Olver^[1]于1977年首次给出了循环算子的概念, 并指出循环算子就是把一个对称映射成另一个对称的线性算子. 之后的研究成果表明, 循环算子是可积系统的一个重要性质, 它与无穷多守恒律、Hamilton结构和方程的谱系等有着密切关系. 因此, 许多学者开始对循环算子的构造、性质及应用进行研究^[2-8], 如Bluman, Gürses等. 通过文献查阅, 我们发现关于循环算子的研究成果多数是在一般体系下展开的工作, 而在Hamilton体系下的研究却很少, 且研究思路采用Hamilton算子为四个子块的形式, 因此我们的想法是对该体系下的循环算子及其形式在其它路径下重新进行剖析.

在微分方程中, 循环算子通常用有限和形式表示. 受其启发, 不同于其它文献的设定, 我们把Hamilton算子也写成类似的求和形式, 再结合文献[1]获得循环算子的方法, 将线性微分算子与循环算子之间的关系, 移植到无穷维线性Hamilton正则系统下, 使我们在处理Hamilton算子所允许循环算子的问题上可能实现统一化. 本文根据以上思想, 主要围绕以下两个方面进行展开: Hamilton算子与循环算子结构上的联系; 常系数Hamilton体系下所允许循环算子的统一形式. 具体工作是通过约化确定方程组, 得到了约束条件下一阶常系数Hamilton算子所允许循环算子的一般结构. 再利用Hamilton算子固有元素分情况进行讨论, 得到了一阶常系数Hamilton算子所允许循环算子的具体形式, 并对二阶常系数Hamilton算子所允许循环算子的结构进行探讨. 同时, 给出了几个算例.

考虑无穷维线性Hamilton正则系统具有以下形式

(2.1) $ \begin{equation} \Delta = (ID_{x}-H)w = 0, \end{equation} $

其中Hamilton算子

(2.2) $ \begin{equation} H = \left(\begin{array}{ccc} A {\quad} & B \\ C {\quad}& -A^{*} \end{array}\right), \end{equation} $

状态变量$ w = (w^{1}, w^{2}, \cdots, w^{2n})^{T} $, 且子块满足$ B = B^{*}, C = C^{*} $. 利用文献[9] 中的引理2.1及注释2.3可知, (2.1)式中的$ H $为常系数Hamilton算子时, 可得到$ (2.1) $式允许的循环算子和线性微分算子的关系

(2.3) $ \begin{equation} [D_{\Delta}, R] = [ID_{x}-H, R] = 0. \end{equation} $

我们受循环算子有限和写法的启发, 将Hamilton算子$ (2.2) $式重新约定为微分算子求和形式, 即

$ H = \sum P_{i}(x, t, u)D^{i}_{t} = \sum P_{i}D^{i}_{t}. $

这不同于其它文献对于Hamilton算子$ (2.2) $式的设定. 下面我们试图在这种形式下得到关于循环算子更多有效的信息.

由于Hamilton算子阶数的升高和变量的增多, 循环算子的计算过程越来越困难, 所以本文以一阶常系数Hamilton算子

(2.4) $ \begin{equation} H = P_{1}D_{t}+P_{0}, (P_{1}\neq0) \end{equation} $

为例, 讨论其所对应的方程$ (2.1) $在$ n = 1 $时, 记$ w = (w^{1}, w^{2})^{T} $, 所允许循环算子的结构及其子块系数. 在此约定下, 显然(2.3) 式中的$ D_{\Delta} $可展开为

$ D_{\Delta} = ID_{x}-H = ID_{x}-P_{0}-P_{1}D_{t}. $

利用文献[10], 相应的系数$ P_{i}(i = 0, 1) $的形式为

$ P_{0} = \left(\begin{array}{ccc} b^{(0)}_{2} {\quad} & b^{(0)}_{1} \\ b^{(0)}_{0} {\quad} & - b^{(0)}_{2} \end{array}\right), P_{1} = \left(\begin{array}{ccc} b^{(1)}_{2} {\quad} & 0 \\ 0 {\quad}& b^{(1)}_{2} \end{array}\right), $

其中$ P_{i} $中各个元素都是常数.同时, 记$ \beta_{0} = (b^{(0)}_{2})^{2}+b^{(0)}_{1} b^{(0)}_{0} , \beta_{1} = (b^{(1)}_{2})^{2}. $

