三维空间中的可压Navier-Stokes方程如下

其中$\rho = \rho(t, x)$, $u = u(t, x)$分别代表密度和速度场, 压强函数$P = P(\rho)$在正常数$\bar\rho$的某邻域内光滑, 且满足$P'(\bar\rho)>0$. 假设$\bar\rho = 1$, Lamé系数$\mu$和$\nu$满足$\mu >0$及$\nu +\frac23\mu\geq0$.

迄今为止, 很多学者研究全空间中可压Navier-Stokes方程经典解的大时间行为问题, 具体可参见文献[1-2, 4, 7, 10-11, 13]及其参考文献. 例如, 在小初值的假设条件下, Matsumura和Nishida^[10]首先证明三维空间中可压Navier-Stokes方程经典解的整体存在性, 通过进一步假设初始小扰动属于$L^1({{\Bbb R}} ^3)$, 结合线性系统的谱分析和非线性系统的能量估计方法, 得到解的$L^2$ -模最佳衰减估计

随后, 在初始小扰动属于$H^l({{\Bbb R}} ^d)\cap W^{l, 1}({{\Bbb R}} ^d) (l\geq4)$的假设条件下, Ponce^[13]得到了解的$L^p$ -模最佳衰减估计

当初始扰动在Sobolev空间中充分小, 且在$L^p({{\Bbb R}} ^3)(1\le p < \frac65)$中有界时, Duan等人^[1-2]得到解的$L^q(2\le q\le 6)$ -模和其一阶导的$L^2$ -模最佳衰减估计. 将初始扰动属于$L^p({{\Bbb R}} ^3)(1\le p < \frac65)$的假设条件替换作$(\rho_0-1, \rho_0u_0)$在齐次Besov空间$\dot{B}_{1, \infty}^{-s}({{\Bbb R}} ^3)(s\in [0, 1])$中有界, Li和Zhang^[7] 则证明了

假设初始扰动在$H^l({{\Bbb R}} ^3)(l\geq 3)$中充分小, 并在$\dot{H}^{-s}({{\Bbb R}} ^3)(s\in [0, \frac32))$中有界, Guo和Wang^[4]利用纯能量方法得到解的各阶导的衰减估计结果

以及

在以往工作中, 研究方程(1.1)解的衰减估计的方法主要有两种. 一是谱分析和能量方法的结合(参见文献[1, 7, 10]), 这种方法难以得到高阶导数的最佳衰减估计. 二是Guo和Wang^[4] 提出的纯能量方法, 作者首先利用如下不等式

来确定热方程的经典衰减估计结果, 然后结合能量估计, 将该法应用于Navier-Stokes方程

其中${\cal E}_k^l\approx\|\nabla^{k}(\rho-1, u)\|_{H^{l-k}({{\Bbb R}} ^3)}^2$. 然而, 由于双曲-抛物系统的耦合性, 利用这种做法, 解最高阶导的最佳衰减仍无法得到. 而该文的目的正是解决这一问题. 为此, 回顾以下线性系统

其中$U = (\rho-1, u)$, 以及矩阵微分算子$D$具以下形式

基于对线性系统(1.2)的Green矩阵$G = e^{tD}$的Fourier变换$\widehat{G}$的谱分析, 可知$\widehat{G}$低频部分的$L^2$ -模衰减和标准热方程的衰减结果相同. 受到Hu-Wu^[5]高低频分解想法的启发, 本文将通过谱分析和能量估计得到非线性系统解低频部分的衰减估计, 再结合能量方法和低频估计, 得到解高频部分的衰减估计.

$\nabla ^{\ell }(\ell \geq 0)$代表对空间变量的$\ell$阶偏导. $L^{p}({{\Bbb R}} ^{3})(1\leq p\leq \infty)$代表$L^{p}$空间, 其范数为$\|\cdot\|_{L^{p}}$, $H^{s}({{\Bbb R}} ^{3})$代表Sobolev空间, 其范数为$\|\cdot\|_{H^s}$, 以及$\dot{H}^{s}({{\Bbb R}} ^{3})$代表齐次Sobolev空间, 其范数$\|\cdot\|_{\dot{H}^s} : = \|\Lambda^s \cdot\|_{L^2} = \||\xi|^s\widehat{\cdot}\|_{L^2}$. $C$用来统一表示仅和问题所涉及的参数相关的正常数. 记号$a\lesssim b$代表$a\leq Cb$.

