乙型肝炎病毒(Hepatitis B virus, HBV)是一种具有严重传染性的肝炎病毒, 会引起肝炎、肝硬化和肝癌等肝脏疾病, 最终致人死亡, 是严重威胁人类健康的病原体之一^[1-2]. 因此, 乙肝病毒感染的防治工作成为关系到人类健康及国计民生的重大问题, 对其流行规律的定量研究是防治工作的重要依据. 对于如何建立及研究HBV感染的数学模型, 已经成为乙型肝炎致病机理和数学结合的一个重要的具有理论和现实意义的课题.

乙肝病毒感染动力学的研究可以追溯到1996年Nowak等^[3]提出的含有三个态变量的乙肝病毒动力学模型. 由于细胞毒性T淋巴细胞(CTL)通过作用于病毒感染细胞而在抗病毒防御机制中起着重要作用, Nowak等^[4]在此前模型的基础上考虑宿主对感染细胞的免疫应答. 免疫反应的病毒动力学分析为HBV慢性感染的发病机制提供了重要见解. 此外, 时滞在生物系统中普遍存在, 病毒感染也不例外, 病毒感染宿主细胞到宿主细胞转化为感染细胞都需要一定的时间. 在讨论乙型肝炎病毒感染时, 我们引入时滞使所建立的模型更符合实际背景意义. 另外, Min等^[5]指出, 非线性发生率函数更加贴近实际. 鉴于此, 近几十年来, 基于Nowak模型, 国内外许多学者进行了更为深入的研究, 建立了一系列具有免疫应答的传染病模型^[6-12]. 此后, 有关乙肝病毒感染动力学和稳定性研究的文献不断涌现, 该领域的研究广度和深度有了明显的发展, 各种定性或定量研究的理论、方法以及应用实例层出不穷.

相关文献虽从不同角度和侧重点对乙肝病毒动力学和稳定性的有关问题进行了分析, 但主要侧重于整数阶领域, 所涉及到的微分方程多是整数阶的微分方程. 分数阶微积分是研究任意阶微分和积分的理论, 作为整数阶微积分在阶次上的任意推广, 其在物理学、神经网络、医学、控制工程等许多领域表现出强大的优势且具有广泛的应用背景, 已经引起国内外学者的高度关注^[13-15]. 研究发现, 分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程, 将分数阶微积分而不是整数阶微积分应用于数学流行病学为描述记忆特征提供了一个很好的工具, 这是许多生物系统的一个标志参见文献[16]. 分数阶模型与免疫系统中产生记忆T细胞和B细胞的类记忆系统有关, 而整数阶模型并没有关于肝细胞和游离病毒记忆的信息. 因此, 用分数阶微分方程对HBV进行建模具有更高的实际意义, 也引起了一些学者的关注, 在整数阶HBV模型的基础上进行了分数阶的推广^[17-20]. 此外, 大量的研究已经证实, 实际网络中不可避免地存在时滞, 时滞对分数阶系统的动力学行为也有重要的影响. 目前时滞分数阶系统的动力学行为已经成为热门的研究课题^[21-22].

然而, 时滞分数阶系统在HBV感染模型上的运用还相对较少. 鉴于此, 本文结合分数阶微积分的基本理论, 运用Caputo分数阶微分将整数阶免疫时滞HBV感染模型拓展到具有免疫反应的时滞分数阶HBV感染模型. 研究了具有免疫时滞和非线性发生率的分数阶HBV感染模型的稳定性问题. 讨论了系统解的存在唯一性、正性和有界性. 利用泛函微分方程和分数阶动力系统的稳定性理论, 通过分析模型在平衡点处超越特征方程根的分布情况, 讨论了时滞对平衡点稳定性的影响. 最后, 利用分数阶时滞稳定性原理实现了分数阶HBV感染模型的混沌控制.

本节将不加证明地给出本文所涉及的一些数学知识, 以便在后面的数学证明中引用.

分数阶微分存在多种定义方式, 本文选择Caputo分数阶微分进行研究. 如无特别说明, 文中的$ {}_a{\rm{D}}_t^\alpha $均表示Caputo分数阶微分.

定义2.1^[23]  设$ \alpha $是一个正实数, 令$ n - 1 \le \alpha < n $, $ n $为一个正整数. 函数$ f\left( t \right) $定义在区间$ \left[ {a, b} \right] $上, 称

(2.1) $ \begin{equation} {}_a^C{\rm{D}}_t^\alpha f(t) = \frac{1}{{\Gamma (n - \alpha )}}\int_a^t {\frac{{{f^{(n)}}(\tau )}}{{{{(t - \tau )}^{\alpha - n + 1}}}}} {\rm{d}}\tau \end{equation} $

为函数$ f\left( t \right) $的$ \alpha $阶Caputo分数阶导数, 其中$ t \in \left[ {a, b} \right] $, $ \Gamma (z) $表示Gamma函数.

定义2.2^[24](线性性)  令$ f(t), g(t):[a, b] \to {\Bbb R} $, 使得$ {}_a^C{\rm{D}}_t^\alpha f(t) $和$ {}_a^C{\rm{D}}_t^\alpha g(t) $几乎处处存在. 令$ {c_1}, {c_2} \in {\Bbb R} $, 则

(2.2) $ \begin{equation} {}_a^CD_t^\alpha \left( {{c_1}f(t) + {c_2}g(t)} \right) = {c_1}{}_a^CD_t^\alpha f(t) + {c_2}{}_a^CD_t^\alpha g(t). \end{equation} $

定理2.1^[25]  考虑如下带初值的时滞分数阶微分系统

(2.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) = f(t, x(t), x(t - \tau )), t \ge {t_0}, \\ {x^{(k)}}(t) = {\varphi _k}(t), {t_0} - h \le t \le {t_0}, \end{array} \right.\ \end{equation} $

其中: 函数$ f $在点$ ({t_0}, \varphi ({t_0}), x({t_0} - \tau )) $的某邻域内连续. 若$ f $关于除$ t $外所有变元都满足Lipschitz条件, 且初始函数$ {\varphi _k}(t) \in \left[ {{t_0} - h, {t_0}} \right] $, 则系统在$ {t_0} \le t \le {t_0} + h $上存在唯一连续解, 其中$ h $充分小.

考虑Caputo分数阶非线性时滞系统

(2.4) $ \begin{equation} {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) = f(t, x(t)), \ \end{equation} $

其中$ \alpha \in \left( {0, 1} \right) $, 初始条件为$ x\left( {{t_0}} \right) $.