经查阅文献, 发现方程允许的循环算子结构有一些固定的特点, 如主对角相等、负对角相等以及呈现上(下) 三角矩阵等形式, 故我们约定二阶循环算子的一般形式如下

(2.5) $ \begin{equation} R = \left(\begin{array}{ccc} R_{1} {\quad} & R_{2} \\ R_{3} {\quad} & R_{4} \end{array}\right), \end{equation} $

其中$ R_{i} = \sum\limits_{m = 0}^2a^{(i)}_{m}D^{m}_{x}\ (i = 1, \cdots, 4), $且全部系数$ a^{(i)}_{m} $是关于$ x, t $的函数. 根据(2.3) 式, 可得循环算子满足的确定方程为

$ \begin{eqnarray*} [D_{\Delta}, R]w& = &(ID_{x}-P_{0}-P_{1}D_{t})Rw-R(ID_{x}-P_{0}-P_{1}D_{t})w\\ & = &\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{ccc} D_{x}{\quad} & 0 \\ 0 {\quad} & D_{x} \end{array}\right) -\left(\begin{array}{ccc} b^{(0)}_{2} {\quad} & b^{(0)}_{1} \\ b^{(0)}_{0} {\quad}& -b^{(0)}_{2} \end{array}\right) -\left(\begin{array}{ccc} b^{(1)}_{2}{\quad} & 0 \\ 0{\quad} & b^{(1)}_{2} \end{array}\right)D_{t} \end{array}\right)\cdot\\ &&\left(\begin{array}{ccc} a^{(1)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(1)}_{1}D_{x}+a^{(1)}_{0} {\quad} & a^{(2)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(2)}_{1}D_{x}+a^{(2)}_{0} \\ a^{(3)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(3)}_{1}D_{x}+a^{(3)}_{0} {\quad} & a^{(4)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(4)}_{1}D_{x}+a^{(4)}_{0} \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} w^{1} \\ w^{2} \end{array}\right)\\ &&-\left(\begin{array}{ccc} a^{(1)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(1)}_{1}D_{x}+a^{(1)}_{0} {\quad} & a^{(2)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(2)}_{1}D_{x}+a^{(2)}_{0} \\ a^{(3)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(3)}_{1}D_{x}+a^{(3)}_{0} {\quad} & a^{(4)}_{2}D^{2}_{x}+a^{(4)}_{1}D_{x}+a^{(4)}_{0} \end{array}\right)\cdot\\ &&\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{ccc} D_{x}{\quad} & 0 \\ 0 {\quad} & D_{x} \end{array}\right) -\left(\begin{array}{ccc} b^{(0)}_{2}{\quad} & b^{(0)}_{1} \\ b^{(0)}_{0} {\quad} & -b^{(0)}_{2} \end{array}\right) -\left(\begin{array}{ccc} b^{(1)}_{2}{\quad} & 0 \\ 0{\quad} & b^{(1)}_{2} \end{array}\right)D_{t} \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} w^{1} \\ w^{2} \end{array}\right) = 0. \end{eqnarray*} $

对上述式子进行展开, 可得以下方程组

(2.6) $ \begin{eqnarray} &&\sum\limits_{m = 0}^2((D_{x}a^{(1)}_{m}-b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{m}+b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{m}-b^{(1)}_{2}D_{t}a^{(1)}_{m})w^{1}_{mx}\\ &&+(D_{x}a^{(2)}_{m}-2b^{(0)}_{2}a^{(2)}_{m}+b^{(0)}_{1}(a^{(1)}_{m}-a^{(4)}_{m})-b^{(1)}_{2}D_{t}a^{(2)}_{m})w^{2}_{mx}) = 0;\\ &&\sum\limits_{m = 0}^2((D_{x}a^{(3)}_{m}+2b^{(0)}_{2}a^{(3)}_{m}+b^{(0)}_{0}(a^{(4)}_{m}-a^{(1)}_{m})-b^{(1)}_{2}D_{t}a^{(3)}_{m})w^{1}_{mx}\\ &&+(D_{x}a^{(4)}_{m}-b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{m}+b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{m}-b^{(1)}_{2}D_{t}a^{(4)}_{m})w^{2}_{mx}) = 0, \end{eqnarray} $

其中, 我们约定$ w^{i}_{2x} = w^{i}_{xx}, w^{i}_{1x} = w^{i}_{x}, w^{i}_{0x} = w^{i}\ (i = 1, 2) $. 再用所考虑的正则方程及其求导方程, 并统一变量, 将以上方程组约化为关于$ w^{1}, w^{2} $及其各阶导数的微分方程组. 经求解, 可得循环算子的结构以及全部子块系数$ a^{(i)}_{m} $. 下面是根据一阶常系数Hamilton算子与循环算子之间的联系得到的一些结论.

