三维空间中的可压Navier-Stokes方程如下

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \rho_t+{\rm div}(\rho u ) = 0, \\(\rho u)_t +{\rm div}(\rho u \otimes u )- \mu\Delta u- (\mu +\nu)\nabla{\rm div}u +\nabla P = 0, \\(\rho, u)|_{t = 0} = (\rho_0, u_0), \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \rho = \rho(t, x) $, $ u = u(t, x) $分别代表密度和速度场, 压强函数$ P = P(\rho) $在正常数$ \bar\rho $的某邻域内光滑, 且满足$ P'(\bar\rho)>0 $. 假设$ \bar\rho = 1 $, Lamé系数$ \mu $和$ \nu $满足$ \mu >0 $及$ \nu +\frac23\mu\geq0 $.

迄今为止, 很多学者研究全空间中可压Navier-Stokes方程经典解的大时间行为问题, 具体可参见文献[1-2, 4, 7, 10-11, 13]及其参考文献. 例如, 在小初值的假设条件下, Matsumura和Nishida^[10]首先证明三维空间中可压Navier-Stokes方程经典解的整体存在性, 通过进一步假设初始小扰动属于$ L^1({{\Bbb R}} ^3) $, 结合线性系统的谱分析和非线性系统的能量估计方法, 得到解的$ L^2 $ -模最佳衰减估计

$ \|(\rho-1, u)\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)}\le C(1+t)^{-\frac34}. $

随后, 在初始小扰动属于$ H^l({{\Bbb R}} ^d)\cap W^{l, 1}({{\Bbb R}} ^d) (l\geq4) $的假设条件下, Ponce^[13]得到了解的$ L^p $ -模最佳衰减估计

$ \|\nabla^k(\rho-1, u)\|_{L^p({{\Bbb R}} ^d)}\le C(1+t)^{-\frac d2\left(1-\frac1p\right)-\frac k2}, \quad 2\le p\le \infty, \quad k = 0, 1, 2. $

当初始扰动在Sobolev空间中充分小, 且在$ L^p({{\Bbb R}} ^3)(1\le p < \frac65) $中有界时, Duan等人^[1-2]得到解的$ L^q(2\le q\le 6) $ -模和其一阶导的$ L^2 $ -模最佳衰减估计. 将初始扰动属于$ L^p({{\Bbb R}} ^3)(1\le p < \frac65) $的假设条件替换作$ (\rho_0-1, \rho_0u_0) $在齐次Besov空间$ \dot{B}_{1, \infty}^{-s}({{\Bbb R}} ^3)(s\in [0, 1]) $中有界, Li和Zhang^[7] 则证明了

$ \|(\rho-1, m)\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)}\le C(1+t)^{-\left(\frac34+\frac s2\right)}. $

假设初始扰动在$ H^l({{\Bbb R}} ^3)(l\geq 3) $中充分小, 并在$ \dot{H}^{-s}({{\Bbb R}} ^3)(s\in [0, \frac32)) $中有界, Guo和Wang^[4]利用纯能量方法得到解的各阶导的衰减估计结果

$ \|\nabla^{k}(\rho-1, u)\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)}\le C(1+t)^{-\frac{k+s}2}, \quad k = 0, \cdots, l-1 $

以及

$ \|\nabla^{l}(\rho-1, u)\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)}\le C(1+t)^{-\frac{l-1+s}2}. $

在以往工作中, 研究方程(1.1)解的衰减估计的方法主要有两种. 一是谱分析和能量方法的结合(参见文献[1, 7, 10]), 这种方法难以得到高阶导数的最佳衰减估计. 二是Guo和Wang^[4] 提出的纯能量方法, 作者首先利用如下不等式

$ \|\nabla^{l+1}u(t)\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)}\le \|\Lambda^{-s}u_0\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)}^{-\frac1{l+s}} \|\nabla^lu(t)\|_{L^2({{\Bbb R}} ^3)}^{1+\frac1{l+s}} $

来确定热方程的经典衰减估计结果, 然后结合能量估计, 将该法应用于Navier-Stokes方程

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}{\cal E}_k^l(t) +\|\nabla^{k+1}(\rho-1, u)\|_{H^{l-k-1}({{\Bbb R}} ^3)}^2\le 0, \quad k = 0, \cdots, l-1, $

其中$ {\cal E}_k^l\approx\|\nabla^{k}(\rho-1, u)\|_{H^{l-k}({{\Bbb R}} ^3)}^2 $. 然而, 由于双曲-抛物系统的耦合性, 利用这种做法, 解最高阶导的最佳衰减仍无法得到. 而该文的目的正是解决这一问题. 为此, 回顾以下线性系统

(1.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} U_t = DU, \\ U|_{t = 0} = U_0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ U = (\rho-1, u) $, 以及矩阵微分算子$ D $具以下形式

(1.3) $ \begin{equation} D = \left(\begin{array}{cccc} 0{\quad} & -{\rm div} \\ -P'(1)\nabla{\quad} & \mu\Delta +(\mu +\nu)\nabla{\rm div}\\ \end{array}\right). \end{equation} $

基于对线性系统(1.2)的Green矩阵$ G = e^{tD} $的Fourier变换$ \widehat{G} $的谱分析, 可知$ \widehat{G} $低频部分的$ L^2 $ -模衰减和标准热方程的衰减结果相同. 受到Hu-Wu^[5]高低频分解想法的启发, 本文将通过谱分析和能量估计得到非线性系统解低频部分的衰减估计, 再结合能量方法和低频估计, 得到解高频部分的衰减估计.

