给定实数$ a $, $ b $和$ c $, $ c\neq0, -1, -2, \cdots $, Gauss超几何函数是下式定义的级数在裂纹复平面$ {\Bbb C}\backslash[1, \infty) $上解析开拓(见文献[1,第15章])

(1.1) $ \begin{equation} F(a, b;c;z) = _{2}F_{1}(a, b;c;z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}\frac{(a, n)(b, n)}{(c, n)}\frac{z^{n}}{n!}, ~ |z|<1, \end{equation} $

其中,当$ a\neq0 $时, $ (a, 0) = 1 $;而当$ n\in{\Bbb N}^+\equiv\{k:k\ \mbox{是正整数}\} $时

$(a, n) = a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1).$

若$ a+b = c $,称$ F(a, b;c; z) $为零平衡的.不难发现, (1.1)式中的Gauss超几何函数满足如下导数公式:

(1.2) $ \begin{equation} \frac{\rm d}{{\rm d}z}F(a, b;c;z) = \frac{ab}{c}F(a+1, b+1;c+1;z). \end{equation} $

众所周知, Gauss超几何函数,作为一类重要的特殊函数,已经被广泛应用于数学学科的众多领域及其物理学、工程学等其它学科(见文献[2-3]).特别地,一些经典的特殊函数和初等函数,例如勒让德(Legendre)函数、雅克比(Jacobi)多项式、切比雪夫(Chebyshew)多项式、对数函数、反双曲正弦函数等都可以用Gauss超几何函数表示.除此之外,在数学物理中发挥重要作用的第一类和第二类完全椭圆积分$ {\cal K}(k) $和$ {\cal E}(k) $也可分别表示成(见文献[3,第3章])

$ {{\cal K}}(k) = \int_{0}^{{\pi}/{2}}(1-k^2\sin^2\theta)^{-1/2}{\rm d}\theta = \frac{\pi}{2}F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;k^2\right) $

和

$ {{\cal E}}(k) = \int_{0}^{\pi/2}(1-k^2\sin^2\theta)^{1/2}{\rm d}\theta = \frac{\pi}{2}F\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;k^2\right). $

18世纪末, Gauss发现了算术几何平均值(AGM),建立了它与第一类完全椭圆积分$ {{\cal K}}(k) $的联系,并且为圆周率$ \pi $的计算提供了一种高效的算法(见文献[4,第1章]或[3,第4章]).值得一提的是,完全椭圆积分满足的Legendre恒等式在圆周率$ \pi $的计算发挥着关键的作用,其表述如下:

(1.3) $ \begin{equation} {\cal E}(k){\cal K}(\sqrt{1-k^2})+{\cal E}(\sqrt{1-k^2}){\cal K}(k)-{\cal K}(k){\cal K}(\sqrt{1-k^2}) = \frac{\pi}{2}, \end{equation} $

等价于

(1.4) $ \begin{eqnarray} &&F\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;k^2\right)F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;1-k^2\right)+F\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;1-k^2\right)F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;k^2\right)\\ &&-F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;k^2\right)F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2};1;1-k^2\right) = \frac{2}{\pi}. \end{eqnarray} $

2000年, Anderson, Vamanamurthy, Vuorinen和裘松良在文献[5]中,令$ u(a, b, c, r) = F(a-1, b;c; r) $, $ v(a, b, c, r) = F(a, b;c; r) $,并考虑了所谓的Legendre函数(因为当$ a = b = 1/2 $, $ c = 1 $和$ r = k^2\in(0, 1) $时,下式$ L(a, b, c, r) $就退化为等式(1.4)左端的函数)

$ \begin{eqnarray*} L(a, b, c, r)& = &u(a, b, c, r)v(a, b, c, 1-r)+u(a, b, c, 1-r)v(a, b, c, r)\nonumber\\ &&-v(a, b, c, r)v(a, b, c, 1-r). \end{eqnarray*} $

他们证得对$ a > 0 $时, $ L(a, a, a, r)\equiv0 $;而当$ a\in(0, 1) $, $ b = 1-a < c $时

(1.5) $ \begin{equation} L(a, b, c, r) = L(a, 1-a, c, r) = \frac{\Gamma^{2}(c)}{\Gamma(c+a-1)\Gamma(c-a+1)}, \end{equation} $

其中$ \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}{\rm d}t(\mbox{Re}{x} > 0) $为经典的Gamma函数.同时,他们也提出了如下猜测:

猜测1.1^{([5,猜测3.16])}  当$ a, b\in(0, 1) $, $ a+b\leq1(\geq1) $时, $ L(a, b, 1, r) $作为$ r $的函数在$ (0, 1) $上是向上(向下)凸的.

