本文的目的是研究在二维全空间上的非线性亥姆霍茨方程

(1.1) $ \begin{equation} - \Delta u - u = Q|u|^{p-2}u+ \sum\limits_{i = 1}^{N}k_i\delta_{A_i} \end{equation} $

的弱解, 其中$ p>1 $, $ k_i\in{{\Bbb R}}\setminus\{0\} $, $ i = 1, \cdots, N $, $ Q:{{\Bbb R}}^2\to[0, +\infty) $是可测函数, $ \delta_{A_i} $是集中在$ A_i $上的狄拉克测度.

线性亥姆霍茨方程产生于与时间无关的波动方程, 而非线性亥姆霍茨方程被视为典型的稳态薛定谔方程, 且与Ginzburg-Landau方程有关, 近年来它们的广泛应用推动了非线性亥姆霍茨方程的研究, 参见文献[13-16, 18, 21-22, 27]. 特别地, 文献[15]考虑了$ -\Delta u- u = Qf(u) $在$ n\, (n\geq3) $维全空间上的实值弱解, 他们主要运用了对偶变分方法获得对应积分方程能量泛函的临界点, 这样避免了原微分方程能量泛函在$ H^1({{\Bbb R}}^n) $上的强不定性.

亥姆霍茨算子$ -\Delta-{\rm id} $的一个特征是其基本解在无穷远处的振荡渐近性态. 我们记

$ \Phi(x) = c_0 \lim\limits_{\Lambda\to 0}\frac{ \cos (\Lambda\pi) {{\mathbb J}}_{\Lambda}(|x|)-{{\mathbb J}}_{-\Lambda}(|x|) }{\sin{\Lambda \pi}}, \quad \forall \, x\in{{\Bbb R}}^2\setminus\{0\}, $

其中$ c_0>0 $是常数, $ {\mathbb J}_{\Lambda} $是第一类Bessel函数, 有

$ {\mathbb J}_{-\Lambda}(t) = \sum\limits^{+\infty}_{j = 0}\frac{(-1)^j}{j!\Gamma(j-\Lambda+1)}\left(\frac t2\right)^{2j-\Lambda}, \quad \forall\, t>0. $

我们知道$ \Phi $满足$ -\Delta u-u = \delta_0 $, 在原点附近有奇性$ -c_0\ln |x| $, 在无穷远有由$ |x|^{-\frac{1}{2}} $控制的振荡衰减性. 这些渐近性态决定了方程(1.1) 中指数$ p $的取值范围.

本文的目的是讨论带多重狄拉克测度的方程(1.1)的弱解. 这里的弱解$ u $是满足积分等式

(1.2) $ \begin{equation} u = \Phi\ast(Q|u|^{p-2}u)+\sum\limits^N_{i = 1}k_i\Phi_{A_i}, \end{equation} $

其中$ \Phi_{A_i}(x) = \Phi(x-A_i) $, $ * $代表卷积. 与积分形式等价的弱解定义为：$ u\in L^1_{loc}({{\Bbb R}}^2) \cap L^{p-1}_{loc}({{\Bbb R}}^2, Q{\rm d}x) $满足分布恒等式

$ \int_{{{\Bbb R}}^2} u(-\Delta)\xi\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2} Q|u|^{p-2}u\xi\, {\rm d}x+\sum\limits^N_{i = 1}k_i\xi(A_i), \quad \forall\xi\in C^{1.1}_c({{\Bbb R}}^2). $

对权函数$ Q $, 我们提出如下假设条件.

$ ( {\mathbb Q}_\alpha) $   $ Q\in L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2) $是Hölder连续的非负函数, $ \alpha\in [-\infty, 0] $, $ Q(0)>0 $. 如果$ \alpha = 0 $,

$ \lim\limits_{|x|\to+\infty} Q(x) = 0, $

其中$ L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2) $是满足下列性质的函数$ w $所构成的空间

$ \|w\| _{L^\infty_\alpha}: = \mathop{\rm ess\sup}\limits_{x\in{{\Bbb R}}^2}|w(x)|(1+|x|)^{-\alpha}<+\infty. $

特别地, 如果$ Q $有紧支集, 我们记$ \alpha = -\infty $.

对方程(1.1)弱解的存在性有如下结论.

定理1.1  设$ k_i\not = 0 $, $ A_i\in{{\Bbb R}}^2 $, $ i = 1, \cdots N $, $ Q $满足$ ( {\mathbb Q}_\alpha) $, $ \alpha \in[-\infty, 0] $且

$ p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\}, $

则存在$ k^*>0 $, 使得当$ k: = \sum\limits^N_{i = 1}|k_i| < k^* $时, 方程(1.1)有两个弱解$ u_{k, j}\ (j = 1, 2) $. 此外, $ \{u_{k, j}\}_{k, j} $是下列方程的经典解

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta u-u = Q|u|^{p-2}u, &{ } x\in{{\Bbb R}}^2\setminus\{ \bigcup\limits_{i = 1}^N A_i\}, \\ { }\lim\limits_{|x-A_i|\to0^+}u(x) = +\infty& \end{array}\right. \end{equation} $

且满足

(1.4) $ \begin{equation} \lim\limits_{|x-A_i|\to0^+} \frac{u_{k, j}(x)}{-\ln{|x-A_i|}} = c_0k_i, \end{equation} $

其中$ c_0>0 $.

下面我们给出问题(1.1)的弱解在无穷远的渐近性态.