$ \nabla ^{\ell }(\ell \geq 0) $代表对空间变量的$ \ell $阶偏导. $ L^{p}({{\Bbb R}} ^{3})(1\leq p\leq \infty) $代表$ L^{p} $空间, 其范数为$ \|\cdot\|_{L^{p}} $, $ H^{s}({{\Bbb R}} ^{3}) $代表Sobolev空间, 其范数为$ \|\cdot\|_{H^s} $, 以及$ \dot{H}^{s}({{\Bbb R}} ^{3}) $代表齐次Sobolev空间, 其范数$ \|\cdot\|_{\dot{H}^s} : = \|\Lambda^s \cdot\|_{L^2} = \||\xi|^s\widehat{\cdot}\|_{L^2} $. $ C $用来统一表示仅和问题所涉及的参数相关的正常数. 记号$ a\lesssim b $代表$ a\leq Cb $.

选取径向函数$ \phi\in C_0^\infty({{\Bbb R}} ^3_\xi) $, 使当$ |\xi| \le 1 $时, $ \phi(\xi) = 1 $; 当$ |\xi| \geq 2 $时, $ \phi(\xi) = 0 $. 定义函数$ f $的低频部分

$ f^L = \mathfrak{F}^{-1}[\phi(\xi)\widehat{f}] $

和$ f $的高频部分

$ f^H = \mathfrak{F}^{-1}[(1-\phi(\xi))\widehat{f}]. $

如果$ f $的Fourier变换存在, 那么$ f = f^L +f^H $.

定理2.1   假设$ \|(\rho_0-1, u_0)\|_{H^l}(l\geq3) $充分小, 则方程(1.1)存在整体惟一解$ (\rho(t, x), u(t, x)) $, 并满足

(2.1) $ \begin{equation} \|(\rho -1, u)(t)\|_{H^l}^2 +\int_0^t(\|\nabla\rho(\tau)\|_{l-1}^2+\|\nabla u(\tau)\|_l) d\tau \lesssim \|(\rho_0-1, u_0)\|_{H^l}^2. \end{equation} $

进一步假设初值

(2.2) $ \begin{equation} \|(\rho_0-1, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}}<+\infty, \quad 0\le s<\frac52, \end{equation} $

其中$ m_0 = \rho_0u_0 $. 那么对$ k = 0, \cdots, l $, 成立

(2.3) $ \begin{equation} \|\nabla^k(\rho -1, u)(t)\|_{L^2} \lesssim(1+t)^{- \frac{k+s}2}. \end{equation} $

注2.1   (a) 在以往的工作中, 除了最高阶导, 可压Navier-Stokes方程解的各阶导的最佳衰减估计结果均已得到, 参见文献[1-2, 4]及引用文. 而定理2.1则证明了解最高阶导的最佳衰减估计.

(b) 注意到, Guo和Wang^[4]要求初始扰动属于$ \dot{H}^{-s}(0\le s<\frac32) $, 本文将$ s $的取值范围推广至$ 0\le s<\frac52 $. 事实上, 若将初值条件(2.2)替换作以下条件^{[15, 17]}

(2.4) $ \begin{equation} \|(\rho_0-1, m_0)\|_{\dot{B}^{-s}_{2, \infty}}<+\infty, \quad 0\le s\le\frac52, \end{equation} $

虽然该条件相较初始扰动属于$ L^1 $或$ \dot{H}^{-s} $的条件都更弱, 但利用本文的方法, 仍可得到同样的衰减结果. 而对不可压Navier-Stokes方程, 在类似(2.4)式的假设条件下, 最佳衰减估计结果早已得到, 参见文献[9].

方程(1.1)解的整体存在性和惟一性可由标准的连续性方法证得, 参见文献[11]. 现考虑如下同方程(1.1) 等价的线性化系统

(3.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \varrho_t +{\rm div}m = 0, \\m_t +P'(1)\nabla\varrho -\mu\Delta m -(\mu +\nu)\nabla{\rm div}m = N, \\(\varrho, m)|_{t = 0} = (\varrho_0, m_0) = (\rho_0-1, \rho_0u_0), \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \varrho = \rho-1 $, $ m = \rho u $以及

(3.2) $ \begin{eqnarray} N& = &: {\rm div}F{}\\ & = &: {\rm div}\bigg((-P(1+\varrho) +P(1) + P'(1)\varrho)I_3 -\frac{m\otimes m}{1+\varrho} +\mu\nabla\left(\frac{\varrho m}{1+\varrho}\right){}\\ && +(\mu +\nu){\rm div}\left(\frac{\varrho m}{1+\varrho}\right)I_3\bigg). \end{eqnarray} $

命题3.1 (最佳衰减估计)  假设$ C_0 = \|(\varrho_0, u_0)\|_l(l\geq3) $充分小, 则方程(3.1)存在整体惟一解$ (\rho(t, x), m(t, x)) $, 并满足

(3.3) $ \begin{equation} \|(\varrho, m)(t)\|_{H^l} \lesssim C_0. \end{equation} $

若进一步假设初值$ \|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}}<+\infty(0\le s< \frac52) $, 则对$ k = 0, \cdots, l $, 成立

(3.4) $ \begin{equation} \|\nabla^k(\varrho, m)(t)\|_{L^2} \lesssim(1+t)^{- \frac{k+s}2}. \end{equation} $

注3.1   (3.3)式易由(2.1)式和引理6.2推得. 而由(3.4)式, 可证得(2.3)式对$ k = 0, \cdots, l $成立. 故只需证明命题3.1, 即可证得定理2.1.

线性化系统(3.1)的Green矩阵的Fourier变换表达式具体如下^[6].

