当用经典力学的理论来解释微观粒子的运动规律的时候, 常常会遇到困难. 例如, 根据卢瑟福的原子理论模型, 原子由原子核和电子组成, 电子绕着原子核作圆周运动. 但是如果仔细分析这个理论, 就会得到与实际不符的结论. 事实上, 电子在绕着原子核运动的时候会产生变化的电流, 而变化的电流会产生磁场, 变化的磁场进一步产生电场. 也就是说, 如果卢瑟福的原子理论模型成立的话, 原子会向外辐射电磁波, 从而使得电子的能量不断减少, 电子的能量不断减少将会导致电子落入原子核, 从而原子是不稳定的. 这明显与事实不符, 因为我们周围的物质基本上都是稳定的. 同理, 根据经典理论, 原子的谱线应该是连续的, 然而各种实验已经表明, 原子的谱线经常是离散的.

理论与现实的矛盾呼吁产生新的理论, 正是在这种背景下, 量子力学应运而生. 量子力学否认电子有连续轨道, 它认为$t$时刻电子的态是某个函数空间中的函数$\psi(x, t)$, $\psi(x, t)$称为波函数, 现代量子力学将$|\psi(x, t)|^2$解释为在$x$点处找到电子的概率密度. 此外, 为了解释原子的谱线是离散的这一事实, 量子力学将经典力学中的物理量定义为自共轭算子, 例如量子力学用$-{\rm i}h\frac{\partial}{\partial t}$来表示能量, 用$-{\rm i}h\nabla_x$来表示动量, 其中$h$是普朗克常数.

在非相对论力学中, 物体的能量由动能和势能两部分组成, 写成方程是

其中$E$是物体的能量, $m$是物体的质量, $p$是物体的动量, $V(x)$是物体的势能. 量子力学从这一恒等式出发, 用算子$-{\rm i}h\frac{\partial}{\partial t}$来代替经典力学中的能量, 用算子$-{\rm i}h\nabla_x$来代替经典力学中的动量, 从而得到下面的方程

上述方程称为Schrödinger方程, 它是量子力学的基本方程, 它在量子力学中的地位与牛顿第二定律在经典力学中的地位相当.

在上述方程中, 因为其波函数只有一个位置变量$x$, 因此只能描述一个电子所组成的系统, 如氢原子或氦离子. 如果要描述多个电子和多个原子核组成的系统, 如分子, 则上述方程的右边应该修改为

其中$H$是Hamilton能量, $-\Delta_{x_i}$是第$i$个电子的动能(为了叙述的方便, 我们假设普朗克常数和电子的质量为1), $V(x_i) = -\sum\limits_{j = 1}^m \frac{Z_j}{|x_i-R_j|}$是第$i$个电子与$m$个原子核相互作用的Coulomb能量, 其中$R_j\ (j = 1, 2, \cdots , m)$是第$j$个原子核的位置, $Z_j\ (j = 1, 2, \cdots , m)$是第$j$个原子核的电荷数, $\frac 1{|x_i-x_j|}$是电子之间的相互作用能. 上述方程虽然是线性方程, 但是如果我们研究的是有机物分子, 那么$n$的数值将非常大, 因此直接求解也很困难. 正是因为上述原因, 物理学家通常不直接求解多体系统的Schrödinger方程, 而是采用逼近的方法. 常见的逼近方法中, 最简单的逼近是Hartree逼近, Hartree逼近假设电子之间是相互独立的, 即多体系统的波函数是每个电子的波函数的乘积

其中$\varphi_i\in L^2({{\Bbb R}} ^3), \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\varphi_i|^2\, {\rm d}x = 1$. 在上述逼近下, 原来的能量化为

因而对应的Euler-Lagrange方程为

上述方程称为Hartree方程.

从上面的分析可以看出, 研究Hartree方程具有重要的物理意义. 在最近的一篇论文[1] 中, 杨健夫教授和余晓辉教授研究了全空间上的Hartree型方程

非平凡正解的非存在性. 从椭圆方程先验界的角度来看, 为了用爆破方法得到有界区域上的方程解的先验界, 通常需要全空间上的Liouville型定理和半空间上的Liouville型定理, 详情可参考[2], 因此本文的主要目的就是研究半空间上的Hartree型方程

弱正解的非存在性结果. 为了叙述我们的结论, 我们先给出弱解的定义.

