最近几十年,分数阶微积分被应用到许多领域,如:电路系统,流体力学问题,控制理论,人工智能系统等方面^{[1-7, 24-25]}.而分数阶微分系统的Mittag-Leffler稳定性问题作为分数阶微分系统研究的核心内容之一,也取得了丰富的成果. Mittag-Leffler稳定性是由李岩及其同事^[8-9]提出,他给出了分数阶非线性动力系统的Mittag-Leffler稳定性定义.随后,分数阶微分系统的Mittag-Leffler稳定性引起了国内外学者的广泛关注和深入研究,并取得了很多成果^[10-15].文献[10-11]中Liu给出了非线性分数阶中立退化系统和分数阶非线性系统的Mittag-Leffler稳定性的充分条件.文献[12]给出了多变量广义Mittag-Leffler稳定性的定义,并引入多变量分数阶Lyapunov直接法,同时提出了一种新的方法研究多变量分数阶非线性动力系统的广义Mittag-Leffler稳定性.文献[13]讨论了带反馈控制的网络微分方程的分数阶耦合系统的全局Mittag-Leffler稳定性.利用压缩映射原理, Lyapunov方法,图理论方法和不等式技术,给出了平衡点的存在性、唯一性和全局Mittag-Leffler稳定性的条件.文献[14-15]中分析了分数阶基因调控网络的Mittag-Leffler稳定性并且研究了分数阶神经网络的局部Mittag-Leffler稳定性和局部渐近$\omega$周期性.

在对实际系统的建模中,由于约束条件的存在,时滞和脉冲是必须要考虑的因素.到目前为止,对于脉冲分数阶微分方程的Mittag-Leffler稳定性已经取得了相关的结果^[16-20].现在,对于含有脉冲的相关文献主要集中在神经网络方面的研究,如在文献[16-18]中,作者使用Lyapunov方法给出了具有单侧Lipschitz条件的分数阶脉冲神经网络和分数阶脉冲神经网络的全局Mittag-Leffler稳定性的条件及可变时间脉冲分数阶神经网络的Mittag-Leffler稳定性分析.在文献[19]中研究了具有时变时滞分数阶脉冲神经网络的全局Mittag-Leffler稳定性及其同步问题.在非线性分数阶微分系统方面,文献[20]分析了含有脉冲的非线性分数阶微分系统的Mittag-Leffler稳定性的条件.对于分数阶神经网络已经出现了相关的应用,如文献[21]给出了分数阶神经网络模型并分析了分数阶神经网络的混沌行为.文献[22]研究了分数阶神经网络模型的分岔和混沌现象,同时给出了系统的稳定性条件.文献[23]通过对分数阶细胞神经网络和整数阶细胞神经网络的比较分析,说明了分数阶神经网络微分系统更加精确地描述系统的动力学行为.目前对于含有脉冲和时滞分数阶微分系统的Mittag-Leffler稳定性研究较少.受到现有研究成果的启发,在文献[20]的基础上,本文研究同时含有脉冲和时滞因素的分数阶非线性系统的Mittag-Leffler稳定性问题.讨论了含有脉冲的分数阶非线性时滞微分系统的全局Mittag-Leffler稳定性,研究的系统含有脉冲和时滞信息,在处理方法上有一定的改进,对现有结果进行了推广.

记${{\Bbb R}} ^{n}$是$n$维欧几里得空间,且$||x|| = \sum\limits_{i = 1}^{n}|x_{i}|$定义为$x\in {{\Bbb R}} ^{n}$的范数.记${{\Bbb R}} _{+} = [0, \infty)$且$t_{0}\in {{\Bbb R}} _{+}$.

定义2.1^[1]  设可积函数$f(t)\in C[t_{0}, +\infty), {\rm Re} \alpha>0,$则当$t>t_{0}$时,记

为函数$f(t)$的$\alpha$阶$\rm Riemann-liouville$分数阶积分.