定义2.3^[26]  系统(2.4)的解被称为Mittag-Leffer稳定, 当且仅当

(2.5) $ \begin{equation} \left\| {x(t)} \right\| \le {\left\{ {m\left[ {x({t_0})} \right]{E_\alpha }( - \lambda {{(t - {t_0})}^\alpha })} \right\}^b}, \ \end{equation} $

其中$ {E_\alpha }(t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{t^k}}}{{\Gamma (k\alpha + 1)}}} $是Mittag-Leffer函数, $ {t_0} $为初始时间, $ \alpha \in \left( {0, 1} \right), $$ \lambda > 0, b > 0, $$ m(0) = 0, $$ m(x) \ge 0 $, $ m(x) $满足关于$ x \in {\Bbb B }\in {{\Bbb R }^n} $的局部Lipschitz条件, Lipschitz常数为$ {m_0} $.

定理2.2^[27](一致渐进稳定性定理)  令$ {x^ * } $为分数阶系统(2.4)的稳定点, $ \Omega \subset {{\Bbb R}^n} $为包含$ {x^ * } $的域. 设$ L(t, x(t)):[0, \infty ) \times \Omega \to {\Bbb R} $为连续可微函数, 使得

(2.6) $ \begin{equation} {{W_1}(x) \le L(t, x(t)) \le {W_2}(x)}, {\qquad} {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha L(t, x(t)) \le - {W_3}(x)}, \end{equation} $

其中$ \forall \alpha \in (0, 1), \forall x \in \Omega $, 且$ {W_1}(x), {W_2}(x) $和$ {W_3}(x) $都是$ \Omega $上的连续正定函数, 则系统(2.4)的稳定点一致渐近稳定.

定理2.3^[28]  对于分数阶时滞非线性系统$ {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) = f(x(t), x(t - \tau )) $, 当分数阶微分阶次$ 0 < \alpha < 1 $, $ f(x(t), x(t - \tau )) $满足Lipschiz条件时, 若存在正定矩阵$ P $和半正定矩阵$ Q $, 对于任意的状态变量$ x(t) \in {{\Bbb R}^N} $, 分数阶时滞非线性系统仍然满足

(2.7) $ \begin{equation} {x^T}(t)P{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) + {x^T}(t)Qx(t) - {x^T}(t - \tau )Qx(t - \tau )\leq0, \end{equation} $

则分数阶时滞非线性系统是Lyapunov稳定的.

引理2.1^[29]  令$ x(t)\in{\Bbb R} $为连续可导函数, 则在任意$ t \ge {t_0} $时刻

(2.8) $ \begin{equation} \frac{1}{2}{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha {x^2}(t) \le x(t){}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t), \; \; \; \; \frac{1}{2}{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha {\left( {x(t) - {x^*}} \right)^2} \le \left( {x(t) - {x^*}} \right){}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t), \end{equation} $

其中$ \alpha \in \left( {0, 1} \right) $.

引理2.2^[30](Routh Hurwitz准则)  考虑特征方程

$ {a_0}{\lambda ^n} + {a_1}{\lambda ^{n - 1}} + \cdots + {a_{n - 1}}\lambda + {a_n} = 0, \; \left( {{a_0} = 1} \right), $

$ {\Delta _1} = {a_1}, \; \; {\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&1\\ {{a_3}}&{{a_2}} \end{array}} \right|, \; \; {\Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&1&0\\ {{a_3}}&{{a_2}}&{{a_1}}\\ {{a_5}}&{{a_4}}&{{a_3}} \end{array}} \right|, \cdots, $

所有根具有负实部当且仅当

(2.9) $ \begin{equation} {\Delta _k} > 0, \; \; \left( {k = 1, 2, \cdots n} \right). \end{equation} $

引理2.3^[31]  考虑方程

(2.10) $ \begin{equation} P(\lambda ) + Q(\lambda ){{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }} = 0, \end{equation} $

其中$ P(\lambda ) $和$ Q(\lambda ) $分别为$ n $阶和$ m $阶的实系数多项式, $ \tau $为一非负常数. 如果$ P(\lambda ) $和$ Q(\lambda ) $都是在右半平面$ P(\lambda ) $和$ Q(\lambda ) $上的解析函数, 并且满足下列条件.

(i)   $ P(\lambda ) $和$ Q(\lambda ) $没有共同纯虚根;

(ii)   对任意实数$ y $, $ \overline {P( - {\rm{i}}y)} = P({\rm{i}}y) $和$ \overline {Q( - {\rm{i}}y)} = Q({\rm{i}}y) $成立, 其中“—”表示复数共扼;

(iii)   $ P(0) + Q(0) \ne 0 $;

(iv)   当$ \tau = 0 $, 方程(2.10)至多只有有限个根位于右半平面;

(v)   对任意实数$ y $, 记$ F(y) \equiv |P({\rm{i}}y){|^2} - |Q({\rm{i}}y){|^2} $至多只有有限个实零根.

那么下述结论成立.

(a)   假设方程$ {{F(y) = 0}} $没有正根, 那么如果平衡点在$ \tau = 0 $时稳定, 则对所有$ \tau \ge 0 $同样稳定; 反之, 如果在$ \tau = 0 $时不稳定, 则对所有$ \tau \ge 0 $也不稳定.

(b)   假设方程$ {{F(y) = 0}} $至少有一个正根并且没有重根, 那么随着$ \tau $的增加, 稳定开关将会发生. 存在正数$ {\tau ^{\rm{*}}} $使得对所有$ \tau > {\tau ^*} $, 平衡点不稳定. 当$ \tau $从0变到$ {\tau ^{\rm{*}}} $时, 至多发生有限个稳定开关.

引理2.4^[32]  若Jacobian矩阵$ J(E) $在平衡点$ E $处的所有特征值$ {\lambda _i} $满足以下条件

(2.11) $ \begin{equation} \left| {\arg ({\lambda _i})} \right| > \frac{{\alpha \pi }}{2}\, \end{equation} $

则平衡点$ E $是局部渐进稳定的.

