近些年来, 乘积流形中常曲率子流形的研究吸引了许多几何专家学者的关注.例如, 1955年Hopf注意到${\Bbb R}^{3}$中具有常平均曲率的一个浸入曲面$\Sigma^{2}$的第二基本形式矩阵对角线元素的和的复化实际上是$\Sigma^{2}$上的一个全纯2 -形式$Q$, 接着他利用该观察得到了著名的结论: ${\Bbb R}^{3}$中任意一个具有常平均曲率$H$的浸入球面${\Bbb S}^{2}\rightarrow {\Bbb R}^{3}$是一个半径为$\frac{1}{H}$的标准欧氏球面.通过在乘积空间${\Bbb S}^{2}\times{\Bbb R}$和${\Bbb H}^{2}\times{\Bbb R}$中的浸入曲面上定义一个推广的可微2 -形式$\widetilde{Q}$, Abresch和Rosenberg^[1]可将Hopf的经典结论拓展到这些乘积空间里的常平均曲率曲面, 这里${\Bbb S}^{2}$, ${\Bbb H}^{2}$分别为2 -维的球面和双曲面. Meeks和Rosenberg^[7]成功对乘积空间$M\times{\Bbb R}$中稳定的、恰当嵌入的可定向极小曲面$\Sigma$进行了分类, 这里$M$是一个可定向的闭黎曼面.事实上, 他们证明了:这样的曲面$\Sigma^{2}$必定是(1) $\ell\times{\Bbb R}$, 这里$\ell$表示$M$上稳定的嵌入测地线; (2)存在某一$t\in {\Bbb R}$使得$\Sigma^{2}= M\times\{t\}$; (3)可被参数化成$P\times {\Bbb R}^{+}$的具有周期性的多重图的一个模空间, 这里$P$代表同调群$H_{1}(M)$的本原(非多重的)同调类. Mazet, Rodríguez和Rosenberg^[6]分析了乘积流形${\Bbb H}^{2}\times{\Bbb R}$中的周期极小曲面或常平均曲率曲面的各种性质, 并且构造了${\Bbb H}^{2}\times{\Bbb R}$中周期极小曲面的例子. Rosenberg, Schulze和Spruck^[8]证明了:如果$M$是一个完备的、循环的、具有有界曲率的$n$ -维黎曼流形时, 那么乘积流形$M\times {\Bbb R}^{+}$中的恰当浸入极小超曲面必定是某一薄片$M\times\{c\}$.当然, 更多的信息, 读者可以查阅上述论文的参考文献¹.可见, 研究乘积流形$M^{n}\times{\Bbb R}$中的常曲率子流形是非常重要和有趣的.

¹事实上, 读者也可以查看文献[3, Remark 1.2 (Ⅲ)]来了解这个内容.然而, 我们更愿意将它再次写在这里来清楚地揭示我们研究乘积流形$M^{n}\times{\Bbb R}$中的常平均曲率超曲面的动机.

