很多自然科学和社会科学中的实际问题可以用偏微分方程所代表的分布参数系统来描述,例如人口动力学、化学反应过程、通讯工程、机器人、环境系统、生态系统、社会系统等.脉冲现象作为一种瞬间突变的现象,在现代科技各个领域的实际问题中普遍存在,例如,生物体中的心脏跳动,生物种群的生长,化疗对身体癌细胞增长的控制,农作物害虫管理中的农药或天敌的投放以及目前跟我们生活接触非常紧密的Internet网络中传输的切换信号、节点之间的连接等都具有脉冲特点.这些问题或现象反映在数学模型上往往可归纳为脉冲分布参数系统.因此,有关脉冲分布参数系统的定性理论及其应用等问题受到国内外学者的广泛关注,从20世纪60年代开始已取得很大发展.现代偏微分方程和泛函分析理论成果的应用,为分布参数系统建立了严格的理论基础,提供了有力的研究工具.振动性理论作为脉冲分布参数系统定性理论的基本问题之一,对其研究仅是近十年的事情,并陆续取得了一些很好的研究结果^[1-10].但关于带中立项及高阶Laplace算子的脉冲分布参数系统的振动性研究还不多见.然而,带中立项或高阶Laplace算子的脉冲分布参数系统可用于高速计算机连接开关电路的无损耗传输网络以及弹性体上质点振动问题中或波动方程的滤波去噪问题中,因此对其进行研究具有重要的理论意义及实际意义.本文拟考虑如下一类带中立项及高阶Laplace算子的非线性脉冲抛物型分布参数系统

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{rl} { } \frac{\partial}{\partial t}(u-c(t)u(t-\tau, x)) = &a(t){\triangle}^{2n-1}u+b(t){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x)-p(t, x)u(t-\sigma, x)\\ &-q(t, x)f(u(t-\delta, x)), \ (t, x)\in G\equiv {\mathbb R}_+\times\Omega, \ t\neq t_k, \\ u(t_{k}^{+}, x)-u(t_{k}^{-}, x) = &I(t_k, x, u(t_{k}, x)), {\quad} k = 1, 2, \cdots\\ \end{array}\right. \end{equation} $

解的振动性,其中$ u = u(t, x), {\mathbb R}_+ = [0, \infty), \Omega\subset {\mathbb R}^m $是有界区域, $ \partial\Omega $逐片光滑, $ \triangle $是$ {\mathbb R}^m $中的$ m $维Laplace算子, $ n\geq 1 $是整数, $ {\triangle}^{r}u = \triangle({\triangle}^{r-1}u), r\geq 1 $,当$ r = 0 $时,记$ {\triangle}^{r}u = u $.

同时考虑如下第一类边值条件:

(1.2) $ \begin{equation} {\triangle}^{r}u = 0, {\quad} (t, x)\in {\mathbb R}_+\times\partial{\Omega}, {\quad} t\neq t_k, {\quad} r = 0, 1, 2, \cdots, 2n-2. \end{equation} $

在本文中,我们总假设下列条件成立:

$ {\rm (H_1)} $$ 0<t_1<t_2<\cdots<t_k<\cdots $是固定点列且$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}t_k = \infty $; $ \tau, \rho, \sigma, \delta $是正常数;

$ {\rm (H_2)} $$ a(t) b(t)\in PC({\mathbb R}_+, {\mathbb R}_+), p(t, x), q(t, x)\in PC({\mathbb R}_+\times\overline{\Omega}, {\mathbb R}_+) $,这里$ PC $表示具有如下性质的分片连续函数类:仅在$ t = t_k, k = 1, 2, \cdots $为第一类间断点,但在$ t = t_k $左连续,

$ { } P(t) = \min\limits_{x\in\overline{\Omega}}\{p(t, x)\};{\quad} Q(t) = \min\limits_{x\in\overline{\Omega}}\{q(t, x)\}; $

$ {\rm (H_3)} $$ f(u)\in PC({\mathbb R}, {\mathbb R}) $,且当$ u\neq 0 $时, $ uf(u)>0 $;

$ {\rm (H_4)} $$ I(t, x, u):{\mathbb R}_+\times\overline{\Omega}\times {\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R} $,对任意函数$ u(t, x)\in PC({\mathbb R}_+\times\overline{\Omega}, {\mathbb R}_+) $有

$ I(t_k, x, -u(t_k, x)) = -I(t_k, x, u(t_k, x)) $

且

$ \int_{\Omega}I(t_k, x, u(t_k, x)){\rm d}x = \alpha_k\int_{\Omega}u(t_k, x){\rm d}x, $

其中$ \alpha_k\geq 0 $为常数, $ k = 1, 2, \cdots $;

$ {\rm (H_5)} $$ c(t)\in PC({\mathbb R}_+, [0, 1]) $,且当$ t_i-\tau\neq t_j, i>j $时, $ c(t^+_i)\geq (1+\alpha_i)c(t_i) $;当$ t_i-\tau = t_j, $$ i>j $时, $ (1+\alpha_j)c(t^+_i)\geq (1+\alpha_i)c(t_i) $.

