在神经网络的实际应用中,一方面由于两个神经元之间信息传递不免存在时滞,另一方面由于受到诸如有限的开关速度等硬件的影响,时滞现象也是不可避免的,所以在神经网络研究中引入时滞得到了广泛的关注^[1-24].而人们在研究时滞神经网络时经典的时滞形式通常是$t-\tau$ (常时滞)或$t-\tau (t)$ (变时滞),参见文献[1-11].

最近几年,比例时滞(或称缩放时滞)神经网络引起了部分学者的关注^[12-21]. 2014年, Zhou在文献[14]中分析了具有比例时滞的细胞神经网络平衡点的唯一性和全局渐近稳定性,利用矩阵理论,通过构造适当的李雅普诺夫泛函,得到了具有比例时滞的细胞神经网络全局渐近稳定性的时滞相关和时滞无关的充分条件; 2016年, Liu在文献[17]中研究了一类多比例时滞非自治细胞神经网络的指数收敛问题.利用微分不等式分析方法,得到了系统的所有解都以指数形式收敛于零向量的充分条件; 2017年, Xu等人在文献[20]利用微分不等式分析技巧,得出了一类具有多比例时滞和泄漏时滞的中立型Hopfield神经网络的所有解指数收敛于零向量的充分条件; 2018年, Cui等人在文献[21]利用线性矩阵不等式,构造适当的李雅普诺夫泛函的方法,得出了一类具有比例时滞的惯性神经网络的全局渐近稳定性的几个充分条件.这些文献有的是利用构造李亚普诺夫函数(简称V函数)方法来分析神经网络的稳定性问题(尤其是全局渐近稳定性),这是十分经典的方法,但是这一方法的困难在于构造V函数没有一般的规律,技巧性较强,需要靠一定的经验积累;对于指数稳定性问题,这些文献是利用微分不等式技巧方法来进行分析,结论和证明过程都比较复杂.而Gronwall积分不等式^[25]在微分方程定性理论研究中也发挥极其重要的作用,恰当的使用将会使得问题的分析过程变得更加简单,因而得到不断的推广和广泛应用^[26-29].

本文基于以上文献的研究,利用Gronwall积分不等式研究如下Hopfield放缩时滞神经网络模型的稳定性问题,得到十分简洁的证明过程和结果.

(1.1) $ \begin{equation}\label{eq:sys1} \dot{\boldsymbol{x}}(t)=-\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(t))+\boldsymbol{C}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}(\tau t))+\boldsymbol{b}, \end{equation} $

其中$\boldsymbol{x}(t)=(x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t))^T $表示神经元的状态变量; $\boldsymbol{g}(x)=(g_1(x_1), g_2(x_2), $$ \cdots, $$ g_n(x_n))^T$表示从$\mathbb{R} ^n$到$\mathbb{R} ^n$的激活函数向量; $\boldsymbol{A} = {\rm{diag}}\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}$ ($a_i>0, i=1, 2, \cdots, a_n), $$\boldsymbol{B}=(b_{ij})_{n\times n}$, $\boldsymbol{C} =(c_{ij})_{n\times n}$分别表示对应神经元的连接权重系数矩阵,其中$a_i$表示第$i$个神经元的自反馈强度; $b_{ij}$表示第$j$个神经元的输出$f_j(x_j)$对于第$i$个神经元的输入的反馈连接强度; $c_{ij}$类似; $0< \tau < 1$,表示传输缩放时滞; $\boldsymbol{b}=(b_1, b_2, \cdots, b_n)^T $为偏置值.

这里我们定义$n\times n$阶矩阵$\boldsymbol{M}=(a_{ij})_{n\times n}$和$n$维向量$\boldsymbol{x}(t)=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T $的范数分别为:$\left\|\boldsymbol{M}\right\|=\max\limits_{1\leq j\leq n}\left\{\sum\limits_{i=1}^n\left|a_{ij}\right|\right\}$和$\| \boldsymbol{x}(t)\|=\sqrt{\boldsymbol{x}(t)^T\boldsymbol{x}(t)}$.

