本文研究如下具有非线性阻尼的非自治Navier-Stokes-Voigt(NSV)方程的初边值问题

其中$\Omega\subset {{\Bbb R}} ^3$是一个具有光滑边界$\partial\Omega$的有界区域, $\alpha$表示流体的张力系数, $\nu>0$表示流体的运动粘性系数, $\mu>0$和$\beta\geqslant1$都是常数, $p$表示压力, $f(t)$表示流体所受到的外力.

当阻尼常数$\mu = 0$时, 问题(1.1) 简化为经典的NSV方程

在研究Kelvin-Voigt粘弹性不可压缩流体的运动模型时, Oskolkov^[1]首次提出了NSV方程. NSV方程也可以看作是三维Navier-Stokes(NS)方程的正则化, 用于直接数值模拟^[2].

研究NSV方程解的渐近行为一直是一个很有趣的课题. 当流体运动不受外力作用(即$f = 0$) 时, Kalantarov和Titi^[3] 应用算子半群分解方法证明了有限维整体吸引子的存在性. Kalantarov等^[4]研究了吸引子的Gevrey正则性.

对于非自治情形, Yue和Zhong^[5]利用Stokes算子的分数次幂算子和分解方法, 通过一些渐近正则估计研究了一致吸引子在空间$V$的存在性. Dou等^[6] 利用压缩函数非自治NSV方程拉回吸引子的存在性. 基于缓增集合域的表示, Garcéa等^[7] 利用能量法得到了紧致或固定的拉回吸引子族. Zelati和Gal^[8] 证明了用3D-Grashof数描述的有限维整体吸引子和指数吸引子的最优正则性. 当$\alpha\rightarrow 0$时, 他们证明了三维NSV方程的弱整体吸引子收敛到三维经典NS方程的弱整体吸引子. 通过定义一个适当包含Kelvin-Voigt阻尼的能量空间, Yang等^[9]建立了NSV方程在能量空间中正则强一致吸引子的存在性, 并且给出了一致吸引子的一般结构描述. 关于NSV方程在无界域中解的衰减、正则性、极限行为和长时间行为的结果, 请参考文献[10-15]及其中的参考文献.

当张力系数$\alpha = 0$时, (1.1) 约化为具有阻尼的NS方程

近十余年来, 人们广泛研究了方程(1.3) 弱解的唯一性、正则性、渐近行为以及强解的全局存在性. Cai和Jiu^[16] 证明了: 当$\beta\geqslant1$时, 方程(1.3) 具有整体弱解; 当$\beta\geqslant\frac{7}{2}$时, 方程(1.3) 具有整体强解; 当$\frac{7}{2}\leqslant\beta\leqslant 5$时, 方程(1.3) 的强解是唯一的. 随后, Zhang等^[17] 改进了文献[16] 中的结果, 当$\beta>3$时, 他们证明了强解的整体存在性, 当$3<\beta\leqslant5$时, 他们证明了强解的唯一性. Zhou^[18] 改进了文献[16] 中的结果: 当$\beta\geqslant3$时, 强解是整体存在的; 当$\beta\geqslant1$时, 强解在弱解中是唯一的；当$1\leqslant\beta<3$时, 建立了解的正则性准则. 文献[19-20] 研究了解的$L^2$ -衰减估计. 当$\frac{7}{2}\leqslant\beta\leqslant5$时, Song和Hou在文献[21] 和^[22] 中分别证明了强解的整体吸引子和一致吸引子的存在性. 当$3<\beta\leqslant5$时, Song等^[23] 证明了拉回吸引子在空间$H_0^1(\Omega)$和$H^2(\Omega)$中的存在性. Pardo等^[24] 证明了弱解整体吸引子的存在性. Li和You^[25] 证明了拉回指数吸引子的存在性和有限维数. Liu等^[26] 研究了乘积噪声驱动下具有阻尼的随机三维NS方程的指数行为和稳定性.

最近, Plinio等^[27]提出了具有记忆和Ekman阻尼的三维NSV方程

他们证明了具有有限分形维数正则指数吸引子的存在性. Wang和Qin^[28] 研究了如下具有记忆和非线性阻尼的三维NSV方程

他们得到了整体吸引子, 指数吸引子以及当$\epsilon\rightarrow0$时, 吸引子的收敛性. 值得注意的是: 当核函数$g$取成Dirac函数时, 方程(1.4) 和(1.5) 退化成问题(1.1). 当问题(1.1) 不受外力干扰($f = 0$)时, 文献[29] 研究了Cauchy问题弱解的$H^1$衰减.

