在本文中, 我们研究如下带有外力的离散三分量可逆Gray-Scott模型

(1.1) $ \begin{eqnarray} &\dot{u}_{m} = d_1(u_{m+1}+u_{m-1}-2u_m)-(\lambda+k)u_m+u_m^2v_m-\alpha u_m^3+\beta z_m+f_{1m}(t), \end{eqnarray} $

(1.2) $ \begin{eqnarray} & \dot{v}_{m} = d_2(v_{m+1}+v_{m-1}-2v_m)+\lambda(a_m-v_m)-u_m^2v_m+\alpha u_m^3+f_{2m}(t), \end{eqnarray} $

(1.3) $ \begin{eqnarray} & \dot{z}_{m} = d_3(z_{m+1}+z_{m-1}-2z_m)+ku_m-(\lambda+\beta)z_m+f_{3m}(t), \end{eqnarray} $

其中, $ m \in{\Bbb Z}, t\geqslant \tau, \tau\in {\Bbb R} $, 满足相应的初始条件

(1.4) $ \begin{eqnarray} u_{m}(\tau) = u_{m, \tau}, \quad v_{m}(\tau) = v_{m, \tau}, \quad z_{m}(\tau) = z_{m, \tau}, \quad m\in {\Bbb Z}, \end{eqnarray} $

其中, $ d_1, d_2, d_3, k, \alpha, \beta, \lambda $是正数, $ a_m\in {\Bbb R}, f_{im}\in {\Bbb R}, i = 1, 2, 3 $. 该系统可以看作是如下三分量可逆Gray-Scott模型在$ {\Bbb R} $上的离散化

(1.5) $ \begin{eqnarray} &{ } \frac{\partial u}{\partial t} = d_1u_{xx}-(\lambda+k)u+u^2v-\alpha u^3+\beta z+f_1(x, t), \end{eqnarray} $

(1.6) $ \begin{eqnarray} &{ } \frac{\partial v}{\partial t} = d_2v_{xx}+ \lambda(a-v)-u^2v+\alpha u^3+f_2(x, t), \end{eqnarray} $

(1.7) $ \begin{eqnarray} &{ } \frac{\partial z}{\partial t} = d_3z_{xx}+ku-(\lambda+\beta)z+f_3(x, t). \end{eqnarray} $

当没有外力时, 方程组(1.5)-(1.7)可简化为相应的自治Gray-Scott模型, 该方程组由Mahara等^[23]首次引入用来描述两种化学物质的等温, 立方自催化连续反馈和扩散反应, 参见文献[28]. 随后, You^[28]通过一些无量纲变换将原Gray-Scott模型简化为自治Gray-Scott模型, 并证明在Neumann边界条件下该系统全局吸引子的存在性. 关于连续和离散的Gray-Scott系统在其自治和非自治情形下的初边值和Cauchy问题, 已有许多很好的工作, 参见文献[14-15, 27-29]及其参考文献.

本文主要研究离散系统(1.1)-(1.4) 的不变测度. 精确地讲, 将建立一族关于该系统不变的Borel概率测度的存在性, 该测度由方程组(1.1)-(1.4) 的拉回- $ {\cal D} $吸引子所支撑. 不变测度在理解湍流方面非常有效, 这已经得到证明, 参见文献[11]. 这是因为湍流很多方面的测量是由时间平均量来衡量. 目前, 关于耗散系统的不变测度和统计性质已有一系列重要的工作, 参见文献[8, 11, 17, 19, 21-22, 26, 30]. 特别, 文献[22] 利用广义Banach极限的概念构造了度量空间上一般连续动力系统的不变测度. 随后, 文献[8]改进了^[22]中的结果, 并构造了一大类耗散半群的不变测度. 基于上述工作, 文献[21] 进一步构造了完备可分度量空间上非自治过程的不变测度.

最近, 文献[32] 建立了非自治离散Klein-Gordon-Schrödinger方程组的不变Borel概率测度的存在性. 格点动力系统(简称LDSs)是在某些变量上离散化的时空系统, 它出现在许多不同的领域, 如生物学(参见文献[16]), 化学反应理论(参见文献[10]), 电子工程(参见文献[24]) 等. 近年来, 关于整体吸引子、一致吸引子、核截面、拉回吸引子的研究引起了数学家和物理学家的广泛关注, 如关于格点系统(参见文献[1, 2, 4, 31, 33-36]) 和关于连续系统(参见文献[3, 5-7, 9, 18, 20, 25])等. 特别, 关于拉回吸引子, 文献[32] 给出定义在无穷序列Banach空间上过程的拉回- $ {\cal D} $吸引子存在性的充要条件, 这可以看作是文献[33] 结果的推广.

本工作的主要目的是建立非自治三分量可逆Gray-Scott模型在无穷格点上生成过程的拉回吸引子上一族不变Borel概率测度的存在与唯一性. 我们将使用广义Banach极限的概念和Łukaszewicz与Robinson所建立的理论来研究, 具体参见文献[21]. 首先, 证明方程组(1.1)-(1.4) 生成的过程存在一个拉回- $ {\cal D} $吸引子. 拉回- $ {\cal D} $吸引子理论(参见文献[5]) 是由Caraballo等人首次研究. 至今, 该理论已被广泛地应用于许多非线性偏微分方程, 如Navier-Stokes方程组(参见文献[12]), Navier-Stokes-Voigt方程组(参见文献[13]) 等. 在这里, 我们研究的拉回- $ {\cal D} $吸引子有更一般的吸引域, 通常称之为$ {\cal D} $系, 而不仅仅是有界集. 实际上, 相空间中的每个有界集合都属于该系. 而且, 不同的系可以提供不同的吸引域, 然后产生不同的拉回吸引子.

该工作安排如下. 在第2节中, 介绍一些空间和算子. 在第3节中, 证明方程组(1.1)-(1.4) 生成过程的拉回- $ {\cal D} $吸引子的存在性. 第4节主要致力于由该拉回- $ {\cal D} $吸引子所支撑的唯一一族不变Borel概率测度的存在性.

在这一节中, 研究方程组(1.1)-(1.4) 解的存在性和有界性. 为此, 我们首先介绍一些空间和算子. 令

(2.1) $ \begin{eqnarray} l^{2} = \bigg\{u = (u_{m})_{m\in {\Bbb Z}}:\ u_{m}\in{\Bbb R}\ \rm{ 并且 }\ \sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}u_{m}^{2}<+\infty\bigg\} \end{eqnarray} $

并赋予其内积和范数定义为

$ (u, v) = \sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}u_{m}v_{m}, \quad \|u\|^2 = (u, u), $

其中$ u = (u_m)_{m\in {\Bbb Z}}, \, v = (u_m)_{m\in {\Bbb Z}}\in l^{2}. $则$ (l^{2}, (\cdot, \cdot)) $是一个Hilbert空间, 令$ E = l^{2}\times l^{2}\times l^{2} $. 则$ E $也是一个Hilbert空间. 我们仍使用符号$ (\cdot, \cdot) $和$ \|\cdot\| $来分别表示内积和范数.

