本文研究如下具有非线性阻尼的非自治Navier-Stokes-Voigt(NSV)方程的初边值问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_t-\alpha^2\Delta u_t-\nu\Delta u+(u\cdot\nabla)u+\mu|u|^{\beta-1}u+\nabla p = f(t), \ &x\in\Omega, \ t>\tau, \\ \nabla\cdot u = 0, \ \ & x\in\Omega, \ t>\tau, \\ u(x, t) = 0, \quad & x\in\partial\Omega, \\ u(x, \tau) = u_{\tau}(x), \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \Omega\subset {{\Bbb R}} ^3 $是一个具有光滑边界$ \partial\Omega $的有界区域, $ \alpha $表示流体的张力系数, $ \nu>0 $表示流体的运动粘性系数, $ \mu>0 $和$ \beta\geqslant1 $都是常数, $ p $表示压力, $ f(t) $表示流体所受到的外力.

当阻尼常数$ \mu = 0 $时, 问题(1.1) 简化为经典的NSV方程

(1.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_t-\alpha^2\Delta u_t-\nu\Delta u+(u\cdot\nabla)u+\nabla p = f(t), \ \\ \nabla\cdot u = 0. \end{array}\right. \end{equation} $

在研究Kelvin-Voigt粘弹性不可压缩流体的运动模型时, Oskolkov^[1]首次提出了NSV方程. NSV方程也可以看作是三维Navier-Stokes(NS)方程的正则化, 用于直接数值模拟^[2].

研究NSV方程解的渐近行为一直是一个很有趣的课题. 当流体运动不受外力作用(即$ f = 0 $) 时, Kalantarov和Titi^[3] 应用算子半群分解方法证明了有限维整体吸引子的存在性. Kalantarov等^[4]研究了吸引子的Gevrey正则性.

对于非自治情形, Yue和Zhong^[5]利用Stokes算子的分数次幂算子和分解方法, 通过一些渐近正则估计研究了一致吸引子在空间$ V $的存在性. Dou等^[6] 利用压缩函数非自治NSV方程拉回吸引子的存在性. 基于缓增集合域的表示, Garcéa等^[7] 利用能量法得到了紧致或固定的拉回吸引子族. Zelati和Gal^[8] 证明了用3D-Grashof数描述的有限维整体吸引子和指数吸引子的最优正则性. 当$ \alpha\rightarrow 0 $时, 他们证明了三维NSV方程的弱整体吸引子收敛到三维经典NS方程的弱整体吸引子. 通过定义一个适当包含Kelvin-Voigt阻尼的能量空间, Yang等^[9]建立了NSV方程在能量空间中正则强一致吸引子的存在性, 并且给出了一致吸引子的一般结构描述. 关于NSV方程在无界域中解的衰减、正则性、极限行为和长时间行为的结果, 请参考文献[10-15]及其中的参考文献.

当张力系数$ \alpha = 0 $时, (1.1) 约化为具有阻尼的NS方程

(1.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_t-\nu\Delta u+(u\cdot\nabla)u+\mu|u|^{\beta-1}u+\nabla p = f(t), \\ \nabla\cdot u = 0. \end{array}\right. \end{equation} $

近十余年来, 人们广泛研究了方程(1.3) 弱解的唯一性、正则性、渐近行为以及强解的全局存在性. Cai和Jiu^[16] 证明了: 当$ \beta\geqslant1 $时, 方程(1.3) 具有整体弱解; 当$ \beta\geqslant\frac{7}{2} $时, 方程(1.3) 具有整体强解; 当$ \frac{7}{2}\leqslant\beta\leqslant 5 $时, 方程(1.3) 的强解是唯一的. 随后, Zhang等^[17] 改进了文献[16] 中的结果, 当$ \beta>3 $时, 他们证明了强解的整体存在性, 当$ 3<\beta\leqslant5 $时, 他们证明了强解的唯一性. Zhou^[18] 改进了文献[16] 中的结果: 当$ \beta\geqslant3 $时, 强解是整体存在的; 当$ \beta\geqslant1 $时, 强解在弱解中是唯一的；当$ 1\leqslant\beta<3 $时, 建立了解的正则性准则. 文献[19-20] 研究了解的$ L^2 $ -衰减估计. 当$ \frac{7}{2}\leqslant\beta\leqslant5 $时, Song和Hou在文献[21] 和^[22] 中分别证明了强解的整体吸引子和一致吸引子的存在性. 当$ 3<\beta\leqslant5 $时, Song等^[23] 证明了拉回吸引子在空间$ H_0^1(\Omega) $和$ H^2(\Omega) $中的存在性. Pardo等^[24] 证明了弱解整体吸引子的存在性. Li和You^[25] 证明了拉回指数吸引子的存在性和有限维数. Liu等^[26] 研究了乘积噪声驱动下具有阻尼的随机三维NS方程的指数行为和稳定性.

最近, Plinio等^[27]提出了具有记忆和Ekman阻尼的三维NSV方程

(1.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } u_t-\alpha\Delta u_t-\int_0^{\infty}g(s)\Delta u(t-s){\rm d}s+(u\cdot\nabla)u+\mu u+\nabla p = f, \\ \text{div}u = 0. \end{array}\right. \end{equation} $

他们证明了具有有限分形维数正则指数吸引子的存在性. Wang和Qin^[28] 研究了如下具有记忆和非线性阻尼的三维NSV方程

(1.5) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } u_t-\alpha\Delta u_t-\int_0^{\infty}g_{\epsilon}(s)\Delta u(t-s){\rm d}s+(u\cdot\nabla)u+\gamma u+\mu|u|^{\beta-1}u+\nabla p = f, \\ \text{div}u = 0. \end{array}\right. \end{equation} $

他们得到了整体吸引子, 指数吸引子以及当$ \epsilon\rightarrow0 $时, 吸引子的收敛性. 值得注意的是: 当核函数$ g $取成Dirac函数时, 方程(1.4) 和(1.5) 退化成问题(1.1). 当问题(1.1) 不受外力干扰($ f = 0 $)时, 文献[29] 研究了Cauchy问题弱解的$ H^1 $衰减.

在上述文献的启发下, 本文研究问题(1.1) 解的长时间行为. 假设外力满足缓增条件, 借助文献[7, 30] 中使用的能量方法证明了问题(1.1) 拉回吸引子的存在性.

