$ {{\mathbb R}} ^N $上的Kirchhoff型方程具有较好的物理背景, 所以很受人们重视.文献[1]中证明了$ {{\mathbb R}} ^N $上的一类自治Kirchhoff型方程的解可以利用另一类方程的解通过变量变换得到.文献[2]中讨论了$ {{\mathbb R}} ^N $上的一类Kirchhoff型方程结点解的存在性.文献[3-6]中分别从不同的角度分析了$ {{\mathbb R}} ^N $上的一些Kirchhoff型方程正解的存在性与多解性.文献[7]中在$ {{\mathbb R}} ^3 $上讨论了一类Kirchhoff型方程最低能量解的存在性.

对于$ {{\mathbb R}} ^N $上的Kirchhoff型方程径向对称解的存在性问题, 目前也有一些研究.文献[8]中证明了$ {{\mathbb R}} ^N $上的一类Kirchhoff型方程存在多个径向对称解.文献[9]中证明了$ {{\mathbb R}} ^N $上的一类Kirchhoff型方程存在无穷多个径向对称解.

最近, 文献[10]中研究了如下拟线形Schrödinger型方程正解的存在性问题

(1.1) $ \begin{align} -{\rm div} (g^2(u)\nabla u)+g(u)g'(u)|\nabla u|^2+a(x)u = k(x, u), \quad x\in{{\mathbb R}} ^N, \end{align} $

根据文献[10], 我们知道:如果$ g(u) $是一个正的常数, 那么方程(1.1)是激光传输的生物学模型; 如果$ g^2(u) = 1+\frac{u^2}{2(1+u^2)} $, 那么方程(1.1)可以描述高功率超短激光在物质中的自沟道效应.这时不难看出, $ g(s) $是一个偶函数并且满足

(1.2) $ \begin{align} g'(s)>0, \quad 1\leq g^2(s)\leq k, \quad k>1, \quad \forall s\geq0. \end{align} $

如果$ g^2(u) = 1+2u^2 $, 那么方程(1.1)与等离子体物理中的超流膜方程有密切的联系.如果$ u $是一个有界函数, 那么$ g(u) $同样满足(1.2)式.基于这样的考虑以及文献[6]和[10]的启发, 本文主要考虑$ {{\mathbb R}} ^N $上如下的Kirchhoff型方程

(1.3) $ \begin{align} -\bigg(a+\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u)|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)({\rm div}(g^2(u)\nabla u)-g(u)g'(u)|\nabla u|^2) = f(u), \end{align} $

其中$ N\geq3 $, $ a $是正常数, 参数$ \lambda\geq0 $, $ g: {{\mathbb R}} ^+\rightarrow{{\mathbb R}} ^+ $是偶函数并且满足(1.2)式, $ f $满足条件

(H$ _1) $$ f\in C({{\mathbb R}} _+, {{\mathbb R}} _+) $, $ \lim\limits_{t\rightarrow0^+}\frac{f(t)}{t^{2^*-1}} = 0 $;

(H$ _2) $$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{f(t)}{t^{2^*-1}} = 0 $, $ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{f(t)}{t} = \infty $.

由于Kirchhoff型方程可以用来描述弹性弦的非线性振动, 所以方程(1.3)可以描述超流膜和激光传输的振动性问题.令$ F(t) = \int_0^t f(s){\rm d}s $.根据条件(H$ _1) $和(H$ _2) $不难发现:存在常数$ C>0 $使得

(1.4) $ \begin{align} |f(t)t|\leq C|t|^{2^*}, \quad |F(t)|\leq C|t|^{2^*}, \quad \forall t\in \mathbb{R_+}. \end{align} $

因此, 我们可以在$ D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $上定义方程(1.3)的如下能量泛函

$ J_\lambda(u) = \frac{1}{2}\bigg(a+\frac{1}{2}\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u)|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg) \int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u)|\nabla u|^2{\rm d}x-\int_{{{\mathbb R}} ^N}F(u){\rm d}x. $

直接计算可以得到

(1.5) $ \begin{eqnarray} J_\lambda'(u)v& = &\bigg(a+\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u)|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg) \bigg(\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u)\nabla u\nabla v{\rm d}x+\int_{{{\mathbb R}} ^N}g(u)g'(u)|\nabla u|^2v{\rm d}x\bigg) {}\\ && -\int_{{{\mathbb R}} ^N}f(u)v{\rm d}x, \quad \forall u, v\in D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N). \end{eqnarray} $

由于在(1.5)式中有$ \int_{{{\mathbb R}} ^N}g(u)g'(u)|\nabla u|^2v{\rm d}x $这一项, 所以$ J_\lambda'(u)v $在$ D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $中有可能无意义.因此, 方程(1.3)的能量泛函不属于$ C^1 $类, 这就给方程(1.3)的研究带来了不少困难.本文通过变量变换, 将方程(1.3)变成了与之等价的能量泛函属于$ C^1 $类的方程, 在此基础上证明了方程(1.3)存在径向对称正解.