定义$ l^2 $上的线性算子$ A $, $ B $和$ B^* $为

(2.2) $ \begin{eqnarray} & (Au)_{m} = 2u_{m}-u_{m+1}-u_{m-1}, \ m\in {\Bbb Z}, \end{eqnarray} $

(2.3) $ \begin{eqnarray} & (Bu)_{m} = u_{m+1}-u_{m}, \quad (B^{*}u)_{m} = u_{m-1}-u_{m}, \ m\in {\Bbb Z}. \end{eqnarray} $

易知$ B^* $是$ B $的伴随算子. 而且

(2.4) $ \begin{eqnarray} & (Au, v) = (B^{*}Bu, v) = (Bu, Bv), \, \, (Bu, v) = (u, B^{*}v), \end{eqnarray} $

(2.5) $ \begin{eqnarray} & \|Bu\|^{2} = \|B^{*}u\|^{2}\leqslant 4\|u\|^{2}, \, \, \|Au\|^{2}\leqslant 16\|u\|^{2}, \end{eqnarray} $

其中$ u, v \in l^2 $.

为简便起见, 令

$ \begin{eqnarray*} & u = (u_m)_{m \in {\Bbb Z}}, \quad v = (v_m)_{m \in {\Bbb Z}}, \quad z = (z_m)_{m \in {\Bbb Z}}, \quad f_i(t) = (f_{im}(t))_{m\in {\Bbb Z}}, \quad i = 1, 2, 3, \\ & a = (a_m)_{m\in {\Bbb Z}}, \quad u_\tau = (u_{m, \tau})_{m\in {\Bbb Z}}, \quad v_\tau = (v_{m, \tau})_{m\in {\Bbb Z}}, \quad z_\tau = (z_{m, \tau})_{m\in {\Bbb Z}}. \end{eqnarray*} $

则方程组(1.1)-(1.4) 可以写成向量形式

(2.6) $ \begin{eqnarray} &\dot{u} = -d_1 Au-(\lambda+k)u+u^2v-\alpha u^3+\beta z+f_1(t), \end{eqnarray} $

(2.7) $ \begin{eqnarray} &\dot{v} = -d_2 Av-\lambda v-u^2v+\alpha u^3+\lambda a+f_2(t), \end{eqnarray} $

(2.8) $ \begin{eqnarray} &\dot{z} = -d_3 Az+ku-(\lambda+\beta)z+f_3(t), \end{eqnarray} $

(2.9) $ \begin{eqnarray} & u(\tau) = u_\tau, \quad v(\tau) = v_\tau, \quad z(\tau) = z_\tau. \end{eqnarray} $

进一步, 方程组(2.6)-(2.9) 可以表示为$ E $上抽象的一阶常微分方程

(2.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \dot{\varphi}+\Theta\varphi = G(\varphi, t), \quad & t>\tau, \\ \varphi(\tau) = \varphi_{\tau} = (u_\tau, v_\tau, z_\tau)^{T}, \quad & \tau\in {\Bbb R}, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \varphi = (u, v, z)^{T} $, 并且

$ G(\varphi, t) = (u^2v-\alpha u^3+f_1(t), \lambda a-u^2v+\alpha u^3+f_2(t), f_3(t))^{T}, $

$ \begin{array}{ccc} \Theta = \left(\begin{array}{ccc} d_1 A+(\lambda+k)I& 0 & -\beta I \\ 0 & {\quad} d_2 A+\lambda I {\quad} & 0 \\ -k I & 0 & d_3 A+(\lambda+\beta)I \end{array}\right). \end{array} $

在本工作中, 我们总是假设方程组(2.6)-(2.9) 中的参数$ \alpha, \lambda, \beta, k $满足如下条件.

(H1)   假设$ a = (a_m)_{m\in{\Bbb Z}}\in l^2 $并且

$ 2\beta<k<\min\Big\{\frac{3\lambda}{2\mu-1}, \beta+\lambda\Big\}, $

其中$ \mu = k/\beta $.

用$ {\cal C}({\Bbb R}, l^2) $表示从$ {\Bbb R} $到$ l^2 $的连续函数空间. 那么当$ f\in {\cal C}({\Bbb R}, l^2) $, 有

$ \|f(t)\|^2 = \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}|f_m(t)|^2<+\infty. $

引理2.1  令$ f_i(t) = (f_{im}(t))_{m\in {{\Bbb Z}}}\in {\mathcal C}({{\Bbb R}}, l^2), i = 1, 2, 3. $则对于任何初值$ \varphi_{\tau} = (u_\tau, v_\tau, z_\tau)^T\in E $, 系统(2.10) 有唯一的解$ \varphi(t) = (u(t), v(t), z(t))^T, t\geqslant \tau $满足

$ {\varphi}(\cdot)\in {\mathcal C}([\tau, T_0), E)\cap {\mathcal C}^{1}((\tau, T_0), E), $

其中$ T_0>\tau $. 而且, 如果$ T_0<+\infty, $有$ \lim\limits_{t{\rightarrow} T_0^-}\|{\varphi}(t)\|_E = +\infty $.

证  引理2.1的证明与文献[15, 引理2.1]中的证明类似, 在这里我们略去.

在下面, 给出方程组(2.10) 解的主要估计. 为简便起见, 令

$ Z(t) = \frac{\beta}{k}z(t), $

则方程组(2.6)-(2.8) 可以转化为如下等价形式

(2.11) $ \begin{eqnarray} & \dot{u} = -d_1 Au-(\lambda+k)u+u^2v-\alpha u^3+k Z+f_1(t), \end{eqnarray} $

(2.12) $ \begin{eqnarray} &\dot{v} = -d_2 Av-\lambda v-u^2v+\alpha u^3+\lambda a+f_2(t), \end{eqnarray} $

(2.13) $ \begin{eqnarray} & \mu\dot{Z} = -d_3\mu AZ+ku-(\mu\lambda+k)Z+f_3(t) . \end{eqnarray} $

引理2.2  假设$ f_i(t) = (f_{im}(t))_{m\in {{\Bbb Z}}}\in {\mathcal C}({{\Bbb R}}, l^2), i = 1, 2, 3. $令$ \varphi(t) = (u(t), v(t), z(t))^T\in E $为方程组(2.10) 满足初值条件$ \varphi_{\tau} = (u_\tau, v_\tau, z_\tau)^T\in E $的解. 则

(2.14) $ \begin{eqnarray} \|\varphi(t)\|^2 &\leqslant& \frac{\delta_2}{\delta_1}{\rm e}^{-\theta(t-\tau)}\|\varphi_\tau\|^2+\frac{{\lambda}}{{\delta}_1\theta}\|a\|^2 +\frac{2\alpha}{{\delta}_1({\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_1(s)\|^2{\rm d}s \\ &&+ \frac{2}{{\delta}_1{\lambda}}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_2(s)\|^2{\rm d}s+\frac{2\mu\alpha}{{\delta}_1(\mu{\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_3(s)\|^2{\rm d}s, \end{eqnarray} $

其中$ {\delta}_1 = \min\{1, \alpha\}, {\delta}_2 = \max\{1, \alpha\} $.

