近些年来, 乘积流形中常曲率子流形的研究吸引了许多几何专家学者的关注.例如, 1955年Hopf注意到${\Bbb R}^{3}$中具有常平均曲率的一个浸入曲面$\Sigma^{2}$的第二基本形式矩阵对角线元素的和的复化实际上是$\Sigma^{2}$上的一个全纯2 -形式$Q$, 接着他利用该观察得到了著名的结论: ${\Bbb R}^{3}$中任意一个具有常平均曲率$H$的浸入球面${\Bbb S}^{2}\rightarrow {\Bbb R}^{3}$是一个半径为$\frac{1}{H}$的标准欧氏球面.通过在乘积空间${\Bbb S}^{2}\times{\Bbb R}$和${\Bbb H}^{2}\times{\Bbb R}$中的浸入曲面上定义一个推广的可微2 -形式$\widetilde{Q}$, Abresch和Rosenberg^[1]可将Hopf的经典结论拓展到这些乘积空间里的常平均曲率曲面, 这里${\Bbb S}^{2}$, ${\Bbb H}^{2}$分别为2 -维的球面和双曲面. Meeks和Rosenberg^[7]成功对乘积空间$M\times{\Bbb R}$中稳定的、恰当嵌入的可定向极小曲面$\Sigma$进行了分类, 这里$M$是一个可定向的闭黎曼面.事实上, 他们证明了:这样的曲面$\Sigma^{2}$必定是(1) $\ell\times{\Bbb R}$, 这里$\ell$表示$M$上稳定的嵌入测地线; (2)存在某一$t\in {\Bbb R}$使得$\Sigma^{2}= M\times\{t\}$; (3)可被参数化成$P\times {\Bbb R}^{+}$的具有周期性的多重图的一个模空间, 这里$P$代表同调群$H_{1}(M)$的本原(非多重的)同调类. Mazet, Rodríguez和Rosenberg^[6]分析了乘积流形${\Bbb H}^{2}\times{\Bbb R}$中的周期极小曲面或常平均曲率曲面的各种性质, 并且构造了${\Bbb H}^{2}\times{\Bbb R}$中周期极小曲面的例子. Rosenberg, Schulze和Spruck^[8]证明了:如果$M$是一个完备的、循环的、具有有界曲率的$n$ -维黎曼流形时, 那么乘积流形$M\times {\Bbb R}^{+}$中的恰当浸入极小超曲面必定是某一薄片$M\times\{c\}$.当然, 更多的信息, 读者可以查阅上述论文的参考文献¹.可见, 研究乘积流形$M^{n}\times{\Bbb R}$中的常曲率子流形是非常重要和有趣的.

¹事实上, 读者也可以查看文献[3, Remark 1.2 (Ⅲ)]来了解这个内容.然而, 我们更愿意将它再次写在这里来清楚地揭示我们研究乘积流形$M^{n}\times{\Bbb R}$中的常平均曲率超曲面的动机.

假设$(M^{n}, \sigma)$是一个$n$ -维完备黎曼流形, $n\geq 2$, $\sigma$为其黎曼度量, $\Omega$是$ M^{n}$上具有光滑边界$\partial\Omega$的紧致严格凸区域. $(U_{A}, w^{1}_{A}, w^{2}_{A}, \cdots, w^{n}_{A})$表示$M$上的局部坐标覆盖, $\frac{\partial}{\partial w^{i}_{A}}$, $i=1, \cdots, n$, 是相应的坐标向量场, 这里$A\in I\subseteq N$, $N$是正整数集.为了方便, 我们把$\{w^{1}_{A}, w^{2}_{A}, \cdots, w^{n}_{A}\}$简写成$\{w^{1}, w^{2}, \cdots, w^{n}\}$表示在$M$上的局部坐标, 把$\frac{\partial}{\partial w^{i}_{A}}$简写成$\frac{\partial}{\partial w^{i}}$或者$\partial_{i}$.在这种设定下, 度量$\sigma$可表示为$\sigma=\sum\limits_{i, j=1}^{n}\sigma_{ij}{\rm d}w^{i}\otimes {\rm d}w^{j}$且$\sigma_{ij}=\sigma(\partial_{i}, \partial_{j})$. $D$, $D^{\partial\Omega}$分别表示$\Omega$, $\partial\Omega$上的协变微分算子.对于乘积流形$ M^{n}\times{\Bbb R}$中任给的一个光滑²图超曲面${\Bbb G}$, 一定存在一个光滑的函数$u\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, 使得${\Bbb G}$能被表示为${\Bbb G}:=\{(x, u(x))|x\in\Omega\}$.如果$M^{n}\times{\Bbb R}$的乘积度量为$\overline{g}=\sigma_{ij}{\rm d}\omega^{i}\otimes {\rm d}\omega^{j}+{\rm d}s\otimes {\rm d}s$, 那么不难知道${\Bbb G}$的度量为$g=i^{\ast}\overline{g}$, 这里$i^{\ast}$是浸入映射$i:{\Bbb G}\hookrightarrow M^{n}\times{\Bbb R}$的拉回映射.可知:图超曲面的切向量为

²事实上, 没有必要在初始超曲面${\Bbb G}$上强加光滑假设. ${\Bbb G}$的$C^{2, \alpha}$ -正则性足以保证在后续计算中得到所有的估计.然而, 为了避免繁琐的、并非本质的正则性讨论, 这里我们不妨假设${\Bbb G}$是光滑的.

