关于Kähler流形间全纯等距嵌入映射(简称Kähler浸入)的存在性研究, 可以追溯到1953年Calabi所做的开创性工作.他将嵌入映射的存在性问题转化为判断矩阵的半正定性问题.如果这个嵌入映射存在, 则称该Kähler流形是复空间形式的Kähler子流形.关于复空间形式的Kähler子流形的刻化与分类, 人们已经得到了许多重要的研究成果.

对于赋予Bergman度量$g_{B}$的Hermite对称空间$M$, Di Scala和Loi^[7]详细讨论了$(M, g_{B})$到复空间形式的Kähler浸入的存在性, 将一系列相关结果进行了清楚的归纳总结.对于赋予$h$倍Bergman度量$g_{B}$的不可约有界对称域$D$, Loi和Zedda^[17]证明$(D, h g_{B})$可以Kähler浸入到${\Bbb {CP}}^{\infty}$当且仅当$h\gamma$属于$W(D)\setminus \{0\}$.这里$h$是一个正常数, $\gamma$表示$D$的亏格, $W(D)$是Wallach集. Di Scala, Ishi和Loi^[9]将复欧氏空间和复双曲空间的齐性Kähler子流形进行了完全分类.对于单连通的齐性Kähler流形, Loi和Mossa^[18]证明如果$(M, g)$的Kähler形式$\omega$可积, 那么存在一个正实数$\lambda$使得$(M, \lambda g)$是射影诱导的.

对于Kähler-Einstein流形, Umehara^[24]将有限维复双曲空间和复平坦空间的Kähler-Einstein子流形进行了完全分类. Hulin^[12-13]研究了${\Bbb {CP}}^{N}$的Kähler-Einstein子流形的Einstein常数的相关问题.关于有限维${\Bbb {CP}}^{N}$的Kähler-Einstein子流形的分类问题, Chern^[6]和Tsukada^[23]分别研究了余维数为$1$和$2$的情况.

对于两个Kähler流形的公共子流形存在性问题, Umehara^[25]证明曲率符号不同的有限维复空间形式没有公共子流形. Di Scala和Loi^[8]将具有公共的Kähler子流形的两个流形称为相关的. Di Scala和Loi^[8]证明具备Bergman度量的有界域与射影代数流形是不相关的, 非紧型Hermite对称空间和射影Kähler流形不是弱相关.这也意味着紧型和非紧型Hermite对称空间不具有相关性.文献[21]中, Mossa证明赋予齐性Kähler度量的有界齐性域和射影Kähler流形是不具相关性的.文献[28]中, Zedda证明Kähler流形和射影Kähler流形不具有强相关性.作为应用, 他还证明了Bergman-Hartogs域以及Fock-Bargmann-Hartogs域和射影Kähler流形不相关. Cheng, Scala和Yuan^[4]给出了有限维Fubini-Study空间的相关性判别定理, 从而将Umehara的结果推广到不定Hilbert空间. Huang和Yuan^[11]利用Nash代数, 证明非紧型Hermite空间和复欧氏空间没有相关性.文献[3]中, Cheng和Niu证明具有Bergman度量的Cartan-Hartogs域和复欧氏空间是不相关的.文献[22]中, Su, Tang和Tu证明有界对称多圆盘和复欧氏空间是无关的.

对于Hartogs域, Loi^[19]研究了一个旋转不变的Hartogs域到复空间形式的Kähler浸入问题, 该域的底空间是复平面上的一个单位圆盘.为了研究无穷维复射影空间的非齐性Kähler-Einstein子流形, Loi和Zeddy^[17]研究了Cartan-Hartogs域到${\Bbb {CP}}^{\infty}$的全纯等距嵌入映射的存在性问题.该类域的底空间是Cartan域, 一类特殊的圆型域.本文将研究底空间是一般圆型域的拟凸Hartogs域$(\Omega, g^{\Omega})$到三类复空间形式的Kähler浸入映射的存在性问题.

在Kähler流形的相关性的研究中, Kähler浸入映射的存在性和full性质(见定义2.1)是一种基本的研究方法.本文所得结果将有助于相关性的研究.此外, 也有助于复空间形式Kähler子流形的分类研究.

复空间形式是指常全纯截曲率的Kähler流形.根据曲率符号, 可以分为以下三类:

(1) 复欧氏空间$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$, $N\leq +\infty$, 其中$g_{0}$表示平坦度量. ${\Bbb C}^{\infty}$是由满足条件$\sum\limits_{j=1}^{\infty}|z_{j}|^{2} < +\infty$的序列$z_{j}\in {\Bbb C},$$j = 1, \cdots,$构成的复Hilbert空间$\ell^{2}({\Bbb C})$.

