本文考虑

其中$N\geq1, ~0<\alpha<1, ~0<\beta<1$, $\mu_1, ~\mu_2 \in R, \ p>1$.

如果$\mu_1=\mu_2=0$, 则方程(1.1)化为

关于问题(1.2)的整体解的存在性与否的研究称为Strauss猜想, 这是1980年以来半线性波动方程理论中的关键问题之一.我们知道, 若$1 < p \leq p_{St} (N)$, 则解在有限时间内爆破; 而当$p>p_{St} (N)$时, 则整体解存在^{[6, 10, 15-16, 24]}, 其中$p_{St}(N)$为Strauss指数, 即如下一元二次方程的正根

当$N=1$时, $p_{St} (1)=\infty$.

如果没有质量项, 则方程(1.1)化为阻尼型的波动方程.从物理学角度来看, 该模型可以表示输电线路上电压和电流随距离和时间的变化, 如电报方程, 阻尼与速度成正比的弹性振动和有限传播速度下的热传导.再如半导体, 其材料的电阻与温度有关, 如果温度随时间变化, 则阻尼项具有依赖时间的系数, 可以参考D'Abbicco^[4]和Wirth^[22]. Todorova-Yordanov^[17]研究了阻尼项系数与时间无关的半线性波动方程

他们确定了临界指数是$p_{F} (N) = 1 + \frac2N$, 并在空间$C([0, \infty), H^1)\cap C^1 ([0, \infty), L^2)$中研究了局部解的适定性, 爆破和小初值解的整体存在性, 其中$p_{F}(N)$称为Fujita指数^[5].需要指出的是, 在$N=1, ~2$时, Li-Zhou^[9]也研究了相关问题; Zhang^[25]用试验函数方法, 证明了临界指数$p_F(N)$也属于爆破范畴.

Lin-Nishihara-Zhai^[11]和Nishihara^[13]对阻尼项系数与时间相关的半线性波动方程

研究了"有效的"阻尼(即$-1\leq\alpha<1$)情形下的临界指数问题.

在文献[19-21]中, Wirth系统地研究了参数$\alpha$对方程(1.5)解的影响.当$-1\leq\alpha<1$时，阻尼项称为"有效的"(effective), 这是因为解的行为类似于相应的热方程; 当$\alpha>1$时，阻尼项称为"无效的"(non-effective), 这意味着解的行为与相应的波动方程类似; 当$\alpha<-1$时, 阻尼项在文献[7]中称为"过度阻尼"(over-effective), 此时$(1+t)^{\alpha}\in L^1$.需要指出的是, 若$\alpha=1$, 则方程(1.5)在如下的变换下保持不变

在这种情形下, Wakasugi^[18]研究了方程(1.5)的临界指数问题, 并指出解的渐近行为与系数$\mu_1$的大小有着密切关系.

如果没有阻尼项, 则方程(1.1)化为Klein-Gordon方程, 文献[2, 23]对它进行了研究.方程(1.1)是阻尼型波动方程和Kelin-Gordon方程的组合.如果$\alpha=\beta=1$, 则方程(1.1)化为具有尺度不变的阻尼项和质量项系数的半线性波动方程

Palmieri^[14]采用权函数$e^{2\psi (t, x)}$, 其中$\psi(t, x)=\frac{\mu_1 | x |^2}{2(1 + t)^2}$, 在指数加权空间中, 对(1.6)式的临界指数问题进行了研究.

本文意在研究方程(1.1)在$N\geq1$和$p>1$, $0<\alpha <1, ~0<\beta<1$情况下临界指数问题.我们发现:当$1<p\leq p_F(\alpha, N)=1+\frac{2(1+\alpha)}{N(1+\alpha)-2\alpha}$时, 方程(1.1)的解$u$在有限时间内爆破; 当$N\geq3$, $p_F(N)<p\leq\frac {N}{N-2}$时和当$N=1, ~2$, $p_F(N)<p<\infty$时, 方程(1.1)存在整体解.目前，我们尚未发现该问题的相关研究.我们的困难在于:由于方程(1.1)不能化为阻尼型的波动方程或质量型的波动方程, 致使无法使用文献[17]中的特殊函数来求解.但Nishihara^[12]给了我们启发, 我们可以使用加权函数空间来研究该问题.实际上, 如果$0<\alpha <1, ~0 <\beta<1$, 抛物方程

其中$b(t)=(1+t)^{-\alpha}$, 其解$u(t, x)$为

其中

因此我们可以用权函数$\psi(t, x)=e^{\frac{|x|^2}{4(1+t)^{1+\alpha}}}$去处理柯西问题(1.1).