现设每一个激活函数$g_i\ (i=1, 2, \cdots, n)$满足以下条件: (H1) $g_i: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $连续可微; (H2) $g_i $在$\mathbb{R}$上有界,即$|g_i(x)|\leq G_i, \; x\in \mathbb{R}; \; $ (H3) $0 < |g_i(y)-g_i(x)|\leq L_i|y-x|, $设$L=\max\{L_1, L_2, \cdots, L_n\}.$

引理1.1  如果$\left\|\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\right\|L < 1$,且激活函数$\boldsymbol{g} $满足条件(H1)-(H3),那么系统(1.1)一定存在唯一平衡点.

证  如果$\boldsymbol{u}^*=(u_1^*, u_2^*, \cdots, u_n^*)^T $为系统(1.1)的平衡点,那么

(1.2) $\begin{equation}\label{eq:sys2}-a_i u_i^*+\sum\limits_{j=1}^n b_{ij} g_j(u_j^*)+\sum\limits_{j=1}^n c_{ij} g_j(u_j^*)+b_i = 0, i=1, 2, \cdots, n.\end{equation}$

因为$a_i>0$,所以(1.2)式可以表示为

(1.3) $\begin{equation}\label{eq:sys3}-u_i^*+\sum\limits_{j=1}^n \frac{(b_{ij}+c_{ij})}{a_i}g_j(u_j^*)+\frac{b_i}{a_i} = 0, i=1, 2, \cdots, n.\end{equation}$

(1.3)式的矩阵形式表示为

(1.4) $\begin{equation}\label{eq:sys4}-\boldsymbol{u}^*+\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})\boldsymbol{g}(\boldsymbol{u}^*)+\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b} = {\bf 0}, \end{equation}$

记$\boldsymbol{W}=(w_{ij})_{n\times n}=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}), \boldsymbol{I}=(I_{i})_{n\times 1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{b}$,则(1.4)式可表示为

(1.5) $\begin{equation}\label{eq:sys5}\boldsymbol{u}^*=\boldsymbol{W}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{u}^*)+\boldsymbol{I}.\end{equation}$

为了证明(1.5)式成立,做映射

(1.6) $\begin{equation}\label{eq:sys6}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{W}\boldsymbol{g}(\boldsymbol{u})+\boldsymbol{I}.\end{equation}$

由已知条件, $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{u})$是$\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} ^n$的连续映射,所以$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u})$也是$\mathbb{R} ^n\rightarrow \mathbb{R} ^n$的连续映射.根据前面$n$维向量范数的定义,以及由假设条件$(\mathrm H2)$,取$G=\max(G_i)$,那么有

$ \begin{eqnarray*} \|\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u})\|&=&\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^nw_{ji}g_i(u_i)+I_i\right)^2}\\ &\leq&\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|w_{ji}\right|\cdot G_i+\left|I_i\right|\right)^2} \leq\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|w_{ji}\right|\cdot G+\left|I_i\right|\right)^2}. \end{eqnarray*} $

记

$\rho=\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|w_{ji}\right|\cdot G+\left|I_i\right|\right)^2}, $

则$\Omega=\{x\vert\left\|x\right\|\leq\rho\}$是一个有界凸集,并且$\boldsymbol{F}:\Omega\rightarrow\Omega$是连续映射,由Brouwer不动点定理可知,存在$\boldsymbol{u}^*\in \Omega$,使得$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^\ast)=\boldsymbol{u}^\ast$,即(1.5)式成立,所以系统(1.1)存在一个平衡点$\boldsymbol{u}^\ast$.

下面证明平衡点是唯一的.