本小节主要讨论无穷维线性Hamilton正则系统下, 对循环算子中元素的自变量做限制, 即子块$ R_{i} $中的系数$ a^{(i)}_{m} $仅关于自变量$ x $或$ t $的函数(二者计算方法平行). 下面我们以其系数仅含自变量$ x $的函数为例, 得到约束条件下一阶常系数Hamilton算子所允许循环算子的信息, 具体结论如下.

命题3.1   若$ H $为形如(2.4) 式的一阶常系数Hamilton算子, 则方程$ (2.1) $在$ n = 1 $时, 允许循环算子的结构为

(3.1) $ \begin{equation} R = \left(\begin{array}{ccc} R_{1} {\quad} & R_{2} \\ R_{3} {\quad} &{ } - R_{1}+\sum\limits_{m = 0}^2c_{m}D^{m}_{x} \end{array}\right), \end{equation} $

其中$ c_{m} $为任意常数.

证   由$ H $为形如(2.4) 式的一阶常系数Hamilton算子可知$ P_{1}\neq0, $即$ b^{(1)}_{2}\neq0. $用相应的正则方程及其求导方程进行约化, 并统一变量, 然后整理方程组(2.6), 得到关于$ w^{i}_{2t}, w^{i}_{t}, w^{i} $$ (i = 1, 2) $的多项式. 根据它们的线性无关性, 令其系数为零, 可得12个方程. 为了书写方便, 下式中的$ a^{(4)}_{m} $用符号$ a^{(0)}_{m} $$ (m = 0, 1, 2) $替代. 当$ i = 1, 2 $时, 方程如下

(3.2) $ \begin{eqnarray} &&\beta_{1}(D_{x}a^{(2-i)}_{2}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{2}-b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2})) = 0;\\ &&(-1)^{i+1}2b^{(1)}_{2}b^{(0)}_{2}(D_{x}a^{(2-i)}_{2}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{2}-b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2})) {}\\ &&+b^{(1)}_{2}(D_{x}a^{(2-i)}_{1}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{1} -b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{1})) {}\\ &&+2b^{(1)}_{2}b^{(0)}_{i-1}(D_{x}a^{(i+1)}_{2} +(-1)^{i}(2b^{(0)}_{2}a^{(i+1)}_{2}-b^{(0)}_{2-i}(a^{(1)}_{2}-a^{(0)}_{2}))) = 0;\\ &&\beta_{0}(D_{x}a^{(2-i)}_{2}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{2}-b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2})) {}\\ &&+(-1)^{i+1}b^{(0)}_{2}(D_{x}a^{(2-i)}_{1}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{1}-b^{(0)}_{0} a^{(2)}_{1})){}\\ &&+b^{(0)}_{i-1}(D_{x}a^{(i+1)}_{1}+(-1)^{i}(2b^{(0)}_{2}a^{(i+1)}_{1}-b^{(0)}_{2-i}(a^{(1)}_{1}-a^{(0)}_{1}))) {}\\ &&+(D_{x}a^{(2-i)}_{0}+(-1)^{i} (b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{0}-b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{0})) = 0;\\ &&\beta_{1}(D_{x}a^{(4-i)}_{2}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{i-1}(a^{(1)}_{2}-a^{(0)}_{2})-2b^{(0)}_{2}a^{(4-i)}_{2})) = 0;\\ &&(-1)^{i+1}2b^{(1)}_{2}b^{(0)}_{2}(D_{x}a^{(4-i)}_{2}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{i-1}(a^{(1)}_{2}-a^{(0)}_{2})-2b^{(0)}_{2}a^{(4-i)}_{2})) {}\\ &&+b^{(1)}_{2}(D_{x}a^{(4-i)}_{1}+(-1)^{i} (b^{(0)}_{i-1}(a^{(1)}_{1}-a^{(0)}_{1})-2b^{(0)}_{2}a^{(4-i)}_{1})){}\\ && +2b^{(1)}_{2}b^{(0)}_{i-1}(D_{x}a^{(i-1)}_{2}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2}-b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{2})) = 0;\\ &&\beta_{0}(D_{x}a^{(4-i)}_{2}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{i-1}(a^{(1)}_{2}-a^{(0)}_{2})-2b^{(0)}_{2}a^{(4-i)}_{2})) {}\\ && +(-1)^{i+1}b^{(0)}_{2}(D_{x}a^{(4-i)}_{1}+(-1)^{i} (b^{(0)}_{i-1}( a^{(1)}_{1}-a^{(0)}_{1})-2b^{(0)}_{2}a^{(4-i)}_{1})){}\\ && +b^{(0)}_{i-1}(D_{x}a^{(i-1)}_{1}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{1}-b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{1})) \\ && + (D_{x}a^{(4-i)}_{0}+(-1)^{i}(b^{(0)}_{i-1}(a^{(1)}_{0}-a^{(0)}_{0})-2b^{(0)}_{2}a^{(4-i)}_{0})) = 0. \end{eqnarray} $

