本文的目的是研究在二维全空间上的非线性亥姆霍茨方程

的弱解, 其中$p>1$, $k_i\in{{\Bbb R}}\setminus\{0\}$, $i = 1, \cdots, N$, $Q:{{\Bbb R}}^2\to[0, +\infty)$是可测函数, $\delta_{A_i}$是集中在$A_i$上的狄拉克测度.

线性亥姆霍茨方程产生于与时间无关的波动方程, 而非线性亥姆霍茨方程被视为典型的稳态薛定谔方程, 且与Ginzburg-Landau方程有关, 近年来它们的广泛应用推动了非线性亥姆霍茨方程的研究, 参见文献[13-16, 18, 21-22, 27]. 特别地, 文献[15]考虑了$-\Delta u- u = Qf(u)$在$n\, (n\geq3)$维全空间上的实值弱解, 他们主要运用了对偶变分方法获得对应积分方程能量泛函的临界点, 这样避免了原微分方程能量泛函在$H^1({{\Bbb R}}^n)$上的强不定性.

亥姆霍茨算子$-\Delta-{\rm id}$的一个特征是其基本解在无穷远处的振荡渐近性态. 我们记

其中$c_0>0$是常数, ${\mathbb J}_{\Lambda}$是第一类Bessel函数, 有

我们知道$\Phi$满足$-\Delta u-u = \delta_0$, 在原点附近有奇性$-c_0\ln |x|$, 在无穷远有由$|x|^{-\frac{1}{2}}$控制的振荡衰减性. 这些渐近性态决定了方程(1.1) 中指数$p$的取值范围.

本文的目的是讨论带多重狄拉克测度的方程(1.1)的弱解. 这里的弱解$u$是满足积分等式

其中$\Phi_{A_i}(x) = \Phi(x-A_i)$, $*$代表卷积. 与积分形式等价的弱解定义为：$u\in L^1_{loc}({{\Bbb R}}^2) \cap L^{p-1}_{loc}({{\Bbb R}}^2, Q{\rm d}x)$满足分布恒等式

对权函数$Q$, 我们提出如下假设条件.

$( {\mathbb Q}_\alpha)$   $Q\in L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2)$是Hölder连续的非负函数, $\alpha\in [-\infty, 0]$, $Q(0)>0$. 如果$\alpha = 0$,

其中$L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2)$是满足下列性质的函数$w$所构成的空间

特别地, 如果$Q$有紧支集, 我们记$\alpha = -\infty$.

对方程(1.1)弱解的存在性有如下结论.

定理1.1  设$k_i\not = 0$, $A_i\in{{\Bbb R}}^2$, $i = 1, \cdots N$, $Q$满足$( {\mathbb Q}_\alpha)$, $\alpha \in[-\infty, 0]$且

则存在$k^*>0$, 使得当$k: = \sum\limits^N_{i = 1}|k_i| < k^*$时, 方程(1.1)有两个弱解$u_{k, j}\ (j = 1, 2)$. 此外, $\{u_{k, j}\}_{k, j}$是下列方程的经典解

且满足

其中$c_0>0$.

下面我们给出问题(1.1)的弱解在无穷远的渐近性态.

定理1.2  设$Q\in L^\infty_\alpha ({{\Bbb R}}^2)$是Hölder连续的非负径向对称函数, $\alpha\in[-\infty, 0]$且

如果函数$u\in L^p({{\Bbb R}}^2)$是方程(1.1)的一个弱解, 那么

我们获得弱解的主要方法是对偶变分意义上的山路引理, 在无穷远的渐近性态是基于Zemach和Odeh在文献[1, 32] 中的迭代方法. 多重狄拉克测度半线性方程的研究起源于Thomas-Fermi方程, 其中狄拉克测度代表原子核, 见文献[3, 20, 31]. 之后学者们对这类方程进行了广泛的研究, 如孤立奇性的分析^{[5-7, 17, 19, 25, 30]}, 变分解的存在性^{[2, 8, 10, 23]}, 以及运用不动点定理研究解的存在性^{[9, 28, 31]}. 在文献[29]中, 作者证明了零边值条件下方程

