国内外许多学者应用各种方法研究半序$\rm{Banach}$空间上抽象算子的不动点的存在性和唯一性,并且取得了一系列重要成果,其中一部分已经收录于相关的专著[1-2]之中.文献[1-2]系统地介绍了利用单调迭代方法讨论非线性算子的不动点.在文献[3-4]中作者运用单调迭代方法和锥理论研究了非线性算子方程的解的存在性;文献[5-6]中作者应用单调迭代法研究了混合单调算子的不动点的存在性.另外在研究具体非线性常微分方程边值问题的解的存在性时也常用迭代法作为工具,参见文献[7-8].

本文主要从算子理论的角度应用锥性质和单调迭代方法,研究半序$\rm{Banach}$空间上一类抽象二元非线性算子$S^{-1}A(x, y)$的不动点的存在性和唯一性;从而亦推广和改进了专著[1]中的经典定理3.8.1,将常数情形下的结果扩张到了关于有界线性算子的结论,由此也得到了一些新结果,完善了相关理论成果.文中最后我们给出了对一阶非线性常微分方程初值问题的应用.

下面列出文中所涉及的一些主要基本概念,更多详细知识亦可参见文献[1-2].

设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的一个锥,则$P$在$E$中诱导出一个半序关系: $x\leq y$,如果$y-x\in P$.从而$E$在该半序下成为半序集,故称$E$为半序$\rm{Banach}$空间.设$u, v\in E, u\leq v$,则称$[u, v] = \{x\in E |u\leq x\leq v\}$为闭序区间.

定义2.1 设$P$是$E$中的一个锥.如果存在常数$N>0$,使得对任意$x, y\in E$,若$\theta \leq x\leq y$,则有$\parallel x\parallel\ \leq N\parallel y\parallel$,那么称$P$是$E$中的正规锥;可证满足此式的正数$N$中的最小者一定存在,称它为正规锥$P$的正规常数,其中$\theta$为$E$中的零元.

可以看出正规常数$N\geq 1$,并且已知$P$的正规性有许多等价的命题,其中之一是$P$正规等价于两边夹法则成立,即如果$x_n\leq z_n\leq y_n (n = 1, 2, \cdots)$,且$x_n\rightarrow x_0 , y_n\rightarrow x_0 (n\rightarrow\infty)$,那么有$z_n\rightarrow x_0 (n\rightarrow \infty)$.

定义2.2 设$D\subset E$,算子$F:D\rightarrow E$,如果由$\forall x_1, x_2\in D, x_1\leq x_2$可推出$F(x_1)\leq F(x_2)$,那么称$F$为增算子;如果$\forall x_1, x_2\in D, x_1\leq x_2$都有$F(x_1)\geq F(x_2)$,则称算子$F:D\rightarrow E$是减算子;若存在$x\in D$,使得$F(x) = x$,则称$x$是算子$F$的不动点.

定义2.3 设$D\subset E$,二元算子$A:D\times D\rightarrow E$,如果由$\forall x_1, x_2, y_1, y_2\in D$,及$x_1\leq x_2,$$y_1\geq y_2$可推出$A(x_1, y_1)\leq A(x_2, y_2)$,则称二元算子$A$为混合单调算子;若存在$x\in D$,使得$A(x, x) = x$,则称$x$是二元算子$A$的不动点.

定义2.4 称半序$\rm{Banach}$空间上一个有界线性算子$T:E\rightarrow E$为正算子,如果$T(P)\subset P$,其中$P$是$E$中的锥.

以下文中总是假设$G\subset E$,算子$S:G\rightarrow E$是双射,且其逆$S^{-1}$是增算子;以及$N$表示$E$中正规锥$P$的正规常数.