本文的内容安排如下:在第2节, 我们将介绍本文的主要结果:局部解-定理2.1, 整体解-定理2.2和爆破结果-定理2.3.在第3节, 基于一些先验能量估计, 将采用Banach不动点证明局部解的适定性(定理2.1).在第4节, 基于一个非线性的能量不等式, 利用反证法证明小初值的解是整体存在的(定理2.2).爆破结果-定理2.3将在第5节中采用试验函数方法证明.试验函数方法最初是由Zhang^[25]提出的, 现已成为研究爆破问题的基本方法之一.应当指出的是, 本文只能对一些特殊的参数$\alpha, ~\beta, ~\mu_1$和$\mu_2$来应用试验函数方法, 一般情况下是否适用, 我们目前还未知.

本文中$f\lesssim g$, 意味着存在一个常数$C>0$, 使得$f\leq Cg$.本文使用的函数空间皆定义于整个空间$\mathbb{R} ^N$上, 我们一般不再强调这个事实.

选择权函数$\psi$

其中

记

为阻尼项和质量项的系数.

定义带权$e^{\sigma\psi(t, \cdot)} (\sigma>0)$的$L^2$空间和Sobolev空间$H^1$如下

其范数为

令

对于任意的$\sigma>0$和$t>0$, 成立

事实上, 利用Cauchy-Schwartz不等式并注意到$\psi>0$, 我们有

另外容易验证

其中$r\in [1, 2]$.

下面先给出局部解存在的结果, 它是本文采用反证法得到小初值的整体解的前提.

定理 2.1 (局部解)  假设$0<\alpha<1, ~0<\beta<1, ~\mu_1>0, ~\mu_2\geq0$, 且

则对每个初值$(u_0, u_1)\in{\cal D}$ (见(2.6)式), 存在一个最大存在时间$T^*\in(0, \infty]$, 使得柯西问题(1.1)有唯一解$u\in C\left([0, T^*), H^1(\mathbb{R} ^N)\right)\cap C^1\left([0, T^*), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$, 且对任意的$T\in(0, T^*)$, 满足

其中$\|\cdot\|_{H^1_{\psi(t, \cdot)}}$和$\|\cdot\|_{L^2_{\psi(t, \cdot)}}$的定义见(2.5).进一步, 若$T^*<\infty$, 则

现在给出整体解的结果, 由前文知Fujita指数$p_F (N) = 1 + \frac2N.$对于方程(1.1), 我们定义初始能量

定理 2.2(整体解)  假设$0<\alpha<1, ~0<\beta<1, ~\mu_1>0, ~\mu_2\geq0$, 且

如果存在一个常数$\delta >0$, 对任意的初值$(u_0, u_1)\in{\cal D}$(见(2.6)式)满足

则方程(1.1)有唯一解$u\in X_{\infty}=C\left([0, \infty), H^1(\mathbb{R} ^N)\right)\cap C^1\left([0, \infty), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$, 且

其中$C=C(\alpha, \beta, \mu_1, \mu_2, \delta, p, N)$.

记

我们将证明, 当$1< p \leq p_F(\alpha, N)$时, 对于特定参数$\alpha, ~\beta~\mu_1, ~\mu_2$和满足一定积分符号条件且具有紧支集的初值, 方程(1.1)相应的解必在有限时间内爆破.