存在唯一的弱解, 这里$\Omega\subset{{\Bbb R}}^2$是一个有界区域, $\nu$是有界的Radon测度, 其具有如下勒贝格测度分解

这里$\beta_\pm(g)$是吸收非线性项$g$的指数级增长阶, 定义如下

与带吸收非线性项的半线性问题不同的是, 在Serrin次临界情况下, 即$1<q<\frac{n}{n-2}$, $n\geq 3$或$1<q<+\infty$, $n = 2$, 零边值条件下带发散非线性项的椭圆方程

当$k>0$较小时存在两个正弱解. 更多关于带狄拉克测度和发散非线性项的椭圆问题参见文献[10, 12, 24, 31].

方程(1.1)中的亥姆霍茨算子使得其对应的能量泛函有强不定性的二次部分$\int_{{{\Bbb R}}^2}|(\nabla u|^2-u^2){\rm d}x$, 这为我们运用山路引理带来了极大的困难, 为了克服这个困难, 我们转而考虑方程(1.1) 对应的积分方程(1.2), 令$v = Q^{\frac1{p'}} |u|^{p-2}u$, 它满足下面的积分等式

其中$p' = \frac{p}{p-1}$是$p$的对偶指数, 这样就可以利用山路引理来寻找积分方程对应能量泛函的临界点. 文献[4]断言方程(1.3)没有正解, 而我们在定理1.1中指出方程(1.3)有两族变号奇性解, 这两族解是通过变化参数$k\in(0, k^*)$来实现的, 且参数$k$也是全向奇性的系数.

当无外源狄拉克测度时方程(1.1)简化为

推论1.1  设函数$Q$满足$( {\mathbb Q}_\alpha)$, $\alpha \in[-\infty, 0]$且$p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\}$, 则方程(1.7)存在一个非平凡解.

本文的结构如下: 在第2节中, 我们给出了对应积分方程及算子的基本估计; 在第3节中, 我们证明了(1.1) 弱解的存在性, 并给出了解在无穷处的渐近性态.

在二维空间中, $-\Delta-{\rm id}$的基本解$\Phi$是径向对称的, 并且具有如下渐近性态:

其中$c_0, \, c_1>0$, 也就是说在分布意义下$\Phi$满足$-\Delta \Phi-\Phi = \delta_0$. 我们观察到用$\Phi$卷积${{\Bbb R}}^2$上的Schwartz函数$v$, 即$\Phi*v$, 会满足

定理2.1^{[18, Theorem 6: N=2]}  如果$1\leq q_1<\frac{4}{3}$, $4<q_2\leq +\infty$且满足

则存在$c_2>0$, 使得对任意$w\in L^{q_1}({{\Bbb R}}^2)$都有

下面我们介绍Birman-Schwinger算子${{\bf K}}_p$, 其定义为

其中$p' = \frac{p}{p-1}$. Birman-Schwinger算子${{\bf K}}_p$具有如下性质.

引理2.1   设函数$Q \in L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2)$, $\alpha\leq 0$, $p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\}$, 那么存在$c_3>0$使得

证   设$q\geq \max\{6, p\}$, 我们有

令$q_1 = q'$, $q_2 = q$, 从而(2.3)式成立, 根据定理2.1, 我们有

如果$\alpha = 0$且$q = p$, 我们有

如果$\alpha<0$且$q>p$, 我们有

其中$\alpha \frac{q}{q-p}<-2$,

事实上, 如果$\alpha\leq -2$, 它总是成立的. 当$\alpha\in(-2, \, 0)$时, 它等价于

如果$\frac{2}{2+\alpha}>1$和$\frac{2p}{2+\alpha}>6$, 这样的$q$是可以取到的, 因此当$\alpha\in(-2, 0)$且$p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\}$时, 不等式(2.5) 成立.

