当用经典力学的理论来解释微观粒子的运动规律的时候, 常常会遇到困难. 例如, 根据卢瑟福的原子理论模型, 原子由原子核和电子组成, 电子绕着原子核作圆周运动. 但是如果仔细分析这个理论, 就会得到与实际不符的结论. 事实上, 电子在绕着原子核运动的时候会产生变化的电流, 而变化的电流会产生磁场, 变化的磁场进一步产生电场. 也就是说, 如果卢瑟福的原子理论模型成立的话, 原子会向外辐射电磁波, 从而使得电子的能量不断减少, 电子的能量不断减少将会导致电子落入原子核, 从而原子是不稳定的. 这明显与事实不符, 因为我们周围的物质基本上都是稳定的. 同理, 根据经典理论, 原子的谱线应该是连续的, 然而各种实验已经表明, 原子的谱线经常是离散的.

理论与现实的矛盾呼吁产生新的理论, 正是在这种背景下, 量子力学应运而生. 量子力学否认电子有连续轨道, 它认为$ t $时刻电子的态是某个函数空间中的函数$ \psi(x, t) $, $ \psi(x, t) $称为波函数, 现代量子力学将$ |\psi(x, t)|^2 $解释为在$ x $点处找到电子的概率密度. 此外, 为了解释原子的谱线是离散的这一事实, 量子力学将经典力学中的物理量定义为自共轭算子, 例如量子力学用$ -{\rm i}h\frac{\partial}{\partial t} $来表示能量, 用$ -{\rm i}h\nabla_x $来表示动量, 其中$ h $是普朗克常数.

在非相对论力学中, 物体的能量由动能和势能两部分组成, 写成方程是

$ E = \frac 1{2m}p^2+V(x), $

其中$ E $是物体的能量, $ m $是物体的质量, $ p $是物体的动量, $ V(x) $是物体的势能. 量子力学从这一恒等式出发, 用算子$ -{\rm i}h\frac{\partial}{\partial t} $来代替经典力学中的能量, 用算子$ -{\rm i}h\nabla_x $来代替经典力学中的动量, 从而得到下面的方程

$ -{\rm i}h\frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t} = -\frac {h^2}{2m}\Delta \psi(x, t)+V(x)\psi(x, t). $

上述方程称为Schrödinger方程, 它是量子力学的基本方程, 它在量子力学中的地位与牛顿第二定律在经典力学中的地位相当.

在上述方程中, 因为其波函数只有一个位置变量$ x $, 因此只能描述一个电子所组成的系统, 如氢原子或氦离子. 如果要描述多个电子和多个原子核组成的系统, 如分子, 则上述方程的右边应该修改为

$ H = -\sum\limits_{i = 1}^{n}\Delta_{x_i}+\sum\limits_{i = 1}^n V(x_i)+\sum\limits_{i<j}\frac 1{|x_i-x_j|}, $

其中$ H $是Hamilton能量, $ -\Delta_{x_i} $是第$ i $个电子的动能(为了叙述的方便, 我们假设普朗克常数和电子的质量为1), $ V(x_i) = -\sum\limits_{j = 1}^m \frac{Z_j}{|x_i-R_j|} $是第$ i $个电子与$ m $个原子核相互作用的Coulomb能量, 其中$ R_j\ (j = 1, 2, \cdots , m) $是第$ j $个原子核的位置, $ Z_j\ (j = 1, 2, \cdots , m) $是第$ j $个原子核的电荷数, $ \frac 1{|x_i-x_j|} $是电子之间的相互作用能. 上述方程虽然是线性方程, 但是如果我们研究的是有机物分子, 那么$ n $的数值将非常大, 因此直接求解也很困难. 正是因为上述原因, 物理学家通常不直接求解多体系统的Schrödinger方程, 而是采用逼近的方法. 常见的逼近方法中, 最简单的逼近是Hartree逼近, Hartree逼近假设电子之间是相互独立的, 即多体系统的波函数是每个电子的波函数的乘积

$ \Phi(x_1, x_2, \cdots , x_n) = \prod\limits_{i = 1}^{n}\varphi_i(x_i), $

其中$ \varphi_i\in L^2({{\Bbb R}} ^3), \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\varphi_i|^2\, {\rm d}x = 1 $. 在上述逼近下, 原来的能量化为

(1.1) $ \begin{equation} E^{H}(\varphi_1, \varphi_2, \cdots , \varphi_n) = \sum\limits_{i = 1}^n \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\nabla \varphi_i|^2+V|\varphi_i|^2\, {\rm d}x+\frac 12\sum\limits_{i\neq j}\int_{{{\Bbb R}} ^3}\int_{{{\Bbb R}} ^3}\frac{|\varphi_i(x)|^2|\varphi_j(y)|^2}{|x-y|}\, {\rm d}x{\rm d}y, \end{equation} $

因而对应的Euler-Lagrange方程为

(1.2) $ \begin{equation} -\Delta \varphi_i(x)+V\varphi_i(x)+\sum\limits_{i\neq j}(|\varphi_j(x)|^2*\frac 1{|x|})\varphi_i(x)+\varepsilon_i \varphi_i(x) = 0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^3, \quad i = 1, 2, \cdots , n. \end{equation} $

上述方程称为Hartree方程.

从上面的分析可以看出, 研究Hartree方程具有重要的物理意义. 在最近的一篇论文[1] 中, 杨健夫教授和余晓辉教授研究了全空间上的Hartree型方程

(1.3) $ \begin{eqnarray} -\Delta \varphi_i = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} ^N} \frac{f(\varphi_j(y))}{|x-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y g(\varphi_i(x)), \quad x\in{{\Bbb R}} ^N, \quad i = 1, 2, \cdots , n \end{eqnarray} $

非平凡正解的非存在性. 从椭圆方程先验界的角度来看, 为了用爆破方法得到有界区域上的方程解的先验界, 通常需要全空间上的Liouville型定理和半空间上的Liouville型定理, 详情可参考[2], 因此本文的主要目的就是研究半空间上的Hartree型方程

(1.4) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u_i(y) = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{\partial{{\Bbb R}} _+^N} \frac{ F(u_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}{\rm d}\bar xg(u_i(y)), &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ [4mm] \frac{\partial u_i}{\partial \nu}(\bar x, 0) = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} _+^N} \frac{G(u_j(y))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y f(u_i(\bar x, 0)), &(\bar x, 0)\in\partial {{\Bbb R}} _+^N \end{array} \right. \end{eqnarray} $

弱正解的非存在性结果. 为了叙述我们的结论, 我们先给出弱解的定义.

