考虑如下具有$\Phi$-Laplace算子的拟线性椭圆型方程正解的存在性、多重性和分歧性

其中$\Omega\subseteq{{\Bbb R}} ^{N}$是一个具有光滑边界的有界区域, $\Delta_{\Phi}u = {\rm div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u)$是$\Phi$-Laplace算子, $\Phi(t) = \int_{0}^{t}s\phi(s){\rm d}s$, $f : \Omega \times {{\Bbb R}} \rightarrow {{\Bbb R}}$是Carathéodory函数, $\lambda>0$, $\tau>1$.

在过去几十年里,对具有$\Phi$-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性等相关问题得到广泛研究(参见文献[1-4]).同时, $\Phi$-Laplace算子具有很强的物理背景,在偏微分方程、非牛顿流体、图像处理、等离子物理等领域有着广泛的应用.例如,对非牛顿流体问题,即当$p>1$, $\Phi(t) = \frac{1}{p}|t|^{p}$时,问题(1.1)转化为$p$-Laplace方程

作者Azorero等^[5]利用局部极小化方法和山路定理研究了当$f_{\lambda}(u) = |u|^{r-2} u+\lambda|u|^{p-2} u$, $1<p<r<p^{*}$, $\lambda>0$时问题(1.2)正解的存在性和多重性.

关于拟线性椭圆型方程解的分歧性的研究,一个具有代表性的结果是由Marano等^[6]给出.当$1<q<p<N$, $p \in\left(q, q^{*}\right)$, $\Phi(t) = \frac{1}{p}|t|^{p}+\frac{1}{q}|t|^{q}$时问题(1.1)转化为$(p, q)$-Laplace方程

作者利用临界点理论、截断技巧和比较原理研究了当$1<\tau<q<p<+\infty, \; \lambda>0$时问题(1.3)正解的存在性和分歧性.

近年来,关于分歧性的研究成果还有很多(参见文献[7-8]),其中文献[8]是研究带有Robin边界条件的边值问题.

本文的目的是探究问题(1.1)的正解随参数$\lambda$变化时解集的变化规律.

现在给出函数$\phi$和函数$f$的基本假设.函数$\phi :(0, +\infty) \rightarrow(0, +\infty)$, $\phi \in C^{1}(\Omega)$,且满足下列条件

($\phi_{1}$)当$t\rightarrow0$时, $t\phi(t)\rightarrow0$;当$t\rightarrow\infty$时, $t\phi(t)\rightarrow\infty$;

($\phi_{2}$) $t\phi(t)$在$(0, \infty)$上是严格增的;

($\phi_{3}$)存在常数$\ell, m\in(1, N)$,使得对于任意的$t>0$,成立

($\phi_{4}$) $t\mapsto\Phi(t^{\frac{1}{\ell}})$在$(0, +\infty)$上是凸函数.

进一步,假设$f:\Omega\times{{\Bbb R}} \rightarrow{{\Bbb R}}$是Carathéodory函数,当$t\leq0$时, $f(x, t) = 0$, $F(x, t): = \int^{t}_{0}f(x, s){\rm d}s$.此外, $f$还满足以下条件

($f_{1}$)存在常数$\theta\in[\tau, \ell]$, $r\in(m, \ell^{*})$,使得

其中$c_{2}>\frac{\overline{\lambda}_{1}\ell\|\phi_{1}\|^{\ell}_{\Phi}}{\lambda\|\phi_{1}\|^{\ell}_{\ell}}$, $\overline{\lambda}_{1}$是算子$-\Delta_{\Phi}$的第一特征值, $\phi_{1}$是对应的特征函数;

$(f_{2})$$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{F(x, t)}{t^{m}} = +\infty$对几乎所有的$x\in\Omega$一致成立;

$(f_{3})$$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\frac{f(x, t)t-mF(x, t)}{t^{\beta}}\geq c_{3}$对几乎所有的$x\in\Omega$一致成立,其中$\beta>\tau$且

由条件$(f_{2})$和$(f_{3})$可知, $f(x, t)$在$+\infty$处为$(m-1)$次超线性增长.其次,我们知道在运用山路定理研究拟线性方程解的存在性时, (AR)条件起着关键作用.但$\tau<\ell<m$, $t\mapsto t^{\tau-1}$在$+\infty$处为$(\ell-1)$次线性增长,而$t\mapsto f(x, t)$在$+\infty$处为$(m-1)$次超线性增长不满足一般的(AR)条件.另外,问题(1.1)具有凹凸非线性的特征,这一点增加了研究的难度.为了克服这些困难,需要采用适当的技巧.我们的方法主要基于临界点理论,结合截断技巧和比较原理.