如图

基于Vargas-De-Leon^[10]的研究, 庄^[33]研究了具有非线性发生率和免疫时滞的整数阶HBV感染模型

(3.1) $ \begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { }{\frac{{{\rm d}x(t)}}{{{\rm d}t}} = s - \delta x(t) - \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} + py(t), }\\ { } {\frac{{{\rm d}y(t)}}{{{\rm d}t}} = \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} - \left( {a + p} \right)y(t), }\\ { }{\frac{{{\rm d}z(t)}}{{{\rm d}t}} = c{e^{ - r\tau }}y(t - \tau ) - uz(t), } \end{array}} \right. \end{equation} $

式中: $ x(t), y(t), z(t) $分别表示易感染的乙肝细胞, 受感染的乙肝细胞, 自由病毒粒子的数量. 易感细胞的产生率是常数$ s $, 死亡率是$ \delta x(t) $, 受感染率为$ \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} $; $ py(t) $表示未感染肝细胞通过治愈而产生的速率; 受感染细胞的死亡率是$ ay(t) $, 产生率是$ \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} $; 自由病毒的产生率为$ c{e^{ - r\tau }}y(t - \tau ) $, 死亡率为$ uz(t) $; 其中, $ uz(t) $表示病毒粒子从生成到具有传染性所需的时间, $ {e^{ - r\tau }} $表示未成熟病毒粒子的生存率, $ \frac{1}{r} $表示未成熟病毒的平均生存时间. 这里的参数$ s, \delta , \beta , p, a, c, u $均为正实数.

考虑到生物系统的记忆特性, 分数阶模型与免疫系统中产生记忆T细胞和B细胞的类记忆系统有关, 本文利用分数阶Caputo微分将系统(3.1)重新描述为

(3.2) $ \begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { } {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) = s - \delta x(t) - \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} + py(t), }\\ { } {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha y(t) = \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} - \left( {a + p} \right)y(t), }\\ { } {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha z(t) = c{e^{ - r\tau }}y(t - \tau ) - uz(t), } \end{array}} \right. \end{equation} $

其中$ \alpha \in \left( {0, 1} \right) $.

定理3.1  具有初值条件的分数阶系统可以构造如下

(3.3) $ \begin{equation} \left\{ {\begin{array}{l} {}_0^CD_t^\alpha X(t) = {F_1} + {F_2}(X(t - \tau )) + {F_3}(X(t)), \\ X(0) = {X_0}, \end{array}} \right. \end{equation} $

其中

$ X(t) = {({x_1}(t), {x_2}(t), {x_3}(t))^T}, {X_0} = {({x_{10}}, {x_{20}}, {x_{30}})^T}, $

$ X(t - \tau ) = {({x_1}(t - \tau ), {x_2}(t - \tau ), {x_3}(t - \tau ))^T}, $

$ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&{c{e^{ - r\tau }}}&0 \end{array}} \right), B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \delta }&p&0\\ 0&{ - (a + p)}&0\\ 0&0&{ - u} \end{array}} \right), $

$ C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ } { - \frac{{\beta {x_1}(t)}}{{{x_1}(t) + {x_2}(t)}}}\\ { } {\frac{{\beta {x_1}(t)}}{{{x_1}(t) + {x_2}(t)}}}&0&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right), {F_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} s\\ 0\\ 0 \end{array}} \right), $

$ {F_2}(X(t - \tau )) = AX(t - \tau ) = \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&{c{e^{ - r\tau }}}&0 \end{array}} \right)X(t - \tau )} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {c{e^{ - r\tau }}{x_2}(t - \tau )} \end{array}} \right), $

$ {F_3}(X(t)) = (B + C)X(t) = BX(t) + CX(t), $

$ CX(t) = \left( {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ } { - \frac{{\beta {x_1}(t)}}{{{x_1}(t) + {x_2}(t)}}}\\ { } {\frac{{\beta {x_1}(t)}}{{{x_1}(t) + {x_2}(t)}}}&0&0\\ 0&0&0 \end{array}} \right)X(t)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { } { - \frac{{\beta {x_1}(t){x_3}(t)}}{{{x_1}(t) + {x_2}(t)}}}\\ { } {\frac{{\beta {x_1}(t){x_3}(t)}}{{{x_1}(t) + {x_2}(t)}}}\\ 0 \end{array}} \right), $

则系统(3.2)存在唯一解.

证  取$ \left| { \cdot } \right| $和$ \left\| { \cdot } \right\| $分别为向量范数和矩阵范数. 令$ G(t, X(t)) = {F_1} + {F_2}(X(t - \tau )) + {F_3}(X(t)) $. 对于任意$ \sigma > 0 $, 区间$ \left[ {{X_0} - \sigma , {X_0} + \sigma } \right] $连续并有界. 取任意$ X(t), Y(t) \in \left[ {{X_0} - \sigma , {X_0} + \sigma } \right] $, 有

(3.4) $ \begin{equation} \left| {G(t, X(t)) - G(t, Y(t))} \right| \le \left| {{F_2}(X(t - \tau )) - {F_2}(Y(t - \tau ))} \right| + \left| {{F_3}(X(t)) - {F_3}(Y(t))} \right|, \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} \left| {{F_2}(X(t - \tau )) - {F_2}(Y(t - \tau ))} \right| & = &\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {c{e^{ - r\tau }}{x_2}(t - \tau ) - c{e^{ - r\tau }}{y_2}(t - \tau )} \end{array}} \right)} \right| \\ & = & c{e^{ - r\tau }}\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {{x_2}(t - \tau ) - {y_2}(t - \tau )} \end{array}} \right)} \right|\\ & \le& c{e^{ - r\tau }}\left| {X(t - \tau ) - Y(t - \tau )} \right|, \end{eqnarray*} $

且

$ \begin{eqnarray*} \left| {CX(t) - CY(t)} \right|& = &\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { } { - \frac{{\beta {x_1}{x_3}}}{{{x_1} + {x_2}}} + \frac{{\beta {y_1}{y_3}}}{{{y_1} + {y_2}}}}\\ { } {\frac{{\beta {x_1}{x_3}}}{{{x_1} + {x_2}}} - \frac{{\beta {y_1}{y_3}}}{{{y_1} + {y_2}}}}\\ 0 \end{array}} \right)} \right|\\ &\le& \left| {\frac{{\beta {x_1}{x_3}}}{{{x_1} + {x_2}}} - \frac{{\beta {y_1}{y_3}}}{{{y_1} + {y_2}}}} \right| + \left| {\frac{{\beta {x_1}{x_3}}}{{{x_1} + {x_2}}} - \frac{{\beta {y_1}{y_3}}}{{{y_1} + {y_2}}}} \right|\\ &\le& 2\left| {\frac{{\beta {x_1}{x_3}({y_1} + {y_2}) - \beta {y_1}{y_3}({x_1} + {x_2})}}{{({x_1} + {x_2})({y_1} + {y_2})}}} \right|\\ &\le& 2 \cdot \frac{{{{({X_0} + \sigma )}^2}}}{{{{({X_0} - \sigma )}^2}}}\left| {({y_1} + {y_2}) - ({x_1} + {x_2})} \right|\\ &\le& 2{\left( {\frac{{{X_0} + \sigma }}{{{X_0} - \sigma }}} \right)^2}\left| {X(t) - Y(t)} \right|, \end{eqnarray*} $