证  分别用$ \alpha u(t), v(t), \mu\alpha Z(t) $对方程组(2.11)-(2.13)中的方程两边作内积$ (\cdot, \cdot) $, 并相加, 就有

(2.15) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\alpha\|u\|^2+\|v\|^2+\mu^2\alpha\|Z\|^2) + \alpha({\lambda}+k)\|u\|^2+{\lambda}\|v\|^2+\mu\alpha(\mu{\lambda}+k)\|Z\|^2 \\ &\leqslant& k\alpha(1+\mu)\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}u_mZ_m+{\lambda}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}a_m v_m +\alpha\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}f_{1m}(t)u_m+\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}f_{2m}(t)v_m \\ && +\mu\alpha\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}f_{3m}(t)Z_m. \end{eqnarray} $

易知

(2.16) $ \begin{equation} {\lambda}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}a_mv_m \leqslant \frac{{\lambda}}{2}(\|a\|^2+\|v\|^2), \end{equation} $

(2.17) $ \begin{equation} k\alpha(1+\mu)\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}u_mZ_m \leqslant \frac{k\alpha(1+\mu)}{2}(\|u\|^2+\|Z\|^2), \end{equation} $

并且

(2.18) $ \begin{equation} \alpha\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}f_{1m}(t)u_m \leqslant \frac{\alpha(\lambda+k)}{4}\|u\|^2+\frac{\alpha}{{\lambda}+k}\|f_1\|^2, \end{equation} $

(2.19) $ \begin{equation} \sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}f_{2m}(t)v_m \leqslant \frac{\lambda}{4}\|v\|^2+\frac{1}{{\lambda}}\|f_2\|^2, \end{equation} $

(2.20) $ \begin{equation} \mu\alpha\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}f_{3m}(t)Z_m \leqslant \frac{\mu\alpha(\mu\lambda+k)}{4}\|Z\|^2+\frac{\mu\alpha }{\mu{\lambda}+k}\|f_3\|^2. \end{equation} $

因此, 由(2.15)-(2.20) 式知, 当$ t\geqslant \tau $, 有

(2.21) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\alpha\|u\|^2+\|v\|^2+\mu^2\alpha\|Z\|^2) + \theta(\alpha\|u\|^2+\|v\|^2+\mu^2\alpha\|Z\|^2) \leqslant R_0^2(t), \end{eqnarray} $

其中

$ \theta = \min\bigg\{\frac{3}{2}{\lambda}-(\mu-\frac{1}{2})k, \frac{{\lambda}}{2}, \frac{3}{2}{\lambda}+\frac{(\frac{\mu}{2}-1)k}{\mu^2}\bigg\}, $

$ R_0^2(t) = {\lambda}\|a\|^2+\frac{2\alpha}{{\lambda}+k}\|f_1\|^2+\frac{2}{{\lambda}}\|f_2\|^2+\frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}\|f_3\|^2. $

在区间$ [\tau, t] $上$ t\geqslant \tau $, 对(2.21)式用Gronwall不等式得

(2.22) $ \begin{eqnarray} \alpha\|u\|^2+\|v\|^2+\alpha\|z\|^2 &\leqslant& {\rm e}^{-\theta(t-\tau)}(\alpha\|u(\tau)\|^2+\|v(\tau)\|^2+\alpha\|z(\tau)\|^2)+ \frac{{\lambda}}{\theta}\|a\|^2 \\ &&+ \frac{2\alpha}{{\lambda}+k}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_1(s)\|^2{\rm d}s+\frac{2}{{\lambda}}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_2(s)\|^2{\rm d}s \\ &&+ \frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_3(s)\|^2{\rm d}s. \end{eqnarray} $

因此, 我们从(2.22) 式知, 对于$ t\geqslant \tau $, 有

$ \begin{eqnarray*} \|\varphi(t)\|^2 &\leqslant& \frac{\delta_2}{\delta_1}{\rm e}^{-\theta(t-\tau)}\|\varphi(\tau)\|^2+\frac{{\lambda}}{{\delta}_1\theta}\|a\|^2 +\frac{2\alpha}{{\delta}_1({\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_1(s)\|^2{\rm d}s\\ &&+ \frac{2}{{\delta}_1{\lambda}}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_2(s)\|^2{\rm d}s+\frac{2\mu\alpha}{{\delta}_1(\mu{\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_\tau {\rm e}^{\theta s}\|f_3(s)\|^2{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

为保证系统(2.10) 具有有界拉回吸收集, 我们对函数$ f_i(t), i = 1, 2, 3 $作如下假设.

(H2)   假设$ f_i(t) = (f_{im}(t))_{m\in {{\Bbb Z}}}\in {\mathcal C}({{\Bbb R}}, l^2), i = 1, 2, 3 $并且

(2.23) $ \begin{equation} \int^t_{-\infty}{\rm e}^{\theta s}\|f_i(s)\|^2{\rm d}s<K(t), { \quad } t\in {{\Bbb R}}, { \quad } i = 1, 2, 3, \end{equation} $

其中$ K(\cdot) $为$ {{\Bbb R}} $上的连续函数, 并且在区间$ (-{\infty}, t) $上有界.

因此, 从(2.14) 式中可以推导出, 系统(2.10) 具有一个有界的拉回吸收集.

根据假设(H2) 和估计(2.14), 我们知, 对任意的$ \varphi_{\tau} = (u_\tau, v_\tau, z_\tau)^T\in E $, 方程(2.10) 相对应的解$ \varphi(t) = (u(t), v(t), z(t))^T\in E $在$ [\tau, +\infty) $上全局存在. 进一步, 通过引理2.1知

$ {\varphi}(\cdot)\in {\mathcal C}([\tau, +\infty), E)\cap {\mathcal C}^{1}((\tau, +\infty), E). $

因此, 解算子在$ E $上生成一族连续过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant\tau} $

(2.24) $ \begin{eqnarray} U(t, \tau):\varphi_\tau = (u_\tau, v_\tau, z_\tau)^T\in E\mapsto \varphi(t) = (u(t), v(t), z(t))^T\in E, { \quad } t\geqslant \tau. \end{eqnarray} $

现在用$ {\cal P}(E) $表示$ E $上所有非空子集所构成的集族, 用$ {\cal D}_\theta $表示一类非空子集族$ D = \{D(s): s\in {{\Bbb R}}\}\subset {\cal P}(E) $满足

(2.25) $ \begin{equation} \lim\limits_{s{\rightarrow} -\infty}\big({\rm e}^{\frac{\theta s}{2}}\sup\limits_{{\varphi}\in D(s)}\|{\varphi}\|_E^2\big) = 0. \end{equation} $

类$ {\mathcal D}_\theta $就被称为$ {\mathcal P}(E) $中的一个系.

注2.1  易知系$ {\mathcal D}_\theta $包含$ E $的所有有界子集.

引理2.3  假设(H2) 成立. 则方程组(2.10) 生成的过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant\tau} $存在一个有界拉回- $ {\mathcal D}_\theta $吸收集$ {\mathcal B}_0: = \{ {\mathcal B}_0(s):s\in {{\Bbb R}}\}{\subset} {\mathcal P}(E) $, 其中$ {\mathcal B}_0(s) = {\mathcal B}(0, r_\theta(s)) $是$ E $中以$ 0 $为中心, 以$ r_\theta(s) $为半径的球.

