设$ \Omega\in {{\Bbb R}} ^{d}\; (d = 1, 2, 3) $是一个凸多面体区域, 其边界为$ \partial\Omega $, $ T>0 $为固定时间. 本文考虑一个广义的Rayleigh-Stokes流体分数阶导数模型

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t}u(x, t)-(1+\gamma\, \, _{0}^{R}\partial_{t}^{\alpha})\Delta u(x, t) = f(x), & (x, t)\in\Omega\times(0, T), \\ u(x, t) = 0, & x\in\partial\Omega, t\in(0, T), \\ u(x, 0) = \varphi(x), & x\in\Omega, \\ u(x, T) = g(x), & x\in\Omega, \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \gamma>0 $是常数, $ \varphi(x) $是定义在$ L^2(\Omega) $上的初始数据, 符号$ _{0}^{R}\partial_{t}^{\alpha} $表示阶数为$ \alpha\; (0<\alpha<1) $的Riemann-Liouville分数阶导数

$ \begin{eqnarray*} _{0}^{R}\partial_{t}^{\alpha}u(x, t) = \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{t}\omega_{1-\alpha}(t-\tau)u(x, \tau){\rm d}\tau, \; \; \; \omega_{\alpha}(t) = \frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma(\alpha)}, \end{eqnarray*} $

其中$ \Gamma(\cdot) $表示Gamma函数.

在问题(1.1) 中, 当$ f(x) $已知时, 此问题是一个正问题. 如果$ f(x) $是未知的, 此问题就是一个反问题. 这时, 需要使用附加条件$ u(x, T) = g(x) $去识别未知源项$ f(x) $. 然而, 在实际问题中, $ g(x) $只能通过测量得到. 因此, 假设精确数据函数$ g(x) $和测量数据函数$ g^{\delta}(x) $满足

(1.2) $ \begin{equation} \|g^{\delta}(\cdot)-g(\cdot)\|\leq \delta, \end{equation} $

其中$ \|\cdot\| $表示$ L^{2}(\Omega) $范数, $ \delta>0 $表示测量误差.

近年来, 两级加热流体Rayleigh-Stokes问题$ ^{[1]} $在描述聚合物溶液等非牛顿流体力学方面起着重要作用, 引起许多研究者的广泛关注. 关于Rayleigh-Stokes问题的正问题, 已得到很多研究成果. 文献[2] 中, 作者利用Fourier系数变换和分数阶Laplace变换求解Rayleigh-Stokes问题的精确解. 文献[3] 讨论了广义Rayleigh-Stokes问题某些振荡运动的精确解, 给出了无限平板振荡流的速度场和相应的解析表达式, 并用Fourier正弦变换和Laplace变换确定了振荡压力梯度引起的振动. 在文献[4] 中, 作者使用分数阶导数方法求解边界上的Rayleigh-Stokes问题. 另外, 一些学者用数值方法研究了Rayleigh-Stokes问题. 文献[5] 中, 作者利用隐式和显式差分数值方法, 得到了含有分数阶导数的二阶广义热流体Rayleigh-Stokes问题的数值解. 文献[6]中, 对于具有Riemann-Liouville分数阶导数的广义二阶流体分数阶stokes问题, 提出了一种计算未知阶数的数值方法. 文献[7] 中, 针对广义二阶流体的Rayleigh-Stokes问题, 提出了一种在有界域内有效的近似数值方法. 文献[8] 中, 研究了Rayleigh-Stokes第一问题的四阶空间精度数值方法. 文献[9-10] 中, 研究具有分数阶导数的广义二阶热流体的Rayleigh-Stokes问题的数值解. 文献[11] 中, 利用高阶差分格式和Galerkin谱技术求解多时间分数阶偏微分方程, 提出一种基于时间有限差分格式的方法, 证明离散方法的无条件稳定性和收敛性, 给出Galerkin谱法的误差估计. 文献[12]中, 作者给出一个高阶数值格式及其收敛阶, 并用它来求解时空分数阶扩散波方程, 同时证明该方法的收敛性和无条件稳定性. 文献[13] 中, 作者详细介绍用无网格局部边界积分方程(MLBIE)方法分析FGMS的瞬态传热问题. 在时域和空域采用最小二乘法. 最后, 作者得到一个广义的Sylvester方程, 而不是一些线性方程, 证明该方法在计算上是非常有效的. 文献[14] 中, 对于二维分数阶Rayleigh-Stokes问题, 主要讨论高阶差分格式和径向基函数无网格法, 并对两种方法进行比较. 证明差分格式的收敛性和稳定性, 以及该方法的高精度和高效率.

在实际问题中, 大多数流体运动和运输过程都是分布参数, 其中模型方程中使用的参数, 如物理参数、源项、初始条件和边界条件等都是未知的. 通过实测数据识别这些未知参数, 提出两级加热流体的Rayleigh-Stokes反问题. 根据目前的研究现状来看, Rayleigh-Stokes问题反问题的研究还是有限的. 文献[15] 中, 作者用带高斯随机扰动的滤波正则化方法来分析Rayleigh-Stokes反向问题. 文献[16]中, 作者用带高斯随机扰动的滤波正则化方法识别Rayleigh-Stokes问题的未知源, 给出正则解与精确解之间的误差估计, 但正则化参数是通过先验来选择的, 先验正则化参数依赖于未知的先验界. 文献[17] 中, 作者考虑了一个带有控制参数的扩散方程的反问题. 介绍了几种识别控制参数的差分格式. 说明这些方法的无条件稳定性, 并对CPU时间进行了比较. 最后给出了数值实验的结果, 并说明了该反问题所需的精度和CPU时间.

在数学物理方程反问题领域中, 有许多处理此类问题的正则化方法. 例如, 简化的Tikhonov正则化方法^[18-19], Tikhonov正则化方法^[20-21], 拟边界正则化方法^[22-25], 拟逆正则化方法^[26-27], 改进的核方法^[28-29], 一种改进的正则化方法^[30], Fourier正则化方法^[31-33], Landweber迭代正则化方法^[34-38], 分数阶Landweber迭代正则化方法^[39]等等.

本文利用分数阶Landweber迭代正则化方法研究分数阶Rayleigh-Stokes方程未知源识别. Klann, Mass和Ramlau在文献[40] 中首次提出分数阶Landweber正则化方法. 文献[41] 中, 作者利用分数阶Landweber正则化方法处理一类算子方程反问题. 本文在先验和后验正则参数选择规则下, 给出正则解与精确解之间的误差估计, 后验正则化参数只依赖于可测数据, 而不依赖精确解的先验界. 通过数值例子, 发现分数阶Landweber正则化方法求解这一类反问题比Landweber正则化方法更有效.