定理1.2  设$ Q\in L^\infty_\alpha ({{\Bbb R}}^2) $是Hölder连续的非负径向对称函数, $ \alpha\in[-\infty, 0] $且

$ p>\max\{2, 4(2+\alpha)\}. $

如果函数$ u\in L^p({{\Bbb R}}^2) $是方程(1.1)的一个弱解, 那么

(1.5) $ \begin{equation} \limsup\limits_{|x|\to+\infty}|u(x)||x|^{\frac{1}{2}}<+\infty. \end{equation} $

我们获得弱解的主要方法是对偶变分意义上的山路引理, 在无穷远的渐近性态是基于Zemach和Odeh在文献[1, 32] 中的迭代方法. 多重狄拉克测度半线性方程的研究起源于Thomas-Fermi方程, 其中狄拉克测度代表原子核, 见文献[3, 20, 31]. 之后学者们对这类方程进行了广泛的研究, 如孤立奇性的分析^{[5-7, 17, 19, 25, 30]}, 变分解的存在性^{[2, 8, 10, 23]}, 以及运用不动点定理研究解的存在性^{[9, 28, 31]}. 在文献[29]中, 作者证明了零边值条件下方程

(1.6) $ \begin{equation} -\Delta u+g(u) = \nu, \ \ \ x\in\Omega \end{equation} $

存在唯一的弱解, 这里$ \Omega\subset{{\Bbb R}}^2 $是一个有界区域, $ \nu $是有界的Radon测度, 其具有如下勒贝格测度分解

$ \nu = \nu_r+\sum\limits_{i = 1}^N k_i\delta_{A_i}, \quad\quad \frac{4\pi}{\beta_-(g)}\leq k_j\leq \frac{4\pi}{\beta_+(g)}, $

这里$ \beta_\pm(g) $是吸收非线性项$ g $的指数级增长阶, 定义如下

$ \beta_\pm(g) = \pm \inf\Big\{b>0:\int_{1}^{\infty}|g (\pm t )|e^{-bt}{\rm d}t<\infty\Big\}. $

与带吸收非线性项的半线性问题不同的是, 在Serrin次临界情况下, 即$ 1<q<\frac{n}{n-2} $, $ n\geq 3 $或$ 1<q<+\infty $, $ n = 2 $, 零边值条件下带发散非线性项的椭圆方程

$ -\Delta u = u^q+k\delta_0, \ \ \, x\in\Omega $

当$ k>0 $较小时存在两个正弱解. 更多关于带狄拉克测度和发散非线性项的椭圆问题参见文献[10, 12, 24, 31].

方程(1.1)中的亥姆霍茨算子使得其对应的能量泛函有强不定性的二次部分$ \int_{{{\Bbb R}}^2}|(\nabla u|^2-u^2){\rm d}x $, 这为我们运用山路引理带来了极大的困难, 为了克服这个困难, 我们转而考虑方程(1.1) 对应的积分方程(1.2), 令$ v = Q^{\frac1{p'}} |u|^{p-2}u $, 它满足下面的积分等式

$ |v|^{p'-2}v = Q^{\frac1p}\Phi\ast(Q^{\frac1p}v)+\sum\limits_{i = 1}^N k_iQ^{\frac1p} \Phi_{A_i}, $

其中$ p' = \frac{p}{p-1} $是$ p $的对偶指数, 这样就可以利用山路引理来寻找积分方程对应能量泛函的临界点. 文献[4]断言方程(1.3)没有正解, 而我们在定理1.1中指出方程(1.3)有两族变号奇性解, 这两族解是通过变化参数$ k\in(0, k^*) $来实现的, 且参数$ k $也是全向奇性的系数.

当无外源狄拉克测度时方程(1.1)简化为

(1.7) $ \begin{equation} -\Delta u-u = Q|u|^{p-2}u. \end{equation} $

推论1.1  设函数$ Q $满足$ ( {\mathbb Q}_\alpha) $, $ \alpha \in[-\infty, 0] $且$ p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\} $, 则方程(1.7)存在一个非平凡解.

本文的结构如下: 在第2节中, 我们给出了对应积分方程及算子的基本估计; 在第3节中, 我们证明了(1.1) 弱解的存在性, 并给出了解在无穷处的渐近性态.

在二维空间中, $ -\Delta-{\rm id} $的基本解$ \Phi $是径向对称的, 并且具有如下渐近性态:

(2.1) $ \begin{equation} \lim\limits_{|x|\to0^+}\frac{\Phi(x)}{-\ln|x|} = c_0, \quad\ \quad \limsup\limits_{|x|\to+\infty}|\Phi(x)||x|^{\frac12} = c_1, \end{equation} $

其中$ c_0, \, c_1>0 $, 也就是说在分布意义下$ \Phi $满足$ -\Delta \Phi-\Phi = \delta_0 $. 我们观察到用$ \Phi $卷积$ {{\Bbb R}}^2 $上的Schwartz函数$ v $, 即$ \Phi*v $, 会满足

(2.2) $ \begin{equation} -\Delta(\Phi*v)-\Phi*v = v. \end{equation} $

定理2.1^{[18, Theorem 6: N=2]}  如果$ 1\leq q_1<\frac{4}{3} $, $ 4<q_2\leq +\infty $且满足

(2.3) $ \begin{equation} \frac23\leq \frac1{q_1}-\frac1{q_2}\leq 1, \end{equation} $

则存在$ c_2>0 $, 使得对任意$ w\in L^{q_1}({{\Bbb R}}^2) $都有

$ \|\Phi\ast w\|_{L^{q_2}({{\Bbb R}}^2)}\leq c_2\|w\|_{L^{q_1}({{\Bbb R}}^2)}. $

下面我们介绍Birman-Schwinger算子$ {{\bf K}}_p $, 其定义为

(2.4) $ \begin{equation} {{\bf K}}_p: L^{p'}({{\Bbb R}}^2) \to L^p({{\Bbb R}}^2), \qquad {{\bf K}}_p(v) = Q^{\frac1p} (\Phi\ast (Q^{\frac1p}v)), \end{equation} $

其中$ p' = \frac{p}{p-1} $. Birman-Schwinger算子$ {{\bf K}}_p $具有如下性质.

