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{\frac{j}{M}} \Vert v(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{\frac{M-j}{M}} \Vert\partial_{\overline{r}}^{M}v(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{\frac{k}{M}} \Vert v(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{\frac{M-k}{M}} {}\\ & \leq & \frac{C}{s^{M}}\Vert u^{M}(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}\Vert u(s)\Vert_{L^{\infty}_{\overline{r}}}^{2} {}\\ & \leq & \frac{C}{s^{M}}\Vert u^{M}(s)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}. \end{eqnarray} $

由引理3.2知$ u $在$ H^{1}_{\overline{r}}({\Bbb R}) $中有界, 因此也在$ L^{\infty}_{\overline{r}}({\Bbb R}) $中有界. 由(4.5)式, (4.6)式和Gronwall不等式知对所有$ t\in(0, \ T) $, 有

(4.7) $ \begin{equation} \Vert u^{M}(t)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}\leq C\Vert \overline{r}^{M}\varphi\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}, \end{equation} $

其中$ \mathrm{C} $依赖于$ T, M $和$ \Vert u\Vert_{L^{\infty}((0, T), H^{1}_{\overline{r}})} $.

展开(4.7)式中的$ u^M(t) $, 发现其带有$ x^Pu $ ($ P $为非负正整数)因子, 故欲得到$ u $的$ H^M_{\overline{r}} $的$ L^{\infty}_{\overline{r}} $有界性, 我们证明对任意非负正整数$ P $和$ M $成立$ x^{P}u\in L^{\infty} ((0, T), H^{M}_{\overline{r}}) $. 我们用归纳法证明(见下面步骤1和步骤2)这一结论.

步骤  1  证明对于每个正整数$ M $成立$ u\in L^{\infty}((0, \ T), \ H^{M}_{\overline{r}}) $.

可以验证: 对任意$ u\in H^{M}_{\overline{r}} $, 有

(4.8) $ \begin{equation} \Vert |u|^2u \Vert_{H^{M}_{\overline{r}}} \leq C\Vert u \Vert_{L^{\infty}_{\overline{r}}}^{2}\Vert u\Vert_{H^{M}_{\overline{r}}}. \end{equation} $

在$ t\geq 0 $时方程(4.1)的解可表为

(4.9) $ \begin{equation} u = {\cal U}(t) \varphi + \int^{t}_{0} {\cal U}(t-t')|u|^2u(t') \, {\rm d}t', \end{equation} $

其中$ \varphi $表示解的初始值.

注意到$ {\cal U}(t) $是$ H^{m}_{\overline{r}} $中的等距算子, 从而由(4.8)和(4.9)式得到对任意$ 0\leq t<T $, 有

(4.10) $ \begin{equation} \Vert u(t)\Vert_{H^{M}_{\overline{r}}}\leq\Vert \varphi\Vert_{H^{M}_{\overline{r}}}+C\int_{0}^{t}\Vert u(s)\Vert_{L^{\infty}_{\overline{r}}}^{2}\Vert u(s)\Vert_{H^{M}_{\overline{r}}}{\rm d}s, \end{equation} $

进一步, 由Gronwall不等式可推出

$ \Vert u(t)\Vert_{H^{m}_{\overline{r}}}\leq\Vert\varphi\Vert_{H^{m}_{\overline{r}}}\exp(C\int_{0}^{t}\Vert u(s)\Vert_{L^{\infty}_{\overline{r}}}^{\alpha}{\rm d}s), $

结合(4.8)式知对于每个非负整数$ M $成立$ u\in L^{\infty}((0, \ T), \ H^{M}_{\overline{r}}) $.

步骤 2  证明对任意非负正整数$ P $和$ M $成立$ x^{P}u\in L^{\infty} ((0, T), \ H^{M}_{\overline{r}}) $.

我们就$ M $进行归纳法证明. 在步骤1中, 我们证明了$ P = 0 $的情况. 假设在某$ P\geq 0 $命题为真, 我们证明$ P+1 $情形也成立. 设置$ \Psi^{k}(t) = \partial_{\overline{r}} ^{k}u(t) $. 给定一个正整数$ M $, 由方程(4.1)得到

(4.11) $ \begin{equation} {\rm i} \Psi_{t}^{M}+\Psi_{{\overline{r}}\, {\overline{r}}}^{M}+ 2 \sum\limits_{n+j+k = M}\Psi^{n}\overline{\Psi^{j}}\Psi^{k} = 0. \end{equation} $

取(3.11)式与$ {\rm i}e^{-2\epsilon {\overline{r}}^{2}}x^{2P+2}\Psi^{M} $ (其中$ \epsilon\in(0, 1) $)的$ L^{2}_{\overline{r}} $标量积, 再结合分部积分, 并注意到$ {\rm Im}\Psi_{\overline{r}}^{M}\overline{\Psi_{\overline{r}}^{M}} = 0 $, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi ^{M}(t)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{2} & = & {\rm Im} \int \Psi_{{\overline{r}}\, {\overline{r}}}^{P}e^{-2\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{2P+2}\overline{\Psi^{M}_{\overline{r}}} \\&& +2 {\rm Im} \int(e^{-2\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{2P+2}\overline{\Psi^{M}}\sum\limits_{n+j+k = M}\Psi^{n}\overline{\Psi^{j}}\Psi^{k}) \\& = & -{\rm Im} \int(((2P+2)-4\epsilon {\overline{r}}^{2})e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}\overline{r}^{P}\Psi^{M+1}e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\overline{\Psi^{P}}) \\&& +2 {\rm Im} \int(e^{-2\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{2P+2}\overline{\Psi^{M}}\sum\limits_{n+j+k = M}\Psi^{n}\overline{\Psi^{j}}\Psi^{k}) \\ & = & R_1 + R_2. \end{eqnarray*} $