所以

(3.5) $ \begin{eqnarray} && \left| {G(t, X(t)) - G(t, Y(t))} \right|{}\\ & \le& c{e^{ - r\tau }}\left| {X(t - \tau ) - Y(t - \tau )} \right| + \left| {BX(t) - BY(t)} \right|{\rm{ + }}2{\left( {\frac{{{X_0} + \sigma }}{{{X_0} - \sigma }}} \right)^2}\left| {X(t) - Y(t)} \right|{}\\ &\le &\left( {\left\| B \right\| + 2{{\left( {\frac{{{X_0} + \sigma }}{{{X_0} - \sigma }}} \right)}^2}} \right)\left| {X(t) - Y(t)} \right| + c{e^{ - r\tau }}\left| {X(t - \tau ) - Y(t - \tau )} \right|. \end{eqnarray} $

令$ {L_1} = \left\| B \right\| + 2{\left( {\frac{{{X_0} + \sigma }}{{{X_0} - \sigma }}} \right)^2}, {L_2} = c{e^{ - r\tau }} $, 则

(3.6) $ \begin{equation} \left| {G(t, X(t)) - G(t, Y(t))} \right| \le {L_1}\left| {X(t) - Y(t)} \right| + {L_2}\left| {X(t - \tau ) - Y(t - \tau )} \right|, \end{equation} $

取$ L = \max \left\{ {{L_1}, {L_2}} \right\} $, 则

(3.7) $ \begin{equation} \left| {G(t, X(t)) - G(t, Y(t))} \right| \le L(\left| {X(t) - Y(t)} \right| + \left| {X(t - \tau ) - Y(t - \tau )} \right|). \end{equation} $

故不等式$ G(t, X(t)) $说明除$ t $外所有变元都满足Lipschitz条件, 因此已知条件$ G(t, X(t)) $在给定初值的邻域内连续. 结合定理2.3可得, 上述具有初值条件的分数阶系统存在唯一解.

由此, 该系统解的存在唯一性得证. 定理3.1证毕.

在处理一个生物模型时, 用负的解没有意义. 下面的定理证明状态变量$ x(t), y(t) $和$ z(t) $都是正的, 且有界.

定理3.2  定义$ {\Bbb R}_ + ^3 = \left\{ {(x, y, z) \in {{\Bbb R}^3}|x(t) > 0, y(t) > 0, z(t) > 0} \right\} $, 对任何初值$ (x(0), y(0), $$ z(0){)^T} \in Int {\Bbb R}_ + ^3 $ ($ Int {\Bbb R}_ + ^3 $表示$ {\Bbb R}_ + ^3 $的内部), 对任意的$ t \ge 0 $, 系统(3.2)存在唯一的非负解, 且$ {(x(t), y(t), z(t))^T} \in Int {\Bbb R}_ + ^3 $. 进一步, $ x(t), y(t) $和$ z(t) $均有界.

证  我们将用反证法来证明这个定理.

假设其不成立, 即存在某个$ {t^*} > 0 $, 使得解的某一个分量为零, 而其余分量是正的. 分以下三种情况讨论.

1) 如果$ x({t^*}) = 0 $成立, 那么当$ t \in [0, {t^*}] $时, $ y(t) > 0, z(t) > 0 $. 且当$ t \in [0, {t^*}) $时, $ x(t) > 0 $.

令$ { } {m_1} = {\mathop {\max }\limits_{t \in [0, {t^*}]}}z(t), {m_2} = {\mathop {\min }\limits_{t \in [0, {t^*}]}}y(t) > 0 $, 由系统(3.2)的第一个方程, 我们有

$ {D^\alpha }x(t) > ( - \delta - \frac{{\beta {m_1}}}{{{m_2}}})x(t), t \in [0, {t^*}], $

因此

$ x(t) > x(0){E_\alpha }(( - \delta - \frac{{\beta {m_1}}}{{{m_2}}}){t^\alpha }), t \in [0, {t^*}], $

因为$ x(0) > 0 $, 有$ x({t^*}) > 0 $, 矛盾于假设.

2) 如果$ y({t^*}) = 0 $成立, 那么当$ t \in [0, {t^*}] $时, $ x(t) > 0, z(t) > 0 $. 且当$ t \in [0, {t^*}) $时, $ y(t) > 0 $.

由系统(3.2)的第二个方程, 我们有

$ {D^\alpha }y(t) > - (a + p)y(t), t \in [0, {t^*}], $

因此

$ y(t) > y(0){E_\alpha }( - (a + p){t^\alpha }), t \in [0, {t^*}], $

因为$ y(0) > 0 $, 有$ y({t^*}) > 0 $, 矛盾于假设.

3) 如果$ z({t^*}) = 0 $成立, 那么当$ t \in [0, {t^*}] $时, $ x(t) > 0, y(t) > 0 $. 且当$ t \in [0, {t^*}) $时, $ z(t) > 0 $.

由系统(3.2)的第三个方程, 我们有

$ {D^\alpha }z(t) > - uz(t), t \in [0, {t^*}], $

因此

$ z(t) > z(0){E_\alpha }( - u{t^\alpha }), t \in [0, {t^*}], $

因为$ z(0) > 0 $, 有$ z({t^*}) > 0 $, 矛盾于假设.

综上, 具初值$ {(x(0), y(0), z(0))^T} \in Int {\Bbb R}_ + ^3 $的系统的解总是正的, 且$ {(x(t), y(t), z(t))^T} \in Int {\Bbb R}_ + ^3 $成立.

下证有界性.