本文组织结构如下. 第2节给出问题(1.1) 的不适定性和问题(1.1) 未知源识别的条件稳定性. 在第3节中, 利用分数阶Landweber正则化方法处理这个反问题, 并得到先验和后验收敛误差估计. 第4节通过数值算例证明Landweber正则化方法和分数阶Landweber正则化方法的有效性和可行性, 并对两种方法进行比较. 第5节给出本文的主要结论.

在这一节, 主要讨论问题(1.1) 的不适定性分析和条件稳定性结果. 在区域$ \Omega $上, 分别设$ \{\lambda_{n}\}_{n = 1}^{\infty} $和$ \{\chi_{n}\}_{n = 1}^{\infty} $为$ -\Delta $的特征值和特征函数, 并且满足

(2.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta\chi_{n}(x) = -\lambda_{n}\chi_{n}(x), & x\in\Omega, \\ \chi_{n}(x) = 0, & x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ 0< \lambda_{1}\leq\lambda_{2}\leq \cdots\leq \lambda_{n}\leq \cdots $, $ { }\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n} = +\infty $和$ \chi_{n}(x)\in H^{2}(\Omega)\cap H_{0}^{1}(\Omega) $, $ \{\chi_{n}\}_{n = 1}^{\infty} $表示空间$ L^{2}(\Omega) $中的一组标准正交基. 对于任意的$ p>0 $, 定义空间$ H^{p}(\Omega) $如下

(2.2) $ \begin{equation} H^{p}(\Omega) = \Big\{\phi\in L^{2}(\Omega)\Big|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1+(\lambda_{n})^{2})^\frac{p}{2}|(\phi, \chi_{n})|^{2}<\infty\Big\}, \end{equation} $

其中$ (\cdot, \cdot) $表示空间$ L^{2}(\Omega) $上的内积, 则$ H^{p}(\Omega) $是一个Hilbert空间, 范数定义如下

(2.3) $ \begin{equation} \|\phi\|_{H^{p}(\Omega)}: = \Big(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1+(\lambda_{n})^{2})^\frac{p}{2}|(\phi, \chi_{n})|^{2}\Big)^{\frac{1}{2}}. \end{equation} $

根据文献[42] 的结果, 问题(1.1) 存在唯一的解, 解的表达式如下

(2.4) $ \begin{equation} u(x, t) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\varphi_{n}u_{n}(t)\chi_{n}(x)+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\int_{0}^{t}u_n(t-\tau){\rm d}\tau f_{n}(x)\chi_{n}(x), \end{equation} $

其中$ \varphi_{n} = (\varphi(x), \chi_{n}(x)) $, $ f_{n} = (f(x), \chi_{n}(x)) $是Fourier系数, 函数$ u_{n}(t) $满足

$ u_{n}(t) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}A_{n}(s){\rm d}s, $

其中

$ A_{n}(s) = \frac{\gamma}{\pi}\frac{\lambda_{n}s^{\alpha}\sin\alpha\pi}{(-s+\lambda_{n}\gamma s^{\alpha}\cos\alpha\pi+\lambda_{n})^{2}+(\lambda_{n}\gamma s^{\alpha}\sin\alpha\pi)^{2}}. $

利用附加条件$ u(x, T) = g(x) $, 根据(2.4)式, 可得

(2.5) $ \begin{equation} g(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\varphi_{n}u_{n}(T)\chi_{n}(x)+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau f_{n}\chi_{n}(x). \end{equation} $

因此

(2.6) $ \begin{equation} g_{n} = \varphi_{n}u_{n}(T)+f_{n}\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau, \end{equation} $

其中$ g_{n} = (g(x), \chi_{n}(x)) $是Fourier系数. 通过(2.6) 式, 可以得到$ f(x) $的精确解如下

(2.7) $ \begin{equation} f(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{h_{n}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}\chi_{n}(x), \end{equation} $

其中$ h_n = g_n-\varphi_nu_n(T) $. 为了分析问题的不适定性, 给出一些重要引理.

引理 2.1^[42]  对于函数$ u_{n}(t) $, $ n = 1, 2, \cdots $, 有下列性质.

$ \rm a) $$ u_{n}(0) = 1 $, $ 0<u_{n}(t)\leq1 $, $ t\geq0 $;

$ \rm b) $当$ t\geq0 $时, $ u_{n}(t) $是完全单调的;

$ \rm c) $$ \int_{0}^{T}|u_n(t)|{\rm d}\tau<\frac{1}{\lambda_n} $, $ T>0 $.

引理 2.2^[16]  假设$ \alpha\in(0, 1) $, 对于任意的$ t\in[0, T] $, 均有如下估计成立

$ u_{n}(t)\geq\frac{C(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{\lambda_{n}}, $

其中

$ C(\gamma, \alpha, \lambda_{1}) = \gamma\sin\alpha\pi\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-sT}s^{\alpha}{\rm d}s}{\gamma^{2}s^{2\alpha}+\frac{s^{2}}{\lambda_{1}^{2}}+1}. $

此外, 也有如下估计成立

$ \int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau \geq \int_{0}^{T}\frac{C(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{\lambda_{n}}{\rm d}\tau = \frac{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{\lambda_{n}}. $

因为当$ n\rightarrow\infty $时, $ \lambda_{n}\rightarrow\infty $, 因此$ \frac{1}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}\rightarrow\infty $. 由公式(2.7) 可知, $ g^{\delta}(x) $的微小变化会引起$ f(x) $的巨大变化. 因此, 问题(1.1) 是一个不适定问题.

接下来, 将给出源项$ f(x) $的条件稳定性的结果. 设$ f(x)\in H^{p}(\Omega) $满足先验界条件

(2.8) $ \begin{equation} \|f(\cdot)\|_{ H^{p}(\Omega)} = \Big(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1+(\lambda_{n})^{2})^\frac{p}{2}|(f, \chi_{n})|^{2}\Big)^{\frac{1}{2}}\leq E, \end{equation} $

其中$ E $和$ p $均为正常数.

定理 2.1  假设先验界(2.8) 成立, 则条件稳定性结果如下

(2.9) $ \begin{equation} \|f(x)\|\leq C_{1}E^{\frac{2}{p+2}}\|h(x)\|^{\frac{p}{p+2}}, \; \; p>0, \end{equation} $

其中$ C_{1} = (TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1}))^{-\frac{p}{p+2}} $.