引理2.1   设函数$ Q \in L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2) $, $ \alpha\leq 0 $, $ p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\} $, 那么存在$ c_3>0 $使得

(2.5) $ \begin{equation} \Big|\int_{{{\Bbb R}}^N}v{{\bf K}}_p(v)\, {\rm d}x\Big|\leq c_3\|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}^2. \end{equation} $

证   设$ q\geq \max\{6, p\} $, 我们有

$ \frac23 \leq \frac{1}{q'}-\frac1q = \frac{q-2}{q}<1, $

令$ q_1 = q' $, $ q_2 = q $, 从而(2.3)式成立, 根据定理2.1, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \Big| \int_{{{\Bbb R}}^2}Q^\frac1pv\, (\Phi\ast (Q^\frac1p v))\, {\rm d}x\Big| & \leq& \Big( \int_{{{\Bbb R}}^2}|Q|^\frac{q'}p|v|^{q'}{\rm d}x\Big)^{\frac1{q'}} \Big( \int_{{{\Bbb R}}^2}|\Phi\ast(Q^\frac{1}pv)|^q{\rm d}x\Big)^{\frac1{q}} \\ & \leq &c_4 \Big( \int_{{{\Bbb R}}^2}|Q|^\frac{q'}p|v|^{q'}{\rm d}x\Big)^{\frac2{q'}}. \end{eqnarray*} $

如果$ \alpha = 0 $且$ q = p $, 我们有

$ \Big| \int_{{{\Bbb R}}^2}Q^\frac1pv\, (\Phi\ast (Q^\frac1p v))\, {\rm d}x\Big| \leq c_5 \|Q\|_{L^\infty({{\Bbb R}}^2)}^{\frac2{p}} \Big(\int_{{{\Bbb R}}^2} |v|^{p'} {\rm d}x\Big)^{ \frac2{p'}}. $

如果$ \alpha<0 $且$ q>p $, 我们有

$ \Big| \int_{{{\Bbb R}}^2}Q^\frac1pv\, (\Phi\ast (Q^\frac1p v))\, {\rm d}x\Big| \leq c_5 \Big(\int_{{{\Bbb R}}^2}|Q|^{\frac{q'}{p}\frac{p'}{p'-q'}} {\rm d}x\Big)^{(1-\frac{q'}{p'}){\frac2{q'}}} \Big(\int_{{{\Bbb R}}^2} |v|^{p'} {\rm d}x\Big)^{ \frac2{p'}}, $

其中$ \alpha \frac{q}{q-p}<-2 $,

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^2}|Q|^{\frac{q'}{p}\frac{p'}{p'-q'}} {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2} |Q|^{ \frac{q}{q-p}} {\rm d}x \leq c_6 \int_{{{\Bbb R}}^2} (1+|x|)^{\alpha \frac{q}{q-p} }{\rm d}x <+\infty. \end{eqnarray*} $

事实上, 如果$ \alpha\leq -2 $, 它总是成立的. 当$ \alpha\in(-2, \, 0) $时, 它等价于

(2.6) $ \begin{equation} \max\{p, 6\}\leq q< \frac{2p}{2+\alpha}, \end{equation} $

如果$ \frac{2}{2+\alpha}>1 $和$ \frac{2p}{2+\alpha}>6 $, 这样的$ q $是可以取到的, 因此当$ \alpha\in(-2, 0) $且$ p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\} $时, 不等式(2.5) 成立.

综上所述, 当$ \alpha\leq 0 $, $ p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\} $时, 我们有(2.5) 式.

引理2.2  设函数$ Q \in L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2) $, $ \alpha\leq0 $, $ \lim\limits_{|x|\to+\infty}Q(x) = 0 $且$ p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\} $, 那么

(ⅰ) $ {{\bf K}}_p: L^{p'}({{\Bbb R}}^2)\to L^p({{\Bbb R}}^2) $是有界的紧算子;

(ⅱ) $ {{\bf K}}_p $是对称的, 即

$ \int_{{{\Bbb R}}^2}w{{\bf K}}_p(v)\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2}v{{\bf K}}_p(w)\, {\rm d}x, \ \ \ \forall v, w\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2). $

证   (ⅰ) 当$ \alpha = 0 $时, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^2} |{{\bf K}}_p(v)|^p\, {\rm d}x & \leq& c_7\|Q\|_{L^\infty({{\Bbb R}}^2)}^{\frac2p} \Big( \int_{{{\Bbb R}}^2}|v|^{p'}{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{p-1}}; \end{eqnarray*} $

当$ \alpha<0 $时, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^2} |{{\bf K}}_p(v)|^p\, {\rm d}x & \leq& c_7\|Q\|_{L^\infty({{\Bbb R}}^2)}^{\frac1q} \Big( \int_{{{\Bbb R}}^2}Q^\frac{q'}p|v|^{q'}{\rm d}x\Big)^{\frac{p}{q'}} \\ & \leq& c_7 \Big(\int_{{{\Bbb R}}^2}|Q|^{\frac{q'}{p}\frac{p'}{p'-q'}} {\rm d}x\Big)^{(1-\frac{q'}{p'}){\frac{p}{q'}}} \Big(\int_{{{\Bbb R}}^2} |v|^{p'} {\rm d}x\Big)^{ \frac{p}{p'}}, \end{eqnarray*} $

其中$ q $满足(2.6)式. 因此$ {{\bf K}}_p: L^{p'}({{\Bbb R}}^2)\to L^p({{\Bbb R}}^2) $是有界算子.

下面证明$ {{\bf K}}_p $是紧算子. 假设$ \{v_n\}_n\subset L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $弱收敛到$ 0 $, 取$ q>\max\{p, \, 6\} $, 根据文献[15, Proposition A.1], 对任意$ n\in {\mathbb N} $有$ \Phi\ast (Q^{\frac1p}v_n)\in W^{2, q'}_{{\rm loc}}({{\Bbb R}}^2) $, 从而对任意的$ R>0 $, 有

$ \|\Phi\ast (Q^{\frac1p}v_n)\|_{W^{2, q'}(B_R(0))} \leq c_8\left(\|\Phi\ast (Q^{\frac1p}v_n)\|_{L^q({{\Bbb R}}^2)} +\|Q^{\frac1p}v_n\|_{L^{q'}({{\Bbb R}}^2)}\right)\leq c_8\|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}, $

因此$ \{\Phi\ast(Q^{\frac1p}v_n)\}_n $是$ W^{2, q'}(B_R(0)) $中的有界序列.