将系统(3.2)的前两个方程相加, 得

$ {D^\alpha }\left\{ {x(t) + y(t)} \right\} = s - \delta x - ay, $

由生物学知识可知, 感染细胞发生的死亡快于自然死亡, 即$ \delta \le a $. 那么

$ {D^\alpha }\left\{ {x(t) + y(t)} \right\} \le s - \delta (x + y), $

即得

$ \begin{eqnarray*} x(t) + y(t) &\le& [x(0) + y(0) - \frac{s}{\delta }]{E_\alpha }( - \delta {t^\alpha }) + \frac{s}{\delta }\\ & = &[x(0) + y(0)]{E_\alpha }( - \delta {t^\alpha }) + \frac{s}{\delta }[1 - {E_\alpha }( - \delta {t^\alpha })]. \end{eqnarray*} $

因此, 我们有$ {E_\alpha }( - \delta {t^\alpha }) \ge 0, { } {\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }}{E_\alpha }( - \delta {t^\alpha }) = 0, $且$ x(0) + y(0) \le \frac{s}{\delta }. $即得

$ \mathop {\lim }\limits_{m_{t \to \infty }}\sup [x(t) + y(t)] \le \frac{s}{\delta }. $

由系统(3.2)的第三个方程, 得

$ {D^\alpha }z(t) \le c{e^{ - r\tau }}\frac{s}{\delta } - uz, $

即得

$ {\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty }}\sup z(t) \le {e^{ - r\tau }}\frac{{cs}}{{\delta u}}. $

综上, $ x(t), y(t) $和$ z(t) $均有界. 由此, 该系统解的正性和有界性得证. 定理3.2证毕.

病毒感染的动力学关键依赖于基本再生数$ {R_0} $, 在本例中, $ {R_0} $是将单个感染病毒颗粒导入完全健康的靶细胞群中, 获得新的自由感染病毒粒子的平均数. 根据van den Driessche和Watmough^[34]对常微分方程组给出的基本再生数的定义, 以及Tam^[35]和Li等^[36]对时滞病毒动力学模型给出的基本再生数, 得到系统(3.2)的基本再生数为$ {R_0} = \frac{{c\beta {e^{ - \gamma \tau }}}}{{u(a + p)}} $.

通过直接计算, 可以得到系统(3.2)存在两个非负平衡点: 无病平衡点$ {E_0} = ({x_0}, 0, 0) = (\frac{s}{\delta }, 0, 0) $, 地方病平衡点$ {E_{\rm{*}}} = \left( {{x^*}, {y^*}, {z^*}} \right) $, 其中$ {x^*} = \frac{s}{{\delta + a\left( {{R_0} - 1} \right)}}, {y^*} = \left( {{R_0} - 1} \right){x^*}, $$ {z^*} = \frac{c}{u}{{\rm{e}}^{ - \gamma \tau }}\left( {{R_0} - 1} \right){x^*}. $

下面将讨论系统(3.2)中两个平衡点的稳定性.

将系统(3.2)在平衡点处线性化, 得到相应的特征行列式方程为

$ \det \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { } {\lambda + \delta + \frac{{\beta yz}}{{{{(x + y)}^2}}}}& { } { - p - \frac{{\beta xz}}{{{{(x + y)}^2}}}}&{ } {\frac{{\beta x}}{{x + y}}}\\ { } { - \frac{{\beta yz}}{{{{(x + y)}^2}}}}& {\quad}{ } {\lambda + (a + p) + \frac{{\beta xz}}{{{{(x + y)}^2}}}}{\quad} &{ } { - \frac{{\beta x}}{{x + y}}}\\ 0&{ - c{e^{ - r\tau }}{e^{ - \lambda \tau }}}&{\lambda + u} \end{array}} \right) = 0. $

首先, 讨论无病平衡点$ {E_0} $的稳定性.

命题3.1  当$ {R_0} < 1 $时, 无病平衡点$ {R_0} > 1 $局部渐进稳定; 当$ {R_0} > 1 $时, 无病平衡点$ {R_0} > 1 $不稳定.

证  系统(3.2)在$ {E_0} $处线性部分对应的特征方程为

(3.8) $ \begin{equation} (\lambda + \delta )[{\lambda ^2} + (a + p + u)\lambda + u(a + p) - c\beta {e^{ - (\lambda + r)\tau }}] = 0. \end{equation} $

若$ \tau {\rm{ = }}0 $, 方程(3.8)化为如下形式

(3.9) $ \begin{equation} (\lambda + \delta )[{\lambda ^2} + (a + p + u)\lambda + u(a + p) - c\beta ] = 0. \end{equation} $

我们可以发现特征根$ {\lambda _1} = - \delta < 0 $, 满足$ \left| {\arg {\lambda _1}} \right| > \frac{{\alpha \pi }}{2}. $对于另外两个特征根, 我们考虑$ {\lambda ^2} + (a + p + u)\lambda + u(a + p) - c\beta = 0. $当$ {R_0} = \frac{{c\beta }}{{u(a + p)}} < 1 $时, $ a + p + u > 0, u(a + p) - c\beta > 0 $, 满足$ \left| {\arg {\lambda _{2, 3}}} \right| > \frac{{\alpha \pi }}{2} $. 方程(3.9)的三个特征根均具有负实部, 因此无病平衡点$ {E_0} $局部渐进稳定; 当$ {R_0} > 1 $时, $ a + p + u > 0, u(a + p) - c\beta < 0. $方程(3.9)至少有一个特征根具有正实部, 因此无病平衡点$ {E_0} $不稳定, 出现地方性平衡点$ {E_*} $.

若$ \tau > 0 $, 设$ \lambda {\rm{ = }}{\rm i}\omega (\omega > 0) $是方程(3.8)的特征根, 则有

(3.10) $ \begin{equation} {\omega ^4}{\rm{ + ((}}a + p{{\rm{)}}^2}{\rm{ + }}{u^2}{\rm{)}}{\omega ^2} + {u^2}{{\rm{(}}a + p{\rm{)}}^2} - {c^2}{\beta ^2}{e^{ - 2r\tau }} = 0. \end{equation} $

当$ {R_0} = \frac{{c\beta {e^{ - \gamma \tau }}}}{{u(a + p)}} < 1 $时, $ {{\rm{(}}a + p{\rm{)}}^2}{\rm{ + }}{u^2} > 0, {u^2}{{\rm{(}}a + p{\rm{)}}^2} - {c^2}{\beta ^2}{e^{ - 2r\tau }} > 0 $.方程(3.10)无正根, 即方程(3.8)无纯虚根, 根据文献[37, 推论2.4], 特征方程的所有根都具有负实部, 从而无病平衡点$ {E_0} $局部渐进稳定.

当$ {R_0} = \frac{{c\beta {e^{ - \gamma \tau }}}}{{u(a + p)}} > 1 $时, 令

(3.11) $ \begin{equation} F(\lambda ) = {\lambda ^2} + (a + p + u)\lambda + u(a + p) - c\beta {e^{ - (\lambda + r)\tau }}, \end{equation} $

则$ F(0) = u(a + p) - c\beta {e^{ - r\tau }} < 0. $又$ { } {\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty }}F(\lambda ) = + \infty $, 由函数$ F(\lambda ) $在$ ( - \infty , + \infty ) $上的连续性可知, 方程$ F(\lambda ){\rm{ = }}0 $至少有一个正根. 因此, 方程(3.8)至少有一个正根, 无病平衡点$ {E_0} $不稳定.

