为了统一两类重要的函数空间, 即Coifman和Weiss意义下的齐型空间(见文献[1-2])与测度满足多项式增长条件的非倍测度空间(见文献[3-8]等), 2010年, Hytönen ^[9]引入了一类新的度量测度空间且满足所谓的上双倍和几何双倍条件(见下文定义1.1和1.2).方便起见, 这类新的度量测度空间现被简称为非齐度量测度函数空间.此后, 很多学者关注和研究了以非齐度量测度空间为底空间的算子与函数空间的性质, 例如, Lin和Yang ^[10]给出了Marcinkiewicz积分算子在Lebesgue空间上的一些等价特征. 2017年, Li和Lin等^[11]证明了Marcinkiewicz积分算子从原子Hardy空间$ \widetilde{H}^{p, q, \gamma}_{{\rm atb}, \rho}(\mu) $到Lebesgue空间$ L^{p}(\mu) $上的有界性.关于这类空间上的进一步研究与发展, 可参见文献[12-23]及其相关文献.

本文中, 设$ ({\cal X}, d, \mu) $是Hytönen意义下的非齐度量测度空间. Ri和Zhang^[18]证明了$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子在Lebsegue空间上的有界性.在文献[14]中, 韩瑶瑶和赵凯给出了非齐度量测度空间上Herz型空间、原子Herz型Hardy空间以及分子Herz型Hardy空间定义, 并得到了Calderón-Zygmund算子在其上的有界性.受此启发, 本文将主要讨论$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子$ {\cal M}_{\theta} $在Herz型空间和原子Herz型Hardy空间上的有界性.进一步, 证明了由$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子$ {\cal M}_{\theta} $与函数$ b\in\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $生成的交换子$ {\cal M}_{\theta, b} $在其上是有界的.

首先, 我们回顾一下本文所需的一些主要概念.如下上双倍条件的定义是由Hytönen^[9]引入的.

定义1.1^[9]  设$ ({\cal X}, d, \mu) $是一个度量测度空间, $ {\cal X} $上的$ {\rm Borel} $测度$ \mu $满足条件$ : $存在一个控制函数$ \lambda: {\cal X}\times(0, \infty)\rightarrow(0, \infty) $, 以及一个正常数$ C_{(\lambda)} $, 使得对于任意的$ x\in{\cal X} $, $ r\rightarrow\lambda(x, r) $单调递增且对所有的$ x\in{\cal X} $和$ r\in(0, \infty) $, 成立

(1.1) $ \begin{eqnarray} \mu(B(x, r))\leq\lambda(x, r)\leq C_{(\lambda)}\lambda(x, {r}/{2}), \end{eqnarray} $

则称测度$ \mu $满足上双倍条件, 其中$ B(x, r): = \{y\in {\cal X}: d(x, y)<r\} $.

对于任意的$ x, \ y\in{\cal X} $, Hytönen等^[17]证明了存在另外一个控制函数$ \widetilde{\lambda} $和常数$ C_{(\widetilde{\lambda})}>0 $, 使得$ \widetilde{\lambda}\leq\lambda, C_{(\widetilde{\lambda})}\leq C_{(\lambda)} $, 并且对于任意的$ x, y\in{\cal X} $, 当$ d(x, y)\leq r $时, 有

(1.2) $ \begin{eqnarray} \widetilde{\lambda}(x, r)\leq C_{(\widetilde{\lambda})}\widetilde{\lambda}(y, r). \end{eqnarray} $

因此, 若无特殊说明, 本文总是假设控制函数$ \lambda $满足条件(1.2).

以下几何双倍条件的定义是由Coifman和Weiss在文献[1]中给出的.

定义1.2^[1]  设$ ({\cal X}, d) $是一个度量空间, 存在正整数$ N_{0} $使得对任意的球$ B(x, r)\subset{\cal X} $, 存在$ B(x, r) $的一个有限球覆盖$ \{B(x_{i}, {r}/{2})\}_{i} $, 并且其个数不超过$ N_{0} $, 则称度量空间$ ({\cal X}, d) $满足几何双倍条件.

注1.1  设$ ({\cal X}, d) $是度量空间. $ {\rm Hyt\ddot{o}nen} $在文献[9]中说明了几何双倍$ ({\cal X}, d) $等价于对于任意的$ \epsilon\in(0, 1) $和任意的球$ B(x, r)\subset{\cal X} $, 存在$ B(x, r) $的一个有限球覆盖$ \{B(x_{i}, \epsilon r)\}_{i} $, 使得这个覆盖的个数至多为$ N_{0}\epsilon^{-n} $, 其中$ n: = \log_{2}N_{0} $, 且$ N_{0} $同定义$ {\rm 1.2} $.

现在我们回顾由Bui和Duong在文献[23]中所引入离散系数$ \widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S} $的定义, $ p = 1 $时, 其类似于非倍测度下的系数$ K_{Q, R} $ (见文献[7-8]).对$ {\cal X} $中的任意两个球$ B, \ S $且满足$ B\subset S $, 记

(1.3) $ \begin{eqnarray} \widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S}: = \Bigg\{1+\mathop{\sum}\limits^{N^{(\rho)}_{B, S}}_{k = -\lfloor\log_{\rho}2\rfloor} \bigg[\frac{\mu(\rho^{k}B)}{\lambda(c_{B}, \rho^{k}r_{B})}\bigg]^{p}\Bigg\}^{1/p}, \end{eqnarray} $

其中$ \rho\in(1, \infty) $, $ p\in(0, 1] $, $ N^{(\rho)}_{B, S} $表示满足$ \rho^{N^{(\rho)}_{B, S}}\;r_{B}\geq r_{S} $的最小整数, $ c_{B} $和$ r_{B} $分别表示球$ B $的中心和半径.通过变量代换和条件(1.1), Li和Lin^[11]说明了(1.3)式与下式是等价的

(1.4) $ \begin{eqnarray} \widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S}\sim \Bigg\{1+\mathop{\sum}\limits^{N^{(\rho)}_{B, S}+\lfloor\log_{\rho}2\rfloor+1}_{k = 1} \bigg[\frac{\mu(\rho^{k}B)}{\lambda(c_{B}, \rho^{k}r_{B})}\bigg]^{p}\Bigg\}^{1/p}. \end{eqnarray} $