定义

$ \begin{eqnarray*} {\cal V} = \{u\in(C_0^{\infty}(\Omega))^3: \nabla\cdot u = 0\}, \quad H = \text{cl}_{(L^2(\Omega))^3} \ {\cal V}, \quad V = \text{cl}_{(H_0^1(\Omega))^3} \ {\cal V}, \end{eqnarray*} $

其中$ \text{cl}_{X} $表示$ X $中的闭包.

用$ (\cdot, \cdot) $和$ |\cdot|_2 $分别表示$ H $上的内积和范数, $ ((\cdot, \cdot)) $和$ \|\cdot\| $分别表示空间$ V $上的内积和范数. 用$ \|\cdot\|_* $表示$ V' $的范数, $ \langle\cdot\rangle $表示$ V $和$ V' $对偶积, $ |\cdot|_p $表示$ {\bf L}^p(\Omega) = (L^p(\Omega))^3 $的范数.

定义表示Stokes算子$ A $

$ Aw = -{\cal P}(\Delta w), \quad \forall \ w\in D(A), $

其中$ D(A) = (H^2(\Omega))^3\cap V $, $ {\cal P} $是Leray算子, 即从$ (L^2(\Omega))^3 $到$ H $的投影算子. $ \lambda_1>0 $是算子$ A $的第一特征值.

定义三线性形式$ b(\cdot, \cdot, \cdot) $

$ b(u, v, w) = \sum\limits_{i, j = 1}^3\int_{\Omega} u_i \frac{\partial v_j}{\partial x_i}w_j{\rm d}x. $

容易证明

(2.1) $ \begin{eqnarray} &&b(u, v, w) = -b(u, w, v), \quad \forall \ u, v, w\in V, \end{eqnarray} $

(2.2) $ \begin{eqnarray} &&b(u, v, v) = 0, \quad \forall \ u, v\in V. \end{eqnarray} $

定义$ B:\ V\times V\rightarrow V' $是一个双线性算子

(2.3) $ \begin{eqnarray} &&\langle B(u, v), w\rangle = b(u, v, w), {\quad} \forall\ u, v, w\in V, \end{eqnarray} $

(2.4) $ \begin{eqnarray} &&B(u) = B(u, u). \end{eqnarray} $

特别地, $ b $是$ V\times V\times V $一个连续的三线性形式, 即存在一个常数$ C>0 $使得

(2.5) $ \begin{equation} |b(u, v, w)|\leqslant C\|u\|\|v\|\|w\| \qquad \forall \ u, v, w\in V. \end{equation} $

在本文中, $ C $表示一般常数.

接下来, 我们回顾拉回吸引子的定义和一些抽象的理论结果. 有关更多详细内容, 请参阅文献[31-32] 及其中的参考文献.

考虑一个给定的度量空间$ (X, d_X) $, 记$ {{\Bbb R}} ^2_d = \{(t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2:\tau\leqslant t\} $.

$ X $上的过程$ U $ (也被称为一个双参数半群)是一个映射$ {{\Bbb R}} _d^2\times X\ni(t, \tau, x)\mapsto U(t, \tau)x\in X $使得对所有的$ x\in X $有

(ⅰ) $ \ U(t, \tau)x = x $, $ \forall(t, \tau)\in {{\Bbb R}} \times X $,

(ⅱ) $ \ U(t, s)(U(s, r)x) = U(t, r)x $, $ r\leqslant s\leqslant t $.

定义2.1   (1) 一个过程$ U $在$ X $上被称为连续的, 如果对任意的对$ (t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2_d $, 映射$ U(t, \tau):X\rightarrow X $是连续的;

(2) 一个过程$ U $在$ X $上被称为强-弱连续的, 如果对任意的对$ (t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2_d, \ \{x_n\}\subset X $, 若$ x_n\rightarrow x $, 则$ U(t, \tau)x_n\rightharpoonup U(t, \tau)x $;

(3) 一个过程$ U $在$ X $上被称为闭的, 如果对任意的对$ (t, \tau)\in {{\Bbb R}} ^2_d $和序列$ \{x_n\}\subset X $, 当$ x_n\rightarrow x\in X $和$ U(t, \tau)x_n\rightarrow y\in X $时, $ U(t, \tau)x = y $.

显然, 每一个连续过程都是强-弱连续的, 每一个强-弱连续过程都是闭的.

令$ {\cal P}(X) $表示$ X $中的所有非空子集族, 考虑时间参数族$ \widehat{D} = \{D(t):t\in R\}\subset {\cal P}(X) $的非空类$ {\cal D} $和一族非空子集$ \widehat{D_0} = \{D_0(t):t\in R\}\subset {\cal P}(X) $.

定义2.2  一个$ X $上的过程$ U $被称为拉回$ {\cal D} $ -渐近紧的, 如果对任意的$ t\in {{\Bbb R}} $, $ \widehat{D}\in {\cal D} $和任意的序列$ \{\tau_n\}\subset(-\infty, t] $和$ \{x_n\}\subset X $满足$ \tau_n\rightarrow -\infty $和对所有的$ n $有$ x_n\in D(\tau_n) $, 序列$ \{U(t, \tau_n)x_n\} $在$ X $中是相对紧的.

定义2.3   称集族$ \widehat{D_0} = \{D_0(t):t\in {{\Bbb R}} \}\subset {\cal P}(X) $对$ X $上的过程$ U $是拉回$ {\cal D} $ -吸收的, 如果对任意的$ t\in {{\Bbb R}} $和$ \widehat{D}\in{\cal D} $, 存在$ \tau_0(\widehat{D}, t)<t $使得对所有的$ \tau\leqslant\tau_0(\widehat{D}, t) $有$ U(t, \tau)D(\tau)\subset D_0(t) $.

注意到在上面的定义中$ \widehat{D_0} $不必属于$ D $.

