奇性微分方程来源于物理学、力学、生物学等领域, 例如专著[1]给出了很多奇性微分方程在不同学科领域中的应用事例. 1987年, Lazer和Solimini在文献[2]中研究了奇性方程

(1.1) $ \begin{equation} x''\pm\frac{1}{x^{\mu}} = p(t) \end{equation} $

周期问题, 利用截断函数以及Schauder不动点定理, 他们得到了方程(1.1) 周期解存在的充要条件. 受此影响, 越来越多的学者投身于具有吸引型或排斥型奇性的二阶微分方程周期解的研究, 参见文献[3-15]. 近年来, 我们注意到具有不确定奇性的二阶微分方程

(1.2) $ \begin{equation} x''(t) = \frac{\alpha(t)}{x^\mu(t)} \end{equation} $

的周期解问题受到了学者们的广泛关注^[5-19], 其中$ \mu>0 $是常数, $ \alpha $是可变号的$ T $ -周期函数. 在这种情况下, 当$ \alpha(t)>0 $时, 方程(1.2)具有排斥型奇性; 而当$ \alpha(t)<0 $时, 方程(1.2)具有吸引型奇性. 此外, 当函数$ \alpha $在某些子区间恒等于零时, 方程的奇性项就消失了. 因此, 方程(1.2)的恢复力项$ \frac{\alpha(t)}{x^\mu} $在$ x = 0 $处的奇性被称为是不确定型的. 此类方程常被用来描述许多重要的物理运动(例如在分子动力学中, 用于模拟原子粒子之间的相互作用^[20-21]; 在通讯技术中, 可描述导波在光纤中的传播^[22]). 相较于$ \alpha(t) $恒大于零或恒小于零的情形, 方程(1.2)的动力学性质更加复杂. 文献[18]表明了集合

$ \Sigma_0 = \Big\{x\in C_T: x''(t) = \frac{\lambda\alpha(t)}{x^\mu(t)}, \lambda\in (0, 1], x(t)>0, t\in [0, T]\Big\} $

在$ C_T $中不存在先验正下界和先验上界. 在文献[23]中, 作者研究了方程

(1.3) $ \begin{equation} x''(t)+f(x(t))x'(t)+\varphi(t)x(t)-\frac{\alpha(t)}{x^\mu(t)} = 0 \end{equation} $

的周期解问题, 其中$ f: (0, +\infty)\rightarrow {{\Bbb R}} $是一个连续函数且允许其在$ x = 0 $处有奇性, 函数$ \alpha, \varphi\in L([0, T], {{\Bbb R}} ) $为$ T $ -周期的, $ \mu\in(0, +\infty) $是一个常数. 在$ \bar{\varphi}>0 $和$ \bar{\alpha}>0 $的情况下, 作者证明了存在常数$ \gamma_0>0 $, $ M>0 $和$ M_1>0 $使得

(1.4) $ \begin{equation} \gamma_0<u(t)<M, \max\limits_{t\in[0, T]}|u'(t)|<M_1, \forall u\in \Sigma_1. \end{equation} $

此处

(1.5) $ \begin{eqnarray} \Sigma_1& = &\Big\{x\in C_T^1: x''(t)+\lambda f(x(t))x'(t)-\lambda\varphi(t)x(t)+\frac{\lambda\alpha(t)}{x^\mu(t)} = 0, {}\\ &&{\quad} \lambda\in(0, 1], x(t)>0, t\in [0, T]\Big\}. \end{eqnarray} $

从(1.4)式可知, 集合$ \Sigma_1 $既有先验正下界, 又有先验上界, 这与文献[18]的情形完全不同.

受上述文献的启发, 本文将继续研究具有不确定奇性的Liénard方程

(1.6) $ \begin{equation} x''(t)+f(x(t))x'(t)-\varphi(t)x^\delta(t)+\frac{\alpha(t)}{x^{\mu}(t)} = 0 \end{equation} $

周期解的存在性, 其中$ \mu, f , \varphi $以及$ \alpha $与方程(1.3)中的相同, $ \delta\in(0, 1] $为常数. 本文的理论证明主要依赖于周期正解的先验界估计和重合度拓展定理. 与文献[23]所研究的方程(1.3)类似, 本文仍然假设$ \bar{\varphi}>0 $, $ \bar{\alpha}>0 $. 不同的是, 方程(1.6)中$ \varphi(t)x $, $ \frac{\alpha(t)}{x^\mu} $前的符号与方程(1.3)中的正好相反. 然而, 这一细微的改变却使得含有参数$ \lambda $的方程簇

(1.7) $ \begin{equation} x''(t)+\lambda f(x(t))x'(t)-\lambda\varphi(t)x^\delta(t)+\frac{\lambda \alpha(t)}{x^{\mu}(t)} = 0, \lambda\in(0, 1], \end{equation} $

其所有可能的$ T $ -周期正解在$ C_T^1 $空间上缺少形如(1.4)的先验界估计.

众所周知, 形如(1.4)式的先验估计在应用重合度拓展定理时是至关重要的^[24]. 为了克服方程簇(1.7)的$ T $ -周期正解先验估计的困难, 我们首先在Banach空间$ C_T^1 $中定义一个开子集$ V $(见(3.5)式), 并给出方程簇(1.7)在集合$ V $中的所有可能$ T $ -周期正解的先验界估计. 这与文献[23]中在整个空间$ C_T^1 $中估计$ \Sigma_1 $的先验界有着本质的区别. 本文的主要结论展示了函数$ f $在原点处的奇性对方程簇(1.7)的$ T $ -周期正解先验界影响的信息.

在流体力学中, Rayleigh-Plesset方程

(1.8) $ \begin{equation} \rho\Big(RR''+\frac{3}{2}(R')^2\Big) = [P_v-P_{\infty}(t)]+P_{g_0}\Big(\frac{R_0}{R}\Big)^{3k}-\frac{2s}{R}-\frac{4\nu R'}{R} \end{equation} $

用于模拟浸没在流体中的半径为$ R $的球形气泡, 在周期声场$ P_\infty $作用下的振荡. 方程(1.8)中的各项参数的物理意义参见文献[14]. 通过变量代换$ R = u^\frac{2}{5} $ (参见文献[14]), 并取$ k = \frac{1}{3} $, 方程(1.8)可改写为

(1.9) $ \begin{equation} x''+\frac{4\nu}{x^{\frac{4}{5}}}x'-\frac{5 [P_v-P_{\infty}(t)]}{2\rho}x^{\frac{1}{5}}+\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}\Big(5S-\frac{5 P_{g_0}R_0}{2\rho}\Big) = 0, \end{equation} $

其中$ P_\infty\in L([0, T], {{\Bbb R}} ) $是一个$ T $ -周期函数. 显然, 方程(1.9)是方程(1.6)的一种特殊形式. 利用本文中的一些结果, 我们得到了方程(1.8)存在$ T $ -周期正解的充分必要条件(详见定理3.4), 该定理推广了已有的研究结果(如文献[12, 定理4.4]).