定理 2.3 (爆破)  对于方程(1.1), 假设

其中$0<\alpha<1, ~2\beta=\alpha+1$, $\mu_1>0, ~\mu_2=-\mu_1\alpha$.如果$1<p\leq p_F(\alpha, N)$, 则方程(1.1)不存在解$u\in C\left([0, \infty), H^1(\mathbb{R} ^N)\right)\cap C^1\left([0, \infty), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$.若对方程(1.1)赋予初值

其中$u_0(x)$和$u_1(x)$满足条件(2.18), 则存在一个常数$C=C\left(\alpha, \mu_1, u_0(x), u_1(x), N, p\right)$, 使得对于任何次临界指数$p$, 方程(1.1)的解的最大存在时间$T^*$满足

问题

的解为

其中$E_0(t, s, x)$和$E_1(t, s, x)$分别是初值$(u_0, u_1)=(\delta_0, 0)$和$(0, \delta_0)$时的基本解, $\delta_0$是变量$x$的Dirac分布, $\ast_{(x)}$是对变量$x$的卷积.由Duhamel原理, 方程(1.1)在$(0, T)\times\mathbb{R} ^N$上的解就是算子$R$的不动点, 其中$R$定义为

这里$Y(t)=C\left([0, t], H^1_{\psi(t, .)}\right)\cap C^1\left([0, t], L^2_{\psi(t, .)}\right).$

对于$\psi$(见(2.1)式), 容易验证

其中当$\delta\rightarrow0$时, $\delta_1=\frac{\delta(1+\alpha)N}{2(2+\delta)}\rightarrow0$.

在证明定理2.1时, 我们将利用下面的一些引理, 虽然它们只是对文献[8, 17]中相应结果的修改, 但为了方便起见, 我们也给出它们的证明.

引理 3.1  对$\sigma>0$和$v\in H^1_{\sigma \psi(t, \cdot)}$, 成立

其中$\psi(t, x)$为权函数(见(2.1)式).

证  令$f=e^{\sigma\psi}v$, 则

故$e^{\sigma\psi}\nabla v=\nabla f-\sigma f\nabla \psi$且

分部积分得

由(3.4)和(3.9)式得

引理3.1证毕.

引理 3.2  对$\theta(q)=N(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})\in[0, 1], ~\sigma\in(0, 1]$和$v\in H^1_{\psi(t, \cdot)}$, 成立

证  令$f=e^{\sigma\psi}v$.利用经典的Gagliardo-Nirenberg插值不等式(见文献[1]), 我们得到

其中$\theta(q)=N(\frac{1}{2}-\frac{1}{q})$.由引理3.1, 有

因此

引理3.2证毕.

下面的引理是Gronwall不等式的非线性形式, 可参考文献[3].

引理 3.3  设$k(s)$是非负连续函数, $M$是正实数, $g(s)$是非负连续增函数, 有

若$y(t)$为连续函数使得

则

令

其中

容易验证$\left(E(T), \|\cdot\|^{\psi}_{T}\right)$是一个Banach空间.

现在, 我们证明定理2.1.

定理 2.1 的证明  对$T, ~R>0$, 记

定义映射

其中$u$是下列柯西问题的唯一解

首先, 我们证明$\theta(A^\psi_{T, R})\subset A^\psi_{T, R}$.在方程(3.22)两边同乘$e^{2\psi}u_t$得到

把下面一些等式

代入(3.23)式, 有

由于$\psi_t <0, ~\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}<0$, 注意到(3.5)式, 可知$|\nabla\psi(t, x)|^2+b(t)\psi_t(t, x) \leq 0$, 故(3.24)式可化为

令

对$L^1$函数用弱导数意义下的散度定理, 有$\int_{\mathbb{R} ^N}{\rm div}(e^{2\psi}u t\nabla u){\rm d}x=0$.再将(3.25)式在$\mathbb{R} ^N$上积分并利用Cauchy-Schwartz不等式, 得到

取$g(s)=s^{\frac{1}{2}}, ~G(u)=u^{\frac{1}{2}}$, 应用引理3.3, (3.27)式可化为

由引理3.2, 取$\sigma=\frac{1}{p}\in(0, 1)$并注意到$A^\psi_{T, R}$的定义, 知

因此

由$E_{\psi, u}$的定义, 我们有

因此

选择足够小的$T$和足够大的$R$, 使得

所以

这意味着$\theta:A^{\psi}_{T, R}\rightarrow A^{\psi}_{T, R}$.