(2) 复双曲空间${\Bbb {CH}}^{N}, N\leq +\infty.$即${\Bbb C}^{N}$中具备双曲度量$g_{hyp}$的单位球, $\sum\limits_{j=1}^{N}|z_{j}|^{2} < +\infty$.全纯截面曲率是$-4$, 对应的Kähler形式是

(3) 复射影空间${\Bbb {CP}}^{N}, N\leq +\infty$, 赋予Fubini-Study度量$g_{FS}$, 全纯截面曲率$4$.令$[Z_{0}, \cdots, Z_{N}]$表示齐次坐标.在局部邻域$U_{0}=\{Z_{0}\neq 0\}$内有坐标$(z_{1}, \cdots, z_{N})$, $z_{j}=\frac{Z_{j}}{Z_{0}}$. Kähler形式是

下面介绍Calabi的判别准则.

设$(M, ~g)$是一个$n$维Kähler流形.在局部坐标卡$(U, z)$上, Kähler形式

其中$\Phi$是一个局部Kähler势函数.如果存在从$(M, g)$到复空间形式的Kähler浸入映射, Calabi证明$g$一定是实解析的(参考文献[2, 定理8]).因此在$U$上, Kähler势函数$\Phi(z)$可以表示为$2n$个实变量的幂级数.做极化, 将$\Phi(z, \overline{z})$代替$\Phi(z)$.设$p$和$q$是$U$内两个任意点, $z(p)$和$z(q)$分别表示$p$和$q$的复局部坐标, 那么$\Phi(z(p), \overline{z(q)})$是$U\times \overline{U}$上的实解析函数. Calabi引入如下diastatic函数:

Diastatic函数的重要性在于它由Kähler度量唯一确定.它不依赖于局部Kähler势函数的选取, 因此是整体上有定义的.显然, $D(p, q)=D(q, p)$.令$o \in U$表示原点, 那么$D(o, q)$是由{diastatic}函数所确定的一个特殊的Kähler势函数, 称其为Kähler度量在点$o \in U$的{diastatic}势函数.在原点$o$的邻域内, $D(o, q)$的幂级数是

其中多重指标$\displaystyle{\alpha=(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}), }$$\beta=(\beta_{1}, \cdots, \beta_{n}),$$z^{\alpha}=\prod\limits_{j=1}^{n}(z_{j})^{\alpha_{j}}, \overline{z}^{\beta}=\prod\limits_{j=1}^{n}(\overline{z}_{j})^{\beta_{j}}$.

现在, 我们给这个可数的多重指标集中的元素定义序.排序规则如下: 1.模小的排在前面; 2.模相同时, 由前往后逐个比较分量的大小, 分量大的排在前面.

根据多重指标所在位置重新记号:$m_{j}=(m_{j, 1}, m_{j, 2}, \cdots, m_{j, n})$.多重指标可以表示为$m_{1}=(1, 0\cdots, 0)$, $\cdots$, $m_{n}=(0, \cdots, 0, 1), \cdots$.用$z^{m_{j}}$表示$\prod\limits_{\alpha=1}^{n} z_{\alpha}^{m_{j, \alpha}}$.根据排序, 模$|m_{j}|=\sum\limits_{\alpha=1}^{n}m_{j, \alpha}$大小关系为$|m_{j}|\leq |m_{j+1}|$.例如$n=2$, 则$m_{0}=(0, 0), m_{1}=(1, 0), m_{2}=(0, 1),$$m_{3}=(1, 1), m_{4}=(2, 0)$, etc. $z^{m_{0}}=1, z^{m_{1}}=z_{1}, z^{m_{2}}=z_{2},$$z^{m_{3}}=z_{1}z_{2}, z^{m_{4}}=z_{1}^{2}$, etc.

利用Bochner坐标将diastatic函数表示如下

其中多重指标$m_{j}=(m_{j, 1}, m_{j, 2}, \cdots, m_{j, n})$, $m_{k}=(m_{k, 1}, m_{k, 2}, \cdots, m_{k, n})$, $|m_{j}|=|m_{j, 1}+m_{j, 2}+\cdots+m_{j, n}|,$$|m_{k}|=|m_{k, 1}+m_{k, 2}+\cdots+m_{k, n}|$.在复流形$M$上, Calabi定义了两个新的Kähler度量, 它们分别由Kähler势函数$e^{D_{o}}-1$, $1-e^{-D_{o}}$生成.相应的幂级数展开式可以表示如下

定义 2.1^[2]  设$f$是由$(M, g)$到${\Bbb C}^{N}$$({\Bbb {CP}}^{N}$或${\Bbb {CH}}^{N})$的Kähler浸入.如果$f(M)$不在${\Bbb C}^{N}$$({\Bbb {CP}}^{N}$或${\Bbb {CH}}^{N})$的任何复全测地超曲面内, 则称$f$为full Kähler浸入.

定义 2.2^[2]  如果(2.2)和(2.3)式分别给出的$\infty\times\infty$矩阵$a_{jk}(g)$, $(b_{jk}(g)$或$c_{jk}(g))$半正定的并且矩阵的秩是$N$, $N\leq\infty$, 则称复流形$M$上的Kähler度量$g$在点$p$处是秩$N$ resolvable (1-$resolvable$或$-1$-$resolvable)$.

在文献[7]中, Di Scala和Loi把Calabi的结果总结如下.

定理 2.1  (Calabi判别准则^[2])  设$M$是一个具备实解析Kähler度量$g$的复流形.

