分数布朗运动,由于具有平稳增量性,自相似性和长记忆性,被广泛地应用在物理学、电子通信、图像过程、数量金融等领域的随机模拟中.然而该过程并不能很好地刻画所有的随机现象.如当湍流中大增量不具有平稳性时,运用分数布朗运动作为随机模型来刻画这种随机现象是不精确的.为了处理这种情况,文献[5]引入了双分数布朗运动.随后,学者们对它的样本轨道性质进行了研究,如文献[11, 15-16, 18]等.但与分数布朗运动的研究相比,对双分数布朗运动的研究还不完善,主要是因为该过程复杂的相依结构和不便于表示的随机积分表达式.基于此,本文将继续对双分数布朗运动的样本轨道性质(如自相交局部时)进行研究.双分数布朗运动的定义和相关性质简要回顾如下.

定义1.1  设$ B^{H, K}_0 = \{B^{H, K}_0(t), t \geq 0 \} $是取值于$ {{\Bbb R}} $中Hurst指数为$ H\in (0, 1) $和$ K\in(0, 1] $的双分数布朗运动,即, $ B^{H, K}_0 $是一实值的中心高斯随机过程,其协方差函数满足:对任意$ s, t \geq 0 $,有

(1.1) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}(B^{H, K}_0(s)B^{H, K}_0(t)) = \frac{1}{2^K}[(t^{2H}+s^{2H})^K-|t-s|^{2HK}]. \end{eqnarray} $

特别地,当$ K = 1 $时, $ B_0^{H, K} $是Hurst指数为$ H\in (0, 1) $的分数布朗运动.根据文献[5],不难发现, $ B_0^{H, K} $是$ HK $ -自相似过程,且满足如下估计:对$ T>0 $和$ s, t\in [0, T] $,有

(1.2) $ \begin{eqnarray} 2^{-K}|t-s|^{2HK}\leq {\Bbb E}[(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))^2]\leq 2^{1-K}|t-s|^{2HK}, \end{eqnarray} $

以及它的轨道是$ \delta $阶H$ \rm{\ddot{o}} $lder连续的,其中$ \delta<HK $.

设$ B^{H, K} = \{B^{H, K}(t), t \geq 0\} $为取值于$ {{\Bbb R}} ^d $上的$ (1, d) $ -高斯随机场,其定义为

$ B^{H, K}(t) = (B^{H, K}_1(t), \cdots , B^{H, K}_d(t)), $

其中$ B^{H, K}_1, \cdots , B^{H, K}_d $相互独立且与$ B^{H, K}_0 $同分布.我们称高斯过程$ B^{H, K} $为取值于$ {{\Bbb R}} ^d $中Hurst指数为$ H\in (0, 1) $和$ K\in(0, 1] $的$ d $维双分数布朗运动.

另一方面,自相交局部时是随机场理论研究的重要内容,得到了众多学者的关注和研究.特别是自相交局部时与布朗运动、分数布朗运动等相结合时,得到了广泛而系统的研究,详细参见文献[1, 10, 14, 19]等.近期,有学者将自相交局部时与双分数布朗运动相结合并进行了研究,例如, Jiang和Wang^[9]研究了双分数布朗运动自相交局部时的存在性和光滑性. Chen等^[3]研究了一类$ N $维时间中多参数高斯随机场的自相交局部时的存在性和光滑性,该类高斯随机场包含了双分数布朗运动等随机过程.关于双分数布朗运动的其它局部时可参见文献[16, 20]等研究.

在分数布朗运动自相交局部时的研究中,根据文献[3]中的结论,不难得到:当$ Hd<1 $时,分数布朗运动的非重整化自相交局部时在$ L^2 $意义下存在.而文献[7]在对自相交局部时进行重整化后,在条件$ Hd<\frac{3}{2} $下获得了重整化自相交局部时在$ L^2 $意义下存在.这两种存在性的研究展示了重整化与非重整化自相交局部时之间存在差异.基于这个差异,文献[2]讨论了双分数布朗运动的重整化自相交局部时的存在性.而对双分数布朗运动重整化自相交局部时的光滑性研究还没有涉及.受文献[2-3, 7, 16]的启发,本文考虑$ d $维双分数布朗运动的重整化自相交局部时的光滑性问题(其中$ d\geq 2 $).

在本文中,记$ L(H, K, T) $为双分数布朗运动$ B^{H, K}(t) $的自相交局部时,且定义为

(1.3) $ \begin{eqnarray} L(H, K, T) = \int^T_0\int^t_0\delta(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s)){\rm d}s{\rm d}t, \ T>0, \end{eqnarray} $

其中$ {\delta}(x) $是狄拉克delta函数,且$ {\delta}(x) $可通过如下式子来近似:

(1.4) $ \begin{eqnarray} p_{\varepsilon}(x) = (2\pi \varepsilon)^{-\frac{d}{2}}\exp\Big\{-\frac{|x|^2}{2\varepsilon}\Big\} = (2\pi)^{-d}\int_{{{\Bbb R}} ^d}\exp\Big\{i<\xi, x>-\frac{1}{2}\varepsilon {|\xi|}^2\Big\}{\rm d}\xi . \end{eqnarray} $

根据(1.3)式,记$ L_{\varepsilon}(H, K, T) $为双分数布朗运动自相交局部时的近似,且定义为

(1.5) $ \begin{eqnarray} L_{\varepsilon}(H, K, T) = \int^T_0\int^t_0p_{\varepsilon}(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s)){\rm d}s{\rm d}t. \end{eqnarray} $

记$ \ell(H, K, T) $为双分数布朗运动的重整化自相交局部时,且有

$ \ell(H, K, T) = \int^T_0\int^t_0\delta(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s)){\rm d}s{\rm d}t-{\Bbb E}\Big(\int^T_0\int^t_0\delta(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s)){\rm d}s{\rm d}t\Big). $

并且对任意的$ \alpha>0 $,记$ D^{\alpha, 2} $为Meyer-Watanabe意义下光滑函数空间,其表达形式为

(1.6) $ \begin{eqnarray} D^{\alpha, 2} = \bigg\{F\in L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P): F = {\Bbb E}[F]+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}I_n(f_n) \ \mbox{且} \ \sum\limits_{n = 0}^{\infty}n^{\alpha} {\Bbb E}(|I_n(f_n)|^2)<\infty\bigg \}, \end{eqnarray} $

其中$ I_n(\cdot) $为多重随机积分, $ f_n\in L^2(\Omega^n) $为对称的平方可积核(我们将在第2节给出相关知识).若随机函数$ F\in D^{\alpha, 2} $,称$ F $为光滑的.关于光滑函数空间的更多细节可参见文献[12].

