具有对数敏感度的趋化.趋化性在生物学和生态学中广泛存在, 它是指细胞对环境中某些具有刺激性的化学物质所产生的定向趋近或者远离的运动, 称之为吸引趋化或者排斥趋化.这种最基本的生理反应对细胞趋利避害和适应环境具有重要的作用.为了研究趋化性运动, 许多专家和学者对其进行了数学建模和分析.特别地, Keller和Segel^[10]于20世纪70年代提出了一类抛物型偏微分方程组用来描述生物种群密度以及化学物质浓度的动态演化.一般形式的Keller-Segel模型为

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \partial_{t}u = D\triangle u-\nabla\cdot\big(\chi u \nabla \phi(v)\big), \quad & x\in \Omega, \quad t>0, \\ \partial_{t}v = \varepsilon \triangle v+g(u, v), \quad & x\in \Omega, \quad t>0, \\ \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \Omega $是$ {{\Bbb R}} ^n $中的有界区域或全空间, $ u $表示细胞密度, $ v $表示化学浓度.参数$ D $$ (D>0) $和$ \varepsilon $$ (\varepsilon\geq0) $分别表示细胞和化学物质的扩散率. $ \chi $是趋化敏感度, $ \chi>0 $时表示吸引趋化, $ \chi<0 $时表示排斥趋化.未知函数$ g(u, v) $表示化学物质的增加或减少, 而$ \phi(v) $表示趋化敏感度函数.

在过去的几年里, 关于模型(1.1)的数学分析和研究主要集中于对函数$ \phi(v) $和$ g(u, v) $的各种假设下, 在有界或无界区域中相应模型的解的性质的研究.特别地, 通过取$ \phi(v) = \ln v $, Adler^[1]在实验中得到了带奇异的对数敏感度的趋化模型, Keller和Segel^[11]首次在其开创性论文中使用这种趋化模型来描述由细菌趋化运动而形成的行波带传播.随后Othmer和Stevens在文献[23]中给出了关于对数敏感度的数学推导.

下面回顾关于具有对数敏感度函数$ \phi(v) = \ln v $的趋化模型(1.1)在数学领域的重要结果.对于$ \chi>0 $的情形, 当$ g(u, v) = u-v $时, Ni^[22]研究了方程组(1.1)在Neumann边界条件下尖峰层稳态的存在性.当$ g(u, v) = -uv+\beta v $ ($ \beta \geq 0 $)时, Li和Wang^[19]证明了对应的方程组的行波解的存在性、非线性稳定性和渐近衰减率.文献[31]研究了方程组的Cauchy问题, 首次发现了这个系统中隐藏的交互式耗散结构并且建立了能量耗散.最近, Hou等人^[7]指出, 当规定为Dirichlet边界条件时, 这个系统在有界区间的边界上有边界层.文献[8]进一步证明了边界层在半平面中的收敛性, 而文献[6]证明了其稳定性.在多维空间中的适定性以及数值分析则在文献[27]中得到研究.

对于$ \chi<0 $, $ g(u, v) = uv-\mu v $时的情形, 研究主要集中在一维区间中方程组

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \partial_{t}u = Du_{xx}-(\chi u(\ln v)_{x})_{x}, \quad & x\in \Omega, \quad t>0, \\ \partial_{t}v = \varepsilon v_{xx}+uv-\mu v, \quad & x\in \Omega, \quad t>0\\ \end{array} \right. \end{equation} $

解的性质的研究, 其中$ \Omega\subset{{\Bbb R}} , \, \, \ \varepsilon\geq0 $.文献[12, 23]提出了方程组$ (1.2) $用来模拟增强随机游动.为了方便研究方程组$ (1.2) $, 常用的方法是采用Cole-Hopf变换$ q = v_{x}/v $, 缩放$ \widetilde{t} = -\chi t/D $, $ \widetilde{x} = x\sqrt{-\chi}/D $, $ \widetilde{q} = q\sqrt{-\chi} $, 并令$ p = u $, $ -\chi = D = 1 $, 将方程组$ (1.2) $变换为如下方程组

(1.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} p_t = p_{xx} + (pq)_x, \\ q_t = \varepsilon q_{xx} + \varepsilon (q^2)_x + p_x. \end{array} \right. \end{equation} $

与原方程组$ (1.2) $相比, 变换后的方程组$ (1.3) $去除了对数奇异性.当$ \varepsilon = 0 $时, Zhang和Zhu在文献[35]中对区间$ \Omega = (0, 1) $内具有齐次Dirichlet边界条件的方程组$ (1.3) $建立了解的全局存在性, 文献[4]研究了相应的Cauchy问题. Li和Wang在文献[16-17]中建立了行波解的存在性和非线性稳定性, 文献[14-15]分别建立了在大初值下经典解的大时间行为.当$ \varepsilon>0 $时, 在一维有界区间$ \Omega = (0, 1) $内, Fontelos等在文献[3]中建立了经典解的存在性, 并且证明了其在小扰动下收敛到稳态解. Li和Wang在文献[18]中建立了行波解的非线性稳定性和存在性, 文献[32]则建立了方程组$ (1.3) $初边值问题解的全局适定性和大时间行为.当$ \varepsilon\geq0 $时, 在一维有界区间中, 对具有Neumann-Dirichlet边界条件的方程组$ (1.3) $, Tao和Wang等在文献[28]中证明了大初值条件下解的全局存在性.

关于多维空间中排斥趋化模型和吸引趋化模型的Cauchy问题、Dirichlet边值问题和Neumann边值问题的研究也有很多优秀的研究成果(参见文献[2, 5, 9, 13, 20, 21, 24, 36]).在趋化系统中边界条件对全局流和可能的奇性都很重要(参见文献[25-26, 29-30, 33, 34]), 因此, 本文主要研究在混合边界条件下方程组$ (1.3) $解的全局存在性.

主要结果.本文研究一维有界区间$ \Omega = (0, 1) $内方程组$ (1.3) $在混合边界和初值条件

(1.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} p|_{x = 0} = \overline{p}, \quad p_x|_{x = 1} = 0, \quad q|_{x = 0, x = 1} = 0, \quad & \, \, \, \, \varepsilon>0, \\ p|_{x = 0} = \overline{p}, \quad p_x|_{x = 1} = 0, \quad &\, \, \, \, \varepsilon = 0, \\ (p, q)(x, 0) = (p_0, q_0)(x) \end{array} \right. \end{equation} $

下解的全局存在性和收敛性, 这里$ \overline{p} $是一个非负常数.

bf定理1.1  假设初始值$ (p_{0}, q_{0}) \in (H^{2}(0, 1))^2 $, $ p_0(x) $非负且$ (p_{0}, q_{0}) $满足相容性条件:

$ \left\{ \begin{array}{lll} p_0\big|_{x = 0} = \overline{p}, \qquad (p_0)_x\big|_{x = 1} = 0, \qquad q_0\big|_{x = 0, x = 1} = 0, \quad &\, \, \, \, \varepsilon>0, \\ p_0\big|_{x = 0} = \overline{p}, \qquad (p_0)_x\big|_{x = 1} = 0, \quad &\, \, \, \, \varepsilon = 0, \end{array} \right. $

这里$ \overline{p}\geq0 $.如果$ \varepsilon\geq0 $适当地小, 则问题(1.3)-(1.4)存在全局解$ (p, q) $满足

$ \bullet $当$ \varepsilon >0 $时,

$ (p-\overline{p}, q)\in C\big([0, \infty) ;H^{2}((0, 1))\big)\cap L^{2}\big([0, \infty);H^{3}((0, 1))\big), $

且对所有的$ t>0 $, 存在与$ t $无关的常数$ C>0 $满足

$ \|(p-\overline{p})(t)\|_{H^{2}}^2+ \|q(t)\|_{H^{2}}^2+ \int_{0}^{t}(\|(p-\overline{p})(\tau)\|_{H^{3}}^2+ \|q(\tau)\|_{H^{3}}^2){\rm d}\tau \leq C, $

且有$ \|(p-\overline{p})(t)\|_{H^{2}}^2+ \|q(t)\|_{H^{2}}^2\leq \alpha e^{-\beta t}, $其中$ \alpha, \, \, \beta $是与$ t $无关的正常数$ ; $

$ \bullet $当$ \varepsilon = 0 $时,

$ (p-\overline{p}) \in C\big([0, \infty) ;H^{2}((0, 1))\big)\cap L^{2}\big([0, \infty);H^{3}((0, 1))\big), $

$ q\in C\big([0, \infty) ;H^{2}((0, 1))\big)\cap L^{2}\big([0, \infty);H^{2}((0, 1))\big), $

且当$ \overline{p}>0 $时, 对于所有的$ t>0 $, 存在与$ t $无关的常数$ C>0 $满足

$ \|(p-\overline{p})(t)\|_{H^{2}}^2+ \|q(t)\|_{H^{2}}^2+ \int_{0}^{t}(\|(p-\overline{p})(\tau)\|_{H^{3}}^2+ \|q(\tau)\|_{H^{2}}^2){\rm d}\tau \leq C, $

且有$ \|(p-\overline{p})(t)\|_{H^{2}}^2+ \|q(t)\|_{H^{2}}^2\leq \alpha e^{-\beta t}, $其中$ \alpha $, $ \beta $是与$ t $无关的正常数.

研究动机.证明问题(1.3)-(1.4)解的全局存在性的主要困难在于:

$ \bullet $在混合边界条件下, 对于方程$ (1.3)_{1} $等号右边的二次非线性项, 通常的方法无效.例如, 在边界条件$ p_x|_{x = 0, x = 1} = q|_{x = 0, x = 1} = 0 $下, 对变换后的方程组$ (1.3) $应用Lyapunov泛函, 得到守恒方程

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p}) (p-\overline{p}){\rm d}x+\frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2\bigg )+ \int_{0}^{1}\frac{(p_x)^2}{p}{\rm d}x = 0, $

其中$ \eta(z) = z\ln(z)-z $ (参见文献[15, 32]), 然后借助修正的Sobolev不等式

$ \|p-\overline{p}\|_{L^{\infty}}^2\leq [p]\bigg( \int_{0}^{1}\frac{(p_x)^2}{p}{\rm d}x\bigg) $

控制相应的非线性项, 这里$ [p] $是$ p $在(0, 1)中的平均值.这一方法主要是基于$ [p] $的守恒.然而在混合边界条件下, $ [p] $不是守恒的, 从而在高阶估计中会出现边界项, 因此需要对这些边界项进行更细致的分析.

