本文讨论如下具有尺度不变耗散和幂次方非线性项的半线性波动方程的柯西问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } v_{\tau\tau}-\Delta_{y}v+\frac{\mu}{1+\tau}v_{\tau} = |v|^p, &\tau>0, \;y\in{{\Bbb R}} ^{n}, \\ v(0, y) = \varepsilon v_0(y), \;v_{\tau}(0, y) = \varepsilon v_1(y), & y\in{{\Bbb R}} ^n, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ p > 1 $, $ \mu > 0 $是常数, $ \varepsilon > 0 $是衡量初值大小的参数.该模型常称为尺度不变的,因为相应的线性波动方程在尺度变换$ \tilde{v} = v(\lambda(1+\tau)-1, \lambda y), \lambda > 0 $下是不变的.方程(1.1)可用来描述具有摩擦和热传导的波的传播,在磁流体力学、粘弹性力学等领域也有很多应用^[1-2].

柯西问题(1.1)的一个基本问题是确定临界值$ p_c(n) $,使得当$ p > p_c(n) $时, (1.1)存在小初值的整体解,而当$ 1 < p\leq p_c(n) $时,解发生爆破.据我们所知,该问题至今仍然没有得到完全解决.下面我们给出一些有关的研究工作.

柯西问题(1.1)已有大量研究结果,参见文献[4-6]及其参考文献.容易看出,该方程的解强烈地依赖于参数$ \mu $的值.特别地,当$ 0 < \mu < 1 $时(此时阻尼项称为non-effective),解的渐近行为与相应的齐次波动方程的解的性质有关^{[4, 7-8]}. Wirth^[13-14]给出相应的线性波动方程阻尼的分类. Lai, Takamura和Wakasa^[4]猜测方程解的行为依赖于$ \mu $的临界值为$ \mu = 1 $.文献[4]的主要工作为:对于$ p_F(n)\leq p < p_0(n+2\mu) $,其中$ \mu\in(0, \mu_0(n)) $,在初值作合理假设后,柯西问题(1.1)解的生命跨度的上界为$ \varepsilon^{-\frac{2p(p-1)}{\gamma(n+2\mu; p)}} $,其中$ p_F(n): = 1+\frac{2}{n} $是Fujita指标, $ \mu_0(n): = \frac{n^2+n+2}{n+2} $, $ p_0(n+2\mu) $是方程$ \gamma(n+2\mu; p) = 0 $的正根,这里$ \gamma(n+2\mu; p) $由二次多项式$ \gamma(n; p): = 2+(n+1)p-(n-1)p^2 $来定义.

后来, Ikeda和Sobajima^[5]重新考虑柯西问题(1.1),并研究超Fujita指标情形时解的爆破现象.文献[5]的结果可总结为:对于$ p_F(n)\leq p\leq p_0(n+\mu) $,这里$ p_0(n) $是Strauss指标(即方程$ \gamma(n; p) = 0 $的正根),如果具有紧支撑的初值是光滑的,且为非负,那么解将在有限时间内发生爆破,解的生命跨度的上界可以得到.可以看出,当解发生爆破时, $ (p, \mu) $的范围比文献[4]中对应的范围要稍微大一些,详细结果参见文献[5].

另一方面,对于模型(1.1),利用Zhang^[9]的测试函数方法, Wakasugi^[15]得到$ 1 < p\leq p_F(n) $ (其中$ \mu > 1 $),以及$ 1 < p\leq p_F(n+\mu-1) $ (其中$ 0 < \mu < 1 $)时的爆破结果.生命跨度的上界由下式给出

(1.2) $ \begin{equation} C\varepsilon^{-\frac{p-1}{2-n(p-1)}}, \;\; \mbox{其中}\;\; 1<p<p_F(n), \mu\geq1; \end{equation} $

(1.3) $ \begin{equation} C\varepsilon^{-\frac{p-1}{2-(n+\mu-1)(p-1)}}\;\;\mbox{其中}\;\;1<p<p_F(n+\mu-1), 0<\mu<1, \end{equation} $

这里$ C $是一个与$ \varepsilon $无关的正常数.

现在我们给出如下阻尼波动方程有关的结果

(1.4) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll}v_{\tau\tau}-\Delta_{y}v+ v_{\tau} = |v|^p, &\tau>0, \;y\in{{\Bbb R}} ^n, \\ v(0, y) = \varepsilon v_0(y), \;v_{\tau}(0, y) = \varepsilon v_1(y), & y\in{{\Bbb R}} ^n.\end{array}\right. \end{equation} $

当空间维数$ n = 1, 2 $, $ p $属于$ (1, p_F(n)] $时, Li和Zhou^[3]得到上述方程解的生命跨度的上界sharp估计.对于整数的$ p $以及$ n\geq1 $时,解的生命跨度的下界估计由Li^[16]给出,从而对于$ n = 1, 2 $情形解的生命跨度的sharpness得到证明.临界指标$ p = p_F(n) $由Todorova和Yordanov^[17]发现. Nishihara^[18]给出三维情形解的生命跨度的上界的sharp估计.对于$ n\geq4 $的高维情形,生命跨度的sharpness最近才被Lai和Zhou^[11]所证明.文献[11]中证明的关键之处在于利用经典热核的半群性质得到一个微分不等式,而该微分不等式的爆破结果已由文献[3]给出.这方面的其他相关工作,可以参见文献[11-12]以及其参考文献.

现在我们回到柯西问题(1.1).正如Takamura^[19]所指出, Kato引理在研究半线性波动方程时起着非常重要的作用.同时,我们发现Li和Zhou^[3]中的常微分不等式的有关结果在Lai和Zhou^[11]证明(1.4)解的生命跨度的sharpness时是一个重要的工具.受到Takamura^[19]和Lai和Zhou^[11]工作的启发,本文我们将Li和Zhou^[3]中有关常微分不等式的结果推广到变系数的情形,然后利用所得结果去研究变系数的半线性波动方程柯西问题(1.1)解的爆破现象.