本文剩余部分内容安排如下:第2节运用Malliavin分析给出$ B^{H, K} $的重整化自相交局部时$ \ell(H, K, T) $的混沌展开;第3节运用上节中得到的混沌展开,并结合文献[2]中结论,给出$ B^{H, K} $的重整化自相交局部时$ \ell(H, K, T) $在Meyer-Watanabe意义下的光滑性.其结果推广了文献[8]中分数布朗运动的相关结果.

本文恒以$ C $表示为仅依赖于$ H, K $的非特定的有限正常数,可表示不同的常数.特定的常数将用$ C_1, C_2, \cdots $来表示.

本节中,我们将给出双分数布朗运动重整化自相交局部时的混沌展开.关于高斯过程的混沌展开,我们简要回顾如下,具体细节可参见文献[12]等.假设$ \Omega $为$ [0, T] $上实值连续函数$ \omega $的空间,则$ \Omega $是关于范数的Banach空间.记$ {\mathfrak F} $为$ \Omega $上的$ \sigma $ -代数, $ P $为可测空间$ (\Omega, {\mathfrak F}) $上的概率测度, $ {\Bbb E} $为概率空间$ (\Omega, {\mathfrak F}, P) $上的期望, $ L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P) $为所有平方可积函数构成的集合,即对任意$ F \in L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P) $,有

$ {\Bbb E}(F^2) = \int_{\Omega}|F(\Omega)|^2P({\rm d}\omega)<\infty. $

假设$ X = \{X(t), t\in[0, T]\} $为概率空间$ (\Omega, {\mathfrak F}, P) $上的高斯过程.若$ p_n(x) $是$ x $的$ n $阶多项式,则称$ p_n(X(t)) $为$ X $在时刻$ t\in[0, T] $处的多项式函数.记$ {\cal P}_n $为集合$ \{ p_m(X(t)):\ 0\leq m\leq n, t\in [0, T]\} $的$ L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P) $范数生成的完备空间.显然$ {\cal P}_n $是$ L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P) $的子空间.若记$ {\cal C}_n $为$ {\cal P}_{n-1} $在$ {\cal P}_n $中的正交补,则$ L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P) $是$ {\cal C}_n $的直和,即

(2.1) $ \begin{equation} L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P) = \bigoplus\limits_{n = 0}^{\infty}{\cal C}_n. \end{equation} $

根据上述描述,对于$ L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P) $中任意函数$ F $,则存在一个序列$ F_n\in {\cal C}_n, n = 0, 1, 2, \cdots $,使得

(2.2) $ \begin{equation} F = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}F_n. \end{equation} $

(2.2)式称为$ F $的混沌展开,其中$ F_n $称为$ F $的$ n $阶混沌.显然,下面等式成立

(2.3) $ \begin{equation} {\Bbb E}(|F|^2) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}{\Bbb E}(|F_n|^2). \end{equation} $

由(2.2)和(2.3)式,对任意的$ \alpha>0 $,记$ D^{\alpha, 2} $为Meyer-Watanabe意义下光滑函数空间,其表达形式可写为

(2.4) $ \begin{equation} D^{\alpha, 2} = \bigg\{F\in L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P): F = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}F_n \ \mbox{且} \ \sum\limits_{n = 0}^{\infty}n^{\alpha} {\Bbb E}(|F_n|^2)<\infty \bigg\}, \end{equation} $

其中$ F_n $是$ F $的$ n $阶混沌.若随机函数$ F\in D^{\alpha, 2} $,则称$ F $为光滑的.

在多重随机积分的情形下, $ \Omega $上任意平方可积函数$ F $的混沌展开为

(2.5) $ \begin{equation} F = {\Bbb E}[F]+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}I_n(f_n), \end{equation} $

其中$ I_n(\cdot) $为多重随机积分, $ f_n\in L^2(\Omega^n) $为对称的平方可积核.其相应的光滑函数空间$ D^{\alpha, 2} $为

(2.6) $ \begin{equation} D^{\alpha, 2} = \bigg\{F\in L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P): F = {\Bbb E}[F]+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}I_n(f_n) \ \mbox{且} \ \sum\limits_{n = 0}^{\infty}n^{\alpha} {\Bbb E}(|I_n(f_n)|^2)<\infty \bigg\}. \end{equation} $

根据(2.6)式,要获得双分数布朗运动重整化自相交局部时的光滑性,只需验证重整化自相交局部时$ \ell(H, K, T) $属于$ D^{\alpha, 2} $,即$ \sum\limits_{n = 0}^{\infty}n^{\alpha} {\Bbb E}(|I_n(f_n)|^2)<\infty $成立即可.

给定多重指标$ {\rm I}_n = (i_1, i_2, \cdots , i_n), \mbox{其中} \ 1\leq i_j\leq d, j = 1, 2, \cdots , n $,记

$ \Psi({\rm I}_n)={\rm {\Bbb E}}[X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_n} ], $

其中$ X_i $是相互独立的标准正态随机变量.若$ n = 2m $, $ {\rm I}_{2m} $分量的个数$ k $也是偶数,记为$ 2m_k, \ k = 1, 2, \cdots , d $,则

$ \Psi({\rm I}_{2m}) = \frac{(2m_1)!\cdots (2m_d)!}{(m_1)!\cdots (m_d)!2^m}. $

若$ n $为奇数,则$ \Psi({\rm I}_n) = 0 $ (参见文献[7]).

设$ {\cal H} $为$ {{\Bbb R}} ^+ $上阶梯函数集合$ {\cal E} $关于内积的闭包所得到的Hilbert空间,其内积为

$ \langle(I_{[0, t_1]}, \cdots , I_{[0, t_d]}), (I_{[0, s_1]}, \cdots , I_{[0, s_d]})\rangle_{{\cal H}} = \frac{1}{2^{Kd}}\prod\limits_{i = 1}^{d}[(t_i^{2H}+s_i^{2H})^K-|t_i-s_i|^{2HK}]. $

根据文献[5],映射$ I_{[0, t]}\rightarrow B^{H, K}(t) $是Hilbert空间$ {\cal H} $与$ B^{H, K} $生成的高斯空间之间的线性等距同构.我们记$ I_n $为具有范数$ \sqrt{n!}||\cdot||_{{\cal H}^{\bigotimes n}} $的对称张量积$ {\cal H}^{\bigotimes n} $与$ B^{H, K} $的$ n $阶维纳混沌之间的等距同构多重随机积分.