定义 1.1  设$u_i(x)\in W_{loc}^{1, 2}({{\Bbb R}} _+^N) \cap C^0(\overline{{{\Bbb R}} _+^N}), i = 1, 2, \cdots , n$, 如果对任意的$\varphi_i(x)\in C_0^\infty(\overline{{{\Bbb R}} _+^N}),$$i = 1, 2, \cdots , n$, 都有

那么我们称$(u_1, u_2, \cdots , u_n)$是Hartree方程(1.4)的弱解.

有了上面的准备工作, 我们就可以叙述我们的主要结果了.

定理 1.1  假定$(u_1, u_2, \cdots , u_n)$是Hartree方程组(1.4)的非负弱解, $N-2\leq \alpha <N$, 非线性项$f, g, F, G:[0, +\infty)\to [0, +\infty)$连续且满足下面的假设

$\rm(i)$函数$f(t), g(t), F(t), G(t)$在$(0, +\infty)$上单调递增;

$\rm(ii)$函数$h(t) = \frac{f(t)}{t^{\frac{\alpha}{N-2}}}$, $k(t) = \frac{g(t)}{t^{\frac{2+\alpha}{N-2}}}$, $H(t) = \frac{F(t)}{t^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}}$与$K(t) = \frac{G(t)}{t^{\frac{N+\alpha}{N-2}}}$在$(0, +\infty)$上单调递减;

$\rm(iii)$$h, k, H, K$四个函数中至少有一个在

上不为常数.

那么$u_i\equiv c_i$, 且$c_i$满足$G(c_i) = F(c_i) = 0$, $i = 1, 2, \cdots , n$.

本文的后面部分主要是定理1.1的证明, 我们用移动平面法来证明我们的结果, 在过去的几十年中, 移动平面法已经广泛地应用于证明椭圆方程正解的非存在性结果, 详情可参考文献[3-8]. 我们用移动平面法来证明, 方程(1.4)的正解关于平行于$x_N$轴的每一个平面都是对称的, 从而它的解只依赖$x_N$, 因此原方程是一个常微分方程, 最后我们证明该常微分方程只有常数解. 传统的移动平面法的工具是椭圆方程的最大值原理, 但是对于我们的问题, 由于卷积项的影响, 直接应用最大值原理面临极大的困难. 此外, 我们定理的主要结果是说方程(1.4) 没有非负的弱解, 由于我们仅仅假设非线性项是连续的, 而非Lipschitz连续的, 因此通常来说, 方程(1.4) 的弱解不是光滑的, 因此不能直接应用通常的最大值原理. 为了克服上述困难, 我们用积分不等式代替最大值原理, 目前这种方法已经广泛应用于椭圆方程的移动平面法, 详情可参考文献[9-17].

在证明定理1.1的过程中, 我们需要用到半空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 该不等式在文献[18]中由窦井波教授和朱梅俊教授给出. 该不等式的结论如下.

命题 1.1  假定$1<\alpha<N, 1<t, p<+\infty$, 且满足

那么对任意的$f\in L^p(\partial {{\Bbb R}} _+^N)$, $g\in L^t({{\Bbb R}} _+^N)$, 存在只依赖$N, \alpha, p$的最佳常数$C_e(N, \alpha, p)$, 使得下面的不等式成立

此外, 在文献[18]中, 作者还研究了最佳常数的可达性与达到函数的具体表达式.

本文剩余部分安排如下, 在第2节中, 我们证明一些积分不等式, 这些不等式是移动平面法的基础. 在第3节中, 我们用积分形式的移动平面法来证明定理1.1. 最后, 在第4节中, 我们简要介绍一下定理1.1的意义及其应用价值.

如前所述, 由于非局部项的影响, 直接对方程(1.4)应用移动平面法存在较大的困难, 为此我们先把方程(1.4)化为微分方程与积分方程组成的方程组. 我们定义

那么方程(1.4)等价于下面的方程

其中$m_j, n_j$由方程(2.1)和方程(2.2)给出.