证  通过(2.7) 式, 并且使用Hölder不等式, 可以得到

(2.10) $ \begin{eqnarray} \|f(x)\|^{2} & = &\Big\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{h_{n}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}\chi_{n}(x)\Big\|^{2} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{h_{n}^{2}}{\Big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\Big)^{2}}{}\\ & = &\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{h_{n}^{\frac{4}{p+2}}\cdot h_{n}^{\frac{2p}{p+2}}}{\Big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\Big)^{2}} = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\Big(\frac{h_{n}^{2}}{\big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\big)^{p+2}}\Big)^\frac{2}{p+2}\Big(h_{n}^{2}\Big)^\frac{p}{p+2}{}\\ &\leq&\Big(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{h_{n}^{2}}{(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{p+2}}\Big)^{\frac{2}{p+2}}\Big(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}h_{n}^{2}\Big)^{\frac{p}{p+2}}. \end{eqnarray} $

根据引理2.2, 可以得到

(2.11) $ \begin{equation} \frac{1}{\big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\big)^{p+2}}\leq \frac{1}{\big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\big)^{2}}\Big(\frac{\lambda_{n}}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^p. \end{equation} $

根据(2.7), (2.8) 和(2.11)式, 有

(2.12) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{h_{n}^{2}}{(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{p+2}} &\leq&\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{h_{n}^{2}}{\big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\big)^{2}}\Big(\frac{\lambda_{n}}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^p{}\\ & = &\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\Big(\frac{1}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^p\lambda_{n}^pf_n^2 = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\Big(\frac{1}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^p(\lambda_{n}^2)^\frac{p}{2}f_n^2{}\\ &\leq&\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\Big(\frac{1}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^p(1+(\lambda_{n})^{2})^\frac{p}{2}f_{n}^{2} {}\\ &\leq& \Big(\frac{1}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^pE^{2}. \end{eqnarray} $

根据(2.10) 和(2.12)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \|f(x)\|^2 &\leq & \Big(\Big(\frac{1}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^pE^{2}\Big)^{\frac{2}{p+2}}\Big(\sum\limits_{n = 1}^{\infty}h_{n}^{2}\Big)^{\frac{p}{p+2}}{\nonumber}\\ & = &\Big(\frac{1}{TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^{\frac{2p}{p+2}}E^{\frac{4}{p+2}}\|h(x)\|^{\frac{2p}{p+2}} = C_{1}^2E^{\frac{4}{p+2}}\|h(x)\|^{\frac{2p}{p+2}}, \end{eqnarray*} $

其中$ C_{1} = (TC(\gamma, \alpha, \lambda_{1}))^{-\frac{p}{p+2}} $.

因此, 可以得到如下结果

$ \|f(x)\|\leq C_{1}E^{\frac{2}{p+2}}\|h(x)\|^{\frac{p}{p+2}}, \; \; p>0. $

定理2.1证毕.

在下一节, 首先引入Landweber迭代正则化方法, 得到Landweber迭代正则解, 然后给出分数阶Landweber迭代正则解. 采用分数阶Landweber迭代正则化方法求解不适定问题(1.1).

在这一节中, 主要使用分数阶Landweber迭代正则化方法来解决不适定问题(1). 在先验正则化参数选取规则和后验正则化参数选取规则的情况下, 得到精确解与正则解之间的收敛误差估计. 识别源项$ f(x) $可以转化为求解以下积分方程

(3.1) $ \begin{equation} ({\cal K}f)(x): = \int_{\Omega}k(x, \xi)f(\xi){\rm d}\xi = h(x), \end{equation} $

其中

$ k(x, \xi) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\chi_{n}(x)\chi_{n}(\xi). $

因为核函数$ k(x, \xi) = k(\xi, x) $, 因此$ {\cal K} $是一个自伴算子. 设$ f_1^{m, \delta}(x) $为反演源项问题$ (1) $的Landweber迭代正则解. 使用积分方程$ f_1 = (I-a{\cal K}^{*}{\cal K})f_1+a{\cal K}^{*}h $来代替方程$ {\cal K}f_1 = h $, 就可以得到下列迭代格式

(3.2) $ \begin{equation} f_1^{0, \delta}(x) = 0, \; \; f_1^{m, \delta}(x) = (I-a{\cal K}^{*}{\cal K})f_1^{m-1, \delta}(x)+a{\cal K}^{*}h^{\delta}(x), \; \; m = 1, 2, 3, \cdots, \end{equation} $

其中$ I $是一个单位算子, $ m $是迭代步数, 也被称为正则化参数, $ a $表示松弛因子, 并且满足$ 0<a<\frac{1}{\|{\cal K}\|^{2}} $. 由于$ {\cal K} $一个自伴算子, 可以通过如下式子来表示$ {\cal R}_{m}: L^{2}(\Omega)\rightarrow L^{2}(\Omega) $

$ {\cal R}_{m} = a\sum\limits_{k = 0}^{m-1}(I-a{\cal K}^{*}{\cal K})^{k}{\cal K}^{*}, \; \; m = 1, 2, 3, \cdots. $

因此, 通过简单计算可得$ f_1^{m, \delta}(x) $的表达式如下

$ f_1^{m, \delta}(x) = {\cal R}_{m}h^{\delta}(x) = a\sum\limits_{k = 0}^{m-1}(I-a{\cal K}^{*}{\cal K})^{k}{\cal K}^{*}h^{\delta}(x). $

利用算子$ {\cal K} $的奇异值和(3.2) 式, 可得Landweber迭代正则解如下

(3.3) $ \begin{equation} f_1^{m, \delta}(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}^{\delta}\chi_{n}(x), \end{equation} $

其中$ h_{n}^{\delta} = (h^{\delta}(x), \chi_{n}(x)) $.

则含有测量误差$ {\delta} $的分数阶Landweber正则解

(3.4) $ \begin{equation} f^{m, \delta}(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}^{\delta}\chi_{n}(x). \end{equation} $

含有精确数据的分数阶Landweber正则解

(3.5) $ \begin{equation} f^{m}(x) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}\chi_{n}(x), \end{equation} $

其中$ m\geq1 $称为正则化参数, $ 0<a< \frac{1}{(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2}} $, $ \frac{1}{2}<\beta\leq1 $称为分数阶参数.

