在过去的几十年, 分数阶微分方程在描述很多模型中起着重要的作用, 如空气动力学、聚合物流变性、复杂介质的电动力学和热传导等许多分支学科^[1-3].越来越多的学者研究分数阶微分方程及其应用, 并发表了许多高质量的文献[4-7].近年来, 有关非线性分数阶反应扩散方程弱解的存在性、唯一性和正则性问题的研究取得了重大进展^[8-13].

1961年, Lions^[14]证明了非自治的Cauchy问题

(1.1) $ \begin{eqnarray} u'(t)+{\cal A}u(t) = f(t), \; u(0) = u_{0} \end{eqnarray} $

在空间$ V' $有最大$ L^{2} $正则性, 给出了下面的定理.

定理1.1^[14]  若$ f\in L^{2}(0, T;V') $且$ u_{0}\in H $, 则方程(1.1)有唯一的解$ u\in MR(V, V'): = L^{2}(0, T;V)\bigcap H^{1}(0, T;V') $.

定理1.1中$ H $和$ V $是两个Hilbert空间并且$ V $稠密且连续嵌入到$ H $中, $ V' $表示$ V $的对偶空间.若闭的非自治半双线性形式$ {\mathfrak a}:[0, T]\times V\times V\rightarrow {\Bbb K} $是有界的且$ H $-elliptic, 那么对于所有的$ u, v\in V $, 存在唯一一个与$ {\mathfrak a}(t, \cdot, \cdot) $关联的算子$ {\cal A}\in{\cal L}(V, V') $使得$ {\mathfrak a}(t, u, v) = \langle{\cal A}(t)u, v\rangle $, 这里$ {\cal L}(V, V') $表示所有从$ V $映射到$ V' $的线性算子构成的空间.值得注意的是, Lion定理仅仅要求对所有的$ u, v\in V $, $ t\mapsto {\mathfrak a}(t, u, v) $是可测的.形如(1.1)式的方程引起了研究者们的广泛关注和深入研究并且已经取得了一些优秀的成果^[15-17].文献[18]利用Hilbert空间中闭凸集的不变性准则证明了非自治发展方程全局解的存在性.对与非自治形式关联的发展方程不变性准则, 也有一些突出成果^[19-21].

受以上工作的启发, 我们在Hilbert空间$ H $中考虑如下初值问题

(1.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} {}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(t)+{\cal A}(t)u(t) = f(t), {\quad} t\geq 0, \\ u(0) = u_{0} \end{array}\right. \end{equation} $

的适定性与不变集, 其中$ u_{0}\in H $, $ \alpha\in(0, 1) $, $ {}_{0}^{C}D_{t}^{\alpha} $是$ \alpha $阶Caputo导数.此外, 这里线性算子$ {\cal A}(t) $是与依赖于时间参数$ t $的半双线性形式相关联的.

分数阶偏微分方程是对经典的整数阶偏微分方程的推广.此外, 算子$ {\cal A}(t) $与一族依赖时间参数$ t $的线性算子相关联.值得一提的是, (1.2)式中的线性算子$ {\cal A}(t) $适用于许多不同类型的偏微分方程.例如, 算子$ {\cal A}(t) $可以是Robin边界条件下的拉普拉斯算子, 也可以是系数依赖时间参数的椭圆算子等等.

本文结构如下:第2节给出了一些基本引理、分数微积分的相关结果和一些记号; 第3节给出了非自治Caputo分数阶发展方程(1.2)的适定性; 第4节主要考虑了方程(1.2)弱解的不变性准则; 第5节给出了具有时变系数的一般椭圆算子与依赖时间参量Robin边界条件的拉普拉斯算子两个例子.

在本节中, 我们将介绍在后文中用到的一些概念和引理.

定义2.1^{[1-2, 10, 22]}  若$ X $是一个Banach空间且$ u : [0, T] \rightarrow X $是可积的, 则$ u $的$ \alpha $阶Riemann-Liouville分数阶积分定义如下

(2.1) $ \begin{equation} {}_0I^{ \alpha}_{t}u(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^{t} (t-s)^{\alpha-1}u(s){\rm d}s, \quad t>0, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} {}_tI^{ \alpha}_{T}u(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_t^{T} (s-t)^{\alpha-1}u(s){\rm d}s, \quad t>0, \end{equation} $

其中, $ \Gamma(\cdot) $表示Gamma函数.上述积分分别称为左Riemann-Liouville积分和右Riemann-Liouville积分.

定义2.2^{[1-2, 10, 22]}  若$ X $是一个Banach空间, $ u : [0, T] \rightarrow X $是可积的, 则$ u $的$ \alpha \in (0, 1] $阶Riemann-Liouville分数阶导数定义如下

(2.3) $ \begin{equation} {}_0D^{ \alpha}_{t}u(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^{t} (t-s)^{-\alpha}u(s){\rm d}s, \quad t>0, \end{equation} $

(2.4) $ \begin{equation} {}_tD^{ \alpha}_{T}u(t) = \frac{-1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_t^{T} (s-t)^{-\alpha}u(s){\rm d}s, \quad t>0, \end{equation} $

其中$ \Gamma(\cdot) $表示Gamma函数.上述导数分别称为左Riemann-Liouville导数和右Riemann-Liouville导数.

定义2.3^{[1-2, 10, 22]}  若$ X $是一个Banach空间, $ u : [0, T] \rightarrow X $是绝对连续函数.则$ u $的$ \alpha \in (0, 1] $阶Caputo分数阶导数定义如下

(2.5) $ \begin{equation} {}^C_0D^{ \alpha}_{t}u(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^{t} (t-s)^{-\alpha}\frac{\rm d}{{\rm d}s}u(s){\rm d}s, \quad t>0, \end{equation} $

(2.6) $ \begin{equation} {}^C_tD^{ \alpha}_{T}u(t) = \frac{-1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_t^{T} (s-t)^{-\alpha}\frac{\rm d}{{\rm d}s}u(s){\rm d}s, \quad t>0, \end{equation} $

其中$ \Gamma(\cdot) $表示Gamma函数.上述导数分别称为左和右Caputo导数.

更一般的, 对于$ u : [0, +\infty) \times {{\Bbb R}} ^{n} \rightarrow {{\Bbb R}} ^{n} $的情况, 函数$ u $关于时间的左Caputo分数阶偏导数表示如下

(2.7) $ \begin{eqnarray} \partial^{ \alpha}_{t}u(t, x) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_0^{t} (t-s)^{-\alpha}\frac{\partial}{\partial s}u(s, x){\rm d}s, \quad t>0. \end{eqnarray} $

定义2.4^{[1-2, 10, 22]}  令$ X $是一个Banach空间, $ u : [0, T] \rightarrow X $且$ \alpha \in (0, 1] $.实轴上的Liouville-Weyl分数阶积分和Caputo分数阶导数定义分别如下

(2.8) $ \begin{equation} {}_{-\infty}I^{ \alpha}_{t}u(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{-\infty}^{t} (t-s)^{\alpha-1}u(s){\rm d}s, \end{equation} $

(2.9) $ \begin{equation} {}_{-\infty}{^C D}^{ \alpha}_{t}u(t) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{-\infty}^{t} (t-s)^{-\alpha}\frac{\rm d}{{\rm d}s}u(s){\rm d}s, \end{equation} $

其中$ \Gamma(\cdot) $表示Gamma函数.

记$ C^{\infty}_{0}(U, X) $表示所有从空间$ U $到$ X $上具有紧支的无穷可微算子组成的空间.

