本文将研究如下拟线性椭圆型方程组

正解的存在性与多解性, 其中$\Omega\subset{{\Bbb R}} ^{N}$$(N\geq 3)$是有界光滑区域, $0\in\Omega$, $1<q<p<N$, $\lambda,$$\delta>0,$$0\leq\mu<\overline{\mu} = (\frac{N-p}{p}-a)^{p}$, $0\leq a<\frac{N-p}{p}$, $a\leq b< a+1$, $0\leq t<p,$且$\alpha>1$, $\beta>1$满足$p<\alpha+\beta< p^{*}$, $p^{*} = \frac{Np}{N-p(1+a-b)}$为临界Hardy-Sobolev指数.

方程(1.1)与如下Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式^[1]有关:存在正常数$K_{a, b}$满足

关于最佳常数与极值函数, 参见文献[7, 17].在(1.2)式中若取$b = a+1$, 则$p^{*} = p$, 且如下加权Hardy不等式^{[3, 16]}成立

其中$\overline{\mu} = (\frac{N-p}{p}-a)^{p}$为最佳Hardy常数.

当$\mu\in[0, \overline{\mu})$时, 令$E = W_{a}^{1, p}(\Omega)$表示$C_{0}^{\infty}(\Omega)$的闭包, 且赋有范数

由(1.3)式可知该范数与$(\int_{\Omega}|x|^{-ap}|\nabla u|^{p}{\rm d}x)^{\frac{1}{p}}$等价.

现在, 引入空间$X = E\times E$, 且赋有范数

对于$\mu\in[0, \overline{\mu})$, 定义最佳常数

则有

注意到很多学者研究了含Hardy或Hardy-Sobolev不等式的椭圆型问题解的性质, 特别是单个方程的情形, 参见文献[1, 5-6, 8-9, 12, 20-21].

近年来, 带权椭圆型方程组解的存在性与多重性得到了广泛的研究. Lü和Xiao在文献[10]中研究了如下带权半线性椭圆型方程组

其中$\alpha+\beta = p^{*} = \frac{2N}{N-2(1+a-b)}$.利用变分法, 作者证明了当参数$(\lambda, \delta)$属于${{\Bbb R}} ^{2}$中某个特定的子集时, 问题(1.5)至少存在两个非平凡解.

接着, 许多学者开始研究带权的拟线性椭圆型方程组.当$a = 0,$$\mu\neq 0$时, Nyamoradi和Shekarbigi^[13]考虑了如下问题

其中$\alpha+\beta = p^{*}(t) = \frac{p(N-t)}{N-p}$.利用变分法, 作者证明了问题(1.6)至少存在两个正解.并且, Nyamoradi在文献[14]中利用同样的方法把文献[13]中的结果推广到了更一般的情形.更多类似结果参见文献[11-12].对于$\mu = 0$, $a\neq0$的情形, 参见文献[15, 19].

然而, 据我们所知, 对于带权的拟线性椭圆型方程组, 很少有文献研究$\mu\neq0$, $a\neq0$且$\alpha+\beta<p^{*}$的情形.并且, 现有的文献大部分都是在Dirichlet边界条件下研究此类型方程解的性质.因此, 本文深入研究问题(1.1)是非常必要且有意义的.

利用类似Pohozaev在文献[4]中提出的纤维方法, 我们证明了问题(1.1)至少存在两个正解.特别地, 本文无需在Nehari中提取Palais-Smale序列.

假设$f(x)$和$g(x)$满足如下条件:

(A) $f$, $g\in C(\partial\Omega)\cap L^{\infty}(\partial\Omega)$.

本文的主要结果如下.

定理1.1   假设条件(A)成立, 且$1<q<p<\alpha+\beta<p^{*} = \frac{Np}{N-p(1+a-b)}$.则存在$\Lambda_{1}>0$使得当$\lambda+\delta\in (0, \frac{q}{p}\Lambda_{1})$时, 问题(1.1)至少存在两个正解.

本文结构安排如下:在第二部分我们给出Nehari流形的一些性质, 同时建立问题(1.1)的变分框架.在第三部分, 我们考虑多解性结果并给出定理1.1的证明.最后, 给出临界情形下该类型方程解的存在性结果.

显然, 问题(1.1)具有变分结构.令$I_{\lambda, \delta}:X\rightarrow {{\Bbb R}}$表示问题(1.1)对应的能量泛函, 定义如下

其中$K_{\lambda, \delta}(u, v) = \int_{\partial\Omega}(\lambda f(x)|u|^{q}+\delta g(x)|v|^{q}){\rm d}\sigma.$

由条件(A)可知, 泛函$I_{\lambda, \delta}\in C^{1}(X, {{\Bbb R}} )$且对任意$(\varphi_{1}, \varphi_{2})\in X,$有

易知, 泛函$I_{\lambda, \delta}$在$X$中的临界点即为问题(1.1)的弱解.由于$I_{\lambda, \delta}$在$X$中不是下有界的, 我们考虑Nehari流形

于是, $(u, v)\in{\cal N}_{\lambda, \delta}$当且仅当

注意到Nehari流形${\cal N}_{\lambda, \delta}$包含问题(1.1)全部的非平凡解.