引理4.1   线性化系统(3.1)的Green矩阵$ G = e^{tD} $的Fourier变换

(4.1) $ \begin{eqnarray} \widehat{G}(t, \xi) & = &: \left(\widehat{G}_{ij}(t, \xi)\right)_{2\times2}{}\\ & = &\left(\begin{array}{cccc} { } \frac{\lambda_+e^{\lambda_-t} -\lambda_-e^{\lambda_+t}}{\lambda_+ -\lambda_-}{\quad} & { } -{\rm i}\frac{e^{\lambda_+t} -e^{\lambda_-t}}{\lambda_+ -\lambda_-}\xi^T\\ { } -{\rm i}P'(1)\frac{e^{\lambda_+t} -e^{\lambda_-t}}{\lambda_+ -\lambda_-}\xi {\quad}& { } e^{-\mu|\xi|^2t}I +\left(\frac{\lambda_+e^{\lambda_+t} -\lambda_-e^{\lambda_-t}}{\lambda_+ -\lambda_-} -e^{-\mu|\xi|^2t}\right)\frac{\xi\xi^T}{|\xi|^2} \end{array}\right), {\qquad} \end{eqnarray} $

其中

$ \lambda_\pm(|\xi|) = -\left(\mu +\frac\nu 2\right)|\xi|^2 \pm \sqrt{\left(\mu +\frac\nu 2\right)^2|\xi|^4 -P'(1)|\xi|^2}. $

令$ V = (\varrho, m)^T $和$ {\cal N} = (0, N)^T $, 那么方程(3.1) 可化为

(4.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} V_t = DV +{\cal N}, \\ V|_{t = 0} = V_0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ D $的定义由(1.3)式给出. 故方程(4.2)的解可表为

(4.3) $ \begin{equation} V = G(t)\ast V_0 +\int_0^tG(t-\tau)\ast{\cal N}(\tau){\rm d}\tau. \end{equation} $

根据引理4.1, 若$ {\cal N} = 0 $, 线性方程(4.2) 的解$ V(t) = G(t)\ast V_0 $的估计如下^[6].

引理4.2   (a) 若$ |\xi|\ll1 $, 则成立

(4.4) $ \begin{equation} |\widehat{\varrho}|, |\widehat{m}|\lesssim e^{-\left(\mu +\frac\nu2\right)|\xi|^2t}(|\widehat{\varrho}_0| +|\widehat{m}_0|). \end{equation} $

(b) 若$ |\xi| \gg1 $, 则存在一个正常数$ R $, 使得

(4.5) $ \begin{equation} |\widehat{\varrho}|\lesssim e^{-Rt}\left(|\widehat{\varrho}_0| +|\widehat{m}_0|\right) \end{equation} $

以及

(4.6) $ \begin{equation} |\widehat{m}|\lesssim e^{-Rt}\left(|\widehat{\varrho}_0| +|\widehat{m}_0|\right) +e^{-\left(\mu +\frac\nu2\right)|\xi|^2t}|\widehat{m}_0| \end{equation} $

成立.

根据引理4.2, 若$ {\cal N} = 0 $, 线性方程(4.2)的解$ V(t) = G(t)\ast V_0 $的衰减可估计如下.

命题4.1   假设$ (\varrho_0, m_0)\in H^l({{\Bbb R}} ^3) \cap\dot{H}^{-s}({{\Bbb R}} ^3) $. 则线性方程的解$ (\varrho, m) $满足

(4.7) $ \begin{equation} \|(\varrho, m)\|_{L^2}^2 \lesssim (1+t)^{- s}\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}}^2 +e^{-2Rt}\left(\|\varrho_0\|_{L^2} ^2 +\|m_0\|_{L^2}^2\right) \end{equation} $

和

(4.8) $ \begin{equation} \|\nabla^l(\varrho^L, m^L)\|_{L^2}^2 \lesssim (1+t)^{- (l+s)}\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}}^2. \end{equation} $

证   这里仅证明(4.7)式. 事实上, 由引理4.2, Plancherel定理以及Hausdorff-Young不等式, 成立

$ \begin{eqnarray*} \|(\varrho, m)\|_{L^2}^2 & = &\|(\widehat{\varrho}, \widehat{m})\|_{L^2}^2\\ &\lesssim &\int_{|\xi|<1}e^{-(2\mu+\nu)|\xi|^2t}\left(|\widehat{\varrho}_0|^2+ |\widehat{m}_0|^2\right){\rm d}\xi +\int_{|\xi| \geq2}e^{-2Rt}\left(|\widehat{\varrho}_0| +|\widehat{m}_0|\right)^2 {\rm d}\xi\\ &\lesssim &\sup\limits_{|\xi|<1}\left\{|\xi|^{2s}e^{-(2\mu+\nu)|\xi|^2t}\right\} \int_{{{\Bbb R}} ^3}|\xi|^{-2s}\left(|\widehat{\varrho}_0|^2+ |\widehat{m}_0|^2\right){\rm d}\xi \\ &&+e^{-2Rt}\int_{|\xi| \geq2}\left(\widehat{\varrho}_0| +|\widehat{m}_0|\right)^2 {\rm d}\xi\\ &\lesssim &(1+t)^{- s}\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}}^2 +e^{-2Rt}\left(\|\varrho_0\|_{L^2}^2 +\|m_0\|_{L^2}^2\right). \end{eqnarray*} $

根据Duhamel原理, 方程(4.2) 解的空间导数可表示如下^[16]

(4.9) $ \begin{equation} \nabla ^kV = \nabla ^kG(t)\ast V_0 +\int_0^\frac{t}{2}\nabla ^kG(t-\tau)\ast{\cal N}(\tau){\rm d}\tau +\int_\frac{t}{2}^t\nabla^rG(t-\tau)\ast\nabla ^{k-r}{\cal N}(\tau){\rm d}\tau, \end{equation} $

其中$ 0\le r\le k $. 则由命题4.1的证明方法, 易得上式非线性部分的如下估计.