证  令$ r_\theta(t) = \rho^{1/2}_\theta(t) $, 其中

$ \begin{eqnarray*} \rho_\theta(t):& = &1+\frac{{\lambda}}{{\delta}_1\theta}\|a\|^2 +\frac{2\alpha}{{\delta}_1({\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-\infty} {\rm e}^{\theta s}\|f_1(s)\|^2{\rm d}s \\ & &+\frac{2}{{\delta}_1{\lambda}}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-\infty} {\rm e}^{\theta s}\|f_2(s)\|^2{\rm d}s+\frac{2\mu\alpha}{{\delta}_1(\mu{\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-\infty} {\rm e}^{\theta s}\|f_3(s)\|^2{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

于是从(2.14) 式和$ {\mathcal D}_\theta $的构造中我们可以推出$ {\mathcal B}_0 $是$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $在$ E $中的有界拉回- $ {\mathcal D}_\theta $吸收集.

在本节中, 证明过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $的拉回- $ {\mathcal D}_\theta $吸引子的存在性. 为此, 我们首先证明系统(2.10) 的解具有拉回- $ {\mathcal D}_\theta $渐近零性.

引理3.1  假设(H2) 成立. 那么对每一个$ t\in {\Bbb R}, \varepsilon>0 $以及$ D = \{D(s):s\in {{\Bbb R}}\}\in {\mathcal D}_\theta $, 存在$ N_* = N_*(t, \varepsilon, D)\in {\Bbb N} $和$ \tau_* = \tau_*(t, {\varepsilon}, D)\leqslant t $使得

$ \sup\limits_{{\varphi}_\tau\in D(\tau)}\sum\limits_{|m|\geqslant N_*}|(U(t, \tau)\varphi_\tau)_m|^{2}_{E} \leqslant \varepsilon^2, { \quad } \forall \tau \leqslant \tau_*, $

其中$ |\varphi_{m}|^{2}_{E} = u_m^2+v_m^2+z_m^2 $.

证  定义一个光滑函数$ \chi(x)\in {\mathcal C}^{1}({\bf {\Bbb R}}_+, [0, 1]) $满足

(3.1) $ \begin{eqnarray} \quad \chi(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, { \quad } 0\leqslant x\leqslant 1; \\ 1, { \quad } x\geqslant 2, \end{array} \right.\, {\rm}{并且} { \quad } |\chi'(x)|\leqslant \chi_0 \, \, ({\rm}{正常数}), { \quad } \forall x\geqslant 0. \end{eqnarray} $

令$ D = \{D(s):s\in {{\Bbb R}}\}\in {\mathcal D}_\theta $. 对于$ t\geqslant \tau $, 令

$ {\varphi}(t) = U(t, \tau){\varphi}_\tau = (u(t), v(t), z(t)) = (u_m(t), v_m(t), z_m(t))^T_{m\in {{\Bbb Z}}}\in E $

为以$ {\varphi}_\tau\in D(\tau) $为初值(2.10) 的解. 接下来, 我们仍考虑等价方程组(2.11)-(2.13). 令

$ \begin{eqnarray*} p = (p_m)_{m\in{\Bbb Z}}, { \quad } q = (q_m)_{m\in{\Bbb Z}}, { \quad } W = (W_m)_{m\in{\Bbb Z}} \end{eqnarray*} $

满足

$ p_m = \chi(\frac{|m|}{M})u_m, { \quad } q_m = \chi(\frac{|m|}{M})v_m, { \quad } W_m = \chi(\frac{|m|}{M})Z_m, $

其中$ M $是一个接下来会被确定的正整数, 并且$ Z_m(t) = \frac{\beta}{k}z_m(t) $.

对方程组(2.11)-(2.13) 分别用$ \alpha p, q $和$ \mu\alpha W $作内积$ (\cdot, \cdot) $, 再相加, 得

(3.2) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\mu^2\alpha Z_m^2) + d_1\alpha(Bu, Bp)+d_2(Bv, Bq)+\mu^2\alpha d_3(BZ, BW)\\ &&+\alpha({\lambda}+k)\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})u_m^2 + {\lambda}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})v_m^2 + \mu\alpha(\mu{\lambda}+k)\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})Z_m^2\\ &\leqslant& k\alpha(1+\mu)\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})u_mZ_m+{\lambda}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})a_mv_m+\alpha\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})u_mf_{1m}(t)\\ &&+\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})v_mf_{2m}(t) + \mu\alpha\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})Z_mf_{3m}(t). \end{eqnarray} $

根据引理2.3, 存在$ \tau(t, D)\leqslant t $使得

(3.3) $ \begin{eqnarray} (Bu, Bp) & = & \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}(Bu)_m(Bp)_m = \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}(Bu)_m[\chi(\frac{|m+1|}{M})u_{m+1}-\chi(\frac{|m|}{M})u_{m}]\\ & = & \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})|(Bu)_m|^2+\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi'(\frac{\tilde{m}}{M})\frac{1}{M}(u_{m+1}-u_m)u_{m+1}\\ &\geqslant& \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})|(Bu)_m|^2-\frac{2\chi_0\rho_\theta(t)}{M}, { \quad } \forall \tau\leqslant \tau(t, D), \end{eqnarray} $

其中$ \tilde{m} $介于$ |m| $和$ |m+1| $之间. 类似地,

(3.4) $ \begin{equation} (Bv, Bq) \geqslant \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})|(Bv)_m|^2-\frac{2\chi_0\rho_\theta(t)}{M}, { \quad } \tau\leqslant \tau(t, D), \end{equation} $

(3.5) $ \begin{equation} (BZ, BW) \geqslant \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})|(BZ)_m|^2-\frac{2\chi_0\rho_\theta(t)}{M\mu^2}, { \quad } \tau\leqslant \tau(t, D). \end{equation} $

易知

(3.6) $ \begin{equation} {\lambda}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})a_mv_m \leqslant \frac{{\lambda}}{2}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})v_m^2 + \frac{{\lambda}}{2}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{m}{M})a_m^2, \end{equation} $

(3.7) $ \begin{equation} k\alpha(1+\mu)\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})u_mZ_m \leqslant \frac{k\alpha(1+\mu)}{2}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(u_m^2+Z_m^2) \end{equation} $

并且

(3.8) $ \begin{equation} \alpha\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})u_mf_{1m}(t) \leqslant \frac{\alpha(\lambda+k)}{4}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})u_m^2+\frac{\alpha}{{\lambda}+k}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})f_{1m}^2, \end{equation} $

(3.9) $ \begin{equation} \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})v_mf_{2m}(t) \leqslant \frac{{\lambda}}{4}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})v_m^2 +\frac{1}{{\lambda}}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})f_{2m}^2, \end{equation} $

(3.10) $ \begin{equation} \mu\alpha\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})Z_mf_{3m}(t) \leqslant \frac{\mu\alpha(\mu\lambda+k)}{4}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})Z_m^2 + \frac{\mu\alpha }{\mu{\lambda}+k}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})f_{3m}^2. \end{equation} $