定义2.2^[1]  对任意$t\geq t_{0}$, $q$阶$\rm Caputo$分数阶导数, $0<q<1$,下限为$t_{0}$,函数$f(t)\in C^{1}([t_{0}, b], {{\Bbb R}} ), b>t_{0},$被定义为

定义2.3^[1]  含有一个参数和两个参数的$\rm Mittag-Leffler$函数分别被定义为

我们考虑下面含有时滞的脉冲分数阶非线性系统

这里$^{C}_{t_{0}}D^q_{t}$是$q$阶Caputo分数阶导数, $0<q<1$. $a_{ij}$是常数, $x_{i}(t), f_{i}(t, x_{i}(t))$是状态量. $t_{k}, k = 1, 2, \cdots,$是脉冲扰动时刻满足: $t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{k}<t_{k+1}<\cdots ,$且$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}t_{k} = \infty$. $\tau\geq0$是时滞.函数$P_{ik}$表示在脉冲时刻$t_{k}$状态$x_{i}(t)$的突变函数.

记$J\subset {{\Bbb R}}$是一个区间.定义下列的函数类: $PC[J, {{\Bbb R}} ^{n}] = \{\sigma:J\rightarrow {{\Bbb R}} ^{n}:\sigma(t)$在$t_{k}\in J$点以外都是连续的, $\sigma(t^{-}_{k})$和$\sigma(t^{+}_{k})$存在,且$\sigma(t^{-}_{k}) = \sigma(t_{k})\}$; $PCB[J, {{\Bbb R}} ^{n}] = \{\sigma\in PC[J, {{\Bbb R}} ^{n}]:\sigma(t)$在$J$上是有界的$\}$.

设$\varphi_{0}\in PCB[[-\tau, 0], {{\Bbb R}} ^{n}]$.记$x(t) = x(t;t_{0}, \varphi_{0})\in {{\Bbb R}} ^{n}$是系统(2.1)的解满足初值条件

并且$x(t) = x(t;t_{0}, \varphi_{0}) = (x_{1}(t;t_{0}, \varphi_{0}), \cdots, x_{n}(t;t_{0}, \varphi_{0}))^{T}$是有第一类间断点$t_{k}$的分段连续函数, $k = 1, 2, \cdots$,这里$x_{i}(t)$是左连续的,即

作下列的假设

H2.1 对所有$u, v\in {{\Bbb R}} , u\neq v,$且$f_{i}(t, 0) = 0, i = 1, 2, \cdots, n$. $\exists$常数$L_{i}>0,$使得$|f_{i}(t, u)-f_{i}(t, v)|\leq L_{i}|u-v|$.

H2.2 函数$P_{ik}$在${{\Bbb R}}$上是连续的, $i = 1, 2, \cdots, n, \; k = 1, 2, \cdots$.

H2.3 $t_{0}<t_{1}<t_{2}<\cdots<t_{k}<t_{k+1}<\cdots$且$t_{k}\rightarrow\infty(k\rightarrow\infty)$.

定义2.4  系统(2.1)的零解是

$\rm (a)$稳定的,如果$\forall t_{0}\in {{\Bbb R}} _{+}, \forall\varepsilon>0, \exists\delta = \delta(t_{0}, \varepsilon)>0,$使得$\forall \varphi_{0}\in PC[[-\tau, 0], {{\Bbb R}} ^{n}]:||\varphi_{0}||_{\tau}<\delta$时,对$\forall t\geq t_{0}:||x(t;t_{0}, \varphi_{0})||<\varepsilon$;

$\rm (b)$全局吸引的,如果$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t;t_{0}, \varphi_{0}) = 0$;

$\rm (c)$全局渐近稳定,如果零解是稳定且全局吸引.