在上述文献的启发下, 本文研究问题(1.1) 解的长时间行为. 假设外力满足缓增条件, 借助文献[7, 30] 中使用的能量方法证明了问题(1.1) 拉回吸引子的存在性.

定义

其中$\text{cl}_{X}$表示$X$中的闭包.

用$(\cdot, \cdot)$和$|\cdot|_2$分别表示$H$上的内积和范数, $((\cdot, \cdot))$和$\|\cdot\|$分别表示空间$V$上的内积和范数. 用$\|\cdot\|_*$表示$V'$的范数, $\langle\cdot\rangle$表示$V$和$V'$对偶积, $|\cdot|_p$表示${\bf L}^p(\Omega) = (L^p(\Omega))^3$的范数.

定义表示Stokes算子$A$

其中$D(A) = (H^2(\Omega))^3\cap V$, ${\cal P}$是Leray算子, 即从$(L^2(\Omega))^3$到$H$的投影算子. $\lambda_1>0$是算子$A$的第一特征值.

定义三线性形式$b(\cdot, \cdot, \cdot)$

容易证明

定义$B:\ V\times V\rightarrow V'$是一个双线性算子

特别地, $b$是$V\times V\times V$一个连续的三线性形式, 即存在一个常数$C>0$使得

在本文中, $C$表示一般常数.

接下来, 我们回顾拉回吸引子的定义和一些抽象的理论结果. 有关更多详细内容, 请参阅文献[31-32] 及其中的参考文献.

考虑一个给定的度量空间$(X, d_X)$, 记${{\Bbb R}} ^2_d = \{(t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2:\tau\leqslant t\}$.

$X$上的过程$U$ (也被称为一个双参数半群)是一个映射${{\Bbb R}} _d^2\times X\ni(t, \tau, x)\mapsto U(t, \tau)x\in X$使得对所有的$x\in X$有

(ⅰ) $\ U(t, \tau)x = x$, $\forall(t, \tau)\in {{\Bbb R}} \times X$,

(ⅱ) $\ U(t, s)(U(s, r)x) = U(t, r)x$, $r\leqslant s\leqslant t$.

定义2.1   (1) 一个过程$U$在$X$上被称为连续的, 如果对任意的对$(t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2_d$, 映射$U(t, \tau):X\rightarrow X$是连续的;

(2) 一个过程$U$在$X$上被称为强-弱连续的, 如果对任意的对$(t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2_d, \ \{x_n\}\subset X$, 若$x_n\rightarrow x$, 则$U(t, \tau)x_n\rightharpoonup U(t, \tau)x$;

(3) 一个过程$U$在$X$上被称为闭的, 如果对任意的对$(t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2_d$和序列$\{x_n\}\subset X$, 当$x_n\rightarrow x\in X$和$U(t, \tau)x_n\rightarrow y\in X$时, $U(t, \tau)x = y$.

显然, 每一个连续过程都是强-弱连续的, 每一个强-弱连续过程都是闭的.

令${\cal P}(X)$表示$X$中的所有非空子集族, 考虑时间参数族$\widehat{D} = \{D(t):t\in R\}\subset {\cal P}(X)$的非空类${\cal D}$和一族非空子集$\widehat{D_0} = \{D_0(t):t\in R\}\subset {\cal P}(X)$.

定义2.2  一个$X$上的过程$U$被称为拉回${\cal D}$ -渐近紧的, 如果对任意的$t\in {{\Bbb R}}$, $\widehat{D}\in {\cal D}$和任意的序列$\{\tau_n\}\subset(-\infty, t]$和$\{x_n\}\subset X$满足$\tau_n\rightarrow -\infty$和对所有的$n$有$x_n\in D(\tau_n)$, 序列$\{U(t, \tau_n)x_n\}$在$X$中是相对紧的.