因此, 由(3.2)-(3.10) 式知, 如果$ \tau\leqslant \tau(t, D) $, 就有

$ \begin{eqnarray*} && \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\mu^2\alpha Z_m^2) + [\frac{3}{2}{\lambda}-(\mu-\frac{1}{2})k]\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})\alpha u_m^2 \nonumber \\ & &+ \frac{{\lambda}}{2}\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})v_m^2+[\frac{3{\lambda}}{2} + \frac{(\frac{\mu}{2}-1)k}{\mu^2}]\sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})\mu^2\alpha Z_m^2 \nonumber \\ & \leqslant& {\lambda}\sum\limits_{|m|\geqslant M}a_m^2+\frac{2\alpha }{{\lambda}+k}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{1m}^2+\frac{2}{{\lambda}}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{2m}^2+\frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{3m}^2 \nonumber \\ &&+ \frac{4\chi_0\rho_\theta(t)}{M}(d_1\alpha+d_2+d_3\alpha), \end{eqnarray*} $

该式子表明

(3.11) $ \begin{eqnarray} && \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\mu^2\alpha Z_m^2)+\theta\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\mu^2\alpha Z_m^2)\\ &\leqslant& {\lambda}\sum\limits_{|m|\geqslant M}a_m^2+\frac{2\alpha }{{\lambda}+k}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{1m}^2+\frac{2}{{\lambda}}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{2m}^2+\frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{3m}^2 \\ & &+ \frac{4\chi_0\rho_\theta(t)}{M}(d_1\alpha+d_2+d_3\alpha), { \quad } {\rm}{}{ \quad } {\forall}\tau\leqslant \tau(t, D). \end{eqnarray} $

现对任意$ {\varepsilon}>0 $和$ t\in {{\Bbb R}} $, 由$ \rho_\theta(t) $的定义和(2.23) 式, 存在$ N_1 = N({\varepsilon}, t) $使得

$ {\lambda}\sum\limits_{|m|\geqslant M}a_m^2+\frac{4\chi_0\rho_\theta(t)}{M}(d_1\alpha+d_2+d_3\alpha)<{\delta}_1\theta{\varepsilon}^2/3, { \quad } \forall M\geqslant N_1. $

因此从(3.11) 式推知, 如果$ \tau\leqslant \tau(t, D) $并且$ M\geqslant N_1 $, 就有

(3.12) $ \begin{eqnarray} && \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\alpha z_m^2)+\theta\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\alpha z_m^2)\\ &\leqslant& \frac{2\alpha }{{\lambda}+k}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{1m}^2+\frac{2}{{\lambda}}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{2m}^2+\frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{3m}^2+{\delta}_1\theta{\varepsilon}^2/3. \end{eqnarray} $

对(3.12) 式应用Gronwall不等式得, 当$ \tau\leqslant \tau(t, D) $并且$ M\geqslant N_1 $, 就有

(3.13) $ \begin{eqnarray} &&\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\alpha z_m^2)\\ & \leqslant& {\rm e}^{-\theta(t-\tau)}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2(\tau)+v^2_m(\tau)+\alpha z^2_m(\tau))+ \frac{2\alpha }{{\lambda}+k}\int_\tau^t{\rm e}^{-\theta(t-s)}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{1m}^2(s){\rm d}s \\ & &+\frac{2}{{\lambda}}\int_\tau^t{\rm e}^{-\theta(t-s)}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{2m}^2(s){\rm d}s +\frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}\int_\tau^t{\rm e}^{-\theta(t-s)}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{3m}^2(s){\rm d}s+{\delta}_1{\varepsilon}^2/3, \end{eqnarray} $

注意到对给定的$ t\in {{\Bbb R}} $, 有

$ \int_{-\infty}^t{\rm e}^{\theta s}\|f(s)\|^2{\rm d}s<K_t, { \quad } i = 1, 2, 3{ \quad }{\rm}{(见(2.23)式)} $

其中$ K_t $为依赖于$ t $的正常数. 因此, 存在$ N_2 = N_2({\varepsilon}, t)\in{{\Bbb N}} $使得

(3.14) $ \begin{eqnarray} &&\frac{2\alpha }{{\lambda}+k}\int_\tau^t{\rm e}^{-\theta(t-s)}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{1m}^2(s){\rm d}s+\frac{2}{{\lambda}}\int_\tau^t{\rm e}^{-\theta(t-s)}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{2m}^2(s){\rm d}s \\ &&+\frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}\int_\tau^t{\rm e}^{-\theta(t-s)}\sum\limits_{|m|\geqslant M}f_{3m}^2(s){\rm d}s\\ &\leqslant &\frac{2\alpha }{{\lambda}+k}{\rm e}^{-\theta t}\sum\limits_{|m|\geqslant M}\int_{-}^t{\rm e}^{\theta s}f_{1m}^2(s){\rm d}s+\frac{2}{{\lambda}}{\rm e}^{-\theta t}\sum\limits_{|m|\geqslant M}\int_{-}^t{\rm e}^{\theta s}f_{2m}^2(s){\rm d}s \\ &&+\frac{2\mu\alpha}{\mu{\lambda}+k}{\rm e}^{-\theta t}\sum\limits_{|m|\geqslant M}\int_{-}^t{\rm e}^{\theta s}f_{3m}^2(s){\rm d}s <{\delta}_1{\varepsilon}^2/3, { \quad } {\forall} M\geqslant N_2. \end{eqnarray} $

取$ N_* = \max\{N_1, N_2\} $. 于是由(3.13)和(3.14) 式知, 如果$ M\geqslant N_* $并且$ \tau\leqslant \tau(t, D) $, 就有

$ \begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2+v_m^2+\alpha z_m^2)\\ & \leqslant& {\rm e}^{-\theta(t-\tau)}\sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})(\alpha u_m^2(\tau)+v^2_m(\tau)+\alpha z^2_m(\tau))+2{\delta}_1{\varepsilon}^2/3, \end{eqnarray*} $

从而

(3.15) $ \begin{equation} \sum\limits_{m\in{\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})|{\varphi}_m(t)|_E^2 \leqslant \frac{{\delta}_2}{{\delta}_1}{\rm e}^{-\theta(t-\tau)}\|{\varphi}_\tau\|^2_E+2{\varepsilon}^2/3, { \quad } \forall M\geqslant N_*, \, \, {\forall}\tau\leqslant \tau(t, D). \end{equation} $

由于$ {\varphi}_\tau\in D(\tau) $并且

$ D = \{D(s):s\in {{\Bbb R}}\}\in {\mathcal D}_\theta, $

从$ {\mathcal D}_\theta $的构造中可以推出, 存在$ \tau_* = \tau({\varepsilon}, t, D)\leqslant\tau(t, D) $, 使得

(3.16) $ \begin{equation} \frac{{\delta}_2}{{\delta}_1}{\rm e}^{-\theta t}({\rm e}^{\theta \tau}\sup\limits_{{\varphi}_\tau\in D(s)}\|{\varphi}_\tau\|_E^2)<{\varepsilon}^2/3, { \quad } \forall \tau\leqslant \tau_*. \end{equation} $

因此, 如果$ M\geqslant N_* $并且$ \tau\leqslant \tau_* $, 由(3.15)和(3.16) 式就有

(3.17) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{m\in {\Bbb Z}}\chi(\frac{|m|}{M})|{\varphi}_m(t)|^2_E \leqslant {\varepsilon}^2. \end{eqnarray} $

从而引理3.1中的结论成立.