当$ 1\leq t<\frac{Nq'}{N-2q'} $时, $ W^{2, q'}(B_R(0))\hookrightarrow L^t(B_R(0)) $是紧的, 因此对于$ p>\max\{2, \, 3(2-\alpha)\} $, 我们选择合适的$ q $使得$ p<\frac{Nq'}{N-2q'} $, 且当$ q\to \frac{2N}{N-2} $时, $ \frac{Nq'}{N-2q'}\to \frac{2N}{N-2} $, 所以当$ n\to\infty $时, 有

(2.7) $ \begin{equation} {{\bf K}}_p(v_n) = Q^{\frac1p}(\Phi\ast(Q^{\frac1p}v_n))\to 0 \end{equation} $

在$ L^p_{loc}({{\Bbb R}}^2) $中.

由$ \lim\limits_{|x|\to+\infty}Q(x) = 0 $, 我们知道对任意的$ \epsilon>0 $, 如果$ R>0 $足够大, 则有

$ |Q(x)|< \epsilon^p, \quad\ \ |x|>R. $

因此对所有的$ n\in {\mathbb N} $, 有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^2\setminus B_R(0)} |{{\bf K}}_p(v_n)|^p\, {\rm d}x &\leq& \|\Phi\ast (Q^{\frac1p}v_n)\|_p^p \: {\rm esssup}_{|x|\geq R}|Q(x)|^{\frac1p}\leq C \epsilon, \end{eqnarray*} $

结合(2.7)式, 则存在$ n_\epsilon>0 $使得对$ n\geq n_\epsilon $, 有

$ \|{{\bf K}}_p(v_n)\|_{L^p(B_R(0))}\leq \epsilon. $

因此$ {{\bf K}}_p $是紧的.

(ⅱ) 证明$ {{\bf K}}_p $是对称的. 设$ v, w\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $, $ f: = Q^\frac1pv $, $ g: = Q^\frac1pw $, 利用$ {{\bf K}}_p $的定义和卷积的性质, 我们有

$ \int_{{{\Bbb R}}^2}w{{\bf K}}_p (v)\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2}g (\Phi\ast f)\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2}f(\Phi\ast g)\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2}v\, {{\bf K}}_p(w)\, {\rm d}x. $

引理2.2证毕.

引理2.3  设函数$ Q $满足$ ( {\mathbb Q}_\alpha) $, $ \alpha \leq0 $, $ r_0 $是$ \Phi $的第一个零点. 那么对任意的支集在$ B_{\frac{r_0}2}(0) $上的非负函数$ v\in C_c^\infty({{\Bbb R}}^2) $, 我们有

$ \int_{{{\Bbb R}}^2}v(\Phi\ast v)\, {\rm d}x>0. $

证   因为在$ B_{r_0}(0)\setminus\{0\} $上$ \Phi>0 $, 所以对任意的支集在$ B_{\frac{r_0}2}(0) $上的非负函数$ v\in C_c^\infty({{\Bbb R}}^2) $, 我们有

$ (\Phi\ast v)(x) = \int_{B_{\frac{r_0}2}(x)} \Phi(x-y) v(y){\rm d}y >0, \quad\ \ x\in B_{\frac{r_0}2}(0), $

从而$ \int_{{{\Bbb R}}^2}v(\Phi\ast v)\, {\rm d}x = \int_{B_{\frac{r_0}2}(0)} v(x) (\Phi\ast v)(x) \, {\rm d}x> 0. $

为了研究方程(1.1), 我们考虑下面的积分方程

(3.1) $ \begin{equation} u = \Phi\ast \Big(Q |u|^{p-2}u \Big)+\sum\limits^{N}_{i = 1}k_i\Phi_{A_i}, \end{equation} $

其中$ \Phi_{A_i}(x) = \Phi(x-A_i) $, $ \Phi $是二维全空间上亥姆霍茨算子的基本解, 见(2.1)式. 令$ v = Q^{\frac1{p'}} |u|^{p-2}u $, 则$ |v|^{p'-2}v = Q^{\frac1p}u $, 将$ Q^{\frac1p} $与方程(3.1) 相乘, 我们有

(3.2) $ \begin{equation} |v|^{p'-2}v = Q^{\frac1{p}} \Phi\ast (Q^{\frac1{p}}v)+Q^{\frac1{p}}\sum\limits^N_{i = 1}k_i\Phi_{A_i}, \end{equation} $

它对应的能量泛函为

(3.3) $ \begin{eqnarray} {\mathcal J}_k (v) = \frac{1}{p'}\int_{{{\Bbb R}}^2}|v|^{p'} \, {\rm d}x - \frac12 \int_{{{\Bbb R}}^2}Q^{\frac1p}v (\Phi\ast (Q^{\frac1p}v))\, {\rm d}x-\sum\limits^N_{i = 1}k_i\int_{{{\Bbb R}}^2}Q^{\frac1p} \Phi_{A_i} v \, {\rm d}x, \end{eqnarray} $

其中$ k = \sum\limits^N_{i = 1}|k_i| $, $ \int_{{{\Bbb R}}^2}Q^{\frac1p}v (\Phi\ast (Q^{\frac1p}v))\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2}v{{\bf K}}_p(v)\, {\rm d}x $, $ {{\bf K}}_p $是由(2.4)式定义的Birman-Schwinger算子. 我们在对偶变分框架中应用山路引理来获得方程(3.2)的弱解.