(i) 如果$g$在点$p \in M$处是秩$N$ resolvable $(1$-$resolvable$或$-1$-$resolvable)$, 那么在$M$的任何点处都是秩$N$ resolvable $(1$-$resolvable$或$-1$-$resolvable)$.

(ii) 点$p$存在局部邻域可以Kähler浸入到${\Bbb C}^{N}$$({\Bbb {CP}}^{N}$或${\Bbb {CH}}^{N})$当且仅当$g$在点$p$为至多秩$N$ resolvable $(1$-$resolvable$或$-1$-$resolvable)$.当秩等于$N$时, 则是full Kähler浸入.

(iii) 复流形$M$到${\Bbb C}^{N}$$({\Bbb {CP}}^{N}$或${\Bbb {CH}}^{N})$的full Kähler浸入在等距变换的意义下唯一, 即两个full Kähler浸入仅相差一个等距变换.

定理 2.2(Calabi's判别定理^[2])  设$(M, g)$是一个单连通的Kähler流形.如果点$M$可以局部Kähler浸入到复空间形式$(S, G)$, 那么整个流形$(M, g)$也可以Kähler浸入到复空间形式$(S, G)$.

下面几个定理介绍了该文所需的复空间形式的Kähler子流形之间的关系定理。

引理 2.1^[24]  如果存在从Kähler流形$(M, g)$到${\Bbb C}^{N}$$(N<\infty)$的Kähler浸入, 那么$(M, g)$不能Kähler浸入到任何有限维复双曲空间或者复射影空间.如果$(M, g)$可以Kähler浸入到$({\Bbb {CH}}^{N}, g_{hyp}), N<\infty$, 那么它一定不能Kähler浸入到任何有限维复射影空间.

引理 2.2^[9]  若Kähler流形$(M, g)$可以Kähler浸入到$({\Bbb {CH}}^{N}, g_{hyp})$$(N\leq \infty)$, 那么它也可以Kähler浸入到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$.

引理 2.3^[27]  对任意$h>0$, Kähler流形$(M, hg^{M})$可以局部Kähler浸入到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$, 当且仅当$(M, g^{M})$可以局部Kähler浸入到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$.

本节我们将研究拟凸Hartogs域$(\Omega, g^{\Omega})$到复空间形式的全纯等距嵌入映射的存在性.

设域$D\subset {\Bbb C}^{d}$, $\varphi$是该域上的连续正函数.

称为域$D$上纤维维数$d_{0}$的Hartogs域.这种类型的域已经被许多数学家进行深入地研究.域$\Omega$是拟凸域当且仅当$D$是拟凸的并且函数$-\log \varphi$是多重次调和的. $\Omega$是以原点为中心的圆型域, 当且仅当$D$以原点为中心的圆型域, 并且函数满足等式$\varphi(e^{\sqrt{-1}\theta}z)=\varphi(z)$.

下面的引理表明了度量$g^{D}$和$g^{\Omega}$的{diastatic}函数之间的关系, 其中度量$g^{D}$和$g^{\Omega}$的Kähler形式分别是$\frac{\sqrt{-1}}{2} \partial \overline{\partial} (-\log \varphi)$和$-\frac{\sqrt{-1}}{2} \partial \overline{\partial}\log (\varphi-||\xi||)$.

引理 3.1  设$-\log\varphi$是$g^{D}$的{diastatic}势函数, 那么$-h\log(\varphi(z)-||\xi||^{2})$是$hg^{\Omega}$的{diastatic}势函数, 其中$h>0$.

证  设$\Phi$是$-\log \varphi$在$U\times \overline{U}$上的极化, 则$\Phi(z, \overline{z})=-\log \varphi(z)$,

因为$-\log\varphi$是$g^{D}$的{diastatic}势函数, i.e. $D(0, w)=-\log\varphi(w)$, 所以

令$\widetilde{\Phi}$表示$-h\log (\varphi(z)-||\xi||^{2})$的极化, i.e.

由diastatic函数的定义和方程(3.2), 我们有

引理3.1证毕.

本文主要研究以下类型的拟凸Hartogs域$\Omega$:

其中域$D\subset {\Bbb C}^{d}$, $\varphi$是该域上的连续正函数, $\Omega$是以原点为中心的单连通圆型域, 函数$-\log\varphi$是度量$g^{D}$的diastatic势函数.

研究$(\Omega, hg^{\Omega})$到复欧氏空间$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$, $N\leq\infty$的全纯等距嵌入映射的存在性.

定理 3.1  设$\Omega$如(3.3)式所示, 那么存在$(\Omega, g^{\Omega})$到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的full Kähler浸入映射当且仅当存在$(D, g^{D})$到$({\Bbb C}^{n}, g_{0})$或$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的Kähler浸入.

证  Case Ⅰ:纤维维数$d_{0}=1$.