$ \begin{eqnarray*} \vec{e_{i}}=\partial_{i}+D_{i}u\partial_{s}, \qquad i=1, 2, \cdots, n, \end{eqnarray*} $

向上的单位法向量

$ \begin{eqnarray*} \vec{\gamma}=-\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}D^{i}u\partial_{i}-\partial_s}{\sqrt{1+|Du|^2}}, \end{eqnarray*} $

这里$D^{j}u=\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma^{ij}D_{i}u$.令$\nabla$表示$M^{n}\times{\Bbb R}$上的协变微分算子, 则${\Bbb G}$的第二基本形式$h_{ij}{\rm d}\omega^{i}\otimes {\rm d}\omega^{j}$为

$\begin{eqnarray*} h_{ij}=-\langle\nabla_{\vec{e}_i}\vec{e}_j, \vec{\gamma}\rangle_{\overline{g}}=-\frac{D_{i}D_{j}u}{\sqrt{1+|Du|^2}}, \end{eqnarray*} $

进一步的, ${\Bbb G}$的平均曲率为

(1.1) $\begin{equation}\label{eq:a1} H=\sum\limits_{i=1}^{n}h^i_i=-\frac{\sum\limits_{i, k=1}^{n}g^{ik}D_{i}D_{k}u}{\sqrt{1+|Du|^2}}=-\frac{\sum\limits_{i, k=1}^{n}\left(\sigma^{ik}-\frac{D^{i}uD^{k}u}{1+|Du|^{2}}\right)D_{i}D_{k}u}{\sqrt{1+|Du|^2}}. \end{equation}$

考虑具有非零Neumann边值条件(简写为NBC)的常平均曲率方程

$\begin{eqnarray*} (\natural)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} -H={\rm div}\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^{2}}}\right)=\lambda, \quad& \mbox{在} \Omega \mbox{中}, \\ D_{\vec{\nu}}u=\phi(x), \qquad & \mbox{在}\partial \Omega \mbox{上}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

这里, $\lambda\in{\Bbb R}$是一个常数, $\vec{\nu}$是$\partial\Omega$的单位内法矢, $\phi(x)\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$.受文献[3, 定理2.2]梯度估计的启发, 我们尝试去得到方程($\natural$)解的存在性.我们可以证明如下事实:

定理 1.1  如果$M^{n}$的${\rm Ricci}$曲率非负, 存在唯一一个实数$\lambda$, 使得方程${\rm (\natural)}$有解$u\in C^{\infty} (\overline{\Omega})$, 并且在相差一个常数的意义下, 解是唯一的.

注 1.1  ${\rm (1)}$在这里, 向量$\vec{\gamma}$, $\vec{\nu}$的夹角称为接触角, 其内积为

$\begin{eqnarray*} \langle\vec{\gamma}, \vec{\nu}\rangle_{\overline{g}}=\frac{D_{\vec{\nu}}u}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\end{eqnarray*}$

因此, 如果这接触角是任意的, 那么在$\partial\Omega$上, 应该存在$\varphi(x)\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, $|\varphi(x)|\leq1$, 使得$D_{\vec{\nu}}u\big{|}_{\partial\Omega}=\varphi(x)\cdot\sqrt{1+|Du|^2}$.因此, 即使方程${\rm (\natural)}$有非零的${\rm NBC}$, 但其${\rm NBC}$的右端不含有$Du$项, 使得该${\rm NBC}$的几何意义显得有些不足.我们能处理${\rm NBC}$中含有$Du$项的情形吗?受最近一个工作^[9]的启发, 我们可以尝试证明:如果把方程${\rm (\natural)}$的${\rm NBC}$被替换成

$ \begin{eqnarray*}D_{\vec{\nu}}u=\phi(x)\cdot\left(\sqrt{1+|Du|^2}\right)^{1-q}, \;\;\; q>0 \end{eqnarray*}$

的情形.

${\rm (2)}$方程${\rm (\natural)}$的可解性意味着存在定义在$\Omega\subset M^{n}$上的有非零接触角的图超曲面.

${\rm (3)}$如果$M^{n}\equiv{\Bbb R}^{n}$, 我们的主要结论就退化成了文献[4]的定理1.3.换言之, 我们的定理${\rm 1.1}$包含了文献[4]的定理1.3.

如果$\Omega$是一个具有光滑边界$\partial\Omega$的严格凸的区域, 那么在$\Omega$上存在一个光滑函数$\beta$, 使得$\beta|_{\Omega}<0$, $\beta|_{\partial\Omega}=0$, ${\sup_\Omega}|D\beta|\leq1$.在$\partial\Omega$上有, $\beta_{\vec{\nu}}=D_{\vec{\nu}}\beta=-1$, $|D\beta|=1$.此外, 函数$\beta$还满足性质:存在某一正常数$k_{0}>0$使得

$\left(\beta_{ij}\right)_{n\times n}\geq k_{0}\left(\delta_{ij}\right)_{n\times n}.$

因为$\Omega$是严格凸的区域, 故

$\left(h_{ij}^{\partial\Omega}\right)_{(n-1)\times(n-1)}\geq\kappa_{1}\left(\delta_{ij}\right)_{(n-1)\times(n-1)}, 1\leq i, j\leq n-1, $

其中$h_{ij}^{\partial\Omega}$是边界$\partial\Omega$的第二基本形式, 并且$\kappa_{1}>0$是$\partial\Omega$的最小主曲率.