定理 3.1  设$ f^{m, \delta}(x) $为分数阶Landweber迭代正则解, 具体的表达式通过(3.4) 式给出. 设先验界条件(2.8) 和假设(1.2) 成立. 选取正则化参数为$ m = \lfloor b\rfloor $, 其中

(3.6) $ \begin{equation} b = \Big(\frac{E}{\delta}\Big)^{\frac{4}{p+2}}, \end{equation} $

则得到下列收敛误差估计

(3.7) $ \begin{equation} \|f^{m, \delta}(\cdot)-f(\cdot)\|\leq C_{2}E^{\frac{2}{p+2}}\delta^{\frac{p}{p+2}}, \end{equation} $

其中$ \lfloor b\rfloor $表示小于或等于$ b $的最大整数, $ C_{2}: = \sqrt{a}+\big(\frac{p}{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\big)^{\frac{p}{4}} $是正常数.

证  利用三角不等式可得

(3.8) $ \begin{equation} \|f^{m, \delta}(\cdot)-f(\cdot)\|\leq\|f^{m, \delta}(\cdot)-f^{m}(\cdot)\|+\|f^{m}(\cdot)-f(\cdot)\|. \end{equation} $

根据(1.2)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|f^{m, \delta}(\cdot)-f^{m}(\cdot)\|^{2} & = &\Big\|\sum _{n = 1}^{\infty}\frac{[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}^{\delta}\chi_{n}(x)\\ &&-\sum _{n = 1}^{\infty}\frac{[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ & = &\Big\|\sum _{n = 1}^{\infty}\frac{[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}(h_{n}^{\delta}-h_{n})\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ &\leq &\sup\limits_{n\geq1}(C_2(n))^{2}\delta^{2}, \end{eqnarray*} $

其中$ C_2(n): = \frac{[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau} $. 因为$ \int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau $是算子$ {\cal K} $的奇异值, 并且$ 0<a<\frac{1}{\|{\cal K}\|^{2}} $, 因此$ 0<a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2}<1 $. 根据Bernoulli不等式, 可得

$ \begin{eqnarray*} 1-\Big(1-a\Big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\Big)^{2}\Big)^{m}&\leq&\sqrt{1-\Big(1-a\Big(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau\Big)^{2}\Big)^{m}}\\ &\leq&\sqrt{am}\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau, \end{eqnarray*} $

从而$ C_2(n)\leq\sqrt{am}, $即

(3.9) $ \begin{equation} \|f^{m, \delta}(\cdot)-f^{m}(\cdot)\|\leq \sup\limits_{n\geq1}C_2(n)\delta\leq\sqrt{am}\delta. \end{equation} $

由(2.8)式, 可得

$ \begin{eqnarray*} \|f^{m}(\cdot)-f(\cdot)\|^{2} & = &\Big\| \sum _{n = 1}^{\infty}\frac{[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}\chi_{n}(x)\\ &&-\sum _{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ & = &\Big\| \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{[[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}-1]}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ &\leq&\Big\| \sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{[[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]-1]}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}h_{n}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ & = &\Big\| \sum _{n = 1}^{\infty}\frac{(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}}(\lambda_{n})^{\frac{p}{2}}h_{n}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ & = &\Big\| \sum _{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}}(\lambda_{n})^{\frac{p}{2}}\frac{h_{n}}{\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ & = &\Big\|\sum _{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}}(\lambda_{n})^{\frac{p}{2}}f_{n}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ &\leq & \sup\limits_{\lambda_n>0}((1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}})^{2}\Big\|\sum _{n = 1}^{\infty}(1+\lambda_{n}^{2})^{\frac{p}{2}}f_{n}\chi_{n}(x)\Big\|^{2}\\ &\leq & \sup\limits_{\lambda_{n}\geq0}(C_3(\lambda_{n}))^{2}E^{2}, \end{eqnarray*} $

其中$ C_3(\lambda_{n}): = (1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}} $.

根据引理2.2, 有

$ C_3(n)\leq\Big(1-\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{(\lambda_{n})^{2}}\Big)^{m}(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}}. $

设$ H(s): = \big(1-\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{s^{2}}\big)^{m}s^{-\frac{p}{2}} $, $ s: = \lambda_{n} $.

假设$ s_{0} $满足$ H^{'}(s_{0}) = 0 $, 可得

$ s_{0} = \Big(\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})(4m+p)}{p}\Big)^{\frac{1}{2}}, $

因此

(3.10) $ \begin{eqnarray} H(s)\leq H(s_{0})& = &\Big(1-\frac{p}{4m+p}\Big)^{m}\Big(\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})(4m+p)}{p}\Big)^{-\frac{p}{4}}{}\\ &\leq&\Big(\frac{p}{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^{\frac{p}{4}}(m+1)^{-\frac{p}{4}}. \end{eqnarray} $

则

(3.11) $ \begin{equation} \|f^{m}(\cdot)-f(\cdot)\|\leq \sup\limits_{\lambda_{n}\geq0}C_3(n)E\leq H(s)E\leq\Big(\frac{p}{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^{\frac{p}{4}}(m+1)^{-\frac{p}{4}}E. \end{equation} $

结合(3.6), (3.8), (3.9) 与(3.11)式, 可得

$ \|f^{m, \delta}(\cdot)-f(\cdot)\|\leq C_{2}E^{\frac{2}{p+2}}\delta^{\frac{p}{p+2}}, $

其中$ C_{2} = \sqrt{a}+\big(\frac{p}{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\big)^{\frac{p}{4}} $.定理3.1证毕.

在这一节, 主要考虑Morozov不一致原理^[43]作为后验正则化参数选取规则, 并给出在后验正则化参数选取规则下的收敛误差估计.

假设$ \tau >1 $是一个固定的常数. 后验正则化参数选取规则如下: 当满足

(3.12) $ \begin{equation} \|{\cal K}f^{m, \delta}(\cdot)-h^{\delta}(\cdot)\|\leq \tau\delta \end{equation} $

的$ m = m(\delta)\in {\Bbb N}_{0} $第一次出现时, 迭代停止, 其中$ \|h^{\delta}\|\geq\tau\delta $是常数.

引理 3.1  令$ \rho(m) = \|{\cal K}f^{m, \delta}(\cdot)-h^{\delta}(\cdot)\|, $可以得到如下性质.

$ \rm a) $$ \rho(m) $是一个连续函数;

$ \rm b) $$ { } \lim_{m\rightarrow0}\rho(m) = \|h^{\delta}\|; $

$ \rm c) $$ { } \lim_{m\rightarrow+\infty}\rho(m) = 0; $

$ \rm d) $对于任何$ m\in(0, +\infty) $, $ \rho(m) $是一个严格单调递减的函数.