综上所述, 当$\alpha\leq 0$, $p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\}$时, 我们有(2.5) 式.

引理2.2  设函数$Q \in L^\infty_\alpha({{\Bbb R}}^2)$, $\alpha\leq0$, $\lim\limits_{|x|\to+\infty}Q(x) = 0$且$p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\}$, 那么

(ⅰ) ${{\bf K}}_p: L^{p'}({{\Bbb R}}^2)\to L^p({{\Bbb R}}^2)$是有界的紧算子;

(ⅱ) ${{\bf K}}_p$是对称的, 即

证   (ⅰ) 当$\alpha = 0$时, 我们有

当$\alpha<0$时, 我们有

其中$q$满足(2.6)式. 因此${{\bf K}}_p: L^{p'}({{\Bbb R}}^2)\to L^p({{\Bbb R}}^2)$是有界算子.

下面证明${{\bf K}}_p$是紧算子. 假设$\{v_n\}_n\subset L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$弱收敛到$0$, 取$q>\max\{p, \, 6\}$, 根据文献[15, Proposition A.1], 对任意$n\in {\mathbb N}$有$\Phi\ast (Q^{\frac1p}v_n)\in W^{2, q'}_{{\rm loc}}({{\Bbb R}}^2)$, 从而对任意的$R>0$, 有

因此$\{\Phi\ast(Q^{\frac1p}v_n)\}_n$是$W^{2, q'}(B_R(0))$中的有界序列.

当$1\leq t<\frac{Nq'}{N-2q'}$时, $W^{2, q'}(B_R(0))\hookrightarrow L^t(B_R(0))$是紧的, 因此对于$p>\max\{2, \, 3(2-\alpha)\}$, 我们选择合适的$q$使得$p<\frac{Nq'}{N-2q'}$, 且当$q\to \frac{2N}{N-2}$时, $\frac{Nq'}{N-2q'}\to \frac{2N}{N-2}$, 所以当$n\to\infty$时, 有

在$L^p_{loc}({{\Bbb R}}^2)$中.

由$\lim\limits_{|x|\to+\infty}Q(x) = 0$, 我们知道对任意的$\epsilon>0$, 如果$R>0$足够大, 则有

因此对所有的$n\in {\mathbb N}$, 有

结合(2.7)式, 则存在$n_\epsilon>0$使得对$n\geq n_\epsilon$, 有

因此${{\bf K}}_p$是紧的.

(ⅱ) 证明${{\bf K}}_p$是对称的. 设$v, w\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$, $f: = Q^\frac1pv$, $g: = Q^\frac1pw$, 利用${{\bf K}}_p$的定义和卷积的性质, 我们有

引理2.2证毕.

引理2.3  设函数$Q$满足$( {\mathbb Q}_\alpha)$, $\alpha \leq0$, $r_0$是$\Phi$的第一个零点. 那么对任意的支集在$B_{\frac{r_0}2}(0)$上的非负函数$v\in C_c^\infty({{\Bbb R}}^2)$, 我们有

证   因为在$B_{r_0}(0)\setminus\{0\}$上$\Phi>0$, 所以对任意的支集在$B_{\frac{r_0}2}(0)$上的非负函数$v\in C_c^\infty({{\Bbb R}}^2)$, 我们有

从而$\int_{{{\Bbb R}}^2}v(\Phi\ast v)\, {\rm d}x = \int_{B_{\frac{r_0}2}(0)} v(x) (\Phi\ast v)(x) \, {\rm d}x> 0.$

为了研究方程(1.1), 我们考虑下面的积分方程

其中$\Phi_{A_i}(x) = \Phi(x-A_i)$, $\Phi$是二维全空间上亥姆霍茨算子的基本解, 见(2.1)式. 令$v = Q^{\frac1{p'}} |u|^{p-2}u$, 则$|v|^{p'-2}v = Q^{\frac1p}u$, 将$Q^{\frac1p}$与方程(3.1) 相乘, 我们有

它对应的能量泛函为

其中$k = \sum\limits^N_{i = 1}|k_i|$, $\int_{{{\Bbb R}}^2}Q^{\frac1p}v (\Phi\ast (Q^{\frac1p}v))\, {\rm d}x = \int_{{{\Bbb R}}^2}v{{\bf K}}_p(v)\, {\rm d}x$, ${{\bf K}}_p$是由(2.4)式定义的Birman-Schwinger算子. 我们在对偶变分框架中应用山路引理来获得方程(3.2)的弱解.

