本文考虑

(1.1) $\begin{equation}\label{eq considered} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-\Delta u+\frac{\mu_1}{(1+t)^{\alpha}}u_t+\frac{\mu_2}{(1+t)^{2\beta}}u=|u|^p, &(t, x)\in(0, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\[2mm]u(0, x)=u_0(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N , \\u_t(0, x)=u_1(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N, \end{array} \right. \end{equation}$

其中$N\geq1, ~0<\alpha<1, ~0<\beta<1$, $\mu_1, ~\mu_2 \in R, \ p>1$.

如果$\mu_1=\mu_2=0$, 则方程(1.1)化为

(1.2) $\begin{equation} \left\{\begin{array}{ll}u_{tt}-\Delta u=|u|^p, &(t, x)\in (0, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\u(0, x)=u_0(x), \quad& x\in\mathbb{R} ^N, \\u_t(0, x)=u_1(x), \quad& x\in\mathbb{R} ^N.\end{array} \right. \end{equation}$

关于问题(1.2)的整体解的存在性与否的研究称为Strauss猜想, 这是1980年以来半线性波动方程理论中的关键问题之一.我们知道, 若$1 < p \leq p_{St} (N)$, 则解在有限时间内爆破; 而当$p>p_{St} (N)$时, 则整体解存在^{[6, 10, 15-16, 24]}, 其中$p_{St}(N)$为Strauss指数, 即如下一元二次方程的正根

(1.3) $\begin{eqnarray} (N-1)p^2-(N+1)p-2=0, \quad N\geq2, \end{eqnarray}$

当$N=1$时, $p_{St} (1)=\infty$.

如果没有质量项, 则方程(1.1)化为阻尼型的波动方程.从物理学角度来看, 该模型可以表示输电线路上电压和电流随距离和时间的变化, 如电报方程, 阻尼与速度成正比的弹性振动和有限传播速度下的热传导.再如半导体, 其材料的电阻与温度有关, 如果温度随时间变化, 则阻尼项具有依赖时间的系数, 可以参考D'Abbicco^[4]和Wirth^[22]. Todorova-Yordanov^[17]研究了阻尼项系数与时间无关的半线性波动方程

(1.4) $\begin{equation}\label{Ik} \left\{\begin{array}{ll}u_{tt}-\Delta u+u_t=|u|^p, &(t, x)\in (0, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\u(0, x)=u_0(x), \quad& x\in\mathbb{R} ^N , \\u_t(0, x)=u_1(x), \quad& x\in\mathbb{R} ^N.\end{array} \right. \end{equation}$

他们确定了临界指数是$p_{F} (N) = 1 + \frac2N$, 并在空间$C([0, \infty), H^1)\cap C^1 ([0, \infty), L^2)$中研究了局部解的适定性, 爆破和小初值解的整体存在性, 其中$p_{F}(N)$称为Fujita指数^[5].需要指出的是, 在$N=1, ~2$时, Li-Zhou^[9]也研究了相关问题; Zhang^[25]用试验函数方法, 证明了临界指数$p_F(N)$也属于爆破范畴.

Lin-Nishihara-Zhai^[11]和Nishihara^[13]对阻尼项系数与时间相关的半线性波动方程

(1.5) $\begin{equation}\label{Ni} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-\Delta u+\frac{\mu_1}{(1+t)^{\alpha}}u_t=|u|^p, \ &(t, x)\in(0, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\[2mm]u(0, x)=u_0(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N, \\u_t(0, x)=u_1(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N, \end{array} \right. \end{equation}$

研究了"有效的"阻尼(即$-1\leq\alpha<1$)情形下的临界指数问题.

在文献[19-21]中, Wirth系统地研究了参数$\alpha$对方程(1.5)解的影响.当$-1\leq\alpha<1$时，阻尼项称为"有效的"(effective), 这是因为解的行为类似于相应的热方程; 当$\alpha>1$时，阻尼项称为"无效的"(non-effective), 这意味着解的行为与相应的波动方程类似; 当$\alpha<-1$时, 阻尼项在文献[7]中称为"过度阻尼"(over-effective), 此时$(1+t)^{\alpha}\in L^1$.需要指出的是, 若$\alpha=1$, 则方程(1.5)在如下的变换下保持不变

$\tilde u (t, x) = u( \lambda(1+t)-1, \lambda x)~(\lambda>0). $

在这种情形下, Wakasugi^[18]研究了方程(1.5)的临界指数问题, 并指出解的渐近行为与系数$\mu_1$的大小有着密切关系.

如果没有阻尼项, 则方程(1.1)化为Klein-Gordon方程, 文献[2, 23]对它进行了研究.方程(1.1)是阻尼型波动方程和Kelin-Gordon方程的组合.如果$\alpha=\beta=1$, 则方程(1.1)化为具有尺度不变的阻尼项和质量项系数的半线性波动方程

(1.6) $\begin{equation}\label{pa} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-\Delta u+\frac{\mu_1}{1+t}u_t+\frac{\mu_2}{(1+t)^2}u=|u|^p, \ &(t, x)\in (0, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\[2mm]u(0, x)=u_0(x), \quad& x\in\mathbb{R} ^N , \\u_t(0, x)=u_1(x), \quad& x\in\mathbb{R} ^N.\end{array} \right. \end{equation}$

Palmieri^[14]采用权函数$e^{2\psi (t, x)}$, 其中$\psi(t, x)=\frac{\mu_1 | x |^2}{2(1 + t)^2}$, 在指数加权空间中, 对(1.6)式的临界指数问题进行了研究.

本文意在研究方程(1.1)在$N\geq1$和$p>1$, $0<\alpha <1, ~0<\beta<1$情况下临界指数问题.我们发现:当$1<p\leq p_F(\alpha, N)=1+\frac{2(1+\alpha)}{N(1+\alpha)-2\alpha}$时, 方程(1.1)的解$u$在有限时间内爆破; 当$N\geq3$, $p_F(N)<p\leq\frac {N}{N-2}$时和当$N=1, ~2$, $ p_F(N)<p<\infty$时, 方程(1.1)存在整体解.目前，我们尚未发现该问题的相关研究.我们的困难在于:由于方程(1.1)不能化为阻尼型的波动方程或质量型的波动方程, 致使无法使用文献[17]中的特殊函数来求解.但Nishihara^[12]给了我们启发, 我们可以使用加权函数空间来研究该问题.实际上, 如果$0<\alpha <1, ~0 <\beta<1$, 抛物方程

(1.7) $\begin{equation}\label{1.77} \left\{\begin{array}{ll} u_t-\frac{1}{b(t)}\Delta u=0, \quad&(t, x)\in(0, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\u(0, x)=u_0(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N, \end{array}\right. \end{equation}$

其中$b(t)=(1+t)^{-\alpha}$, 其解$u(t, x)$为

$u(t, x)=\int_{\mathbb{R} ^N}G_{A}(t, x-y)u_0(y){\rm d}y, $

其中

$G_A(t, x)=\left(4\pi A(t)\right)^{-\frac{N}{2}}e^{-\frac{|x|^2}{4A(t)}}, \quad A(t)=\int_0^t\frac{1}{b(s)}{\rm d}s. $

因此我们可以用权函数$\psi(t, x)=e^{\frac{|x|^2}{4(1+t)^{1+\alpha}}}$去处理柯西问题(1.1).

本文的内容安排如下:在第2节, 我们将介绍本文的主要结果:局部解-定理2.1, 整体解-定理2.2和爆破结果-定理2.3.在第3节, 基于一些先验能量估计, 将采用Banach不动点证明局部解的适定性(定理2.1).在第4节, 基于一个非线性的能量不等式, 利用反证法证明小初值的解是整体存在的(定理2.2).爆破结果-定理2.3将在第5节中采用试验函数方法证明.试验函数方法最初是由Zhang^[25]提出的, 现已成为研究爆破问题的基本方法之一.应当指出的是, 本文只能对一些特殊的参数$\alpha, ~\beta, ~\mu_1$和$\mu_2$来应用试验函数方法, 一般情况下是否适用, 我们目前还未知.

本文中$f\lesssim g$, 意味着存在一个常数$C>0$, 使得$f\leq Cg$.本文使用的函数空间皆定义于整个空间$\mathbb{R} ^N$上, 我们一般不再强调这个事实.

选择权函数$\psi$

(2.1) $\begin{equation}\label{psi}\psi(t, x)=\frac{a|x|^2}{(1+t)^{1+\alpha}}, \end{equation}$

其中

(2.2) $\begin{equation}\label{2.7}a=\frac{(1+\alpha)\mu_1}{4(2+\delta)}, \quad \mbox{其中} \delta>0 \mbox{是小常数}.\end{equation}$

记

(2.3) $\begin{equation}b(t)=\frac{\mu_1}{(1+t)^\alpha}~(\mu_1>0), ~~m(t)=\frac{\mu_2}{(1+t)^{2\beta}}\end{equation}$

为阻尼项和质量项的系数.

定义带权$e^{\sigma\psi(t, \cdot)} (\sigma>0)$的$L^2$空间和Sobolev空间$H^1$如下

(2.4) $\begin{equation}\begin{array}{ll}&L^2_{\sigma\psi(t, \cdot)}=\{f\in L^2: \| e^{\sigma\psi(t, \cdot)}f\|_{L^2}<\infty\}, \\&H^1_{\sigma\psi(t, \cdot)}=\{f\in H^1: \| e^{\sigma\psi(t, \cdot)}f\|_{L^2}+\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla f\|_{L^2}<\infty\}, \end{array}\end{equation}$

其范数为

(2.5) $\begin{equation}\label{d1}\begin{array}{ll}&\|f\|_{L^2_{\sigma\psi(t, \cdot)}}=\| e^{\sigma\psi(t, \cdot)}f\|_{L^2}, \\&\|f\|_{H^1_{\sigma\psi(t, \cdot)}}=\| e^{\sigma\psi(t, \cdot)}f\|_{L^2}+\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla f\|_{L^2}.\end{array}\end{equation}$

令

(2.6) $\begin{equation}\label{D}{\cal D}=H^1_{\psi(0, \cdot)}\otimes L^2_{\psi(0, \cdot)}=H^1_{a|x|^2}\otimes L^2_{a|x|^2}.\end{equation}$

对于任意的$\sigma>0$和$t>0$, 成立

(2.7) $\begin{eqnarray}L^2_{\sigma\psi(t, \cdot)}\hookrightarrow L^1\cap L^2.\end{eqnarray}$

事实上, 利用Cauchy-Schwartz不等式并注意到$\psi>0$, 我们有

(2.8) $\begin{equation}\begin{array}{ll}&\|f\|_{L^1}\lesssim (1+t)^{\frac{N(1+\alpha)}{2}}\|f\|_{L^2_{\sigma\psi(t, \cdot)}}, \\&\|f\|_{L^2}\lesssim \|f\|_{L^2_{\sigma\psi(t, \cdot)}}.\end{array}\end{equation}$

另外容易验证

(2.9) $\begin{equation}L^2_{\sigma\psi(t, \cdot)}\hookrightarrow L^r , \end{equation}$

其中$ r\in [1, 2]$.