引理3.1  设函数$ Q $满足$ ( {\mathbb Q}_\alpha) $, $ \alpha \in[-\infty, 0] $, $ p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\} $, 那么

(ⅰ) 存在$ k^*>0 $使得对于任意的$ k\in(0, k^*) $, 存在$ \sigma, \, \rho>0 $使得对所有的$ v\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $, $ \|v\|_{{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}} = \rho $, 我们有$ {\mathcal J}_k (v)\geq \sigma>0 $. 此外, $ {\mathcal J}_k $在$ \{v\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2): \|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}<\rho\} $中有一个局部极小值;

(ⅱ) $ {\mathcal J}_k $在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $中满足Palais-Smale条件.

证   (ⅰ) 根据引理2.1, 存在$ c_3>0 $使得对于$ \|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)} = \rho $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal J}_k(v) & = &\frac{1}{p'}\rho^{p'}- \frac12\int_{{{\Bbb R}}^2}v{{\bf K}}_p(v)\, {\rm d}x-\sum\limits^N_{i = 1}k_i\int_{{{\Bbb R}}^2}Q^{\frac1p}\Phi_{A_i} v\, {\rm d}x \\ & \geq& \frac{1}{p'}\rho^{p'}- \frac{c_3}2\rho^2 -k \mu_0\rho , \end{eqnarray*} $

其中$ k = \sum\limits^N_{i = 1}|k_i| $,

$ \mu_0 = \max\Big\{\Big( \int_{{{\Bbb R}}^2}Q |\Phi_{A_i} |^p {\rm d}x \Big)^{\frac1p}, \quad i = 1, \cdots, N\Big\}, $

以及由$ p>\max\{2, 3(2+\alpha)\} $有$ \alpha-\frac1{2}p<-2 $.

当$ p>2 $, $ \rho = \rho_0: = (c^{-1}_3p')^{-\frac1{2-p'}} $, $ k\leq \frac{\rho_0^{p'-1}}{4\mu_0p'} $时我们有$ p'<2 $, 所以当$ \|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)} = \rho_0 $时有

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal J}_k(v) \geq \frac1{4p'}\rho_0^{p'}>0. \end{eqnarray*} $

当$ k^*\geq \frac{\rho_0^{p'-1}}{4\mu_0p'} $, 对任意的$ k\in(0, k^*) $, 由$ {\mathcal J}_k(0) = 0 $, 我们知道泛函$ {\mathcal J}_k $在$ \|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}<\rho_0 $中有局部极小值.

(ⅱ) 为证明$ {\mathcal J}_k $在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $中满足Palais-Smale条件, 我们分两步完成.

第一步  $ {\mathcal J}_k $的每一个Palais-Smale序列在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $上都是有界的. 设$ \{v_n\}_n\subset L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $是$ {\mathcal J}_k $的一个Palais-Smale序列, 即有$ \sup\limits_n| {\mathcal J}_k (v_n)|<+\infty $, 且当$ n\to\infty $时, $ {\mathcal J}_k'(v_n)\to 0 $在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2))^\ast\cong L^p({{\Bbb R}}^2) $中. 通过计算我们有

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal J}_k (v_n) & \geq& (\frac{1}{p'}- \frac12)\, \|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}^{p'}-c_9(1-\frac12)k\|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}- \frac12| {\mathcal J}_k'(v_n)v_n| \\ &\geq& (\frac{1}{p'}- \frac12)\, \|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}^{p'}-\Big(c_{10}+\frac12(\| {\mathcal J}_k'(v_n)\|_\ast\Big)\|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}, \end{eqnarray*} $

从而$ \{v_n\}_n $在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $上有界.

第二步 收敛. 由序列的有界性, 我们可以假设$ v_n\rightharpoonup v\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $. 因为函数$ t\mapsto |t|^{p'} $是凸的, 所以当$ n\to\infty $时有

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{p'}\|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}^{p'}-\frac{1}{p'}\|v_n\|^{p'}_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}&\geq& \int_{{{\Bbb R}}^2}|v_n|^{p'-2}v_n(v-v_n)\, {\rm d}x \\ & = & {\mathcal J}_k'(v_n)(v-v_n) + \int_{{{\Bbb R}}^2}v_n{{\bf K}}_p(v-v_n)\, {\rm d}x\to 0. \end{eqnarray*} $

由于$ \lim\limits_{|x|\to+\infty} Q(x) = 0 $, 我们利用引理2.2可知Birman-Schwinger算子$ {{\bf K}}_p $是一个对称的紧算子. 因此$ \|v\|_{p'}\geq \limsup\limits_{n\to\infty}\|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)} $. 另一方面, 由弱收敛性$ v_n\rightharpoonup v $可知$ \|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)} $. 所以$ \lim\limits_{n\to\infty}\|v_n\|_{p'} = \|v\|_{p'} $且$ v_n\to v $在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $中强收敛.

定理1.1的证明  设$ v_0 $是一个光滑的函数, $ v_0 = 1 $在$ B_{\frac{r_0}{4}}(0) $上, $ v_0 = 0 $在$ {{\Bbb R}}^N\setminus B_{\frac{r_0}{2}}(0) $上, 其中$ r_0>0 $来自引理2.3. 根据$ Q(0)>0 $, 我们知道$ Q^{\frac{1}{p}}v_0 $是一个支集在$ B_{\frac{r_0}{2}}(0) $中的Hölder连续函数. 利用引理2.3, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^2}v_0{{\bf K}}_p (v_0)\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2}(Q^{\frac{1}{p}}v_0)\Phi\ast(Q^{\frac{1}{p}}v_0)\, {\rm d}x>0. \end{eqnarray*} $

当$ t>0 $足够大时, 我们有

$ \begin{eqnarray*} {\mathcal J}_k(tv_0) = \frac{t^{p'}}{p'}\int_{{{\Bbb R}}^2}|v_0|^{p'}\, {\rm d}x - \frac{t^2}{2}\int_{{{\Bbb R}}^2}v_0{{\bf K}}_p (v_0)\, {\rm d}x-t\sum\limits^N_{i = 1}k_i \int_{{{\Bbb R}}^2}Q^{\frac1p}\Phi_{A_i} v_0\, {\rm d}x <0. \end{eqnarray*} $

运用引理3.1, 对任意的$ k\in(0, k^*) $, 泛函$ {\mathcal J}_k $有局部极小值且满足山路引理结构. 此外, 它在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $空间中满足Palais-Smale条件.