在叙述本文的主要结果之前,先定义下列几类集合

其中$n(x)$是边界$\partial\Omega$上在$x$点处的单位外法向量, $C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+} = \left\{u | u \in C_{0}^{1}(\overline{\Omega}): \; u\geq 0, \; x \in \overline{\Omega}\right\}$;记$S(\Omega): = \{u:\Omega\rightarrow{{\Bbb R}} , \; u\mbox{是可测的}\}$,对$u, v\in S(\Omega), \; \mbox{定义}[u, v]: = \{\omega\in S(\Omega):u\leq\omega\leq v\}$, $[u): = \{\omega\in S(\Omega):u\leq\omega\}$;定义$\Lambda = \{\lambda>0, \; E_{\lambda}\neq\emptyset\}$,其中$E_{\lambda} = \{u|u\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$是问题(1.1)的正解$\};$$K_{I}: = \{u\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega):I'(u) = 0\}$.

定理1.1  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})-(f_{3})$成立,则存在$\lambda^{*}>0$,使得下列结论成立:当$\lambda \in\left(0, \lambda^{*}\right)$时,问题(1.1)至少存在两个解$\hat{u}_{e}, \overline{u}_{e} \in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,且$\hat{u}_{e} \leq \overline{u}_{e}$;当$\lambda = \lambda^{\ast}$时,问题(1.1)至少存在一个解$u^{\ast}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$;当$\lambda>\lambda^{\ast}$时,问题(1.1)无解.

定理1.2  设$(\phi_{1})-(\phi_{4})$和$(f_{1})-(f_{3})$成立,则当$\lambda\in(0, \lambda^{*}]$时,问题(1.1)存在最小正解$\overline{u}_{\lambda}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.

定理1.3  设$(\phi_{1})-(\phi_{4})$和$(f_{1})-(f_{3})$成立,若$\lambda\in(0, \lambda^{*}]$, $\overline{u}_{\lambda}$为问题(1.1)的最小正解,则$\lambda \mapsto \overline{u}_{\lambda} \in C_{0}^{1}(\overline{\Omega})$是严格增和左连续的,即若$\lambda_{1}<\lambda_{2}$,则$\overline{u}_{\lambda_{2}}-\overline{u}_{\lambda_{1}} \in {\rm int}( C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,且对任意的$\lambda_{n} \rightarrow \lambda^{-}$$(n\rightarrow\infty)$,有$\overline{u}_{\lambda_{n}} \rightarrow \overline{u}_{\lambda} \in C_{0}^{1}(\overline{\Omega})$.

记$L_{\Phi}(\Omega) = \big\{u|u:\Omega\rightarrow {{\Bbb R}}\ \mbox{是可测的, }\ \int_{\Omega}\Phi(|u(x)|){\rm d}x<\infty\big\}$,在$L_{\Phi}(\Omega)$上定义Luxemburg范数

记$W^{1, \Phi}(\Omega) = \left\{u | u \in L_{\Phi}(\Omega), \; D_{i} u \in L_{\Phi}(\Omega), \; i = 1, \cdots , n\right\}$,在$W^{1, \Phi}(\Omega)$上定义范数

记$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$是$C^{\infty}_{0}(\Omega)$在$W^{1, \Phi}(\Omega)$中的闭包. $L_{\Phi}(\Omega)$和$W^{1, \Phi}(\Omega)$是可分、自反的Banach空间(参见文献[1]).

根据$(\phi_{3})$和${\rm Poincar\acute{e}}$不等式(参见文献[9]),有

设$d_{\Omega} = {\rm diam}(\Omega)$,则对于任意$u\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,有

这样,得到$\|u\|_{\Phi} \leq 2d_{\Omega}\|\nabla u\|_{\Phi}$,因此定义在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$上的范数$\|u\|: = \|\nabla u\|_{\Phi}$与$\|\cdot\|_{1, \Phi}$等价.