设$o=(o_{0}, o_{1})$是${\Bbb C}\times{\Bbb C}^{d}$的坐标原点, 用$\eta=(\xi, z)=(\xi, z_{1}, \cdots, z_{d})$表示点$q\in \Omega$的坐标.考虑赋予Kähler度量$g^{\Omega}$的域$\Omega$, 其中度量$g^{\Omega}$的势函数如下

用$p_{1}\in D$表示$p$的投影点, 那么$z$就是$p_{1}$的坐标.令$D(o_{1}, q_{1})=-\log\varphi$表示$g^{D}$在原点附近的{diastatic}势函数.由引理3.1知, $D(o, q)$是$g^{\Omega}$在原点的{diastatic}势函数.幂级数展开式为

根据系数矩阵的定义和幂级数的表示形式可知, 处于第$j$行第$k$列位置的系数$a_{j, k}$对应指标$m_{j}$, $m_{k}$.显然, 同一行的元素都对应相同的指标$m_{j}$, 并且$|m_{k}|$关于列指标$k$单调递增；同一列的元素都对应相同的指标$m_{k}$, 并且$|m_{j}|$关于列指标$j$单调递增; 利用元素的模把矩阵进行如下分块.

其中矩阵$A_{s, t}(s, t\in {\Bbb N})$的每一个元素都满足$|m_{j}|=s$, $|m_{k}|=t$.由于区域是圆型域, 所以矩阵的许多元素为零.下面将这些零元素找出来.

(1) 作旋转变换$\Psi(\xi, z)=(e^{{\rm i}\theta}\xi, z)$, 由$D(o, q)$的表达式(3.4)可知, $D(o, q)$是不变的, i.e.

因此满足条件$m_{j, 1}\neq m_{k, 1}$的系数$a_{j, k}=0$.

(2) 作变换$\Psi(\xi, z)=(\xi, e^{{\rm i}\theta}z)$, 那么$D(o, q)=D(o, \Psi(q))$, i.e.

因此, 当$m_{j, 2}+\cdots+m_{j, d+1}\neq m_{k, 2}+\cdots+m_{k, d+1}$时, $a_{j, k}=0$.

由此可知分块矩阵(3.6)是分块对角阵.事实上, 分块$A_{s, t}(s\neq t)$的每一个元素满足$|m_{j}|\neq|m_{k}|$.因此下面的不等式至少有一个成立, $m_{j, 1}\neq m_{k, 1}$或$m_{j, 2}+\cdots+m_{j, d+1}\neq m_{k, 2}+\cdots+m_{k, d+1}$.这样当$s\neq t$时, $A_{s, t}=0$.因此, 矩阵(3.6)可以表示为

其中$A_{0, 0}=-\log \varphi(0)=D(o_{1}, o_{1})$以及

并且$A_{\xi(\sigma)}(0), (\sigma=0, 1, \cdots, i)$包含形如$\partial(\xi z )^{m_{j}},$$~\partial(\overline{\xi}\overline{ z} )^{m_{k}}$的$2i$阶偏导算子, 其中$|m_{j}|=|m_{k}|=i$, $m_{j, 1}=m_{k, 1}=\sigma$.矩阵$(b_{j, k})$的正定性完全由矩阵$A_{\xi(\sigma)}(0), \sigma=0, 1, \cdots, i$所决定, 其中$i=1, 2, \cdots, \infty.$为方便, 定义多重指标$\alpha_{j}=(m_{j, 2}, \cdots, m_{j, d+1})$.那么$m_{j}=(m_{j, 1}, \alpha_{j})$, $m_{k}=(m_{k, 1}, \alpha_{k})$且

其中

现在, 我们研究$A_{\xi(\sigma)}(0), \sigma=0, 1, \cdots, i$半正定的条件.

(i) $A_{\xi(i)}(0)$恒为正数.

(ii) 考虑$A_{\xi(\sigma)}(0),$$\sigma=1, 2, \cdots, i-1$.通过直接计算, 有

这样, 我们有

因为$\varphi(z)^{-\sigma}-1=e^{\sigma D(o_{1}, p_{1})}-1$, 由引理2.3可知, 如果$(D, g^{D})$是$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$的Kähler子流形, 那么对一切$\sigma>0$, $(D, \sigma g^{D})$都是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler子流形.由Calabi判别准则, $\sigma g^{D}$在点$o_{1}\in D$是$1$-resolvable.这就意味着矩阵$A_{\xi(\sigma)}(0),$$\sigma=1, 2, \cdots, i-1$全部半正定.

(iii) 考虑矩阵$A_{\xi(0)}(0)$.因为

注意到$-\log\varphi(z)=D(o_{1}, p_{1})$, 由(ii)的证明过程可知, 若$(D, g^{D})$在$o_{1}$的邻域可以局部Kähler浸入于$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$, 则矩阵$A_{\xi(0)}(0)$是半正定.

综上可得, 若存在$(D, g^{D})$到$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$的Kähler浸入, 那么$g^{\Omega}$在点$o\in \Omega$是秩$\infty$ resolvable.由Calabi判别准则, $(\Omega, g^{\Omega})$可以局部full Kähler浸入到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$.又因为区域是单连通的, Kähler浸入可以进行整体延拓.这样, $(\Omega, g^{\Omega})$是${\Bbb C}^{\infty}$的Kähler子流形.