假设另有$\boldsymbol{v}^*=(v_1^*, v_2^*, \cdots, v_n^*)^T $也是系统(1.1)的平衡点,即$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{v}^\ast)=\boldsymbol{v}^\ast$,那么

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^n\left|u_j^\ast-v_j^\ast\right|&=&\sum\limits_{j=1}^n\left|\sum\limits_{i=1}^nw_{ji}(g_i(u_i^\ast)-g_i(v_i^\ast))\right| \leq\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|w_{ji}\right|\left|g_i(u_i^\ast)-g_i(v_i^\ast)\right|\right)\\ &\leq&\sum\limits_{j=1}^n\left(\sum\limits_{i=1}^n\left|w_{ji}\right|L_i\left|u_i^\ast-v_i^\ast\right|\right) =\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^n\left|w_{ji}\right|L_i\left|u_i^\ast-v_i^\ast\right|\right)~~~~~\\ &\leq&\sum\limits_{i=1}^n\left(\left\|\boldsymbol{W}\right\|L\left|u_i^\ast-v_i^\ast\right|\right) =\left\|\boldsymbol{W}\right\|L\sum\limits_{i=1}^n\left(\left|u_i^\ast-v_i^\ast\right|\right), \end{eqnarray*} $

即

$\sum\limits_{j=1}^n\left|u_j^\ast-v_j^\ast\right|(1-\left\|\boldsymbol{W}\right\|L)\leq0, $

由前面的证明知$\boldsymbol{W}=(w_{ij})_{n\times }=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})$,再由已知条件有$1-\left\|\boldsymbol{W}\right\|L >0$,于是$\sum\limits_{j=1}^n\left|u_j^\ast-v_j^\ast\right|\leq0$,从而$\sum\limits_{j=1}^n\left|u_j^\ast-v_j^\ast\right|=0$,所以$\boldsymbol{v} ^*=\boldsymbol{u}^*$,即平衡点是唯一的.

设系统(1.1)的平衡点为$\boldsymbol{x}^\ast$,做平移变换,令$\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{x}^\ast.$那么系统(1.1)可变为

(1.7) $\begin{equation}\label{eq:sys7} \dot{\boldsymbol{y}}(t)=-\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(t))+\boldsymbol{C}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(\tau t)), \end{equation} $

其中, $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} ^*)-\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x}^*)$,其它各个符号的含义与系统(1.1)相同,显然$\boldsymbol{f}({\bf 0})={\bf 0}$,并且满足李普希兹条件:$0 < |f_i(y)-f_i(x)|\leq L_i|y-x|$.

引理1.2   (Gronwall不等式)^[25]  设K为非负常数, $u(t)$和$g(t)$为在区间$\alpha \leq t \leq \beta$上的非负连续函数,且满足不等式

$u(t)\leq K+\int_\alpha^tu(s)g(s){\rm d}s, \;\alpha\leq t\leq\beta , $

则有

$u(t)\leq K\cdot\exp\left[\int_\alpha^tg(s){\rm d}s\right], \;\alpha\leq t\leq\beta .$

为了获得时滞情形的结果,我们先来分析无时滞的情形:

(2.1) $\begin{equation}\label{eq2:sys1}\dot{\boldsymbol{y}}(t)=-\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}(t)+\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(t)), \end{equation}$

系统(2.1)的线性系统为

(2.2) $\begin{equation}\label{eq2:sys2}\dot{\boldsymbol{y}}(t)=-\boldsymbol{A}\boldsymbol{y}(t), \end{equation}$

线性系统(2.2)的基解矩阵为

$\begin{eqnarray*}{\rm exp}(-\boldsymbol{A}t)=\left[\begin{array}{cccc}e^{-a_1t}&&0\\&e^{-a_2t}&&\\&&\cdots&\\0&&e^{-a_nt}\end{array}\right], \end{eqnarray*}$

当$t=0$时,取非零初值$\boldsymbol{\eta}=\left(\eta_1, \; \eta_2, \cdots\; \eta_n\right)^T$,那么系统(2.2)的解可以表示为