因此泛函$ {\mathcal J}_k $有两个临界点：局部极小点和鞍点, 从而问题(3.2)存在两个弱解, 记作$ v_{k, j}\ (j = 1, 2) $. 令

(3.4) $ \begin{equation} u_{k, j} = \Phi\ast (Q^{\frac1{p}}v_{k, j})+\sum\limits_{i = 1}^Nk_i\Phi_{A_i}, \end{equation} $

由(3.2)式可知

$ |v_{k, j}|^{p'-2}v_{k, j} = Q^{\frac1{p}} u_{k, j} $

以及

(3.5) $ \begin{equation} v_{k, j} = Q^{1-\frac1{p}}|u_{k, j}|^{p-2}u_{k, j}, \end{equation} $

代入(3.4)式, 我们知道$ u_{k, j} $满足方程(3.1), 也就是说, 当$ k\in(0, k^*) $, 问题(1.1)存在两个弱解.

下面我们抬高$ u_{k, j} $的正则性以及分析它们在原点的奇性. 通过计算我们有

$ \begin{eqnarray*} u_{k, j} = \Phi\ast \Big(Q |u_{k, j}|^{p-2}u_{k, j} \Big) +\sum\limits^N_{i = 1}k_i \Phi_{A_i} = (\Phi\eta_0)\ast (f(u_{k, j}))+ f_1, \end{eqnarray*} $

其中$ f(u_{k, j}) = Q |u_{k, j}|^{p-2}u_{k, j} $, $ f_1 = (\Phi(1-\eta_0))\ast (f(u_{k, j}))+\sum\limits^N_{i = 1}k_i \Phi_{A_i} $, $ \eta_0:{{\Bbb R}}^2\to [0, 1] $是一个光滑函数, 满足$ \eta_0 = 1 $在$ B_1(0) $上, $ \eta_0 = 0 $在$ {{\Bbb R}}^2\setminus B_{2}(0) $上.

对任意的$ q>2p $和$ R>0 $满足$ \sum\limits^N_{i = 1}|A_i|<R $, 我们知道$ f_1 $在$ {{\Bbb R}}^2\setminus\{\bigcup\limits^N_{i = 1}A_i\} $上是光滑的, $ \lim\limits_{|x|\to0^+}\frac{f_1(x)}{-\ln|x-A_i|} = c_0 $且$ f(u_{k, j})\in L^q(B_{R}(0)) $. 根据文献[26, Chapter V], 存在$ c_{11}>0 $, 使得对任意的$ \theta\in(0, 1) $有

(3.6) $ \begin{equation} \|(\Phi\eta_0)\ast (f(u_{k, j}))\|_{C^{\theta} (B_{R}(0))}\le c_{11}\|f(u_{k, j})\|_{L^2(B_{2R}(0))}. \end{equation} $

因此$ \Phi\ast \big(Q |u_{k, j}|^{p-2}u_{k, i} \big) $是Hölder连续的, 结合$ f_1 $在$ {{\Bbb R}}^2\setminus\{\bigcup\limits^N_{i = 1}A_i\} $上是光滑的, 我们可以得到$ u_{k, j} $也是Hölder连续的. 在$ {{\Bbb R}}^2\setminus\{\bigcup\limits^N_{i = 1}A_i\} $的任意紧集上, 我们将$ u_{k, j} $的正则性抬到$ C^{2} $. 因此对$ j = 1, 2 $和$ k\in(0, k^*) $, $ u_{k, j} $是问题(1.3)的一个经典解, 然后由$ \Phi\ast \big(Q |u_{k, j}|^{p-2}u_{k, j} \big) $的有界性, 我们有

$ \lim\limits_{|x-A_i|\to0^+} \frac{u_{k, j}(x)}{-\ln{|x-A_i|}} = c_0k_i. $

证毕.

推论1.1的证明  当$ k = 0 $时, 能量泛函$ {\mathcal J}_k $为

$ {\mathcal J}_0(v) = \frac{1}{p'}\int_{{{\Bbb R}}^2}|v|^{p'}\, {\rm d}x - \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}}^2}v{{\bf K}}_p (v)\, {\rm d}x, $

它满足山路引理的结构并且在$ L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $中满足Palais-Smale条件. 此时的局部极小值是零, 其所对应的解是零解. 方程(1.7)的弱解是对应能量泛函在正水平集上的临界点, 其正则性与定理1.1中的证明类似. 推论1.1证毕.

下面为了获得问题(1.1)的弱解在无穷远的渐近性态, 我们先介绍一个引理.

引理3.2  设$ V\in L^s({{\Bbb R}}^2) $, $ s<\frac43 $, $ u:\, {{\Bbb R}}^2\to{{\Bbb R}} $满足$ Vu\in L^1({{\Bbb R}}^2)\cap L^s({{\Bbb R}}^2) $且

$ u = \Phi\ast(Vu)+\sum\limits^N_{i = 1}k_i\Phi_{A_i}. $

那么存在一个常数$ c_{12}>0 $使得

$ |u(x)|\leq c_{12} |x|^{-\frac{1}{2}}, \qquad \forall|x|>R, $

其中$ R>2 $满足$ |A_i|<\frac{R}{2} $, $ i = 1, \cdots, N. $

证   令$ \ln_+t = \max\{\ln t, 0\} $, 通过计算我们有

$ |\Phi(x)|\leq d_0\bigg(\ln_+\frac1{|x|}+\sqrt{1+|x|}\bigg), \quad\forall\, x\in{{\Bbb R}}^2\setminus\{0\}. $