定义 1.1  设$ u_i(x)\in W_{loc}^{1, 2}({{\Bbb R}} _+^N) \cap C^0(\overline{{{\Bbb R}} _+^N}), i = 1, 2, \cdots , n $, 如果对任意的$ \varphi_i(x)\in C_0^\infty(\overline{{{\Bbb R}} _+^N}), $$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有

$ \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} _+^N}\nabla u_i(y)\nabla \varphi_i(y)\, {\rm d}y & = &\sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{j = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} _+^N} \int_{\partial{{\Bbb R}} _+^N} \frac{ F(u_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}{\rm d}\bar xg(u_i(y))\varphi_i(y)\, {\rm d}y \\ && +\sum\limits_{i = 1}^n\sum\limits_{j = 1}^n\int_{\partial {{\Bbb R}} _+^N}\int_{{{\Bbb R}} _+^N} \frac{G(u_j(y))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}} {\rm d}y f(u_i(\bar x, 0))\varphi_i(\bar x, 0){\rm d}\bar x, \end{eqnarray*} $

那么我们称$ (u_1, u_2, \cdots , u_n) $是Hartree方程(1.4)的弱解.

有了上面的准备工作, 我们就可以叙述我们的主要结果了.

定理 1.1  假定$ (u_1, u_2, \cdots , u_n) $是Hartree方程组(1.4)的非负弱解, $ N-2\leq \alpha <N $, 非线性项$ f, g, F, G:[0, +\infty)\to [0, +\infty) $连续且满足下面的假设

$ \rm(i) $函数$ f(t), g(t), F(t), G(t) $在$ (0, +\infty) $上单调递增;

$ \rm(ii) $函数$ h(t) = \frac{f(t)}{t^{\frac{\alpha}{N-2}}} $, $ k(t) = \frac{g(t)}{t^{\frac{2+\alpha}{N-2}}} $, $ H(t) = \frac{F(t)}{t^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}} $与$ K(t) = \frac{G(t)}{t^{\frac{N+\alpha}{N-2}}} $在$ (0, +\infty) $上单调递减;

$ \rm(iii) $$ h, k, H, K $四个函数中至少有一个在

$ { }(0, \sup\limits_{i = 1, 2, \cdots , n, x\in {{\Bbb R}} _+^N}u_i(x)) \; \; \mbox{或}\; \; { }(0, \sup\limits_{i = 1, 2, \cdots , n, \bar x\in \partial{{\Bbb R}} _+^N }u_i(\bar x)) $

上不为常数.

那么$ u_i\equiv c_i $, 且$ c_i $满足$ G(c_i) = F(c_i) = 0 $, $ i = 1, 2, \cdots , n $.

本文的后面部分主要是定理1.1的证明, 我们用移动平面法来证明我们的结果, 在过去的几十年中, 移动平面法已经广泛地应用于证明椭圆方程正解的非存在性结果, 详情可参考文献[3-8]. 我们用移动平面法来证明, 方程(1.4)的正解关于平行于$ x_N $轴的每一个平面都是对称的, 从而它的解只依赖$ x_N $, 因此原方程是一个常微分方程, 最后我们证明该常微分方程只有常数解. 传统的移动平面法的工具是椭圆方程的最大值原理, 但是对于我们的问题, 由于卷积项的影响, 直接应用最大值原理面临极大的困难. 此外, 我们定理的主要结果是说方程(1.4) 没有非负的弱解, 由于我们仅仅假设非线性项是连续的, 而非Lipschitz连续的, 因此通常来说, 方程(1.4) 的弱解不是光滑的, 因此不能直接应用通常的最大值原理. 为了克服上述困难, 我们用积分不等式代替最大值原理, 目前这种方法已经广泛应用于椭圆方程的移动平面法, 详情可参考文献[9-17].

在证明定理1.1的过程中, 我们需要用到半空间上的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式, 该不等式在文献[18]中由窦井波教授和朱梅俊教授给出. 该不等式的结论如下.

命题 1.1  假定$ 1<\alpha<N, 1<t, p<+\infty $, 且满足

$ \frac{N-1}{N}\cdot\frac 1p+\frac 1t+\frac{N-\alpha+1}{N} = 2, $

那么对任意的$ f\in L^p(\partial {{\Bbb R}} _+^N) $, $ g\in L^t({{\Bbb R}} _+^N) $, 存在只依赖$ N, \alpha, p $的最佳常数$ C_e(N, \alpha, p) $, 使得下面的不等式成立

(1.5) $ \begin{eqnarray} \int_{{{\Bbb R}} _+^N}\int_{\partial{{\Bbb R}} _+^N}\frac{g(x)f(y)}{|x-(y, 0)|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y{\rm d}x\leq C_e(N, \alpha, p)\|f\|_{L^p(\partial {{\Bbb R}} _+^N)}\|g\|_{L^t({{\Bbb R}} _+^N)}. \end{eqnarray} $

此外, 在文献[18]中, 作者还研究了最佳常数的可达性与达到函数的具体表达式.

本文剩余部分安排如下, 在第2节中, 我们证明一些积分不等式, 这些不等式是移动平面法的基础. 在第3节中, 我们用积分形式的移动平面法来证明定理1.1. 最后, 在第4节中, 我们简要介绍一下定理1.1的意义及其应用价值.

如前所述, 由于非局部项的影响, 直接对方程(1.4)应用移动平面法存在较大的困难, 为此我们先把方程(1.4)化为微分方程与积分方程组成的方程组. 我们定义

(2.1) $ \begin{equation} m_j(y) = \int_{\partial {{\Bbb R}} _+^N}\frac{F(u_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}\bar x, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} n_j(\bar x) = \int_{ {{\Bbb R}} _+^N}\frac{G(u_j(y))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y, \end{equation} $

那么方程(1.4)等价于下面的方程

(2.3) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u_i(y) = \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n m_j(y))g(u_i(y)\bigg), &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ [4mm] \frac{\partial u_i}{\partial \nu}(\bar x, 0) = \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n n_j(\bar x))f(u_i(\bar x, 0)\bigg), &(\bar x, 0)\in\partial {{\Bbb R}} _+^N, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ m_j, n_j $由方程(2.1)和方程(2.2)给出.