$ \bullet $在标准的$ L^{2} $能量框架下, 估计得不到闭合.例如, 因为得不到$ \widetilde{p}_x $的耗散估计, 所以$ \int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_xq {\rm d}x $不能根据标准的$ L^{2} $能量估计来处理.因此, 本文将构造一个新的能量框架:根据文献[14]中建立的$ L^{r}\, (r = 3, 4) $估计得到$ L^{2} $估计, 从而$ L^{r} $估计的右边项刚好抵消$ L^{2} $中不能被估计的项$ \int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_xq {\rm d}x $.与直接应用$ L^{2} $估计相比, $ L^{r} $估计的推导更为复杂.

$ \bullet $由于缺少关于$ \varepsilon $的一致估计, 在证明非扩散问题($ \varepsilon = 0 $)解的全局存在性的时候, 不能通过取极限$ \varepsilon\rightarrow0 $而由扩散问题($ \varepsilon>0 $)的存在性结论直接得到.

本文其余部分组织如下.第二节在$ \varepsilon>0 $的情形下证明问题(1.3)-(1.4)解的全局存在性和指数收敛估计.第三节致力于$ \varepsilon = 0 $情形下的结果.

记号和定义.本文中$ \|\cdot\|_{L^{2}} $, $ \|\cdot\|_{L^{\infty}} $和$ \|\cdot\|_{H^{s}} $分别为Lyapunov泛函下的$ L^{2} $范数, $ L^{\infty} $范数和Hilbert空间中的$ H^{s} $范数. $ L^{\infty}([0, T];H^{s}) $和$ L^{2}([0, T];H^{s}) $表示含有时间的函数空间.常数$ C $的值可以根据上下文逐行变化.

本节证明当$ \varepsilon>0 $时问题(1.3)-(1.4)解的全局存在性和指数收敛性.考虑变换后的方程组

(2.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} p_t = p_{xx} + (pq)_x, \\ q_t = \varepsilon q_{xx} + \varepsilon (q^2)_x + p_x, \quad \varepsilon>0\\ \end{array} \right. \end{equation} $

和初边值条件

(2.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} (p, q)(x, 0) = (p_0, q_0)(x), \quad p_0(x)\geq0, \quad x\in(0, 1), \\ p|_{x = 0} = \overline{p}, \quad p_x|_{x = 1} = 0, \quad q|_{x = 0, x = 1} = 0, \\ \end{array} \right. \end{equation} $

其中常数$ \overline{p}\geq0 $.本文利用标准的不动点方法得到问题(2.1)-(2.2)解的局部存在性, 建立一些先验估计, 进而得到解的全局存在性.关键步骤是利用一个Lyapunov泛函

$ \int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p}) (p-\overline{p}){\rm d}x $

证明耗散估计, 其中$ \eta(z) = z\ln z-z $.本节的证明分为两种情形:$ \overline{p}>0 $和$ \overline{p} = 0 $.

引理2.1  (由Lyapunov泛函导出的能量估计)    假设$ (p, q) $是问题(2.1)-(2.2)的解, 则存在与$ \varepsilon $和$ t $无关的正常数$ C $, 使得对所有的$ t>0 $有

(2.3) $ \begin{equation} \|{\widetilde{p}}(t)\|_{L^{2}}^2+\|{q}(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\bigg(\int_{0}^{1}{\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}}{\rm d}x +\|{\widetilde{p}_x}(t)\|_{L^{2}}^2+\varepsilon\|{q_x}\|_{L^{2}}^2\bigg ){\rm d}\tau\leq C, \end{equation} $

其中$ \widetilde{p} = p-\overline{p} $.

证  证明分为两个步骤.

步骤1  首先建立$ q $在$ (0, 1) $中的$ L^{2} $估计.在方程$ (2.1)_{1} $两边同时乘以$ \ln p-\ln \overline{p} $, 并且在$ (0, 1) $上积分, 得到

(2.4) $ \begin{equation} \int_{0}^{1}p_t(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x = \int_{0}^{1}p_{xx}(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x+ \int_{0}^{1}(pq)_x(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x. \end{equation} $

令$ \eta(z) = z\ln z-z $, 则上式左边

(2.5) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{1}p_t(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x& = &\int_{0}^{1}\bigg(\frac{\rm d}{{\rm d}t}(p \ln p )-p_t-p_t\ln \overline{p}\bigg){\rm d}x\\ & = &\int_{0}^{1}\bigg(\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(p(\ln p-\ln \overline{p})\big)-\frac{\rm d}{{\rm d}t}(p-\overline{p})\bigg){\rm d}x\\ & = &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\bigg(p(\ln p-\ln\overline{p})-(p-\overline{p})\bigg){\rm d}x\\ & = &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p}) (p-\overline{p}){\rm d}x\bigg). \end{eqnarray} $

根据边界条件(2.2), 对于$ (2.4) $式右边可得

(2.6) $ \begin{eqnarray} &&\int_{0}^{1}p_{xx}(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x+\int_{0}^{1}(pq)_x(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x\\ & = &\int_{0}^{1}\big(p_{xx}+(pq)_x\big)(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x\\ & = &(\ln p-\ln \overline{p})(p_x+pq)\big|^{1}_{0}-\int_{0}^{1}(p_x+pq)\frac{p_x}{p}{\rm d}x\\ & = &-\int_{0}^{1}\Big (p_x q+\frac{(p_x)^2}{p}\Big ){\rm d}x. \end{eqnarray} $

把$ (2.5) $式和$ (2.6) $式代入$ (2.4) $式得

(2.7) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p}) (p-\overline{p}){\rm d}x\bigg )+\int_{0}^{1}\Big (p_x q+\frac{(p_x)^2}{p}\Big ){\rm d}x = 0. \end{equation} $

类似地, 在方程$ (2.1)_2 $两边同时乘以$ q $, 并且在$ (0, 1) $上积分, 则有

(2.8) $ \begin{equation} \int_{0}^{1}qq_t{\rm d}x = \varepsilon\int_{0}^{1}qq_{xx}{\rm d}x+\varepsilon \int_{0}^{1}q(q^2)_x {\rm d}x+\int_{0}^{1}p_x q{\rm d}x, \end{equation} $

其中, 根据$ q|_{x = 0, x = 1} = 0 $得到

(2.9) $ \begin{equation} \varepsilon\int_{0}^{1}qq_{xx}{\rm d}x = \varepsilon qq_x\big|^{1}_{0}-\varepsilon\int_{0}^{1}(q_x)^2 {\rm d}x = -\varepsilon\int_{0}^{1}(q_x)^2 {\rm d}x \end{equation} $

和

(2.10) $ \begin{equation} \varepsilon\int_{0}^{1}q(q^2)_x{\rm d}x = \frac{2}{3}\varepsilon q^3\big|^{1}_{0} = 0. \end{equation} $

将$ (2.9) $式和$ (2.10) $式代入$ (2.8) $式, 可得$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|{q}\|_{L^{2}}^2-\int_{0}^{1}p_x q{\rm d}x +\varepsilon\|{q_x}\|_{L^{2}}^2 = 0 $.结合$ (2.7) $式, 有

(2.11) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p})(p-\overline{p}){\rm d}x +\frac{1}{2}\|{q}\|_{L^{2}}^2\bigg)+\int_{0}^{1}\frac{(p_x)^2}{p}{\rm d}x+\varepsilon\|{q_x}\|_{L^{2}}^2 = 0. \end{equation} $

上式在$ [0, t] $上积分得到

(2.12) $ \begin{eqnarray} &&\int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p})(p-\overline{p}){\rm d}x +\frac{1}{2}\|{q}\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\bigg(\int_{0}^{1}{\frac{(p_x)^2}{p}}{\rm d}x+\varepsilon\|{q_x}\|_{L^{2}}^2\bigg){\rm d}\tau\\ & = &\bigg(\int_{0}^{1}\eta(p_0)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p})(p_0-\overline{p}){\rm d}x +\frac{1}{2}\|{q_0}\|_{L^{2}}^2\bigg). \end{eqnarray} $

由于$ \eta(\cdot) $具有凸性, 即$ \frac{\eta(p)-\eta(\overline{p})}{p-\overline{p}}-\eta'(\overline{p})\geq 0 $.又由$ p_{0}\geq0 $和最大值原理可知$ p\geq0 $, 从而有

(2.13) $ \begin{equation} \int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p})(p-\overline{p}){\rm d}x\geq0. \end{equation} $

由$ 0<\overline{p}<+\infty $和中值定理可得

(2.14) $ \begin{eqnarray} & & \int_{0}^{1}\eta(p_0)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p})(p_0-\overline{p}){\rm d}x\\ & = &\int_{0}^{1}\big(\eta'(\xi_1)-\eta'(\overline{p})\big)(p_0-\overline{p}){\rm d}x = \int_{0}^{1}\eta''(\xi_2)(p_0-\overline{p})(\xi_1-\overline{p}){\rm d}x\\ &\leq &\big|\eta''(\xi_2)\big|\int_{0}^{1}|p_0-\overline{p}||\xi_1-\overline{p}|{\rm d}x \leq C_{0}|p_0-\overline{p}|^2 \leq C_{1}, \end{eqnarray} $

其中常数$ C_{0} $和$ C_{1} $只与$ \overline{p} $有关, $ \xi_1 $介于$ p_{0} $和$ \overline{p} $之间, $ \xi_2 $介于$ \xi_1 $和$ \overline{p} $之间.联合(2.12)-(2.14)式可得

(2.15) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\|{q(t)}\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\bigg(\int_{0}^{1}{\frac{(p_x)^2}{p}}{\rm d}x +\varepsilon\|{q_x}\|_{L^{2}}^2\bigg){\rm d}\tau \leq C_{2}, \end{equation} $

其中常数$ C_{2} $只与$ \overline{p} $有关.