虽然Karatsuba与Vourinen于2001年在文献[6]中解决了该猜测,但所用的方法较为复杂、繁琐.本文则通过揭示Gauss超几何函数的某些组合的单调性,并运用这些性质给出了这一猜测的一个简单证明.不仅如此,我们还将此猜测结果推广为:当$ c > b $, $ a, b\in(0, 1) $, $ a+b\leq 1(\geq 1) $时, $ L(a, b, c, r) $作为$ r $的函数在$ (0, 1) $上是向上(向下)凸的.

为了证明本文的主要结果,需要下面的三则引理.

引理2.1^{[7,引理2.1]}  设$ r_{n} $和$ s_{n} $$ (n\in{\Bbb N}) $为实数序列,且幂级数

$ R(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}r_{n}x^{n}\quad \mbox{和}\quad S(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}s_{n}x^{n} $

在$ |x| < 1 $上收敛.若对$ n = 0, 1, 2, \cdots $恒有$ s_{n} > 0 $且序列$ \{r_{n}/s_{n}\}_{n\geq 0} $关于$ n $严格单调上升(下降),则函数$ R(x)/S(x) $在$ (0, 1) $上也严格单调上升(下降).

引理2.2^{[5,定理3.12]}  对$ a, b, c > 0 $, $ r\in(0, 1) $,令$ u = u(r) = F(a-1, b;c; r) $, $ v = v(r) = F(a, b;c; r) $, $ u_{1} = u(1-r) $, $ v_{1} = v(1-r) $,那么有

$ r(1-r)\frac{\rm d}{{\rm d}r}(uv_{1}+u_{1}v-vv_{1}) = (1-a-b)[(1-r)uv_{1}-ru_{1}v-(1-2r)vv_{1}]. $

引理2.3  对$ a, b, c > 0 $, $ r\in(0, 1) $, $ u, v, u_{1}, v_{1} $同引理2.2,则有

$ (1) $当$ {1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c} $时,函数$ g_{1}(r)\equiv F(a+1, b+1;c+1;r)/v $在$ (0, 1) $上严格单调上升;

$ (2) $当$ {1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c} $时,函数$ g_{2}(r)\equiv vv_{1} $在$ (0, {1}/{2}] $上严格单调下降,在$ [{1}/{2}, 1) $上严格单调上升;

$ (3) $令函数$ g_{3}(r)\equiv (v-u)/(rv) $,则当$ c > b $时, $ g_{3} $在$ (0, 1) $上严格单调上升;当$ c = b $时, $ g_{3}(r)\equiv1 $;当$ c < b $时,函数$ g_{3} $在$ (0, 1) $上严格单调下降.

证   (1)利用(1.1)式可得

(2.1) $ \begin{equation} g_{1}(r) = \frac{\sum\limits_{n = 0}^{\infty}r_{n}r^{n}}{\sum\limits_{n = 0}^{\infty}s_{n}r^{n}}, \end{equation} $

其中$ r_{n} = [(a+1, n)(b+1, n)]/[(c+1, n)n!\, ] $, $ s_{n} = [(a, n)(b, n)]/[(c, n)n!\, ] $.若令$ l_{n} = r_{n}/s_{n} $, $ L(x) = (x+a)(x+b)/(x+c) $, $ x > 0 $.则$ l_{n} = cL(n)/ab $,而且当$ {1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c} $时,易证

$ L'(x) = \frac{x^{2}+2cx+(a+b)c-ab}{(c+x)^{2}}>0. $

故$ l_{n} $关于$ n\in{{\Bbb N}} $严格单调上升,应用引理2.1便得结论.

(2)当$ {1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c} $时,根据(1.2)式,求导得

(2.2) $ \begin{equation} g_{2}^{\prime}(r) = \frac{ab}{c}vv_{1}[g_{1}(r)-g_{1}(1-r)], \end{equation} $

其中$ g_{1}(r) $同第(1)部分.由(2.2)式及第(1)部分知:当$ r\in(0, {1}/{2}) $时, $ g_{2}^{\prime}(r) < 0 $;当$ r\in({1}/{2}, 1) $时, $ g_{2}^{\prime}(r) > 0 $.由此即得$ g_{2} $的分段单调性.

(3)根据(1.1)式,可得

(2.3) $ \begin{equation} g_{3}(r) = \frac{\sum\limits_{n = 0}^{\infty}r^*_{n}r^{n}}{\sum\limits_{n = 0}^{\infty}s^*_{n}r^{n}}, \end{equation} $

其中$ r^*_{n} = [(a, n)(b, n+1)]/[(c, n+1)n!\, ] $, $ s^*_{n} = [(a, n)(b, n)]/[(c, n)n!\, ] $.若令$ l^*_{n} = r^*_{n}/s^*_{n} $,则$ l^*_{n} = 1+[(b-c)/(n+c)] $.据此得：当$ c > b $时, $ l^*_{n} $严格单调上升；当$ c < b $时, $ l^*_{n} $严格单调下降.故由(2.3)式和引理2.1立即可得关于$ g_{3}(r) $的断言.

