分数布朗运动,由于具有平稳增量性,自相似性和长记忆性,被广泛地应用在物理学、电子通信、图像过程、数量金融等领域的随机模拟中.然而该过程并不能很好地刻画所有的随机现象.如当湍流中大增量不具有平稳性时,运用分数布朗运动作为随机模型来刻画这种随机现象是不精确的.为了处理这种情况,文献[5]引入了双分数布朗运动.随后,学者们对它的样本轨道性质进行了研究,如文献[11, 15-16, 18]等.但与分数布朗运动的研究相比,对双分数布朗运动的研究还不完善,主要是因为该过程复杂的相依结构和不便于表示的随机积分表达式.基于此,本文将继续对双分数布朗运动的样本轨道性质(如自相交局部时)进行研究.双分数布朗运动的定义和相关性质简要回顾如下.

定义1.1  设$B^{H, K}_0 = \{B^{H, K}_0(t), t \geq 0 \}$是取值于${{\Bbb R}}$中Hurst指数为$H\in (0, 1)$和$K\in(0, 1]$的双分数布朗运动,即, $B^{H, K}_0$是一实值的中心高斯随机过程,其协方差函数满足:对任意$s, t \geq 0$,有

特别地,当$K = 1$时, $B_0^{H, K}$是Hurst指数为$H\in (0, 1)$的分数布朗运动.根据文献[5],不难发现, $B_0^{H, K}$是$HK$ -自相似过程,且满足如下估计:对$T>0$和$s, t\in [0, T]$,有

以及它的轨道是$\delta$阶H$\rm{\ddot{o}}$lder连续的,其中$\delta<HK$.

设$B^{H, K} = \{B^{H, K}(t), t \geq 0\}$为取值于${{\Bbb R}} ^d$上的$(1, d)$ -高斯随机场,其定义为

其中$B^{H, K}_1, \cdots , B^{H, K}_d$相互独立且与$B^{H, K}_0$同分布.我们称高斯过程$B^{H, K}$为取值于${{\Bbb R}} ^d$中Hurst指数为$H\in (0, 1)$和$K\in(0, 1]$的$d$维双分数布朗运动.

另一方面,自相交局部时是随机场理论研究的重要内容,得到了众多学者的关注和研究.特别是自相交局部时与布朗运动、分数布朗运动等相结合时,得到了广泛而系统的研究,详细参见文献[1, 10, 14, 19]等.近期,有学者将自相交局部时与双分数布朗运动相结合并进行了研究,例如, Jiang和Wang^[9]研究了双分数布朗运动自相交局部时的存在性和光滑性. Chen等^[3]研究了一类$N$维时间中多参数高斯随机场的自相交局部时的存在性和光滑性,该类高斯随机场包含了双分数布朗运动等随机过程.关于双分数布朗运动的其它局部时可参见文献[16, 20]等研究.

在分数布朗运动自相交局部时的研究中,根据文献[3]中的结论,不难得到:当$Hd<1$时,分数布朗运动的非重整化自相交局部时在$L^2$意义下存在.而文献[7]在对自相交局部时进行重整化后,在条件$Hd<\frac{3}{2}$下获得了重整化自相交局部时在$L^2$意义下存在.这两种存在性的研究展示了重整化与非重整化自相交局部时之间存在差异.基于这个差异,文献[2]讨论了双分数布朗运动的重整化自相交局部时的存在性.而对双分数布朗运动重整化自相交局部时的光滑性研究还没有涉及.受文献[2-3, 7, 16]的启发,本文考虑$d$维双分数布朗运动的重整化自相交局部时的光滑性问题(其中$d\geq 2$).