步骤2  下面建立$ \widetilde{p} $在$ (0, 1) $上的$ L^{2} $估计.由于$ \widetilde{p} = p-\overline{p} $, 将$ \widetilde{p} $代入方程组(2.1)中可得

(2.16) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \widetilde{p}_t-(\widetilde{p}q)_x-\overline{p}q_x = \widetilde{p}_{xx}, \\ q_t-\widetilde{p}_x = \varepsilon q_{xx} + \varepsilon (q^2)_x. \end{array} \right. \end{equation} $

方程$ (2.16)_{1} $与$ \widetilde{p} $作$ L^{2} $内积, 方程$ (2.16)_{2} $与$ \overline{p}\, q $作$ L^{2} $内积, 相加得到

(2.17) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big(\frac{1}{2}\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2+\frac{\overline{p}}{2}\|{q}\|_{L^{2}}^2\Big) & = &\int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x+ \varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}qq_{xx}{\rm d}x+ \int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}q)_x{\rm d}x\\ &&+\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x{\rm d}x+\overline{p}\int_{0}^{1} q\widetilde{p}_x{\rm d}x+\varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}q(q^2)_x{\rm d}x. \end{eqnarray} $

下面逐个估计$ (2.17) $式等号右边的各项积分.对于第一项积分, 由边界条件$ (1.4) $和$ \widetilde{p} = p-\overline{p} $知$ \widetilde{p}|_{x = 0} = 0 $, $ \widetilde{p}_x|_{x = 1} = 0 $, 从而应用分部积分可得

(2.18) $ \begin{equation} \int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x = \widetilde{p}\widetilde{p}_{x}\big|^{1}_{0}-\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 = -\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2. \end{equation} $

对于第二项和第三项, 根据$ q|_{x = 0, \, \, x = 1} = 0 $可知

(2.19) $ \begin{equation} \varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}qq_{xx}{\rm d}x = \varepsilon\overline{p}qq_{x}\big|^{1}_{0}-\varepsilon\overline{p}\|{q_x}\|_{L^{2}}^2 = -\varepsilon\overline{p}\|{q_x}\|_{L^{2}}^2 \end{equation} $

和

(2.20) $ \begin{equation} \int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}q)_x{\rm d}x = {\widetilde{p}}^2q \big|^{1}_{0}-\int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_x q {\rm d}x = -\int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_x q {\rm d}x. \end{equation} $

对于第四和第五项显然有

(2.21) $ \begin{equation} \overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x{\rm d}x+\overline{p}\int_{0}^{1} \widetilde{p}_xq{\rm d}x = \overline{p}(\widetilde{p}q)\big|^{1}_{0} = 0. \end{equation} $

对于最后一项有

(2.22) $ \begin{equation} \varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}q(q^2)_x{\rm d}x = \frac{2}{3}\varepsilon\overline{p}q^3\big|^{1}_{0} = 0. \end{equation} $

将(2.18)-(2.22)式代入(2.17)式可得

(2.23) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big(\frac{1}{2}\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2+\frac{\overline{p}}{2}\|{q}\|_{L^{2}}^2\Big)+ \|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2+\varepsilon\overline{p}\|{q_x}\|_{L^{2}}^2 = -\int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_xq {\rm d}x. \end{equation} $

下面估计$ (2.23) $式等式右边的积分, 由于$ L^{2} $方法无法处理.因此, 回到方程组$ (2.16) $, 在方程$ (2.16)_{1} $两边同时乘以$ \widetilde{p}^{2} $, 在$ (0, 1) $上积分, 得到

(2.24) $ \begin{equation} \int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}\widetilde{p}_t {\rm d}x-\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}(\widetilde{p}q)_x {\rm d}x-\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q_x {\rm d}x = \int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}\widetilde{p}_{xx} {\rm d}x. \end{equation} $

利用分部积分和边界条件有

(2.25) $ \begin{equation} -\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}(\widetilde{p}q)_x {\rm d}x = -\widetilde{p}^{3}q\big|^{1}_{0}+2\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q \widetilde{p}_x {\rm d}x = 2\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q\widetilde{p}_x {\rm d}x \end{equation} $

和

(2.26) $ \begin{equation} -\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q_x {\rm d}x = -\overline{p}\widetilde{p}^{2}q\big|^{1}_{0}+2\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q\widetilde{p}_x {\rm d}x = 2\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{equation} $

类似地, 有

(2.27) $ \begin{equation} \int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}\widetilde{p}_{xx} {\rm d}x = \widetilde{p}^{2}\widetilde{p}_x\big|^{1}_{0} -2\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^2 {\rm d}x = -2\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^{2}{\rm d}x. \end{equation} $

将(2.25)-(2.27)式代入$ (2.24) $式得到

(2.28) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}{\rm d}x\bigg) +2\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^{2}{\rm d}x = -2\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q\widetilde{p}_x {\rm d}x -2\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{equation} $

类似地, 方程$ (2.16)_{1} $两边同时乘以$ \widetilde{p}^{3} $, 在$ (0, 1) $上积分, 计算可得

(2.29) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{4}\|\widetilde{p}\|_{L^4}^4\bigg)+ 3\|{\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 = -3\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}q\widetilde{p}_x {\rm d}x-3\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^2q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{eqnarray} $

将$ (2.23) $式两边同时乘以$ 2\overline{p} $, 和(2.28)式相减得到

(2.30) $ \begin{eqnarray} && \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\overline{p}\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2+\overline{p}^2\|{q}\|_{L^{2}}^2 -\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^3{\rm d}x\bigg)+2\overline{p}\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 -2\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^2{\rm d}x+ 2\varepsilon\overline{p}^2\|{q_x}\|_{L^{2}}^2\\ & = &2\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{eqnarray} $

将$ (2.30) $式两边同时乘以$ \frac{3}{2}\overline{p} $, 和$ (2.29) $式相加得到

(2.31) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{3}{2}\overline{p}^2\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\overline{p}^3\|q\|_{L^{2}}^2 -\frac{\overline{p}}{2}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^3{\rm d}x +\frac{1}{4}\|\widetilde{p}\|_{L^4}^4\bigg)\\ &&+3\overline{p}^2\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +3\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 -3\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^2{\rm d}x +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x\|_{L^{2}}^2\\ & = &-3\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{eqnarray} $

令

(2.32) $ \begin{eqnarray} G_1(t) & = &\frac{3}{2}\overline{p}^2\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\overline{p}^3\|q\|_{L^{2}}^2 -\frac{\overline{p}}{2}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^3{\rm d}x +\frac{1}{4}\|\widetilde{p}\|_{L^4}^4\\ & = &\overline{p}^2\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2+ \frac{1}{8}\|2\overline{p}{\widetilde{p}-\widetilde{p}^2}\|_{L^{2}}^2 +\frac{1}{8}\|\widetilde{p}\|_{L^4}^4 +\frac{3}{2}\overline{p}^3\|q\|_{L^{2}}^2, \\ K_1(t) & = &3\overline{p}^2\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +3\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 -3\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^2{\rm d}x +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x\|_{L^{2}}^2\\ & = &\frac{3}{2}\overline{p}^2\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|\overline{p}{\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x\|_{L^{2}}^2. \end{eqnarray} $

则由$ (2.31) $式有

(2.33) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_1(t)+K_1(t) = -3\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{equation} $

下面估计上式右边的项.由Young不等式和$ (2.15) $式计算得到

(2.34) $ \begin{eqnarray} \bigg |-3\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}q\widetilde{p}_x {\rm d}x \bigg| &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +\frac{9}{2}\|\widetilde{p}^2 q\|_{L^{2}}^2 \\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +\frac{9}{2}\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^4\|q\|_{L^{2}}^2\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +C_{3}\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^4, \end{eqnarray} $

其中常数$ C_{3} $只与$ \overline{p} $有关.由上式和$ (2.33) $式可知

(2.35) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_1(t)+\frac{3}{2}\overline{p}^2\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|\overline{p}{\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x\|_{L^{2}}^2 \leq C_{4}\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^4. \end{eqnarray} $

下面对$ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}} $进行估计.因为

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{p}^4(x, t) & = &4\int_{0}^{x}\widetilde{p}^{3}\widetilde{p}_x {\rm d}x \leq 4\bigg(\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{6}(\widetilde{p}+\overline{p}){\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2} \bigg(\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2}\\ &\leq& 4\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\bigg(\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2} (\widetilde{p}+\overline{p}){\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2} \bigg(\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2}, \end{eqnarray*} $

应用Young不等式, 得到

$ \begin{eqnarray*} \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^4 &\leq &4\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\bigg(\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2} (\widetilde{p}+\overline{p}){\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2} \bigg(\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x\bigg)^\frac{1}{2}\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^4+8\bigg(\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2} (\widetilde{p}+\overline{p}){\rm d}x\bigg) \bigg(\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x\bigg)\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^4 +\big(4\|\widetilde{p}\|_{L^{4}}^4+(4+8\overline{p})\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2\big) \int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x. \end{eqnarray*} $

从而有

(2.36) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^4 \leq\big(8\|\widetilde{p}\|_{L^{4}}^4+(8+16\overline{p})\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2\big) \int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x. \end{equation} $

由$ G_1(t) $的表达式可知, 存在常数$ C_{5}>0 $使得

(2.37) $ \begin{equation} 8\|\widetilde{p}\|_{L^{4}}^4+(8+16\overline{p})\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2 \leq C_{5}G_1(t). \end{equation} $

联合(2.35)-(2.37)式可得

(2.38) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_1(t)+\frac{3}{2}\overline{p}^2\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|\overline{p}{\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x\|_{L^{2}}^2 \leq C_{6}G_1(t)\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x, \end{equation} $

因此有

(2.39) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_1(t) \leq C_{6}G_1(t)\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x. \end{equation} $

由Gronwall不等式和(2.15)式可得, 对任意的$ t\geq0 $有

(2.40) $ \begin{eqnarray} G_1(t)\leq G_1(0)\exp\Big({C_{5}\int_{0}^{t}\int_{0}^{1}{\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}}{\rm d}x}\Big)\leq C_{7}. \end{eqnarray} $

将(2.40)式代入(2.38)式, 并在$ [0, t] $上积分, 计算可得

(2.41) $ \begin{equation} G_1(t)+\int_{0}^{t}\bigg(\frac{3}{2}\overline{p}^2\|{\widetilde{p}_x(\tau)}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|(\overline{p}{\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x})(\tau)\|_{L^{2}}^2 +\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x(\tau)\|_{L^{2}}^2 +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x(\tau)\|_{L^{2}}^2\bigg){\rm d}\tau \leq C_{8}, \end{equation} $

其中$ C_{8} $是正常数.注意到$ C_{3}, \cdots , C_{8} $都是与$ t $和$ \varepsilon $无关的常数.联合$ (2.15) $式, $ (2.32) $式和$ (2.41) $式可得(2.3)式.

