数学物理学报, 2021, 41(2): 388-401 doi:

论文

半空间上Hartree方程的Liouville型定理

李泓桥,

Liouville Type Theorem for Hartree Equations in Half Spaces

Li Hongqiao,

收稿日期: 2020-02-8  

Received: 2020-02-8  

作者简介 About authors

李泓桥,E-mail:hongqiaoli0420@gmail.com , E-mail:hongqiaoli0420@gmail.com

Abstract

In this paper, we study the nonexistence of nontrivial positive solution for the following Hartree equation in half spaceUnder some assumptions on the nonlinear functions F, G, f, g, we will show that the positive solutions of the above equation must be constants. We use moving plane method in an integral form to prove our result.

Keywords: Hartree equation ; Half space ; Moving plane method ; Liouville type theorem

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李泓桥. 半空间上Hartree方程的Liouville型定理. 数学物理学报[J], 2021, 41(2): 388-401 doi:

Li Hongqiao. Liouville Type Theorem for Hartree Equations in Half Spaces. Acta Mathematica Scientia[J], 2021, 41(2): 388-401 doi:

1 引言

当用经典力学的理论来解释微观粒子的运动规律的时候, 常常会遇到困难. 例如, 根据卢瑟福的原子理论模型, 原子由原子核和电子组成, 电子绕着原子核作圆周运动. 但是如果仔细分析这个理论, 就会得到与实际不符的结论. 事实上, 电子在绕着原子核运动的时候会产生变化的电流, 而变化的电流会产生磁场, 变化的磁场进一步产生电场. 也就是说, 如果卢瑟福的原子理论模型成立的话, 原子会向外辐射电磁波, 从而使得电子的能量不断减少, 电子的能量不断减少将会导致电子落入原子核, 从而原子是不稳定的. 这明显与事实不符, 因为我们周围的物质基本上都是稳定的. 同理, 根据经典理论, 原子的谱线应该是连续的, 然而各种实验已经表明, 原子的谱线经常是离散的.

理论与现实的矛盾呼吁产生新的理论, 正是在这种背景下, 量子力学应运而生. 量子力学否认电子有连续轨道, 它认为$ t $时刻电子的态是某个函数空间中的函数$ \psi(x, t) $, $ \psi(x, t) $称为波函数, 现代量子力学将$ |\psi(x, t)|^2 $解释为在$ x $点处找到电子的概率密度. 此外, 为了解释原子的谱线是离散的这一事实, 量子力学将经典力学中的物理量定义为自共轭算子, 例如量子力学用$ -{\rm i}h\frac{\partial}{\partial t} $来表示能量, 用$ -{\rm i}h\nabla_x $来表示动量, 其中$ h $是普朗克常数.

在非相对论力学中, 物体的能量由动能和势能两部分组成, 写成方程是

其中$ E $是物体的能量, $ m $是物体的质量, $ p $是物体的动量, $ V(x) $是物体的势能. 量子力学从这一恒等式出发, 用算子$ -{\rm i}h\frac{\partial}{\partial t} $来代替经典力学中的能量, 用算子$ -{\rm i}h\nabla_x $来代替经典力学中的动量, 从而得到下面的方程

上述方程称为Schrödinger方程, 它是量子力学的基本方程, 它在量子力学中的地位与牛顿第二定律在经典力学中的地位相当.

在上述方程中, 因为其波函数只有一个位置变量$ x $, 因此只能描述一个电子所组成的系统, 如氢原子或氦离子. 如果要描述多个电子和多个原子核组成的系统, 如分子, 则上述方程的右边应该修改为

其中$ H $是Hamilton能量, $ -\Delta_{x_i} $是第$ i $个电子的动能(为了叙述的方便, 我们假设普朗克常数和电子的质量为1), $ V(x_i) = -\sum\limits_{j = 1}^m \frac{Z_j}{|x_i-R_j|} $是第$ i $个电子与$ m $个原子核相互作用的Coulomb能量, 其中$ R_j\ (j = 1, 2, \cdots , m) $是第$ j $个原子核的位置, $ Z_j\ (j = 1, 2, \cdots , m) $是第$ j $个原子核的电荷数, $ \frac 1{|x_i-x_j|} $是电子之间的相互作用能. 上述方程虽然是线性方程, 但是如果我们研究的是有机物分子, 那么$ n $的数值将非常大, 因此直接求解也很困难. 正是因为上述原因, 物理学家通常不直接求解多体系统的Schrödinger方程, 而是采用逼近的方法. 常见的逼近方法中, 最简单的逼近是Hartree逼近, Hartree逼近假设电子之间是相互独立的, 即多体系统的波函数是每个电子的波函数的乘积

其中$ \varphi_i\in L^2({{\Bbb R}} ^3), \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\varphi_i|^2\, {\rm d}x = 1 $. 在上述逼近下, 原来的能量化为

$ \begin{equation} E^{H}(\varphi_1, \varphi_2, \cdots , \varphi_n) = \sum\limits_{i = 1}^n \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\nabla \varphi_i|^2+V|\varphi_i|^2\, {\rm d}x+\frac 12\sum\limits_{i\neq j}\int_{{{\Bbb R}} ^3}\int_{{{\Bbb R}} ^3}\frac{|\varphi_i(x)|^2|\varphi_j(y)|^2}{|x-y|}\, {\rm d}x{\rm d}y, \end{equation} $

因而对应的Euler-Lagrange方程为

$ \begin{equation} -\Delta \varphi_i(x)+V\varphi_i(x)+\sum\limits_{i\neq j}(|\varphi_j(x)|^2*\frac 1{|x|})\varphi_i(x)+\varepsilon_i \varphi_i(x) = 0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^3, \quad i = 1, 2, \cdots , n. \end{equation} $

上述方程称为Hartree方程.