本文主要考虑$ \mu > 1 $的情形.此时, Wirth^[13-14]指出阻尼项在相应的线性波动方程中是有效的(effective).因此,类似于Lai和Zhou^[11]的方法,选取热核作为测试函数去研究柯西问题(1.1)的解的爆破将是可行的.关于柯西问题(1.1)的主要结果如下定理.

定理1.1 设$ \mu > 1 $和$ 1 < p < p_F(n) = 1+\frac{2}{n} $.令初值满足$ v_0(y), v_1(y)\in H^1({{\Bbb R}} ^n)\times L^2({{\Bbb R}} ^n) $且$ \mbox{supp}(v_0, v_1)\subset\{y\in{{\Bbb R}} ^n||y|\leq\sqrt{\frac{\mu}{\mu+1}}\} $.此外,假设

(1.5) $ \begin{equation} v_0(y)\geq0, \quad \int_{{{\Bbb R}} ^n}\left[(\mu-1)v_0(y)+v_1(y)\right]{\rm d}y>0. \end{equation} $

记$ v(\tau, y) $是柯西问题(1.1)在$ [0, T(\varepsilon)) $上的解,那么我们可以得到如下关于生命跨度的估计

(1.6) $ \begin{equation} T(\varepsilon)\leq C\varepsilon^{-\frac{p-1}{2-n(p-1)}}, \end{equation} $

这里$ C $是一个与$ \varepsilon $无关的正常数.

注1.1 尽管初值的假设(1.5)与文献[15]中的不同,但生命跨度的上界估计(1.6)与(1.2)是一致的.

注1.2 对于$ \mu = 1 $情形,我们相信本文改进的常微分不等式的有关结果仍然适用.然而,利用本文选取热核作为测试函数的方法去得到柯西问题(1.1)当$ 0 < \mu < 1 $时解的爆破结果,看起来不是非常显然.

注1.3 对于情形$ p = p_F(n) = 1+\frac{2}{n} $,本文的方法将失效,因为(3.28)式右端的最后一项将变为正数,相应的后续讨论将无法进行.这个情况与Lai和Zhou^[11]不同,文献[11]研究了临界情形$ p = p_F(n) $.之所以方法失效,推测起来原因是此时的柯西问题(1.1)中的方程是变系数的,而不是常系数的.

本文结构如下.下一节我们给出两个改进的常微分不等式的爆破结果.在第3节,利用该推广的常微分不等式的爆破结果研究具有尺度不变的半线性波动方程,进而得到柯西问题(3.5)的爆破结果.

本节我们将建立两个常微分不等式,它们改进了Li和Zhou^[3]相关的结果.文献[3]的结果在研究常系数的半线性波动方程时非常有用^{[3, 11]}.下面的讨论方法来自于Li和Zhou^[3].

定理2.1 设$ I(t) $满足

(2.1) $ \begin{equation} a(t)I''(t)+b(t)I'(t)\geq C_0\frac{I^{1+\alpha}(t)}{(1+t)^{\beta}} \end{equation} $

和

(2.2) $ \begin{equation} I(0)>0, \quad I'(0)\geq0, \end{equation} $

这里$ \alpha > 0, \beta\geq0 $, $ C_0 > 0 $都是常数, $ a(t) $和$ b(t) $是光滑的正函数.假设存在常数$ m\geq\frac{1}{2}, C_1 > 0 $和$ C_2 > 0 $,使得

(2.3) $ \begin{equation} a'(t)\geq0, \quad C_1<a(t), \quad 0<b(t)\leq C_2a(t)^m, \quad\forall\; t\geq0. \end{equation} $

那么,当$ 0\leq\beta\leq1 $, $ I = I(t) $必在有限时间内爆破.而且,如果$ I(0) = \varepsilon $,其中$ \varepsilon > 0 $是小参数,那么$ I = I(t) $的生命跨度$ T(\varepsilon) $具有如下的上界估计

(2.4) $ \begin{equation} T(\varepsilon)\leq\left\{\begin{array}{ll}\exp(A\varepsilon^{-\alpha}), &\beta = 1, \\ B\varepsilon^{-\frac{\alpha}{1-\beta}}, &0\leq\beta<1, \end{array}\right. \end{equation} $

这里$ A $和$ B $是与$ \varepsilon $无关的正常数.

证 类似于文献[3]中定理3.1的证明,我们仅需要证明$ I(t) $必在有限时间内爆破,从而生命跨度估计(2.4)可由文献[3]的讨论容易得到.

类似文献[3],不失一般性,我们假设$ I'(0) > 0 $.下面我们仅考虑情形$ \beta = 0 $,而剩余情形$ \beta = 1 $和$ 0 < \beta < 1 $可作类似讨论.对于现在的情形, (2.1)式可写为

(2.5) $ \begin{equation} a(t)I''(t)+b(t)I'(t)\geq C_0I^{1+\alpha}(t). \end{equation} $

我们声称$ I(t) $必在有限时间内发生爆破.为此,我们只需要证明：对充分小的$ \eta > 0 $,记$ I_1(t) $是如下柯西问题的解

(2.6) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } I_1'(t) = \frac{\eta}{a(t)^m}I_1(t)^{1+\frac{\alpha}{2}}, \\ t = 0:\;I_1 = I_1(0), \end{array}\right. \end{equation} $

这里

(2.7) $ \begin{equation} 0<I_1(0)<I(0), \end{equation} $

在解的存在范围内满足

(2.8) $ \begin{equation} I(t)>I_1(t). \end{equation} $

事实上,对充分小的$ \eta > 0 $,成立

(2.9) $ \begin{equation} I'_1(0) = \frac{\eta}{a(0)^m} I_1^{1+\frac{\alpha}{2}}(0)<I'(0) \end{equation} $