根据引理2.3, 引理3.1和文献[32, 定理2.1], 我们有如下主要结果.

定理3.1  假设(H2) 成立. 方程组(2.10) 生成的一族连续过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant\tau} $存在拉回- $ {\mathcal D}_\theta $吸引子$ {\cal A}_{ {\mathcal D}_\theta} = \{ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_{\theta}}(t):t\in {{\Bbb R}}\} $满足

(i) 紧性: 对任意$ t\in{{\Bbb R}} $, $ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(t) $是$ E $的非空紧子集;

(ii) 不变性: 当$ t\geqslant s $时, $ U(t, \tau) {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(s) = {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(t) $;

(iii) 拉回吸引性: $ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta} $在如下意义下是拉回- $ {\mathcal D}_\theta $吸引的

$ \lim\limits_{\tau{\rightarrow}-}{\rm dist}_E(U(t, \tau)D(\tau), {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(t)) = 0, { \quad } {\forall} D = \{D(t):t\in{{\Bbb R}}\}\in {\mathcal D}_\theta, { \quad } t\in{{\Bbb R}}. $

在这一部分中, 我们将应用文献[21] 中的结果建立关于方程组(2.10) 在$ E $中生成过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $的唯一一族不变Borel概率测度的存在性. 首先, 回顾两个基本定义.

定义4.1^[11]  广义Banach极限是定义在由$ [0, +{\infty}) $上所有有界实值函数所构成的函数空间上的泛函, 用$ \lim\limits_{T{\rightarrow}+\infty} $表示, 其满足

(i) 对非负函数$ \psi(\cdot) $, 有$ \lim\limits_{T{\rightarrow} +\infty}\psi(T)\geqslant 0 $;

(ii) 如果极限$ \lim\limits_{T{\rightarrow}+\infty}\psi(T) $存在, 则$ \lim\limits_{T{\rightarrow} +\infty}\psi(T) = \lim\limits_{T{\rightarrow} +\infty}\psi(T) $.

定义4.2^[21]  度量空间$ X $上的过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $称为$ \tau $ -连续, 如果对任意$ x_0\in X $和$ t\in {{\Bbb R}} $, 则$ X $ -值函数$ \tau\mapsto U(t, \tau)x_0 $是连续的, 并且在$ (-\infty, t] $有界.

注4.1  注意到我们研究的是方程组(2.10) 的拉回渐近行为, 并且需要$ \tau{\rightarrow}-\infty $时的广义极限. 因此, 对于定义在$ (-\infty, 0] $上的实值函数$ \psi $以及Banach极限$ \lim\limits_{T{\rightarrow}+\infty} $, 我们定义

$ \lim\limits_{\tau{\rightarrow}-\infty}\psi(\tau) = \lim\limits_{\tau{\rightarrow}+\infty}\psi(-\tau). $

为证明$ E $中关于过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $唯一一族不变Borel概率测度的存在性. 根据文献[21, 定理3.1], 需要证明$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $的$ \tau $ -连续性.

引理4.1  设$ \varphi^{(1)}(t) $和$ \varphi^{(2)}(t) $为方程组(2.10) 分别以$ {\varphi}_{\tau}^{(1)} $和$ {\varphi}_{\tau}^{(2)} $为初值的两个解. 则

$ \begin{eqnarray*} \|\varphi^{(1)}(t)-\varphi^{(2)}(t)\|_E^2 &\leqslant& \|\varphi^{(1)}_\tau-\varphi^{(2)}_\tau\|^2_E\exp \bigg\{\int_\tau^t\frac{16}{{\lambda}}(\|u^{(1)}(s)\|^4+\|u^{(2)}(s)\|^4+\|v^{(2)}(s)\|^4){\rm d}s\bigg\}\\ & &{\times}\exp \bigg\{\int_\tau^t\frac{32{\alpha}^2}{{\lambda}}(\|u^{(1)}(s)\|^4+\|u^{(2)}(s)\|^4){\rm d}s\bigg\}, { \quad } t\geqslant \tau. \end{eqnarray*} $

证  设

$ \varphi^{(i)}(t) = (u^{(i)}(t), v^{(i)}(t), z^{(i)}(t)), { \quad } \forall t\geqslant \tau $

是方程组(2.10) 以$ \varphi^{(i)}_\tau\in E $, $ i = 1, 2 $为初值的两个解. 记

$ \begin{eqnarray*} & u_d(t) = u^{(1)}(t)-u^{(2)}(t), \quad v_d(t) = v^{(1)}(t)-v^{(2)}(t), \nonumber\\ & z_d(t) = z^{(1)}(t)-z^{(2)}(t), \quad \varphi_d(t) = \varphi^{(1)}(t)-\varphi^{(2)}(t). \end{eqnarray*} $

由方程(2.6) 知

(4.1) $ \begin{eqnarray} \dot{u}_d = -d_1 Au_{d}-(\lambda+k)u_d+(u^{(1)})^2v^{(1)}-(u^{(2)})^2v^{(2)}-\alpha ((u^{(1)})^3-(u^{(2)})^3)+\beta z_d. \end{eqnarray} $

用$ u_d $与方程(4.1) 两边在$ l^2 $中作内积得

(4.2) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\|u_{d}\|^2 +d_1\|Bu_d\|^2+({\lambda}+k)\|u_d\|^2 {}\\ & = & ((u^{(1)})^2v^{(1)}-(u^{(2)})^2v^{(2)}, u_{d}) -\alpha((u^{(1)})^3-(u^{(2)})^3, u_{d})+\beta(z_d, u_d). \end{eqnarray} $

经过计算, 有

(4.3) $ \begin{eqnarray} ((u^{(1)})^2v^{(1)}-(u^{(2)})^2v^{(2)}, u_{d})& = &((u^{(1)})^2v_d+(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}u_d, u_d) \\ &\leqslant&\frac{{\lambda}}{4}\|u_d\|^2+\frac{1}{{\lambda}}\|(u^{(1)})^2v_d+(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}u_d\|^2 \\ &\leqslant& \frac{{\lambda}}{4}\|u_d\|^2+\frac{2}{{\lambda}}[\|(u^{(1)})^2\|^2+\|(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}\|^2]\|{\varphi}_d\|^2{\qquad} \end{eqnarray} $

并且

(4.4) $ \begin{eqnarray} \alpha((u^{(1)})^3-(u^{(2)})^3, u_{d})& = &{\alpha}(((u^{(1)})^2+u^{(1)}u^{(2)}+(u^{(2)})^2)u_d, u_d) \\ &\leqslant& \frac{{\lambda}}{4}\|u_d\|^2+\frac{4{\alpha}^2}{{\lambda}}\|(u^{(1)})^2+(u^{(2)})^2\|^2\|{\varphi}_d\|^2, \end{eqnarray} $