从上面的分析可以看出, 研究Hartree方程具有重要的物理意义. 在最近的一篇论文[1] 中, 杨健夫教授和余晓辉教授研究了全空间上的Hartree型方程

$ \begin{eqnarray} -\Delta \varphi_i = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} ^N} \frac{f(\varphi_j(y))}{|x-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y g(\varphi_i(x)), \quad x\in{{\Bbb R}} ^N, \quad i = 1, 2, \cdots , n \end{eqnarray} $

非平凡正解的非存在性. 从椭圆方程先验界的角度来看, 为了用爆破方法得到有界区域上的方程解的先验界, 通常需要全空间上的Liouville型定理和半空间上的Liouville型定理, 详情可参考[2], 因此本文的主要目的就是研究半空间上的Hartree型方程

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u_i(y) = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{\partial{{\Bbb R}} _+^N} \frac{ F(u_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}{\rm d}\bar xg(u_i(y)), &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ [4mm] \frac{\partial u_i}{\partial \nu}(\bar x, 0) = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} _+^N} \frac{G(u_j(y))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y f(u_i(\bar x, 0)), &(\bar x, 0)\in\partial {{\Bbb R}} _+^N \end{array} \right. \end{eqnarray} $

弱正解的非存在性结果. 为了叙述我们的结论, 我们先给出弱解的定义.

定义 1.1  设$ u_i(x)\in W_{loc}^{1, 2}({{\Bbb R}} _+^N) \cap C^0(\overline{{{\Bbb R}} _+^N}), i = 1, 2, \cdots , n $, 如果对任意的$ \varphi_i(x)\in C_0^\infty(\overline{{{\Bbb R}} _+^N}), $$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有

那么我们称$ (u_1, u_2, \cdots , u_n) $是Hartree方程(1.4)的弱解.

有了上面的准备工作, 我们就可以叙述我们的主要结果了.

定理 1.1  假定$ (u_1, u_2, \cdots , u_n) $是Hartree方程组(1.4)的非负弱解, $ N-2\leq \alpha <N $, 非线性项$ f, g, F, G:[0, +\infty)\to [0, +\infty) $连续且满足下面的假设

$ \rm(i) $函数$ f(t), g(t), F(t), G(t) $$ (0, +\infty) $上单调递增;

$ \rm(ii) $函数$ h(t) = \frac{f(t)}{t^{\frac{\alpha}{N-2}}} $, $ k(t) = \frac{g(t)}{t^{\frac{2+\alpha}{N-2}}} $, $ H(t) = \frac{F(t)}{t^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}} $$ K(t) = \frac{G(t)}{t^{\frac{N+\alpha}{N-2}}} $$ (0, +\infty) $上单调递减;

$ \rm(iii) $$ h, k, H, K $四个函数中至少有一个在

上不为常数.

那么$ u_i\equiv c_i $, 且$ c_i $满足$ G(c_i) = F(c_i) = 0 $, $ i = 1, 2, \cdots , n $.

本文的后面部分主要是定理1.1的证明, 我们用移动平面法来证明我们的结果, 在过去的几十年中, 移动平面法已经广泛地应用于证明椭圆方程正解的非存在性结果, 详情可参考文献[3-8]. 我们用移动平面法来证明, 方程(1.4)的正解关于平行于$ x_N $轴的每一个平面都是对称的, 从而它的解只依赖$ x_N $, 因此原方程是一个常微分方程, 最后我们证明该常微分方程只有常数解. 传统的移动平面法的工具是椭圆方程的最大值原理, 但是对于我们的问题, 由于卷积项的影响, 直接应用最大值原理面临极大的困难. 此外, 我们定理的主要结果是说方程(1.4) 没有非负的弱解, 由于我们仅仅假设非线性项是连续的, 而非Lipschitz连续的, 因此通常来说, 方程(1.4) 的弱解不是光滑的, 因此不能直接应用通常的最大值原理. 为了克服上述困难, 我们用积分不等式代替最大值原理, 目前这种方法已经广泛应用于椭圆方程的移动平面法, 详情可参考文献[9-17].

在证明定理1.1的过程中, 我们需要用到半空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 该不等式在文献[18]中由窦井波教授和朱梅俊教授给出. 该不等式的结论如下.

命题 1.1  假定$ 1<\alpha<N, 1<t, p<+\infty $, 且满足

那么对任意的$ f\in L^p(\partial {{\Bbb R}} _+^N) $, $ g\in L^t({{\Bbb R}} _+^N) $, 存在只依赖$ N, \alpha, p $的最佳常数$ C_e(N, \alpha, p) $, 使得下面的不等式成立

$ \begin{eqnarray} \int_{{{\Bbb R}} _+^N}\int_{\partial{{\Bbb R}} _+^N}\frac{g(x)f(y)}{|x-(y, 0)|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y{\rm d}x\leq C_e(N, \alpha, p)\|f\|_{L^p(\partial {{\Bbb R}} _+^N)}\|g\|_{L^t({{\Bbb R}} _+^N)}. \end{eqnarray} $

此外, 在文献[18]中, 作者还研究了最佳常数的可达性与达到函数的具体表达式.