定义2.1  函数$ u(t, x):{\mathbb R}_+\times\overline{\Omega}\rightarrow {\mathbb R} $称为边值问题(1.1)–(1.2)的解,若$ u(t, x) $满足:

(Ⅰ)对固定的$ t, t\neq t_k, k = 1, 2, \cdots, u(t, x) $关于$ x $二次可微;对$ t\neq t_k, $$ k = 1, 2, \cdots, $$ x\in\Omega, u(t, x) $关于$ t $一次可微,且满足系统$ (1.1) $的第一式;

(Ⅱ)对固定的$ x, u(t, x) $是以$ t = t_k, k = 1, 2, \cdots $为第一类间断点的分段连续函数,在脉冲时刻满足如下关系式:

$ u(t_k, x) = u(t^{-}_k, x), u(t^+_k, x) = u(t_k, x)+I(t_k, x, u(t_{k}, x)), k = 1, 2, \cdots, $

(Ⅲ)对$ t\neq t_k, k = 1, 2, \cdots, x\in\partial{\Omega}, u(t, x) $满足边值条件$ (1.2) $.

定义2.2  边值问题(1.1)–(1.2)的$ u(t, x) $称为在$ G $内振动的,若对于任意大的$ T>0 $,存在$ (t_0, x_0)\in [T, \infty)\times\Omega $,使得等式$ u(t_0, x_0) = 0 $成立;否则称$ u(x, t) $在$ G $内是非振动的.

引理2.1^[11]  设$ \lambda_0 $是如下Dirichlet特征值问题

(2.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \triangle \phi(x)+\lambda\phi(x) = 0, & x\in \Omega, \lambda\ \mbox{是常数}, \\ \phi(x) = 0, & x\in \partial\Omega \end{array}\right. \end{equation} $

的第一特征值, $ \phi(x) $是与$ \lambda_0 $对应的特征函数,则$ \lambda_0>0, \phi(x)>0, x\in \Omega. $

引理2.2^[12]  假设

$ m'(t)\leq h(t)m(t)+w(t), {\quad} t\neq t_k, \ t\geq t_0, $

$ m(t^+_k)\leq d_km(t_k)+b_k, {\quad} k = 1, 2, \cdots, $

其中$ 0\leq t_0<t_1<t_2<\cdots<t_k<\cdots $且$ { } \lim_{k\rightarrow\infty}t_k = \infty $; $ m(t)\in PC^1({\mathbb R}_+, {\mathbb R}), h(t), $$ w(t)\in PC({\mathbb R}_+, {\mathbb R}) $; $ d_k $和$ b_k $为常数,且$ d_k\geq 0, k = 1, 2, \cdots $,则

$ \begin{eqnarray*} m(t)&\leq& m(t_0)\prod\limits_{t_0<t_k<t}d_k\exp \bigg(\int^t_{t_0}h(s){\rm d}s\bigg)+\int^t_{t_0}\prod\limits_{s<t_k<t}d_k\exp \bigg(\int^t_sh(\sigma){\rm d}\sigma\bigg)w(s){\rm d}s{\nonumber}\\ & &+\sum\limits_{t_0<t_k<t}\prod\limits_{t_k<t_j<t}d_j\exp\bigg(\int^t_{t_0}h(s){\rm d}s\bigg)b_k, {\quad} t\geq t_0. \end{eqnarray*} $

设$ u(t, x) $是边值问题(1.1)–(1.2)的一个解,记

(3.1) $ \begin{equation} U(t) = \int_\Omega u(t, x)\phi(x){\rm d}x. \end{equation} $

定理3.1  设如下条件成立:

$ {\rm (H_6)} $$ b(t)\geq b_0 = const>0 $;

$ {\rm (H_7)} $存在常数$ \beta>0 $,使得$ t_{k+1}-t_k\geq \beta, k = 1, 2, \cdots $,且$ \rho\geq \beta $.

若

(3.2) $ \begin{equation} \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\alpha_k}\int^{t_k+\beta}_{t_k} b(s){\rm d}s>\frac{1}{\lambda^{2n-1}_0}, \end{equation} $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动,其中$ \lambda_0 $由问题$ (2.1) $确定.