显然, 若$(u, v)\in {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 则有

对$s>0$, 定义纤维映射

则有

且

易见$(u, v)\in {\cal N}_{\lambda, \delta}$当且仅当$\phi'_{u, v}(1) = 0$.更一般地, $(su, sv)\in {\cal N}_{\lambda, \delta}$当且仅当$\phi'_{u, v}(s) = 0$, 即${\cal N}_{\lambda, \delta}$中的元素相应于纤维映射的稳定点.于是, 对任意$(u, v)\in {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 有

因此, 根据局部极小值, 局部极大值和拐点的定义, 我们可以把Nehari流形${\cal N}_{\lambda, \delta}$分为三部分, 即

下面, 我们给出几个重要的引理.

引理2.1^{[4, 引理2.10]}   若$(u_{0}, v_{0})\in {\cal N}_{\lambda, \delta}$满足${I_{\lambda , \delta }}({u_0}, {v_0}) = \mathop {\min }\limits_{(u, v) \in {N_{\lambda , \delta }}} {I_{\lambda , \delta }}(u, v)$且$(u_{0}, v_{0})\not\in {\cal N}^{0}_{\lambda, \delta}$, 则$(u_{0}, v_{0})$是问题(1.1)的一个非平凡解.

引理2.2   泛函$I_{\lambda, \delta}$在${\cal N}_{\lambda, \delta}$上凸且下有界.

证   由迹嵌入$W_{a}^{1, p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q}(\partial \Omega)$的紧性^[18]可得

其中$S_{0}>0$且$M_{0} = \max\{\|f\|_{\infty}, \|g\|_{\infty}\}$.

于是, 对任意$(u, v)\in {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 有

结合$1<q<p<\alpha+\beta,$易得$I_{\lambda, \delta}$在${\cal N}_{\lambda, \delta}$上凸且下有界.

引理2.3   存在$\Lambda_{1}>0$使得若$\lambda+\delta\in(0, \Lambda_{1})$, ${\cal N}^{0}_{\lambda, \delta} = \emptyset$.

证   令

其中$C_{R}>0$由下文给出.

采用反证法.假设结论不成立, 即存在$\lambda+\delta\in(0, \Lambda_{1})$使得${\cal N}^{0}_{\lambda, \delta}\neq\emptyset$.则对任意$(u, v)\in{\cal N}^{0}_{\lambda, \delta}$, 利用(2.1)和(2.3)式, 有

于是

另一方面, 令$R>0$使得$\Omega\subset B_{R}(0)$, 其中$B_{R}(0) = \{x\in{{\Bbb R}} ^{N}|\; |x|<R\}$.

由(1.4)式, Young不等式和H$\ddot{\rm o}$lder不等式, 可得

其中$C_{R}>0.$

于是, 对任意$(u, v)\in {\cal N}^{0}_{\lambda, \delta}$, 由(2.2)和(2.4)式知

从而, 有

因此, 得到

矛盾.故存在常数$\Lambda_{1}>0$使得对任意$\lambda+\delta\in (0, \Lambda_{1})$, ${\cal N}^{0}_{\lambda, \delta} = \emptyset$.证毕.

由引理2.2和引理2.3, 当$\lambda+\delta\in (0, \Lambda_{1})$时, 有${\cal N}_{\lambda, \delta} = {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}\cup {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$, 故可定义

于是, 得到如下结果.

引理2.4   若$\lambda+\delta\in(0, \frac{q}{p}\Lambda_{1})$, 有

(ⅰ) $c_{\lambda, \delta} = c^{+}_{\lambda, \delta}<0$;

(ⅱ)存在常数$d_{0}>0$, $c^{-}_{\lambda, \delta}\geq d_{0}$.

证  (ⅰ)对任意$(u, v)\in{\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}\subset {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 有

于是, 得到

因此, ${c_{\lambda ,\delta }} = c_{\lambda ,\delta }^ + = \mathop {\inf }\limits_{(u,v) \in N_{\lambda ,\delta }^ + } {I_{\lambda ,\delta }}(u,v) < 0$.

(ⅱ)对任意$(u, v)\in{\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}\subset {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 由(2.2)式, (2.4)式和${\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$的定义, 可得

这就意味着

由(2.3)和(2.5)式, 得到

若

则存在常数$d_{0}>0$使得对任意$(u, v)\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$, $I_{\lambda, \delta}(u, v)\geq d_{0}>0$.证毕.