本文剩余部分安排如下, 在第2节中, 我们证明一些积分不等式, 这些不等式是移动平面法的基础. 在第3节中, 我们用积分形式的移动平面法来证明定理1.1. 最后, 在第4节中, 我们简要介绍一下定理1.1的意义及其应用价值.

2 一些积分不等式

如前所述, 由于非局部项的影响, 直接对方程(1.4)应用移动平面法存在较大的困难, 为此我们先把方程(1.4)化为微分方程与积分方程组成的方程组. 我们定义

$ \begin{equation} m_j(y) = \int_{\partial {{\Bbb R}} _+^N}\frac{F(u_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}\bar x, \end{equation} $

$ \begin{equation} n_j(\bar x) = \int_{ {{\Bbb R}} _+^N}\frac{G(u_j(y))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y, \end{equation} $

那么方程(1.4)等价于下面的方程

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u_i(y) = \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n m_j(y))g(u_i(y)\bigg), &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ [4mm] \frac{\partial u_i}{\partial \nu}(\bar x, 0) = \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n n_j(\bar x))f(u_i(\bar x, 0)\bigg), &(\bar x, 0)\in\partial {{\Bbb R}} _+^N, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ m_j, n_j $由方程(2.1)和方程(2.2)给出.

我们关键是要证明方程(2.3)的解关于平行于$ x_N $轴的每一个平面都是对称的, 由于我们不清楚方程的解在无穷远点的衰减性, 因此不能直接应用移动平面法. 为此, 我们不直接证明$ u_i, m_j, n_j $的对称性, 而是证明它们的Kelvin变换的对称性. 下面我们先定义$ u_i, m_j, n_j $的Kelvin变换. 对任意的$ x_p = (\bar x_p, 0)\in \partial {{\Bbb R}} _+^N $, 我们定义$ u_i, m_j, n_j $$ x_p $点的Kelvin变换为

$ \begin{eqnarray} v_i(x) = \frac 1{|x-x_p|^{N-2}}u_i(\frac {x-x_p}{|x-x_p|^2}+x_p), \quad w_j(x) = \frac 1{|x-x_p|^{N-\alpha}}m_j(\frac {x-x_p}{|x-x_p|^2}+x_p) \end{eqnarray} $

以及

$ \begin{equation} z_j(\bar x) = \frac 1{|\bar x-\bar x_p|^{N-\alpha}}n_j(\frac {\bar x-\bar x_p}{|\bar x-\bar x_p|^2}+\bar x_p). \end{equation} $

从它们的定义可以推出, 当$ |x-x_p|\geq 1 $的时候,

$ \begin{eqnarray} v_i(x)\leq \frac C{|x-x_p|^{N-2}}, \ w_j(x)\leq \frac C{|x-x_p|^{N-\alpha}}, \ z_j(\bar x)\leq \frac C{|\bar x-\bar x_p|^{N-\alpha}}, \end{eqnarray} $

$ v_i, w_j, z_j $$ x_p $处可能有奇性. 在下面的证明过程中, 我们可以不失一般性地假设$ x_p = 0 $. 直接计算可知, Kelvin变换以后的函数$ v_i, w_j, z_j $满足下面的方程

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} w_j(y) = \int_{\partial {{\Bbb R}} _+^N}\frac{H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}\, {\rm d}\bar x, &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ z_j(\bar x) = \int_{ {{\Bbb R}} _+^N}\frac{K(|y|^{N-2}v_j(y))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(y)^{\frac{N+\alpha}{N-2}}{\rm d}y, &(\bar x, 0)\in \partial{{\Bbb R}} _+^N\setminus \{0\}, \\ -\Delta v_i(y) = \sum\limits_{j = 1}^n w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}, &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ \frac{\partial v}{\partial \nu}(\bar x, 0) = \sum\limits_{j = 1}^n z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}, &(\bar x, 0)\in\partial {{\Bbb R}} _+^N\setminus\{0\}, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ H(t), K(t), h(t), k(t) $的定义由定理1.1中的假设(ii)给出.

有了Kelvin变换以后, 我们再引入移动平面过程中要用到的一些记号. 假定$ \lambda>0 $, 我们记$ \Sigma_\lambda = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N|x_1>\lambda\} $, $ \partial\Sigma_\lambda = \{x\in \partial{{\Bbb R}} _+^N|x_1>\lambda\} $, $ T_\lambda = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N|x_1 = \lambda\} $. 对任意的$ x\in \Sigma_\lambda $, 我们记$ x^\lambda $$ x $关于平面$ T_\lambda $的反射点, 即$ x^\lambda = (2\lambda-x_1, x_2, \cdots , x_N) $. 最后, 为了方便起见, 我们记$ v^\lambda(x) = v(x^\lambda) $以及$ p^\lambda = (2\lambda, 0, \cdots , 0) $.

下面我们来估计$ w_j, z_j $$ \Sigma_\lambda $中的函数值与它们的反射点的函数值之间的关系.