引理2.1^{[11, Theorem 1.1]}  假设$ (X, \| \cdot\| ) $是一个Banach空间, 区间$ I\subset {{\mathbb R}} _+ $, $ B $是一个非负函数, 当$ \| u\| \rightarrow \infty $时$ A(u)\rightarrow \infty $或者$ B(u)\rightarrow \infty $, $ X $上的$ C^1 $泛函$ J_\mu $满足$ J_\mu(u) = A(u)-\mu B(u), \mu\in I, J_\mu(0) = 0 $.令

(2.1) $ \begin{align} \Gamma_\mu = \{\gamma\in C([0, 1], X)| \; \gamma(0) = 0, J_\mu(\gamma(1))<0\}. \end{align} $

如果对任意的$ \mu\in I $, $ \Gamma_\mu $是非空集合并且

(2.2) $ \begin{align} c_\mu = \inf\limits_{\gamma\in\Gamma_\mu}\max\limits_{t\in [0, 1]}J_\mu(\gamma(t))>0, \end{align} $

那么对几乎所有的$ \mu\in I $, 存在有界序列$ \{u_n\}\subset X $使得当$ n\rightarrow\infty $时有

(2.3) $ \begin{align} J_\mu(u_n)\rightarrow c_\mu, \quad J'_\mu(u_n)\rightarrow 0. \end{align} $

在下面的讨论中, 我们始终假设$ D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $是$ C_{0}^\infty({{\mathbb R}} ^N) $在范数$ \| u\| ^2 = \int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla u|^2{\rm d}x $下的完备化空间, $ D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) = \{u\in D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)|u = u(|x|)\} $.始终假设$ g(s) $是一个偶函数并且满足条件(1.2), $ f $满足条件(H$ _1) $, (H$ _2) $, $ G(u) = \int_0^ug(s){\rm d}s $.

引理2.2^{[12, Lemma A. Ⅱ]}  存在常数$ \widehat{C}>0 $使得对任意$ u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $有

$ |u(x)|\leq \widehat{C}|x|^{-\frac{N-1}{2}}\| u\| . $

通过直接计算, 不难得到

(2.4) $ \begin{align} g(u)\triangle\bigg(\int_0^ug(s){\rm d}s\bigg) = g(u){\rm div}(g(u)\nabla u) = {\rm div}(g(u)g(u)\nabla u)-g(u)g'(u)|\nabla u|^2. \end{align} $

所以方程(1.3)与下面的方程等价

(2.5) $ \begin{align} -\bigg(a+\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x\bigg)\triangle G(u) = \frac{f(G^{-1}(u))}{g(G^{-1}(u))}. \end{align} $

为了讨论方程(2.5)解的存在性, 我们需要定义如下新的Banach空间

$ E = \bigg\{G(u)\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N)\Big| \exists u\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) \; \; {\rm s.t.}\; \; G(u) = \int_0^ug(s){\rm d}s\bigg\}. $

引理2.3  在$ D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $的范数下, $ E $是一个Banach空间.

证  显然$ E $是$ D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $的子空间.假设$ \{G(u_{n})\} $是$ E $中的Cauchy序列, 那么$ \{G(u_{n})\} $也是$ D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $中的Cauchy序列.因此, 存在$ v\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $使得在$ D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $中有$ G(u_{n})\rightarrow v $.令$ s(t) = \int_0^tg(\theta){\rm d}\theta $.由(1.2)式可知$ s(t) $是严格递增函数, 于是

(2.6) $ \begin{align} v = \int_0^v{\rm d}s = \int_0^{s^{-1}(v)}g(t){\rm d}t. \end{align} $

由于$ v\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $, $ |\nabla s^{-1}(v)| = \frac{|\nabla v|}{g(t)} = \frac{|\nabla v|}{g( s^{-1}(v))} $, 所以根据(1.2)式有$ s^{-1}(v)\in D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $.因为$ v\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $, 所以$ v = v(|x|) $.于是$ s^{-1}(v) = s^{-1}(v(|x|))\in D_r^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $.根据(2.6)式我们断言$ v\in E $.所以$ E $是一个Banach空间.引理2.3得证.