在本文中,记$L(H, K, T)$为双分数布朗运动$B^{H, K}(t)$的自相交局部时,且定义为

其中${\delta}(x)$是狄拉克delta函数,且${\delta}(x)$可通过如下式子来近似:

根据(1.3)式,记$L_{\varepsilon}(H, K, T)$为双分数布朗运动自相交局部时的近似,且定义为

记$\ell(H, K, T)$为双分数布朗运动的重整化自相交局部时,且有

并且对任意的$\alpha>0$,记$D^{\alpha, 2}$为Meyer-Watanabe意义下光滑函数空间,其表达形式为

其中$I_n(\cdot)$为多重随机积分, $f_n\in L^2(\Omega^n)$为对称的平方可积核(我们将在第2节给出相关知识).若随机函数$F\in D^{\alpha, 2}$,称$F$为光滑的.关于光滑函数空间的更多细节可参见文献[12].

本文剩余部分内容安排如下:第2节运用Malliavin分析给出$B^{H, K}$的重整化自相交局部时$\ell(H, K, T)$的混沌展开;第3节运用上节中得到的混沌展开,并结合文献[2]中结论,给出$B^{H, K}$的重整化自相交局部时$\ell(H, K, T)$在Meyer-Watanabe意义下的光滑性.其结果推广了文献[8]中分数布朗运动的相关结果.

本文恒以$C$表示为仅依赖于$H, K$的非特定的有限正常数,可表示不同的常数.特定的常数将用$C_1, C_2, \cdots$来表示.

本节中,我们将给出双分数布朗运动重整化自相交局部时的混沌展开.关于高斯过程的混沌展开,我们简要回顾如下,具体细节可参见文献[12]等.假设$\Omega$为$[0, T]$上实值连续函数$\omega$的空间,则$\Omega$是关于范数的Banach空间.记${\mathfrak F}$为$\Omega$上的$\sigma$ -代数, $P$为可测空间$(\Omega, {\mathfrak F})$上的概率测度, ${\Bbb E}$为概率空间$(\Omega, {\mathfrak F}, P)$上的期望, $L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P)$为所有平方可积函数构成的集合,即对任意$F \in L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P)$,有

假设$X = \{X(t), t\in[0, T]\}$为概率空间$(\Omega, {\mathfrak F}, P)$上的高斯过程.若$p_n(x)$是$x$的$n$阶多项式,则称$p_n(X(t))$为$X$在时刻$t\in[0, T]$处的多项式函数.记${\cal P}_n$为集合$\{ p_m(X(t)):\ 0\leq m\leq n, t\in [0, T]\}$的$L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P)$范数生成的完备空间.显然${\cal P}_n$是$L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P)$的子空间.若记${\cal C}_n$为${\cal P}_{n-1}$在${\cal P}_n$中的正交补,则$L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P)$是${\cal C}_n$的直和,即

根据上述描述,对于$L^2(\Omega, {\mathfrak F}, P)$中任意函数$F$,则存在一个序列$F_n\in {\cal C}_n, n = 0, 1, 2, \cdots$,使得

(2.2)式称为$F$的混沌展开,其中$F_n$称为$F$的$n$阶混沌.显然,下面等式成立

由(2.2)和(2.3)式,对任意的$\alpha>0$,记$D^{\alpha, 2}$为Meyer-Watanabe意义下光滑函数空间,其表达形式可写为

其中$F_n$是$F$的$n$阶混沌.若随机函数$F\in D^{\alpha, 2}$,则称$F$为光滑的.

在多重随机积分的情形下, $\Omega$上任意平方可积函数$F$的混沌展开为

其中$I_n(\cdot)$为多重随机积分, $f_n\in L^2(\Omega^n)$为对称的平方可积核.其相应的光滑函数空间$D^{\alpha, 2}$为

根据(2.6)式,要获得双分数布朗运动重整化自相交局部时的光滑性,只需验证重整化自相交局部时$\ell(H, K, T)$属于$D^{\alpha, 2}$,即$\sum\limits_{n = 0}^{\infty}n^{\alpha} {\Bbb E}(|I_n(f_n)|^2)<\infty$成立即可.

给定多重指标${\rm I}_n = (i_1, i_2, \cdots , i_n), \mbox{其中} \ 1\leq i_j\leq d, j = 1, 2, \cdots , n$,记

其中$X_i$是相互独立的标准正态随机变量.若$n = 2m$, ${\rm I}_{2m}$分量的个数$k$也是偶数,记为$2m_k, \ k = 1, 2, \cdots , d$,则

若$n$为奇数,则$\Psi({\rm I}_n) = 0$ (参见文献[7]).