引理 2.1  对任意的$ \lambda>0 $, 我们记

$ \begin{equation} \Sigma_\lambda^{v_i} = \{x\in \Sigma_\lambda| v_i(x)>v_i(x^\lambda)\}, \end{equation} $

$ \begin{equation} \partial\Sigma_\lambda^{v_i} = \{x\in \partial\Sigma_\lambda| v_i(x)>v_i(x^\lambda)\}, \end{equation} $

那么对任意的$ y\in \Sigma_\lambda $以及$ (\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda\setminus \{(2\lambda, 0, \cdots , 0)\} $, 我们有下面的不等式

$ \begin{equation} w_j(y)-w_j(y^\lambda)\leq \int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}H(|\bar x|^{N-2}v_j (\bar x, 0))[v_j(\bar x, 0)^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}-v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}]{\rm d}\bar x \end{equation} $

以及

$ \begin{equation} z_j(\bar x)-z_j(\bar x^\lambda)\leq \int_{\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}K(|y|^{N-2}v_j(y))[v_j(y)^{\frac{N+\alpha}{N-2}}-v_j(y^\lambda)^{\frac{N+\alpha}{N-2}}]\, {\rm d}y. \end{equation} $

  我们只证明不等式(2.10), 不等式(2.11)的证明是类似的. 首先, 我们有

$ \begin{eqnarray} w_j(y)& = &\int_{\partial\Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x{}\\ &&+\int_{\partial \Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x^\lambda |^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{|(\bar x^\lambda, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x \end{eqnarray} $

以及

$ \begin{eqnarray} w_j(y^\lambda)& = &\int_{\partial\Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y^\lambda|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x{}\\ &&+\int_{\partial\Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x^\lambda |^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{|(\bar x^\lambda, 0)-y^\lambda|^{N-\alpha}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x. \end{eqnarray} $

因为$ |(\bar x, 0)-y^\lambda | = |(\bar x^\lambda, 0)-y| $, $ |(\bar x, 0)-y| = |(\bar x^\lambda, 0)-y^\lambda| $, 所以我们由方程(2.12)和方程(2.13)得到

$ \begin{eqnarray} w_j(y)-w_j(y^\lambda)& = &\int_{\partial \Sigma_\lambda}(\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}-\frac 1{|(\bar x, 0)-y^\lambda|^{N-\alpha}}) {}\\ &&\cdot[H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}-H(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}]{\rm d}\bar x. {}\\ \end{eqnarray} $

如果$ (\bar x, 0)\in \partial\Sigma_\lambda^{v_j} = \{(\bar x, 0)\in \partial\Sigma_\lambda|v_j(\bar x, 0)>v_j(\bar x^\lambda, 0)\} $, 那么我们有$ |\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0)>|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0) $. 由函数$ H(t) $的单调性可知

$ \begin{eqnarray} H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))\leq H(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0)). \end{eqnarray} $

另一方面, 如果$ (\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda\setminus \partial\Sigma_\lambda^{v_j} $, 那么我们有

$ \begin{eqnarray} H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}} & = &\frac{F(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|\bar x|^{N+\alpha-2}}{}\\ &\leq &\frac{F(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{|\bar x|^{N+\alpha-2}}{}\\ & = & \frac{F(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{[|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0)]^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{}\\ &\leq& \frac{F(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{[|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0)]^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{}\\ & = & H(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}. \end{eqnarray} $

因此, 我们由方程(2.14)、(2.15)和方程(2.16)得到

$ \begin{equation} w_j(y)-w_j(y^\lambda) \leq \int_{\partial\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}H(|\bar x|^{N-2} v_j(\bar x, 0))[v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}-v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}]{\rm d}\bar x. \end{equation} $

这就证明了不等式(2.10). 不等式(2.11)的证明与不等式(2.10)的证明类似, 因此我们省略.

下面我们证明一个关键的引理.

引理 2.2  在定理1.1的假设下, 如果我们按照上面的方式定义$ v_i, w_j, z_j\ (i, j = 1, 2, \cdots , n) $, 那么对任意固定的$ \lambda>0 $, $ v_i, $$ (v_i-v_i^\lambda)^+\in L^{2^*}(\Sigma_\lambda)\cap L^\infty(\Sigma_\lambda) $, 其中$ 2^* = \frac{2N}{N-2} $是通常的Sobolev指数. 此外, 如果我们按照方程(2.8)和方程(2.9)来定义$ \Sigma_\lambda^{v_i} $$ \partial \Sigma_\lambda^{v_i} $, 那么存在关于$ \lambda $递减的常数$ C_\lambda>0 $, 使得下面的不等式成立

$ \begin{eqnarray} \sum _{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x & \leq& C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0) \|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]{}\\ &&\cdot\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x\bigg). \end{eqnarray} $

  首先, 因为$ \lambda>0 $, 所以存在$ r>0 $, 使得$ \Sigma_\lambda\subset {{\Bbb R}} _+^N\setminus B_r^+(0) $, 其中$ B_r^+(0) = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N||x|<r\} $. 因此, 我们由$ v_i(x) $的定义以及它在无穷远点的衰减性得

其次, 为了处理$ v_i(x), w_j(x) $以及$ z_j(\bar x) $在原点的可能奇性, 我们需要作适当的截断. 为此, 我们选取下面的径向截断函数$ \eta = \eta_\varepsilon\in C^1( {{\Bbb R}} _+^N, [0, 1]) $, 且它满足

此外, 我们还要求当$ \varepsilon<|x-p^\lambda|<2\varepsilon $的时候, $ |\nabla \eta|\leq \frac 2\varepsilon $.$ \frac 1\varepsilon<|x-p^\lambda|<\frac 2\varepsilon $的时候, $ |\nabla \eta|\leq 2\varepsilon $. 容易验证, 满足上面条件的截断函数是存在的.

