本文考虑如下外区域中具有变系数非线性项的半线性波动方程

其中$\Omega = \{x\in{{\Bbb R}} ^{2};|x|>1\}, \varepsilon$为正常数, $0<\alpha<2, \langle x\rangle = \sqrt{1+x^{2}}$, $f(x)$, $g(x)$为已知光滑函数.

半线性波动方程一直以来都是热点问题. John在文献[1]中第一次提出如下半线性波动方程

式中$\varepsilon$为正常数, $f(x)$, $g(x)$是已知光滑函数.其证明了方程(1.2)的临界指数$p_{c}(3) = 1+\sqrt{2}$,并说明了当$1<p<1+\sqrt{2}$时,方程(1.2)的解在有限时间内爆破,当$p>1+\sqrt{2}$时,存在整体解.接着Glassey ^[2]得到了当$N\leq3$时,以上结论仍然成立.随后, Strauss ^[3]猜测:当$1<p<p_{s}(N)$时,方程(1.2)没有整体解,当$p>p_{s}(N)$时,方程(1.2)整体解存在,并提出了对于更一般的维数,方程(1.2)存在临界指数$p_{s}(N)$,且$p_{s}(N)$由

给出.随后不久, Sideris ^[4]得出了当$N\geq4$时,方程(1.2)在$1<p<p_{s}(N)$时没有整体解,对于$N = 4$的情况, Zhou ^[5]证实了Strauss猜测. Georgiev, Lindblad和Sogge ^[6]证明了对于所有维数, Strauss猜测都成立.而对于临界情形$p = p_{s}(N)$, Schaeffer ^[7]证明了$N = 2, 3$时没有整体解, Yordanov和Zhang ^[8]及Zhou ^[9]证明了高维情况没有整体解.

对于半线性波动方程的外区域问题,也有很多研究.在文献[10]中, Sobajima和Wakasa考虑了如下外区域中的半线性波动方程

其中$\Omega = {{\Bbb R}} ^{N}\backslash\overline{B(0, 1)}$,其提出并证明了当$N\geq3$时,解生命跨度的上界.当$N = 3, 4$且$p_{s}(N)<p<\frac{N+3}{N-1}$时,文献[11-12]给出了方程(1.3)解的存在性,当$N = 3$且$2<p<p_{s}(3)$时, Yu ^[13]得到了方程(1.3)解生命跨度的下界,而对于$N\geq3$且$1<p<p_{s}(N)$这种情况, Zhou和Han在文献[14]中给出并证明了方程(1.3)解生命跨度的上界.对于临界情形$p = p_{s}(N)$,可参见文献[15-17].

Zhang^[18]考虑了如下带变系数非线性项的半线性波动方程

证明了当$\alpha\in[0, \frac{1}{2})$时$T_{\varepsilon}\leq A\varepsilon^{-\frac{2}{1-2\alpha}}$,当$\alpha = \frac{1}{2}$时, $T_{\varepsilon}\leq\exp(B\varepsilon^{-2})$,这里$A, B$是一个与$\varepsilon$无关的正常数, $T_{\varepsilon}$是解的最大存在区间.当$\alpha = 0$时, $T_{\varepsilon}\leq A\varepsilon^{-2}$与方程(1.2)的结果相同,由此可见,非线性项中变系数对解的生命跨度有很大的影响,受文献[18]的启发,本文研究外区域中具有变系数非线性项的半线性波动方程(1.1).不同于文献[18],我们将对一般$N$维外区域中半线性波动方程展开讨论,并着重研究变系数对解生命跨度的影响.本文给出$N\geq2$的解生命跨度的上界,证明的主要方法是测试函数法,并利用外区域Dirichlet边界条件的调和函数,该想法来自于Ikeda和Sobajima^[19-20].

本文内容安排如下:第2节给出了方程(1.1)解的相关定义,同时给出了本文的主要结果,即$N = 2$和$N\geq3$时解生命跨度;为了证明本文的主要结果,第3节首先引入截断函数,然后给出可以推导解生命跨度上界的主要特性,利用$N = 2$及$N\geq3$时外区域Dirichlet边界条件的调和函数以及测试函数方法^[19-20],求出方程(1.1)解生命跨度,从而证明了本文的主要结果.