选取径向函数$\phi\in C_0^\infty({{\Bbb R}} ^3_\xi)$, 使当$|\xi| \le 1$时, $\phi(\xi) = 1$; 当$|\xi| \geq 2$时, $\phi(\xi) = 0$. 定义函数$f$的低频部分

和$f$的高频部分

如果$f$的Fourier变换存在, 那么$f = f^L +f^H$.

定理2.1   假设$\|(\rho_0-1, u_0)\|_{H^l}(l\geq3)$充分小, 则方程(1.1)存在整体惟一解$(\rho(t, x), u(t, x))$, 并满足

进一步假设初值

其中$m_0 = \rho_0u_0$. 那么对$k = 0, \cdots, l$, 成立

注2.1   (a) 在以往的工作中, 除了最高阶导, 可压Navier-Stokes方程解的各阶导的最佳衰减估计结果均已得到, 参见文献[1-2, 4]及引用文. 而定理2.1则证明了解最高阶导的最佳衰减估计.

(b) 注意到, Guo和Wang^[4]要求初始扰动属于$\dot{H}^{-s}(0\le s<\frac32)$, 本文将$s$的取值范围推广至$0\le s<\frac52$. 事实上, 若将初值条件(2.2)替换作以下条件^{[15, 17]}

虽然该条件相较初始扰动属于$L^1$或$\dot{H}^{-s}$的条件都更弱, 但利用本文的方法, 仍可得到同样的衰减结果. 而对不可压Navier-Stokes方程, 在类似(2.4)式的假设条件下, 最佳衰减估计结果早已得到, 参见文献[9].

方程(1.1)解的整体存在性和惟一性可由标准的连续性方法证得, 参见文献[11]. 现考虑如下同方程(1.1) 等价的线性化系统

其中$\varrho = \rho-1$, $m = \rho u$以及

命题3.1 (最佳衰减估计)  假设$C_0 = \|(\varrho_0, u_0)\|_l(l\geq3)$充分小, 则方程(3.1)存在整体惟一解$(\rho(t, x), m(t, x))$, 并满足

若进一步假设初值$\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}}<+\infty(0\le s< \frac52)$, 则对$k = 0, \cdots, l$, 成立

注3.1   (3.3)式易由(2.1)式和引理6.2推得. 而由(3.4)式, 可证得(2.3)式对$k = 0, \cdots, l$成立. 故只需证明命题3.1, 即可证得定理2.1.

线性化系统(3.1)的Green矩阵的Fourier变换表达式具体如下^[6].

引理4.1   线性化系统(3.1)的Green矩阵$G = e^{tD}$的Fourier变换

其中

令$V = (\varrho, m)^T$和${\cal N} = (0, N)^T$, 那么方程(3.1) 可化为

其中$D$的定义由(1.3)式给出. 故方程(4.2)的解可表为

根据引理4.1, 若${\cal N} = 0$, 线性方程(4.2) 的解$V(t) = G(t)\ast V_0$的估计如下^[6].

引理4.2   (a) 若$|\xi|\ll1$, 则成立

(b) 若$|\xi| \gg1$, 则存在一个正常数$R$, 使得

以及

成立.

根据引理4.2, 若${\cal N} = 0$, 线性方程(4.2)的解$V(t) = G(t)\ast V_0$的衰减可估计如下.

命题4.1   假设$(\varrho_0, m_0)\in H^l({{\Bbb R}} ^3) \cap\dot{H}^{-s}({{\Bbb R}} ^3)$. 则线性方程的解$(\varrho, m)$满足

和

证   这里仅证明(4.7)式. 事实上, 由引理4.2, Plancherel定理以及Hausdorff-Young不等式, 成立

根据Duhamel原理, 方程(4.2) 解的空间导数可表示如下^[16]

其中$0\le r\le k$. 则由命题4.1的证明方法, 易得上式非线性部分的如下估计.

命题4.2   (ⅰ)

(ⅱ)

引理5.1   假设$r_1 >1$, $r_2\in [0, r_1]$, 则有^[2]

定义

本节将证明${\cal H}(t)\le C$, 即证明命题3.1成立. 由Sobolev插值不等式(6.2)可知, 对$1\le k\le l-1$, $\|\nabla^k(\varrho, m)\|_{L^2}\lesssim \|(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac {l-k}l \|\nabla^l(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac kl$. 因此接下来仅估计$(\varrho, m)$及其最高阶导的$L^2$ -模衰减, 证明分三个步骤完成.

第一步: $(\varrho, u)$的$L^2$ -模最佳衰减.