设${\cal H}$为${{\Bbb R}} ^+$上阶梯函数集合${\cal E}$关于内积的闭包所得到的Hilbert空间,其内积为

根据文献[5],映射$I_{[0, t]}\rightarrow B^{H, K}(t)$是Hilbert空间${\cal H}$与$B^{H, K}$生成的高斯空间之间的线性等距同构.我们记$I_n$为具有范数$\sqrt{n!}||\cdot||_{{\cal H}^{\bigotimes n}}$的对称张量积${\cal H}^{\bigotimes n}$与$B^{H, K}$的$n$阶维纳混沌之间的等距同构多重随机积分.

由(1.5)式, (2.5)式和Stroock公式(见参考文献[13, 17]),得双分数布朗运动自相交局部时的混沌展开为

其中

这里, $D$为导数算子, $i_j\in\{1, 2, \cdots , d\}$, $r_j \in [0, T]$.

下面,我们将根据(1.5)式和Stroock公式给出$f_{n, \varepsilon}$的表达式.由于

则运用Fourier变换,可得(2.9)式右边的期望为

由(2.9)式和(2.10)式,得

又由于当$n$为奇数时, $\Psi({\rm I}_n) = 0$,则(2.11)式可写为

因此, (2.8)式为

且$f_{2m, \varepsilon} \in ({\cal H}^d)^{\bigotimes (2m)}$.

结合(2.7), (2.8)和(2.13)式,得双分数布朗运动自相交局部时的混沌展开为

其中

从而,双分数布朗运动重整化自相交局部时的混沌展开为

其中

本节将主要运用第2节中得到的双分数布朗运动重整化自相交局部时的混沌展开来讨论$\ell(H, K, T)$的光滑性.余下部分我们恒采用以下标记.记${\cal T} = \{(s, t, s', t')| 0\leq s<t\leq T,$$0\leq s'<t'\leq T\}$, $\tau = (s, t, s', t')$,且

和

为证明定理3.1,我们需要以下几个引理.

引理3.1  设$B^{H, K}$是双分数布朗运动,且$N\geq 1$,则其重整化自相交局部时$\ell(H, K, T) \in D^{N, 2}$的充分必要条件为

其中$\delta = \lambda \rho-\mu^2$.

证  根据第2节(2.14)式,得$\ell$的$n$阶混沌展开的$L^2$ -范数为

其中

从而

其中$r = {\mu^2}/{\lambda\rho}$.由(2.6)和(3.1)式,可得对所有$N\geq 1$, $\ell(H, K, T) \in D^{N, 2}$的充分必要条件是

由$e^x = \sum\limits^{\infty}_{m = 0}\frac{x^m}{m!}, x\in {{\Bbb R}}$,和高斯随机变量的中心矩${\Bbb E} X^{2m} = \frac{(2m)!}{(m!)2^m}$,可得

再由${\Bbb E}\Big(\exp\Big\{r{X^2}/{2}\Big\}\Big) = (1-r)^{-\frac{1}{2}}$,得

(3.3)式两边对变量$r$求$N$次导数,可得

其中$K_0 = \frac{d}{2}(\frac{d}{2}+1)\cdots(\frac{d}{2}+N-1)$.故(3.2)式等价于

故引理3.1得证.

我们注意到,在引理3.1中, $N\geq 1$.为获得对任意$\alpha>0$,均有$\ell(H, K, T) \in D^{\alpha, 2}$,我们对$N$加以修改.修改后,得到如下结论.

引理3.2  设$\zeta \in (\beta, 1), \ 0 < \beta <1$和整数$N\geq 0$.若

则$\ell(H, K, T) \in D^{N+\beta, 2}$.

