自Lotka和Volterra分别对捕食-食饵数学模型做了开创性的研究工作以来, 捕食-食饵数学模型被众多学者广泛研究, 参见文献[1-17].捕食者与被捕食者之间的动力学关系, 基于它们的普遍存在性以及重要性, 已经持续了很长一段时间并将继续被深入研究, 参见文献[11].上个世纪, 许多学者建立了大量的生态系统, 用来描述不同物种之间以及物种与外界环境之间的相互作用.其中, 最经典并且被广泛研究的是Lotka-Volterra竞争系统, 参见文献[12-16].根据实验数据, Holling^[17]提出了三种单调型的功能函数

这些功能函数已经被广泛用在许多模型里加以研究.然而, 有实验显示, 在微生物的层面非单调反应很可能会发生:当营养浓度达到很高的一个水平的时候, 对于特定的增长速度很可能会发生抑制反应.当微生物被用在废物分解或者污水净化方面, 这种抑制反应的现象很常见, 因此, 提出了Holling Ⅳ型功能反应函数

并用来模拟在高浓度下的抑制反应^[18].与前三种功能反应函数相比, Holling Ⅳ型功能反应函数更合理.基于这个原因, Chen^[19]研究了如下带有Holling Ⅳ型功能反应函数的捕食-食饵模型正周期解的存在性

其中${N_1}(t)$和${N_2}(t)$分别代表食饵与捕食者在$t$时刻的种群密度; ${a_l}(t), {b_l}(t)$和${\tau _l}(t)\ (l = 1, 2)$都是以$\omega>0$为周期的连续函数, 并且$a, i$都是正常数.利用Mawhin迭合度理论, 得到了该系统正周期解存在性的充分条件.

众所周知, 在种群动态中, 许多进化过程在经历了相当长一段时间的连续变化之后, 很可能经历一个短时间的突变.例如, 由于食物的供给, 季节性的变化, 狩猎以及一年一度的收获等等, 综合这些因素, 得到了脉冲微分方程.关于脉冲微分方程的理论, 参见文献[20].考虑到脉冲, Du和Feng^[21]研究了带有脉冲时滞的具有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的中立型捕食竞争模型正周期解的存在性, 利用Mawhin迭合度理论, 给出了正周期解存在的充分条件.

根据上述文献, 该文研究如下带有脉冲时滞和更一般的Holling Ⅳ型功能反应函数的中立型捕食-食饵模型

满足初始条件

其中, $N_1$和$N_2$分别代表食饵与捕食者在$t$时刻的种群密度; $a_1(t)$$\in C({{\Bbb R}}, (0, + \infty ))$, $a_2(t),$$c(t) \in C({{\Bbb R}}, [0, + \infty ))$, $\sigma (t), {\tau _1}(t), {\tau _2}(t) \in {C^1}({{\Bbb R}}, [0, + \infty ))$, $\rho (t)\in {C^1}({{\Bbb R}}, {{\Bbb R}} )$, ${\tau _3}(t) \in {C^2}({{\Bbb R}},$$[0, + \infty ))$; ${c_{ik}} > - 1, i = 1, 2, k \in {N^ + }$; ${b_1}(t), {b_2}(t) \in C({{\Bbb R}}, {{\Bbb R}} )$, $\tau = \mathop {\max }\limits_{t \in [0, \omega ]} \{ {\tau _1}(t)$, ${\tau _2}(t)$, ${\tau _3}(t)\}$, 其中, $c(t)$, $\sigma(t)$, $\rho(t)$, ${a_i(t)}$, ${b_i(t)}$和$\tau_\ell(t)$$( i=1, 2 ; \ell=1, 2, 3)$都是以$\omega$为正周期的连续函数, $\alpha$和$\beta$都是正的常数.并且满足$\int_0^\omega {c(t){\rm d}t > 0}$和$\int_0^\omega {{b_i}(t){\rm d}t > 0}$的条件.此外, 由于环境是随机变动的, 所以, 增长函数${b_1}(t)$和${b_2}(t)$不一定总是正的.本文利用Mawhin迭合度定理和一些分析技巧, 给出了系统$(1.1)$–$(1.2)$存在正周期解的充分条件.这些条件是时滞依赖的, 从而本文的研究和文献[18-19, 22-23]不同, 因为这些文献研究的结论都与时滞无关.

为了得到系统$(1.1)$–$(1.2)$正周期解的存在性, 首先介绍一些相关的引理和Mawhin迭合度定理.