其中$\varphi\in PC[[-\tau, 0], {{\Bbb R}} ^{n}]$,定义$||\varphi||_{\tau} = \sup\limits_{-\tau\leq s\leq0}||\varphi(s)||$.在$\tau = \infty$的情况下

定义2.5  系统(2.1)的零解是全局$\rm Mittag-Leffler$稳定的,如果对$\varphi_{0}\in PC[[-\tau, 0], {{\Bbb R}} ^{n}],$$\exists$常数$c>0$和$d>0$,使得

这里$E_{q}$对应$\rm Mittag-Leffler$函数, $m(0) = 0, m(\varphi)\geq0,$且$m(\varphi)$关于$\varphi\in PC[[-\tau, 0], {{\Bbb R}} ^{n}]$是$\rm Lipschitzian$.

推论2.1^[9]  全局$\rm Mittag-Leffler$稳定是全局渐近稳定的.

进一步我们可以考虑分段连续Lyapunov函数$V:[t_{0}, \infty)\times {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} _{+}.$

定义2.6  函数$V:[t_{0}, \infty]\times {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}} _{+},$属于$V_{0}$类,如果下列的条件成立

$\rm 1)$函数$V$在$\bigcup\limits^{\infty}\limits_{k = 1}G_{k}$上是连续的且$V(t, 0) = 0, t\in[t_{0}, \infty)$.

$\rm 2)$函数$V$在每个集合$G_{k}$上关于$x$满足局部Lipschitz条件.

$\rm 3)$对每个$k = 1, 2, \cdots$且$x\in {{\Bbb R}} ^{n}$存在有限极限值,

$\rm 4)$对每个$k = 1, 2, \cdots$且$x\in {{\Bbb R}} ^{n}$下列的等式是成立的: $V(t^{-}_{k}, x) = V(t_{k}, x).$

其中$G_{k} = (t_{k-1}, t_{k})\times {{\Bbb R}} ^{n}, k = 1, 2, \cdots;G = \bigcup\limits^{\infty}\limits_{k = 1} G_{k}.$

定义2.7  给定一个函数$V\in V_{0}$.对$t\in[t_{k-1}, t_{k}), k = 1, 2, \cdots,$且$\varphi\in PC[[-\tau, 0], {{\Bbb R}} ^{n}],$$0<q<1$,在$\rm Caputo$意义下,对于系统(2.1), $q$阶右上导数定义为

这里$F(t, \varphi) = (F_{1}, F_{2}, \cdots, F_{n})^{T}$,且$F_{i}(t, \varphi) = -\sum\limits_{j = 1}^{n}a_{ij}\varphi_{j}(t)+f_{i}(t, \varphi_{i}(t-\tau)), i = 1, 2, \cdots, n.$

定义2.8^[19]  假设函数$V\in V_{0}$满足$V(t+s, \varphi(s))\leq V(t, \varphi(0)), s\in[-\tau, 0]$时,有

是一个常数.则称函数$V$满足$\rm Razumikhin条件$.

引理2.1^[11]  记$x(t)\in {{\Bbb R}} ^{n}$是一个可微函数向量.如果一个连续函数$V:[t_{0}, \infty]\times {{\Bbb R}} ^{n}\rightarrow {{\Bbb R}}$满足

那么

这里$0<\beta<1$, $\alpha$是一个正常数.

引理2.2^[1]  假设$0<\alpha<2, \beta$是一个任意复数且$\mu$是一个任意实数使得: $\frac{\pi\alpha}{2}<\mu<{\rm min}\{\pi, \pi\alpha\}$,那么对任意整数$p\geq1$,有下列的展开式

定理3.1  如果条件H2.1–H2.3成立,系统(2.1)满足

且函数$P_{ik}$满足: $P_{ik}(x_{i}(t_{k})) = -\sigma_{ik}x_{i}(t_{k}), 0<\sigma_{ik}<2,$$i = 1, 2, \cdots, n, k = 1, 2, \cdots.$那么系统(2.1)的零解是全局$\rm Mittag-Leffler$稳定的.