本文中, 令$ C_T = \{x\in C({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ): x(t+T) = x(t), {\forall} t\in {{\Bbb R}} \} $, 其范数定义为$ ||x||_{\infty} = \max\limits_{t\in[0, T]}|x(t)| $; $ C_T^1 = \{x\in C^1({{\Bbb R}} , {{\Bbb R}} ): x(t+T) = x(t), $$ {\forall} t\in {{\Bbb R}} \} $, 其范数定义为$ ||x||_{C_T} = \max\{||x||_{\infty}, ||x'||_{\infty}\} $. 对任意给定的$ T $ -周期函数$ y\in L([0, T], {{\Bbb R}} ) $, $ y_+(t) $和$ y_-(t) $分别表示$ \max\{y(t), 0\} $和$ -\min\{y(t), 0\} $. 此外, $ \bar{y} = \frac{1}{T}\int_0^Ty(s){\rm d}s $. 显然, 我们有$ y(t) = y_+(t)-y_-(t) $, 对任意的$ t\in{{\Bbb R}} $, 且$ \bar{y} = \overline{y_+}-\overline{y_-} $.

引理2.1^[9]  令$ u\in[0, \omega]\rightarrow {{\Bbb R}} $为任意一个满足$ u(0) = u(T) $的绝对连续函数. 那么

$ \Big(\max\limits_{t\in[0, T]}u(t)-\min\limits_{t\in[0, T]}u(t)\Big)^{2}\leq\frac{T}{4}\int^{T}_{0}|u'(s)|^{2}{\rm d}s. $

设$ X $和$ Y $为Banach空间, 算子$ L:D(L)\subset X\rightarrow Y $是线性的, 这里$ D(L) $表示算子$ L $的定义域. 如果$ \rm{Im} L $是$ Y $的一个闭子集, 且$ {\rm{dim \;ker}} L = {\rm{codim\; Im}} L<+\infty $, 则称$ L $是指标为零的Fredholm算子. 此外, 如果$ L:D(L)\subset X\rightarrow Y $是一个指标为零的Fredholm算子, 那么存在连续映射$ P:X\rightarrow {\rm{ker}}L $和$ Q:Y\rightarrow Y $满足$ {\rm Im }P = \ker L $, $ \ker Q = {\rm Im }L $, $ X = \ker L\oplus \ker P $以及$ Y = {\rm Im }L\oplus{\rm Im }Q. $由$ {\rm{ker}}L\cap(D(L)\cap\ker P) = \{0\} $, 可知$ L_P: = L|_{D(L)\cap \ker P}\rightarrow {\rm Im}L $是可逆的. 用$ K_p $表示$ L_p $的逆映射.

假设$ \Omega\subset X $是一个有界开集, 我们称连续算子$ N: \overline{\Omega}\rightarrow Y $在集合$ \overline{\Omega} $上是$ L $ -紧的, 如果映射$ K_P(I-Q)N:\overline{\Omega}\rightarrow X, QN:\overline{\Omega}\rightarrow Y $都是紧的.

引理2.2^[24]  令$ X $和$ Y $为两个实Banach空间. 假设$ L: D(L) \subset X \rightarrow Y $是一个指标为零的Fredholm算子, $ N : \overline{\Omega} \rightarrow Y $在$ \overline{\Omega} $上是$ L $ -紧的, 这里$ \Omega $是$ X $的一个有界开集. 如果以下条件都成立:

(1) $ Lx\neq \lambda Nx, \forall x\in \partial\Omega \cap D(L), \lambda\in(0, 1) $;

(2) $ Nx\notin{\rm Im }L, \forall x\in \partial\Omega \cap\ker L; $

(3) Brouwer度$ \rm {deg} $$ (\eta QN, \Omega\cap KerL, 0)\neq 0 $. 其中, $ \eta:{\rm Im }L\rightarrow \ker L $是一个同构映射, 那么方程$ Lx = Nx $在$ \overline{\Omega} $上至少有一个解.

为了研究方程(1.6) $ T $ -周期正解的存在性, 我们列出以下假设.

(H$ _1 $) $ \alpha(t)\le0, $ a.e. $ t\in J $; $ \alpha(t)>0, $ a.e. $ t\in[0, T]\backslash J $, 其中$ J\subset [0, T] $是一个闭集.

(H$ _2 $) $ \bar{\varphi}>h(\delta)\frac{T\overline{\varphi_{+}}(\overline{\varphi_{-}})^{\frac{1}{2}}}{2}, $其中, $ \delta\in(0, 1] $与方程(1.6)中的$ \delta $相同,

$ h(\delta) = \left\{\begin{array}{ll}0, {\quad} &\delta\in(0, 1)\\ 1, &\delta = 1.\end{array}\right. $

现在我们将方程(1.6)嵌入下述方程簇

(2.1) $ \begin{equation} x''(t)+\lambda f(x(t))x'(t)-\lambda\varphi(t)x^\delta(t)+\lambda\frac{\alpha(t)}{x^{\mu}(t)} = 0, \lambda\in(0, 1). \end{equation} $

并且我们给出以下定义

(2.2) $ \begin{equation} D = \Big\{x\in C_T^1:x''+\lambda f(x)x'-\lambda \varphi(t)x^\delta+\frac{\lambda\alpha(t)}{x^\mu} = 0, \lambda \in(0, 1); x(t)>0, \forall t\in[0, T]\Big\}, \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} G(x) = \int_1^x\frac{f(s)}{s^\delta}{\rm d}s, {\qquad} F(x) = \int_1^xf(s){\rm d}s. \end{equation} $

定理3.1  假设$ \bar{\alpha}>0 $以及(H$ _1 $), (H$ _2 $) 成立. 如果存在常数

(3.1) $ \begin{equation} \varepsilon\in\Big(0, \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\Big), \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} \gamma_1\in (\varepsilon, A(\varepsilon))\cap\Big(0, \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\Big), \end{equation} $

使得

(3.3) $ \begin{equation} \sup\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}G(x)<+\infty \end{equation} $

且

(3.4) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in(0, \gamma_1]}\Big(G(x)-\frac{T\overline{\alpha_-}}{x^{\mu+\delta}}\Big)>\sup\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}G(x)+T\overline{\varphi_+}, \end{equation} $

这里, $ A(\varepsilon) = \varepsilon\big(\frac{\overline{\alpha_+}}{\overline{\alpha_-}+\varepsilon^{\mu+\delta}\bar{\varphi}}\big)^{\frac{1}{\mu+\delta}} $, $ G(x) $由(2.3)式所定义, 那么方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

证   令

(3.5) $ \begin{equation} V = \{x\in C^1_T:x(t)>0, t\in[0, T]; x(t)>\varepsilon, t\in J\}, \end{equation} $

其中, $ J\subset [0, T] $由(H$ _1 $)所定义. 显然, $ V\subset C^1_T $是一个开集. 若$ u\in \overline{V}\cap D $, 此处$ D $由(2.2)式所定义, 我们有$ u\in\overline{V} $且$ u $是方程(2.1)的一个$ T $ -周期正解, 即