令$ H(G(u)) = \int_0^uf(s){\rm d}s $, 那么$ H'(G(u)) = \frac{f(u)}{g(u)} $.根据(1.2)式, 条件(H$ _1) $和(H$ _2) $, 我们可以在$ E $中定义如下泛函

$ I_\lambda(G(u)) = \frac{1}{2}\bigg(a+\frac{1}{2}\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x\bigg)\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x-\int_{{{\mathbb R}} ^N}H(G(u)){\rm d}x, \quad \forall G(u)\in E. $

显然对任意$ \lambda\geq0 $, $ I_\lambda $都是$ C^1 $类泛函, 并且对任意$ v\in D^{1, 2}({{\mathbb R}} ^N) $和$ G(u)\in E $有

(2.7) $ \begin{align} I'_\lambda(G(u))v = \bigg(a+\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^{2}{\rm d}x\bigg)\int_{{{\mathbb R}} ^N}\nabla G(u)\nabla v{\rm d}x-\int_{{{\mathbb R}} ^N}\frac{f(u)}{g(u)}v{\rm d}x. \quad \end{align} $

容易验证$ I_\lambda $的临界点就是方程(2.5)的弱解.为了利用引理2.1, 我们需考虑如下泛函

(2.8) $ \begin{align} I_{\lambda, \mu}(G(u)) = \frac{1}{2}\bigg(a+\frac{1}{2}\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x\bigg)\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x-\mu\int_{{{\mathbb R}} ^N}H(G(u)){\rm d}x. \end{align} $

令$ A(G(u)) = \frac{1}{2}(a+\frac{1}{2}\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x)\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u)|^2{\rm d}x $, $ B(G(u)) = \int_{{{\mathbb R}} ^N}H(G(u)){\rm d}x $.根据$ H(G(u)) $及$ G(u) $的定义, 容易得到$ B $是非负的, 并且当$ \| G(u)\| \rightarrow \infty $时有$ A(G(u))\rightarrow \infty $.所以$ I_{\lambda, \mu} $满足引理2.1中的一些条件.在下面的一些引理中, 我们将证明$ I_{\lambda, \mu} $满足引理2.1的所有条件.

引理2.4  假设$ \mu\in[\frac{1}{2}, 1] $, $ \{G(u_n)\} $是$ I_{\lambda, \mu} $在$ E $中的(PS)序列.如果$ \| G(u_n)\| $是有界的, 那么存在$ u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $以及$ \{G(u_n)\} $的子序列(仍然记为$ \{G(u_n)\} $)使得在$ D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $中有$ G(u_n)\rightarrow G(u) $.

证  因为$ \{G(u_n)\}\subset D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $且$ \| G(u_n)\| $是有界的, 所以存在$ u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $和$ \{G(u_n)\} $的子序列(仍然记为$ \{G(u_n)\} $)使得在$ D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $中有$ G(u_n)\rightharpoonup G(u) $.根据$ G(u) $的定义以及(1.2)式可知$ \{u_n\} $有界, 所以根据引理2.2, 我们可以假设$ |u_n(x)|\leq C|x|^{\frac{1-N}{2}} $.于是存在$ R>0 $和$ \delta>0 $使得对任意$ n $以及$ |x|\geq R $有$ |u_n(x)|\leq\delta $.根据(1.2)式和条件(H$ _1) $, 我们断言对任意$ |x|\geq R $和$ \varepsilon>0 $有

(2.9) $ \begin{align} \bigg|\frac{f(u_n(x))}{g(u_n(x))}\bigg|\leq \varepsilon|u_n(x)|^{2^*-1}. \end{align} $

根据条件(H$ _1) $和(H$ _2) $, 我们断言存在常数$ C_\varepsilon>0 $使得

(2.10) $ \begin{align} \bigg|\frac{f(t)}{g(t)}\bigg|\leq \varepsilon|t|^{2^*-1}+C_\varepsilon|t|^{\frac{2^*}{2}}, \quad t\in \mathbb{R_+}. \end{align} $