设$\Phi_{\ast}^{-1}(t) = \int_{0}^{t}{s^{-\frac{N+1}{N}}}\Phi^{-1}(s){\rm d}s$ ($t\geq0$),且当$t<0$时, $\Phi_{\ast}(t) = \Phi_{\ast}(-t)$.如果对于所有的$\nu>0$,都有$\lim\limits _{t \rightarrow \infty} \frac{\Upsilon(\nu t)}{\Phi_{\ast}(t)} = 0$,则称N -函数$\Upsilon$在无穷远处比$\Phi_{\ast}$增长得更慢,记$\Upsilon\ll\Phi_{\ast}$.如果$\Upsilon\ll\Phi_{\ast}$,则$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)\hookrightarrow\hookrightarrow L_{\Upsilon}(\Omega)$ (参见文献[9]).进一步,有$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)\hookrightarrow L_{\Phi_{\ast}}(\Omega)$.在条件$(\phi_{1})-(\phi_{3})$下,还有如下连续嵌入: $L^{m}(\Omega)\hookrightarrow L_{\Phi}(\Omega)\hookrightarrow L^{\ell}(\Omega)$, $L_{\Phi_{\ast}}(\Omega)\hookrightarrow L^{\ell^{\ast}}(\Omega)$ (参见文献[10]).

注2.1  在条件$(\phi_{3})$下,可推得下式成立

下面给出本文需要的几个基本引理.

引理2.1^[2]  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$成立,对$t\geq0$,令

则对于任意$\rho, t>0$,成立$\eta_{0}(t)\phi(\rho)\leq\phi(\rho t)\leq\eta_{1}(t)\phi(\rho)$.

引理2.2^[2]  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$成立,对$t\geq0$,令

则对于任意$\rho, t>0$, $u\in L_{\Phi}(\Omega)$,成立

众所周知,寻找问题(1.1)的非负弱解等价于求泛函

的临界点,其中$G(x, t) = \int^{t}_{0}g(x, s){\rm d}s$, $g(x, t) = (t^{+})^{\tau-1}+\lambda f(x, t^{+})$.

引理2.3^[11]  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})-(f_{3})$成立,若$u\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$是$I$在$C_{0}^{1}(\overline{\Omega})$上的局部极小点,则存在常数$\eta\in(0, 1)$,有$u\in C^{1, \eta}(\overline{\Omega})$,且$u$也是$I$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$上的局部极小点.

引理2.4^[11]  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$成立, $b_{1}, b_{2}\in L^{\infty}(\Omega)$, $b_{2}\geq b_{1}$,且集合$S = \{x\in\Omega:b_{1}(x) = b_{2}(x)\}$的测度为零,若$u_{1}, u_{2}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$满足$-\triangle_{\Phi}u_{i} = b_{i}, \; i = 1, 2, \; x\in\Omega$,则$u_{2}-u_{1}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.

引理2.5^[12]  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$成立,则$-\triangle_{\Phi}$是$(S_{+})$型算子,即对任意给定的序列$\{u_{n}\}\subseteq W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,若$u_{n}\rightharpoonup u$,且$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle-\triangle_{\Phi}u_{n}, u_{n}-u\rangle\leq0$,则在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中有$u_{n}\rightarrow u$.

本节的主要工作是证明定理1.1,先给出几个关键引理.

引理3.1  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})$成立,则对每一个$\lambda>0$,有$E_{\lambda}\subseteq {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.

证  设$\lambda\in\Lambda$ (否则$E_{\lambda} = \emptyset$),那么存在$u\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega), \; u\geq0$且$u\neq0$,使得

由文献[13]推得$u\in L^{\infty}(\Omega)$.又由于

所以, $\Phi$-Laplace算子满足文献[14]中的定理1.7条件,由该定理的结论有$u\in C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+}\backslash\{0\}$.

在(3.1)式两边同时加上$L\phi(u)u$,得

因为$u\geq0$且$u\neq0, \; \lambda>0$,若$L>0$且充分大,则有$\overline{h}(x, u)\geq0$,即$-\triangle_{\Phi}u+L\phi(u)u\geq0$.

定义$H(t) = t^{2}\phi(t)-\Phi(t), t\in{{\Bbb R}}$,那么存在足够小$\delta>0$,使得^[12]

利用Pucci-Serrin强极大值原理^[15],对任意的$x\in\Omega$,有$u>0$;再由文献[15,定理5.5.1]的结论推得$u\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,故$E_{\lambda}\subseteq {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.证毕.

为了验证$\Lambda\neq\emptyset$,考虑如下辅助问题

与问题(3.3)对应的能量泛函为$I_{\lambda}:W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)\rightarrow{{\Bbb R}}$,有

其中

引理3.2  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$、$(f_{1})$和$(f_{3})$成立,则对每一个$\lambda>0$,能量泛函$I_{\lambda}$满足$\rm Cerami$条件.