上述方程组(3.2) 的后6个方程在计算$ R_{2} $和$ R_{3} $系数之间明确的关系时存在困难, 所以只给出约化后的前6个方程如下

(3.3) $ \begin{eqnarray} D_{x}a^{(2-i)}_{m}+(-1)^{i}b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{m}+(-1)^{i+1}b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{m} = 0 (i = 1, 2;m = 0, 1, 2). \end{eqnarray} $

为了得到循环算子子块系数之间的关系, 我们将这6个方程分为三组$ (m = 0, 1, 2) $. 当$ i = 1, 2 $时, 固定$ m = 2 $, 将对应(3.3) 式得到的两个方程相加, 得

$ D_{x}(a^{(1)}_{2}+a^{(4)}_{2}) = 0, $

即

$ a^{(1)}_{2}+a^{(4)}_{2} = c_{2}. $

同理, 我们可以分别固定$ m = 0, 1 $, 由相应的方程(3.3)式也可推出如下关系

$ a^{(1)}_{m}+a^{(4)}_{m} = c_{m}, $

故

$ R_{1}+R_{4} = \sum\limits_{m = 0}^2c_{m}D^{m}_{x}. $

其中$ c_{m} $为任意常数, 即得命题3.1中循环算子的结构.

值得注意的是, 工作初期如果假定循环算子子块系数是关于$ x, t $的函数, 那么通过上述计算过程, 可得

$ (D_{x}-b^{(1)}_{2}D_{t})(a^{(1)}_{m}+a^{(4)}_{m}) = 0 (m = 0, 1, 2). $

解之, 有

$ a^{(1)}_{m}+a^{(4)}_{m} = \varphi_{m}(b^{(1)}_{2}x+t). $

故

$ R_{1}+R_{4} = \sum\limits_{m = 0}^2\varphi_{m}(b^{(1)}_{2}x+t)D^{m}_{x}, $

其中$ \varphi_{m} $是一个关于$ x, t $的任意函数, 其物理意义值得我们进一步探讨.

本小节根据命题3.1中循环算子的结构, 从而得到一阶常系数Hamilton系统下循环算子的统一形式.

命题3.2   若$ H $为形如(2.4) 式的一阶常系数Hamilton算子, 对于方程的任意一组解$ w $, 则方程$ (2.1) $在$ n = 1 $时, 允许的形如(3.1) 式的循环算子子块系数$ (m = 0, 1, 2) $如下.

情形1  若$ b^{(0)}_{1}\neq0 $,

(ⅰ) 当$ \beta_{0}>0 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} &&a^{(1)}_{m} = \frac{1}{b^{(0)}_{1}}((\sum\limits_{j = 0, 3}(b^{(0)}_{2} +(-1)^{j+1}\beta^{\frac{1}{2}}_{0})d_{m+j+1}e^{(-1)^{j}2\beta^{\frac{1}{2}}_{0}x}) +b^{(0)}_{2}d_{m+7})+\frac{c_{m}}{2};\\ &&a^{(2)}_{m} = d_{m+1}e^{2\beta^{\frac{1}{2}}_{0}x}+d_{m+4}e^{-2\beta^{\frac{1}{2}}_{0}x}+d_{m+7};\\ &&a^{(3)}_{m} = \frac{1}{b^{(0)}_{1}}((\sum\limits_{j = 0, 3}(\frac{(-1)^{j}2b^{(0)}_{2}\beta^{\frac{1}{2}}_{0}- 2\beta_{0}}{b^{(0)}_{1}}+b^{(0)}_{0})d_{m+j+1}e^{(-1)^{j}2\beta^{\frac{1}{2}}_{0}x}) +b^{(0)}_{0}d_{m+7}); \end{eqnarray*} $