假设$(M^{n}, \sigma)$是一个$n$ -维完备黎曼流形, $n\geq 2$, $\sigma$为其黎曼度量, $\Omega$是$M^{n}$上具有光滑边界$\partial\Omega$的紧致严格凸区域. $(U_{A}, w^{1}_{A}, w^{2}_{A}, \cdots, w^{n}_{A})$表示$M$上的局部坐标覆盖, $\frac{\partial}{\partial w^{i}_{A}}$, $i=1, \cdots, n$, 是相应的坐标向量场, 这里$A\in I\subseteq N$, $N$是正整数集.为了方便, 我们把$\{w^{1}_{A}, w^{2}_{A}, \cdots, w^{n}_{A}\}$简写成$\{w^{1}, w^{2}, \cdots, w^{n}\}$表示在$M$上的局部坐标, 把$\frac{\partial}{\partial w^{i}_{A}}$简写成$\frac{\partial}{\partial w^{i}}$或者$\partial_{i}$.在这种设定下, 度量$\sigma$可表示为$\sigma=\sum\limits_{i, j=1}^{n}\sigma_{ij}{\rm d}w^{i}\otimes {\rm d}w^{j}$且$\sigma_{ij}=\sigma(\partial_{i}, \partial_{j})$. $D$, $D^{\partial\Omega}$分别表示$\Omega$, $\partial\Omega$上的协变微分算子.对于乘积流形$M^{n}\times{\Bbb R}$中任给的一个光滑²图超曲面${\Bbb G}$, 一定存在一个光滑的函数$u\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, 使得${\Bbb G}$能被表示为${\Bbb G}:=\{(x, u(x))|x\in\Omega\}$.如果$M^{n}\times{\Bbb R}$的乘积度量为$\overline{g}=\sigma_{ij}{\rm d}\omega^{i}\otimes {\rm d}\omega^{j}+{\rm d}s\otimes {\rm d}s$, 那么不难知道${\Bbb G}$的度量为$g=i^{\ast}\overline{g}$, 这里$i^{\ast}$是浸入映射$i:{\Bbb G}\hookrightarrow M^{n}\times{\Bbb R}$的拉回映射.可知:图超曲面的切向量为

²事实上, 没有必要在初始超曲面${\Bbb G}$上强加光滑假设. ${\Bbb G}$的$C^{2, \alpha}$ -正则性足以保证在后续计算中得到所有的估计.然而, 为了避免繁琐的、并非本质的正则性讨论, 这里我们不妨假设${\Bbb G}$是光滑的.

向上的单位法向量

这里$D^{j}u=\sum\limits_{i=1}^{n}\sigma^{ij}D_{i}u$.令$\nabla$表示$M^{n}\times{\Bbb R}$上的协变微分算子, 则${\Bbb G}$的第二基本形式$h_{ij}{\rm d}\omega^{i}\otimes {\rm d}\omega^{j}$为

进一步的, ${\Bbb G}$的平均曲率为

考虑具有非零Neumann边值条件(简写为NBC)的常平均曲率方程

这里, $\lambda\in{\Bbb R}$是一个常数, $\vec{\nu}$是$\partial\Omega$的单位内法矢, $\phi(x)\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$.受文献[3, 定理2.2]梯度估计的启发, 我们尝试去得到方程($\natural$)解的存在性.我们可以证明如下事实:

定理 1.1  如果$M^{n}$的${\rm Ricci}$曲率非负, 存在唯一一个实数$\lambda$, 使得方程${\rm (\natural)}$有解$u\in C^{\infty} (\overline{\Omega})$, 并且在相差一个常数的意义下, 解是唯一的.

注 1.1  ${\rm (1)}$在这里, 向量$\vec{\gamma}$, $\vec{\nu}$的夹角称为接触角, 其内积为

因此, 如果这接触角是任意的, 那么在$\partial\Omega$上, 应该存在$\varphi(x)\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$, $|\varphi(x)|\leq1$, 使得$D_{\vec{\nu}}u\big{|}_{\partial\Omega}=\varphi(x)\cdot\sqrt{1+|Du|^2}$.因此, 即使方程${\rm (\natural)}$有非零的${\rm NBC}$, 但其${\rm NBC}$的右端不含有$Du$项, 使得该${\rm NBC}$的几何意义显得有些不足.我们能处理${\rm NBC}$中含有$Du$项的情形吗?受最近一个工作^[9]的启发, 我们可以尝试证明:如果把方程${\rm (\natural)}$的${\rm NBC}$被替换成

的情形.

${\rm (2)}$方程${\rm (\natural)}$的可解性意味着存在定义在$\Omega\subset M^{n}$上的有非零接触角的图超曲面.

${\rm (3)}$如果$M^{n}\equiv{\Bbb R}^{n}$, 我们的主要结论就退化成了文献[4]的定理1.3.换言之, 我们的定理${\rm 1.1}$包含了文献[4]的定理1.3.