在生物学上, 局部渐进稳定的感染稳态是肝细胞慢性感染的特征, 乙肝病毒的局部渐进稳定性表明乙肝病毒的感染不会持续.

命题3.1证毕.

命题3.2   当$ {R_0} < 1 $时, 若满足条件$ a \ge \varepsilon $, 无病平衡点$ {E_0} $全局渐进稳定.

证  考虑如下Lyapunov函数

(3.12) $ \begin{equation} V(t) = {V_1} + {V_2}, \end{equation} $

其中$ {V_1} = \frac{1}{2}{\left( {(x - {x_0}) + y} \right)^2}, {V_2} = \varepsilon {}_{{t_0}}^CD_\tau ^{ - \alpha }{y^2}(t - \xi ) $. $ {E_0} = ({x_0}, 0, 0) $是无病平衡点.

$ {}_{{t_0}}^CD_\tau ^{ - \alpha }{y^2}(t - \xi ) $表示$ {y^2}(t - \xi ) $对$ \xi $的分数积分, $ \xi \in [0, \tau ] $. 分别计算$ {V_1} $和$ {V_2} $的分数阶导数, 再求和得到$ {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha V(t) $.

由引理2.1得

$ \begin{eqnarray*} {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha {V_1}& = & \frac{1}{2}{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha {\left( {(x - {x_0}) + y} \right)^2}{\nonumber}\\ &\le & \left( {(x - {x_0}) + y} \right){}_{{t_0}}^CD_t^\alpha (x(t) + y(t)){\nonumber}\\ & = & \left( {(x - {x_0}) + y} \right)(s - \delta x - ay). \end{eqnarray*} $

系统(3.2)的无病平衡点$ {E_0} $满足$ s = \delta {x_0} $, 则

(3.13) $ \begin{eqnarray} {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha {V_1} & = & \left( {(x - {x_0}) + y} \right)(\delta {x_0} - \delta x - ay){}\\ & = & - \delta {(x - {x_0})^2} - a(x - {x_0})y - \delta (x - {x_0})y - a{y^2}{}\\ & = & - \delta {(x - {x_0})^2} - (a + \delta )(x - {x_0})y - a{y^2}. \end{eqnarray} $

同时

(3.14) $ \begin{eqnarray} {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha {V_2} & = & {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha \left( {\varepsilon {}_{{t_0}}^CD_\tau ^{ - \alpha }{y^2}(t - \xi )} \right) = \varepsilon {}_{{t_0}}^CD_\tau ^{ - \alpha }\left( {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha {y^2}(t - \xi )} \right){}\\ & = & - \varepsilon {}_{{t_0}}^CD_\tau ^{ - \alpha }\left( {{}_{{t_0}}^CD_\xi ^\alpha {y^2}(t - \xi )} \right) = \varepsilon {y^2} - \varepsilon {y^2}(t - \tau ). \end{eqnarray} $

由(3.12)-(3.14)式, 得

(3.15) $ \begin{equation} {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha V = - \delta {(x - {x_0})^2} - (a + \delta )(x - {x_0})y - (a - \varepsilon ){y^2} - \varepsilon {y^2}(t - \tau ). \end{equation} $

令$ W = \delta {(x - {x_0})^2} + (a + \delta )(x - {x_0})y + (a - \varepsilon ){y^2} + \varepsilon {y^2}(t - \tau ) $, 若$ a \ge \varepsilon $, 可得$ W \ge 0 $, 则$ {}_{{t_0}}^CD_t^\alpha V \le - W $. 根据定理2.2和LaSalle不变集原理^[37], 无病平衡点$ {E_0} $全局渐近稳定.

命题3.2证毕.

接下来, 将进一步分析地方病平衡点$ {E_*} $的稳定性.

通过计算, 得到系统(3.2)在感染稳态$ {E_*} $时的超越特征方程

(3.16) $ \begin{equation} P(\lambda , \tau ) = {\lambda ^3} + {a_2}{\lambda ^2} + {a_1}\lambda + {a_0} + ({b_1}\lambda + {b_0}){e^{ - \lambda \tau }} = 0, \ \end{equation} $

其中

$ {a_2}{\rm{ = }}\delta {\rm{ + }}a + p + u + (a + p)({R_0} - 1), $

$ {a_1} = (u + \delta )(a + p) + \frac{{(a + p)({R_0} - 1)}}{{{R_0}}}\left( {u + \delta + a({R_0} - 1) + {u^2}({R_0} - 1)} \right), $

$ {a_0} = \delta u(a + p) + \frac{{u(a + p)({R_0} - 1)\left( {\delta + a({R_0} - 1)} \right)}}{{{R_0}}}, $

$ {b_1} = - u(a + p), $

$ {b_0} = - \delta u(a + p). $

命题3.3   若$ {R_0} > 1 $, 当$ \tau \in [0, {\tau _0}) $时, 地方病平衡点$ {E_*} $渐进稳定; 当$ \tau \in ({\tau _0}, + \infty ) $时, 平衡点$ {E_*} $不稳定. 平衡点$ {E_*} $在临界值$ {\tau _0} $处出现Hopf分支, 即系统(3.2)在平衡点$ {E_*} $附近出现小振幅的周期解.

证  若$ \tau {\rm{ = }}0 $, 方程(3.16)变为如下形式

(3.17) $ \begin{equation} P(\lambda , 0) = {\lambda ^3} + {a_2}{\lambda ^2} + ({a_1} + {b_1})\lambda + ({a_0} + {b_0}) = 0. \end{equation} $

显然

$ {a_2} > 0, $

$ {a_1} + {b_1} = \delta (a + p) + \frac{{(a + p)({R_0} - 1)}}{{{R_0}}}\left( {u + \delta + a({R_0} - 1) + {u^2}({R_0} - 1)} \right) > 0, $

$ {a_0} + {b_0} = \frac{{u(a + p)({R_0} - 1)\left( {\delta + a({R_0} - 1)} \right)}}{{{R_0}}} > 0 $

且

$ \begin{eqnarray*} && {a_2}({a_1} + {b_1}) - ({a_0} + {b_0})\\ & = & \left( {\delta (a + p){R_0}} \right)\left( {\delta (a + p) + \frac{{(a + p)({R_0} - 1)}}{{{R_0}}}\left( {u + \delta + a({R_0} - 1) + {u^2}({R_0} - 1)} \right)} \right)\\ && + u\delta (a + p) + \frac{{(a + p)({R_0} - 1)}}{{{R_0}}}{u^2}\left( {1 + u({R_0} - 1)} \right)\\ &>& 0, \end{eqnarray*} $

由引理2.2的Routh-Hurwitz准则, 知: 当$ {R_0} > 1 $时, 方程(3.17)的三个特征根均具有负实部, 则地方病平衡点$ {E_*} $局部渐进稳定.