定理的充分性由(iii)易得.

Case Ⅱ:当纤维维数$d_{0}=k>1$. $D$上纤维维数$k$的Hartogs域记为$\Omega_{k}$, i.e.

$g^{\Omega_{k}}$的Kähler势函数是$-\log (\varphi(z)-|\xi_{1}|^{2}-\cdots-|\xi_{k}|^{2})$.用$(D, g^{D})$表示$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$的Kähler子流形.由Case Ⅰ, $(\Omega_{1}, g^{\Omega_{1}})$是$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的full Kähler子流形.假设$(\Omega_{k}, g^{\Omega_{k}})$是$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的一个full Kähler子流形.由递推法, $(\Omega_{k+1}, g^{\Omega_{k+1}})$也是$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的一个full Kähler子流形.反之, 如果$(\Omega_{k+1}, g^{\Omega_{k+1}})$是$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的一个Kähler子流形, 那么$(\Omega_{k}, g^{\Omega_{k}})$是$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的一个full Kähler子流形.进一步, $(D, g^{D})$是$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$的一个full Kähler子流形.

注 3.1  设$\Omega$如(3.3)式所示, 如果$(D, g^{D})$到$({\Bbb C}^{n}, g_{0})$或$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$存在Kähler浸入映射, 那么

(1) 对一切$h>0$, 都存在$(\Omega, h g^{\Omega})$到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的Kähler浸入映射;

(2) 对一切$h>0$, 都存在$(\Omega, h g^{\Omega})$到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler浸入映射;

(3) 对一切$h>0$, 都不存在$(\Omega, h g^{\Omega})$到$({\Bbb C}^{n}, g_{0})$以及$({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$的Kähler浸入映射.

如果$f: (M, g^{M})\rightarrow ({\Bbb C}^{N}, g_{0})$, $N\leq \infty$, 是一个Kähler浸入, 那么$\sqrt{h}f$$(h>0)$是$(M, hg^{M})$到$({\Bbb C}^{N}, g_{0})$的Kähler浸入.结论(1)可以由定理3.1得到.结论(2)可以由(1)和引理2.3得到.由full Kähler浸入的定义和(1), (2), 可以得到(3).

注 3.2  设$\Omega$如(3.3)所示, 如果不存在从$(D, g^{D})$到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的Kähler浸入, 那么

(1) 对一切$h>0$, 不存在从$(\Omega, h g^{\Omega})$到$({\Bbb C}^{N}, g_{0}), N\leq \infty$的Kähler浸入映射;

(2) 对某个正数$k>0$, 不存在$(\Omega, k g^{\Omega})$到$({\Bbb {CP}}^{N}, g_{FS}), N\leq \infty$的Kähler浸入映射;

(3) 对一切$h>0$, 不存在$(\Omega, h g^{\Omega})$到$({\Bbb {CH}}^{N}, g_{hyp}), N\leq \infty$的Kähler浸入映射.

事实上, 由定理3.1的(iii), 易知不存在$(\Omega, h g^{\Omega})$到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$的Kähler浸入映射.这样(1)正确.从引理2.3和结论(1), 可知结论(2)成立.从引理2.2和结论(1), 可知结论(3)成立.

作为应用, 我们利用文献[9]的定理1将域进行分类.

推论 3.1  设$\Omega$如(3.3)式所示.如果$D$是齐性域, 那么$(\Omega, g^{\Omega})$到$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$存在full Kähler浸入当且仅当$(D, g^{D})=({\Bbb C}^{n}, g_{0})$或$(D, g^{D})={\Bbb C}^{k}\times {\Bbb {CH}}_{\lambda_{1}}^{n_{1}}\times\cdots \times {\Bbb {CH}}_{\lambda_{r}}^{n_{r}},$其中$k+n_{1}+\cdots+n_{r}=n$, $\lambda_{r}$是正实数, 并且${\Bbb {CH}}_{\lambda_{j}}^{n_{j}}=({\Bbb {CH}}^{n_{j}}, \lambda_{j} g_{hyp}), j=1, \cdots, r.$

当$(M, g^{M})$是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler子流形时, 仍然无法确定$(M, hg^{M})$是否是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler子流形, 其中$h>0$.在紧致情况, 条件意味着$(M, g^{M})$也是$({\Bbb {CP}}^{N}, g_{FS})$, $N<\infty$的Kähler子流形.这样$h$必须是正整数.在非紧致情况, Loi和Zedda证明具备Bergman度量的不可约对称域$D$可以Kähler浸入到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$当且仅当$h\gamma\in W(D)\setminus \{0\}$, 其中$\gamma$表示域$D$的亏格, $W(D)$表示Wallach集.下面的结论表明圆型拟凸Hartogs域到复投影空间的浸入情况可以归结为底空间的情况.

定理 3.2  设$\Omega$如(3.3)式所示, 并且$h$是一个正数, 那么$(\Omega, hg^{\Omega})$到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$存在full Kähler浸入当且仅当对一切$\sigma\in {\Bbb N}$, 存在$(D, (h+\sigma)g^{D})$到$({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$或$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler浸入映射.