下面先给出局部解存在的结果, 它是本文采用反证法得到小初值的整体解的前提.

定理 2.1 (局部解)  假设$0<\alpha<1, ~0<\beta<1, ~\mu_1>0, ~\mu_2\geq0$, 且

(2.10) $ \begin{eqnarray} 1<p\leq\frac{N}{N-2}, ~N\geq3;~1<p<\infty, ~N=1, ~2. \end{eqnarray}$

则对每个初值$(u_0, u_1)\in{\cal D}$ (见(2.6)式), 存在一个最大存在时间$T^*\in(0, \infty]$, 使得柯西问题(1.1)有唯一解$u\in C\left([0, T^*), H^1(\mathbb{R} ^N)\right)\cap C^1\left([0, T^*), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$, 且对任意的$T\in(0, T^*)$, 满足

(2.11) $\begin{equation}\sup\limits_{t\in [0, T]}\left(\|u(t, \cdot)\|_{H^1_{\psi(t, \cdot)}}+\|u_t(t, \cdot)\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}}\right)<\infty, \end{equation}$

其中$\|\cdot\|_{H^1_{\psi(t, \cdot)}}$和$\|\cdot\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}}$的定义见(2.5).进一步, 若$T^*<\infty$, 则

(2.12) $\begin{equation}\label{T}\limsup\limits_{T\rightarrow T^*t\in [0, T]} \left( \|u(t, \cdot)\|_{H^1_{\psi(t, \cdot)}}+\|u_t(t, \cdot)\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}} \right)=\infty.\end{equation}$

现在给出整体解的结果, 由前文知Fujita指数$ p_F (N) = 1 + \frac2N. $对于方程(1.1), 我们定义初始能量

(2.13) $\begin{equation}\label{ie} I_0^2=\int_{\mathbb{R}^N}e^{2\psi(0, x)}\left(|u_1(x)|^2+|\nabla u_0(x)|^2+|u_0(x)|^2\right){\rm d}x. \end{equation}$

定理 2.2(整体解)  假设$0<\alpha<1, ~0<\beta<1, ~\mu_1>0, ~\mu_2\geq0$, 且

(2.14) $ \begin{equation}p_F(N)<p\leq\frac{N}{N-2}, ~N\geq3;~p_F(N)<p<\infty, ~N=1, ~2.\end{equation}$

如果存在一个常数$\delta >0$, 对任意的初值$(u_0, u_1)\in{\cal D}$(见(2.6)式)满足

$I_0^2<\epsilon(\delta)=\frac{3\delta(1+\alpha)N}{2(2+\delta)}, $

则方程(1.1)有唯一解$u\in X_{\infty}=C\left([0, \infty), H^1(\mathbb{R} ^N)\right)\cap C^1\left([0, \infty), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$, 且

(2.15) $\begin{equation}\|u(t, \cdot)\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}}\leq C(1+t)^{-\frac{(1+\alpha)N}{4}+\frac{\epsilon}{2}}, \label{2.14}\end{equation}$

(2.16) $\begin{equation}\|\left( u_t(t, \cdot), \nabla u(t, \cdot) \right)\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}}\leq C(1+t)^{-\frac{(1+\alpha)(N+2)}{4}+\frac{\epsilon}{2}}, \label{2.15}\end{equation}$

其中$C=C(\alpha, \beta, \mu_1, \mu_2, \delta, p, N)$.

记

(2.17) $\begin{equation}p_F(\alpha, N)=1+\frac{2(1+\alpha)}{N(1+\alpha)-2\alpha}.\end{equation}$

我们将证明, 当$1< p \leq p_F(\alpha, N)$时, 对于特定参数$\alpha, ~\beta~\mu_1, ~\mu_2$和满足一定积分符号条件且具有紧支集的初值, 方程(1.1)相应的解必在有限时间内爆破.

定理 2.3 (爆破)  对于方程(1.1), 假设

(2.18) $\begin{equation}\label{3.2} \left\{\begin{array}{ll}\big(u_0(x), u_1(x)\big)\in H^1(\mathbb{R} ^N)\times L^2(\mathbb{R} ^N)\mbox{ 具有紧支集 }, \\\int_{\mathbb{R} ^N}\big( \mu_1u_0(x)+u_1(x)\big) {\rm d}x>0, \end{array} \right. \end{equation}$

其中$0<\alpha<1, ~2\beta=\alpha+1$, $\mu_1>0, ~\mu_2=-\mu_1\alpha$.如果$1<p\leq p_F(\alpha, N)$, 则方程(1.1)不存在解$u\in C\left([0, \infty), H^1(\mathbb{R} ^N)\right)\cap C^1\left([0, \infty), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$.若对方程(1.1)赋予初值

(2.19) $\begin{eqnarray}u(0, x)=\varepsilon u_0(x), \quad u_t(0, x)=\varepsilon u_1(x), \end{eqnarray}$

其中$u_0(x)$和$u_1(x)$满足条件(2.18), 则存在一个常数$C=C\left(\alpha, \mu_1, u_0(x), u_1(x), N, p\right)$, 使得对于任何次临界指数$p$, 方程(1.1)的解的最大存在时间$T^*$满足

(2.20) $\begin{eqnarray}T^*\leq C\varepsilon^{-\frac{1}{\frac{1}{p-1}(1+\alpha)-\frac{N}{2}(1+\alpha)+\alpha}}.\end{eqnarray}$

问题

(3.1) $\begin{equation}\label{3.3} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-\Delta u+\frac{\mu_1}{(1+t)^{\alpha}}u_t+\frac{\mu_2}{(1+t)^{2\beta}}u=0, \ &(t, x)\in (s, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\[2mm]u(s, x)=u_0(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N , \\u_s(s, x)=u_1(x), \quad& x\in\mathbb{R} ^N\end{array} \right. \end{equation}$

的解为

$u(t, x)=E_{0}(t, s, x)\ast_{(x)}u_{0}(x)+E_{1}(t, s, x)\ast_{(x)}u_{1}(x), $

其中$E_0(t, s, x)$和$E_1(t, s, x)$分别是初值$(u_0, u_1)=(\delta_0, 0)$和$(0, \delta_0)$时的基本解, $\delta_0$是变量$x$的Dirac分布, $\ast_{(x)}$是对变量$x$的卷积.由Duhamel原理, 方程(1.1)在$(0, T)\times\mathbb{R} ^N$上的解就是算子$R$的不动点, 其中$R$定义为

(3.2) $\begin{eqnarray}u\in Y(t)\rightarrow Ru(t, x)&=&E_{0}(t, 0, x)\ast_{(x)}u_{0}(x)+E_{1}(t, 0, x)\ast_{(x)}u_{1}(x)\\&&+\int_0^t E_1(t-s, 0, x)\ast_{(x)}|u(s, x)|^p{\rm d}s, \end{eqnarray}$

这里$ Y(t)=C\left([0, t], H^1_{\psi(t, .)}\right)\cap C^1\left([0, t], L^2_{\psi(t, .)}\right). $

对于$\psi$(见(2.1)式), 容易验证

(3.3) $\begin{equation}\psi_t=-(1+\alpha)\frac{a|x|^2}{(1+t)^{2+\alpha}}=-\frac{1+\alpha}{1+t}\psi, \end{equation}$

(3.4) $\begin{equation}\nabla \psi=\frac{2ax}{(1+t)^{1+\alpha}}, ~\triangle\psi=\frac{2aN}{(1+t)^{1+\alpha}}, \label{2.6}\end{equation}$

(3.5) $\begin{equation}\frac{|\nabla\psi|^2}{-\psi_t}=\frac{b(t)}{2+\delta}, \label{2.8}\end{equation}$

(3.6) $\begin{equation}\triangle\psi=\frac{(1+\alpha)N}{2(2+\delta)}\frac{b(t)}{1+t}=\left(\frac{(1+\alpha)N}{4}-\delta_1\right)\frac{b(t)}{t+1}, \label{2.9}\end{equation}$

其中当$\delta\rightarrow0$时, $\delta_1=\frac{\delta(1+\alpha)N}{2(2+\delta)}\rightarrow0$.

在证明定理2.1时, 我们将利用下面的一些引理, 虽然它们只是对文献[8, 17]中相应结果的修改, 但为了方便起见, 我们也给出它们的证明.

引理 3.1  对$\sigma>0$和$v\in H^1_{\sigma \psi(t, \cdot)}$, 成立

(3.7) $\begin{eqnarray}(1+t)^{-(1+\alpha)}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}v\|^2_{L^2}+\|\nabla(e^{\sigma\psi(t, \cdot)}v)\|^2_{L^2}\lesssim\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|^2_{L^2} , \quad\forall ~t \geq0, \end{eqnarray}$

其中$\psi(t, x)$为权函数(见(2.1)式).

证  令$f=e^{\sigma\psi}v$, 则

(3.8) $ \begin{eqnarray} \nabla v=\nabla(e^{-\sigma\psi}f)=-\sigma e^{-\sigma\psi}f\nabla\psi+e^{-\sigma\psi}\nabla f.\end{eqnarray}$

故$e^{\sigma\psi}\nabla v=\nabla f-\sigma f\nabla \psi$且

(3.9) $\begin{eqnarray}\label{4.11}\|e^{\sigma\psi}\nabla v\|^2_{L^2}&=&(\nabla f-\sigma f\nabla \psi, \nabla f-\sigma f\nabla \psi)\\&=&\|\nabla f||^2_{L_2}+\sigma^2\|f\nabla \psi\|^2_{L_2}-2\sigma(\nabla f, f\nabla\psi).\end{eqnarray}$

分部积分得

(3.10) $\begin{eqnarray}(\nabla f, f\nabla\psi)=\int_{\mathbb{R} ^N}(\nabla f)f\nabla\psi {\rm d}x=-\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R} ^N}f^2\triangle\psi {\rm d}x.\end{eqnarray}$

由(3.4)和(3.9)式得

(3.11) $ \begin{eqnarray} \|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|^2_{L^2}\gtrsim(1+t)^{-(1+\alpha)}\|f\|^2_{L^2}+\|\nabla f\|^2_{L^2}.\end{eqnarray}$

引理3.1证毕.