定义2.4  集合族$ {\cal A}_{{\cal D}} = \{{\cal A}_{{\cal D}}(t): t\in{{\Bbb R}} \}\subset{\cal P}(X) $被称为过程$ U $的极小拉回吸引子, 如果$ {\cal A}_{{\cal D}} $满足下列性质

(1) 对任意的$ t\in {{\Bbb R}} $, 集合$ {\cal A}_{{\cal D}} $是$ X $中的非空紧子集;

(2) $ {\cal A}_{{\cal D}} $是拉回$ {\cal D} $ -吸收的, 即对所有的$ \widehat{D}\in{\cal D}, \ t\in {{\Bbb R}} $, 有$ \lim\limits_{\tau\rightarrow -\infty}\text{dist}_X(U(t, \tau)D(\tau), $$ {\cal A}_{{\cal D}}(t)) = 0 $, 其中$ \text{dist}_X(\cdot, \cdot) $表示$ X $中两个子集之间的Hausdorff半距离;

(3) $ {\cal A}_{{\cal D}} $是不变的, 即对所有的$ \tau\leqslant t $, $ U(t, \tau){\cal A}_{{\cal D}}(\tau) = {\cal A}_{{\cal D}}(t) $;

(4) $ {\cal A}_{{\cal D}} $在下述意义下是极小的, 如果$ \widehat{C} = \{C(t):t\in R\}\subset{\cal P}(X) $是一个闭集族且是拉回$ {\cal D} $ -吸收的, 那么$ {\cal A}_{{\cal D}}(t)\subset C(t)\text{, }\forall t\in {{\Bbb R}} $.

现在, 我们给出最小拉回吸引子的存在性及其相互关系的结论.

定理2.1^[32]  考虑一个闭过程$ U: {{\Bbb R}} ^2_d\times X\rightarrow X $, $ {\cal P}(X) $中的一个全域$ {\cal D} $和集合族$ \widehat{D_0} = \{D_0(t):t\in R\}\subset {\cal P}(X) $并且$ \widehat{D_0} $对过程$ U $是拉回$ {\cal D} $ -吸收的. 设$ U $是拉回$ {\cal D} $ -渐近紧的. 那么由下式定义的集合族$ {\cal A}_{{\cal D}} = \{{\cal A}_{{\cal D}}(t): t\in{{\Bbb R}} \} $

$ {\cal A}_{{\cal D}}(t) = \overline{\bigcup\limits_{\widehat{D}\in{\cal D}} \Lambda(\widehat{D}, t)}^X, \quad \forall t\in {{\Bbb R}} $

是过程$ U $的极小拉回$ {\cal D} $ -吸引子, 其中$ \Lambda(\widehat{D}, t) = \bigcap\limits_{s\leqslant t}\overline{\bigcup\limits_{\tau\leqslant s}U(t, \tau)D(\tau)}^X $, $ \overline{\{\cdots\}}^X $表示在$ X $范数下的闭包. 此外, 如果$ \widehat{D_0}\in{\cal D} $, 那么对所有的$ t\in {{\Bbb R}} $, 有$ {\cal A}_{{\cal D}}(t)\subset\overline{D_0(t)}^X $.

记$ {\cal D}_F^X $表示$ X $中固定的非空有界子集的族, 即由具有形式$ \widehat{D} = \{D(t) = D:t\in {{\Bbb R}} \} $的所有集合族$ \widehat{D} $构成的类, 其中$ D $是$ X $中固定的非空有界子集.

推论2.1^[31]  在定理2.1的假设下, 若$ {\cal D}_F^X\subset{\cal D} $, 则吸引子$ {\cal A}_{{\cal D}_F^X} $和$ {\cal A}_{{\cal D}} $存在并且有如下关系

$ {\cal A}_{{\cal D}_F^X}(t) \subset{\cal A}_{{\cal D}}(t), \ \quad \forall t \in {{\Bbb R}} . $

注2.1^[31]  在推论2.1的假设下, 若对某个$ T\in {{\Bbb R}} $, 集合$ \bigcup\limits_{t\leqslant T}D_0(t) $在$ X $中是有界的, 则有

$ {\cal A}_{{\cal D}_F^X}(t) = {\cal A}_{{\cal D}}(t), \ \ \forall t\leqslant T. $

定理2.2^[31]  考虑两个度量空间$ \{X_i, d_{X_i}\}_{i = 1, 2} $且满足嵌入$ X_1\subset X_2 $是连续的. 令$ {\cal D}_i $为$ {\cal P}(X_i)\text{, }i = 1, 2 $中的一个全域且满足$ {\cal D}_1\subset{\cal D}_2 $. 假设存在一个映射$ U $是一个过程且在这两种情形下都是一个过程, 即$ U:{{\Bbb R}} _d^2\times X_i\rightarrow X_i\text{, }i = 1, 2 $.

对每个$ t\in {{\Bbb R}} $, 记

$ {\cal A}_i(t) = \overline{\bigcup\limits_{\widehat{D_i}\in {\cal D}_i}\Lambda_i(\widehat{D_i}, t)}^{X_i}, \ \ i = 1, 2, $

其中在$ \omega $ -极限集$ \Lambda_i $中的下标$ i $用来表示依赖于对应的拓扑.

那么

$ {\cal A}_1(t)\subset{\cal A}_2(t), \quad \ \forall t\in {{\Bbb R}} . $

此外, 假设满足下面两个条件

(ⅰ) 对所有的$ t\in {{\Bbb R}} $, $ {\cal A}_1(t) $是$ X_1 $中的一个紧子集;

(ⅱ) 对任意的$ \widehat{D_2}\in {\cal D}_2 $和$ t\in R $, 存在$ \widehat{D_1}\in {\cal D}_1 $和$ t^*_{\widehat{D_1}} $使得$ U $是拉回$ \widehat{D_1} $ -渐近紧的, 且对任意的$ s\leqslant t^*_{\widehat{D_1}} $, 存在$ \tau_s\leqslant s $使得$ U(s, \tau)D_2(\tau)\subset D_1(s), \ \tau\leqslant \tau_s, $则$ {\cal A}_1(t) = {\cal A}_2(t), \ \forall t\in {{\Bbb R}} . $

本节利用Faedo-Galerkin近似和紧性理论, 证明问题(1.1) 解的整体存在唯一性.