(4.5) $ \begin{eqnarray} [2ex] \beta(z_d, u_d)&\leqslant& \frac{\beta}{2}\|u_d\|^2+\frac{\beta}{2}\|z_d\|^2. \end{eqnarray} $

将(4.3)-(4.5) 式带入(4.2) 式得

(4.6) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\|u_{d}\|^2 +(\frac{{\lambda}}{2}+k-\frac{\beta}{2})\|u_d\|^2 &\leqslant& \frac{2}{{\lambda}}[\|(u^{(1)})^2\|^2+\|(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}\|^2]\|{\varphi}_d\|^2 \\ & &+\frac{4{\alpha}^2}{{\lambda}}\|(u^{(1)})^2+(u^{(2)})^2\|^2\|{\varphi}_d\|^2 +\frac{\beta}{2}\|z_d\|^2. \end{eqnarray} $

由方程(2.7) 得

(4.7) $ \begin{eqnarray} \dot{v}_d = -d_2 Av_{d}-\lambda v_d-((u^{(1)})^2v^{(1)}-(u^{(2)})^2v^{(2)})+\alpha ((u^{(1)})^3-(u^{(2)})^3). \end{eqnarray} $

用$ v_d $与方程(4.7) 两边在$ l^2 $中作内积得

(4.8) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\|v_{d}\|^2+d_2\|Bv_d\|^2+{\lambda}\|v_d\|^2 \\ & = & -((u^{(1)})^2v^{(1)}-(u^{(2)})^2v^{(2)}, v_{d}) +\alpha((u^{(1)})^3-(u^{(2)})^3, v_{d}). \end{eqnarray} $

类似于(4.3) 和(4.4) 式, 我们有

(4.9) $ \begin{equation} ((u^{(1)})^2v^{(1)}-(u^{(2)})^2v^{(2)}, v_{d}) \leqslant \frac{{\lambda}}{4}\|v_d\|^2+\frac{2}{{\lambda}}[\|(u^{(1)})^2\|^2+\|(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}\|^2]\|{\varphi}_d\|^2, \end{equation} $

(4.10) $ \begin{equation} -\alpha((u^{(1)})^3-(u^{(2)})^3, v_{d}) \leqslant \frac{{\lambda}}{4}\|v_d\|^2+\frac{4{\alpha}^2}{{\lambda}}\|(u^{(1)})^2+(u^{(2)})^2\|^2\|{\varphi}_d\|^2. \end{equation} $

结合(4.8), (4.9) 和(4.10) 式得

(4.11) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\|v_{d}\|^2+\frac{{\lambda}}{2}\|v_d\|^2 &\leqslant& \frac{2}{{\lambda}}[\|(u^{(1)})^2\|^2+\|(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}\|^2]\|{\varphi}_d\|^2 \\ &&+ \frac{4{\alpha}^2}{{\lambda}}\|(u^{(1)})^2+(u^{(2)})^2\|^2\|{\varphi}_d\|^2. \end{eqnarray} $

最后, 由方程(2.8) 得

$ \dot{z}_d = -d_3 Az_{d}+k u_d-(\lambda+\beta)z_d. $

类似于(4.11) 式的得到过程, 我们有

(4.12) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\|z_{d}\|^2 + ({\lambda}+\beta-\frac{k}{2})\|z_d\|^2 \leqslant \frac{k}{2}\|u_d\|^2. \end{equation} $

注意到$ {\lambda}+k-\beta>{\lambda} $和$ 2{\lambda}+\beta-k>{\lambda} $. 于是由(4.6), (4.11) 和(4.12) 式得

$ \begin{eqnarray*} & &\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\|u_{d}\|^2+\|v_{d}\|^2+\|z_{d}\|^2)+{\lambda}(\|u_{d}\|^2+\|v_{d}\|^2+\|z_{d}\|^2)\nonumber \\ &\leqslant& \frac{8}{{\lambda}}[\|(u^{(1)})^2\|^2+\|(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}\|^2]\|{\varphi}_d\|^2 +\frac{16{\alpha}^2}{{\lambda}}\|(u^{(1)})^2+(u^{(2)})^2\|^2\|{\varphi}_d\|^2. \end{eqnarray*} $

从而

$ \begin{eqnarray*} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\|{\varphi}_{d}\|_E^2+{\lambda}\|{\varphi}_{d}\|_E^2 &\leqslant& \frac{8}{{\lambda}}[\|(u^{(1)})^2\|^2+\|(u^{(1)}+u^{(2)})v^{(2)}\|^2]\|{\varphi}_d\|^2\nonumber\\ & &+\frac{16{\alpha}^2}{{\lambda}}\|(u^{(1)})^2+(u^{(2)})^2\|^2\|{\varphi}_d\|^2\nonumber\\ &\leqslant& \frac{8}{{\lambda}}[\|(u^{(1)})\|^4+2(\|u^{(1)}\|^2+\|u^{(2)}\|^2)\|v^{(2)}\|^2]\|{\varphi}_d\|^2\nonumber\\ & &+\frac{32{\alpha}^2}{{\lambda}}(\|u^{(1)}\|^4+\|u^{(2)}\|^4)\|{\varphi}_d\|^2, \end{eqnarray*} $

我们可以推出

(4.13) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\|{\varphi}_{d}\|_E^2+{\lambda}\|{\varphi}_{d}\|^2_E \leqslant (\frac{16}{{\lambda}}[\|u^{(1)}\|^4+\|u^{(2)}\|^4+\|v^{(2)}\|^4] +\frac{32{\alpha}^2}{{\lambda}}(\|u^{(1)}\|^4+\|u^{(2)}\|^4))\|{\varphi}_d\|^2_E. \end{equation} $

对方程(4.13) 在$ [\tau, t] $上积分得

(4.14) $ \begin{eqnarray} \|{\varphi}_{d}(t)\|_E^2 &\leqslant& \|{\varphi}_d(\tau)\|_E^2 +\int_\tau^t(\frac{16}{{\lambda}}[\|u^{(1)}(s)\|^4+\|u^{(2)}(s)\|^4+\|v^{(2)}(s)\|^4])\|{\varphi}_d(s)\|_E^2{\rm d}s\\[1ex] & &+ \int_\tau^t(\frac{32{\alpha}^2}{{\lambda}}(\|u^{(1)}(s)\|^4+\|u^{(2)}(s)\|^4))\|{\varphi}_d(s)\|_E^2{\rm d}s. \end{eqnarray} $

对(4.14) 式用Gronwall不等式, 我们得

$ \begin{eqnarray*} \|\varphi_{d}(t)\|_E^2 &\leqslant& \|\varphi_{d}(\tau)\|^2_E\exp\bigg\{\int_\tau^t\frac{16}{{\lambda}}[\|u^{(1)}(s)\|^4+\|u^{(2)}(s)\|^4+\|v^{(2)}(s)\|^4]{\rm d}s\bigg\}\\ & &{\times}\exp\bigg\{\int_\tau^t\frac{32{\alpha}^2}{{\lambda}}(\|u^{(1)}(s)\|^4+\|u^{(2)}(s)\|^4){\rm d}s\bigg\}. \end{eqnarray*} $

因此引理的结论成立.