设$ \alpha, \ \beta\in(1, \infty) $, 如果$ {\cal X} $中球$ B $满足条件$ \mu(\alpha B)\leq\beta\mu(B) $, 则称$ B $是一个$ (\alpha, \beta) $ -倍球. Hytönen在文献[9]中指出, 如果一个度量测度空间$ ({\cal X}, d, \mu) $满足测度上双倍条件(1.1)并且$ \beta>C^{\log_{2}\alpha}_{(\lambda)} = :\alpha^{\nu} $, 则对于$ {\cal X} $中的每一个球, 存在某些$ j\in{\Bbb N}: = {\Bbb Z}_{+}\bigcup\{0\} $使得$ \alpha^{j}B $是一个$ (\alpha, \beta) $ -倍球.此外, 如果$ ({\cal X}, d) $满足几何双倍条件, $ \beta\in(\alpha^{n}, \infty) $, 其中$ n: = \log_{2}N_{0} $, 并且Borel测度$ \mu $在有界集上有限, 那么对于$ \mu $-a.e. $ x\in{\cal X} $和任意给定的$ j\in{\Bbb N} $, $ r\in(0, \infty) $, 都存在以$ x $为中心半径任意小的$ (\alpha, \beta) $ -倍球, 且这些球的半径可以取$ \alpha^{-j}r $的形式.在本文中, 对于任意的$ \alpha\in(1, \infty) $以及球$ B $, 用$ \widetilde{B}^{\alpha} $表示形如$ \alpha^{j}B(j\in{\Bbb N}) $的最小$ (\alpha, \beta_{\alpha}) $ -倍球, 其中

(1.5) $ \begin{eqnarray} \beta_{\alpha}: = \alpha^{3(\max{\{{n}, {\nu}\}})}+[\max\{5\alpha, 30\}]^{n}+[\max\{3\alpha, 30\}]^{\nu}. \end{eqnarray} $

当$ \alpha = 6 $时, 简记$ \widetilde{B}^{\alpha} $为$ \widetilde{B} $.若无特殊说明, 本文中所涉及到的倍球均指的是$ (6, \beta_{6}) $ -倍球.

以下是具有离散系数的平均振荡空间$ \widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $的定义(见文献[12]).

定义1.3^[12]  设$ \rho\in(1, \infty) $, $ \gamma\in(1, \infty) $, 称函数$ f\in L^{1}_{\rm loc}(\mu) $属于空间$ \rm \widetilde{RBMO}_{\rho, \gamma}(\mu) $, 是指存在非负常数$ \widetilde{C} $, 使得对于$ {\cal X} $上的任意球$ B $, 成立

(1.6) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{\mu(\rho B)}\int_{B}|f(x)-f_{B}|{\rm d}\mu(x)\leq \widetilde{C}, \end{eqnarray} $

其中$ f_{B} = \frac{1}{\mu(B)}\int_{B}f(y){\rm d}\mu(y) $, 并且对于任意的球$ B\subset B_{1}\subset{\cal X} $, 有

(1.7) $ \begin{eqnarray} |f_{B}-f_{B_{1}}|\leq \widetilde{C}[\widetilde{K}^{(\rho), 1}_{B, B_{1}}]^{\gamma}. \end{eqnarray} $

把满足(1.6)和(1.7)式中常数$ \widetilde{C} $的下确界称为$ f $的$ \widetilde{{\rm RBMO}}_{\rho, \gamma}(\mu) $范数, 记$ \|f\|_{ \widetilde{{\rm RBMO}}_{\rho, \gamma}(\mu)} $.

另外, Fu等^[12]也说明了空间$ \rm \widetilde{RBMO}_{\rho, \gamma}(\mu) $与参数$ \rho\in(1, \infty) $和$ \gamma\in[1, \infty) $的选取无关.因此, 空间$ \widetilde{{\rm RBMO}}_{\rho, \gamma}(\mu) $简记为$ \widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $.

接下来给出非齐度量测度空间上$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子的定义.

定义1.4  设$ \theta $是定义在$ (0, \infty) $上的非负递增函数且满足

(1.8) $ \begin{eqnarray} \int^{1}_{0}\frac{\theta(t)}{t}{\rm d}t<\infty. \end{eqnarray} $

如果核函数$ K\in L^{1}_{{\rm loc}}({\cal X}\times{\cal X}\setminus\{(x, y): x = y\}) $满足以下条件

$ {\rm (1)} $ 对于任意的$ x, \ y\in{\cal X}, \ x\neq y $, 有

(1.9) $ \begin{eqnarray} |K(x, y)|\leq C\frac{d(x, y)}{\lambda(x, d(x, y))}; \end{eqnarray} $

$ {\rm (2)} $ 存在正常数$ c_{K} $, 使得对于任意的$ x, \ \widetilde{x}, \ y\in{\cal X} $, $ d(x, y)\geq c_{K}d(x, \widetilde{x}) $, 有

(1.10) $ \begin{eqnarray} |K(x, y)-K(\widetilde{x}, y)|+|K(y, x)-K(y, \widetilde{x})|\leq C\theta\bigg(\frac{d(x, \widetilde{x})}{d(x, y)}\bigg)\frac{1}{\lambda(x, d(x, y))}. \end{eqnarray} $

则称$ K $为非齐度量测度空间上的$ \theta $型核.

设$ L^{\infty}_{b}(\mu) $表示所有具有有界支集的$ L^{\infty}(\mu) $函数构成的集合.若次线性算子$ {\cal M}_{\theta} $的核$ K $满足(1.9)和(1.10)式, 且对所有的$ f\in L^{\infty}_{b}(\mu) $和$ x\in{\cal X} $, 有

(1.11) $ \begin{eqnarray} {\cal M}_{\theta}(f)(x): = \bigg(\int^{\infty}_{0}\bigg|\int_{d(x, y)\leq t}K(x, y)f(y){\rm d}\mu(y)\bigg|^{2}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\bigg)^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray} $

则称$ {\cal M}_{\theta} $为非齐度量测度空间上的$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子.