下面根据标准的$ L^{2} $能量方法给出$ (p, q) $的二阶导数估计.

引理2.2  设$ (p, q) $是问题(2.1)-(2.2)的解, 则对任意的$ \varepsilon>0 $有估计

(2.42) $ \begin{equation} \|(\widetilde{p}_x, q_x)(t)\|_{H^{1}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xx}(\tau)\|_{H^{1}}^2 +\|q_{xx}(\tau)\|_{H^{1}}^2{\rm d}\tau\leq C, \end{equation} $

其中, 常数$ C $与$ t $无关.

证  在方程$ (2.16)_{1} $两边同时乘以$ \widetilde{p}_{xx} $, 在方程$ (2.16)_{2} $两边同时乘以$ q_{xx} $, 并且在(0, 1)上积分, 得到

(2.43) $ \begin{eqnarray} &&\int_{0}^{1}\widetilde{p}_t\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x+\int_{0}^{1}q_t q_{xx}{\rm d}x-\int_{0}^{1}(\widetilde{p}q)_x\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x-\overline{p}\int_{0}^{1}\widetilde{p}_{xx}q_x{\rm d}x-\int_{0}^{1}\widetilde{p}_xq_{xx}{\rm d}x\\ & = &\int_{0}^{1}(\widetilde{p}_{xx})^2{\rm d}x+\varepsilon\int_{0}^{1}(q_{xx})^2{\rm d}x+\varepsilon\int_{0}^{1}(q^2)_xq_{xx}{\rm d}x. \end{eqnarray} $

根据Gagliardo-Nirenberg不等式和嵌入不等式有$ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\leq C\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}+C\|\widetilde{p}\|_{L^{2}} $和$ \|q\|_{L^{\infty}}^2\leq C\|q\|_{L^{2}}\|q_x\|_{L^{2}} $.因为$ \widetilde{p}|_{x = 0} = 0 $, $ x\in(0, 1) $, 从而有

(2.44) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{1}|\widetilde{p}(x)|^2{\rm d}x & = &\int_{0}^{1}\bigg|\int_{0}^{x}\widetilde{p}'(y){\rm d}y\bigg|^2{\rm d}x \leq\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}|\widetilde{p}'(y)|^2{\rm d}y{\rm d}x \\ & \leq&\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}|\widetilde{p}'(y)|^2{\rm d}y{\rm d}x \leq\int_{0}^{1}|\widetilde{p}'(y)|^2{\rm d}x \leq\int_{0}^{1}|\widetilde{p}_x|^2{\rm d}x, \end{eqnarray} $

即$ \|\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2\leq \|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 $.应用Hölder不等式, $ (2.3) $式和$ (2.43) $式, 可得

(2.45) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)+\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+ \varepsilon\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2\\ & = &-\int_{0}^{1}\big((\widetilde{p}q)_x+\overline{p}q_x\big)\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x -\int_{0}^{1}\big(\widetilde{p}_x+\varepsilon(q^2)_x\big)q_{xx}{\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+ C_{9}(\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^2\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 \\ &&+\|q\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+ \|q_x\|_{L^{2}}^2)\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+ C_{10}(\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{2}}\|q_x\|_{L^{2}}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\\ &&+\|q\|_{L^{2}}\|q_x\|_{L^{2}}\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+ \|q_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2)\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+ C_{11}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +\|q_x\|_{L^{2}}^2)(\|q_x\|_{L^{2}}^2+1), \end{eqnarray} $

于是

(2.46) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2+1)+\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+ \frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2\\ &\leq& C_{11}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2) (\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2+1). \end{eqnarray} $

由Gronwall不等式和$ (2.3) $式可得

(2.47) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_x(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_x(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}(\|\widetilde{p}_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2+ \|q_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2){\rm d}\tau\leq C_{12}. \end{equation} $

由于在边界点解的高阶导数函数值未知, 因此需要交换时间导数和空间导数.在方程组$ (2.16) $两边关于$ t $求导, 然后分别乘以$ \widetilde{p}_{t} $和$ q_{t} $, 并在区间$ (0, 1) $上积分, 可得

(2.48) $ \begin{eqnarray} &&\int_{0}^{1}\partial_{t}\widetilde{p}_t\widetilde{p}_t{\rm d}x+\overline{p}\int_{0}^{1}\partial_{t}q_tq_t{\rm d}x -\int_{0}^{1}\partial_{t}(\widetilde{p}q)_x\widetilde{p}_{t}{\rm d}x -\overline{p}\int_{0}^{1}\partial_{t}q_x\widetilde{p}_t{\rm d}x-\overline{p}\int_{0}^{1}\partial_{t}\widetilde{p}_xq_t{\rm d}x\\ & = &\int_{0}^{1}\partial_{t}\widetilde{p}_{xx}\widetilde{p}_t{\rm d}x+\varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}\partial_{t}q_{xx}q_t{\rm d}x+\varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}\partial_{t}(q^2)_xq_t{\rm d}x, \end{eqnarray} $

从而有

(2.49) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t\|_{L^{2}}^2)+\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+\varepsilon\overline{p}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2\\ & = &\int_{0}^{1}\partial_{t}(\widetilde{p}q)_x\widetilde{p}_t{\rm d}x+ \varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}\partial_{t}(q^2)_xq_t{\rm d}x = -\int_{0}^{1}(\widetilde{p}q)_t\widetilde{p}_{xt}{\rm d}x- \varepsilon\overline{p}\int_{0}^{1}(q^2)_tq_{xt}{\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+ \frac{1}{2}\varepsilon\overline{p}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2+ C_{13}\big(\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_t\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{\infty}}^2(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2)\big). \end{eqnarray} $

由Gagliardo-Nirenberg不等式和$ (2.44) $式可得$ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\leq C\|\widetilde{p}_x\|_{{L^{2}}}^2 $.同理, 由$ q|_{x = 0, x = 1} = 0 $, Gagliardo-Nirenberg不等式和嵌入不等式可得$ \|q\|_{L^{\infty}}^2\leq C\|q_x\|_{L^{2}}^2 $.从而由$ (2.49) $式得

(2.50) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t\|_{L^{2}}^2)+ \frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2}\varepsilon\overline{p}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2\\ &\leq& C_{14}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t\|_{L^{2}}^2). \end{eqnarray} $

由Gronwall不等式可以导出

(2.51) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}(\|\widetilde{p}_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2 +\|q_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2){\rm d}\tau \leq C_{15}. \end{equation} $

对方程组$ (2.16) $作$ L^{2} $内积, 根据$ (2.47) $式和$ (2.51) $式可得

(2.52) $ \begin{eqnarray} \|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2 & = &\|\widetilde{p}_t-(\widetilde{p}q)_x-\overline{p}q_x\|_{L^{2}}^2\\ &\leq &C_{16}\big(|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q\|_{L^{\infty}}^{2}+ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2+\overline{p}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2\big)\\ &\leq& C_{17} \end{eqnarray} $

和

(2.53) $ \begin{equation} \|q_{xx}\|_{L^{2}}^2 \leq C_{18}\big(\frac{1}{\varepsilon^2}\|q_t\|_{L^{2}}^2+ \frac{1}{\varepsilon^2}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2\big) \leq C_{19}. \end{equation} $

联合$ (2.3) $式, $ (2.47) $式, $ (2.51) $式, $ (2.52) $式和$ (2.53) $式, 得到

(2.54) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}(\|\widetilde{p}_{xxx}(\tau)\|_{L^{2}}^2 +\|q_{xxx}(\tau)\|_{L^{2}}^2){\rm d}\tau\leq C_{20}, \end{equation} $

其中$ C_{20} $是正常数.注意到$ C_{9}, \cdots , C_{20} $都是与$ t $无关但与$ \varepsilon $有关的常数.由(2.54)式知引理2.2成立.

下面证明问题(2.1)-(2.2)解的指数收敛性.

引理2.3  (指数收敛性)  设$ (p, q) $是问题(2.1)-(2.2)的解, 则对任意的$ \varepsilon>0 $, 存在与$ t $无关的常数$ \alpha $, $ \beta $满足

(2.55) $ \begin{equation} \|(\widetilde{p}, q)(t)\|_{H^{2}}^2\leq\alpha e^{-\beta t}. \end{equation} $

证  由(2.38)-(2.40)式和(2.46)-(2.51)式可得

(2.56) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_1(t)+\frac{3}{2}\overline{p}^2\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|\overline{p}{\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x\|_{L^{2}}^2 \leq C_{19}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x, \end{equation} $

(2.57) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)+\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+ \frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2 \leq C_{20}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2) \end{equation} $

和

(2.58) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t\|_{L^{2}}^2)+ \frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon\overline{p}}{2}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2 \leq C_{21}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2). \end{equation} $

比较上述不等式的系数可知, 存在适当大的正常数$ B_{1} $满足

$ B_{1} \times \min \bigg\{\frac{3}{2}\overline{p}^2, 3\varepsilon\overline{p}^3 \bigg\} \geq C_{20}+C_{21}+1. $

在$ (2.56) $式两边同时乘以$ B_{1} $, 与(2.57)式和(2.58)式相加, 得到

(2.59) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}M(t)+N(t)\leq B_{1}C_{19}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x, \end{equation} $