命题4.2   (ⅰ)

(4.10) $ \begin{equation} \|G\ast {\cal N}(t)\|_{L^2}^2 \lesssim (1+t)^{- s}\|{\cal N}\|_{\dot{H}^{-s}}^2 +e^{-2Rt}\|{\cal N}\|_{L^2}^2. \end{equation} $

(ⅱ)

(4.11) $ \begin{equation} \|\nabla ^kG\ast {\cal N}^L(t)\|_{L^2}^2 \lesssim (1+t)^{- (k+s)}\|{\cal N}^L\|_{\dot{H}^{-s}}^2, \quad 0\le k\le l. \end{equation} $

引理5.1   假设$ r_1 >1 $, $ r_2\in [0, r_1] $, 则有^[2]

(5.1) $ \begin{equation} \int_0^t(1+t-\tau)^{-r_1}(1+\tau)^{-r_2}{\rm d}\tau \le C(r_1, r_2)(1+t)^{-r_2}. \end{equation} $

定义

(5.2) $ \begin{equation} {\cal H}(t) = \sup\limits_{0\le \tau\le t}\sum\limits_{0\le k\le l}(1+\tau)^{k+s}\|\nabla^k(\varrho, m)(\tau)\|_{L^2}^2. \end{equation} $

本节将证明$ {\cal H}(t)\le C $, 即证明命题3.1成立. 由Sobolev插值不等式(6.2)可知, 对$ 1\le k\le l-1 $, $ \|\nabla^k(\varrho, m)\|_{L^2}\lesssim \|(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac {l-k}l \|\nabla^l(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac kl $. 因此接下来仅估计$ (\varrho, m) $及其最高阶导的$ L^2 $ -模衰减, 证明分三个步骤完成.

第一步: $ (\varrho, u) $的$ L^2 $ -模最佳衰减.

引理5.2   在命题3.1的假设条件下, 成立

(5.3) $ \begin{equation} \|(\varrho, m)\|_{L^2}\lesssim (1+t)^{-\frac s2}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l}+ C_0 \sqrt{{\cal H}(t)}\right). \end{equation} $

证   根据(4.7)式, (4.10)式及不等式$ e^{-Rt}\lesssim (1+t)^{-\frac s2} $, 从(4.3)式可推得

(5.4) $ \begin{eqnarray} \|(\varrho, m)\|_{L^2} &\lesssim& (1+t)^{-\frac s2}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}}+\|(\varrho_0, m_0)\|_{L^2}\right){}\\ &&+\int_0^t(1+t-\tau)^{-\frac s2}\left(\|N\|_{\dot{H}^{-s}} +\|N\|_{L^2}\right){\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

定义

(5.5) $ \begin{equation} F_1 = (-P(1+\varrho) +P(1) + P'(1)\varrho)I_3 -\frac{m\otimes m}{1+\varrho} \end{equation} $

和

(5.6) $ \begin{equation} F_2 = \frac{\varrho m}{1+\varrho}. \end{equation} $

由(3.2)式易得$ |F|\lesssim |F_1| +|\nabla F_2| $. 由于$ F_1 $和$ F_2 $的各项可以看作关于$ \varrho $和$ m $的两个光滑函数的乘积, 从而根据引理6.1–6.2, 引理6.4–6.5, (5.2)式及$ {\cal H}(t) $的单调性, 可得

(5.7) $ \begin{eqnarray} {}\|N\|_{\dot{H}^{-s}}& = &\|{\rm div} F\|_{\dot{H}^{-s}} \approx\|\nabla F_1\|_{\dot{H}^{-s}} +\|\nabla^2 F_2\|_{\dot{H}^{-s}}\\ {}&\lesssim&\|F_1\|_{L^1}^\frac{2s}5\|\nabla F_1\|_{L^2}^{1-\frac{2s}5} +\|\nabla F_2\|_{L^1}^\frac{2s}5\|\nabla^2 F_2\|_{L^2}^{1-\frac{2s}5}\\ {}&\lesssim &\|(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac{4s}5 \left(\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla(\varrho, m)\|_{L^6}\right)^{1-\frac{2s}5}\\ {}&&+\left(\|(\varrho, m)\|_{L^2}\|\nabla(\varrho, m)\|_{L^2}\right)^\frac{2s}5 \left(\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla^2(\varrho, m)\|_{L^6}\right)^{1-\frac{2s}5}\\ {}&\lesssim& \|(\varrho, m)\|_{L^2}^{1+\frac{2s}5} \left(\|\nabla^2(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac12\|\nabla^3(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac12\right)^{1-\frac{2s}5}\\ {}&&+\left(\|(\varrho, m)\|_{L^2}\|\nabla(\varrho, m)\|_{L^2}\right)^\frac{2s}5 \left(\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla^3(\varrho, m)\|_{L^2}\right)^{1-\frac{2s}5}\\ {}&\lesssim& \|(\varrho, m)\|_{H^1}\|(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac{2s}5\left(\|\nabla^2(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac12\|\nabla^3(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac12 +\|\nabla^3(\varrho, m)\|_{L^2}\right)^{1-\frac{2s}5}\\ {}&\lesssim &C_0(1+t)^{-\frac{s^2}5}\left((1+t)^{-\frac{2+s}4}(1+t)^{-\frac{3+s}4} +(1+t)^{-\frac{3+s}2}\right)^{1-\frac{2s}5}\sqrt{{\cal H}(t)}\\ &\lesssim &C_0 (1+t)^{-\frac54}\sqrt{{\cal H}(t)}. \end{eqnarray} $

类似有

(5.8) $ \begin{eqnarray} \|N\|_{L^2} & = &\|{\rm div}F\|_{L^2}{}\\ &\lesssim &\|\nabla F_1\|_{L^2} +\|\nabla^2 F_2\|_{L^2}{}\\ &\lesssim &\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla(\varrho, m)\|_{L^6} +\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla^2(\varrho, m)\|_{L^6}{}\\ &\lesssim &\|(\varrho, m)\|_{L^2}\|\nabla^2(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac12\|\nabla^3(\varrho, m)\|_{L^2}^\frac12 +\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla^3(\varrho, m)\|_{L^2}{}\\ &\lesssim & C_0 (1+t)^{-\frac54}\sqrt{{\cal H}(t)}. \end{eqnarray} $

将(5.7)–(5.8)式代入(5.4)式, 根据引理5.1可得

$ \begin{eqnarray*} \|(\varrho, m)\|_{L^2} &\lesssim &(1+t)^{-\frac s2}\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap L^2}+\int_0^t(1+t-\tau)^{-\frac s2} C_0 (1+\tau)^{-\frac54}\sqrt{{\cal H}(\tau)}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&(1+t)^{-\frac s2}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap L^2}+ C_0 \sqrt{{\cal H}(t)}\right). \end{eqnarray*} $

证毕.