给定函数$ b\in\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $, 那么$ \theta $型Marcinkiewicz积分交换子定义为

(1.12) $ \begin{eqnarray} {\cal M}_{\theta, b}(f)(x): = \bigg(\int^{\infty}_{0}\bigg|\int_{d(x, y)\leq t}K(x, y)(b(x)-b(y))f(y){\rm d}\mu(y)\bigg|^{2}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\bigg)^{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray} $

紧接着, 我们回顾齐次Herz空间和原子Herz型Hardy空间的定义(见文献[14]).下文中, 设$ x_{0} $是空间$ {\cal X} $中的一固定点.令$ B_{k} = \{x\in{\cal X}:d(x_{0}, x)<2^{k}\} $, $ C_{k} = B_{k}\setminus B_{k-1} $, $ \chi_{k} = \chi_{C_{k}} $, $ k\in{\Bbb Z} $.则非齐度量测度空间上的齐次Herz空间的定义如下.

定义1.5^[14]  令$ -\infty<\tau<\infty $, $ 0<p<\infty $, $ 0<q\leq\infty $.设$ ({\cal X}, d, \mu) $是一个非齐度量测度空间, 则齐次$ {\rm Herz} $空间$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $定义为

(1.13) $ \begin{equation} \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu): = \{f\in L^{q}_{{\rm loc}}({\cal X}\setminus\{0\}):\ \|f\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}<\infty\}, \end{equation} $

其中

(1.14) $ \begin{equation} \|f\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)} = \bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\|f\chi_{k}\|^{p}_{L^{q}(\mu)}\bigg\}^{\frac{1}{p}}. \end{equation} $

为了后面定理的证明, 下面给出中心$ (\tau, q) $-块的定义.

定义1.6^[14]  令$ 0<\tau<\infty $, $ 1\leq q<\infty $, 则$ ({\cal X}, d, \mu) $上的函数$ b(x) $被称为中心$ (\tau, q) $-块, 若函数$ b(x) $满足以下条件:

(ⅰ) $ {\rm supp }\ b\subset B = B(x_{0}, r) $, $ r>0 $, 其中$ B(x_{0}, r) = \{x\in{\cal X}:\ d(x_{0}, x)<r\} $;

(ⅱ) $ \|b\|_{L^{q}(\mu)}\leq[\lambda(x_{0}, r)]^{-\tau} $.

若$ r = 2^{k} $, 其中$ k\in{\Bbb Z} $, 则中心$ (\tau, q) $-块称为二进的.

定义1.7^[14]  设$ ({\cal X}, d, \mu) $是一个非齐度量测度空间, 令$ 0<p\leq1\leq q\leq\infty $, $ p\neq q $, $ \tau\in(0, \infty) $, $ \rho\in(1, \infty) $, $ \kappa\in[1, \infty) $.若$ L^{2}(\mu) $上的函数$ b $满足以下条件:

(ⅰ) 存在一个球$ B $使得$ {\rm supp }\ b\subset B = B(x_{0}, r) $, $ r>0 $;

(ⅱ) $ \int_{{\cal X}} b(x){\rm d}\mu(x) = 0 $;

(ⅲ) 对于任意的$ j = 1, 2 $, 存在一个支在球$ B_{j}\subset B $上的函数和一个常数$ \gamma_{j}\in{\Bbb C} $, 使得$ b: = \gamma_{1}a_{1}+\gamma_{2}a_{2} $,

(1.15) $ \begin{equation} \|a_{j}\|_{L^{q}(\mu)}\leq[\lambda(x_{0}, r_{B})]^{-\tau}[\widetilde{K}^{(\rho), p} _{B_{j}, B}]^{-\kappa}. \end{equation} $

则称$ b $是一个$ (\tau, p, q, \kappa, \rho)_{\lambda} $ -原子块.令$ |b|_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}\;\;(\mu)}: = |\gamma_{1}| +|\gamma_{2}| $.

若$ r = 2^{k} $, 其中$ k\in{\Bbb Z} $, 则$ (\tau, p, q, \kappa, \rho)_{\gamma} $ -原子块是二进的.

如果存在一个$ (\tau, p, q, \kappa, \rho) $ -原子块序列$ \{b_{i}\}^{+\infty}_{i = -\infty} $, 使得在$ L^{2}(\mu) $中$ f = \sum\limits^{\infty}_{i = -\infty}b_{i} $, 且

$ \mathop{\sum}\limits^{\infty}_{i = -\infty}|b_{i}|^{p}_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa} _{{\rm atb}, q, \rho}\;(\mu)}<\infty, $

则称$ f $是属于$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}(\mu) $的.定义

(1.16) $ \begin{equation} \|f\|_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}\;(\mu)}: = \mathop{\inf}\limits\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{\infty}_{i = -\infty}|b_{i}|^{p}_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}\;(\mu)} \bigg\}^{\frac{1}{p}}, \end{equation} $

这里的下确界是取遍所有$ f $的分解.

注1.2  韩瑶瑶和赵凯在文献[14]中说明了非齐度量测度空间上的原子$ {\rm Herz} $型$ {\rm Hardy} $空间$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}(\mu) $与参数$ \rho\in(1, \infty) $和$ \kappa\in[1, \infty) $的选取无关.因此, 空间$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}(\mu) $简记为$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}(\mu) $.

Fu等^[19]给出了$ \epsilon $ -弱逆双倍条件定义.

定义1.8^[19]  设$ \epsilon\in(0, \infty) $, 若对所有的$ r\in(0, 2{\rm diam}({\cal X})) $和$ a\in(1, 2{\rm diam}({\cal X})/r) $, 存在一个仅依赖于$ a $和$ {\cal X} $的常数$ C(a)\in[1, \infty) $, 使得对所有的$ x\in{\cal X} $, 有

(1.17) $ \begin{equation} \lambda(x, ar)\geq C(a)\lambda(x, r), \end{equation} $

以及

(1.18) $ \begin{equation} \mathop{\sum}\limits^{\infty}_{k = 1}\frac{1}{[C(a^{k})]^{\epsilon}}<\infty, \end{equation} $

则称控制函数$ \lambda $满足$ \epsilon $ -弱逆双倍条件.