(3.6) $ \begin{equation} u''(t)+\lambda f(u(t))u'(t)-\lambda\varphi(t)u^\delta(t)+\frac{\lambda\alpha(t)}{u^{\mu}(t)} = 0. \end{equation} $

在(3.6)式的两端同时除以$ u^\delta $, 再对其在区间$ [0, T] $上积分, 我们得到

(3.7) $ \begin{equation} \int^T_0\frac{u''(t)}{u^\delta(t)}{\rm d}t+\lambda\int^T_0\frac{f(u(t))u'(t)}{u^\delta(t)}{\rm d}t-\lambda\int^T_0\varphi(t){\rm d}t+\lambda\int^T_0\frac{\alpha(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t = 0. \end{equation} $

由于

(3.8) $ \begin{equation} \ \int^T_0\frac{u''(t)}{u^\delta(t)}{\rm d}t\geq0, \quad\int^T_0\frac{f(u(t))u'(t)}{u^\delta(t)}{\rm d}t = 0, \end{equation} $

我们可以从(3.7)式推出

(3.9) $ \begin{equation} T\bar{\varphi}\geq\int^T_0\frac{\alpha(t)}{u^{\mu+^\delta}(t)}{\rm d}t, \end{equation} $

即

$ \int_J\frac{\alpha(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t+\int_{[0, T]\setminus J}\frac{\alpha(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t\leq T\bar{\varphi}. $

根据假设(H$ _1 $), 得到

$ -\int_J\frac{\alpha_-(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t+\int_0^T\frac{\alpha_{+}(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t\leq T\bar{\varphi}. $

结合(3.5) 式, 从上式我们可以推出

(3.10) $ \begin{eqnarray} \int^T_0\frac{\alpha_{+}(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t&\le&\int_{J}\frac{\alpha_{-}(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t+T\bar{\varphi}\le\int_{J}\frac{\alpha_{-}(t)}{\varepsilon^{\mu+\delta}}{\rm d}t+T\bar{\varphi}{}\\ & = &\int^T_0\frac{\alpha_{-}(t)}{\varepsilon^{\mu+\delta}}{\rm d}t+T\bar{\varphi} = \frac{T\overline{\alpha_{-}}}{\varepsilon^{\mu+\delta}}+T\bar{\varphi}. \end{eqnarray} $

由积分中值定理可知, 存在一个常数$ \xi\in[0, T] $使得

$ \frac{T\overline{\alpha_{+}}}{u^{\mu+\delta}(\xi)}\leq\frac{T\overline{\alpha_{-}}}{\varepsilon^{\mu+\delta}}+T\bar{\varphi}. $

通过简单的计算得到

$ u(\xi)\geq\varepsilon\Big(\frac{\overline{\alpha_+}}{\overline{\alpha_-}+\varepsilon^{\mu+\delta}\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}: = A(\varepsilon). $

根据(3.1)式中的假设$ \varepsilon\in\big(0, \big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\big) $, 我们有

(3.11) $ \begin{equation} u(\xi)\geq A(\varepsilon)>\varepsilon. \end{equation} $

另一方面, 对于$ u $, 一定存在$ t_{1}, t_{2}\in {{\Bbb R}} $使得$ 0<t_{2}-t_{1}\le T $, $ u(t_{1}) = \max\limits_{t\in[0, T]}u(t) $以及$ u(t_{2}) = \min\limits_{t\in[0, T]}u(t). $根据(3.11) 式, 我们有

$ A(\varepsilon)\leq u(t_{1}). $

结合(3.3)式得到

(3.12) $ \begin{equation} G(u(t_{1}))\leq\sup\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}G(x): = B_{0}<+\infty. \end{equation} $

将(3.6)式的两端同时除以$ u^\delta $, 再对其在区间$ [t_1, t_2] $上积分, 我们有

$ \int^{t_{2}}_{t_{1}}\frac{u''(s)}{u^\delta(s)}{\rm d}s+\lambda\int^{t_{2}}_{t_{1}}\frac{f(u(s))u'(s)}{u^\delta(s)}{\rm d}s-\lambda\int^{t_{2}}_{t_{1}}\varphi(s){\rm d}s+ \lambda\int^{t_{2}}_{t_{1}}\frac{\alpha(s)}{u^{\mu+\delta}(s)}{\rm d}s = 0. $

结合不等式$ \int^{t_{2}}_{t_{1}}\frac{u''(s)}{u(s)}{\rm d}s\ge0 $, 我们可以从上式推出

$ \begin{eqnarray*} G(u(t_{2}))&\leq & G(u(t_{1}))-\int^{t_{2}}_{t_{1}}\frac{\alpha(s)}{u^{\mu+\delta}(s)}{\rm d}s+\int^{t_{2}}_{t_{1}}\varphi(s){\rm d}s\\ &\leq & B_{0}+\int^{t_{2}}_{t_{1}}\frac{\alpha_{-}(s)}{u^{\mu+\delta}(s)}{\rm d}s+\int^{t_{2}}_{t_{1}}\varphi_{+}(s){\rm d}s\\ &\leq & B_{0}+\int^T_0\frac{\alpha_{-}(s)}{u^{\mu+\delta}(s)}{\rm d}s+\int^T_0\varphi_{+}(s){\rm d}s\\ &\leq & B_{0}+\frac{T\overline{\alpha_{-}}}{u^{\mu+\delta}(t_2)}+T\overline{\varphi_{+}}. \end{eqnarray*} $

由此可知

$ \begin{eqnarray*} G(u(t_{2}))-\frac{T\overline{\alpha_{-}}}{u^{\mu+\delta}(t_2)}\leq B_{0}+T\overline{\varphi_{+}}, \end{eqnarray*} $

其中$ B_0 $由(3.12)式所定义. 再利用条件(3.4), 我们得到

(3.13) $ \begin{equation} \min\limits_{t\in[0, T]}u(t) = u(t_{2})>\gamma_{1}. \end{equation} $

接下来, 我们将证明存在两个正的常数$ M_1, M_2 $, 使得

(3.14) $ \begin{equation} \max\limits_{t\in[0, T]}u(t)\leq M_{1}, \quad\max\limits_{t\in[0, T]}|u'(t)|\leq M_{2}. \end{equation} $

事实上, 对(3.6)式在区间$ [0, T] $上积分, 可得

$ \int^T_0\varphi(t)u^\delta(t){\rm d}t = \int^T_0\frac{\alpha(t)}{u^{\mu}(t)}{\rm d}t, $

即

$ \int^T_0\varphi_{+}(t)u^\delta(t){\rm d}t = \int^T_0\varphi_{-}(t)u^\delta(t){\rm d}t+\int^T_0\frac{\alpha(t)}{u^{\mu}(t)}{\rm d}t. $