证  (反证法)假设边值问题(1.1)–(1.2)有一个非振动解$ u(t, x) $,不失一般性,设存在$ T>0 $,使当$ (t, x)\in [T, \infty)\times\Omega $时,有$ u(t, x)>0 $.令$ T_1 = T+\max\{\tau, \rho, \sigma, \delta\} $,则对任意$ (t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega $有$ u(t-\tau, x)>0, u(t-\rho, x)>0, u(t-\sigma, x)>0, u(t-\delta, x)>0 $.

当$ t\geq T_1, t\neq t_k, k = 1, 2, \cdots $时,结合条件$ {\rm (H_2)} $、$ {\rm (H_3)} $,由方程$ (1.1) $可得

(3.3) $ \begin{eqnarray} && \frac{\partial}{\partial t}(u-c(t)u(t-\tau, x)){}\\ &\leq& a(t){\triangle}^{2n-1}u+b(t){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x) -P(t)u(t-\sigma, x), (t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega. \end{eqnarray} $

$ (3.3) $式两边乘以问题$ (2.1) $的第一特征值$ \lambda_0 $对应的特征函数$ \phi(x) $,并关于$ x $在$ \Omega $上积分,有

(3.4) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t} \bigg(\int_{\Omega}u\phi(x){\rm d}x-c(t)\int_{\Omega}u(t-\tau, x)\phi(x){\rm d}x\bigg){}\\ &\leq& a(t)\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u{\rm d}x +b(t)\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x){\rm d}x{}\\ &&-P(t)\int_{\Omega}u(t-\sigma, x)\phi(x){\rm d}x. \end{eqnarray} $

由Green公式和边值条件$ (1.2) $有

(3.5) $ \begin{eqnarray} \int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u{\rm d}x & = &\int_{\partial\Omega}\bigg[\frac{\partial {\triangle}^{2n-2}u}{\partial N}\phi(x)-{\triangle}^{2n-2}u\frac{\partial\phi(x)} {\partial N}\bigg]{\rm d}S+\int_{\Omega}{\triangle}^{2n-2}u\triangle\phi(x){\rm d}x{}\\ & = &\int_{\Omega}{\triangle}^{2n-2}u\triangle\phi(x){\rm d}x{}\\ & = &-\lambda_0\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-2}u{\rm d}x = \cdots {}\\ & = &-\lambda^{2n-1}_0\int_{\Omega}u\phi(x){\rm d}x, \end{eqnarray} $

(3.6) $ \begin{equation} \int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x){\rm d}x = -\lambda^{2n-1}_0\int_{\Omega}u(t-\rho, x)\phi(x){\rm d}x, \end{equation} $

其中$ N $表示$ \partial\Omega $的单位外法向量, $ {\rm d}S $是$ \partial\Omega $上的面积元素.

由$ (3.1) $式知$ U(t)>0, t\geq T_1 $.于是由(3.4)–(3.6)式有

(3.7) $ \begin{equation} (U(t)-c(t)U(t-\tau))'+\lambda^{2n-1}_0a(t)U(t)+\lambda^{2n-1}_0b(t)U(t-\rho)+P(t)U(t-\sigma)\leq 0. \end{equation} $

从而有

(3.8) $ \begin{equation} (U(t)-c(t)U(t-\tau))'+\lambda^{2n-1}_0b(t)U(t-\rho)\leq 0. \end{equation} $

令

(3.9) $ \begin{equation} W(t) = U(t)-c(t)U(t-\tau), \end{equation} $

则易知$ U(t)\geq W(t), t\geq T_1 $,且由$ (3.8) $式有

(3.10) $ \begin{equation} W'(t)+\lambda^{2n-1}_0b(t)U(t-\rho)\leq 0 \end{equation} $

及

(3.11) $ \begin{equation} W'(t)+\lambda^{2n-1}_0b(t)W(t-\rho)\leq 0. \end{equation} $

当$ t\geq T_1, t = t_k, k = 1, 2, \cdots $时,结合$ (1.1) $式的脉冲条件、定义2.1中的条件(Ⅱ)及条件$ {\rm (H_4)} $有

$ \begin{eqnarray*} \int_{\Omega}[u(t^+_k, x)-u(t_k, x)]\phi(x){\rm d}x& = & \int_{\Omega}I(t_k, x, u(t_k, x))\phi(x){\rm d}x\\ & = &\alpha_k\int_{\Omega}u(t_k, x)\phi(x){\rm d}x, \end{eqnarray*} $

即

$ U(t^+_k) = (1+\alpha_k)U(t_k). $

结合条件$ {\rm (H_5)} $,考虑两种情形:

$ 1) $当$ t_i-\tau\neq t_j, i>j $时,有

$ \begin{eqnarray*} W(t^+_i)& = &U(t^+_i)-c(t^+_i)U(t^+_i-\tau)\\ & = &(1+\alpha_i)U(t_i)-c(t^+_i)U(t_i-\tau)\\ &\leq& (1+\alpha_i)U(t_i)-(1+\alpha_i)c(t_i)U(t_i-\tau)\\ & = &(1+\alpha_i)W(t_i) . \end{eqnarray*} $

$ 2) $当$ t_i-\tau = t_j, i>j $时,有

$ \begin{eqnarray*} W(t^+_i)& = &U(t^+_i)-c(t^+_i)U(t^+_i-\tau)\\ & = &(1+\alpha_i)U(t_i)-c(t^+_i)U(t^+_j)\\ & = &(1+\alpha_i)U(t_i)-(1+\alpha_j)c(t^+_i)U(t_j)\\ &\leq& (1+\alpha_i)U(t_i)-(1+\alpha_i)c(t_i)U(t_i-\tau)\\ & = &(1+\alpha_i)W(t_i) . \end{eqnarray*} $

综合情形$ 1) $和$ 2) $,可得

(3.12) $ \begin{equation} W(t^+_k)\leq(1+\alpha_k)W(t_k). \end{equation} $

由$ 0\leq c(t)\leq 1 $知, $ W(t) $不会最终为零.由$ (3.10) $式易知$ W'(t)\leq 0, t\geq T_1, t\neq t_k $,因此有$ { }\lim\limits_{t\rightarrow \infty}W(t) = L $.下面对$ L $进行讨论.

(ⅰ)若$ L = -\infty $,则$ { }\lim\limits_{t\rightarrow \infty}U(t) = \infty $,于是存在$ T_2\geq T_1 $,使得$ { } W(T_2)<0, $$ { } U(T_2) = \max\limits_{r\in[T_1, T_2]}U(r) $,从而有

$ W(T_2) = U(T_2)-c(T_2)U(T_2-\tau)\geq U(T_2)(1-c(T_2))\geq 0, $

这与$ W(T_2)< 0 $矛盾.

(ⅱ)若$ L\neq 0 $,有限,则将$ (3.10) $式从$ T_1 $到$ t $积分,有

$ \int^t_{T_1}\lambda^{2n-1}_0b(s)U(s-\rho){\rm d}s\leq W(T_1)-W(t). $

所以当$ t\rightarrow\infty $时,有$ \lambda^{2n-1}_0b(t)U(t-\rho)\rightarrow 0 $.由于$ b(t)\geq b_0>0 $,因而有$ { }\lim\limits_{t\rightarrow \infty}U(t) = 0 $,所以有$ { }\lim\limits_{t\rightarrow \infty}W(t) = 0 $.这与$ L\neq 0 $矛盾.

综上可知$ L = 0 $.由于$ W(t) $非增,因此有$ W(t)>0, t\geq T_1, t\neq t_k $.因此可知, $ W(t), t\geq T_1 $是脉冲微分不等式(3.11)–(3.12)的一个最终正解.当然也有$ W(t-\rho)>0, t\geq T_1 $,于是由$ (3.11) $式有

$ W'(t)\leq -\lambda^{2n-1}_0b(t)W(t-\rho)\leq 0, t\geq T_1, t\neq t_k. $

则当$ t\geq T_1, t\neq t_k $时, $ W(t) $非增.对$ (3.11) $式从$ t_k $到$ t_k+\beta $积分,并结合$ W(t) $的非增性,可得

(3.13) $ \begin{eqnarray} 0&\geq &W(t_k+\beta)-W(t^+_k)+\lambda^{2n-1}_0\int^{t_k+\beta}_{t_k}b(s)W(s-\rho){\rm d}s{}\\ &\geq &W(t_k+\beta)-W(t^+_k)+\lambda^{2n-1}_0W(t_k+\beta-\rho)\int^{t_k+\beta}_{t_k}b(s){\rm d}s{}\\ &\geq & W(t_k+\beta)-W(t^+_k)+\lambda^{2n-1}_0W(t_k)\int^{t_k+\beta}_{t_k}b(s){\rm d}s . \end{eqnarray} $

结合$ (3.12) $式,由$ (3.13) $式得

$ W(t_k+\beta)+W(t^+_k)\bigg[\frac{\lambda^{2n-1}_0}{1+\alpha_k}\int^{t_k+\beta}_{t_k}b(s){\rm d}s-1\bigg]\leq 0, $

这与条件$ (3.2) $矛盾.定理3.1证毕.