和

$ \begin{eqnarray*} I_1''(t) = \frac{\eta^2}{a^{2m}(t)}\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)I_1^{1+\alpha}-m\, \eta\, a(t)^{-m-1} I_1^{1+\frac{\alpha}{2}}(t)\, a'(t). \end{eqnarray*} $

于是,注意到$ I_1(t)\geq I_1(0) $以及(2.3)式中的假设,对充分小的$ \eta > 0 $,成立

(2.10) $ \begin{eqnarray} a(t)I_1''(t)+b(t)I_1'(t)& = &\left(\frac{\eta^2}{a(t)^{2m-1}}\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)+ \frac{\eta(b(t)-m a'(t))}{a(t)^m}\frac{1}{I_1^{\frac{\alpha}{2}}(t)}\right)I_1^{1+\alpha}(t)\\ &\leq&\left(\eta^2C_1^{1-2m}\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)+ \frac{\eta b(t)}{a(t)^mI_1^{\frac{\alpha}{2}}(t)}\right)I_1^{1+\alpha}(t)\\ &\leq&\left(\eta^2C_1^{1-2m}\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)+ \frac{\eta C_2}{I_1^{\frac{\alpha}{2}}(0)}\right)I_1^{1+\alpha}(t)\\ &\leq&C_0I_1^{1+\alpha}(t). \end{eqnarray} $

由(2.5), (2.10), (2.7)和(2.9)式以及文献[3]中的引理3.1,我们得到

$ I'(t)>I_1'(t), \quad \forall t\geq0. $

因此,利用(2.7)式,我们得到(2.8)式.容易看出$ I_1(t) $必在有限时间内爆破,从而上述论断成立,也就是说$ I(t) $必在有限时间内爆破.证毕.

注2.1 如果在(2.1)式中令$ a(t)\equiv b(t)\equiv1 $,那么上述结果可以回到Li和Zhou^[3]的结果.

注2.2 如果在(2.3)式中取$ m = \frac12 $,那么$ a(t) $具有正下界的假设可以去掉,见(2.10)式的第一个等式.

注2.3 公式(2.3)中的假设$ a'(t)\geq0 $是为了保证文献[3]中的Lemma 3.2成立,而该引理对于$ \beta = 1 $和$ 0 < \beta < 1 $情形的证明具有非常重要的作用,见文献[3]中的定理3.1的讨论.

推论2.1 设$ I(t) $满足

(2.11) $ \begin{equation} (1+t)^{\gamma_1}I''(t)+(1+t)^{\gamma_2}I'(t)\geq C_0\frac{I^{1+\alpha}(t)}{(1+t)^{\beta}} \end{equation} $

和

(2.12) $ \begin{equation} I(0)>0, \quad I'(0)\geq0, \end{equation} $

这里$ \gamma_1\geq0, \gamma_2\geq0, \alpha > 0, \beta\geq0 $和$ C_0 > 0 $是常数.假设

(2.13) $ \begin{equation} \gamma_1-\gamma_2\geq\beta. \end{equation} $

那么,当$ 0\leq\beta < 1 $时, $ I = I(t) $必在有限时间内爆破.此外,如果$ I(0) = \varepsilon $,其中$ \varepsilon > 0 $是小参数,那么$ I = I(t) $的生命跨度$ T(\varepsilon) $具有如下的上界估计

(2.14) $ \begin{equation} T(\varepsilon)\leq C\, \varepsilon^{-\frac{\alpha}{1-\beta}}, \end{equation} $

这里$ C $是与$ \varepsilon $无关的正常数.

证 尽管证明方法类似于文献[3]的定理3.1,但是需要指出证明是非平凡的.此处我们仅仅考虑情形$ 0 < \beta < 1 $,因为情形$ \beta = 0 $的证明更简单.

令

(2.15) $ \begin{equation} J(t) = I\left((1+t)^{1/(1-\beta)}-1\right). \end{equation} $

于是,由(2.11)–(2.12)式,我们得到

(2.16) $ \begin{equation} (1-\beta)(1+t)^{(\gamma_1-\beta)/(1-\beta)}J''(t) +(1+t)^{\gamma_2/(1-\beta)}J'(t)-\beta(1+t)^{\frac{\gamma_1-1}{1-\beta}}J'(t)\geq \frac{C_0}{1-\beta} J^{1+\alpha}, \end{equation} $

以及

(2.17) $ \begin{equation} J(0)>0, \quad J'(0)\geq0. \end{equation} $

由文献[3,推论3.1],在(2.11)式中我们仍然可以得到$ I'(t) > 0 $.于是,利用如下关系$ I'(\tau) = (1-\beta)(1+t)^{-\frac{\beta}{1-\beta}}J'(t) $,这里$ \tau = (1+t)^{\frac{1}{1-\beta}-1} $,我们可以看出$ J'(t) > 0 $.从而,公式(2.16)化为

(2.18) $ \begin{equation} (1-\beta)(1+t)^{(\gamma_1-\beta)/(1-\beta)}J''(t) +(1+t)^{\gamma_2/(1-\beta)}J'(t)\geq \frac{C_0}{1-\beta} J^{1+\alpha}. \end{equation} $

对(2.18)和(2.17)式,再次利用文献[3]中推论3.1,我们可以得到

(2.19) $ \begin{equation} J'(t)>0, \quad \forall t>0. \end{equation} $

令

$ a(t) = (1-\beta)(1+t)^{(\gamma_1-\beta)/(1-\beta)}, \quad b(t) = (1+t)^{\gamma_2/(1-\beta)}, $