对上式的左端运用积分中值定理, 结合(3.13)式, 我们可以找到一个常数$ \xi_1\in[0, T] $使得

$ u^\delta(\xi_{1})T\overline{\varphi_{+}}\le ||u||_{\infty}^\delta T\overline{\varphi_{-}}+\int^T_0\frac{\alpha_{+}(t)}{u^{\mu}(t)}{\rm d}t\le||u||_{\infty}^\delta T\overline{\varphi_{-}}+\frac{T\overline{\alpha_{+}}}{\gamma_{1}^{\mu}}, $

由此得

(3.15) $ \begin{equation} u^\delta(\xi_{1})\leq\frac{\overline{\varphi_{-}}}{\overline{\varphi_{+}}}||u||_{\infty}^\delta+\frac{\overline{\alpha_{+}}}{\overline{\varphi_{+}}\gamma_{1}^{\mu}}. \end{equation} $

此外, 根据引理2.1和(3.15) 式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} ||u||_{\infty}^\delta&\le & \Big[u(\xi_{1})+\frac{\sqrt{T}}{2}\big(\int_0^T|u'(s)|^2{\rm d}s\big)^\frac{1}{2}\Big]^\delta\\ &\leq & u^\delta(\xi_{1})+\big(\frac{\sqrt{T}}{2}\big)^\delta\Big(\int_0^T|u'(s)|^2{\rm d}s\Big)^{\frac{\delta}{2}}\\ &\leq&\frac{\overline{\varphi_{-}}}{\overline{\varphi_{+}}}||u||_{\infty}^\delta+\frac{\overline{\alpha_{+}}}{\overline{\varphi_{+}}\gamma_{1}^{\mu}}+ \big(\frac{\sqrt{T}}{2}\big)^\delta\Big(\int_0^T|u'(s)|^2{\rm d}s\Big)^{\frac{\delta}{2}}, \end{eqnarray*} $

这等价于不等式

(3.16) $ \begin{equation} ||u||_{\infty}^\delta\leq\frac{\overline{\alpha_{+}}}{\overline{\varphi}\gamma_{1}^{\mu}}+ \big(\frac{\sqrt{T}}{2}\big)^\delta\frac{\overline{\varphi_+}}{\bar{\varphi}}\Big(\int_0^T|u'(s)|^2{\rm d}s\Big)^{\frac{\delta}{2}}. \end{equation} $

在(3.6)式两端同时乘以$ u $, 再对其在区间$ [0, T] $上积分, 结合(3.13) 式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_0^T|u'(t)|^2{\rm d}t& = &-\lambda\int_0^T\varphi(t)u^{1+\delta}(t){\rm d}t+\lambda\int_0^T\frac{u(t)\alpha(t)}{u^{\mu}(t)}{\rm d}t\\ &\leq&\lambda\int_0^T\varphi_{-}(t)u^{1+\delta}(t){\rm d}t+\lambda|u|_\infty\int_0^T\frac{\alpha_{+}(t)}{u^{\mu}(t)}{\rm d}t\\ &\leq & T\overline{\varphi_{-}}||u||_{\infty}^{1+\delta}+\frac{T\overline{\alpha_+}|u|_\infty}{\gamma_1^\mu}, \end{eqnarray*} $

即

(3.17) $ \begin{equation} \Big(\int_0^T|u'(t)|^2{\rm d}t\Big)^{\frac{1}{2}}\leq||u||_{\infty}^\frac{1+\delta}{2}T^{\frac{1}{2}}(\overline{\varphi_{-}})^{\frac{1}{2}}+ \Big(\frac{T\overline{\alpha_+}}{\gamma_1^\mu}\Big)^\frac{1}{2}|u|_\infty^\frac{1}{2}. \end{equation} $

将(3.17)式代入(3.16)式中, 我们得到以下不等式

(3.18) $ \begin{eqnarray} ||u||_{\infty}^\delta&\leq&\frac{\overline{\alpha_{+}}}{\overline{\varphi}\gamma_{1}^{\mu}}+ \big(\frac{\sqrt{T}}{2}\big)^\delta\frac{\overline{\varphi_+}}{\bar{\varphi}}\Big[||u||_{\infty}^\frac{1+\delta}{2}T^{\frac{1}{2}}(\overline{\varphi_{-}})^{\frac{1}{2}}+ \Big(\frac{T\overline{\alpha_+}}{\gamma_1^\mu}\Big)^\frac{1}{2}|u|_\infty^\frac{1}{2}\Big]^\delta{}\\ &\le&\frac{\overline{\alpha_{+}}}{\overline{\varphi}\gamma_{1}^{\mu}}+ \big(\frac{\sqrt{T}}{2}\big)^\delta\frac{\overline{\varphi_+}}{\bar{\varphi}}T^{\frac{\delta}{2}}(\overline{\varphi_{-}})^{\frac{\delta}{2}}||u||_{\infty}^\frac{(1+\delta)\delta}{2}+\big(\frac{\sqrt{T}}{2}\big)^\delta\frac{\overline{\varphi_+}}{\bar{\varphi}}\Big(\frac{T\overline{\alpha_+}}{\gamma_1^\mu}\Big)^\frac{\delta}{2}|u|_\infty^\frac{\delta}{2}. \end{eqnarray} $

下面我们将分两种情况来估计集合$ \overline{V} $中方程(2.1)的$ T $ -周期正解$ u $的先验上界.

(1) $ \delta = 1. $从(3.18)式可知

(3.19) $ \begin{equation} \big(1-\frac{T\overline{\varphi_{+}}(\overline{\varphi_{-}})^{\frac{1}{2}}}{2\bar{\varphi}}\big)|u|_\infty\le \frac{\overline{\alpha_{+}}}{\overline{\varphi}\gamma_{1}^{\mu}}+\frac{T\overline{\varphi_{+}}}{2\bar{\varphi}}\Big(\frac{\overline{\alpha_+}}{\gamma_1^\mu}\Big)^\frac{1}{2}||u||_{\infty}^\frac{1}{2}. \end{equation} $

由假设(H$ _2 $), 我们有$ \bar{\varphi}>0 $和$ \frac{T\overline{\varphi_{+}}(\overline{\varphi_{-}})^{\frac{1}{2}}}{2\bar{\varphi}}<1 $. 因此, 我们从(3.19)式可推出

(3.20) $ \begin{equation} |u|_\infty<\frac{T\overline{\alpha_{+}}}{2\rho\bar{\varphi}}\Big(\frac{\overline{\varphi_+}}{\gamma_1^\mu}\Big)^\frac{1}{2}+\Big(\frac{\overline{\alpha_{+}}}{\rho\overline{\varphi}\gamma_{1}^{\mu}}\Big)^\frac{1}{2}: = \varrho_0, \end{equation} $

此处, $ \rho = 1-\frac{T\overline{\varphi_{+}}(\overline{\varphi_{-}})^{\frac{1}{2}}}{2\bar{\varphi}} $.