引理3.1  设函数$Q$满足$( {\mathbb Q}_\alpha)$, $\alpha \in[-\infty, 0]$, $p>\max\{2, \, 3(2+\alpha)\}$, 那么

(ⅰ) 存在$k^*>0$使得对于任意的$k\in(0, k^*)$, 存在$\sigma, \, \rho>0$使得对所有的$v\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$, $\|v\|_{{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}} = \rho$, 我们有${\mathcal J}_k (v)\geq \sigma>0$. 此外, ${\mathcal J}_k$在$\{v\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2): \|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}<\rho\}$中有一个局部极小值;

(ⅱ) ${\mathcal J}_k$在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$中满足Palais-Smale条件.

证   (ⅰ) 根据引理2.1, 存在$c_3>0$使得对于$\|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)} = \rho$, 我们有

其中$k = \sum\limits^N_{i = 1}|k_i|$,

以及由$p>\max\{2, 3(2+\alpha)\}$有$\alpha-\frac1{2}p<-2$.

当$p>2$, $\rho = \rho_0: = (c^{-1}_3p')^{-\frac1{2-p'}}$, $k\leq \frac{\rho_0^{p'-1}}{4\mu_0p'}$时我们有$p'<2$, 所以当$\|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)} = \rho_0$时有

当$k^*\geq \frac{\rho_0^{p'-1}}{4\mu_0p'}$, 对任意的$k\in(0, k^*)$, 由${\mathcal J}_k(0) = 0$, 我们知道泛函${\mathcal J}_k$在$\|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}<\rho_0$中有局部极小值.

(ⅱ) 为证明${\mathcal J}_k$在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$中满足Palais-Smale条件, 我们分两步完成.

第一步  ${\mathcal J}_k$的每一个Palais-Smale序列在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$上都是有界的. 设$\{v_n\}_n\subset L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$是${\mathcal J}_k$的一个Palais-Smale序列, 即有$\sup\limits_n| {\mathcal J}_k (v_n)|<+\infty$, 且当$n\to\infty$时, ${\mathcal J}_k'(v_n)\to 0$在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2))^\ast\cong L^p({{\Bbb R}}^2)$中. 通过计算我们有

从而$\{v_n\}_n$在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$上有界.

第二步 收敛. 由序列的有界性, 我们可以假设$v_n\rightharpoonup v\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$. 因为函数$t\mapsto |t|^{p'}$是凸的, 所以当$n\to\infty$时有

由于$\lim\limits_{|x|\to+\infty} Q(x) = 0$, 我们利用引理2.2可知Birman-Schwinger算子${{\bf K}}_p$是一个对称的紧算子. 因此$\|v\|_{p'}\geq \limsup\limits_{n\to\infty}\|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}$. 另一方面, 由弱收敛性$v_n\rightharpoonup v$可知$\|v\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}\leq\liminf\limits_{n\to\infty}\|v_n\|_{L^{p'}({{\Bbb R}}^2)}$. 所以$\lim\limits_{n\to\infty}\|v_n\|_{p'} = \|v\|_{p'}$且$v_n\to v$在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$中强收敛.