为更好地理解Nehari流形和纤维映射, 我们考虑函数$\eta_{u, v}: {{\Bbb R}} ^{+}\rightarrow {{\Bbb R}}$定义如下

则有

若$K_{\lambda, \delta}(u, v)>0$, 有$\mathop {\lim }\limits_{s \to {0^ + }} {\eta _{u, v}}(s) = - \infty$, $\mathop {\lim }\limits_{s \to + \infty } {\eta _{u, v}}(s) = 0$, 且$\eta_{u, v}(s)$在

处达到最大值.

并且, 通过直接的计算, 可得

从而得到如下结果.

引理2.5   当$0<\lambda+\delta<\Lambda_{1}$时, 对任意$(u, v)\in X$且$K_{\lambda, \delta}(u, v)>0$, 则若$\int_{\Omega}\frac{|u|^{\alpha}|v|^{\beta}}{|x|^{t}}{\rm d}x>0,$存在唯一的$0<s_{1}^{+}<s_{0}<s_{1}^{-}$使得$(s_{1}^{+}u, s_{1}^{+}v)\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$, $(s_{1}^{-}u, s_{1}^{-}v)\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta},$$\phi_{u, v}$在$(0, s_{1}^{+})$上单调递减, 在$(s_{1}^{+}, s_{1}^{-})$上单调递增, 在$(s_{1}^{-}, +\infty)$上单调递减.并且

证   证明与文献[4]中的引理2.5类似, 故略去细节.

考虑函数$\psi_{u, v}: {{\Bbb R}} ^{+}\rightarrow {{\Bbb R}}$定义如下

则有

显然, 若$\int_{\Omega}\frac{|u|^{\alpha}|v|^{\beta}}{|x|^{t}}{\rm d}x>0,$有$\mathop {\lim }\limits_{s \to {0^ + }} {\psi _{u, v}}(s) = 0$, $\mathop {\lim }\limits_{s \to + \infty } {\psi _{u, v}}(s) = - \infty$, 且$\psi_{u, v}(s)$在

处达到最大值.并且, 有

于是, 得到如下结果.

引理2.6   当$0<\lambda+\delta<\Lambda_{1}$时, 对任意$(u, v)\in X$且$\int_{\Omega}\frac{|u|^{\alpha}|v|^{\beta}}{|x|^{t}}{\rm d}x>0$, 有

(ⅰ)若$K_{\lambda, \delta}(u, v)\leq0$, 则存在唯一的$s_{2}^{-}>\overline{s}_{0}$使得$(s_{2}^{-}u, s_{2}^{-}v)\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$, $\phi_{u, v}$在$(0, s_{2}^{-})$上单调递增, 在$(s_{2}^{-}, +\infty)$上单调递减.并且

(ⅱ)若$K_{\lambda, \delta}(u, v)>0$, 则存在唯一的$0<s_{2}^{+}<\overline{s}_{0}<s_{2}^{-}$使得$(s_{2}^{+}u, s_{2}^{+}v)\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$, $(s_{2}^{-}u, s_{2}^{-}v)\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$, $\phi_{u, v}$在$(0, s_{2}^{+})$上单调递减, 在$(s_{2}^{+}, s_{2}^{-})$上单调递增, 在$(s_{2}^{-}, +\infty)$上单调递减.并且

首先, 我们证明${\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$上正解的存在性.

引理3.1   当$0<\lambda+\delta<\Lambda_{1}$时, $I_{\lambda, \delta}$存在极小元$(u^{1}, v^{1})\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$且满足

(ⅰ) $I_{\lambda, \delta}(u^{1}, v^{1}) = c_{\lambda, \delta}^{+}$;

(ⅱ) $(u^{1}, v^{1})$是问题(1.1)的一个正的弱解.

证   由于$I_{\lambda, \delta}$在${\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$上下有界, 则存在极小化序列$\{(u_{n}, v_{n})\}\subset {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$满足

又由于$I_{\lambda, \delta}$是凸的, 易知$\{(u_{n}, v_{n})\}$在$X$中有界.从而存在子序列(仍记为$\{(u_{n}, v_{n})\}$)和$(u^{1}, v^{1})\in X$使得当$n\rightarrow\infty$时, 有

这就意味着

并且, 由(2.4)式和紧嵌入$W_{a}^{1, p}(\Omega)\hookrightarrow L^{q}(\partial\Omega)$可得

通过直接的计算, 对$(u_{n}, v_{n})\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}\subset {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 有

由(3.1)和(3.3)式易知$K_{\lambda, \delta}(u^{1}, v^{1})>0$.

下面, 证明$(u_{n}, v_{n})\rightarrow (u^{1}, v^{1})$于$X$.假设结论不成立, 则有

考虑函数

易证$\eta_{u^{1}, v^{1}}(s)$在

处达到最大值.