定义3.1   称$ u $是问题(1.1) 的一个弱解, 如果在$ {\cal D'}(\tau, +\infty) $意义下对所有的$ T>\tau\text{, }u\in L^{\infty}(\tau, T;V)\cap L^{\beta+1}(\tau, T;{\bf L}^{\beta+1}(\Omega)) $满足

(3.1) $ \begin{equation} (\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}, \varphi)+\alpha^2((\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}, \varphi)) +\nu((u, \varphi))+\mu(|u|^{\beta-1}u, \varphi) +b(u, u, \varphi) = \langle f(t), \varphi\rangle \ \ \forall \varphi\in V. \end{equation} $

按照经典的Navier-Stokes方程理论, 可以将方程(1.1) 写成弱形式

(3.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_t+\alpha^2Au_t+\nu Au+B(u)+G(u) = f(t), \\ u(\tau) = u_{\tau}. \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ G(u) = PF(u), F(u) = \mu|u|^{\beta-1}u $.

注3.1   若$ u $是问题(1.1) 的弱解, 则$ u $满足下面的能量等式

(3.3) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(|u(t)|_2^2+\alpha^2\|u(t)\|^2) +2\nu\|u(t)\|^2+2\mu|u(t)|^{\beta+1}_{\beta+1} = 2\langle f(t), u(t)\rangle. \end{equation} $

接下来, 我们证明问题(1.1) 弱解的存在唯一性以及对初值的连续依赖性.

定理3.1   假设$ \beta\geqslant1 $及$ f\in L^2_{{\rm loc}}({{\Bbb R}} ;V') $. 则对每一个$ u_{\tau}\in V $, 问题(1.1) 存在唯一的弱解$ u(t) = u(t;\tau, u_{\tau})\in L^{\infty}(\tau, T;V)\cap L^2(\tau, T;V)\cap L^{\beta+1}(\tau, T; {\bf L}^{\beta+1}(\Omega)) $. 此外, 解$ u(t) $在$ V $中连续依赖于初始值.

证   设$ \{w_j\}_{j\geqslant 1} $是算子$ -\Delta $在$ \Omega $上具有齐次Dirichlet边界条件的特征函数, 其对应的特征值为$ 0<\lambda_1\leqslant \lambda_2\leqslant\cdots $. 显然, $ \{w_j\}_{j\geqslant 1}\subset V $构成了$ H $中一组Hilbert基. 给定$ u_{\tau}\in V $和$ h\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V') $.

对每个正整数$ n\geqslant 1 $, 构造Galerkin近似解$ u_n(t) = u_n(t;\tau, u_{\tau}) $, 其具有如下的形式

$ u_n(t;\tau, u_{\tau}) = \sum\limits_{j = 1}^n\gamma_{n, j}(t)w_j, $

其中$ \gamma_{n, j}(t) $由下面的非线性常微分方程组的初值问题确定

(3.4) $ \begin{eqnarray} &&(u'_n(t), w_j)+\alpha^2((u'_n(t), w_j)) +\nu((u_n(t), w_j))+\mu(|u_n(t)|^{\beta-1}u_n(t), w_j) {}\\ &&+b(u_n(t), u_n(t), w_j) = \langle f(t), w_j\rangle, \ t>\tau, \ \ j = 1, \dots, n , \\ &&((u_n(\tau), w_j)) = ((u_{\tau}, w_j)).{} \end{eqnarray} $

根据常微分方程初值问题的结果可知, 问题(3.4) 存在唯一的局部解. 接下来, 我们通过一些先验估计证明解$ u_n $的时间区间可以延拓到$ [\tau, \infty) $.

在(3.4) 式两端乘以$ \gamma_{n, j}(t) $并对$ j = 1 $从$ 1 $到$ n $求和, 得到

(3.5) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(|u_n(t)|_2^2 +\alpha^2\|u_n(t)\|^2\big)+\nu\|u_n(t)\|^2 +\mu|u_n(t)|^{\beta+1}_{\beta+1} = \langle f(t), u_n(t)\rangle. \end{equation} $

利用Cauchy不等式和Young不等式, 可推出

(3.6) $ \begin{equation} \langle f(t), u_n(t)\rangle\leqslant\|f(t)\|_* \|u_n(t)\|\leqslant\frac{\nu}{2}\|u_n\|^2 +\frac{1}{2\nu}\|f(t)\|_*^2. \end{equation} $

将(3.6) 式代入(3.5) 式中, 得到

(3.7) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(|u_n|^2+\alpha^2\|u_n\|^2) +\nu\|u_n(t)\|^2+2\mu|u_n(t)|^{\beta+1}_{\beta+1} \leqslant \frac{1}{\nu}\|f(t)\|_*^2. \end{equation} $

对(3.7)式从$ \tau $到$ t $积分, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&|u_n(t)|^2+\alpha^2\|u_n(t)\|^2 +\nu\int_{\tau}^t\|u_n(s)\|^{2}{\rm d}s +2\mu\int_{\tau}^t|u_n(s)|^{\beta+1}_{\beta+1}{\rm d}s\\ &\leqslant& |u_n(\tau)|^2+\alpha^2\|u_n(\tau)\|^2 +\frac{2}{\nu}\int_{\tau}^t\|f(s)\|_*^2{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

由上式可知, 对任意给定的$ T>0 $和$ \beta\geqslant1 $有

$ \begin{eqnarray*} \label{eq13} &&\sup\limits_{\tau\leqslant t\leqslant T}(|u_n(t)|^2 +\alpha^2\|u_n(t)\|^2) +\nu\int_{\tau}^t\|u_n(s)\|^{2}{\rm d}s +2\mu\int_{\tau}^T |u_n(s)|^{\beta+1}_{\beta+1}{\rm d}s{\nonumber} \\ &\leqslant &|u_n(\tau)|^2+\alpha^2\|u_n(\tau)\|^2 +\frac{2}{\nu}\int_{\tau}^T\|f(s)\|_*^2{\rm d}s \leqslant C. \end{eqnarray*} $

因此有

(3.8) $ \begin{eqnarray} && \{u_n(t)\}\ \text{在}\ L^{\infty}(\tau, T;V) \ \text{中有界}, \end{eqnarray} $

(3.9) $ \begin{eqnarray} && \{u_n(t)\}\ \text{在}\ L^{2}(\tau, T;V) \ \text{中有界}, \end{eqnarray} $

(3.10) $ \begin{eqnarray} && \{u_n(t)\}\ \text{在} \ L^{\beta+1}(\tau, T;{\bf L}^{\beta+1} (\Omega))\ \text{中有界}. \end{eqnarray} $