引理2.1^{[10, 22-23]} (分数阶分部积分公式)

(2.10) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T} (^C_0D_{t}^{\alpha}u(t), \psi(t)){\rm d}t = \int_{0}^{T} (u(t), \;_tD^{\alpha}_{T}\psi(t)){\rm d}t + (u(t), \;_tI^{1-\alpha}_{T}\psi(t))\mid_{0}^{T}, \end{eqnarray} $

由于$ \lim\limits_{t\rightarrow T}{_tI^{1-\alpha}_{T}\psi(t)} = 0 $, $ \psi\in C^{\infty}_{0}([0, T], X) $, 则

(2.11) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T} (^{C}_{0}D_{t}^{\alpha}u(t), \psi(t)){\rm d}t = \int_{0}^{T} (u(t), \;_tD^{\alpha}_{T}\psi(t)){\rm d}t + (u(0), \;_0I^{1-\alpha}_{T}\psi(t)). \end{eqnarray} $

定义2.5^[24]  若$ X $和$ Y $均为Banach空间, $ X\subset Y $, 如果

(ⅰ)对某个常数$ C $, $ \|x\|_{Y}\leq C \|x\|_X $, $ x\in X $,

(ⅱ) $ X $中的每一个有界序列在$ Y $中是列紧的,

则称$ X $紧嵌入到$ Y $中, 简记为$ X\subset\subset Y $.

假设$ X_0 $, $ X $, $ X_1 $是Hilbert空间且满足

(2.12) $ \begin{equation} X_0\subset\subset X\subset X_1, \end{equation} $

且空间$ X $连续嵌入到空间$ X_{1} $.设$ v: {{\Bbb R}} \rightarrow X_1, $其傅里叶变换定义如下

(2.13) $ \begin{equation} \hat{v}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2{\rm i} \pi t \tau} v(t){\rm d}t. \end{equation} $

则

(2.14) $ \begin{equation} \widehat{_{-\infty}{^C}D_{t}^{\alpha} v(\tau)} = (2{\rm i} \pi \tau)^{\alpha}\hat{v}(\tau), \quad \alpha>0. \end{equation} $

对于$ 0<\alpha\leq 1 $, 定义空间

(2.15) $ \begin{equation} {\cal W}^{\alpha}({{\Bbb R}} , X_0, X_1) = \left\{v\mid v \in L^2({{\Bbb R}} , X_0), \; {_{-\infty}{^C}D_{t}^{\alpha} v} \in L^2({{\Bbb R}} , X_1) \right\}, \end{equation} $

并赋予其范数为

(2.16) $ \begin{equation} \|v\|_{{\cal W}^{\alpha}({{\Bbb R}} , X_0, X_1)} = \left(\|v\|^2_{L^2({{\Bbb R}} , X_0)} + \||\tau|^{\alpha} \hat{v}\|^2_{L^2({{\Bbb R}} , X_1)} \right)^{\frac{1}{2}}. \end{equation} $

对任意集合$ J \subset {{\Bbb R}} $, 定义子空间$ {\cal W}_{J}^{\alpha}\subset {\cal W}^{\alpha} $如下

(2.17) $ \begin{equation} {\cal W}_{J}^{\alpha}({{\Bbb R}} , X_0, X_1) = \left\{v\mid v\in {\cal W}^{\alpha}({{\Bbb R}} , X_0, X_1), \quad supp\; v \subset J\right\}, \end{equation} $

其中supp$ v $为$ v $的支集^[25].

定义空间

(2.18) $ \begin{eqnarray} W^{\alpha}([0, T], X_{0}, X_{1}) = \left\{v\mid v \in L^2(0, T; X_{0}), \quad ^C_0D_{t} ^{\alpha}v \in L^2(0, T;X_{1}) \right\}, \end{eqnarray} $

其中$ X_{0}, X_{1} $由(2.12)式定义.

引理2.2^[22]  在空间$ {\cal L}(C_{0}^{\infty}([0, T], \Omega)) $中, 对于任意$ u\in W^{\alpha}([0, T], X_{0}, X_{1}) $和$ v\in X_{0} $, 在分布意义下成立$ ^{C}_{0}D_{t}^{\alpha}(u(t), v) = \langle^{C}_{0}D_{t}^{\alpha}u(t), v\rangle $.

注2.1  在引理2.2中, $ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{n} $, $ {\cal L}(C_{0}^{\infty}([0, T], \Omega)) $是指所有作用在空间$ C_{0}^{\infty}([0, T], \Omega) $上的线性映射组成的空间.

引理2.3^[10]  假设$ X $是一个实Hilbert空间, $ v: [0, T]\rightarrow X $有一阶导数, 则对任意的$ \alpha\in (0, 1) $, 不等式

(2.19) $ \begin{eqnarray} (v(t), \;^{C}_{0}D_{t}^{\alpha}v(t))\geq\frac{1}{2}\;{^C_{0}D_{t}^{\alpha}\|v(t)\|_{X}^{2}} \end{eqnarray} $

成立.

利用文献[26, 引理2.3], 我们得到一个关于右Riemann-Liouville分数阶导数的不等式.

引理2.4  假设$ X $是一个实Hilbert空间且$ u: [0, T]\rightarrow X $是一个连续可微函数.若$ \dot{u}(t) $可积, 则对于任意的$ \alpha\in (0, 1), t\in [0, T] $, 如下不等式成立

(2.20) $ \begin{eqnarray} (u(t), \, _{t}D_{T}^{\alpha}u(t))\geq\frac{1}{2}\;{_{t}D_{T}^{\alpha}\|u(t)\|_{X}^{2}}. \end{eqnarray} $

证  由牛顿-莱布尼兹公式, 可得

(2.21) $ \begin{eqnarray} u(t) = u(T)-\int_{t}^{T}\dot{u}(s){\rm d}s = u(T)-{_{t}D_{T}^{-1}\dot{u}(t)}. \end{eqnarray} $

利用右Riemann-Liouville分数阶导数算子, (2.21)式可写成如下形式

$ {_{t}D_{T}^{\alpha}u(t)} = {_{t}D_{T}^{\alpha}u(T)}-{_{t}D_{T}^{\alpha-1}\dot{u}(t)} = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{u(T)}{(T-t)^{\alpha}}-\int_{t}^{T}(s-t)^{-\alpha}\dot{u}(s){\rm d}s\right), $

则有

$ (u(t), {_{t}D_{T}^{\alpha}u(t)}) = \frac{1} {\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{(u(t), u(T))}{(T-t)^{\alpha}}-\int_{t}^{T}(s-t)^{-\alpha}(u(t), \dot{u}(s)){\rm d}s\right). $

另一方面

$ \frac{1}{2}{_{t}D_{T}^{\alpha}\|u(t)\|_{X}^{2}} = \frac{1} {\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\|u(T)\|_{X}^{2}}{2(T-t)^{\alpha}}-\int_{t}^{T}(s-t)^{-\alpha}(u(s), \dot{u}(s)){\rm d}s\right), $

则

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}{_{t}D_{T}^{\alpha}\|u(t)\|_{X}^{2}}-(u(t), {_{t}D_{T}^{\alpha}u(t)})\\ & = &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\|u(T)\|_{X}^{2}-2(u(t), u(T))}{2(T-t)^{\alpha}}-\int_{t}^{T}(s-t)^{-\alpha}(u(t)-u(s), \dot{u}(s)){\rm d}s\right)\\ &\leq&\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\|u(T)\|_{X}^{2}-2(u(t), u(T))}{2(T-t)^{\alpha}}- \int_{t}^{T}(s-t)^{-\alpha}\|u(t)-u(s)\|_{X}\cdot\|\dot{u}(s)\|_{X}{\rm d}s\right)\\ & = &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{\|u(T)\|_{X}^{2}-2(u(t), u(T))}{2(T-t)^{\alpha}}-\frac{1}{2} \int_{t}^{T}(s-t)^{-\alpha}{\rm d}\|u(t)-u(s)\|_{X}^{2}\right)\\ & = &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\left(\frac{-\|u(t)\|_{X}^{2}}{2(T-t)^{\alpha}}-\frac{\alpha}{2} \int_{t}^{T}(s-t)^{-1-\alpha}\|u(t)-u(s)\|_{X}^{2}{\rm d}s\right)\\ &\leq& 0. \end{eqnarray*} $

从而(2.20)式成立.证毕.