定理3.1 设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的正规锥, $D = [u_0, v_0 ]\subset G$,二元算子$A:D\times D\rightarrow E$满足

$\rm(i)$$Su_0\leq A(u_0, v_0 ), \ A(v_0, u_0)\leq Sv_0;$

$\rm(ii)$对固定的$x\in D, \ A(x, y)$关于$y$是减算子;

$\rm(iii)$存在有界线性算子$T$,使得对任何固定$y\in D$,有

$\rm(iv)$存在有界线性算子$L$,使得$A(y, x)-A(x, y)\leq L(Sy-Sx), \ \forall u_0\leq x\leq y\leq v_0;$

$\rm(v)$逆算子$(I+T)^{-1}$存在且为正算子($I$为恒等算子),以及$(I+T)^{-1}(T+L)$是正有界线性算子,其谱半径

则二元算子$S^{-1}A(x, y)$在$D = [u_0, v_0 ]$中有唯一不动点$x^*$.另外,对任给$x_0\in\{x\in D:Su_0\leq Sx\leq Sv_0 \}$,迭代序列

都依范数收敛于$Sx^*$,并且对任给$\beta$满足$r[(I+T)^{-1} (T+L)]<\beta<1$,则存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有关于谱半径形式的误差估计式

证 作一个辅助二元算子$B(x, y) = (I+T)^{-1} [A(x, y)+TSx], \ \forall x, y\in D.$则由(ii), (iii)和$(I+T)^{-1}$的正性知,二元算子$B:D\times D\rightarrow E$是混合单调算子.

再由(i)和$(I+T)^{-1}$的正性得, $Su_{0}\leq B(u_{0}, v_{0})\leq B(v_{0}, u_{0})\leq Sv_{0}.$

当$u_0\leq x\leq y\leq v_0$时,应用$(I+T)^{-1}$的正性以及条件(iv),得

此处$H = (I+T)^{-1}(T+L)$.

构造迭代序列:令$Su_n = B(u_{n-1}, v_{n-1} ), \ Sv_n = B(v_{n-1}, u_{n-1} ), \ n = 1, 2, \cdots$.由于$B:D\times D\rightarrow E$是混合单调算子,故$Su_1 = B(u_0, v_0 )\leq B(v_0, u_0 ) = Sv_1.$再由于$S^{-1}$是增算子,故由数学归纳法得, $Su_n\leq Sv_n, \ n = 0, 1, 2, \cdots$.

因为$u_0\leq u_1, \ v_1\leq v_0,$所以$Su_2 = B(u_1, v_1 )\geq B(u_0, v_0 ) = Su_1$,以及$Sv_2 = B(v_1, u_1 )\leq B(v_0, u_0 ) = Sv_1$.则应用$B$的混合单调性及$S^{-1}$的增性和数学归纳法知, $Su_{n}\leq Su_{n+1},$$Sv_{n+1}\leq Sv_n,$$n = 0, 1, 2, \cdots$.因此有

再对任给$x_0\in \{x\in D| Su_{0}\leq Sx\leq Sv_{0}\}$,作迭代序列

因为$S^{-1}$是增算子,所以$u_0\leq x_0\leq v_0,$故$Su_1 = B(u_0, v_0 )\leq B(x_0, x_0 ) = Sx_1\leq B(v_0, u_0 ) = Sv_1.$于是由$B$的混合单调性及$S^{-1}$的增性和数学归纳法,得$Su_n\leq Sx_n\leq Sv_n, \ n = 0, 1, 2, \cdots.$

接下来证明$\{Sx_n \}$是半序Banach空间$E$中的Cauchy序列.

由以上证明知$Su_n\leq Su_{n+p}\leq Sx_{n+p}\leq Sv_{n+p}\leq Sv_n$,和$Su_n\leq Sx_n\leq Sv_n$,其中$n, p = 0, 1, 2, \cdots$.

再运用有界线性算子$H$的正性条件,则有

以及

由于$r(H)<1$,应用文献[9]中有界线性算子的Gelfand谱半径公式

则对于任给$r(H)<\beta<1$,存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有$\parallel H^n \parallel<\beta^n.$

再由锥$P$的正规性知,存在正规常数$N>0$,使得当$n\geq n_0$时, $p = 1, 2, \cdots,$都有

和

因此,当$n\geq n_0$时, $p = 1, 2, \cdots,$都有

故$\{Sx_n \}$是Banach空间$E$中的Cauchy序列,于是$\{Sx_n \}$收敛且存在${ } y^* = \lim_{n\to \infty}Sx_n$.

因为$S$是双射,故存在$x^{*}\in E$,使得$y^{*} = Sx^{*}.$

由于$Su_0\leq Su_n\leq Sx_n\leq Sv_n\leq Sv_0$,则$x^*\in D = [u_0, v_0 ]$.

