记${\cal H}$为定义在单位圆盘${\Bbb D}$上的调和映射$f(z) = h(z)+\overline{g(z)}$且满足规范化条件$f(0) = f_{z}(0)-1 = 0$的全体,其中$h(z)$和$g(z)$在${\Bbb D}$上解析,具有展开式

记${\cal S}_{{\cal H}}$表示${\cal H}$中单叶保向调和映射的全体. Lewy^[1]证明了调和映射$f(z)$在${\Bbb D}$内局部单叶当且仅当$J_{f}(z) = |f_{z}(z)|^{2}-|f_{\overline{z}}(z)|^{2}\neq0$.记${\cal K}_{{\cal H}}$和${\cal S}^{*}_{{\cal H}}$分别为单叶保向调和映射,把${\Bbb D}$满射到凸域和星形域的函数全体.进一步,记${\cal K}_{{\cal H}}^{0}$, ${\cal S}^{\ast 0}_{{\cal H}}$和${\cal S}_{{\cal H}}^{0}$分别表示${\cal K}_{{\cal H}}$, ${\cal S}^{\ast}_{{\cal H}}$和${\cal S}_{{\cal H}}$中满足规范化条件$f_{\bar{z}}(0) = b_{1} = 0$的函数全体.

Clunie与Sheil-Small^[2]猜想:如果$f(z)\in{\cal S}_{{\cal H}}^{0}$,则

取$f(z) = \frac{z-\frac{1}{2}z^{2}+\frac{1}{6}z^{3}}{(1-z)^{3}}+\overline{\frac{\frac{1}{2}z^{2}+\frac{1}{6}z^{3}}{(1-z)^{3}}}$时(1.2)式中等号成立.此外,他们在文献[2]中证明了:若$f(z)\in{\cal K}_{{\cal H}}^{0}$,则

当$f(z) = \frac{z-\frac{1}{2}z^{2}}{(1-z)^{2}}+\overline{\frac{-\frac{1}{2}z^{2}}{(1-z)^{2}}},$ (1.3)式等号成立.

如果定义在${\Bbb D}$上的调和映射$f(z)$且满足$f(0) = 0$把每一个$\{z: |z| = r<1\}$一对一的满射到一个关于原点的星形域上且满足$\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\mbox{arg}\left(f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})\right)\right)>\alpha,$其中$\theta\in[0, 2\pi)$, $r\in(0, 1)$且$\alpha\in[0, 1)$,称$f(z)$是$\alpha$阶完全星形的.特别地,若$\alpha = 0$,称$f(z)$为完全星形.

如果定义在${\Bbb D}$上的调和映射$f(z)$把每一个$\{z: |z| = r<1\}$一对一的满射到一个凸域上且满足$\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\mbox{arg}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})\right)\right)>\alpha,$其中$\theta\in[0, 2\pi)$, $r\in(0, 1)$且$\alpha\in[0, 1)$,称$f(z)$是$\alpha$阶完全凸的.特别地,若$\alpha = 0$,称$f(z)$为完全凸.

记${\cal FK}_{{\cal H}}(\alpha)$和${\cal FS}_{{\cal H}}^{*}(\alpha)$分别为${\cal K}_{{\cal H}}$中的$\alpha$阶完全凸函数类和${\cal S}_{{\cal H}}^{*}$中的$\alpha$阶完全星形函数类.对于$f(z)\in{\cal H}$, Jahangiri^[3]给出了下面结果,内容如下.

定理  A^[3]   设$f(z) = h(z)+\overline{g(z)}$,其中$h(z)$和$g(z)$满足(1.1)式.若

其中$\alpha\in[0, 1)$.则$f(z)$在${\Bbb D}$是单叶调和的,且$f(z)\in{\cal FS}_{{\cal H}}^{*}(\alpha)$.

此外,他们也还在文献[4]中证明了如下结果.

定理 B^[4]  设$f(z) = h(z)+\overline{g(z)}$,其中$h(z)$和$g(z)$满足(1.1)式.若

其中$\alpha\in[0, 1)$.则$f(z)$在${\Bbb D}$是单叶调和的,且$f(z)\in{\cal FK}_{{\cal H}}(\alpha)$.