本文的主要结构如下.为了证明需要, 第二节将主要回顾一些重要的引理和推论.第三节主要建立了$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子$ {\cal M}_{\theta} $在齐次Herz空间$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上的有界性, 以及$ {\cal M}_{\theta} $从原子Herz型Hardy空间$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, b}(\mu) $到$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上的有界性.最后一节得到了由$ \widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $函数与$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子$ {\cal M}_{\theta} $生成的交换子$ {\cal M}_{\theta, b} $在齐次Herz空间$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上的有界性, 也得到了$ {\cal M}_{\theta, b} $从$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, b}(\mu) $到$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上的有界性.

全文中, $ C $表示与主要参数无关的常数, 其值在不同的地方可能不尽相同.对$ {\cal X} $上的任意$ \mu $可测集合$ E $, $ \chi_{E} $表示其特征函数.对于固定的$ p $满足$ 1\leq q<\infty $, $ q' $表示$ q $的共轭指数, 即$ 1/q+1/q' = 1 $.

为了证明本文的主要定理, 本节将主要回顾一些重要的引理和推论.首先, 我们回顾离散系数$ \widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S} $的一些性质(见文献[20]).

引理2.1^[20]  设$ ({\cal X}, d, \mu) $是一个非齐性度量测度空间, $ p\in(0, 1] $.

$ {\rm (1)} $ 对于任意的$ \rho\in(1, \infty) $, 存在依赖于$ \rho $的正常数$ C_{(\rho)} $, 使得对$ {\cal X} $中的所有满足条件$ B\subset R\subset S $的球$ B, \ R, \ S $, 成立$ [\widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, R}]^{p}\leq C_{(\rho)}[\widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S}]^{p} $.

$ {\rm (2)} $ 对于任意的$ \alpha\in[1, \infty) $和$ \rho\in(1, \infty) $, 存在依赖于$ \alpha $和$ \rho $的正常数$ C_{(\alpha, \rho)} $, 使得对满足条件$ r_{S}\leq\alpha r_{B} $的球$ B\subset S $, 都有$ [\widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S}]^{p}\leq C_{(\alpha, \rho)} $.

$ {\rm (3)} $ 对于任意的$ \rho\in(1, \infty) $, 存在依赖于$ \rho $和$ \nu $ (见(1.5)式)的正常数$ C_{(\rho, \nu)} $, 使得对所有的球$ B\subset {\cal X} $, 有$ [\widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, \widetilde{B}^{\rho}}]^{p}\leq C_{(\rho, \nu)} $.此外, 设$ \alpha, \ \beta\in(1, \infty) $, 对于$ {\cal X} $中任意两个同中心球$ B, \ S $满足$ B\subset S $, 如果存在形如$ \alpha^{k}B $$ (k\in{\Bbb N}) $但不是$ (\alpha, \beta) $ -倍的球, 满足$ B\subset\alpha^{k}B\subset S $, 那么存在依赖于$ \alpha, \beta, \rho $和$ \nu $的常数$ C_{(\alpha, \beta, \rho, \nu)}>0 $, 使得$ [\widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S}]^{p}\leq C_{(\alpha, \beta, \nu)} $.

$ {\rm (4)} $ 对于任意的$ \rho\in(1, \infty) $, 存在依赖于$ \rho, p, \nu $的正常数$ c_{(\rho, p, \nu)} $, 使得对所有的球$ B\subset R\subset S $, 有$ [\widetilde{K}^{(\rho, p)}_{B, S}]^{p}\leq [\widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, R}]^{p}+c_{(\rho, p, \nu)}[\widetilde{K}^{(\rho), p}_{R, S}]^{p} $.

$ {\rm (5)} $ 对于任意的$ \rho\in(1, \infty) $, 存在依赖于$ \rho, \ p, \ \nu $的正常数$ \widetilde{c}_{(\rho, p, \nu)} $, 使得对所有的球$ B\subset R\subset S $, 有$ [\widetilde{K}^{(\rho, p)}_{B, R}]^{p}\leq\widetilde{c}_{(\rho, \nu)}[\widetilde{K}^{(\rho), p}_{B, S}]^{p} $.

空间$ \widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $的一些等价刻画如下.

引理2.2^[21]  设$ \eta, \rho\in(1, \infty) $, $ \beta_{\rho} $由(1.5)式所定义.对于$ f\in L^{1}_{\rm loc}(\mu) $, 以下的叙述是相互等价的：

$ {\rm (1)} $$ f\in\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $;

$ {\rm (2)} $ 存在正常数$ C $, 使得对所有球$ B $, 有

(2.1) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{\mu(\eta B)}\int_{B}|f(x)-m_{\widetilde{B}^{(\rho)}}(f)|{\rm d}\mu(x)\leq C, \end{eqnarray} $

并且对所有倍球$ B\subset S $, 有

(2.2) $ \begin{eqnarray} |m_{B}(f)-m_{S}(f)|\leq C\widetilde{K}^{(\rho), 1}_{B, S}, \end{eqnarray} $

其中$ m_{B}(f) $表示函数$ f $在球$ B $上平均值, 即

$ m_{B}(f): = \frac{1}{\mu(B)}\int_{B}f(y){\rm d}\mu(y). $

此外, 使得(2.1)和(2.2)式成立的常数$ C $的下确界与$ \|f\|_{\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu)} $等价.

推论2.1^[21]  设$ ({\cal X}, d, \mu) $是一个非齐性度量测度空间.则对于每个$ \rho\in(1, \infty) $和$ s\in[1, \infty) $, 存在一正常数$ C $, 使得对于所有的$ f\in\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $和球$ B $, 有

(2.3) $ \begin{eqnarray} \Bigg(\frac{1}{\mu( \rho B)}\int_{B}|f(x)-f_{B}|^{s}{\rm d}\mu(x)\Bigg)^{\frac{1}{s}}\leq C\|f\|_{\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu)}. \end{eqnarray} $

引理2.3^[14]  令$ 0<\alpha<\infty $, $ 0<p<\infty $, $ 1\leq q<\infty $.设控制函数$ \lambda $满足$ \epsilon $ -弱逆双倍条件, 且$ \epsilon\in(0, \min\{\tau p/2, \tau p/2(p-1)\}) $, 则$ f\in\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $当且仅当