定义2.1^[21]  假设${({N_1}(t), {N_2}(t))^{\rm T}} \in ([ - \tau, \infty ), (0, +\infty ), (0, +\infty ))$, 满足下述条件

(ⅰ) ${N_1}(t), {N_2}(t)$在每一个区间$(0, {t_1}]$和$({t_k}, {t_{k + 1}}], k \in {N^ + }$上, 都是绝对连续的;

(ⅱ) 对于${\forall}$${t_k}$, $k \in {N^ + }$, ${({N_1}(t_k^ + ), {N_2}(t_k^ + ))^{\rm T}}$和${({N_1}(t_k^ - ), {N_2}(t_k^ - ))^{\rm T}}$存在, 且

(ⅲ) ${({N_1}(t), {N_2}(t))^{\rm T}}$在$[0, \infty )\backslash \{ {t_k}\}$上几乎处处满足系统$(1.1)$–$(1.2)$, 并且当$t = {t_k}$, $k\in {N^+}$时, 有${N_1}(t_k^ + ) - {N_1}({t_k}) = {c_{1k}}{N_1}({t_k})$和${N_2}(t_k^ + ) - {N_2}({t_k}) = {c_{2k}}{N_2}({t_k})$成立.

则称${({N_1}(t), {N_2}(t))^{\rm T}}$是初值问题$(1.1)$–$(1.2)$在$[ - \tau, \infty )$上的解.

为了叙述方便, 作如下假设.

(H$_1)$  ${\{ {t_k}\} _{k \in N}}$是一个严格单调递增序列, 且${t_1} > 0$, $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {t_k} = +\infty$;

(H$_2)$  $\{ {c_{ik}}\}$是实序列且${c_{ik}} > - 1$, $\mathop \prod \limits_{0 < {t_k} < t} (1 + {c_{ik}}), i = 1, 2$是$\omega$ -周期函数.

下面简要介绍迭合度相关知识.

设$X$和$Y$是两个实Banach空间, $L:DomL \subset X \to Y$是一个线性算子, $N:X \to Y$是一个连续映射, 若$\dim KerL = co\dim {\mathop{\rm Im}\nolimits} L < + \infty$, 且${\mathop{\rm Im}\nolimits} L$是$Y$的闭子空间, 则称$L$是指标为零的Fredholm算子^[25].如果$L$是指标为零的Fredholm算子, 存在连续映射$P:X \to X$和$Q:Y \to Y$, 满足${\mathop{\rm Im}\nolimits} P = KerL$, ${\mathop{\rm Im}\nolimits} L = KerQ = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (I - Q)$, 则$L\left| {_{DomL \cap KerP}:(I - P)X \to {\mathop{\rm Im}\nolimits} L} \right.$是可逆的, 把它的逆算子记为${K_p}$.设$\Omega \subset X$为$X$中的有界开子集, 如果算子$QN(\bar{\Omega})$是有界的, 并且算子${K_p}(I - Q)N(\bar{\Omega}) \in X$是紧的, 则称算子$N$在$N \in \bar{\Omega}$上是$L$ -紧的.

引理2.1^[24-25]  假设$X$和$Y$是两个实Banach空间, $L:DomL\subset X \to Y$是指标为零的Fredholm算子, $\Omega \subset X$是一个有界开集, $N:\bar{\Omega}\to Y$在$\bar{\Omega}$上是$L$ -紧的, 且假设下列条件成立

$[C_1]$ 当$x \in \partial \Omega \cap DomL$, $\lambda \in(0, 1)$时, 有$Lx \ne\lambda Nx$;

$[C_2]$ 当$x \in \partial \Omega \cap KerL$时, 有$Nx \notin {\mathop{\rm Im}\nolimits} L$;

$[C_3]$$\deg \{ JQN, \Omega \cap KerL, 0\} \ne 0$, 其中$J:{\mathop{\rm Im}\nolimits} Q \to KerL$是同构映射.

则方程$Lx = Nx$在$\bar{\Omega} \cap DomL$内至少存在一个解.

在假设(H$_1)$和(H$_2)$条件下, 首先考虑没有脉冲情况下的带有更一般的Holling Ⅳ型功能反应函数的中立型捕食竞争系统

满足初始条件

其中

下面的引理给出了初值问题$(1.1)$–$(1.2)$与初值问题$(2.1)$–$(2.2)$的关系.

引理2.2  假设(H$_1)$和(H$_2)$成立, 则有

(ⅰ) 如果${(x(t), y(t))^{\rm T}}$是系统$(2.1)$–$(2.2)$的解, 则${({N_1}(t), {N_2}(t))^{\rm T}}$是系统$(1.1)$–$(1.2)$的解, 其中

(ⅱ) 如果${({N_1}(t), {N_2}(t))^{\rm T}}$是系统$(1.1)$–$(1.2)$的解, 则${(x(t), y(t))^{\rm T}}$是系统$(2.1)$–$(2.2)$的解, 其中

证  (ⅰ) 如果${({x}(t), {y}(t))^{\rm T}}$是系统$(2.1)$–$(2.2)$的解, 则有

在每一个区间$({t_k}, {t_{k+ 1}}]$上都是绝对连续的.对于任何$t \ne {t_k}, k \in {N^ + }$, 有

类似地, 有

另一方面, 对任何$t = t_k, k \in {N^ + }$, 有

和

因此

此外

所以有

由$(2.1)$–$(2.7)$式可知, $(N_1(t), N_2(t))^{\rm T}$是系统$(1.1)$–$(1.2)$的一个解.