证  构造一个Lyapunov函数$V(t, x(t)) = \sum\limits^{n}\limits_{i = 1}|x_{i}(t)|.$则当$t\geq t_{0}$且$t = t_{k}$时,由定理的条件,我们得到

设$t\geq t_{0}$,且$t\in[t_{k-1}, t_{k}).$

如果$x_{i}(t) = 0, i = 1, 2, \cdots, n$,那么$^{C}D^{q}_{+}V(t, x(t)) = 0.$

如果$x_{i}(t)>0, i = 1, 2, \cdots, n$,那么

如果$x_{i}(t)<0, i = 1, 2, \cdots, n$,那么

因此, $^{C}_{t_{0}}D^{q}_{t}|x_{i}(t)| = sgn(x_{i}(t))^{C}_{t_{0}}D^{q}_{t}x_{i}(t).$

那么当$t\geq t_{0}$,且$t\in[t_{k-1}, t_{k})$,沿着系统(2.1)解的右上导数$^{C}D^{q}_{+}V(t, x(t))$,我们得到

这里$k_{1} = \min\limits_{1\leq i\leq n}(a_{ii}-\sum\limits^{n}\limits_{j = 1, j\neq i}|a_{ji}|)>0, k_{2} = \max\limits_{1\leq i\leq n}L_{i}>0.$

由以上的分析和系统(2.1)的任意解$x(t)$满足Razumikhin条件,即有

则有$^{C}D^{q}_{+}V(t, x(t))\leq-(k_{1}-k_{2})V(t, x(t))$.

由定理的条件,存在一个实数$\alpha>0$,使得：$k_{1}-k_{2}\geq\alpha$.有

那么由(3.1)式, (3.2)式和引理2.1得到

因此

记$m = ||\varphi_{0}||_{\tau}$,则$||x(t)||\leq mE_{q}(-\alpha(t-t_{0})^{q}), t>t_{0}.$这里$m\geq0$,且$m = 0$成立只有$\varphi_{0}(s) = 0, s\in[-\tau, 0].$

从而系统(2.1)的零解是全局$\rm Mittag-Leffler$稳定的.证明完成.

定理3.2  如果系统(2.1)满足定理3.1的条件,那么系统(2.1)的零解是全局$\rm Mittag-Leffler$稳定的,所以这个系统是全局渐近稳定的.

证  由于$E_{\alpha, \beta}(z) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(\alpha k+\beta)}, \alpha>0, \beta>0, z\in C.$则在$\alpha>0, \beta>0$的情况下,级数$\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(\alpha k+\beta)}$对于任意的$z\in C$是收敛的.所以级数$\sum\limits_{k = 0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(\alpha k+\beta)}$是有界的,从而$E_{q}(-\alpha(t-t_{0})^{q})$是有界的,即$||x(t)||\leq C_{1}.$

又知$0<q<1, \alpha>0, t>t_{0}$,则$\arg(-\alpha(t-t_{0})^{q}) = \pi,$由引理2.2有

可知$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}E_{q}(-\alpha(t-t_{0})^{q}) = 0$,所以$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}||x(t)|| = 0 .$

所以这个系统的零解是全局渐近稳定的.证明完成.

考虑下面含有时滞的脉冲分数阶非线性微分系统

这里$0<q<1, n = 2, f_{i}(t, x_{i}(t)) = \frac{1}{2}(|x_{i}+1|-|x_{i}-1|), i = 1, 2, \tau = 1.$

且

脉冲时刻使得: $0<t_{1}<t_{2}<\cdots$,且$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}t_{k} = \infty.$易证$L_{1} = L_{2} = 1, k_{1} = 1.1, k_{2} = 1$满足定理3.1的条件.又有$0<\sigma_{1k} = \frac{x_{1}(t_{k})-x_{1}(t^{+}_{k})}{x_{1}(t_{k})} = \frac{3}{4}<2, 0<\sigma_{2k} = \frac{x_{2}(t_{k})-x_{2}(t^{+}_{k})}{x_{2}(t_{k})} = \frac{2}{3}<2.$由定理3.1知:系统(4.1)的零解是全局$\rm Mittag-Leffler$稳定的.