定义2.3   称集族$\widehat{D_0} = \{D_0(t):t\in {{\Bbb R}} \}\subset {\cal P}(X)$对$X$上的过程$U$是拉回${\cal D}$ -吸收的, 如果对任意的$t\in {{\Bbb R}}$和$\widehat{D}\in{\cal D}$, 存在$\tau_0(\widehat{D}, t)<t$使得对所有的$\tau\leqslant\tau_0(\widehat{D}, t)$有$U(t, \tau)D(\tau)\subset D_0(t)$.

注意到在上面的定义中$\widehat{D_0}$不必属于$D$.

定义2.4  集合族${\cal A}_{{\cal D}} = \{{\cal A}_{{\cal D}}(t): t\in{{\Bbb R}} \}\subset{\cal P}(X)$被称为过程$U$的极小拉回吸引子, 如果${\cal A}_{{\cal D}}$满足下列性质

(1) 对任意的$t\in {{\Bbb R}}$, 集合${\cal A}_{{\cal D}}$是$X$中的非空紧子集;

(2) ${\cal A}_{{\cal D}}$是拉回${\cal D}$ -吸收的, 即对所有的$\widehat{D}\in{\cal D}, \ t\in {{\Bbb R}}$, 有$\lim\limits_{\tau\rightarrow -\infty}\text{dist}_X(U(t, \tau)D(\tau),$${\cal A}_{{\cal D}}(t)) = 0$, 其中$\text{dist}_X(\cdot, \cdot)$表示$X$中两个子集之间的Hausdorff半距离;

(3) ${\cal A}_{{\cal D}}$是不变的, 即对所有的$\tau\leqslant t$, $U(t, \tau){\cal A}_{{\cal D}}(\tau) = {\cal A}_{{\cal D}}(t)$;

(4) ${\cal A}_{{\cal D}}$在下述意义下是极小的, 如果$\widehat{C} = \{C(t):t\in R\}\subset{\cal P}(X)$是一个闭集族且是拉回${\cal D}$ -吸收的, 那么${\cal A}_{{\cal D}}(t)\subset C(t)\text{, }\forall t\in {{\Bbb R}}$.

现在, 我们给出最小拉回吸引子的存在性及其相互关系的结论.

定理2.1^[32]  考虑一个闭过程$U: {{\Bbb R}} ^2_d\times X\rightarrow X$, ${\cal P}(X)$中的一个全域${\cal D}$和集合族$\widehat{D_0} = \{D_0(t):t\in R\}\subset {\cal P}(X)$并且$\widehat{D_0}$对过程$U$是拉回${\cal D}$ -吸收的. 设$U$是拉回${\cal D}$ -渐近紧的. 那么由下式定义的集合族${\cal A}_{{\cal D}} = \{{\cal A}_{{\cal D}}(t): t\in{{\Bbb R}} \}$

是过程$U$的极小拉回${\cal D}$ -吸引子, 其中$\Lambda(\widehat{D}, t) = \bigcap\limits_{s\leqslant t}\overline{\bigcup\limits_{\tau\leqslant s}U(t, \tau)D(\tau)}^X$, $\overline{\{\cdots\}}^X$表示在$X$范数下的闭包. 此外, 如果$\widehat{D_0}\in{\cal D}$, 那么对所有的$t\in {{\Bbb R}}$, 有${\cal A}_{{\cal D}}(t)\subset\overline{D_0(t)}^X$.

记${\cal D}_F^X$表示$X$中固定的非空有界子集的族, 即由具有形式$\widehat{D} = \{D(t) = D:t\in {{\Bbb R}} \}$的所有集合族$\widehat{D}$构成的类, 其中$D$是$X$中固定的非空有界子集.

推论2.1^[31]  在定理2.1的假设下, 若${\cal D}_F^X\subset{\cal D}$, 则吸引子${\cal A}_{{\cal D}_F^X}$和${\cal A}_{{\cal D}}$存在并且有如下关系

注2.1^[31]  在推论2.1的假设下, 若对某个$T\in {{\Bbb R}}$, 集合$\bigcup\limits_{t\leqslant T}D_0(t)$在$X$中是有界的, 则有

定理2.2^[31]  考虑两个度量空间$\{X_i, d_{X_i}\}_{i = 1, 2}$且满足嵌入$X_1\subset X_2$是连续的. 令${\cal D}_i$为${\cal P}(X_i)\text{, }i = 1, 2$中的一个全域且满足${\cal D}_1\subset{\cal D}_2$. 假设存在一个映射$U$是一个过程且在这两种情形下都是一个过程, 即$U:{{\Bbb R}} _d^2\times X_i\rightarrow X_i\text{, }i = 1, 2$.

