${{\mathbb R}} ^N$上的Kirchhoff型方程具有较好的物理背景, 所以很受人们重视.文献[1]中证明了${{\mathbb R}} ^N$上的一类自治Kirchhoff型方程的解可以利用另一类方程的解通过变量变换得到.文献[2]中讨论了${{\mathbb R}} ^N$上的一类Kirchhoff型方程结点解的存在性.文献[3-6]中分别从不同的角度分析了${{\mathbb R}} ^N$上的一些Kirchhoff型方程正解的存在性与多解性.文献[7]中在${{\mathbb R}} ^3$上讨论了一类Kirchhoff型方程最低能量解的存在性.

对于${{\mathbb R}} ^N$上的Kirchhoff型方程径向对称解的存在性问题, 目前也有一些研究.文献[8]中证明了${{\mathbb R}} ^N$上的一类Kirchhoff型方程存在多个径向对称解.文献[9]中证明了${{\mathbb R}} ^N$上的一类Kirchhoff型方程存在无穷多个径向对称解.

最近, 文献[10]中研究了如下拟线形Schrödinger型方程正解的存在性问题

根据文献[10], 我们知道:如果$g(u)$是一个正的常数, 那么方程(1.1)是激光传输的生物学模型; 如果$g^2(u) = 1+\frac{u^2}{2(1+u^2)}$, 那么方程(1.1)可以描述高功率超短激光在物质中的自沟道效应.这时不难看出, $g(s)$是一个偶函数并且满足

如果$g^2(u) = 1+2u^2$, 那么方程(1.1)与等离子体物理中的超流膜方程有密切的联系.如果$u$是一个有界函数, 那么$g(u)$同样满足(1.2)式.基于这样的考虑以及文献[6]和[10]的启发, 本文主要考虑${{\mathbb R}} ^N$上如下的Kirchhoff型方程

其中$N\geq3$, $a$是正常数, 参数$\lambda\geq0$, $g: {{\mathbb R}} ^+\rightarrow{{\mathbb R}} ^+$是偶函数并且满足(1.2)式, $f$满足条件

(H$_1)$$f\in C({{\mathbb R}} _+, {{\mathbb R}} _+)$, $\lim\limits_{t\rightarrow0^+}\frac{f(t)}{t^{2^*-1}} = 0$;

(H$_2)$$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{f(t)}{t^{2^*-1}} = 0$, $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{f(t)}{t} = \infty$.

由于Kirchhoff型方程可以用来描述弹性弦的非线性振动, 所以方程(1.3)可以描述超流膜和激光传输的振动性问题.令$F(t) = \int_0^t f(s){\rm d}s$.根据条件(H$_1)$和(H$_2)$不难发现:存在常数$C>0$使得

因此, 我们可以在$D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$上定义方程(1.3)的如下能量泛函

直接计算可以得到

由于在(1.5)式中有$\int_{{{\mathbb R}} ^N}g(u)g'(u)|\nabla u|^2v{\rm d}x$这一项, 所以$J_\lambda'(u)v$在$D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$中有可能无意义.因此, 方程(1.3)的能量泛函不属于$C^1$类, 这就给方程(1.3)的研究带来了不少困难.本文通过变量变换, 将方程(1.3)变成了与之等价的能量泛函属于$C^1$类的方程, 在此基础上证明了方程(1.3)存在径向对称正解.

引理2.1^{[11, Theorem 1.1]}  假设$(X, \| \cdot\| )$是一个Banach空间, 区间$I\subset {{\mathbb R}} _+$, $B$是一个非负函数, 当$\| u\| \rightarrow \infty$时$A(u)\rightarrow \infty$或者$B(u)\rightarrow \infty$, $X$上的$C^1$泛函$J_\mu$满足$J_\mu(u) = A(u)-\mu B(u), \mu\in I, J_\mu(0) = 0$.令

如果对任意的$\mu\in I$, $\Gamma_\mu$是非空集合并且

那么对几乎所有的$\mu\in I$, 存在有界序列$\{u_n\}\subset X$使得当$n\rightarrow\infty$时有

在下面的讨论中, 我们始终假设$D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$是$C_{0}^\infty({{\mathbb R}} ^N)$在范数$\| u\| ^2 = \int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x$下的完备化空间, $D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) = \{u\in D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)|u = u(|x|)\}$.始终假设$g(s)$是一个偶函数并且满足条件(1.2), $f$满足条件(H$_1)$, (H$_2)$, $G(u) = \int_0^ug(s){\rm d}s$.

引理2.2^{[12, Lemma A. Ⅱ]}  存在常数$\widehat{C}>0$使得对任意$u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$有

通过直接计算, 不难得到

所以方程(1.3)与下面的方程等价

为了讨论方程(2.5)解的存在性, 我们需要定义如下新的Banach空间

引理2.3  在$D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$的范数下, $E$是一个Banach空间.