类似定理3.1的证明可得如下结论.

定理3.2  设$ {\rm (H_6)} $及如下条件成立:

$ {\rm (H_8)} $存在常数$ \beta>0 $,使得$ t_{k+1}-t_k\geq \beta, k = 1, 2, \cdots $,且$ \beta>\rho $.

若

$ \limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{1+\alpha_k}\int^{t_k+\rho}_{t_k}b(s){\rm d}s>\frac{1}{\lambda^{2n-1}_0}, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动,其中$ \lambda_0 $由问题$ (2.1) $确定.

定理3.3  设(H$ _6 $), (H$ _8) $及如下条件成立:

$ {\rm (H_9)} $存在常数$ \alpha>0 $,使得$ 0<\alpha_k<\alpha, k = 1, 2, \cdots $.

若

(3.14) $ \begin{equation} \limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\int^{t}_{t-\rho}b(s){\rm d}s>\frac{1+\alpha}{\lambda^{2n-1}_0e}, \end{equation} $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动,其中$ \lambda_0 $由问题$ (2.1) $确定.

证  (反证法)假设边值问题(1.1)–(1.2)有一个非振动解$ u(t, x) $,不失一般性,设存在$ T>0 $,使当$ (t, x)\in [T, \infty)\times\Omega $时,有$ u(t, x)>0 $.令$ T_1 = T+\max\{\tau, \rho, \sigma, \delta\} $,则对任意$ (t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega $有$ u(t-\tau, x)>0, u(t-\rho, x)>0, u(t-\sigma, x)>0, u(t-\delta, x)>0 $.类似于定理3.1的证明可知,由$ (3.9) $式所定义的函数$ W(t), t\geq T_1 $,是脉冲微分不等式(3.11)–(3.12)的一个最终正解,且当$ t\geq T_1, t\neq t_k $时, $ W(t) $非增.

令$ H(t) = \frac{W(t-\rho)}{W(t)}, t\geq T_1 $.考虑区间$ [t-\rho, t] $且$ t_k\in(t-\rho, t) $,有

$ W(t-\rho)\geq W(t_k) = \frac{1}{1+\alpha_k}W(t^+_k)\geq \frac{1}{1+\alpha_k}W(t). $

于是有

$ H(t)\geq\frac{1}{1+\alpha_k}\geq \frac{1}{1+\alpha}. $

下证函数$ H(t) $有上界.

令$ t_k $是$ [t-2\rho, t-\rho] $上的脉冲点.在$ [t-\frac{\rho}{2}, t] $上对$ (3.11) $式积分,有

$ W(t)-W(t-\frac{\rho}{2})+\lambda^{2n-1}_0\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}b(s)W(s-\rho){\rm d}s\leq 0. $

于是有

(3.15) $ \begin{eqnarray} W(t-\frac{\rho}{2})&\geq &\lambda^{2n-1}_0\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}b(s)W(s-\rho){\rm d}s{}\\ &\geq& \lambda^{2n-1}_0\int^{(t_k+\rho)^-}_{t-\frac{\rho}{2}}b(s)W(s-\rho){\rm d}s+\lambda^{2n-1}_0\int^{t}_{(t_k+\rho)^+}b(s)W(s-\rho){\rm d}s{}\\ &\geq &\frac{\lambda^{2n-1}_0W(t-\rho)}{1+\alpha}\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}b(s){\rm d}s. \end{eqnarray} $

在$ [t-\rho, t-\frac{\rho}{2}] $上对$ (3.11) $式积分,有

$ W(t-\frac{\rho}{2})-W(t-\rho)+\lambda^{2n-1}_0\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}b(s)W(s-\rho){\rm d}s\leq 0. $

则有

(3.16) $ \begin{equation} W(t-\rho)\geq \lambda^{2n-1}_0\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}b(s)W(s-\rho){\rm d}s\geq \lambda^{2n-1}_0W(t-\frac{3\rho}{2})\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}b(s){\rm d}s. \end{equation} $

于是,由$ (3.15) $和$ (3.16) $式有

$ W(t-\frac{\rho}{2})\geq \frac{(\lambda^{2n-1}_0)^2W(t-\frac{3\rho}{2})}{1+\alpha} \bigg(\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}b(s){\rm d}s\bigg)\bigg(\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}b(s){\rm d}s\bigg). $

从而有

$ \frac{W(t-\frac{3\rho}{2})}{W(t-\frac{\rho}{2})}\leq \frac{1+\alpha}{(\lambda^{2n-1}_0)^2 \big(\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}b(s){\rm d}s\big)\big(\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}b(s){\rm d}s\big)}\leq \overline{M}. $

因此, $ H(t) $有上界.