证  给定$\lambda>0$,设序列$\{u_{n}\}\subseteq W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,满足

由(3.5)式易得,存在$M^{\ast}>0$,当$t>M^{\ast}$, $\sigma\in(m, r)$时,有

又由(3.4)式, (3.6)–(3.8)式和注2.1,当$n$足够大时,有

由此推得$\{u_{n}\}$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中是有界的.因此,存在$\{u_{n}\}$的子列(仍记为其本身),有

由(3.7)式知

即

取测试函数$h = u_{n}-u$代入(3.11)式中,并利用Hölder不等式和插值不等式,那么存在$t\in(0, 1)$, $\ell<r<\ell^{\ast}$,使得

在上式中,由于$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)\hookrightarrow L_{\Phi_{\ast}}(\Omega)$, $L_{\Phi_{\ast}}(\Omega)\hookrightarrow L^{\ell^{\ast}}(\Omega)$和$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)\hookrightarrow\hookrightarrow L_{\Phi}(\Omega)\hookrightarrow L^{\ell}(\Omega)$,故当$n\rightarrow\infty$时,有

即算子$-\triangle_{\Phi}$满足$(S_{+})$型条件,由引理2.5、(3.9)和(3.12)式推得在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中$u_{n}\rightarrow u$.

引理3.3  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})$成立,则$\Lambda\neq\emptyset$,且对每一个$\lambda\in\Lambda$,有$(0, \lambda]\subseteq\Lambda$.

证  首先,证明当$\lambda>0$且足够小,能量泛函$I_{\lambda}$满足山路几何条件.

一方面,由引理2.2,对$u\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,当$t\rightarrow\infty$时,有$I_{\lambda}(tu)\rightarrow -\infty$.另一方面,令

由$\tau\leq\theta\leq\ell<m<r$可推得$\lambda c_{9}s^{\theta-\ell}\leq\lambda c_{9}(s^{\tau-\ell}+s^{r-\ell})$,从而$0<\beta_{\lambda}(s)\leq\beta^{\ast}_{\lambda}(s)$.

因为$\lim\limits_{s\rightarrow 0^{+}}\beta^{\ast}_{\lambda}(s) = \lim\limits_{s\rightarrow +\infty}\beta^{\ast}_{\lambda}(s) = +\infty$,所以存在$s_{0}>0$,使得$\beta^{\ast\prime}_{\lambda}(s_{0}) = 0$.通过简单的计算,可得

且当$\lambda\rightarrow0^{+}$时, $s_{0}\rightarrow+\infty$和$\beta^{\ast}_{\lambda}(s_{0})\rightarrow0$,则可以找到$\lambda_{0}>0$,使得$s_{0}\geq1$且$\beta^{\ast}_{\lambda}(s_{0})\leq\frac{1}{2}$.故当$\lambda\in(0, \lambda_{0})$, $u\in\partial B_{s_{0}}(0)$时,有

由山路引理,便存在$u_{\lambda}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,且$u_{\lambda}\neq0$,使得$I_{\lambda}^{\prime}(u_{\lambda}) = 0$,即对任意$v\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,有

取$v = -u_{\lambda}^{-}$$(u_{\lambda}^{-} = \max\{-u_{\lambda}, 0\})$作为测试函数代入(3.13)式,有$u_{\lambda}^{-} = 0$,从而得到$u_{\lambda}\geq0$,再利用引理3.1,便有$u_{\lambda}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.

其次,考虑如下截断函数

此时能量泛函$I(u)$成为$\overline{I}_{\lambda}:W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)\rightarrow{{\Bbb R}}$,有

其中$\overline{G}_{\lambda}(x, t) = \int^{t}_{0}\overline{g}_{\lambda}(x, s){\rm d}s$.

容易验证泛函$\overline{I}_{\lambda}(u)$是强制且弱下半连续的,因此存在极小值点$\overline{u}_{\lambda}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,使得对任意$v\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,成立

在(3.15)式中取$v = -\overline{u}_{\lambda}^{-}$作为测试函数便得到$\overline{u}_{\lambda}\geq0$.利用$(f_{1})$和引理2.2,取$u = \frac{t}{2}u_{\lambda}$,则当$t$足够小时,我们有$\overline{I}_{\lambda}(\frac{t}{2}u_{\lambda})<0$.因此存在$\widetilde{t}_{0}>0$,使得$\overline{I}_{\lambda}(\widetilde{t_{0}}u_{\lambda})<0$.由$\overline{I}_{\lambda}(\overline{u} _{\lambda}) = \min\limits_{v\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)}\overline{I}_{\lambda}(v)\leq\overline{I} _{\lambda}(\widetilde{t}_{0}u_{\lambda})<0 = \overline{I}_{\lambda}(0)$知$\overline{u}_{\lambda}\neq0$.