引理 3.2  对$\theta(q)=N(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})\in[0, 1], ~\sigma\in(0, 1]$和$v\in H^1_{\psi(t, \cdot)}$, 成立

(3.12) $\begin{eqnarray}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}v\|_{L^q}\lesssim(1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(q))}\|\nabla v\|^{1-\sigma}_{L^2}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|^{\sigma}_{L^2}, \quad\forall~t \geq0.\end{eqnarray}$

证  令$f=e^{\sigma\psi}v$.利用经典的Gagliardo-Nirenberg插值不等式(见文献[1]), 我们得到

(3.13) $\begin{eqnarray}\label{3.12}\|f\|_{L_q}\lesssim\|f\|_{L^2}^{1-\theta(q)}\|\nabla f\|_{L^2}^{\theta(q)}, \end{eqnarray}$

其中$\theta(q)=N(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})$.由引理3.1, 有

(3.14) $\begin{eqnarray}\label{3.13}\|f\|_{L^2}\lesssim(1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|_{L^2}, \quad\|\nabla f\|_{L^2}\lesssim\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|_{L^2}.\end{eqnarray}$

因此

(3.15) $\begin{eqnarray}\label{3.14}\|f\|_{L_q}&\lesssim&(1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(q))}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|^{1-\theta(q)}_{L^2}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|^{\theta(q)}{_{L^2}}\\& \lesssim&(1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(q))}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|_{L^2}\\&\lesssim&(1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(q)}\|\nabla v\|^{1-\sigma}_{L^2}\|e^{\sigma\psi(t, \cdot)}\nabla v\|^{\sigma}_{L^2}.\end{eqnarray}$

引理3.2证毕.

下面的引理是Gronwall不等式的非线性形式, 可参考文献[3].

引理 3.3  设$k(s)$是非负连续函数, $M$是正实数, $g(s)$是非负连续增函数, 有

(3.16) $\begin{equation}G(u)=\int^u_0\frac{1}{g(s)}{\rm d}s.\end{equation}$

若$y(t)$为连续函数使得

(3.17) $\begin{equation}y(t)\leq M+\int^t_0k(s)g(y(s)){\rm d}s, ~~\forall~t\geq0, \end{equation}$

则

(3.18) $\begin{equation}G(y(t))\leq G(M)+\int^t_0k(s){\rm d}s, ~~\forall~t\geq0.\end{equation}$

令

(3.19) $\begin{equation}E(T)=\left\{u\in C\left([0, T], H^1\right)\cap C^1\left([0, T], L^2\right):~~\|u\|^{\psi}_{T}< \infty \right\}, \end{equation}$

其中

(3.20) $\begin{equation}\|u\|^{\psi}_{T}=\sup\limits_{t\in[0, T]}\left(\|u(t, \cdot)\|_{H^1_{\psi(t, \cdot)}}+\|u_t(t, \cdot)\|_{L^1_{\psi(t, \cdot)}}\right).\end{equation}$

容易验证$\left(E(T), \|\cdot\|^{\psi}_{T}\right) $是一个Banach空间.

现在, 我们证明定理2.1.

定理 2.1 的证明  对$T, ~R>0$, 记

(3.21) $\begin{eqnarray} A^\psi_{T, ~R}=\left\{v\in C\left([0, T], H^1\right)\cap C^1\left([0, T], L^2\right): ~\|v\|^{\psi}_{T}\leq R\right\}. \end{eqnarray}$

定义映射

$\theta:A^\psi_{T, ~R}\rightarrow C\left([0, T], H^1\right)\cap C^1\left([0, T], ~L^2\right), \\v\mapsto u=\theta(v), $

其中$u$是下列柯西问题的唯一解

(3.22) $\begin{equation}\label{5.1} \left\{\begin{array}{ll}u_{tt}-\Delta u+b(t)u_t+m(t)u=|v|^p, \quad&(t, x)\in (0, T]\times\mathbb{R} ^N, \\u(0, x)=u_0(x), \quad &x\in \mathbb{R} ^N, \\u_t(0, x)=u_1(x), \quad &x\in \mathbb{R} ^N.\\\end{array} \right. \end{equation}$

首先, 我们证明$\theta(A^\psi_{T, R})\subset A^\psi_{T, R}$.在方程(3.22)两边同乘$e^{2\psi}u_t$得到

(3.23) $\begin{eqnarray}e^{2\psi}u_t\left(u_{tt}-\Delta u+b(t)u_t+m(t)u\right)=e^{2\psi}u_t|v|^p \label{5.2}.\end{eqnarray}$

把下面一些等式

$e^{2\psi}u_{tt}u_t=\frac{\partial({\frac{e^{2\psi}}{2}}u_t^2)}{\partial t}-\psi_te^{2\psi}u_t^2, $

$e^{2\psi}u_t\triangle u={\rm div}(e^{2\psi}u_t\nabla u)-2u_te^{2\psi}\nabla \psi\nabla u-\frac{\partial({\frac{e^{2\psi}}{2}}|\nabla u|^2)}{\partial t}+\psi_te^{2\psi}|\nabla u|^2, $

$2u_te^{2\psi}\nabla \psi\nabla u=\frac{e^{2\psi}}{\psi_t}\left(u_t^2|\nabla\psi|^2+\psi_t^2|\nabla u|^2-|u_t\nabla\psi-\psi_t\nabla u|^2\right), $

$e^{2\psi}u_tm(t)u=\frac{\partial({\frac{e^{2\psi}}{2}}m(t)u^2)}{\partial t}-\frac{e^{2\psi}u^2\frac{d(m(t))}{{\rm d}t}}{2}-e^{2\psi} \psi_tm(t)u^2$

代入(3.23)式, 有

(3.24) $\begin{eqnarray}\label{11}&&\frac{\partial\left[{\frac{e^{2\psi}}{2}}(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2)\right]}{\partial t}-{\rm div}(e^{2\psi}u_t\nabla u)+\frac{e^{2\psi}}{\psi_t}u^2_t\left(|\nabla\psi|^2+b(t)\psi_t\right)\\&&-\frac{e^{2\psi}}{\psi_t}|u_t\nabla\psi-\psi_t\nabla u|^2-\psi_te^{2\psi}(u_t^2+m(t)u^2)-\frac{1}{2}e^{2\psi}u^2\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t} =e^{2\psi}u_t|v|^p.\end{eqnarray}$

由于$\psi_t <0, ~\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}<0$, 注意到(3.5)式, 可知$|\nabla\psi(t, x)|^2+b(t)\psi_t(t, x) \leq 0$, 故(3.24)式可化为

(3.25) $\begin{equation}\frac{\partial\left[{\frac{e^{2\psi}}{2}}(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2)\right]}{\partial t}-{\rm div}(e^{2\psi}u_t\nabla u)\leq e^{2\psi}u_t|v|^p.\label{5.3}\end{equation}$

令

(3.26) $\begin{equation}\label{E}E_{\psi, u}(t)=\int_{\mathbb{R} ^N}\frac{e^{2\psi}}{2}(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2){\rm d}x.\end{equation}$

对$L^1$函数用弱导数意义下的散度定理, 有$\int_{\mathbb{R} ^N}{\rm div}(e^{2\psi}u t\nabla u){\rm d}x=0$.再将(3.25)式在$\mathbb{R} ^N$上积分并利用Cauchy-Schwartz不等式, 得到

(3.27) $\begin{eqnarray}\label{s4.9}E_{\psi, u}(t)&\leq &E_{\psi, u}(0)+\int_0^t\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}u_s(s, x)|v(s, x)|^p{\rm d}x{\rm d}s\\&\lesssim &E_{\psi, u}(0)+\int_0^t\left(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)|^{2p}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}} E^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(s){\rm d}s.\end{eqnarray}$

取$ g(s)=s^{\frac{1}{2}}, ~G(u)=u^{\frac{1}{2}}$, 应用引理3.3, (3.27)式可化为

(3.28) $\begin{equation}\label{s4.10}E^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(t)\lesssim E_{\psi, u}^{\frac{1}{2}}(0)+\int_0^t\left(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)|^{2p}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}} {\rm d}s.\end{equation}$

由引理3.2, 取$\sigma=\frac{1}{p}\in(0, 1)$并注意到$A^\psi_{T, R}$的定义, 知

(3.29) $\begin{eqnarray}\label{s4.11}\left(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)|^{2p}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}& \lesssim&(1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}\|\nabla v(s, .)\|^{p-1}_{L^2}\|e^{\psi(s, .)}\nabla v(s, .)\|_{L^2}\\&\lesssim& (1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}R^p, \end{eqnarray}$

因此

(3.30) $\begin{equation}\label{s4.12} E^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(t)\lesssim E^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(0)+\int_0^t(1+s)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}R^p{\rm d}s.\end{equation}$

由$E_{\psi, u}$的定义, 我们有

(3.31) $\begin{eqnarray}&&\|e^{\psi(t, \cdot)}u_t(t, \cdot)\|_{L_2}+\|e^{\psi(t, \cdot)}\nabla u(t, \cdot)\|_{L_2}\lesssimE^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(0)+T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}R^p, \\&&\|e^{\psi(t, \cdot)}u(t, \cdot)\|_{L_2} = \frac{1}{\sqrt{m(t)}}\|e^{\psi(t, \cdot)}\sqrt{m(t)}u(t, \cdot)\|_{L_2}\\&&\lesssim(1+T)^{\beta}E^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(0)+T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p+\beta}R^p, \end{eqnarray}$

因此

(3.32) $\begin{eqnarray}\|u\|^\psi_T&=&\|u(t, \cdot)\|_{H^1_{\psi(t, \cdot)}}+\|u_t(t, \cdot)\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}}\\&\lesssim&(1+T)^{\beta}E^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(0)+T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p+\beta}R^p.\end{eqnarray}$

选择足够小的$T$和足够大的$R$, 使得

(3.33) $ \begin{equation}(1+T)^{\beta}E^{\frac{1}{2}}_{\psi, u}(0)<\frac{R}{2}, \quad\quadT(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p+\beta}R^p<\frac{R}{2}, \end{equation}$

所以

(3.34) $\begin{equation} \|u\|^\psi_T<R, \end{equation}$

这意味着$\theta:A^{\psi}_{T, R}\rightarrow A^{\psi}_{T, R} $.