定义2.1  我们称$u$为方程(1.1)的弱解,如果

其中$u(x, 0) = \varepsilon f(x)$,以及对于每个$\psi\in C^{2}(\Omega\times[0, T)$且supp$\psi\subset\subset\overline{\Omega}\times[0, T))$及$\psi|_{\partial\Omega} = 0$,

定义2.2  LifeSpan(u)称为初边值问题(1.1)的解的最大存在时间,即

定理2.1  设$N = 2$, $0<\alpha<2$, $1<p<\infty$.令$u$为方程(1.1)的唯一解,如果$p\leq2-\frac{\alpha}{2}$, $g(x)\log|x|\in L^{1}(\Omega)$,且设初值满足

那么$\mbox{LifeSpan(u)}<\infty$.并且LifeSpan(u)有如下上界

这里$C$是一个与$\varepsilon$无关的正常数.

定理2.2  设$N\geq3$, $0<\alpha<2$, $1<p<\infty$.令$u$为方程(1.1)的唯一解,如果$p\leq2-\frac{\alpha}{2}$, $g(x)(1-|x|^{2-N})\in L^{1}(\Omega)$,且设初值满足

那么$\mbox{LifeSpan(u)}<\infty$.并且$\mbox{LifeSpan(u)}$有如下上界

这里$C$是一个与$\varepsilon$无关的正常数.

注2.1  由文献[1]可知,当$N = 3$时,方程(1.2)生命跨度的上界为

这里$B$是一个与$\varepsilon$无关的正常数.由文献[18]可知,方程(1.4)生命跨度的上界为

比较方程(1.2)和(1.4)的结果可发现,方程(1.4)中$\alpha = 0$时,生命跨度的上界和方程(1.2)的相同,不同于文献[18],我们将对一般$N$维外区域中半线性波动方程展开讨论,并着重研究变系数对解生命跨度的影响,且本文$\alpha$的范围更大.

选取如下截断函数$\eta\in C^{2}([0, \infty))$和$\eta^{*}\in L^{\infty}([0, \infty))$ (参见文献[19])

定义3.1  对于$p>1$, $R>0$,我们引入如下测试函数^[19]

其中

同时令$P(R) = \{(x, t)\in\Omega\times[0, \infty):(|x|-1)^{2}+t\leq R\}$.

为了完成本节的证明,需要如下引理.

引理3.1^[19]  设维数$N = 2$, $\psi_{R}$和$\psi_{R}^{*}$如定义3.1,那么$\psi_{R}$满足如下性质

(ⅰ)如果$(x, t)\in P(\frac{R}{2})$,那么$\psi_{R}(x, t) = 1$;且如果$(x, t)\notin P(R)$,那么$\psi_{R}(x, t) = 0$.

(ⅱ)存在正常数$C_{1}$使得对每个$(x, t)\in P(R)$,有

(ⅲ)存在正常数$C_{2}$使得对每个$(x, t)\in P(R)$,有

(ⅳ)存在正常数$C_{3}$使得对每个$(x, t)\in P(R)$,有

证  该引理由Ikeda和Sobajima ^[19]给出,具体过程可参见文献[19].

下述引理由文献[19]给出,但是论述不够清楚,为了后面讨论方便,我们给出详细的证明.

引理3.2  设维数$N = 2$, $\delta>0$, $C_{0}>0$, $R_{1}>0$, $\theta\geq0$, $\kappa\in{{\Bbb R}}$以及对于$T>R_{1}$, $0\leq w\in L_{loc}^{1}([0, T);L^{1}(\Omega))$.假设对于每个$R\in[R_{1}, T)$,有

那么$T$有如下上界

证  令

则由文献[20]的讨论可得

令

对于$R\in(R_{1}, T)$,从(3.1)式可以推断

令

于是

对上式在$[\rho_{1}, \rho_{2}]\subset(0, \rho_{T})$上积分,有

令$\rho_{2}\uparrow\rho_{T}$及$\rho_{1}\downarrow0$,有

如果函数$e^{\theta(p-1)s}s^{-\kappa(p-1)}$在无穷远处是不可积的,那么$T$必须是有限的.更确切地说,对于较大的$T$, $\rho_{T}$的渐近性态分别如下:如果$\theta>0$,那么$\rho_{T}\approx\frac{1}{(p-1)\theta}T^{\theta(p-1)}(\log T)^{-\kappa(p-1)}$;如果$\theta = 0$且$\kappa<\frac{1}{p-1}$,那么$\rho_{T}\approx\frac{1}{1-\kappa(p-1)}(\log T)^{1-\kappa(p-1)}$;如果$\theta = 0$且$\kappa = \frac{1}{p-1}$,那么$\rho_{T}\approx\log\log T$.由此,引理3.2得到证明.