对充分大的$ t $,由$ (3.11) $式可得

(3.17) $ \begin{equation} \int^t_{t-\rho}\frac{W'(s)}{W(t)}{\rm d}s+\lambda^{2n-1}_0\int^t_{t-\rho}b(s)\frac{W(s-\rho)}{W(s)}{\rm d}s\leq 0. \end{equation} $

又因为

(3.18) $ \begin{eqnarray} \int^t_{t-\rho}\frac{W'(s)}{W(t)}{\rm d}s& = &\int^{t^-_k}_{t-\rho}\frac{W'(s)}{W(t)}{\rm d}s+ \int^t_{t^+_k}\frac{W'(s)}{W(t)}{\rm d}s {}\\ & = &\ln\bigg[\frac{W(t_k)}{W(t-\rho)}\cdot\frac{W(t)}{W(t^+_k)}\bigg]{}\\ &\geq &\ln\bigg[\frac{W(t)}{W(t-\rho)}\cdot\frac{1}{1+\alpha_k}\bigg]. \end{eqnarray} $

所以,由$ (3.17) $和$ (3.18) $式可得

(3.19) $ \begin{equation} \ln[\frac{W(t-\rho)}{W(t)}(1+\alpha_k)]\geq\lambda^{2n-1}_0\int^t_{t-\rho}b(s)\frac{W(s-\rho)}{W(s)}{\rm d}s. \end{equation} $

令$ { } H_0 = \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}H(t) $,则$ H_0 $有限且是正的,且由$ (3.19) $式有

$ \ln[(1+\alpha)H(t)]\geq\lambda^{2n-1}_0H_0\int^t_{t-\rho}b(s){\rm d}s. $

因此

$ \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\int^t_{t-\rho}b(s){\rm d}s\leq\frac{\ln[(1+\alpha)H_0]}{\lambda^{2n-1}_0H_0}\leq\frac{1+\alpha}{\lambda^{2n-1}_0e}. $

这与条件$ (3.14) $矛盾.定理3.3证毕.

定理3.4  设条件$ {\rm (H_6)} $成立.若

(3.20) $ \begin{equation} \sum\limits_{k = 1}^{\infty}\alpha_k<+\infty, \end{equation} $

且

(3.21) $ \begin{equation} \int^{+\infty}_{t_0}b(t){\rm d}t = +\infty, \ \mbox{对任意}\ t_0\geq 0, \end{equation} $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动或者$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x = 0 $.

证  (反证法)假设边值问题(1.1)–(1.2)有一个非振动解$ u(t, x) $,且

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x\neq 0. $

不失一般性,设存在$ T>0 $,使当$ (t, x)\in [T, \infty)\times\Omega $时,有$ u(t, x)>0 $.令$ T_1 = T+\max\{\tau, \rho, \sigma, \delta\} $,则对任意$ (t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega $有$ u(t-\tau, x)>0, u(t-\rho, x)>0, $$ u(t-\sigma, x)>0, $$ u(t-\delta, x)>0 $.类似于定理3.1的证明可知,由$ (3.9) $式所定义的函数$ W(t), t\geq T_1 $,是脉冲微分不等式$ (3.11), (3.12) $的一个最终正解,且

(3.22) $ \begin{equation} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}W(t)\neq 0. \end{equation} $

则由$ (3.11) $式知当$ t\geq T_1, t\neq t_k $时, $ W'(t)\leq 0 $.对于每一个$ \widetilde{t}\geq T_1 $,考虑$ W'(t)\leq 0, t\geq \widetilde{t}, $$ t\neq t_k, $$ k = 1, 2, \cdots $及$ (3.12) $式,由引理2.2可得

$ W(t)\leq \prod\limits_{\widetilde{t}< t_k\leq t}(1+\alpha_k)W(\widetilde{t}), {\quad} t\geq \widetilde{t}. $

因此当$ t\geq T_1+\rho $时,有

$ W(t)\leq \prod\limits_{t-\rho< t_k\leq t}(1+\alpha_k)W(t-\rho). $

进而结合$ (3.11) $式有

$ W'(t)+\frac{\lambda_0^{2n-1}b(t)}{\prod\limits_{t-\rho< t_k\leq t}(1+\alpha_k)}W(t)\leq 0. $

考虑$ W'(t)\leq-\frac{\lambda_0^{2n-1}b(t)}{\prod\limits_{t-\rho< t_k\leq t}(1+\alpha_k)}W(t), t\geq T_1+\rho, t\neq t_k, k = 1, 2, \cdots $及$ (3.12) $式,由引理2.2可得