又因为当$n\geq n_0$时,有

所以${ } \lim_{n\to \infty}Su_n = \lim_{n\to \infty}Sv_n = Sx^*.$

由于$Su_n\leq Sx_{n+p}\leq Sv_n$,其中$n, p = 0, 1, 2, \cdots$,则固定$n$,令$p\rightarrow \infty$,得$Su_n\leq Sx^*\leq Sv_n,$于是$u_{n}\leq x^{*}\leq v_{n}, \ n = 0, 1, 2, \cdots.$再由$B$的混合单调性得到, $Su_{n+1} = B(u_n, v_n )\leq B(x^*, x^* )\leq B(v_n, u_n ) = Sv_{n+1}.$从而由锥$P$的正规性知, $B(x^*, x^* ) = Sx^*.$于是由$B$的定义知, $A(x^*, x^* ) = Sx^*$,故$x^*$为二元算子$S^{-1}A(x, y)$在$D$中的不动点.

下面证明二元算子$S^{-1}A(x, y)$在$D$中的不动点是唯一的.

设$\bar{x}$也是$S^{-1}A(x, y)$在$D$中的一个不动点,则由$B$的定义知$B(\bar{x}, \bar{x}) = S\bar{x}$.因为$u_0\leq \bar{x}\leq v_0$,所以由$B$的混合单调性及数学归纳法知$Su_n\leq S\bar{x}\leq Sv_n, \ n = 1, 2, \cdots$.而${ } \lim_{n\to \infty}Su_n = \lim_{n\to \infty}Sv_n = Sx^*$,故由锥$P$的正规性知$S\bar{x} = Sx^{*}$,于是$\bar{x} = x^{*}$.因此,二元算子$S^{-1}A(x, y)$在$D = [u_0, v_0 ]$中有唯一不动点$x^*$.

最后,给出谱半径形式的误差估计式.

因为当$n\geq n_0$时, $p = 1, 2, \cdots$,都有

所以令$p\rightarrow \infty$,有下列谱半径形式的误差估计式,即当$n\geq n_0$时,有

定理3.1证毕.

注3.1 当算子范数$\parallel H\parallel<1$时,则$H$的谱半径$r(H)\leq \parallel H\parallel<1$,故从以上证明可知定理$\rm{3.1}$仍成立,并且对任给$x_0\in\{x\in D:Su_0\leq Sx\leq Sv_0 \}$,迭代序列

都依范数收敛于$Sx^*$,以及有算子范数形式的误差估计式

其中$H = (I+T)^{-1}(T+L).$

在定理3.1中,算子$S$可以为线性算子或非线性算子;如果取$G = E$,以及$S$为恒等算子$I$,那么我们有下列关于二元算子$A(x, y)$的不动点的结果.

推论3.1 设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的正规锥, $D = [u_0, v_0 ]$,二元算子$A:D\times D\rightarrow E$满足

$\rm(i)$$u_0\leq A(u_0, v_0 ), \ A(v_0, u_0)\leq v_0$;

$\rm(ii)$对固定的$x\in D, \ A(x, y)$关于$y$是减算子;

$\rm(iii)$存在有界线性算子$T$,使得对任何固定$y\in D$,有

$\rm(iv)$存在有界线性算子$L$,使得$A(y, x)-A(x, y)\leq L(y-x), \ \forall u_0\leq x\leq y\leq v_0$;

$\rm(v)$逆算子$(I+T)^{-1}$存在且为正算子（$I$为恒等算子）,以及$(I+T)^{-1}(T+L)$为正有界线性算子,其谱半径

则$A$在$D$中有唯一不动点$x^*$,进一步对任给$x_0\in D$,迭代序列

都依范数收敛于$x^*$,并且对任给$r[(I+T)^{-1} (T+L)]<\beta<1$,则存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有谱半径形式的误差估计式

注3.2 当算子范数$\parallel H\parallel <1$时,则$H$的谱半径$r(H)\leq\parallel H\parallel<1$,故由注$\rm{3.1}$知,推论$\rm{3.1}$仍然成立,并且对于任给$x_0\in D$,迭代序列

都依范数收敛于$x^*$,且有算子范数形式的误差估计式

其中$H = (I+T)^{-1} (T+L)$.