根据Rado-Kneser-Choquet定理知,完全凸调和映射一定是单叶的.事实上, $\alpha$阶完全凸调和映射也是单叶的.然而,完全星形调和映射却未必单叶.另外,每一个$\alpha$阶完全凸调和映射是$\alpha$阶完全星形调和映射,反过来则不一定成立,例如文献[5]中的例题2.6.最近,关于调和映射单叶半径问题和拟共形问题一直是一个热门的研究话题,详细结果请参见文献[6-12].

线性凸组合是构造新函数的一个重要方法.众所周知,解析函数线性凸组合$tf+(1-t)g$未必单叶,即使$f$和$g$是凸的. Abdulhadi等^[13]引入了$C^{1}$上函数的微分算子$L = z\frac{\partial}{\partial z}-\overline{z}\frac{\partial}{\partial\overline{z}}$.并指出$L$满足$L(af+bg) = aL(f)+bL(g), L(fg) = fL(g)+gL(f),$其中$a$, $b$是复常数, $f$, $g$是定义在${\Bbb C}$上的复函数.在微分算子$L$下调和性和双调和性保持不变.事实上,很容易验证微分算子$L^{\epsilon} = z\frac{\partial}{\partial z}-\epsilon\overline{z}\frac{\partial}{\partial\overline{z}}$($|\epsilon| = 1$)也是线性的并且保调和性^[14].

调和映射卷积是解析函数卷积的推广形式.单连通区域内两个调和映射的卷积定义为

其中

事实上,两个调和映射的卷积未必保持其原来的性质,例如单叶性、凸性等性质.这使得调和映射的卷积得到了广泛的研究,关于调和映射的更多细节可参见文献[14-17].

在系数满足给定条件下,本文考虑调和映射的一些子类(调和映射微分算子凸组合和调和卷积的微分算子)的$\alpha$阶完全星形, $\alpha$阶完全凸的半径问题.

为了帮助证明主要结果,本节需要一些引理.

引理 2.1^[6]  对于$\alpha\in[0, 1)$和$t\in[0, 1]$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha, t)$.

根据文献[6,定理3.2]和[5,定理4.4] (稍作变形),不难发现下面两个结果.

引理 2.2  对于$\alpha\in[0, 1)$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha)$.

引理  2.3  对于$\alpha\in[0, 1)$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha)$.

引理 2.4  对于$\alpha\in[0, 1)$和$t\in[\frac{1}{6}, 1]$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha, t)$.

证   设

则

且$f'(r) = g(r)+th(r)$,其中

容易验证在$r\in(0, 1)$时,有

此外,对于$t\in[\frac{1}{6}, 1]$,得

根据(2.6)式,当$r\in(0, 1)$,有

结合(2.5)式得,存在唯一$\xi_{1}\in(0, 1)$使得$f(\xi_{1}) = 0$.证毕.

根据函数在$(0, 1)$上的单调性,容易证明下面几个引理中根的唯一性,在此省略其证明过程.

引理 2.5  对于$\alpha\in[0, 1)$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha)$.

引理 2.6  对于$\alpha\in[0, 1)$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha)$.

引理 2.7  对于$\alpha\in[0, 1)$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha)$.

引理 2.8  对于$\alpha\in[0, 1)$,方程

在$(0, 1)$有唯一解$r = r(\alpha)$.

下面是本文中所用到的幂级数求和.

利用上述幂级数给出下面结果.

定理  3.1   设$f_{i} = h_{i}+\overline{g_{i}}\in{\cal H}$, $i = 1, 2,$其中

且对于$n\geq2$

则$F^{\epsilon} = (1-t)L^{\epsilon}_{f_{1}}+tL^{\epsilon}_{f_{2}}$,的$\alpha$阶完全星形半径为$r_{s}$,且$r_{s} = r_{s}(\alpha, t)$是方程(2.1)在$(0, 1)$的唯一解,其中$t\in[0, 1]$, $L^{\epsilon}_{f_{i}} = zf_{i_{z}}-\epsilon\overline{z}f_{i_{\overline{z}}}$($|\epsilon| = 1$);另外它的单叶半径为$r_{u}$,其中$r_{u}$是方程

在$(0, 1)$的唯一解.上述结果均为最佳.