(ⅱ) 当$ \beta_{0}<0 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} &&a^{(1)}_{m} = \frac{1}{b^{(0)}_{1}}((\sum\limits_{j = 0, 3} (b^{(0)}_{2}d_{m+j+1} +(-1)^{j+1}(-\beta_{0})^{\frac{1}{2}}d_{m-j+4})\cos(\frac{j\pi}{2}+2(-\beta_{0})^{\frac{1}{2}}x))\\ && {\qquad}{\quad} +b^{(0)}_{2}d_{m+7})+\frac{c_{m}}{2};\\ &&a^{(2)}_{m} = d_{m+1}\cos2(-\beta_{0})^{\frac{1}{2}}x+d_{m+4}\sin2(-\beta_{0})^{\frac{1}{2}}x+d_{m+7};\\ &&a^{(3)}_{m} = \frac{1}{b^{(0)}_{1}}((\sum\limits_{j = 0, 3}((b^{(0)}_{0}-\frac{2\beta_{0}}{b^{(0)}_{1}})d_{m+j+1} +\frac{(-1)^{j}2b^{(0)}_{2}(-\beta_{0})^{\frac{1}{2}}d_{m-j+4}}{b^{(0)}_{1}}) \\ && {\qquad}{\quad} \times \cos(\frac{j\pi}{2}+2(-\beta_{0})^{\frac{1}{2}}x))+b^{(0)}_{0}d_{m+7}); \end{eqnarray*} $

(ⅲ) 当$ \beta_{0} = 0 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} &&a^{(1)}_{m} = \frac{1}{2b^{(0)}_{1}}(2b^{(0)}_{2}d_{m+1}x^{2}+2(b^{(0)}_{2}d_{m+4}-d_{m+1})x-d_{m+4} +2b^{(0)}_{2}d_{m+7})+\frac{c_{m}}{2};\\ &&a^{(2)}_{m} = d_{m+1}x^{2}+d_{m+4}x+d_{m+7};\\ &&a^{(3)}_{m} = \frac{1}{b^{(0)}_{1}}(b^{(0)}_{0}d_{m+1}x^{2}+(b^{(0)}_{0}d_{m+4}+\frac{2b^{(0)}_{2}d_{m+1}}{b^{(0)}_{1}})x -\frac{(d_{m+1}-b^{(0)}_{2}d_{m+4})}{b^{(0)}_{1}}+b^{(0)}_{0}d_{m+7}); \end{eqnarray*} $

情形2  若$ b^{(0)}_{1} = 0 $,

(ⅰ) 当$ b^{(0)}_{2}\neq0 $时, 有

$ a^{(1)}_{m} = \frac{-b^{(0)}_{0}}{2b^{(0)}_{2}}d_{m+1}e^{2b^{(0)}_{2}x}+d_{m+4}; {\quad} a^{(2)}_{m} = d_{m+1}e^{2b^{(0)}_{2}x}; $

$ a^{(3)}_{m} = -\frac{(b^{(0)}_{0})^{2}}{4(b^{(0)}_{2})^{2}}d_{m+1}e^{2b^{(0)}_{2}x} +d_{m+7}e^{-2b^{(0)}_{2}x}+\frac{b^{(0)}_{0}}{b^{(0)}_{2}}d_{m+4} -\frac{b^{(0)}_{0}c_{m}}{2b^{(0)}_{2}}; $

(ⅱ) 当$ b^{(0)}_{2} = 0 $时,

$ a^{(1)}_{m} = b^{(0)}_{0}d_{m+1}x+d_{m+4};{\quad} a^{(2)}_{m} = d_{m+1}; $

$ a^{(3)}_{m} = (b^{(0)}_{0})^{2}d_{m+1}x^{2}+b^{(0)}_{0}(2d_{m+4}-c_{m})x+d_{m+7}; $

其中$ d_{i}\ (i = 1, \cdots, 9);c_{m} $为任意常数.