(2.4) $ \begin{eqnarray} f(x) = \mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}\gamma_{k}b_{k}(x), \end{eqnarray} $

其中$ b_{k} $是中心$ (\tau, q) $-块, $ {\rm supp}\ b_{k}\subset B_{k} $, 且$ \sum\limits^{+\infty}_{k = -\infty}|\gamma_{k}|^{p}<\infty $.进一步, 有

(2.5) $ \begin{eqnarray} \|f\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}\sim\inf\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} |\gamma_{k}|^{p}\bigg\}^{\frac{1}{p}}. \end{eqnarray} $

引理2.4^[14]  设$ 0<p\leq1\leq q\leq\infty $且$ p\neq q $, $ \tau\in(0, \infty) $, $ \rho\in(1, \infty) $, $ \kappa\in[1, \infty) $, 则$ f\in\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}(\mu) $当且仅当存在$ (\tau, p, q, \kappa, \rho) $ -原子块列$ \{b_{i}\}^{+\infty}_{i = -\infty} $, 使得

(2.6) $ \begin{eqnarray} f = \mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{i = -\infty}b_{i}, \end{eqnarray} $

且$ \sum\limits^{+\infty}_{i = -\infty}|b_{i}|^{p} _{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}\;\;(\mu)}<\infty $.进一步有

(2.7) $ \begin{eqnarray} \|f\|^{p}_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}\;(\mu)} = \inf\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{i = -\infty}|b_{i}|^{p}_ {\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p, \kappa}_{{\rm atb}, q, \rho}\;(\mu)}\bigg\}, \end{eqnarray} $

这里的下确界取遍(2.5)式中$ f $的所有分解.

现在我们建立$ \theta $型Marcinkiewicz在Lebesgue空间上的有界性.

引理2.5  设核函数$ K $满足(1.9)和(1.10)式, 且$ q\in(1, \infty) $.假设$ {\rm (1.11)} $式所定义的$ \theta $型$ {\rm Marcinkiewicz} $积分算子$ {\cal M}_{\theta} $在$ L^{2}(\mu) $上有界的.则对任意的$ f\in L^{q}(\mu) $, 有

(2.8) $ \begin{eqnarray} \|{\cal M}_{\theta}(f)\|_{L^{q}(\mu)}\leq C\|f\|_{L^{q}(\mu)}. \end{eqnarray} $

注2.1   $ {\rm Lin} $和$ {\rm Yang} $在文献[10]给出了$ {\rm Marcinkiewicz} $积分算子在$ {\rm Lebesgue} $空间上等价性质.利用类似的方法, 不难证明引理$ {\rm 2.5} $也是成立的.

最后我们回顾非齐性度量测度空间上几类极大算子的性质(见文献[19]).

引理2.6^[19]  设$ ({\cal X}, d, \mu) $是非齐度量测度空间.

$ {\rm (1)} $ 设$ p\in(1, \infty) $, $ r\in(1, \infty) $以及$ \zeta\in[5, \infty) $.对于所有的$ \mu $局部可积函数$ f $和$ x\in{\cal X} $, 以下相应的极大算子

$ M_{r, \zeta}f(x): = \mathop{\sup}\limits_{B\ni x}\Bigg(\frac{1}{\mu(\zeta B)}\int_{B}|f(y)|^{r}{\rm d}\mu(y)\Bigg)^{\frac{1}{r}}, $

$ Nf(x): = \mathop{\sup}\limits_{B\ni x, \ B\mbox{ 是双倍球 }}\;\;\;\;\frac{1}{\mu(B)}\int_{B}|f(y)|{\rm d}\mu(y) $

和

$ M_{(\zeta)}f(x): = \mathop{\sup}\limits_{B\ni x}\frac{1}{\mu(\zeta B)}\int_{B}|f(y)|{\rm d}\mu(y) $

在$ L^{p}(\mu) $上是有界的, 且是从$ L^{1}(\mu) $到$ L^{1, \infty}(\mu) $上的有界算子.

$ {\rm (2)} $ 对于所有的$ f\in L^{1}_{{\rm loc}}(\mu) $, 成立$ |f(x)|\leq Nf(x) $, $ \mu $-a.e. $ x\in{\cal X} $.

本节将主要建立$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子$ {\cal M}_{\theta} $在齐次Herz空间$ \dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu) $上的有界性.此外, 也得到了$ {\cal M}_{\theta} $从$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}(\mu) $到$ \dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu) $上的有界性.

本节的主要定理叙述如下.

定理3.1  设$ 0<p<\infty $, $ 1<q<\infty $, $ 0<\tau<1-1/q $, 控制函数$ \lambda $满足$ \epsilon $ -弱逆双倍条件且$ \epsilon\in(0, \min\{\tau p/2, \tau p'/2, (1-1/q-\tau)p/2, (1-1/q-\tau)p'/2\}) $.假设$ {\rm (1.11)} $式所定义的$ {\cal M}_{\theta} $在$ L^{2}(\mu) $上有界.则$ {\cal M}_{\theta} $在齐次$ {\rm Herz} $空间$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上是有界的.

定理3.2  设$ 0<p\leq 1\leq q\leq \infty $, $ p\neq q $, $ 0<\tau<1-1/q $, 并且控制函数$ \lambda $满足$ \epsilon $ -弱逆双倍条件.假设$ {\rm (1.11)} $式所定义的$ {\cal M}_{\theta} $在$ L^{2}(\mu) $上有界.则存在常数$ C>0 $, 使得对所有的$ f\in\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}(\mu) $, 有

(3.1) $ \begin{eqnarray} \|M_{\theta}(f)\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}\leq C\|f\|_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}\;(\mu)}. \end{eqnarray} $

接下来我们给出定理3.1和3.2的证明.