因为$ u_n(t)\in L^{\infty}(\tau, T;V) $, 所以$ B(u_n(t))\in L^{\infty}(\tau, T;V') $. 因为算子$ A:V\rightarrow V' $, 所以$ Au_n(t)\in L^{\infty}(\tau, T;V') $. 此外, $ |u_n(t)|^{\beta-1}u_n(t)L^{\frac{\beta+1}{\beta}} (\tau, T;{\bf L}^{\frac{\beta+1}{\beta}}(\Omega)) $. 因此

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\langle u_n(t)+\alpha^2A u_n(t), v\rangle = \langle f(t)- \mu|u_n(t)|^{\beta-1}u_n(t)-\nu A u_n(t)-B(u_n(t)), v\rangle, \ \forall v\in V. $

这意味着$ \{u'_n(t)\} $在$ L^2(\tau, T;V) $中有界. 因此, 存在$ \{u_n(t)\} $中的一个子列(仍用$ \{u_n(t)\} $表示)和函数$ u(t)\in L^2(\tau, T;V) $且$ u'(t)\in L^2(\tau, T;V) $使得

$ \begin{eqnarray*} && u_n(t)\rightharpoonup u(t) \ \ \text{在}\ L^{\infty}(\tau, T;V)\ \text{中弱 * 收敛, }\\ && u_n(t)\rightharpoonup u(t)\ \ \text{在}\ L^2(\tau, T;V)\ \text{中弱收敛, }\\ && |u_n(t)|^{\beta-1}u_n(t)\rightharpoonup\xi \ \ \text{在}\ L^{\frac{\beta+1}{\beta}}(\tau, T; {\bf L}^{\frac{\beta+1}{\beta}}(\Omega))\ \text{中弱收敛, }\\ && u'_n(t)\rightharpoonup u'(t)\ \ \text{在}\ L^2(\tau, T;V)\ \text{中弱收敛, }\\ && u_n(t)\rightarrow u(t) \ \ \text{在}\ L^2(\tau, T;H)\ \text{中强收敛, }\\ && u_n(t)\rightarrow u(t) \ \ \text{a.e.} (x, t)\in\Omega\times[\tau, T]. \end{eqnarray*} $

应用文献[33, 引理1.3], 可推出$ \xi = |u|^{\beta-1}u $. 考虑到$ \bigcup\limits_{n\in N^+}\text{span}[w_1, \dots, w_n] $在空间$ V $中的稠密性, 在(3.4) 式两边取极限$ n\rightarrow \infty $, 可得$ u $是问题(1.1) 的一个弱解.

下面, 我们将同时证明解的唯一性和对初始数据的连续依赖性. 设$ u_1, u_2 $是问题(1.1) 对应于初值$ u_{1\tau}, u_{2\tau}\in V $的两个弱解. 记$ u = u_1-u_2 $. 由(3.2) 式可得

(3.11) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(|u|^2+\alpha^2\|u\|^2) +\nu\|u\|^2+\mu(|u_1|^{\beta-1}u_1-|u_2|^{\beta-1}u_2, u) = \langle B(u_2)-B(u_1), u\rangle, \end{eqnarray} $

对所有的$ t\in[\tau, T] $.

利用Hölder不等式和Sobolev嵌入定理可得

(3.12) $ \begin{eqnarray} (|u_1|^{\beta-1}u_1-|u_2|^{\beta-1}u_2, u)& = & \int_{\Omega}(|u_1|^{\beta-1}u_1-|u_2|^{\beta-1}u_2) (u_1-u_2){\rm d}x {}\\ &\geqslant&\int_{\Omega}(|u_1|^{\beta+1}-|u_1|^{\beta}|u_2| -|u_2|^{\beta}u_1+|u_2|^{\beta+1}){\rm d}x {}\\ & = &\int_{\Omega}(|u_1|^{\beta}-|u_2|^{\beta}) (|u_1|-|u_2|){\rm d}x\geqslant 0. \end{eqnarray} $

由(2.2)–(2.5) 式可得

(3.13) $ \begin{eqnarray} |\langle B(u_2)-B(u_1), u\rangle|& = &|\langle B(u_2, u_2-u_1)-B(u_1-u_2, u_1), u \rangle|{}\\ & \leqslant& C\|u_2\|\|u_2-u_1\|\|u\| +C\|u_1-u_2\|\|u_1\|\|u\|{}\\ & = &C\|u\|^2(\|u_1\|+\|u_2\|)\leqslant C\|u\|^2. \end{eqnarray} $

将(3.12)–(3.13) 式代入(3.11) 式中得到

(3.14) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}(|u|_2^2+\alpha^2\|u\|^2)\leqslant C(|u|_2^2+\alpha^2\|u\|^2). \end{equation} $

对(3.14) 式应用Gronwall不等式可得

(3.15) $ \begin{equation} |u(t)|_2^2+\alpha^2\|u(t)\|^2 \leqslant e^{C(t-\tau)}(|u_{\tau}|_2^2+\alpha^2\|u_{\tau}\|^2), \end{equation} $

这样我们就证明了解对初始值的连续依赖性.特别地, 当$ u_{1\tau} = u_{2\tau} $即$ u_{\tau} = 0 $时, 从上面的不等式可得解的唯一性. 证明完毕.

本节证明问题(1.1) 在空间$ L^{\infty}(\tau, T;V)\cap L^2(\tau, T;V)\cap L^{\beta+1}(\tau, T;{\bf L}^{\beta+1}(\Omega)) $中拉回吸引子的存在性. 记$ W = V\cap{\bf L}^{\beta+1}(\Omega) $.

根据定理3.1, 定义过程$ U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W $

$ U(t, \tau)u_{\tau} = u(t;, \tau, u_{\tau}), \ \ \ \forall u_{\tau}\in V, \ \ \forall \tau\leqslant t, $

其中$ u(t;, \tau, u_{\tau}) $是问题(1.1) 的唯一弱解.

命题4.1   假设$ \beta\geqslant1 $及$ f\in L^2_{{\rm loc}}({{\Bbb R}} ;V') $. 则过程$ U $在$ W $中是连续的.