我们关键是要证明方程(2.3)的解关于平行于$ x_N $轴的每一个平面都是对称的, 由于我们不清楚方程的解在无穷远点的衰减性, 因此不能直接应用移动平面法. 为此, 我们不直接证明$ u_i, m_j, n_j $的对称性, 而是证明它们的Kelvin变换的对称性. 下面我们先定义$ u_i, m_j, n_j $的Kelvin变换. 对任意的$ x_p = (\bar x_p, 0)\in \partial {{\Bbb R}} _+^N $, 我们定义$ u_i, m_j, n_j $在$ x_p $点的Kelvin变换为

(2.4) $ \begin{eqnarray} v_i(x) = \frac 1{|x-x_p|^{N-2}}u_i(\frac {x-x_p}{|x-x_p|^2}+x_p), \quad w_j(x) = \frac 1{|x-x_p|^{N-\alpha}}m_j(\frac {x-x_p}{|x-x_p|^2}+x_p) \end{eqnarray} $

以及

(2.5) $ \begin{equation} z_j(\bar x) = \frac 1{|\bar x-\bar x_p|^{N-\alpha}}n_j(\frac {\bar x-\bar x_p}{|\bar x-\bar x_p|^2}+\bar x_p). \end{equation} $

从它们的定义可以推出, 当$ |x-x_p|\geq 1 $的时候,

(2.6) $ \begin{eqnarray} v_i(x)\leq \frac C{|x-x_p|^{N-2}}, \ w_j(x)\leq \frac C{|x-x_p|^{N-\alpha}}, \ z_j(\bar x)\leq \frac C{|\bar x-\bar x_p|^{N-\alpha}}, \end{eqnarray} $

但$ v_i, w_j, z_j $在$ x_p $处可能有奇性. 在下面的证明过程中, 我们可以不失一般性地假设$ x_p = 0 $. 直接计算可知, Kelvin变换以后的函数$ v_i, w_j, z_j $满足下面的方程

(2.7) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} w_j(y) = \int_{\partial {{\Bbb R}} _+^N}\frac{H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}\, {\rm d}\bar x, &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ z_j(\bar x) = \int_{ {{\Bbb R}} _+^N}\frac{K(|y|^{N-2}v_j(y))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(y)^{\frac{N+\alpha}{N-2}}{\rm d}y, &(\bar x, 0)\in \partial{{\Bbb R}} _+^N\setminus \{0\}, \\ -\Delta v_i(y) = \sum\limits_{j = 1}^n w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}, &y\in{{\Bbb R}} _+^N, \\ \frac{\partial v}{\partial \nu}(\bar x, 0) = \sum\limits_{j = 1}^n z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}, &(\bar x, 0)\in\partial {{\Bbb R}} _+^N\setminus\{0\}, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ H(t), K(t), h(t), k(t) $的定义由定理1.1中的假设(ii)给出.

有了Kelvin变换以后, 我们再引入移动平面过程中要用到的一些记号. 假定$ \lambda>0 $, 我们记$ \Sigma_\lambda = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N|x_1>\lambda\} $, $ \partial\Sigma_\lambda = \{x\in \partial{{\Bbb R}} _+^N|x_1>\lambda\} $, $ T_\lambda = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N|x_1 = \lambda\} $. 对任意的$ x\in \Sigma_\lambda $, 我们记$ x^\lambda $为$ x $关于平面$ T_\lambda $的反射点, 即$ x^\lambda = (2\lambda-x_1, x_2, \cdots , x_N) $. 最后, 为了方便起见, 我们记$ v^\lambda(x) = v(x^\lambda) $以及$ p^\lambda = (2\lambda, 0, \cdots , 0) $.

下面我们来估计$ w_j, z_j $在$ \Sigma_\lambda $中的函数值与它们的反射点的函数值之间的关系.

引理 2.1  对任意的$ \lambda>0 $, 我们记

(2.8) $ \begin{equation} \Sigma_\lambda^{v_i} = \{x\in \Sigma_\lambda| v_i(x)>v_i(x^\lambda)\}, \end{equation} $

(2.9) $ \begin{equation} \partial\Sigma_\lambda^{v_i} = \{x\in \partial\Sigma_\lambda| v_i(x)>v_i(x^\lambda)\}, \end{equation} $

那么对任意的$ y\in \Sigma_\lambda $以及$ (\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda\setminus \{(2\lambda, 0, \cdots , 0)\} $, 我们有下面的不等式

(2.10) $ \begin{equation} w_j(y)-w_j(y^\lambda)\leq \int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}H(|\bar x|^{N-2}v_j (\bar x, 0))[v_j(\bar x, 0)^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}-v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N-2+\alpha}{N-2}}]{\rm d}\bar x \end{equation} $

以及

(2.11) $ \begin{equation} z_j(\bar x)-z_j(\bar x^\lambda)\leq \int_{\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}K(|y|^{N-2}v_j(y))[v_j(y)^{\frac{N+\alpha}{N-2}}-v_j(y^\lambda)^{\frac{N+\alpha}{N-2}}]\, {\rm d}y. \end{equation} $

证  我们只证明不等式(2.10), 不等式(2.11)的证明是类似的. 首先, 我们有

(2.12) $ \begin{eqnarray} w_j(y)& = &\int_{\partial\Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x{}\\ &&+\int_{\partial \Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x^\lambda |^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{|(\bar x^\lambda, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x \end{eqnarray} $

以及

(2.13) $ \begin{eqnarray} w_j(y^\lambda)& = &\int_{\partial\Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|(\bar x, 0)-y^\lambda|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x{}\\ &&+\int_{\partial\Sigma_\lambda}\frac{H(|\bar x^\lambda |^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{|(\bar x^\lambda, 0)-y^\lambda|^{N-\alpha}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{\rm d}\bar x. \end{eqnarray} $

因为$ |(\bar x, 0)-y^\lambda | = |(\bar x^\lambda, 0)-y| $, $ |(\bar x, 0)-y| = |(\bar x^\lambda, 0)-y^\lambda| $, 所以我们由方程(2.12)和方程(2.13)得到