(2) $ \delta\in(0, 1) $. 由于$ \frac{(1+\delta)\delta}{2}<1 $以及$ \frac{\delta}{2}<1 $, 从(3.18) 式我们很容易地知道, 存在常数$ \varrho_1>0 $使得

(3.21) $ \begin{equation} ||u||_{\infty}<\max\{\varrho_0, \varrho_1\}: = M_1. \end{equation} $

若$ u $在$ t_1\in[0, T] $处达到最大值, 那么$ u'(t_{1}) $ = 0. 因此, 从(3.6)式可知

$ u'(t) = \lambda\int^{t}_{t_{1}}\Big[-f(u(s))u'(s)+\varphi(s)u^\delta(s)-\frac{\alpha(s)}{u^{\mu}(s)}\Big]{\rm d}s, {\forall} t\in[t_{1}, t_{1}+T]. $

由此得

$ \begin{eqnarray*} |u'(t)|&\leq&\lambda|F(u(t))-F(u(t_{1}))|+\lambda\int^{t_{1}+T}_{t_{1}}|\varphi(s)|u^\delta(s){\rm d}s+\lambda\int^{t_{1}+T}_{t_{1}}\frac{|\alpha(s)|}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s\\ &\leq&2\max\limits_{\gamma_{1}\leq u\leq M_{1}}|F(u)|+M_{1}^\delta T\overline{|\varphi|}+\frac{T\overline{|\alpha|}}{\gamma_{1}^{\mu}}: = M_{2}, \end{eqnarray*} $

其中$ F $的定义由(2.3)式给出. 因此, 我们有

(3.22) $ \begin{equation} \ \max\limits_{t\in[0, T]}|u'(t)|\leq M_{2}. \end{equation} $

定义$ X = C_T^1, Y = L([0, T], {{\Bbb R}} ) $以及

$ L:D(L)\subset X\rightarrow Y, Lx = x''. $

此处, $ D(L) = \{x\in X: x''\in L([0, T], {{\Bbb R}} )\} $, $ \ker L = {{\Bbb R}} $, $ {\rm Im} L = \{y\in Y:\int^T_0y(t){\rm d}t = 0\}. $容易验证$ L $是指标为零的Fredholm算子. 此外, 我们定义如下两个连续映射

$ P: X\rightarrow \ker L, Px = x(0); Q: Y\rightarrow \frac{Y}{{\rm Im } L}, Qy = \frac{1}{T}\int_0^Ty(s){\rm d}s. $

显然, 我们有$ \ker L = {\rm Im } P, \ker Q = {\rm Im } L $.

令$ L_p = L|_{D(L)\cap \ker P}\rightarrow {\rm Im} L $, 则$ L_p $拥有逆映射$ L_p^{-1}: {\rm Im } L\rightarrow D(L)\cap \ker P $. 定义

$ K_p: {\rm Im} L \rightarrow D(L)\cap \ker P, K_p = L_p^{-1}. $

通过简单的计算, 我们有

(3.23) $ \begin{equation} (K_py)(t) = \int_0^T G(t, s)y(s){\rm d}s, \quad G(t, x) = \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{(t-T)s}{T}, & 0\leq s<t\leq T;\\ { } \frac{(s-T)t}{T}, & 0\leq t<s\leq T.\end{array}\right. \end{equation} $

定义

$ \begin{eqnarray*} V_{1}& = &\Big\{x\in C^1_T:\gamma_{1}< x(t)<\max\Big\{M_{1}+1, \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+1}}\Big\}: = m_1, \forall t\in[0, T];\\ & &{\qquad}{\qquad}{\quad} ||x'||_{\infty}< M_{2}+1: = m_2\Big\}, \quad \Omega = V\cap V_{1}, \end{eqnarray*} $

(3.24) $ \begin{equation} N:\overline{\Omega}\rightarrow Y, (Nx)(t) = -f(x(t))x'(t)+\varphi(t)x^\delta(t)-\frac{\alpha(t)}{x^{\mu}(t)}. \end{equation} $

结合(3.23)和(3.24)式, 我们可以证明算子$ K_p(I-Q)N $和$ QN $在集合$ \overline{\Omega} $上是相对紧的. 因此, $ N $在$ \overline{\Omega} $上是$ L $ -紧的. 此外, 由(3.2)式可知$ \gamma_1>\varepsilon $, 再根据$ V, V_1 $的定义, 我们可知$ (\partial V\cap \overline{V_1}) = \emptyset $. 更进一步地, 我们从$ \partial\Omega\subset (\partial V\cap \overline{V_1})\cup(\overline{V}\cap \partial V_1) $可以推出$ \partial\Omega\subset\overline{V}\cap \partial V_1 $. 根据这个包含关系, 我们可以总结出引理2.2中的条件(1)成立. 事实上, 若其不成立, 则存在$ \lambda_0\in (0, 1) $以及$ x_0\in \partial\Omega $使得

$ Lx_0 = \lambda_0 Nx_0. $

根据$ \partial\Omega\subset\overline{V}\cap \partial V_1 $, 我们可得

(3.25) $ \begin{equation} x_0\in \overline{V}\cap \partial V_1, \end{equation} $

因此, 下式成立

$ x_0\in \overline{V}. $

但是由(3.13), (3.21)和(3.22)式, 可知

$ \gamma_{1}< x_0(t)< m_{1}, \forall t\in[0, T]; ||x'||_{\infty}< m_{2}. $

再次依据$ V_1 $的定义, 我们可知$ x_0\notin \partial V_1 $, 这与(3.25)式矛盾.

如果$ x\in(\overline{V}\cap \partial V_1) \cap \ker L $, 那么$ x(t)\equiv\gamma_{1} $或$ x(t)\equiv m_{1} $. 据此, 我们有

$ QN\gamma_1 = \frac{1}{T}\int^T_0\Big(-\frac{\alpha(t)}{\gamma_{1}^{\mu}}+\varphi(t)\gamma_{1}^\delta\Big){\rm d}t = -\frac{\overline{\alpha}}{\gamma_{1}^{\mu}}+\gamma_{1}^\delta\overline{\varphi}, $

$ QNm_1 = \frac{1}{T}\int^T_0\Big(-\frac{\alpha(t)}{m_{1}^{\mu}}+\varphi(t)m_{1}^\delta\Big){\rm d}t = -\frac{\overline{\alpha}}{m_{1}^{\mu}}+m_{1}\overline{\varphi}. $

注意到在(3.2)式中我们假设$ \gamma_1\in \big(0, \big(\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\varphi}}\big)^{\frac{1}{\mu+1}}\big) $, 结合$ m_1 $的定义, 可知

$ QN(\gamma_1)<0, \quad QN(m_1)>0. $

因此, 我们有

(3.26) $ \begin{equation} QNx\neq0, \forall x\in\partial\Omega\cap \ker L. \end{equation} $

此外, 下式也成立

(3.27) $ \begin{equation} \deg\{\eta QN, \Omega\cap \ker L, 0\}\neq 0, \end{equation} $

其中$ \eta:{{\Bbb R}}\rightarrow {{\Bbb R}}, \eta(x) = x $. 由(3.26)和(3.27)式, 我们得到引理2.2中的条件(2), (3)都成立. 利用引理2.2, 我们很容易知道方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

下面的定理3.2和定理3.3分别针对$ \varphi(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $和$ \alpha(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $的情形, 给出与方程(1.6)$ T $ -周期正解存在性相关的结论.