证  设$0<\beta<1, N\geq 0$,并令$k = N+\beta$.我们对(3.3)式两边同时乘以$(v-r)^{-\beta}$,并在区间$(0, v)$上对变量$r$求积分,得

令$x = {r}/{v}$,运用Beta函数,得(3.5)式左边积分为

对于(3.5)式右边,令$w = {r}/{v}$,可得

结合(3.5), (3.6)和(3.7)式,得

从而, (3.8)式两边关于$v$求$N+1$阶导数,可得

其中$K_0 = \frac{d}{2}(\frac{d}{2}+1)\cdots(\frac{d}{2}+N)$.故(3.2)式等价于

由$0<v<1, \ r<1$和$\zeta \in (\beta, 1)$,可得

又由于$v^{N+1}\leq 1$,继而得

其中$C$为仅依赖于$\zeta$和$\beta$的常数.

由$\mu^2\leq \lambda \rho$, $\zeta \in (\beta, 1)$及(3.10)式,则(3.9)式左边不大于

结合(3.2), (3.9)和(3.11)式,可得$\ell(H, K, T) \in D^{N+\beta, 2}$.故引理3.2得证.

令$\alpha = N+\zeta$,由引理,立即得到如下推论.

推论3.1  给定$\alpha>0$.若

则双分数布朗运动的重整化自相交局部时$\ell(H, K, T) \in D^{\alpha, 2}$.

下面,我们讨论(3.12)式成立的充分条件.在这个讨论中,我们将需要如下引理3.3和引理3.4.在证明这两个引理中,区间${\cal T} = \{(s, t, s', t')| 0\leq s<t\leq T, 0\leq s'<t'\leq T\}$将被分割为

其中

并且

(Ⅰ)当$(s, t, s', t')\in {\cal T}_1$时,令$a = s'-s$, $b = t-s'$, $c = t'-t$和$e = s$.在这种情况下,函数$\lambda$, $\rho$和$\mu$分别为

(Ⅱ)当$(s, t, s', t')\in {\cal T}_2$时,令$a = s'-s$, $b = t'-s'$, $c = t-t'$和$e = s$.在这种情况下,函数$\lambda$, $\rho$和$\mu$分别为

(Ⅲ)当$(s, t, s', t')\in {\cal T}_3$时,令$a = t-s$, $b = s'-t$, $c = t'-s'$和$e = s$.在这种情况下,函数$\lambda$, $\rho$和$\mu$分别为

为证明引理3.4,我们将用到文献[2]中引理3.2,具体如下：

引理3.3  根据区间${\cal T}$的分割和$a, b, c, e>0$,则存在一个常数$C>0$使得如下结论成立:

(a)当$i = 1$时,有

(b)当$i = 2, 3$时,有

其中$\delta_{i} = \lambda_i \rho_i-\mu_i^2, i = 1, 2, 3.$

引理3.4  给定实数$\alpha>0$.若$HK<\min \{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\}$且$d > 2\alpha$,则

证  根据区间${\cal T}$的分割,我们从$(s, t, s', t')$分别属于${\cal T}_1$, ${\cal T}_2$和${\cal T}_2$三种情形来证明引理3.4.

(ⅰ)考虑$(s, t, s', t')\in {\cal T}_1$的情形.根据情形(Ⅰ)的记号,有

其中

和

下面我们分别对$I_{1.1}$和$I_{1.2}$进行估计.由$K\in(0, 1)$和

得$I_{1.1}$的估计为

运用$C_r$-不等式,可得$I_{1.2}$的估计为

所以由$I_{1.1}$和$I_{1.2}$的估计,可得

进而,运用(3.13)式,得到如下关于(3.15)式中被积函数的估计:

根据如下不等式:对于实数$x \geq 0, y\geq 0, 0<\alpha<1$且$\alpha+\beta = 1$,有

并结合$HK<\min \Big\{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\Big\}\leq \frac{3}{2d}$与(3.13)式,得

其中$\frac{2HKd}{3}<1$.

另一方面,当$d\leq6\alpha$时, $\frac{2}{d+2\alpha}\leq \frac{1}{d-2\alpha}$.进而,有

运用不等式$xy\leq x^2+y^2$,可得

其中$HK(2\alpha-d)>-1$和$-\frac{d}{2}HK-HK\alpha>-1$.