有了上面的截断函数以后, 我们定义$ \varphi_i = \varphi_i^\varepsilon = \eta^2_\varepsilon(v_i-v_i^\lambda)^+ $以及$ \psi_i = \psi_i^\varepsilon = \eta_\varepsilon(v_i-v_i^\lambda)^+ $, 那么我们由截断函数的定义可知, 函数$ \varphi_i $$ \psi_i $$ \Sigma_\lambda $内是有定义的. 此外, 通过一个简单的计算可知

有了上面的准备工作以后, 我们有下面的估计

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Sigma_\lambda\cap \{2\varepsilon\leq |x-p^\lambda|\leq \frac 1\varepsilon\}}|\nabla(v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x {}\\ &\leq& \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}|\nabla \psi_i(x)|^2\, {\rm d}x \leq \int_{\Sigma_\lambda}\nabla(v_i-v_i^\lambda)\nabla \varphi_i\, {\rm d}x+\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}[(v_i-v_i^\lambda)^+]^2|\nabla\eta_\varepsilon|^2\, {\rm d}x {}\\ & = & \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}-\Delta(v_i-v_i^\lambda)\varphi_i(y)\, {\rm d}y+\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}\frac{\partial (v_i-v_i^\lambda)}{\partial \nu}\varphi_i(\bar x, 0)\, {\rm d}\bar x+I_\varepsilon^i {}\\ & = & \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} \bigg[\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n w_j(y)\bigg)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &&- \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n w_j(y^\lambda)\bigg)k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg] [v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+ \eta_{\varepsilon}^2\, {\rm d}y {}\\ &&+\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}} \bigg [\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n z_j(\bar x)\bigg)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^ {\frac{\alpha}{N-2}}{}\\ &&-\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n z_j (\bar x^\lambda)\bigg)h(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_i(\bar x^\lambda, 0))v_i (\bar x^\lambda, 0)^{\frac {\alpha}{N-2}}\bigg] [v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0)]^+\eta_{\varepsilon}^2\, {\rm d}\bar x +I_\varepsilon^i{}\\ & = &I+II+I_\varepsilon^i, \end{eqnarray} $

其中$ I_\varepsilon^i = \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}[(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^2|\nabla\eta_\varepsilon|^2\, {\rm d}y $.

我们先来估计积分$ I $. 首先我们注意到, 在积分区域$ \Sigma_\lambda^{v_i} $内, $ v_i(y)>v_i(y^\lambda) $. 因此, 由$ |y|>|y^\lambda| $以及$ k $的单调性可知

我们再把积分区域$ \Sigma_\lambda^{v_i} $分成两部分, 第一部分是$ D_{ij}^1 = \{y\in\Sigma_\lambda^{v_i}|w_j(y)>w_j(y^\lambda)\} $, 第二部分是$ D_{ij}^2 = \{y\in\Sigma_\lambda^{v_i}|w_j(y)\leq w_j(y^\lambda)\} $.$ y\in D_{ij}^1 $的时候, 我们有

$ \begin{eqnarray} &&w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}- w_j(y^\lambda)k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ & = &[w_j(y)-w_j(y^\lambda)]k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}} {}\\ &&+w_j(y^\lambda)[k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}-k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}]{}\\ &\leq& [w_j(y)-w_j(y^\lambda)]k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}} {}\\ &&+w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))[v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}-v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}]. \end{eqnarray} $

$ y\in D_{ij}^2 $的时候, 我们有

$ \begin{eqnarray} &&w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}- w_j(y^\lambda)k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &\leq &w_j(y)[k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}-k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}]{}\\ & \leq& w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))[v_i(y)^{\frac {2+\alpha}{N-2}}-v_i(y^\lambda)^{\frac {2+\alpha}{N-2}}]. \end{eqnarray} $

用类似的方法, 我们可以估计积分$ II $. 首先我们注意到, 当$ (\bar x, 0)\in\partial\Sigma_\lambda^{v_i} $的时候, 由$ h $的单调性假设有

然后, 我们按照前面的方法, 把$ \partial \Sigma_\lambda^{v_i} $分成$ D_{ij}^3\cup D_{ij}^4 $, 其中$ D_{ij}^3 = \{(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda^{v_i}|z_j(\bar x)>z_j(\bar x^\lambda)\} $, $ D_{ij}^4 = \{(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda^{v_i}|z_j(\bar x)\leq z_j(\bar x^\lambda)\} $. 按照上面类似的方法可以证明, 当$ (\bar x, 0)\in D_{ij}^3 $的时候, 我们有

$ \begin{eqnarray} &&z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}- z_j(\bar x^\lambda)h(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_i(\bar x^\lambda, 0))v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}{}\\ & \leq &h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))\{z_j(\bar x)[v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}-v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac \alpha{N-2}}]+v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}[z_j(\bar x)-z_j(\bar x^\lambda)]\}.{\qquad} \end{eqnarray} $