定理3.2  假设(H$ _1 $) 成立, $ \varphi(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $且$ \bar{\varphi}>0 $. 则下述命题成立:

命题1   $ \bar{\alpha}>0 $是方程(1.6) 存在$ T $ -周期正解的必要条件.

命题2  若$ \bar{\alpha}>0, \sup\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}F(x)<+\infty $, 且存在常数

(3.28) $ \begin{equation} \gamma_2\in (\varepsilon, A(\varepsilon))\cap\Big(0, \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+1}}\Big), \end{equation} $

使得

(3.29) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in(0, \gamma_2]}\Big(F(x)-\frac{T\overline{\alpha_+}}{x^{\mu}}\Big)>\sup\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}F(x), \end{equation} $

其中, $ F $的定义由(2.3) 式给出, 常数$ \varepsilon, A(\varepsilon) $与定理3.1中一致. 那么方程(1.6) 至少存在一个$ T $ -周期正解.

命题3  若$ \bar{\alpha}>0 $, $ \inf\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}F(x)>-\infty $, 且存在常数

(3.30) $ \begin{equation} \gamma_3\in (\varepsilon, A(\varepsilon))\cap\Big(0, \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+1}}\Big), \end{equation} $

使得

(3.31) $ \begin{equation} \sup\limits_{x\in(0, \gamma_3]}\Big(F(x)+\frac{T\overline{\alpha_+}}{x^{\mu}}\Big)<\inf\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}F(x), \end{equation} $

那么方程(1.6) 至少存在一个$ T $ -周期正解.

证   (命题1的证明)   设方程(1.6)存在一个$ T $ -周期正解$ y $, 则

(3.32) $ \begin{equation} y''(t)+ f(y(t))y'(t)-\varphi(t)y^\delta(t)+\frac{\alpha(t)}{y^{\mu}(t)} = 0. \end{equation} $

在(3.32) 式两端同时乘以$ y^\mu $, 并对其在区间$ [0, T] $上积分, 得到

$ \begin{eqnarray*} \int_0^Ty''(t)y^{\mu}(t){\rm d}t+\int_0^Tf(y(t))y'(t)y^{\mu}(t){\rm d}t-\int_0^T\varphi(t)y^{\mu+\delta}(t){\rm d}t+\int_0^T\alpha(t){\rm d}t = 0. \end{eqnarray*} $

根据$ \int_0^Ty''(t)y^{\mu}(t){\rm d}t\leq0 $和$ \int_0^Tf(y(t))y'(t)y^{\mu}(t){\rm d}t = 0 $, 可知

$ \begin{eqnarray*} \int_0^T\varphi(t)y^{\mu+\delta}(t){\rm d}t\leq\int_0^T\alpha(t){\rm d}t = T\bar{\alpha}, \end{eqnarray*} $

结合假设$ \varphi(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $且$ \bar{\varphi}>0 $, 从上式我们可推出$ \bar{\alpha}>0. $

(命题2的证明)  由于条件(H$ _1 $)成立, 且$ \bar{\alpha}>0 $, 我们仍用(3.5)式定义集合$ V $. 假设$ u\in \overline{V} $且$ u $为(2.1)式的一个$ T $ -周期正解, 则

(3.33) $ \begin{equation} u''(t)+\lambda f(u(t))u'(t)-\lambda\varphi(t)u^\delta(t)+\frac{\lambda\alpha(t)}{u^{\mu}(t)} = 0. \end{equation} $

类似于(3.11)式的证明, 可以得到存在常数$ \xi\in [0, T] $, 使得

(3.34) $ \begin{equation} u(\xi)\geq A(\varepsilon)>\varepsilon. \end{equation} $

另一方面, 容易验证存在$ t_{3}, t_{4}\in {{\Bbb R}} $满足

(3.35) $ \begin{equation} 0<t_{4}-t_{3}\le T, \quad u(t_{3}) = \max\limits_{t\in[0, T]}u(t), \quad u(t_{4}) = \min\limits_{t\in[0, T]}u(t). \end{equation} $

根据(3.34)式得到

$ A(\varepsilon)\leq u(t_{3})<+\infty, $

由此可推出

$ F(u(t_{3}))\leq\sup\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}F(x): = B_{1}. $

对(3.33)式在区间$ [t_3, t_4] $上积分, 可得

(3.36) $ \begin{eqnarray} F(u(t_{4}))& = & F(u(t_{3}))+\int^{t_{4}}_{t_{3}}\varphi(s)u^\delta(s){\rm d}s-\int^{t_{4}}_{t_{3}}\frac{\alpha(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s{}\\ &\leq & B_{1}+\int^{T}_{0}\varphi(s)u^\delta(s){\rm d}s-\int^{t_{4}}_{t_{3}}\frac{\alpha(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s. \end{eqnarray} $

此外, 对(3.33)式在区间$ [0, T] $上积分, 可得

$ \begin{eqnarray*} \int^T_0\varphi(s)u^\delta(s){\rm d}s = \int^T_0\frac{\alpha(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

将上式代入(3.36)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} F(u(t_{4}))&\leq & B_{1}+\int^T_0\frac{\alpha(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s-\int^{t_{4}}_{t_{3}}\frac{\alpha(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s\\ &\leq & B_{1}+\int^T_0\frac{\alpha(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s+\int^T_0\frac{\alpha_{-}(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s\\ &\leq & B_{1}+\frac{T\overline{\alpha_{+}}}{u^{\mu}(t_{4})}, \end{eqnarray*} $

即

$ F(u(t_{4}))-\frac{T\overline{\alpha_{+}}}{u^{\mu}(t_{4})}\leq B_{1}. $

根据(3.29)式, 我们可以给出下界的估计

(3.37) $ \begin{equation} \min\limits_{t\in[0, T]}u(t) = u(t_{4})>\gamma_{2}. \end{equation} $

在(3.33)式两端同时乘以$ u^\mu $, 且对其在区间$ [0, T] $积分, 再根据不等式

$ \int_0^Tu''(t)u^\mu(t){\rm d}t\le0, $

我们可以得到

$ \int_0^T\varphi(t)u^{\mu+\delta}(t){\rm d}t\leq T\bar{\alpha}. $

由积分中值定理, 得到存在常数$ \eta_0\in[0, T] $, 使得

(3.38) $ \begin{equation} \ u(\eta_0)\leq\Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}. \end{equation} $

结合引理2.1和(3.38)式, 我们得到

(3.39) $ \begin{equation} \ ||u||_{\infty}\leq \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}+\frac{\sqrt{T}}{2}\Big(\int_0^T|u'(s)|^2{\rm d}s\Big)^{\frac{1}{2}}. \end{equation} $