根据(2.9)式, (2.10)式以及Hölder不等式, 我们有

(2.11) $ \begin{eqnarray} &&\bigg|\int_{{{\mathbb R}} ^N}\frac{f(u_n(x))}{g(u_n(x))}(G(u_n)-G(u)){\rm d}x\bigg| {}\\ &\leq&\int_{|x|<R}\bigg|\frac{f(u_n(x))}{g(u_n(x))}\bigg| | G(u_n)-G(u)|{\rm d}x+\int_{|x|\geq R}\bigg|\frac{f(u_n(x))}{g(u_n(x))}\bigg| | G(u_n)-G(u)|{\rm d}x {}\\ &\leq&\varepsilon\int_{{{\mathbb R}} ^N}|u_n|^{2^*-1}|G(u_n)-G(u)|{\rm d}x+C_\varepsilon\int_{|x|<R}|u_n|^{\frac{2^*}{2}}|G(u_n)-G(u)|{\rm d}x {}\\ &\leq& \varepsilon\| u_n\| _{2^*}^{2^*-1}\| G(u_n)-G(u)\| _{2^*}+C_\varepsilon\| u_n\| _{2^*}^{\frac{2^*}{2}}\| G(u_n)-G(u)\| _{L^2(B(0, R))}. \end{eqnarray} $

再利用Hölder不等式可以得到

(2.12) $ \begin{eqnarray} \int_{B(0, R)}|G(u_n)-G(u)|^2{\rm d}x\leq \bigg(\int_{B(0, R)}|G(u_n)-G(u)|^{2^*}{\rm d}x\bigg)^\frac{2}{2^*}\bigg(\int_{B(0, R)}{\rm d}x\bigg)^\frac{2^*-2}{2^*}. \end{eqnarray} $

于是, 根据(2.11)和(2.12)式有$ \int_{{{\mathbb R}} ^N}\frac{f(u_n(x))}{g(u_n(x))}(G(u_n)-G(u)){\rm d}x\rightarrow0 $.直接计算得到

(2.13) $ \begin{eqnarray} &&I'_{\lambda, \mu}(G(u_n))\cdot(G(u_n)-G(u)){}\\ & = &a\int_{{{\mathbb R}} ^N}\nabla G(u_n)\nabla(G(u_n)-G(u)){\rm d}x-\mu\int_{{{\mathbb R}} ^N}\frac{f(u_n(x))}{g(u_n(x))}(G(u_n)-G(u)){\rm d}x {}\\ &&+\lambda\| G(u_n)\| ^2\int_{{{\mathbb R}} ^N}\nabla G(u_n)\nabla(G(u_n)-G(u)){\rm d}x, \end{eqnarray} $

因为$ I'_{\lambda, \mu}(G(u_n))\rightarrow 0 $, 所以根据(2.13)式有

(2.14) $ \begin{equation} \int_{{{\mathbb R}} ^N}\nabla G(u_n)\nabla(G(u_n)-G(u)){\rm d}x\rightarrow0. \end{equation} $

由于$ G(u_n)\rightharpoonup G(u) $, 根据(2.14)式我们断言在$ D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $中有$ G(u_n)\rightarrow G(u) $.引理2.4得证.

在下面的讨论中, 我们始终假设

(2.15) $ \begin{equation} \Gamma_\mu = \{\gamma\in C([0, 1], X)| \; \gamma(0) = 0, I_{\lambda, \mu}(\gamma(1))<0\}, \quad c_\mu = \inf\limits_{\gamma\in\Gamma_\mu}\max\limits_{t\in [0, 1]}I_{\lambda, \mu}(\gamma(t))>0. \end{equation} $

引理2.5  存在常数$ \lambda_0>0 $, $ c>0 $以及$ G(u)\in E $, 使得对任意$ \lambda\in[0, \lambda_0) $以及几乎所有的$ \mu\in [\frac{1}{2}, 1] $有$ I_{\lambda, \mu}(G(u)) = c_\mu\geq c $, $ I'_{\lambda, \mu}(G(u)) = 0 $.

证  根据(1.2)式和条件(H$ _2) $, 我们断言存在常数$ C_1>0 $和$ C_2>0 $使得

(2.16) $ \begin{equation} H(G(u))\geq C_1|u|^2-C_2, \quad \forall u\in{{\mathbb R}} _+. \end{equation} $

取函数$ \varphi\in E $和常数$ R>0 $使得$ {\rm supp}(\varphi)\subset B(0, R) $, $ \varphi\in C_0^\infty({{\mathbb R}} ^N, {{\mathbb R}} _+) $, $ \| \varphi\| _{L^2} = 1 $并且