引理4.1   设$ \beta\geqslant1 $及$ f\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V') $.则对任意的$ 0<\sigma<2\nu(\alpha^2+\lambda_1^{-1})^{-1} $, 问题(1.1) 的解$ u $对所有的$ t\geqslant\tau $满足

(4.1) $ \begin{equation} \|u(t)\|^2\leqslant r_1(t) , \ \qquad \int_{\tau}^te^{\sigma s} |u(s)|_{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s \leqslant r_2(t). \end{equation} $

其中

$ r_1(t) = (1+\alpha^{-2}\lambda_1^{-1}) e^{-\sigma(t-\tau)}\|u_{\tau}\|^2 +\frac{\alpha^{-2}e^{-\sigma t}}{2\nu-\sigma (\alpha^2+\lambda_1^{-1})}\int_{\tau}^t e^{\sigma s}\|f(s)\|_*^2{\rm d}s, $

$ r_2(t) = \mu^{-1}(\alpha^{2}+\lambda_1^{-1}) e^{\sigma\tau}\|u_{\tau}\|^2+\frac{\mu^{-1}} {2\nu-\sigma(\alpha^2+\lambda_1^{-1})} \int_{\tau}^t e^{\sigma s}\|f(s)\|_*^2{\rm d}s. $

证   由Cauchy-Schwarz不等式和Young不等式得到

(4.2) $ 2\langle f(t), u(t)\rangle \leqslant 2\|f(t)\|_*\|u(t)\|{\nonumber}\\ \leqslant \frac{1}{2\nu -\sigma(\lambda_1^{-1}+\alpha^2)} \|f(t)\|_*^2+[2\nu -\sigma(\lambda_1^{-1}+\alpha^2)]\|u\|^2. $

将(4.2) 式代入能量等式(3.3) 中并利用Poincaré 不等式得到

(4.3) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(|u(t)|_2^2 +\alpha^2\|u(t)\|^2)+\sigma(|u|_2^2 +\alpha^2\|u(t)\|^2)+2\mu|u(t)|_{\beta+1}^{\beta+1} \leqslant \frac{\|f(t)\|_*^2}{2\nu-\sigma (\alpha^2+\lambda_1^{-1})}. \end{equation} $

在(4.3) 式两边同时乘以$ e^{\sigma t} $并从$ \tau $到$ t $积分, 可得

(4.4) $ |u(t)|^2+\alpha^2\|u(t)\|^2 +\mu e^{-\sigma t}\int_{\tau}^te^{\sigma s} |u(s)|_{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s{\nonumber}\\ \leqslant e^{-\sigma(t-\tau)} (|u|^2+\alpha^2\|u_{\tau}\|^2) +\frac{e^{-\sigma t}}{2\nu-\sigma (\alpha^2+\lambda_1^{-1})}\int_{\tau}^t e^{\sigma s}\|f(s)\|_*^2{\rm d}s{\nonumber}\\ \leqslant (\lambda_1^{-1}+\alpha^{2}) e^{-\sigma(t-\tau)}\|u_{\tau}\|^2 +\frac{e^{-\sigma t}} {2\nu-\sigma(\alpha^2+\lambda_1^{-1})} \int_{\tau}^t e^{\sigma s}\|f(s)\|_*^2{\rm d}s. $

从上式可推得

$ \|u(t)\|^2\leqslant (1+\alpha^{-2}\lambda_1^{-1}) e^{-\sigma(t-\tau)}\|u_{\tau}\|^2 +\frac{\alpha^{-2}e^{-\sigma t}} {2\nu-\sigma(\alpha^2+\lambda_1^{-1})} \int_{\tau}^t e^{\sigma s}\|f(s)\|_*^2{\rm d}s, $

$ \int_{\tau}^te^{\sigma s} |u(s)|_{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s \leqslant \mu^{-1}(\alpha^{2}+\lambda_1^{-1}) e^{\sigma\tau}\|u_{\tau}\|^2 +\frac{\mu^{-1}} {2\nu-\sigma(\alpha^2+\lambda_1^{-1})} \int_{\tau}^t e^{\sigma s}\|f(s)\|_*^2{\rm d}s. $

引理4.1证明完毕.

根据估计式(4.1), 在$ {\cal P}(W) $中定义下面的集合族.

定义4.1   对每个$ \sigma>0 $, 记$ {\cal D}_{\sigma}^{W} $表示非空集合族类$ \widehat{D} = \{D(t):t\in {{\Bbb R}} \}\subset {\cal P}(W) $使得

$ \lim\limits_{\tau\rightarrow -\infty}(e^{\sigma \tau}\sup\limits_{v\in D(\tau)}\|v\|^2) = 0. $

注4.1  注意$ {\cal D}_{F}^{W}\subset {\cal D}_{\sigma}^{W} $和$ {\cal D}_{\sigma}^{W} $是闭包含的, 即如果$ \widehat{D}\in {\cal D}_{\sigma}^{W} $和$ \widehat{D'} = \{D'(t):t\in{{\Bbb R}} \}\subset {\cal P}(W) $且$ D'(t)\subset D(t), \forall t\in{{\Bbb R}} $, 则$ \widehat{D'}\in {\cal D}_{\sigma}^{W} $.

从上面的估计可以看出, 如果$ f $满足合适的增长条件, 可以直接推出吸收族的存在性. 因此, 我们有下面的结论.

推论4.1   假设$ \beta\geqslant1 $及$ f\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V') $满足

(4.5) $ \begin{equation} \int^0_{-\infty}e^{\sigma s}\|f(s)\|^2_* {\rm d}s<+\infty, \end{equation} $

其中$ 0<\sigma<2\nu(\alpha^2+\lambda_1^{-1})^{-1}. $则集合族$ \widehat{D_{\sigma}} = \{D_{\sigma}(t):t\in{{\Bbb R}} \} $关于过程$ U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W $是拉回$ {\cal D}_{\sigma}^{W} $ -吸收的, 并且$ \widehat{D_{\sigma}}\in {\cal D}_{\sigma}^{W} $, 其中

(4.6) $ \begin{equation} D_{\sigma}(t) = \overline{B}_{W}(0, \sqrt{R_{\sigma}(t)}) \end{equation} $

是$ W $中以原点为中心$ \sqrt{R_{\sigma}(t)} = \sqrt{r_1(t)+r_2(t)} $为半径的闭球, $ r_1(t) $和$ r_2(t) $的表达式由引理4.1给出.

下面我们证明过程$ U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W $在空间$ W $中的拉回渐近紧性.

引理4.2   在推论4.1的假设下, 过程$ U: {{\Bbb R}} ^2_d \times V\rightarrow W $是拉回$ {\cal D}_{\sigma} ^{W} $ -渐近紧的.