(2.14) $ \begin{eqnarray} w_j(y)-w_j(y^\lambda)& = &\int_{\partial \Sigma_\lambda}(\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}-\frac 1{|(\bar x, 0)-y^\lambda|^{N-\alpha}}) {}\\ &&\cdot[H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}-H(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}]{\rm d}\bar x. {}\\ \end{eqnarray} $

如果$ (\bar x, 0)\in \partial\Sigma_\lambda^{v_j} = \{(\bar x, 0)\in \partial\Sigma_\lambda|v_j(\bar x, 0)>v_j(\bar x^\lambda, 0)\} $, 那么我们有$ |\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0)>|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0) $. 由函数$ H(t) $的单调性可知

(2.15) $ \begin{eqnarray} H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))\leq H(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0)). \end{eqnarray} $

另一方面, 如果$ (\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda\setminus \partial\Sigma_\lambda^{v_j} $, 那么我们有

(2.16) $ \begin{eqnarray} H(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}} & = &\frac{F(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x, 0))}{|\bar x|^{N+\alpha-2}}{}\\ &\leq &\frac{F(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{|\bar x|^{N+\alpha-2}}{}\\ & = & \frac{F(|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{[|\bar x|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0)]^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{}\\ &\leq& \frac{F(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))}{[|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0)]^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}}v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}{}\\ & = & H(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_j(\bar x^\lambda, 0))v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}. \end{eqnarray} $

因此, 我们由方程(2.14)、(2.15)和方程(2.16)得到

(2.17) $ \begin{equation} w_j(y)-w_j(y^\lambda) \leq \int_{\partial\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}H(|\bar x|^{N-2} v_j(\bar x, 0))[v_j(\bar x, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}-v_j(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{N+\alpha-2}{N-2}}]{\rm d}\bar x. \end{equation} $

这就证明了不等式(2.10). 不等式(2.11)的证明与不等式(2.10)的证明类似, 因此我们省略.

下面我们证明一个关键的引理.

引理 2.2  在定理1.1的假设下, 如果我们按照上面的方式定义$ v_i, w_j, z_j\ (i, j = 1, 2, \cdots , n) $, 那么对任意固定的$ \lambda>0 $, $ v_i, $$ (v_i-v_i^\lambda)^+\in L^{2^*}(\Sigma_\lambda)\cap L^\infty(\Sigma_\lambda) $, 其中$ 2^* = \frac{2N}{N-2} $是通常的Sobolev指数. 此外, 如果我们按照方程(2.8)和方程(2.9)来定义$ \Sigma_\lambda^{v_i} $与$ \partial \Sigma_\lambda^{v_i} $, 那么存在关于$ \lambda $递减的常数$ C_\lambda>0 $, 使得下面的不等式成立

(2.18) $ \begin{eqnarray} \sum _{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x & \leq& C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0) \|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]{}\\ &&\cdot\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x\bigg). \end{eqnarray} $

证  首先, 因为$ \lambda>0 $, 所以存在$ r>0 $, 使得$ \Sigma_\lambda\subset {{\Bbb R}} _+^N\setminus B_r^+(0) $, 其中$ B_r^+(0) = \{x\in {{\Bbb R}} _+^N||x|<r\} $. 因此, 我们由$ v_i(x) $的定义以及它在无穷远点的衰减性得

$ v_i, (v_i-v_i^\lambda)^+\in L^{2^*}(\Sigma_\lambda)\cap L^\infty(\Sigma_\lambda)(i = 1, 2, \cdots , n). $

其次, 为了处理$ v_i(x), w_j(x) $以及$ z_j(\bar x) $在原点的可能奇性, 我们需要作适当的截断. 为此, 我们选取下面的径向截断函数$ \eta = \eta_\varepsilon\in C^1( {{\Bbb R}} _+^N, [0, 1]) $, 且它满足

$ \eta_\varepsilon(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, {\quad} & { } 2\varepsilon\leq |x-p^\lambda|\leq \frac 1\varepsilon, \\ 0, & { } |x-p^\lambda|<\varepsilon, \ |x-p^\lambda|> \frac 2\varepsilon. \end{array} \right. $

此外, 我们还要求当$ \varepsilon<|x-p^\lambda|<2\varepsilon $的时候, $ |\nabla \eta|\leq \frac 2\varepsilon $. 当$ \frac 1\varepsilon<|x-p^\lambda|<\frac 2\varepsilon $的时候, $ |\nabla \eta|\leq 2\varepsilon $. 容易验证, 满足上面条件的截断函数是存在的.

有了上面的截断函数以后, 我们定义$ \varphi_i = \varphi_i^\varepsilon = \eta^2_\varepsilon(v_i-v_i^\lambda)^+ $以及$ \psi_i = \psi_i^\varepsilon = \eta_\varepsilon(v_i-v_i^\lambda)^+ $, 那么我们由截断函数的定义可知, 函数$ \varphi_i $和$ \psi_i $在$ \Sigma_\lambda $内是有定义的. 此外, 通过一个简单的计算可知

$ |\nabla \psi_i|^2 = \nabla(v_i-v_i^\lambda)^+\nabla \varphi_i+[(v_i-v_i^\lambda)^+]^2|\nabla \eta|^2. $

有了上面的准备工作以后, 我们有下面的估计

(2.19) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Sigma_\lambda\cap \{2\varepsilon\leq |x-p^\lambda|\leq \frac 1\varepsilon\}}|\nabla(v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x {}\\ &\leq& \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}|\nabla \psi_i(x)|^2\, {\rm d}x \leq \int_{\Sigma_\lambda}\nabla(v_i-v_i^\lambda)\nabla \varphi_i\, {\rm d}x+\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}[(v_i-v_i^\lambda)^+]^2|\nabla\eta_\varepsilon|^2\, {\rm d}x {}\\ & = & \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}-\Delta(v_i-v_i^\lambda)\varphi_i(y)\, {\rm d}y+\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}\frac{\partial (v_i-v_i^\lambda)}{\partial \nu}\varphi_i(\bar x, 0)\, {\rm d}\bar x+I_\varepsilon^i {}\\ & = & \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} \bigg[\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n w_j(y)\bigg)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &&- \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n w_j(y^\lambda)\bigg)k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg] [v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+ \eta_{\varepsilon}^2\, {\rm d}y {}\\ &&+\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}} \bigg [\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n z_j(\bar x)\bigg)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^ {\frac{\alpha}{N-2}}{}\\ &&-\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n z_j (\bar x^\lambda)\bigg)h(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_i(\bar x^\lambda, 0))v_i (\bar x^\lambda, 0)^{\frac {\alpha}{N-2}}\bigg] [v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0)]^+\eta_{\varepsilon}^2\, {\rm d}\bar x +I_\varepsilon^i{}\\ & = &I+II+I_\varepsilon^i, \end{eqnarray} $

其中$ I_\varepsilon^i = \int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}[(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^2|\nabla\eta_\varepsilon|^2\, {\rm d}y $.