我们断言存在$ R>2 $使得

(3.7) $ \begin{equation} d_0\int_{B_R^c(0)}|V(y)| \bigg(\ln_+ \frac1{|x-y|} + \frac{2}{\sqrt{1+|x-y|}} +\sqrt{\frac{3}{ 1+|y|}}\bigg) {\rm d}y\leq \frac12. \end{equation} $

事实上, 因为$ V\in L^1(B_1^c(0)) $, 所以当$ r\to+\infty $时我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{B_r^c(0)}|V(y)|\bigg(\frac{2}{\sqrt{1+|x-y|}}+\frac{\sqrt3}{ \sqrt{ 1+|y|}}\bigg) {\rm d}y \\&\leq& (2+\sqrt3)\bigg (\int_{B_r^c(0)} |V(y)|^s{\rm d}y\bigg)^{\frac1s} \bigg (\int_{B_r^c(0)} \Big(\frac{2}{\sqrt{1+|x-y|}}+\frac{\sqrt3}{ \sqrt{ 1+|y|}}\Big)^{s'} {\rm d}y\bigg)^{\frac1{s'}} \\&\leq& (2+\sqrt3)\bigg (\int_{B_r^c(0)} |V(y)|^s{\rm d}y\bigg)^{\frac1s} \bigg(\int_{{{\Bbb R}}^2} \Big(\frac{2+\sqrt3}{\sqrt{1+|y|}} \Big)^{s'} {\rm d}y\bigg)^{\frac1{s'}} \\&\to&0. \end{eqnarray*} $

如果$ s' = \frac{s}{s-1}>4 $, 即$ s<\frac{4}{3} $, 则

$ \bigg(\int_{{{\Bbb R}}^2} \Big(\frac{2+\sqrt3}{\sqrt{1+|y|}} \Big)^{s'} {\rm d}y\bigg)^{\frac1{s'}} <+\infty. $

由于$ V\in L^s(B_1^c(0)) $, $ s>1 $, 所以当$ r\to+\infty $时, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_{B_r^c(0)}|V(y)| \ln_+ |x-y| {\rm d}y & = &\int_{B_r^c(0)}|V(y)| \ln_+ \frac1{|x-y|} {\rm d}y \\&\leq& \bigg(\int_{B_r^c(0)} |V(y)|^s{\rm d}y\bigg)^{\frac1s} \bigg(\int_{B_1(x)}\Big(\ln_+\frac1{|x-y|}\Big )^{s'} {\rm d}y\bigg)^{\frac1{s'}} \\&\to&0. \end{eqnarray*} $

因此, 对足够大的$ R>2 $断言(3.7)式成立.

设

$ u_0(x) = \int_{B_R}\Phi(x-y)V(y)u(y)\, {\rm d}y+ \sum\limits^N_{i = 1}k_i\Phi_{A_i}, $

选取$ R>2 $使得

$ |A_i|<\frac R2, \quad i = 1, \cdots, N. $

那么对所有的$ |x|\geq R $, 我们有

(3.8) $ \begin{equation} |u_0(x)|\leq d_0\int_{B_R}|x-y|^{-\frac{1}{2}}\bigl|V(y)u(y)\bigr|\, {\rm d}y+\sum\limits^N_{i = 1}k_i\Phi_{A_i}(x)\leq c_{12}|x|^{-\frac{1}{2}}, \end{equation} $

其中$ c_{12} = \sqrt{2} d_0\|Vu\|_{L^1({{\Bbb R}}^2)} $. 为了计算上的方便, 我们记

$ B_0(x) = \int_{B_R^c(0)} \Phi(x-y)V(y)u(y)\, {\rm d}y, $

$ u_m(x) = \int_{B_R^c(0)}\Phi(x-y)V(y)u_{m-1}(y)\, {\rm d}x, $

$ w_k(x) = \int_{B_R^c(0)}\Phi(x-y)V(y)B_{k-1}(y)\, {\rm d}x, $

其中$ k, m $是正整数. 对任意的$ M\in {\mathbb N} $, 我们有

$ u = \sum\limits_{m = 0}^M u_m + w_M. $

设$ \beta_m = \sup\limits_{|x|\geq 2R}|B_m(x)| $, 因为$ Vu\in L^1({{\Bbb R}}^2)\cap L^s({{\Bbb R}}^2) $, 像上述类似地计算可以得到$ \beta_0<\infty $. 此外, 结合(3.7)式我们有$ \beta_m\leq 4^{-1}\beta_{m-1} $, 因此当$ m\to\infty $时, $ \beta_m\leq 2^{-m}\beta_0\to 0 $, 从而我们可以得到在$ B_R^c(0) $上$ u = \sum\limits_{m = 0}^\infty u_m $.

根据(3.8)式以及$ u_0\in L^\infty({{\Bbb R}}^2) $, 我们有

$ \mu_0: = \sup\limits_{|x|\geq R}|x|^{\frac{1}{2}}|u_0(x)|<\infty. $

记$ \mu_m = \sup\limits_{|x|\geq R}|x|^{\frac{1}{2}}|u_m(x)| $, $ m\geq 1 $, 则

$ |x|^{\frac{1}{2}}|u_m(x)|\leq \mu_{m-1} d_0\int_{B_R^c(0)}|V(y)|\ |x|^{\frac{1}{2}}|y|^{-\frac{1}{2}}\left((1+|x-y|)^{-\frac{1}{2}}+\ln_+\frac1{|x-y|} \right)\, {\rm d}y. $

记$ I(x, y) = |x|^{\frac{1}{2}}|y|^{-\frac{1}{2}}\left((1+|x-y|)^{-\frac{1}{2}}+\ln_+\frac1{|x-y|} \right) $, 下面我们分两种情况来考虑.