如果$\Omega$是一个具有光滑边界$\partial\Omega$的严格凸的区域, 那么在$\Omega$上存在一个光滑函数$\beta$, 使得$\beta|_{\Omega}<0$, $\beta|_{\partial\Omega}=0$, ${\sup_\Omega}|D\beta|\leq1$.在$\partial\Omega$上有, $\beta_{\vec{\nu}}=D_{\vec{\nu}}\beta=-1$, $|D\beta|=1$.此外, 函数$\beta$还满足性质:存在某一正常数$k_{0}>0$使得

因为$\Omega$是严格凸的区域, 故

其中$h_{ij}^{\partial\Omega}$是边界$\partial\Omega$的第二基本形式, 并且$\kappa_{1}>0$是$\partial\Omega$的最小主曲率.

引理 2.1  令$\varepsilon>0$, $\phi\in C^{3}(\overline{\Omega})$, 假设存在一个正数$L$使得

并且$M^{n}$的Ricci曲率是非负的.如果$u$是边值问题${\rm (\natural)}$的解, 则存在一个常数$c_{1}=c_{1}(n, \Omega, L)$使得

证  我们将利用与文献[3, 定理2.2]的证明类似的思路得到方程($\natural$)的梯度估计.事实上, 这一梯度估计的技巧源自于文献[5].取$a^{ij}:=(1+|Du|^{2})\sigma^{ij}-D^{i}uD^{j}u$, $f=\varepsilon u$, $v=\sqrt{1+|Du|^{2}}$, $\varepsilon>0$.则在方程($\natural$)中的第一个式子可简写为

令

其中$\omega=u+\phi(x)\beta$, 且$\zeta$是一个正常数.为了方便, 我们记$G=-\phi(x)\beta$.

我们首先表明$\Phi(x)$在$\overline{\Omega}$上的最大值不能在边界$\partial\Omega$取到.

在点$x_{0}\in\overline{\Omega}$处选取一个合适的局部坐标系使得$\tau_{n}$是$\partial\Omega$上的单位内法向量, $\tau_{i}$是$\partial\Omega$上的单位光滑切向量, $i=1, 2, \cdots, n-1$.记$D_{\tau_{i}}u:=u_{i}$, $D_{\tau_{j}}u:=u_{j}$, $D_{i}D_{j}u:=u_{ij}$, $1\leq i, j \leq n$.由边值条件, 我们得到

若$\Phi(x)$在$x_{0}\in\partial\Omega$达到最大值, 则在点$x_{0}$处, 可得

因此, 取$0<\zeta<2\kappa_{1}$, 则$\Phi$的最大值只能在$\Omega$中取得, 并且在(2.1)式中有

成立.此处采用了Einstein求和约定去处理上下标的求和, 在后文中也将继续使用这种约定.

假设$\Phi(x)$在点$x_{0}\in\Omega$取得最大值, 在$x_{0}$处可选取一个合适的坐标系$\{\tau_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau_{n}\}$, 使得$|Du|=u_{1}$, $(u_{ij})_{2\leq i, j\leq n}$, $(\sigma_{ij})_{2\leq i, j\leq n}$是对角阵.明显地, 在此坐标系下, $\sigma^{11}=1$.此外, 有

则$v=\sqrt{1+|Du|^{2}}=\sqrt{1+u^{2}_{1}}$, 且有

假设$u_{1}$足够大使得在点$x_{0}$处$u_{1}$, $\omega_{1}$, $\omega^{1}$, $|D\omega|$与$v$是近似等价的, 否则引理2.1得证.在点$x_{0}$处, 我们有