$ C_1\int_{B(0, R)}\varphi^2{\rm d}x\geq2a+C_2|B(0, R)|. $

令$ G(u) = t\varphi $.由于$ \mu\in [\frac{1}{2}, 1] $, 所以根据(2.8)和(2.16)式我们有

(2.17) $ \begin{eqnarray} I_{\lambda, \mu}(t\varphi)& = &\frac{1}{2}at^2+\frac{1}{4}\lambda t^{4}-\mu\int_{{{\mathbb R}} ^N}H(t\varphi){\rm d}x {}\\ &\leq&\frac{1}{2}at^2+\frac{1}{4}\lambda t^{4}-\frac{1}{2}C_1t^2\int_{B(0, R)}\varphi^2{\rm d}x+\frac{1}{2}C_2|B(0, R)|. \end{eqnarray} $

因为$ C_1\int_{B(0, R)}\varphi^2{\rm d}x>2a+C_2|B(0, R)| $, 所以根据(2.17)式可以得到

$ I_{\lambda, \mu}(\varphi)\leq\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}\lambda-a = \frac{1}{4}\lambda-\frac{1}{2}a. $

选择$ \lambda_0 = a $, 那么当$ t_0 = 1 $并且$ \lambda\in[0, \lambda_0) $时有$ I_{\lambda, \mu}(t_0\varphi)<0 $.所以$ \Gamma_\mu $是非空的.

另一方面, 根据(1.2)和(1.4)式以及Gagliardo-Nirenberg不等式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} I_{\lambda, \mu}(G(u))&\geq&\frac{1}{2}a\| G(u)\| ^2+\frac{1}{4}\lambda\| G(u)\| ^{4}-C_3\int_{{{\mathbb R}} ^N}|G(u)|^{2^*}{\rm d}x\\ &\geq&\frac{1}{2}a\| G(u)\| ^2-C_4\| G(u)\| ^{2^*}. \end{eqnarray*} $

因此存在常数$ 1>\rho>0 $, 当$ G(u)\in E $, $ \| G(u)\| \in(0, \rho] $时, 对任意$ \mu\in [\frac{1}{2}, 1] $有$ I_{\lambda, \mu}(G(u))>0 $.特别是, 当$ \| G(u)\| = \rho $时存在常数$ c>0 $使得$ I_{\lambda, \mu}(G(u))\geq c>0 $.固定$ \mu\in [\frac{1}{2}, 1] $.由于对任意$ \| G(u)\| \in(0, \rho] $有$ I_{\lambda, \mu}(G(u))>0 $, 所以根据$ \Gamma_\mu $的定义可知对任意$ \gamma\in\Gamma_\mu $有$ \| \gamma(1)\| >\rho $.因为$ \gamma(0) = 0 $, 所以根据介值定理可知存在$ t_\gamma\in(0, 1) $使得$ \gamma(t_\gamma) = \rho $.于是, 对任意$ \mu\in [\frac{1}{2}, 1] $, 我们有

$ c_\mu\geq\inf\limits_{\gamma\in\Gamma_\mu}I_{\lambda, \mu}(\gamma(t_\gamma))\geq c. $

所以$ I_{\lambda, \mu}(G(u_n)) $满足引理2.1的条件, 这就意味着存在$ E $中的有界序列$ \{G(u_n)\} $使得$ I_{\lambda, \mu}(G(u_n))\rightarrow c_\mu $, $ I'_{\lambda, \mu}(G(u_n))\rightarrow0 $.所以, $ \{G(u_n)\} $是$ I_{\lambda, \mu} $在$ E $中的有界(PS)序列.根据引理2.4, 我们断言对几乎所有的$ \mu\in [\frac{1}{2}, 1] $, 存在$ u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $使得$ I_{\lambda, \mu}(G(u)) = c_\mu\geq c $, $ I'_{\lambda, \mu}(G(u)) = 0 $.引理2.5得证.

有了前面这些引理, 我们就可以在合适的条件下证明方程(1.3)至少存在一个径向对称正解.

定理3.1  如果$ N\geq3 $, $ a>0 $, $ g: {{\mathbb R}} ^+\rightarrow{{\mathbb R}} ^+ $是一个偶函数并且满足(1.2)式, $ f $满足条件(H$ _1) $, (H$ _2) $, 那么存在常数$ \lambda_0>0 $, 当$ \lambda\in[0, \lambda_0) $时, 方程(1.3)至少存在一个径向对称正解.