(ⅱ) 由定义2.1可知

在每一个区间$({t_k}, {t_{k + 1}}], k \in {N^ + }$上都是绝对连续的.由(2.6)式, 对${\forall}$$k \in {N^ + }$, 有

并且有

所以$x(t)$和$y(t)$在区间$[ - \tau, \infty)$上是连续的.进一步容易验证, $x(t)$和$y(t)$在区间$[ - \tau, \infty)$上是绝对连续的.类似于(ⅰ) 的证明, 容易验证

是系统$(2.1)$–$(2.2)$的解.

为了方便起见, 下面给出一些记号和几个正的常数.

其中$f$是$\omega$ -周期的连续函数, ${{\varphi ^{ - 1}}}$是$\varphi = t - {\tau _1}(t)$的逆函数. $A_1(t)$由(2.3)式给出, 常数$\gamma$由下面定理中给出.

定理3.1  假设(H$_1)$, (H$_2)$和如下条件成立

(H$_3)$  $A_2^M < \left( {\alpha-2\sqrt {\beta} } \right)b_2^L{q^L}{e^{ - G}}$, $1 - \gamma {e^{{K_2}}} > 0$, ${{\bar b}_1} - {{\bar A}_1}{e^{{K_2}}} > 0 ;$

(H$_4)$  $\gamma(t) = \gamma$是常数; ${\mathop \tau \limits^. {_1}}(t) < 1,$对${\forall}$$t \in {{\Bbb R}}$有${\mathop \tau \limits^. {_3}}(t) < 1$, ${\mathop \tau \limits^{..} {_3}}(t) = 0$.

则系统$(2.1)$–$(2.2)$至少存在一个$\omega$ -周期解.

证  因为

所以, 对$\forall t\in {{\Bbb R}}$, 系统$(2.1)$的解都是正的.做变换

则系统$(2.1)$可变换成如下系统

令

则$(X, \left\| . \right\|)$和$(Y, {\left| .\right|_\infty })$都是Banach空间.

定义算子$L, P$和$Q$如下

其中, $DomL = \left\{ {z\left| {z \in X:z(t) \in {C^1}({{\Bbb R}}, {{{\Bbb R}} ^2})} \right.} \right\}$.定义算子$N:X \to Y$如下

容易得到

和

因为${\rm Im}L$在$Y$上是闭的, $P$和$Q$都是连续的投影算子, 且满足${\rm Im}P = KerL$, ${\rm Im}L = KerQ = {\rm Im}(I-Q)$, $dimKerL = codim{\rm Im}L = 2$, 所以$L$是指标为零的Fredholm算子, 故算子$L$有唯一的逆映射.记$L$的广义逆为${K_p}:{\mathop{\rm Im}\nolimits} L \to KerP \cap DomL$.经过计算可得

从而, 有

其中$B(t) = {\frac{\gamma }{{1 - {{\mathop \tau \limits^. }_3}(t)}}}$.由假设条件(H$_4)$, 可得$\mathop B\limits^. (t) = 0$.因此

且

根据Lebesgue控制收敛定理可知, $QN$和$K_p(I-Q)N$都是连续的.由Arzela-Ascoli定理, 对于任意的有界开集$\Omega \in X$, ${K_p}(I - Q)N(\bar \Omega )$是紧的, $QN(\bar \Omega )$是有界的.因此$N$在$\bar \Omega$上是$L$ -紧的.

由算子方程

可得

对某个${\lambda}\in(0, 1)$, 假设$z(t) = {(u(t), v(t))^T} \in X$是系统$(3.2)$的一个解.对于方程$(3.2)$, 在$[0, {\omega}]$上进行积分, 有

由等式(3.2)–(3.4), 有

由(3.3)式, 可得

根据广义积分中值定理, 存在${\eta _1} \in \left[ {0, \omega } \right]$, 使得

由不等式(3.6), 存在${\eta _2} \in\left[ {0, \omega } \right]$, 有

根据(3.6)和(3.7)式, 得

进而可知, 存在$\xi \in[0, \omega]$, 使得

由于$\int_0^\omega {{b_1}(t)} {\rm d}t > 0$, 可得$b_1^M > 0$, 从而有

和

根据不等式(3.5), (3.8)和(3.9), 可得

因为$B(t){e^{u(t - {\tau _3}(t))}} > 0$, 故有

根据方程(3.2), (3.3)和不等式(3.10), 可得

再由(H$_3)$, 可得

因为$z = (u, v)^{\rm T}{\in}X$, 所以存在${\underline{\xi}}, \bar \xi, {\underline{\eta}}, \bar \eta \in [0, \omega ]$, 使得