故

当$i=1, 2, \cdots, n$时, 通过(2.2)式得到

则$i=2, 3, \cdots, n$时, 有

成立.因此, 当$i=2, 3, \cdots, n$时, 有

特别地, 当$i=1$时, 可得

通过(2.5)式, 容易得到

结合等式$u_{11}+(1+u_{1}^{2})\sum\limits_{k=2}^{n}\sigma^{kk}u_{kk}=fv^{3}$, 可得

并且

接下来估计(2.3)式.首先, 通过直接计算得到

其中$\eta:=\min\{\sigma^{22}, \sigma^{33}, \cdots, \sigma^{nn}\}$.其次, 需要估计$I$项.通过计算, 得到

对于$I_1$项, 利用Ricci恒等式, 不难得到

其中$R^{l}_{ikj}$, $1\leq i, j, k, l\leq n$是$M^n$上曲率张量的系数.

由文献[3, 定理3.1]的证明可知: $|f|=|\varepsilon u|\leq c_{2}(n, \Omega)$, 其中$c_2$为非负常数且仅与$n$和区域$\Omega$相关^[3].因此, 对于$I_{11}$, 利用(2.4), (2.7)和(2.8)式, 可得

对于$I_{12}$, 利用(2.4), (2.5)和(2.6)式, 可得

进一步, 对于$I_{13}$, 有

这里不等式成立的原因是: $M^n$的Ricci曲率非负, 并且当$v$足够大时, 在点$x_{0}$处$u_{1}$, $\omega_{1}$, $\omega^{1}$, $|D\omega|$与$v$近似等价.

将(2.13), (2.14), (2.15)式代入(2.12)式得到

易知

对于$I_{4}$项, 有

结合(2.4), (2.5), (2.17)和(2.18)式, 容易得到

利用(2.16)式, (2.19)式和不等式$ax^{2}+bx\geq-\frac{b^{2}}{4a}$, $a>0$, 可得

因为假设$v$是足够大的, 且$u_{1}$, $\omega_{1}$, $\omega^{1}$, $|D\omega|$和$v$是近似等价的, 故

和

成立.将(2.21)和(2.22)式代入(2.20)式, 易得

再将(2.9), (2.10)和(2.23)式代入(2.3)式可得

这里, 取$0<\zeta<\min\{2\kappa_{1}, 5k_{0}\eta\}$, 可以产生矛盾.因此, 假设不成立, 即$Du$在点$x_0$处必定是有界的.由于$\Omega$是紧致的, 因此可以给定一个正常数$c_1$作为$|Du|$在$\overline{\Omega}$上的上确界, 且$c_1$仅依赖于$n$, $L$和$\Omega$本身.证毕.

运用引理${\rm 2.1}$与文献[4, 定理1.3]的证明中类似的方法(事实上, 此方法在文献[2]中已经被展示), 方程${\rm (\natural)}$解的存在性证明如下.

定理 1.1 的证明  我们将用逼近理论得到我们的结论.

首先表明, 对于任给的$\varepsilon>0$, $\upsilon\in {\Bbb R}$, 下述方程

存在唯一的解.对于固定的$\varepsilon>0$, 若$\upsilon=0$, 采用同文献[3, 定理3.2]的证明过程类似的讨论, 我们能得到方程$(\ast_{\varepsilon, 0})$的解$u_{\varepsilon, 0}$的$C^{0}$估计.结合引理${\rm 2.1}$, 可以得到解$u_{\varepsilon, 0}$的存在性.此外, 运用Hopf引理, 解的唯一性不难得到:令

显然, $u_{\varepsilon, \upsilon}(x)$是关于$\upsilon$严格递减的.容易验证$u_{\varepsilon, \upsilon}(x)$也是边值问题$(\ast_{\varepsilon, \upsilon})$的解.由$u_{\varepsilon, \upsilon}(x)$的定义, 它的唯一性是显然的.

我们推断:对于任意的$\varepsilon>0$, 存在唯一的一致有界常数$\upsilon_{\varepsilon}$使得$|u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}(x)|_{C^{1}(\overline{\Omega})}$是一致有界的.