证  Case Ⅰ:纤维维数$d_{0}=1$.

用$o=(o_{0}, o_{1})$表示${\Bbb C}\times{\Bbb C}^{d}$的原点, $\eta=(\xi, z)=(\xi, z_{1}, \cdots, z_{d})$表示点$q\in \Omega$的坐标.考虑域$\Omega$上的Kähler度量$hg^{\Omega}$, 那么整体定义的Kähler势函数是

由引理3.1可知, $D(o, q)$是$hg^{\Omega}$在原点附近的diastasis势函数.幂级数展开式

利用系数矩阵的特点, 根据模的大小将系数进行分块

其中分块矩阵$B_{s, t}(s, t\in {\Bbb N})$的每一个元素满足$|m_{j}|=s$和$|m_{k}|=t$.

矩阵$(b_{j, k})$与(3.6)式的$(a_{j, k})$具有类似性质.矩阵(3.13)如下:

其中$B_{0, 0}=\varphi(0)^{-h}-1=e^{hD(o_{1}, o_{1})}-1$以及

并且$B_{\xi(\sigma)}(0), (\sigma=0, 1, \cdots, i)$包含形如$\partial(\xi z )^{m_{j}},$$\partial(\overline{\xi}\overline{ z} )^{m_{k}}$的偏导算子, 阶数$2i, |m_{j}|=|m_{k}|=i$, $m_{j, 1}=m_{k, 1}=\sigma$.矩阵$(b_{j, k})$的半正定性完全由矩阵列$B_{\xi(\sigma)}(0), \sigma=0, 1, \cdots, i$所决定, 其中$i=1, 2, \cdots, \infty.$为方便, 定义$\alpha_{j}=(m_{j, 2}, \cdots, m_{j, d+1})$, 那么$m_{j}=(m_{j, 1}, \alpha_{j})$, $m_{k}=(m_{k, 1}, \alpha_{k})$,

其中

现在研究$B_{\xi(\sigma)}(0), \sigma=0, 1, \cdots, i$半正定的条件.

(i) $B_{\xi(i)}(0)$恒正.

(ii) 矩阵$B_{\xi(\sigma)}(0),$$\sigma=1, 2, \cdots, i-1$.直接计算, 有

因为$\varphi(z)^{-(h+\sigma)}-1=e^{(h+\sigma)D(o_{1}, p_{1})}-1$, 如果对任意$\sigma\in {\Bbb N}$, $(D, (h+\sigma)g^{D})$是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler子流形, 由Calabi判别准则, 矩阵$B_{\xi(\sigma)}(0),$$\sigma=1, 2, \cdots, i-1$全是半正定的, 从而右端幂级数展开式的系数矩阵是半正定的.

(iii) 考虑矩阵$B_{\xi(0)}(0)$.因为

注意到$\varphi(z)^{-h}-1=e^{hD(o_{1}, p_{1})}-1.$与(ii)类似, 如果$(D, hg^{D})$是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$ Kähler子流形, 那么矩阵$B_{\xi(0)}(0)$是半正定的.

综上可得, 如果对于任何$\sigma\in {\Bbb N}$, 都存在$(D, (h+\sigma)g^{D})$到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler浸入, 那么$(\Omega, hg^{\Omega})$到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$存在局部full Kähler浸入.因为$\Omega$单连通, 所以可以进行整体延拓.

由(ii)和(iii), 可得充分性的证明.

Case Ⅱ:纤维维数$d_{0}=k>1$.

如果对一切$\sigma\in {\Bbb N}$, 存在$(D, (h+\sigma)g^{D})$到$({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$或$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler浸入, 那么对一切$\sigma\in {\Bbb N}$, $(\Omega_{1}, (h+\sigma)g^{\Omega_{1}})$是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler子流形.假设对所有$\sigma\in {\Bbb N}$, $(\Omega_{k}, (h+\sigma)g^{\Omega_{k}})$是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的full Kähler子流形.通过递推, $(\Omega_{k+1}, hg^{\Omega_{k+1}})$也是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的full Kähler子流形.反之, 如果$(\Omega_{k+1}, hg^{\Omega_{k+1}})$是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的full Kähler子流形, 那么$(\Omega_{k}, hg^{\Omega_{k}})$也是$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler子流形.此外, $(D, g^{D})$也是$({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$或者$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$的Kähler子流形.

注 3.3  设$\Omega$如(3.3)式所示, 如果对所有$h>0$, $(D, h g^{D})$可以浸入$({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$或$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$, 那么

(1) 对一切$h>0$, $(\Omega, h g^{\Omega})$可以full Kähler浸入$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$;

(2) 对一切$h>0$, $(\Omega, h g^{\Omega})$可以full Kähler浸入$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$;

(3) $(\Omega, h g^{\Omega})$不能full Kähler浸入$({\Bbb C}^{n}, g_{0})$和$({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$.

由引理2.3可知, $(D, g^{D})$可以全Kähler浸入$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$.结果(1)-(3)可由注3.1得到.