由(1.5)式, (2.5)式和Stroock公式(见参考文献[13, 17]),得双分数布朗运动自相交局部时的混沌展开为

(2.7) $ \begin{equation} L_{\varepsilon}(H, K, T) = {\Bbb E}[L_{\varepsilon}(H, K, T)]+\sum\limits_{n = 1}^{\infty}I_n(f_{n, \varepsilon}), \end{equation} $

其中

(2.8) $ \begin{equation} f_{n, \varepsilon} = \frac{1}{n!}\int_0^T\int_0^t{\rm {\Bbb E}}\Big[D_{r_1, \cdots , r_n}^{i_1, \cdots , i_n}p_{\varepsilon}(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s))\Big]{\rm d}s{\rm d}t, \end{equation} $

这里, $ D $为导数算子, $ i_j\in\{1, 2, \cdots , d\} $, $ r_j \in [0, T] $.

下面,我们将根据(1.5)式和Stroock公式给出$ f_{n, \varepsilon} $的表达式.由于

(2.9) $ \begin{equation} {\rm {\Bbb E}}[D_{r_1, \cdots , r_n}^{i_1, \cdots , i_n}p_{\varepsilon}(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s))] = {\rm {\Bbb E}}\Big[\partial^{i_1} \cdots \partial^{i_n}p_{\varepsilon}(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s))\Big]\prod\limits_{j = 1}^{n}1_{[s, t]}(r_j), \end{equation} $

则运用Fourier变换,可得(2.9)式右边的期望为

(2.10) $ \begin{eqnarray} && {\rm {\Bbb E}}\Big[\partial^{i_1} \cdots \partial^{i_n}p_{\varepsilon}(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s))\Big] \\ & = &\frac{i^n}{(2\pi)^d}\int_{{{\Bbb R}} ^d}\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_n}{\rm E}\Big[\exp\{i\langle\xi, B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s)\rangle\}\Big]\exp\Big\{-\frac{\varepsilon|\xi|^2}{2}\Big\}{\rm d}\xi \\ & = &\frac{i^n}{(2\pi)^d}\int_{{{\Bbb R}} ^d}\xi_{i_1}\cdots \xi_{i_n}\exp\Big\{-\frac{|\xi|^2}{2}\Big[{\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))+\varepsilon\Big] \Big\}{\rm d}\xi \\ & = &i^n(2\pi)^{-\frac{d}{2}}\Big({\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))+\varepsilon\Big)^{-\frac{d}{2}-\frac{n}{2}}{\rm E}[X_{i_1} X_{i_2} \cdots X_{i_n} ]. \end{eqnarray} $

由(2.9)式和(2.10)式,得

(2.11) $ \begin{eqnarray} && {\rm {\Bbb E}}\Big[D_{r_1, \cdots , r_n}^{i_1, \cdots , i_n}p_{\varepsilon}(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s))\Big] \\ & = &i^n(2\pi)^{-\frac{d}{2}}\Big({\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))+\varepsilon\Big)^{-\frac{d}{2}-\frac{n}{2}}\Psi({\rm I}_n)\prod\limits_{j = 1}^{n}1_{[s, t]}(r_j). \end{eqnarray} $

又由于当$ n $为奇数时, $ \Psi({\rm I}_n) = 0 $,则(2.11)式可写为

(2.12) $ \begin{eqnarray} && {\rm {\Bbb E}}\Big[D_{r_1, \cdots , r_n}^{i_1, \cdots , i_n}p_{\varepsilon}(B^{H, K}(t)-B^{H, K}(s))\Big] \\ & = &i^{2m}(2\pi)^{-\frac{d}{2}}\Big({\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))+\varepsilon\Big)^{-\frac{d}{2}-m}\Psi({\rm I}_{2m})\prod\limits_{j = 1}^{2m}1_{[s, t]}(r_j). \end{eqnarray} $

因此, (2.8)式为

(2.13) $ \begin{eqnarray} f_{2m, \varepsilon} & = &\frac{1}{(2m)!}\int_0^T\int_0^ti^{2m}(2\pi)^{-\frac{d}{2}}\Big({\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))+\varepsilon\Big)^{-\frac{d}{2}-m} \\ && \times \Psi({\rm I}_{2m})\prod\limits_{j = 1}^{2m}1_{[s, t]}(r_j){\rm d}t{\rm d}s \\ & = &\frac{(-1)^m\Psi({\rm I}_{2m})}{(2m)!(2\pi)^{\frac{d}{2}}}\int_0^T\int_0^t\Big({\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))+\varepsilon\Big)^{-\frac{d}{2}-m} \\ &&\times \prod\limits_{j = 1}^{2m}1_{[s, t]}(r_j){\rm d}t{\rm d}s, \end{eqnarray} $

且$ f_{2m, \varepsilon} \in ({\cal H}^d)^{\bigotimes (2m)} $.

结合(2.7), (2.8)和(2.13)式,得双分数布朗运动自相交局部时的混沌展开为

$ L_{\varepsilon}(H, K, T) = {\Bbb E}[L_{\varepsilon}(H, K, T)]+\sum\limits_{m = 1}^{\infty}I_{2m}(f_{2m, \varepsilon}), $

其中

$ f_{2m, \varepsilon} = \frac{(-1)^m \Psi({\rm I}_{2m})}{(2m)!(2\pi)^{\frac{d}{2}}}\int_0^T\int_0^t\Big({\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))+\varepsilon\Big)^{-\frac{d}{2}-m} \prod\limits_{j = 1}^{2m}1_{[s, t]}(r_j){\rm d}t{\rm d}s. $

从而,双分数布朗运动重整化自相交局部时的混沌展开为

(2.14) $ \begin{eqnarray} \ell(H, K, T) = \sum\limits_{m = 1}^{\infty}I_{2m}(f_{2m, \varepsilon}), \end{eqnarray} $

其中

(2.15) $ \begin{equation} f_{2m, \varepsilon} = \frac{(-1)^m\Psi({\rm I}_{2m})}{(2m)!(2\pi)^{\frac{d}{2}}}\int_0^T\int_0^t\Big({\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))\Big)^{-\frac{d}{2}-m}\prod\limits_{j = 1}^{2m}1_{[s, t]}(r_j){\rm d}t{\rm d}s. \end{equation} $

本节将主要运用第2节中得到的双分数布朗运动重整化自相交局部时的混沌展开来讨论$ \ell(H, K, T) $的光滑性.余下部分我们恒采用以下标记.记$ {\cal T} = \{(s, t, s', t')| 0\leq s<t\leq T, $$ 0\leq s'<t'\leq T\} $, $ \tau = (s, t, s', t') $,且

$ \lambda = \lambda(\tau) = {\rm Var}(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s)), \ \ \rho = \rho(\tau) = {\rm Var}(B^{H, K}_0(t')-B^{H, K}_0(s')) $

和

$ \mu = \mu(\tau) = {\Bbb E}\Big[(B^{H, K}_0(t)-B^{H, K}_0(s))(B^{H, K}_0(t')-B^{H, K}_0(s'))\Big]. $

为证明定理3.1,我们需要以下几个引理.