并在柯西问题(2.6)中假设$ m = 1 $.利用关键条件(2.13),我们得到

(2.20) $ \begin{equation} a(t)\geq1-\beta>0. \end{equation} $

注意到

(2.21) $ \begin{equation} \frac{b(t)}{a(t)} = \frac{(1+t)^{(\gamma_2-\gamma_1+\beta)/(1-\beta)}}{1-\beta}, \end{equation} $

并利用(2.20)和(2.21)式,当$ \gamma_2-\gamma_1+\beta\leq0 $时, (2.3)式中的不等式必定成立.而条件$ \gamma_2-\gamma_1+\beta\leq0 $可由假设条件(2.13)来保证.因此,类似于定理的证明,我们得到$ J(t) $必定在有限时间内爆破,也就是说, $ I(t) $必在有限时间内爆破.最后,我们得到生命跨度估计(2.14).证毕.

注2.4 注意到条件(2.13),我们可以发现上述结果不可能通过令$ \gamma_1 = \gamma_2 = 0 $回到文献[3]中定理3.1.

本节我们将应用上述改进的微分不等式的有关结果,去讨论具有尺度不变阻尼项的柯西问题(1.1)解的爆破,并证明定理1.1.本文我们仅考虑$ \mu > 1 $的情形.类似于文献[11]的方法,我们将利用经典的热核作为测试函数来讨论柯西问题(1.1).

记$ n $维热核为

(3.1) $ \begin{equation} E(t, x) = \frac{1}{(4\pi t)^{\frac{n}{2}}}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}. \end{equation} $

热核$ E(t, x) $具有半群性质.下面的结果来自于文献[11].

引理3.1 热核满足

(3.2) $ \begin{equation} \int_{{{\Bbb R}} ^n}E(t, x)dx = 1 \end{equation} $

和

(3.3) $ \begin{equation} E(t, x)\star E(s, x) = E(t+s, x), \end{equation} $

这里$ \star $表示关于$ x $的卷积.

定理1.1的证明  为证明该定理,引入

(3.4) $ \begin{equation} t = \frac{1}{2\mu}\left((1+\tau)^2-1\right), \quad y = \sqrt{\frac{\mu}{1+\mu}}\;x. \end{equation} $

在新坐标$ (t, x) $下,柯西问题(1.1)可以写成如下的形式

(3.5) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} { } u_t-\Delta_{x}u = \frac{\mu}{1+\mu}|u|^p -\frac{2\mu t+1}{\mu(1+\mu)}u_{tt}, &t>0, \;x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ { } u(0, y) = \varepsilon f(x): = \varepsilon v_0\left(\sqrt{\frac{\mu}{1+\mu}}\;x\right), & x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ { } u_t(0, y) = \varepsilon g(x): = \varepsilon \mu v_1\left(\sqrt{\frac{\mu}{1+\mu}}\;x\right), & x\in{{\Bbb R}} ^n.\end{array}\right. \end{equation} $

利用Duhamel原理,柯西问题(3.5)的解可写为

(3.6) $ \begin{equation} u(t, x) = \varepsilon E(t)\star f+\frac{\mu}{1+\mu}\int_0^tE(t-\tau)\star|u(\tau)|^p{\rm d}\tau-\int_0^tE(t-\tau) \star\frac{2\mu\tau+1}{\mu(1+\mu)}u_{\tau\tau}{\rm d}\tau. \end{equation} $

由分部积分、初值以及引理3.1,经计算可知

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\int_0^tE(t-\tau) \star\frac{2\mu\tau+1}{\mu(1+\mu)}u_{\tau\tau}{\rm d}\tau\\ & = &\frac{1}{\mu(1+\mu)}\left(\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(0, x-y)(2\mu t+1)u_t(t, y){\rm d}y-\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(t, x-y)u_t(0, y){\rm d}y\right.\\ &&\left.-\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\partial_{\tau}u\cdot\partial_{\tau}\left(E(t-\tau, x-y)(2\mu\tau+1)\right){\rm d}\tau {\rm d}y\right) \\ & = &\frac{1}{\mu(1+\mu)}\bigg((2\mu t+1)u_t(t, x)-\varepsilon E(t)\star g {}\\ && -\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\partial_{\tau}u\cdot\partial_{\tau}\left(E(t-\tau, x-y) (2\mu\tau+1)\right){\rm d}\tau {\rm d}y\bigg). \end{eqnarray} $

将(3.7)式带入(3.6)式,我们得到

(3.8) $ \begin{eqnarray} &&u+\frac{2\mu t+1}{\mu(1+\mu)}u_t-\frac{1}{\mu(1+\mu)}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\partial_{\tau}u\cdot\partial_{\tau}\left(E(t-\tau, x-y)(2\mu\tau+1)\right){\rm d}\tau {\rm d}y\\ & = &\varepsilon E(t)\star f+\frac{\varepsilon}{\mu(1+\mu)}E(t)\star g+\frac{\mu}{1+\mu}\int_0^tE(t-\tau)\star|u(\tau)|^p{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

注意到

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\partial_{\tau}u\cdot E(t-\tau, x-y){\rm d}\tau {\rm d}y\nonumber\\ & = &\int_{{{\Bbb R}} ^n}u(t, y)E(0, x-y){\rm d}y-\int_{{{\Bbb R}} ^n}u(0, y)E(t, x-y){\rm d}y\nonumber\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t u(\tau, y)\partial_{\tau}E(t-\tau, x-y){\rm d}\tau {\rm d}y\nonumber\\ & = &u(t, x)-\varepsilon E(t)\star f-\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^tu\partial_{\tau}E(t-\tau, x-y){\rm d}\tau {\rm d}y, \end{eqnarray*} $