我们关键是要证明方程(2.3)的解关于平行于$x_N$轴的每一个平面都是对称的, 由于我们不清楚方程的解在无穷远点的衰减性, 因此不能直接应用移动平面法. 为此, 我们不直接证明$u_i, m_j, n_j$的对称性, 而是证明它们的Kelvin变换的对称性. 下面我们先定义$u_i, m_j, n_j$的Kelvin变换. 对任意的$x_p = (\bar x_p, 0)\in \partial {{\Bbb R}} _+^N$, 我们定义$u_i, m_j, n_j$在$x_p$点的Kelvin变换为

以及

从它们的定义可以推出, 当$|x-x_p|\geq 1$的时候,

但$v_i, w_j, z_j$在$x_p$处可能有奇性. 在下面的证明过程中, 我们可以不失一般性地假设$x_p = 0$. 直接计算可知, Kelvin变换以后的函数$v_i, w_j, z_j$满足下面的方程

其中$H(t), K(t), h(t), k(t)$的定义由定理1.1中的假设(ii)给出.

有了Kelvin变换以后, 我们再引入移动平面过程中要用到的一些记号. 假定$\lambda>0$, 我们记$\Sigma_\lambda = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N|x_1>\lambda\}$, $\partial\Sigma_\lambda = \{x\in \partial{{\Bbb R}} _+^N|x_1>\lambda\}$, $T_\lambda = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N|x_1 = \lambda\}$. 对任意的$x\in \Sigma_\lambda$, 我们记$x^\lambda$为$x$关于平面$T_\lambda$的反射点, 即$x^\lambda = (2\lambda-x_1, x_2, \cdots , x_N)$. 最后, 为了方便起见, 我们记$v^\lambda(x) = v(x^\lambda)$以及$p^\lambda = (2\lambda, 0, \cdots , 0)$.

下面我们来估计$w_j, z_j$在$\Sigma_\lambda$中的函数值与它们的反射点的函数值之间的关系.

引理 2.1  对任意的$\lambda>0$, 我们记

那么对任意的$y\in \Sigma_\lambda$以及$(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda\setminus \{(2\lambda, 0, \cdots , 0)\}$, 我们有下面的不等式

以及

证  我们只证明不等式(2.10), 不等式(2.11)的证明是类似的. 首先, 我们有

以及

因为$|(\bar x, 0)-y^\lambda | = |(\bar x^\lambda, 0)-y|$, $|(\bar x, 0)-y| = |(\bar x^\lambda, 0)-y^\lambda|$, 所以我们由方程(2.12)和方程(2.13)得到

如果$(\bar x, 0)\in \partial\Sigma_\lambda^{v_j} = \{(\bar x, 0)\in \partial\Sigma_\lambda|v_j(\bar x, 0)>v_j(\bar x^\lambda, 0)\}$, 那么我们有$|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0)>|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0)$. 由函数$H(t)$的单调性可知

另一方面, 如果$(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda\setminus \partial\Sigma_\lambda^{v_j}$, 那么我们有

因此, 我们由方程(2.14)、(2.15)和方程(2.16)得到

这就证明了不等式(2.10). 不等式(2.11)的证明与不等式(2.10)的证明类似, 因此我们省略.

下面我们证明一个关键的引理.

引理 2.2  在定理1.1的假设下, 如果我们按照上面的方式定义$v_i, w_j, z_j\ (i, j = 1, 2, \cdots , n)$, 那么对任意固定的$\lambda>0$, $v_i,$$(v_i-v_i^\lambda)^+\in L^{2^*}(\Sigma_\lambda)\cap L^\infty(\Sigma_\lambda)$, 其中$2^* = \frac{2N}{N-2}$是通常的Sobolev指数. 此外, 如果我们按照方程(2.8)和方程(2.9)来定义$\Sigma_\lambda^{v_i}$与$\partial \Sigma_\lambda^{v_i}$, 那么存在关于$\lambda$递减的常数$C_\lambda>0$, 使得下面的不等式成立

证  首先, 因为$\lambda>0$, 所以存在$r>0$, 使得$\Sigma_\lambda\subset {{\Bbb R}} _+^N\setminus B_r^+(0)$, 其中$B_r^+(0) = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N||x|<r\}$. 因此, 我们由$v_i(x)$的定义以及它在无穷远点的衰减性得

其次, 为了处理$v_i(x), w_j(x)$以及$z_j(\bar x)$在原点的可能奇性, 我们需要作适当的截断. 为此, 我们选取下面的径向截断函数$\eta = \eta_\varepsilon\in C^1( {{\Bbb R}} _+^N, [0, 1])$, 且它满足

此外, 我们还要求当$\varepsilon<|x-p^\lambda|<2\varepsilon$的时候, $|\nabla \eta|\leq \frac 2\varepsilon$. 当$\frac 1\varepsilon<|x-p^\lambda|<\frac 2\varepsilon$的时候, $|\nabla \eta|\leq 2\varepsilon$. 容易验证, 满足上面条件的截断函数是存在的.