我们先来估计积分$ I $. 首先我们注意到, 在积分区域$ \Sigma_\lambda^{v_i} $内, $ v_i(y)>v_i(y^\lambda) $. 因此, 由$ |y|>|y^\lambda| $以及$ k $的单调性可知

$ k(|y|^{N-2}v_i(y))\leq k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda)). $

我们再把积分区域$ \Sigma_\lambda^{v_i} $分成两部分, 第一部分是$ D_{ij}^1 = \{y\in\Sigma_\lambda^{v_i}|w_j(y)>w_j(y^\lambda)\} $, 第二部分是$ D_{ij}^2 = \{y\in\Sigma_\lambda^{v_i}|w_j(y)\leq w_j(y^\lambda)\} $. 当$ y\in D_{ij}^1 $的时候, 我们有

(2.20) $ \begin{eqnarray} &&w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}- w_j(y^\lambda)k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ & = &[w_j(y)-w_j(y^\lambda)]k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}} {}\\ &&+w_j(y^\lambda)[k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}-k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}]{}\\ &\leq& [w_j(y)-w_j(y^\lambda)]k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}} {}\\ &&+w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))[v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}-v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}]. \end{eqnarray} $

当$ y\in D_{ij}^2 $的时候, 我们有

(2.21) $ \begin{eqnarray} &&w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}- w_j(y^\lambda)k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &\leq &w_j(y)[k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}-k(|y^\lambda|^{N-2}v_i(y^\lambda))v_i(y^\lambda)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}]{}\\ & \leq& w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))[v_i(y)^{\frac {2+\alpha}{N-2}}-v_i(y^\lambda)^{\frac {2+\alpha}{N-2}}]. \end{eqnarray} $

用类似的方法, 我们可以估计积分$ II $. 首先我们注意到, 当$ (\bar x, 0)\in\partial\Sigma_\lambda^{v_i} $的时候, 由$ h $的单调性假设有

$ h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))\leq h(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_i(\bar x^\lambda, 0)). $

然后, 我们按照前面的方法, 把$ \partial \Sigma_\lambda^{v_i} $分成$ D_{ij}^3\cup D_{ij}^4 $, 其中$ D_{ij}^3 = \{(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda^{v_i}|z_j(\bar x)>z_j(\bar x^\lambda)\} $, $ D_{ij}^4 = \{(\bar x, 0)\in \partial \Sigma_\lambda^{v_i}|z_j(\bar x)\leq z_j(\bar x^\lambda)\} $. 按照上面类似的方法可以证明, 当$ (\bar x, 0)\in D_{ij}^3 $的时候, 我们有

(2.22) $ \begin{eqnarray} &&z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}- z_j(\bar x^\lambda)h(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_i(\bar x^\lambda, 0))v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}{}\\ & \leq &h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))\{z_j(\bar x)[v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}-v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac \alpha{N-2}}]+v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}[z_j(\bar x)-z_j(\bar x^\lambda)]\}.{\qquad} \end{eqnarray} $

而当$ (\bar x, 0)\in D_{ij}^4 $的时候, 我们有下面的不等式

(2.23) $ \begin{eqnarray} &&z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}- z_j(\bar x^\lambda)h(|\bar x^\lambda|^{N-2}v_i(\bar x^\lambda, 0))v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}{}\\ &\leq& z_j(\bar x)h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))[v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}-v_i(\bar x^\lambda, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}]. \end{eqnarray} $

将不等式(2.20)、(2.21)、(2.22)和不等式(2.23)代入不等式(2.19), 我们得到

(2.24) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Sigma_\lambda\cap \{2\varepsilon\leq |x-p^\lambda|\leq \frac 1\varepsilon\}}|\nabla(v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &\leq & I_\varepsilon^i+C\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} \bigg(\sum\limits_{j = 1}^nw_j(y)\bigg)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}} [(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^2\eta_\varepsilon(y)^2\, {\rm d}y{}\\ &&+C\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}} \bigg[\sum\limits_{j = 1}^n(w_j(y)-w_j(y^\lambda))^+\bigg][v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\eta_\varepsilon(y)^2\, {\rm d}y{}\\ &&+ C\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0)) \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n z_j(\bar x)\bigg)v_i(\bar x, 0)^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}[(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+]^2\eta_\varepsilon(\bar x, 0)^2\, {\rm d}\bar x{}\\ && +C\int_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}}h(|\bar x|^{N-2}v_i(\bar x, 0))v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha {N-2}} \bigg[\sum\limits_{j = 1}^n (z_j(\bar x)-z_j(\bar x^\lambda))^+\bigg]{}\\ &&\cdot[v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0)]^+\eta_\varepsilon(\bar x, 0)^2\, {\rm d}\bar x{}\\ & = & I_\varepsilon^i+\sum\limits_{j = 1}^n[A_{ij}+B_{ij}+C_{ij}+D_{ij}]. \end{eqnarray} $

我们断言对任意的$ i $, 当$ \varepsilon\to 0 $的时候, 都有$ I_\varepsilon^i\to 0 $. 事实上, 如果我们记$ D_\varepsilon^1 = \{x\in \Sigma_\lambda|\varepsilon<|x-p^\lambda|<2\varepsilon\} $, $ D_\varepsilon^2 = \{x\in \Sigma_\lambda|\frac 1\varepsilon<|x-p^\lambda|<\frac 2\varepsilon\} $, 那么我们有

$ \int_{D_\varepsilon^1}|\nabla \eta|^N\, {\rm d}x\leq C\frac 1{\varepsilon^N}\cdot \varepsilon^N = C. $

同理, 我们有

$ \int_{D_\varepsilon^2}|\nabla \eta|^N\, {\rm d}x\leq C\varepsilon^N\cdot \frac 1{\varepsilon^N} = C. $