引理2.5^[27]  假设$ \beta>0 $, $ a(t) $是一个在$ 0\leq t<T $$ (T\leq +\infty) $上局部可积的非负函数, $ g(t) $是定义在$ 0\leq t<T $上非负的、非减的连续函数, $ g(t)\leq M $ (常数), $ u(t) $$ (0\leq t<T) $是非负局部可积函数且

$ u(t)\leq a(t)+g(t)\int_{0}^{t}(t-s)^{\beta-1}u(s){\rm d}s. $

则成立

$ u(t)\leq a(t)+\int_{0}^{t}\left[\sum\limits_{n = 1}^{\infty}\frac{(g(t)\Gamma(\beta))^{n}}{\Gamma(n\beta)}(t-s)^{n\beta-1}a(s)\right]{\rm d}s, {\quad} 0\leq t<T. $

此外, 若$ a(t) $是一个$ [0, T) $上的非减函数, 则成立

$ u(t)\leq a(t)E_{\beta}(g(t)\Gamma(\beta)t^{\beta}), $

其中$ E_{\beta} $是Mittag-Leffler函数, 即$ E_{\beta}(z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k\beta+1)} $.

设$ V $与$ H $是数域$ {\Bbb K} $上的Hilbert空间并且满足$ V\subset\subset H $.在映射$ v\mapsto (v, \cdot)_{H} $下, 易得$ H\mathop{\hookrightarrow}\limits_{d}V' $, 这里$ V' $是空间$ V $的对偶空间.在空间$ V $中分别通过$ (\cdot, \cdot)_{V} $与$ \|\cdot\|_{V} $表示标量内积与范数, 并且在空间$ H $中分别通过$ (\cdot, \cdot) $与$ \|\cdot\| $表示标量内积与范数. $ \langle \cdot, \cdot \rangle $表示为空间$ V' $与$ V $中的对偶内积.此外, 对于任意$ u\in V $与任意$ k\in H\subset V' $, $ k $与$ u $在Hilbert空间$ H $中的标量内积成立

(2.22) $ \begin{equation} \langle k, u\rangle = (k, u). \end{equation} $

令$ I: = [a, b] $与$ {\mathfrak a}: I \times V\times V \rightarrow {\Bbb K} $, 其中$ -\infty<a<b<\infty $.称算子$ {\mathfrak a} $是非自治形式, 如果对所有的$ u, v\in V $, $ {\mathfrak a}(\cdot, u, v) $是可测的并且$ {\mathfrak a}(t, \cdot, \cdot) $对所有的$ t\in I $是半双线性的, 即

(2.23) $ \begin{equation} {\mathfrak a}(t, u_{1}+u_{2}, v) = {\mathfrak a}(t, u_{1}, v)+{\mathfrak a}(t, u_{2}, v), {\quad}{\mathfrak a}(t, \lambda u, v) = \lambda{\mathfrak a}(t, u, v); \end{equation} $

(2.24) $ \begin{equation} {\mathfrak a}(t, u, v_{1}+v_{2}) = {\mathfrak a}(t, u, v_{1})+{\mathfrak a}(t, u, v_{2}), {\quad}{\mathfrak a}(t, u, \lambda v) = \bar{\lambda}{\mathfrak a}(t, u, v), \end{equation} $

其中$ u, v, u_{1}, v_{1}, u_{2}, v_{2}\in V, \lambda\in{\Bbb C} $, $ \bar{\lambda} $是$ \lambda $的共轭复数.称算子$ {\mathfrak a} $是有界的, 如果存在一个常数$ M>0 $使得

(2.25) $ \begin{equation} |{\mathfrak a}(t, u, v)|\leq M\|u\|_{V}\|v\|_{V}, {\quad}{\quad} t\in I, {\quad} u, v\in V. \end{equation} $

称算子$ {\mathfrak a} $是$ H $-elliptic, 若存在常数$ \alpha>0 $和$ \omega\in {{\Bbb R}} $使得

(2.26) $ \begin{equation} |{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, u, u)|+\omega\|u\|^{2}\geq \alpha\|u\|_{V}, {\quad}{\quad} t\in I, {\quad} u\in V. \end{equation} $

特别地, 在$ \omega = 0 $的情况下, 称$ {\mathfrak a} $是强制的.

如果$ {\mathfrak a} $是有界的、$ H $-elliptic且是非自治形式, 则记

(2.27) $ \begin{equation} {\mathfrak a}\in{\rm Form}(I;V, H). \end{equation} $

令$ {\mathfrak a}\in{\rm Form}(I;V, H) $.对于$ t\in I $, 定义$ {\cal A}(t)\in {\cal L}(V, V') $如下

(2.28) $ \begin{eqnarray} \langle {\cal A}u, v\rangle = {\mathfrak a}(t, u, v), {\quad} u, v\in V. \end{eqnarray} $

此时$ {\cal A} $被称为是与$ {\mathfrak a} $相关联的.因此对于给定的函数$ u\in L^{2}(0, T;V) $, 映射$ t\mapsto {\cal A}(t)u(t) $为取值于$ V' $的可测函数.实际上, 映射$ t\mapsto {\cal A}(t)u(t) $是弱可测的.考虑到$ \langle {\cal A}(t)u(t), v\rangle = {\mathfrak a}(t;u(t), v) $是可测的并且取值在可分空间$ V' $中, 因此根据文献[28, 定理3.5.3], 易知它是可测的.此外, 我们有$ \|{\cal A}(t)u(t)\|_{V'}\leq M\|u(t)\|_{V} $.更进一步, 我们可以得到$ {\cal A}(t)u(t)\in L^{2}(0, T;V') $.对于更多细节, 请参考文献[15, 18].

假设$ Y $是一个Hilbert空间.如果$ u, v\in Y $, 我们通过$ (u, v)_{Y} $定义$ u $与$ v $的标量内积并且令$ \|u\|_{Y}^{2} = (u, u)_{Y} $.定义$ \Phi $为$ Y $的一个子空间.对于任意$ \varphi, \psi\in \Phi $, 在空间$ \Phi $中定义一标量内积$ (\varphi, \psi)_{\Phi} $使得空间$ \Phi $成为准Hilbert空间.值得注意的是, 若在空间$ \Phi $中定义范数$ \|\varphi\|_{\Phi} = (\varphi, \varphi)_{\Phi}^{\frac{1}{2}} $, 则空间$ \Phi $不一定是完备的.此外, 假设从空间$ \Phi $映到空间$ Y $的映射$ \varphi\mapsto\varphi $是连续的, 也就是说, 对于所有$ \varphi\in \Phi $, 有

(2.29) $ \begin{eqnarray} \|\varphi\|_{Y}\leq k\;\|\varphi\|_{\Phi}, \end{eqnarray} $

这里$ k $是一个常数.

假设在空间$ Y\, \times\, \Phi $中存在半双线性映射$ E(u, \varphi) $满足

(2.30) $ \begin{eqnarray} && \mbox{ (i) 对于所有 }\ \varphi\in\Phi, \mbox{ 映射 }u\rightarrow E(u, \varphi)\ \mbox{ 在空间 $Y$ 中是连续的}; \end{eqnarray} $

(2.31) $ \begin{eqnarray} &&\mbox{ (ii) 存在一个常数 }\ \mu>0\ \mbox{ 使得对于所有 }\ \varphi\in\Phi , |E(\varphi, \varphi)|\geq \mu\|\varphi\|_{\Phi}^{2}\ \mbox{ 成立 }.{\qquad}{\qquad}{\quad} \end{eqnarray} $

引理2.6^[15]  假设(2.29)–(2.31)式成立.如果映射$ \varphi\rightarrow L(\varphi) $是在$ \Phi $上的连续半线性形式, 那么对于所有$ \varphi\in \Phi $, 存在$ Y $中的元素$ u $满足方程

(2.32) $ \begin{eqnarray} E(u, \varphi) = L(\varphi). \end{eqnarray} $

注2.2^[15]  记$ \|L\| $表示$ L $的范数, 其中

(2.33) $ \begin{eqnarray} \|L\| = \sup\limits_{\varphi\in\Phi, \|\varphi\|_{\Phi}\leq1}|L(\varphi)|. \end{eqnarray} $

则方程$ (2.32) $的解$ u $满足

(2.34) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{Y}\leq\frac{k}{\mu}\|L\|^{2}, \end{eqnarray} $

其中$ k $和$ \mu $在$ (2.29) $和$ (2.31) $式中定义.