定理3.1的证明  由引理2.3, 知, 对于任意的$ f\in\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $, 有

(3.2) $ \begin{eqnarray} f(x) = \mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}\gamma_{j}b_{j}(x), \end{eqnarray} $

其中$ b_{j}(x) $是中心$ (\tau, q) $块, $ {\rm supp}(b_{j})\subset B_{j} $, 且

(3.3) $ \begin{eqnarray} \|f\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}\sim\inf\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty} |\gamma_{j}|^{p}\bigg\}^{\frac{1}{p}}. \end{eqnarray} $

进一步, 由(1.14)和(3.3)式, 得

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal M}_{\theta}(f)\|^{p}_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}& = & \mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\|({\cal M}_{\theta}f)\chi_{k}\|^{p}_{L^{q}(\mu)}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg(\ \mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}\|({\cal M}_{\theta}(\gamma_{j}b_{j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)} \Bigg)^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \|({\cal M}_{\theta}(b_{j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\Bigg)^{p}\\ &&+C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg(\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1}|\gamma_{j}|\|({\cal M}_{\theta}(b_{j}))\|_{L^{q}(\mu)} \Bigg)^{p}\\ & = &:{\rm D}_{1}+{\rm D}_{2}. \end{eqnarray*} $

利用Minkowski不等式, (1.1)式, 定义1.6, (1.9)式, Hölder不等式, (1.14)式, 定义1.8, 有

$ \begin{eqnarray*} {\rm D}_{1}&\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \|({\cal M}(b_{j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\Bigg)^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg[\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \bigg(\int_{C_{k}}|{\cal M}(b_{j})(x)|^{q}{\rm d}\mu(x)\bigg)^{\frac{1}{q}}\Bigg]^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|\\ &&\quad\times\bigg[\int_{C_{k}}\bigg(\int_{{\cal X}}|K(x, y)||b_{j}(y)| \bigg(\int^{\infty}_{d(x, y)}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\bigg)^{\frac{1}{2}}{\rm d}\mu(y) \bigg)^{q}{\rm d}\mu(x)\bigg]^{\frac{1}{q}}\Bigg\}^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|\\ &&\quad\times\bigg[\int_{C_{k}}\bigg(\int_{B_{j}}\frac{|b_{j}(y)|}{\lambda(x, d(x, y))} {\rm d}\mu(y)\bigg)^{q}{\rm d}\mu(x)\bigg]^{\frac{1}{q}}\Bigg\}^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \bigg[\int_{C_{k}}\frac{1}{[\lambda(x, d(x_{0}, x))]^{q}}{\rm d}\mu(x)\bigg]^{\frac{1}{q}}\\ &&\quad\times \bigg(\int_{B_{j}}|b_{j}(y)|{\rm d}\mu(y)\bigg)\Bigg\}^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \bigg[\int_{C_{k}}\frac{1}{[\lambda(x, d(x_{0}, x))]^{q}}{\rm d}\mu(x)\bigg]^{\frac{1}{q}}\\ &&\quad\times \bigg(\int_{B_{j}}|b_{j}(y)|{\rm d}\mu(y)\bigg)\Bigg\}^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \frac{[\mu(B_{k})]^{\frac{1}{q}}}{\lambda(x_{0}, 2^{k-1})} \|b_{j}\|_{L^{q}(\mu)}[\mu(B_{j})]^{1-\frac{1}{q}} \Bigg\}^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \frac{[\mu(B_{k})]^{\frac{1}{q}}}{\lambda(x_{0}, 2^{k-1})} [\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau}[\mu(B_{j})]^{1-\frac{1}{q}} \Bigg\}^{p}\\ &\leq& C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{1-\frac{1}{q}} [\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau}\Bigg\}^{p}. \end{eqnarray*} $

情形Ⅰ  若$ 0<p\leq 1 $, 得

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm D}_{1}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{1-\frac{1}{q}} [\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau}\Bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q})p} [\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau p}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = j+2} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)p} \Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = j+2} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k-j}2^{j})}\bigg] ^{(1-\frac{1}{q}-\tau)p}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = j+2} \frac{1}{[C(2^{k-j})]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)p}}\Bigg\} \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}. \end{eqnarray*} $

情形Ⅱ  若$ 1<p<\infty $, 则由Hölder不等式和定义1.8, 得到

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm D}_{1}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} [\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{1-\frac{1}{q}} [\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau}\Bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} \Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}| \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{1-\frac{1}{q}-\tau} \Bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} \Bigg\{\Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p}{2}}\Bigg)^{\frac{1}{p}}\\ &&\quad{\qquad} \times \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p'}{2}}\Bigg)^{\frac{1}{p'}}\Bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p}{2}}\Bigg) \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p'}{2}}\Bigg)^{\frac{p}{p'}}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p}{2}}\Bigg) \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} \frac{1}{[C(2^{k-j})]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p'}{2}}}\Bigg)^{\frac{p}{p'}}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p}{2}}\Bigg) \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} \frac{1}{[C(2^{k-j})]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p'}{2}}}\Bigg)^{\frac{p}{p'}}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty} \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p}{2}}\Bigg)\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty} \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = j+2}|\gamma_{j}|^{p} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j})}{\lambda(x_{0}, 2^{k})}\bigg]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p}{2}}\Bigg)\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \Bigg(\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = j+2} \frac{1}{[C(2^{k-j})]^{(1-\frac{1}{q}-\tau)\times \frac{p}{2}}}\Bigg) \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}. \end{eqnarray*} $

对于$ {\rm D}_{2} $分为以下两种情形进行讨论.

情形Ⅰ  若$ 0<p\leq 1 $, 则由(2.8)式, 定义1.6, (1.14)式以及定义1.8, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm D}_{2}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg(\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1}|\gamma_{j}|\|b_{j}\|_{L^{q}(\mu)}\Bigg)^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1}|\gamma_{j}|^{p}[\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau p}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{j+1}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau p}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}\Bigg\{\mathop{\sum} \limits^{j+1}_{k = -\infty}\bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{k})}{\lambda(x_{0}, 2^{j-k}2^{k})}\bigg]^{\tau p}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}\Bigg\{\mathop{\sum} \limits_{k\leq j+1}\frac{1}{[C(2^{j-k})]^{\tau p}}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}. \end{eqnarray*} $