通过归纳假设, 且注意到步骤1中$ \Psi^{j} $对每个$ j $在$ L^{\infty} $中有界, 得到

(4.12) $ \begin{equation} R_1 \leq C(P)\Vert {\overline{r}}^{P}\Psi^{M+1}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{M}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}\leq C(P, \ M)\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{M}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}. \end{equation} $

另一方面, 有

(4.13) $ \begin{eqnarray} R_2 & \leq & \Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{M}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}\sum\limits_{n+j+k = M}\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{n}\overline{\Psi^{j}}\Psi^{k}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}} {}\\& \leq & C(M)\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{M}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}\sum\limits_{k = 0}^{M}\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{k}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}\ {}\\& \leq & C(M) \sum\limits_{k = 0}^{M}\Vert e^{-\epsilon{\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{k}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}. \end{eqnarray} $

从(4.11)–(4.13)式, 对任意非负整数$ M $成立. 因此

$ \begin{eqnarray*} \label{eq4. c} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum\limits_{k = 0}^{P}\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1} \Psi^{k}(t)\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{2} \\ & \leq& C(P, M)\sum\limits_{k = 0}^{P}\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{k}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}} +C(M)\sum\limits_{k = 0}^{P}\Vert e^{-\epsilon {\overline{r}}^{2}}{\overline{r}}^{P+1}\Psi^{k}\Vert_{L^{2}_{\overline{r}}}^{2}. \end{eqnarray*} $

因此, 通过积分上述微分不等式和令$ \epsilon\downarrow 0 $便可得到$ x^{P}u\in L^{\infty} ((0, T), \ H^{M}_{\overline{r}}) $.

由(4.3)式和步骤1的$ u\in L^{\infty}((0, \ T), \ H^{M}_{\overline{r}}) $. 知给定每个正整数$ M $的$ 0< \epsilon<T, v\in L^{\infty}((\epsilon, \ T), \ H^{M}_{\overline{r}}) $. 因为映射$ v\mapsto|v|^{2}v $是$ H^{M}_{\overline{r}}\rightarrow H^{M}_{\overline{r}} $连续的, 结合(4.7)式和引理3.1知$ u\in C([\epsilon, \ T), \ H_{1\mathrm{o}\mathrm{c}(\overline{r})}^{M}) $, 对任意正整数$ M $成立. 将方程(4.2) 对$ \overline{r} $进行$ k $次微分, 我们最终用相同的方法得到: 对所有正整数$ M $和$ P $有$ u\in C^{k}([\epsilon, \ T), \ \ H_{1\mathrm{o}\mathrm{c}(\overline{r})}^{M}) $, 这也意味着$ u\in C^{\infty}([\epsilon, \ T), \ \ H_{1\mathrm{o}\mathrm{c}(\overline{r})}^{M}) $.

令$ \varphi\in {\cal S}' $满足$ x^{M}\varphi\in L^{2}_{\overline{r}} $利用引理3.1将解延拓到$ [\epsilon, \ \infty) $.

在以上证明中选取$ u = Q $和$ \varphi = Q_0 $, 令$ \epsilon\downarrow 0 $, 便得到以下定理:

定理 4.1  设$ M $为任意非负整数, 假如方程(1.1) 的初始值满足$ S_0 \in {\cal S}' $, $ {\overline{r}}^{M}S_0\in L^{2}_{\overline{r}} $; 另外, $ S_{\infty} \in {{\Bbb S}}^2 $, $ S_0, \; S_{\infty}\in H^{M+1}_{\overline{r}} $和$ \| \partial_{\overline{r}} S_0 \|_{ L_{\overline{r}}^{2} }\ll 1 $成立. 则且对任意非负整数$ M $, 成立

$ S\in C^{\infty}((0, +\infty), H^{M+1}_{\overline{r}}), $

于此同时方程(3.9) 的解$ Q $满足

$ Q\in C^{\infty}((0, +\infty), H^{M}_{\overline{r}}). $

由引理3.2和定理4.1可知定理1.1成立.

{\qquad}本文研究了$ n $维空间$ {\Bbb S}^2 $中LL方程的光滑解的存在性. 我们使用一等价的复方程的解来研究原LL方程的解. 基于Strichartz估计和傅里叶变换下的Duhamel公式的能量估计, 得到了薛定谔方程解在小初值约束下的任意阶希尔伯特范数下的光滑解的存在性, 从而得到LL方程平面波型的小初值光滑解的全局存在性. 小初值的LL方程是否意味着解总是一个整体解依然没有完全清晰. 特别的, 高维解是否为全局光滑解是一个未知问题. 文章中的结论适用于任意空间维度, 对理解LL方程高维空间中的全局光滑性有很好的帮助.