其次, 我们证明:当$T>0$充分小时, $\theta$是一个压缩映射.为此, 对$v, ~\overline{v}\in A^{\psi}_{T, R}$, 记$u=\theta(v), ~\overline{u}=\theta(\overline{v})$.则~$\omega=u-\overline{u}$满足

(3.35) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll}\omega_{tt}-\Delta \omega+b(t)\omega_t+m(t)\omega=|v|^p-|\overline{v}|^p, \ &(t, x)\in (0, T)\times\mathbb{R} ^N, \\\omega(0, x)=\omega_t(0, x)=0, \quad& x\in \mathbb{R} ^N.\end{array} \right. \end{equation}$

令

(3.36) $\begin{equation}\label{E2}E_{\psi, \omega}(t)=\int_{\mathbb{R} ^N}\frac{e^{2\psi}}{2}(\omega_t^2+|\nabla \omega|^2+m(t)\omega^2){\rm d}x.\end{equation}$

类似(3.27)式, 得到

(3.37) $\begin{equation}\label{s4.18}E_{\psi, \omega}(t)\lesssim \int_0^t\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}(|v(s, x)|^p-|\overline{v}(s, x)|^p)\omega_s(s, x){\rm d}x.\end{equation}$

将

$\Big||v(s, x)|^p-|\overline{v}(s, x)|^p\Big|\lesssim|v(s, x)-\overline{v}(s, x)|(|v(s, x)|^{p-1}+|\overline{v}(s, x)|^{p-1})\ (p>1)$

代入上式, 得

(3.38) $\begin{eqnarray}\label{s4.19}E_{\psi, \omega}(t)&\lesssim &\int_0^t\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)-\overline{v}(s, x)|(|v(s, x)|^{p-1}+|\overline{v}(s, x)|^{p-1})\omega_s(s, x){\rm d}x{\rm d}s\\&\lesssim &\int_0^t\left(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)-\overline{v}(s, x)|^2|v(s, x)|^{2(p-1)}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}E_{\psi, \omega}^{\frac{1}{2}}(s){\rm d}s\\&&+\int_0^t\left(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)-\overline{v}(s, x)|^2|\overline{v}(s, x)|^{2(p-1)}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}E_{\psi, \omega}^{\frac{1}{2}}(s){\rm d}s.\end{eqnarray}$

由引理3.3, 得

(3.39) $\begin{eqnarray}\label{s4.21}E_{\psi, \omega}^{\frac{1}{2}}(t)&\lesssim&\int_0^t\left(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)-\overline{v}(s, x)|^2|v(s, x)|^{2(p-1)}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}{\rm d}s\\&& +\int_0^t\left(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi(s, x)}|v(s, x)-\overline{v}(s, x)|^2|{\overline{v}}(s, x)|^{2(p-1)}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}{\rm d}s.\end{eqnarray}$

利用Hölder不等式和引理3.2, 并注意到$A^{\psi}_{T, R}$的定义, 有

(3.40) $\begin{eqnarray}\label{s4.22}&&\|e^{\psi(s, \cdot)}|v(s, \cdot)-\overline{v}(s, \cdot)||v(s, \cdot)|^{(p-1)}\|_{L^2}\\&\lesssim&\|e^{(2-p)\psi(s, \cdot)}|v(s, \cdot)-\overline{v}(s, \cdot)|\|_{L^{2p}}\|e^{\psi(s, \cdot)}|v(s, \cdot)|\|_{L^{2p}}^{p-1}\\&\lesssim&(1+s)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}\|e^{\psi(s, \cdot)}\nabla(v(s, \cdot)-\overline{v}(s, \cdot))\|_{L^2}\|e^{\psi(s, \cdot)}\nabla v(s, \cdot)\|^{p-1}_{L^2}\\&\lesssim& (1+s)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}\end{eqnarray}$

及

(3.41) $\begin{equation}\label{s4.23}\|e^{\psi(s, \cdot)}|v(s, \cdot)-\overline{v}(s, \cdot)||\bar{v}(s, \cdot)|^{(p-1)}\|_{L^2}\lesssim(1+s)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}.\end{equation}$

将上面两式代入(3.39)式, 得到

(3.42) $\begin{eqnarray}\label{s4.24}E_{\psi, \omega}^{\frac{1}{2}}(t)&\lesssim&\int_0^t(1+s)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}{\rm d}s\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}\\&\lesssim&\ T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}.\end{eqnarray}$

由$E_{\psi, \omega}$的定义(3.36), 知

(3.43) $\begin{eqnarray}\label{s4.25}&&\|e^{\psi(t, \cdot)}\omega_t(t, \cdot)\|_{L^2}+\|e^{\psi(t, \cdot)}\nabla\omega(t, \cdot)\|_{L^2}\lesssim T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p}\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}, \\&&\|e^{\psi(t, \cdot)}\omega(t, \cdot)\|_{L^2}=\frac{1}{\sqrt{m(t)}}\|e^{\psi(t, \cdot)}\sqrt{m(t)}\omega(t, \cdot)\|_{L^2}\\&& \ \lesssimT(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p+\beta}\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}, \end{eqnarray}$

所以

(3.44) $\begin{eqnarray}\|\omega\|^{\psi}_T&=&\|\theta(v)-\theta(\overline{v})\|^{\psi}_T\lesssim T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p+\beta}\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}\nonumber\\&\leq &C_0T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p+\beta}\|v-\overline{v}\|^{\psi}_TR^{p-1}, \end{eqnarray}$

其中$C_0=C_0(\alpha, \beta, \mu_1, \mu_2, N, p, R)$.选择足够小的$T>0$, 使得

$C_0T(1+T)^{\frac{1+\alpha}{2}(1-\theta(2p))p+\beta}R^{p-1}<{\alpha}_1<1, $

则

(3.45) $\begin{equation}\|\omega\|^{\psi}_T=\|\theta(v)-\theta(\overline{v})\|^{\psi}_T<{\alpha}_1\|v-\overline{v}\|^{\psi}_T, \end{equation}$

即映射$\theta$是压缩的.

由于$\left(E(T), \|\cdot\|^{\psi}_T\right)$是一个Banach空间, 利用Banach不动点定理, 可知柯西问题(1.1)有唯一解$u\in C\left([0, T^*), H^1(\mathbb{R} ^N)\right) \cap C^1 \left([0, T^* ), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$且对任何$t\in[0, T^*)$, 相应的$E_{\psi, u}(t)$都有限, $T^*<\infty$时意味着当$T \rightarrow T^*$时, 能量将会爆破.

本节我们将利用文献[18]的加权能量方法证明方程(1.1)的小初值的解的整体存在性结果-定理2.2.不失一般性, 不妨假设$\mu_1=\mu_2=1$.

命题 4.1  假设

(4.1) $\begin{equation}p_F(N)<p<\frac{N}{N-2}, ~N\geq3;~p_F(N)<p<\infty, ~N=1, ~2\end{equation}$

和$0<\alpha<1, ~0<\beta<1$.如果存在$\delta>0$和$T>0$, 使柯西问题(1.1)的解 $u\in C\left([0, T], H^1\right)\cap C^1\left([0, T], L^2\right)$, 且满足

(4.2) $\begin{equation}\sup\limits_{0\leq t\leq T}\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}(m(t)u^2+|\nabla u|^2+|u_t|^2){\rm d}x<\infty, \end{equation}$

则

(4.3) $\begin{equation}\label{MM}M(t)\leq CI_0^2+CM^{p+1}(t), \end{equation}$

其中

(4.4) $\begin{eqnarray}\label{s15}M(t)&=&\sup\limits_{0\leq \tau\leq t}\bigg\{(1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon}\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\left(m(\tau)u^2+|\nabla u|^2+u_{\tau}^2\right){\rm d}x\\&&+(1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)N}{2}-\epsilon}\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}u^2{\rm d}x\bigg\}, \end{eqnarray}$

$C=C(\alpha, \beta, p, \delta, N), ~\epsilon=\epsilon(\delta) =\frac{3\delta(1+\alpha)N}{2(2+\delta)}$, $\psi(t, x)=\frac{a|x|^2}{(1+t)^{1+\alpha}}$, $a=\frac{1+\alpha}{4(2+\delta)}$, $I_0^2$是初始能量(定义见(2.13)式), 即$ I_0^2=\int_{\mathbb{R}^N}e^{2\psi(0, x)}\left(|u_1(x)|^2+|\nabla u_0(x)|^2+|u_0(x)|^2\right){\rm d}x. $

证  方程(1.1)即

(4.5) $\begin{equation}\label{BB} \left\{\begin{array}{ll}u_{tt}-\Delta u+b(t)u_t+m(t)u=|u|^p, \quad&(t, x)\in(0, \infty)\times\mathbb{R} ^N, \\u(0, x)=u_0(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N , \\u_t(0, x)=u_1(x), \quad &x\in\mathbb{R} ^N, \end{array}\right.\end{equation}$

其中$b(t)=\frac{1}{(1+t)^\alpha}, ~m(t)=\frac{1}{(1+t)^{2\beta}}$.令$F(u)=\int_0^u|s|^p{\rm d}s, ~f(u)=|u|^p$.在(4.5)式两边同乘$e^{2\psi} u_t$, 得

(4.6) $\begin{eqnarray}&&\frac{\partial\left[\frac{e^{2\psi}}{2}\left(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2\right)\right]}{\partial t}-{\rm div}(e^{2\psi}u_t\nabla u)+e^{2\psi}u_t^2\left(b(t)-\frac{|\nabla \psi|^2}{-\psi_t}-\psi_t\right)\\&&+e^{2\psi}u^2(-\psi_tm(t))-\frac{1}{2}e^{2\psi}u^2\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}+\underbrace{\frac{e^{2\psi}}{-\psi_t}|\psi_t\nabla u-u_t\nabla \psi|^2}_{A_1}\\&=&\frac{\partial(e^{2\psi}F(u))}{\partial t}-2e^{2\psi}F(u)\psi_t.\label{4.1}\end{eqnarray}$

由于$\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}<;0$, $A_1=\frac{e^{2\psi}}{-\psi_t}|\psi_t\nabla u-u_t\nabla \psi|^2\geq\frac{e^{2\psi}}{-\psi_t}\big(\frac{1}{5}\psi_t^2|\nabla u|^2-\frac{1}{4} u_t^2|\nabla\psi|^2\big)$, 由(4.6)式可得

(4.7) $\begin{eqnarray}\label{4.7}&&\frac{\partial\left[\frac{e^{2\psi}}{2}\left(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2\right)\right]}{\partial t}-{\rm div}(e^{2\psi}u_t\nabla u)+e^{2\psi}u_t^2\bigg(b(t)-\frac{|\nabla \psi|^2}{-\psi_t}-\psi_t-\frac{1}{4}\frac{|\nabla\psi|^2}{-\psi_t}\bigg)\\&&+e^{2\psi}u^2\left(-\psi_tm(t)\right)+\frac{1}{5}e^{2\psi}(-\psi_t)|\nabla u|^2\leq \frac{\partial(e^{2\psi}F(u))}{\partial t}-2e^{2\psi}F(u)\psi_t.\end{eqnarray}$

