Landau-Lifshitz方程平面波解的全局光滑性
Global Smoothness of the Plane Wave Solutions for Landau-Lifshitz Equation
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收稿日期: 2020-02-21
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Received: 2020-02-21
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In this paper, we study the n-dimensional plane wave solution of the Landau-Lifshtz equation on
Keywords:
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钟澎洪, 陈兴发.
Zhong Penghong, Chen Xingfa.
1 引言
其中
方程(1.1)保留了LL方程中的最简单和最重要的组成部分. 此时, LL方程(1.1)为一几何色散方程, 在微分几何学中也称其为薛定谔映射方程. 从一个复投影的视角来审视该方程, 方程(1.1)为如下复方程
通过球极投影, 可以建立球面
方程(1.1)为一拟线性方程组, 对其直接研究解的光滑性[6-7]和正则性有一定的难度. 所以许多的研究工作往往研究它的等价方程(例如(1.2)) 来间接刻画原方程解的性质. 关于该技术的文章在近二十年来出现的较为密集, 大家可以参考一些该方面具有代表性的文章, 如文献[1, 3, 5, 8, 14-15]. 由于薛定谔方程解的适定性有着较为丰富的结果(特别是不带导数项的情形[12-13]), 故可以尝试将其迁移到导数非线性型的研究上来. 然而, 方程(1.1) 的等价薛定谔方程往往是具有非线性项, 导数项和非局部积分项的, 这给适定性的研究带来了一定的困难. 在一维空间和二位柱对称坐标系下, Chang N H, Shatah J和Uhlenbeck K等人研究了方程(1.1) 的古典解的
尽管有许多的文章研究解的适定性, 但
对于本文中将要使用的空间, 我们给出说明:
本文主要定理如下:
定理 1.1 设
另外, 假如有
本文内容组织如下: 第2节中, 运用Hasimoto变换得到了LL方程的平面波型等价方程. 在第3节, 给出了线性薛定谔方程的卷积引理和LL方程小初始值古典解的整体存在性. 在第4节, 我们提升了解的可微次数, 并提高了空间的正则指标, 从而完成了文章主要定理的证明.
2 LL方程的等价薛定谔方程
考虑LL方程的平面波解, 此时, 方程(1.1) 简化为
类似于文献[18], 我们稍加改动, 使用下面的Hasimoto变换
其中曲率
如果我们将向量
另外, 我们假设
记
其中
另外, 结合方程(2.4)和方程(2.5)得到
其中
由相容性条件(2.6)
和
注意到方程(2.2)时间方向导数为
利用方程(2.2), (2.8) 和(2.9), (2.10) 式可转化为如下的非线性薛定谔方程
注 2.1 在柱坐标下, 文献[3]给出了方程(1.1) 在一维空间中的等价复方程
在此基础上得到了方程(1.1) 在一维空间中古典解的
3 基本引理
让我们先介绍一些符号. 定义
其中光滑函数
另外, 记
其中
简单的计算表明
其中
(3.2)式表明, 如果
的光滑解, 那么
令
其中
如果我们考虑
是薛定谔方程的解. 因此有
所以
由(3.1)和(3.7)式, 得到
由以上分析得到以下引理:
引理 3.1 令
且(3.8)式对任意
另外, 如果
我们首先将(2.11)式改写为
其中
(3.4) 式可得到线性传播子的色散不等式[2]
(3.4) 式也可得到如下的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式[2]
若给出解的卷积表达式, (3.10) 和(3.11) 式可用于推导
其中
由(3.11)式, 我们得到
从(3.10)式, 可得
事实上, 容易验证方程(2.1) 的解满足[3]
从而可得
由(3.12)–(3.13) 式, 当
因此, 若初始条件
其中
(3.17)式有助于推导出高阶导数估计, 从而很好地解决古典解的存在性问题. 为了得到高阶估计, 我们首先对方程(3.9)进行微分(记
其中
类似的, 可由方程(3.18)的Duhamel公式给出如下的解
其中
记
和
其中
注意到
其中
由以上分析得到以下全局解的存在性引理:
引理 3.2 假设解的初始值
4 光滑解的全局存在性
考查如下的薛定谔方程
由(3.5)和(4.1)式得到
注意到
因此, 假设
由(4.2)和(4.3)式可得到
因为
对(3.4)式做
由Gagliardo-Nirenberg不等式和中值定理得到
由引理3.2知
其中
展开(4.7)式中的
步骤 1 证明对于每个正整数
可以验证: 对任意
在
其中
注意到
进一步, 由Gronwall不等式可推出
结合(4.8)式知对于每个非负整数
步骤 2 证明对任意非负正整数
我们就
取(3.11)式与
通过归纳假设, 且注意到步骤1中
另一方面, 有
从(4.11)–(4.13)式, 对任意非负整数
因此, 通过积分上述微分不等式和令
由(4.3)式和步骤1的
令
在以上证明中选取
定理 4.1 设
于此同时方程(3.9) 的解
由引理3.2和定理4.1可知定理1.1成立.
5 结论
{\qquad}本文研究了
参考文献
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