其次, 我们证明:当$T>0$充分小时, $\theta$是一个压缩映射.为此, 对$v, ~\overline{v}\in A^{\psi}_{T, R}$, 记$u=\theta(v), ~\overline{u}=\theta(\overline{v})$.则~$\omega=u-\overline{u}$满足

令

类似(3.27)式, 得到

将

代入上式, 得

由引理3.3, 得

利用Hölder不等式和引理3.2, 并注意到$A^{\psi}_{T, R}$的定义, 有

及

将上面两式代入(3.39)式, 得到

由$E_{\psi, \omega}$的定义(3.36), 知

所以

其中$C_0=C_0(\alpha, \beta, \mu_1, \mu_2, N, p, R)$.选择足够小的$T>0$, 使得

则

即映射$\theta$是压缩的.

由于$\left(E(T), \|\cdot\|^{\psi}_T\right)$是一个Banach空间, 利用Banach不动点定理, 可知柯西问题(1.1)有唯一解$u\in C\left([0, T^*), H^1(\mathbb{R} ^N)\right) \cap C^1 \left([0, T^* ), L^2(\mathbb{R} ^N)\right)$且对任何$t\in[0, T^*)$, 相应的$E_{\psi, u}(t)$都有限, $T^*<\infty$时意味着当$T \rightarrow T^*$时, 能量将会爆破.

本节我们将利用文献[18]的加权能量方法证明方程(1.1)的小初值的解的整体存在性结果-定理2.2.不失一般性, 不妨假设$\mu_1=\mu_2=1$.

命题 4.1  假设

和$0<\alpha<1, ~0<\beta<1$.如果存在$\delta>0$和$T>0$, 使柯西问题(1.1)的解 $u\in C\left([0, T], H^1\right)\cap C^1\left([0, T], L^2\right)$, 且满足

则

其中

$C=C(\alpha, \beta, p, \delta, N), ~\epsilon=\epsilon(\delta) =\frac{3\delta(1+\alpha)N}{2(2+\delta)}$, $\psi(t, x)=\frac{a|x|^2}{(1+t)^{1+\alpha}}$, $a=\frac{1+\alpha}{4(2+\delta)}$, $I_0^2$是初始能量(定义见(2.13)式), 即$I_0^2=\int_{\mathbb{R}^N}e^{2\psi(0, x)}\left(|u_1(x)|^2+|\nabla u_0(x)|^2+|u_0(x)|^2\right){\rm d}x.$

证  方程(1.1)即

其中$b(t)=\frac{1}{(1+t)^\alpha}, ~m(t)=\frac{1}{(1+t)^{2\beta}}$.令$F(u)=\int_0^u|s|^p{\rm d}s, ~f(u)=|u|^p$.在(4.5)式两边同乘$e^{2\psi} u_t$, 得

由于$\frac{{\rm d}m(t)}{{\rm d}t}<;0$, $A_1=\frac{e^{2\psi}}{-\psi_t}|\psi_t\nabla u-u_t\nabla \psi|^2\geq\frac{e^{2\psi}}{-\psi_t}\big(\frac{1}{5}\psi_t^2|\nabla u|^2-\frac{1}{4} u_t^2|\nabla\psi|^2\big)$, 由(4.6)式可得

将上式在$\mathbb{R} ^N$上积分, 有

其中

在(4.5)式两边同乘$e^{2\psi} u$, 有

注意到

将(3.4)-(3.6)式和(4.11)式代入(4.10)式, 得到

其中$N_{\alpha}=\alpha+\frac{(1+\alpha)N}{2}-2\delta_1.$由于$\frac{|\nabla\psi|^2}{-\psi_t}=\frac{b(t)}{2+\delta}$, 故