引理4.2  假设(H2) 成立. 则对每个$ {\varphi}_*\in E $以及$ t\in {{\Bbb R}} $, $ E $ -值函数$ \tau{\rightarrow} U(t, \tau){\varphi}_* $是连续的, 并在$ (-\infty, t] $有界.

证  设$ {\varphi}_* = (u_*, v_*, z_*)^T\in E $并且$ t\in {{\Bbb R}} $. 接下来我们证明, 对于每个固定的$ {\varepsilon}>0 $以及$ s\leqslant t $, 存在$ {\delta}>0 $使得, 如果$ r\in(-\infty, t] $满足$ |r-s|<{\delta} $, 就有

$ \|U(t, r){\varphi}_*-U(t, s){\varphi}_*\|_E<{\varepsilon}. $

不失为一般性, 我们假定$ r<s $. 考察

$ \left\{ \begin{array}{ll}U(\cdot, s)U(s, r){\varphi}_* = (u_*^{(1)}(\cdot), v_*^{(1)}(\cdot), z_*^{(1)}(\cdot))^T, \\ U(\cdot, s)U(r, r){\varphi}_* = (u_*^{(2)}(\cdot), v_*^{(2)}(\cdot), z_*^{(2)}(\cdot))^T. \end{array}\right. $

根据引理4.1以及过程$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $的性质, 有

(4.15) $ \begin{eqnarray} &&\|U(t, r){\varphi}_*-U(t, s){\varphi}_*\|^2_E \\[1ex] & = &\|U(t, s)U(s, r){\varphi}_*-U(t, s)U(r, r){\varphi}_*\|^2_E \\[1ex] &\leqslant& \|U(s, r){\varphi}_*-U(r, r){\varphi}_*\|^2_E \exp\bigg\{\int_s^t\bigg(\frac{16}{{\lambda}}[\|u^{(1)}_*(\eta)\|^4+\|u^{(2)}_*(\eta)\|^4+\|v^{(2)}_*(\eta)\|^4] {}\\ &&+\frac{32{\alpha}^2}{{\lambda}}[\|u^{(1)}_*(\eta)\|^4+\|u^{(2)}_*(\eta)\|^4]\bigg){\rm d}\eta\bigg\}. \end{eqnarray} $

由于方程(2.10) 的解属于空间$ {\mathcal C}([\tau, {\infty}), E) $, 我们可以推出, 对任意$ s\in {{\Bbb R}} $满足$ s\leqslant t $, 就有

(4.16) $ \begin{eqnarray} & &\exp\bigg\{\int_s^t(\frac{16}{{\lambda}}[\|u^{(1)}_*(\eta)\|^4+\|u^{(2)}_*(\eta)\|^4+\|v^{(2)}_*(\eta)\|^4] +\frac{32{\alpha}^2}{{\lambda}}[\|u^{(1)}_*(\eta)\|^4+\|u^{(2)}_*(\eta)\|^4]){\rm d}\eta\bigg\}\\ &<&+{\infty}. \end{eqnarray} $

因此, 由(4.15) 和(4.16) 式知, 如果$ |r-s| $充分小, 则(4.15) 式的右侧也会尽可能小. 所以$ E $ -值函数$ \tau{\rightarrow} U(t, \tau){\varphi}_* $关于$ \tau\in (-{\infty}, t] $是连续的.

最后, 验证$ E $ -值函数$ \tau{\rightarrow} U(t, \tau){\varphi}_* $在$ (-{\infty}, t] $上有界. 令$ {\varphi}_* $和$ t\in {{\Bbb R}} $按如上给定的. 注意到$ {\varphi}_\tau\in D(\tau) $, 由引理 和假设(H2) 知

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\tau{\rightarrow}-}\|U(t, \tau)\varphi_*\|^2_E &\leqslant& \frac{\delta_2}{\delta_1}\lim\limits_{\tau{\rightarrow}-}{\rm e}^{-\theta(t-\tau)}\|\varphi_\tau\|^2_E+\frac{{\lambda}}{{\delta}_1\theta}\|a\|^2 \\ && +\frac{2\alpha}{{\delta}_1({\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-} {\rm e}^{\theta s}\|f_1(s)\|^2{\rm d}s + \frac{2}{{\delta}_1{\lambda}}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-\infty} {\rm e}^{\theta s}\|f_2(s)\|^2{\rm d}s\\ &&+\frac{2\mu\alpha}{{\delta}_1(\mu{\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-\infty} {\rm e}^{\theta s}\|f_3(s)\|^2{\rm d}s\\ & = & \frac{{\lambda}}{{\delta}_1\theta}\|a\|^2 +\frac{2\alpha}{{\delta}_1({\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-} {\rm e}^{\theta s}\|f_1(s)\|^2{\rm d}s\\ &&+ \frac{2}{{\delta}_1{\lambda}}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-\infty} {\rm e}^{\theta s}\|f_2(s)\|^2{\rm d}s +\frac{2\mu\alpha}{{\delta}_1(\mu{\lambda}+k)}{\rm e}^{-\theta t}\int^t_{-\infty} {\rm e}^{\theta s}\|f_3(s)\|^2{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

由于$ E $ -值函数$ \tau{\rightarrow} U(t, \tau){\varphi}_* $在$ (-{\infty}, t] $上连续, 因此$ E $ -值函数$ \tau{\rightarrow} U(t, \tau){\varphi}_* $在$ (-{\infty}, t] $上是有界的. 从而引理的结论成立.

根据引理4.2, 定理3.1以及文献[21, 定理3.1], 我们有如下结果.

定理4.1  (H2) 成立. 设$ \{U(t, \tau)\}_{t\geqslant \tau} $是由方程组(2.10) 生成的过程以及$ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta} = \{ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(t):t\in {{\Bbb R}}\} $是定理3.1给出的拉回- $ {\mathcal D}_\theta $吸引子. 固定一个广义Banach极限$ \lim\limits_{T{\rightarrow}+\infty} $并且令$ {\varphi}(\cdot):{{\Bbb R}}{\rightarrow} E $是一个连续映射满足$ {\varphi}(\cdot)\in {\mathcal D}_{\theta} $. 则在空间$ E $中存在唯一一族Borel概率测度$ \{\mu_t\}_{t\in {{\Bbb R}}} $, 使得$ \mu_t $的支集包含在$ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(t) $中并且对$ E $上任意实值连续函数$ \phi $, 就有

$ \lim\limits_{\tau{\rightarrow}-\infty}\frac{1}{t-\tau}\int^t_\tau\phi(U(t, s){\varphi}(s)){\rm d}s = \int_{ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(t)}\phi({\varphi}){\rm d}\mu_t({\varphi}). $

而且, $ \mu_t $在以下意义上是不变的:

$ \int_{ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(t)}\phi({\varphi}){\rm d}\mu_t({\varphi}) = \int_{ {\mathcal A}_{ {\mathcal D}_\theta}(\tau)}\phi(U(t, \tau){\varphi}){\rm d}\mu_\tau({\varphi}), { \quad } t\geqslant \tau. $