引理5.2   在命题3.1的假设条件下, 成立

证   根据(4.7)式, (4.10)式及不等式$e^{-Rt}\lesssim (1+t)^{-\frac s2}$, 从(4.3)式可推得

定义

和

由(3.2)式易得$|F|\lesssim |F_1| +|\nabla F_2|$. 由于$F_1$和$F_2$的各项可以看作关于$\varrho$和$m$的两个光滑函数的乘积, 从而根据引理6.1–6.2, 引理6.4–6.5, (5.2)式及${\cal H}(t)$的单调性, 可得

类似有

将(5.7)–(5.8)式代入(5.4)式, 根据引理5.1可得

证毕.

第二步: $\nabla^l(\varrho^L, u^L)$的$L^2$ -模最佳衰减.

引理5.3   在命题3.1的假设条件下, 成立

证   在(4.9)式中取$k = l$, $r = 2$, 再在(4.11)式中取$s = \frac14$, 可得

由引理6.1–6.4可得

将(5.7)式和(5.11)式代入(5.10), 可得

证毕.

第三步: $\nabla^l(\varrho^H, u^H)$的$L^2$ -模最佳衰减.

引理5.4   在命题3.1的假设条件下, 成立

证   方程(1.1)的线性化形式如下

其中非线性项

以及

通过计算$P'(1)\langle\nabla^l(5.14)_1, \nabla^l\varrho\rangle +\langle\nabla^l(5.14)_2, \nabla^lu\rangle$可得

利用方程(5.14)以及引理6.1–6.4, (5.15)式右端可估计为

从而, 将(5.16)式和(5.17)式代入(5.15)式, 再利用$C_0$的小性, 可得

将算子$\mathfrak{F}^{-1}[(1-\phi(\xi))\mathfrak{F}(\cdot)]$作用于方程(5.14), 可得

通过计算$\langle \nabla ^l (5.18)_1, \nabla ^{l-1}u^H\rangle +\langle\nabla ^{l-1}(5.19)_2, \nabla ^l\varrho^H\rangle$, 可得

利用(5.16)–(5.17)式的估计方法以及不等式$\|f\|_{L^2}\approx \|f^L\|_{L^2} +\|f^H\|_{L^2}$和$\|f^H\|_{L^2}\lesssim\|\nabla f\|_{L^2}$, 可得

及

将(5.21)–(5.23)式代入(5.20)式, 可推得

其中$C_1>\frac\mu{4\sqrt{P'(1)}}$是一个正常数.

通过计算(5.18)式$+\frac{\mu}{4C_1}$(5.24)式, 可得

定义

注意到

从而根据Cauchy不等式以及$C_1>\frac\mu{4\sqrt{P'(1)}}$, 可得

让(5.24)式两端加上$\|\nabla^l(\varrho^L, u^L)\|_{L^2}^2$, 根据等价关系(5.26)式, 可得

这里$C_2$是某个正常数. 最后, 由(5.27)式以及(5.9)式可推得

证毕.

结合${\cal H}(t)$的定义, 引理5.2–5.4, 可得

从而由$C_0$的小性可知, ${\cal H}(t)\le C$.

Gagliardo-Nirenberg不等式如下^[12].

引理6.1   令$0\le j\le k$, 则

其中$\frac jk \le a \le 1$, 且

特别地, 当$p = q = r = 2$时, 成立

函数的乘积估计如下^[8].

引理6.2   对$k\geq0$, 成立

和

这里$p_0, p_2, p_3\in (1, \infty)$, 且

利用引理6.2, 易得以下的交换子估计.

引理6.3   假设$f$和$g$是两个光滑函数, 且属于$H^k\cap L^\infty(k\ge1)$. 定义交换子

则有

这里$p_i(i = 0, 1, 2, 3, 4)$同引理6.2中的定义相同.

利用引理6.1和引理6.2, 易得光滑函数$F(f)$的空间导数的$L^2$ -模估计.

引理6.4   假设$F(f)$是个关于$f$的光滑函数, 其任意阶导有界, 且$f$属于$H^k(k\ge3)$, 则有

进一步地, 若$f$有上下界, 且$\|f\|_k\le 1$, 则

引理6.5   令$0<s<3$, $1<p<q<\infty$, $\frac1q +\frac s3 = \frac1p$, 则

特别地, 对$-1<s<\frac32$, 成立

证   (6.9)式的证明参见文献[3, 14], (6.10)式的证明则由(6.1)式和(6.9)式容易推得.