(3.8)式可改写为

(3.9) $ \begin{eqnarray} &&\mu(\mu-1)u+(2\mu t+1)u_t-\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t(2\mu\tau+1)\partial_{\tau} u\cdot\partial_{\tau}E(t-\tau, x-y){\rm d}\tau {\rm d}y\\ &&+2\mu\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t u(\tau, y)\cdot\partial_{\tau}E(t-\tau, x-y){\rm d}\tau {\rm d}y\\ & = &\mu(\mu-1)\varepsilon E(t)\star f+\varepsilon E(t)\star g+\mu^2\int_0^tE(t-\tau)\star|u|^p{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

在(3.9)式两端同时乘以$ (4\pi(1+t))^{\frac{n}{2}}E(t+1) $,并在$ {{\Bbb R}} ^n $作积分,我们得到

(3.10) $ \begin{eqnarray} &&\mu(\mu-1)\int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u(t, x){\rm d}x+(2\mu t+1) \int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u_t(t, x){\rm d}x\\ &&+2\mu(4\pi(t+1))^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(t+1, x)\partial_{\tau} E(t-\tau, x-y)u(\tau, y){\rm d}y{\rm d}\tau {\rm d}x\\ &&-(4\pi(t+1))^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}(2\mu\tau+1)E(t+1, x)\partial_{\tau} E(t-\tau, x-y)\partial_{\tau}u(\tau, y){\rm d}y{\rm d}\tau {\rm d}x\\ & = &\varepsilon (4\pi(t+1))^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(2t+1, x)[\mu(\mu-1)f(x)+g(x)]{\rm d}x\\ &&+\mu^2 (4\pi(t+1))^{\frac{n}{2}}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(2t+1-\tau, x)|u|^p(\tau, x){\rm d}x {\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

引入

(3.11) $ \begin{equation} G(t) = \int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u(t, x){\rm d}x, \end{equation} $

(3.12) $ \begin{equation} F(t) = \left(\int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}|u(t, x)|^p{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}(t+1)^{\frac{n(p-1)}{2p}}, \end{equation} $

(3.13) $ \begin{equation} A(t) = \int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u_t(t, x){\rm d}x, \end{equation} $

(3.14) $ \begin{eqnarray} B(t)& = &2\mu(4\pi(t+1))^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(t+1, x)\partial_{\tau} E(t-\tau, x-y)u(\tau, y){\rm d}y{\rm d}\tau {\rm d}x\\&& -(4\pi(t+1))^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}(2\mu\tau+1)E(t+1, x)\\ &&\times \partial_{\tau} E(t-\tau, x-y)\partial_{\tau}u(\tau, y){\rm d}y{\rm d}\tau {\rm d}x \end{eqnarray} $

和

(3.15) $ \begin{equation} D(t) = (4\pi(t+1))^{\frac{n}{2}}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(2t+1-\tau, x)|u|^p(\tau, x){\rm d}x {\rm d}\tau. \end{equation} $

于是,类似于文献[11],我们得到

(3.16) $ \begin{equation} G(t) \lesssim F(t), \quad A(t)\lesssim G'(t)+F(t)(1+t)^{-1} \end{equation} $

和

(3.17) $ \begin{equation} D(t)\gtrsim \int_0^t\frac{F^p(\tau)}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau. \end{equation} $

结合(3.10)–(3.17)式得到

(3.18) $ \begin{eqnarray} &&\mu(\mu-1)G(t)+(2\mu t+1)G'(t)+\frac{2\mu t+1}{t+1}F(t)+B(t)\\&\gtrsim &\varepsilon \left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}\left[\mu(\mu-1)f(x)+g(x)\right]{\rm d}x+\mu^2 D(t). \end{eqnarray} $

我们现在估计$ B(t) $.记

(3.19) $ \begin{equation} B(t) = B_1(t)+B_2(t), \end{equation} $

这里

(3.20) $ \begin{eqnarray} B_1(t)& = &-\left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}\left\{(2\mu t+1)\int_{{{\Bbb R}} ^n}2\pi n \left(4\pi(t+1)\right)^{-\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u(t, x){\rm d}x\right.\\ &&-(2\mu t+1)\int_{{{\Bbb R}} ^n} \left(4\pi(t+1)\right)^{-\frac{n}{2}}\frac{|x|^2}{4(t+1)^2}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u(t, x){\rm d}x\\ &&-\int_{{{\Bbb R}} ^n}2\pi n \left(4\pi(2t+1)\right)^{-\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}u(0, x){\rm d}x\\ &&+\int_{{{\Bbb R}} ^n} \left(4\pi(2t+1)\right)^{-\frac{n}{2}}\frac{|x|^2}{4(2t+1)^2}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}u(0, x){\rm d}x\\ &&\left.-4\mu\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}E_{\tau}(2t+1-\tau, x)u(\tau, x){\rm d}x{\rm d}\tau\right\}\\ &\equiv& B_{11}(t)+B_{12}(t)+B_{13}(t)+B_{14}(t)+B_{15}(t)+B_{16}(t), \end{eqnarray} $

具体写出来为

$ B_{11} = -\left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}(2\mu t+1)\int_{{{\Bbb R}} ^n}2\pi n \left(4\pi(t+1)\right)^{-\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u(t, x){\rm d}x, $

$ B_{12} = \left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}(2\mu t+1)\int_{{{\Bbb R}} ^n} \left(4\pi(t+1)\right)^{-\frac{n}{2}}\frac{|x|^2}{4(t+1)^2}e^{-\frac{|x|^2}{4(t+1)}}u(t, x){\rm d}x, $

$ B_{13} = \left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}2\pi n \left(4\pi(2t+1)\right)^{-\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}u(0, x){\rm d}x, $

$ B_{14} = \left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n} \frac{|x|^2}{4(2t+1)^2}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}u(0, x){\rm d}x, $