将上式在$\mathbb{R} ^N$上积分, 有

(4.8) $\begin{eqnarray}&&\frac {{\rm d}E(t)}{{\rm d}t}+\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\left(\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}b(t)-\psi_t\right)u_t^2+\frac{1}{5}(-\psi_t)|\nabla u|^2+(-\psi_t)m(t)u^2\bigg\}{\rm d}x\\&\leq& \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}F(u){\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\psi_tF(u){\rm d}x\label{4.13}, \end{eqnarray}$

其中

(4.9) $\begin{equation}E(t)=\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2){\rm d}x.\label{E10}\end{equation}$

在(4.5)式两边同乘$e^{2\psi} u$, 有

(4.10) $\begin{eqnarray}&&\frac{\partial\left[e^{2\psi}\left(uu_t+\frac{b(t)}{2}u^2\right)\right]}{\partial t}-{\rm div}(e^{2\psi}u\nabla u)\\&&+e^{2\psi}\bigg\{|\nabla u|^2+\bigg[\bigg(-\psi_t+\frac{\alpha}{2(1+t)}\bigg)b(t)+m(t)\bigg]u^2+\underbrace{2u\nabla u\nabla\psi}_{B_1}-2\psi_tuu_t-u_t^2\bigg\}\\&=& e^{2\psi}uf(u).\label{4.4}\end{eqnarray}$

注意到

(4.11) $\begin{eqnarray}\label{4.5}B_1e^{2\psi}&=&4e^{2\psi}u\nabla u\nabla\psi-e^{2\psi}\nabla(u^2)\nabla\psi\\&=& 4e^{2\psi}u\nabla u\nabla\psi-{\rm div}(e^{2\psi}u^2\nabla\psi)+2e^{2\psi}u^2|\nabla\psi|^2+e^{2\psi}u^2\triangle\psi, \end{eqnarray}$

将(3.4)-(3.6)式和(4.11)式代入(4.10)式, 得到

(4.12) $\begin{eqnarray}\label{4.10}&&\frac{\partial\left[e^{2\psi}\left(uu_t+\frac{b(t)}{2}u^2\right)\right]}{\partial t}-{\rm div}(e^{2\psi}(u\nabla u+u^2\nabla\psi))\\&&+e^{2\psi}\bigg\{\underbrace{|\nabla u|^2+4u\nabla u\nabla\psi+(-\psi_tb(t)+2|\nabla\psi|^2)}_{B_2}u^2\\&&+\bigg[N_{\alpha}\frac{b(t)}{2(1+t)}+m(t)\bigg]u^2-2\psi_tuu_t-u^2_t\bigg\}= e^{2\psi}uf(u), \end{eqnarray}$

其中$N_{\alpha}=\alpha+\frac{(1+\alpha)N}{2}-2\delta_1.$由于$\frac{|\nabla\psi|^2}{-\psi_t}=\frac{b(t)}{2+\delta}$, 故

(4.13) $\begin{eqnarray}\label{ss1}B_2&=&|\nabla u|^2+4u\nabla u\nabla\psi+(4+\delta)|\nabla\psi|^2u^2\\&=&\left(1-\frac{4}{4+\frac{\delta}{2}}\right)|\nabla u|^2+\frac{\delta}{2}|\nabla\psi|^2u^2+\bigg|\frac{2}{\sqrt{4+\frac{\delta}{2}}}\nabla u+\sqrt{4+\frac{\delta}{2}}u\nabla\psi\bigg|^2\\&\geq&\delta_2\left(|\nabla u|^2+b(t)(-\psi_t)u^2\right), \end{eqnarray}$

其中当$\delta\rightarrow0$时, $\delta_2={\rm min}\left\{1-\frac{4}{4+\frac{\delta}{2}}, \frac{\delta}{2+\delta}\right\}\rightarrow0$.把(4.13)式代入(4.12)式并在$\mathbb{R} ^N$积分, 得到

(4.14) $\begin{eqnarray}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\left(uu_t+\frac{b(t)}{2}u^2\right){\rm d}x\right]+\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\delta_2\left(|\nabla u|^2+b(t)(-\psi_t)u^2\right)\\&&+\bigg[N_{\alpha}\frac{b(t)}{2(1+t)}+m(t)\bigg]u^2-2\psi_tuu_t-u^2_t\bigg\}{\rm d}x\leq \int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}uf(u){\rm d}x\label{4.12}.\end{eqnarray}$

为了处理(4.14)式中的$-u_t^2$项, 将(4.8)式乘以$(t+t_0)^{\alpha}~(t_0\gg1)$, 得

(4.15) $\begin{eqnarray}\label{4.14}&&\frac{\rm d}{2{\rm d}t}\left[(t+t_0)^{\alpha}E(t)\right]-\frac{\alpha}{2(t+t_0)^{1-\alpha}}E(t)\\&&+\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\bigg(\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}+(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}\bigg)u_t^2\\&&+\frac{1}{5}(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}|\nabla u|^2+(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}m(t)u^2\bigg\}{\rm d}x\\&\leq& (t+t_0)^{\alpha}\left[\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}F(u){\rm d}x-2\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\psi_tF(u){\rm d}x\right]=R_1.\end{eqnarray}$

将(4.14)式乘以$\lambda$ ($0<\lambda\ll1$)并与(4.15)式相加, 得到

(4.16) $\begin{eqnarray}\frac{{\rm d}\widetilde{E}(t)}{{\rm d}t}+\widetilde{H}(t)&=& \frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\frac{(t+t_0)^{\alpha}}{2}(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2)+\underbrace{\lambda uu_t}_{D_1}+\frac{\lambda b(t)}{2}u^2\bigg\}{\rm d}x\bigg)\\&&+\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\bigg(\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}-\lambda+(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}-\frac{\alpha}{2(t+t_0)^{1-\alpha}}\bigg)u_t^2\\&&+\bigg(\frac{-\psi_t(t+t_0)^{\alpha}}{5}+\lambda\delta_2-\frac{\alpha}{2(t+t_0)^{1-\alpha}}\bigg)|\nabla u|^2\\&&+\bigg(\lambda m(t)+(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}m(t)-\frac{\alpha}{2(t+t_0)^{1-\alpha}}m(t)\\&&+\lambda\delta_2b(t)(-\psi_t)\bigg)u^2+N_{\alpha}\frac{\lambda b(t)}{2(1+t)}u^2-\underbrace{2\lambda\psi_tuu_t}_{D_2}\bigg\}{\rm d}x\\&\leq& R_1+\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\lambda uf(u){\rm d}x=R_2\label{4.111}, \end{eqnarray}$

其中

(4.17) $\begin{eqnarray}\widetilde{E}(t)&=&\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\frac{(t+t_0)^{\alpha}}{2}(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2)+\underbrace{\lambda uu_t}_{D_1}+\frac{\lambda b(t)}{2}u^2\bigg\}{\rm d}x, \\\widetilde{H}(t)&=&\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\bigg(\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}-\lambda+(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}-\frac{\alpha}{2(t+t_0)^{1-\alpha}}\bigg)u_t^2\\&&+\bigg(\frac{-\psi_t(t+t_0)^{\alpha}}{5}+\lambda\delta_2-\frac{\alpha}{2(t+t_0)^{1-\alpha}}\bigg)|\nabla u|^2\\&&+\bigg(\lambda m(t)+(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}m(t)-\frac{\alpha}{2(t+t_0)^{1-\alpha}}m(t)\\&&+\lambda\delta_2b(t)(-\psi_t)\bigg)u^2+N_{\alpha}\frac{\lambda b(t)}{2(1+t)}u^2-\underbrace{2\lambda\psi_tuu_t}_{D_2}\bigg\}{\rm d}x.\end{eqnarray}$

下面我们估计$\widetilde{E}(t)$和$\widetilde{H}(t)$.由$E(t)$的定义(4.9), 注意到$|D_1|\leq\frac{\delta_2\lambda b(t)}{2}u^2+\frac{\lambda(t+t_0)^{\alpha}}{2\delta_2}u_t^2$, 容易验证

(4.18) $\begin{eqnarray}\label{4.17}\widetilde{E}(t)&\leq&\int_{\mathbb{R} ^N}\bigg(1+\frac{\lambda}{\delta_2}\bigg)e^{2\psi}\bigg[\frac{(t+t_0)^{\alpha}}{2}(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2)\bigg]{\rm d}x+\frac{\lambda}{2}(\delta_2+1)b(t)\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}u^2{\rm d}x\\&\leq& C_0(t+t_0)^{\alpha}E(t)+\frac{\lambda}{2}(\delta_2+1)b(t)J(t, u^2)\end{eqnarray}$

及

(4.19) $\begin{equation}\widetilde{E}(t)\geq c_0(t+t_0)^{\alpha}E(t)+\frac{\lambda}{2}(-\delta_2+1)b(t)J(t, u^2), \label{4.18}\end{equation}$

其中$C_0=1+\frac{\lambda}{\delta_2}$, $c_0=1-\frac{\lambda}{\delta_2}$,

(4.20) $\begin{equation}\label{J10}J(t, g)=\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}g(t, x){\rm d}x.\end{equation}$

对$D_2$有$ |D_2|\leq\frac{1}{2}(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}u_t^2+2\lambda^2b(t)(-\psi_t)u^2, $则

(4.21) $\begin{eqnarray}\label{4.19}\widetilde{H}(t)&\geq&\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\bigg\{\bigg[\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}-\lambda+\frac{1}{2}(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}-\frac{\alpha}{2(t_0+t)^{1-\alpha}}\bigg]u_t^2\\&&+\bigg[\frac{1}{5}(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}+\lambda\delta_2-\frac{\alpha}{2(t_0+t)^{1-\alpha}}\bigg]|\nabla u|^2\\&&+\bigg[\lambda m(t)+(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}m(t)-\frac{\alpha}{2(t_0+t)^{1-\alpha}}m(t)\\&&+\lambda\delta_2b(t)(-\psi_t)-2\lambda^2 b(t)(-\psi_t)\bigg]u^2+N_{\alpha}\frac{\lambda b(t)}{2(1+t)}u^2 \bigg\}{\rm d}x, \end{eqnarray}$

所以

(4.22) $\begin{eqnarray}\widetilde{H}(t)\geq C_1\left(E(t)+(t+t_0)^{\alpha}E_{\psi}(t)+b(t)J_{\psi}(t, u^2)\right)+\frac{N_{\alpha}}{t+1}\cdot\frac{\lambda b(t)}{2}J(t, u^2), \label{4.20}\end{eqnarray}$