而当$ (\bar x, 0)\in D_{ij}^4 $的时候, 我们有下面的不等式

$ \begin{eqnarray} &&z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}- z_j(\bar x^\lambda)h(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_i(\bar x^\lambda, 0))v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}{}\\ &\leq& z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))[v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}-v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}]. \end{eqnarray} $

将不等式(2.20)、(2.21)、(2.22)和不等式(2.23)代入不等式(2.19), 我们得到

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Sigma_\lambda\cap \{2\varepsilon\leq |x-p^\lambda|\leq \frac 1\varepsilon\}}|\nabla(v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &\leq & I_\varepsilon^i+C\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} \bigg(\sum\limits_{j = 1}^nw_j(y)\bigg)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}} [(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^2\eta_\varepsilon(y)^2\, {\rm d}y{}\\ &&+C\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}} \bigg[\sum\limits_{j = 1}^n(w_j(y)-w_j(y^\lambda))^+\bigg][v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\eta_\varepsilon(y)^2\, {\rm d}y{}\\ &&+ C\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0)) \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n z_j(\bar x)\bigg)v_i(\bar x, 0)^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}[(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+]^2\eta_\varepsilon(\bar x, 0)^2\, {\rm d}\bar x{}\\ && +C\int_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}}h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha {N-2}} \bigg[\sum\limits_{j = 1}^n (z_j(\bar x)-z_j(\bar x^\lambda))^+\bigg]{}\\ &&\cdot[v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0)]^+\eta_\varepsilon(\bar x, 0)^2\, {\rm d}\bar x{}\\ & = & I_\varepsilon^i+\sum\limits_{j = 1}^n[A_{ij}+B_{ij}+C_{ij}+D_{ij}]. \end{eqnarray} $

我们断言对任意的$ i $, 当$ \varepsilon\to 0 $的时候, 都有$ I_\varepsilon^i\to 0 $. 事实上, 如果我们记$ D_\varepsilon^1 = \{x\in \Sigma_\lambda|\varepsilon<|x-p^\lambda|<2\varepsilon\} $, $ D_\varepsilon^2 = \{x\in \Sigma_\lambda|\frac 1\varepsilon<|x-p^\lambda|<\frac 2\varepsilon\} $, 那么我们有

同理, 我们有

因此, 当$ \varepsilon \to 0 $的时候, 我们可由Hölder不等式以及$ [v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\in L^{2^*}(\Sigma_\lambda) $推出

我们再来估计积分$ A_{ij}, B_{ij}, C_{ij}, D_{ij} $. 对于积分$ A_{ij} $, 我们由函数$ k $的单调性与函数$ v_i $的衰减性得到, 存在关于$ \lambda $递减的常数$ C_\lambda>0 $, 使得

$ \begin{eqnarray} A_{ij}&\leq& C_\lambda\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}w_j(y)v_i(y)^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}[(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^2\, {\rm d}y{}\\ &\leq& C_\lambda \bigg(\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}w_j(y)^{\frac{2N}{N-\alpha}}\, {\rm d}y\bigg)^{\frac{N-\alpha}{2N}} \bigg (\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(y)^{\frac{2N}{N-2}}\, {\rm d}y\bigg)^{\frac{4+\alpha-N}{2N}}{}\\ &&\cdot \bigg(\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} [(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^{\frac{2N}{N-2}}\bigg)^{\frac{N-2}{N}}. \end{eqnarray} $

类似的, 利用引理2.1, 命题1.1和Hölder不等式, 我们可以估计$ B_{ij} $

$ \begin{eqnarray} B_{ij}&\leq& C_\lambda\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[w_j(y)-w_j(y^\lambda)]^+[v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\, {\rm d}y{}\\ &\leq& C_\lambda\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}\int_{\partial\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac{1}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}{}\\ &&\cdot [v_j(\bar x, 0)-v_j(\bar x^\lambda, 0)]^+\, {\rm d}\bar x v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\, {\rm d}y{}\\ &\leq& C_\lambda\|v_j(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}(v_j(\bar x, 0)-v_j(\bar x^\lambda, 0))^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2+\alpha}} (\partial \Sigma_\lambda^{v_j})} {}\\ &&\cdot \|v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\|_{L^{\frac{2N}{N+\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}{}\\ &\leq& C_\lambda \|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\|(v_j(\bar x, 0)-v_j(\bar x^\lambda, 0))^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}{}\\ &&\cdot\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\|(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}. \end{eqnarray} $

我们接着估计积分$ C_{ij} $, 由Hölder不等式得到

$ \begin{eqnarray} C_{ij}&\leq& C_\lambda\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}z_j(\bar x)v_i(\bar x, 0)^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}[(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+]^2\, {\rm d}\bar x{}\\ &\leq& C_\lambda \bigg(\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}} z_j(\bar x)^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}\, {\rm d}\bar x\bigg)^{\frac{N-\alpha}{2(N-1)}} \bigg(\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(\bar x, 0)^{\frac{2(N-1)}{N-2}}\, {\rm d}\bar x\bigg)^{\frac{2+\alpha-N}{2(N-1)}}{}\\ &&\cdot\bigg(\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}} [(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+]^{\frac{2(N-1)}{N-2}}\, {\rm d}\bar x \bigg)^{\frac{N-2}{N-1}}. \end{eqnarray} $