证   由命题3.1可知循环算子的结构, 展开(3.2)式中的12个方程, 将其中的$ a^{(0)}_{m} $ (实际上为$ a^{(4)}_{m} $)统一替换成$ c_{m}-a^{(1)}_{m}(m = 0, 1, 2) $, 再次整理约化得到关于$ w^{i}_{2t}, w^{i}_{t}, w^{i}(i = 1, 2) $的多项式. 根据它们的线性无关性, 令其系数为零, 从而可得9个方程. 当$ m = 0, 1, 2 $时, 方程组如下

(3.4) $ \begin{equation} \begin{array}{l} D_{x}a^{(1)}_{m}-b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{m}+b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{m} = 0;\\ D_{x}a^{(4-i)}_{m}+(-1)^{i}(-2b^{(0)}_{2}a^{(4-i)}_{m}+2b^{(0)}_{i-1}a^{(1)}_{m}-b^{(0)}_{i-1}c_{m}) = 0\ (i = 1, 2). \end{array} \end{equation} $

为了得到循环算子子块系数, 我们将上述9个方程分为三组$ (m = 0, 1, 2) $. 当$ i = 1, 2 $时, 固定$ m = 2 $, 相应的(3.4) 式可得

(3.5) $ \begin{equation} D_{x}a^{(1)}_{2}-b^{(0)}_{1}a^{(3)}_{2}+b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2} = 0; \end{equation} $

(3.6) $ \begin{equation} D_{x}a^{(3)}_{2}+2b^{(0)}_{2}a^{(3)}_{2}-2b^{(0)}_{0}a^{(1)}_{2}+b^{(0)}_{0}c_{2} = 0; \end{equation} $

(3.7) $ \begin{equation} D_{x}a^{(2)}_{2}-2b^{(0)}_{2}a^{(2)}_{2}+2b^{(0)}_{1}a^{(1)}_{2}-b^{(0)}_{1}c_{2} = 0. \end{equation} $

下面根据(3.5)–(3.7) 式可以求出$ a^{(i)}_{2}\ (i = 1, 2, 3) $. 由于求解过程不唯一(可分$ b^{(0)}_{1} $是否为零或$ b^{(0)}_{0} $是否为零两种情况), 下面我们只给出$ b^{(0)}_{1}\neq0\ ( = 0) $的求解过程(后者类同它, 且所得到的循环算子子块系数与前者类似, 区别是某些项前系数及符号发生改变).

首先将$ (3.5) $式代入到$ (3.7) $式的求导方程中, 可得

(3.8) $ \begin{eqnarray} D^{2}_{x}a^{(2)}_{2}-2b^{(0)}_{2}D_{x}a^{(2)}_{2}+2(b^{(0)}_{1})^{2}a^{(3)}_{2}-2b^{(0)}_{1}b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2} = 0. \end{eqnarray} $

其次我们分两种情况进行讨论.

情形1  若$ b^{(0)}_{1}\neq0 $时, 由(3.7)和(3.8) 式反解, 有

(3.9) $ \begin{equation} a^{(1)}_{2} = \frac{1}{2b^{(0)}_{1}}(-D_{x}a^{(2)}_{2}+2b^{(0)}_{2}a^{(2)}_{2}+b^{(0)}_{1}c_{2}); \end{equation} $

(3.10) $ \begin{equation} a^{(3)}_{2} = \frac{1}{2(b^{(0)}_{1})^{2}}(-D^{2}_{x}a^{(2)}_{2}+2b^{(0)}_{2}D_{x}a^{(2)}_{2}+2b^{(0)}_{1}b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2}). \end{equation} $

再将上述得到的$ a^{(1)}_{2}, a^{(3)}_{2} $代入$ (3.6) $式, 可得

$ D^{3}_{x}a^{(2)}_{2}-4\beta_{0}D_{x}a^{(2)}_{2} = 0, $

其特征方程为

$ \lambda^{3}-4\beta_{0}\lambda = \lambda(\lambda^{2}-4\beta_{0}) = 0. $

这样, 分$ \beta_{0}>0 $ ($ <0 $或$ = 0) $三种情况求出对应$ a^{(2)}_{2} $的表达式. 将其代入(3.9)和(3.10) 式可得$ a^{(1)}_{2}, a^{(3)}_{2} $.

情形2   若$ b^{(0)}_{1} = 0 $时, 由(3.5)和(3.7) 式可得

(3.11) $ \begin{equation} D_{x}a^{(1)}_{2}+b^{(0)}_{0}a^{(2)}_{2} = 0; \end{equation} $

(3.12) $ \begin{equation} D_{x}a^{(2)}_{2}-2b^{(0)}_{2}a^{(2)}_{2} = 0. \end{equation} $

利用$ (3.12) $式求出$ a^{(2)}_{2} $的通解, 再由(3.6)和(3.11) 式求出$ a^{(1)}_{2}, a^{(3)}_{2} $的具体形式.