引理3.1  设$ B^{H, K} $是双分数布朗运动,且$ N\geq 1 $,则其重整化自相交局部时$ \ell(H, K, T) \in D^{N, 2} $的充分必要条件为

$ \int_{{\cal T}}\mu^{2N}\delta^{-\frac{d}{2}-N}{\rm d}\tau<+\infty, $

其中$ \delta = \lambda \rho-\mu^2 $.

证  根据第2节(2.14)式,得$ \ell $的$ n $阶混沌展开的$ L^2 $ -范数为

$ \begin{eqnarray*} {\rm {\Bbb E}}\Big[(I_{2m}(f_{2m, \varepsilon}))^2\Big]& = &(2m)!||f_{2m, \varepsilon}||_{{\cal H}^{\bigotimes(2m)}}^2 \\ & = &(2m)!\sum\limits_{m_1+\cdots+m_d = m}\frac{(2m)!}{(2m_1)!\cdots (2m_d)!}\frac{\Psi^2({\rm I}_{2m})}{((2m)!)^2(2\pi)^{d}} \int_{{\cal T}}(\lambda\rho)^{-\frac{d}{2}-m}\mu^{2m}{\rm d}\tau \\ & = &\frac{\vartheta_{m}}{2^{2m}(2\pi)^{d}}\int_{{\cal T}}(\lambda\rho)^{-\frac{d}{2}-m}\mu^{2m}{\rm d}\tau, \end{eqnarray*} $

其中

$ \vartheta_{m} = \sum\limits_{m_1+\cdots+m_d = m}\frac{(2m_1)!\cdots (2m_d)!}{(m_1!)^2\cdots (m_d!)^2}. $

从而

(3.1) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{m = 0}^{\infty}m^{\alpha}{\rm {\Bbb E}}\Big[(I_{2m}(f_{2m, \varepsilon}))^2\Big]& = & \sum\limits_{m = 0}^{\infty}m^{\alpha}\frac{\vartheta_{m}}{2^{2m}(2\pi)^{d}}\int_{{\cal T}}(\lambda\rho)^{-\frac{d}{2}-m}\mu^{2m}{\rm d}\tau \\ & = & \sum\limits_{m = 0}^{\infty}m^{\alpha}\frac{\vartheta_{m}}{2^{2m}(2\pi)^{d}}\int_{{\cal T}}r^{m}(\lambda\rho)^{-\frac{d}{2}}{\rm d}\tau, \end{eqnarray} $

其中$ r = {\mu^2}/{\lambda\rho} $.由(2.6)和(3.1)式,可得对所有$ N\geq 1 $, $ \ell(H, K, T) \in D^{N, 2} $的充分必要条件是

(3.2) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{m = 0}^{\infty}m^{\alpha}\frac{\vartheta_{m}}{2^{2m}}\int_{{\cal T}}r^{m}(\lambda\rho)^{-\frac{d}{2}}{\rm d}\tau< +\infty. \end{eqnarray} $

由$ e^x = \sum\limits^{\infty}_{m = 0}\frac{x^m}{m!}, x\in {{\Bbb R}} $,和高斯随机变量的中心矩$ {\Bbb E} X^{2m} = \frac{(2m)!}{(m!)2^m} $,可得

$ \sum\limits_{m = 0}^{\infty}\frac{(2m)!}{(m!)^22^{2m}}r^m = {\Bbb E}\Big(\exp\Big\{\frac{r{X^2}}{2}\Big\}\Big). $

再由$ {\Bbb E}\Big(\exp\Big\{r{X^2}/{2}\Big\}\Big) = (1-r)^{-\frac{1}{2}} $,得

(3.3) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{m = 0}^{\infty}\frac{\vartheta_m}{2^{2m}}r^m = (1-r)^{-\frac{d}{2}}. \end{eqnarray} $

(3.3)式两边对变量$ r $求$ N $次导数,可得

$ \sum\limits_{m = N}^{\infty}\frac{\vartheta_m}{2^{2m}}m(m-1)\cdots(m-N+1)r^m = K_0r^N(1-r)^{-\frac{d}{2}-N}, $

其中$ K_0 = \frac{d}{2}(\frac{d}{2}+1)\cdots(\frac{d}{2}+N-1) $.故(3.2)式等价于

$ \int_{{\cal T}}\frac{r^N(1-r)^{-\frac{d}{2}-N}}{(\lambda \rho)^{\frac{d}{2}}}{\rm d}\tau = \int_{{\cal T}}\mu^{2N}\delta^{-\frac{d}{2}-N}{\rm d}\tau< +\infty. $

故引理3.1得证.

我们注意到,在引理3.1中, $ N\geq 1 $.为获得对任意$ \alpha>0 $,均有$ \ell(H, K, T) \in D^{\alpha, 2} $,我们对$ N $加以修改.修改后,得到如下结论.

引理3.2  设$ \zeta \in (\beta, 1), \ 0 < \beta <1 $和整数$ N\geq 0 $.若

(3.4) $ \begin{eqnarray} \int_{{\cal T}}\mu^{2(N+\zeta)}\delta^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}{\rm d}s{\rm d}t{\rm d}s'{\rm d}t'<+\infty, \end{eqnarray} $

则$ \ell(H, K, T) \in D^{N+\beta, 2} $.