最后, 我们来估计积分$ D_{ij} $, 由引理2.1, 命题1.1与Hölder不等式, 我们得到

$ \begin{eqnarray} D_{ij}&\leq &C_\lambda\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}\int_{\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &&\cdot[v_j(y)-v_j(y^\lambda)]^+\, {\rm d}y[v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0)]^+\, {\rm d}\bar x{}\\ &\leq& C_\lambda \|v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}[v_i(\bar x, 0)-v(\bar x^\lambda, 0)]^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N+\alpha-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_i})}{}\\ &&\cdot\|v_j(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[v_j(y)-v_j(y^\lambda)]^+\|_{L^{\frac{2N}{N+\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_j})}{}\\ &\leq& C_\lambda\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac \alpha{N-2}}\|(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_i})}{}\\ &&\cdot\|v_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\|(v_j(y)-v_j(y^\lambda))^+\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_j})}. \end{eqnarray} $

将不等式(2.25)–(2.28)代入不等式(2.24), 然后令$ \varepsilon\to 0 $, 利用控制收敛定理, Sobolev不等式以及Sobolev迹不等式得到

$ \begin{eqnarray} &&\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ & \leq &C_\lambda \bigg [\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg] \cdot\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &&+C_\lambda\bigg (\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}} (\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\|\nabla (v_j-v_j^\lambda)^+\|_{L^2( \Sigma_\lambda^{v_j})}\bigg) \|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}} (\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &&\cdot\|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+\|_{L^2(\Sigma_\lambda^{v_i})} {}\\ &&+C_\lambda \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})} \bigg) \|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}} \cdot\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &&+C_\lambda \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n \|v_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}} (\Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\|\nabla (v_j-v_j^\lambda)^+\|_{L^2(\Sigma_ \lambda^{v_j})}\bigg)\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac \alpha{N-2}}{}\\ &&\cdot\|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+\|_{L^2(\Sigma_\lambda^{v_i})}. \end{eqnarray} $

最后, 我们把不等式(2.29)关于$ i $求和就得到

$ \begin{eqnarray} &&\sum _{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &\leq &C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ & &+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg] {}\\ &&\cdot\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x\bigg). \end{eqnarray} $

这样我们就完成了引理的证明.

在继续证明定理1.1之前, 我们先对上述两个引理作一点评论. 我们在引言中已经提到, 由于非局部项的影响以及非线性项仅仅是连续的, 因此通常的最大值原理不好应用. 幸好我们有引理2.1与引理2.2, 它们所起的作用和最大值原理所起的作用是一样的. 事实上, 如果我们可以证明

$ \begin{eqnarray} & & C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ & &+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]<1, \end{eqnarray} $

那么我们由引理2.2可以推出$ \sum\limits_{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x = 0 $, 即在$ \Sigma_\lambda $中有$ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $. 把这个结果代入引理2.1, 就得到$ w_i\leq w_i^\lambda, z_i\leq z_i^\lambda $. 也就是说, 我们得到了与最大值原理相同的结果.

3 定理1.1的证明

有了上面的积分不等式, 我们就可以用移动平面法来证明定理1.1了. 移动平面法的第一步是说, 平面可以从较远的某个地方开始移动. 更确切地说, 我们有下面的引理.

引理 3.1  在定理1.1的假设下, 存在常数$ \lambda_0>0 $, 使得对任意的$ \lambda\geq \lambda_0 $, $ y\in\Sigma_\lambda, \bar x\in\partial \Sigma_\lambda $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda), v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda) $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $.

  我们用引理2.1与引理2.2来证明我们的结果. 事实上, 由$ w_i(y), v_i(y) $$ z_i(\bar x) $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $的衰减性可知, 存在充分大的$ \lambda_0>0 $, 使得当$ \lambda>\lambda_0 $的时候, 下面的不等式成立

$ \begin{eqnarray} & & C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ & &+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg)\bigg (\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]<\frac 1 2. \end{eqnarray} $

将这一不等式代入引理2.2就得到, 对任意的$ y\in\Sigma_\lambda $以及任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有$ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $. 再把这一结果代入引理2.1就得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in \Sigma_\lambda $以及$ \bar x\in\partial \Sigma_\lambda $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda) $.

下面我们从右至左移动平面$ T_{\lambda_0} $, 假定这一过程在$ \lambda_1 $的地方停止. 即按照下面的方式定义$ \lambda_1 $

那么我们有下面的结果.

引理 3.2  如果$ \lambda_1>0 $, 那么对任意的$ y\in\Sigma_{\lambda_1}, \bar x\in\partial \Sigma_{\lambda_1} $以及$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有$ w_i(y)\equiv w_i(y^{\lambda_1}), \ v_i(y)\equiv v_i(y^{\lambda_1}) $以及$ z_i(\bar x)\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1}) $.