对每个$t\in {{\Bbb R}}$, 记

其中在$\omega$ -极限集$\Lambda_i$中的下标$i$用来表示依赖于对应的拓扑.

那么

此外, 假设满足下面两个条件

(ⅰ) 对所有的$t\in {{\Bbb R}}$, ${\cal A}_1(t)$是$X_1$中的一个紧子集;

(ⅱ) 对任意的$\widehat{D_2}\in {\cal D}_2$和$t\in R$, 存在$\widehat{D_1}\in {\cal D}_1$和$t^*_{\widehat{D_1}}$使得$U$是拉回$\widehat{D_1}$ -渐近紧的, 且对任意的$s\leqslant t^*_{\widehat{D_1}}$, 存在$\tau_s\leqslant s$使得$U(s, \tau)D_2(\tau)\subset D_1(s), \ \tau\leqslant \tau_s,$则${\cal A}_1(t) = {\cal A}_2(t), \ \forall t\in {{\Bbb R}} .$

本节利用Faedo-Galerkin近似和紧性理论, 证明问题(1.1) 解的整体存在唯一性.

定义3.1   称$u$是问题(1.1) 的一个弱解, 如果在${\cal D'}(\tau, +\infty)$意义下对所有的$T>\tau\text{, }u\in L^{\infty}(\tau, T;V)\cap L^{\beta+1}(\tau, T;{\bf L}^{\beta+1}(\Omega))$满足

按照经典的Navier-Stokes方程理论, 可以将方程(1.1) 写成弱形式

其中$G(u) = PF(u), F(u) = \mu|u|^{\beta-1}u$.

注3.1   若$u$是问题(1.1) 的弱解, 则$u$满足下面的能量等式

接下来, 我们证明问题(1.1) 弱解的存在唯一性以及对初值的连续依赖性.

定理3.1   假设$\beta\geqslant1$及$f\in L^2_{{\rm loc}}({{\Bbb R}} ;V')$. 则对每一个$u_{\tau}\in V$, 问题(1.1) 存在唯一的弱解$u(t) = u(t;\tau, u_{\tau})\in L^{\infty}(\tau, T;V)\cap L^2(\tau, T;V)\cap L^{\beta+1}(\tau, T; {\bf L}^{\beta+1}(\Omega))$. 此外, 解$u(t)$在$V$中连续依赖于初始值.

证   设$\{w_j\}_{j\geqslant 1}$是算子$-\Delta$在$\Omega$上具有齐次Dirichlet边界条件的特征函数, 其对应的特征值为$0<\lambda_1\leqslant \lambda_2\leqslant\cdots$. 显然, $\{w_j\}_{j\geqslant 1}\subset V$构成了$H$中一组Hilbert基. 给定$u_{\tau}\in V$和$h\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V')$.

对每个正整数$n\geqslant 1$, 构造Galerkin近似解$u_n(t) = u_n(t;\tau, u_{\tau})$, 其具有如下的形式

其中$\gamma_{n, j}(t)$由下面的非线性常微分方程组的初值问题确定

根据常微分方程初值问题的结果可知, 问题(3.4) 存在唯一的局部解. 接下来, 我们通过一些先验估计证明解$u_n$的时间区间可以延拓到$[\tau, \infty)$.

在(3.4) 式两端乘以$\gamma_{n, j}(t)$并对$j = 1$从$1$到$n$求和, 得到

利用Cauchy不等式和Young不等式, 可推出

将(3.6) 式代入(3.5) 式中, 得到

对(3.7)式从$\tau$到$t$积分, 可得

由上式可知, 对任意给定的$T>0$和$\beta\geqslant1$有

因此有

因为$u_n(t)\in L^{\infty}(\tau, T;V)$, 所以$B(u_n(t))\in L^{\infty}(\tau, T;V')$. 因为算子$A:V\rightarrow V'$, 所以$Au_n(t)\in L^{\infty}(\tau, T;V')$. 此外, $|u_n(t)|^{\beta-1}u_n(t)L^{\frac{\beta+1}{\beta}} (\tau, T;{\bf L}^{\frac{\beta+1}{\beta}}(\Omega))$. 因此