证   

其中$|\epsilon| = 1$.对于$r\in(0, 1)$,只需证$F^{\epsilon }_{r}(z)\in{\cal FS}_{{\cal H}}^{*}(\alpha)$,其中

考虑

根据定理A和条件(3.2),只要证明

结合等式(3.1)式,有

因此对于$r\leq r_{s}$,有$F^{\epsilon}_{r}(z)\in{\cal FS}_{{\cal H}}^{*}(\alpha)$,其中$r_{s}$是方程(2.1)在$(0, 1)$内的唯一解.当$\alpha = 0$, (2.1)式推出(3.3)式.再次运用定理A,得$F^{\epsilon}$在$|z|\leq r_{u} = r_{s}(0, t)$单叶调和.

为证最佳性,考虑

取$\epsilon = 1$,于是

计算给出

结合(3.3)式,有

即$J_{F_{0}}|_{r = r_{u}} = 0$.所以,若$r>r_{u}$,则$F_{0}$在$|z|<r$内不单叶.这意味着$r_{u}$是最佳的.

进一步,得

由(2.1)式得

于是$\frac{\partial}{\partial\theta}(\mbox{arg}(F_{0}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})))|_{\theta = 0, r = r_{s}} = \alpha.$所以(2.1)式给出的$r_{s}$是最佳的.证毕.

定理 3.2  在定理3.1的条件下.则$F^{\epsilon} = (1-t)L^{\epsilon}_{f_{1}}+tL^{\epsilon}_{f_{2}}$ ($t\in[\frac{1}{6}, 1]$)的$\alpha$阶完全凸半径为$r_{c}$,其中$r_{c} = r(\alpha, t)$是方程(2.4)在$(0, 1)$的唯一解,该结果最佳.

证   对于$r\in(0, 1)$,只需$F^{\epsilon}_{r}(z)\in{\cal FK}_{{\cal H}}(\alpha)$,其中$F^{\epsilon}_{r}(z)$由方程(3.4)给出.考虑

根据定理B,需证$S\leq1$.即等价证明

结合(3.1)式,得

因此对于$r\leq r_{c}$, $F^{\epsilon}_{r}(z)\in{\cal FK}_{{\cal H}}(\alpha)$,其中$r_{c}$是方程(2.4)在$(0, 1)$的唯一解.

下证最佳性,取

取$\epsilon = 1$,于是

计算给出

所以

由方程(2.4)得

于是$\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\mbox{arg}\frac{\partial}{\partial\theta}(F_{0}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta}))\right)|_{\theta = 0, r = r_{c}} = \alpha.$这证明了方程(2.4)中给出的$r_{c}$的最佳性.证毕.

注  取$t = 0$或者$t = 1$,定理3.1和定理3.2推出文献[14]中的相关结果.

定理 4.1   设$f = h+\overline{g}\in{\cal H}$满足(1.1)式且有

则$L^{\epsilon}_{f} = zf_{z}-\epsilon\overline{z}f_{\overline{z}}$ ($|\epsilon| = 1$)在$|z|<r_{s}$内$\alpha$阶完全星形,其中$r_{s}$是方程(2.3)在$(0, 1)$的唯一解;它的单叶半径为$r_{u}\approx0.0712$是方程

在$(0, 1)$的解.上述结果均最佳.

证   对于$r\in(0, 1)$,需证$L^{\epsilon}_{f _{r}}(z)\in{\cal FS}_{{\cal H}}^{*}(\alpha)$,其中

考虑

根据定理A,只要证$S\leq1$即可.由(4.1)与(4.4)式,即证

结合(3.1)式,有

因此对于$r\leq r_{s}$, $L^{\epsilon}_{f_{r}}(z)\in{\cal FS}_{{\cal H}}^{*}(\alpha)$,其中$r_{s}$是方程(2.3)在$(0, 1)$唯一解.在方程(2.3)中取$\alpha = 0$,有方程(4.2).

取$\epsilon = 1$,

于是

则结合(4.2)式得

即$J_{L_{0}}|_{r = r_{u}} = 0$.因此, $r_{u}$最佳.易得

根据(2.3)式,有

所以$\frac{\partial}{\partial\theta}(\mbox{arg}(L_{0}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})))|_{\theta = 0, r = r_{s}} = \alpha.$证毕.