引理3.3  设维数$N\geq3$, $\psi_{R}$和$\psi_{R}^{*}$如定义3.1,那么$\psi_{R}$满足如下性质

(ⅰ)如果$(x, t)\in P(\frac{R}{2})$,那么$\psi_{R}(x, t) = 1$;且如果$(x, t)\notin P(R)$,那么$\psi_{R}(x, t) = 0$.

(ⅱ)存在正常数$C_{4}$使得对每个$(x, t)\in P(R)$,有

(ⅲ)存在正常数$C_{5}$使得对每个$(x, t)\in P(R)$,有

(ⅳ)存在正常数$C_{6}$使得对每个$(x, t)\in P(R)$,有

证  该引理由Ikeda和Sobajima^[19]给出,具体过程可参见文献[19].

引理3.4  设维数$N\geq3$, $\delta>0$, $C_{0}>0$, $R_{1}>0$, $\theta\geq0$, $\kappa\in{{\Bbb R}}$以及对于$T>R_{1}$, $0\leq w\in L_{loc}^{1}([0, T);L^{1}(\Omega))$.假设对于每个$R\in[R_{1}, T)$,有

那么$T$有如下上界

证  令

则由文献[20]的结果,可得

令

对于$R\in(R_{1}, T)$,从(3.3)式我们可以推断

令

上式意味着

对上式在$[\rho_{1}, \rho_{2}]\subset(0, \rho_{T})$上积分,我们有

令$\rho_{2}\uparrow\rho_{T}$及$\rho_{1}\downarrow0$,可得

如果$\theta>0$,即$(p-1)\theta-1>-1$,那么有

如果$\theta = 0$,即$(p-1)\theta-1 = -1$,那么有

于是,引理3.4得到证明.

本节我们将给出本文主要结果定理2.1和定理2.2的证明.

定理2.1的证明  当$N = 2$时,由定义2.1可知,对每个supp$\psi\subset\subset\bar{\Omega}\times[0, T)$及$\psi|_{\partial\Omega}$的$\psi\in C^{2}(\bar{\Omega}\times[0, T))$,有

取$\psi = \Phi(x)\psi_{R}(x, t)$,其中$\Phi(x) = \log|x|$,由引理3.1有

其中$C_{7} = 2C_{2}+C_{3}+\frac{C_{1}}{R_{0}}$.从而有

由假设(2.1)式,当$R\rightarrow+\infty$时,有

所以存在$R_{0}$,使得当$R\geq R_{0}$时, $\int_{\Omega}g(x)\log|x|{\rm d}x\geq c_{0}$,从而有

而

于是

令$w = |u(t)|^{p}\frac{1}{(1+x^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}\Phi$,则由引理3.2可得定理2.1.证毕.

定理2.2的证明  当$N\geq3$时,由定义2.1,对每个有supp$\psi\subset\subset\bar{\Omega}\times[0, T)$及$\psi|_{\partial\Omega}$的$\psi\in C^{2}(\bar{\Omega}\times[0, T))$,我们有

取$\psi = \Phi(x)\psi_{R}(x, t)$,其中$\Phi(x) = 1-|x|^{2-N}$,由引理3.3可得

其中$C_{9} = 2C_{5}+C_{6}+\frac{C_{4}}{R_{1}}$.从而有

由假设(2.2)式,当$R\rightarrow+\infty$时,有

所以存在$R_{1}$,使得当$R\geq R_{1}$时, $\int_{\Omega}g(x)\log|x|{\rm d}x\geq c_{1}$,从而有

而

于是

取$w = |u(t)|^{p}\frac{1}{(1+x^{2})^{\frac{\alpha}{2}}}\Phi$,则由引理3.4可得定理2.2.证毕.