证  显然$E$是$D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$的子空间.假设$\{G(u_{n})\}$是$E$中的Cauchy序列, 那么$\{G(u_{n})\}$也是$D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$中的Cauchy序列.因此, 存在$v\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$使得在$D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$中有$G(u_{n})\rightarrow v$.令$s(t) = \int_0^tg(\theta){\rm d}\theta$.由(1.2)式可知$s(t)$是严格递增函数, 于是

由于$v\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$, $|\nabla s^{-1}(v)| = \frac{|\nabla v|}{g(t)} = \frac{|\nabla v|}{g( s^{-1}(v))}$, 所以根据(1.2)式有$s^{-1}(v)\in D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$.因为$v\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$, 所以$v = v(|x|)$.于是$s^{-1}(v) = s^{-1}(v(|x|))\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$.根据(2.6)式我们断言$v\in E$.所以$E$是一个Banach空间.引理2.3得证.

令$H(G(u)) = \int_0^uf(s){\rm d}s$, 那么$H'(G(u)) = \frac{f(u)}{g(u)}$.根据(1.2)式, 条件(H$_1)$和(H$_2)$, 我们可以在$E$中定义如下泛函

显然对任意$\lambda\geq0$, $I_\lambda$都是$C^1$类泛函, 并且对任意$v\in D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)$和$G(u)\in E$有

容易验证$I_\lambda$的临界点就是方程(2.5)的弱解.为了利用引理2.1, 我们需考虑如下泛函

令$A(G(u)) = \frac{1}{2}(a+\frac{1}{2}\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x)\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x$, $B(G(u)) = \int_{{{\mathbb R}} ^N}H(G(u)){\rm d}x$.根据$H(G(u))$及$G(u)$的定义, 容易得到$B$是非负的, 并且当$\| G(u)\| \rightarrow \infty$时有$A(G(u))\rightarrow \infty$.所以$I_{\lambda, \mu}$满足引理2.1中的一些条件.在下面的一些引理中, 我们将证明$I_{\lambda, \mu}$满足引理2.1的所有条件.

引理2.4  假设$\mu\in[\frac{1}{2}, 1]$, $\{G(u_n)\}$是$I_{\lambda, \mu}$在$E$中的(PS)序列.如果$\| G(u_n)\|$是有界的, 那么存在$u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$以及$\{G(u_n)\}$的子序列(仍然记为$\{G(u_n)\}$)使得在$D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$中有$G(u_n)\rightarrow G(u)$.

证  因为$\{G(u_n)\}\subset D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$且$\| G(u_n)\|$是有界的, 所以存在$u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$和$\{G(u_n)\}$的子序列(仍然记为$\{G(u_n)\}$)使得在$D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$中有$G(u_n)\rightharpoonup G(u)$.根据$G(u)$的定义以及(1.2)式可知$\{u_n\}$有界, 所以根据引理2.2, 我们可以假设$|u_n(x)|\leq C|x|^{\frac{1-N}{2}}$.于是存在$R>0$和$\delta>0$使得对任意$n$以及$|x|\geq R$有$|u_n(x)|\leq\delta$.根据(1.2)式和条件(H$_1)$, 我们断言对任意$|x|\geq R$和$\varepsilon>0$有

根据条件(H$_1)$和(H$_2)$, 我们断言存在常数$C_\varepsilon>0$使得

根据(2.9)式, (2.10)式以及Hölder不等式, 我们有

再利用Hölder不等式可以得到

于是, 根据(2.11)和(2.12)式有$\int_{{{\mathbb R}} ^N}\frac{f(u_n(x))}{g(u_n(x))}(G(u_n)-G(u)){\rm d}x\rightarrow0$.直接计算得到

因为$I'_{\lambda, \mu}(G(u_n))\rightarrow 0$, 所以根据(2.13)式有

由于$G(u_n)\rightharpoonup G(u)$, 根据(2.14)式我们断言在$D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$中有$G(u_n)\rightarrow G(u)$.引理2.4得证.

在下面的讨论中, 我们始终假设

引理2.5  存在常数$\lambda_0>0$, $c>0$以及$G(u)\in E$, 使得对任意$\lambda\in[0, \lambda_0)$以及几乎所有的$\mu\in [\frac{1}{2}, 1]$有$I_{\lambda, \mu}(G(u)) = c_\mu\geq c$, $I'_{\lambda, \mu}(G(u)) = 0$.