引理 2.1  令$\varepsilon>0$, $\phi\in C^{3}(\overline{\Omega})$, 假设存在一个正数$L$使得

$|\phi|_{C^{3}(\overline{\Omega})}\leq L, $

并且$M^{n}$的Ricci曲率是非负的.如果$u$是边值问题${\rm (\natural)}$的解, 则存在一个常数$c_{1}=c_{1}(n, \Omega, L)$使得

$\sup\limits_{\overline{\Omega}}|Du|\leq c_{1}.$

证  我们将利用与文献[3, 定理2.2]的证明类似的思路得到方程($\natural$)的梯度估计.事实上, 这一梯度估计的技巧源自于文献[5].取$a^{ij}:=(1+|Du|^{2})\sigma^{ij}-D^{i}uD^{j}u$, $f=\varepsilon u$, $v=\sqrt{1+|Du|^{2}}$, $\varepsilon>0$.则在方程($\natural$)中的第一个式子可简写为

$\sum\limits_{i, j=1}^{n}a^{ij}u_{ij}=fv^{3}. $

令

$\Phi=\log|D\omega|^{2}+\zeta\beta, $

其中$\omega=u+\phi(x)\beta$, 且$\zeta$是一个正常数.为了方便, 我们记$G=-\phi(x)\beta$.

我们首先表明$\Phi(x)$在$\overline{\Omega}$上的最大值不能在边界$\partial\Omega$取到.

在点$x_{0}\in\overline{\Omega}$处选取一个合适的局部坐标系使得$\tau_{n}$是$\partial\Omega$上的单位内法向量, $\tau_{i}$是$\partial\Omega$上的单位光滑切向量, $i=1, 2, \cdots, n-1$.记$D_{\tau_{i}}u:=u_{i}$, $D_{\tau_{j}}u:=u_{j}$, $D_{i}D_{j}u:=u_{ij}$, $1\leq i, j \leq n$.由边值条件, 我们得到

$D_{\tau_{n}}\omega\big{|}_{\partial\Omega}=\omega_{n}\big{|}_{\partial\Omega}=u_{n}\big{|}_{\partial\Omega}+\left(\phi_{n}\beta+\beta_{n}\phi\right)\big{|}_{\partial\Omega}=0. $

若$\Phi(x)$在$x_{0}\in\partial\Omega$达到最大值, 则在点$x_{0}$处, 可得

(2.1) $\begin{array}{l}0 \ge {\Phi _n} = \frac{{|D\omega |_n^2}}{{|D\omega {|^2}}} - \zeta \\ = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2{\omega ^k}{D_{{\tau _n}}}{D_{{\tau _k}}}\omega }}{{|D\omega {|^2}}}} - \zeta \\ = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2{\omega ^k}[{\tau _k}({\tau _n}(\omega )) - ({D_{{\tau _k}}}{\tau _n})\omega ]}}{{|D\omega {|^2}}}} - \zeta \\ = - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2{\omega ^k}({D_{{\tau _k}}}{\tau _n})(\omega )}}{{|D\omega {|^2}}}} - \zeta \\ = - \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2{\omega ^k}{\omega _j}{{\langle {D_{{\tau _k}}}{\tau _n}, {\tau _j}\rangle }_\sigma }}}{{|D\omega {|^2}}}} - \zeta \\ = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\frac{{2{\omega ^k}{\omega _j}{{\langle {D_{{\tau _k}}}{\tau _j}, {\tau _n}\rangle }_\sigma }}}{{|D\omega {|^2}}}} - \zeta \\ = \sum\limits_{k, j = 1}^{n - 1} {\frac{{2{\omega ^k}{\omega _j}h_{kj}^{\partial \Omega }}}{{|D\omega {|^2}}}} - \zeta \\\geq 2\kappa_{1}-\zeta. \end{array}$

因此, 取$0<\zeta<2\kappa_{1}$, 则$\Phi$的最大值只能在$\Omega$中取得, 并且在(2.1)式中有

$w^{k}=\sum\limits_{l=1}^{n}\sigma^{kl}w_{l}=\sum\limits_{l=1}^{n-1}\sigma^{kl}w_{l}$

成立.此处采用了Einstein求和约定去处理上下标的求和, 在后文中也将继续使用这种约定.

假设$\Phi(x)$在点$x_{0}\in\Omega$取得最大值, 在$x_{0}$处可选取一个合适的坐标系$\{\tau_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau_{n}\}$, 使得$|Du|=u_{1}$, $(u_{ij})_{2\leq i, j\leq n}$, $(\sigma_{ij})_{2\leq i, j\leq n}$是对角阵.明显地, 在此坐标系下, $\sigma^{11}=1$.此外, 有

$ g^{11}=\frac{1}{v^{2}}, \quad g^{ij}=0 \ (2\leq i, j\leq n, i\neq j), \;\;\; g^{ii}=\sigma^{ii} \(i\geq2), $

则$v=\sqrt{1+|Du|^{2}}=\sqrt{1+u^{2}_{1}}$, 且有

$a^{11}=1, \qquad a^{ii}=v^{2}\sigma^{ii}, \ i=2, \cdots, n.$

假设$u_{1}$足够大使得在点$x_{0}$处$u_{1}$, $\omega_{1}$, $\omega^{1}$, $|D\omega|$与$v$是近似等价的, 否则引理2.1得证.在点$x_{0}$处, 我们有

(2.2) $\begin{equation}\label{e-1} \Phi_{i}=\frac{|D\omega|^{2}_{i}}{|D\omega|^{2}}+\zeta\beta_{i}=0, \end{equation}$

$ \begin{eqnarray*}\Phi_{ij}=\frac{|D\omega|^{2}_{ij}}{|D\omega|^{2}}-\frac{|D\omega|^{2}_{i}|D\omega|^{2}_{j}}{|D\omega|^{4}}+\zeta\beta_{ij}. \end{eqnarray*}$