根据(3.4)式, 可知

结合(3.12)和(3.14)式, 可得

即

结合(3.11)式, 可得

进一步, 有

即

再结合(H$_3)$, 可得

类似的, 根据(3.14)式有

因此有

再结合不等式(3.11), 可得

特别的, 有

即

结合假设条件(H$_3)$, 可得

由不等式(3.11)和(3.15), 可得

由(3.10)和(3.17)式, 可得

由(3.11)和(3.16)式, 可得

再由(3.18)和(3.19)式, 有

另一方面, 由(3.3)和(3.18)式, 可得

和

由(3.21)式, 可得

结合条件(H$_3)$和(3.22)式, 有

再由(3.2)和(3.4)式, 可得

根据不等式(3.23)–(3.25), 可得

且有

再由(3.26)和(3.27)式, 可得

结合(3.2), (3.11), (3.18)和(3.28)式, 可得

从而, 有

因此, 由(3.20)和(3.28)式, 可得

显然, $\ln {l_ \pm }, \ln {u_ \pm }, {K_2}$和${K_{10}}$都不依赖于$\lambda$.令$K = {K_{10}} + \tilde K.$当$\tilde K$取足够大, 可使得如下代数方程

的解满足$\left\| {{z^*}} \right\| = \left\| {{{({u^*}, {v^*})}^{\rm T}}} \right\| = \left| {{u^*}} \right| + \left| {{v^*}} \right| < K$.

令

下面验证引理2.1的三个条件成立.

(a) 由上述计算可知, 对${\forall}$$\lambda {\in}(0, 1) , z \in \partial \Omega \cap DomL,$有$Lz \ne \lambda Nz$成立.

(b) 当${(u(t), v(t))^{\rm T}} \in \partial \Omega \cap KerL$, 且${(u(t), v(t))^{\rm T}}$在$R^2$中是范数为$K$的一个常向量, 记作: ${(u, v)^{\rm T}}$.如果$QN{(u, v)^{\rm T}} = 0$, 则${(u, v)^{\rm T}}$是方程(3.30)的一个常数解.由上面讨论可知, $\left\| {{{(u, v)}^{\rm T}}} \right\| < K$, 这与$\left\| {{{(u, v)}^{\rm T}}} \right\| = K$矛盾.所以对${\forall}$$z \in \partial \Omega\cap KerL$, 有$QNz \ne 0$.

(c) 下面验证条件$[C_3]$成立.定义$\phi:DomL\cap KerL\times[0, 1]\rightarrow X$为

其中参数$\mu\in[0, 1]$.常向量${(u, v)^{\rm T}} \in\partial \Omega \cap KerL = \partial \Omega \cap {R^2}$, 且$\left\| {{{(u, v)}^{\rm T}}} \right\| = K$.下证当${(u, v)^{\rm T}} \in \partial \Omega \cap KerL$时, 有$\phi (u, v, \mu )\neq 0$成立.否则, 假设存在常向量${(u, v)^{\rm T}}$, 范数为$\left\| {{{(u, v)}^{\rm T}}} \right\| = K$时, 满足$\phi (u, v, \mu ) = 0$.由$\phi (u, v, \mu ) = 0$, 类似于(3.8), (3.9), (3.15), (3.16), (3.23)和(3.24)式的推导, 可得$\left\| {{{(u, v)}^{\rm T}}} \right\| < K$, 这就产生矛盾.假设$J$是从$ImQ$到$KerL$的恒等同构映射, 由根据拓扑度的同伦不变性, 可得

易得, 下面的代数方程

有唯一解${({u^*}, {v^*})^{\rm T}} \in \Omega \cap KerL$.因此有

所以引理2.1中的所有条件均满足, 因此系统(2.1)–(2.2)至少存在一个正的$\omega$ -周期解.进而由引理2.3可知, 系统(1.1)–(1.2)至少存在一个正的$\omega$ -周期解.

该文主要研究一类带有脉冲和Holling-IV型功能反应函数的中立型捕食-食饵种群动力学模型(1.1)–(1.2).通过运用Mawhin迭合度理论和一些分析技巧, 得到了系统(1.1)–(1.2)正周期解的存在性.今后, 我们将进一步讨论系统(1.1)–(1.2)正周期解的全局吸引性以及多周期解的存在性.