$\boldsymbol{Y}(t)=\left(\eta_1e^{-a_1t}, \;\eta_2e^{-a_2t}, \cdots\;\eta_ne^{-a_nt}\right)^T, $

取范数

$\|\boldsymbol{Y}(t)\|=\sqrt{\left(\eta_1e^{-a_1t}\right)^2+\left(\eta_2e^{-a_2t}\right)^2+\cdots+\left(\eta_ne^{-a_nt}\right)^2}.$

为了方便,做以下记号:

(Ⅰ) $M=\sqrt n\cdot\max\{\vert\eta_1\vert, \; \vert\eta_2\vert, \cdots\; \vert\eta_n\vert\}$,显然, $M>0$.

(Ⅱ) $\sigma=\min\{\vert a_1\vert, \; \vert a_2\vert, \cdots\; \vert a_n\vert\}$.

于是可得$\|\boldsymbol{Y}(t)\|\leq Me^{-\sigma t}$.

定理2.1  激活函数$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(t))$满足利普希茨条件下,当$L\| \boldsymbol{B}\|-\sigma<0$时,系统(2.1)的零解是全局指数稳定的.

证  设$\boldsymbol{Y}(t)$为方程(2.2)的解,由常数变易法得方程(2.1)的解可以表示为

(2.3) $\begin{equation}\label{eq2:sys3}\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{Y}(t)+\int_0^te^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s)){\rm d}s, \end{equation}$

其中$\boldsymbol{Y}(t)=e^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{\eta}$.对式(2.3)两边取范数

$\begin{eqnarray*}\|\boldsymbol{y}(t)\|&\leq&\|\boldsymbol{Y}(t)\|+\int_0^t\| e^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\| {\rm d}s \\&\leq& Me^{-\sigma t}+\int_0^t\| e^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\|\| \boldsymbol{B}\|\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\| {\rm d}s\\&\leq &Me^{-\sigma t}+L\| \boldsymbol{B}\|\int_0^t e^{-\sigma(t-s)}\|\boldsymbol{y}(s)\| {\rm d}s .\end{eqnarray*}$

两边同时乘以$e^{\sigma t}$,可得

$\begin{eqnarray*}e^{\sigma t}\|\boldsymbol{y}(t)\|\leq M+L\| \boldsymbol{B}\|\int_0^te^{\sigma s}\|\boldsymbol{y}(s)\| {\rm d}s.\end{eqnarray*}$

根据引理1.2(Gronwall不等式)得

$\begin{eqnarray*}e^{\sigma t}\|\boldsymbol{y}(t)\|\leq Me^{L\| \boldsymbol{B}\|\int_0^t{\rm d}s}=Me^{L\| \boldsymbol{B}\| t}.\end{eqnarray*}$

两边同时除以$e^{\sigma t}$,得$\|\boldsymbol{y}(t)\|\leq Me^{(L\| \boldsymbol{B}\|-\sigma)t}$,由已知条件$L\| \boldsymbol{B}\|-\sigma<0$,可得系统(2.1)的零解是全局指数稳定的.定理2.1得证.

现在我们来分析具有时滞的情况,对于系统(1.7),我们有如下定理:

定理2.2  激活函数$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(t))$满足利普希茨条件,比例时滞$\tau\geq\frac{\sqrt5-1}2$,当$L(\| \boldsymbol{B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{C}\|)$$(1+\tau)-\sigma<0$时,系统(1.7)的零解是全局指数稳定的.