证  根据$ \rho(m) $的表达式

$ \rho(m) = \Big(\sum _{n = 1}^{\infty}([1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}-1)^2(h_{n}^{\delta})^{2}\Big)^{\frac{1}{2}}, $

可以看出, 四个性质显然成立. 引理3.1证毕.

注 3.1  根据引理3.1可知, 通过(3.12) 式选取的$ m $是唯一的.

引理 3.2  假设先验界条件(2.8) 和假设(1.2) 成立. 对于固定的$ \tau>1 $, 如果通过Morozov不一致原理(3.12) 式选取正则化参数, 那么正则化参数$ m = m(\delta) $需要满足如下表达式

(3.13) $ \begin{equation} m\leq\Big(\frac{p+2}{2aT^{2}C^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)\Big(\frac{1}{\tau-1}\Big)^{\frac{4}{p+2}}\Big(\frac{E}{\delta}\Big)^{\frac{4}{p+2}}. \end{equation} $

证  因为$ |1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})|<1 $, 根据(1.2)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \label{3.14} \tau\delta\leq\|{\cal K}f^{m-1, \delta}-h^{\delta}\| & = &\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}([1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}]^{\beta}-1)h^{\delta}_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|\\ &\leq&\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}((1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1})-1)h^{\delta}_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|\\ &\leq&\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}(h^{\delta}_{n}-h_{n})\chi_{n}(x)\bigg\|\\ &&+\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}h_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|\\ &\leq&\delta+\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}h_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|, \end{eqnarray*} $

则

(3.14) $ \begin{equation} \tau\delta\leq\delta+\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}h_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|. \end{equation} $

根据(2.8)式, 有

(3.15) $ \begin{eqnarray} &&\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}h_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|{}\\ & = &\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}}(\lambda_{n})^{\frac{p}{2}}f_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|{}\\ &\leq&\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}}(1+(\lambda_{n})^{2})^{\frac{p}{2}}f_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|{}\\ &\leq&\sup\limits_{n\geq1}C_4(\lambda_{n})E, \end{eqnarray} $

其中$ C_4(\lambda_{n}): = (1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m-1}\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau(\lambda_{n})^{-\frac{p}{2}} $.

根据引理2.1和引理2.2, 可得

$ C_4(\lambda_{n})\leq \Big(1-\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{(\lambda_{n})^{2}}\Big)^{m-1}(\lambda_{n})^{-(\frac{p}{2}+1)}. $

令$ I(s): = \big(1-\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{s^{2}}\big)^{m-1}s^{-(\frac{p}{2}+1)} $, $ s: = \lambda_{n} $.

根据$ I(s) $的表达式, 有

$ \begin{eqnarray*} I'(s) & = &(m-1)\Big(1-\frac{T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{s^2}\Big)^{m-2}\cdot2T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})s^{-3-(\frac{p}{2}+1)}\\ & &-(\frac{p}{2}+1)s^{-(\frac{p}{2}+1)-1}\cdot\Big(1-\frac{T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{s^2}\Big)^{m-1}. \end{eqnarray*} $

假设$ s_1 $满足$ I^{'}(s_1) = 0 $, 可得

$ \begin{eqnarray*} & & (m-1)\Big(1-\frac{T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{s_1^2}\Big)^{m-2}\cdot2T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})s_1^{-3-(\frac{p}{2}+1)}\\ & &-(\frac{p}{2}+1)s_1^{-(\frac{p}{2}+1)-1}\cdot\Big(1-\frac{T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{s_1^2}\Big)^{m-1} = 0, \end{eqnarray*} $

$ 2(m-1)T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})s_1^{-2} = (\frac{p}{2}+1)\Big(1-\frac{T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}{s_1^2}\Big), $

$ s_1^{2} = \Big(\frac{4m+p-2}{p+2}\Big)T^2aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1}), $

即

$ s_1 = \Big(\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})(4m+p-2)}{p+2}\Big)^{\frac{1}{2}}. $

因此

(3.16) $ \begin{eqnarray} I(s_1) & = &\Big(1-\frac{p+2}{4m+p-2}\Big)^{m-1}\Big(\frac{T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})(4m+p-2)}{p+2}\Big)^{-\frac{p+2}{4}} \end{eqnarray} $

(3.17) $ \begin{eqnarray} &\leq & \Big(\frac{p+2}{2T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^{\frac{p+2}{4}}m^{-\frac{p+2}{4}}. \end{eqnarray} $

根据(3.15) 和(3.16)式, 有

(3.18) $ \begin{eqnarray} &&\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2}))^{m-1}h_{n}\chi_{n}(x)\bigg\| {}\\ &\leq&\sup\limits_{n\geq1}C_4(n)E \leq I(s_1)E \leq \Big(\frac{p+2}{2T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^{\frac{p+2}{4}}m^{-\frac{p+2}{4}}E. \end{eqnarray} $

结合(3.14) 和(3.18)式, 可得

$ m\leq\Big(\frac{p+2}{2T^{2}aC^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)\Big(\frac{1}{\tau-1}\Big)^{\frac{4}{p+2}}\Big(\frac{E}{\delta}\Big)^{\frac{4}{p+2}}. $

引理3.2证毕.

引理 3.3  根据(1.2) 和(3.12)式, 有

(3.19) $ \begin{equation} \|{\cal K}(f^{m}(\cdot)-f(\cdot))\|\leq(\tau+1)\delta. \end{equation} $

证

(3.20) $ \begin{eqnarray} \|{\cal K}(f^{m}(\cdot)-f(\cdot))\| & = &\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}([1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}-1)h_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|{}\\ & = &\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}([1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}-1)(h_{n}-h_{n}^{\delta})\chi_{n}(x){}\\ &&+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}([1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}-1)h_{n}^{\delta}\chi_{n}(x)\bigg\|{}\\ &\leq&\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2}))^{m}(h_{n}-h_{n}^{\delta})\chi_{n}(x)\bigg\|{}\\ &&+\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}([1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}-1)h_{n}^{\delta}\chi_{n}(x)\bigg\|{}\\ &\leq&(\tau+1)\delta. \end{eqnarray} $

引理3.3证毕.