  我们用反证法来证明这个引理. 反设如果存在$ i\in\{1, 2, \cdots , n\} $, 使得$ w_i(y)\not\equiv w_i(y^{\lambda_1}) $$ v_i(y)\not\equiv v_i(y^{\lambda_1}) $$ z_i(\bar x)\not\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1}) $, 那么我们断言平面$ T_{\lambda_1} $可以向左边再移动一点点, 即存在$ \delta_0>0 $, 使得对任意的$ \lambda\in [\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, $ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in\Sigma_\lambda $以及$ \bar x\in\partial \Sigma_\lambda $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda), \ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda) $. 这与$ \lambda_1 $的定义矛盾, 因此反设不成立, 即引理得证. 下面我们来证明上述断言.

首先, 我们由$ w_i, v_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $关于$ \lambda $的连续性可知, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in\Sigma_{\lambda_1} $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^{\lambda_1} ), \ v_i(y)\leq v_i(y^{\lambda_1}) $, 以及对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ \bar x\in\partial \Sigma_{\lambda_1} $, 都有$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^{\lambda_1}) $. 其次, 由$ g $$ k $的单调性假设, 我们得到

即在$ \Sigma_{\lambda_1} $

因为存在$ i = 1, 2, \cdots , n $, 使得$ w_i(y)\not\equiv w_i(y^{\lambda_1}) $$ v_i(y)\not\equiv v_i(y^{\lambda_1}) $$ z_i(\bar x)\not\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1}) $, 所以我们由强最大值原理得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in\Sigma_{\lambda_1} $, 都有$ v_i(y)< v_i(y^{\lambda_1}) $. 这进一步推出, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有$ w_i(y)< w(y^{\lambda_1} ) $以及$ z_i(\bar x)< z_i(\bar x^{\lambda_1}) $, 其中$ y\in\Sigma_{\lambda_1} $, $ \bar x\in\partial\Sigma_{\lambda_1} $.

另一方面, 当$ \lambda\to\lambda_1 $的时候, $ \frac 1{|x|^{2N}}\chi_{ \Sigma_\lambda^{v_i}} $几乎处处收敛到$ 0 $, $ \frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}} $几乎处处收敛到$ 0 $. 并且存在$ \delta_1>0 $, 使得当$ \lambda\in [\lambda_1-\delta_1, \lambda_1] $的时候, $ \frac 1{|x|^{2N}}\chi_{\Sigma_\lambda^{v_i}}\leq \frac 1{|x|^{2N}}\chi_{\Sigma_{\lambda_1-\delta_1}^{v_i}} $, $ \frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}}\leq \frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_{\lambda_1-\delta_1}^{v_i}} $, 因此由控制收敛定理得到, 当$ \lambda\to \lambda_1 $的时候

最后, 由$ w_i(y), v_i(y) $$ z_j(\bar x) $的衰减性可知, 存在$ \delta_0>0 $, 使得对所有的$ \lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, 下面的不等式成立

$ \begin{eqnarray} && C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]<\frac 1 2. \end{eqnarray} $

因此, 我们由引理2.2得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ \lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, 都有$ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda)(y\in \Sigma_\lambda) $. 最后, 我们由引理2.1得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ \lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda)(y\in \Sigma_\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda)(\bar x\in\partial\Sigma_\lambda) $. 这样我们就完成了断言的证明.

命题 3.1  假定$ u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $是微分-积分方程组(2.1)–(2.3)的非负弱解, 非线性项满足定理1.1中的假设, 那么对任意的$ p\in \partial{{\Bbb R}} ^{N}_+ $, 如果我们记$ v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $$ u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $$ p $点的Kelvin变换, 那么$ v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $关于任意经过$ p $点且平行于$ x_N $轴的平面对称.

  本命题是引理3.1和3.2的推论, 其证明过程与文献[9-12]中的证明类似, 我们略去具体证明, 详情可参考上述文献.

最后, 我们来证明定理1.1.

  由命题3.1可知, 对任意的$ p\in \partial{{\Bbb R}} _+^N $, $ u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $$ p $点的Kelvin变换$ v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $, 关于经过$ p $点且与$ x_N $轴平行的平面对称. 又因为$ p $是任意的, 所以我们得到$ u_i, m_i(i = 1, 2, \cdots , n) $只依赖$ x_N $, 且$ n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $是常数. 从而方程组(1.4)化为下面的方程组

由第一个方程可知, $ u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n) $$ x_N $的凹函数. 从第二个方程可知

所以除非$ u_i\equiv c_i $$ F(c_i) = G(c_i) = 0 $, 那么$ u_i $关于$ x_N $严格单调递减. 如果$ u_i\equiv c_i $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $, 那么我们就证明了我们的定理. 另一方面, 如果$ u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n) $关于$ x_N $严格递减, 那么由它的凹性可知, 当$ x_N $充分大的时候, $ u_i(x_N)<0 $, 这与$ u_i $的非负性矛盾, 因此这种情况不会发生. 所以我们得到$ u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n) $为常数. 这样我们就完成了定理1.1的证明.

4 结论及其应用

本文研究了半空间上的Hartree方程非平凡正解的非存在性结果, Hartree方程在量子力学、统计物理和凝聚态物理中有着重要的应用, 因此研究Hartree方程解的存在性结果与非存在性结果有着重要的意义. 本文的结果结合杨健夫教授与余晓辉教授在全空间上的Liouville定理, 可以用来证明有界区域上的非局部方程解的先验估计, 从而得到存在性. 因此, 我们认为本文的结果与方法可以应用于其它领域.

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