其中

(2.60) $ \begin{eqnarray} M(t)& = &B_{1}G_1(t)+\frac{1}{2}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t\|_{L^{2}}^2), \\ N(t)& = &B_{1}\bigg(\frac{3}{2}\|\overline{p}{\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3\varepsilon\overline{p}^3\|q_x\|_{L^{2}}^2\bigg)+\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2\\ &&+\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+ \frac{\varepsilon\overline{p}}{2}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2-(C_{20}+C_{21}) (\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2). \end{eqnarray} $

同理, 存在正常数$ B_{2} $满足$ B_{2}\geq B_{1}C_{19}+1. $在$ (2.13) $式两边同时乘以$ B_{2} $, 与$ (2.59) $式相加, 得到

(2.61) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(B_{2}E(p, \overline{p})+\frac{B_{2}}{2}\|q\|_{L^{2}}^2+M(t)\bigg)+(B_{2}-B_{1}C_{19})\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2} {\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x+B_{2}\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2+N(t) \leq0, \end{equation} $

其中

$ E(p, \overline{p}) = \int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta' (\overline{p})(p-\overline{p}){\rm d}x. $

令

$ X(t) = B_{2}E(p, \overline{p})+\frac{B_{2}}{2}\|q\|_{L^{2}}^2+M(t), \nonumber $

$ Y(t) = (B_{2}-B_{1}C_{19})\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2} {\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x+B_{2}\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2+N(t). $

则由$ (2.61) $式有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}X(t)+Y(t)\leq 0. $

根据$ X(t) $和$ Y(t) $的定义, 不等式

$ \|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\leq C\big(\|\overline{p}\widetilde{p}_x -\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\big), $

$ (2.44) $式和Gagliardo-Nirenberg不等式可知, 存在一个与$ t $无关的常数$ C_{22} $, 使得

$ X(t)\leq C_{22}Y(t). $

因此有$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}X(t)+C_{23}X(t)\leq0 $.结合$ X(t) $的表达式可知, 存在与$ t $无关的常数$ \alpha, \beta $满足

(2.62) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}(t)\|_{H^{2}}^2+\|q(t)\|_{H^{2}}^2 \leq \alpha e^{-\beta t}. \end{equation} $

引理2.3得证.

当$ \overline{p} = 0 $时, 根据$ p|_{x = 0} = 0 $, $ p_0>0 $, 局部存在性结果和最大值原理可知$ p>0 $.取$ \widetilde{p} = p+R $, 应用扰动方法将问题(2.1)-(2.2)变换为如下初边值问题

(2.63) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \widetilde{p}_t-(\widetilde{p}q)_x+Rq_x = \widetilde{p}_{xx}, \\ q_t-\widetilde{p}_x = \varepsilon q_{xx} + \varepsilon (q^2)_x, \\ \widetilde{p}|_{x = 0} = R, \quad\widetilde{p}_x|_{x = 1} = 0, \\ q|_{x = 0, x = 1} = 0, \\ (p, q)(x, 0) = (p_0, q_0)(x), \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ R>0 $是一个常数.

引理2.4  设$ (p, q) $是问题(2.1)-(2.2)的解, 则对任意的$ \varepsilon>0 $有估计

(2.64) $ \begin{equation} \|(p, q)(t)\|_{H^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|p(\tau)\|_{H^{3}}^2 +\|q(\tau)\|_{H^{3}}^2{\rm d}\tau\leq C, \end{equation} $

其中常数$ C $与$ t $无关.

证  证明分为五个步骤.

步骤1  设$ R $为待确定的正参数.在方程$ (2.63)_1 $两边同时乘以检验函数$ \ln{\widetilde{p}}-\ln{R} $, 在方程$ (2.63)_2 $两边同时乘以$ q $, 并在区间$ (0, 1) $上积分, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{0}^{1}\bigg(\widetilde{p}_t(\ln \widetilde{p}-\ln R)+ qq_t-\varepsilon qq_{xx}-\widetilde{p}_{xx} (\ln \widetilde{p}-\ln R)\bigg){\rm d}x\\ & = &\int_{0}^{1}\bigg(-Rq_x(\ln \widetilde{p}-\ln R)+\widetilde{p}_xq +(\widetilde{p}q)_x(\ln \widetilde{p}-\ln R) +\varepsilon q(q^2)_x\bigg){\rm d}x\\ & = &-\int_{0}^{1}R(\ln \widetilde{p}-\ln R)q_x{\rm d}x, \end{eqnarray*} $

因此有

(2.65) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(\widetilde{p})-\eta(R)-\eta'(R) (\widetilde{p}-R){\rm d}x+\frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2\bigg)+\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x+\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2 = R\int_{0}^{1}q\frac{\widetilde{p}_x}{\widetilde{p}}{\rm d}x, \end{equation} $

其中$ \eta(z) = z\ln(z)-z $.考虑(2.65)式的右边项, 根据$ \widetilde{p}\geq R $和不等式$ \|q\|_{L^{2}}^2\leq C\|q_x\|_{L^{2}}^2 $, 可以计算

$ \begin{eqnarray*} \bigg|R\int_{0}^{1}q\frac{\widetilde{p}_x}{\widetilde{p}}{\rm d}x\bigg| &\leq&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x+ \frac{R^2}{2}\int_{0}^{1}\frac{q^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x+ \frac{R^2}{2}\int_{0}^{1}\frac{q^2}{R}{\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x+ \frac{R}{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2. \end{eqnarray*} $

令$ R = \varepsilon $, 则由上式和$ (2.65) $式有

(2.66) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(\widetilde{p})-\eta(R)-\eta'(R) (\widetilde{p}-R){\rm d}x+\frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2\bigg ) +\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x +\frac{\varepsilon}{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2\leq0. \end{equation} $

应用Gronwall不等式可知

(2.67) $ \begin{equation} \|q(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|q_x(\tau)\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau\leq C_{24}, \end{equation} $

其中常数$ C_{24} $与$ t $无关但与$ 1/\varepsilon $成比例.

步骤2  下面考虑$ \overline{p} = 0 $情形下的初边值问题(2.1)-(2.2):

(2.68) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} p_t-(pq)_x = p_{xx}, \\ q_t-p_x = \varepsilon q_{xx} + \varepsilon (q^2)_x, \\ p|_{x = 0} = 0, \quad p_x|_{x = 1} = 0, \\ q|_{x = 0, x = 1} = 0, \\ (p, q)(x, 0) = (p_0, q_0)(x). \end{array} \right. \end{equation} $

在方程$ (2.68)_1 $两边同时乘以$ p $, 在方程$ (2.68)_2 $两边同时乘以$ q $, 并在$ (0, 1) $上积分, 可得

(2.69) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{2}}^2)+ \|p_x\|_{L^{2}}^2+\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2 = \int_{0}^{1}p_x q {\rm d}x-\int_{0}^{1}p q p_x {\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{4}\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{4}\|p_x\|_{L^{2}}^2+ \|p\|_{L^{2}}^2\|q\|_{L^{\infty}}^2\\ &\leq&\frac{1}{2}\|p_x\|_{L^{2}}^2+C_{25}\|q_x\|_{L^{2}}^2+C_{26}\|p\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2, \end{eqnarray} $

这里用到了Young不等式, Gagliardo-Nirenberg不等式和Poincaré不等式.于是

(2.70) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{2}}^2)+ \frac{1}{2}\|p_x\|_{L^{2}}^2+\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2\leq C_{25}\|q_x\|_{L^{2}}^2+C_{26}\|p\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2. \end{equation} $

应用Gronwall不等式和(2.67)式可得

(2.71) $ \begin{equation} \|p(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|p_x(\tau)\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau\leq C_{27}, \end{equation} $

其中常数$ C_{27} $与$ t $无关但与$ 1/\varepsilon $成比例.

步骤3  类似于引理$ 2.2 $的证明方法, 可以建立解的高阶估计.在方程$ (2.16)_1 $两边同时乘以$ \widetilde{p}_{xx} $, 在方程$ (2.16)_2 $两边同时乘以$ q_{xx} $, 并在区间$ (0, 1) $上积分, 计算得到

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)+\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2 +\varepsilon\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2\\ & = &-\int_{0}^{1}(pq)_x p_{xx} {\rm d}x -\int_{0}^{1}(p_x+\varepsilon(q^2)_x)q_{xx} {\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{2}\|p_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2}(\|p\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^2\|p_x\|_{L^{2}}^2)+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2\\ &&+C_{28}(\varepsilon^{-1}\|p_x\|_{L^{2}}^2+\varepsilon\|q\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2)\\ &\leq&\frac{1}{2}\|p_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+ C_{29}\Big((\|p\|_{L^{2}}\|p_x\|_{L^{2}}+\|p\|_{L^{2}}^2)\|q_x\|_{L^{2}}^2+(\|q\|_{L^{2}}\|q_x\|_{L^{2}}\\ &&+\|q\|_{L^{2}}^2)\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|p_x\|_{L^{2}}^2+(\|q\|_{L^{2}}\|q_x\|_{L^{2}} +\|q\|_{L^{2}}^2)\|q_x\|_{L^{2}}^2\Big)\\ &\leq&\frac{1}{2}\|p_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+ C_{30}\Big((\|p_x\|_{L^{2}}^2+1)\|q_x\|_{L^{2}}^2+(\|q_x\|_{L^{2}}^2+1)\|p_x\|_{L^{2}}^2\\ &&+(\|q_x\|_{L^{2}}^2+1)\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|p_x\|_{L^{2}}^2\Big)\\ &\leq&\frac{1}{2}\|p_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+ C_{31}(\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)(\|q_x\|_{L^{2}}^2+1), \end{eqnarray*} $

这里用到了Hölder不等式, Sobolev不等式以及引理$ 2.2 $.于是

(2.72) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)+ \frac{1}{2}\|p_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2 \leq C_{31}(\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)(\|q_x\|_{L^{2}}^2+1). \end{equation} $

应用Gronwall不等式, $ (2.67) $式和$ (2.71) $式, 可得

(2.73) $ \begin{equation} \|p_x(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_x(t)\|_{L^{2}}^2+ \int_{0}^{t}(\|p_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2+\|q_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2){\rm d}\tau\leq C_{32}, \end{equation} $

其中常数$ C_{32} $与$ t $无关但与$ 1/\varepsilon $成比例.