因此, 当$ \varepsilon \to 0 $的时候, 我们可由Hölder不等式以及$ [v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\in L^{2^*}(\Sigma_\lambda) $推出

$ I_\varepsilon^i\leq \bigg(\int_{D_\varepsilon^1\cup D_\varepsilon^2}[(v_i-v_i^\lambda)^+]^{2^*}\, {\rm d}x\bigg)^{\frac 2{2^*}} \bigg(\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla \eta|^N\, {\rm d}x\bigg)^{\frac 2N} \to 0. $

我们再来估计积分$ A_{ij}, B_{ij}, C_{ij}, D_{ij} $. 对于积分$ A_{ij} $, 我们由函数$ k $的单调性与函数$ v_i $的衰减性得到, 存在关于$ \lambda $递减的常数$ C_\lambda>0 $, 使得

(2.25) $ \begin{eqnarray} A_{ij}&\leq& C_\lambda\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}w_j(y)v_i(y)^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}[(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^2\, {\rm d}y{}\\ &\leq& C_\lambda \bigg(\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}w_j(y)^{\frac{2N}{N-\alpha}}\, {\rm d}y\bigg)^{\frac{N-\alpha}{2N}} \bigg (\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(y)^{\frac{2N}{N-2}}\, {\rm d}y\bigg)^{\frac{4+\alpha-N}{2N}}{}\\ &&\cdot \bigg(\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}} [(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+]^{\frac{2N}{N-2}}\bigg)^{\frac{N-2}{N}}. \end{eqnarray} $

类似的, 利用引理2.1, 命题1.1和Hölder不等式, 我们可以估计$ B_{ij} $

(2.26) $ \begin{eqnarray} B_{ij}&\leq& C_\lambda\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[w_j(y)-w_j(y^\lambda)]^+[v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\, {\rm d}y{}\\ &\leq& C_\lambda\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}\int_{\partial\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac{1}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}{}\\ &&\cdot [v_j(\bar x, 0)-v_j(\bar x^\lambda, 0)]^+\, {\rm d}\bar x v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\, {\rm d}y{}\\ &\leq& C_\lambda\|v_j(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}(v_j(\bar x, 0)-v_j(\bar x^\lambda, 0))^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2+\alpha}} (\partial \Sigma_\lambda^{v_j})} {}\\ &&\cdot \|v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[v_i(y)-v_i(y^\lambda)]^+\|_{L^{\frac{2N}{N+\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}{}\\ &\leq& C_\lambda \|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\|(v_j(\bar x, 0)-v_j(\bar x^\lambda, 0))^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}{}\\ &&\cdot\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\|(v_i(y)-v_i(y^\lambda))^+\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}. \end{eqnarray} $

我们接着估计积分$ C_{ij} $, 由Hölder不等式得到

(2.27) $ \begin{eqnarray} C_{ij}&\leq& C_\lambda\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}z_j(\bar x)v_i(\bar x, 0)^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}[(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+]^2\, {\rm d}\bar x{}\\ &\leq& C_\lambda \bigg(\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}} z_j(\bar x)^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}\, {\rm d}\bar x\bigg)^{\frac{N-\alpha}{2(N-1)}} \bigg(\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(\bar x, 0)^{\frac{2(N-1)}{N-2}}\, {\rm d}\bar x\bigg)^{\frac{2+\alpha-N}{2(N-1)}}{}\\ &&\cdot\bigg(\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}} [(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+]^{\frac{2(N-1)}{N-2}}\, {\rm d}\bar x \bigg)^{\frac{N-2}{N-1}}. \end{eqnarray} $

最后, 我们来估计积分$ D_{ij} $, 由引理2.1, 命题1.1与Hölder不等式, 我们得到

(2.28) $ \begin{eqnarray} D_{ij}&\leq &C_\lambda\int_{\partial \Sigma_\lambda^{v_i}}v_i(\bar x, 0)^{\frac \alpha{N-2}}\int_{\Sigma_\lambda^{v_j}}\frac 1{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}v_j(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &&\cdot[v_j(y)-v_j(y^\lambda)]^+\, {\rm d}y[v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0)]^+\, {\rm d}\bar x{}\\ &\leq& C_\lambda \|v_i(\bar x, 0)^{\frac{\alpha}{N-2}}[v_i(\bar x, 0)-v(\bar x^\lambda, 0)]^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N+\alpha-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_i})}{}\\ &&\cdot\|v_j(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}}[v_j(y)-v_j(y^\lambda)]^+\|_{L^{\frac{2N}{N+\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_j})}{}\\ &\leq& C_\lambda\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac \alpha{N-2}}\|(v_i(\bar x, 0)-v_i(\bar x^\lambda, 0))^+\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_i})}{}\\ &&\cdot\|v_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\|(v_j(y)-v_j(y^\lambda))^+\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_j})}. \end{eqnarray} $

将不等式(2.25)–(2.28)代入不等式(2.24), 然后令$ \varepsilon\to 0 $, 利用控制收敛定理, Sobolev不等式以及Sobolev迹不等式得到

(2.29) $ \begin{eqnarray} &&\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ & \leq &C_\lambda \bigg [\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg] \cdot\int_{\Sigma_\lambda^{v_i}}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &&+C_\lambda\bigg (\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}} (\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\|\nabla (v_j-v_j^\lambda)^+\|_{L^2( \Sigma_\lambda^{v_j})}\bigg) \|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}} (\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}{}\\ &&\cdot\|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+\|_{L^2(\Sigma_\lambda^{v_i})} {}\\ &&+C_\lambda \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})} \bigg) \|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}} \cdot\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &&+C_\lambda \bigg(\sum\limits_{j = 1}^n \|v_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}} (\Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\|\nabla (v_j-v_j^\lambda)^+\|_{L^2(\Sigma_ \lambda^{v_j})}\bigg)\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac \alpha{N-2}}{}\\ &&\cdot\|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+\|_{L^2(\Sigma_\lambda^{v_i})}. \end{eqnarray} $

最后, 我们把不等式(2.29)关于$ i $求和就得到

(2.30) $ \begin{eqnarray} &&\sum _{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x{}\\ &\leq &C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ & &+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg] {}\\ &&\cdot\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x\bigg). \end{eqnarray} $

这样我们就完成了引理的证明.