定义2.6  设$ u_{0}\in H, f\in L^{2}(0, T;V') $.函数$ u\in W^{\alpha}([0, T], V, V') $被称为方程$ (1.2) $的弱解, 若

(2.35) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } \int_{0}^{T}{(^C_{0}D_{t}^{\alpha}u(t), \varphi(t))+{\mathfrak a}(t, u(t), \varphi(t))}{\rm d}t = \int_{0}^{T}(f(t), \varphi(t)){\rm d}t, \\ u(0) = u_{0} \end{array}\right. \end{equation} $

对$ \forall \varphi\in L^{2}(0, T;V) $成立.

在本节中, 基于Lions表示定理, 我们将给出方程(1.2)弱解的适定性.

对于给定的$ u_{0}\in H $和$ f\in L^{2}(0, T;V') $, 我们考虑如下问题:对于

(3.1) $ \begin{eqnarray} \varphi\in L^{2}(0, T;V), {\quad} _{0}^{C}D_{t}^{\alpha}\varphi\in L^{2}(0, T;V'), {\quad} \varphi(T) = 0, \end{eqnarray} $

能否找到一个函数$ u\in L^{2}(0, T;V) $满足

(3.2) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T}[{{\mathfrak a}(t, u(t), \varphi(t))}+(u(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t))]{\rm d}t = \int_{0}^{T}(f(t), \varphi(t)){\rm d}t+(u_{0}, \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t)). \end{eqnarray} $

为了解释方程(3.2)和方程(2.35)在分布意义下的等价性, 我们需要下面的引理.

引理3.1  若$ u $是方程$ (3.2) $的一个解, 则在分布意义下$ _{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u\in L^{2}(0, T;V') $且$ u(0) = u_{0} $.

证  我们须证明存在一个函数$ w\in L^{2}(0, T;V') $使得对所有的$ \psi\in C_{0}^{\infty}([0, T], V) $, 成立

(3.3) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(w(t), \psi(t)){\rm d}t = \int_{0}^{T}(u(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\psi(t)){\rm d}t-(u_{0}, \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\psi(t)), \end{eqnarray} $

其中函数$ \psi $满足(3.1)式且$ \psi(0) = 0 $.

事实上, 令$ w(t) = -{\cal A}(t)u(t)+f(t) $, 则$ w(t)\in L^{2}(0, T;V') $且

(3.4) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(w(t), \psi(t)){\rm d}t& = &\int_{0}^{T}(-{\cal A}(t)u(t)+f(t), \psi(t)){\rm d}t{} \\ & = &-\int_{0}^{T}{\mathfrak a}(t;u(t), \psi(t)){\rm d}t+\int_{0}^{T}(f(t), \psi(t)){\rm d}t{} \\ & = &\int_{0}^{T}(u(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\psi(t)){\rm d}t-(u_{0}, \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\psi(t)). \end{eqnarray} $

由(2.11)式, 得

(3.5) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{T}(w(t), \psi(t)){\rm d}t = \int_{0}^{T} (^{C}_{0}D_{t}^{\alpha}u(t), \psi(t)){\rm d}t. \end{eqnarray} $

因此, 在分布意义下$ _{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u\in L^{2}(0, T;V') $.而且, 对所有满足(3.1)式的$ \varphi $, 结合方程(3.2)和(2.11)可得

(3.6) $ \begin{eqnarray} (u_{0}, \;_{0}I_{T}^{\alpha}\varphi(t)) & = &\int_{0}^{T}\left[{\mathfrak a}(t;u(t), \varphi(t))+(u(t), \;_{t}D_{T} ^{\alpha}\varphi(t))\right]{\rm d}t-\int_{0}^{T}(f(t), \varphi(t)){\rm d}t{} \\ & = &\int_{0}^{T}({\cal A}(t)u(t)-f(t), \varphi(t)){\rm d}t+\int_{0}^{T}(u(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t)){\rm d}t{} \\ & = &-\int_{0}^{T}(^{C}_{0}D_{t}^{\alpha}u(t), \varphi(t)){\rm d}t+\int_{0}^{T}(u(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t)){\rm d}t{} \\ & = &(u(0), \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t)). \end{eqnarray} $

引理3.1证毕.

如果$ u $是方程(3.2)的一个解, 则由引理3.1知, (3.2)式等价于(2.35)式.易知, 所有满足(3.1)式的函数$ \varphi $的集合在$ L^{2}(0, T;V) $中稠密.因此函数$ u $是方程(2.35)的一个解.相反的, 方程(2.35)的解显然满足方程(3.2).因此, 函数$ u $是方程(1.2)的一个弱解.

为了证明这一节的主要定理, 我们需要两个引理.为此我们设$ {\mathfrak a}(t, u(t), v(t)) $有界且是强制的, 即下列假设成立.

(ⅰ)存在一个常数$ M>0 $使得

(3.7) $ \begin{eqnarray} |{\mathfrak a}(t, u(t), v(t))|\leq M\|u(t)\|_{V}\cdot\|v(t)\|_{V} \end{eqnarray} $

对所有的$ t\in[0, T], \;\;u(t), v(t)\in V $成立.

(ⅱ)存在一个常数$ \beta>0 $使得

(3.8) $ \begin{eqnarray} |{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, u(t), u(t))|\geq \beta\|u(t)\|_{V}^{2} \end{eqnarray} $

对所有的$ t\in[0, T], \;u(t)\in V $成立.记

(3.9) $ \begin{eqnarray} Y = L^{2}(0, T;V). \end{eqnarray} $

令所有满足(3.1)式的函数$ \varphi $组成的空间记为$ \Phi $, 并定义这个空间的范数为

(3.10) $ \begin{eqnarray} \|\varphi\|_{\Phi} = \left(\|\varphi\|_{Y}^{2}+\, _{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray} $

值得注意的是$ _{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2} $是一个非负常数.定义如下的半双线性形式

(3.11) $ \begin{eqnarray} E(u, \varphi) = \int_{0}^{T}{\mathfrak a}(t, u(t), \varphi(t)){\rm d}t+\int_{0}^{T} \langle u(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t)\rangle {\rm d}t, \end{eqnarray} $

其中$ u\in Y, \; \varphi\in\Phi $.为了方便起见, 我们定义如下的半线性形式

(3.12) $ \begin{eqnarray} L(\varphi) = \int_{0}^{T}\langle f(t), \varphi(t)\rangle {\rm d}t+ \langle u_{0}, \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t)\rangle, {\quad}\varphi\in\Phi. \end{eqnarray} $

引理3.2  假设$ {\mathfrak a}(t, u, v) $满足$ (3.7) $式.则对所有的$ \varphi\in\Phi $, 映射$ u\mapsto E(u, \varphi) $在$ Y $上是连续的, 其中$ E(u, \varphi) $由$ (3.11) $式定义.

证  根据(3.11)式, 我们定义两个半线性算子

$ A(u, \varphi) = \int_{0}^{T}{\mathfrak a}(t, u(t), \varphi(t)){\rm d}t, $

$ B(u, \varphi) = \int_{0}^{T}(u(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t)){\rm d}t, $

其中$ u\in Y, \; \varphi\in\Phi $.