$ B_{15} = 2\mu\left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}2\pi n\left(4\pi(2t+1-\tau)\right)^{-\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)}}u(\tau, x){\rm d}x{\rm d}\tau $

和

$ B_{16} = -2\mu\left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}\left(4\pi(2t+1-\tau)\right)^{-\frac{n}{2}} \frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)^2}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)}}u(\tau, x){\rm d}x{\rm d}\tau, $

同时

(3.21) $ \begin{eqnarray} B_2(t)& = &\left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}\int_0^t(2\mu \tau+1)\int_{{{\Bbb R}} ^n}\partial_{\tau\tau} E(2t+1-\tau)u(\tau, x){\rm d}x{\rm d}\tau{}\\ & = &\left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}\int_0^t(2\mu\tau+1)\int_{{{\Bbb R}} ^n}\left\{8\pi^2 n (1+\frac{n}{2})\left(4\pi(2t+1-\tau)\right)^{-\frac{n}{2}-2}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)}}u(\tau, x)\right.{}\\ &&-2n\pi\left(4\pi(2t+1-\tau)\right)^{-\frac{n}{2}-1}\frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)^2}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)}}u(\tau, x){}\\ && +\left(4\pi(2t+1-\tau)\right)^{-\frac{n}{2}}\frac{|x|^4}{16(2t+1-\tau)^4}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)}}u(\tau, x){}\\ &&\left.-(2+\frac{n}{2})\frac14 \left(4\pi(2t+1-\tau)\right)^{-\frac{n}{2}}\frac{|x|^2}{4(2t+1-\tau)^3}e^{-\frac{|x|^2} {4(2t+1-\tau)}}u(\tau, x)\right\}{\rm d}x{\rm d}\tau{}\\ &\equiv &B_{21}(t)+B_{22}(t)+B_{23}(t)+B_{24}(t). \end{eqnarray} $

由(3.16)式,直接计算可得

(3.22) $ \begin{equation} B_{11}(t), \;B_{12}(t)\lesssim \frac{2\mu t+1}{t+1}F(t), \end{equation} $

(3.23) $ \begin{equation} B_{13}(t) = \varepsilon\frac{n}{2}\frac{1}{2t+1}\left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}} \int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}f(x){\rm d}x \end{equation} $

和

(3.24) $ \begin{equation} B_{14}(t) = -\varepsilon\frac{1}{2t+1}\left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}} \int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}\frac{|x|^2}{4(2t+1)^2}f(x){\rm d}x. \end{equation} $

类似于文献[11],由Young不等式,我们得到

(3.25) $ \begin{equation} B_{15}(t), \;B_{16}(t)\lesssim \frac{\mu}{6}D(t)+C_0(t+1)^{\frac{n(p-1)-2}{2(p-1)}}, \end{equation} $

这里$ C_0 $是依赖于$ \pi, n, p $和$ \mu $的正常数.此外,由Hölder不等式可得

(3.26) $ \begin{eqnarray} B_{21}(t)&\lesssim& \left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}(t+1)^{-2} \int_0^t(2\mu\tau+1)\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(2t+1-\tau, x)u(\tau, x){\rm d}x{\rm d}\tau\\ &\lesssim & \left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}}(t+1)^{-2} \left(\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(2t+1-\tau, x)|u|^p{\rm d}x{\rm d}\tau\right)^{\frac{1}{p}}\\ &&\cdot\left(\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}(2\mu \tau+1)^{1-\frac{1}{p}}E(2t+1-\tau, x){\rm d}x{\rm d}\tau\right)^{1-\frac{1}{p}}\\ &\lesssim& \left(4\pi(t+1)\right)^{\frac{n}{2}} \left(\int_0^t\int_{{{\Bbb R}} ^n}E(2t+1-\tau, x)|u|^p{\rm d}x{\rm d}\tau\right)^{\frac{1}{p}}\cdot (2\mu t+1)(t+1)^{1-\frac{1}{p}-2}\\ &\lesssim& \frac{\mu}{6}D(t)+C_0(t+1)^{1+\frac{n}{2}-\frac{p}{p-1}}\\ &\lesssim&\frac{\mu}{6}D(t)+C_0(t+1)^{\frac{n(p-1)-2}{2(p-1)}}, \end{eqnarray} $

上式我们利用了Young不等式,这里$ C_0 $是仅依赖于$ \pi, n, p $和$ \mu $的正常数.类似地,我们得到

(3.27) $ \begin{equation} B_{22}(t), \;B_{23}(t), \;B_{24}(t)\lesssim \frac{\mu}{6}D(t)+C_0(t+1)^{\frac{n(p-1)-2}{2(p-1)}}. \end{equation} $

结合(3.19)–(3.27)式,由(3.18)式可以推得

(3.28) $ \begin{eqnarray} &&\mu(\mu-1)G(t)+(2\mu t+1)G'(t)+\frac{2\mu t+1}{t+1}F(t)\\ &\gtrsim& \mu(\mu-1)D(t)+\varepsilon\left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n} e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}\frac{|x|^2}{4(2t+1)^2}f(x){\rm d}x\\ &&+\varepsilon \left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n} e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}[\mu(\mu-1)f(x)+g(x)]{\rm d}x\\ &&-\varepsilon \frac{n}{2(2t+1)}\left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n} e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}f(x){\rm d}x-C_0(t+1)^{\frac{n(p-1)-2}{2(p-1)}}, \end{eqnarray} $

其中$ C_0 $是仅依赖于$ \pi, n, p $和$ \mu $的正常数.由(3.18)式,我们将(3.28)式改写为

(3.29) $ \begin{equation} \mu(\mu-1)G(t)+(2\mu t+1)G'(t)+\frac{2\mu t+1}{t+1}F(t)\gtrsim \mu(\mu-1)\int_0^t\frac{F^p(\tau)} {(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau+\varepsilon H(t)-I(t), \end{equation} $