其中$C_1=\min\left\{\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}-\lambda-\frac{\alpha}{2t_0^{1-\alpha}}, ~\lambda\delta_2-\frac{\alpha}{2t_0^{1-\alpha}}, ~\lambda-\frac{\alpha}{2t_0^{1-\alpha}}, \ \frac{1}{5}, ~\delta_2\lambda-2\lambda^2\right\}$,

(4.23) $\begin{equation}E_{\psi}(t)=\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}(-\psi_t)(u_t^2+|\nabla u|^2+m(t)u^2){\rm d}x, \label{E11}\end{equation}$

(4.24) $\begin{equation}J_{\psi}(t, g)=\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}(-\psi_t)g(t, x){\rm d}x.\label{J11}\end{equation}$

将(4.16)式乘以$(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}$并利用(4.22)式, 得到

(4.25) $\begin{eqnarray}\label{s}&&(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\frac{{\rm d}\widetilde{E}(t)}{{\rm d}t}+ C_1\bigg(E(t)+(t+t_0)^{\alpha}E_{\psi}(t)+b(t)J_{\psi}(t, u^2)\bigg)(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\\&&+(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\frac{N_{\alpha}}{t+1}\cdot\frac{\lambda b(t)}{2}J(t, u^2)\leq R_2(t+t_0)^{\gamma-3\delta_1}=R_3, \end{eqnarray}$

其中$\gamma=\alpha+\frac{1+\alpha}{2}N$.我们用(4.18)和(4.19)式去处理$(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\frac{d\widetilde{E}(t)}{{\rm d}t}$.注意到

$\begin{eqnarray*}(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\frac{{\rm d}\widetilde{E}(t)}{{\rm d}t}&\geq&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[ C_2(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\left((t+t_0)^{\alpha}E(t)+b(t)J(t, u^2)\right)\right]\\&&-C_0(\gamma-3\delta_1)(t+t_0)^{\gamma-3\delta_1-1+\alpha}E(t)\\&&-\frac{\lambda}{2}(\delta_2+1)(\gamma-3\delta_1)b(t)(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1-1}J(t, u^2), \end{eqnarray*}$

其中$C_2=C_2(\delta, \lambda)$, 由(4.25)式可得

(4.26) $\begin{eqnarray}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[C_2(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\left((t+t_0)^{\alpha}E(t)+b(t)J(t, u^2)\right)\right]\\&&+(t+t_0)^{\gamma-3\delta_1}\bigg(C_1-\frac{C_0(\gamma-3\delta_1)}{(t+t_0)^{1-\alpha}}\bigg)E(t)\\&&+C_1(t+t_0)^{\gamma+\alpha-3\delta}E_{\psi}(t)+C_1(t+t_0)^{\gamma-\alpha-3\delta}J_{\psi}(t, u^2)\\&&+(t+t_0)^{\gamma-3\delta_1}\bigg(\frac{ N_{\alpha}}{t+1}-\frac{(\gamma-3\delta_1)(\delta_2+1)}{t+t_0}\bigg) \frac{\lambda}{2}b(t)J(t, u^2)\leq R_3.\label{4.22}\end{eqnarray}$

对于足够大的$t$, 存在两个正常数$a_0, ~a_1$, 使得$C_1-\frac{C_0(\gamma-3\delta_1)}{(t+t_0)^{1-\alpha}}\geq a_0$且$\frac{N_{\alpha}}{t+1} -\frac{(\gamma-3\delta_1)(\delta_2+1)}{t+t_0}\geq\frac{a_1}{1+t}$.令$3\delta_1=\epsilon$, 将(4.26)式在$[0, t]$上积分, 得到

(4.27) $\begin{eqnarray}&&(1+t)^{\gamma+\alpha-\epsilon}E(t)+(t+1)^{\gamma-\alpha-\epsilon}J(t, u^2)\\&&+\int_0^t\bigg\{(\tau+1)^{\gamma-\epsilon}E(\tau)+(\tau+1)^{\gamma+\alpha-\epsilon}E_{\psi}(\tau)\\&&+(\tau+1)^{\gamma-1-\alpha-\epsilon}J(\tau, u^2)+(\tau+1)^{\gamma-\alpha-\epsilon}J_{\psi}(\tau, u^2)\bigg\}{\rm d}\tau\\&\leq& C_3I_0^2+C_3\int_0^tR_3{\rm d}\tau, \label{4.23}\end{eqnarray}$

其中$C_3=C_3(\alpha, \delta, \lambda, t_0, a_1, a_2)$.

由$M(t)$的定义(4.4), 知$ M(t)=\sup\limits_{0\leq\tau\leq t}\{(1+\tau)^{\gamma+1 -\varepsilon}E(\tau)+(1+\tau)^{\gamma-\alpha-\varepsilon}J(\tau, u^2)\} $.为了估计$M(t)$中的$(1+t)^{\gamma+1-\varepsilon}E(t)$, 将(4.15)式乘以$(t+t_0)^{\gamma+1-\alpha-\epsilon} $, 得

(4.28) $\begin{eqnarray}\label{4.44}&&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[(t+t_0)^{\gamma+1-\epsilon}\frac{E(t)}{2}\right]-(\gamma+1-\epsilon)\frac{E(t)}{2}(t+t_0)^{\gamma-\epsilon}-\alpha\frac{E(t)}{2}(t+t_0)^{\gamma-\epsilon}\\&&+\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}(t+t_0)^{\gamma-\alpha+1-\epsilon}J(t, u_t^2)+\frac{1}{5}(t+t_0)^{\gamma+1-\epsilon}E_{\psi}(t)\leq R_1(t+t_0)^{\gamma+1-\alpha-\epsilon}.\end{eqnarray}$

在$[0, t]$积分得

(4.29) $\begin{eqnarray}&&(t+1)^{\gamma+1-\epsilon}E(t)+\int_0^t\bigg\{-(\tau+1)^{\gamma-\epsilon}E(\tau)+(\tau+1)^{\gamma-\alpha+1-\epsilon}J(\tau, u_{\tau}^2)\\&&+(\tau+1)^{\gamma+1-\epsilon}E_{\psi}(\tau){\rm d}\tau\bigg\}\leq C_4I_0^2+C_4\int_0^t(\tau+1)^{\gamma+1-\alpha-\epsilon}R_1{\rm d}\tau, \label{4.25}\end{eqnarray}$

其中$C_4=C_4(\alpha, \gamma, \lambda, t_0, \epsilon)$.将(4.29)式乘以$\mu$ ($0<\mu\leq1$)并和(4.27)式相加, 得

(4.30) $\begin{eqnarray}\label{4.50}&&\left((1+t)^{\gamma+\alpha-\epsilon}+\mu(1+t)^{\gamma+1-\epsilon}\right)E(t)+(1+t)^{\gamma-\alpha-\epsilon}J(t, u^2)\\&&+\int_0^t\bigg\{\left((\tau+1)^{\gamma-\epsilon}-\mu(\tau+1)^{\gamma-\epsilon}\right)E(\tau)\\&&+(\tau+1)^{\gamma-1-\alpha-\epsilon}J(\tau, u^2)+(1+\tau)^{\gamma+1-\alpha-\epsilon}J(\tau, u^2_{\tau})\\&&+\mu(1+\tau)^{\gamma+1-\epsilon}E_{\psi}(\tau)+(1+\tau)^{\gamma-\alpha-\epsilon}J_{\psi}(\tau, u^2)\bigg\}{\rm d}\tau\\&\leq&C_5I_0^2+C_5\int_0^t\bigg\{R_2(\tau+1)^{\gamma-\epsilon}+R_1\mu(1+\tau)^{\gamma-\alpha+1-\epsilon}\bigg\}{\rm d}\tau\\&=& C_5I_0^2+C_5R_4, \end{eqnarray}$

其中$C_5=C_5(\alpha, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, t_0, a_0, a_1)$, $R_4=\int_0^tR_2(\tau+1)^{\gamma-\epsilon} +R_1\mu(1+\tau)^{\gamma-\alpha+1-\epsilon}{\rm d}\tau$.由(4.30)式知

(4.31) $\begin{eqnarray}\label{4.51}&&(1+t)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon}E(t)+(1+t)^{\frac{(1+\alpha)N}{2}-\epsilon}J(t, u^2)\\&&+\int_0^t\bigg\{(\tau+1)^{\frac{(1+\alpha)N}{2}+1-\epsilon}J(\tau, u^2_{\tau})+(\tau+1)^{\frac{(1+\alpha)N}{2}+\alpha-\epsilon}J(\tau, |\nabla u|^2)\\&&+\left((1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)N}{2}-1-\epsilon}+(1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)N}{2}+\alpha-2\beta-\epsilon}\right)J(\tau, u^2)\bigg\}{\rm d}\tau\\&\leq& C_5I_0^2+C_5R_4.\end{eqnarray}$

注意到

(4.32) $\begin{equation}\label{M}M(t)=\sup\limits_{0\leq\tau\leq t}\left\{(1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon}E(\tau)+(1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)N}{2}-\epsilon}J(\tau, u^2)\right\}, \end{equation}$

由(4.31)式得

(4.33) $\begin{equation}\label{s16}M(t)\leq C_5I_0^2+C_5R_4.\end{equation}$

为得到(4.3)式, 我们只需要估计(4.33)中的$R_4$即可.利用(3.4)-(3.6)和(4.30)式, 可得

(4.34) $\begin{eqnarray}\label{6.10}R_4&\lesssim&(1+t)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon}J(t, |u|^{p+1})+\int_0^t\bigg\{(1+\tau)^{\frac{1+\alpha}{2}N+\alpha-\epsilon}J(\tau, |u|^{p+1})\\&&+(1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\alpha-\epsilon}J_{\psi}(\tau, |u|^{p+1})\bigg\}{\rm d}\tau.\end{eqnarray}$

由于$p>1, ~\frac{4}{p+1}<2$, 易知

(4.35) $\begin{equation}\label{s1000}\begin{array}{ll} e^{\frac{4}{p+1}\psi}|\nabla\psi|^2=4a^2\psi e^{\frac{4}{p+1}-2}\frac{1}{(1+t)^{1+\alpha}}e^{2\psi}\lesssim\frac{1}{(1+t)^{1+\alpha}}e^{2\psi}, \\[2mm]e^{\frac{4}{p+1}\psi}\lesssim e^{2\psi}, \end{array}\end{equation}$