第二步: $ \nabla^l(\varrho^L, u^L) $的$ L^2 $ -模最佳衰减.

引理5.3   在命题3.1的假设条件下, 成立

(5.9) $ \begin{equation} \|\nabla^{l}(\varrho^L, m^L)\|_{L^2}\le C(1+t)^{-\frac {l+s}2}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l} +C_0\sqrt{{\cal H}(t)}\right). \end{equation} $

证   在(4.9)式中取$ k = l $, $ r = 2 $, 再在(4.11)式中取$ s = \frac14 $, 可得

(5.10) $ \begin{eqnarray} \|\nabla ^l(\varrho^L, m^L)\|_{L^2} &\lesssim& (1+t)^{-\frac{l+s}2}\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l} +\int_0^\frac{t}{2}\|\nabla^lG(t-\tau)\ast {\cal N}^L(\tau)\|_{L^2}{\rm d}\tau{}\\ &\quad&+\int_{\frac{t}{2}}^t\|\nabla^2G(t-\tau) \ast\nabla^{l-2}{\cal N}^L(\tau)\|_{L^2}{\rm d}\tau{}\\ &\lesssim& (1+t)^{-\frac{l+s}2}\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l} +\int_0^\frac{t}{2}(1+t-\tau)^{-\frac{l+s}2} \|N^L(\tau)\|_{\dot{H}^{-s}}{\rm d}\tau{}\\ &&+\int_{\frac{t}{2}}^t(1+t-\tau)^{-\frac98} \|\nabla^{l-2}N^L(\tau)\|_{\dot{H}^{-\frac14}}{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

由引理6.1–6.4可得

(5.11) $ \begin{eqnarray} \|\nabla^{l-2}N^L\|_{\dot{H}^{-\frac14}} &\lesssim& \|\nabla^{l-2}\nabla F\|_{\dot{H}^{-\frac14}} \approx \|\nabla^{l-\frac54} F_1\|_{L^2} +\|\nabla^{l-\frac14} F_2\|_{L^2}{}\\ &\lesssim&\|\nabla^{l-2}F_1\|_{L^2}^\frac14\|\nabla^{l-1}F_1\|_{L^2}^\frac34 +\|\nabla^{l-1}F_2\|_{L^2}^\frac14\|\nabla^{l}F_2\|_{L^2}^\frac34{}\\ &\lesssim&\left(\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla^{l-2}(\varrho, m)\|_{L^6}\right)^{\frac14}\left(\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla^{l-1}(\varrho, m)\|_{L^6}\right)^{\frac34}{}\\ &&+\left(\|(\varrho, m)\|_{L^3}\|\nabla^{l-1}(\varrho, m)\|_{L^6}\right)^{\frac14}\left(\|(\varrho, m)\|_{L^\infty}\|\nabla^{l}(\varrho, m)\|_{L^2}\right)^{\frac34}{}\\ &\lesssim&\left(\|(\varrho, m)\|_{L^2}^{1+\frac1{2l}}\|\nabla^{l}(\varrho, m)\|_{L^2}^{1-\frac1{2l}}\right)^{\frac14}\left(\|(\varrho, m)\|_{L^2}^{1-\frac1{2l}}\|\nabla^{l}(\varrho, m)\|_{L^2}^{1+\frac1{2l}}\right)^{\frac34}{}\\ &&+\|(\varrho, m)\|_{H^2}\|\nabla^{l}(\varrho, m)\|_{L^2}{}\\ &\lesssim&\left(\|(\varrho, m)\|_{L^2}^{1-\frac1{4l}}\|\nabla^{l}(\varrho, m)\|_{L^2}^{\frac1{4l}}+\|(\varrho, m)\|_{H^2}\right)\|\nabla^{l}(\varrho, m)\|_{L^2}{}\\ &\lesssim& C_0(1+t)^{-\frac{l+s}2}\sqrt{{\cal H}(t)}. \end{eqnarray} $

将(5.7)式和(5.11)式代入(5.10), 可得

(5.12) $ \begin{eqnarray} {} \|\nabla ^l(\varrho^L, m^L)\|_{L^2} &\lesssim &(1+t)^{-\frac{l+s}2}\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l}+\int_0^\frac{t}{2}(1+t-\tau)^{-\frac{l+s}2}C_0 (1+\tau)^{-\frac54}\sqrt{{\cal H}(\tau)}{\rm d}\tau\\ && +\int_{\frac{t}{2}}^t(1+t-\tau)^{-\frac98}C_0 (1+\tau)^{-\frac{l+s}2}\sqrt{{\cal H}(\tau)}{\rm d}\tau {} \\ &\lesssim& (1+t)^{-\frac{l+s}2}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l}+ C_0\sqrt{{\cal H}(t)}\right). \end{eqnarray} $

证毕.

第三步: $ \nabla^l(\varrho^H, u^H) $的$ L^2 $ -模最佳衰减.