证   设$ t\in{{\Bbb R}} $, $ \widehat{D}\in {\cal D}_{\sigma}^{W} $, $ \{\tau_n\}\subset(-\infty, t-2] $且$ \tau_n\rightarrow -\infty $以及$ u_{\tau_n}\in D(\tau_n) $. 下面我们证明序列$ \{U(t, \tau_n)u_{\tau_n}\} $在$ W $中是相对紧的.

为了简便, 记$ u_n(t) = U(t;\tau_n, u_{\tau_n}) $. 由推论4.1可知, 对每个整数$ k\geqslant 0 $存在$ \tau_k(\widehat{D}, t)\leqslant t-k $使得$ U(t-k)\widehat{D}(\tau)\subset D_{\sigma}(t-k), \forall\tau\leqslant \tau_k(\widehat{D}, t) $. 由(4.6) 式定义的$ D_{\sigma}(t) $是$ W $中的有界集. 再根据对角线方法, 可以选取一个子列$ \{u_{\tau_{n'}}\}\subset\{ u_{\tau_n}\} $使得

(4.7) $ \begin{equation} U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\rightharpoonup w_k \ \ 在 W 中弱收敛, \ \ \forall k\geqslant 0, \end{equation} $

其中$ w_k\in D_{\sigma}(t-k). $

由推论4.1可知, 对每个固定的区间$ [t-k, t] $有$ \{u_n\} $在$ L^{\infty}(t-k, t;V) $有界. 因此, 存在$ \{u_{n}\} $的子列$ \{u_{n'}\} $和$ w_0\in L^{\infty}(t-k, t;V) $使得

(4.8) $ u_{n'}\rightharpoonup w_0 \ \ \text{在} \ L^{\infty}(t-k, t;V)\ \text{中弱*收敛, }{\nonumber}\\ u_{n'}\rightharpoonup w_0 \ \ \text{在} \ L^{2}(t-k, t;V)\ \text{中弱收敛, }{\nonumber}\\ u_{n'}\rightarrow w_0 \ \ \text{在} \ L^{2}(t-k, t;H) \ \text{中强收敛, }\\ u_{n'}\rightarrow w_0 \ \ \text{在} \ H\ \text{中强收敛, }\ a.e.\ s\in [t-k, t] {\nonumber}\\ u_{n'}\rightharpoonup w_0\ \ \text{在} \ L^{\beta+1}(t-k, t;\boldsymbol{{ {L} }}^{\beta+1}(\Omega))\ \text{中弱收敛}. $

根据(4.7) 和(4.8) 式可得

(4.9) $ w_0 = V-\text{weak}\lim\limits_{n'\rightarrow \infty} U(t, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}{\nonumber}\\ = V-\text{weak}\lim\limits_{n'\rightarrow \infty}U(t, t-k) U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}{\nonumber}\\ = U(t, t-k)[V-\text{weak}\lim\limits_{n'\rightarrow \infty} U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}]{\nonumber}\\ = U(t, t-k)w_k. $

想要证明过程$ U $在空间$ V $中的渐近紧性, 即证

(4.10) $ \begin{equation} \lim\limits_{n'\rightarrow \infty} \|U(t, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}-w_0\|^2 = 0. \end{equation} $

为此, 需要证明

(4.11) $ \begin{equation} \|w_0\|\leqslant\liminf\limits_{n'\rightarrow \infty} \|U(t, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\| \end{equation} $

和

(4.12) $ \begin{equation} \limsup\limits_{n'\rightarrow \infty}\|U(t, \tau_{n'}) u_{\tau_{n'}}\|\leqslant\|w_0\|. \end{equation} $

由(4.7)和(4.9)式可推出(4.11) 式成立. 因此, 我们只需证明(4.12) 式成立.

注意到对任意对$ (\tau, u_{\tau}), u_{\tau}\in V $, 解$ u(t) $满足微分等式

(4.13) $ \frac{\rm d}{{\rm d}t}(e^{\sigma t}|u(t)|_2^2+\alpha^2e^{\sigma t}\|u(t)\|^2) = \sigma e^{\sigma t}|u(t)|_2^2+\sigma\alpha^2 e^{\sigma t}\|u(t)\|^2-2\nu e^{\sigma t}\|u(t)\|^2{\nonumber}\\ -2\mu e^{\sigma t}|u(t)|_{\beta+1}^{\beta+1}+2e^{\sigma t}\langle f(t), u(t)\rangle. $

将上式中$ u $用$ U(\cdot, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}, \tau_{n'}\leqslant t-k $进行替换, 并对其在区间$ [t-k, t] $上积分, 可得

(4.14) $ |U(t, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}|_2^2+\alpha^2 \|U(t, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\|^2 {\nonumber} \\ = |U(t, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}|_2^2 +\alpha^2\|U(t, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\|^2 {\nonumber}\\ = e^{-\sigma k}(|U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}|_2^2 +\alpha^2\|U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\|^2){\nonumber}\\ -(2\nu-\sigma\alpha^2)\int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)}\|U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\|^2{\rm d}s {\nonumber}\\ +2\int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)}\langle f(s), U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\rangle {\rm d}s{\nonumber}\\ -2\mu\int_{t-k}^t e^{\sigma (s-t)} |U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}|_{\beta+1} ^{\beta+1}{\rm d}s {\nonumber}\\ +\int_{t-k}^t\sigma e^{\sigma(s-t)}|U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'}) u_{\tau_{n'}}|_2^2{\rm d}s. $

另一方面, 由(4.7)和(4.8) 式可得

(4.15) $ U(\cdot, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}} \rightharpoonup U(\cdot, t-k)w_k \quad \text{在}\ L^2(t-k, t;V) \ \text{弱收敛, } $

(4.16) $U(\cdot, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\rightarrow U(\cdot, t-k)w_k \quad \text{在}\ L^2(t-k, t;H) \ \text{强收敛, } $

(4.17) $U(\cdot, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}} \rightharpoonup U(\cdot, t-k)w_k \quad \text{在} \ L^{\beta+1}(t-k, t;\boldsymbol{{ {L} }}^{\beta+1}(\Omega))\ \text{弱收敛}. $