有了上面的截断函数以后, 我们定义$\varphi_i = \varphi_i^\varepsilon = \eta^2_\varepsilon(v_i-v_i^\lambda)^+$以及$\psi_i = \psi_i^\varepsilon = \eta_\varepsilon(v_i-v_i^\lambda)^+$, 那么我们由截断函数的定义可知, 函数$\varphi_i$和$\psi_i$在$\Sigma_\lambda$内是有定义的. 此外, 通过一个简单的计算可知

有了上面的准备工作以后, 我们有下面的估计

其中$I_\varepsilon^i = \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}[(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^2|\nabla\eta_\varepsilon|^2\, {\rm d}y$.

我们先来估计积分$I$. 首先我们注意到, 在积分区域$\Sigma_\lambda^{v_i}$内, $v_i(y)>v_i(y^\lambda)$. 因此, 由$|y|>|y^\lambda|$以及$k$的单调性可知

我们再把积分区域$\Sigma_\lambda^{v_i}$分成两部分, 第一部分是$D_{ij}^1 = \{y\in\Sigma_\lambda^{v_i}|w_j(y)>w_j(y^\lambda)\}$, 第二部分是$D_{ij}^2 = \{y\in\Sigma_\lambda^{v_i}|w_j(y)\leq w_j(y^\lambda)\}$. 当$y\in D_{ij}^1$的时候, 我们有

当$y\in D_{ij}^2$的时候, 我们有

用类似的方法, 我们可以估计积分$II$. 首先我们注意到, 当$(\bar x, 0)\in\partial\Sigma_\lambda^{v_i}$的时候, 由$h$的单调性假设有

然后, 我们按照前面的方法, 把$\partial \Sigma_\lambda^{v_i}$分成$D_{ij}^3\cup D_{ij}^4$, 其中$D_{ij}^3 = \{(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda^{v_i}|z_j(\bar x)>z_j(\bar x^\lambda)\}$, $D_{ij}^4 = \{(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda^{v_i}|z_j(\bar x)\leq z_j(\bar x^\lambda)\}$. 按照上面类似的方法可以证明, 当$(\bar x, 0)\in D_{ij}^3$的时候, 我们有

而当$(\bar x, 0)\in D_{ij}^4$的时候, 我们有下面的不等式

将不等式(2.20)、(2.21)、(2.22)和不等式(2.23)代入不等式(2.19), 我们得到

我们断言对任意的$i$, 当$\varepsilon\to 0$的时候, 都有$I_\varepsilon^i\to 0$. 事实上, 如果我们记$D_\varepsilon^1 = \{x\in \Sigma_\lambda|\varepsilon<|x-p^\lambda|<2\varepsilon\}$, $D_\varepsilon^2 = \{x\in \Sigma_\lambda|\frac 1\varepsilon<|x-p^\lambda|<\frac 2\varepsilon\}$, 那么我们有

同理, 我们有

因此, 当$\varepsilon \to 0$的时候, 我们可由Hölder不等式以及$[v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\in L^{2^*}(\Sigma_\lambda)$推出

我们再来估计积分$A_{ij}, B_{ij}, C_{ij}, D_{ij}$. 对于积分$A_{ij}$, 我们由函数$k$的单调性与函数$v_i$的衰减性得到, 存在关于$\lambda$递减的常数$C_\lambda>0$, 使得

类似的, 利用引理2.1, 命题1.1和Hölder不等式, 我们可以估计$B_{ij}$

我们接着估计积分$C_{ij}$, 由Hölder不等式得到

最后, 我们来估计积分$D_{ij}$, 由引理2.1, 命题1.1与Hölder不等式, 我们得到

将不等式(2.25)–(2.28)代入不等式(2.24), 然后令$\varepsilon\to 0$, 利用控制收敛定理, Sobolev不等式以及Sobolev迹不等式得到

最后, 我们把不等式(2.29)关于$i$求和就得到

这样我们就完成了引理的证明.