引理5.4   在命题3.1的假设条件下, 成立

(5.13) $ \begin{equation} \|\nabla^{l}(\varrho, u)\|_{L^2}\le C(1+t)^{-\frac {l+s}2}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l} +C_0\sqrt{{\cal H}(t)}\right). \end{equation} $

证   方程(1.1)的线性化形式如下

(5.14) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \varrho_t +{\rm div}u = N_1, \\u_t +P'(1)\nabla\varrho -\mu\Delta u -(\mu +\nu)\nabla{\rm div}u = N_2, \\(\varrho, u)|_{t = 0} = (\varrho_0, u_0) = (\rho_0-1, u_0), \end{array}\right. \end{equation} $

其中非线性项

$ N_1 = -{\rm div}(\varrho u) $

以及

$ N_2 = -u\cdot\nabla u -\left(\frac{P'(\rho)}\rho -P'(1)\right)\nabla \varrho -\frac{\mu }{\rho}\varrho\Delta u -\frac{\mu +\nu}{\rho}\varrho\nabla{\rm div}u. $

通过计算$ P'(1)\langle\nabla^l(5.14)_1, \nabla^l\varrho\rangle +\langle\nabla^l(5.14)_2, \nabla^lu\rangle $可得

(5.15) $ \begin{eqnarray} & &\frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left\{P'(1)\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2 +\|\nabla^lu\|_{L^2}^2\right\} +\mu\|\nabla^{l+1} u(t)\|_{L^2}^2 +(\mu +\nu)\|\nabla^l{\rm div}u\|_{L^2}^2{}\\ & = & P'(1)\langle\nabla^lN_1, \nabla^l\varrho\rangle + \langle\nabla^lN_2, \nabla^lu\rangle. \end{eqnarray} $

利用方程(5.14)以及引理6.1–6.4, (5.15)式右端可估计为

(5.16) $ \begin{eqnarray} \langle\nabla^lN_1, \nabla^l\varrho\rangle & = &\langle\nabla^l(-\nabla\varrho\cdot u -\varrho{\rm div}u), \nabla^l\varrho\rangle{}\\ & = &\int_{{{\Bbb R}} ^3}({\rm div}u)\frac{|\nabla^l\varrho|^2}2dx -\langle[\nabla^l, u]\cdot\nabla\varrho, \nabla^l\varrho\rangle -\langle\nabla^l(\varrho{\rm div}u), \nabla^l\varrho\rangle{}\\ &\lesssim& \left(\|\nabla u\|_{L^\infty}\|\nabla^{l}\varrho\|_{L^2} +\|\nabla^lu\|_{L^6}\|\nabla\varrho\|_{L^3} +\|\varrho\|_{L^\infty}\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}\right) \|\nabla^{l}\varrho\|_{L^2}{}\\ &\lesssim& C_0 \left(\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2 +\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}^2\right), \end{eqnarray} $

(5.17) $ \begin{eqnarray} {} \langle\nabla^lN_2, \nabla^lu\rangle & = &\langle\nabla^{l-1}\left(u\cdot\nabla u +\left(\frac{P'(\rho)}\rho -P'(1)\right)\nabla\varrho\right), \nabla^{l-1}\Delta u\rangle\\ {} &&+\langle\nabla^l\left(\frac\mu\rho\varrho\nabla u\right), \nabla^{l+1}u\rangle +\langle\nabla^l\left(\nabla\left(\frac\mu\rho\varrho\right) \cdot\nabla u\right), \nabla^{l}u\rangle\\ {} &\quad& +\langle\nabla^l\left(\frac{\mu +\nu}\rho\varrho{\rm div} u\right), \nabla^l{\rm div}u\rangle +\langle\nabla^l\left(\nabla\left(\frac{\mu +\nu}\rho\varrho\right) {\rm div} u\right), \nabla^{l}u\rangle\\ {} & = &\langle\nabla^{l-1}\left(u\cdot\nabla u +\left(\frac{P'(\rho)}\rho -P'(1)\right)\nabla\varrho\right), \nabla^{l-1}\Delta u\rangle +\langle\nabla^l\left(\frac\mu\rho\varrho\nabla u\right), \nabla^{l+1}u\rangle \\ {} &\quad& -\langle\nabla^{l-1}\left(\nabla\left(\frac\mu\rho\varrho\right) \cdot\nabla u\right), \nabla^{l-1}\Delta u\rangle +\langle\nabla^l\left(\frac{\mu +\nu}\rho\varrho{\rm div} u\right), \nabla^l{\rm div}u\rangle\\ {} &&-\langle\nabla^{l-1} \left(\nabla\left(\frac{\mu +\nu}\rho\varrho\right) {\rm div} u\right), \nabla^{l-1}\Delta u\rangle\\ {} &\le &C\Bigg(\|u\|_{L^3}\|\nabla^lu\|_{L^6} +\|\nabla^{l-1}u\|_{L^6}\|\nabla u\|_{L^3}+ \|\frac{P'(\rho)}\rho -P'(1)\|_{L^\infty}\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}\\ {} &&+\|\nabla^{l-1}\left(\frac{P'(\rho)}\rho -P'(1)\right)\|_{L^6}\|\nabla \varrho\|_{L^3} +\|\frac\varrho\rho\|_{L^\infty}\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}\\ {}&& +\|\nabla^{l}\left(\frac\varrho\rho\right)\|_{L^2} \|\nabla u\|_{L^\infty} +\|\nabla\left(\frac\varrho\rho\right)\|_{L^3} \|\nabla^l u\|_{L^6}\Bigg)\times\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2} \\ {} &\le& C\|(\varrho, u)\|_{H^3}\|(\nabla^l\varrho, \nabla^{l+1}u)\|_{L^2}\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2} +C\|\nabla u\|_{L^3}\|\nabla^lu\|_{L^2}\|\nabla^{l+1} u\|_{L^2}\\ {} &\le &C C_0 \left(\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2 +\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}^2\right) +\|u\|_{L^\frac{6l}{2l-1}}^\frac l{l+1}\|u\|_{L^2}^\frac 1{l+1}\|\nabla^{l+1} u\|_{L^2}^2\\ &\le &C C_0 \left(\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2 +\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}^2\right). \end{eqnarray} $

从而, 将(5.16)式和(5.17)式代入(5.15)式, 再利用$ C_0 $的小性, 可得

(5.18) $ \begin{equation} \frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left\{P'(1)\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2 +\|\nabla^lu\|_{L^2}^2 \right\} +\frac{3\mu}4\|\nabla^{l+1} u(t)\|_{L^2}^2\le C C_0 \|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2. \end{equation} $