证  设$ 0<\beta<1, N\geq 0 $,并令$ k = N+\beta $.我们对(3.3)式两边同时乘以$ (v-r)^{-\beta} $,并在区间$ (0, v) $上对变量$ r $求积分,得

(3.5) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \frac{\vartheta_m}{2^{2m}}\int_0^v r^m(v-r)^{-\beta}{\rm d}r = \int_0^v(1-r)^{-\frac{d}{2}}(v-r)^{-\beta}{\rm d}r. \end{eqnarray} $

令$ x = {r}/{v} $,运用Beta函数,得(3.5)式左边积分为

(3.6) $ \begin{eqnarray} \int_0^v r^m(v-r)^{-\beta}{\rm d}r = v^{m-\beta+1}\int_0^1 x^m(1-x)^{-\beta}{\rm d}x = v^{m-\beta+1}B(m+1, 1-\beta). \end{eqnarray} $

对于(3.5)式右边,令$ w = {r}/{v} $,可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \int_0^v(1-r)^{-\frac{d}{2}}(v-r)^{-\beta}{\rm d}r = v^{1-\beta}\int_0^1 (1-vw)^{-\frac{d}{2}}(1-w)^{-\beta}{\rm d}w. \end{eqnarray} $

结合(3.5), (3.6)和(3.7)式,得

(3.8) $ \begin{eqnarray} \sum\limits_{m = 0}^{\infty} \frac{\vartheta_m}{2^{2m}}B(m+1, 1-\beta)v^{m} = \int_0^1 (1-vw)^{-\frac{d}{2}}(1-w)^{-\beta}{\rm d}w. \end{eqnarray} $

从而, (3.8)式两边关于$ v $求$ N+1 $阶导数,可得

$ \begin{eqnarray*} && \sum\limits_{m = N+1}^{\infty}\frac{\vartheta_m}{2^{2m}}m(m-1)\cdots(m-N-2)B(m+1, 1-\beta)v^{m-N-1} \nonumber \\ & = &K_0\int_0^1 (1-vw)^{-\frac{d}{2}-N-1}w^{N+1}(1-w)^{-\beta}{\rm d}w, \end{eqnarray*} $

其中$ K_0 = \frac{d}{2}(\frac{d}{2}+1)\cdots(\frac{d}{2}+N) $.故(3.2)式等价于

(3.9) $ \begin{eqnarray} \int_{{\cal T}}(\lambda \rho)^{-\frac{d}{2}}r^{N+1}\Big(\int_0^1(1-rv)^{-\frac{d}{2}-N-1}v^{N+1}(1-v)^{-\beta}{\rm d}v\Big){\rm d}s{\rm d}t{\rm d}s'{\rm d}t'<\infty. \end{eqnarray} $

由$ 0<v<1, \ r<1 $和$ \zeta \in (\beta, 1) $,可得

$ (1-rv)^{-\frac{d}{2}-N-1} = (1-rv)^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}(1-rv)^{\zeta-1} \leq (1-v)^{\zeta-1}(1-r)^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}. $

又由于$ v^{N+1}\leq 1 $,继而得

(3.10) $ \begin{eqnarray} \int_0^1(1-rv)^{-\frac{d}{2}-N-1}v^{N+1}(1-v)^{-\beta}{\rm d}v&\leq & (1-r)^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}\int_0^1(1-v)^{-\beta+\zeta-1}{\rm d}v \\ &\leq &\frac{1}{\zeta-\beta}(1-r)^{-\frac{d}{2}-N-\zeta} \\ &\leq &C(1-r)^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}, \end{eqnarray} $

其中$ C $为仅依赖于$ \zeta $和$ \beta $的常数.

由$ \mu^2\leq \lambda \rho $, $ \zeta \in (\beta, 1) $及(3.10)式,则(3.9)式左边不大于

(3.11) $ \begin{eqnarray} \int_{{\cal T}}(\lambda \rho)^{-\frac{d}{2}}r^{N+1}(1-r)^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}{\rm d}s{\rm d}t{\rm d}s'{\rm d}t' & = &\int_{{\cal T}}(\lambda \rho)^{\zeta-1}\mu^{2(N+1)}\delta^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}{\rm d}\tau \\ &\leq &\int_{{\cal T}}\mu^{2(N+\zeta)}\delta^{-\frac{d}{2}-N-\zeta}{\rm d}s{\rm d}t{\rm d}s'{\rm d}t'. \end{eqnarray} $

结合(3.2), (3.9)和(3.11)式,可得$ \ell(H, K, T) \in D^{N+\beta, 2} $.故引理3.2得证.

令$ \alpha = N+\zeta $,由引理,立即得到如下推论.

推论3.1  给定$ \alpha>0 $.若

(3.12) $ \begin{eqnarray} \int_{{\cal T}}\mu^{2\alpha}\delta^{-\frac{d}{2}-\alpha}{\rm d}s{\rm d}t{\rm d}s'{\rm d}t'<+\infty, \end{eqnarray} $

则双分数布朗运动的重整化自相交局部时$ \ell(H, K, T) \in D^{\alpha, 2} $.

下面,我们讨论(3.12)式成立的充分条件.在这个讨论中,我们将需要如下引理3.3和引理3.4.在证明这两个引理中,区间$ {\cal T} = \{(s, t, s', t')| 0\leq s<t\leq T, 0\leq s'<t'\leq T\} $将被分割为

$ {\cal T} \cap \{s<s'\} = {\cal T}_1\cup{\cal T}_2\cup{\cal T}_3, $

其中

$ {\cal T}_1 = \{(s, t, s', t')| 0\leq s< s'<t<t'\leq T\}, $

$ {\cal T}_2 = \{(s, t, s', t')| 0\leq s< s'<t'<t\leq T\}, $

$ {\cal T}_3 = \{(s, t, s', t')| 0\leq s<t< s'<t'\leq T\}. $

并且

(Ⅰ)当$ (s, t, s', t')\in {\cal T}_1 $时,令$ a = s'-s $, $ b = t-s' $, $ c = t'-t $和$ e = s $.在这种情况下,函数$ \lambda $, $ \rho $和$ \mu $分别为

$ 2^{-K}(a+b)^{2HK}\leq \lambda = \lambda_{1}\leq 2^{1-K}(a+b)^{2HK}, $

$ 2^{-K}(b+c)^{2HK}\leq\rho = \rho_{1}\leq 2^{1-K}(b+c)^{2HK}, $

$ \begin{eqnarray*} \mu = \mu_{1}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a+b)^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}-[(e+a+b)^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K} \\ &&-[e^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}] \\ &&+\frac{1}{2^{K}}[b^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b+c)^{2HK}]. \end{eqnarray*} $

(Ⅱ)当$ (s, t, s', t')\in {\cal T}_2 $时,令$ a = s'-s $, $ b = t'-s' $, $ c = t-t' $和$ e = s $.在这种情况下,函数$ \lambda $, $ \rho $和$ \mu $分别为

$ 2^{-K}(a+b+c)^{2HK}\leq\lambda = \lambda_{2}\leq 2^{1-K}(a+b+c)^{2HK}, $

$ 2^{-K}b^{2HK}\leq\rho = \rho_{2}\leq 2^{1-K}b^{2HK}, $

$ \begin{eqnarray*} \mu = \mu_{2}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}-[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K} \\ &&-[e^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}] \\ &&+\frac{1}{2^{K}}[(b+c)^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b)^{2HK}]. \end{eqnarray*} $