证  根据引理2.5可知, 存在常数$ \lambda_0>0 $, 如果$ \lambda\in[0, \lambda_0) $, 那么存在序列$ \{\mu_n\}\subset [\frac{1}{2}, 1] $和$ \{G(u_n)\}\subset E $使得当$ \mu_n\rightarrow1^{-} $时有

(3.1) $ \begin{align} I_{\lambda, \mu_n}(G(u_n)) = c_{\mu_n}\geq c, \quad I'_{\lambda, \mu_n}(G(u_n)) = 0. \end{align} $

由于$ I'_{\lambda, \mu_n}(G(u_n)) = 0 $, 所以$ G(u_n) $是如下方程

(3.2) $ \begin{align} -\bigg(a+\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}|\nabla G(u_n)|^2{\rm d}x\bigg)\triangle G(u_n) = \mu_n\frac{f(u_n)}{g(u_n)} \end{align} $

的弱解.直接计算得

$ \begin{eqnarray*} {\rm div}\bigg(\frac{1}{2}|\nabla G(u_n)|^2x\bigg)& = &{\rm div}\bigg[(\nabla G(u_n)\cdot x)\nabla G(u_n)-\frac{1}{2}|\nabla G(u_n)|^2x\bigg] \\ & = &(\nabla G(u_n)\cdot x)\triangle G(u_n)+|\nabla G(u_n)|^2-\frac{N}{2}|\nabla G(u_n)|^2\\ & = &g(u_n)(\nabla u_n\cdot x)\triangle G(u_n)+\frac{2-N}{2}|\nabla G(u_n)|^2. \end{eqnarray*} $

所以, 根据(3.2)式以及文献[6]中引理2.2中的一些证明方法可得

(3.3) $ \begin{align} \frac{N-2}{2}\bigg(a+\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u_n)|\nabla u_n|^2{\rm d}x\bigg)\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u_n)|\nabla u_n|^2{\rm d}x = \mu_n N\int_{{{\mathbb R}} ^N}H(G(u_n)){\rm d}x. \end{align} $

由于$ I_{\lambda, \mu_n}(G(u_n)) = c_{\mu_n} $, 所以根据(2.8)式我们有

(3.4) $ \begin{align} c_{\mu_n} = \frac{1}{2}\bigg(a+\frac{1}{2}\lambda\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u_n)|\nabla u_n|^2{\rm d}x\bigg)\int_{{{\mathbb R}} ^N}g^2(u_n)|\nabla u_n|^2{\rm d}x-\mu_n\int_{{{\mathbb R}} ^N}H(G(u_n)){\rm d}x. \end{align} $

根据(3.3)和(3.4)式得到

(3.5) $ \begin{align} 4a\| G(u_n)\| ^2+(4-N)\lambda\| G(u_n)\| ^4 = Nc_{\mu_n}. \end{align} $

如果$ \lambda = 0 $, 根据(3.5)式容易验证$ \| G(u_n)\| $是有界的.另外, 根据(3.5)式可知

$ (N-4)\lambda\| G(u_n)\| ^2<4a, $

所以当$ \lambda\neq0 $, $ N>4 $时$ \| G(u_n)\| $也是有界的.如果$ N\leq4 $, 根据(3.5)式有

(3.6) $ \begin{align} 4a\| G(u_n)\| ^2\leq Nc_{\mu_n}. \end{align} $

类似于(2.17)式的证明, 我们可以取函数$ \varphi\in E $使得

(3.7) $ \begin{eqnarray} c_{\mu_n}&\leq&\max\limits_{t\in [0, 1]}I_{\lambda, \mu_n}(\gamma(t\varphi)) {}\\ &\leq&\max\limits_{t\in [0, 1]} \bigg(\frac{1}{2}at^2-\frac{1}{2}C_1t^2\int_{B(0, R)}\varphi^2{\rm d}x\bigg)+\frac{1}{2}C_2|B(0, R)|+\max\limits_{t\in [0, 1]}\frac{1}{4}\lambda t^{4} {}\\ & = &\frac{1}{2}C_2|B(0, R)|+\frac{1}{4}. \end{eqnarray} $

根据(3.6)和(3.7)式可知, 当$ N\leq4 $时$ \| G(u_n)\| $也是有界的.根据引理2.4可知, 存在$ u\in D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $以及$ \{G(u_n)\} $的子序列(仍然记为$ \{G(u_n)\} $), 使得在$ D^{1, 2}_r({{\mathbb R}} ^N) $中有$ G(u_n)\rightarrow G(u) $.令$ \mu_n\rightarrow1^{-} $.根据(2.7), (2.8)和(3.1)式, 我们断言$ G(u) $是方程(2.5)的弱解.所以$ u $是方程(1.3)的径向对称解.定理3.1得证.