将算子$ \mathfrak{F}^{-1}[(1-\phi(\xi))\mathfrak{F}(\cdot)] $作用于方程(5.14), 可得

(5.19) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \varrho^H_t +{\rm div}u^H = N_1^H, \\u^H_t +P'(1)\nabla\varrho^H -\mu\Delta u^H -(\mu +\nu)\nabla{\rm div}u^H = N_2^H, \\(\varrho^H, u^H)|_{t = 0} = (\rho_0^H-1, u_0^H). \end{array}\right. \end{equation} $

通过计算$ \langle \nabla ^l (5.18)_1, \nabla ^{l-1}u^H\rangle +\langle\nabla ^{l-1}(5.19)_2, \nabla ^l\varrho^H\rangle $, 可得

(5.20) $ \begin{eqnarray} & &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\langle\nabla ^l\varrho^H, \nabla ^{l-1} u^H\rangle +P'(1)\|\nabla ^l\varrho^H(t)\|_{L^2}^2{}\\ & = &\langle\nabla ^l(-{\rm div}u^H +N_1^H), \nabla ^{l-1}u^H\rangle +\langle\nabla ^{l-1}\left(\mu\Delta u^H +(\mu +\nu)\nabla{\rm div}u^H\right), \nabla^l\varrho^H\rangle{}\\ &&+\langle\nabla ^{l-1} N_2^H, \nabla^l\varrho^H\rangle. \end{eqnarray} $

利用(5.16)–(5.17)式的估计方法以及不等式$ \|f\|_{L^2}\approx \|f^L\|_{L^2} +\|f^H\|_{L^2} $和$ \|f^H\|_{L^2}\lesssim\|\nabla f\|_{L^2} $, 可得

(5.21) $ \begin{eqnarray} \langle\nabla ^l(-{\rm div}u^H +N_1^H), \nabla ^{l-1}u^H\rangle & = &\langle\nabla ^{l-1}({\rm div}u^H +{\rm div}(\varrho u)^H), \nabla ^{l-1}{\rm div}u^H\rangle{}\\ &\le& \|\nabla^{l-1}{\rm div}u^H\|_{L^2}^2 +\|\nabla^{l-1}{\rm div}(\varrho u)^H\|_{L^2}\|\nabla ^{l-1}{\rm div}u^H\|_{L^2}{}\\ &\le &\|\nabla^{l-1}{\rm div}u^H\|_{L^2}^2 +\|\nabla^{l-1}{\rm div}(\varrho u)\|_{L^2}\|\nabla ^{l-1}{\rm div}u^H\|_{L^2}{}\\ &\le &C\|\nabla^lu\|_{L^2}^2 +C C_0 \|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2{}\\ &\le &C\|\nabla^lu^L\|_{L^2}^2 +C\|\nabla^{l+1}u^H\|_{L^2}^2 +C C_0 \|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2, \end{eqnarray} $

(5.22) $ \begin{equation} \langle\nabla ^{l-1}\left(\mu\Delta u^H +(\mu +\nu)\nabla{\rm div}u^H\right), \nabla^l\varrho^H\rangle \le C\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}^2 +\frac{P'(1)}8\|\nabla^l\varrho^H\|_{L^2}^2 \end{equation} $

及

(5.23) $ \begin{eqnarray} {} \langle\nabla ^{l-1}N_2^H, \nabla^l\varrho^H\rangle &\le &C\|\nabla ^{l-1}N_2^H\|_{L^2}\|\nabla^l\varrho^H\|_{L^2}\\ &\le &C\|\nabla ^{l-1}N_2\|_{L^2}\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}\\ {} &\le& C C_0 \left(\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2 +\|\nabla^lu\|_{H^1}^2\right)\\ {} &\le &C C_0 \left(\|\nabla^l\varrho\|_{L^2}^2 +\|\nabla^lu^L\|_{L^2}^2 +\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}^2\right). \end{eqnarray} $

将(5.21)–(5.23)式代入(5.20)式, 可推得

(5.24) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\langle\nabla ^l\varrho^H, \nabla ^{l-1} u^H\rangle +\frac{3P'(1)}4\|\nabla ^l\varrho^H(t)\|_{L^2}^2 \le C_1\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}^2+ C C_0 \|\nabla^l\varrho^L\|_{L^2}^2 +C\|\nabla^lu^L\|_{L^2}^2, \end{equation} $

其中$ C_1>\frac\mu{4\sqrt{P'(1)}} $是一个正常数.

通过计算(5.18)式$ +\frac{\mu}{4C_1} $(5.24)式, 可得

(5.25) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left\{\frac{P'(1)}2\|\nabla^{l} \varrho\|_{L^2}^2 +\frac12\|\nabla^{l} u\|_{L^2}^2 +\frac\mu{4C_1}\langle\nabla^l\varrho^H, \nabla^{l-1}u^H\rangle\right\}{}\\ & & +\frac{P'(1)\mu}{8C_1}\|\nabla^l\varrho^H\|_{L^2}^2 +\frac\mu2\|\nabla^{l+1}u\|_{L^2}^2 \le C C_0 \|\nabla^l\varrho^L\|_{L^2}^2 +C\|\nabla^{l}u^L\|_{L^2}^2. \end{eqnarray} $

定义

$ {\cal M}(t) = \frac{P'(1)}2\|\nabla^{l} \varrho\|_{L^2}^2 +\frac12\|\nabla^{l} u\|_{L^2}^2 +\frac\mu{4C_1}\langle\nabla^l\varrho^H, \nabla^{l-1}u^H\rangle. $

注意到

$ \langle\nabla^l\varrho^H, \nabla^{l-1}u^H\rangle \le \|\nabla^l\varrho^H\|_{L^2}\|\nabla^{l-1}u^H\|_{L^2} \le \|\nabla^l\varrho\|_{L^2}\|\nabla^{l}u\|_{L^2}. $

从而根据Cauchy不等式以及$ C_1>\frac\mu{4\sqrt{P'(1)}} $, 可得

(5.26) $ \begin{equation} {\cal M}(t) \approx \|\nabla^l(\varrho, u)\|_{L^2}^2. \end{equation} $