证  当$t=0$时,取非零初值$\boldsymbol{\eta}=(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)^T$,系统(1.7)的解可以表示为

(2.4) $\begin{eqnarray}\label{eq2:sys4}\boldsymbol{y}(t)&=&e^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{\eta}+\int_0^te^{-\boldsymbol{A}(t-s)}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))+\boldsymbol{C}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(\tau s))){\rm d}s \\&=&e^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{\eta}+\int_0^te^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s)){\rm d}s+\int_0^te^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\boldsymbol{C}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(\tau s)){\rm d}s \\&=&e^{-\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{\eta}+\int_0^te^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s)){\rm d}s+\tau^{-1}\int_0^{\tau t}e^{-\boldsymbol{A}(t-s/\tau)}\boldsymbol{C}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s)){\rm d}s.\end{eqnarray}$

因为$\tau\geq\frac{\sqrt5-1}2$,所以$\frac1\tau\leq1+\tau$,对(2.4)式两边取范数,有

$\begin{eqnarray*}\|\boldsymbol{y}(t)\|&\leq& e^{-\bf\sigma\bf t}\|\boldsymbol{\eta}\|+\int_0^t\| e^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\boldsymbol{B}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\| {\rm d}s+\tau^{-1}\int_0^{\tau t}\| e^{-\boldsymbol{A}(t-s/\tau)}\boldsymbol{C}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\| {\rm d}s\\&\leq& e^{-\sigma\mathrm t}\|\boldsymbol{\eta}\|+\int_0^t\| e^{-\boldsymbol{A}(t-s)}\|\| \boldsymbol{B}\|\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\|{\rm d}s\\&+\tau^{-1}\int_0^{\tau t}\| e^{-\boldsymbol{A}(t-s/\tau)}\|\| \boldsymbol{C}\|\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\| {\rm d}s\\&\leq& e^{-\sigma t}\|\boldsymbol{\eta}\|+e^{-\sigma t}\| \boldsymbol{B}\|\int_0^te^{\sigma s}\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\|{\rm d}s\\&+\tau^{-1}e^{-\sigma t}\| \boldsymbol{C}\|\int_0^{\tau t}e^{\sigma s/\tau}\|\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}(s))\| {\rm d}s\\&\leq& e^{-\sigma t}\|\boldsymbol{\eta}\|+e^{-\sigma t}\| \boldsymbol{B}\|\int_0^{(1+\tau)t}e^{\sigma s} L\|\boldsymbol{y}(s)\|{\rm d}s\\&+\tau^{-1}e^{-\sigma t}\| \boldsymbol{C}\|\int_0^{(1+\tau)t}e^{\sigma (1+\tau)s}L\|\boldsymbol{y}(s)\| {\rm d}s\\&\leq& e^{-\sigma t}\|\boldsymbol{\eta}\|+e^{-\sigma t}L(\| \boldsymbol{B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{C}\|)\int_0^{(1+\tau)t}e^{\sigma \tau s}e^{\sigma s}\|\boldsymbol{y}(s)\| {\rm d}s.\end{eqnarray*}$

两边同时乘以$e^{\sigma t}$,可得

$\begin{eqnarray*}e^{\sigma t}\|\boldsymbol{y}(t)\|\leq\|\boldsymbol{\eta}\|+L(\| \boldsymbol{B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{C}\|)\int_0^{(1+\tau)t}e^{\sigma \tau s}e^{\sigma s}\|\boldsymbol{y}(s)\|{\rm d}s.\end{eqnarray*}$

根据引理1.2(Gronwall不等式)得

$\begin{eqnarray*}e^{\sigma t}\|\boldsymbol{y}(t)\|\leq\|\boldsymbol{\eta}\| e^{L(\| \boldsymbol{ B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{ C}\|)\int_0^{(1+\tau)t}e^{\sigma \tau s}{\rm d}s}=\|\boldsymbol{\eta}\| e^{L(\| \boldsymbol{ B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{ C}\|)(1+\tau)t}, \end{eqnarray*}$

所以

$\begin{eqnarray*}\|\boldsymbol{y}(t)\|\leq\|\boldsymbol{\eta}\| e^{L(\| \boldsymbol{ B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{ C}\|)(1+\tau)t}e^{-\sigma t}=\|\boldsymbol{\eta}\| e^{(L(\| \boldsymbol{ B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{ C}\|)(1+\tau)-\sigma)t}.\end{eqnarray*}$

由于$L(\| \boldsymbol{B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{C}\|)(1+\tau)-\sigma<0$,所以时滞系统(1.7)是全局指数稳定的.