定理  4.2  在定理4.1的条件下, $L^{\epsilon}_{f} = zf_{z}-\epsilon\overline{z}f_{\overline{z}}$ ($|\epsilon| = 1$)在$|z|<r_{c}$为$\alpha$阶完全凸的,其中$r_{c}$是方程(2.8)在$(0, 1)$的唯一解,该结果最佳.

证   对于$r\in(0, 1)$,需要证$L^{\epsilon }_{f_{r}}(z)\in{\cal FK}_{{\cal H}}(\alpha)$,其中$L^{\epsilon}_{f_{r}}(z)$满足(4.3)式.考虑

根据定理B,需证$S\leq1$.由条件(4.1),即证

结合(3.1)式,简单地计算给出

因此对于$r\leq r_{c}$, $L^{\epsilon}_{f_{r}}(z)\in{\cal FK}_{{\cal H}}(\alpha)$,其中$r_{s}$满足(2.8)式.

取

则

且

由(2.8)式得

于是$\frac{\partial}{\partial\theta}(\mbox{arg}\frac{\partial}{\partial\theta}(L_{0}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})))|_{\theta = 0, r = r_{c}} = \alpha.$最佳性得证.

定理  4.3  设$f = h+\overline{g}\in{\cal H}$满足(1.1)式且有

则$L^{\epsilon}_{f} = zf_{z}-\epsilon\overline{z}f_{\overline{z}}$ ($|\epsilon| = 1$)在$|z|<r_{s}$内是$\alpha$阶完全星形的,其中$r_{s}$是方程(2.9)在$(0, 1)$内的唯一实根;此外, $L^{\epsilon}_{f}$的单叶半径$r_{u}\approx0.0464$是方程

在$(0, 1)$的根.上述结果均为最佳.

证   过程类似于定理4.1.只需证明

结合(3.1)式,计算给出

因此对于$r\leq r_{s}$, $L^{\epsilon}_{f_{r}}(z)\in{\cal FS}_{{\cal H}}^{*}(\alpha)$,其中$r_{s}$是方程(2.9)在$(0, 1)$内的唯一实根.取$\alpha = 0$,则有(4.5)式.

取$\epsilon = 1$,

于是

结合(4.5)式,有

计算给出

此外,根据(2.9)式得

因此$\frac{\partial}{\partial\theta}(\mbox{arg}\frac{\partial}{\partial\theta}(L_{0}(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})))|_{\theta = 0, r = r_{s}} = \alpha.$说明(2.9)式给出的$r_{s}$是最佳的.证毕.

定理  4.4  在定理4.3的条件下, $L^{\epsilon}_{f} = zf_{z}-\epsilon\overline{z}f_{\overline{z}}$ ($|\epsilon| = 1$)在$|z|<r_{c}$内为$\alpha$阶完全凸,其中$r_{c}$是方程(2.10)在$(0, 1)$内的唯一实根.该结果最佳.

证   证明过程类似于定理4.2.因此只要证明最佳性.考虑$\epsilon = 1$,

证毕.

定理 4.5  设$f = h+\overline{g}\in{\cal H}$满足(1.1)式且有

则$L^{\epsilon}_{f} = zf_{z}-\epsilon\overline{z}f_{\overline{z}}$ ($|\epsilon| = 1$)在$|z|<r_{s}$内是$\alpha$阶完全星形的,其中$r_{s}$是方程(2.2)在$(0, 1)$内的唯一实根;此外$L_{\epsilon}$的单叶半径$r_{u}\approx0.0295$为方程

在$(0, 1)$的根.上述结果均为最佳.

证   主要证明最佳性.取$\epsilon = 1$,

经验证该结果达到最佳.

定理 4.6  在定理4.5的条件下, $L^{\epsilon}_{f}(z) = zf_{z}(z)-\epsilon\overline{z}f_{\overline{z}}(z)$($|\epsilon| = 1$)在$|z|<r_{c}$内属于$\alpha$阶完全凸,其中$r_{c}$是方程(2.11)在$(0, 1)$内的唯一实根.该结果最佳.

证   这里只证最佳性.取$\epsilon = 1$,

经验证该结果达到最佳.