故

(2.3) $\begin{eqnarray}\label{e-2}0&\geq&\sum\limits_{i, j=1}^{n}a^{ij}\Phi_{ij}\\&=&\sum\limits_{i, j=1}^{n}\frac{a^{ij}|D\omega|^{2}_{ij}}{|D\omega|^{2}}-\zeta^{2}\sum\limits_{i, j=1}^{n}a^{ij}\beta_{i}\beta_{j}+\zeta \sum\limits_{i, j=1}^{n}a^{ij}\beta_{ij}\\&\triangleq &Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ.\end{eqnarray}$

当$i=1, 2, \cdots, n$时, 通过(2.2)式得到

(2.4) $\begin{equation}\label{e-3}\sum\limits_{k=1}^{n}\omega^{k}u_{ki}=\sum\limits_{k=1}^{n}\omega^{k}\omega_{ki}+\sum\limits_{k=1}^{n}\omega^{k}G_{ki}=-\frac{\zeta\beta_{i}v^{2}}{2}+O(v), \end{equation}$

则$i=2, 3, \cdots, n$时, 有

$\omega^{1}u_{1i}+\omega^{i}u_{ii}=-\frac{\zeta\beta_{i}v^{2}}{2}+O(v)$

成立.因此, 当$i=2, 3, \cdots, n$时, 有

(2.5) $\begin{equation}\label{e-4}u_{1i}=O(1)-\frac{\zeta\beta_{i}v}{2}-\frac{\omega^{i}}{v}u_{ii}.\end{equation}$

特别地, 当$i=1$时, 可得

$\omega^{1}u_{11}+\sum\limits_{k=2}^{n}\omega^{k}u_{k1}=O(v)-\frac{\zeta\beta_{1}v^{2}}{2}, $

通过(2.5)式, 容易得到

(2.6) $\begin{eqnarray} \label{eq:a2}u_{11}&=&O(1)-\frac{\zeta\beta_{1}v}{2}-\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{\omega^{k}}{v}\left(O(1)-\frac{\zeta\beta_{k}v}{2}-\frac{\omega^{k}}{v}u_{kk}\right)\nonumber\\&=&O(1)-\frac{\zeta\beta_{1}v}{2}+\sum\limits_{k=2}^{n}\left(\frac{\omega^{k}}{v}\right)^{2}u_{kk}, \end{eqnarray}$

结合等式$u_{11}+(1+u_{1}^{2})\sum\limits_{k=2}^{n}\sigma^{kk}u_{kk}=fv^{3}$, 可得

(2.7) $\begin{equation} \label{e-5}u_{11}+\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}u_{ii}=fv+\frac{u_{1}^{2}}{v^{2}}u_{11}=fv+O(1)-\frac{u_{1}^{2}\zeta\beta_{1}}{2v}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{(u_{1}\omega^{k})^{2}}{v^{4}}u_{kk}, \end{equation}$

并且

(2.8) $\begin{equation} \label{e-6}fv=\frac{u_{11}}{v^{2}}+\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}u_{ii}=O(\frac{1}{v^{2}})-\frac{\zeta\beta_{1}}{2v}+\sum\limits_{k=2}^{n}\left[\sigma^{kk}+\frac{(\omega^{k})^{2}}{v^{4}}\right]u_{kk}, \end{equation}$

接下来估计(2.3)式.首先, 通过直接计算得到

(2.9) $\begin{equation} \label{e-7}II=-\zeta^{2}\sum\limits_{i, j=1}^{n}a^{ij}\beta_{i}\beta_{j}=-\zeta^{2}\left(\beta^{2}_{1}+v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}\beta^{2}_{i}\right), \end{equation}$

(2.10) $\begin{equation} \label{e-8}III=\zeta\sum\limits_{i, j=1}^{n}a^{ij}\beta_{ij}\geq\zetak_{0}\left(1+(n-1)\eta+(n-1)\eta u^{2}_{1}\right), \end{equation}$

其中$\eta:=\min\{\sigma^{22}, \sigma^{33}, \cdots, \sigma^{nn}\}$.其次, 需要估计$I$项.通过计算, 得到

(2.11) $\begin{eqnarray}\label{e-9}\sum\limits_{i, j=1}^{n}a^{ij}|D\omega|^{2}_{ij}&=&2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\omega^{k}u_{kij}-2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\omega^{k}G_{kij}+2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\sigma^{kk}u_{ki}u_{kj}\\& &4\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\sigma^{kk}u_{ki}G_{kj}+2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\sigma^{kk}G_{ki}G_{kj}\\&:= &I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}+I_{5}.\end{eqnarray}$

对于$I_1$项, 利用Ricci恒等式, 不难得到

(2.12) $\begin{eqnarray}\label{e-10}I_{1}&=&2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\omega^{k}u_{kij}\\&=&2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\omega^{k}( u_{ijk}+R^{l} _{ikj}u_{l})\\&=&2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}\omega^{k}[(fv^{3})_{k}-(a^{ij})_{k}u_{ij}]+2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\omega^{k}R^{l}_{ikj}u_{l}\\&=&2\sum\limits_{k=1}^{n}(\varepsilon u_{k}\omega^{k}v^{3}+3fv\sum\limits_{l=1}^{n}u^{l}u_{lk}\omega^{k})-4\sum\limits_{i, l, k=1}^{n}\sigma^{ii}u_{ii}u^{l}u_{lk}\omega^{k}\\& &+4\sum\limits_{i, j, k, l=1}^{n}\sigma^{il}\sigma^{1j}u_{1}u_{lk}u_{ij}\omega^{k}+2\sum\limits_{i, j, k, l=1}^{n}a^{ij}\omega^{k}R^{l}_{ikj}u_{l}\\&\geq& \left[6fv-4(u_{11}+\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}u_{ii})\right]\sum\limits_{k, l=1}^{n}u^{l}u_{lk}\omega^{k}\\ & & +4u_{1}\sum\limits_{i, k, l=1}^{n}\sigma^{il}u_{lk}u_{1i}\omega^{k}+2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\omega^{k}R^{1}_{ikj}u_{1}\\&\triangleq &I_{11}+I_{12}+I_{13}, \end{eqnarray}$

其中$R^{l}_{ikj}$, $1\leq i, j, k, l\leq n$是$M^n$上曲率张量的系数.