这意味着$\{u'_n(t)\}$在$L^2(\tau, T;V)$中有界. 因此, 存在$\{u_n(t)\}$中的一个子列(仍用$\{u_n(t)\}$表示)和函数$u(t)\in L^2(\tau, T;V)$且$u'(t)\in L^2(\tau, T;V)$使得

应用文献[33, 引理1.3], 可推出$\xi = |u|^{\beta-1}u$. 考虑到$\bigcup\limits_{n\in N^+}\text{span}[w_1, \dots, w_n]$在空间$V$中的稠密性, 在(3.4) 式两边取极限$n\rightarrow \infty$, 可得$u$是问题(1.1) 的一个弱解.

下面, 我们将同时证明解的唯一性和对初始数据的连续依赖性. 设$u_1, u_2$是问题(1.1) 对应于初值$u_{1\tau}, u_{2\tau}\in V$的两个弱解. 记$u = u_1-u_2$. 由(3.2) 式可得

对所有的$t\in[\tau, T]$.

利用Hölder不等式和Sobolev嵌入定理可得

由(2.2)–(2.5) 式可得

将(3.12)–(3.13) 式代入(3.11) 式中得到

对(3.14) 式应用Gronwall不等式可得

这样我们就证明了解对初始值的连续依赖性.特别地, 当$u_{1\tau} = u_{2\tau}$即$u_{\tau} = 0$时, 从上面的不等式可得解的唯一性. 证明完毕.

本节证明问题(1.1) 在空间$L^{\infty}(\tau, T;V)\cap L^2(\tau, T;V)\cap L^{\beta+1}(\tau, T;{\bf L}^{\beta+1}(\Omega))$中拉回吸引子的存在性. 记$W = V\cap{\bf L}^{\beta+1}(\Omega)$.

根据定理3.1, 定义过程$U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W$

其中$u(t;, \tau, u_{\tau})$是问题(1.1) 的唯一弱解.

命题4.1   假设$\beta\geqslant1$及$f\in L^2_{{\rm loc}}({{\Bbb R}} ;V')$. 则过程$U$在$W$中是连续的.

引理4.1   设$\beta\geqslant1$及$f\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V')$.则对任意的$0<\sigma<2\nu(\alpha^2+\lambda_1^{-1})^{-1}$, 问题(1.1) 的解$u$对所有的$t\geqslant\tau$满足

其中

证   由Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得到

将(4.2) 式代入能量等式(3.3) 中并利用Poincaré 不等式得到

在(4.3) 式两边同时乘以$e^{\sigma t}$并从$\tau$到$t$积分, 可得

从上式可推得

引理4.1证明完毕.

根据估计式(4.1), 在${\cal P}(W)$中定义下面的集合族.

定义4.1   对每个$\sigma>0$, 记${\cal D}_{\sigma}^{W}$表示非空集合族类$\widehat{D} = \{D(t):t\in {{\Bbb R}} \}\subset {\cal P}(W)$使得

注4.1  注意${\cal D}_{F}^{W}\subset {\cal D}_{\sigma}^{W}$和${\cal D}_{\sigma}^{W}$是闭包含的, 即如果$\widehat{D}\in {\cal D}_{\sigma}^{W}$和$\widehat{D'} = \{D'(t):t\in{{\Bbb R}} \}\subset {\cal P}(W)$且$D'(t)\subset D(t), \forall t\in{{\Bbb R}}$, 则$\widehat{D'}\in {\cal D}_{\sigma}^{W}$.

从上面的估计可以看出, 如果$f$满足合适的增长条件, 可以直接推出吸收族的存在性. 因此, 我们有下面的结论.

推论4.1   假设$\beta\geqslant1$及$f\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V')$满足

其中$0<\sigma<2\nu(\alpha^2+\lambda_1^{-1})^{-1}.$则集合族$\widehat{D_{\sigma}} = \{D_{\sigma}(t):t\in{{\Bbb R}} \}$关于过程$U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W$是拉回${\cal D}_{\sigma}^{W}$ -吸收的, 并且$\widehat{D_{\sigma}}\in {\cal D}_{\sigma}^{W}$, 其中

是$W$中以原点为中心$\sqrt{R_{\sigma}(t)} = \sqrt{r_1(t)+r_2(t)}$为半径的闭球, $r_1(t)$和$r_2(t)$的表达式由引理4.1给出.