对于$ \forall\, \varepsilon>0, \;\exists\, \delta = \frac{\varepsilon}{MT\cdot\sup\limits_{t\in[0, T]}\|\varphi(t)\|_{\Phi}} $, 使得对于任意$ u_{1}, u_{2}\in Y $, 不等式$ \|u_{1}(t)-u_{2}(t)\|_{V}<\delta $成立.通过$ \varphi $的连续性以及$ (3.7) $式, 可得

$ \begin{eqnarray*} |A(u_{1}, \varphi)-A(u_{2}, \varphi)|& = &\left|\int_{0}^{T}{\mathfrak a}(t, u_{1}(t), \varphi(t)){\rm d}t-\int_{0}^{T}{\mathfrak a}(t, u_{2}(t), \varphi(t)){\rm d}t\right|\\ & = &\left|\int_{0}^{T}{\mathfrak a}(t, u_{1}(t)-u_{2}(t), \varphi(t)){\rm d}t\right|\\ &\leq&M\int_{0}^{T}\|u_{1}(t)-u_{2}(t)\|_{V}\|\varphi(t)\|_{\Phi}{\rm d}t\\ &\leq&MT\delta\sup\limits_{t\in[0, T]}\|\varphi(t)\|_{\Phi} = \varepsilon. \end{eqnarray*} $

因此, 对任意的$ \varphi\in\Phi $, 映射$ u\rightarrow A(u, \varphi) $在$ Y $上是连续的.

下一步, 我们将证明对于任意的$ \varphi\in\Phi $, 映射$ u\rightarrow B(u, \varphi) $在$ Y $上是连续的.

事实上, 对于$ \forall\, \varepsilon>0, \;\exists\, \delta = \varepsilon\Gamma(2-\alpha)(T^{1-\alpha}\cdot\sup\limits_{t\in[0, T]}\|\varphi(t)\|_{\Phi})^{-1} $, 使得对$ \forall u_{1}, u_{2}\in Y $, 不等式$ \|u_{1}(t)-u_{2}(t)\|_{V}<\delta $成立.由$ \varphi $的连续性和Schwarz不等式, 可得

$ \begin{eqnarray*} |B(u_{1}, \varphi)-B(u_{2}, \varphi)|& = &\bigg|\int_{0}^{T}(u_{1}(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t)){\rm d}t-\int_{0}^{T}(u_{2}(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t)){\rm d}t\bigg|\\ &\leq&\int_{0}^{T}\left|(u_{1}(t)-u_{2}(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t))\right|{\rm d}t\\ &\leq&\int_{0}^{T}\|u_{1}(t)-u_{2}(t)\|_{V}\cdot\;_{t}D_{T}^{\alpha}\|\varphi\|_{\Phi}{\rm d}t\\ &\leq&\delta\int_{0}^{T}\;_{t}D_{T}^{\alpha}\|\varphi\|_{\Phi}{\rm d}t \leq \delta\;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi\|_{\Phi}\\ &\leq&\frac{\delta T^{1-\alpha}}{\Gamma(2-\alpha)}\sup\limits_{t\in[0, T]}\|\varphi\|_{\Phi} = \varepsilon. \end{eqnarray*} $

因此, 对于任意的$ \varphi\in\Phi $, 映射$ u\rightarrow B(u, \varphi) $在$ Y $上是连续的.证毕.

引理3.3  对于给定的$ u_{0}\in H $和$ f\in L^{2}(0, T;V') $, 映射$ \varphi\rightarrow L(\varphi) $在$ \Phi $上是连续的, 其中映射$ L $由$ (3.12) $式定义.

证  首先, 映射$ L $是线性的.事实上, 对任意的$ k_{1}, \, k_{2}\in {{\Bbb R}} $与$ \varphi, \, \psi\in \Phi $, 可得

$ \begin{eqnarray*} L(k_{1}\varphi+k_{2}\psi)& = &\int_{0}^{T}(f(t), k_{1}\varphi+k_{2}\psi){\rm d}t+(u_{0}, \, _{0}I_{T}^{\alpha}(k_{1}\varphi+k_{2}\psi))\\ & = &\int_{0}^{T}\big(k_{1}(f(t), \varphi\big)+k_{2}\big(f(t), \psi)\big){\rm d}t+k_{1}(u_{0}, \, _{0}I_{T}^{\alpha}\varphi)+k_{2}(u_{0}, \, _{0}I_{T}^{\alpha}\psi)\\ & = &k_{1}\bigg(\int_{0}^{T}(f(t), \varphi){\rm d}t+(u_{0}, \, _{0}I_{T}^{\alpha}\varphi)\bigg)+k_{2}\bigg(\int_{0}^{T}(f(t), \psi){\rm d}t+(u_{0}, \, _{0}I_{T}^{\alpha}\psi)\bigg)\\ & = &k_{1}L(\varphi)+k_{2}L(\psi). \end{eqnarray*} $

根据(3.12)式和Schwarz不等式, 得到

(3.13) $ \begin{eqnarray} |L(\varphi)|& = &\bigg|\int_{0}^{T}(f(t), \varphi(t)){\rm d}t+(u_{0}, \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t))\bigg|{} \\ &\leq&\int_{0}^{T}\|f(t)\|_{V'}\cdot\|\varphi(t)\|_{V}{\rm d}t+\|u_{0}\| \cdot\;\|_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t)\|_{V'}{} \\ &\leq&\|f\|_{L^{2}(0, T;V')}\cdot\|\varphi\|_{Y}+\|u_{0}\| \cdot\;\|_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t)\|_{V'}. \end{eqnarray} $

另外, 如果$ \varphi\equiv 0 $, 不等式$ |L(\varphi)|^{2}\leq C\|\varphi\|_{\Phi}^{2} $显然成立.如果$ \varphi\neq 0 $, 由积分的中值定理, 存在$ \xi\in(0, T) $使得

$ \begin{eqnarray*} _{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}& = &\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{0}^{T}(T-s)^{-\alpha}\|\varphi(s)\|_{V}^{2}{\rm d}s\\ & = &\|\varphi(\xi)\|_{V}\cdot\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\int_{0}^{T}(T-s)^{-\alpha}\|\varphi(s)\|_{V}{\rm d}s\\ &\geq&\|\varphi(\xi)\|_{V}\cdot\|_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(s)\|_{V'}. \end{eqnarray*} $

为了方便起见, 定义$ l = \|\varphi(\xi)\|_{V}>0 $, 则$ \|_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(s)\|_{V'}\leq\frac{1}{l} \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2} $.

由(3.10)与(3.13)式得

$ |L(\varphi)|^{2}\leq C\left(\|f\|_{L^{2}(0, T;V')}\cdot\|\varphi\|_{Y}+\|u_{0}\| \cdot\;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}\right)^{2} \leq C\|\varphi\|_{\Phi}^{2}, $

其中$ C $表示某个充分大的正常数.因此, 半线性映射$ \varphi\rightarrow L(\varphi) $在$ \Phi $上是连续的.证毕.

我们在下文仍使用(3.9)式中的符号

$ Y = L^{2}(0, T;V), {\quad}{\quad}\|u\|_{Y} = \bigg(\int_{0}^{T}\|u(t)\|_{V}^{2}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}. $

$ \Phi $是由所有满足(3.1)式的函数$ \varphi $构成的空间并且按(3.10)式定义其范数.显然$ \Phi $是$ Y $的一个子空间且满足不等式(2.29).

定理3.1  对给定的$ u_{0}\in H $与$ f\in L^{2}(0, T;V') $.假设$ {\mathfrak a}(t, u(t), v(t)) $满足$ (3.7) $和$ (3.8) $式, 则方程$ (3.2) $的弱解是适定的.