注 3.4  设$\Omega$如(3.3)式所示, 如果对所有$\sigma\in {\Bbb N}$, $(D, (h+\sigma)g^{D})$都可以full Kähler浸入$({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$或$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$, 并且存在一个正数$h_{0}$使得$(D, h_{0}g^{D})$不能full Kähler浸入$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$.那么

1.对一切$k>0$, $(\Omega, k g^{\Omega})$不能Kähler浸入$({\Bbb C}^{N}, g_{0}), N\leq \infty$;

2.对某个$\lambda>0$, $(\Omega, \lambda g^{\Omega})$不能full Kähler浸入$({\Bbb {CP}}^{N}, g_{FS}) , N\leq \infty$;

3.对一切$k>0$, $(\Omega, k g^{\Omega})$不能全Kähler浸入$({\Bbb {CP}}^{N}, g_{hyp}), N\leq \infty$;

4. $(\Omega, h g^{\Omega})$可以Kähler浸入$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS}).$

存在一个正数$h_{0}$使得$(D, h_{0}g^{D})$不可以full Kähler浸入$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$, 那么由引理2.3可得$(D, hg^{D})$不可以Kähler浸入$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$.结果(1)-(3)可以由注3.2得到.结果(4)可以由定理3.2得到.

由文献[17, 定理2], 有下面推论.

推论 3.2  设$\Omega$如(3.3)式所示, 并且$h$是一个正实数.如果$D$是有界对称域, 那么$(\Omega, hg^{\Omega})$可以full Kähler浸入到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$当且仅当对一切$\sigma\in {\Bbb N}$, $(h+\sigma)\gamma \in W(\Omega) \setminus \{0\}$.

由文献[7, 定理4], 我们有

推论 3.3  设$\Omega$如(3.3)式且$h$是一个正数.如果$D$是有界对称域, 那么对一切$h>0$, $(\Omega, hg^{\Omega})$可以全Kähler势函数浸入到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$当且仅当

本小节将研究$(\Omega, hg^{\Omega})$到复双曲空间$({\Bbb {CH}}^{N}, g_{hyp})$, $N\leq\infty$的全纯等距嵌入情况.

定理 3.3  设$\Omega$如(3.3)式所示, 那么$(\Omega, hg^{\Omega})$是$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$的full Kähler子流形当且仅当$(D, hg^{D})$是$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$的Kähler子流形且$0<h\leq1$.

证  设$d_{0}=1$, $o=(o_{0}, o_{1})$是${\Bbb C}\times{\Bbb C}^{d}$的原点, $\eta=(\xi, z)=(\xi, z_{1}, \cdots, z_{d})$表示点$q\in \Omega$的坐标. $\Omega$上Kähler度量$hg^{\Omega}$的Kähler势函数是

由引理3.1, 可知$D(o, q)$是$hg^{\Omega}$的diastasis势函势.在Bochner坐标下,

将其写成如下分块矩阵

其中矩阵$C_{s, t}(s, t\in {\Bbb N})$的每一个元素都满足$|m_{j}|=s$和$|m_{k}|=t$.矩阵$(c_{j, k})$, $(a_{j, k})$的性质类似于矩阵(3.6).这样, 矩阵($\ref{equ:matrix c}$)可表示如下

其中$c_{0, 0}=1-\varphi(0)^{h}=1-e^{-D(o_{1}, o_{1})}$并且

$C_{\xi(\sigma)}(0), (\sigma=0, 1, \cdots, i)$包含形如$\partial(\xi z )^{m_{j}},$$~\partial(\overline{\xi}\overline{ z} )^{m_{k}}$的$2i$阶偏导, 满足$|m_{j}|=|m_{k}|=i$使得$m_{j, 1}=m_{k, 1}=\sigma$.这就是说$(c_{j, k})$的半正定性由$C_{\xi(\sigma)}(0), \sigma=0, 1, \cdots, i$所确定, 其中$i=1, 2, \cdots, \infty$.为方便, 令$\alpha_{j}=(m_{j, 2}, \cdots, m_{j, n})$, 那么$m_{j}=(m_{j, 1}, \alpha_{j})$, $m_{k}=(m_{k, 1}, \alpha_{k})$以及

其中

下面我们将研究$C_{\xi(\sigma)}(0)$半正定的判别方法.

(1) $h$是正整数.

(i) 考虑$C_{\xi(i)}(0)$.

对所有$1\leq i< \infty$, $C_{\xi(i)}(0)\geq 0$当且仅当$h=1$.

下面, 我们只需要考虑$h=1$.

(ii) 当$h=1$时, 矩阵$C_{\xi(\sigma)}(0)\equiv0$, $\sigma=1, 2, \cdots, i-1$.

(iii) 当$h=1$时, 考虑矩阵$C_{\xi(0)}(0)$.因为

由Calabi判别法则和上面的讨论, 存在从$(\Omega, g^{\Omega})$到$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$的局部Kähler浸入当且仅当存在$(D, g^{D})$到$({\Bbb {CH}}^{N}, g_{hyp})$, $N\leq\infty$的局部Kähler浸入.由Calabi判别准则, Kähler浸入可以延拓为整体.