定理 3.2  设$ f^{m, \delta}(x) $是(3.4) 式给定的问题(1.1) 的分数阶Landweber迭代正则解. 设先验界条件(2.8) 和假设(1.2) 均成立. 如果正则化参数$ m = m(\delta) $的选取规则满足Morozov不一致原理(3.12), 则得到如下误差估计

(3.21) $ \begin{equation} \|f^{m, \delta}(\cdot)-f(\cdot)\|\leq C_{5}E^{\frac{2}{p+2}}\delta^{\frac{p}{p+2}}, \end{equation} $

其中$ C_{5}: = \big(\frac{p+2}{2T^{2}C^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\big)^{\frac{1}{2}} \big(\frac{1}{\tau-1}\big)^{\frac{2}{p+2}}+C_{1}(\tau+1)^{\frac{p}{p+2}} $是正常数.

证  利用三角不等式可得

(3.22) $ \begin{equation} \|f^{m, \delta}(\cdot)-f^{m}(\cdot)\|\leq\|f^{m, \delta}(\cdot)-f^{m}(\cdot)\|+\|f^{m}(\cdot)-f(\cdot)\|. \end{equation} $

根据引理$ 3.3 $和(3.9) 式, 可得

(3.23) $ \begin{equation} \|f^{m, \delta}(\cdot)-f^{m}(\cdot)\|\leq\sqrt{am}\delta \leq\Big(\frac{p+2}{2T^{2}C^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\Big)^\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{\tau-1}\Big)^{\frac{2}{p+2}}E^{\frac{2}{p+2}}\delta^{\frac{p}{p+2}}. \end{equation} $

利用先验界条件(2.8), 有

$ \begin{eqnarray*} \|f^{m}(\cdot)-f(\cdot)\|_{H^{p}(\Omega)} & = &\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(\lambda_{n})^{\frac{p}{2}}[[1-(1-a(\int_{0}^{T}u_n(T-\tau){\rm d}\tau)^{2})^{m}]^{\beta}-1]f_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|\\ &\leq&\bigg\|\sum\limits_{n = 1}^{\infty}(1+(\lambda_{n})^{2})^{\frac{p}{2}}f_{n}\chi_{n}(x)\bigg\|\leq E. \end{eqnarray*} $

此外, 根据定理2.3和引理3.4, 有

(3.24) $ \begin{equation} \|f^{m}(\cdot)-f(\cdot)\|\leq C_{1}(\tau+1)^{\frac{p}{p+2}}E^{\frac{2}{p+2}}\delta^{\frac{p}{p+2}}. \end{equation} $

结合(3.22), (3.23) 和(3.24)式, 可得

$ \|f^{m, \delta}(\cdot)-f(\cdot)\|\leq C_{5}E^{\frac{2}{p+2}}\delta^{\frac{p}{p+2}}, $

其中$ C_{5} = \big(\frac{p+2}{2T^{2}C^{2}(\gamma, \alpha, \lambda_{1})}\big)^{\frac{1}{2}}\big(\frac{1}{\tau-1}\big)^{\frac{2}{p+2}}+C_{1}(\tau+1)^{\frac{p}{p+2}} $.

定理3.2证毕.

在这一部分, 通过几个数值例子来证明Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的有效性和可行性.

设$ \Omega = (0, 1) $, $ T = 1 $. 首先, 通过解决正问题(4.1) 来确定终止数据$ g(x) $.

(4.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t}u(x, t)-(1+\gamma_{0}^{R}\partial_{t}^{\alpha})\Delta u(x, t) = f(x), & x\in(0, 1), \; t\in(0, 1), \; \alpha\in(0, 1), \\ u(0, t) = u(1, t) = 0, & t\in(0, 1), \\ u(x, 0) = \varphi(x), & x\in(0, 1), \\ u(x, 1) = g(x), & x\in(0, 1), \\ \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ f(x), \varphi(x) $是给定的.

其次, 利用有限差分法离散问题(4.1). 此外, 介绍了两种离散格式, 即后向差分格式(BD)和Crank-Nicolson差分格式(C-N), 这两种离散格式都是无条件稳定的. 定义

(4.2) $ \begin{equation} t_{k} = k\Delta t(k = 0, 1, \cdots, N), \; \; x_{i} = i\Delta x(i = 0, 1, \cdots, M), \end{equation} $

其中$ \Delta t = \frac{1}{N} $时间方向的步长, $ \Delta x = \frac{1}{M} $是空间方向的步长.

首先给出BD迭代格式. 第一步, 利用Grünwald-Letnikov公式离散Riemann-Liouville算子^[45]

(4.3) $ \begin{equation} _{0}^{R}\partial_{t}^{\alpha}u(x, t)\mid_{x_{i}, t_{k}} = \frac{1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j = 0}^{[t_{k}/h]}\varpi_{j}^{(\alpha)}u(x_{i}, t_{k}-jh)+{\cal O}(h^{q}), \end{equation} $

其中$ [t{k}/h] $表示$ t{k}/h $的整数部分, $ \varpi_{j}^{(\alpha)} $是生成函数$ \varpi(z, \alpha) = \sum\limits_{j = 0}^{\infty}\varpi_{j}^{(\alpha)}z^{j} $的系数.

在(4.3) 式中, 当$ q = 1 $并且$ \varpi(z, \alpha) = (1-z)^{\alpha} $时, 它被称为简化的Grünwald-Letnikov公式^[45]. 在这种情况下, 通常用递推公式

(4.4) $ \begin{equation} \varpi_{0}^{(\alpha)} = 1, \; \; \; \; \varpi_{j}^{(\alpha)} = (1-\frac{\alpha+1}{j})\varpi_{j-1}^{(\alpha)} \end{equation} $

来计算系数$ \varpi_{j}^{(\alpha)} = (-1)^{j}\bigl({j}^{\alpha}\bigr) $.

如果$ h = \Delta t $, 方程(4.3) 可用网格点

(4.5) $ \begin{equation} _{0}^{R}\partial_{t}^{\alpha}u(x, t)\mid_{x_{i}, t_{k}} = \frac{1}{(\Delta t)^{\alpha}}\sum\limits_{j = 0}^{k}\varpi_{j}^{(\alpha)}u_{i}^{k-j}+{\cal O}(\Delta t) \end{equation} $

计算的$ u(x, t) $来表示.