其中当$\delta\rightarrow0$时, $\delta_2={\rm min}\left\{1-\frac{4}{4+\frac{\delta}{2}}, \frac{\delta}{2+\delta}\right\}\rightarrow0$.把(4.13)式代入(4.12)式并在$\mathbb{R} ^N$积分, 得到

为了处理(4.14)式中的$-u_t^2$项, 将(4.8)式乘以$(t+t_0)^{\alpha}~(t_0\gg1)$, 得

将(4.14)式乘以$\lambda$ ($0<\lambda\ll1$)并与(4.15)式相加, 得到

其中

下面我们估计$\widetilde{E}(t)$和$\widetilde{H}(t)$.由$E(t)$的定义(4.9), 注意到$|D_1|\leq\frac{\delta_2\lambda b(t)}{2}u^2+\frac{\lambda(t+t_0)^{\alpha}}{2\delta_2}u_t^2$, 容易验证

及

其中$C_0=1+\frac{\lambda}{\delta_2}$, $c_0=1-\frac{\lambda}{\delta_2}$,

对$D_2$有$|D_2|\leq\frac{1}{2}(-\psi_t)(t+t_0)^{\alpha}u_t^2+2\lambda^2b(t)(-\psi_t)u^2,$则

所以

其中$C_1=\min\left\{\frac{3+4\delta}{4(2+\delta)}-\lambda-\frac{\alpha}{2t_0^{1-\alpha}}, ~\lambda\delta_2-\frac{\alpha}{2t_0^{1-\alpha}}, ~\lambda-\frac{\alpha}{2t_0^{1-\alpha}}, \ \frac{1}{5}, ~\delta_2\lambda-2\lambda^2\right\}$,

将(4.16)式乘以$(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}$并利用(4.22)式, 得到

其中$\gamma=\alpha+\frac{1+\alpha}{2}N$.我们用(4.18)和(4.19)式去处理$(t_0+t)^{\gamma-3\delta_1}\frac{d\widetilde{E}(t)}{{\rm d}t}$.注意到

其中$C_2=C_2(\delta, \lambda)$, 由(4.25)式可得

对于足够大的$t$, 存在两个正常数$a_0, ~a_1$, 使得$C_1-\frac{C_0(\gamma-3\delta_1)}{(t+t_0)^{1-\alpha}}\geq a_0$且$\frac{N_{\alpha}}{t+1} -\frac{(\gamma-3\delta_1)(\delta_2+1)}{t+t_0}\geq\frac{a_1}{1+t}$.令$3\delta_1=\epsilon$, 将(4.26)式在$[0, t]$上积分, 得到

其中$C_3=C_3(\alpha, \delta, \lambda, t_0, a_1, a_2)$.

由$M(t)$的定义(4.4), 知$M(t)=\sup\limits_{0\leq\tau\leq t}\{(1+\tau)^{\gamma+1 -\varepsilon}E(\tau)+(1+\tau)^{\gamma-\alpha-\varepsilon}J(\tau, u^2)\}$.为了估计$M(t)$中的$(1+t)^{\gamma+1-\varepsilon}E(t)$, 将(4.15)式乘以$(t+t_0)^{\gamma+1-\alpha-\epsilon}$, 得

在$[0, t]$积分得

其中$C_4=C_4(\alpha, \gamma, \lambda, t_0, \epsilon)$.将(4.29)式乘以$\mu$ ($0<\mu\leq1$)并和(4.27)式相加, 得

其中$C_5=C_5(\alpha, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, t_0, a_0, a_1)$, $R_4=\int_0^tR_2(\tau+1)^{\gamma-\epsilon} +R_1\mu(1+\tau)^{\gamma-\alpha+1-\epsilon}{\rm d}\tau$.由(4.30)式知

注意到

由(4.31)式得

为得到(4.3)式, 我们只需要估计(4.33)中的$R_4$即可.利用(3.4)-(3.6)和(4.30)式, 可得

由于$p>1, ~\frac{4}{p+1}<2$, 易知

故

其中$\sigma=\sigma(p+1)=N(\frac{1}{2}-\frac{1}{p+1})$.注意到$p>1+\frac{2}{N}$, 利用Gagliardo-Nirenberg插值不等式, 得

及

其中$C_6=C_6(\alpha, \gamma, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, p, N)$, $C_7=C_7(\alpha, \gamma, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, p, N)$.易知

所以

其中$C_8=C_8(\alpha, \gamma, \delta, \epsilon, \lambda, \mu, p, N)$.将(4.37), (4.38)和(4.40)式代入(4.34)式, 并利用(4.33)式, 得到

命题4.1得证.