这一节,我们用一个实际例子来验证定理结果的有效性.

例1  考虑如下无时滞二维神经网络模型:

(3.1) $\begin{eqnarray} \label{example1}\left(\begin{array}{c}\dot x(t)\\\dot y(t)\end{array}\right)=-\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)+\boldsymbol{B}\left(\begin{array}{c}f_1(x(t))\\f_2(x(t))\end{array}\right), \end{eqnarray}$

其中,激活函数$f_i(u)={\rm arc}\tan(u)/(0.5\pi), \; i=1, 2$.显然满足李普希兹条件,并且$L=\frac2\pi$,如果我们取$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1 \end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}= \left[\begin{array}{cc}0.5&0.6\\0.3&-0.5 \end{array}\right]$,那么, $\sigma=1$, $\| \boldsymbol{B}\|=1.1$, $L\| \boldsymbol{B}\|-\sigma=-0.2994<0$,根据定理2.1,系统(3.1)的零解是指数稳定的.当$t=0$时,初值取$(x(0), y(0))^T=(5, 5)^T$,状态轨线图如图 1所示.

如果我们取$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}5&27\\-19&-7\end{array}\right]$,那么$\sigma=1$, $\| \boldsymbol{B}\|=34$, $L\| \boldsymbol{B}\|-\sigma\approx 20.6560>0$,当$t=0$时,初值取$(x(0), y(0))^T=(5, 5)^T$,状态轨线图如图 2所示,系统(3.1)的零解是稳定的,但不是指数稳定的.

例2  考虑如下具有比例时滞的二维神经网络模型：

(3.2) $\begin{eqnarray} \label{example2}\left(\begin{array}{c}\dot x(t)\\\dot y(t)\end{array}\right)=-\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}x(t)\\y(t)\end{array}\right)+\boldsymbol{B}\left(\begin{array}{c}f_1(x(t))\\f_2(y(t))\end{array}\right)+\boldsymbol{C}\left(\begin{array}{c}f_1(x(\tau t))\\f_2(y(\tau t))\end{array}\right), \end{eqnarray}$

其中,激活函数$\displaystyle{f_i(u)=\frac{e^u-1}{e^u+1}}, i=1, 2$.显然满足李普希兹条件,并且$L=0.5$,如果我们取$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} 2&0\\0&2\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc} 0.3&0.5\\0.1&-0.3\end{array}\right]$, $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc} 0.1&-0.3\\0.2&-0.1\end{array}\right]$,放缩时滞比例系数$\tau=0.7$,那么, $\sigma=2$, $\| \boldsymbol{B}\|=0.8$, $\|\boldsymbol{C}\|=0.4$, $L(\|\boldsymbol{B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{C}\|)(1+\tau)-\sigma \approx -0.7657 <0$,根据定理2.2,系统(3.2)的零解是指数稳定的,当$t=0$时,初值取$(x(0), y(0))^T=(5, -5)^T$,系统状态轨线图如图 3所示.

如果我们取$\boldsymbol{A}= \left[\begin{array}{cc}2&0\\0&2\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc}1.7&1\\3.5&-1.4\end{array}\right]$, $\boldsymbol{C}= \left[\begin{array}{cc}1.8&-3\\2&-1.3\end{array}\right]$,放缩时滞比例系数$\tau=0.7$,那么, $\sigma=2$, $\| \boldsymbol{B}\|=5.2$, $\| \boldsymbol{C}\|=4.3$, $L(\| \boldsymbol{B}\|+\tau^{-1}\| \boldsymbol{C}\|)(1+\tau)-\sigma \approx 7.6414>0$,当$t=0$时,初值取$(x(0), y(0))^T=(2.5, -2.5)^T$,系统状态轨线图如图 4所示,显然此时系统(3.2)是稳定的,但不是指数稳定的.