这里

(3.30) $ \begin{eqnarray} H(t)& = &\left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n} e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}\frac{|x|^2}{4(2t+1)^2}f(x){\rm d}x\\ &&+ \left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n} e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}[\mu(\mu-1)f(x)+g(x)]{\rm d}x\\ &&- \frac{n}{2(2t+1)}\left(\frac{t+1}{2t+1}\right)^{\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n} e^{-\frac{|x|^2}{4(2t+1)}}f(x){\rm d}x, \end{eqnarray} $

(3.31) $ \begin{equation} I(t) = C_0(t+1)^{\frac{n(p-1)-2}{2(p-1)}}. \end{equation} $

在(3.29)式两端同乘以$ (2\mu t+1)^{\frac{\mu-3}{2}} $,所得方程在$ [0, t] $上积分可得

(3.32) $ \begin{eqnarray} &&(2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}G(t)+\int_0^t\frac{(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{1+\tau}F(\tau){\rm d}\tau\\ &\gtrsim & G(0)+\mu(\mu-1)\int_0^t(2\mu s+1)^{\frac{\mu-3}{2}}\int_0^s\frac{F^p(\tau)}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau {\rm d}s\\ &&+\int_0^t(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-3}{2}}[\varepsilon H(\tau)-I( \tau)]{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

注意到(1.5)式,我们有

$ G(0) = \varepsilon\int_{{{\Bbb R}} ^n}e^{-\frac{|x|^2}{4}}f(x){\rm d}x\geq0. $

于是由(3.16)式,我们可以从(3.32)式推导得到

(3.33) $ \begin{eqnarray} &&(2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}F(t)+\int_0^t\frac{(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{1+\tau}F(\tau){\rm d}\tau\\ &\gtrsim & \int_0^t\left[(2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}-(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}\right]\frac{F^p(\tau)}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau+J(t), \end{eqnarray} $

其中

(3.34) $ \begin{equation} J(t) = \int_0^t(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-3}{2}}[\varepsilon H(\tau)-I( \tau)]{\rm d}\tau. \end{equation} $

由假设(1.5),我们得到

(3.35) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}H(t) = H_0\equiv 2^{-\frac{n}{2}}\int_{{{\Bbb R}} ^n}\left[\mu(\mu-1)f(x)+g(x)\right]>0, \end{equation} $

也就是说,存在时间$ t_1 > 0 $使得

$ H(t)>\frac{H_0}{2}>0, \;\;\forall\; t>t_1. $

由于我们仅考虑次Fujita指标情形,即$ 1 < p < 1+\frac{2}{n} $,于是$ \frac{n(p-1)-2}{2(p-1)} < 0 $.从而存在时间$ t_2 > 0 $使得

$ I(t)\leq\frac{H_0}{4}\varepsilon, \;\;\forall\;t>t_2. $

令$ t_3 = \max\{t_1, t_2\} $, $ { } M_H = \max_{[0, \infty)}|H(t)| < \infty $以及$ { } M_I = \max_{[0, \infty)}I(t) > 0 $.于是

(3.36) $ \begin{eqnarray} J(t)& = &\int_0^{t_3}(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-3}{2}}\left[\varepsilon H(\tau)-I(\tau)\right]{\rm d}\tau +\int_{t_3}^t(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-3}{2}}\left[\varepsilon H(\tau)-I(\tau)\right]{\rm d}\tau\\ &\gtrsim&\int_0^{t_3}(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-3}{2}}\left[-\varepsilon M_H-M_I\right]+\frac{H_0}{4}\varepsilon\int_{t_3}^t(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-3}{2}}{\rm d}\tau\\ & = &\frac{H_0\varepsilon}{8\mu(\mu-1)}(2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}+\bigg[\frac{H_0\varepsilon}{8\mu(\mu-1)}(2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}{}\\ &&-\frac{1}{\mu(\mu-1)}\left(\frac{H_0}{4}\varepsilon+M_H+M_I\right) (2\mu t_3+1)^{\frac{\mu-1}{2}}\bigg]+\frac{1}{\mu(\mu-1)}(\varepsilon M_H+M_I).{\qquad} \end{eqnarray} $

由于$ \mu > 1 $,如果取$ t $充分大,即$ t > t_4(> t_3), $那么(3.36)式中的最后两项是正的.故

(3.37) $ \begin{equation} J(t)\gtrsim \varepsilon (2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}, \quad\forall\;t>t_4. \end{equation} $

利用(3.37)式,由(3.33)式可得

(3.38) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left[(1+t)\int_0^t\frac{(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{1+\tau}F(\tau){\rm d}\tau\right] {}\\ &\gtrsim & \varepsilon (2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}+\int_0^t\left[(2\mu t+1)^{\frac{\mu-1}{2}}-(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}\right]\frac{F^p(\tau)}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau, \;\forall \;t>t_4.{\qquad} \end{eqnarray} $

令

$ \alpha(t) = (1+t)\int_0^t\frac{(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{1+\tau}F(\tau){\rm d}\tau, $

$ \beta(t) = \int_{t_0}^t\int_0^s\left[(2\mu s+1)^{\frac{\mu-1}{2}}-(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}\right]\frac{F^p(\tau)}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau {\rm d}s, $

其中$ t_0 > t_4 $待定.将(3.38)式在$ [t_4, t] $上作积分可得

(3.39) $ \begin{equation} \alpha(t)-\alpha(t_4)\gtrsim \varepsilon \int_{t_4}^t(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}{\rm d}\tau +\beta(t)-\beta(t_4), \end{equation} $