定理3.1  对$ a, b, r\in(0, 1) $,令

$ u = u(r) = F(a-1, b;c;r), ~ v = v(r) = F(a, b;c;r), $

$ u_{1} = u(1-r) , ~ v_{1} = v(1-r), ~ L(a, b, c, r) = uv_{1}+u_{1}v-vv_{1}. $

$ (1) $当$ c > b $, $ a+b < 1(> 1) $时,作为$ r $的函数$ L(a, b, c, r) $在$ (0, {1}/{2}] $上是严格单调上升(下降),在$ [{1}/{2}, 1) $上是严格单调下降(上升),在$ (0, 1) $上是向上(向下)凸的;

$ (2) $对所有的$ r\in(0, 1) $, $ L(a, b, c, r) $恒等于常数当且仅当$ a+b = 1 $或者$ c = b $.

证  依据引理2.2,有

(3.1) $ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}r}L(a, b, c, r)& = & (1-a-b)\frac{(1-r)uv_{1}-ru_{1}v-(1-2r)vv_{1}}{r(1-r)}\\ & = &(1-a-b)g_{2}(r)[g_{3}(1-r)-g_{3}(r)], \end{eqnarray} $

其中$ g_{2}(r) $, $ g_{3}(r) $同引理2.3.

(1)以下对$ c > b $,分两种情形讨论.

情形1  $ a+b < 1 $.依据引理2.3可知：当$ r\in(0, {1}/{2}) $时, $ g_{2}(r) $大于零且严格单调下降, $ g_{3}(1-r)-g_{3}(r) $大于零且严格单调下降,故由(3.1)式可得$ {\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r $在$ r\in(0, {1}/{2}) $上大于零且严格单调下降;同理可得$ {\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r $在$ r\in({1}/{2}, 1) $上小于零且严格单调下降且$ [{\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r]_{r = 1/2} = 0 $.故$ L(a, b, c, r) $作为$ r $的函数在$ (0, {1}/{2}] $上是严格单调上升,在$ [{1}/{2}, 1) $上是严格单调下降,在$ (0, 1) $上是向上凸的.

情形2  若$ a+b > 1 $.依据引理2.3可知：当$ r\in(0, {1}/{2}) $时, $ g_{2}(r) $大于零且严格单调下降, $ g_{3}(1-r)-g_{3}(r) $大于零且严格单调下降,故由(3.1)式可得$ {\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r $在$ r\in(0, {1}/{2}) $上小于零且严格单调上升;同理有$ {\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r $在$ r\in({1}/{2}, 1) $上大于零且严格单调上升且$ [{\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r]_{r = 1/2} = 0 $.故$ L(a, b, c, r) $作为$ r $的函数在$ (0, {1}/{2}] $上是严格单调下降,在$ [{1}/{2}, 1) $上是严格单调上升,在$ (0, 1) $上是向下凸的.

(2)若$ a+b = 1 $,则由(1.5)式和(3.1)式直接可得

$ L(a, b, c, r) = \Gamma^{2}(c)/[\Gamma(c+a-1)\Gamma(c-a+1)]. $

若$ c = b $,则(3.1)式和引理2.3(3)表明$ v(1/2) = 2u(1/2) $且对所有$ r\in(0, 1) $恒成立

$ \frac{\rm d}{{\rm d}r}L(a, b, c, r)\equiv0. $

因此

$ L(a, b, c, r) = L(a, b, c, 1/2) = v(1/2)[2u(1/2)-v(1/2)] = 0. $

若设$ a+b\neq 1 $且$ c\neq b $,则由(3.1)式和引理2.3推断:对所有的$ r\in(0, 1) $, $ {\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r $不能恒为零,由此可得结论(2)成立.定理3.1得证.

推论3.1  当$ a, b\in(0, 1) $, $ c = 1 > b $, $ a+b\leq 1(\geq 1) $时, $ L(a, b, c, r) $关于$ r $在$ (0, 1) $上是向上(向下)凸的.

注3.1  对$ a, b, c > 0 $, $ c < b $且$ 1/a+1/b > 1/c $时,亦可推断$ L(a, b, c, r) $作为$ r $函数,当$ a+b < (> )1 $时,在$ (0, {1}/{2}] $上是严格单调上升(下降),在$ [{1}/{2}, 1) $上是严格单调下降(上升).然而其凸性质尚未明确,作为待研问题留给读者思考.