取$v = (\overline{u}_{\lambda}-u_{\lambda})^{+}$$((\overline{u}_{\lambda}-u_{\lambda})^{+} = \max\{(\overline{u}_{\lambda}-u_{\lambda}), 0\})$作为测试函数代入(3.15)式中,由$(f_{1})$和(3.14)式,有

由$(\phi_{2})$可得$\overline{u}_{\lambda}\leq u_{\lambda}$,故存在$\lambda\in(0, \lambda_{0})$,即$\Lambda\neq\emptyset$.

最后,验证若$\lambda\in\Lambda$,则$(0, \lambda]\subseteq\Lambda$.

由$\lambda\in\Lambda$,存在$u_{\lambda}\in E_{\lambda}$,任取$\gamma\in(0, \lambda]$,在$u_{\lambda}$点处作与前面相似的截断$\widetilde{g}_{\lambda}$以及$\widetilde{G}_{\lambda}$,对应的能量泛函类似于(3.14)式,重复前面的证明过程,可得存在$u_{\gamma}\in E_{\gamma}$,即$\gamma\in\Lambda$.因此$(0, \lambda]\subseteq\Lambda$.证毕.

利用上述引理结合引理2.4容易得到下面推论.

推论3.1  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})$成立,则对每一个$\lambda\in\Lambda$,存在$u_{\lambda}\in E_{\lambda}$,当$\gamma\in(0, \lambda)$时,存在$u_{\gamma}\in E_{\gamma}$满足$u_{\lambda}-u_{\gamma}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.

引理3.4  设$1<\ell<m<\infty$,有

则$\inf\limits_{t>0}h(m, \ell;t)>0$和$\inf\limits_{t>0}h(\ell, m;t)>0$.

此引理的证明是初等的(参见文献[16]).

引理3.5  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$成立,则存在常数$\omega>0$,使得对一切$u>0$, $\varphi\geq0$,有

证  首先,由简单的计算,有

利用Young不等式和引理3.4,当$x\in\Omega\cap\{|\nabla u|>1\}$时,有

其中$h(m, \ell;u)$为(3.16)式所定义.由引理3.4,有$\inf\limits_{u>0}h(m, \ell;u)>0$,则存在足够小的常数$\omega_{1}>0$满足$\omega_{1}(\phi(1))^{\frac{1}{m-1}}\leq \inf\limits_{u>0}h(m, \ell;u)$,于是

类似地,如果取$\psi = \varphi^{\frac{m}{\ell}}$,则存在足够小的常数$\omega_{2}>0$满足$\omega_{2}(\phi(1))^{\frac{1}{\ell-1}}\leq \inf\limits_{u>0}h(\ell, m;u)$,因此

取$\omega = \min\{\omega_{1}^{m-1}, \omega_{2}^{\ell-1}\}$,结合(3.18)式和(3.19)式, (3.17)式得证.证毕.

引理3.6  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})$成立,若$\lambda^{\ast} = \sup\Lambda$,则$\lambda^{\ast}<\infty$.

证  给定$\lambda\in\Lambda, \; u_{\lambda}\in E_{\lambda}$,不妨设$\lambda>1$ (否则$\Lambda$有界).考虑如下截断函数

此时能量泛函$I(u)$成为$\Psi:W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)\rightarrow{{\Bbb R}}$,有

其中$Z(x, t) = \int^{t}_{0}z(x, s){\rm d}s$.

重复引理3.3的证明方法,则存在极小值点$u_{z}$,使得$\Psi'(u_{z}) = 0$,且$u_{z}\in [0, u_{\lambda}]$.注意到$u_{z}$, $\phi_{1}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,当$t>0$且足够小,则有$t\phi_{1}\leq u_{z}$.又由$\overline{\lambda}_{1}\int_{\Omega}\Phi(u) {\rm d}x\leq\int_{\Omega}\Phi(|\nabla u|){\rm d}x$,推得

因此

则有$u_{z}\neq0$.于是方程

存在正解$u\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$.

现在,我们断言$\lambda^{\ast}<\infty$.事实上,由引理3.1,有$u\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,从而可以选取$\varphi\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,使得$\frac{\varphi}{u}\in L^{\infty}(\Omega)$ (参见文献[16]),故有$\frac{\varphi^{m}}{u^{m-1}+u^{\ell-1}}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$.由于$u$是方程(3.21)的正解,取测试函数$\varsigma = \frac{\varphi^{m}}{u^{m-1}+u^{\ell-1}}$,利用引理3.5,那么存在不依赖于$u, \; \lambda$的常数$\omega>0$,使得

则有

因此,由(3.22)式可推出$\lambda^{\ast}<\infty$.证毕.