(Ⅲ)当$ (s, t, s', t')\in {\cal T}_3 $时,令$ a = t-s $, $ b = s'-t $, $ c = t'-s' $和$ e = s $.在这种情况下,函数$ \lambda $, $ \rho $和$ \mu $分别为

$ 2^{-K}a^{2HK}\leq\lambda = \lambda_{3}\leq 2^{1-K}a^{2HK}, \ 2^{-K}c^{2HK}\leq\rho = \rho_{3}\leq 2^{1-K}c^{2HK}, $

$ \begin{eqnarray*} \mu = \mu_{3}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a)^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}-[(e+a)^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K} \\ && -[e^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}] \\ &&+\frac{1}{2^{K}}[|a+b+c|^{2HK}-|a+b|^{2HK}-|b+c|^{2HK}+b^{2HK}]. \end{eqnarray*} $

为证明引理3.4,我们将用到文献[2]中引理3.2,具体如下：

引理3.3  根据区间$ {\cal T} $的分割和$ a, b, c, e>0 $,则存在一个常数$ C>0 $使得如下结论成立:

(a)当$ i = 1 $时,有

(3.13) $ \begin{equation} \delta_{i}\geq C[(a+b)^{2HK}c^{2HK}+(b+c)^{2HK} a^{2HK}], \end{equation} $

(b)当$ i = 2, 3 $时,有

(3.14) $ \begin{equation} \delta_{i}\geq C \lambda_{i}\rho_{i}, \end{equation} $

其中$ \delta_{i} = \lambda_i \rho_i-\mu_i^2, i = 1, 2, 3. $

引理3.4  给定实数$ \alpha>0 $.若$ HK<\min \{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\} $且$ d > 2\alpha $,则

(3.15) $ \begin{equation} \int_{{\cal T}}\mu^{2\alpha}\delta^{-\frac{d}{2}-\alpha}{\rm d}s{\rm d}t{\rm d}s'{\rm d}t'<+\infty. \end{equation} $

证  根据区间$ {\cal T} $的分割,我们从$ (s, t, s', t') $分别属于$ {\cal T}_1 $, $ {\cal T}_2 $和$ {\cal T}_2 $三种情形来证明引理3.4.

(ⅰ)考虑$ (s, t, s', t')\in {\cal T}_1 $的情形.根据情形(Ⅰ)的记号,有

$ \begin{eqnarray*} \mu_{1}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a+b)^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}-[(e+a+b)^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K} \\ &&-[e^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}] \\ &&+\frac{1}{2^{K}}[b^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b+c)^{2HK}] \\ &: = &I_{1, 1}+I_{1, 2}, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} I_{1, 1}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a+b)^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}-[(e+a+b)^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}\\ &&-[e^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}] \end{eqnarray*} $

和

$ I_{1, 2} = \frac{1}{2^{K}}[b^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b+c)^{2HK}]. $

下面我们分别对$ I_{1.1} $和$ I_{1.2} $进行估计.由$ K\in(0, 1) $和

$ [(e+a+c)^{2H}+(e+a+x)^{2H}]>[e^{2H}+(e+a+x)^{2H}], $

得$ I_{1.1} $的估计为

$ \begin{eqnarray*} I_{1, 1} & = &2HK\!\int_{0}^{b+c}\!\Big\{[(e+a+c)^{2H}+(e+a+x)^{2H}]^{K-1} \! -\![e^{2H}+(e+a+x)^{2H}]^{K-1} \Big\}x^{2H-1}{\rm d}x\\ &<&0. \end{eqnarray*} $

运用$ C_r $-不等式,可得$ I_{1.2} $的估计为

$ \begin{eqnarray*} I_{1, 2}& = &\frac{1}{2^{K}}[b^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b+c)^{2HK}] \nonumber\\ & = &\frac{1}{2^{K}}[b^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)^{HK}]\\ &\leq & \frac{1}{2^{K}}[b^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a^{2HK}+b^{2HK}+c^{2HK} \\ &&+(2ab)^{HK}+(2ac)^{HK}+(2bc)^{HK})] \\ &\leq & 2^{1-K}b^{2HK}+2^{HK-K}[(ab)^{HK}+(ac)^{HK}+(bc)^{HK}]\\ &\leq & C[b^{2HK}+(ab)^{HK}+(ac)^{HK}+(bc)^{HK}]. \end{eqnarray*} $

所以由$ I_{1.1} $和$ I_{1.2} $的估计,可得

(3.16) $ \begin{eqnarray} \mu_1\leq I_{1, 2}\leq C[b^{2HK}+(ab)^{HK}+(ac)^{HK}+(bc)^{HK}]. \end{eqnarray} $

进而,运用(3.13)式,得到如下关于(3.15)式中被积函数的估计:

$ \begin{eqnarray*} \mu_1^{2\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha}&\leq & C[b^{4HK\alpha}+(ab)^{2HK\alpha}+(ac)^{2HK\alpha}+(bc)^{2HK\alpha}]\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha} \\ &\leq & C(b^{4HK\alpha}+\delta_1^{\alpha})\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha} \\ & = &C(b^{4HK\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha}+\delta_1^{-\frac{d}{2}}). \end{eqnarray*} $

根据如下不等式:对于实数$ x \geq 0, y\geq 0, 0<\alpha<1 $且$ \alpha+\beta = 1 $,有

(3.17) $ \begin{eqnarray} \alpha x+\beta y\geq x^{\alpha} y^{\beta}, \end{eqnarray} $

并结合$ HK<\min \Big\{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\Big\}\leq \frac{3}{2d} $与(3.13)式,得

$ \begin{eqnarray*} \mu_1^{2\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha} &\leq & C[(a+b)^{2HK}c^{2HK}+(b+c)^{2HK}a^{2HK}]^{-\frac{d}{2}} \\ &\leq & C[(a+b)^{HK}c^{HK}(b+c)^{HK}a^{HK}]^{-\frac{d}{2}} \\ &\leq & C[a^{\frac{HK}{3}}b^{\frac{HK}{3}}c^{HK}b^{\frac{2HK}{3}}c^{\frac{HK}{3}}a^{HK}]^{-\frac{d}{2}} \\ & = &C(abc)^{-\frac{2HKd}{3}}, \end{eqnarray*} $

其中$ \frac{2HKd}{3}<1 $.