情形Ⅱ  若$ 1<p<\infty $, 则由(2.5)式, 定义1.6, (1.14)式以及定义1.8, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm D}_{2}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg(\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1}|\gamma_{j}|\|b_{j}\|_{L^{q}(\mu)}\Bigg)^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1}|\gamma_{j}|[\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\frac{\tau} {2}-\frac{\tau}{2}}\Bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1}|\gamma_{j}|^{p} [\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\frac{\tau p}{2}}\Bigg\}\\ &&\quad\quad\quad\times\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1} [\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\frac{\tau p'} {2}}\Bigg\}^{\frac{p}{p'}}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}\Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1} |\gamma_{j}|^{p}\bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{k})}{\lambda(x_{0}, 2^{j})}\bigg]^{\frac{\tau p}{2}}\Bigg\} \Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{k})}{\lambda(x_{0}, 2^{j})}\bigg]^{\frac{\tau p'} {2}}\Bigg\}^{\frac{p}{p'}}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{j+1}_{k = -\infty} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{k})}{\lambda(x_{0}, 2^{j})}\bigg]^{\frac{\tau p}{2}}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p} \Bigg\{\mathop{\sum}\limits^{j}_{k = -\infty} \bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{k})}{\lambda(x_{0}, 2^{j})}\bigg]^{\frac{\tau p}{2}} +\bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{j+1})}{\lambda(x_{0}, 2^{j})}\bigg]^{\frac{\tau p}{2}}\Bigg\}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}. \end{eqnarray*} $

结合$ {\rm D}_{1} $和$ {\rm D}_{2} $的估计, 有

(3.4) $ \begin{eqnarray} \|{\cal M}_{\theta}(f)\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}\leq C\|f\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}. \end{eqnarray} $

定理3.1证毕.

定理3.2的证明  对于任意的$ f\in\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}(\mu) $, 只需证明

(3.5) $ \begin{eqnarray} \|{\cal M}_{\theta}(f)\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}\leq C\|f\|_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}\;(\mu)}. \end{eqnarray} $

由定义1.7以及引理2.4, 存在$ (\tau, p, q)_{\gamma} $ -原子块$ b_{i} $, 满足

$ b_{i} = \mathop{\sum}\limits^{2}_{j = 1}\gamma_{j}b_{i, j}, \quad {\rm supp} (b_{i, j}) \subset B_{i, j}\subset B_{i}, $

其中$ B_{i} = B(x_{0}, 2^{i}) $, 使得

$ f = \sum\limits^{+\infty}_{i = -\infty}b_{i}. $

则进一步分解

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal M}_{\theta}(f)\|^{p}_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)} & = &\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p} \|({\cal M}_{\theta}(f))\chi_{k}\|^{p}_{L^{q}(\mu)}\bigg\}\\ &\leq&\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg[\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{i = -\infty}\mathop{\sum}\limits^{2}_{j = 1} |\gamma_{i, j}|\|({\cal M}_{\theta}(b_{i, j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg]^{p}\bigg\}\\ &\leq&\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg[\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{i = -\infty}\mathop{\sum}\limits^{2}_{j = 1} |\gamma_{i, j}|\|({\cal M}_{\theta}(b_{i, j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg]^{p}\bigg\}\\ &\leq&\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg[\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{i = k-1}\mathop{\sum}\limits^{2}_{j = 1} |\gamma_{i, j}|\|({\cal M}_{\theta}(b_{i, j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg]^{p}\bigg\}\\ & = &:{\rm E}_{1}+{\rm E}_{2}. \end{eqnarray*} $

类似于定理3.1中$ {\rm D}_{1} $和$ {\rm D}_{2} $的估计, 不难得到

(3.6) $ \begin{eqnarray} {\rm E}_{1}+{\rm E}_{2}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{i = -\infty}\Bigg(\mathop{\sum}\limits^{2}_{j = 1} |\gamma_{i, j}|\Bigg)^{p}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{i = -\infty}|b_{i}|^{p} _{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}\;(\mu)}, \end{eqnarray} $

进一步, 对(3.6)式两边同时取下确界, 从而完成了定理3.2的证明.

本节我们将主要讨论由$ {\rm \widetilde{RBMO}}(\mu) $函数与$ \theta $型Marcinkiewicz积分算子$ {\cal M}_{\theta} $生成的交换子$ {\cal M}_{\theta, b} $在齐次Herz空间$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上的有界性, 也得到了$ {\cal M}_{\theta, b} $从$ \widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}(\mu) $到$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上的有界性.首先, 回顾有关Sharp极大函数的定义(见文献[19]).

设$ f\in L^{1}_{{\rm loc}}(\mu) $, $ f $的Sharp极大函数$ M^{\sharp}(f) $定义为

(4.1) $ \begin{eqnarray} M^{\sharp}f(x): = \mathop{\sup}\limits_{B\ni x}\frac{1}{\mu(6B)}\int_{B}|f(x)-m_{\tilde{B}}(f)|{\rm d}\mu(x)+ \mathop{\sup}\limits_{(B, S)\in\Delta_{x}}\frac{|m_{B}(f)-m_{S}(f)|}{\widetilde{K}^{(6)}_{B, S}}, \end{eqnarray} $

其中$ x\in{\cal X} $, $ \Delta_{x}: = \{(B, S):x\in B\subset S\hbox{ 以及 } {B, S} \hbox{ 是倍球}\} $.

本节的主要定理叙述如下.

定理4.1  设$ b\in\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $, $ 0<p<\infty $, $ 1<q<\infty $, $ 0<\alpha<1-1/q $, 控制函数$ \lambda $满足$ \epsilon $ -弱逆双倍条件且$ \epsilon\in(0, \min\{\tau p/2, \tau p'/2, (1-1/q-\tau)p/2, (1-1/q-\tau)p'/2\}) $.假设$ {\rm (1.11)} $式所定义的$ {\cal M}_{\theta} $在$ L^{2}(\mu) $上是有界的.则$ {\rm (1.12)} $式所定义的交换子$ {\cal M}_{\theta, b} $在$ \dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu) $上是有界的.

定理4.2  设$ b\in\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu) $, $ 0<p\leq 1\leq q\leq \infty $, $ p\neq q $, $ 0<\alpha<1-1/q $, 并且控制函数$ \lambda $满足$ \epsilon $ -弱逆双倍条件.假设$ {\rm (1.11)} $式所定义的$ {\cal M}_{\theta} $在$ L^{2}(\mu) $上有界.则存在正常数$ C $, 使得对所有的$ f\in\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}(\mu) $, 有

(4.2) $ \begin{eqnarray} \|M_{\theta, b}(f)\|_{\dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu)}\leq C\|b\|_{\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu)} \|f\|_{\widetilde{H}\dot{K}^{\tau, p}_{{\rm atb}, q}\;(\mu)}. \end{eqnarray} $

为了完成本节定理的证明, 我们需要建立以下引理.