引理3.7  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})-(f_{3})$成立,则对每一个$\lambda \in\left(0, \lambda^{*}\right)$,问题(1.1)至少存在两个解$\hat{u}_{e}, \overline{u}_{e} \in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,且$\hat{u}_{e} \leq \overline{u}_{e}$.

证  令$e\in (\lambda, \lambda^{\ast})$,则由引理3.3,存在$u_{e}\in E_{e}\subseteq {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.作截断函数

此时能量泛函$I(u)$成为

其中$\widehat{G}_{\lambda}(x, t) = \int^{t}_{0}\widehat{g}_{\lambda}(x, s){\rm d}s$.类似引理3.3的证明方法,可以找到$\widehat{u}_{e}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,使得

作另一截断函数

此时能量泛函$I(u)$成为

其中$G_{\lambda}^{\ast}(x, t) = \int^{t}_{0}g_{\lambda}^{\ast}(x, s){\rm d}s$.同样,可知$K_{I_{\lambda}^{\ast}}\subseteq[\widehat{u}_{e}(x))\cap {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$,故假设$K_{I_{\lambda}^{\ast}}\cap[0, u_{e}(x)] = \widehat{u}_{e}(x)$ (否则问题(1.1)存在另一个正解且大于$\widehat{u}_{e}(x)$).

考虑截断函数

此时能量泛函$I(u)$成为

其中$\widetilde{G}_{\lambda}^{\ast}(x, t) = \int^{t}_{0}\widetilde{g}_{\lambda}^{\ast}(x, s){\rm d}s$.类似地,存在$\widetilde{u}^{\ast}_{e}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,使得

注意到

则有$\widetilde{I}_{\lambda}^{\ast}(u) |_{[0, u_{e}]} = I^{\ast}_{\lambda}(u)|_{[0, u_{e}]}$,因此$\widetilde{u}_{e}^{\ast}(x)\in K_{{I}_{\lambda}^{\ast}}\cap[0, u_{e}(x)]$,故有$\widetilde{u}_{e}^{\ast} = \widehat{u}_{e}$.进一步,由引理2.3,推出$\widehat{u}_{e}$是$I^{\ast}_{\lambda}$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$上的局部极小点.

设$K_{I_{\lambda}^{\ast}}$是有限的(否则问题(1.1)存在无限个正解且大于$\widehat{u}_{e}$),因此存在$\alpha\in (0, 1)$,使得$I_{\lambda}^{\ast}(\widehat{u}_{e})<m_{\alpha}: = \inf\{I_{\lambda}^{\ast}(u):\|u-\widehat{u}_{e}\| = \alpha\}$.由$(f_{2})$知当$t\rightarrow\infty$时, $I_{\lambda}^{\ast}(tu)\rightarrow-\infty$.于是利用山路引理,则存在$\overline{u}_{e}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$满足$\overline{u}_{e}\in K_{I_{\lambda}^{\ast}}$,且$I_{\lambda}^{\ast}(\overline{u}_{e})\geq m_{\alpha}$.又因为$K_{\widetilde{I}_{\lambda}^{\ast}} \subseteq[\widehat{u}_{e}(x), u_{e}(x)]$,便有$\widehat{u}_{e}\leq\overline{u}_{e}$,且$\widehat{u} _{e}\neq\overline{u}_{e}$.证毕.

引理3.8  设$(\phi_{1})-(\phi_{3})$和$(f_{1})-(f_{3})$成立,则$\lambda^{\ast}\in\Lambda$.

证  设$\{\lambda_{n}\}\subseteq(0, \lambda^{\ast})$,且$\lambda_{n}\uparrow\lambda^{\ast}$.由推论3.1,可以找到序列$\{u_{n}\}\subseteq W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,使得$u_{n}\in E_{\lambda_{n}}$, $u_{n}\leq u_{n+1}$,且满足

由引理3.3,有$I(u_{n})<0$,即

对(3.23)式取测试函数$v = u_{n}$,由(3.24)式和注2.1,有

通过计算可得

由于$\lambda_{1}\leq\lambda_{n}$,因此

由$(f_{1})$和$(f_{3})$知$f(x, u_{n})u_{n}-mF(x, u_{n})\geq c_{10}u_{n}^{\beta}-c_{11}$, $(x, u_{n})\in\Omega\times{\Bbb R_{+}}$,从(3.25)式可得

注意到$\tau<\beta$,故$\|u_{n}\|_{\beta}\leq c_{15}, \; n\in{\Bbb N}$.