故

(4.36) $\begin{eqnarray}J(t, |u|^{p+1})&\lesssim& \bigg(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{\frac{4}{p+1}\psi}|u|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{1-\sigma}{2}(p+1)}\\&&\times\bigg(\int_{\mathbb{R} ^N}e^{\frac{4}{p+1}\psi}|\nabla\psi|^2 u^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^N}e^{\frac{4}{p+1}\psi}|\nabla u|^2{\rm d}x\bigg)^{\frac{\sigma}{2}(p+1)}\\&\lesssim& (1+t)^{-\frac{(1+\alpha)(p+1)\sigma}{2}}J^{\frac{p+1}{2}}(t, u^2)+ J^{\frac{(p+1)(1-\sigma)}{2}}(t, u^2)J^{\frac{(p+1)\sigma}{2}}(t, |\nabla u|^2), \end{eqnarray}$

其中$\sigma=\sigma(p+1)=N(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1})$.注意到$p>1+\frac{2}{N}$, 利用Gagliardo-Nirenberg插值不等式, 得

(4.37) $\begin{eqnarray}\label{s21}&&(1+t)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon}J(t, |u|^{p+1})\\&\leq& C_6(1+t)^{-\frac{(1+\alpha)(p+1)\sigma}{2}+\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon-\frac{p+1}{2}(\frac{1+\alpha}{2}N-\epsilon)}M^{\frac{p+1}{2}}(t)\\&&+C_6(1+t)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon-\frac{p+1}{2}\sigma(\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\epsilon)-\frac{p+1}{2}(1-\sigma)(\frac{1+\alpha}{2}N-\epsilon)}M^{\frac{p+1}{2}}(t)\\&\leq& 2C_6(1+t)^{-N\frac{1+\alpha}{2}(p-1-\frac{2}{N})+\frac{p-1}{2}\epsilon}M^{\frac{p+1}{2}}(t)\\&\leq& 2C_6M^{\frac{p+1}{2}}(t)\end{eqnarray}$

及

(4.38) $\begin{eqnarray}\label{s22}\int_0^t(1+\tau)^{\frac{1+\alpha}{2}N+\alpha-\epsilon}J(\tau, |u|^{p+1}){\rm d}\tau&\leq&C_7M^{\frac{p+1}{2}}(t)\int_0^t(1+\tau)^{-1-\frac{1+\alpha}{2}(p-1-\frac{2}{N})+\frac{p-1}{2}\epsilon}{\rm d}\tau\\&\leq& C_7M^{\frac{p+1}{2}}(t), \end{eqnarray}$

其中$C_6=C_6(\alpha, \gamma, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, p, N)$, $C_7=C_7(\alpha, \gamma, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, p, N)$.易知

(4.39) $\begin{eqnarray} J_{\psi}(\tau, |u|^{p+1})&\lesssim& (1+\tau)^{-1}\int_{\mathbb{R} ^N}e^{2\psi}\psi|u|^{p+1}{\rm d}x\\& \lesssim & (1+\tau)^{-1}\int_{\mathbb{R} ^N}e^{(2+\nu)\psi}|u|^{p+1}{\rm d}x~(0<\nu\ll1), \end{eqnarray}$

所以

(4.40) $\begin{eqnarray}\label{s23}\int_0^t(1+\tau)^{\frac{(1+\alpha)(N+2)}{2}-\alpha-\epsilon}J_{\psi}(\tau, |u|^{p+1}){\rm d}\tau\leq C_8M^{\frac{p+1}{2}}(t), \end{eqnarray}$

其中$C_8=C_8(\alpha, \gamma, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, p, N)$.将(4.37), (4.38)和(4.40)式代入(4.34)式, 并利用(4.33)式, 得到

(4.41) $ \begin{eqnarray}\label{s31} M(t)\lesssim I_0^2+M^{\frac{p+1}{2}}(t). \end{eqnarray}$

命题4.1得证.

接下来证明定理2.2.

定理 2.2 的证明  因初始能量$I_0$足够小, 这意味着存在一个足够小的$\epsilon$, 使得$I_0^2<\epsilon<\epsilon_0, ~\epsilon_0=\min \big\{1, s_0, \frac{s_0}{2C_1}\big\}$, 其中$s_0$是下面确定的一个常数.由命题4.1, 我们有

(4.42) $\begin{eqnarray}\label{4.26}M(t)\leq C_1\epsilon+C_2M^{\frac{p+1}{2}}(t), \end{eqnarray}$

其中$C_1=C_1(\alpha, \beta, \delta, p, N)$, $C_2=C_2(\alpha, \beta, \delta, p, N)$.令

(4.43) $\begin{eqnarray}\phi(s)=s-C_2s^{\frac{p+1}{2}}, \end{eqnarray}$

由$\phi(0)=0, ~\phi'(0)=1$, 知存在一个正常数$s_0$, 使得对任何$s\in[0, s_0]$, 都有$\phi'(s)\geq\frac{1}{2}$, 从而

(4.44) $\begin{eqnarray}\label{4.27}\phi(s)\leq s\leq2\phi(s), \quad\quad\forall~s\in[0, s_0].\end{eqnarray}$

由(4.42)式知$\phi(M(t))\leq C_1 \epsilon_0\leq\frac{s_0}{2}$, 再利用(4.44)式就得到

(4.45) $\begin{eqnarray}\label{4.28}\phi(M(t))\leq\frac{s_0}{2}\leq\phi(s_0), \quad \forall~t\in[0, T^*).\end{eqnarray}$

由于$M(t)$在$[0, T^*)$上连续且$\phi(s)$在$[0, s_0]$上严格单调递增, 故$M(t)\leq s_0$且

(4.46) $\begin{eqnarray}M(t)\leq2\phi(M(t))\leq2C_1\epsilon_0\quad \forall~t\in [0, T^*), \end{eqnarray}$

从而

(4.47) $\begin{eqnarray}\limsup\limits_{T\rightarrow T^*t\in [0, T]}\left(\|u(t, \cdot)\|_{H^1_{\psi(t, \cdot)}}+\|u_t(t, \cdot)\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}}\right)\lesssim\limsup\limits_{T\rightarrow T^*t\in [0, T]}M(t)\leq2C_1\epsilon_0, \end{eqnarray}$

这和(2.12)式矛盾, 所以$T^*=\infty$, 即$u$是一个整体解.由$M(t)\lesssim\epsilon_0$易得(2.15)式和(2.16)式.定理2.2得证.

本节我们将采用Zhang^[25]的试验函数方法证明爆破结果-定理2.3.

定理 2.3 的证明  令(参见文献[25])

(5.1) $\begin{eqnarray}\psi_R(t, x)=\eta_R(t)\phi_R(r)=\eta\left(\frac{t}{R^{\frac{2}{1+\alpha}}}\right)\phi\left(\frac{r}{R}\right), \quad\quad|x|=r, \end{eqnarray}$

其中$\eta(t), \phi(r)\in C_0^{\infty}$满足

$0\leq\eta(t)\leq1, \quad\quad|\eta'(t)|, ~|\eta"(t)|\leq C, \quad\quad\frac{(\eta'(t))^2}{\eta(t)}\leq C, $

$ \eta(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, \quad t\in\left[0, \frac{1}{4}\right], \\0, \quad t\in[1, \infty)\end{array}\right.$

及

$0\leq\phi(r)\leq1, \quad\quad|\phi'(r)|, |\phi"(r)|\leq C, \quad\quad\frac{(\nabla\phi(r))^2}{\phi(r)}\leq C, $

$ \phi(r)=\left\{\begin{array}{ll}1, \quad r\in\bigg[0, \frac{1}{2}\bigg], \\[2mm]0, \quad r\in[1, \infty), \end{array}\right.$

$C$是一个正常数.由$\mu_2=-\mu_1\alpha$和$\alpha=2\beta-1$, 方程(1.1)可化为

(5.2) $\begin{eqnarray}\label{6.4}u_{tt}-\Delta u+\left(b(t)u\right)_t=|u|^p, \end{eqnarray}$

其中$b(t)=\frac{\mu_1}{(1+t)^{\alpha}}$.令

(5.3) $\begin{eqnarray}I_R=\int_{Q_R}|u(t, x)|^p\psi^q_R(t, x){\rm d}x{\rm d}t, \end{eqnarray}$

其中$Q_R=\left[0, R^{\frac{2}{1+\alpha}}\right]\times B_R(0), ~B_R(0)=\{x:\ |x|\leq R\}$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.则

(5.4) $\begin{equation}I_R=\int_{Q_R}\left[u_{tt}-\Delta u+\left(b(t)u\right)_t\right]\psi_R^q{\rm d}x{\rm d}t.\end{equation}$

由分部积分得到

$\int_{Q_R}u_{tt}(t, x)\psi_R^q(t, x){\rm d}x{\rm d}t=-\int_{B_R(0)}u_1(x)\phi_R^q(r){\rm d}x+\int_{Q_R}u(t, x)\left(\psi_R^q(t, x)\right)_{tt}{\rm d}x{\rm d}t, $

$-\int_{Q_R}\Delta u(t, x)\psi_R^q(t, x){\rm d}x{\rm d}t=-\int_{Q_R}u(t, x)\Delta\left(\psi_R^q(t, x)\right){\rm d}x{\rm d}t, $

$\int_{Q_R}\big( b(t)u(t, x) \big)_t\psi_R^q(t, x)= - \int_{B_R(0)}\mu_1u_0(x)\phi^q_R(r){\rm d}x - \int_{Q_R}b(t)u(t, x)\left(\psi_R^q(t, x)\right)_t{\rm d}x{\rm d}t, $

所以

(5.5) $\begin{eqnarray}\label{5.50}I_R&=&-\int_{B_R(0)}\left(\mu_1u_0(x)+u_1(x)\right)\phi_R^q(r){\rm d}x +\int_{Q_R}u(t, x)\left(\psi_R^q(t, x)\right)_{tt}{\rm d}x{\rm d}t\\&&-\int_{Q_R}b(t)u(t, x)\left(\psi_R^q(t, x)\right)_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_{Q_R}u(t, x)\Delta\left(\psi_R^q(t, x)\right){\rm d}x{\rm d}t\\&=&-\int_{B_R(0)}\big( \mu_1 u_0(x)+u_1(x)\big) \phi_R^q(r){\rm d}x+J_1+J_2+J_3, \end{eqnarray}$

其中

$J_1=\int_{Q_R}u(t, x)(\psi_R^q(t, x))_{tt}{\rm d}x{\rm d}t, $

$J_2=-\int_{Q_R}b(t)u(t, x)(\psi_R^q(t, x))_t{\rm d}x{\rm d}t, \quad J_3=-\int_{Q_R}u(t, x)\Delta(\psi_R^q(t, x)){\rm d}x{\rm d}t.$

