给定实数$a$, $b$和$c$, $c\neq0, -1, -2, \cdots$, Gauss超几何函数是下式定义的级数在裂纹复平面${\Bbb C}\backslash[1, \infty)$上解析开拓(见文献[1,第15章])

其中,当$a\neq0$时, $(a, 0) = 1$;而当$n\in{\Bbb N}^+\equiv\{k:k\ \mbox{是正整数}\}$时

若$a+b = c$,称$F(a, b;c; z)$为零平衡的.不难发现, (1.1)式中的Gauss超几何函数满足如下导数公式:

众所周知, Gauss超几何函数,作为一类重要的特殊函数,已经被广泛应用于数学学科的众多领域及其物理学、工程学等其它学科(见文献[2-3]).特别地,一些经典的特殊函数和初等函数,例如勒让德(Legendre)函数、雅克比(Jacobi)多项式、切比雪夫(Chebyshew)多项式、对数函数、反双曲正弦函数等都可以用Gauss超几何函数表示.除此之外,在数学物理中发挥重要作用的第一类和第二类完全椭圆积分${\cal K}(k)$和${\cal E}(k)$也可分别表示成(见文献[3,第3章])

和

18世纪末, Gauss发现了算术几何平均值(AGM),建立了它与第一类完全椭圆积分${{\cal K}}(k)$的联系,并且为圆周率$\pi$的计算提供了一种高效的算法(见文献[4,第1章]或[3,第4章]).值得一提的是,完全椭圆积分满足的Legendre恒等式在圆周率$\pi$的计算发挥着关键的作用,其表述如下:

等价于

2000年, Anderson, Vamanamurthy, Vuorinen和裘松良在文献[5]中,令$u(a, b, c, r) = F(a-1, b;c; r)$, $v(a, b, c, r) = F(a, b;c; r)$,并考虑了所谓的Legendre函数(因为当$a = b = 1/2$, $c = 1$和$r = k^2\in(0, 1)$时,下式$L(a, b, c, r)$就退化为等式(1.4)左端的函数)

他们证得对$a > 0$时, $L(a, a, a, r)\equiv0$;而当$a\in(0, 1)$, $b = 1-a < c$时

其中$\Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}{\rm d}t(\mbox{Re}{x} > 0)$为经典的Gamma函数.同时,他们也提出了如下猜测:

猜测1.1^{([5,猜测3.16])}  当$a, b\in(0, 1)$, $a+b\leq1(\geq1)$时, $L(a, b, 1, r)$作为$r$的函数在$(0, 1)$上是向上(向下)凸的.

虽然Karatsuba与Vourinen于2001年在文献[6]中解决了该猜测,但所用的方法较为复杂、繁琐.本文则通过揭示Gauss超几何函数的某些组合的单调性,并运用这些性质给出了这一猜测的一个简单证明.不仅如此,我们还将此猜测结果推广为:当$c > b$, $a, b\in(0, 1)$, $a+b\leq 1(\geq 1)$时, $L(a, b, c, r)$作为$r$的函数在$(0, 1)$上是向上(向下)凸的.

为了证明本文的主要结果,需要下面的三则引理.

引理2.1^{[7,引理2.1]}  设$r_{n}$和$s_{n}$$(n\in{\Bbb N})$为实数序列,且幂级数

在$|x| < 1$上收敛.若对$n = 0, 1, 2, \cdots$恒有$s_{n} > 0$且序列$\{r_{n}/s_{n}\}_{n\geq 0}$关于$n$严格单调上升(下降),则函数$R(x)/S(x)$在$(0, 1)$上也严格单调上升(下降).

引理2.2^{[5,定理3.12]}  对$a, b, c > 0$, $r\in(0, 1)$,令$u = u(r) = F(a-1, b;c; r)$, $v = v(r) = F(a, b;c; r)$, $u_{1} = u(1-r)$, $v_{1} = v(1-r)$,那么有

引理2.3  对$a, b, c > 0$, $r\in(0, 1)$, $u, v, u_{1}, v_{1}$同引理2.2,则有

$(1)$当${1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c}$时,函数$g_{1}(r)\equiv F(a+1, b+1;c+1;r)/v$在$(0, 1)$上严格单调上升;

$(2)$当${1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c}$时,函数$g_{2}(r)\equiv vv_{1}$在$(0, {1}/{2}]$上严格单调下降,在$[{1}/{2}, 1)$上严格单调上升;

$(3)$令函数$g_{3}(r)\equiv (v-u)/(rv)$,则当$c > b$时, $g_{3}$在$(0, 1)$上严格单调上升;当$c = b$时, $g_{3}(r)\equiv1$;当$c < b$时,函数$g_{3}$在$(0, 1)$上严格单调下降.