第二步, 需要使用反向差分公式来离散微分算子

(4.6) $ \begin{equation} \partial_tu(x, t)\mid_{x_{i}, t_{k}} = \frac{u_{i}^{k}-u_{i}^{k-1}}{\Delta t}+{\cal O}(\Delta t) \end{equation} $

与

(4.7) $ \begin{equation} \partial_{xx}u(x, t)\mid_{x_{i}, t_{k}} = \frac{u_{i+1}^{k}-2u_{i}^{k}+u_{i-1}^{k}}{(\Delta x)^{2}}+{\cal O}(\Delta x)^{2}. \end{equation} $

根据(4.5)–(4.7)式, 可以得到问题(4.1) 的BD迭代形式, 表达式如下

(4.8) $ \begin{equation} u_{i}^{k} = u_{i}^{k-1}+\mu_{1}\delta_{x}^{2}u_{i}^{k}+\mu_{2}\sum\limits_{j = 0}^{k}\varpi_{j}^{(\alpha)}\delta_{x}^{2}u_{i}^{k-j}+f_i, \; \; k = 1, 2, \cdots, N, \; i = 1, 2, \cdots, M, \end{equation} $

其中$ \mu_{1}: = \Delta t/(\Delta x)^{2} $, $ \mu_{2}: = \gamma(\Delta t)^{1-\alpha}/(\Delta x)^{2} $与$ \delta_{x}^{2}u_{i}^{k}: = u_{i+1}^{k}-2u_{i}^{k}+u_{i-1}^{k} $.

接下来, 将给出问题(4.1) 的第二种迭代格式, 即Crank-Nicolson迭代方法. Crank-Nicolson迭代法具有二阶精度. 因此, 对于$ t\in[0, T] $, 可以在节点$ U_{n-1} $和$ U_{n} $之间进行线性插值. 根据文献[46], 可以得到问题(4.1) 的Crank-Nicolson迭代格式如下

(4.9) $ \begin{equation} h(u_i^{k+1}-u_j^{k})-p(u_{i+1}^{k+1}-2u_j^{k+1}+u_{i-1}^{k+1})-q\sum\limits_{i = 0}^{\infty}\omega_k^{\alpha}(u_{i-1}^{k+1}-2u_{i-1}^{k+1}+u_{i-1}^{k+1}) = f_i, \end{equation} $

其中$ k = 1, 2, \cdots, N-1, \; i = 1, 2, \cdots, M-1, $$ h = \frac{1}{\Delta t} $, $ p = \frac{1}{(\Delta x)^2} $, $ q = \frac{\gamma}{(\Delta t)^\alpha\alpha(\Delta x)^2} $与$ \omega_{0}^{(\alpha)} = 1, $$ \omega_{k}^{(\alpha)} = (1-\frac{\alpha+1}{k})\omega_{k-1}^{(\alpha)} $.

采用BD迭代法和Crank-Nicolson迭代法, 用MATLAB软件编程运行, 可以得到函数$ g $, 就可以解决一个反问题.

最后, 通过如下表达式得到Landweber正则解

$ f_{1}^{m, \delta} = a\sum\limits_{k = 0}^{m-1}(I-a{\cal K}^{*}{\cal K})^{k}{\cal K}^{*}g^{\delta}, $

通过如下表达式得到分数阶Landweber正则解

$ f^{m, \delta} = a\sum\limits_{k = 0}^{m-1}(I-(I-a{\cal K}^{*}{\cal K})^{k})^{\beta}{\cal K}^{*}g^{\delta}, $

其中$ \frac{1}{2}<\beta\leq1 $.

在实际应用中, 数据$ g $只能通过测量得到. 这样, 就会产生一定的测量误差. 在数值模拟中, 对数据$ g $加上随机扰动, 通过随机扰动产生噪声数据$ g^{\delta} $, 即

$ g^{\delta} = g+\varepsilon\cdot {\rm randn(size}(g)), $

其中函数randn$ (\cdot) $表示生成平均值为$ 0 $且方差为$ 1 $的随机数, $ \varepsilon $表示相对误差. 绝对误差$ \delta $表示为

$ \delta = \sqrt{\frac{1}{M+1}\sum\limits_{i = 1}^{M+1}(g_{i}-g^{\delta}_{i})^{2}}. $

为了验证数值解的准确性, 使用以下方法计算相对均方根误差

$ \eta(f) = \bigg(\sum\limits_{i = 1}^{n}(f^{m, \delta}(x_{i})-f(x_{i}))^{2}\Big/\sum\limits_{i = 1}^{n}f(x_{i})^{2}\bigg)^{1/2}, $

其中$ n $表示测试点的总数.

先验正则化参数是建立在精确解的光滑条件上的, 这在实际问题中是很难给出的. 下面的例子基于后验正则化参数选择规则(3.12) 来验证Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的有效性和稳定性.

通过简单计算, 在式(1.3) 中, 对于$ n = 1, 2, \cdots $, 可以得到$ \lambda_{n} = (n\pi)^{2} $与$ \chi_{n} = \sqrt{2}\sin n\pi x $. 在(4.1), (2.8), (3.12) 与(3.4)式中, 分别设$ \gamma = 1 $, $ p = 2 $, $ \tau = 1.01 $与$ \beta = 0.55 $. 令$ M = 100 $, $ N = 40 $, 给出以下三个数值例子.

例 1  考虑光滑函数$ f(x) = (x(1-x))^{\alpha}\sin(5\pi x), \; x\in[0, 1] $, $ \varphi(x) = 0. $

例 2  考虑分段光滑函数

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ll}0, &{ } 0\leq x\leq\frac{1}{4}, \\ [3mm] { } 4(x-\frac{1}{4}), &{ }\frac{1}{4}<x\leq\frac{1}{2}, \\ [3mm] { } -4(x-\frac{3}{4}), {\quad}&{ }\frac{1}{2}<x\leq\frac{3}{4}, \\ [3mm] 0, &{ }\frac{3}{4}<x\leq1. \end{array}\right. {\qquad} \varphi(x) = 2x, x\in[0, 1]. $

例 3  考虑一个非光滑函数

$ f(x) = \left\{\begin{array}{ll}0, {\quad}&x\in[0, 1/3], \\ 1, &x\in(1/3, 2/3], \\ 0, &x\in(2/3, 1]. \end{array}\right. {\qquad}\varphi(x) = 0. $

图 1–2分别展示了例1在$ \alpha = 0.2, 0.9 $的情况下, 对于不同的相对误差水平$ \varepsilon = 0.01, $$ 0.005, 0.001 $的精确解$ f(x) $和Landweber迭代正则解$ f_1^{m, \delta}(x) $在BD和C-N两种迭代形式下的比较. 图 3–4分别展示了例1在$ \alpha = 0.2, 0.9 $的情况下, 对于不同的相对误差水平$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $的精确解$ f(x) $和分数阶Landweber迭代正则解$ f^{m, \delta}(x) $在BD和C-N两种迭代形式下的比较.