其中$ \alpha(t_4)\geq0 $, $ \beta(t_4)\leq0 $.于是,由(3.39)式可知,当$ t $充分大时,即$ t > t_0 > t_4 $,有

(3.40) $ \begin{eqnarray} \alpha(t)&\gtrsim& \frac{\varepsilon}{2}(2\mu t+1)^{\frac{\mu+1}{2}} +\left[ \frac{\varepsilon}{2}(2\mu t+1)^{\frac{\mu+1}{2}}- \varepsilon(2\mu t_4+1)^{\frac{\mu+1}{2}}\right]+\beta(t)\\ &\gtrsim& \varepsilon(2\mu t+1)^{\frac{\mu+1}{2}}+\beta(t). \end{eqnarray} $

此外,直接计算可得

(3.41) $ \begin{equation} (2\mu t+1)\beta''(t)-\mu(\mu-1)\beta'(t) = \mu(\mu-1) \int_0^t\frac{(2\mu \tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}F^p(\tau){\rm d}\tau. \end{equation} $

由Hölder不等式,我们发现

(3.42) $ \begin{eqnarray} \alpha(t)\lesssim (1+t)\left(\int_0^t(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}\frac{F^p(\tau)}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau \right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_0^t\frac{(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{(1+\tau)^{p'-\frac{n(p-1)}{2p}p'}}{\rm d}\tau\right)^{\frac{1}{p'}}, \end{eqnarray} $

这里$ p' = \frac{p}{p-1}. $很容易看出

(3.43) $ \begin{eqnarray} \int_0^t\frac{(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{(1+\tau)^{p'-\frac{n(p-1)}{2p}p'}}{\rm d}\tau & = &\int_0^t(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}(1+\tau)^{\frac{n}{2}-\frac{p}{p-1}}{\rm d}\tau\\ &\lesssim&\int_0^t(1+\tau)^{\frac{\mu-1}{2}+\frac{n}{2}-\frac{p}{p-1}}{\rm d}\tau\lesssim (1+t)^A, \end{eqnarray} $

这里

(3.44) $ \begin{equation} A = \left\{\begin{array}{ll}\Upsilon+1, &\mbox{if}\;\;\Upsilon+1>0, \\ 1, &\mbox{if}\;\;\Upsilon+1 = 0, \\0, &\mbox{if}\;\;\Upsilon+1<0, \end{array}\right. \end{equation} $

其中

(3.45) $ \begin{equation} \Upsilon = \frac{\mu-1}{2}+\frac{n}{2}-\frac{p}{p-1}. \end{equation} $

将(3.43)式代入到(3.42)式可得

$ \alpha(t)\lesssim (1+t)^{1+\frac{A}{p'}}\left(\int_0^t(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}\frac{F^p(\tau)}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}{\rm d}\tau \right)^{\frac{1}{p}}, $

即

(3.46) $ \begin{eqnarray} \int_0^t\frac{(2\mu\tau+1)^{\frac{\mu-1}{2}}}{(1+\tau)^{\frac{n(p-1)}{2}}}F^p(\tau){\rm d}\tau &\gtrsim & \alpha^p(t)(1+t)^{-p-\frac{p}{p'}A}\\ &\gtrsim & (1+t)^{-p-(p-1)A}\left[\varepsilon(2\mu t+1)^{\frac{\mu+1}{2}}+\beta(t)\right]^p, \end{eqnarray} $

这里我们利用了(3.40)式.将(3.46)式代入(3.41)式可以得到

(3.47) $ \begin{equation} (2\mu t+1)\beta''(t)-\mu(\mu-1)\beta'(t)\gtrsim \mu(\mu-1) (1+t)^{-p-(p-1)A}\left[\varepsilon(2\mu t+1)^{\frac{\mu+1}{2}}+\beta(t)\right]^p. \end{equation} $

记$ \beta(t) = (2\mu t+1)^{\frac{\mu+1}{2}}(\gamma(t)-\varepsilon) $.于是, (3.47)式可写为

(3.48) $ \begin{equation} (2\mu t+1)\gamma''(t)+\mu(\mu+3)\gamma'(t)\gtrsim \mu(\mu-1) \frac{\gamma^p(t)}{(1+t)^{p+(p-1)\left(A-\frac{\mu+1}{2}\right)}}. \end{equation} $

而且,容易看出

(3.49) $ \begin{equation} \gamma(t_0) = \varepsilon>0, \quad \gamma'(t_0)>0. \end{equation} $

在(3.48)式两端同时乘以$ (2\mu t+1)^m $,其中$ m $待定,于是我们得到

(3.50) $ \begin{equation} (2\mu t+1)^{m+1}\gamma''(t)+(2\mu t+1)^m\gamma'(t)\gtrsim \frac{\gamma^p(t)}{(1+t)^{p-m+(p-1)\left(A-\frac{\mu+1}{2}\right)}}\equiv\frac{\gamma^{1+(p-1)}(t)}{(1+t)^{\beta}}. \end{equation} $

为了应用推论2.1,我们需要保证

$ 0\leq\beta = p-m+(p-1)\left(A-\frac{\mu+1}{2}\right)<1, $

等价地

(3.51) $ \begin{equation} 0\leq\beta = (p-1)[A-(\Upsilon+1)]+\frac{n}{2}(p-1)-m<1. \end{equation} $

由于在本文中我们仅考虑情形: $ 1 < p < 1+\frac{2}{n} $,这意味着$ 0 < \frac{n}{2}(p-1) < 1 $,于是我们可得

$ m = (p-1)[A-(\Upsilon+1)]. $

由(3.44)式,我们观察到$ m\geq0 $,从而$ \beta = \frac{n}{2}(p-1) $.进而,取$ \alpha = p-1 $并通过(3.4)式回到原来的坐标$ (\tau, y) $,我们就可以运用推论2.1证明定理1.1的结果.