若$ \tau > 0 $, 设$ \lambda {\rm{ = }}i\omega (\omega > 0) $是特征根, 代入超越方程(3.16), 分离实部和虚部, 则有

(3.18) $ \begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\omega ^3} + {a_1}\omega = {b_0}\sin \omega \tau - {b_1}\omega \cos \omega \tau , }\\ {{a_2}{\omega ^2} - {a_0} = {b_0}\cos \omega \tau + {b_1}\omega \sin \omega \tau , } \end{array}} \right. \end{equation} $

两式平方和, 可得

(3.19) $ \begin{equation} {\omega ^6}{\rm{ + (}}{a_2}^2 - 2{a_1}{\rm{)}}{\omega ^4} + ({a_1}^2 - 2{a_0}{a_2} - {b_1}^2){\omega ^2} + ({a_0}^2 - {b_0}^2) = 0. \end{equation} $

根据方程组(3.17), $ {\tau _k} > 0 $时, 我们假定特征方程(3.16)存在一对纯虚根, 如下

$ {\tau _k} = \frac{1}{{{\omega _0}}}\arccos \frac{{{b_1}{\omega _0}^4 + ({a_2}{b_0} - {a_1}{b_1}){\omega _0}^2 - {a_0}{b_0}}}{{{b_0}^2 + {b_1}^2{\omega _0}^2}} + \frac{{2k\pi }}{{{\omega _0}}}, k = 0, 1, 2, \cdots. $

此外, 可以通过计算证明横截条件$ \frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \lambda (\tau ){|_{\tau = {\tau _0}}} > 0 $.

求方程(3.16)关于$ \tau $的导数, 得到

(3.20) $ \begin{equation} (3{\lambda ^2} + 2{a_2}\lambda + {a_1})\frac{{\rm d}\lambda}{{\rm d}\tau} + {b_1}\frac{{\rm d}\lambda}{{\rm d}\tau}{e^{ - \lambda \tau }} + ({b_1}\lambda + {b_0}){e^{ - \lambda \tau }}( - \frac{{\rm d}\lambda}{{\rm d}\tau}\tau - \lambda ) = 0, \end{equation} $

即

(3.21) $ \begin{equation} [3{\lambda ^2} + 2{a_2}\lambda + {a_1} + {b_1}{e^{ - \lambda \tau }} - \tau ({b_1}\lambda + {b_0}){e^{ - \lambda \tau }}]\frac{{\rm d}\lambda}{{\rm d}\tau} - ({b_1}\lambda + {b_0})\lambda {e^{ - \lambda \tau }} = 0, \end{equation} $

因此

(3.22) $ \begin{eqnarray} {\left( {\frac{{\rm d}\lambda}{{\rm d}\tau}} \right)^{ - 1}}& = & \frac{{3{\lambda ^2} + 2{a_2}\lambda + {a_1} + {b_1}{e^{ - \lambda \tau }} - \tau ({b_1}\lambda + {b_0}){e^{ - \lambda \tau }}}}{{({b_1}\lambda + {b_0})\lambda {e^{ - \lambda \tau }}}}{}\\ & = & \frac{{3{\lambda ^2} + 2{a_2}\lambda + {a_1}}}{{\lambda ({b_1}\lambda + {b_0}){e^{ - \lambda \tau }}}} + \frac{{{b_1}{e^{ - \lambda \tau }}}}{{({b_1}\lambda + {b_0})\lambda {e^{ - \lambda \tau }}}} - \frac{\tau }{\lambda }{}\\ & = & \frac{{3{\lambda ^2} + 2{a_2}\lambda + {a_1}}}{{ - \lambda ({\lambda ^3} + {a_2}{\lambda ^2} + {a_1}\lambda + {a_0})}} + \frac{{{b_1}}}{{({b_1}\lambda + {b_0})\lambda }} - \frac{\tau }{\lambda }, \end{eqnarray} $

则

(3.23) $ \begin{eqnarray} {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{\rm d}\lambda}{{\rm d}\tau}} \right)_{\lambda = {\rm i}{\omega _0}}^{ - 1} & = & {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\left[ {\frac{{3{\lambda ^2} + 2{a_2}\lambda + {a_1}}}{{ - \lambda ({\lambda ^3} + {a_2}{\lambda ^2} + {a_1}\lambda + {a_0})}} + \frac{{{b_1}}}{{({b_1}\lambda + {b_0})\lambda }} - \frac{\tau }{\lambda }} \right]_{\lambda = {\rm i}{\omega _0}}}{}\\ & = &{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{( - 3{\omega _0}^2 + {a_1}) + {\rm i}(2{a_2}{\omega _0})}}{{( - {\omega _0}^4 + {a_1}{\omega _0}^2) + {\rm i}({a_2}{\omega _0}^3 - {a_0}{\omega _0})}} + \frac{{{b_1}}}{{ - {b_1}{\omega _0}^2 + {\rm i}{b_0}{\omega _0}}}} \right]{}\\ & = & \frac{{3{\omega _0}^6 + ( - 4{a_1} + 2{a_2}^2){\omega _0}^4 + ({a_1}^2 - 2{a_0}{a_2}){\omega _0}^2}}{{{{( - {\omega _0}^4 + {a_1}{\omega _0}^2)}^2} + {{({a_2}{\omega _0}^3 - {a_0}{\omega _0})}^2}}} - \frac{{{b_1}^2{\omega _0}^2}}{{{b_1}^2{\omega _0}^4 + {b_0}^2{\omega _0}^2}}{}\\ &{\rm{ = }}& \Big\{2{b_1}{\omega _0}^{10} + (3{b_0}^2 + ({a_2}^2 - 2{a_1}){b_1}^2){\omega _0}^8 + 2({a_2}^2 - 2{a_1}){b_0}^2 {\omega _0}^6 {}\\ &&+ (({a_1}^2 - 2{a_0}{a_2}){b_0}^2 - {a_0}^2{b_1}^2){\omega _0}^4\Big\} \bigg/{}\\ && \Big\{{{({{( - {\omega _0}^4 + {a_1}{\omega _0}^2)}^2} + {{({a_2}{\omega _0}^3 - {a_0}{\omega _0})}^2})({b_1}^2{\omega _0}^4 + {b_0}^2{\omega _0}^2)}}\Big\}{}\\ &>& 0, \end{eqnarray} $

这意味着当$ \tau > {\tau _0} $时, 至少存在一个特征根具有正实部. 结合引理2.3, 即平衡点$ {E_*} $不稳定. 平衡点$ {E_*} $在临界值$ {\tau _0} $处出现Hopf分支, 即系统(3.2)在平衡点$ {E_*} $附近出现小振幅的周期解. 命题3.3证毕.