在继续证明定理1.1之前, 我们先对上述两个引理作一点评论. 我们在引言中已经提到, 由于非局部项的影响以及非线性项仅仅是连续的, 因此通常的最大值原理不好应用. 幸好我们有引理2.1与引理2.2, 它们所起的作用和最大值原理所起的作用是一样的. 事实上, 如果我们可以证明

那么我们由引理2.2可以推出$\sum\limits_{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x = 0$, 即在$\Sigma_\lambda$中有$v_i(y)\leq v_i(y^\lambda)$$(i = 1, 2, \cdots , n)$. 把这个结果代入引理2.1, 就得到$w_i\leq w_i^\lambda, z_i\leq z_i^\lambda$. 也就是说, 我们得到了与最大值原理相同的结果.

有了上面的积分不等式, 我们就可以用移动平面法来证明定理1.1了. 移动平面法的第一步是说, 平面可以从较远的某个地方开始移动. 更确切地说, 我们有下面的引理.

引理 3.1  在定理1.1的假设下, 存在常数$\lambda_0>0$, 使得对任意的$\lambda\geq \lambda_0$, $y\in\Sigma_\lambda, \bar x\in\partial \Sigma_\lambda$, 都有$w_i(y)\leq w_i(y^\lambda), v_i(y)\leq v_i(y^\lambda)$以及$z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda)$$(i = 1, 2, \cdots , n)$.

证  我们用引理2.1与引理2.2来证明我们的结果. 事实上, 由$w_i(y), v_i(y)$和$z_i(\bar x)$$(i = 1, 2, \cdots , n)$的衰减性可知, 存在充分大的$\lambda_0>0$, 使得当$\lambda>\lambda_0$的时候, 下面的不等式成立

将这一不等式代入引理2.2就得到, 对任意的$y\in\Sigma_\lambda$以及任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, 都有$v_i(y)\leq v_i(y^\lambda)$. 再把这一结果代入引理2.1就得到, 对任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, $y\in \Sigma_\lambda$以及$\bar x\in\partial \Sigma_\lambda$, 都有$w_i(y)\leq w_i(y^\lambda)$以及$z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda)$.

下面我们从右至左移动平面$T_{\lambda_0}$, 假定这一过程在$\lambda_1$的地方停止. 即按照下面的方式定义$\lambda_1$

那么我们有下面的结果.

引理 3.2  如果$\lambda_1>0$, 那么对任意的$y\in\Sigma_{\lambda_1}, \bar x\in\partial \Sigma_{\lambda_1}$以及$i = 1, 2, \cdots , n$, 都有$w_i(y)\equiv w_i(y^{\lambda_1}), \ v_i(y)\equiv v_i(y^{\lambda_1})$以及$z_i(\bar x)\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1})$.

证  我们用反证法来证明这个引理. 反设如果存在$i\in\{1, 2, \cdots , n\}$, 使得$w_i(y)\not\equiv w_i(y^{\lambda_1})$或$v_i(y)\not\equiv v_i(y^{\lambda_1})$或$z_i(\bar x)\not\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1})$, 那么我们断言平面$T_{\lambda_1}$可以向左边再移动一点点, 即存在$\delta_0>0$, 使得对任意的$\lambda\in [\lambda_1-\delta_0, \lambda_1]$, $i = 1, 2, \cdots , n$, $y\in\Sigma_\lambda$以及$\bar x\in\partial \Sigma_\lambda$, 都有$w_i(y)\leq w_i(y^\lambda), \ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda)$以及$z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda)$. 这与$\lambda_1$的定义矛盾, 因此反设不成立, 即引理得证. 下面我们来证明上述断言.

首先, 我们由$w_i, v_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n)$关于$\lambda$的连续性可知, 对任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, $y\in\Sigma_{\lambda_1}$, 都有$w_i(y)\leq w_i(y^{\lambda_1} ), \ v_i(y)\leq v_i(y^{\lambda_1})$, 以及对任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, $\bar x\in\partial \Sigma_{\lambda_1}$, 都有$z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^{\lambda_1})$. 其次, 由$g$和$k$的单调性假设, 我们得到

即在$\Sigma_{\lambda_1}$中

因为存在$i = 1, 2, \cdots , n$, 使得$w_i(y)\not\equiv w_i(y^{\lambda_1})$或$v_i(y)\not\equiv v_i(y^{\lambda_1})$或$z_i(\bar x)\not\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1})$, 所以我们由强最大值原理得到, 对任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, $y\in\Sigma_{\lambda_1}$, 都有$v_i(y)< v_i(y^{\lambda_1})$. 这进一步推出, 对任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, 都有$w_i(y)< w(y^{\lambda_1} )$以及$z_i(\bar x)< z_i(\bar x^{\lambda_1})$, 其中$y\in\Sigma_{\lambda_1}$, $\bar x\in\partial\Sigma_{\lambda_1}$.