表 1显示了例1在BD和C-N两种迭代形式下, 对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的相对均方根误差的比较. 表 2显示了例1在BD和C-N两种迭代形式下, 对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的迭代步数的比较. 表 3显示了例1在BD和C-N两种迭代形式下, 对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的CPU运行时间的比较.

从表 1–3中可以发现, 在BD和C-N两种迭代格式下, 无论是Landweber迭代正则化方法还是分数阶Landweber迭代正则化方法, 相对均方根误差$ \eta(f) $随着$ \alpha $的增大而减小, 随着$ \varepsilon $的减小而减小. 对于迭代步数$ {m} $而言, 在BD迭代格式下, 随着$ \alpha $的增大而减小, 随着$ \varepsilon $的减小而增大, 但在C-N迭代格式下, 随着$ \alpha $的增大而增大, 随着$ \varepsilon $的减小而增大. 同样, 对于CPU时间, 在BD迭代格式下, 随着$ \alpha $的增大而减小, 随着$ \varepsilon $的减小而增大, 但在C-N迭代格式下, 随着$ \alpha $的增大而增大, 随着$ \varepsilon $的减小而增大. 此外, 无论是相对均方根误差$ \eta(f) $、迭代步数$ {m} $, 还是CPU时间, 分数阶Landweber迭代正则化方法所得结果均小于Landweber迭代正则化方法所得结果.

图 5–6分别展示了例2在$ \alpha = 0.2, 0.9 $的情况下, 对于不同的相对误差水平$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $的精确解$ f(x) $和Landweber迭代正则解$ f_1^{m, \delta}(x) $在BD和C-N两种迭代形式下的比较. 图 7–8分别展示了例2在$ \alpha = 0.2, 0.9 $的情况下, 对于不同的相对误差水平$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $的精确解$ f(x) $和分数阶Landweber迭代正则解$ f^{m, \delta}(x) $在BD和C-N两种迭代形式下的比较.

表 4显示了例2在BD和C-N两种迭代形式下, 对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的相对均方根误差的比较. 表 5显示了例2在BD和C-N两种迭代形式下, 对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的迭代次数的比较. 表 6显示了例2对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的CPU运行时间的比较.

从表 4–6可以看出, 在BD和C-N迭代格式下, 无论是Landweber迭代正则化方法还是分数阶Landweber迭代正则化方法, 相对均方根误差$ \eta(f) $随着$ \alpha $的增大而减小, 随着$ \varepsilon $的减小而减小. 对于CPU时间, 在BD迭代格式下, 会随着$ \alpha $的增大而减少, 随着$ \varepsilon $的减少而增大, 但是C-N迭代格式随着$ \alpha $的增大而增大, 随着$ \varepsilon $的减小而增大. 类似地, 对于迭代步数$ {m} $, BD迭代格式随着$ \alpha $的增大而减小, 随着$ \varepsilon $的减小而增大, 但在C-N迭代格式下, 随着$ \alpha $的增大而增大, 随着$ \varepsilon $的减小而增大. 此外, 无论是相对均方根误差$ \eta(f) $、迭代步数$ {m} $, 还是CPU时间, 分数阶Landweber迭代正则化方法所得结果均小于Landweber迭代正则化方法所得结果.

图 9–10分别展示了例3在$ \alpha = 0.2, 0.9 $的情况下, 对于不同的相对误差水平$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $的精确解$ f(x) $和Landweber迭代正则解$ f_1^{m, \delta}(x) $在BD和C-N两种迭代形式下的比较. 图 11–12分别展示了例3在$ \alpha = 0.2, 0.9 $的情况下, 对于不同的相对误差水平$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $的精确解$ f(x) $和分数阶Landweber迭代正则解$ f^{m, \delta}(x) $在BD和C-N两种迭代形式下的比较.

表 7显示了例3在BD和C-N两种迭代形式下, 对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的相对均方根误差的比较. 表 8显示了例3在BD和C-N两种迭代形式下, 对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的迭代次数的比较. 表 9显示了例3对于不同的$ \varepsilon = 0.01, 0.005, 0.001 $和$ \alpha = 0.2, 0.5, 0.9 $, Landweber迭代正则化方法和分数阶Landweber迭代正则化方法的精确解与正则解之间的消耗的CPU时间的比较.

从表 7–9可以看出, 在BD和C-N迭代格式下, 对于不同的$ \varepsilon $和$ \alpha $, 分别给出了两种正则化方法的精确解与正则解之间的相对均方根误差$ \eta(f) $, 迭代步数m, CPU时间的比较. 与例1和例2相比, 不同的是在C-N迭代格式下, 相对均方根误差$ \eta(f) $随着$ \alpha $的增大而增大, 迭代步数m更大, CPU时间更长. 这是因为例3是一个不光滑的函数.

从表 1–9可以看出, 本文采用的两种差分格式是有效的, 结果是可以接受的. 对于相对均方根误差$ \eta(f) $, BD迭代格式得到的数值相对小于C-N迭代格式得到的数值. 对于迭代步数 m 和CPU时间, 总体而言, 在C-N迭代格式下, 迭代步数 m 较大, CPU时间较长. 进一步说明了BD迭代格式的优越性. 此外, 对于光滑函数, 数值结果相对较小. 综上所述, 以上三个例子充分表明分数阶Landweber迭代正则化方法比Landweber迭代正则化方法更有效.

本文研究Rayleigh-Stokes方程的源项识别反问题. 采用分数阶Landweber迭代正则化方法解决此类反问题(1.1). 基于条件稳定性结果, 分别在先验和后验正则化参数选择规则下得到相应的误差估计. 利用三个数值例子验证分数阶Landweber迭代正则化方法和Landweber迭代正则化方法处理此反问题的有效性和稳定性. 通过误差估计(3.7) 和(3.21), 发现分数阶Landweber迭代正则化方法优于Tikhonov正则化方法, 并且这两种正则化方法得到的误差估计(3.7) 和(3.21) 不出现饱和效应. 但是用Tikhonov正则化方法来处理这个问题, 误差估计就会产生饱和现象(所谓饱和现象是在Tikhonov正则化方法中, (3.7) 和(3.21) 并不适用于所有的$ p>0 $, 而只适用于一些$ 0<p<p_0 $, 其中$ p_0 $是一个正常数). 另外, 数值算例也说明分数阶Landweber迭代正则化方法比Landweber迭代正则化方法更有效.