记

$ {c_1} = {a_2}^2 - 2{a_1}, {c_2} = {a_1}^2 - 2{a_0}{a_2} - {b_1}^2, {c_3} = {a_0}^2 - {b_0}^2, $

令$ z = {\omega ^2} $, 则由方程(3.19)得

(3.24) $ \begin{equation} G(z) = {z^3} + {c_1}{z^2} + {c_2}z + {c_3}. \end{equation} $

结合引理2.3, 给出$ G(z) $的判别式

$ \begin{array}{l} D(G) = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{c_1}}&{{c_2}}&{\quad} {{c_3}}{\quad} &0\\ 0&1&{{c_1}}&{{c_2}}&{{c_3}}\\ 3&{\quad} {2{c_1}}{\quad} &{{c_2}}&0&0\\ 0&3& {2{c_1}} &{{c_2}}&0\\ 0&0&3&{2{c_1}}&{{c_2}} \end{array}} \right| = 18{c_1}{c_2}{c_3} + {({c_1}{c_2})^2} - 4{c_3}{c_1}^3 - 4{c_2}^2 - 27{c_3}^2. \end{array} $

命题3.4   (i)   若$ D(G) > 0 $, 且满足Routh-Hurwitz条件时, 即$ {c_1} > 0, $$ {c_3} > 0, $$ {c_1}{c_2} > {c_3} $, 则平衡点$ {E^*} $是局部渐近稳定的.

(ii)    若$ D(G) < 0, {c_1} > 0, {c_2} > 0, {c_1}{c_2} = {c_3}, \alpha \in (0, 1) $, 则平衡点$ {E^*} $是局部渐近稳定的.

(iii)    若$ D(G) < 0, {c_1} \ge 0, {c_2} \ge 0, {c_3} > 0, \alpha \in (0.5, { {2 \over 3}}) $, 则平衡点$ {E^*} $是局部渐近稳定的.

(iv)    若$ D(G) < 0, {c_1} < 0, {c_2} < 0, {c_3} > { {2 \over 3}}, $则平衡点$ {E^*} $不稳定.

针对系统(3.2)设计线性反馈控制器如下

(4.1) $ \begin{equation} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { } {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) = s - \delta x(t) - \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} + py(t) - {k_1}x(t), }\\ { } {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha y(t) = \frac{{\beta x(t)z(t)}}{{x(t) + y(t)}} - \left( {a + p} \right)y(t) - {k_2}x(t), }\\ { } {{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha z(t) = c{e^{ - r\tau }}y(t - \tau ) - uz(t) - {k_3}x(t).} \end{array}} \right. \end{equation} $

定理4.1  当$ {k_1} \ge \frac{p}{2} - \delta , {k_2} \ge 1 - a - \frac{p}{2}, {k_3}\frac{{c{e^{ - r\tau }}}}{2} - u $且$ \max \frac{{c{e^{ - r\tau }}}}{2} = 1 $时, 控制系统(4.1)是Lyapunov稳定的.

证  分别取正定矩阵$ P $和半正定矩阵$ Q $

$ P = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}\\ {}&1&{}\\ {}&{}&1 \end{array}} \right|, Q = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{}&{}\\ {}&1&{}\\ {}&{}&0 \end{array}} \right|. $

构造正定函数如下

$ \begin{eqnarray*} & & {x^T}(t)P{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) + {x^T}(t)Qx(t) - {x^T}(t - \tau )Qx(t - \tau )\\ & = &x(t){}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) + y(t){}_{{t_0}}^CD_t^\alpha y(t) + z(t){}_{{t_0}}^CD_t^\alpha z(t) + {x^T}(t)Qx(t) - {x^T}(t - \tau )Qx(t - \tau )\\ & = & sx - \delta {x^2} - \frac{{\beta {x^2}z}}{{x + y}} + pxy - {k_1}{x^2} + \frac{{\beta xyz}}{{x + y}} - (a + p){y^2} - {k_2}{y^2} + c{e^{ - r\tau }}y(t - \tau )z\\ &&- u{z^2} - {k_3}{z^2} + {y^2} - {y^2}(t - \tau )\\ &\le& ( - {k_1} - \delta ){x^2} + p\frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} + ( - {k_2} + 1 - (a + p)){y^2} + ( - {k_3} - u){z^2}\\ && + c{e^{ - r\tau }}\frac{{{y^2}(t - \tau ) + {z^2}}}{2} - {y^2}(t - \tau )\\ & = &( - {k_1} + \frac{p}{2} - \delta ){x^2} + ( - {k_2} + 1 - a - \frac{p}{2}){y^2} + ( - {k_3} + \frac{{c{e^{ - r\tau }}}}{2} - u){z^2}\\ && + (c{e^{ - r\tau }} - 1){y^2}(t - \tau ), \nonumber \end{eqnarray*} $

显然, 若$ {k_1}\ge \frac{p}{2} - \delta , {k_2} \ge 1 - a - \frac{p}{2}, {k_3}\frac{{c{e^{ - r\tau }}}}{2} - u $且$ \max \frac{{c{e^{ - r\tau }}}}{2} = 1 $成立, 函数

$ {x^T}(t)P{}_{{t_0}}^CD_t^\alpha x(t) + {x^T}(t)Qx(t) - {x^T}(t - \tau )Qx(t - \tau )\leq0. $

由定理2.3, 控制系统(4.1)是Lyapunov稳定的, 表明HBV感染可控. 定理4.1证毕.

本文提出了一个具有免疫时滞和非线性发生率的分数阶HBV感染模型, 作为整数阶模型的推广. 经过简单分析, 确定了模型解的存在唯一性、正性和最终一致有界性. 进而讨论了模型的稳定性问题, 通过分析系统在两个非负平衡点处特征方程的根的分布, 得到了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性和小振幅Hopf分支周期解的存在性. 此外, 分析了该模型的混沌特性. 由于分数阶系统具有遗传和记忆特性, 系统(3.2)为我们提供了一种更真实的病毒动力学模型.