如果在推论3.1的条件$\rm(iii)$和$\rm(v)$中,取$T = MI$,其中$M\geq 0$的常数, $I$为恒等算子,那么当算子$L$的谱半径$r(L)<1$时,运用文献[9]中有界线性算子的谱半径的性质,有

因此我们得到如下推论.

推论3.2 设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的正规锥, $D = [u_0, v_0 ]$,二元算子$A:D\times D\rightarrow E$满足

$\rm(i)$$u_0\leq A(u_0, v_0 ), \ A(v_0, u_0)\leq v_0;$

$\rm(ii)$对固定的$x\in D, A(x, y)$关于$y$是减算子;

$\rm(iii)$存在常数$M\geq 0$,使得对任何固定$y\in D$,有

$\rm(iv)$存在有界线性算子$L:E\rightarrow E$,其谱半径$r(L)<1$和$MI+L$为正算子,使得

则$A$在$D$中有唯一不动点$x^*$,以及任给$x_0\in D$,迭代序列

都依范数收敛于$x^*$,并且对任给$\frac{M+r(L)}{1+M}<\beta <1$,则存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有误差估计式

注3.3 当$r(L)<1$时,任取$r(L)<a<1$,再取$\beta = \frac{M+a}{1+M}$,以及$L$为正算子时,则如上推论$\rm3.2$就是文献[1]中的经典定理$\rm{3.8.1}$.但是文献[3]的主要结果中缺少$MI+L$是正算子的条件.

如果$A(x, y)$与$y$无关,即$A$是一元算子,那么应用推论3.1,我们有如下结果.

推论3.3 设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的正规锥, $D = [u_0, v_0 ]$,算子$A:D\rightarrow E$满足

$\rm(i)$$u_0\leq A(u_0 ), \ A(v_0)\leq v_0$;

$\rm(ii)$存在有界线性算子$T$和$L$,使得

$\rm(iii)$逆算子$(I+T)^{-1}$存在且为正算子($I$为恒等算子),并且有界线性算子$(I+T)^{-1} (T+L)$是正算子,其谱半径

则$A$在$D$中有唯一不动点$x^*$,进一步任给$x_0\in D$,迭代序列

都依范数收敛于$x^*$,并且对任给$r[(I+T)^{-1} (T+L)]<\beta<1$,存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有误差估计式

在推论3.3$\rm(ii)$和$\rm(iii)$中,取$T = MI$,其中$M\geq 0$的常数,则当算子$L$的谱半径$r(L)<1$时,由文献[9]知

因此我们有如下推论3.4.如果再在推论3.4$\rm(ii)$中,将条件$MI+L$是正算子改成$L$为正算子,那么我们就得到专著[1]中的推论3.8.1.

推论3.4 设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的正规锥, $D = [u_0, v_0 ]$,算子$A:D\rightarrow E$满足

$\rm(i)$$u_0\leq A(u_0 ), \ A(v_0)\leq v_0$;

$\rm(ii)$存在常数$M\geq 0$和有界线性算子$L$,其谱半径$r(L)<1$,以及$MI+L$为正算子,使得

则$A$在$D$中有唯一不动点$x^*$,进一步任给$x_0\in D$,迭代序列

都依范数收敛于$x^*$,并且对任给$r(L)<a<1$,令$\beta = \frac{a+M}{1+M}$,则存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有

最后,利用有界线性算子谱的性质,可以参考文献[9],我们有下列结论.

推论3.5 设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的正规锥, $D = [u_0, v_0 ]$,算子$A:D\rightarrow E$满足

$\rm(i)$$u_0\leq A(u_0 ), \ A(v_0)\leq v_0;$

$\rm(ii)$存在常数$M\geq 0$和有界线性算子$L$,其谱半径$r(L)<1$,和正整数$k>1$,使得$L^{k}$为正算子且

则$A$在$D$中有唯一不动点$x^*$,并且任给$x_0\in D$,迭代序列

依范数收敛于$x^*$,并且对任给$\frac{M+r(L)^{k}}{M+1}<\beta<1$,则存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有误差估计式

为了便于应用,我们在推论3.3中,取$T$为零算子,则有下列结果.