让(5.24)式两端加上$ \|\nabla^l(\varrho^L, u^L)\|_{L^2}^2 $, 根据等价关系(5.26)式, 可得

(5.27) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}{\cal M}(t) +C_2 {\cal M}(t) \le C\left\{\|\nabla^l\varrho^L\|_{L^2}^2 +\|\nabla^lu^L\|_{L^2}^2\right\}, \end{equation} $

这里$ C_2 $是某个正常数. 最后, 由(5.27)式以及(5.9)式可推得

$ \begin{eqnarray*} {\cal M}(t)&\le &e^{-C_2t}{\cal M}(0) +C\int_0^te^{-C_2(t-\tau)}\left\{\|\nabla^l\varrho^L\|_{L^2}^2 +\|\nabla^lu^L\|_{L^2}^2\right\}{\rm d}\tau{\nonumber}\\ &\le& e^{-C_2t}{\cal M}(0) +C\int_0^te^{-C_2(t-\tau)}(1+\tau)^{-(l+s)}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l}^2 +C_0^2{\cal H}(\tau)\right){\rm d}\tau{\nonumber}\\ &\lesssim& (1+t)^{-(l+s)}\left(\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l}^2 +C_0^2{\cal H}(t)\right). \end{eqnarray*} $

证毕.

结合$ {\cal H}(t) $的定义, 引理5.2–5.4, 可得

$ {\cal H}(t)\le C\|(\varrho_0, m_0)\|_{\dot{H}^{-s}\cap H^l} +CC_0{\cal H}(t), $

从而由$ C_0 $的小性可知, $ {\cal H}(t)\le C $.

Gagliardo-Nirenberg不等式如下^[12].

引理6.1   令$ 0\le j\le k $, 则

(6.1) $ \begin{equation} \|\nabla^j f\|_{L^p}\lesssim \|f\|_{L^q}^{1-a}\| \nabla^k f\|_{L^r}^a, \end{equation} $

其中$ \frac jk \le a \le 1 $, 且

$ \frac{j}{3}-\frac{1}{p} = -\frac{1}{q} (1-a)+\left(\frac{k}{3}-\frac{1}{r}\right)a. $

特别地, 当$ p = q = r = 2 $时, 成立

(6.2) $ \begin{equation} \|\nabla^jf\|_{L^2}\lesssim \|f\|_{L^2}^\frac{k-j}{k}\|\nabla^kf\|_{L^2}^\frac{j}{k}. \end{equation} $

函数的乘积估计如下^[8].

引理6.2   对$ k\geq0 $, 成立

(6.3) $ \begin{equation} \|\nabla ^k(gh)\|_{L^{1}} \lesssim \|g\|_{L^{2}}\|\nabla^kh\|_{L^{2}} +\|\nabla^kg\|_{L^{2}}\|h\|_{L^{2}} \end{equation} $

和

(6.4) $ \begin{equation} \|\nabla ^k(gh)\|_{L^{p_0}} \lesssim \|g\|_{L^{p_1}}\|\nabla^kh\|_{L^{p_2}} +\|\nabla^kg\|_{L^{p_3}}\|h\|_{L^{p_4}}, \end{equation} $

这里$ p_0, p_2, p_3\in (1, \infty) $, 且

$ \frac1{p_0} = \frac1{p_1} +\frac1{p_2} = \frac1{p_3} +\frac1{p_4}. $

利用引理6.2, 易得以下的交换子估计.

引理6.3   假设$ f $和$ g $是两个光滑函数, 且属于$ H^k\cap L^\infty(k\ge1) $. 定义交换子

(6.5) $ \begin{equation} [\nabla ^k, f]g = \nabla ^k(fg)-f\nabla ^kg, \end{equation} $

则有

(6.6) $ \begin{equation} \|[\nabla ^k, f]g\|_{L^{p_0}} \lesssim \|\nabla f\|_{L^{p_1}}\|\nabla ^{k-1}g\|_{L^{p_2}}+\|\nabla ^k f\|_{L^{p_3}}\| g\|_{L^{p_4}}. \end{equation} $

这里$ p_i(i = 0, 1, 2, 3, 4) $同引理6.2中的定义相同.

利用引理6.1和引理6.2, 易得光滑函数$ F(f) $的空间导数的$ L^2 $ -模估计.

引理6.4   假设$ F(f) $是个关于$ f $的光滑函数, 其任意阶导有界, 且$ f $属于$ H^k(k\ge3) $, 则有

(6.7) $ \begin{equation} \|\nabla ^k(F(f))\|_{L^2} \lesssim \sup\limits_{0\le i\le k}\|F^{(i)}(f)\|_{L^\infty} \bigg(\sum\limits_{j = 2}^k\|f\|_{L^2}^{j-1-\frac{3(j-1)}{2k}}\|\nabla ^kf\|_{L^2}^{1+\frac{3(j-1)}{2k}} +\|\nabla ^kf\|_{L^2}\bigg). \end{equation} $

进一步地, 若$ f $有上下界, 且$ \|f\|_k\le 1 $, 则

(6.8) $ \begin{equation} \|\nabla ^k(F(f))\|_{L^2} \lesssim \|\nabla ^kf\|_{L^2}. \end{equation} $

引理6.5   令$ 0<s<3 $, $ 1<p<q<\infty $, $ \frac1q +\frac s3 = \frac1p $, 则

(6.9) $ \begin{equation} \|\Lambda^{-s}f\|_{L^q}\lesssim\|f\|_{L^p}. \end{equation} $

特别地, 对$ -1<s<\frac32 $, 成立

(6.10) $ \begin{equation} \|\Lambda^{-s}f\|_{L^2}\lesssim\|f\|_{L^1}^\frac{2+2s}5\|\nabla f\|_{L^2}^\frac{3-2s}5. \end{equation} $

证   (6.9)式的证明参见文献[3, 14], (6.10)式的证明则由(6.1)式和(6.9)式容易推得.