$ W(t)\leq W(T_1+\rho)\prod\limits_{ T_1+\rho< t_k\leq t}(1+\alpha_k)\exp \bigg(-\lambda_0^{2n-1}\int^t_{T_1+\rho}\frac{b(s)}{\prod\limits_{s-\rho< t_k\leq s}(1+\alpha_k)}{\rm d}s\bigg), \ t\geq T_1+\rho. $

由$ (3.20) $和$ (3.21) $式可知$ { }\lim\limits_{t\rightarrow\infty}W(t)\leq 0 $.另一方面,因$ W(t) $是脉冲微分不等式(3.11)–(3.12)的一个最终正解,故$ { }\lim\limits_{t\rightarrow\infty}W(t)\geq 0 $.所以有$ { }\lim\limits_{t\rightarrow\infty}W(t) = 0 $,而这与$ (3.22) $式矛盾.

定理3.4证毕.

由微分不等式$ (3.7) $有

$ (U(t)-c(t)U(t-\tau))'+P(t)U(t-\sigma)\leq 0, {\quad} t\geq T_1, \ t\neq t_k. $

类似地,可以得到如下结果.

定理3.5  设如下条件成立:

$ {\rm (H_{10})} $$ P(t)\geq p_0 = const>0 $;

$ {\rm (H_{11})} $存在常数$ \beta>0 $,使得$ t_{k+1}-t_k\geq \beta, k = 1, 2, \cdots, $且$ \sigma\geq \beta $.

若

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\alpha_k}\int^{t_k+\beta}_{t_k}P(s){\rm d}s>1, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动.

定理3.6  设$ {\rm (H_{10})} $及如下条件成立:

$ {\rm (H_{12})} $存在常数$ \beta>0 $,使得$ t_{k+1}-t_k\geq \beta>\sigma, k = 1, 2, \cdots $.

若

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\alpha_k}\int^{t_k+\sigma}_{t_k}P(s){\rm d}s>1, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动.

定理3.7  设$ {\rm (H_{10})} $, $ {\rm (H_{12})} $及条件$ {\rm (H_9)} $成立.若

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\int^t_{t-\sigma}P(s){\rm d}s>\frac{1+\alpha}{e}, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动.

定理3.8  设$ {\rm (H_{10})} $及条件$ (3.20) $成立.若

$ \int^{+\infty}_{t_0}P(t){\rm d}t = +\infty, \ \mbox{对任意}\ t_0\geq 0, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动或者$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x = 0 $.

定理3.9  设如下条件成立:

$ {\rm (H_{13})} $存在常数$ M>0 $,使当$ u\neq 0 $时,有$ \frac{f(u)}{u}\geq M $;

$ {\rm (H_{14})} $$ Q(t)\geq q_0 = const>0 $;

$ {\rm (H_{15})} $存在常数$ \beta>0 $,使得$ t_{k+1}-t_k\geq \beta, k = 1, 2, \cdots, $且$ \delta\geq\beta $.若

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\alpha_k}\int^{t_k+\beta}_{t_k}Q(s){\rm d}s>\frac{1}{M}, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动.

证  (反证法)假设边值问题(1.1)–(1.2)有一个非振动解$ u(t, x) $,不失一般性,设存在$ T>0 $,使当$ (t, x)\in [T, \infty)\times\Omega $时,有$ u(t, x)>0 $.令$ T_1 = T+\max\{\tau, \rho, \sigma, \delta\} $,则对任意$ (t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega $有$ u(t-\tau, x)>0, u(t-\rho, x)>0, u(t-\sigma, x)>0, u(t-\delta, x)>0 $.

当$ t\geq T_1, t\neq t_k, k = 1, 2, \cdots $时,结合(H$ _2) $,由方程$ (1.1) $可得

(3.23) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(u-c(t)u(t-\tau, x))\leq a(t){\triangle}^{2n-1}u-Q(t)f(u(t-\delta, x)), {\quad} (t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega. \end{equation} $

注意到条件$ {\rm (H_{13})} $,由$ (3.23) $式可得

(3.24) $ \begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}(u-c(t)u(t-\tau, x))\leq a(t){\triangle}^{2n-1}u-MQ(t)u(t-\delta, x), {\quad} (t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega. \end{equation} $

$ (3.24) $式两边乘以问题$ (2.1) $的第一特征值$ \lambda_0 $对应的特征函数$ \phi(x) $,并关于$ x $在$ \Omega $上积分,有