证  1)存在性.  我们将用引理2.6证明此定理.我们仅需验证(3.11)中定义的$ E(u, \varphi) $与(3.12)中定义的$ L(\varphi) $满足引理2.6中的条件即可.对于空间$ \Phi $中任意固定的$ \varphi $, 由引理3.2可得, 映射$ u\rightarrow E(u, \varphi) $在$ Y $上是连续的.结合$ (2.20) $和$ (3.8) $式, 得

$ \begin{eqnarray*} {\rm Re}E(\varphi, \varphi)& = &\int_{0}^{T}{\rm Re}\, \{{\mathfrak a}(t, \varphi(t), \varphi(t))+(\varphi(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t))\}{\rm d}t\\ &\geq&\int_{0}^{T}{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, \varphi(t), \varphi(t)){\rm d}t+\frac{1}{2}\int_{0}^{T}\, _{t}D_{T}^{\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}{\rm d}t\\ & = &\int_{0}^{T}{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, \varphi(t), \varphi(t)){\rm d}t-\frac{1}{2}\, _{t}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}\mid_{0}^{T}\\ & = &\int_{0}^{T}{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, \varphi(t), \varphi(t)){\rm d}t+\frac{1}{2}\, _{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}\\ &\geq&\beta\int_{0}^{T}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}{\rm d}t+\frac{1}{2}\, _{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{V}^{2}\\ &\geq&\min\Big\{\beta, \, \frac{1}{2}\Big\}\|\varphi\|_{\Phi}. \end{eqnarray*} $

根据引理3.3, 半线性映射$ \varphi\rightarrow L(\varphi) $在$ \Phi $上是连续的.因此, 应用引理2.6得, 对于所有$ \varphi\in\Phi $, 存在$ Y $中的$ u $满足$ E(u, \varphi) = L(\varphi) $, 即$ u $是方程(3.2)的解.

2)唯一性.  假设$ u_{1} $与$ u_{2} $是方程(3.2)的两个不同的解, 则不等式

(3.14) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}[{{\mathfrak a}(t, u_{1}(t), \varphi(t))}+(u_{1}(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t))]{\rm d}t = \int_{0}^{T}(f(t), \varphi(t)){\rm d}t+(u_{0}, \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t)) \end{equation} $

和

(3.15) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}[{{\mathfrak a}(t, u_{2}(t), \varphi(t))}+(u_{2}(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t))]{\rm d}t = \int_{0}^{T}(f(t), \varphi(t)){\rm d}t+(u_{0}, \;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\varphi(t)) \end{equation} $

成立.由(3.14)–(3.15)式可得

(3.16) $ \begin{equation} \int_{0}^{T}[{{\mathfrak a}(t, u_{1}(t)-u_{2}(t), \varphi(t))}+(u_{1}(t)-u_{2}(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\varphi(t))]{\rm d}t = 0. \end{equation} $

定义$ \xi(t) = u_{1}(t)-u_{2}(t) $且取$ \varphi(t) = \xi(t) $.结合(2.20)和(3.8)式, 有

$ 0 = {\mathfrak a}(t, \xi(t), \xi(t))+(\xi(t), \;_{t}D_{T}^{\alpha}\xi(t))\geq\beta\|\xi(t)\|_{V}^{2}+\frac{1}{2}\, _{t}D_{T}^{\alpha}\|\xi(t)\|_{V}^{2}\geq0. $

则说明$ \|\xi(t)\|_{V}^{2} = 0 $, 即$ \xi(t) = u_{1}(t)-u_{2}(t) = 0 $.这与$ u_{1}(t)\neq u_{2}(t) $矛盾.

3) 对初始数据的连续依赖.  事实上, 结合(2.33)、(2.34)和(3.12)式有

$ \begin{eqnarray*} \|u\|_{Y}&\leq & \frac{k}{\min\left\{\beta, \, \frac{1}{2}\right\}}\|L\|^{2} = \frac{k}{\min\left\{\beta, \, \frac{1}{2}\right\}}\;\sup\limits_{\varphi\in\Phi, \|\varphi\|_{\Phi}\leq1}|L(\varphi)|^{2}\\ &\leq & C\sup\limits_{\varphi\in\Phi, \|\varphi\|_{\Phi}\leq1}\left(\|f\|_{L^{2}(0, T;V')}\cdot\|\varphi\|_{\Phi}+\|u_{0}\| \cdot\;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\|\varphi(t)\|_{\Phi}^{2}\right)^{2}\\ &\leq &C_{1}\left(\|f\|_{L^{2}(0, T;V')}^{2}+\|u_{0}\|^{2}\right), \end{eqnarray*} $

其中$ C, C_{1} $表示足够大的正常数.证毕.

在本节中, 假设条件(2.27)成立, 即$ {\mathfrak a} $是一个有界的$ H $-elliptic非自治的形式.对于$ t\in I $, 算子$ {\cal A} $满足(2.28)式, 即算子$ {\cal A} $与$ {\mathfrak a} $相关联.令$ {\cal C} $为$ H $的闭凸子集并且$ P:H\rightarrow {\cal C} $是正交投影, 即对于每一$ x\in H $, 在$ {\cal C} $中存在唯一元素$ x_{{\cal C}} = Px $使得对于所有$ y\in{\cal C} $不等式

(4.1) $ \begin{equation} {\rm Re}(x-x_{{\cal C}}, y-x_{{\cal C}})\leq 0 \end{equation} $

成立.对于固定的闭凸集$ {\cal C}\subset H $, 我们介绍如下定义.

定义4.1  给定的$ f\in L^{2}(0, T;V') $和初值$ u_{0}\in {\cal C} $, 如果对任意$ t\in[0, T] $, 方程$ (1.2) $的解$ u $满足$ u(t)\in{\cal C} $, 那么凸集$ {\cal C} $被称为Cauchy问题$ (1.2) $的不变集.

为了研究方程(1.2)的弱解$ u $的不变集性质, 我们首先给出以下引理.

引理4.1  令$ u_{0}\in H $, $ f\in L^{2}(0, T;V') $并且$ u\in W^{\alpha}([0, T], V, V') $是方程$ (1.2) $的弱解.假设对所有的$ w\in V $以及几乎处处的$ t\in[0, T] $, 成立

(4.2) $ \begin{equation} PV\subset V \mbox{ 且 } \;{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, Pw(t), w(t)-Pw(t))\geq {\rm Re}\langle f(t), w(t)-Pw(t)\rangle. \end{equation} $

则对于$ t\in[0, T] $, 不等式

(4.3) $ \begin{equation} \|u(t)-Pu(t)\|^{2}-\|u(0)-Pu(0)\|^{2}\leq 2\;{_{0}I_{t}^{\alpha}}{\rm Re}\langle _{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(t), u(t)-Pu(t)\rangle \end{equation} $

成立, 其中$ W^{\alpha}([0, T], V, V') $由$ (2.18) $式所定义.

证  设函数列$ \{w_{k}\}_{k = 1}^{\infty} $是空间$ V $中的一组正交基.若$ u\in W^{\alpha}([0, T], V, V') $, 则有

$ u(t) = \sum\limits_{k = 1}^{\infty}d_{k}(t)w_{k}. $

定义$ u_{n}(t) = \sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)w_{k}, \; n = 1, 2, \cdots, $其中$ \{d_{k, n}(t)\}_{k = 1}^{n} $是给定的适当的光滑函数.则在$ L^{2}(0, T;V) $中对于几乎处处$ t\in[0, T] $有

(4.4) $ \begin{equation} u_{n}(t)\rightarrow u(t), {\quad} n\rightarrow\infty. \end{equation} $

特别地, 在$ L^{2}(0, T;V) $中有

(4.5) $ \begin{equation} u_{n}(0)\rightarrow u(0), {\quad} n\rightarrow\infty. \end{equation} $

我们将证明对于几乎处处$ t\in[0, T] $, 在空间$ L^{2}(0, T;V') $中有

(4.6) $ \begin{equation} _{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u_{n}(t)\rightharpoonup {_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(t)}, \;n\rightarrow\infty. \end{equation} $

令$ \phi\in C_{0}^{\infty}(0, T) $, $ \xi(t) = \phi(t)\xi $, 这里$ \xi\in V\subset H $.显然, 存在常数$ d_{l}\;(l = 1, 2, \cdots ) $使得$ \xi\in\sum\limits_{l = 1}^{\infty}d_{l}w_{l} $.对于任意的正整数$ n $, 我们有如下估计