当$d>6\alpha$时,运用不等式(3.17),得

其中$\beta_1 = \frac{d-6\alpha}{3(d+2\alpha)}$和$\beta_2 = \frac{2d+12\alpha}{3(d+2\alpha)}$.

综合上述对$b^{4HK\alpha}\delta_1^{-\frac{d}{2}-\alpha}$和$\delta_1^{-\frac{d}{2}}$的讨论,得

从而

(ⅱ)考虑$(s, t, s', t')\in {\cal T}_2$的情形.根据情形(Ⅱ)的记号,有

其中

和

由于$K\in(0, 1)$和$[(e+a+b+c)^{2H}+(e+a+x)^{2H}]>[e^{2H}+(e+a+x)^{2H}]$,可得

下面根据$HK$的不同取值,我们分两种情况考虑$I_{2, 2}$.

(1)当$HK\geq \frac{1}{2}$时,有

从而

联合(3.14)与(3.18)式,对(3.15)式中被积函数的表达形式运用不等式$(a+b+c)\geq a^{\beta}b^{1-2\beta}c^{\beta}, \beta\in(0, \frac{1}{2})$和$HK<\frac{2(\alpha \wedge 1)}{d+2\alpha}<\frac{2\alpha }{d+2\alpha}$,得

(2)当$HK<\frac{1}{2}$时,由不等式$(a+b)\geq a^{\beta}b^{1-\beta}, \beta\in(0, 1)$,则对$\xi \in(0, 1)$,有

将(3.19)式代入(3.15)式,可得

我们仅估计$\Delta_1$.对于$\Delta_2$,可用类似的方法得到它的估计.运用C-r不等式,得

其中,当$d\leq 6\alpha$,我们可令$\beta = 0, \gamma_1 = \gamma_2 = \frac{1}{2}, \gamma_3 = 0$;当$d>6\alpha$,我们可令$\beta = \frac{HK(d-6\alpha)}{6\alpha(1-2HK)}, \gamma_1 = \frac{d+6\alpha}{3(d+2\alpha)}, \gamma_2 = 0, \gamma_3 = \frac{2d}{3(d+2\alpha)}$,使得(3.20)式的最后一个不等号成立.从而,得

(ⅲ)考虑$(s, t, s', t')\in {\cal T}_3$的情形.根据情形(Ⅲ)的记号,有

其中

由$H\in(0, 1), K\in(0, 1)$和$[(e+a)^{2H}+(e+a+b+x)^{2H}]>[e^{2H}+(e+a+b+x)^{2H}]$, $x\in{{\Bbb R}}$,可得

下面估计$I_{3, 2}$.当$\beta\in[0, \frac{1}{2}]$,得

运用不等式$b+cv+au\geq C (vcua)^{\beta}b^{1-2\beta}$,得$I_{3, 2}$的估计为

联合(3.21), (3.22)和(3.21)式,得

进而,由(3.15)和(3.24)式,得

其中$\beta = \frac{3\alpha(2HK-2)+HKd}{6\alpha(2HK-2)}$.因为$\beta\in(0, 1)$,所以$HK<\frac{6\alpha}{d+6\alpha}$.故

综合上述讨论,可得(3.15)式.故引理3.4成立.证毕.

下面给出本节的主要结果.

定理3.1  设$B^{H, K}$为取值于${{\Bbb R}} ^d$中Hurst指数为$H\in (0, 1)$和$K\in(0, 1]$的$d$维双分数布朗运动.对给定$\alpha>0$,若$HK<\min\{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\}$且$d > 2\alpha$,则$B^{H, K}$的重整化自相交局部时$\ell(H, K, T)$具有光滑性.

证  当$HK<\min \{\frac{3}{2d}, \frac{2(\alpha\wedge1)}{d+2\alpha}\}$且$d > 2\alpha$,由引理3.4可得

当(3.25)式成立,由推论可得$\ell(H, K, T) \in D^{\alpha, 2}$,即$\ell(H, K, T)$具有光滑性.故定理3.1成立.证毕.