接下来证明定理2.2.

定理 2.2 的证明  因初始能量$I_0$足够小, 这意味着存在一个足够小的$\epsilon$, 使得$I_0^2<\epsilon<\epsilon_0, ~\epsilon_0=\min \big\{1, s_0, \frac{s_0}{2C_1}\big\}$, 其中$s_0$是下面确定的一个常数.由命题4.1, 我们有

其中$C_1=C_1(\alpha, \beta, \delta, p, N)$, $C_2=C_2(\alpha, \beta, \delta, p, N)$.令

由$\phi(0)=0, ~\phi'(0)=1$, 知存在一个正常数$s_0$, 使得对任何$s\in[0, s_0]$, 都有$\phi'(s)\geq\frac{1}{2}$, 从而

由(4.42)式知$\phi(M(t))\leq C_1 \epsilon_0\leq\frac{s_0}{2}$, 再利用(4.44)式就得到

由于$M(t)$在$[0, T^*)$上连续且$\phi(s)$在$[0, s_0]$上严格单调递增, 故$M(t)\leq s_0$且

从而

这和(2.12)式矛盾, 所以$T^*=\infty$, 即$u$是一个整体解.由$M(t)\lesssim\epsilon_0$易得(2.15)式和(2.16)式.定理2.2得证.

本节我们将采用Zhang^[25]的试验函数方法证明爆破结果-定理2.3.

定理 2.3 的证明  令(参见文献[25])

其中$\eta(t), \phi(r)\in C_0^{\infty}$满足

及

$C$是一个正常数.由$\mu_2=-\mu_1\alpha$和$\alpha=2\beta-1$, 方程(1.1)可化为

其中$b(t)=\frac{\mu_1}{(1+t)^{\alpha}}$.令

其中$Q_R=\left[0, R^{\frac{2}{1+\alpha}}\right]\times B_R(0), ~B_R(0)=\{x:\ |x|\leq R\}$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.则

由分部积分得到

所以

其中

由假设(2.18)知

下面我们估计$J_1, ~J_2$和$J_3$.利用Hölder不等式和$\eta(t)$, $\phi(r)$的假设, 有

其中

类似地

及

将(5.7)-(5.9)式代入(5.6)式, 可得

故

如果$0<p<p_F(\alpha, N)$, 则当$R\rightarrow\infty$时, $I_R\rightarrow0$, 因此$u\equiv0$.所以

这与假设(2.18)矛盾.

如果$p=p_F(\alpha, N)$, 则有$I_R\leq C$, 其中$C$是一个与$R$无关的常数, 从而

所以$u\equiv0$, 这也与假设(2.18)矛盾.

为得到次临界情况下生命跨度的估计, 令

重复上面的过程, 我们有

由Young不等式知

其中

利用$\eta(t)$和$\phi(r)$的假设，我们有

其中$C=C(\mu_1, N, p)$.类似地, 可得

及

其中$C=C(N, p)$.由(5.14)-(5.17)式知

其中$C=C(\mu_1, N, p)$.注意到假设(2.18), 知存在$\overline{R}>0$, 使得

其中$C_0=C(\alpha, N, u_0, u_1))$.假设$u$是在$[0, T]\times\mathbb{R} ^N$上的局部解且$T\geq\overline{R}$, 设最大存在时间$T^*=R^{\frac{2}{1+\alpha}}$, 将(5.18)式代入(5.19)式, 有

所以

其中$C=C\left(\alpha, \mu_1, u_0(x), u_1(x), N, p\right)$.