定理1.1的证明  设$v_0$是一个光滑的函数, $v_0 = 1$在$B_{\frac{r_0}{4}}(0)$上, $v_0 = 0$在${{\Bbb R}}^N\setminus B_{\frac{r_0}{2}}(0)$上, 其中$r_0>0$来自引理2.3. 根据$Q(0)>0$, 我们知道$Q^{\frac{1}{p}}v_0$是一个支集在$B_{\frac{r_0}{2}}(0)$中的Hölder连续函数. 利用引理2.3, 我们有

当$t>0$足够大时, 我们有

运用引理3.1, 对任意的$k\in(0, k^*)$, 泛函${\mathcal J}_k$有局部极小值且满足山路引理结构. 此外, 它在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$空间中满足Palais-Smale条件.

因此泛函${\mathcal J}_k$有两个临界点：局部极小点和鞍点, 从而问题(3.2)存在两个弱解, 记作$v_{k, j}\ (j = 1, 2)$. 令

由(3.2)式可知

以及

代入(3.4)式, 我们知道$u_{k, j}$满足方程(3.1), 也就是说, 当$k\in(0, k^*)$, 问题(1.1)存在两个弱解.

下面我们抬高$u_{k, j}$的正则性以及分析它们在原点的奇性. 通过计算我们有

其中$f(u_{k, j}) = Q |u_{k, j}|^{p-2}u_{k, j}$, $f_1 = (\Phi(1-\eta_0))\ast (f(u_{k, j}))+\sum\limits^N_{i = 1}k_i \Phi_{A_i}$, $\eta_0:{{\Bbb R}}^2\to [0, 1]$是一个光滑函数, 满足$\eta_0 = 1$在$B_1(0)$上, $\eta_0 = 0$在${{\Bbb R}}^2\setminus B_{2}(0)$上.

对任意的$q>2p$和$R>0$满足$\sum\limits^N_{i = 1}|A_i|<R$, 我们知道$f_1$在${{\Bbb R}}^2\setminus\{\bigcup\limits^N_{i = 1}A_i\}$上是光滑的, $\lim\limits_{|x|\to0^+}\frac{f_1(x)}{-\ln|x-A_i|} = c_0$且$f(u_{k, j})\in L^q(B_{R}(0))$. 根据文献[26, Chapter V], 存在$c_{11}>0$, 使得对任意的$\theta\in(0, 1)$有

因此$\Phi\ast \big(Q |u_{k, j}|^{p-2}u_{k, i} \big)$是Hölder连续的, 结合$f_1$在${{\Bbb R}}^2\setminus\{\bigcup\limits^N_{i = 1}A_i\}$上是光滑的, 我们可以得到$u_{k, j}$也是Hölder连续的. 在${{\Bbb R}}^2\setminus\{\bigcup\limits^N_{i = 1}A_i\}$的任意紧集上, 我们将$u_{k, j}$的正则性抬到$C^{2}$. 因此对$j = 1, 2$和$k\in(0, k^*)$, $u_{k, j}$是问题(1.3)的一个经典解, 然后由$\Phi\ast \big(Q |u_{k, j}|^{p-2}u_{k, j} \big)$的有界性, 我们有

证毕.

推论1.1的证明  当$k = 0$时, 能量泛函${\mathcal J}_k$为

它满足山路引理的结构并且在$L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$中满足Palais-Smale条件. 此时的局部极小值是零, 其所对应的解是零解. 方程(1.7)的弱解是对应能量泛函在正水平集上的临界点, 其正则性与定理1.1中的证明类似. 推论1.1证毕.

下面为了获得问题(1.1)的弱解在无穷远的渐近性态, 我们先介绍一个引理.

引理3.2  设$V\in L^s({{\Bbb R}}^2)$, $s<\frac43$, $u:\, {{\Bbb R}}^2\to{{\Bbb R}}$满足$Vu\in L^1({{\Bbb R}}^2)\cap L^s({{\Bbb R}}^2)$且

那么存在一个常数$c_{12}>0$使得

其中$R>2$满足$|A_i|<\frac{R}{2}$, $i = 1, \cdots, N.$

证   令$\ln_+t = \max\{\ln t, 0\}$, 通过计算我们有

我们断言存在$R>2$使得

事实上, 因为$V\in L^1(B_1^c(0))$, 所以当$r\to+\infty$时我们有

如果$s' = \frac{s}{s-1}>4$, 即$s<\frac{4}{3}$, 则

由于$V\in L^s(B_1^c(0))$, $s>1$, 所以当$r\to+\infty$时, 我们有

因此, 对足够大的$R>2$断言(3.7)式成立.