同理类似上面的计算过程, 可以分别固定$ m = 0, 1 $, 通过(3.4) 式得到的相应方程组, 就能求出其余系数$ a^{(i)}_{m} $. 综上我们以$ b^{(0)}_{1}\neq0\ ( = 0) $两种情形为例, 得到了循环算子子块系数的一组解, 即命题3.2.

实际上, 命题3.2揭示了Hamilton算子与循环算子间的关系, 即只要找到一个方程拥有的形如(2.4)式的Hamilton结构, 就可依据原理直接写出其允许的循环算子. 下面我们用两个例子说明它的正确性及便捷性.

例1   讨论一类方程: $ au_{xx}+2bu_{xt}+cu_{tt}-eu = 0 $ ($ a, b, c, e $为常数) 的循环算子.

根据文献[10]可知, 其Hamilton正则形式为

$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\begin{array}{ccc} w^{1} \\ w^{2} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc} \left(\begin{array}{ccc} 0\ &{ } \frac{1}{a} \\ e\ &0 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ccc} { } -\frac{b}{a}\ &0 \\ 0\ &{ } -\frac{b}{a} \end{array}\right)D_{t}+ \left(\begin{array}{ccc} 0\ &0 \\ { } -\frac{ac-b^{2}}{a}\ &0 \end{array}\right)D^{2}_{t} \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} w^{1} \\ w^{2} \end{array}\right), $

其中$ (w^{1}, w^{2})^{T} = (u, au_{x}+bu_{t})^{T} $. 若$ ac-b^{2} = 0 $, 该类方程对应的Hamilton算子为一阶常系数算子. 下面我们以两种特殊形式为例.

特别地, 当方程中$ a = 1, b = -1, c = 1, e = -1 $时, 其Hamilton算子为

$ H = \left(\begin{array}{ccc} 0{\quad}& 1 \\ -1{\quad}&0 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ccc} 1{\quad}&0 \\ 0{\quad}&1 \end{array}\right)D_{t}. $

由上式可知: $ b^{(0)}_{1}\neq0, \beta_{0}<0 $, 属于命题3.2中情形1(ⅱ), 从而得形如(3.1) 式的子块如下

$ R_{1} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(d_{m+1}\sin2x-d_{m+4}\cos2x+\frac{c_{m}}{2})D^{m}_{x}; $

$ R_{2, 3} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(d_{m+1}\cos2x+d_{m+4}\sin2x\pm d_{m+7})D^{m}_{x}. $

特别地, 当方程中$ a = 1, b = 1, c = 1, e = 0 $时, 其Hamilton算子为

$ H = \left(\begin{array}{ccc} 0{\quad} & 1 \\ 0{\quad}&0 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ccc} -1{\quad}&0 \\ 0{\quad}&-1 \end{array}\right)D_{t}. $

由上式可知: $ b^{(0)}_{1}\neq0, \beta_{0} = 0 $, 属于命题3.2中情形1(ⅲ), 即得子块为

$ R_{1} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(-d_{m+1}x-\frac{d_{m+4}}{2}+\frac{c_{m}}{2})D^{m}_{x}; $

$ R_{2} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(d_{m+1}x^{2}+d_{m+4}x+d_{m+7})D^{m}_{x}; \quad R_{3} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(-d_{m+1})D^{m}_{x}. $

例2   考虑方程: $ u_{xx}+u_{xt}+u_{t} = 0 $的循环算子.

根据文献[11] 可知, 其Hamilton正则形式中的Hamilton算子为

$ H = \left(\begin{array}{ccc} -1{\quad}& 0 \\ 1{\quad}&1 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ccc} -1{\quad}&0 \\ 0{\quad}&-1 \end{array}\right)D_{t}. $

由上式可知: $ b^{(0)}_{1} = 0, b^{(0)}_{2}\neq0, $属于命题3.2中情形2(i), 故所允许循环算子的子块为

$ R_{1} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(\frac{d_{m+1}}{2}e^{-2x}+d_{m+4})D^{m}_{x}; \quad R_{2} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(d_{m+1}e^{-2x})D^{m}_{x}; $

$ R_{3} = \sum\limits_{m = 0}^{2}(-\frac{d_{m+1}}{4}e^{-2x}+d_{m+7}e^{2x}-d_{m+4}+\frac{c_{m}}{2})D^{m}_{x}. $

以上两个例子表明: 在这一途径下获得循环算子更为直观, 无需计算过程, 只需提供形如(2.4) 式的Hamilton结构, 即可写出.