由假设(2.18)知

(5.6) $\begin{equation}\label{s10}I_R<\sum\limits_{j=1}^3J_j.\end{equation}$

下面我们估计$J_1, ~J_2$和$J_3$.利用Hölder不等式和$\eta(t)$, $\phi(r)$的假设, 有

(5.7) $\begin{eqnarray}\label{s11}|J_2|&=& \left|\int_{Q_R}b(t)u(t, x)(\psi_R^q(t, x))_t{\rm d}x{\rm d}t\right|\\&=& \left|qR^{-\frac{2}{1+\alpha}}\int_{Q_R}b(t)u(t, x)\phi_R^q(r)\eta_R^{q-1}(t)\eta'_R(t){\rm d}x{\rm d}t\right|\\&\lesssim& R^{-\frac{2}{1+\alpha}}\int_{\hat{Q}_R}b(t)|u(t, x)|\psi_R^{q-1}(t, x){\rm d}x{\rm d}t\\&\lesssim& R^{-\frac{2}{1+\alpha}}\left(\int_{\hat{Q}_R}|u(t, x)|^p\psi_R^{q}(t, x){\rm d}x{\rm d}t\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{\hat{Q}_R}b^q(t){\rm d}x{\rm d}t\right)^{\frac{1}{q}}\\&\lesssim& \hat{I}_R^{\frac{1}{p}}R^{-{\frac{2}{1+\alpha}}+\frac{N}{q}}\left(\int_{\frac{R^{\frac{2}{1+\alpha}}}{4}}^{R^{\frac{2}{1+\alpha}}}(1+t)^{-q\alpha}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{q}}\\&\lesssim& \hat{I}_R^{\frac{1}{p}}R^{-2+\frac{N(1+\alpha)+2}{q(1+\alpha)}}, \end{eqnarray}$

其中

$\hat{Q}_R=\left[\frac{R^{\frac{2}{1+\alpha}}}{4}, R^{\frac{2}{1+\alpha}}\right]\times B_R(0), \quad\quad\quad\tilde{Q}_R=\left[0, R^{\frac{2}{1+\alpha}}\right]\times (B_{\frac{R}{2}}(0), B_R(0)), $

$\hat{I}_R=\int_{\hat{Q}_R}|u(t, x)|^p\psi_R^q(t, x){\rm d}x{\rm d}t , \quad\quad \tilde{I}_R=\int_{\tilde{Q}_R}|u(t, x)|^p\psi_R^q(t, x){\rm d}x{\rm d}t.$

类似地

(5.8) $\begin{equation}|J_1|\lesssim R^{-{\frac{4}{1+\alpha}}}\int_{\hat{Q}_R}|u(t, x)|\psi_R^{q-1}(t, x){\rm d}x{\rm d}t\lesssim R^{\frac{N(1+\alpha)+2}{q(1+\alpha)}-{\frac{4}{1+\alpha}}}\hat{I}^{\frac{1}{p}}_R\label{s12}\end{equation}$

及

(5.9) $\begin{equation}|J_3|\lesssim R^{-2}\int_{\tilde{Q}_R}|u(t, x)|\psi^{q-1}_R(t, x){\rm d}x{\rm d}t\lesssim R^{\frac{N(1+\alpha)+2}{q(1+\alpha)}-2}\tilde{I}^{\frac{1}{p}}_R\label{s13}.\end{equation}$

将(5.7)-(5.9)式代入(5.6)式, 可得

(5.10) $\begin{eqnarray}&I_R\lesssim\left(\hat{I}_R^{\frac{1}{p}}+\hat{I}_R^{\frac{1}{p}}+\tilde{I}_R^{\frac{1}{p}}\right)R^{\frac{N(1+\alpha)+2}{q(1+\alpha)}-2}\lesssim I_R^{\frac{1}{p}}R^{\frac{N(1+\alpha)+2}{q(1+\alpha)}-2}, \end{eqnarray}$

故

(5.11) $\begin{equation}I_R^{1-\frac{1}{p}}\lesssim R^{\frac{N(1+\alpha)+2}{q(1+\alpha)}-2}.\end{equation}$

如果$0<p<p_F(\alpha, N)$, 则当$R\rightarrow\infty$时, $I_R\rightarrow0$, 因此$u\equiv0$.所以

$\int_{\mathbb{R} ^N}(\mu_1u_0(x)+u_1(x) ){\rm d}x=0, $

这与假设(2.18)矛盾.

如果$p=p_F(\alpha, N)$, 则有$I_R\leq C$, 其中$C$是一个与$R$无关的常数, 从而

$\lim\limits_{R\rightarrow\infty}(\tilde{I}_R+\hat{I}_R)=0, \quad\mbox{即}\quad \lim\limits_{R\rightarrow\infty}I_R=0, $

所以$u\equiv0$, 这也与假设(2.18)矛盾.

为得到次临界情况下生命跨度的估计, 令

(5.12) $\begin{eqnarray}M_R=\int_{Q_R}|u(t, x)|^p\psi_R(t, x){\rm d}x{\rm d}t.\end{eqnarray}$

重复上面的过程, 我们有

(5.13) $\begin{eqnarray}\label{5.13}M_R&=&-\int_{B_R(0)}\varepsilon\left(\mu_1u_0(x)+u_1(x)\right)\phi_R(r){\rm d}x +\int_{Q_R}u(t, x)\left(\psi_R(t, x)\right)_{tt}{\rm d}x{\rm d}t\\&&-\int_{Q_R}b(t)u(t, x)\left(\psi_R(t, x)\right)_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_{Q_R}u(t, x)\Delta\left(\psi_R(t, x)\right){\rm d}x{\rm d}t\\&=&-\int_{B_R(0)}\varepsilon\left(\mu_1u_0(x)+u_1(x)\right)\phi_R(r){\rm d}x\\&&+\int_{Q_R}u(t, x)\bigg(\left(\psi_R(t, x)\right)_{tt}-b(t)\left(\psi_R(t, x)\right)_t-\Delta\left(\psi_R(t, x)\right)\bigg){\rm d}x{\rm d}t.\end{eqnarray}$

由Young不等式知

(5.14) $\begin{eqnarray}\label{5.134}M_R&\leq&-\int_{B_R(0)}\varepsilon\left(\mu_1u_0(x)+u_1(x)\right)\phi_R(r){\rm d}x+\frac{1}{p}M_R\\&& +\frac{1}{q}\int_{Q_R}\psi^{-\frac{q}{p}}_R(t, x)\bigg|\left(\psi_R(t, x)\right)_{tt}-b(t)\left(\psi_R(t, x)\right)_t-\Delta\left(\psi_R(t, x)\right)\bigg|^{q}{\rm d}x{\rm d}t\\&\leq&-\int_{B_R(0)}\varepsilon\left(\mu_1u_0(x)+u_1(x)\right)\phi_R(r){\rm d}x+\frac{1}{p}M_R+\frac{C(q)}{q}\sum\limits_{i=1}^{3}N_i, \end{eqnarray}$

其中

$N_1=\int_{Q_R}\psi^{-\frac{q}{p}}_R(t, x)|\left(\psi_R(t, x)\right)_{tt}|^q{\rm d}x{\rm d}t, $

$N_2=\int_{Q_R}\psi^{-\frac{q}{p}}_R(t, x)|b(t)\left(\psi_R(t, x)\right)_t|^q{\rm d}x{\rm d}t, $

$N_3=\int_{Q_R}\psi^{-\frac{q}{p}}_R(t, x)|\Delta\left(\psi_R(t, x)\right)|^q{\rm d}x{\rm d}t.$

利用$\eta(t)$和$\phi(r)$的假设，我们有

(5.15) $\begin{eqnarray}\label{5.14}N_2&=& R^{-{\frac{2}{1+\alpha}}q}\int_{Q_R}(\phi_R(r)\eta_R(t))^{-\frac{q}{p}}\left|b(t)\phi_R(r)\eta'_R(t)\right|^{q}{\rm d}x{\rm d}t\\&\leq& CR^{-{\frac{2}{1+\alpha}}q+N}\int_{\frac{R^{\frac{2}{1+\alpha}}}{4}}^{R^{\frac{2}{1+\alpha}}}(1+t)^{-q\alpha}{\rm d}t\\&\leq& CR^{-2q+N+{\frac{2}{1+\alpha}}}, \end{eqnarray}$

其中$C=C(\mu_1, N, p)$.类似地, 可得

(5.16) $\begin{equation}\label{5.15}N_1\leq CR^{-{\frac{4}{1+\alpha}}q+N+{\frac{2}{1+\alpha}}}\end{equation}$

及

(5.17) $\begin{equation}\label{5.16}N_3\leq CR^{-2q+N+\frac{2}{1+\alpha}}, \end{equation}$

其中$C=C(N, p)$.由(5.14)-(5.17)式知

(5.18) $\begin{equation}\frac{1}{q}M_R\leq 3CR^{-2q+N+{\frac{2}{1+\alpha}}}-\int_{B_R(0)}\varepsilon\left(\mu_1u_0(x)+u_1(x)\right)\phi_R(r){\rm d}x, \end{equation}$

其中$C=C(\mu_1, N, p)$.注意到假设(2.18), 知存在$\overline{R}>0$, 使得

(5.19) $\begin{eqnarray}\int_{B_R(0)}\big( \mu_1u_0(x)+ u_1(x)\big)\phi_R(r){\rm d}x\geq C_0>0, \quad\forall ~R\geq \overline{R}, \end{eqnarray}$

其中$C_0=C(\alpha, N, u_0, u_1))$.假设$u$是在$ [0, T]\times\mathbb{R} ^N$上的局部解且$T\geq\overline{R}$, 设最大存在时间$T^*=R^{\frac{2}{1+\alpha}}$, 将(5.18)式代入(5.19)式, 有

(5.20) $\begin{eqnarray}0<\frac{1}{q}M_R&\leq& 3CR^{N+\frac{2}{1+\alpha}-2q}-\int_{B_R(0)}\varepsilon \big( \mu_1u_0(x)+ u_1(x) \big) \phi_R(r){\rm d}x\\&\leq &3CT^{*^{\frac{N(1+\alpha)+2}{2}-q(1+\alpha)}}-C_0\varepsilon.\end{eqnarray}$

所以

(5.21) $\begin{equation}T^*\leq C\varepsilon^{-\frac{1}{\frac{1}{p-1}(1+\alpha)-\frac{(1+\alpha)N}{2}+\alpha}}, \end{equation}$

其中$C=C\left(\alpha, \mu_1, u_0(x), u_1(x), N, p\right)$.