另一方面, 当$\lambda\to\lambda_1$的时候, $\frac 1{|x|^{2N}}\chi_{ \Sigma_\lambda^{v_i}}$几乎处处收敛到$0$, $\frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}}$几乎处处收敛到$0$. 并且存在$\delta_1>0$, 使得当$\lambda\in [\lambda_1-\delta_1, \lambda_1]$的时候, $\frac 1{|x|^{2N}}\chi_{\Sigma_\lambda^{v_i}}\leq \frac 1{|x|^{2N}}\chi_{\Sigma_{\lambda_1-\delta_1}^{v_i}}$, $\frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}}\leq \frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_{\lambda_1-\delta_1}^{v_i}}$, 因此由控制收敛定理得到, 当$\lambda\to \lambda_1$的时候

最后, 由$w_i(y), v_i(y)$和$z_j(\bar x)$的衰减性可知, 存在$\delta_0>0$, 使得对所有的$\lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1]$, 下面的不等式成立

因此, 我们由引理2.2得到, 对任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, $\lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1]$, 都有$v_i(y)\leq v_i(y^\lambda)(y\in \Sigma_\lambda)$. 最后, 我们由引理2.1得到, 对任意的$i = 1, 2, \cdots , n$, $\lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1]$, 都有$w_i(y)\leq w_i(y^\lambda)(y\in \Sigma_\lambda)$以及$z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda)(\bar x\in\partial\Sigma_\lambda)$. 这样我们就完成了断言的证明.

命题 3.1  假定$u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n)$是微分-积分方程组(2.1)–(2.3)的非负弱解, 非线性项满足定理1.1中的假设, 那么对任意的$p\in \partial{{\Bbb R}} ^{N}_+$, 如果我们记$v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n)$是$u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n)$在$p$点的Kelvin变换, 那么$v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n)$关于任意经过$p$点且平行于$x_N$轴的平面对称.

证  本命题是引理3.1和3.2的推论, 其证明过程与文献[9-12]中的证明类似, 我们略去具体证明, 详情可参考上述文献.

最后, 我们来证明定理1.1.

证  由命题3.1可知, 对任意的$p\in \partial{{\Bbb R}} _+^N$, $u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n)$在$p$点的Kelvin变换$v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n)$, 关于经过$p$点且与$x_N$轴平行的平面对称. 又因为$p$是任意的, 所以我们得到$u_i, m_i(i = 1, 2, \cdots , n)$只依赖$x_N$, 且$n_i(i = 1, 2, \cdots , n)$是常数. 从而方程组(1.4)化为下面的方程组

由第一个方程可知, $u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n)$是$x_N$的凹函数. 从第二个方程可知

所以除非$u_i\equiv c_i$且$F(c_i) = G(c_i) = 0$, 那么$u_i$关于$x_N$严格单调递减. 如果$u_i\equiv c_i$$(i = 1, 2, \cdots , n)$, 那么我们就证明了我们的定理. 另一方面, 如果$u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n)$关于$x_N$严格递减, 那么由它的凹性可知, 当$x_N$充分大的时候, $u_i(x_N)<0$, 这与$u_i$的非负性矛盾, 因此这种情况不会发生. 所以我们得到$u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n)$为常数. 这样我们就完成了定理1.1的证明.

本文研究了半空间上的Hartree方程非平凡正解的非存在性结果, Hartree方程在量子力学、统计物理和凝聚态物理中有着重要的应用, 因此研究Hartree方程解的存在性结果与非存在性结果有着重要的意义. 本文的结果结合杨健夫教授与余晓辉教授在全空间上的Liouville定理, 可以用来证明有界区域上的非局部方程解的先验估计, 从而得到存在性. 因此, 我们认为本文的结果与方法可以应用于其它领域.