于是, 由引理2.5知, 存在唯一的$s_{1}^{+}<s_{0}(u^{1}, v^{1})$使得$(s_{1}^{+}u^{1}, s_{1}^{+}v^{1})\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$, 且

令

于是, 有$\phi'_{u, v}(s) = s^{\alpha+\beta-1}\zeta_{u, v}(s).$

由于$(s_{1}^{+}u^{1}, s_{1}^{+}v^{1})\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}\subset {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 得到

另一方面, 考虑函数

于是, 由(3.2)–(3.6)式知当$n$充分大时, 有

由于$(u_{n}, v_{n})\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}\subset {\cal N}_{\lambda, \delta}$, 则有$s_{0}(u_{n}, v_{n})>1$且$s_{0}(u^{1}, v^{1})>1$.同时, 易得$\zeta_{u_{n}, v_{n}}(1) = 0$且$\zeta_{u_{n}, v_{n}}(s)$在$(0, s_{0}(u_{n}, v_{n}))$上单调递增, 这就意味着对任意$s\in (0, 1]$且$n$充分大, $\zeta_{u_{n}, v_{n}}(s)\leq0$.于是由(3.7)式知$1<s_{1}^{+}< s_{0}(u^{1}, v^{1}).$

因此

矛盾.于是

从而, 有

令$(\overline{u}_{n}, \overline{v}_{n}) = (u_{n}, v_{n})-(u^{1}, v^{1})$.利用Brezis-Lieb引理^{[2, 19]}, 得到

因此, $(u_{n}, v_{n})\rightarrow (u^{1}, v^{1})$于$X$.又由于$I_{\lambda, \delta}(u^{1}, v^{1}) = I_{\lambda, \delta}(|u^{1}|, |v^{1}|)$且$(|u^{1}|, |v^{1}|)\in {\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}$, 结合引理2.1, 易得$(u^{1}, v^{1})$是问题(1.1)的一个正解.证毕.

接下来, 我们证明${\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$上正解的存在性.

引理3.2   当$0<\lambda+\delta<\frac{q}{p}\Lambda_{1}$时, $I_{\lambda, \delta}$存在极小元$(u^{2}, v^{2})\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$且满足

(ⅰ) $I_{\lambda, \delta}(u^{2}, v^{2}) = c_{\lambda, \delta}^{-}$;

(ⅱ) $(u^{2}, v^{2})$是问题(1.1)的一个正的弱解.

证   由$I_{\lambda, \delta}$在${\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$上的有界性可知, 存在极小化序列$\{(u_{n}, v_{n})\}\subset {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$满足

利用引理3.1类似的证明方法, 存在子序列(仍记为$\{(u_{n}, v_{n})\}$)和$(u^{2}, v^{2})\in X$使得当$n\rightarrow\infty$时, $(u_{n}, v_{n})\rightharpoonup (u^{2}, v^{2})$.

显然, 当$(u^{2}, v^{2})\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}\subset {\cal N}_{\lambda, \delta}$时, 有

利用引理2.4(ⅱ), 得到$\int_{\Omega} \frac{|u_{n}|^{\alpha}|v_{n}|^{\beta}}{|x|^{t}}{\rm d}x>0$, 从而有

现在, 我们证明$(u_{n}, v_{n})\rightarrow (u^{2}, v^{2})$于$X$.采用反证法.假设结论不成立, 则有

利用(3.9)式和引理2.6, 存在唯一的$s_{2}^{-}>0$使得$(s_{2}^{-}u^{2}, s_{2}^{-}v^{2})\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$.另一方面, 由引理2.6知当$(u_{n}, v_{n})\in {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$时, 存在$s_{2}^{-}>0$满足

通过简单的变换可知对任意$s>0$, 有

于是, 利用(3.8), (3.10)和(3.11)式, 得到

矛盾.于是, 有

从而, 可得

利用引理3.1类似的证明方法, 易得$(u^{2}, v^{2})$是问题(1.1)在${\cal N}^{-}_{\lambda, \delta}$上的一个正的弱解.

现在, 我们给出定理1.1的证明.

定理1.1的证明   由于${\cal N}^{+}_{\lambda, \delta}\cap {\cal N}^{-}_{\lambda, \delta} = \emptyset,$结合引理3.1和3.2, 易知当$\lambda+\delta\in(0, \frac{q}{p}\Lambda_{1})$时, 问题(1.1)至少存在两个正解.

最后, 给出临界情形下, 问题(1.1)解的存在性结果.

注3.1   利用山路引理, 易知如下拟线性椭圆型方程组

至少存在一个正解, 其中$1<p<q<p^{*}$且$\alpha>1$, $\beta>1$满足$\alpha+\beta = p^{*}$.