引理4.1  设$ K $满足(1.9)和(1.10)式, $ s\in(1, \infty) $以及$ b\in L^{\infty}(\mu) $.假设(1.11)式所定义的$ {\cal M}_{\theta} $在$ L^{2}(\mu) $上是有界的, 则存在一常数$ C>0 $, 使得对所有$ f\in L^{\infty}_{b}(\mu) $, 有

(4.3) $ \begin{eqnarray} M^{\sharp}[{\cal M}_{\theta, b}(f)](x)\leq C_{(s)}\|b\|_{\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu)}\Big[M_{s, 6} ({\cal M}_{\theta}(f))(x)+\|f\|_{L^{\infty}(\mu)}\Big]. \end{eqnarray} $

注4.1  类似文献[22]中定理的证明方法, 不难证明上述引理也是成立的.因此, 这里我们略去引理$ {\rm 4.1} $的证明.

引理4.2  设$ 0<p<\infty $, $ 1<q<\infty $, $ 0<\tau<1-1/q $, 控制函数$ \lambda $满足$ \epsilon $ -弱逆双倍条件且$ \epsilon\in(0, \min\{\tau p/2, \tau p'/2, (1-1/q-\tau)p/2, (1-1/q-\tau)p'/2, (1/q+\tau)p\}) $.假设极大算子$ M_{r, \zeta} $在$ L^{2}(\mu) $上是有界的.则$ M_{r, \zeta} $在齐次$ {\rm Herz} $空间$ \dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $上是有界的.

证  不失一般性, 设引理2.6中$ \zeta = 6 $.由(1.14)式和引理2.3知, 对任意$ f\in\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $, 有

(4.4) $ \begin{eqnarray} f = \mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}\gamma_{j}b_{j}, \end{eqnarray} $

其中$ b_{j} $是中心$ (\tau, q) $-块, $ {\rm supp}\ b_{j}\subset B_{j} $, 且$ \sum\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}<\infty $.进一步, 有

$ \begin{eqnarray*} \|M_{r, \zeta}(f)\|^{p}_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}& = &\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\|(M_{r, \zeta}(f))\chi_{k}\|^{p}_{L^{q}(\mu)}\\ &\leq&\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} |\gamma_{j}|\|(M_{r, \zeta}(b_{j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg\}^{p}\\ && +\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1} |\gamma_{j}|\|(M_{r, \zeta}(b_{j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg\}^{p}\\ &: = &{\rm F}_{1}+{\rm F}_{2}. \end{eqnarray*} $

由引理2.6(1), Hölder不等式, 得

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm F}_{2}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1} |\gamma_{j}|\|b_{j}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = k-1} |\gamma_{j}|[\lambda(x_{0}, 2^{j})]^{-\tau}\bigg\}^{p}, \end{eqnarray*} $

类似于$ {\rm D}_{2} $的估计, 不难得到

$ {\rm F}_{2}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty} |\gamma_{j}|^{p}. $

接下来估计$ {\rm F}_{1} $.由引理2.6(2)以及定义1.6(ⅱ), 得

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm F}_{1} = \mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} |\gamma_{j}|\|(M_{r, 6}(b_{j}))\chi_{k}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}[\lambda(x_{0}, 2^{k})]^{\tau p}\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} |\gamma_{j}|\|b_{j}\|_{L^{q}(\mu)}\bigg\}^{p}\\ &&\quad\ \leq\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{k = -\infty}\bigg\{\mathop{\sum}\limits^{k-2}_{j = -\infty} |\gamma_{j}|\bigg[\frac{\lambda(x_{0}, 2^{k})} {\lambda(x_{0}, 2^{j})}\bigg]^{\tau}\bigg\}^{p}, \end{eqnarray*} $

类似于文献[14]中对定理5.3的$ {\rm I}_{1} $估计, 不难得到

$ {\rm F}_{1}\leq C\mathop{\sum}\limits^{+\infty}_{j = -\infty}|\gamma_{j}|^{p}. $

结合上述$ {\rm F}_{1} $和$ {\rm F}_{2} $的估计, 完成了引理4.2的证明.

引理4.3  设函数$ f\in L^{1}_{{\rm loc}}(\mu) $且满足额外的条件:如果

$ \|\mu\| = \mu({\cal X})<\infty, $

则

$ \int_{{\cal X}}f(x){\rm d}\mu(x) = 0. $

假设对于一些$ p\in(0, \infty) $和$ q\in(1, \infty) $, $ \inf\{1, Nf\}\in\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu) $, 有

$ \|Nf\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}\leq C\|M^{\sharp}(f)\|_{\dot{K}^{\tau, p}_{q}(\mu)}. $

证  由定义1.5, 引理2.6及文献[23, Theorem $ {\rm 4.2} $]的证明方法, 不难证明引理$ {\rm 4.3} $在Herz空间上也是成立的.为了避免重复, 这里略去其证明过程.

接下来给出定理4.1和4.2的证明.

定理4.1的证明  由引理2.6, 4.1, 4.2和4.3以及定理3.1, 得

$ \begin{eqnarray*} \|{\cal M}_{\theta, b}(f)\|_{\dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu)}&\leq& \|N({\cal M}_{\theta, b}(f))\|_{\dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu)}\\ &\leq& \|M^{\sharp}({\cal M}_{\theta, b}(f))\|_{\dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu)}\\ &\leq& C\|b\|_{\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu)}\|M_{s, 6} ({\cal M}_{\theta}(f))\|_{\dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu)}\\ &\leq& C\|b\|_{\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu)}\| {\cal M}_{\theta}(f)\|_{\dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu)}\\ &\leq& C\|b\|_{\widetilde{{\rm RBMO}}(\mu)}\| f\|_{\dot{K}^{\alpha, p}_{q}(\mu)}. \end{eqnarray*} $

定理4.1证毕.

定理4.2的证明  类似于定理3.1和4.1的证明, 不难证明定理4.2也是成立.这里略去定理4.2的证明.