另一方面,当$ d\leq6\alpha $时, $ \frac{2}{d+2\alpha}\leq \frac{1}{d-2\alpha} $.进而,有

$ HK<\min \Big\{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\Big\} \leq \frac{2}{d+2\alpha}\leq \frac{1}{d-2\alpha}. $

运用不等式$ xy\leq x^2+y^2 $,可得

$ \begin{eqnarray*} b^{4HK\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha} &\leq &Cb^{4HK\alpha}[(a+b)^{2HK}c^{2HK}+(b+c)^{2HK}a^{2HK}]^{-\frac{d}{2}-\alpha} \\ &\leq& Cb^{4HK\alpha}[b^{2HK}c^{2HK}+b^{2HK}a^{2HK}]^{-\frac{d}{2}-\alpha} \\ &\leq &Cb^{HK(2\alpha-d)}(ac)^{-\frac{d}{2}HK-HK\alpha}, \end{eqnarray*} $

其中$ HK(2\alpha-d)>-1 $和$ -\frac{d}{2}HK-HK\alpha>-1 $.

当$ d>6\alpha $时,运用不等式(3.17),得

$ \begin{eqnarray*} b^{4HK\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha} &\leq & Cb^{4HK\alpha}[(a+b)^{2HK}c^{2HK}+(b+c)^{2HK}a^{2HK}]^{-\frac{d}{2}-\alpha} \\ &\leq & Cb^{4HK\alpha}[a^{\beta_1}b^{\beta_2}cb^{\beta_2}c^{\beta_1}a]^{(-\frac{d}{2}-\alpha)HK} \\ & \leq& C(abc)^{-\frac{2HKd}{3}}, \end{eqnarray*} $

其中$ \beta_1 = \frac{d-6\alpha}{3(d+2\alpha)} $和$ \beta_2 = \frac{2d+12\alpha}{3(d+2\alpha)} $.

综合上述对$ b^{4HK\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha} $和$ \delta_1^{-\frac{d}{2}} $的讨论,得

$ \mu_1^{2\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha}\leq C(abc)^{-\frac{2HKd}{3}}. $

从而

$ \int_{[0, T]^4}\mu_1^{2\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha}{\rm d}a{\rm d}b{\rm d}c{\rm d}e< +\infty. $

(ⅱ)考虑$ (s, t, s', t')\in {\cal T}_2 $的情形.根据情形(Ⅱ)的记号,有

$ \begin{eqnarray*} \mu_{2}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}-[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K} \\ &&-[e^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}] \\ &&+\frac{1}{2^{K}}[(b+c)^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b)^{2HK}] \\ &: = &I_{2, 1}+I_{2, 2}, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} I_{2, 1}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}-[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K} \\ &&-[e^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}] \end{eqnarray*} $

和

$ I_{2, 2} = \frac{1}{2^{K}}[(b+c)^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b)^{2HK}]. $

由于$ K\in(0, 1) $和$ [(e+a+b+c)^{2H}+(e+a+x)^{2H}]>[e^{2H}+(e+a+x)^{2H}] $,可得

$ \begin{eqnarray*} I_{2, 1}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}-[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K} \\ &&-[e^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a)^{2H}]^{K}]\\ & = &2HK\int_0^b\{[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a+x)^{2H}]^{K-1} \\ &&-[e^{2H}+(e+a+x)^{2H}]^{K-1} \}x^{2H-1}{\rm d}x \\ &<&0. \end{eqnarray*} $

下面根据$ HK $的不同取值,我们分两种情况考虑$ I_{2, 2} $.

(1)当$ HK\geq \frac{1}{2} $时,有

$ \begin{eqnarray*} I_{2, 2}& = &\frac{1}{2^{K}}\Big[2HK\int_0^b[(c+x)^{2HK-1}+(a+x)^{2HK-1}]{\rm d}x\Big] \\ &\leq& \frac{1}{2^{K}}2HK[(c+b)^{2HK-1}+(a+b)^{2HK-1}]b \\ &\leq & C(a+b+c)^{2HK-1}b. \end{eqnarray*} $

从而

(3.18) $ \begin{equation} \mu_2\leq I_{2, 2}\leq C(a+b+c)^{2HK-1}b. \end{equation} $

联合(3.14)与(3.18)式,对(3.15)式中被积函数的表达形式运用不等式$ (a+b+c)\geq a^{\beta}b^{1-2\beta}c^{\beta}, \beta\in(0, \frac{1}{2}) $和$ HK<\frac{2(\alpha \wedge 1)}{d+2\alpha}<\frac{2\alpha }{d+2\alpha} $,得

$ \begin{eqnarray*} \mu_2^{2\alpha}\delta_2^{-\frac{d}{2}-\alpha}&\leq & C(a+b+c)^{2\alpha(2HK-1)}b^{2\alpha} (a+b+c)^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)}\\ & = &C(a+b+c)^{2HK(-\frac{d}{2}+\alpha)-2\alpha}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)+2\alpha} \\ &\leq& C(abc)^{-\frac{2HKd}{3}}. \end{eqnarray*} $

(2)当$ HK<\frac{1}{2} $时,由不等式$ (a+b)\geq a^{\beta}b^{1-\beta}, \beta\in(0, 1) $,则对$ \xi \in(0, 1) $,有

(3.19) $ \begin{eqnarray} \mu_2\leq I_{2, 2}& = &\frac{1}{2^{K}}[(b+c)^{2HK}-c^{2HK}-a^{2HK}+(a+b)^{2HK}] \\ &\leq& Cb[(b\xi+c)^{2HK-1}+(a+b\xi)^{2HK-1}] \\ &\leq & Cb[c^{\beta(2HK-1)}b^{(1-\beta)(2HK-1)}+a^{\beta(2HK-1)}b^{(1-\beta)(2HK-1)}]. \end{eqnarray} $

将(3.19)式代入(3.15)式,可得

$ \begin{eqnarray*} \mu_2^{2\alpha}\delta_2^{-\frac{d}{2}-\alpha}&\leq & Cb^{2\alpha}[c^{\beta(2HK-1)}b^{(1-\beta)(2HK-1)}+a^{\beta(2HK-1)}b^{(1-\beta)(2HK-1)}]^{2\alpha} \\&&\times (a+b+c)^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)} \\ &\leq& Cb^{2\alpha}[c^{\beta(2HK-1)}b^{(1-\beta)(2HK-1)}]^{2\alpha} (a+b+c)^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)} \\ && + Cb^{2\alpha}[a^{\beta(2HK-1)}b^{(1-\beta)(2HK-1)}]^{2\alpha} (a+b+c)^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)}\\ &: = &\Delta_1+\Delta_2. \end{eqnarray*} $