(4.7) $ \begin{eqnarray} \left|\int_{0}^{T}\langle u_{n}(t), \xi\rangle\;_{t}D_{T}^{\alpha}\phi(t){\rm d}t\right| &\leq&\left|\int_{0}^{T}\langle\sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)w_{k}, \sum\limits_{l = 1}^{\infty}d_{l}w_{l}\rangle\;_{t}D_{T}^{\alpha}\phi(t){\rm d}t\right|{} \\ &\leq&\left|\int_{0}^{T}\sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)\sum\limits_{l = 1}^{\infty}d_{l}\;\langle w_{k}, w_{l}\rangle\;_{t}D_{T}^{\alpha}\phi(t){\rm d}t\right|{} \\ &\leq&\left|\sum\limits_{k = 1}^{n}\left(\sup\limits_{t\in[0, T]}d_{k, n}(t)\right)d_{k}\int_{0}^{T}\, _{t}D_{T}^{\alpha}\phi(t){\rm d}t\right|{} \\ &\leq& C\;{_{0}I_{T}^{1-\alpha}|\phi(t)|}. \end{eqnarray} $

显然, 由(2.22)式可知$ \langle \cdot, \cdot\rangle $和$ (\cdot, \cdot) $是一致的.因此

(4.8) $ \begin{equation} \langle \xi, u_{n}(t)\rangle = (\xi, u_{n}(t)) = (u_{n}(t), \xi). \end{equation} $

由引理2.1、引理2.2、(4.4)式、(4.5)式和控制收敛定理可得

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{T}\langle\;_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u_{n}(t),\phi(t)\xi\rangle {\rm d}t{} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{T}\langle\;_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u_{n}(t),\xi\rangle\phi(t){\rm d}t{} \\ & = &\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{T}\langle u_{n}(t),\xi\rangle\;_{t}D_{T}^{\alpha}\phi(t){\rm d}t-\langle u(0),\xi\rangle\;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\phi(t){} \\ & = &\int_{0}^{T}( u(t),\xi)\;_{t}D_{T}^{\alpha}\phi(t){\rm d}t-( u(0),\xi)\;_{0}I_{T}^{1-\alpha}\phi(t){} \\ & = &\int_{0}^{T}\langle\;_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(t),\xi\rangle\phi(t){\rm d}t. \end{eqnarray} $

接下来, 我们要证明不等式

(4.10) $ \begin{eqnarray} \|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|^{2}-\|u_{n}(0)-Pu_{n}(0)\|^{2}\leq 2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, \langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle \end{eqnarray} $

成立.一方面, 对正整数$ n $, 有

(4.11) $ \begin{eqnarray} {}_{0}I_{t}^{\alpha}\left[_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}\|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|^{2}\right] = \|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|^{2}-\|u_{n}(0)-Pu_{n}(0)\|^{2}. \end{eqnarray} $

另一方面, 由引理2.3知

(4.12) $ \begin{eqnarray} &&_{0}I_{t}^{\alpha}\left[_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}\|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|^{2}\right]{} \\ &\leq&2\, _{0}I_{t}^{\alpha}\langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}(u_{n}(t)-Pu_{n}(t)), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle{} \\ & = &2\, _{0}I_{t}^{\alpha}\langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle -2\, _{0}I_{t}^{\alpha}\langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}Pu_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle. \end{eqnarray} $

下证明$ _{0}I_{t}^{\alpha}\langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}Pu_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle\geq0 $.事实上, 我们知道$ u_{n}(t) = \sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)w_{k} $, 这里$ \{d_{k, n}(t)\}_{k = 1}^{n} $是给定适当的光滑函数.结合引理2.2得

(4.13) $ \begin{eqnarray} &&{}_{0}I_{t}^{\alpha}\langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}Pu_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle{} \\ &\geq&{_{0}I_{t}^{\alpha}}\langle\;_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}Pu_{n}(t), \inf\limits_{t\in[0, T]}\sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)(w_{k}-Pw_{k})\rangle{} \\ & = &{_{0}I}_{t}^{\alpha}\left[_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}\left(Pu_{n}(t), \inf\limits_{t\in[0, T]}\sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)(w_{k}-Pw_{k})\right)\right]{} \\ & = &\left(Pu_{n}(t)-Pu_{n}(0), \inf\limits_{t\in[0, T]}\sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)(w_{k}-Pw_{k})\right). \end{eqnarray} $

进一步, 由(4.1)和(4.13)式得

(4.14) $ \begin{eqnarray} &&{}_{0}I_{t}^{\alpha}\langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}Pu_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle{} \\ &\geq&\left(Pu_{n}(t)-Pu_{n}(0), \inf\limits_{t\in[0, T]}\sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)(w_{k}-Pw_{k})\right){} \\ &\geq&-\left(\inf\limits_{t\in[0, T]}\sum\limits_{k = 1}^{n}d_{k, n}(t)(w_{k}-Pw_{k}), Pu_{n}(0)-Pu_{n}(t)\right){} \\ &\geq&0. \end{eqnarray} $

因此, 由(4.12)和(4.14)式, 有

(4.15) $ \begin{eqnarray} _{0}I_{t}^{\alpha}\left[_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}\|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|^{2}\right]\leq 2\, _{0}I_{t}^{\alpha}\langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle. \end{eqnarray} $

结合(4.11)和(4.15)式可得

$ \begin{eqnarray*} \|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|^{2}-\|u_{n}(0)-Pu_{n}(0)\|^{2}\leq 2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, \langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle. \end{eqnarray*} $

可证$ \{u_{n}-Pu_{n}\} $在$ L^{2}(0, T;V) $中是有界的(后文证明), 则在$ L^{2}(0, T;V) $中存在一个弱收敛的子序列.此外, 通过正交投影$ P:H\rightarrow H $结合(4.4)式得$ \{u_{n}-Pu_{n}\} $在$ L^{2}(0, T;H) $中收敛于$ u-Pu $.由(4.6)式可知, (4.10)式的右边的子序列收敛于$ 2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, \langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(t), u(t)-Pu(t)\rangle. $

为了完成证明, 还需证$ \{u_{n}-Pu_{n}\} $在空间$ L^{2}(0, T;V) $中是有界的.由(4.2)式, 可得

(4.16) $ \begin{eqnarray} {\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, Pu_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t))\geq {\rm Re}\langle f(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle. \end{eqnarray} $

因此, 通过(2.23)、(3.7)和(3.8)式可得

(4.17) $ \begin{eqnarray} &&\beta\|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|_{V}^{2}{} \\ &\leq & {\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, u_{n}(t)-Pu_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)){} \\ &\leq&{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, u_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t))-{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, Pu_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)){} \\ &\leq&{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, u_{n}(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t))-{\rm Re}\, \langle f(t), u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\rangle{} \\ &\leq & M\|u_{n}(t)\|_{V}\|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|_{V}+\|f(t)\|_{V'}\|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|_{V}, t\in[0, T], \end{eqnarray} $

则

(4.18) $ \begin{equation} \|u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\|_{V}^{2}\leq C\left(\|u_{n}(t)\|_{V}^{2}+\|f(t)\|_{V'}^{2}\right), \end{equation} $

其中C是一个只依赖于$ \beta, M $的适当常数.由(4.4)式以及$ P $是$ H $上的一个正交投影可得, 点列$ \{u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\}_{n = 1}^{\infty} $在空间$ L^{2}(0, T;H) $中是有界的.由(4.18)式知, $ \{u_{n}(t)-Pu_{n}(t)\}_{n = 1}^{\infty} $在空间$ L^{2}(0, T;V) $也是有界的.引理4.1证毕.

定理4.1  假设引理4.1条件成立, 则成立

(4.19) $ \begin{eqnarray} \|u(t)-Pu(t)\|^{2}\leq\|u(0)-Pu(0)\|^{2}\cdot E_{\alpha}(2\omega t^{\alpha}), {\quad} t\in[0, T], \end{eqnarray} $

其中$ \omega\in{{\Bbb R}} $满足：对每一个$ t\in [0, T] $和$ v\in V $, $ {\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, v, v)\geq -\omega\|v\|^{2} $, $ E_{\alpha} $是Mittag-Leffler函数, 其定义为$ E_{\alpha}(z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k\alpha+1)} $.