步骤4  在方程$ (2.68)_1 $和方程$ (2.68)_2 $两边关于$ t $求偏导, 分别乘以$ p_t $和$ q_t $, 并在区间$ (0, 1) $上积分, 得到

$ \begin{eqnarray*} && \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2)+\|p_{xt}\|_{L^{2}}^2 +\varepsilon\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2\\ & = &-\int_{0}^{1}(pq)_t p_{xt} {\rm d}x - \varepsilon\int_{0}^{1}(q^2)_t q_{xt} {\rm d}x+\int_{0}^{1}p_{xt}q_t {\rm d}x\\ &\leq&\frac{1}{4}\|p_{xt}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2+ C_{33}(\|p\|_{L^{\infty}}^2\|q_t\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{\infty}}^2\|p_t\|_{L^{2}}^2\\ &&+\|q\|_{L^{\infty}}^2\|q_t\|_{L^{2}}^2)+ \frac{1}{4}\|p_{xt}\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2. \end{eqnarray*} $

于是

(2.74) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2)+ \frac{1}{2}\|p_{xt}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2\\ &\leq& C_{34}(\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)(\|p_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2)+\|q_t\|_{L^{2}}^2. \end{eqnarray} $

根据方程$ (2.68)_2 $可得

(2.75) $ \begin{eqnarray} \|q_t\|_{L^{2}}^2&\leq& C_{35}(\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2)\\ &\leq&C_{36}(\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|q_x\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2)\\ &\leq&C_{37}(\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2), \end{eqnarray} $

这里用到了Gagliardo-Nirenberg不等式, $ (2.71) $式和$ (2.73) $式.因此由$ (2.74) $式知

(2.76) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2)+ \frac{1}{2}\|p_{xt}\|_{L^{2}}^2+\frac{\varepsilon}{2}\|q_{xt}\|_{L^{2}}^2\\ &\leq& C_{34}(\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)(\|p_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2)+C_{37}(\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|p_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2), \end{eqnarray} $

类似于估计式$ (2.73) $, 可得

(2.77) $ \begin{equation} \|p_t(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_t(t)\|_{L^{2}}^2+ \int_{0}^{t}(\|p_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2+\|q_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2){\rm d}\tau\leq C_{38}, \end{equation} $

其中常数$ C_{38}>0 $与$ t $无关.

步骤5  在方程$ (2.68)_{1} $和方程$ (2.68)_{2} $两边取$ L^2 $范数得

(2.78) $ \begin{equation} \quad \quad \|p_{xx}\|_{L^{2}}^2\leq C_{39}\big(\|p_t\|_{L^{2}}^2+\|p\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^2\|p_x\|_{L^{2}}^2\big) \leq C_{40} \end{equation} $

和

(2.79) $ \begin{equation} \|q_{xx}\|_{L^{2}}^2\leq C_{41}(\|q_t\|_{L^{2}}^2+\|p_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2)\leq C_{42}, \end{equation} $

这里常数$ C_{39}, \cdots , C_{42} $都与$ t $无关.联合(2.77)-(2.79)式可知, 存在与$ t $无关但与$ 1/\varepsilon $有关的常数$ C_{43}>0 $使得

(2.80) $ \begin{equation} \|p_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}(\|p_{xxx}(\tau)\|_{L^{2}}^2+ \|q_{xxx}(\tau)\|_{L^{2}}^2){\rm d}\tau\leq C_{43}. \end{equation} $

从而有(2.64)式成立.

引理2.5  (指数收敛性)  设$ (\widetilde{p}, q) $是问题$ (2.63) $的解, 则对任意的$ \varepsilon>0 $, 存在与$ t $无关的正常数$ \alpha_{1} $, $ \beta_{1} $满足

$ \|(\widetilde{p}, q)(t)\|_{H^{2}}^2 \leq \alpha_{1}e^{-\beta_{1}t}. $

证  设$ R $为待确定的正参数.在方程$ (2.63)_1 $两边同时乘以$ \widetilde{p} $, 在方程$ (2.63)_2 $两边同时乘以$ -Rq $, 关于$ x $在$ (0, 1) $上积分, 两式相减可得

(2.81) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big(\frac{1}{2}\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2+\frac{R}{2}\|{q}\|_{L^{2}}^2\Big)+ \|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2+\varepsilon R\|{q_x}\|_{L^{2}}^2 = -\int_{0}^{1}\widetilde{p} q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{equation} $

方程$ (2.63)_1 $两边同时乘以$ \widetilde{p}^{2} $, 关于$ x $在$ (0, 1) $上积分, 利用分部积分可得

(2.82) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}{\rm d}x\bigg) +2\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^{2}{\rm d}x = -2\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q\widetilde{p}_x {\rm d}x +2R\int_{0}^{1}\widetilde{p}q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{equation} $

方程$ (2.63)_1 $两边同时乘以$ \widetilde{p}^{3} $, 关于$ x $在$ (0, 1) $上积分, 利用分部积分可得

(2.83) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{4}\|\widetilde{p}\|_{L^4}^4\bigg)+3\|{\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 = -3\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}q\widetilde{p}_x {\rm d}x +3R\int_{0}^{1}\widetilde{p}^2q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{equation} $

$ (2.81) $式两边同时乘以$ 2R $, 与$ (2.82) $式相加得

(2.84) $ \begin{eqnarray} && \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(R\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2+R^2\|{q}\|_{L^{2}}^2 +\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^3{\rm d}x\bigg)+2R\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +2\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^2{\rm d}x+ 2R^2\varepsilon\|{q_x}\|_{L^{2}}^2 \\ & = &-2\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{2}q\widetilde{p}_x {\rm d}x. \end{eqnarray} $

$ (2.84) $式两边同时乘以$ \frac{3}{2}R $, 与$ (2.83) $式相加, 得到

(2.85) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{4}\|\widetilde{p}\|_{L^{4}}^4+\frac{3R^2}{2}\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2+ \frac{3R^3}{2}\|q\|_{L^{2}}^2+\frac{R}{2}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}{\rm d}x\bigg)\\ &&+ \bigg(3\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+3R^2\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3R\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^2{\rm d}x +3 R^3\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2\bigg)\\ & = & -3\int_{0}^{1}\widetilde{p}^3q\widetilde{p}_x{\rm d}x. \end{eqnarray} $

因此有

(2.86) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_{2}(t)+K_2(t) = -3\int_{0}^{1}\widetilde{p}^{3}q\widetilde{p}_x {\rm d}x, \end{equation} $

这里

(2.87) $ \begin{eqnarray} G_{2}(t) & = &\frac{3}{2}R^2\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}R^3\|q\|_{L^{2}}^2 +\frac{R}{2}\int_{0}^{1}\widetilde{p}^3{\rm d}x +\frac{1}{4}\|\widetilde{p}\|_{L^4}^4\\ & = &R^2\|{\widetilde{p}}\|_{L^{2}}^2+ \frac{1}{8}\|2R{\widetilde{p}+\widetilde{p}^2}\|_{L^{2}}^2 +\frac{1}{8}\|\widetilde{p}\|_{L^4}^4 +\frac{3}{2}R^3\|q\|_{L^{2}}^2, \\ K_2(t) & = &3R^2\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +3R\int_{0}^{1}\widetilde{p}(\widetilde{p}_x)^2{\rm d}x +3\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3R^3\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2\\ & = &\frac{3}{2}R^2\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|R\widetilde{p}_x+\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 +3R^3\varepsilon\|q_x\|_{L^{2}}^2. \end{eqnarray} $

与引理2.3中的证明方法类似, 可知存在与$ R $有关而与$ t $无关的正常数$ \alpha_{1} $, $ \beta_{1} $满足

(2.88) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}(t)\|_{H^{2}}^2+\|q(t)\|_{H^{2}}^2\leq \alpha_{1}e^{-\beta_{1}t}. \end{equation} $

引理2.5得证.

由上述$ \overline{p}>0 $和$ \overline{p} = 0 $时的结果, 我们完成了定理1.1对于$ \varepsilon>0 $情形的结果的证明.

本节证明$ \varepsilon = 0 $时问题(1.3)-(1.4)解的全局存在性.考虑变换后的初边值问题

(3.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \widetilde{p}_t-(\widetilde{p}q)_x-\overline{p}q_x = \widetilde{p}_{xx}, \\ q_t-\widetilde{p}_x = 0, \\ (\widetilde{p}, q)(x, 0) = (p_0-\overline{p}, q_0)(x), \\ \widetilde{p}|_{x = 0} = 0, \, \, \widetilde{p}_x|_{x = 1} = 0, \\ \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \widetilde{p} = p-\overline{p} $.首先根据不动点方法证明问题$ (3.1) $解的局部存在性, 然后利用能量法建立相应的先验估计.确切地说, 当$ \overline{p}>0 $时, 证明方法与第2节中类似.当$ \overline{p} = 0 $时, 对问题(3.1)应用扰动方法得到变换后的方程组, 再利用Lyapunov泛函证明解的先验估计.所以下面的讨论分为$ \overline{p}>0 $和$ \overline{p} = 0 $两种情形.

引理3.1  设$ (\widetilde{p}, q) $是问题$ (3.1) $的解, 则对任意的$ t>0 $, 存在与$ t $无关的常数$ C $使得

(3.2) $ \begin{equation} \|(\widetilde{p}, q)(t)\|_{H^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}(\tau)\|_{H^{3}}^2 +\|q(\tau)\|_{H^{2}}^2{\rm d}\tau\leq C. \end{equation} $

证  证明分为五个步骤.