(3.25) $ \begin{eqnarray} & &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{\Omega}u\phi(x){\rm d}x-c(t)\int_{\Omega}u(t-\tau, x))\phi(x){\rm d}x\bigg){}\\ &\leq& a(t)\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u{\rm d}x- MQ(t)\int_{\Omega}u(t-\delta, x)\phi(x){\rm d}x. \end{eqnarray} $

由$ (3.1) $式知$ U(t)>0, t\geq T_1 $.于是结合$ (3.5) $式,由$ (3.25) $式可得

$ (U(t)-c(t)U(t-\tau))'+\lambda^{2n-1}_0a(t)U(t)+MQ(t)U(t-\delta)\leq 0. $

进而有

$ (U(t)-c(t)U(t-\tau))'+MQ(t)U(t-\delta)\leq 0. $

余下部分完全类似定理3.1后半部分的证明,同样可以得到矛盾的结果,详证在此略去.

定理3.9证毕.

类似地,还可以得到如下结果.

定理3.10  设$ {\rm (H_{13})} $, $ {\rm (H_{14})} $及如下条件成立:

$ {\rm (H_{16})} $存在常数$ \beta>0 $,使得$ t_{k+1}-t_k\geq \beta>\delta, k = 1, 2, \cdots. $

若

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\alpha_k}\int^{t_k+\delta}_{t_k}Q(s){\rm d}s>\frac{1}{M}, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动.

定理3.11  设$ {\rm (H_{13})} $, $ {\rm (H_{14})} $, $ {\rm (H_{16})} $及条件$ {\rm (H_9)} $成立.若

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\int^t_{t-\delta}Q(s){\rm d}s>\frac{1+\alpha}{Me}, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动.

定理3.12  设$ {\rm (H_{13})} $, $ {\rm (H_{14})} $及条件$ {\rm (3.20)} $成立.若

$ \int^{+\infty}_{t_0}Q(t){\rm d}t = +\infty, \ \mbox{对任意}\ t_0\geq 0, $

则边值问题(1.1)–(1.2)的所有解$ u(t, x) $在区域$ G $内振动或者$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\int_{\Omega}u(x, t){\rm d}x = 0 $.

注3.1  本文结果表明,边值问题(1.1)–(1.2)的解在区域$ G $内振动与脉冲量$ t_k $和时滞量$ \rho $或$ \sigma $或$ \delta $有关.

注3.2  利用本文的思想,我们还可以考虑其它边值条件.譬如,考虑如下的第三类边值条件

(3.26) $ \begin{equation} \frac{\partial\triangle^ru}{\partial N}+\beta(x)\triangle^ru = 0, (t, x)\in {\mathbb R}_+\times\partial\Omega, t\neq t_k, r = 0, 1, 2, \cdots, 2n-2, \end{equation} $

其中$ \beta(x)\in C(\partial\Omega, (0, \infty)) $.我们不难得到边值问题(1.1), (3.26)的若干振动判据.限于篇幅,在此省略之.

下面举例说明本文主要结果的有效性.

例4.1  设固定脉冲点$ t_k = k\pi, k = 1, 2, \cdots $,考虑如下的非线性脉冲抛物型分布参数系统

(4.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{rl} { } \frac{\partial}{\partial t}(u-\frac{1}{2}e^{-t}u(t-\pi, x)) = & { } a(t){\triangle}^{2n-1}u-3e^{2\sin x}u(t-\frac{\pi}{3}, x)(1+u^2(t-\frac{\pi}{3}, x)), \\ & (t, x)\in {\mathbb R}_+\times(0, \pi), {\quad} t\neq t_k, \\ u(t_{k}^{+}, x)-u(t_{k}^{-}, x) = &{ } \frac{u(t_{k}, x)}{\sqrt{t^3_k}}, {\quad} k = 1, 2, \cdots, \end{array}\right. \end{equation} $

边值条件为

(4.2) $ \begin{equation} u(t, 0) = u(t, \pi) = 0, {\quad} t\geq 0, \ t\neq k\pi. \end{equation} $

这里$ m = 1, $$ \Omega = (0, \pi), $$ a(t)\in PC({\mathbb R}_+, {\mathbb R}_+), n\geq 1 $是整数, $ c(t) = \frac{1}{2}e^{-t}, q(t, x) = 3e^{2\sin x}, $$ f(u) = u(1+u^2), $$ I(t_k, x, u(t_{k}, x)) = \frac{u(t_{k}, x)}{\sqrt{t^3_k}}, \ \tau = \pi, \ \delta = \frac{\pi}{3} $,取$ M = 1, \alpha = 1, \beta = \pi, $不难验证例4.1满足定理3.11的全部条件,因此,系统(4.1)–(4.2)的所有解在$ [0, \infty)\times(0, \pi) $上振动.