证  固定$ u_{0}\in {\cal C} $.由引理4.1和$ Pu(t)\in V $, 可得

(4.20) $ \begin{eqnarray} &&\|u(t)-Pu(t)\|^{2}-\|u(0)-Pu(0)\|^{2}{} \\ & \leq& 2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, \langle_{0}^{C}D_{t}^{\alpha}u(t), u(t)-Pu(t)\rangle{} \\ & = &2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, \langle f(t)-{\cal A}(t)u(t), u(t)-Pu(t)\rangle{} \\ & = &2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, \langle f(t), u(t)-Pu(t)\rangle-2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, \langle{\cal A}(t)u(t), u(t)-Pu(t)\rangle{} \\ &\leq& 2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, Pu(t), u(t)-Pu(t))-2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, u(t), u(t)-Pu(t)){} \\ & = &2\, _{0}I_{t}^{\alpha}{\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, Pu(t)-u(t), u(t)-Pu(t)){} \\ &\leq& 2\omega \, _{0}I_{t}^{\alpha}\|u(t)-Pu(t)\|^{2}. \end{eqnarray} $

于是, 根据引理2.5, 对于$ t\in[0, T] $有

(4.21) $ \begin{eqnarray} \|u(t)-Pu(t)\|^{2}\leq \|u(0)-Pu(0)\|^{2}\cdot E_{\alpha}(2\omega t^{\alpha}). \end{eqnarray} $

定理4.1证毕.

注4.1  注意到$ {\mathfrak a} $是有界且强制的, 因此常数$ \omega $总是存在的, $ \omega $可以为负数.

定理4.2  令$ u_{0}\in{\cal C} $, $ f\in L^{2}(0, T;V') $且$ u\in W^{\alpha}([0, T], V, V') $是方程(1.2)的弱解.如果对所有的$ w\in V $和几乎处处的$ t\in[0, T] $, 有

$ \begin{eqnarray*} PV\subset V\ \mbox{ 并且 } \ {\rm Re}\, {\mathfrak a}(t, Pw(t), w(t)-Pw(t))\geq {\rm Re}\langle f(t), w(t)-Pw(t)\rangle \end{eqnarray*} $

成立, 则对于所有$ t\in[0, T] $有$ u(t)\in{\cal C} $.

证  由注4.1知, $ \omega $能够被选为负数.此时$ E_{\alpha}(2\omega t^{\alpha}) $是有界的.由$ u_{0}\in{\cal C} $得$ \|u(0)-Pu(0)\| = 0 $.进一步, 利用定理4.1, 我们得到$ \|u(t)-Pu(t)\| = 0 $.也就是说对于所有$ t\in[0, T] $有$ u(t)\in{\cal C} $.定理4.2证毕.

在本节中, 我们将给出两个例子来说明我们的结果.

例5.1  具有依赖时间系数的椭圆算子.令$ {\Bbb K} = {{\Bbb R}} $并且$ \Omega\subset{{\Bbb R}} ^{d} $是有界开集.令$ H $为实Hilbert空间$ L^{2}(\Omega) $, $ V = H_{0}^{1}(\Omega) $.显然$ H_{0}^{1}(\Omega)\subset\subset L^{2}(\Omega) $且$ V' = H^{-1}(\Omega) $.令算子$ a_{ij}:[0, T]\times\Omega\rightarrow{{\Bbb R}} \;, (i, j\in\{1, 2, \cdots , d\}) $是可测且有界的.设存在常数$ \eta>0 $使得对所有的$ t\in[0, T], \, x\in\Omega, \, \xi = (\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{d})\in{{\Bbb R}} ^{d} $, 下式

(5.1) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{i, j = 1}^{d}a_{i, j}(t, x)\xi_{i}\xi_{j}\geq\eta|\xi|^{2} \end{eqnarray} $

成立.

令$ c\in L^{\infty}(0, T;L^{\infty}(\Omega)) $.定义算子$ {\mathfrak a}:[0, T]\times V\times V\rightarrow {{\Bbb R}} $形式如下

(5.2) $ \begin{eqnarray} {\mathfrak a}(t, u, v) = \int_{\Omega}\Bigg[\sum\limits_{i, j = 1}^{n}a_{i, j}(t, x)\partial_{i}u\partial_{j}v+cuv\Bigg]{\rm d}x. \end{eqnarray} $

可以验证算子$ {\mathfrak a} $是有界且强制的, 也就是说假设$ (3.7) $和$ (3.8) $成立.此外, 与$ {\mathfrak a} $相关联的算子$ {\cal A}(t)\in{\cal L}(V, V') $定义如下

$ {\cal A}(t)u(t) = \sum\limits_{i, j = 1}^{n}\partial_{j}(a_{i, j}(t, x)\partial_{i}u)+cu. $

当$ u_{0}\in H $且$ f\in L^{2}(0, T;V') $时, 由定理3.1知, 如下初值问题

(5.3) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} { } {}^C_{0}D_{t}^{\alpha}u(t)+\sum\limits_{i, j = 1}^{n}\partial_{j}(a_{i, j}(t)\partial_{i}u(t))+cu(t) = f(t), \; t\in [0, T], \\ u(0) = u_{0} \end{array}\right. \end{eqnarray} $

存在唯一的弱解$ u\in W^{\alpha}([0, T], V, V') $.此外

(5.4) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{L^{2}(0, T;V)}\leq C\left(\|u_{0}\|^{2}+\|f\|_{L^{2}(0, T;V')}\right), \end{eqnarray} $

其中$ C>0 $是一个常数.

例5.2  具有依赖时间变量Robin边界条件的拉普拉斯算子.令$ {\Bbb K} = {{\Bbb R}} $并且$ H $是实Hilbert空间$ L^{2}(\Omega) $.假设$ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^{d} $中具有利普希茨边界$ \Gamma $的有界区域.实Hilbert空间$ V $定义为$ H_{0}^{1}(\Omega) $的闭子空间.我们考虑在利普希茨边界$ \Gamma $上依赖时间变量Robin边界条件

(5.5) $ \begin{eqnarray} \partial_{\nu}u(t)+\beta(t, \cdot)u(t) = 0 \end{eqnarray} $

的拉普拉斯算子, 这里$ \beta:[0, T]\times \Gamma\rightarrow{{\Bbb R}} $是有界可测函数, $ \partial_{\nu} $是弱法向导数：若$ v\in H^{2}(\Omega) $, 对于所有$ w\in H^{1}(\Omega) $, 算子$ \partial_{\nu} $被定义为

$ \int_{\Gamma}w\partial_{\nu}v{\rm d}\sigma = \int_{\Omega}\nabla v\nabla w+w\Delta v{\rm d}x, $

这里$ \sigma $是在$ \Gamma $上$ (d-1) $维Hausdorff可测的.定义对称形式$ {\mathfrak a}:[0, T]\times H^{1}(\Omega)\times H^{1}(\Omega)\rightarrow{{\Bbb R}} $为

$ {\mathfrak a}(t, u, v) = \int_{\Omega}\nabla u \nabla v{\rm d}x+\int_{\Gamma}\beta(t, \cdot)uv{\rm d}\sigma. $

通过文献[29, Theorem 5.1]中的证明, 可知算子$ {\mathfrak a} $是有界的且是强制的.在$ L^{2}(\Omega) $上与$ {\mathfrak a}(t, \cdot, \cdot) $相关联的算子$ {\cal A}(t) $为拉普拉斯算子.因此通过定理3.1, 对于给定的$ u_{0}\in H, \; f\in L^{2}(0, T;V') $, 方程

$ \left\{\begin{array}{ll} ^C_{0}D_{t}^{\alpha}u(t)-\Delta u(t) = f(t){\quad} &\mbox{ 对几乎处处的 }\ t\in[0, T], \\ \partial_{\nu}u(t)+\beta(t, \cdot)u(t) = 0{\quad} & \mbox{ 在 $ \Gamma $ 上}, \\ u(0) = u_{0} \end{array}\right. $

存在唯一的弱解$ u\in W^{\alpha}([0, T], V, V') $.