步骤1  考虑引理$ 2.1 $中建立的能量估计.注意到, 当$ \varepsilon = 0 $时, $ (2.11) $式和$ (2.38) $式仍然成立, 即有

(3.3) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(p)-\eta(\overline{p})-\eta'(\overline{p}) (p-\overline{p}){\rm d}x+\frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2\bigg )+ \int_{0}^{1}\frac{(p_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x = 0 \end{equation} $

和

(3.4) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_1(t)+\frac{3}{2}\overline{p}^2\|{\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\frac{3}{2}\|\overline{p}{\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x}\|_{L^{2}}^2 +\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\leq C_{6}G_1(t)\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x. \end{equation} $

对任意的$ t>0 $, $ (3.3) $式和$ (3.4) $式两端分别在$ [0, t] $上积分得

$ \int_{0}^{t}\int_{0}^{1}p_t(\ln p-\ln \overline{p}){\rm d}x{\rm d}\tau+ \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|q\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau+\int_{0}^{t}\int_{0}^{1}\frac{(p_x)^2} {p}{\rm d}x{\rm d}\tau = 0 $

和

$ \|\widetilde{p}(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau \leq C_{44}\int_{0}^{t}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2} {\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x{\rm d}\tau\leq C_{45}. $

从而有

(3.5) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}(t)\|_{L^{2}}^2+\|q(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\bigg(\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2} {\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x+\|\widetilde{p}_x(\tau)\|_{L^{2}}^2\bigg){\rm d}\tau\leq C_{46}, \end{equation} $

这里常数$ C_{46} $与$ t $无关.

步骤2  方程$ (3.1)_2 $两边关于$ x $求偏导, 代入方程$ (3.1)_1 $得

(3.6) $ \begin{equation} q_{xt} = \widetilde{p}_t-\overline{p}q_x-(\widetilde{p}q)_x. \end{equation} $

上式两边同时乘以$ q_x $, 关于$ x $在$ (0, 1) $上积分, 计算得到

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|q_x\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_x\|_{L^{2}}^2\\ & = &\int_{0}^{1}\widetilde{p}_tq_x {\rm d}x-\int_{0}^{1}(\widetilde{p}q)_xq_x{\rm d}x\\ &\leq& \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x {\rm d}x-\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_{xt} {\rm d}x -\int_{0}^{1}\widetilde{p}(q_x)^2 {\rm d}x-\int_{0}^{1}q\widetilde{p}_xq_x {\rm d}x\\ &\leq &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x {\rm d}x-\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_{xt}{\rm d}x+\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{\infty}}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}} \|q_x\|_{L^{2}}\\ &\leq &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x{\rm d}x-\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_{xt}{\rm d}x +\frac{2}{\overline{p}}\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \frac{\overline{p}}{8}\|q_x\|_{L^{2}}^2 +\frac{2}{\overline{p}}\|q\|_{L^{\infty}}^2 \|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\frac{\overline{p}}{8}\|q_x\|_{L^{2}}^2\\ &\leq& \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x{\rm d}x-\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_{xt}{\rm d}x +\frac{\overline{p}}{4}\|q_x\|_{L^{2}}^2+C_{47}(\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^2\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2). \end{eqnarray*} $

和$ (2.44) $式的推导类似, 由上式和Gagliardo-Nirenberg不等式可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2-\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x{\rm d}x\bigg)+ \frac{3\overline{p}}{4}\|q_x\|_{L^{2}}^2 &\leq& C_{47}(\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|q\|_{L^{\infty}}^2\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2) -\int_{0}^{1}\widetilde{p}\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x\\ &\leq &C_{48}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2)+ \frac{\overline{p}}{4}\|q_x\|_{L^{2}}^2, \end{eqnarray} $

这里我们用到了由方程$ (3.1)_2 $得到的$ q_{xt}-\widetilde{p}_{xx} = 0 $.于是有

(3.8) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2-\int_{0}^{1}\widetilde{p}q_x{\rm d}x\bigg)+ \frac{\overline{p}}{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2\leq C_{48}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2). \end{equation} $

$ (3.4) $式两边同时乘以$ \frac{2}{\overline{p}^2} $, 并与$ (3.8) $式相加可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_3(t)+K_3(t)\leq\frac{2C_{6}}{\overline{p}^2}G_1(t) \int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+\overline{p}}{\rm d}x+ C_{49}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+ \|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2), $

这里

$ G_{3}(t) = \frac{1}{4}\|q_x\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{4}\|q_x-2\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}\|_{L^{2}}^2 +\frac{1}{4\overline{p}^2}\|2\overline{p}\widetilde{p}-\widetilde{p}^2\|_{L^{2}}^2+ \frac{1}{4\overline{p}^2}\|\widetilde{p}\|_{L^{4}}^4+3\overline{p}\|q\|_{L^{2}}^2, $

$ K_3(t) = 3\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\frac{3}{\overline{p}^2} \|\overline{p}\widetilde{p}_x-\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+ \frac{2}{\overline{p}^2}\|\widetilde{p}\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\frac{\overline{p}}{2} \|q_x\|_{L^{2}}^2. $

根据$ G_1(t) $的定义可知, 存在常数$ C_{49}>0 $满足

(3.9) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}G_{3}(t)+K_3(t)\leq C_{50}G_{3}(t)\bigg(\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}+ \overline{p}}{\rm d}x+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\bigg)+C_{49}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2. \end{equation} $

应用Gronwall不等式和$ (3.5) $式可得

$ G_{3}(t)+\int_{0}^{t}K_3(\tau){\rm d}\tau \leq C_{51}. $

由$ G_{3}(t) $和$ K_3(t) $的定义可知

(3.10) $ \begin{equation} \|q_x(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|q_x(\tau)\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau \leq C_{52}, \end{equation} $

这里常数$ C_{52}>0 $.注意到常数$ C_{47}, \cdots , C_{52} $都与$ t $无关.

步骤3  方程$ (3.1)_{1} $两边同时乘以$ \widetilde{p}_{xx} $, 关于$ x $在$ (0, 1) $上积分得

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2& = & -\int_{0}^{1}(\widetilde{p}q)_x\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x-\overline{p}\int_{0}^{1} q_x\widetilde{p}_{xx}{\rm d}x\\ &\leq &\frac{1}{4}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|(\widetilde{p}q)_x\|_{L^{2}}^2+ \frac{1}{4}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\overline{p}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2, \end{eqnarray*} $

从而, 与$ (3.7) $式的推导类似, 可得

(3.11) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2&\leq& C_{53}(\|\widetilde{p}q_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_xq\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2)\\ &\leq& C_{54}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2). \end{eqnarray} $

应用Gronwall不等式和$ (3.10) $式可知, 存在与$ t $无关的常数$ C_{55}>0 $满足

(3.12) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_x(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau \leq C_{55}. \end{equation} $

步骤4  方程$ (3.1)_1 $和方程$ (3.1)_2 $两边关于$ t $求偏导, 分别乘$ \widetilde{p}_t $和$ \overline{p}q_t $, 然后关于$ x $在$ (0, 1) $上积分, 得到

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t\|_{L^{2}}^2)+ \|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2 & = &-\int_{0}^{1}(\widetilde{p}q)_t\widetilde{p}_{xt}{\rm d}x\\ &\leq& \frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2}\|q\|_{L^{\infty}}^2\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2} \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_t\|_{L^{2}}^2. \end{eqnarray*} $

由此可得

(3.13) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|\widetilde{p}_t(t)\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t(t)\|_{L^{2}}^2\big)+ \|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2 &\leq &C_{56}\big(\|q_x\|_{L^{2}}^2\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+ \|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_t\|_{L^{2}}^2\big)\\ &\leq &C_{57}\big(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_t(t)\|_{L^{2}}^2\big)\big( \|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2\big), {\qquad} \end{eqnarray} $

这里我们用到了不等式$ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\leq C\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 $和$ \|q\|_{L^{\infty}}^2\leq C\|q_x\|_{L^{2}}^2 $.对(3.13)式应用Gronwall不等式, 联合$ (3.5) $式, $ (3.10) $式和$ (3.12) $式可得

(3.14) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_t(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_t(t)\|_{L^{2}}^2+ \int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2 {\rm d}\tau \leq C_{58}. \end{equation} $

由上式和(3.12)式可知, 存在与$ t $无关的常数$ C_{59}>0 $使得

(3.15) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_{t}(t)\|_{L^{2}}^2+ \int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2 {\rm d}\tau \leq C_{59}. \end{equation} $

步骤5  方程$ (3.6) $两端关于$ x $求偏导, 然后乘以$ q_{xx} $, 并且关于$ x $在$ (0, 1) $上积分得

(3.16) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2 & = &\int_{0}^{1}\big(\widetilde{p}_{xt}-(\widetilde{p}q)_{xx}\big)q_{xx}{\rm d}x{}\\ &\leq&\frac{\overline{p}}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+C_{60}(\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2 +\|q\|_{L^{\infty}}^2\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2{}\\ &&+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2 \|q_x\|_{L^{\infty}}^2+\|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2). \end{eqnarray} $

由齐次边界条件和齐次椭圆正则性有$ \|q\|_{H^{2}} \leq C \|q_{xx}\|_{L^{2}} $.又由Sobolev嵌入不等式知$ \|q_x\|_{L^{\infty}} $$ \leq C \|q_x\|_{H^{1}}\leq C \|q\|_{H^{2}} $.因此有不等式$ \|q_x\|_{L^{\infty}}\leq C \|q_{xx}\|_{L^{2}} $.联合不等式$ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}\leq C\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}} $, $ \|q\|_{L^{\infty}}\leq C\|q_x\|_{L^{2}} $, $ (3.15) $式和(3.16)式可得

(3.17) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+\overline{p}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2 \leq\frac{\overline{p}}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+C_{61}(\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+ \|q_x\|_{L^{2}}^2)+C_{62}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2. \end{equation} $

因此

(3.18) $ \begin{equation} \|q_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+ \int_{0}^{t}\|q_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2 {\rm d}\tau \leq C_{63}, \end{equation} $

这里用到了Gronwall不等式, $ (3.5) $式, $ (3.10) $式, $ (3.15) $式和$ (3.17) $式.联合$ (3.15) $式和$ (3.18) $式可得

$ \|\widetilde{p}_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}(\|\widetilde{p}_{xxx}(\tau)\|_{L^{2}}^2 +\|q_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2){\rm d}\tau\leq C_{64}, $

其中常数$ C_{64}>0 $.注意到常数$ C_{60}, \cdots , C_{64} $都与$ t $无关.引理3.1得证.

非扩散情形解的指数衰减估计的证明和扩散情形的证明完全类似, 因此这里省略证明.由此, 我们完成了$ \overline{p}>0 $情形下定理1.1的证明.