下面将分两种情况证明$\{u_{n}\}$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中有界.

情形1  若$r\leq\beta$,则$\{u_{n}\}\subseteq L^{r}(\Omega)$有界,由条件$(f_{1})$、注2.1和引理2.2,有

因此可得$\{u_{n}\}$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中有界.

情形2  若$\beta<r<\ell^{\ast}$,令$t\in(0, 1)$满足

由插值不等式,得到$\|u_{n}\|_{r}\leq\|u_{n}\|^{1-t}_{\beta}\|u_{n}\|^{t}_{\ell^{\ast}}$,从而$\|u_{n}\|^{r}_{r}\leq c_{16}\|u_{n}\|^{tr}_{\ell^{\ast}}$,因此

由条件$(f_{3})$和(3.26)式知$tr<\ell$,故$\{u_{n}\}$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中有界.

于是,存在$\{u_{n}\}$的子列(仍记为其本身),有

在(3.23)式中取$v = u_{n}-u_{\lambda^{\ast}}$为测试函数并结合(3.28)式,有

注意到算子$-\triangle_{\Phi}$满足$(S_{+})$型条件,由(3.27)式, (3.29)式和引理2.5,得到在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中$u_{n}\rightarrow u_{\lambda^{\ast}}$,且$0\leq u_{n}\leq u_{\lambda^{\ast}}$.在(3.23)式中令$n\rightarrow\infty$,推得

因此$u_{\lambda^{\ast}}\in E_{\lambda^{\ast}}$,即$\lambda^{\ast}\in\Lambda$.证毕.

定理1.1的证明  根据引理3.7,对每一个$\lambda\in(0, \lambda^{\ast})$,问题(1.1)至少存在两个解$\hat{u}_{e}, \overline{u}_{e} \in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$且$\hat{u}_{e} \leq \overline{u}_{e}$;由引理3.8知$\lambda^{\ast}\in\Lambda$,进一步,当$\lambda = \lambda^{\ast}$时,问题(1.1)至少存在一个解$u_{\lambda^{\ast}}$;最后,当$\lambda>\lambda^{\ast}$时,易知问题(1.1)无解.证毕.

首先,考虑下列Dirichlet问题

易知(4.1)式对应的能量泛函为$\widetilde{\Psi}(u) = \int_{\Omega} \big(\Phi(|\nabla u|)-\frac{1}{\tau}(u^{+})^{\tau}\big){\rm d}x$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$上是强制且弱下半连续的,则存在$\widetilde{u}_{\lambda}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,使得$\widetilde{\Psi}(\widetilde{u}_{\lambda}) = \inf\limits_{v\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)} \widetilde{\Psi}(v)$,且$\widetilde{\Psi}(\widetilde{u}_{\lambda})<0 = \widetilde{\Psi}(0)$,所以$\widetilde{u}_{\lambda}\neq0$.进一步,有$\widetilde{\Psi}^{\prime}(\widetilde{u}_{\lambda}) = 0$,即

在(4.2)式中取$v = -\widetilde{u}_{\lambda}^{-}$作为测试函数,得$\widetilde{u}_{\lambda}\geq0$,且$\widetilde{u}_{\lambda}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.

下面我们证明由(4.2)式给出的$\widetilde{u}_{\lambda}$是问题(4.1)的唯一解,为此,我们先证明下列引理.

引理4.1  设$(\phi_{1})-(\phi_{4})$和$(f_{1})-(f_{3})$成立,则$\widetilde{u}_{\lambda}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$是问题(4.1)的唯一解且对所有的$\overline{u}\in E_{\lambda}$,有$\widetilde{u}_{\lambda}\leq\overline{u}$.

证  定义$Q:L^{1}(\Omega)\rightarrow{{\Bbb R}} \cup\{\infty\}$,有

我们断言映射$v\mapsto\int_{\Omega}\Phi(|\nabla v^{\frac{1}{\ell}}|){\rm d}x$是凸的.事实上,若令$v = ((1-t)v_{1}+tv_{2})^{\frac{1}{\ell}}$, $t\in[0, 1]$, $v_{1}$, $v_{2}\in \overline{Q} = \{v|v\in L^{1}(\Omega), \; Q(v)<+\infty\}$,那么

又因为$\Phi(t)$是增函数且$\Phi(t^{\frac{1}{\ell}})$是凸的,从而$\int_{\Omega}\Phi(|\nabla v^{\frac{1}{\ell}}|){\rm d}x$也是凸的.