在继续证明定理1.1之前, 我们先对上述两个引理作一点评论. 我们在引言中已经提到, 由于非局部项的影响以及非线性项仅仅是连续的, 因此通常的最大值原理不好应用. 幸好我们有引理2.1与引理2.2, 它们所起的作用和最大值原理所起的作用是一样的. 事实上, 如果我们可以证明

(2.31) $ \begin{eqnarray} & & C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ & &+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]<1, \end{eqnarray} $

那么我们由引理2.2可以推出$ \sum\limits_{i = 1}^n\int_{\Sigma_\lambda}|\nabla (v_i-v_i^\lambda)^+|^2\, {\rm d}x = 0 $, 即在$ \Sigma_\lambda $中有$ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $. 把这个结果代入引理2.1, 就得到$ w_i\leq w_i^\lambda, z_i\leq z_i^\lambda $. 也就是说, 我们得到了与最大值原理相同的结果.

有了上面的积分不等式, 我们就可以用移动平面法来证明定理1.1了. 移动平面法的第一步是说, 平面可以从较远的某个地方开始移动. 更确切地说, 我们有下面的引理.

引理 3.1  在定理1.1的假设下, 存在常数$ \lambda_0>0 $, 使得对任意的$ \lambda\geq \lambda_0 $, $ y\in\Sigma_\lambda, \bar x\in\partial \Sigma_\lambda $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda), v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda) $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $.

证  我们用引理2.1与引理2.2来证明我们的结果. 事实上, 由$ w_i(y), v_i(y) $和$ z_i(\bar x) $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $的衰减性可知, 存在充分大的$ \lambda_0>0 $, 使得当$ \lambda>\lambda_0 $的时候, 下面的不等式成立

(3.1) $ \begin{eqnarray} & & C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ & &+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg)\bigg (\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]<\frac 1 2. \end{eqnarray} $

将这一不等式代入引理2.2就得到, 对任意的$ y\in\Sigma_\lambda $以及任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有$ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $. 再把这一结果代入引理2.1就得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in \Sigma_\lambda $以及$ \bar x\in\partial \Sigma_\lambda $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda) $.

下面我们从右至左移动平面$ T_{\lambda_0} $, 假定这一过程在$ \lambda_1 $的地方停止. 即按照下面的方式定义$ \lambda_1 $

$ \begin{eqnarray*} \lambda_1& = & \inf\Big\{\lambda|w_i(y)\leq w_i(y^{\bar\lambda}), \ v_i(y)\leq v_i(y^{\bar\lambda}), \ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^{\bar\lambda}), \\ &&{\qquad} \forall y\in\Sigma_{\bar\lambda}, \ \bar x\in\partial\Sigma_{\bar\lambda}, \forall \bar\lambda\geq \lambda, i = 1, 2, \cdots , n\Big\}, \end{eqnarray*} $

那么我们有下面的结果.

引理 3.2  如果$ \lambda_1>0 $, 那么对任意的$ y\in\Sigma_{\lambda_1}, \bar x\in\partial \Sigma_{\lambda_1} $以及$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有$ w_i(y)\equiv w_i(y^{\lambda_1}), \ v_i(y)\equiv v_i(y^{\lambda_1}) $以及$ z_i(\bar x)\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1}) $.

证  我们用反证法来证明这个引理. 反设如果存在$ i\in\{1, 2, \cdots , n\} $, 使得$ w_i(y)\not\equiv w_i(y^{\lambda_1}) $或$ v_i(y)\not\equiv v_i(y^{\lambda_1}) $或$ z_i(\bar x)\not\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1}) $, 那么我们断言平面$ T_{\lambda_1} $可以向左边再移动一点点, 即存在$ \delta_0>0 $, 使得对任意的$ \lambda\in [\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, $ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in\Sigma_\lambda $以及$ \bar x\in\partial \Sigma_\lambda $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda), \ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda) $. 这与$ \lambda_1 $的定义矛盾, 因此反设不成立, 即引理得证. 下面我们来证明上述断言.

首先, 我们由$ w_i, v_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $关于$ \lambda $的连续性可知, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in\Sigma_{\lambda_1} $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^{\lambda_1} ), \ v_i(y)\leq v_i(y^{\lambda_1}) $, 以及对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ \bar x\in\partial \Sigma_{\lambda_1} $, 都有$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^{\lambda_1}) $. 其次, 由$ g $和$ k $的单调性假设, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} w_j(y)k(|y|^{N-2}v_i(y))v_i(y)^{\frac{2+\alpha}{N-2}} & = & w_j(y) \frac{g(|y|^{N-2}v_i(y))}{|y|^{2+\alpha}}\\ &\leq & w_j(y^{\lambda_1}) \frac{g(|y|^{N-2}v_i(y^{\lambda_1}))}{|y|^{2+\alpha}}\\& = & w_j(y^{\lambda_1}) \frac{g(|y|^{N-2}v_i(y^{\lambda_1}))}{[|y|^{N-2}v_i(y^{\lambda_1})]^{\frac{2+\alpha}{N-2}}}v_i(y^{\lambda_1})^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\\&\leq &w_j(y^{\lambda_1}) \frac{g(|y^{\lambda_1}|^{N-2}v_i(y^{\lambda_1}))}{[|y^{\lambda_1}|^{N-2}v_i(y^{\lambda_1})]^{\frac{2+\alpha}{N-2}}}v_i(y^{\lambda_1})^{\frac{2+\alpha}{N-2}} \\& = & w_j(y^{\lambda_1})k(|y^{\lambda_1}|^{N-2}v_i(y^{\lambda_1}))v_i(y^{\lambda_1})^{\frac{2+\alpha}{N-2}}, \end{eqnarray*} $

即在$ \Sigma_{\lambda_1} $中

$ -\Delta v_i(y)\leq -\Delta v_i(y^{\lambda_1}). $

因为存在$ i = 1, 2, \cdots , n $, 使得$ w_i(y)\not\equiv w_i(y^{\lambda_1}) $或$ v_i(y)\not\equiv v_i(y^{\lambda_1}) $或$ z_i(\bar x)\not\equiv z_i(\bar x^{\lambda_1}) $, 所以我们由强最大值原理得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ y\in\Sigma_{\lambda_1} $, 都有$ v_i(y)< v_i(y^{\lambda_1}) $. 这进一步推出, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, 都有$ w_i(y)< w(y^{\lambda_1} ) $以及$ z_i(\bar x)< z_i(\bar x^{\lambda_1}) $, 其中$ y\in\Sigma_{\lambda_1} $, $ \bar x\in\partial\Sigma_{\lambda_1} $.