推论4.1 设$E$是实$\rm{Banach}$空间, $P$是$E$中的正规锥, $D = [u_0, v_0 ]$,算子$A:D\rightarrow E$满足

$\rm(i)$$u_0\leq A(u_0 ), A(v_0)\leq v_0;$

$\rm(ii)$存在正有界线性算子$L$,且谱半径$r(L)<1$,使得

则$A$在$D$中有唯一不动点$x^*$,进一步任给$x_0\in D$,迭代序列

都依范数收敛于$x^*$,并且对任给$r(L)<\beta<1$,则存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有误差估计式

以下讨论欧氏空间$R^k$上的一类一阶非线性常微分方程初值问题.设$J = [0, b]\ (b>0)$,令$E = C[ J, {{\Bbb R}} ^k ] = \{u\mid u:J\rightarrow {{\Bbb R}} ^k \mbox{连续}\}$, $C^1 [ J, {{\Bbb R}} ^k ] = \{u\mid u:J\rightarrow {{\Bbb R}} ^k \mbox{一阶连续可微}\}$.

对于$u\in C[ J, {{\Bbb R}} ^k]$,令${ }\parallel u\parallel_c = \max_{t\in J}\parallel u(t)\parallel$,则$C[ J, {{\Bbb R}} ^k ]$在范数$\parallel\cdot\parallel_c$下是一个Banach空间.再设$P = \{u\in C[ J, {{\Bbb R}} ^k ] \mid u(t)\geq 0, t\in J\}$,则$P$是$C[ J, {{\Bbb R}} ^k ]$中的一个正规锥,正规常数$N = 1$,并且导出$E = C[ J, {{\Bbb R}} ^k ]$中的半序关系,仍用$\leq$表示.

例4.1 设$f:J\times {{\Bbb R}} ^k\rightarrow {{\Bbb R}} ^k, \ y_0\in {{\Bbb R}} ^k,$且对任给$u\in C[ J, {{\Bbb R}} ^k]$, $f(t, u(t)):J\rightarrow {{\Bbb R}} ^k$连续.

我们讨论一阶非线性常微分方程初值问题

以下假设

(1)存在$u_0 , v_0\in C^1 [ J, {{\Bbb R}} ^k ],$使得$u_0\leq v_0$,以及

和

(2)存在$k$阶实对角矩阵$M_0$,使得对任意$t\in J, u, v\in {{\Bbb R}} ^k, \ u\leq v$,有

(3)存在$k$阶实矩阵$M_1$,使得$M_0+M_1$为正矩阵,且对任意$t\in J, \ u, v\in {{\Bbb R}} ^k, \ u\leq v,$有

则以上初值问题在$[u_0, v_0 ]$中存在唯一解$x^*$,且对任意$x_0\in[u_0, v_0 ]$,迭代序列

在$J$上依欧氏范数一致收敛于$x^* (t)$,并且对任给$0<\beta<1$,存在正整数$n_0$,使得当$n\geq n_0$时,有误差估计式

证 对于$x\in[u_0, v_0 ]$,则

是一阶线性常微分方程初值问题$u' = f(t, x)-M_0(u-x), u(0) = y_0, \ t\in J$的唯一解.

定义一元算子$A: [u_0, v_0 ]\rightarrow C[ J, {{\Bbb R}} ^k ]$如下

因此, $u$是原初值问题的解当且仅当$u$是$A$的不动点,即$A(u) = u.$

根据假设条件(1),经计算可得$\rm(i)$$u_0\leq A(u_0 ), \ A(v_0)\leq v_0$.

$\rm(ii)$运用条件(2)和(3),则当$u_0\leq x\leq y\leq v_0$时,有

其中$Lu(t) = \int_{0}^{t}e^{M_0(s-t)}(M_0+M_1)u(s){\rm d}s$.

再由条件(3)知, $L$是正有界线性算子.

另外,运用数学归纳法可以证明

则有

故

于是$L$的谱半径${ } r(L) = \lim_{n\rightarrow \infty}\|L^n \|^{\frac{1}{n}} = 0.$

因此应用推论4.1知,例4.1中的结论成立.