设$u_{0}(x)\in C^{\infty}(\overline{\Omega})$是一个固定的函数且满足$D_{\vec{\nu}}u_{0}=\phi(x)$.如果令

则经过线性化过程, 有

其中

且

因此, 由

和二阶偏微分方程的极值原理, 可知$u^{+}_{\varepsilon}$是$(\ast_{\varepsilon, 0})$的一个上解.类似地, $u^{-}_{\varepsilon}:=u_{0}-\frac{M}{\varepsilon}$是$(\ast_{\varepsilon, 0})$的一个下解.因此, 有$u_{\varepsilon, M}<u_{0}<u_{\varepsilon, -M}$.

因为$u_{\varepsilon, \upsilon}$是严格递减的, 所以对于任意的$\varepsilon\in(0, 1)$, 存在唯一的$\upsilon_{\varepsilon}\in(-M, M)$使得$u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}(0)=u_{0}(0)$.由引理2.1, 易得$|Du_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}|$的一致上界, 并且其与$\varepsilon$无关.此外, 因为$u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}(0)=u_{0}(0)$, 且$|Du_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}|$是一致有界的, 故其是$C^0$一致有界的.换言之, 可得$|u_{\varepsilon, \upsilon_{\varepsilon}}|_{C^{1}(\overline{\Omega})}$是一致有界, 接着利用二阶偏微分方程的Schauder理论, 可以确保高阶导数估计的一致性.

令$\varepsilon\rightarrow0$ (必要时提取子序列)可以推断:存在一个常数$\lambda$和一个光滑的函数$u^{\infty}(x)$使得

并且易得$(\lambda, u^{\infty})$满足方程$(\natural)$.最后, 证明方程$(\natural)$解的唯一性.如果$(\chi, u^{\chi})$也是方程$(\natural)$的解, 则利用同(3.1)式几乎一样的讨论可知

成立, 其中$\{\widetilde{g}_{kl}(x)\}$正定且

对(3.2)式用分部积分可得$\lambda=\chi$, 并且Hopf引理表明$u^{\infty}-u^{\chi}$一定是一个常数.

附录

这里, 我们给出梯度估计中光滑函数$\beta$的一种构造方法.在边界$\partial\Omega$的充分小邻域内构造如下的坐标系:利用从边界出发的法测地线的切方向作为第$n$个坐标向量的方向(即为法方向), 前$n-1$个指标为切方向.在该坐标系下, 度量可表示为

其中希腊字母$\alpha, \beta, \gamma\cdots$表示切向指标, 拉丁字母$i, j, l\cdots$表示全指标.在该坐标下, $\omega^{n}$恰好反映了点到边界的距离$d$.单位内法可以记为$\nu=\frac{\partial}{\partial\omega^{n}}$.对于任意的$p\in\partial\Omega$, 可进一步地要求坐标系在点$p$处切向标架正交(可通过对基底向量进行恰当的正交变换得到), 则在$p$点处, 有

因$p$在边界$\partial\Omega$上, 故$\Gamma^{n}_{\alpha\beta}=h^{\partial\Omega}_{\alpha\beta}$, $\Gamma^{\beta}_{\alpha n}=-h^{\partial\Omega}_{\alpha\gamma}\sigma^{\gamma\beta}$, $\Gamma^{n}_{\alpha n}=0$, 其中$h^{\partial\Omega}_{ij}$为边界第二基本型.

对于足够大的$t$, 考虑

在$p$点处, 有

且

令$g(s)$是光滑凸函数, 且在$s\leq0$时, 有

现在, 令$\beta=g(m)$, 此时

对足够大的$t$, 有$\sup_{\Omega}|D\beta|\leq1$.又$\because g$为光滑凸函数, $\therefore\ddot{g}\geq0$, 我们有

故存在$\kappa_{0}>0$为一正常数, 使得

在$\partial\Omega$上, 我们有

则$|D\beta|=1$.综上, $\beta=g(m)$为梯度估计中我们所需的辅助函数.