再次在(3.33)式两端乘以$ u $, 并对其在区间$ [0, T] $上积分, 可得

$ \int_0^T|u'(t)|^2{\rm d}t = -\lambda\int_0^T\varphi(t)u^{1+\delta}(t){\rm d}t+\lambda\int_0^T\frac{\alpha(t)u(t)}{u^\mu(t)}{\rm d}t. $

根据条件$ \varphi(t)\geq0 $ a.e. $ t\in[0, T] $以及(3.37)式, 我们可以从上式推出

$ \int_0^T|u'(t)|^2{\rm d}t\leq\int_0^T\frac{\alpha_{+}(t)u(t)}{u^\mu(t)}{\rm d}t \leq||u||_{\infty}\frac{T\overline{\alpha_{+}}}{\gamma_{2}^{\mu}}. $

将(3.39)式代入上式, 可得

$ \int_0^T|u'(t)|^2{\rm d}t\leq\bigg[\Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}+\frac{\sqrt{T}}{2}\Big(\int_0^T|u'(s)|^2{\rm d}s\Big)^{\frac{1}{2}}\bigg] \frac{T\overline{\alpha_{+}}}{\gamma_{2}^{\mu}}. $

这意味着存在一个常数$ \rho_{3}>0 $, 使得

$ \Big(\int_0^T|u'(s)|^2{\rm d}s\Big)^{\frac{1}{2}}\leq\rho_{3}. $

因此, 从(3.39)式可以推得

(3.40) $ \begin{equation} \ ||u||_{\infty}\leq \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+1}}+\frac{\sqrt{T}}{2}\rho_{3}: = M_{3}. \end{equation} $

至此, 我们已经证明了(3.37)和(3.40)式成立. 剩下部分的证明与定理3.1中的证明相同.

(命题3的证明)  命题2和3的证明十分相似, 唯一的不同点在于方程(2.1)所有可能$ T $ -周期正解的先验下界的估计.

类似地, 我们可以证明(3.34)式成立, 且存在常数$ t_3, t_4\in{{\Bbb R}} $满足(3.35)式. 因此, 我们有

$ F(u(t_{3}))\geq\inf\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}F(x): = B_{2}. $

另一方面, 对(3.33)式在区间$ (t_3, t_4) $进行积分, 可以得到

$ \begin{eqnarray*} F(u(t_{4}))&\geq & F(u(t_{3}))-\int^{t_{4}}_{t_{3}}\frac{\alpha_{+}(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s+\int^{t_{4}}_{t_{3}}\frac{\alpha_{-}(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s\\ &\geq& B_{2}-\int^T_0\frac{\alpha_{+}(s)}{u^{\mu}(s)}{\rm d}s\\ &\geq & B_{2}-\frac{T\overline{\alpha_{+}}}{u^{\mu}(t_{4})}, \end{eqnarray*} $

即

$ F(u(t_{4}))+\frac{T\overline{\alpha_{+}}}{u^{\mu}(t_{4})}\geq B_{2}. $

结合条件(3.31), 我们得到

$ \min\limits_{t\in[0, T]}u(t) = u(t_{4})>\gamma_{3}. $

证毕.

推论3.1  设$ \bar{\alpha}>0 $, 且下述关系式成立

(3.41) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}F(x)<+\infty, \end{equation} $

(3.42) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\Big(F(x)-\frac{T\overline{\alpha_+}}{x^{\mu}}\Big) = +\infty. \end{equation} $

那么方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

证   显然, 由(3.41)和(3.42)式, 得到$ \sup\limits_{x\in[A(\varepsilon), +\infty)}F(x)<+\infty $, (3.28)和(3.29)式都成立. 因此, 该推论的结论可由定理3.2中的命题2直接得到.

类似地, 运用定理3.2中的命题3, 我们可以得到下述推论.

推论3.2  设$ \bar{\alpha}>0 $, 且下述关系式成立

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}F(x)>-\infty , $

$ \lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\Big(F(x)+\frac{T\overline{\alpha_+}}{x^{\mu}}\Big) = -\infty, $

那么方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

定理3.3  假设$ \alpha(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $且$ \bar{\alpha}>0 $. 则下述命题成立:

命题1   $ \bar{\varphi}>0 $是方程(1.6)存在$ T $ -周期正解的必要条件.

命题2  若(H$ _2 $)成立, $ \sup\limits_{x\in[(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}})^{\frac{1}{\mu+\delta}}, +\infty)}G(x)<+\infty $, 且存在常数

(3.43) $ \begin{equation} \gamma_4\in \Big(0, \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\Big) \end{equation} $

使得

(3.44) $ \begin{equation} \inf\limits_{x\in(0, \gamma_4]}G(x)>\sup\limits_{x\in[(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}})^{\frac{1}{\mu+\delta}}, +\infty)}G(x)+T\overline{\varphi_+}, \end{equation} $

那么方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

命题3   若条件(H$ _2 $)成立, $ \inf\limits_{x\in[(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}})^{\frac{1}{\mu+\delta}}, +\infty)}G(x)>-\infty $, 且存在常数

(3.45) $ \begin{equation} \gamma_5\in \Big(0, \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\Big), \end{equation} $

使得

(3.46) $ \begin{equation} \sup\limits_{x\in(0, \gamma_5]}G(x)<\inf\limits_{x\in\big[\big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}, +\infty\big)}G(x)-T\overline{\varphi_+}, \end{equation} $

那么方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

证   (命题1的证明)   设方程(1.6) 存在一个$ T $ -周期正解$ c $, 则

(3.47) $ \begin{equation} c''(t)+ f(c(t))c'(t)-\varphi(t)c^\delta(t)+\frac{\alpha(t)}{c^{\mu}(t)} = 0. \end{equation} $

在(3.47) 式两端同时乘以$ c $, 并对其在区间$ [0, T] $上积分, 得

(3.48) $ \begin{equation} \int^T_0\frac{\alpha(t)}{c^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t\leq T\bar{\varphi}. \end{equation} $

根据假设$ \alpha(t)\ge0 $ a.e. $ t\in[0, T] $且$ \bar{\alpha}>0 $, 从(3.48) 式可知

$ \bar{\varphi}>0. $

(命题2的证明)  鉴于该证明类似于定理3.2中的命题2的证明, 我们在此只给出方程(2.1)所有可能$ T $ -周期正解的先验下界的估计. 假设$ u $是方程(2.1)的一个$ T $ - 周期正解, 则

(3.49) $ \begin{equation} u''(t)+\lambda f(u(t))u'(t)-\lambda\varphi(t)u^\delta(t)+\frac{\lambda\alpha(t)}{u^{\mu}(t)} = 0. \end{equation} $

在(3.49) 式两端同时除以$ u $, 并对其在区间$ [0, T] $上积分, 我们有

(3.50) $ \begin{equation} \int^T_0\frac{\alpha(t)}{u^{\mu+\delta}(t)}{\rm d}t\leq T\bar{\varphi}, \end{equation} $