另一方面, 当$ \lambda\to\lambda_1 $的时候, $ \frac 1{|x|^{2N}}\chi_{ \Sigma_\lambda^{v_i}} $几乎处处收敛到$ 0 $, $ \frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}} $几乎处处收敛到$ 0 $. 并且存在$ \delta_1>0 $, 使得当$ \lambda\in [\lambda_1-\delta_1, \lambda_1] $的时候, $ \frac 1{|x|^{2N}}\chi_{\Sigma_\lambda^{v_i}}\leq \frac 1{|x|^{2N}}\chi_{\Sigma_{\lambda_1-\delta_1}^{v_i}} $, $ \frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_\lambda^{v_i}}\leq \frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\chi_{\partial\Sigma_{\lambda_1-\delta_1}^{v_i}} $, 因此由控制收敛定理得到, 当$ \lambda\to \lambda_1 $的时候

$ \int_{\Sigma_{\lambda}^{v_i}}\frac 1{|x|^{2N}}\, {\rm d}x\to 0, \; \; \; \; \int_{\partial \Sigma_{\lambda}^{v_i}}\frac 1{|\bar x|^{2(N-1)}}\, {\rm d}\bar x\to 0. $

最后, 由$ w_i(y), v_i(y) $和$ z_j(\bar x) $的衰减性可知, 存在$ \delta_0>0 $, 使得对所有的$ \lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, 下面的不等式成立

(3.2) $ \begin{eqnarray} && C_\lambda \bigg[\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|w_j(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-\alpha}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) \bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|^{\frac{4+\alpha-N}{N-2}}_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{j = 1}^n\|v_j(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial \Sigma_\lambda^{v_j})}^{\frac \alpha{N-2}}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(y)\|_{L^{\frac{2N}{N-2}}(\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha}{N-2}}\bigg) {}\\ &&+\bigg(\sum\limits_{i, j = 1}^n\|z_j(\bar x)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-\alpha}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}\bigg)\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n\|v_i(\bar x, 0)\|_{L^{\frac{2(N-1)}{N-2}}(\partial\Sigma_\lambda^{v_i})}^{\frac{2+\alpha-N}{N-2}}\bigg)\bigg]<\frac 1 2. \end{eqnarray} $

因此, 我们由引理2.2得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ \lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, 都有$ v_i(y)\leq v_i(y^\lambda)(y\in \Sigma_\lambda) $. 最后, 我们由引理2.1得到, 对任意的$ i = 1, 2, \cdots , n $, $ \lambda\in[\lambda_1-\delta_0, \lambda_1] $, 都有$ w_i(y)\leq w_i(y^\lambda)(y\in \Sigma_\lambda) $以及$ z_i(\bar x)\leq z_i(\bar x^\lambda)(\bar x\in\partial\Sigma_\lambda) $. 这样我们就完成了断言的证明.

命题 3.1  假定$ u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $是微分-积分方程组(2.1)–(2.3)的非负弱解, 非线性项满足定理1.1中的假设, 那么对任意的$ p\in \partial{{\Bbb R}} ^{N}_+ $, 如果我们记$ v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $是$ u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $在$ p $点的Kelvin变换, 那么$ v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $关于任意经过$ p $点且平行于$ x_N $轴的平面对称.

证  本命题是引理3.1和3.2的推论, 其证明过程与文献[9-12]中的证明类似, 我们略去具体证明, 详情可参考上述文献.

最后, 我们来证明定理1.1.

证  由命题3.1可知, 对任意的$ p\in \partial{{\Bbb R}} _+^N $, $ u_i, m_i, n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $在$ p $点的Kelvin变换$ v_i, w_i, z_i(i = 1, 2, \cdots , n) $, 关于经过$ p $点且与$ x_N $轴平行的平面对称. 又因为$ p $是任意的, 所以我们得到$ u_i, m_i(i = 1, 2, \cdots , n) $只依赖$ x_N $, 且$ n_i(i = 1, 2, \cdots , n) $是常数. 从而方程组(1.4)化为下面的方程组

$ \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{{\rm d}^2u_i(y_N)}{{\rm d}y_N^2} = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{\partial {{\Bbb R}} _+^N} \frac{ F(u_j(0))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}{\rm d}\bar xg(u_i(y_N)), &y_N>0, \\ [4mm] -\frac{\partial u_i}{\partial x_N}(0) = \sum\limits_{j = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} _+^N} \frac{G(u_j(y_N))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y f(u_i(0)). \end{array} \right. $

由第一个方程可知, $ u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n) $是$ x_N $的凹函数. 从第二个方程可知

$ \frac{{\rm d} u_i}{{\rm d} x_N}(0) = -\sum\limits_{j = 1}^n\int_{{{\Bbb R}} _+^N} \frac{G(u_j(y_N))}{|(\bar x, 0)-y|^{N-\alpha}}\, {\rm d}y f(u_i(0))\leq 0. $

所以除非$ u_i\equiv c_i $且$ F(c_i) = G(c_i) = 0 $, 那么$ u_i $关于$ x_N $严格单调递减. 如果$ u_i\equiv c_i $$ (i = 1, 2, \cdots , n) $, 那么我们就证明了我们的定理. 另一方面, 如果$ u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n) $关于$ x_N $严格递减, 那么由它的凹性可知, 当$ x_N $充分大的时候, $ u_i(x_N)<0 $, 这与$ u_i $的非负性矛盾, 因此这种情况不会发生. 所以我们得到$ u_i\ (i = 1, 2, \cdots , n) $为常数. 这样我们就完成了定理1.1的证明.

本文研究了半空间上的Hartree方程非平凡正解的非存在性结果, Hartree方程在量子力学、统计物理和凝聚态物理中有着重要的应用, 因此研究Hartree方程解的存在性结果与非存在性结果有着重要的意义. 本文的结果结合杨健夫教授与余晓辉教授在全空间上的Liouville定理, 可以用来证明有界区域上的非局部方程解的先验估计, 从而得到存在性. 因此, 我们认为本文的结果与方法可以应用于其它领域.