本小节证明$ \overline{p} = 0 $时非扩散情形解的全局存在性, 考虑问题(3.1)在扰动$ \widetilde{p} = p+1 $下得到的初边值问题

(3.19) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \widetilde{p}_t-(\widetilde{p}q)_x+q_x = \widetilde{p}_{xx}, \\ q_t-\widetilde{p}_x = 0, \\ \widetilde{p}|_{x = 0} = 1, \quad \widetilde{p}_x|_{x = 1} = 0, \\ (\widetilde{p}, q)(x, 0) = (p_0+1, q_0)(x).\\ \end{array} \right. \end{equation} $

引理3.2  设$ (\widetilde{p}, q) $是问题$ (3.19) $的解, 则对任意的$ t>0 $都有

(3.20) $ \begin{equation} \|(\widetilde{p}, q)(t)\|_{H^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}(\tau)\|_{H^{3}}^2 \leq C, \end{equation} $

其中常数$ C $与$ t $有关.

证  证明分为四个步骤.

步骤1  当$ \varepsilon = 0 $时, 在$ (2.65) $式中取$ R = 1 $得

(3.21) $ \begin{eqnarray} && \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(\widetilde{p})-\eta(1)-\eta'(1) (\widetilde{p}-1){\rm d}x+\frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2\bigg) +\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x\\ & = &\int_{0}^{1}q\frac{\widetilde{p}_x}{\widetilde{p}}{\rm d}x \leq\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{q^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x\leq \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x+ \frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2, \end{eqnarray} $

上式用到了$ \widetilde{p}\geq1 $的条件.从而有

(3.22) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(\widetilde{p})-\eta(1)-\eta'(1) (\widetilde{p}-1){\rm d}x+\frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2\bigg)+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\frac{(\widetilde{p}_x)^2}{\widetilde{p}}{\rm d}x \leq \frac{1}{2}\|q\|_{L^{2}}^2. \end{equation} $

根据Gronwall不等式和条件$ \eta(\widetilde{p})-\eta(1)-\eta'(1)(\widetilde{p}-1)\geq0 $可得

(3.23) $ \begin{eqnarray} \|q(t)\|_{L^{2}}^2\leq 2e^{t}\bigg(\int_{0}^{1}\eta(\widetilde{p}_{0})-\eta(1)-\eta'(1) (\widetilde{p}_{0}-1){\rm d}x+\frac{1}{2}\|q_{0}\|_{L^{2}}^2\bigg) \leq C_{65}e^{t}, \end{eqnarray} $

这里常数$ C_{65}>0 $与$ t $无关.

步骤2  现在建立$ p, \, \, q $的$ L^{2} $估计.回到问题(3.19)在齐次混合边界条件下对应的初边值问题：

(3.24) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} p_t-(pq)_x = p_{xx}, \\ q_t-p_x = 0, \\ p|_{x = 0} = 0, \quad p_x|_{x = 1} = 0, \\ q|_{x = 0, x = 1} = 0, \\ (p, q)(x, 0) = (p_0, q_0)(x). \end{array} \right. \end{equation} $

与$ (2.69) $式的推导类似, 由Gagliardo-Nirenberg不等式, 带$ \epsilon $的Young不等式和$ (3.23) $式可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{2}}^2)+\|p_x\|_{L^{2}}^2 = \int_{0}^{1} p_x q{\rm d}x-\int_{0}^{1}p q p_x{\rm d}x{\nonumber}\\ &\leq &\frac{1}{8}\|p_x\|_{L^{2}}^2+2\|q\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{8}\|p_x\|_{L^{2}}^2+ 2\|p\|_{L^{\infty}}^2\|q\|_{L^{2}}^2\\ &\leq &\frac{1}{4}\|p_x\|_{L^{2}}^2+2\|q\|_{L^{2}}^2+C_{66}\|p\|_{L^{2}}\|p_x\|_{L^{2}}\|q\|_{L^{2}}^2+C_{67}\|p\|_{L^{2}}^2\|q\|_{L^{2}}^2\\ &\leq &\frac{1}{2}\|p_x\|_{L^{2}}^2+2\|q\|_{L^{2}}^2+C_{68}\|p\|_{L^{2}}^2\|q\|_{L^{2}}^4+C_{67}\|p\|_{L^{2}}^2\|q\|_{L^{2}}^2\\ &\leq& \frac{1}{2}\|p_x\|_{L^{2}}^2+C_{69}\big(e^{t}+e^{2t}\|p\|_{L^{2}}^2+e^{t}\|p\|_{L^{2}}^2\big). \end{eqnarray*} $

于是有

(3.25) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|p\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{2}}^2)+\frac{1}{2}\|p_x\|_{L^{2}}^2 \leq C_{69}\big(e^{t}+e^{2t}\big)\big(\|p\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{2}}^2\big). \end{equation} $

由Gronwall不等式可得

(3.26) $ \begin{equation} \|p(t)\|_{L^{2}}^2+\|q(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|p_x(\tau)\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau\leq C_{70}(t), \end{equation} $

这里, $ C_{70}(t) $是关于$ t $的递增函数.

步骤3  下面建立$ q $的一阶估计.与$ (3.8) $式的证明类似, 可得

(3.27) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\frac{1}{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2-\int_{0}^{1}pq_x{\rm d}x \bigg) & = &\|p_x\|_{L^{2}}^2-\int_{0}^{1}(pq)_x q_x{\rm d}x\\ &\leq& \|p_x\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2}\|q_x\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2}\|p\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2 +\frac{1}{2}\|q\|_{L^{\infty}}^2\|p_x\|_{L^{2}}^2\\ &\leq &\|p_x\|_{L^{2}}^2+C_{71}(\|p_x\|_{L^{2}}^2+1)\|q_x\|_{L^{2}}^2. \end{eqnarray} $

根据Gronwall不等式, $ (3.25) $式和$ (3.26) $式可得

(3.28) $ \begin{equation} \|q_x(t)\|_{L^{2}}^2\leq C_{72}. \end{equation} $

对于$ \widetilde{p} $的一阶估计, 与$ (3.11) $式的证明类似, 有

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2 & = &-\int_{0}^{1}\bigg((\widetilde{p}q)_x+q_x\bigg) \widetilde{p}_{xx}{\rm d}x\\ &\leq &\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2}\|(\widetilde{p}q)_x-q_x\|_{L^{2}}^2\\ &\leq& \frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+C_{73}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2), \end{eqnarray*} $

于是

(3.29) $ \begin{equation} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2+\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2 \leq C_{73}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2). \end{equation} $

由Gronwall不等式和$ (3.28) $式可得

(3.30) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_x(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xx}(\tau)\|_{L^{2}}^2 {\rm d}\tau \leq C_{74}. \end{equation} $

步骤4  最后建立解的高阶估计.在方程$ (3.19)_1 $和方程$ (3.19)_2 $两端关于$ t $求偏导, 分别乘以$ \widetilde{p}_t $和$ q_t $, 然后关于$ x $在$ (0, 1) $上积分, 得到

(3.31) $ \begin{eqnarray} && \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\|\widetilde{p}_t(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_t(t)\|_{L^{2}}^2\bigg)+ \|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2{}\\ & = &-\int_{0}^{1}(\widetilde{p}q)_t \widetilde{p}_{xt}{\rm d}x \leq \frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{\infty}}^2\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_t\|_{L^{2}}^2\\ &\leq &\frac{1}{2}\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+C_{75}(\|\widetilde{p}_t\|_{L^{2}}^2+\|q_t\|_{L^{2}}^2), \end{eqnarray} $

这里用到了不等式$ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2 \leq C(2+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}}^2), $$ \|q\|_{L^{\infty}}^2 \leq C\|q_x\|_{L^{2}}^2 $, $ (3.28) $式和$ (3.30) $式.由Gronwall不等式可得

(3.32) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_t(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_t(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau \leq C_{76}, \end{equation} $

于是

(3.33) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_{t}(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xt}(\tau)\|_{L^{2}}^2{\rm d}\tau \leq C_{77}. \end{equation} $

方程$ (3.19)_2 $两端关于$ x $求偏导, 与方程$ (3.19)_1 $相减得

(3.34) $ \begin{equation} q_{xt} = \widetilde{p}_t+q_x-(\widetilde{p}q)_x. \end{equation} $

上式两端关于$ x $求偏导, 乘以$ q_{xx} $, 并关于$ x $在$ (0, 1) $上积分, 得到

(3.35) $ \begin{equation} \int_{0}^{1} q_{xx}q_{xxt}{\rm d}x = \int_{0}^{1}\widetilde{p}_{xt} q_{xx}{\rm d}x-\int_{0}^{1}(\widetilde{p}q)_{xx} q_{xx}{\rm d}x. \end{equation} $

从而有

(3.36) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2 &\leq& C_{78}(\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2+ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|q\|_{L^{\infty}}^2\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{\infty}}^2\|q_x\|_{L^{2}}^2)+\frac{1}{2}\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2\\ &\leq &C_{79}(\|\widetilde{p}_x\|_{L^2}^2+1)\|q_{xx}\|_{L^{2}}^2+C_{80}(\|\widetilde{p}_{xt}\|_{L^{2}}^2 +\|\widetilde{p}_{xx}\|_{L^{2}}^2+\|q_x\|_{L^{2}}^2), \end{eqnarray} $

这里用到了不等式$ \|\widetilde{p}\|_{L^{\infty}}^2 \leq C(2+\|\widetilde{p}_x\|_{L^{2}})^2 $和$ \|q\|_{L^{\infty}}^2 \leq C\|q_x\|_{L^{2}}^2 $.对(3.36)式应用Gronwall不等式, 并利用估计式$ (3.28) $, $ (3.30) $以及$ (3.33) $, 可得

(3.37) $ \begin{equation} \|q_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2\leq C_{81}. \end{equation} $

由$ (3.33) $式和$ (3.37) $式知

(3.38) $ \begin{equation} \|\widetilde{p}_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+\|q_{xx}(t)\|_{L^{2}}^2+ \int_{0}^{t}\|\widetilde{p}_{xxx}(\tau)\|_{L^{2}}^2\leq C_{82}. \end{equation} $

这里, 常数$ C_{71}, \cdots , C_{82} $都与$ t $有关.引理3.2得证.