由文献[3, 定理3.1]的证明可知: $|f|=|\varepsilon u|\leq c_{2}(n, \Omega)$, 其中$c_2$为非负常数且仅与$n$和区域$\Omega$相关^[3].因此, 对于$I_{11}$, 利用(2.4), (2.7)和(2.8)式, 可得

(2.13) $ \begin{eqnarray}\label{e-11} I_{11}&=&\left[6fv-4(u_{11}+\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}u_{ii})\right]u_{1}\sum\limits_{k=1}^{n}u_{1k}\omega^{k}\\ &= &u_{1}\left[6fv-4\left(fv+O(1)-\frac{u_{1}^{2}\zeta\beta_{1}}{2v}+\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{(u_{1}\omega^{k})^{2}}{v^{4}}u_{kk}\right)\right] \cdot\left(-\frac{\zeta\beta_{1}v^{2}}{2}+O(v)\right)\\ &= &u_{1}\left[2fv+O(1)+\frac{2u_{1}^{2}\zeta\beta_{1}}{v}-4\sum\limits_{k=2}^{n}\frac{(u_{1}\omega^{k})^{2}}{v^{4}}u_{kk}\right]\cdot\left (-\frac{\zeta\beta_{1}v^{2}}{2}+O(v)\right)\\ &= &-fu_{1}\zeta\beta_{1}v^{3}+O(v^{3})-\zeta^{2}\beta^{2}_{1}u^{3}_{1}v+\sum\limits_{k=2}^{n}O(v)u_{kk}\\ &= &\left[O(\frac{1}{v^{2}})+\frac{\zeta\beta_{1}}{2v}-\sum\limits_{k=2}^{n}\left(\sigma^{kk}+\frac{(\omega^{k})^{2}}{v^{4}}\right)u_{kk}\right] u_{1}\zeta\beta_{1}v^{2}+O(v^{3})-\zeta^{2}\beta^{2}_{1}u^{3}_{1}v+\sum^{n}_{k=2}O(v)u_{kk}\\ &= &O(v^{3})-\zeta^{2}\beta^{2}_{1}u_{1}^{3}v+\sum\limits_{k=2}^{n}\left(O(v)-\sigma^{kk}u_{1}\zeta\beta_{1}v^{2}\right)u_{kk}. \end{eqnarray} $

对于$I_{12}$, 利用(2.4), (2.5)和(2.6)式, 可得

(2.14) $\begin{eqnarray}\label{e-12} I_{12}&=&4u_{1}\sum\limits_{i, k, l=2}^{n}\sigma^{il}u_{lk}u_{1i}\omega^{k}\\ &= &4u_{1}\sum\limits_{k=1}^{n}u_{1k}u_{11}\omega^{k}+4u_{1}\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}u_{ki}u_{1i}\omega^{k}\\ &= &4u_{1}\left(O(1)-\frac{\zeta\beta_{1}v}{2}+\sum\limits_{k=2}^{n}(\frac{\omega^{k}}{v})^{2}u_{kk}\right)\cdot\left(-\frac{\zeta\beta_{1}v^{2}}{2}+O(v)\right)\\ & &+4u_{1}\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}\left(O(1)-\frac{\zeta\beta_{1}v}{2}-\frac{\omega^{i}}{v}u_{ii}\right)\cdot\left(-\frac{\zeta\beta_{1}v^{2}}{2}+O(v)\right)\\ &= &O(v^{3})+u_{1}\zeta^{2}\beta^{2}_{1}v^{3}+\sum\limits_{i=2}^{n}u_{1}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}v^{3}\sigma^{ii}+\sum\limits_{i=2}^{n}O(v^{2})u_{ii}. \end{eqnarray} $

进一步, 对于$I_{13}$, 有

(2.15) $\begin{eqnarray}\label{e-13} I_{13}&=&2\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}g^{ij}\omega^{k}R^{1}_{ikj}u_{1}= 2\sum\limits_{k=1}^{n}\omega^{k}R^{1}_{1k1}u_{1}+2\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{i=2}^{n}v^{2}\sigma^{ii}\omega^{k}R^{1}_{iki}u_{1}\\ &= &2\sum\limits_{k=2}^{n}\sigma^{kk}\omega_{k}R^{1}_{1k1}v+\sum\limits_{i=2}^{n}2v^{4}\sigma^{ii} R^{1}_{i1i}+2\sum\limits_{i, k=2}^{n}\sigma^{ii}\sigma_{kk}\omega_{k}v^{3} R^{1}_{iki}\\ &\geq& O(v^{3}), \end{eqnarray} $

这里不等式成立的原因是: $M^n$的Ricci曲率非负, 并且当$v$足够大时, 在点$x_{0}$处$u_{1}$, $\omega_{1}$, $\omega^{1}$, $|D\omega|$与$v$近似等价.