证  根据(1.2)式和条件(H$_2)$, 我们断言存在常数$C_1>0$和$C_2>0$使得

取函数$\varphi\in E$和常数$R>0$使得${\rm supp}(\varphi)\subset B(0, R)$, $\varphi\in C_0^\infty({{\mathbb R}} ^N, {{\mathbb R}} _+)$, $\| \varphi\| _{L^2} = 1$并且

令$G(u) = t\varphi$.由于$\mu\in [\frac{1}{2}, 1]$, 所以根据(2.8)和(2.16)式我们有

因为$C_1\int_{B(0, R)}\varphi^2{\rm d}x>2a+C_2|B(0, R)|$, 所以根据(2.17)式可以得到

选择$\lambda_0 = a$, 那么当$t_0 = 1$并且$\lambda\in[0, \lambda_0)$时有$I_{\lambda, \mu}(t_0\varphi)<0$.所以$\Gamma_\mu$是非空的.

另一方面, 根据(1.2)和(1.4)式以及Gagliardo-Nirenberg不等式, 我们有

因此存在常数$1>\rho>0$, 当$G(u)\in E$, $\| G(u)\| \in(0, \rho]$时, 对任意$\mu\in [\frac{1}{2}, 1]$有$I_{\lambda, \mu}(G(u))>0$.特别是, 当$\| G(u)\| = \rho$时存在常数$c>0$使得$I_{\lambda, \mu}(G(u))\geq c>0$.固定$\mu\in [\frac{1}{2}, 1]$.由于对任意$\| G(u)\| \in(0, \rho]$有$I_{\lambda, \mu}(G(u))>0$, 所以根据$\Gamma_\mu$的定义可知对任意$\gamma\in\Gamma_\mu$有$\| \gamma(1)\| >\rho$.因为$\gamma(0) = 0$, 所以根据介值定理可知存在$t_\gamma\in(0, 1)$使得$\gamma(t_\gamma) = \rho$.于是, 对任意$\mu\in [\frac{1}{2}, 1]$, 我们有

所以$I_{\lambda, \mu}(G(u_n))$满足引理2.1的条件, 这就意味着存在$E$中的有界序列$\{G(u_n)\}$使得$I_{\lambda, \mu}(G(u_n))\rightarrow c_\mu$, $I'_{\lambda, \mu}(G(u_n))\rightarrow0$.所以, $\{G(u_n)\}$是$I_{\lambda, \mu}$在$E$中的有界(PS)序列.根据引理2.4, 我们断言对几乎所有的$\mu\in [\frac{1}{2}, 1]$, 存在$u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$使得$I_{\lambda, \mu}(G(u)) = c_\mu\geq c$, $I'_{\lambda, \mu}(G(u)) = 0$.引理2.5得证.

有了前面这些引理, 我们就可以在合适的条件下证明方程(1.3)至少存在一个径向对称正解.

定理3.1  如果$N\geq3$, $a>0$, $g: {{\mathbb R}} ^+\rightarrow{{\mathbb R}} ^+$是一个偶函数并且满足(1.2)式, $f$满足条件(H$_1)$, (H$_2)$, 那么存在常数$\lambda_0>0$, 当$\lambda\in[0, \lambda_0)$时, 方程(1.3)至少存在一个径向对称正解.

证  根据引理2.5可知, 存在常数$\lambda_0>0$, 如果$\lambda\in[0, \lambda_0)$, 那么存在序列$\{\mu_n\}\subset [\frac{1}{2}, 1]$和$\{G(u_n)\}\subset E$使得当$\mu_n\rightarrow1^{-}$时有

由于$I'_{\lambda, \mu_n}(G(u_n)) = 0$, 所以$G(u_n)$是如下方程

的弱解.直接计算得

所以, 根据(3.2)式以及文献[6]中引理2.2中的一些证明方法可得

由于$I_{\lambda, \mu_n}(G(u_n)) = c_{\mu_n}$, 所以根据(2.8)式我们有

根据(3.3)和(3.4)式得到

如果$\lambda = 0$, 根据(3.5)式容易验证$\| G(u_n)\|$是有界的.另外, 根据(3.5)式可知

所以当$\lambda\neq0$, $N>4$时$\| G(u_n)\|$也是有界的.如果$N\leq4$, 根据(3.5)式有

类似于(2.17)式的证明, 我们可以取函数$\varphi\in E$使得

根据(3.6)和(3.7)式可知, 当$N\leq4$时$\| G(u_n)\|$也是有界的.根据引理2.4可知, 存在$u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$以及$\{G(u_n)\}$的子序列(仍然记为$\{G(u_n)\}$), 使得在$D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N)$中有$G(u_n)\rightarrow G(u)$.令$\mu_n\rightarrow1^{-}$.根据(2.7), (2.8)和(3.1)式, 我们断言$G(u)$是方程(2.5)的弱解.所以$u$是方程(1.3)的径向对称解.定理3.1得证.