本文不同与已有文献中Hamilton算子形如(2.2) 式四个子块的设定, 将其写成有限和的形式, 使所含待定参数增多, 导致确定循环算子的方程组更为直观、具体. 但是, 在求解该方程组上存在着一定的困难. 为了克服困难, 我们对循环算子子块系数的自变量做限定, 从而得到以上结论.

实际上, 这一思路可以延续, 我们根据(2.3)和(2.5) 式还可以对更高阶Hamilton算子继续深入. 当二阶常系数Hamilton算子采用形式

$ \begin{eqnarray*} H = P_{2}D^{2}_{t}+P_{1}D_{t}+P_{0}, (P_{2} = \left(\begin{array}{ccc} b^{(2)}_{2} \ & b^{(2)}_{1} \\ b^{(2)}_{0}\ & - b^{(2)}_{2} \end{array}\right)\neq0) \end{eqnarray*} $

时, 研究所允许循环算子的结构发现, 其所得到的28个方程繁琐且复杂, 且求解存在更多困难. 因此在约化确定方程组时, 我们将上述Hamilton算子中的个别待定参数做具体限制, 可以推测出所允许的候选循环算子类型如下.

型1   $ R = \left(\begin{array}{ccc} R_{1} \ & 0 \\ 0\ & R_{1} \end{array}\right) $, 其中$ R_{1} $为常系数二阶算子.

型2   $ R = \left(\begin{array}{ccc} R_{1}\ & R_{2} \\ kR_{2}\ & R_{1} \end{array}\right) $, 其中$ R_{1} $为常系数二阶算子, $ R_{2} $的系数为关于$ x $的二阶算子且$ k $为常数.

型3   (ⅰ) $ R = \left(\begin{array}{ccc} R_{1} \ & a^{(2)}_{0} \\ R_{3}\ & R_{4} \end{array}\right) $, (ⅱ) $ R = \left(\begin{array}{ccc} R_{1}\ & R_{2}\\ a^{(3)}_{0}\ & R_{4} \end{array}\right) $, 其中$ R_{1}, R_{4} $的二阶项系数相等且为常数, 即$ a^{(1)}_{2} = a^{(4)}_{2} $, 其余系数待定.

这里不给出证明过程, 只给出上述类型的参数限制条件, 如限定Hamilton算子中的元素$ b^{(2)}_{i} = 0 \ (i = 1, 2) $且$ (b^{(1)}_{2})^{2}\neq b^{(2)}_{0}b^{(0)}_{1}\neq0 $时, 允许循环算子的结构为型$ 1 $ ($ a^{(3)}_{2} = 0 $) 或型3(i) ($ a^{(3)}_{2}\neq0 $); 如限定$ b^{(2)}_{i} = 0 (i = 0, 2) $且$ (b^{(1)}_{2})^{2}\neq b^{(2)}_{1}b^{(0)}_{0}\neq0 $时, 允许循环算子的结构为型$ 1 $ ($ a^{(2)}_{2} = 0 $) 或型3(ii) ($ a^{(2)}_{2}\neq0 $); 再如限定$ b^{(2)}_{2} = 0, b^{(2)}_{1}b^{(2)}_{0}\neq0 $且$ b^{(1)}_{2}\neq0, b^{(0)}_{1}b^{(0)}_{0}\neq0 $时, 允许循环算子的结构为型$ 2 $. 对于其它类型的出现有待我们进一步研究. 下面给出算例加以说明.

例3   在例1中, 若$ ac-b^{2}\neq0 $, 该类方程对应的Hamilton算子为二阶常系数算子. 特别地, 当$ a = 2, b = \frac{1}{2}, c = 2, e = 0 $时, 其Hamilton算子为

$ H = \left(\begin{array}{ccc} 0\ & { } \frac{1}{2}\\ 0\ &0 \end{array}\right)+ \left(\begin{array}{ccc} { } -\frac{1}{4}\ &0 \\ 0\ &{ } -\frac{1}{4} \end{array}\right)D_{t} +\left(\begin{array}{ccc} 0\ &0 \\ { } -\frac{15}{8}\ &0 \end{array}\right)D^{2}_{t}. $

由上述限定条件可知, 所允许循环算子的结构可能为型1或型3(ⅰ).

这种寻找候选循环算子类型的方法具有局限性, 且获得类型有限, 限制条件太强. 因此, 我们寄希望于寻找新的途径, 以得到二阶常系数Hamilton算子所允许循环算子的一般结构.