情况1  $ |x-y|\geq1 $, $ |x|, |y|\geq R>2 $. 若$ |x|\leq 4|y| $, 则

$ I(x, y) = |x|^{\frac{1}{2}}|y|^{-\frac{1}{2}} (1+|x-y|)^{-\frac{1}{2}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+|x-y|}}. $

若$ |x|>4|y| $, 则$ |x-y|\geq 3|x| $, 从而我们有

$ I(x, y) = |x|^{\frac{1}{2}}|y|^{-\frac{1}{2}} (1+|x-y|)^{-\frac{1}{2}} \leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+|y|}}. $

综上可得

$ I(x, y) \leq \frac{2}{\sqrt{1+|x-y|}} +\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{|y|}}. $

情况2  $ |x-y|< 1 $, $ |x|, \, |y|\geq R>2 $. 此时我们有$ |x|\leq 2|y| $, 所以

$ I(x, y) \leq \sqrt{2} \left(1+\ln_+\frac1{|x-y|} \right)\leq \ln_+\frac1{|x-y|} + \frac{2}{\sqrt{1+|x-y|}}. $

因此对所有的$ |x|\geq R $, 利用Young's不等式和(3.7)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} |x|^{\frac{1}{2}}|u_m(x)| &\leq & \mu_{m-1} C_0\int_{B_R^c(0)}|V(y)| \bigg( \ln_+\frac1{|x-y|} + \frac{2}{\sqrt{1+|x-y|}} +\sqrt{\frac{3}{ 1+|y|}}\bigg) {\rm d}y \\&\leq& \frac12\mu_{m-1}, \end{eqnarray*} $

从而$ \mu_m\leq 2^{-m}\mu_0 $,

$ \sup\limits_{|x|\geq R}|x|^{\frac{1}{2}}|u(x)|\leq \mu_0 \sum\limits_{m = 0}^\infty 2^{-m} = 2\mu_0<\infty. $

引理3.2证毕.

定理1.2的证明  由(3.5)式和$ v_{k, j}\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2) $, 我们可以得到

$ Q^{1-\frac1{p}}|u_{k, j}|^{p-2}u_{k, j}\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2), $

即

(3.9) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}}^2} Q |u|^{p} {\rm d}x<+\infty. \end{equation} $

我们取$ V = Q|u|^{p-2} $, $ s\in(1, \frac43) $, 运用引理3.2, 则当$ \alpha<0 $时有

$ \begin{eqnarray*} \int_{{{\Bbb R}}^2}|V|^s {\rm d}x& = &\int_{{{\Bbb R}}^2} Q^s |u|^{(p-2)s}{\rm d}x \\&\leq& \bigg(\int_{{{\Bbb R}}^2}Q |u|^p{\rm d}x\bigg)^{\frac{(p-2)s}{p}}\bigg(\int_{{{\Bbb R}}^2} Q^{\frac{2s}{p-(p-2)s}}{\rm d}x\bigg)^{1-\frac{(p-2)s}{p}}, \end{eqnarray*} $

当$ s>\frac{p}{p-2-\alpha} $时, $ \frac{2s}{p-(p-2)s}\alpha<-2 $, 从而

$ \int_{{{\Bbb R}}^2} Q^{\frac{2s}{p-(p-2)s}}{\rm d}x<+\infty. $

当$ p>8+4\alpha $时, 我们有

$ \frac{p}{p-2-\alpha}<\frac43, $

从而得到(1.5)式.

当$ \alpha = 0 $时, 对任意的$ q>4 $, 我们有

$ \sum\limits_{i = 1}^N\Phi_{A_1}\in L^q({{\Bbb R}}^2). $

根据(3.9), 取$ q_0 = \frac{p}{p-1}>1 $, 则

$ \int_{{{\Bbb R}}^2}|Q|u|^{p-2}u|^{q_0} {\rm d}x\leq \int_{{{\Bbb R}}^2} Q^{q_0} |u|^{(p-1)q_0}{\rm d}x\leq \|Q\|_{L^\infty({{\Bbb R}}^2)}^{q_0-1} \int_{{{\Bbb R}}^2} Q |u|^{p}{\rm d}x<+\infty, $

所以$ Q|u|^{p-2}u\in L^{q_0}({{\Bbb R}}^2) $. 再运用定理2.1, 我们有$ \Phi\ast (Q|u|^{p-2}u)\in L^{q_2}({{\Bbb R}}^2) $,

$ 3-2q_0>0\Longrightarrow q_1 = \frac1{\frac1{q_0}-\frac23} = \frac{3}{3-2q_0}q_0>q_0. $

因此

$ u = \Phi\ast (Q|u|^{p-2}u)+\sum\limits_{i = 1}^N\Phi_{A_1}\in L^{q_1}({{\Bbb R}}^2) $

且$ Q|u|^{p-2}u\in L^{q_2}({{\Bbb R}}^2) $. 若$ 3-2q_{n-1}>0 $, 重复上述过程, 可得$ Q|u|^{p-2}u\in L^{q_n}({{\Bbb R}}^2) $,

$ q_n = \frac{3}{3-2q_{n-1}}q_{n-1}>\frac{3}{3-2q_{1}}q_{n-1}, $

从而存在$ n_0>0 $使得

$ 3-2q_{n_0-1}>0, \quad\quad 3-2q_{n_0-1}\leq 0. $

因此, 对任意的$ q>4 $, 我们有

$ u\in L^{q_1}({{\Bbb R}}^2)\cap L^q({{\Bbb R}}^2), $

当$ q\geq\max\{p, 4\} $时有

$ \int_{{{\Bbb R}}^2} Q |u|^{q}{\rm d}x\leq c_{13}. $

当$ s\geq \frac{p}{p-2} $时, 我们有$ (p-2)s \geq p $,

$ \int_{{{\Bbb R}}^2}|V|^s {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2} Q^s |u|^{(p-2)s}{\rm d}x\leq \|Q\|_{L^\infty({{\Bbb R}}^2)}^{s-1} \int_{{{\Bbb R}}^2} Q |u|^{(p-2)s}{\rm d}x. $

因此当$ p\geq 8 $时, 我们有

$ \frac{p}{p-2}<\frac43, $

从而(1.5)式成立. 定理1.2证毕.