由Fatou引理,易知$Q$是弱下半连续的.若$\widetilde{u}_{\lambda}^{\ast}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$是问题(4.1)的另一个解,对每一个$h\in C_{0}^{1}(\Omega)$,当$t$足够小时, $\widetilde{u}^{\ell}_{\lambda}+th, \; \widetilde{u}^{\ast\ell}_{\lambda}+th\in\overline{Q}$,进一步,对所有的$h\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$ (注意到$C_{0}^{1}(\Omega)$在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中稠密).又由$Q$是凸的,则$Q'$是单调的,对$\tau<\ell$,便有

因此$\widetilde{u}_{\lambda} = \widetilde{u}^{\ast}_{\lambda}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$是方程(4.1)的唯一解.

对任意$\overline{u}\in E_{\lambda}$,作截断函数

此时能量泛函$\widetilde{\Psi}(u)$成为

其中$\widehat{Z}(x, t) = \int^{t}_{0}\widehat{z}(x, s){\rm d}s$.与引理3.3的证明类似,存在$\widehat{u}_{\lambda}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,使得

从而$\widehat{u}_{\lambda}\neq0$,且$\widehat{u}_{\lambda}\in [0, \overline{u}]$.由唯一性,则有$0<\widetilde{u}_{\lambda} = \widehat{u}_{\lambda}\leq \overline{u}$.证毕.

定理1.2的证明  首先,我们有$E_{\lambda}$是下有向集,即若$u_{1}, \; u_{2}\in E_{\lambda}$,则存在$\widetilde{u}_{0}(x)\in E_{\lambda}$,使得$\widetilde{u}_{0}(x)\leq\widetilde{u}(x): = \min\{u_{1}, \; u_{2}\}$.由文献[17]知,可找到减序列$\{u_{n}\}\subseteq E_{\lambda}$,使得$\inf E_{\lambda} = \inf\{u_{n}:n\in {\Bbb N}\}$,且

重复引理3.7的证明,存在$\overline{u}_{\lambda}\in W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$,使得$u_{n}\rightarrow\overline{u}_{\lambda}$ (在$W^{1, \Phi}_{0}(\Omega)$中),由此可得

由引理4.1,对任意的$n\in {\Bbb N}$, $\widetilde{u}_{\lambda}\leq u_{n}$,从而$\widetilde{u}_{\lambda}\leq\overline{u}_{\lambda}$,即$\overline{u}_{\lambda} = \inf E_{\lambda}$.证毕.

若$\lambda_{1}, \lambda_{2}\in\Lambda$,且$\lambda_{2}>\lambda_{1}$,由定理1.2知存在$\overline{u}_{\lambda_{2}}\in E_{\lambda_{2}}$, $\overline{u}_{\lambda_{1}}\in E_{\lambda_{1}}$,利用推论3.1,有$\overline{u}_{\lambda_{2}}-\overline{u}_{\lambda_{1}}\in {\rm int}(C_{0}^{1}(\overline{\Omega})_{+})$.

设$\{\lambda_{n}\}\subseteq\Lambda$,且$\lambda_{n}\leq\lambda_{n+1}, \; \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n} = \lambda$,由正则性结果(参见文献[10]),存在$\eta\in(0, 1)$和常数$c_{19}>0$ ($c_{19}$与$n$无关),使得$\overline{u}_{\lambda_{n}}\in C_{0}^{1, \eta}(\overline{\Omega})$,且$\|\overline{u}_{\lambda_{n}}\|_{C_{0}^{1, \eta}(\overline{\Omega})}\leq c_{19}$.又由$C_{0}^{1, \eta}(\overline{\Omega})\hookrightarrow C_{0}^{1}(\overline{\Omega})$是紧的,因此存在子列(仍记为其本身)及$\widetilde{u}_{\lambda}\in C_{0}^{1}(\overline{\Omega})$,使得$\overline{u}_{\lambda_{n}}\rightarrow \widetilde{u}_{\lambda}$$(n\rightarrow\infty)$.

最后,我们断言$\overline{u}_{\lambda} = \widetilde{u}_{\lambda}$.用反证法,若$\overline{u}_{\lambda}\neq\widetilde{u}_{\lambda}$,则存在$x_{0}\in\Omega$,使得$\overline{u}_{\lambda}(x_{0})<\widetilde{u}_{\lambda}(x_{0})$.对上述的$\lambda_{n}$,当$n$足够大时, $\overline{u}_{\lambda}(x_{0})<\overline{u}_{\lambda_{n}}(x_{0})$,而$\lambda_{n}\leq\lambda$,这与定理1.3的第一个结论矛盾,因此$\overline{u}_{\lambda} = \widetilde{u}_{\lambda}$.