(2) $h$非整数.

(i) 考虑$C_{\xi(i)}(0)$.

如果$0<h<1$, 那么$h<1\leq i$.这样, 对一切$i\in {\Bbb N}^{+}$, $c_{j, k}>0$.如果$1<h<2$, 那么当$i\geq 2$时, $c_{j, k}<0$.如果$h>2$, 那么对$i=2$, $c_{j, k}<0$.这样, $C_{\xi(i)}(0)$非负当且仅当$0<h<1$.

(ii) 考虑$0<h<1$时的矩阵$C_{\xi(\sigma)}(0)$, $\sigma=1, 2, \cdots, i-1$,

注意$\varphi(z)^{h-\sigma}-1=e^{(\sigma-h)D(o_{1}, p_{1})}-1.$由引理2.2和引理2.3知, 当$g^{D}$是$({\Bbb {CH}}^{N}, g_{hyp})$的Kähler子流形时, $(\sigma-h)g^{D}$总是$1$-resolvable.

(iii) 考虑$0<h<1$时的矩阵$C_{\xi(0)}(0)$, 那么

由(i)和Calabi判别法, 存在$(\Omega, hg^{\Omega})$到${\Bbb {CH}}^{\infty}$的局部Kähler浸入当且仅当存在$(D, hg^{D})$到${\Bbb {CH}}^{N}$的局部Kähler浸入, 其中$N\leq \infty$且$0<h<1$.由Calabi判别准则, Kähler浸入可以延拓至整体.

反之, 显然.

Case Ⅱ:当维数$d_{0}=k>1$.可归纳得到.

由文献[9, 定理2], 我们知道:

注 3.5  设$\Omega$如(3.3)式所示, 如果$(D, hg^{D})$是$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$的Kähler子流形并且$0<h\leq1$, 那么

1.对一切$k>0$, $(\Omega, k g^{\Omega})$可以full Kähler浸入于$({\Bbb C}^{\infty}, g_{0})$;

2.对一切$k>0$, $(\Omega, k g^{\Omega})$可以full Kähler浸入到$({\Bbb {CP}}^{\infty}, g_{FS})$;

3.对一切$0<k\leq1$, $(\Omega, kg^{\Omega})$可以full Kähler浸入到$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$;

4.对任何$k>0$, $(\Omega, k g^{\Omega})$不能Kähler浸入$({\Bbb C}^{n}, g_{0})$, $({\Bbb {CP}}^{n}, g_{FS})$及$({\Bbb {CH}}^{n}, g_{hyp})$.

由引理2.2, $(D, g^{D})$是Kähler子流形$({\Bbb C}^{\infty}, g_{hyp})$.结果(1)和(2)可以由注记3.1得到.结果(3)就是定理3.3.结果(4)正确是因为Kähler浸入是full.

注 3.6  设$\Omega$如(3.3)式所示, 即使$h>1$或$0<h\leq1$, 若$(D, hg^{D})$不是$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$ Kähler子流形, 那么$(\Omega, hg^{\Omega})$仍然不是$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$的full Kähler子流形, 其中$0<h\leq1$.

由定理3.1的证明(i), 定理3.2和定理3.3, 意味着不存在从$(\Omega, g^{\Omega})$到有限维复空间形式的Kähler浸入.

推论 3.4  设$\Omega$如(3.3)式所示.如果$D$是齐性, 那么$(\Omega, hg^{\Omega})$是full Kähler子流形$({\Bbb {CH}}^{\infty}, g_{hyp})$当且仅当$(D, hg^{D})=({\Bbb {CH}}^{n}, g_{hyp})$且$0<h\leq1$.

作为应用, 我们研究一些特殊Hartogs域到复空间形式的Kähler浸入.对于Hartogs域(3.3), 当底空间$D={\Bbb C}^{n}$和$\varphi(z)=e^{-\mu||z||^{2}}, \mu>0$, 称为Fock Bargmann-Hartogs域.在该域上的有关结论, 可以参考文献[1, 15-16].

因为${\Bbb C}^{n}$是齐性, 由文献[17]知, $({\Bbb C}^{n}, \mu g_{0})$可以Kähler浸入${\Bbb C}^{\infty}$和${\Bbb {CP}}^{\infty}$, 但不可以Kähler浸入到${\Bbb {CH}}^{\infty}$.通过本文结果, 存在Fock Bargmann-Hartogs域$(\Omega, hg^{D})$到${\Bbb C}^{\infty}$和${\Bbb {CP}}^{\infty}$的full Kähler浸入, 但没有到${\Bbb {CH}}^{\infty}$的Kähler浸入.

当底空间$D$是齐性域并且$\varphi(z)=K(z, z)^{-\mu}$, Hartogs域(3.3)被称为Bergman-Hartogs域, 其中$K(z, z)$是$D$的Bergman核.相关结论详见文献[10, 14, 26].

此外, 定理3.1, 定理3.2和定理3.3中的Kähler浸入映射可以用底空间的Kähler浸入映射来表示, 参考文献[5, 20].