根据(4.16) 式得到

(4.18) $ \begin{equation} \lim\limits_{n'\rightarrow \infty}\int_{t-k}^t e^{\sigma(s-t)}|U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}} |_2^2{\rm d}s = \int_{t-k}^t e^{\sigma(s-t)}|U(s, t-k)w_k|_2^2{\rm d}s. \end{equation} $

由(4.17) 式可推导出

(4.19) $ \liminf\limits_{n'\rightarrow \infty}\int_{t-k}^t e^{\sigma(s-t)}|U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}| _{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s{\nonumber}\\ \geqslant \int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)} |U(s, t-k)w_k|_{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s. $

利用(4.15) 式可得到

(4.20) $ (2\nu-\sigma\alpha^2) \liminf\limits_{n'\rightarrow \infty}\int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)}\|U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\|^2{\rm d}s {\nonumber}\\ \geqslant (2\nu-\sigma\alpha^2) \int_{t-k}^te^{\sigma(s-t)}\|U(s, t-k)w_k\|^2{\rm d}s. $

因为$ e^{\sigma (\cdot-t)}h(\cdot)\in L^2(t-k, t;V') $, 由此可得

(4.21) $ \lim\limits_{n'\rightarrow \infty}\int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)}\langle f(s), U(s, t-k)U(t-k, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\rangle {\rm d}s{\nonumber}\\ = \int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)}\langle f(s), U(s, t-k)w_k\rangle {\rm d}s. $

将(4.18)–(4.21) 式代入(4.14) 式中, 再利用(4.7)式(取$ k = 0 $)和(4.6)式, 可推出

(4.22) $ |w_0|^2+\alpha^2\limsup\limits_{n'\rightarrow \infty} \|U(t, \tau_{n'})u_{\tau_{n'}}\|^2{\nonumber}\\ \leqslant e^{-\sigma k}(\lambda_1^{-1}+1)R_{\sigma}(t-k) +2\int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)}\langle f(s), U(s, t-k)w_k\rangle {\rm d}s {\nonumber}\\ +\sigma\int_{t-k}^t e^{\sigma(s-t)}|U(s, t-k)w_k|^2{\rm d}s -(2\nu-\sigma\alpha^2)\int_{t-k}^te^{\sigma(s-t)} \|U(s, t-k)w_k\|^2{\rm d}s {\nonumber}\\ -2\mu\int_{t-k}^te^{\sigma(s-t)} |U(s, t-k)w_k|_{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s. $

在(4.13) 式中取$ u = U(t, t-k)w_k $, 并对其再积分一次, 可得到

(4.23) $ |w_0|^2+\alpha^2\|w_0\|^2 = e^{-\sigma k}(|w_k|^2+\|w_k\|^2)+2\int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)}\langle f(s), U(s, t-k)w_k\rangle {\rm d}s {\nonumber}\\ +\sigma\int_{t-k}^t e^{\sigma(s-t)}|U(s, t-k)w_k|^2{\rm d}s{\nonumber}\\ -(2\nu-\sigma\alpha^2) \int_{t-k}^te^{\sigma(s-t)}\|U(s, t-k)w_k\|^2{\rm d}s {\nonumber}\\ -2\mu\int_{t-k}^te^{\sigma (s-t)} |U(s, t-k)w_k|_{\beta+1}^{\beta+1}{\rm d}s. $

比较(4.22)和(4.23)式, 可推出

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{n'\rightarrow \infty}\|U(t, \tau_{n'}) u_{\tau_{n'}} \|^2\leqslant e^{-\sigma k} (\lambda_1^{-1}+1)R_{\sigma}(t-k)+\|w_0\|^2. \end{eqnarray*} $

然而, 根据(4.6) 式可知

$ \lim\limits_{k\rightarrow \infty} e^{-\sigma k}(\lambda_1^{-1}+1)R_{\sigma}(t-k) = 0, $

上式意味着

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{n'\rightarrow \infty}\|U(t, \tau_{n'}) u_{\tau_{n'}}\|^2\leqslant \|w_0\|^2. \end{eqnarray*} $

定理证明完毕.

作为上述结论的直接结果, 我们得到了过程$ U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W $的极小拉回吸引子的存在性.

定理4.1   假设$ \beta\geqslant1 $, $ f\in L^2_{\rm loc}({{\Bbb R}} ;V') $满足条件(4.5). 则过程$ U: {{\Bbb R}} ^2_d\times V\rightarrow W $存在极小拉回$ {\cal D}_F^W $ -吸引子$ {\cal A}_{{\cal D}_F^W} = \{{\cal A}_{{\cal D}_F^W}(t):t\in {{\Bbb R}} \} $和极小拉回$ {\cal D}_{\sigma}^W $ -吸引子$ {\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^W} = \{{\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^W}(t):t\in {{\Bbb R}} \} $. 族$ {\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^W}\subset {\cal D}_{\sigma}^W $并有下面的关系成立

(4.24) $ \begin{equation} {\cal A}_{{\cal D}_F^W}(t)\subset {\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^W}(t)\subset \overline{B}_{W} (0, R_{\sigma}^{1/2}(t)) \qquad \forall t\in {{\Bbb R}} . \end{equation} $

此外, 若$ f $满足更强的条件

(4.25) $ \begin{equation} \sup\limits_{r\leqslant 0}\left(e^{-\sigma r} \int_{-\infty}^re^{\sigma s} \|f(s)\|_*^2{\rm d}s\right)<\infty, \end{equation} $

则上面两个吸引子是一致的, 即

(4.26) $ \begin{equation} {\cal A}_{{\cal D}_F^V}(t) = {\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}^V}(t) \qquad \forall t\in{{\Bbb R}} . \end{equation} $

证   根据定理2.1, 推论2.1, 命题4.1, 推论4.1和引理4.2可直接得到吸引子$ {\cal A}_{{\cal D}_F} $和$ {\cal A}_{{\cal D}_{\sigma}} $的存在性.

由定理2.1和推论2.1可知(4.24) 式中的包含关系是成立的.

因为推论4.1给出的表达式$ R_{\sigma}(t) $满足：对每一个$ T\in {{\Bbb R}} $, $ \bigcup\limits_{t\leqslant T}R_{\sigma}(t) $是有界的. 从而根据注2.1, 可知满足假设(4.25) 的两个吸引子族是一致的, 即(4.26) 式成立. 定理证毕.