应用积分中值定理, 结合假设$ \alpha(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $, 从(3.50)式, 我们可以推出, 存在常数$ \eta_{1}\in[0, T] $使得

(3.51) $ \begin{equation} u(\eta_{1})\geq\Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}} . \end{equation} $

易知存在常数$ t_5, t_6\in{{\Bbb R}} $满足$ 0<t_{6}-t_{5}\le T $, $ u(t_{5}) = \max\limits_{t\in[0, T]}u(t) $, 以及$ u(t_{6}) = \min\limits_{t\in[0, T]}u(t) $. 因此, 由(3.51)式可知

$ \Big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\Big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\leq u(t_{5})<+\infty, $

由此得到

$ G(u(t_{5}))\leq\sup\limits_{x\in\big[\big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}, +\infty\big)}G(x): = C_{0}. $

对(3.49)式两端同时乘以$ u $, 并对其在区间$ [t_5, t_6] $上积分, 我们得到

$ G(u(t_{6}))\leq G(u(t_{5}))-\int^{t_{6}}_{t_{5}}\frac{\alpha(s)}{u^{\mu+\delta}(s)}{\rm d}s+\int^{t_{6}}_{t_{5}}\varphi(s){\rm d}s\leq C_{0}+T\overline{\varphi_{+}}. $

即

$ G(u(t_{6}))\leq C_{0}+T\overline{\varphi_{+}}. $

结合(3.44)式得到

(3.52) $ \begin{equation} \min\limits_{t\in[0, T]}u(t) = u(t_{6})>\gamma_{4}. \end{equation} $

由于命题3的证明与命题2的证明完全类似, 我们在此处略去.

推论3.3  假设(H$ _2 $)成立, $ \alpha(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $且$ \bar{\alpha}>0 $. 若下述关系式成立

(3.53) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}G(x)<+\infty, \end{equation} $

(3.54) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow0^+}G(x) = +\infty. \end{equation} $

那么方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

证   由(3.53)式知$ \sup\limits_{x\in[(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}})^{\frac{1}{\mu+\delta}}, +\infty)}G(x)<+\infty $. 再根据(3.54)式知, 存在一个常数$ \gamma_4\in \big(0, \big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\big) $, 使得(3.44)式成立. 运用定理3.3中的命题2, 我们可以直接得到结论.

推论3.4   假设(H$ _2 $)成立, $ \alpha(t)\ge 0, $ a.e. $ t\in[0, T] $且$ \bar{\alpha}>0 $. 若下述关系式成立

(3.55) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}G(x)>-\infty, \end{equation} $

(3.56) $ \begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow0^+}G(x) = -\infty. \end{equation} $

那么方程(1.6)至少存在一个$ T $ -周期正解.

证   由方程(3.55)知$ \inf\limits_{x\in[(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}})^{\frac{1}{\mu+\delta}}, +\infty)}G(x)>-\infty $, 再根据(3.56)式知, 存在常数$ \gamma_5\in \big(0, \big(\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\varphi}}\big)^{\frac{1}{\mu+\delta}}\big) $, 使得(3.46)式成立. 运用定理3.3中的命题3, 我们可以直接得到结论.

推论3.5   假设$ \delta\in(0, 1) $, $ \alpha(t)\geq0 $, a.e. $ t\in[0, T] $且$ \bar{\alpha}>0 $. 若下述关系式成立

$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}G(x)>-\infty( <+\infty), $

$ \lim\limits_{x\rightarrow0^+}G(x) = -\infty(+\infty), $

则$ \bar{\varphi}>0 $是方程(1.6)存在$ T $ -周期正解的充要条件.

证   必要性的证明类似于定理3.3中的命题1的证明. 由$ \bar{\varphi}>0 $且$ \delta\in(0, 1) $, 易知假设$ (H_{2}) $成立. 因此, 由推论3.4 (或3.3)可证明充分性.

接下来证明Rayleigh-Plesset方程(1.9)的$ T $ -周期正解的存在性.

引理3.1^{[13, 定理3.4]}  假设$ P_v<\overline{P_\infty} $, 且$ S<\frac{P_{g_0}R_0}{2\rho} $. 若$ \nu> 2\rho\overline{[P_\infty(t)-P_v]_+} $, 则Rayleigh-Plesset方程(1.9) 至少存在一个$ T $ -周期正解.

引理3.2^{[12, 定理4.4]}  假设$ P_v> \overline{P_\infty} $, $ 2\rho S> P_{g_0}R_0 $, 如果

(3.57) $ \begin{equation} {\rm ess}\inf\Big\{P_\infty(t): t\in[0, T]\Big\}>-\infty, \end{equation} $

则Rayleigh-Plesset方程(1.9)至少存在一个$ T $ -周期正解.

易知方程(1.9)是方程(1.6)的特殊形式, 其中$ f(x) = \frac{4\nu}{x^{\frac{4}{5}}} $, $ \varphi(t) = \frac{5 [P_v-P_{\infty}(t)]}{2\rho} $, $ \alpha(t)\equiv\big(5S-\frac{5 P_{g_0}R_0}{2\rho}\big) $, $ \mu = \delta = \frac{1}{5} $. 显然, $ G(x) = \int_1^x\frac{f(s)}{s^\delta}{\rm d}s = 4\nu \ln x, x\in(0, +\infty) $, 则有$ \lim\limits_{x\rightarrow0^+}G(x) = -\infty $, 且$ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}G(x) = +\infty $. 因此, 由推论3.5, 我们可以得到以下结论.

定理3.4  假设$ S>\frac{P_{g_0}R_0}{2\rho} $. 则Rayleigh-Plesset方程(1.9) 至少存在一个$ T $ -周期正解的充分必要条件为$ P_v>\overline{P_\infty} $.

注3.1  由于方程(1.6)中的Liénard项$ f(x)x' $的系数$ f(x) $允许其在$ x = 0 $具有奇性, 且$ \varphi(t) $和$ \alpha(t) $在$ [0, T] $上都可变号, 因此本文完善了文献[15-19]和[23]中的研究工作. 此外, 条件(3.4), (3.29)和(3.31)在估计方程(1.7)周期解的先验正下界过程中, 起着至关重要的作用. 所以$ f(x) $在$ x = 0 $处的奇性有助于方程周期解的存在.

注3.2  由引理3.1可知, 由于文献[13]中定理3.4的条件为$ P_v<\overline{P_\infty} $, $ S<\frac{P_{g_0}R_0}{2\rho} $, 定理3.4相应条件为$ P_v>\overline{P_\infty} $, $ S>\frac{P_{g_0}R_0}{2\rho} $. 故定理3.4与文献[13]中的定理3.4的条件完全不同. 此外, 通过比较引理3.2和定理3.4, 我们发现定理3.4不需要条件(3.57)满足. 由此可知定理3.4改进了已知结果(如文献[12, 定理4.4]).