将(2.13), (2.14), (2.15)式代入(2.12)式得到

(2.16) $\begin{equation} \label{e-14} I_{1}\geq O(v^{3})+u_{1}\zeta^{2}\beta_{1}^{2}v+\sum\limits_{i=2}^{n}u_{1}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}v^{3}\sigma^{ii} +\sum\limits_{i=2}^{n}\left(O(v^{2})-\sigma^{ii}u_{1}\zeta\beta_{1}v^{2}\right)u_{ii}. \end{equation} $

易知

(2.17) $ \begin{equation} \label{e-15} I_{2}=O(v^{3}), \qquad I_{5}=O(v^{2}), \end{equation}$

对于$I_{4}$项, 有

(2.18) $\begin{eqnarray}\label{e-16} I_{4}&=&-4\sum\limits_{i, j, k=1}^{n}a^{ij}\sigma^{kk}u_{ki}G_{kj}\\ &=& -4u_{11}G_{11}-4(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}u_{1i}G_{1i}-4v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}u_{ii}G_{ii}\\ &\geq &-\left[2u_{11}^{2}+2G_{11}^{2}+\frac{1+v^{2}}{2}\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}u^{2}_{1i}+8(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}G^{2}_{1i}\right]\\ && -\left[\frac{v^{2}}{2}\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2} u_{ii}^{2}+8v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}G_{ii}^{2}\right], \end{eqnarray}$

结合(2.4), (2.5), (2.17)和(2.18)式, 容易得到

(2.19) $\begin{eqnarray}\label{e-17} \sum\limits_{i=2}^{5}I_{i}&\geq&\frac{3}{2}(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}(u_{1i})^{2}+\frac{3}{2}v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}(u_{ii})^{2}+O(v^{3})\\ &= &\frac{3}{2}(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}\left(O(1)-\frac{\alpha\beta_{i}v}{2}-\frac{\omega^{i}}{v}u_{ii}\right)^{2}+\frac{3}{2}v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}(u_{ii})^{2}+O(v^{3})\\ &= &O(v^{3})+\frac{3}{8}(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}\alpha^{2}\beta^{2}_{i}v^{2}+\sum\limits_{i=2}^{n}(\frac{3}{2}v^{2}(\sigma^{ii})^{2}+O(1))u^{2}_{ii}+\sum\limits_{i=2}^{n}O(v^{2})u_{ii}. \\\end{eqnarray} $

利用(2.16)式, (2.19)式和不等式$ax^{2}+bx\geq-\frac{b^{2}}{4a}$, $a>0$, 可得

(2.20) $\begin{eqnarray}\label{e-18} \sum\limits_{i=1}^{5}I_{i}&\geq &O(v^{3})+u_{1}\zeta^{2}\beta^{2}_{1}v+\sum\limits_{i=2}^{n}u_{1}\sigma^{ii}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}v^{3} +\frac{3}{8}(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}v^{2}\\ & &+\sum\limits_{i=2}^{n}(\frac{3}{2}v^{2}(\sigma^{ii})^{2}+O(1))u^{2}_{ii} +\sum\limits_{i=2}^{n}(O(v^{2})-\sigma^{ii}u_{1}\alpha\beta_{1}v^{2})u_{ii}\\ &\geq &O(v^{3})+u_{1}\zeta^{2}\beta^{2}_{1}v+\sum\limits_{i=2}^{n}u_{1}\sigma^{ii}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}v^{3} +\frac{3}{8}(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}v^{2}\\ && -\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{\left[O(v^{2})-\sigma^{ii}u_{1}\zeta \beta_{1}v^{2}\right]^{2}}{6v^{2}(\sigma^{ii})^{2}+O(1)}. \end{eqnarray}$

因为假设$v$是足够大的, 且$u_{1}$, $\omega_{1}$, $\omega^{1}$, $|D\omega|$和$v$是近似等价的, 故

(2.21) $ \begin{equation} \label{e-19} \zeta^{2}\beta^{2}_{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}u_{1}\sigma^{ii}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}v +\frac{3}{8}(1+v^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}(\sigma^{ii})^{2}\zeta^{2}\beta^{2}_{i}\geq\zeta^{2}v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}\beta^{2}_{i} \end{equation} $

和

(2.22) $\begin{equation} \label{e-20} -\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{\left[O(v^{2})-\sigma^{ii}u_{1}\zeta \beta_{1}v^{2}\right]^{2}}{6v^{4}(\sigma^{ii})^{2} +O(v^{2})}\geq-\frac{n-1}{5}\zeta^{2}v^{2}\beta^{2}_{1}+O(1) \end{equation}$

成立.将(2.21)和(2.22)式代入(2.20)式, 易得

(2.23) $ \begin{eqnarray} \label{e-21} I&=&\sum\limits_{i, j=1}^{n}\frac{a^{ij}|D\omega|^{2}_{ij} }{|D\omega|^{2}}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{5}I_{i}}{|D\omega|^{2}}\geq O(v)+\alpha^{2}v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}\beta^{2}_{i}-\frac{n-1}{5}\alpha^{2}v^{2}\beta^{2}_{1}. \end{eqnarray} $

再将(2.9), (2.10)和(2.23)式代入(2.3)式可得

$\begin{eqnarray*} 0&\geq& a^{ij}\Phi_{ij}\\ &\geq &O(v)+\zeta^{2}v^{2}\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}\beta^{2}_{i}-\frac{n-1}{5}\zeta^{2}v^{2}\beta^{2}_{1}\\ && +\zeta k_{0}\left(1+(n-1)\eta+(n-1)\eta u^{2}_{1}\right)-\zeta^{2}\left(\beta^{2}_{1}+(1+u_{1}^{2})\sum\limits_{i=2}^{n}\sigma^{ii}\beta^{2}_{i}\right)\\ &\geq& O(v)-\frac{n-1}{5}\zeta^{2}v^{2}\beta^{2}_{1}+\zeta k_{0}(n-1)\eta v^{2}. \end{eqnarray*} $

这里, 取$0<\zeta<\min\{2\kappa_{1}, 5k_{0}\eta\}$, 可以产生矛盾.因此, 假设不成立, 即$Du$在点$x_0$处必定是有界的.由于$\Omega$是紧致的, 因此可以给定一个正常数$c_1$作为$|Du|$在$\overline{\Omega}$上的上确界, 且$c_1$仅依赖于$n$, $L$和$\Omega$本身.证毕.