设

选取$R>2$使得

那么对所有的$|x|\geq R$, 我们有

其中$c_{12} = \sqrt{2} d_0\|Vu\|_{L^1({{\Bbb R}}^2)}$. 为了计算上的方便, 我们记

其中$k, m$是正整数. 对任意的$M\in {\mathbb N}$, 我们有

设$\beta_m = \sup\limits_{|x|\geq 2R}|B_m(x)|$, 因为$Vu\in L^1({{\Bbb R}}^2)\cap L^s({{\Bbb R}}^2)$, 像上述类似地计算可以得到$\beta_0<\infty$. 此外, 结合(3.7)式我们有$\beta_m\leq 4^{-1}\beta_{m-1}$, 因此当$m\to\infty$时, $\beta_m\leq 2^{-m}\beta_0\to 0$, 从而我们可以得到在$B_R^c(0)$上$u = \sum\limits_{m = 0}^\infty u_m$.

根据(3.8)式以及$u_0\in L^\infty({{\Bbb R}}^2)$, 我们有

记$\mu_m = \sup\limits_{|x|\geq R}|x|^{\frac{1}{2}}|u_m(x)|$, $m\geq 1$, 则

记$I(x, y) = |x|^{\frac{1}{2}}|y|^{-\frac{1}{2}}\left((1+|x-y|)^{-\frac{1}{2}}+\ln_+\frac1{|x-y|} \right)$, 下面我们分两种情况来考虑.

情况1  $|x-y|\geq1$, $|x|, |y|\geq R>2$. 若$|x|\leq 4|y|$, 则

若$|x|>4|y|$, 则$|x-y|\geq 3|x|$, 从而我们有

综上可得

情况2  $|x-y|< 1$, $|x|, \, |y|\geq R>2$. 此时我们有$|x|\leq 2|y|$, 所以

因此对所有的$|x|\geq R$, 利用Young's不等式和(3.7)式, 我们有

从而$\mu_m\leq 2^{-m}\mu_0$,

引理3.2证毕.

定理1.2的证明  由(3.5)式和$v_{k, j}\in L^{p'}({{\Bbb R}}^2)$, 我们可以得到

即

我们取$V = Q|u|^{p-2}$, $s\in(1, \frac43)$, 运用引理3.2, 则当$\alpha<0$时有

当$s>\frac{p}{p-2-\alpha}$时, $\frac{2s}{p-(p-2)s}\alpha<-2$, 从而

当$p>8+4\alpha$时, 我们有

从而得到(1.5)式.

当$\alpha = 0$时, 对任意的$q>4$, 我们有

根据(3.9), 取$q_0 = \frac{p}{p-1}>1$, 则

所以$Q|u|^{p-2}u\in L^{q_0}({{\Bbb R}}^2)$. 再运用定理2.1, 我们有$\Phi\ast (Q|u|^{p-2}u)\in L^{q_2}({{\Bbb R}}^2)$,

因此

且$Q|u|^{p-2}u\in L^{q_2}({{\Bbb R}}^2)$. 若$3-2q_{n-1}>0$, 重复上述过程, 可得$Q|u|^{p-2}u\in L^{q_n}({{\Bbb R}}^2)$,

从而存在$n_0>0$使得

因此, 对任意的$q>4$, 我们有

当$q\geq\max\{p, 4\}$时有

当$s\geq \frac{p}{p-2}$时, 我们有$(p-2)s \geq p$,

因此当$p\geq 8$时, 我们有

从而(1.5)式成立. 定理1.2证毕.