证   (1)利用(1.1)式可得

其中$r_{n} = [(a+1, n)(b+1, n)]/[(c+1, n)n!\, ]$, $s_{n} = [(a, n)(b, n)]/[(c, n)n!\, ]$.若令$l_{n} = r_{n}/s_{n}$, $L(x) = (x+a)(x+b)/(x+c)$, $x > 0$.则$l_{n} = cL(n)/ab$,而且当${1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c}$时,易证

故$l_{n}$关于$n\in{{\Bbb N}}$严格单调上升,应用引理2.1便得结论.

(2)当${1}/{a}+{1}/{b} > {1}/{c}$时,根据(1.2)式,求导得

其中$g_{1}(r)$同第(1)部分.由(2.2)式及第(1)部分知:当$r\in(0, {1}/{2})$时, $g_{2}^{\prime}(r) < 0$;当$r\in({1}/{2}, 1)$时, $g_{2}^{\prime}(r) > 0$.由此即得$g_{2}$的分段单调性.

(3)根据(1.1)式,可得

其中$r^*_{n} = [(a, n)(b, n+1)]/[(c, n+1)n!\, ]$, $s^*_{n} = [(a, n)(b, n)]/[(c, n)n!\, ]$.若令$l^*_{n} = r^*_{n}/s^*_{n}$,则$l^*_{n} = 1+[(b-c)/(n+c)]$.据此得：当$c > b$时, $l^*_{n}$严格单调上升；当$c < b$时, $l^*_{n}$严格单调下降.故由(2.3)式和引理2.1立即可得关于$g_{3}(r)$的断言.

定理3.1  对$a, b, r\in(0, 1)$,令

$(1)$当$c > b$, $a+b < 1(> 1)$时,作为$r$的函数$L(a, b, c, r)$在$(0, {1}/{2}]$上是严格单调上升(下降),在$[{1}/{2}, 1)$上是严格单调下降(上升),在$(0, 1)$上是向上(向下)凸的;

$(2)$对所有的$r\in(0, 1)$, $L(a, b, c, r)$恒等于常数当且仅当$a+b = 1$或者$c = b$.

证  依据引理2.2,有

其中$g_{2}(r)$, $g_{3}(r)$同引理2.3.

(1)以下对$c > b$,分两种情形讨论.

情形1  $a+b < 1$.依据引理2.3可知：当$r\in(0, {1}/{2})$时, $g_{2}(r)$大于零且严格单调下降, $g_{3}(1-r)-g_{3}(r)$大于零且严格单调下降,故由(3.1)式可得${\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r$在$r\in(0, {1}/{2})$上大于零且严格单调下降;同理可得${\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r$在$r\in({1}/{2}, 1)$上小于零且严格单调下降且$[{\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r]_{r = 1/2} = 0$.故$L(a, b, c, r)$作为$r$的函数在$(0, {1}/{2}]$上是严格单调上升,在$[{1}/{2}, 1)$上是严格单调下降,在$(0, 1)$上是向上凸的.

情形2  若$a+b > 1$.依据引理2.3可知：当$r\in(0, {1}/{2})$时, $g_{2}(r)$大于零且严格单调下降, $g_{3}(1-r)-g_{3}(r)$大于零且严格单调下降,故由(3.1)式可得${\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r$在$r\in(0, {1}/{2})$上小于零且严格单调上升;同理有${\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r$在$r\in({1}/{2}, 1)$上大于零且严格单调上升且$[{\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r]_{r = 1/2} = 0$.故$L(a, b, c, r)$作为$r$的函数在$(0, {1}/{2}]$上是严格单调下降,在$[{1}/{2}, 1)$上是严格单调上升,在$(0, 1)$上是向下凸的.

(2)若$a+b = 1$,则由(1.5)式和(3.1)式直接可得

若$c = b$,则(3.1)式和引理2.3(3)表明$v(1/2) = 2u(1/2)$且对所有$r\in(0, 1)$恒成立

因此

若设$a+b\neq 1$且$c\neq b$,则由(3.1)式和引理2.3推断:对所有的$r\in(0, 1)$, ${\rm d}L(a, b, c, r)/{\rm d}r$不能恒为零,由此可得结论(2)成立.定理3.1得证.

推论3.1  当$a, b\in(0, 1)$, $c = 1 > b$, $a+b\leq 1(\geq 1)$时, $L(a, b, c, r)$关于$r$在$(0, 1)$上是向上(向下)凸的.

注3.1  对$a, b, c > 0$, $c < b$且$1/a+1/b > 1/c$时,亦可推断$L(a, b, c, r)$作为$r$函数,当$a+b < (> )1$时,在$(0, {1}/{2}]$上是严格单调上升(下降),在$[{1}/{2}, 1)$上是严格单调下降(上升).然而其凸性质尚未明确,作为待研问题留给读者思考.