运用引理${\rm 2.1}$与文献[4, 定理1.3]的证明中类似的方法(事实上, 此方法在文献[2]中已经被展示), 方程${\rm (\natural)}$解的存在性证明如下.

定理 1.1 的证明  我们将用逼近理论得到我们的结论.

首先表明, 对于任给的$\varepsilon>0$, $\upsilon\in {\Bbb R}$, 下述方程

$\begin{eqnarray*}(\ast_{\varepsilon, \upsilon})\qquad \left\{\begin{array}{ll} {\rm div}\left(\frac{Du}{\sqrt{ 1+|Du|^{2} }}\right)=\upsilon+\varepsilon u, \qquad & \mbox{在} \Omega \mbox{中}, \\ D_{\vec{\nu}}u=\phi(x), &\mbox{在} \partial\Omega \mbox{上} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

存在唯一的解.对于固定的$\varepsilon>0$, 若$\upsilon=0$, 采用同文献[3, 定理3.2]的证明过程类似的讨论, 我们能得到方程$(\ast_{\varepsilon, 0})$的解$u_{\varepsilon, 0}$的$C^{0}$估计.结合引理${\rm 2.1}$, 可以得到解$u_{\varepsilon, 0}$的存在性.此外, 运用Hopf引理, 解的唯一性不难得到:令

$\begin{eqnarray*} u_{\varepsilon, \upsilon}(x):=u_{\varepsilon, 0}(x)-\frac{\upsilon}{\varepsilon}, \end{eqnarray*}$

显然, $u_{\varepsilon, \upsilon}(x)$是关于$\upsilon$严格递减的.容易验证$u_{\varepsilon, \upsilon}(x)$也是边值问题$(\ast_{\varepsilon, \upsilon})$的解.由$u_{\varepsilon, \upsilon}(x)$的定义, 它的唯一性是显然的.

我们推断:对于任意的$\varepsilon>0$, 存在唯一的一致有界常数$\upsilon_{\varepsilon}$使得$|u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}(x)|_{C^{1}(\overline{\Omega})}$是一致有界的.

设$u_{0}(x)\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$是一个固定的函数且满足$D_{\vec{\nu}}u_{0}=\phi(x)$.如果令

$M:=1+\max\limits_{\overline{\Omega}}|u_{0}|+\max\limits_{\overline{\Omega}}\left|{\rm div}\left(\frac{Du_{0}}{\sqrt{1+|Du_{0}|^{2}}}\right)\right|, \;\;\; u_{\varepsilon}^{+}:=u_{0}+\frac{M}{\varepsilon}, $

则经过线性化过程, 有

(3.1) $\begin{eqnarray}\label{e-22}0&<&M-{\rm div}\left(\frac{Du_{0}}{\sqrt{1+|Du_{0}|^{2}}}\right)+\varepsilon u_{0}\\ &=& \left[{\rm div}\left(\frac{Du_{\varepsilon, 0}}{\sqrt{1+|Du_{\varepsilon, 0}|^{2}}}\right)-\varepsilon u_{\varepsilon, 0}\right]-\left[{\rm div}\left(\frac{Du_{\varepsilon}^{+}}{\sqrt{1+|Du_{\varepsilon}^{+}|^{2}}}\right)-\varepsilon u_{\varepsilon}^{+}\right]\\&=&\sum\limits_{k, l=1}^{n}D_{k}\left[m_{kl}(x)D_{l}(u_{\varepsilon, 0}-u^{+}_{\varepsilon})\right]-\varepsilon(u_{\varepsilon, 0}-u_{\varepsilon}^{+}), \end{eqnarray}$

其中

$m_{kl}(x)=\int^{1}_{0} \frac{\partialA^{k}}{\partialp_{l}}(sDu_{\varepsilon, 0}+(1-s)Du_{\varepsilon}^{+}){\rm d}s$

且

$A^{k}(\vec{p})=\frac{p^{k}}{\sqrt{1+|\vec{p}|^{2}}}.$

因此, 由

$D_{\vec{\nu}}(u_{\varepsilon, 0}-u^{+}_{\varepsilon})=0$

和二阶偏微分方程的极值原理, 可知$u^{+}_{\varepsilon}$是$(\ast_{\varepsilon, 0})$的一个上解.类似地, $u^{-}_{\varepsilon}:=u_{0}-\frac{M}{\varepsilon}$是$(\ast_{\varepsilon, 0})$的一个下解.因此, 有$u_{\varepsilon, M}<u_{0}<u_{\varepsilon, -M}$.

因为$u_{\varepsilon, \upsilon}$是严格递减的, 所以对于任意的$\varepsilon\in(0, 1)$, 存在唯一的$\upsilon_{\varepsilon}\in(-M, M)$使得$u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}(0)=u_{0}(0)$.由引理2.1, 易得$|Du_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}|$的一致上界, 并且其与$\varepsilon$无关.此外, 因为$u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}(0)=u_{0}(0)$, 且$|Du_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}|$是一致有界的, 故其是$C^0$一致有界的.换言之, 可得$|u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}|_{C^{1}(\overline{\Omega})}$是一致有界, 接着利用二阶偏微分方程的Schauder理论, 可以确保高阶导数估计的一致性.