我们仅估计$ \Delta_1 $.对于$ \Delta_2 $,可用类似的方法得到它的估计.运用C-r不等式,得

(3.20) $ \begin{eqnarray} \Delta_1 & = &Cb^{2\alpha}[c^{\beta(2HK-1)}b^{(1-\beta)(2HK-1)}]^{2\alpha}(a+b+c)^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)} \\ &\leq & Cb^{2\alpha}c^{2\alpha\beta(2HK-1)}b^{2\alpha(1-\beta)(2HK-1)}a^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)\gamma_1}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)\gamma_2} {}\\ &&\times c^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)\gamma_3}b^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)} \\ & = &Ca^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)\gamma_1}b^{2\alpha+2\alpha(1-\beta)(2HK-1)+\gamma_22HK(-\frac{d}{2}-\alpha)+ 2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)} {}\\ &&\times c^{2\alpha\beta(2HK-1)+\gamma_32HK(-\frac{d}{2}-\alpha)} \\ &\leq &C(abc)^{-\frac{2HKd}{3}}, \end{eqnarray} $

其中,当$ d\leq 6\alpha $,我们可令$ \beta = 0, \gamma_1 = \gamma_2 = \frac{1}{2}, \gamma_3 = 0 $;当$ d>6\alpha $,我们可令$ \beta = \frac{HK(d-6\alpha)}{6\alpha(1-2HK)}, \gamma_1 = \frac{d+6\alpha}{3(d+2\alpha)}, \gamma_2 = 0, \gamma_3 = \frac{2d}{3(d+2\alpha)} $,使得(3.20)式的最后一个不等号成立.从而,得

$ \int_{[0, T]^4}\mu_2^{2\alpha}\delta_2^{-\frac{d}{2}-\alpha}{\rm d}a{\rm d}b{\rm d}c{\rm d}e< +\infty. $

(ⅲ)考虑$ (s, t, s', t')\in {\cal T}_3 $的情形.根据情形(Ⅲ)的记号,有

(3.21) $ \begin{eqnarray} \mu_{3}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a)^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}-[(e+a)^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K} \\ && -[e^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}] \\ && +\frac{1}{2^{K}}[|a+b+c|^{2HK}-|a+b|^{2HK}-|b+c|^{2HK}+b^{2HK}] \\ &: = &I_{3, 1}+I_{3, 2}, \end{eqnarray} $

其中

$ \begin{eqnarray*} I_{3, 1}& = &\frac{1}{2^{K}}[[(e+a)^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}-[(e+a)^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K} \\ & &-[e^{2H}+(e+a+b+c)^{2H}]^{K}+[e^{2H}+(e+a+b)^{2H}]^{K}], \end{eqnarray*} $

$ I_{3, 2} = \frac{1}{2^{K}}[|a+b+c|^{2HK}-|a+b|^{2HK}-|b+c|^{2HK}+b^{2HK}]. $

由$ H\in(0, 1), K\in(0, 1) $和$ [(e+a)^{2H}+(e+a+b+x)^{2H}]>[e^{2H}+(e+a+b+x)^{2H}] $, $ x\in{{\Bbb R}} $,可得

(3.22) $ \begin{eqnarray} I_{3, 1} & = &2HK\!\int_0^c\!\Big\{[(e+a)^{2H}+(e+a+b+x)^{2H}]^{K-1} \!-\![e^{2H}+(e+a+b+x)^{2H}]^{K-1}\Big\}x^{2H-1}{\rm d}x \\ &<&0. \end{eqnarray} $

下面估计$ I_{3, 2} $.当$ \beta\in[0, \frac{1}{2}] $,得

$ \int\!\!\!\int_{[0, 1]^2}(vu)^{\beta(2HK-2)}{\rm d}v{\rm d}u<\infty. $

运用不等式$ b+cv+au\geq C (vcua)^{\beta}b^{1-2\beta} $,得$ I_{3, 2} $的估计为

(3.23) $ \begin{eqnarray} I_{3, 2}& = &\frac{1}{2^{K}}2HK(2HK-1)ac\int\!\!\!\int_{[0, 1]^2}(b+cv+au)^{2HK-2}{\rm d}v{\rm d}u \\ &\leq & \frac{1}{2^{K}}2HK(2HK-1)(ac)^{\beta(2HK-2)+1}b^{(1-2\beta)(2HK-2)}\int\!\!\!\int_{[0, 1]^2}(vu)^{\beta(2HK-2)}{\rm d}v{\rm d}u \\ &\leq& C(ac)^{\beta(2HK-2)+1}b^{(1-2\beta)(2HK-2)}. \end{eqnarray} $

联合(3.21), (3.22)和(3.21)式,得

(3.24) $ \begin{eqnarray} \mu_3\leq C(ac)^{\beta(2HK-2)+1}b^{(1-2\beta)(2HK-2)}. \end{eqnarray} $

进而,由(3.15)和(3.24)式,得

$ \begin{eqnarray*} \mu_3^{2\alpha}\delta_3^{-\frac{d}{2}-\alpha}&\leq & C(ac)^{2\alpha\beta(2HK-2)+2\alpha}b^{2\alpha(1-2\beta)(2HK-2)}(ac)^{2HK(-\frac{d}{2}-\alpha)} \\ &\leq& C(abc)^{-\frac{2HKd}{3}}, \end{eqnarray*} $

其中$ \beta = \frac{3\alpha(2HK-2)+HKd}{6\alpha(2HK-2)} $.因为$ \beta\in(0, 1) $,所以$ HK<\frac{6\alpha}{d+6\alpha} $.故

$ \int_{[0, T]^4}\mu_3^{2\alpha}\delta_3^{-\frac{d}{2}-\alpha}{\rm d}a{\rm d}b{\rm d}c{\rm d}e< +\infty. $

综合上述讨论,可得(3.15)式.故引理3.4成立.证毕.

下面给出本节的主要结果.

定理3.1  设$ B^{H, K} $为取值于$ {{\Bbb R}} ^d $中Hurst指数为$ H\in (0, 1) $和$ K\in(0, 1] $的$ d $维双分数布朗运动.对给定$ \alpha>0 $,若$ HK<\min\{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\} $且$ d > 2\alpha $,则$ B^{H, K} $的重整化自相交局部时$ \ell(H, K, T) $具有光滑性.

证  当$ HK<\min \{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\} $且$ d > 2\alpha $,由引理3.4可得

(3.25) $ \begin{eqnarray} \int_{{\cal T}}\mu^{2\alpha}\delta^{-\frac{d}{2}-\alpha}{\rm d}s{\rm d}t{\rm d}s'{\rm d}t'<+\infty. \end{eqnarray} $

当(3.25)式成立,由推论可得$ \ell(H, K, T) \in D^{\alpha, 2} $,即$ \ell(H, K, T) $具有光滑性.故定理3.1成立.证毕.