下面我们证明过程$U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W$在空间$W$中的拉回渐近紧性.

引理4.2   在推论4.1的假设下, 过程$U: {{\Bbb R}} ^2_d \times V\rightarrow W$是拉回${\cal D}_{\sigma} ^{W}$ -渐近紧的.

证   设$t\in{{\Bbb R}}$, $\widehat{D}\in {\cal D}_{\sigma}^{W}$, $\{\tau_n\}\subset(-\infty, t-2]$且$\tau_n\rightarrow -\infty$以及$u_{\tau_n}\in D(\tau_n)$. 下面我们证明序列$\{U(t, \tau_n)u_{\tau_n}\}$在$W$中是相对紧的.

为了简便, 记$u_n(t) = U(t;\tau_n, u_{\tau_n})$. 由推论4.1可知, 对每个整数$k\geqslant 0$存在$\tau_k(\widehat{D}, t)\leqslant t-k$使得$U(t-k)\widehat{D}(\tau)\subset D_{\sigma}(t-k), \forall\tau\leqslant \tau_k(\widehat{D}, t)$. 由(4.6) 式定义的$D_{\sigma}(t)$是$W$中的有界集. 再根据对角线方法, 可以选取一个子列$\{u_{\tau_{n'}}\}\subset\{ u_{\tau_n}\}$使得

其中$w_k\in D_{\sigma}(t-k).$

由推论4.1可知, 对每个固定的区间$[t-k, t]$有$\{u_n\}$在$L^{\infty}(t-k, t;V)$有界. 因此, 存在$\{u_{n}\}$的子列$\{u_{n'}\}$和$w_0\in L^{\infty}(t-k, t;V)$使得

根据(4.7) 和(4.8) 式可得

想要证明过程$U$在空间$V$中的渐近紧性, 即证

为此, 需要证明

和

由(4.7)和(4.9)式可推出(4.11) 式成立. 因此, 我们只需证明(4.12) 式成立.

注意到对任意对$(\tau, u_{\tau}), u_{\tau}\in V$, 解$u(t)$满足微分等式

将上式中$u$用$U(\cdot, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}, \tau_{n'}\leqslant t-k$进行替换, 并对其在区间$[t-k, t]$上积分, 可得

另一方面, 由(4.7)和(4.8) 式可得

根据(4.16) 式得到

由(4.17) 式可推导出

利用(4.15) 式可得到

因为$e^{\sigma (\cdot-t)}h(\cdot)\in L^2(t-k, t;V')$, 由此可得

将(4.18)–(4.21) 式代入(4.14) 式中, 再利用(4.7)式(取$k = 0$)和(4.6)式, 可推出

在(4.13) 式中取$u = U(t, t-k)w_k$, 并对其再积分一次, 可得到

比较(4.22)和(4.23)式, 可推出

然而, 根据(4.6) 式可知

上式意味着

定理证明完毕.

作为上述结论的直接结果, 我们得到了过程$U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W$的极小拉回吸引子的存在性.

定理4.1   假设$\beta\geqslant1$, $f\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V')$满足条件(4.5). 则过程$U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W$存在极小拉回${\cal D}_F^W$ -吸引子${\cal A}_{{\cal D}_F^W} = \{{\cal A}_{{\cal D}_F^W}(t):t\in {{\Bbb R}} \}$和极小拉回${\cal D}_{\sigma}^W$ -吸引子${\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^W} = \{{\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^W}(t):t\in {{\Bbb R}} \}$. 族${\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^W}\subset {\cal D}_{\sigma}^W$并有下面的关系成立

此外, 若$f$满足更强的条件

则上面两个吸引子是一致的, 即

证   根据定理2.1, 推论2.1, 命题4.1, 推论4.1和引理4.2可直接得到吸引子${\cal A}_{{\cal D}_F}$和${\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}}$的存在性.

由定理2.1和推论2.1可知(4.24) 式中的包含关系是成立的.

因为推论4.1给出的表达式$R_{\sigma}(t)$满足：对每一个$T\in {{\Bbb R}}$, $\bigcup\limits_{t\leqslant T}R_{\sigma}(t)$是有界的. 从而根据注2.1, 可知满足假设(4.25) 的两个吸引子族是一致的, 即(4.26) 式成立. 定理证毕.