令$\varepsilon\rightarrow0$ (必要时提取子序列)可以推断:存在一个常数$\lambda$和一个光滑的函数$u^{\infty}(x)$使得

$\label{e-23}\upsilon_{\varepsilon}+\varepsilonu_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}\rightarrow\lambda, \qquadu_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}\rightarrow u^{\infty}, $

并且易得$(\lambda, u^{\infty})$满足方程$(\natural)$.最后, 证明方程$(\natural)$解的唯一性.如果$(\chi, u^{\chi})$也是方程$(\natural)$的解, 则利用同(3.1)式几乎一样的讨论可知

(3.2) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sum\limits_{k,l = 1}^n {{D_k}} \left[ {{\tilde g_{kl}}(x){D_l}({u^\infty } - {u^\chi })} \right] = \lambda - \chi ,}&{在\Omega {\rm{中}},}\\{{D_{\vec \nu }}({u^\infty } - {u^\chi }) = 0,}&{在\partial \Omega {\rm{上}}}\end{array}} \right.$

成立, 其中$\{\widetilde{g}_{kl}(x)\}$正定且

$\widetilde{g}_{kl}(x)=\int^{1}_{0}\frac{\partial A^{k}}{\partialp_{l}}(sDu^{\infty}+(1-s)Du^{\chi}){\rm d}s.$

对(3.2)式用分部积分可得$\lambda=\chi$, 并且Hopf引理表明$u^{\infty}-u^{\chi}$一定是一个常数.

附录

这里, 我们给出梯度估计中光滑函数$\beta$的一种构造方法.在边界$\partial\Omega$的充分小邻域内构造如下的坐标系:利用从边界出发的法测地线的切方向作为第$n$个坐标向量的方向(即为法方向), 前$n-1$个指标为切方向.在该坐标系下, 度量可表示为

$\sigma=\sigma_{\alpha\beta}{\rm d}\omega^{\alpha}{\rm d}\omega^{\beta}+({\rm d}\omega^{n})^{2}, $

其中希腊字母$\alpha, \beta, \gamma\cdots$表示切向指标, 拉丁字母$i, j, l\cdots$表示全指标.在该坐标下, $\omega^{n}$恰好反映了点到边界的距离$d$.单位内法可以记为$\nu=\frac{\partial}{\partial\omega^{n}}$.对于任意的$p\in\partial\Omega$, 可进一步地要求坐标系在点$p$处切向标架正交(可通过对基底向量进行恰当的正交变换得到), 则在$p$点处, 有

$d_{ij}=\partial^{2}_{ij}\omega^{n}-\Gamma^{k}_{ij}\omega^{n}_{k}=-\Gamma^{k}_{ij}\omega^{n}_{k}, $

因$p$在边界$\partial\Omega$上, 故$\Gamma^{n}_{\alpha\beta}=h^{\partial\Omega}_{\alpha\beta}$, $\Gamma^{\beta}_{\alpha n}=-h^{\partial\Omega}_{\alpha\gamma}\sigma^{\gamma\beta}$, $\Gamma^{n}_{\alpha n}=0$, 其中$h^{\partial\Omega}_{ij}$为边界第二基本型.

对于足够大的$t$, 考虑

$m=\frac{1}{t}(e^{-td}-1), $

在$p$点处, 有

$d_{ij}=\left(\begin{array}{cccc}-h^{\partial\Omega}_{11} & & & \\ & \ddots & & \\ & & -h^{\partial\Omega}_{(n-1)(n-1)} & \\ & & & 0\\ \end{array} \right)$

且

$m_{ij}=-d_{ij}+td_{i}d_{j}=\left(\begin{array}{cccc}h^{\partial\Omega}_{11} & & & \\ & \ddots & & \\ & & h^{\partial\Omega}_{(n-1)(n-1)} & \\ & & & t \\ \end{array} \right).$

令$g(s)$是光滑凸函数, 且在$s\leq0$时, 有

$g\equiv-1, \quad\mbox{对}\ s\leq-\varepsilon; g(0)=0.$

$\dot{g}(s)>0, \quad\mbox{对}\ -\varepsilon<s<0; \dot{g}(0)=1.$

现在, 令$\beta=g(m)$, 此时

$\begin{eqnarray*}D\beta=\dot{g}Dm=-\dot{g}e^{-td}, \end{eqnarray*}$

对足够大的$t$, 有$\sup_{\Omega}|D\beta|\leq1$.又$\because g$为光滑凸函数, $\therefore\ddot{g}\geq0$, 我们有

$ \begin{eqnarray*}\beta_{ij}=\dot{g}m_{ij}+\ddot{g}m_{i}m_{j}\geq\dot{g}m_{ij} \end{eqnarray*}$

故存在$\kappa_{0}>0$为一正常数, 使得

$ \begin{eqnarray*}\{\beta_{ij}\}\geq\kappa_{0}\{\delta_{ij}\}, \end{eqnarray*}$

在$\partial\Omega$上, 我们有

$ \begin{eqnarray*}D_{\vec{\nu}}\beta=\dot{g}\frac{\partial m}{\partial\omega^{n}}=-\dot{g}=-1, \end{eqnarray*}$

则$|D\beta|=1$.综上, $\beta=g(m)$为梯度估计中我们所需的辅助函数.